Функционально-дифференциальные модели

Смолин, Юрий Николаевич

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Функционально-дифференциальные модели

доктора физико-математических наук: Смолин, Юрий Николаевич
город: Магнитогорск
год: 2004
специальность ВАК РФ: 05.13.18
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Функционально-дифференциальные модели»

Автореферат диссертации по теме "Функционально-дифференциальные модели"

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Смолин Юрий Николаевич

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь - 2004

Работа выполнена в Магнитогорском государственном

университете.

Научный консультант — доктор физико-математических наук,

профессор Максимов Владимир Петрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель

науки РФ Азбелев Николай Викторович;

доктор физико-математических наук,

профессор Румянцев Александр Николаевич;

доктор физико-математических наук,

профессор Дерр Василий Яковлевич.

Ведущая организация — Уральский государственный университет.

Защита состоится 4 марта 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.189.09 в Пермском государственном университете (г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат

Учеиый секретарь диссертационного совета — кандидат физико-математических наук, доцент —Дут^анов C.B.

2004-4

23935

- ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Функционально-дифференциальные (ф.-д.) модели, учитывающие не только настоящее состояние объекта, но и его предысторию, имеют своим источником многочисленные задачи из различных областей знания. Примеры

доставляют нам акустическая обратная связь ', автоматиче-

ские регуляторы ленточного транспортера и прокатного ста-

на3, врубовые машины4, импульсные устройства5, экономи-

ческие системы и т.д.

Многочисленность процессов, описываемых ф.-д. моделями, вызвала интенсивное развитие их теории, начавшееся в 40-х годах прошлого века. Ей полностью или в значительной степени посвящены труды Азбелева Н.В., Андрианова Д.Л., Бел-лмана Р., Долгого Ю.Ф., Красовского Н.Н., Кука К., Курбатова В.Г., Максимова В.П., МартынюкаД.И., Митропольского Ю.А., Мышкиса А.Д., Пинни Э., Пуляева В.Ф., Рахматулли-ной Л.Ф., Рубаника В.П., Румянцева А.Н., Тонкова Е.Л., Хала-ная А., Хейла Дж., Цалюка З.Б., Шиманова С.Н., Эльсгольца А.Э. и других ученых.

1 Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. -

2 Копелович А.П. Автоматическое регулирование в мерной металлургии. Краткий справочник.- М.: Гос. научно-техн. изд. по черной и цветной металлургии, 1963.

3 Мееров М.В. О стабилизации систем, содержащих элементы с запаздыванием // Автом. и телемех.- 1953.- т. 14, N 5.

4 Кухтенко А.И., Светличный П.Л., Шайхет Л.А., Шурис Н.А. Автоматизация очистных и проходческих работ.- М.: Гос. изд. научно-техн. литературы по горному делу, 1961.

5 Моругин Д.А. Импульсные устройства с запаздывающей обратной связью.- М., 1961.

6 Кадан Э.Д. Динамическое моделирование экономических систем.-Пермь, 1990

М.: ИЛ, 1961.

Вначале рассматривались модели с постоянными запаздываниями. Такой подход представляет собой шаг вперед по сравнению с изучением моделей "идеального" процесса, которые получаются в предположении отсутствия последействия и в ряде случаев хорошо отражают действительные явления. В других же случаях такие модели описывают процесс весьма приближенно. Так, например, модель годичного изменения численности популяции представляет собой уравнение с запаздыванием, обусловленным отставанием реакции популяции на изменение среды. При этом данный процесс хорошо описывается уравнением с постоянным запаздыванием. Но уже при изучении изменения численности популяции на протяжении нескольких лет приходится учитывать сезонные изменения среды, при которых запаздывания модельного уравнения становятся переменными, в данном случае периодическими. Таковы,

например, модель

¿(0 =T,Mi)*(W) (t € [0, оо[), *(0 = Äb (É < 0)

и более общая 8

<т

x{t) = J dR(r)x(t -т) + f(t) (t G [0, oo[). (2)

r\r 9 10

Об этом вынуждены говорить многие авторы , однако

7Tischler A., Bellman D. Combustion Instability in an Acid-Heptane Rocket with a Pressurized-gas Propellant Pumbing System USA, NASA, Technical Notes, N 2936, 1953.

