автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Некоторые задачи оптимизации форм тонких механических пластин

На правах рукописи

ЭЙНИЕВ ЭЛЬЧИН ТЕЙЮБ ОГЛЫ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМ ТОНКИХ МЕХАНИЧЕСКИХ ПЛАСТИН

35.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена в МАТИ Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского (МАТИ-РГТУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Л.А. Муравей

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор И.Б. Михайлов кандидат физико-математических наук, доцент М.В. Орлов

Ведущая организация:

Московский Энергетический Институт (г.Москва)

Защита диссертации состоится "ЛЯ " 2000 г.

в '^Ц часов на заседании специализированного совета Д 063.56.02 в МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского по адресу: 125351, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАТИ-РГТУ. Автореферат разослан 4Ь _ АлЛ^к_ 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук, , ,,'/

профессор Е.В. Метелкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Бурное развитие авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения значительно усилило интерес к исследованием в области оптимального проектирования. На основе оптимального проектирования достигается значительное снижение веса летательных аппаратов, улучшение механических характеристик конструкций. Проблемы оптимизации возникают также при проектировании строительных сооружений. Таким образом, исследования в этой области весьма актуальны и имеют несомненное прикладное значение.

Следует заметить, что наравне с прикладным значением задачи оптимального проектирования имеют и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет при оптимальном проектировании различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач.

Отметим, что приблизительно до середины 60-х годов исследования в этой, связанной с темой диссертации, области концентрирова-пось вокруг небольшого числа одномерных задач. В связи с развитием математических методов оптимизации (методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др.) и появлением мощной электронно-вычислительной техники, стало возможно проведение достаточно общих исследований.

История вопроса. Не претендуя на полноту обзора работ по оп-гимизации упругих конструкций, отметим только некоторые класси-теские исследования и результаты, непосредственно касающиеся вопросов, рассматриваемых в данной работе.

Начало теории упругости были заложены французской школой в Ю-30-х годах XIX века главным образом в трудах А. Навье, О. Коши, I. Пуассона, Г. Ламе, Э. Клайперона, а, несколько позже, А. Сен-Зеннана. Самостоятельную область теории упругости составляют тлоские ее задачи, общие методы исследования которых с помощью шалитических функций были развиты в конце XIX - начале XX века, первые исследования изгиба и колебания пластин были предприняты :ще в XVIII веке Л. Эйлером и Я. Бернулли; более общие исследова-шя на основе уравнений упругости Д. Пуассоном, А. Навье и О. Ко-

ши. Подробная история этих исследований изложена в книге "Исторш механики (с конца XVIII до середины XX века)" под редакцией А.Т Григорьяна и Й.Б. Погребельского, 1972.

Цель работы. Целью настоящей работы является установление классов разрешимости задач оптимизации форм тонких пластин i разработка численных методов построения оптимальных форм и чис ленные расчеты.

Методы исследования. Для теоретического исследования ис пользованы методы математической физики, качественной теорш дифференциальных уравнений, теории функций и функциональной анализа. Численные методы и соответствующие программы расче та оптимальных форм на языке С++ с использованием компиляторг Borland Turbo С++. Для графического представления полученны: результатов использовался редактор Grapher.

Научная новизна. В работе получены следующие новые резуль таты.

1. Доказана теорема существования оптимальных форм для плас тин с тонким краем, основанная на априорных оценках в весовы: соболевских пространствах решений граничных задач для вы рождающихся эллиптических уравнений второго порядка и уста новлении соответствующих теорем вложения.

2. Установлен вид оптимальной матрицы в задаче Лионса оптими зации выпуклого функционала, заданного на решениях эллипти ческих уравнений второго порядка.

3. Исследована задача минимизации интегрального функционал; общего вида на решениях эллиптической системы второго по рядка диагонального вида.

4. Решена задача минимизации одного граничного функционала н; решениях эллиптического уравнения второго порядка.

