автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод дифференциала Стилтьеса в моделировании некоторых динамических задач с прерывистым или ветвящимся аргументом

На правах рукописи

Бахтина Жанна Игоревна

Метод дифференциала Стилтьеса в моделировании некоторых динамических задач с прерывистым или ветвящимся аргументом

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

2 2 ОКТ ??

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

те

— ы.1.

ВОРОНЕЖ - 2009

003480299

Работа выполнена на кафедре математического анализа Воронежского государственного университета

Научный руководитель: засл. деятель науки,

доктор физико-математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич

Ведущая организация: Южный Федеральный университет

Защита состоится 11 ноября 2009 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, ВГУ, математический факультет, Университетская пл., 1, ауд. 436.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.20 кандидат физ.-мат. наук,

доктор физико-математических наук, профессор Покровский Андрей Николаевич

доцент

Провоторов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В соответствии с паспортом специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ диссертация посвящена разработке математических методов, эффективных при построении и анализе нестандартных моделей сложных систем, где аргумент оказывается импульсным или ветвящимся.

Обыкновенное дифференциальное уравнение

{puj+ qu = J{= Хти) (0.1)

с непрерывными параметрами q(x), f(x),m(x) уже более двух столетий служит базой для описания математических моделей самых разнообразных систем и процессов из физической и инженерной практики. В XIX веке уравнение (0.1) вошло во все учебники высшей математики. Техническая революция, отнюдь не завершившаяся в XIX веке, поставила проблему распространения уравнения (0.1) на более широкие классы объектов, где параметры могут терять регулярность и, более того, оказываться обобщенными функциями. Так, если в (0.1) коэффициент q(x) может содержать ¿-функции, то вся традиционная наука об обыкновенном дифференциальном уравнении (0.1) оказывается несостоятельной, так как само уравнение теряет смысл обыкновенного - оно перестает быть поточечным, - та же ¿-функция не определена как скалярнозначная функция и не является поэтому объектом стандартного математического анализа.

Попытки создания методов, пригодных для анализа нерегулярных ситуаций, начались еще в XIX веке - знаменитая задача Стилтьеса об упругой нити с бусинками. В первой половине XX века был описан спектр собственных частот для колебаний упругой струны с произвольным распределением масс1, когда "функция" тп(х) определяется обобщенной производной от произвольной неубывающей функции М(х). Далее задача

и" = Хти, и(0) = и{1) = 0

с обобщенной функцией т(х) стала объектом изучения в спектральном анализе - довольно бурно развивающемся разделе функционального анаг

1 <¡».1*. Гантмахер, М. Г. Крейн. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем, ГИТТЛ, М.-Л., 1950.

лиза (Н. Weil, Б.М. Левитан, И.С. Саргсян, B.C. Владимиров, Н. Дан-форд, Дж. Т. Шварц). Именно это направление породило теорию обобщенных функций. Интересные для приложений вопросы о качественных свойствах решений (монотонность, число экстремумов, число нулей и проч.) для методов теории распределений (обобщенных функций) оставались недоступными.

В 90-е годы прошлого века воронежцами было предложено вместо уравнения (0.1) рассматривать уравнение вида

X XXX

J d(pv!) + J udQ = J dF(= A J udM), (0.2)

0 0 0 0

где функции Q(x), F(x) и M(x) имеют ограниченные вариации, являясь поточечно определяемыми стандартными функциями. Если параметры Q,F и М регулярны, уравнение (0.2) после дифференцирования по х принимает вид

{ри')' + Q'u = F'(= ХиМ'). (0Л)

В то же время в (0.2) у этих функций допускаются, например, скачки, которые при переходе от (0.2) к (0.1) дифференцированием по х неизбежно приводят к дельта-функциям. В отличие от уравнения (0.1) с обобщенными коэффициентами Q', F', М' уравнение (0.2) имеет поточечный характер - все компоненты в (0.2) определены при каждом значении х. Ю.В.Покорным было предложено придать уравнению (0.2) аналогичный (0.1) вид

D(pu') + uDQ = DF(— XuDM), (0.3)

использую так называемый дифференциал Стилтъеса, что позволяет "угадывать" свойства решений этого уравнения по аналогии с классическими свойствами уравнения (0.1). При этом символ Dg для функции ограниченной вариации д(х) предложено трактовать в виде линейного на С [а, Ь] функционала

i

(Dg)(u) = J udg.

Тщательная проработка такого подхода к уравнениям (0.3) и (0.2) позволила перенести2 на случай импульсных задач всю осцилляционную теорию Штурма во всей полноте - от положительности и простоты всех собственных частот до точного числа и перемежаемости нулей у соответствующих собственных функций. В рамках теории обобщенных функций (распределений) подобные результаты недостижимы уже хотя бы потому, что для обобщенной функции "число нулей" является понятием неопределяемым.

Ю.В.Покорным была поставлена задача о распространении метода дифференциала Стилтьеса на новые классы задач, актуализированные последними десятилетиями.