8Dunkel G. Singl-species model for population growth depending on past history. Lecture Notes in Math., v. 60. Springer-Verlag, 1968.

"Булгаков Б.В. Колебания.- М.: Гостехиздат, 1954.

10Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. Изд. 3.- М.-Л.: Госте-хиздат, 1952.

применяемый этими исследователями математический аппарат заставляет их принимать упрощающее предположение о постоянстве запаздываний. Это объясняется тем, что, хотя к настоящему времени по этой тематике и получен ряд глубоких теоретических результатов (см., например, библиографию в п), далеко не всегда они носят эффективный характер. А это либо затрудняет их применение на практике, либо делает его даже невозможным. 12

С другой стороны, в работах сугубо прикладного характера вопрос о проверке соответствующих теорем зачастую остается открытым, тогда как при изучении реальных систем он приобретает первостепенное значение.

Наконец, при изучении новых моделей, например, в экономике 13

¿(<) +1 ¿.К{г, *)х{в) = № (* е [о, 6]), (з)

существующие методы оказываются неприменимыми, а имеющиеся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях.

Все это делает создание более глубокой теории ф.-д. уравнений, разработку эффективных методов их исследования,

1хДж. Хейл. Теория функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1984.

12Упомянем две работы, являющиеся исключением ио этого "правила'':

Румянцев А.Н. Вычислительный эксперимент в исследовании ф.-д. моделей: теория и приложения. Автореферат ... докт. фио.-матем. наук. Казань, 1999.

Ким А.В., Ложников А.Б. Математическое моделирование систем с последействием: теория, алгоритмы, программное обеспечение // Изв. ИМИ. Ижевск, 2002.- N 2.

13Андрианов Д.Л., Максимов В.П. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием // Вестник ПГУ. Экономика. Пермь: Изд. Перм. ун-та, 1995. Вып. 2.

основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем, актуальной задачей.

Объект исследования — математические модели физических, химических, биологических и других естественнонаучных, а также социальных, экономических и технических объектов, представляющие собой ф.-Д. уравнения вида (1) - (3) и более общие. В частности, рассмотрены ф.-д. модели с распределенным запаздыванием, почти периодические (по Бору) дифференциальные модели, а также периодические ф.-д. модели вида (1) с несоизмеримыми периодами коэффициентов и запаздываний.

Цель диссертационной работы состоит в разработке ряда фундаментальных теоретических положений относительно общих ф.-д. моделей, в получении на их основе эффективных критериев устойчивости широкого класса моделей (1) — (3) и создании для их проверки конструктивных методов, основанных на применении современных компьютерных технологий.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:

- установлен ряд свойств интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, с помощью которых выведены формулы Грина (Коши) представления решения общей краевой задачи для ф.-д. моделей, широко используемые при исследовании их устойчивости;

- разработаны конструктивные методы исследования устойчивости периодических ф.-Д. моделей с распределенным и сосредоточенным запаздываниями, допускающие применение компьютера;

- разработан эффективный метод исследования устойчиво-

сти периодического дифференциального уравнения с запаздываниями, являющегося моделью процесса горения в камере жидкостного реактивного двигателя;

- создан эффективный метод установления устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний как наиболее точно описывающий изучаемое устройство;

- разработаны методы установления устойчиво сти. почти периодической дифференциальной модели;

- получен эффективный признак устойчивости интегрального уравнения Вольтерры с запаздыванием, являющегося моделью импульсного устройства с запаздывающей обратной связью;

- разработана методика, позволяющая с помощью введения в изучаемое устройство обратной связи от неустойчивой ф.-д. модели перейти к устойчивой, а для устойчивой, оставляя ее таковой же, добиться потребления моделируемым устройством как можно меньшего количества энергии.