5. При естественных условиях на интегральный функционал ре шена задача его минимизации на решениях бигармоническог уравнения с переменными коэффициентами и переменной облас тью задания, т.е. задача нахождения оптимальной формы tohkoj пластины (распределения ее толщины и формы основания).

6. Разработаны численные методы решения задачи Лионса об оптимальной форме прогиба пластины за счет выбора ее толщины и оптимизационной задачи со свободной границей (переменным основанием) для функционала, характеризующего меру жесткости пластины. Проведены многочисленные численные расчеты, позволяющие численно подтвердить теоретические исследования и дать графическое представление оптимальных форм пластин.

Практическая ценность. Полученные результаты дают достаточно полную картину об оптимальных формах тонких пластин для различных механических воздействиях, что позволяет уменьшить вес, увеличивать жесткость и достигать других эффектов, используемых в оптимальном проектировании.

Апробация работы. Основные положения диссертационной ра-

боты докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах.

1. XXI, XXII и XXVI "Гагаринские чтения" - Международные молодежные научные конференции МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 1995, 1996 и 2000 годы.

2. 2-й Международный симпозиум "Интеллектуальные системы", Санкт-Петербург, 1996 (совм. с Л.А. Муравьем и И. Исмаило-вым).

3. Международная конференция "Оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде", Екатеринбург, 2000 год.

4. Семинар "Задачи устойчивости и управления в уравнениях математической физики" кафедры "Оптимального управления" факультета ВМиК МГУ, Москва, 1995-1998 годы.

5. Семинар "Качественная теория дифференциальных уравнений" кафедры "Прикладной математики" МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, Москва, 1998-2000 годы.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 92 :траницах машинописного текста, содержит введение, две главы, триложение ко второй главе, заключение, список литературы из 42 таименований и 26 иллюстраций.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 7 работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение

Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, определена ее структура и кратко изложено содержание диссертации.

Глава I. Классы существования задач оптимизации формы

Целью этой главы является решение некоторых задач оптимизации форм тонких пластин, уравнение равновесия которых, как известно, имеют вид

Д(£>(*,у)Ди) = я(х,у), (х,у) £ П С В2, (1]

где Д - двумерный оператор Лапласа, Д = дг/дх2 + д2/ду2, д(г, у) -плотность нагрузки, и(х,у) - уравнение прогиба пластины, область С - основание пластины и у1)(х}у) = к(х,у), где Ь(х,у) - распределение толщины пластины. Для определенности мы будем рассматривав случай свободного закрепления пластины, когда на ее границе дГ, заданы условия

«1ап= Дг»1ап= (2>

Уравнение (1) с граничными условиями (2) естественно называт! уравнением Ь состояния пластины (оно представляет собой эллиптический оператор четвертого порядка). Таким образом, мы имеем двг класса управляющих параметров: класс К — коэффициентов уравнения (1) (толщин пластин) и класс С плоских областей Г2 (оснований пластин), которые были впервые подробно рассмотрены Ж.-Л. Ли-онсом (1973).

Заметим, что уравнение состояния (£) можно свести к систем« эллиптических граничных задач второго порядка: если V = £>(г)Ди то получим систему

(х,г/)ео, (з;

Ау = д, (х,у)еП, (4;

и\зп= у\дп= 0 (5.

Уравнение (4) является частным случаем уравения равновесия закрепленной упругой пленки

(А(х, у)V«) = (х, у) е П, (6)

и\дЯ~ 0» (7)

где функция к(х,у), называемая коэффициентом натяжения, принадлежит классу К.

Приведем сначала оптимизационные постановки, ставшие классическими. Пусть множество управлений коэффициентами К для уравнения состояния (6), (7) состоит из измеримых в П функциях к(х,у), удовлетворяющих почти всюду в П неравенствам

К = {к(х, у.) : 0 < ко < к(х, у) < к\ < £>; (х,у) 6 П}. (8)

Хорошо известно, что для любой функции д(х,у) £ существу-

ет обобщенное решение задачи (6), (7) из соболевского пространства

\vlin).

