автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые вопросы нелинейного моделирования в пространстве функций ветвящегося аргумента

На правах рукописи

Л

РЯБЦЕВА НАТАЛЬЯ НИКОЛАЕВНА

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ НЕЛИНЕЙНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ВЕТВЯЩЕГОСЯ АРГУМЕНТА

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ОЗ16452Э

Вегтгород - 2008

00316442812536

Работа выполнена в Белгородском университете потребите )ьской кооперации

Научный руроподитель Официальные оппонсн' ы

Ведущая оргляи ация

доктор физико-магематиче< ки>с наук, профессор Покорный Юлий Витальевич

доктор физико математически« наук, профессор Покровский Андрей Николаевич С Петербургский государственный университет

кандидат физико-магем^тических наук доцент Шабров Сергей Александрович Воронежский госуцарстиенньгй университет

Южный Федеральный Университет

Защита coi токтся ОГ) марта 2008 г в L5 41) на заседании диссертационного совета Д 212 OÍ58 20 при Воронежском государственном университете по адрес/ 394006, г Воронеж Университетская площадь, I, ВГУ математический факультет

С! диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Возюнежекого государственного университета

Автореферат разосж н

008 г

Ученый секрет арь

диссертационного сог.ета Д 2Г! 038 20, л

кандидат физико-матемлтичегкю наук, LJ f /

доцент Ьг^.-----i Провоюров В В

Общая характеристика район,г

Актуальность темы За последние несколько лег резко возрос интерес к математическим мэделям, описываемых р. терминах функций ветвящегося аргумента, те аргумента, принимающего значения ич некоторого геометрического графа Появилось несколько монографий и оэзорэв (см , например, Р А11-МеЬте1л (1094 г) Покорный ЮВ и др (2004 г), Р КигЬтеЩ; (2004 г)) наряду с несколькими сотнями публикаций и разных журналах

В большом ко тачествс задач, как г рактичес кого, тг,к и научного содержания, давно уже используются геометрические графы для отасания математических моделей Объекты, организоьанные и функционирующие по схеме графа, достаточно типичны - это и упругие сетки, и решег,ки из стрежней, и электрические цени, и гидравлические системы и многое дтугое Представляя собою »счьма сложный обьект, подобные модели в серьезную математику вошли сравнительно недавно, в основном - в фо} ме ррлевых задач для дифферент!,иалыых уравнений второго порядка на геометрических графах Обстоятельные математические исследования таких задач начались усилиями Санкт-Петербургских математиков (ВС Павлоз, МД Фаддеев, НИ Герасименко) воронежских математиков (научная школа Ю В Покорного), за.падно-европейски> математиков Последнее десяти четие интерес к полоб-вьхм объектам реже возрос, концентрируясь я основном вокруг дифферен диальных уравнений для функции ветвящегося аргумента

Обстоятельный анализ естественных вопросов, смежных с подобными за дачами (о структуре функциональных пространств, естественных топологиях в них, о вариационных постанонклх ъ таки> пространства*, об условиях экстремума и др ), оставался пока пределами внимания В представляемой работе обсуждается цик а вопросоь, с вязанных с вариационными постановками в пространствах функций ветвящегося аргумента Та^ие постановки как раз и приводят к математическим моделям, имеющим форму -¡адали на экстремум для исследуемых в рзяоте функционалов

Основные трудности, евязаъньге с анализом функций ветвящегося аргумента в такою рода математических моделях, порождаются тональными особенностями в окрестности узлов соответствующего графа П >и рассмотрении

дифференциальных уравнений на геометрических графах, решения такие уравнений должны быть "сшиты" в узлах специальными условиями трансмиссии, дополняющими обыкновенные дифференциальные уравнения на ребрах (таких уравнений столько, сколько ребер - на каждом ребре свое уравнение) Если же говорить о модели, имеющей форму экстремальной задачи для функционалов вида

Ф(и) = ! Р(х,и(х),и'{х))4х, (1)

г

Фх(и)= I Р{х,и{х),и'{х))йх + С(а,и(а)), (2)

где Г - геометрический граф, состоящий из набора "сшитых" в вершинах отрезков-ребер, то в исходной постановке экстремальной задачи, Ф(и) —> тгп, ни о каких условиях "сшивания" рассматриваемых функций и(х) в узлах Г нет и речи - кроме предположения о непрерывности рассматриваемых функций и о наличии производных и'{х) внутри каждого ребра Классическая технология анализа подобных задач основана на выделении производной Фрепю или Гато (первая вариация), имеющей вид г

6Ф(и0)к = j (Ри{х, щ{х),и'0(х))к(х) + Ри{х, и0(х), и'0(х))Н'(х))с1'с, г

с последующим преобразованием слагаемого / Ри>к'йх = / Ри<д,К интегриро-

г г

ванием по частям Последняя процедура (интегрирование по частям) тривиальна для случая, если Г является отрезком (и в предположении дополнительной гладкости Ри>), а в случае графа - порождает ряд внеинтеграль-ных слагаемых, определяемых как бы вновь возникшими атомами меры во внутренних узлах графа Это легко объяснить, если обратить внимание на

то, что в канонической форме интегрирования по частям, даже для отрезка ь ь ъ

[а, Ь] / ийь = мг>|а — / у<1и, по существу интеграл справа должен пониматься

а а

по Стильтьесу, те ¿и - это дифференциал меры, что порождает проблему при наличии у итерируемых функций и(х) потери гладкости во внутрен них точках отрезка Присутствие таких неприятностей во внутренних узла> осложняет описание условий, подобных уравнению Эйлера, уравнению Якоби

и прочих необходимых и достаточных условий стандартных экстремальных задач, а также осложняет отыскание и доказательство достаточных условий знакоопределенности квадратичных функционалов Преодоление подобных трудностей в обсуждармой модели и составило основное содержание диссертации Попутно мы обсуждаем естественные вопросы об описании для ветвящегося аргумента функциональных пространств, аналогичных С1, строим естественные аналоги нормировок таких пространств, обсуждаем вопросы о полноте этих пространств, о непрерывности исходных функционалов в этих пространствах

Цель работы Основная цель, которая преследуется в работе состоит в разработке новых математических методов анализа состояния и процессов в сложных физических системах сетеподобной структуры Это осуществляется распространением основополагающих принципов естествознания на случай энергетических функционалов в пространствах функций ветвящегося аргумента Мы устанавливаем, в частности, аналоги необходимых условий экстремума, достаточных условий экстремума, условий дифференцируемое™ для функционалов вида (1) и (2)

Методика исследования В диссертации используются методы классического анализа вариационных задач, теории дифференциальных уравнений на геометрических графах, общей теории интеграла

Научная новизна Все результаты являются новыми В числе наиболее важных следует отметить для функционалов (1) и (2)

1 Получены необходимые условия экстремума аналог уравнения Эйлера и аналог условия Лежандра

2 Получены аналоги условия Якоби и соответствующие достаточные условия положительности второй вариации

3 Установлены достаточные условия экстремума, в том числе в форме усиленной теоремы Якоби о квалифицированной знакоопределенности квад-ргтичного функционала

4 Доказано условие включения в гладкое поле экстремалей для вариаци-01- ной задачи на графе

Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретиче-

ский характер Полупенные результаты могут быть использованы в теории дифференциальньх уравнений на сетоподобЕшх структурах

Апробация работы. Результаты, представленные в дисс ертации, докладывались и обсуждались на Воронежской весенней магемагстческой школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004), Воронежской зимней математической тколе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, ВГУ, 2005), Воронежской весенней математической тколе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVI" (Воронек, ВГУ, 2005), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVII" (Воронеж ВГУ, 2000), Воронежской зимней математической шкоте "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Еоронеж, ВГУ, 2007), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых заут;ач" "Понтрягинские чтения - XVIII" I Bopot-еж, ВГУ, ?007), на заседаниях семинара по качественной теории краеьых задач под руководством профессора Покорного Ю В

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из которых: работы ¡5j [7], [8], [10] выполнены без сооавтороь Из совместных работ [J]-[4], [3], [9] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту Работы []], [6] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ

Структура и объем диссертации Работа состой г из введения, трех глав, дополнения и спи'ка цитируемой литературы из 54 наименований Общий объем диссертации — 110 страниц

К раткое содер» ан не работы

Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения дается обзор результатов по главам

Первая глав я посвяцена описанию предварительные понятий, описываются объекты исследования

В пункте 1 ] определяется понятие геометричекого графа (из Rn), которое всюду далее обозначаем через Г Предполагается, чго множество ребер Г конечно, и они <ак-то занумерованы ")j,72 Объединение всех ребер Г

обозначается через Д(Г) Множество всех внутренних вершин Г обозначается через </(Г), а множество всех граничных вертиин Г - через с?Г Замыкание 7, обозначается через [7,] Замыкание Г обозначается через [Г] Таким образом,

г = д(г) и ^(П и [г] = г и 0Г

Далее определяется операция взятия производной и'(х) для ветцествен-нсзначной функции и в точках х из Д(Г) Описываются функциональные пространства, с использованием которых ставится и в дальнейшем изучается вариационная задача С[Д(Г)] - множество функций и Д(Г) —> К таких, что для любого ребра 7 сужение щ равномерно непрерывно на у, С[Г] - множество вещественнозначных функций, равномерно непрерывных на Г, С1 [Г] -множество функций и таких, что и € С[Г] и и' 6 С[Л(Г)], С7 [Г] - множество таких функций и из С1 [Г] таких, что и" € С[Д(Г)] Если и е С[Л(Г)], то

/т .

I и(х)с1х, (3)

г г=1 7.

ГДЭ

||Ь.-«Л

J u(x)dxd= J и(аг + 5 ||6г - аг||-1(&, — аг))^,

7. О

где аг ~ начало ребра 7,, а Ьг - конец в смысле ориентации 7,

Вводятся в рассмотрение функционалы функционалы (1) и (2) в которых F Я(Г) х Я х Д -» й, (? ./(Г) х Д-+Д Эти функционалы будем называть соответственно регулярным и нерегулярным функционалами на С1 [Г] Норма в <7ЧГ]

т

1Нсчг) =

г—1

Доказывается следующая теорема

Теорема 1.1.1 Пространство С1 [Г] - банахово

Далее через и, и') обозначается сужение функции Р(х, и, и') на 7г х

йхЯ

Теорема 1.1 2 Пусть для любого ребра 7, функция непре-

рывна на 7, х й х й и непрерывно доопределяема на [7,] х й х Д Тогда функционал Ф, определяемый равенством (1), непрерывен па С1 [Г]

Договоримся называть, для краткости, функцию F(a,u,u') к раз непрерывно дифференцируемой, если для каждого ребра 7, все частные производные fc-ro порядка от функции непрерывны по совокупности переменных на 7 >; R х R и непрерывно доопределяемы на (-/¡] х В х R

В пункте 1 2 доказываются следующие теоремы

Теорема 1 2 1 Для того, чтобы функиионал (1) имел производную Фрейме на данной функции щ(х), достаточно, чтобы функция Fix, и, и') была дважды непрерывно дифференцируема Пру этом

Ф'(щ)к= f\Fu(a , щ{х),и'а[х))к{я) Ч- Fui(x,UQ(%),u'0(x))h'(x)]dx (4) г

Теорема 1 2.2 Для того, чтобы функционал (2) имел производную Фре-ше на данной функции щ(х), достаточно, чтобы функция F(x,u,u') была дважды непрерычьо дифференцируема, а также, чтобы G(a,u) была дифференцируема по второму аргу,ыенту При этом

Ф'х(u0)h = J [Fu{z,uo{x),ua{%))h{x) + Fa'{x,uo(x),b!0(x))h\x)]dx+ г

+ Gu(a,u<,(a))h(a) (5)

aeJ(r)

В пунктах j 3 L вводятся в рассмотрение первая и вторая вариация функционалов (2), (2) и выводятся формулы длч этих вариаций В частности, показывается, что если F дважды непрерывно дифференцируема, то

<5!Ф(и0)/1 = J [Fuu(x,u0(v),u'0(x))h2(x)+ г

+2Fm>(x,v^{x), v'0{x))h(x)h'(x) + FuV(x,u0{x) u'0(x))ha{x)]dx,

а если предпопожить е це, что С(а,и) дваждь дифференцируема по и при каждой а € J(F), то

г

iU

г

,'•¿оС-т], u'0(x))h'2{x)\dx Ч- Саи(а,м0(о)).'г2(в)

■и у(г)

Во второй главе; изучаются необходимые условия экстремума для функционалов (1) и (2) на множество функций и из С1 [Г с фиксированным набором значений {и(а)}аезг, которое обозначим через Ш есть линеиное многообразие в С1 [Г]

В пункте 2 1 выводится аналог уравнения Эйлера для функционалов (1) и (2) Доказываются следующие две теоремы

Теорема 2 1.1 Пусть Р дважды непрерывно дифференцируема Пусть щ(х) из Ш является точкой локального минимума функционала (1), причем щ € С2[Г] Тогда на каждом ребре уг дая нее справедливо тождество

Ри{х,щ{х), и}, (ж)) - ■~Ру?{х,иа{х),ь'0[х)) = 0, (6)

а в каждой внутренней вершине а 6 ./(Г) справедливо условие

Е «о(«). Ы'») = 0 (7)

7,еГ(а)

Здесь Г(а) - набор примыкающие к а ребер Число еег{а) равно 1, если ребро 78 ориентировано "от я", и равно —1, если -у, орие-ггировано "к а" Через (110)5(0) обозначен предел (мо)'(а;) ПРИ стремящимся к а по ребру уг Если следовать концепции, разработанной в научюй школе Ю В Покорного1, то систему ((!), (7) следует рассматривать как единое уравнение на Г для функции ко Шитому резонно ввести следующие термины

Систему (6), (7} будем называть уравнением Эйлера для функционала (1) Решение уравнения Эйлера для функционала (1) будем называть экстремалью '¡того функционала, а решение этого уравнения, принадлежащее будем называть допустимой экстремалью функционала (I) Теорема 2 1.2 Пусть Р дважды непрерывно дифферсп цируема и пусть С(а,и) дифференцируема по и при каждой фиксированней а £ J(T) Пусть щ(х) из 9Я является точкой локального минимума. (2), причем щ € С2[Г] Тогда на каждом ребре 7, для нее справедливо тождество (6), а в каждой внутренней вершиье а € 7(Г! справедливо условие