Первая из них - так называемая теория динамических уравнений на временных шкалах. Эта теория, обозначаемая далее для упрощения ссылок аббревиатурой [ДУВШ], получила интенсивное развитие за последние пару десятилетий - в основном в работах англоязычных авторов (Saker S.H., Hilger S., Bohner M., Dosly О., Erbe L.). Актуальность своей тематики авторы [ДУВШ] мотивируют самыми разнообразными приложениями и интерпретациями как в области космологии, так и в области пульсирующих и эпизодически замирающих процессов в биологии и экономике. В этих работах изучаются уравнения, вполне сходные с (0.1),

(pxA)A(t)+q(t)x(a(t)) = f(t), (0.4)

для случая, когда аргумент решений t принадлежит "временной шкале Т" - произвольному замкнутому множеству из вещественной оси К. = (—оо, оо). Здесь Д-производная xA(t) по определению означает

s->to a{to) - s

а под сг(£) понимается величина a(l) := inf{s 6 Т : s > t}. С математической точки зрения уравнение (0.4) - весьма интригующий объект, так как множество Т, не будучи вообще говоря связным, может быть сильно "дырявым" по типу канторова множества. Для этой явно аномальной (с точки зрения традиционных взглядов) позиции авторы [ДУВШ]

2Ю.В.Покорный, М.Б.Зверева, С.А.Шабров. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач. Успехи математических наук. 2008. том 63, вып. 1 (379). С. 111-154.

конструируют теорию, внешне вполне аналогичную теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом они вынуждены развивать дифференциальное исчисление хл = (^f), обратное к нему интегральное исчисление и проч. Попытка разобраться в сущности этой "новой теории" обнаруживает ряд серьезных неурядиц, поставивших под сомнение достоверность основных достижений [ДУВШ]. Да и само направление интересов [ДУВШ] ориентировалось лишь на асимптотические (при t —> оо) свойства решений - естественно, в предположении supT = оо. Ни о каких качественных свойствах решений на конечных отрезках речь в [ДУВШ] не шла. В связи с этим Ю.В.Покорным была высказана гипотеза о том, что аномальность (несвязность) области определения Т может быть преодолена введением на К = (—оо, оо) некоторой меры (функции Q), в результате чего уравнение (0.4) может оказаться частным случаем уравнения (0.3), т.е. попасть в зону действия корректной теории, развитой в работах Ю.В.Покорного и его учеников.

Уравнение (0.4) на несвязных компактах, а точнее на временных шкалах - первое и основное направление диссертационного исследования. В качестве второго мы описываем возможность распространения метода дифференциала Стилтьеса на случай обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка в классе функций ветвящегося аргумента, когда областью его изменения является геометрический граф (пространственная сеть). Уравнение с ветвящимся аргументом (изменяющемся на пространственной сети) - достаточно распространенный объект, возникающий при моделировании самых разнообразных систем и задач, как практических, так и теоретических: транспортные и коммуникационные системы, электрические и нейронные сети, системы волноводов, малые колебания сложных молекул и проч. Для случая регулярных параметров такие задачи в последние два десятилетия математиками достаточно хорошо изучены. Для нерегулярных параметров подобные задачи ранее не исследовались. Основная проблема здесь - построение меры на графе, позволяющей эффективно ставить дифференциал Стилтьеса. Нас интересует возможность распространения этой теории на случай импульсных особенностей. Здесь, естественно, основная трудность, преодолеваемая в работе, связана с разумным описанием меры на графе - заданием ее с

помощью функций скалярного аргумента.

Основные результаты работы. Ближайшее изложение мы ведем, пользуясь терминологией [ДУВШ]. Мы предполагаем всюду, что функции р(£),<?(£), /(£), определяющие изучаемое уравнение (0.4) суммируемы на Т (в [ДУВШ] они негласно предполагались непрерывными). Мы доказываем однозначную разрешимость любой начальной задачи

1(0 = со,Ха(£ - 0) = С1

при £ € Т , а также аналогичной задачи — со, + 0) = сг- Доказываем, что соответствующее решение непрерывно зависит от начальных условий. Здесь непрерывность решений х(Ь, со, С1) понимается по норме

||х(£)||=8ир|*(г)| + ^>'(0], (0.5)

т

где Т7 = Т П 7 = Т П [а, 6] и 7 = [а, 6] - произвольный сегмент из К. В связи с этим вводится понятие полной вариации функции х(-)

на временной шкале Т и устанавливается полнота пространства Е(Т7) с нормой (0.5) - именно в этом пространстве обсуждаются решения уравнения (0.4).

Мы показываем, что линейное многообразие решений уравнения (0.4) имеет размерность 2. Мы обсуждаем постановку краевых задач для этого уравнения, возможность интегрального представления соответствующих решений, для чего осуществляется построение функции Грина. Изучаем распределение нулей для решений дифференциальных неравенств, анаг логи теорем сравнения Штурма и ряд других качественных свойств, актуальных для приложений и не затронутых в [ДУВШ]. Заметим, что на временной шкале в силу ее разрывности стандартный взгляд на распределение нулей изначально вызывает недоумение - как сказать, например, что функция х(Ь), определенная в точках ¿ц, £2 € Т, имеет между ними к перемен знака, если между £1 и £2 находится хотя бы одна дырка шкалы Т. В связи с этой проблемой мы вынуждены определенные на Т решения, а вместе с тем - и уравнение (0.4), непрерывно продолжать "в дырках".

Цель работы и основные задачи. Разработка методов, позволяющих устанавливать для задач с разрывным или ветвящимся аргументом основные качественные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности:

1. аналоги теорем Коши-Пикара;

2. условия непрерывной зависимости решения от параметров;

3. анализ возможности описания знакорегулярных свойств решений;

4. аналоги теорем сравнения Штурма.