Пусть г(х,у) - некоторая функция из соболевского пространства Задача Лионса управления коэффициентом к £ К, заключайся в решении вопроса о существовании функции ко £ К, миними->ующей функционал Лионса

ад = п«-г|||а(П), (9)

-де и - решение уравнения состояния (6), (7). Почти сразу после по-:тановки этой задачи М. Мюрат (1971) и Д. Корсакова (1977) по-сазали, что задача Лионса не имеет решения в классе К. С другой :тороны в 1981 году М. Губель решил задачу Лионса в классе К для функционала

= / ч{х,у)и<1х<1у = У q(x,y)Y7u\2dxdy, (10)

п а

юспользовавшись выпуклостью этого функционала (метод К. Губеля (е зависит от размерности пространства).

Одной из основных задач диссертации, (§1), является установле-гае связи между уравнением состояния Ь, классом управления К (или 7) и интегральным функционалом F, при которых оптимизационная адача имеет решение.

Первые продвижения в развитии теории управления коэффициен тами были связаны с расширением класса управлений и соответству ющим усложнением понятия сходимости минимизирующих функцио нал последовательностей в этом классе. Класс скалярных управленш был заменен классом А симметрических положительно определенны: матриц А, квадратичные формы которых удовлетворяют неравенст вам а|£|2 < (А£,£) < /?|£|2, £ в R2(Rn), где а < ß заданные по ложительные числа. Исследование сходимости минимизирующих по следовательностей привело С. Спаньело и Е. Де-Джорджа к понятие G-сходимости и (7-замыкания, 1968-1977. Итак, уравнение (6) бьш заменено на уравнение

div (AVu) = q, х — (xi,.. .,xn) £ П С Rn, (11

а множество управляющих матриц А до его G-замыкания. В 1975 го ду Люк Тартар показал, что оптимальными являются те матрицы и А, собственные числа которых Х\(х) < Л2(а;) < • ■ • < А„(г) удовлетво ряют соотношениям

a<\i<X2 = \3 = --- = K = b, -°f Л = Хх. (12

а + ß - А„

Дальнейшее развитие эти исследования получили в большом цикл работ У.Е. Рейтума (1979-1985).

В диссертации на основе другого подхода, (§2), дано явное описа ние оптимальной двумерной матрицы в задаче Лионса для выпукло го дифференцируемого функционала. В ней также исследован случа) скалярного расширения класса К, что более естественно для зада1 оптимизации формы, поскольку коэффициент h(x) или к(х) имеют яв ный механический смысл (толщина пластины или коэффициент уп ругости).

Суть этого подхода допущение lim h(x) = 0, где Го - часть грани

I—►Го

цы пластины (то есть к рассмотрению допускаются пластины с ост рыми краями). Сходимость минимизирующих последовательносте) основана, как и в работах Л.А. Муравья (1984) на получении априор ных оценок решений эллиптических краевых задач в весовых Соболев ских пространствах и доказательстве специальных теорем вложени: (§2).

Перейдем теперь к задачам оптимизации, связанным с изменени ем области, в которой рассматривается уравнение состояния. В это!

случае часть 7 границы дП, как правило, фиксирована и называется закрепленной, а другая часть Г, называемая свободной, может меняться в некотором классе С. Естественно, что задачи такого рода возникли задолго до Ж.-Л. Лионса. Поэтому мы приведем достаточно известный пример (пример оптимального теплоизолятора), на котором легко увидеть основные трудности, связанные с этой проблематикой.