Методы исследования. В основе полученных в диссертации результатов лежат методы функционального анализа, теории функций действительной и комплексной переменных, ф.-д. и интегральных уравнений и алгебры.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертационной работе методы являются конструктивными. Они изложены в форме, удобной для практических расчетов, а разработанные на их основе алгоритмы могут быть применены для установления устойчивости многих экономических систем, импульсных устройств с запаздывающей обратной связью, процессов горения в реактивных двигателях и других объектов.

Полученные результаты могут быть использованы также в различных разделах математики: функциональном анализе, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнениях с запаздыванием.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: "Нелинейные колебания" (Будапешт, 1987), "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2000, 2002), "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000); на всесоюзных: "Функционально-дифференциальные уравнения" (Магнитогорск, 1984), (Душанбе, 1987),"Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989); на всесоюзной школе по теории операторов (Тамбов, 1987); на республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений" (Рига, 1988); на Понтрягин-ских чтениях-4 (Воронеж, 1993); на всероссийской математической конференции (Магнитогорск, 1999); на Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988; Уфа, 1999, 2003): на второй северо-кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала, 1989); на конференциях математических кафедр пединститутов Уральской зоны (Ижевск, 1969); на межвузовской конференции "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1996); на конференции по дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом в университете Дружбы народов им. П. Лумумбы (Москва, 1969); на 14-й научно-технической конференции ВЗПИ (Москва, 1970); на научно-технических конференциях Пермского политехнического института (Пермь, 1976 - 1983); на Пермском горо-

дском семинаре по ФДУ под руководством проф. Азбелева Н.В. (1988 - 2000); на Магнитогорском городском семинаре по ФДУ (1986 - 1988); на Екатеринбургском городском семинаре по уравнениям с запаздыванием под руководством проф. Долгого Ю.Ф. (2001); на Ижевском городском семинаре под руководством проф. Тонкова Е.Л. (2002).

Публикации. Основные результаты представлены в работах [1] - [23]. Из них в диссертацию вошли только полученные диссертантом лично.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 281 страницах машинописного текста. Состоит из введения, восьми глав, заключения и списка цитируемой литературы, насчитывающего 330 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Будем придерживаться следующих обозначений.

Rn — пространство n-мерных вещественных векторов а = («i,...,ап) с нормой |( • |[.

Сп[«, Ь] — пространство непрерывных на [а, Ь] функций х : [а, 6] —> Rn с нормой ||ж||с" = max ||г(/)||.

NBVn[a, 6] — пространство непрерывных справа на.]а, Ь[ вектор-функций х : [а, 6] —* Rn с компонентами, имеющими на [а, Ь] ограниченную (полную) вариацию и равными 0 в точке 6, с нормой

£р[а, Ь] (1 < р < оо) — пространство классов эквивалентных между собой функций х : [а, Ь] —> Rn, суммируемых по

Лебегу на со степенью р, с нормой

Ь] — пространство классов эквивалентных между со-

бой функций х : [а, 6] Rn, измеримых по Лебегу и ограниченных в существенном на отрезке [а, 6], с нормой ЦхЦ^ =

vrai sup ||x(t)]|. teï«,4

£р[а, 6] (1 < p < oo) — пространство функций х(-) : [а, Ь] —►

R", суммируемых по Лебегу на отрезке [а, Ь\ со степенью р.

— пространство функций х(>) : [а, 6] —> Rn , измеримых по Лебегу и ограниченных в существенном на [а, Ь].

АСп[а, Ь] — пространство абсолютно непрерывных на [а, 6] функций с нормой

В главе 1 для удобства дальнейшего чтения приведены некоторые сведения из различных разделов математики.

В главе 2 рассматриваются некоторые вопросы теории функций и функционального анализа. Полученные здесь результаты используются ниже, но имеют и самостоятельный интерес.

Известно, что при построении общих ф.-д. моделей широко используются интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса. Так, подобные модели в теории оптимального управления использовал акад. Красовский Н.Н.14; такие уравнения являлись предметом исследования А.Д. Мышкиса15, и им установлен ряд свойств интеграла Римана-Стилтьеса, и т.д. При этом развитие теории таких моделей (см., например,16) требует знания новых свойств этих интегралов.