Методологическая основа исследования. Диссертационная раг бота опирается на аппарат интеграла Стилтьеса, на обобщенное дифференцирование по Радону-Никодиму (по мере) и на классические идеи каг чественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на методы и средства, разработанные за последние два десятилетия воронежской математической школой в области обобщенного дифференцирования и уравнений для функций ветвящегося аргумента.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. построен и обоснован метод математического моделирования, связанный с преобразованием исходной задачи на несвязном компакте (дырявом носителе) или ветвящимся аргументом к дифференциальному уравнению второго порядка с импульсными коэффициентами в классе функций, абсолютно непрерывных на всей оси К;

2. установлена полнота пространства решений подобных уравнений в классе функций, абсолютно непрерывных с производными из ВУ;

3. доказано существование меры, позволяющей строить дифференциал Стилтьеса для почти обыкновенного дифференциального уравнения

0(ри') + и£><Э = ХиЮМ),

окаймляющего исходное уравнение вида

сриА)А(х) + я(х)и(о(х)) = ЦхУ, (1.1)

4. установлены аналоги теорем сравнения типа теорем Штурма, и изучен вопрос о знакоопределенности решений дифференциальных неравенств;

5. описаны аналоги понятия краевой задачи и функции Грина.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Она закладывает фундаментальную базу для построения методов эффективного анализа слабоизученных ранее задач

с нерегулярными параметрами, в т.ч. самых разнообразных качественных свойств, представляющих интерес для практических задач, в том числе для обоснования алгоритмов и численных методов приближенного построения решения.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции, посвященной памяти И.Г.Петровского (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И. Г. Петровского Москва, 21-26 мая 2007), на международной конференции по математическому моделированию (Воронеж, 2008 г.), на Воронежских зимних математических школах (2007, 2009 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения" (2008, 2009 гг.), на Международной научной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики посвященной памяти академика A.A. Самарского, на семинарах по качественному анализу краевых задач (ВГУ, рук. — проф. Ю.В. Покорный).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. Списку ВАК соответствуют работы [1], [4], [6].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, Б параграфов, разбитых на пункты, и списка цитированной литературы из 37 наименований. Общий объем диссертации — 100 стр. Дополнение выполнено в вычислительно - программном комплексе Maple.

Краткое содержание работы

Во введении описаны предмет и цель исследования, излагается генезис проблемы, а также проводится подробный обзор результатов диссертации по параграфам.

Первый параграф посвящен изложению основ теории [ДУВШ] -динамических уравнений на временных шкалах. В работе через [ДУВШ] обозначается цикл англоязычных работ ( 2 книги и несколько десятков статей), посвященных уравнению (0.4)

Уравнение (1) рассматривается на множестве значений аргумента t

из временной шкалы Т - замкнутого множества из К. Последнее обстоятельство подразумевает возможность несвязности Т вплоть до того, что Т может состоять из изолированных точек (например, из натуральных чисел) или иметь еще более сложную структуру своей "дырявости", как в канторовском множестве. Несвязность множества значений аргумента - основная трудность в обсуждаемой задаче.

Интегрирование в [ДУВШ] вводится равенством Р

У хА(г)Д< = х{р) - х{а).

а

В диссертации комментируются нестыковки теории [ДУВШ] уже на постановочном уровне, а также недостаточная широта. Традиционная для классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений качественная проблематика (зависимость решения от параметров, распределение нулей у решения, дифференциальные неравенства, краевые задачи) остается в [ДУВШ] вне поля зрения.

Параграф 2 диссертации посвящен обсуждению возможности адекватной замены уравнения (1) на дифференциальное уравнение в дифференциалах Стилтьеса

£>(ри') + м£><Э = БР(= \uD\l)

(начиная с параграфа 2 мы применяем для искомых решений традиционное обозначение и(х) вместо х(Ь)). В этом параграфе дается перечень основных результатов работы, в том числе

Теорема 2.2.3: для любых щ, «о € К и для любой точки х^ € [а, 6]д существует единственное решение уравнения

(р(х)иА(х))А + д(х)и(а{х)) = Дх) (А = (1.1))

такое, что выполняются условия

и(х о) = щ, иА(х0) = щ.

В Теореме 2.2.4 утверждается, что если функции фх(А), (А) непрерывны по А, то соответствующее начальным условиям

и(х0) = гр! (А), иЛ(х0) = ^(А)

решение и(х, Л) уравнения (А) зависит от А непрерывно по норме

||гх(а;)||=8ир|ф)| + КтК(х)]. т

В Теореме 2.2.5 показано, что множество решений Ш С Ет однородного уравнения

(p(x)uA(x))A + q(x)u(<r(x))=0

имеет размерность, равную двум, т.е. dimTl = 2. Далее вводится краевая задача для уравнения

(p(x)uA(x))A + q(x)u(a(x))=f(x)

с линейными условиями

к{и) = си12{и) = с2,

где l\,h - какие-либо линейные на Ет функционалы.

Теорема 2.2.6 описывает соответствующий аналог принципа Фред-гольма для линейных задач. В этом же параграфе сформулированы вронскианные свойства фундаментальной системы для однородного уравнения.

В параграфе 3 введено понятие дифференциала Стилтъеса от функции ограниченной вариации. Мы под дифференциалом Стилтъеса от функции сг(х) € BV[a, Ь] понимаем непрерывный на С[а, Ь] функционал

б

1{и) = J uda.(= (Da) (и))

а

В этом параграфе приводятся свойства (исчисление) дифференциала Стилтьеса, среди которых

1. D(a(x) + r¡(x)) = Da(x) + Dr](x), где a(x),r¡(x) <E BV[a, b]. ь

2. / da(x) = a(b) - a (a).

a

3. Если Da(x) = 0, т.е. функционал Da[x) из C*{a,b] является тождественным нулем, то а{х) = const.