Рассмотрим поперечное сечение трубопровода с тепловым потоком, температура которого постоянна и, например, равна единице, и(х, у) — 1 и поперечное сечение теплоизолятора П с площадью, равной Р; можно считать, что вне теплоизолятора температура равна нулю, и(х,у) = 0. Распределение температуры в области il удовлетворяет уравнению Лапласа

. Ди = uIX +v,yy = 0, у) € П, (13)

при этом выполнены следующие граничные условия

и{х,у)= 1, {х,у) Е 7, (14)

и(х,у) = 0, (®,у)€Г. (15)

Потеря тепла в рассматриваемом Q случае равна

Q = f^ds, (16)

где v - единичная нормаль к 7, внешняя относительно П. Заметим, что используя уравнение состояния (13)—(15), для Q получим представление в виде интегрального функционала (интеграла Дирихле)

F[Q] = Q = J |Vu|2da. (17)

n

Таким образом, мы имеем задачу минимизации интеграла Дирихле на решениях граничной эллиптической задачи (13)-(15) за счет изменения свободной границы Г (формы области) так, чтобы площадь Г оставалась постоянной

mes Çl = Р. (18)

В другой интерпретации и{х,у) обозначает потенциал электростатического поля плоского конденсатора fi, a F - энергию конденсатора,

которая вычисляется по формуле F = |(uy — up) = f, где с - емкость конденсатора. При такой интерпретации мы имеем задачу нахождения конденсатора минимальной емкости среди плоских конденсаторов с одинаковой площадью между их обкладками. Если форма обеих обкладок свободна, Т. Карлеман (1918) доказал, что оптимальным является круговое кольцо. Статья Т. Карлемана положила начало многим исследованиям задач со свободными границами для плоских областей с использованием аналитических функций. В частности, А. Берлинг (1958) установил, что если область П в примере об оптимальном изоляторе - оптимальна, то на свободной границе Г выполняется дополнительное граничное условие (необходимое условие оптимальности)

ди

— = A(const), (19)

где А находится из изопериметричёского условия (18). Далее Д. Теп-пер (1974) доказал однозначную разрешимость переопределенной изо-периметрической эллиптической задачи (13)—(15), (18), (19) в случае, когда закрепленная граница 7 является звездной (относительно начала координат) или выпуклой. Наконец, А. Акер, (1978), показал, что только в случае выпуклой закрепленной границы 7, функционал ^[П] достигает минимума.

Суть проблемы заключается в том, что если на закрепленной границе имеются участки с отрицательной кривизной, то в области Q могут возникать "дыры", т.е. двусвязная область не является оптимальной. Отметим, что А. Акер (1980) рассматривал только плоские задачи, используя комплексный анализ, и контрпримеры построил, анализируя работы И. Данилюка (1972), который пытался расширить класс допустимых свободных границ до ограниченных спрямляемых границ.

Таким образом, задача определения класса допустимых свободных границ, определения их вариации, тем более в многомерном случае для уравнений с переменными коэффициентами, оставалась открытой. Оба этих исследования были начаты Ж. Cea (1973), при этом класс С областей со свободным равномерно липшицевыми границами был введен и изучен Д. Шенне (1975), а техника дифференцирования вдоль векторных полей, позволяющая получать необходимые условия оптимальности для гладких границ в случае уравнений второго порядка разработана Ж. Золезио (1978). Отметим, что наиболее

полные результаты по технике дифференцирования вдоль векторных полей были получены А. Григоленисом (1985), а идеи вариации границы области вдоль векторных полей были использованы А. Каримовым (1982) для исследования локальных минимумов в задачах со свободными границами.

В 1984 году Л.А. Муравьем было доказано существование области в классе С, минимизирующей интегральный функционал

Р[П] = / (20)

п

определенный на решениях задачи

¿IV (Л(х)Уи) =q, 2 £ й € Л" (21)

и\у=р, и|г=0 (22)

при естественных (и в определенном смысле предельных) услових на функцию / и матрицу А. В этом же 1984 году Ю.А. Осиповым и А.П. Суэтовым, аналогичная задача была решена при более жестких условиях на функционал Р, но в более широком, чем С, классе областей Г2. Аналитическую основу работ Л.А. Муравья составляли априорные оценки решений эллиптических граничных задач в весовых соболевских пространствах, (1996, 2000). Ю.А. Осипов и А.П. Суэтов, (1990), развивали технику сходимости У. Моско (1969).