- £ег(а)^7,)(а,«о(й),КХ(а)) + С?и(о,«о(з)) =0 (8)

7,бг(а)

1 Дифференциальные 'фавнтуя на геом< гри «?ски"< графах / Ю В Покорный и [и хр ] - М шатлит, 2004 - 972 с

Систему (б), (8) будем называть уравнением, Эйлера для функционала (2) Решение уравнения Эйлера для функционала (2) будем называть экс-тре.малыо этого функционала, а решение этого уравнения принадлежащее Ш, будем называть допустимой экстремалью функционала (2)

Требование о существовании второй производной у функции щ в теоремах 2 1 1 и 2 1 2 можно ослабить, о чем и говорит следующая теорема

Теорема 2.1 3 Если в условиях теорем, 211 и 2 1 2 условие щ 6 С2[Т] заменить на условие щ £ С1 [Г], то утверждения этих теорем останутся верным,и

В пункте 2 2 устанавливается необходимо« условие, типа классического условия Лежандра Доказаны

Теорема 2 2 1 Пусть F трижды непрерывно дифференцируема Пусть вторая вариация функционала (1) в movке «о неотрицательна для всех h 6 ®?0 = {h 6 СХ[Г]| А|вг = 0} Тогда FuV(x,u0(x)yv,'0{x)) > 0 на R(T\ Теорема 2 2.2 Пусть F трижды непрерывно дифференцируем,a, a G(a,v) - дважды дифференцируема по и при паждой фиксированной а € J(F| Пусть вторая вариация функционала (2) в точке щ неотрицательна для всех h £ 9Я0 Тогда Fu>u>(x,u0(x),u'0(x)) > 0 на Д(Г)

В третьей главе устанавливаются достаточные условия экстремума вариационной задачи для функционалов (1) и (2), с опорой на анализ второй вариации этих функционалов

В пункте 3 1 вторые вариации функционалов (1) и (2) рассматриаются в виде

S4(u0)h = J(M(x)h'2(x)+2Q{x)h(x)h'(x)+N(x)h2(x))dx, (9) г

¿2$i(w0)/? = J [M(x)h'2(x) + 2Q(x)h(x)h'(x) + N{x)h2{x)]dx+ г

+ J2 Я(а)Л2(а), (10)

aej( г)

где М(х) = Fu<u'(x,u0(x),vb(x)), Q(x) = Fuu,{a>, щ(х), u'0{x)), N{x) = Fuu(x,

щ(х), Uq(s )), Ria) = Guu(o,,uo(a)) Устанавливается условие знакоопределенности (9) и (10) в виде аналогов классической теоремы Яксби Введем в рассмотрение уравнеьие

{M(j)z'{z))' ~ 7Q[x)z\x) ■+ (Щ - ВД) Ф) - 0, Ш)

предполагая в »алуюй из внутренних вершин а е J(F) непрерывность решения z(x) Г —> R, а также следующие условия

вв,|о)1И,(о)ц'(а)-= 0 (12)

7,бГ(а)

Скажем, что функционал (9) удовлетворяет условию Ли оби, если уравнение (11) имеет при условиях (L2) хотя бы одно peweuue бея нулей на [Г]

Теорема 3 11 Пусть дГ ф 0 Пусть М, Q, N принадлежат C'[iV(r)], причем mf Ai(x) > 0 Тогда, euiu функционал (9) удовлетворяет условию Якоби, то значение функционала (9) строго положительно на тобой h из ®l0 (h ф 0)

Скажем, что функционал (10) удовлетворяет, уиювию Якоби, если уравнение (11) имеет,, при условьятс гпро немиссии

- ]Г a5,(a)Mt(aK(a)+i?(a)z(a) = 0, «е /(Г), (13)

г.ег(с)

хотя бы одно pevier/ac без ну гей на [Г]

Теорема 3.1 2 Пусть дТ j- 0 Пусть M,Q и N удовлетворяют условию теоремы 3 11 Тогда если функционал (10) удовлетворяет, уиювию Якоби, то значение функционала (10) строго положительно па любой h ш ЗЛ0

(h ^ о;

При рассмотрении вопроса о поле экстремалей нам понадобится вариант уравнения Якоби, о^ппчный от (U)

(М(х) г'(х))' - (N(z) - Q'(x))z(x) = 0 г 6 Й(Г) (14)

при услоьиях трансмисс ии

£ ээ,(а) F2>(a, Щ(а), (а0)[(а)Уг\а)+

+ [ E = 0, в € 7(Г) (15)

Скажем, что функционал (9) удовлетворяет условию Якоби второго типа, если уравнение (14) при условиях трансмиссии (15) имеет решение без нулей на [Г]

Теорема 3 1.3 Пусть дТ ф 0 Пусть М, Q и N удовлетворяют условиям теоремы 311 Тогда если функционал (9) удовлетворяет условию Якоби второго т.ипа, то значение функционала (9) строго положительно для любой h(x) из Ш0 (h ф 0 )

В пункте 3 2 устанавливается детерминантное представление решения однородного уравнения с неоднородными краевыми условиями На основании этого представления доказана следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес

Лемма 3 2.1 Пусть za(x) является непрерывным на Г решением краевой задачи

((M(x)-a)z'(x))'-2Q(x)z'(x)+(^^^ - Щх)^ z(x) = О, * € Д(Г), (16) - Е ^{a){Mt{a)-a)z[{a) + R{a)z{a) = 0, а е J(T), (17)

-к er (а)

z(b) = ßb, be дТ, (18)

где а - некоторая константа, ßb - фиксированные числа Пусть при а = 0 задача (1С) - (18) невырождена Тогда za(х) zo(x) на Г при а —> 0

В пункте 3 3, благодаря результатам, полученным в теоремах 3 1 1 и 3 1 2, а также в лемме 3 2 1, доказаны следующие две теоремы, аналогичные усиленной теореме Якоби из классического вариационного исчисления

Теорема 3 3 1 Пусть дГ ф 0 Пусть М, Q и N - те оке, чт,о и в теореме 311 Тогда если функционал (9) удовлетворяет условию Якоби, то существует константа а > 0 такая, что для всех h € Ш0

62Ф(и0 )h >aj h'2{x) dx г

Теорема 3.3.2 Пусть <9Г ф 0 Пусть М, Q и N - те же, что и в теореме 311 Тогда если функционал (10) удовлетворяет условию Якоби,

то существует, константа а > 0 такая, что для всех h £ ЯЯ0

¿2<&i(M0)fr >а J ti2{x)dx г

В пункте 3 4 доказываются несколько вспомогательных неравенств, в частности, аналог леммы Пуанкаре для функций, заданных на геометрическом графе

Пункт 3 5 начинается со следующих определений

Если Uq - допустимая жстремаль функционала (1) (или функционала

{1)), причем inf Fu'U'(x,uq(x), «¿(я;)) > 0, то будем говорить, что на щ хеД(Г)

выполнено усиленное условие Лежандра

Если uo - допустимая экстремаль функционала (1) (или функционала {2)), причем вторая вариация этого функционала удовлетворяет условию Якоби, то будем говорить, что на щ выполнена условие Якоби