4. Если и(х) G C[a,b] и <т(х) S BV[a, Ь], то существует функция д(х) 6 BV[a, 6] такая, что Dg(x) = u(x)da(x). Другими словами, в пространстве дифференциалов Стилтьеса определена операция умножения на произвольную непрерывную функцию.

х

5. D J uda = uda.

а

6. D(u(x)v(x)) = u(x)Dv(x) + v(x)Du(x), где u(x),v(x) € BV[a,b] П C[a, b].

На основании этих свойств устанавливается непрерывная зависимость решения уравнения

D(pu') + uDQ = DF

от параметра А, входящего в начальные условия.

В заключении параграфа 3 вводится понятие второго дифференциала Стилтьеса: мы под вторым дифференциалом Стилтьеса от функции ст(х) € BV[a, b] понимаем непрерывный на С[а, 6] функционал

ь

l(u) = J udcr'.

а

Справедлива следующая

Лемма: пусть функция А(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], а функция h(x) принадлежит пространству С2[а,6] непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, £>] функций, причем h(a) = h(b) = 0; h'(a) = h'(b) = 0. ь

Тогда если J A(x)h!'(x)dx = 0 для всех таких функций h{x), то А(х) -

а

линейная функция.

Параграф 4 посвящен обоснованию основных результатов работы. Здесь вводится прием, названный нами "залатыванием дыр". Он заключается в следующем.

Так как Т - замкнутое множество, то его дополнение W до всей оси R является открытым множеством и состоит тем самым из конечного или счетного множества интервалов. Каждый из них мы именуем "дыркой" Т. Для абсолютно непрерывной на Т функции и(х) мы называем ее линейчатым расширением на К функцию й(х), совпадающую на Т с и(х), линейную на каждой дырке и непрерывную в целом на Ж. Для каждой

абсолютно непрерывной на Т функции и(х) ее линейчатое расширение также абсолютно непрерывно, причем уже на всей оси R.

Если через Ет обозначить множество функций, абсолютно непрерывных на Т с ограниченной вариацией их производных и'(х), то множество Ej линейчатых расширений функций обладает аналогичным свойством: каждая функция у(х) € Ет абсолютно непрерывна на R и ее производная у'(х) имеет ограниченную вариация на каждом ограниченном сегменте [а, 6] С R.

Центральным фактом параграфа 4 является следующая Теорема (основная). Пусть для уравнения

(p(x)uA(x))A + q(x)u(a(x))=f(x)

выполняются допустимые условия [ДУВШ]. Тогда существуют функции Р(х) и Q(x) с локально ограниченным изменением на Ж и такие, что каждому из допустимых решений и{х) исходного уравнения соответствует определенное и непрерывное на всем R = (—оо, оо) решение и(х) уравнения

S 3

[Pu'}sr + Li J u(x)dQ(x) = JdF{x),

Г г

совпадающее с и(х) на шкале Т. Здесь интеграл понимается по Стил-тьесу.

S 8

Замечание. В уравнении [Pit']* + /х/ u(x)dQ(x) = f dF(x) функция

г г

Q(x) может быть представлена в виде

X

Q(x) = I q0ds + Yl Ч(ТЖТШХ - а(т))'

£ те%т<х

где qo = q(x) при х = а(х) и qo = 0 на W, в(х) - функция Хевисайда, ц(т) = а{т) - т.

Доказательство основной теоремы основано на установленном в этом же параграфе свойство полноты Ех по метрике для кйждого отрезка, [а, 6] С R.

Приведенная основная теорема позволяет установить сформулированные в параграфе 2 результаты для главных объектов [ДУВШ] с помощью

трансляции этих задач в линейчатое расширение Ет. Все последующие доказательства, приводимые в параграфе 4, осуществляются в линейчаг то расширенном пространстве Ет, где исследователь имеет возможность опоры на классические средства анализа, не затрудненные дырявостью исходного множества Т. На этом пути доказано, например, существование функции Грина - функции двух переменных й) такой, что решение исходной задачи для каждой функции можно записать в виде

Замечательно то, что эта формула верна как при интегрировании по произвольному отрезку [а, Ь] С М, на котором заданы краевые условия, так и при интегрировании по временной шкале Т (на том же отрезке).

Преимущества выхода в расширенную область определения проявляются особенно ярко при анализе распределения нулей (при наличии "дырок", в которых по теории [ДУВШ] исходное динамическое уравнение не определено, равно как и его решение, понятие числа нулей решения лишено смысла). Линейчатое расширение уравнения на пространство Ет позволило сформулировать и доказать следующий аналог теоремы сравнения Штурма.

Теорема, пусть щ{х) и щ(х) - два нетривиальных решения уравнений

соответственно, где дх и дг ограничены и измеримы. Тогда если дх < дг, то для соответствующих решений и\{х)^ щ(х) 6 Ет выполняются следующие свойства: для любых двух соседних нулей щ(х) между ними находится не менее одного нуля щ{%).

В параграфе 5 диссертации описывается и обосновывается метод дифференциала Стилтьеса для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на пространственной сети в случае, когда параметры этого уравнения нерегулярны, а точнее - содержат импульсные особенности. Здесь вводится аналог дифференциала Стилтьеса, позво-

ь

а

(р(х)иА(х))Л+Я,(х)и(а(х))=0, (р(х)ил(х))л + д2(х)и(а(х)) = О

ляющий рассмотреть на пространственной сети аналог рассматриваемых уравнений.