В §2.1 установлены некоторые свойства интегралов Рима-на-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, используемые для описа-

14О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи // ПММ, 27.- 1963.

15Мышкис А Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.:11аука, 1972.

16Андрианов Д.Л., Максимов В.П. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием// Вестник Пермского университета. Экономика, 1995.

ния общих ф.-Д. моделей. В частности, справедлива

Теорема 2.1.5. Пусть функция q : [a, b] х [с, <i] —► R удовлетворяет условиям Q :

Qi) vrai sup var q(t,s) < с < oo; «еМ

Q2)q(t,-)ecoo[c,d\ (te [a, 6]);

Q3) J q(-,s)ds G AC[a,b] (£G[c,d]);

Qi) q('is) непрерывна слева на ]a, Ь[ (.s G [с, ei]);

у : [а, Ь] —> R — ограниченная борелевская функция, ь

Тогда J y(r)dTq(T,-) G АхДс, d\ и при [с, d\ С [а, Ь] спра-

ведливо равенство

ь à d ь

j y(r)dT J q(r, rj)drj = J J y(r)dTq(T, rj)dr}. (4)

а с с a

Отметим, что условия Q легко проверяются на практике, чем приведенное утверждение выгодно отличается от несимметричной теоремы Фубини, установленной известными американскими математиками Камероном и Мартином.17

При изучении ф.-Д. модели, как и при рассмотрении уравнений в произвольных банаховых пространствах, большую роль играет сопряженное уравнение. Оно позволяет, в частности, установить формулу представления общего решения рассматриваемой модели (типа формулы вариации постоянных), используемую, в свою очередь, для решения ряда задач прикладного характера, связанных с устойчивостью, различными

17Cameron R.H. and Martin W.T. An unsymmetric Fubini theorem // Bull. Amer. Math. Soc- 1941.- N 47.

оценками их решений и т.д. При этом неизбежно встает вопрос о построении соответствующих сопряженных операторов. Полученные в работе аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов, в основном неограниченных, собраны в §2.2. Остановимся на одном из них.

Будем говорить, что функция К : [а, 6] х [а, Ь] —> Л" удовлетворяет условиям К, если:

К\) К(-, з) при всех 5 суммируема;

К2) •) при почти всех (п.в.) £ интегрируема по Риману;

К3) существует неотрицательная суммируемая функция у : [а, Ъ] —»■ Л1 такая, что \\Kit, -)|| < при п.в. t.

Пусть Л : АСп С Сп -» Ц, Л = В + Г, где Б — оператор дифференцирования, (х € АСп)

причем функция удовлетворяет условиям

К, К(-,,Ь) = 0 п.в. на [а,Ь]; — множество классов у е Ь"0, имеющих своими представителями интегрируемые по Риману функции у : [а, Ь] —* Кп.

Ъ{А*) = 1п±{уеьп00: -у(.) +1 е мвуп}

(5)

Тогда

И (у е т>(А*))

А*у{з)

В некоторых вопросах, связанных с представлением решений ф.-д. моделей, 18 требуется, чтобы рассматриваемый оператор являлся сопряженным к некоторому, вообще говоря, другому оператору. При этом оказывается полезным и явное выражение последнего. Иными словами, возникает задача восстановления оператора по его сопряженному. Решению этой задачи посвящен § 2.3.

Глава 3 посвящена решению общих вопросов, касающихся ф.-д. моделей, без которых невозможно получить многие конкретные результаты. Здесь рассматривается возможность представления общего решения ф.-Д. модели в виде формулы Грина (Коши), а также приводятся методы получения оценок сверху и снизу решений этих моделей.

Наиболее широкий класс математических моделей, к которому относятся дифференциальные уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздываниями, интегро-дифференци-альные уравнения, уравнения нейтрального типа и др. может быть описан уравнением

Ax(t) = f(t) (*еМ), (б)

где Л : АСп С Сп —— линейный неограниченный плотно определенный оператор. Присоединяя к (6) краевое условие

Or = а, (7)

где вектор-функционал i! : АСп С С™ —» Rn также неограничен, и вводя оператор ^ ^ ^ : АСп С Сп —» L* х Rn, опреде-

18Рахматуллина Л. Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения: Дисс ... д-ра физ.-матем. наук- Киев, 1982.

19Аобелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1991.

ленный правилом

получаем кра, ^ A j x{f) = ^ /(*) ^ ç ^ &]) (g)

В §3.1, занимающем центральное место третьей главы, рассматривается возможность представления общего решения задачи (8) в виде равенства

x(t) = X(t)a + J G(t, s)f{s) ds (t G [a, b]), (9)

играющего ту же роль в теории ф.-д. моделей, что и формула Грина в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и с помощью которой получен ряд важных результатов прикладного характера.

Здесь же получены и системы уравнений относительно матрицы Грина общей краевой задачи для ф.-Д. уравнений как функции первого и второго аргументов соответственно. Отметим, что на необходимость их построения в свое время указывал проф. Азбелев Н.В. (см.20, с. 61).

В §3.2 рассматривается разрешимость задачи Коши для ф.-д. модели с распределенным запаздыванием (3), где интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса.

Традиционно полагают, что в модели (3) K(t, •) имеет на [0, b] ограниченную вариацию; при этом в виде (3) могут быть

^Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1991.

записаны обыкновенные дифференциальные уравнения, интег-ро-дифференциальные и дифференциальные уравнения с сосредоточенным запаздыванием.21 Нами модель (3) рассматривается с интегрируемой по Риману •)- Это позволяет существенно расширить класс математических моделей, записываемых в таком виде; при этом теория этой модели становится более стройной, а ее практическая реализация — проще. Имеет место

Теорема 3.2.6. Пусть функция К : [0,6] х [0,6] —» Ап (6 б]0,оо[) удовлетворяет условиям К, = 0 при з > t^,

х(0) = а0, «о € Л". (10)

Тогда задача (3) - (10) всюду однозначно разрешима, а ее •решение представимо в виде

с г с

*(*) = (Е + У Я(г, 0)Ж-)а0 + /(£ + / Я(г> (11)

о о «

где Д(-, •) — резольвента ядра А'(-,-) рассматриваемого в пространстве £"[0,6] уравнения

В § 3.3 излагается способ получения оценки сверху решений ф.-д. моделей.

В § 3.4 между решениями х и у(<, •) двух ф.-д. моделей устанавливается соотношение

у(<, *)*(*) = у(*,0)®(0)>

21Максимов В.П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение. Дисс. ... канд. фио.-матем. наук .- Казань, 1974.

частный случай которого широко применяется в теории оптимального управления, в дифференциальных играх и т.д. Здесь оно используется для получения оценок снизу решений ф.-Д. моделей.

Начиная с четвертой главы, рассматриваем имеющие широкое применение ф.-д. модели с периодическими параметрами. Нами разработаны конструктивные (эффективно реализуемые с помощью компьютерных технологий) методы исследования на устойчивость этих моделей.

В главе 4 рассматривается модель (3), где п х п-матри-ца удовлетворяет условиям в которых условие

заменено условием

3) при всех s G [0, оо[ и п.в. i е [5, оо[

и а;-периодична по двум аргументам.

Пусть А = {(¿, s) : 0 < s < t < 00}. Воспользуемся полученным в §3.2 представлением (11) решения модели (3), удовлетворяющего условию (10). Видим, что устойчивость этой модели обеспечивается оценкой

\\R(t,s)\\<coexp(a(t-s)), (t,s) £ А (13)

при , получением которой вначале и занимаемся. Положим

где (F, s) Е D, z — комплексная переменная.

Следующее утверждение устанавливает связь показателя а в оценке (13) с областью аналитичности функции r(i, s, •).

Теорема 4.1.1. 1) Пусть существует р > 0 такое, что функция Г(?,з, •) аполитична внутри окружности \z\ = р и ограничена на ней равномерно по t,s при п.в. s.

Тогда найдется с0 > 0 такое, что при всех t G [0, oof и п. в. s € [0,i] выполняется неравенство (13), где а = —(In р)/ш.