Доказываются следующие теоремы о достаточном условии экстремума Теорема 3.5.1 Пусть дТ ф 0 Пусть функция F(x и, и') дважды непрерывно дифференцируема, и пусть функция щ € ЯЛ удовлетворяет следующим условиям

(а) щ является допустимой экстремалью функционала (1),

(б) па щ выполняется усиленное условие Лежандра,

(в) на ио выполняется условие Якоби

Тогда щ является локальным минимумом функционала (1)

Теорема 3.5.2 Пусть <9Г ф 0 Пусть функция F(x,u,u') дважды, непрерывно диффер&щируема, а функция G(a,u) дважды, непрерывно дифферен-и.ируема по и при каж,дой а & J (Г) Пусть функция щ G ЯЯ удовлетворяет следующим условиям

(а) uq является допустимой экстремалью функционала. (2),

(б) на ио выполняется усиленное условие Лежандра,

(в) на и о выполняется условие Якоби

Тогда ио является локальным м.инимумом функционала (2)

Пункт 3 С посвящен доказательству существования поля экстремалей Функцию и(х А), определенную на Г х [Ai, Аг], мы называем полем экс-

тромалей, если при каждом V £ [Ах, Лз] соответствующая функция и(х,\') является экстремалью но х При этом при разных. А' А" соответствующие этрм значениям замывания графиков функций и{ , А'), и{ , А") не пересекаются Назовем поле А) гладким (по А), если функция и{з, А) непрерывно дифференцируема по А Скажем, что поле и,(х, А) включает экстремаль щ(х), если адо(т) = и(х,Х') при некотором А' 6 (А|.,Аз) Введем в рассмотрение краевую задачу вида

и{х), и'(х)) - и(х), и'(х)) - 0, г £ /'(Г), (19)

1ег(а)1^7'](а, и(а), и[(а)) =• 0, а £ J[Г), (20)

У.«Г(в)

и(Ь) = Аъ + еВь ЬедГ, (21)

где Аь и Вь - некоторые заданные (для каждой 6 ь <ЭГ) числа Обозначим решение этой зада-ш через ь(ъ,е)

Теорема 3 6 1 Пусть дТ / 0 Пусть Р трижды непрерывно дифференцируема Пу^ть для любъп наборов чисел {Лг,]&еаг и {5(,}ьеэг У задачи (19)-(23) есть решение ъ<(х,е), причем.\ единственное Пусть при этом

существует г а > 0 такое, что для каждого ребра 7, сужение на уг каж-

с'3 д3 д3

дой из производных: 2г>(х'е^> непРеРывно на

1г >' [—со] м негрерги>но доопределяемо на [7,] х [—ео.ео] Пусть щ{х) -допустимая жстремапь функционала (9), и на ней выполнено усиленное условие Летк апдт и условие Якоби второго типа Тогда «о(&) допускает включение в гладкое поле экстре тлей

Из теоремы 3 6 1 вытекает утверждение, показывающее проверяемость условий этой теоремы для физически важного случая

Следствие 361 Пусть 5Г / 0 Пусть р'", /"' £ С[Д(Г)] Пусть, кроме того, т} р{х) > 0 и д(ж) > 0 на /¡'(Г) Тогда, если щ - допустимая

я Сй(]')

экстремаль фуньционаяа г

т,о щ допускает включение в гладкое поле жстремалей ¿тогп функционала

В заключение мы обсудили вопрос о численном эк< перименте, связанном с подобными математическими моделями Нас интересовало, как можно прямым методом получать результаты, аналогичные тем, которые можно получать методами, связанными с вариационным исчислением, с первой вариацией, со второй вариацией При этом исходный функционал был исследован приближенными сеточными методами Предложен алгоритм решения (методом конечных разностей) задачи, о деформации закрепленной упругой системы из трех связанных струн, при отсутствии упругой среды Дается анализ погрешности приближенного решения и полученных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Рябцева Н Н Некоторые вариационные неравенства на пространственных сетях / Ю В Покорный, И Ю Покорная, В JI Прядиев, Н Н Рябцева // Вестник ВГУ Серия физика, математика, 2004, № 2 С 179-183

[2] Рябцева Н Н О методе дифференциалов Стильтьеса в задачах на геометрических графах / Ю В Покорный, А С Ищенко, Н Н Рябцева // Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVIII" Воронеж Воронежский государственный университет, 2007 - С 128-130

[3] Рябцева Н Н О разнос i ном методе моделироваия вариационной задачи H.i пространственной сети / К П Лазарев, И Ю Покорная, Н Н Рябцева // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования материалы II Междунар науч конф Воронеж ГОУ ВПО "Воронежская государственная технологическая академия", 2007 - С 111-112

[4] Рябцева Н Н О слабосильном уравнении Эйлера на геометрическом графе / Ю В Покорный, Н Н Рябцева // Воронежская зимняя математиче-ст ая школа С Г Крейна - 2006 Тезисы докладов Воронеж ВорГУ, 2006 - С 80-84

[5] Рябцева Н Н О неосцилляции общей вариационной задачи на сети / Н Н Рябцева // Современные методы теории краевых задач Материалы Ворс .нсжской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVII" Воронеж, ВГУ, 2006 - С 156-157

[6] Рябцева Н Н Об интегрировании в вариационных неравенствах на про-

странственных сетях / Ю В Покорный, И Ю Покорна?, В Л Прядиев Н Н Рябдева // Математические заметки Т 81, выпуск 6, 2007 С 904-911

[7] Рябцева Н Н Об поперечниках функциональных сфер на графе / Н Н Рябцева // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы конферен!,и 1 - Воронеж Воронежский государственный университет, 2007 - С 201-20?!

[8] Рябцева Н -I Об условиях сильного экстремума в вариационной задаче на пространственной сети / Н Н Рябцева // Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинекие томи? -XVI" Воронеж, Е!ГУ 2005 - С 138

[9] Рябцева Н Н Об условиях Якоби для вариационной задачи на графе / Ю В Покорный, Н Н Р'ябцева // Современная математика и ее приложения Т 35 (2005) С 81-87

[10] Рябцева Н -I Об условиях Якоби на пространственн лх сетях /Н Н Рябцева // Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинекие чтения - XV" Воронеж, ВГУ, 2004 - С 191-192

Работы [1], [6] отубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ

Подписано в печать 28 01 ''OOS Фор «аз 6(1811/16 Бумага офестная Гарнитур i Гппек New Roman Ризш рафия Уел пет I 1,0 Тираж 100 эгз Заказ 7/4

Издательство Велго1Ю,а(л<ого 'ниверситота пстребител-.ской кооперации "Кооперативно* образование" 308021, г В&ягород, ул Садовая Ша

Введение

1 Постановка вариационной задачи для функций, определенных на геометрическом графе

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Производная Фреше. Общие условия минимума.

1.3 Первая вариация.

1.4 Вторая вариация.

2 Необходимые условия экстремума

2.1 Вариационная схема Лагранжа и необходимые условия экстремума первого порядка.

2.2 Условие Лежандра.:.

3 Достаточные условия экстремума

3.1 Аналог теоремы Якоби

3.2 О детерминантном представлении решения однородного уравнения с неоднородными краевыми условиями.

3.3 Аналог усиленной теоремы Якоби.

3.4 Аналог леммы Пуанкаре.