Естественно, нам приходится вводить понятие функции, аналогичной функции сегмента - функции Г-интервала. Под Г-интервалом мы понимаем любое связное открытое подмножество графа Г. Нам приходится вводить и понятие вариации функции а({). Приходится строить естественное определение интеграла Стилтьеса на случай функций с ветвящимся аргументом из пространственной сети Г. Для уравнения —В(ри') + иБС) = ОР устанавливается размерность пространства решений соответствующего однородного уравнения. Мы вынуждены были здесь доказать аналог классической теоремы о преобразовании меры, дат ющий право корректному толкованию произведения и/?<3 непрерывной функции и{х) на дифференциал ВЦ функции Е £У[Г].

Далее всюду через й обозначается функция и, полученная обнулением на множестве всех вершин.

Теорема 5.4.1. Пусть параметры р, С}, ^ уравнения

умеют ограниченные вариации (на множестве Г-интервалов). Тогда множеств решений этого уравнения, если оно не пусто, образует линейное многообразие, размерность которого совпадает, вообще говоря, с числом граничных вершин.

Теорема 5.4.2. Пусть ВС > 0. Тогда уравнение

имеет единственное решение для каждой функции Р{Г„) и любого набора {и(я)}аеаг краевых значений.

В приложении к параграфу 5 приведены результаты численного эксперимента, подтверждающего родственность качественных результатов

-0{ри) + иОД = 1Ж

—В(ри') + «£><? - ДО = 0

-Р(ри') + и£><2 - ДО = 0

вместе с

рассмотренных задач для функций ветвящегося аргумента случаю регулярных задач на графе. Мы рассматриваем здесь математическую модель упругой системы из трех растянутых в плоскости струн. Эту заг дачу мы исследовали приближенными сеточными методами. Изложен алгоритм решения задачи методом конечных разностей. Дается анализ погрешности приближенного решения и полученных результатов.

Автор благодарен своему руководителю за постановку задачи и большую помощь, а также М.Б. Зверевой и С.А. Шаброву за полезные советы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Бахтина Ж.И. О разрешимости некоторых классов нерегулярных вариационных задач второго порядка/ Ж.И. Бахтина// Известия Capar товского университета. 2007. Т. 7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 32-36.

2. Бахтина Ж.И. Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений на графе/ Ж.И. Бахтина// Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понт-рягинские чтения - XIX". Воронеж 2008. с. 42-43.

3. Покорный Ю.В. О преобразовании меры на графе/ Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Ж.И. Бахтина// Современные методы теории краг евых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XIX". Воронеж 2008. с. 169-170.

4. Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса на геометрических графах/ Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Ж.И. Бахтина// ДАН, 2008, Т. 423, №4, С. 452-454.

5. Покорный Ю.В. Про дифференциалы Стилтьеса на геометрическом графе / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Ж.И. Бахтина// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы. 2009. С. 142-143.

6. Бахтина Ж.И. О дифференциалах Стилтьеса на временных шкаг лах/ Ж.И. Бахтина// Известия Саратовского университета. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 2. С. 3-5.

7. Покорный Ю.В. О стилтьесовском заглаживании временных шкал/

Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы. 2009. С. 140-141.

8. Бахтина Ж.И. О функции влияния для импульсной задачи на графе/ Ж.И. Бахтина, И.Ю. Покорная// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы. 2009. С. 21-22.

9. Покорный Ю.В. Метод дифференциалов Стилтьеса в некоторых задачах с импульсными особенностями/ Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина, М.Б. Давыдова// Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики посвященная памяти академика A.A. Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения. Серия Дифференциальные уравнения и математическая физика. Москва. 2009.

10. Бахтина Ж.И. О задаче Штурма-Лиувилля на несвязных компактах/ Ж.И. Бахтина// Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягин-ские чтения- XX". Воронеж-2009. С. 20-22.

11. Бахтина Ж.И. Метод интеграла Стилтьеса в теории динамических уравнений на временных шкалах/ Ж.И. Бахтина// "Воронежский государственный университет". Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). №1. 2009. С. 3-8.

12. Покорный Ю.В. Дифференциалы Стилтьеса в задаче Штурма-Лиувилля на графе/ Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Ж.И. Бахтина// "Воронежский государственный университет". Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). №2.2009. С. 46-54.

13. Бахтина Ж.И. Метод дифференциалов Стилтьеса в теории динамических уравнений на временных шкалах/ Ж.И. Бахтина// Деп. В ВИНИТИ 10.07.09. №468-В2009. 9 СТР.

14. Бахтина Ж.И. Метод дифференциалов Стилтьеса в математическом моделировании процессов с разрывным/ Ж.И. Бахтина// Деп. В ВИНИТИ 10.07.09. №467-В2009. 7 СТР.

Из совместных работ [3], [4], [5], [7], [8], [9], [12] в диссертационную

работу Ж.И. Бахтиной включены только результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [1], [4], [6] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 29.09.09. Формат 60*84 !/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 1553

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

ВВЕДЕНИЕ.

§1. О ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ НА ВРЕМЕННЫХ ШКАЛАХ.

1.1. Краткий экскурс в основы теории [ДУВШ].

1.2. Некоторые комментарии исходных позиций [ДУВШ].

1.3. Иррациональность интегрирования в [ДУВШ].

§2. ПОЧТИ ОБЫКНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ.

2.1. Вспомогательные понятия.

2.2. Наши основные результаты для уравнения р(х)иА(а;))л + +д(х)и(а(х)) = /(х) из [ДУВШ].

§3. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ.

3.1. Теорема Хелли (первая).

3.2. Теорема Рисса.

3.3. Теорема о преобразовании меры.

3.4. Лемма Дюбуа-Реймона (классический вариант).

3.5. Дифференциал Стилтьеса.

3.6. Арифметика (исчисление) дифференциала Стилтьеса.