2) Пусть существуют а исо> 0 такие, что выполняется неравенство (13).

Тогда функция •) аналитична внутри окружности

\z\ = ехр(—аш).

Для случая, когда ядро К(-, •) вырождено, установлены формулы коэффициентов ряда (14):

R(t + ku, s) = Ф(4, s)(E + T(s))kB(s), (t, s) e D,

где i?(-, •) — резольвента ядра A(-)B(-) уравнения (12), t

Ф(*, s) â J R(t, + A(t), (t, s) G D,

s-f-w

T{s)± j (ï€[0,w]).

Это дает возможность исследование устойчивости модели (3) свести к нахождению собственных чисел матрицы E+T(s). Оказывается, что они не зависят от s, и потому справедлива

Теорема 4.1.2. Для того чтобы имела место оценка (13), условие

< ехр(аш), sup max ||r(f, s,г)|| < oo (l,s)gü М=«Ф (-<*<")

достаточно, а условие

|А(1)| < ехр(аи>)

необходимо.22

Природа модели (3) такова, что матрица и может быть найдена лишь в исключительных случаях. Поэтому, имея в виду получение практически значимого критерия, в §§4.3,4.4 разрабатывается алгоритм конструктивного исследования устойчивости рассматриваемой модели, ориентированный на применение компьютера. В качестве примера доказывается устойчивость уравнения колебаний упругой струны.

В главе 5 рассматривается "периодическая" дифференциальная модель с запаздыванием (1), описывающая, например, процесс горения в жидкостном реактивном двигателе, работу системы типа электромагнитного прерывателя, некоторые экономические процессы и др.

Первый путь исследования устойчивости данной модели, предложенный акад. Н.Н. Красовским 23 и которым идет большинство ученых, работающих в этой области 24, приводит к оценке спектрального радиуса так называемого оператора мо-нодромии. Наиболее далеко в этом весьма трудном вопросе

223десь Л^ — наибольшее по модулю собственное число матрицы и = Е +1

23Красовский И.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.-М.: Физматгиз, 1959.

24Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // ПММ-- 1963.-т.27, вып. 3.

продвинулся проф. Ю.Ф. Долгий, предложивший метод конечномерной аппроксимации натуральной степени этого оператора. При этом ему удается исследовать асимптотическую устойчивость широкого класса моделей вида (1) 25.

Второй путь, предложенный проф. Н.В. Азбелевым и его учениками26, заключается в переходе от модели (1) (при £ < 0) к равносильному уравнению

¿(0 = £ Л(*)Я®(*) + /(0 (* е [о, оо[),

>=1

где оператор внутренней суперпозиции Sht : ACnf0,6l —> L"f0,61 определен равенством (х € ЛС"[0, 6]) (6 (Е]0, оо[)

ShiX(t)

x(hi(t)), hi(t) 6 [0,6]; 0 />,(*)£ [0,&],

а ДО = где

»=i

0, ад €[0,6];

V(hi(t)), hi(t)£[0,b}.

При этом общее решение модели (1) записывается в виде

и вопрос об устойчивости некоторых типов таких моделей сводится к оценке спектрального радиуса матрицы монодромии

25Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург, УрГУ.- 1996.

26Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1991.

С(т1 +и,Т1) 27, а для получения эффективных признаков их устойчивости, подобно тому как это сделано в работе 28, — к оценке их мультипликаторов.

Мы изучаем устойчивость модели (1) в рамках "периодического" интегрального уравнения Вольтерры с запаздыванием

где w-периодические по двум аргументам nxn-матрицы •) таковы, что

1) Ki(-,s) измеримы и локально ограничены в существенном на

2) Ki(t, •) суммируемы н [А,П р и всех t е [0, оо[;

3) ||tfi(t,a)|| < cexp(-y(t — s)) при п.в. t € [0,оо[ и п.в. s Е [О, i], где с, 7 > 0 — некоторые числа;

4) Ki(f, *) = 0 при 5 > t;

заданные на [0, оо[ скалярные функции hi (г = 1,..., m) из-

меримы, удовлетворяют условию независания J и определяют начальный промежуток ]а,0], включающий значения < О при -периодические функции

существует число такое, что при

S > Si]

-мерная функция определена на промежутке измерима и локально ограничена в существенном на нем.