3.5 Достаточные условия экстремума

3.6 Поле экстремалей

Дополнение

Настоящая работа посвящена разработке, исследованию и обоснованию математических моделей физических явлений в сетеподобных структурах. В качестве основных математических моделей, изучаемых в работе, рассматривается задача минимизации функционалов где Г - геометрический граф, представляющий собой связное объединение конечной совокупности прямолинейных отрезков из Rn, J(r) -множество всех внутренних вершин Г, и(х) - функции ветвящегося аргумента (т.е. определенные на Г), и(а) - общий предел функции и(х) при приближении х к а вдоль каждого ребра, примыкающего к а.

Основная цель, которая преследуется в работе, состоит в разработке новых математических методов анализа состояния и процессов в сложных физических системах сетеподобной структуры. Это осуществляется распространением основополагающих принципов естествознания на случай энергетических функционалов в пространствах функций ветвящегося аргумента. Мы устанавливаем, в частности, аналоги необходимых условий экстремума, достаточных условий экстремума, условий диффе-ренцируемости для функционалов указанного типа.

За последние несколько лет резко возрос интерес к математическим ф(и) = J F(x,u(x),u'(x))dx, г aeJ(r) г моделям, описываемых в терминах функций ветвящегося аргумента, т.е. аргумента, принимающего значения из некоторого геометрического графа. Появилось несколько монографий и обзоров (см., например, [4], [37], [14], [46]) наряду с несколькими сотнями публикаций в разных журналах.

В большом количестве задач, как практического, так и научного содержания, давно уже используются геометрические графы для описания математических постановок, т.е. математических моделей. Объекты, организованные и функционирующие по схеме графа, достаточно типичны - это и упругие сетки (см., например, [4], [50]), и решетки из стрежней (см., например, [4], [50], [9], [38]), и электрические цепи (см., например, [52], [35]), и гидравлические системы (см., например, [3]) и многое другое. Представляя весьма сложный объект, подобные задачи в серьезную математику вошли сравнительно недавно, в основном - в форме краевой задачи для дифференциальных уравнений на геометрических графах. Обстоятельные математические исследования таких задач начались усилиями Санкт-Петербургских математиков (Б.С. Павлов, М.Д. Фаддеев, Н.И. Герасименко (см., например, [10], [2])), воронежских математиков (научная школа Ю.В. Покорного (см., например, [11], [15], [16], [18]-[20], [24]-[26], [22], [30], [5], [28])), западно-европейских математиков (см., например, [38]-[45], [47]-[49], [53], [54]). Последнее десятилетие интерес к подобным объектам резко возрос, концентрируясь в основном вокруг дифференциальных уравнений для функции ветвящегося аргумента.

Обстоятельный анализ естественных вопросов, смежных с подобными задачами (о структуре функциональных пространств, естественных топологиях в них, о вариационных постановках в таких пространствах, об условиях экстремума и др.), оставался пока за пределами внимания.

В настоящей работе обсуждается'цикл вопросов, связанных с вариационными постановками в пространствах функций ветвящегося аргумента. Такие постановки как раз и приводят к математическим моделям, имеющим форму задачи на экстремум для функционалов Ф(и), Ф].^)

Основные трудности, связанные с анализом функций ветвящегося аргумента в такого рода математических моделях, порождаются локальными особенностями в окрестности узлов соответствующего графа. При рассмотрении дифференциальных уравнений на геометрических графах, решения таких уравнений должны быть "сшиты" в узлах специальными условиями трансмиссии, дополняющими обыкновенные дифференциальные уравнения на ребрах. Если же говорить об экстремальной задаче для функционалов вида: где Г - геометрический граф, состоящий из набора "сшитых" в вершинах отрезков-ребер, то при толковании такого интеграла, как суммы интегралов по ребрам, ни о каких условиях "сшивания" рассматриваемых функций и(х) в узлах Г нет и речи - кроме предположения о непрерывности рассматриваемых функций и о наличии производных и'{х) внутри каждого ребра. Классическая технология анализа подобных задач основана на выделении производной Фреше или Гато (первая вариация), имеющей вид:

6Ф(щ)Н= / (Fu{x,u0(x),u'0(x))h(x) + Fu>(x,uo(x),vb(x))ti(x))dx,

ФiM = / F(x,u(x),u'(x))dx + G(a,u(a)),

P aeJ( Г) г с последующим преобразованием слагаемого f FU'h'dx — J Fu>dh интег г грироваиием по частям. Последняя процедура (интегрирование по частям) тривиальна для случая, если Г является отрезком (и в предположении дополнительной гладкости Fui), а в случае графа - порождает ряд внеинтегральных слагаемых, определяемых как бы вновь возникшими атомами меры во внутренних узлах графа. Это легко объяснить, если обратить внимание па то, что в канонической форме интегрирования по частям, даже для отрезка [а; Ь}\ по существу интеграл справа должен пониматься по Стильтьссу, т.е. du - это дифференциал меры. Присутствие таких неприятностей во внутренних узлах осложняет описание условий, подобных уравнению Эйлера, уравнению Якоби и прочих необходимых и достаточных условий стандартных экстремальных задач, а также осложняет отыскание и доказательство достаточных условий знакоопределенности квадратичных функционалов. Преодоление подобных трудностей и составило основное содержание диссертации. Попутно мы обсуждаем естественные вопросы об описании для ветвящегося аргумента функциональных пространств, аналогичных С1, строим естественные аналоги нормировок таких пространств, обсуждаем вопросы о полноте этих пространств, о непрерывности исходных функционалов в этих пространствах. Один из главных вопросов по ходу дела - вопрос о существовании точки минимума исследуемых функционалов.

Подобные вопросы для фукции ветвящегося аргумента ранее другими авторами не обсуждались. ъ ь а а

Перейдем к краткому описанию основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена описанию предварительных понятий, которые необходимы для четкой математической постановки изучаемой задачи. Приведено подробное описание объектов исследования.

В пункте 1.1 определяется понятие геометрического графа из Rn, который всюду далее обозначаем через Г. Предполагается, что множество ребер Г конечно, и они как-то занумерованы: 71,72, •••,7т- Объединение всех ребер Г обозначается через R(Г). Множество всех внутренних вершин Г обозначается через J(Г), а множество всех граничных вершин Г обозначается через <9Г. Если 7i - ребро Г (и значит, 7; есть интервал, не содержащий своих концов), то его замыкание обозначается через [7^. Замыкание Г обозначается через [Г]. Таким образом, Г = R(T) [J J(Г) и г] = ги<эг.

Далее определяется операция взятия производной и'{х) для веще-ственнозначной функции и в точках х из R(T). Описываются функциональные пространства, с использованием которых ставится и в дальнейшем изучается вариационная задача. Если 7 - ребро Г, а и - функция, определенная на Г или R(Г), то через щ будем обозначать сужение функции и на 7. Через С(7?(Г)] мы будем обозначать множество функций и : R(T) —> R таких, что для любого ребра 7 сужение и7 равномерно непрерывно на 7. Через С[Г] обозначаем множество функций, равномерно непрерывных на Г (такие функции будем также называть непрерывными на [Г]). Через С1 [Г] обозначаем множество функций и таких, что:

1) и е С[Г];

2) и' е С[Д(Г)].

Через С2 [Г] мы обозначаем множество таких функций и из С1 [Г] таких, что и" <Е С[Д(Г)].