3.7. Непрерывная зависимость решения уравнения от параметра.

3.8. Второй дифференциал Стилтьеса.

§4. "ЗАЛАТЫВАНИЕ" ДЫРОК.

§5. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛА СТИЛТЬЕСА ДЛЯ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ НА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ

СЕТИ.

5.1. Натуральный генезис (ВЗ)-уравнения на графе.

5.2. Некоторые формальные факты.

5.3. ¿^-уравнения на графе.

5.4. Разрешимость (.0 ¿^-уравнений на графе.

ДОПОЛНЕНИЕ.

Обыкновенное дифференциальное уравнение ри1)' + ди = /(= Хти) (0.1) с непрерывными параметрами д(х), /(х),т(х) уже более двух столетий служит базой для описания математических моделей самых разнообразных систем и процессов из физической и инженерной практики. В XIX веке уравнение (0.1) вошло во все учебники высшей математики. Техническая революция, отнюдь не завершившаяся в XIX веке, поставила проблему распространения уравнения (0.1) на более широкие классы объектов, где параметры могут терять регулярность и, более того, оказываться обобщенными функциями. Так, если в (0.1) коэффициент д(ж) может содержать ¿(-функции, то вся стандартная наука об обыкновенном дифференциальном уравнении (0.1) оказывается несостоятельной, так как само уравнение теряет смысл обыкновенного - оно перестает быть поточечным, так как та же ^-функция не определена как скалярнозначная функция и не является поэтому объектом стандартного математического анализа.

1. Попытки создания методов, пригодных для анализа нерегулярных ситуаций, начались еще в XIX веке - знаменитая задача Стилтьеса об упругой нити с бусинками. В первой но л овине XX века был описан спектр собственных частот для колебаний упругой струны с произвольным распределением масс (см. [1]), когда "функция" т(х) определяется обобщенной производной от произвольной неубывающей функции М{х). Далее задача и" - Хти, и{0) = и{1) = 0 3 с обобщенной функцией т{х) стала объектом изучения в спектральном анализе - довольно бурно развивающемся разделе функционального анализа (см., например, [2]-[5]). Именно это направление породило теорию обобщенных функций. Интересные для приложений вопросы о качественных свойствах решений (монотонность, число экстремумов, число нулей и проч.) для методов теории распределений (обобщенных функций) оставались недоступными.

В 90-е годы прошлого века воронежцами было предложено вместо уравнения (0.1) рассматривать уравнение вида lU СС CU dy

J d(pu) + J udQ = J dF(— A J udM), (0.2)

0 0 0 0 где функции Q{x),F{x) и M{x) имеют ограниченные вариации, являясь поточечно определяемыми стандартными функциями. Если параметры

Q,F и М регулярны, уравнение (0.2) после дифференцирования по х принимает вид ри'У + Q'u = F'(= ХиМ'). (0Л)

В то же время в (0.2) у этих функций допускаются, например, скачки, которые при переходе от (0.2) к (0.1) дифференцированием по х неизбежно приводят к дельта-функциям. В отличие от уравнения типа (0.1) с обобщенными коэффициентами О!, Р', М' уравнение (0.2) имеет поточечный характер - все компоненты в (0.2) определены при каждом значении х. Ю.В.Покорным было предложено придать уравнению (0.2) аналогичный (0.1) вид

0(ри') + иБО = ХиПМ), (0.3) используя так называемый дифференциал Стилтъеса, что позволяет "угадывать" свойства решений этого уравнения, аналогичные классическим свойствам уравнения (0.1). При этом символ Ид для функции ограниченной вариации д(х) предложено трактовать в виде линейного на С[а, Ь] функционала

Тщательная проработка такого подхода к уравнениям (0.3) и (0.2) позволила перенести (см. [9]) на случай импульсных задач (см. [10]-[14]) всю осцилляционную теорию Штурма во всей полноте - от положительности и простоты всех собственных частот до точного числа и перемежаемости нулей у соответствующих собственных функций. В рамках теории обобщенных функций (распределений) подобные результаты недостижимы уже хотя бы потому, что для обобщенной функции "число нулей" является понятием неопределяемым.

2. Ю.В.Покорным была поставлена задача о распространении метода дифференциала Стилтьеса на новые классы задач, актуализированные последними десятилетиями.

Первая из них - так называемая теория динамических уравнений на временных шкалах. Эта теория, обозначаемая далее для упрощения ссылок через [ДУВШ], получила интенсивное развитие за последние пару десятилетий - в основном в работах англоязычных авторов (см. библ. в [9]). Актуальность своей тематики авторы [ДУВШ] мотивируют самыми разнообразными приложениями и интерпретациями как в области космологии, так и в области пульсирующих и эпизодически замирающих процессов в биологии и экономике. В этих работах изучаются уравнения, вполне сходные с (0.1), о

0.4) для случая, когда аргумент решений t принадлежит "временной шкале Т" - произвольному замкнутому множеству из вещественной оси R = (—оо,оо). Здесь Д-производная xA(t) по определению означает s->t0 <J{to) — S а под a(t) понимается величина a(t) := inf{s E T : s > t}.