В работах Л.А. Муравья введен класс 5 областей, свободные границы которых удовлетворяют равномерному условию шара. Этот класс позволяет рассматривать в качестве функционалов интегральные граничные функционалы и в качестве уравнений состояния эллиптические уравнения высокого порядка.

В диссертации (§3) рассматривается задача минимизации потока тепла, через фиксированную часть 70 закрепленной границы 7, т.е. интегральный граничный функционал вида

д

То

где и - решение граничной задачи (13)—(15) при изопериметрическом условии (18). Для того чтобы свести граничный интеграл (23) к интегралу по области, в диссертации предожен прием введения вспомогательной функции; при этом вспомогательная функция не принад-

лежит соболевскому пространству И/21(^), поэтому техника исполь зования весовых пространств является в этом случае определяющее при доказательстве существования оптимальной области П.

Заключительная часть 1-ой главы диссертации посвящена иссле дованию задачи минимизации функционала

= I f(x,щAx)dx (24

п

в классах К и 5 в случае уравнения состояния (1), (2), т.е. зада ча оптимизации формы тонкой пластины (§5, §6). При естественны: предположениях на /(х, 4,т), точнее непрерывности по Ь и т и мо нотонного неубывания по 4 и выпуклости по т доказано существова ние оптимальной области, т.е. оптимального распределения толщинь к(х) € К пластины и оптимальности основания П С 5. Примеров функционала, минимизируемого в К является функционал Лионе; (9), а функционала, минимизируемого в Б - функционал

Р[П] = J q{x,y)v.{x,y)dxdy = D(Au)2dxdy, (25

п

характеризующий меру жесткости пластины.

Таким образом, в главе I приведены следующие теоретически» исследования. В §1 установлено существование оптимальной формь пластины с острым краем. В §2 установлен вид оптимальной матри цы в задаче Лионса. В §3 исследована задача минимизации функцио нала на решениях эллиптической системы диагонального вида. В установлено решение задачи минимизации граничного функционал; в задаче об оптимальном теплоизоляторе. В §5 и §6 решены задач! об оптимальной форме тонкой пластины.

Глава II. Численные методы построения оптимальных форм пластин

Недостатком приведенных исследований является то, что дока занные теоремы о существовании оптимального решения не дают ал горитма нахождения решения (за исключением случая пластины < острым краем).

Поэтому глава II была посвящена вопросам численного решени; исследованных задач. В качестве типовых были выбраны две зада чи. В §1 описан численный метод решения в прямоугольной облает!

задачи (1), (2), при q = 1. Рассматриваемая область покрывается прямоугольной сеткой и в каждой угловой точке исходная система уравнений с помощью шаблона "крест" заменяется конечно-резностными соотношениями. Полученная система линейных уравнений для сеточных функций решается одновременно с помощью итерационного метода верхней релаксации. Приводятся примеры расчетов (см. рис. 1), подтверждающие что выбранный алгоритм быстро сходится и имеет высокую эффективность.

В §2 реализован численный метод решения задачи Лионса в двумерной прямоугольной области П, т.е. нахождения функций D{x,y) при ограничениях Do < D(x,y) < D\, которая минимизирует функционал

F[D] = J J(u-z)2dxdy, п

где z(x,y) - известная функция (тогда график функции h(x,y) = у), (х,у) € П определяет форму оптимальной пластины). Для дополнительного контроля сходимости интеграла к минимуму проводились расчеты по методу локальных вариаций. Приводятся примеры расчетов пластин разного размера для различных функций z(x, у) (см. рис. 1-26).

При проведении расчета формы пластины, у которой ди(х,у)/ду 1 толщина пластины в окрестности линии у — 0 стала неограниченно возрастать (см. рис. 1).

H

Рис.1

1 о

Это подтвержает, что выбранная модель адекватно отражает хорошо известное физическое явление - "при шарнирном закреплении сохранение нулевого угла пластины возможно только при ее бесконечной толщине".