Если 7 - ребро, то множество функций у : 7 —> R таких, что производная у' равномерно непрерывна на 7, будем обозначать через С1 [7].

Для любой определенной на R(Г) функции и(х) под ее интегралом на Г мы понимаем сумму интегралов по всем соответствующим ребрам:

771 р. u(x)dx = Yl / u(x)dx- (0-0-1) г Ъ

При этом интеграл f u(x)dx будем понимать в соответствии с ориентаъ цией 7i, т.е. если щ - начало ребра 7г, а bi - конец 7$, в смысле ориентации 7г> то

ЦЬг-aiH

Iu{x)dx~ I ^ +

Ъ и bi где?7г = Wbi—aiW^ipi—ai). Иногда вместо f u(x)dx будем писать f u{x)dx.

7t ai

И вообще, если Х\, х<2 - две точки из замыкания [7^, то будем полагать

Х-2 Oi||

J u(x)dxaJ uifli + sr]i)ds.

Вводятся функционалы = /*(,,«-WW)*. (0.0.2) Г фi(w) = F(x,u{x),u'(x))dx + Y^ G{a,u(a)), (0.0.3)

P aeJ(r) которые будем называть соответственно регулярным и нерегулярным функционалами на Г .

Далее С1 [Г] рассматриваем как нормированное пространство. Норма: т

41 с1 [г] = ко)|})г=1

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1.1.1 Пространство С1 [Г] - банахово.

Далее через F^l\x:u,u') обозначается сужение функции F(x:u,u') на тi х R х R.

Теорема 1.1.2 Пусть для любого ребра 7i функция и, и') непрерывна на jiX Rx R и непрерывно доопределяема на [7$] х Rx R. Тогда функционал Ф, определяемый равенством (0.0.2), непрерывен на С1 [Г].

В пункте 1.2 мы договариваемся, для краткости, называть функцию F(x, и, и') дважды непрерывно дифференцируемой, если для каждого ребра 7i все частные производные второго порядка от функции F^ (х,и,и'), q ттл/гтт„г, я^г) ТрЫ ТрЫ) тр(ъ) ТрЫ ТрЫ ГрЫ) рЫ) трЫ) „onnnnrInnu а именно, rXx ,-fxu ,гхи> ^их ,-гии , гии> i^u>u j-^uv непрерывны по совокупности переменных на 7iX Rx R и непрерывно (по совокупности переменных) доопределяемы на х Rx R.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1.2.1 Для того, чтобы функционал (0.0.2) имел производную Фреше на данной функции щ(х), достаточно, чтобы функция F(x, и, и') была дважды непрерывно дифференцируема. При этом Ф'(щ) определяется равенством ф'(u0)h = J[Fu{x,u0(x),u'0{x))h{x)+Fu,(x,u0(x),u'0(x))ti(x)}dx. (0.0.4) г

Множество функций и из С1 [Г] с фиксированным набором значений {п(а)}аеаг обозначим через Ш. Очевидно, Ш есть линейное многообразие в С1 [Г]. Стандартным образом из теоремы 1.2.1 выводится следующее следствие.

Следствие 1.2.1 Если щ(х) дает локальный минимум задачи

Ф(и) mm, то uern

J [Fu(x,uo(x),u0(x))h(x) + Fu>(x:uQ(x),u'0(x))ti(x)]dx 0 г

Vh e Wl0,

0.0.5) где ШТ0 состоит из функций h G С*1 [Г], которые удовлетворяют уело вию h = 0.

0.0.6)

Аналогично теореме 1.2.1 показывается, что производная Фреше от функционала (0.0.3) определяется равенством

Ф[(uQ)h= / [Fu(x,u0(x),u'Q(x))h(x) + Fu,(x,u0(x),u'0(x))ti(x)]dx+

Точнее говоря доказывается следующая

Теорема 1.2.2 Для того, чтобы функционал (0.0.3) имел производную Фреше на данной функции щ(х), достаточно, чтобы функция F(x,u,u') была дважды непрерывно дифференцируема, а также, чтобы G(a, и) была дифференцируема по второму аргументу. При этом имеет место формула (0.0.7).

В пунктах 1.3, 1.4 вводятся в рассмотрение первая и вторая вариация функционалов (0.0.2), (0.0.3) и выводятся формулы для этих вариаций. В частности, показывается, что если F дважды непрерывно дифференцируема, то г

0.0.7) aeJ(r) г

2Fuu>(x,uo(x),u'0(x))h(x)h'(x) + Fu,u.{x, щ{х), u'0(x))ti2(x)]dx, а если предположить еще, что G(a, и) дважды дифференцируема по и при каждой a 6 </(Г), то

62(&i(uo)h = J [Fuu(x,uQ(x),u'0(x))h2(x)+ г

2Fuu,(x,Uo{x),u'0(x))h(x)ti(x) + FU'Ur(x,u0(x),u,0(x))ti2(x)]dx+ Guu(a:u0(a))h2(a). a£j( r)

Во второй главе изучаются необходимые условия экстремума функционалов (0.0.2) и (0.0.3).

В пункте 2.1. выводится аналог уравнения Эйлера для функционалов (0.0.2) и (0.0.3). Доказываются следующие две теоремы.

Теорема 2.1.1 Пусть F дважды непрерывно дифференцируема. Пусть Uq{x) изШ - является точкой локального минимума функционала (0.0.2), причем щ £ С2[Г]. Тогда на каждом ребре 7i для нее справедливо тождество

Fu(x, ио(х),и'0(х)) - щ(х),и'0(х)) = 0, (0.0.8) а в каждой внутренней вершине а € J(Г) справедливо условие

Э2г(а)47°(а, щ(а), Ы») = 0. (0.0.9)

Здесь и далее Г(а) обозначает набор примыкающих к а ребер. Число авг(а) равно 1, если ребро 7$ ориентировано "от а", и равно — 1, если 7i ориентировано "к а". Через (щ)[(а) обозначен предел (wo)'(a:) ПРИ х•> стремящемся к а по ребру 7

Если следовать концепции, разработанной в [4], то систему (0.0.8), (0.0.9) следует рассматривать как единое уравнение на Г для функции щ. Поэтому резонно ввести следующие термины.

Определение 2.1.1 Систему (0.0.8), (0.0.9) будем называть уравнением Эйлера для функционала (0.0.2).

Определение 2.1.2 Решение уравнения Эйлера для функционала (0.0.2) будем называть экстремалью этого функционала, а решение этого уравнения, принадлежащее 9Л, будем называть допустимой экстремалью функционала (0.0.2).

Теорема 2.1.2 Пусть F дважды непрерывно дифференцируема и пусть G(a, и) дифференцируема по и при каждой фиксированной а (Е J(r). Пусть щ(х) из дЛ - является точкой локального минимума (0.0.3), причем щ £ С2 [Г]. Тогда на каждом ребре ^ для неё справедливо тождество (0.0.8) а в каждой внутренней вершине a G «/(Г) справедливо условие

- ]Г aDi(o)F1j7<)(a,wo(a),(Mo)i(a)) + Gtt(a,uo(a)) = 0. (0.0.10)

7i€l>)

Определение 2.1.3 Систему (0.0.8), (0.0.10) будем называть уравнением Эйлера для функционала (0.0.3).