С математической точки зрения уравнение (0.4) - весьма интригующий объект, так как множество Т, не будучи вообще говоря связным, может быть сильно "дырявым" по типу канторова множества. Для этой явно аномальной (с точки зрения стандартных взглядов) позиции авторы [ДУВШ] конструируют теорию, внешне вполне аналогичную теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом они вынуждены развивать дифференциальное исчисление = (^f )> обратное к нему интегральное исчисление и проч. Попытка разобраться в сущности этой "новой теории" обнаружила ряд серьезных неурядиц и нелепостей, поставивших под сомнение достоверность основных достижений [ДУВШ]. Да само направление интересов [ДУВШ] ориентировалось лишь на асимптотические (при t —> сю) свойства решений - естественно, в предположении supT = оо. Ни о каких качественных свойствах решений на конечных отрезках речь в [ДУВШ] не шла. В связи с этим Ю.В.Покорным была высказана гипотеза о том, что аномальность (несвязность) области определения Т может быть преодолена введением на M = (—00, 00) некоторой меры (функции Q), в результате чего уравнение (0.4) может оказаться частным случаем уравнения (0.3), т.е. попасть в зону действия корректной теории, развитой в [9].

3. Наши основные результаты. Излагаемые далее результаты мы формулируем, пользуясь терминологией [ДУВШ]. Мы предполагаем всюду, что функции р(1), /(¿), определяющие изучаемое уравнение суммируемы на Т (в [ДУВШ] они негласно предполагались непрерывными) . Мы доказываем однозначную разрешимость любой начальной задачи с0,ха(£ - 0) - с1 при £ € Т , а также аналогичной задачи х(£) = Со, + 0) = С2- Доказываем, что соответствующее решение непрерывно зависит от начальных условий. Здесь непрерывность решений х{Ь, со, С\) понимается по норме

1Иг)||= зир МОЦ-^И*)], (0.5) т где Т7 = Т П 7 = Т П [а, Ь] и 7 = [а, Ь) - произвольный сегмент из М.

В связи с этим вводится понятие полной вариации У^х^) функции х(-) на временной шкале Т и устанавливается полнота пространства с нормой (0.5) - именно в этом пространстве обсуждаются решения уравнения (0.4). Мы показываем, что линейное многообразие решений уравнения (0.4) имеет размерность 2. Мы обсуждаем постановку краевых задач для этого уравнения, возможность интегрального представления соответствующих решений с помощью функции Грина, изучаем распределение нулей для решений дифференциальных неравенств, аналоги теорем сравнения Штурма и ряд других качественных свойств, актуальных для приложений и проигнорированных в [ДУВШ]. Заметим, что на временной шкале в силу ее разрывности стандартный взгляд на распределение нулей изначально вызывает недоумение - как сказать, например, что функция х(р), определенная в точках £1,^2 £ Т, имеет между ними к перемен знака, если между £1 и находится хотя бы одна дырка шкалы Т. В связи с этой проблемой мы вынуждены определенные на Т решения, а вместе с тем - и уравнение (0.4), непрерывно продолжать "в дырках".

4. Уравнение (0.4) на несвязных компактах, а точнее на временных шкалах - первое и основное направление диссертационного исследования. В качестве второго мы описываем возможность распространения метода дифференциала Стилтьеса на случай обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка в классе функций ветвящегося аргумента, когда областью его изменения является геометрический граф (пространственная сеть). Уравнение с ветвящимся аргументом (изменяющимся на пространственной сети) - достаточно распространенный объект, возникающий при моделировании самых разнообразных систем и задач, как практических, так и теоретических: транспортные и коммуникационные системы, электрические и нейронные сети, системы волноводов, малые колебания сложных молекул и проч. Для случая регулярных параметров такие задачи в последние два десятилетия математиками достаточно хорошо изучены (см., например, [15], [16]). Для нерегулярных параметров подобные задачи ранее не исследовались. Основная проблема здесь - построение меры на графе, позволяющей эффективно ставить дифференциал Стилтьеса. Нас интересует возможность распространения этой теории на случай импульсных особенностей. Здесь, естественно, основная трудность, преодолеваемая в работе, связана с разумным описанием меры на графе - заданием ее с помощью функций скалярного аргумента.

Цель работы и основные задачи. Разработка методов, позволяющих устанавливать для задач с разрывным или ветвящимся аргументом основные качественные результаты классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно:

1. аналоги теорем Коши-Пикара;

2. условия непрерывной зависимости решения от параметров;

3. анализ возможности описания знакорегулярных свойств решений;

4. аналоги теорем сравнения Штурма.

Методологическая основа исследования. Диссертационная работа опирается на аппарат интеграла Стилтьеса, на обобщенное дифференцирование по Радону-Никодиму (по мере) и на классические идеи теории дифференцирования и основополагающие идеи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на методы и средства, разработанные за последние два десятилетия воронежской математической школой в области обобщенного дифференцирования и уравнений для функций ветвящегося аргумента.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. построен и обоснован метод математического моделирования, связанный с преобразованием исходной задачи на несвязном компакте (дырявом носителе) или ветвящимся аргументом к дифференциальному уравнению второго порядка с импульсными коэффициентами в классе функций, абсолютно непрерывных на всей оси М;

2. установлена полнота пространства решений подобных уравнений в классе функций, абсолютно непрерывных с производными из ВУ;

3. доказано существование меры, позволяющей строить дифференциал Стилтьеса для почти обыкновенного дифференциального уравнения

D(pu') + uDQ = DF(= XuDM), окаймляющего исходное уравнение вида сpuA)A(x)+q(x)u(cr(x)) = f(xy,

4. установлены аналоги теорем сравнения типа теорем Штурма, и изучен вопрос о знакоопределенности решений дифференциальных неравенств;

5. описаны аналоги понятия краевой задачи и функции Грина.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Развитые в ней методы закладывают фундаментальную базу построению для слабоизученных ранее задач с нерегулярными параметрами методов эффективного анализа самых разнообразных качественных свойств, представляющих интерес для практических задач, в том числе для обоснования алгоритмов и численных методов приближенного построения решения.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 параграфов, разбитых на пункты, и списка цитируемой литературы из 37 наименований. Общий объем диссертации - 100 стр. Дополнение выполнено в вычислительно-программном комплексе Maple.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации удалось показать, что важные для приложений модели, описанные с помощью сингулярных параметров, могут быть вложены в разумную теорию (Рб')-уравнений, развитую в работе и внешне аналогичную классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений с регулярными параметрами и связной областью аргументов. Проделанный автором численный эксперимент подтверждает резонность такой аналогии.