В §3 реализован численный метод решения следующей оптимизационной задачи со свободной границей. В качестве области П взят прямоугольник со сторонами длиной А и В, параллельными координатным осям, внутри которого находится прямоугольное отверстие со сторонами а и Ь. Начало координат помещено в левый нижний угол пластины. Внутренние границы отверстия не меняются (закрепленная граница), а внешние - свободные границы могут изменяться так, чтобы сохранилось изопараметрическое условие (18), т.е. АВ = Р.

Требуется найти форму внешней пластины и(х,у) под действием распределенной нагрузки с равномерной плотностью д = 1, обеспечивающую минимальное значение функционалу (10), характеризующему меру жесткости пластины и при постоянной ее толщине Л(х, у) = 1, имеющему вид

F[Q] =11 ийхйу =¡1 (Ди)2<£с(&/. п п

При этом нулевое условие на внешней (свободной) границе прямоугольника заменяется условием и|г = Н, которое можно трактовать как шарнирное крепление внешней границы на высоте Н относительно шарнирно закрепленной внутренней границы.

Численный метод близок реализованному в §1 и §2, однако при решении полученной системы линейных уравнений применяется итерационный метод нижней релаксации.

В приложении к диссертации приводятся примеры расчетов различных пластин (см. рис. 1-26). В частности был проведен расчет пластины сА-В = 30, ахЬ = 4х2;Я = 0иЛ,=А!) = 0,1, где кх и ку длины шагов сетки вдоль оси Ох и 0у. На рис. 2 приведен график зависимости интеграла функционала от длины А, а на рис. 3 приведен типичный вид функции Ы{х,у). Из рис. 2 видно, что минимум ^[П] достигается при А — 6.28.

кео

14.60 14-40 Х4Л0 14.00 1.3. гю

13. во

13.443

7Л0 А

Рис.2

&лгм\и1т1тийн^

Рис.3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе выполнен теоретический анализ задач оптимизации форм тонких пластин, установлены классы существования оптимальных форм в практически интересных случаях.

2. Предложен алгоритм, позволяющий эффективно находить конкретный вид оптимальной формы пластины (распределение толщины и размеры основания).

3. Проведены многочисленные численные расчеты оптимальных

форм, находящихся в соответствии с экспериментальными данными, позволяющие численно подтвердить теоретические исследования и выявить ряд физических эффектов, которые могут быть использованы в оптимальном проектировании.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Эйниев Э.Т. Метод параметрической оптимизации для задачи Дирихле, Известия вузов, секц. "Приборостроение", N 7-8, с. 4751, Санкт-Петербург, 1994 г.

2. Эйниев Э.Т. О математическом моделировании оптимальных форм пластин с тонкими краями. Тезисы международной молодежной научной конференции "XXI Гагаринские чтения", Часть 5, Москва, с. 103, 1995.

3. Эйниев Э. Некоторые задачи оптимизации конструкций. Труды международной конференции "Интеллектуальные системы", Ленинград, Т. 1, с. 221-226, 1996 (соавторы Л.А. Муравей и И. Ис-

4. Эйниев Э.Т. Об одной задаче оптимального теплоизолятора. Тезисы докладов молодежной научной конференции "XXII Гагаринские чтения", Москва, Часть 4, с. 18, 1996.

5. Эйниев Э.Т. Об одной задаче оптимизации формы области со свободной границей.Сборник научных трудов "В мире науки". Системный анализ, информатика и оптимизация. МАИ, Москва, с. 111-120, 1997.

6. Эйниев Э.Т. Об оптимальной форме тонкой пластины. Тезисы международной молодежной научной конференции "XXVI Гагаринские чтения", Том I, Москва, с. 315, 2000.

7. Эйниев Э.Т. Об одной обратной задаче для бигармонического уравнения. Сборник докладов международной конференции "Распределенные системы", Екатеринбург, с. 247-248, 2000.

маилов).