Определение 2.1.4 Решение уравнения Эйлера для функционала (0.0.3) будем называть экстремалью этого функционала, а решение этого уравнения, принадлежат,ее ЯЯ, будем называть допустимой экстремалью функционала (0.0.3).

Заметим, что возникающее "уравнение на графе" (0.0.8) в нерегулярном случае дополняется условиями трансмиссии (0.0.10), имеющими, по сравнению с (0.0.9), дополнительное слагаемое - за счет наследования особенностей задачи во внутренних узлах.

В обоих случаях (и для функционала (0.0.2), и для функционала (0.0.3)) полученный аналог уравнения Эйлера имеет форму набора обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для каждого ребра в сочетании с так называемыми условиями трансмиссии.

Требование о существовании второй производной у функции щ в теоремах 2.1.1 и 2.1.2 являются излишними, о чем и говорит следующая теорема.

Теорема 2.1.3 Если в условиях теорем 2.1.1 и 2.1.2 условие щ G С2 [Г] заменить на условие щ € С1 [Г], то утверждения этих теорем останутся верными.

В пункте 2.2 устанавливается необходимое условие, типа классического условия Лежандра. Доказаны

Теорема 2.2.1 Пусть F трижды непрерывно дифференцируема. Пусть вторая вариация функционала (0.0.2) неотрицательна для всех h Е Ш0. Тогда Fu>U'(x,uq(x),u'0(x)) > 0 на R(T).

Теорема 2.2.2 Пусть F триоюды непрерывно дифференцируема, а G(a,u) - дважды дифференцируема по и при каждой фиксированной а е J(Г). Пусть вторая вариация функционала (0.0.3) неотрицательна для всех h G Ш0. Тогда Fu>U'(x,uo(x),u'0(x)) > 0 на R(Г).

Здесь и далее функцию F мы, для краткости, называем трижды непрерывно дифференцируемой, если для любого ребра 7? все частные производные третьего порядка функции F^ непрерывны на 7i х R х R и, более того, непрерывно доопределяемы на [7^] х R х R.

В третьей главе устанавливаются достаточные условия экстремума вариационной задачи для функционалов (0.0.2) и (0.0.3), с опорой на анализ второй вариации этих функционалов.

В пункте 3.1 вторые вариации функционалов (0.0.2) и (0.0.3) рассмат-риаются в виде:

62Ф{и0)Н = J(.M(x)h'2{x) + 2Q(x)h{x)h'(x) + N(x)h2(x)) dx, (0.0.11) г

52Фi{u0)h = J [M(x)h'2(x) + 2Q{x)h(x)h\x) + N(x)h2(x)]dx+ г (0.0.12) aeJ(r) где M{x) = Fuiu,(x,uo(x),u'0(x)), Q(x) = Fuu,(x,u0(x),u'0(x)), N(x) = Fuu(x,uo(x),u'0(x)), R(a) = Guu(a, щ(а)).

Устанавливается условие знакоопределенности (0.0.11) и (0.0.12) в виде аналогов классической теоремы Якоби. Введём в рассмотрение уравнение

Mz'Y - 2Qz! + (j^ = 0, (0.0.13) предполагая функции Q, М, N равномерно непрерывными на каждом ребре, причём inf М(х) > 0. Уравнение (0.0.13) мы трактуем обычным xGR{ г) образом на каждом ребре Г, а в каждой из внутренних вершин а € J(r) мы предполагаем непрерывность решения z(x) : Г —> R, а также следующие условия

3щ{а)Мг{а)^(а) = 0. (0.0.14)

7гбГ(а)

Определение 3.1.1 Скажем, что функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби, если уравнение (0.0.13) имеет при условиях (0.0.14) хотя бы одно решение без нулей на [Г].

Теорема 3.1.1 Пусть дТ -ф 0. Пусть М, Q, N принадлежат С[12(Г)]; причем inf М(х) > 0. Тогда, если функционал (0.0.11) удовлетворяет xeR(T) условию Якоби, то значение функционала (0.0.11) строго положительно на любой h{x) из ШТ0 (h ф 0).

Интересно отметить, что при доказательстве этой теоремы был введен класс, так называемых, приглаженных на геометрическом графе функций, который оказывается востребованным и в других вопросах (см., например, [36]).

Определение 3.1.2 Скажем, что функционал (0.0.12) удовлетворяет условию Якоби, если уравнение (0.0.13) имеет, при условиях трансмиссии

- Y^ ещ(а)М{(а)г-(а) + R{a)z{a) = 0, а е J (Г), (0.0.15)

7гёГ(а) хотя бы одно решение без нулей на [Г].

Теорема 3.1.2 Пусть дТ 0. Пусть M,Q и N удовлетворяют условию теоремы 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.12) удовлетворяет условию Якоби, то значение функционала (0.0.12) строго положительно на любой h(x) из Ш0 (НфО).

Далее при рассмотрении вопроса о поле экстремалей нам понадобится вариант уравнения Якоби, отличный от (0.0.13). Рассматривается дифференциальное уравнение

M{x)z\х))' - (Щх) - Q\x))z(x) = 0, х G Д(Г), (0.0.16) при условиях трансмиссии

7г€Г (а) [ ээi(a)^)(a,«o(fl), = 0, a <Е J(Г). (0.0.17)

7г€Г(а)

Определение 3.1.3 Скажем, что функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби второго типа, если уравнение (0.0.16) при условиях трансмиссии (0.0.17) имеет решение без нулей на [Г].

Теорема 3.1.3 Пусть 5Г ^ 0. Пусть М, Q и N удовлетворяют условиям теоремы 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби второго типа, то значение функционала (0.0.11) строго положительно для любой h{x) из Ш10 (h ф. 0.)

В пункте 3.2 устанавливается детерминантное представление решения однородного уравнения с неоднородными краевыми условиями. На основании этого представления доказана следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес.

Лемма 3.2.1 Пусть za{x) является непрерывным на Г решением краевой задачи

М(х) - a)z'(x))'- 2Q{x)z\x) + (^Щ - N(x)^j z{x) = 0, х £ Д(Г),

0.0.18)

- аег(а)(Мг{а) - a)z[{a) + R(a)z(a) = 0, а е J (Г), (0.0.19) z(b) = Ръ, be <9Г, (0.0.20) где а - некоторая константа, /Зь - фиксированные числа. Пусть при а — 0 задача (0.0.18) - (0.0.20) невыроэюдена. Тогда za(x) zq(x) на Г при а —> 0.

В пункте 3.3, благодаря результатам, полученным в теоремах 3.1.1 и 3.1.2, а также в лемме 3.2.1, доказаны следующие две теоремы, аналогичные усиленной теореме Якоби из классического вариационного исчисления.

Теорема 3.3.1 Пусть дГ ф 0 и пусть М, Q и N - те же, что и в теореме 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.11) удовлетворяет условию Якоби, то существует константа а > 0 такая, что для всех h £ ЯЛ0.

Теорема 3.3.2 Пусть дТ ф 0 и пусть М, Q и N - те же, что и в теореме 3.1.1. Тогда если функционал (0.0.12) удовлетворяет условию Якоби, то существует константа а > 0 такая, что для всех h G Ш0.