1. Гантмахер Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем/ Ф.Р.Гантмахер, М. Г.Крейн// M.-JL: ГИТТЛ, 1950.

2. Weyl H. Uber gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit singulären Stellen und ihre Eigenfunktionen/ H.Weyl// Göttinger Nachrichten, 1909. P. 37-64.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики/ B.C. Владимиров/ / Наука, 1967.

4. Данфорд H. Линейные операторы. Спектральная теория/ Н. Дан-форд, Дж.Т. Шварц// пер. с англ. М.: ИЛ, 1966. 1064 с.

5. Садовничий В.А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и некоторых других систем высшего порядка/ В.А. Садовничий// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 22:3, 1967. 37-47. 1956.

6. Савчук A.M. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами/ А.М.Савчук, A.A.Шкаликов// Матем. заметки, 1999, 66:6, 807-912.

7. Покорный Ю.В. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач/ Ю.В.Покорный, М.Б.Зверева, С.А.Шабров// Успехи математических наук, 2008. том 63, вып. 1 (379). С. 111-154.

8. Saker S.H. Oscillation of Second-Order Forced Nonlinear Dynamic Equations on Time Scales/ S.H. Saker// Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2005, No. 23, 1-17; C.57-64.

9. Hilger S. Analysis on measure chains a unified approach to continuous and discrete calculus/ S.Hilger// Results Math. 18 (1990) 18-56.

10. Bohner M. Dynamic Equations on Time Scales/ M.Bohner, A.Peterson// An Introduction with Applications. Birkh user Boston, MA, 2001.

11. Dosly O. A necessary and sufficient condition for oscillation of the Sturm Liouville dynamic equation on time scales/ O.Dosly, S.Hilger //J. Сотр. Appl. Math. 141 (2002) 147-158.

12. Erbe L. Riccati equations on a measure chain/ L.Erbe, A.Peterson// Dynamic systems and applications 3 (Atlanta, GA, 1999), Dynamic, Atlanta, GA, 2001, pp. 193-199.

13. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/ Ю.В. Покорный, О. М. Пенкин, В. JI. Прядиев и др. (ред.)/ М.: Физматлит, 2004.

14. Kuchment P. Quantum graphs I. Some basic structures/ P.Kuchment// Waves in Randon media, 14 (2004), S107-S128.

15. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу/ Ф. Рисс, Б.Секефальви-Надь// М.: Мир, 1979.

16. Сакс С. , Теория интеграла/ С. Сакс// М.: ИЛ, 1949; пер. с польск.: S. Saks, Theory of the integral, 2, revised edit., G. E. Stechert Co. VI, New York, 1937.

17. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики/ И.П. Натансон// Изд. Лань, 2001.

18. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин// М.: Наука, 1968.

19. Тихонов A.H. Уравнения математической физики/ A.H. Тихонов, А.А.Самарский// М.: Издательство Московского университета, 1999. 798 с.

20. Бахтина Ж.И. О разрешимости некоторых классов нерегулярных вариационных задач второго порядка/ Ж.И.Бахтина// Известия Саратовского университета. 2007. Т.7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. С. 32-36.

21. Бахтина Ж.И. Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений на графе/ Ж.И. Бахтина// Воронеж: Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIX", 2008. с. 42-43.

22. Покорный Ю.В. О преобразовании меры на графе. Современные методы теории краевых задач/ Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Ж.И. Бахтина// Воронеж: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIXй, 2008. с. 169-170.

23. Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса на геометрических графах/ Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Ж.И. Бахтина// М.: ДАН,2008, Т. 423, Ш, С. 452-454.

24. Бахтина Ж.И. О дифференциалах Стилтьеса на временных шкалах/ Ж.И.Бахтина// Саратов: Известия Саратовского университета,2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 2. С. 3-5.

25. Покорный Ю.В. О стилтьесовском заглаживании временных шкал/ Ю.В.Покорный, Ж.И. Бахтина// Воронеж: Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы, 2009. С. 140-141.

26. Бахтина Ж.И. О функции влияния для импульсной задачи на графе/ Ж.И.Бахтина, И.Ю. Покорная// Воронеж: Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы, 2009. С. 21-22.

27. Бахтина Ж.И. О задаче Штурма-Лиувилля на несвязных компактах/ Ж.И.Бахтина// Воронеж: Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения- XX", 2009. С. 20-22.

28. Бахтина Ж.И. Метод интеграла Стилтьеса в теории динамических уравнений на временных шкалах/ Ж.И. Бахтина// "Воронежский государственный университет": Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). №1. 2009. С. 3-8.

29. Бахтина Ж.И. Метод дифференциалов Стилтьеса в теории динамических уравнений на временных шкалах/ Ж.И. Бахтина// Деп. В ВИНИТИ 10.07.09. №468-В2009. 9 с.

30. Бахтина Ж.И. Метод дифференциалов Стилтьеса в математическом моделировании процессов с разрывным/ Ж.И.Бахтина// Деп. В ВИНИТИ 10.07.09. №467-В2009. 7 с.