В пункте 3.4 доказываются несколько вспомогательных неравенств, в частности, аналог леммы Пуанкаре для функций, заданных на графе. Пункт 3.5 начинается со следующих определений. Определение 3.5.1 Если щ - допустимая экстремаль функционала (0.0.2) (или функционала (0.0.3)), причем inf Fu'U'(x,uo(x),u'0(x)) >

0; то будем говорить, что на щ выполнено усиленное условие Лежанд-ра.

Определение 3.5.2 Если щ - допустимая экстремаль функционала (0.0.2) (или функционала (0.0.3),), причем вторая вариация этого функционала удовлетворяет условию Якоби, тю будем говорить, что на щ выполнено условие Якоби.

Затем доказываются следующие две теоремы о достаточном условии экстремума.

Теорема 3.5.1 Пусть дТ ф 0. Пусть функция F(x,u,u') дважды г г жеД(Г) непрерывно дифференцируема и пусть функция щ £ Ш удовлетворяет следующим условиям: а) uq является допустимой экстремалью функционала (0.0.2); б) на щ выполняется усиленное условие Лежандра; в) на uq выполняется условие Якоби.

Тогда щ является локальным минимумом функционала (0.0.2).

Теорема 3.5.2 Пусть дТ ^ 0. Пусть функция F(x,u,u') дважды непрерывно дифференцируема, а функция G(a, и) дважды непрерывно дифференцируема по и при каждой a G </(Г). Пусть функция щ G Ш удовлетворяет следующим условиям: а) щ является допустимой экстремалью функционала (0.0.3); б) на щ выполняете усиленное условие Лежандра; в) на щ выполняется условие Якоби.

Тогда щ является локальным минимумом функционала (0.0.3).

Пункт 3.6 посвящен доказательству существования поля экстремалей.

Функцию и(х,Х), определенную на Г х [Ai, А2], мы называем полем экстремалей, если при каждом X' € [Ai, Л2] соответствующая функция и(х, Л) = и(х, X') является экстремалью по ж, т.е. удовлетворяет уравнению Эйлера. При этом, при разных Л', X" соответствующие этим значениям замыкания графиков функций и(-, Л'), и(-, X") не пересекаются, т.е. функции it(-, Л'), и(-, X") не имеют общих значений при каждом х из [Г]. Мы называем поле и(х, Л) гладким (по Л), если функция и(х,Х) непрерывно дифференцируема по Л. Мы говорим, что поле и(х, Л) включает экстремаль щ(х), если щ(х) совпадает с некоторой функцией и(х, Л') при Ai < Л' < А2.

Введем в рассмотрение краевую задачу вида:

Fu(x,u{x),u'(x)) - -^Fu/(x,u(x),u'(x)) = 0,х £ R(T), (0.0.21) ]Г аф)Р{^\а,и(а),и[(а)) = 0, а £ J (Г), (0.0.22)

7»еГ(а) и{Ъ) = АЬ + еВь, Ь £ <9Г, (0.0.23) где Аь и Въ - некоторые заданные (для каждой b £ дТ) числа. Обозначим решение этой задачи через v(x,e).

Теорема 3.6.1 Пусть дТ ф 0. Пусть F трижды непрерывно дифференцируема. Пусть для любых наборов чисел {Аь}ьедг и {Вь}ьедт У задачи (0.0.21)-(0.0.23) есть решение v(x,e), причем единственное. Пусть при этом существует So > 0 такое, что для каэтдого ребра ^ сужение а3 д3 д3 на 7i каэюдой из производных 0ГЛ v(x,e), -—-^—-zvix.e), , ^ . v(x,s) дхгО£ оедх1 охоедх непрерывно на 7г- х [—е0; £0] и непрерывно доопределяемо на [7^ х [—£о', £о] • Пусть щ(х) - допустимая экстремаль функционала (0.0.11), и на ней выполнено усиленное условие Лежандра и условие Якоби второго типа. Тогда Uq(x) допускает включение в гладкое поле экстремалей.

Из теоремы 3.6.1 вытекает утверждение, показывающее проверяемость условий теоремы для физически важного случая.

Следствие 3.6.1 Пусть дГ ф 0. Пусть р'", q'", f" £ С[Д(Г)]. Пусть, кроме того, inf р(х) > 0 и q(x) > 0 на R(T). Тогда, если щ - допуxeR{T) стимая экстремаль функционала г / \ [ fp{x)u'2(x) q{x)u2(x) \ J (2 + 2 f^u(x4dx' г то щ допускает включение в гладкое поле экстремалей этого функционала.

В заключение мы обсудили вопрос о численном эксперименте, связанном с подобными математическими моделями. Нас интересовало, как можно прямым методом получать результаты, аналогичные тем, которые можно получить методами, связанными с вариационным исчислением, с первой вариацией, со второй вариацией. При этом исходный функционал был исследован приближенными сеточными методами. Предложен алгоритм решения (методом конечных разностей) задачи, о деформации закрепленной упругой системы из трех связанных струн, при отсутствии упругой среды. Дается анализ погрешности приближенного решения и полученных результатов.

Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [8], [13], [17], [21], [23], [27], [29], [31]—[34], [51]. Из совместных работ [8], [13], [17], [21], [23], [27], [29], [51] в диссертацию включены только результаты, которые установлены лично автором. Работы [13], [27] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягипские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, ВГУ, 2005); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVI" (Воронеж, ВГУ, 2005); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVII" (Воронеж, ВГУ, 2006); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, ВГУ,

2007); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVIII" (Воронеж, ВГУ, 2007), на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Покорного Ю.В.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, дополнения и списка литературы. Объем диссертации 110 стр. Библиография содержит 54 наименования. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.

1. Гельфанд И.М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин // М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. - 228 с.

2. Герасименко Н. И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н. И. Герасименко, Б. С. Павлов // ТМФ. 1988. Т. 74. № 3. С. 345-359.3. гудзовский А.В. К расчету гидравлических сетей / А. В. Гудзов-ский // Докл. АН. 1988. - Т.358, № 6. - С. 765-767

3. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О краевых задачах на графах // Численные методы и оптимизация. АН ЭССР. Таллин, 1988. С. 158-161.

4. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. JI. Прядиев // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 629-637.

5. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О неосцилляции на графах / Ю. В. Покорный // Докл. расшир. засед. семинара Ин-та прикл. математики им. И. Н. Векуа. 1988. Т.З. № 3. С. 139-142.

6. ПОКОРНЫЙ Ю. В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 5. С. 661-672.

7. Ali-Mehmeti F. Nonlinear interaction problems. / F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise // Nonlinear Anal. 1993. V. 20. no. 1. P. 27-61.

8. Ali-Mehmeti F. Some realizations of interaction problems./ F. Ali-Mehmeti, S. Nicaise // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1991. V. 135. P. 15-27.

9. KUCHMENT P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. V.12, № 4. - P. 1-24.

10. LUMER G. Espaces ramifies, et diffusions sur les reseaux topologiques // C. R. Acad. Sci. Paris. 1980. Ser. A-B. t. 291, no. 12 P. A627-A630.

11. ROTH J.-P. Spectre du laplacien sur un graph // C. R. Acad. Sc. Paris. 1983. t. 296. P. 783-795.

12. ROTH J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe // Lect. Notes Math. Springer-Verlag, 1984. P. 521-539.