27Башкиров А.И. Устойчивость решений периодических систем с последействием. Канд. дисс- Пермь, 1986.

28Комленко Ю.В., Тонков Е.Л. О мультипликаторах линейного периодического дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Сиб. матем. журнал, 1974.-Т. 15, N 4.

29Лзбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1991.

Привлекательность интегральных уравнений с запаздыванием состоит в возможности приближенного нахождения резольвентных ядер как частичных сумм определяющих их рядов, а реализованные с помощью ЭВМ современные средства вычислений позволяют найти их с достаточной для практических нужд степенью точности. При этом удается: установить критерии устойчивости некоторых типов "периодических" моделей вида (1); полученные критерии проверить на практике, в том числе с применением компьютера; найти экспоненциальную оценку их решений не только с отрицательным показателем, но и с положительным, если, конечно, она в действительности такова; указать способ, позволяющий прикладнику от неустойчивой модели вида (1) перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньших энергетических затрат на функционирование моделируемого ею устройства; рассмотреть трудно поддающийся исследованию случай несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний.

Приведем некоторые результаты относительно модели (1) или, что то же, относительно уравнения

где х{'1") _ характеристическая функция множества Д; ш-периодические (ш > 0) п х п-матрицы ■/!,(•) измеримы и ограничены в существенном на [0,о;]; остальные условия — те же, что и для уравнения (15).

Отметим, что приводимые здесь результаты в своей главной части не распространяются на уравнение (15) общего вида. Таким образом, оно является лишь удобным инструментом для изучения модели (1).

Пусть Ri(-,-) — резольвентные ядра уравнения (16). Введем матрицу, играющую в этом параграфе главную роль, положив при любых tus

Теорема 5.1.3. Пусть существует число з! 6 [0,оо[ша-кое, что /1,(5) > щи й > а / локально абсолютно непрерывна на [51,оо[.

Тогда решение уравнения

г т

х(0 = / + /(<) (t е [ei,oo[)

ла «'=1

при п.в. t Е [si,oo{) определяется формулой x(<) = C(í,5l)/(ei)

(18)

Заметим, "что равенство (18) обобщает известную формулу Коши 30 для обыкновенного дифференциального уравнения. Поэтому С(-,0 называем матрицей Коши модели (1).

Из (18) видно, что для получения экспоненциальной оценки решения модели (1) нужна оценка

IIC(t,s)\\ < с0ехр(«(< - a)), (t,s) G Д,,

где Д! = {(t,s) : s^ < s < t < 00}. Займемся ею. Положим

D = {(í,s):si <s<t<s + w<si+ 2u>},

(19)

30Барбашин ЕА Введение в теорию устойчивости.- М.: Наука, 1967.

где (£, 1) е .0, ,г — комплексная переменная.

Следующее утверждение устанавливает связь показателя о/ в оценке (19) с областью аналитичности функции Г(£, й, •).

Теорема 5.2.1. 1) Пусть существует р > О такое, что функция Г(£, 5, •) аналитична внутри окружности |г| = р и ограничена на ней равномерно поЪив.

Тогда существует со > О такое, что выполняется неравенство (19), где а = —(\пр)/и.

2) Пусть существуют аис0> 0 такие, что выполняется неравенство (19).

Тогда функция Г(?,•) аналитична внутри окружности \г\ = ехр(—аш). 31

Замечание. Бросается в глаза сходство теорем 4.1.1 и 5.2.1, и может возникнуть соблазн получить оценку не ||С(£,.$)||, как это делаем здесь, а ||Д,(*,з)||, подобно тому как это было сделано в главе 4. Однако такой путь, как показывает анализ, к цели не приводит. Не дает желаемого результата и попытка в главе 4 получить оценку ||С(£,з)||, как это делаем здесь.

Пусть А — наибольшее по модулю собственное число матрицы (7(32,5!). На основании теоремы 5.2.1 доказывается

Теорема 5.2.2. Для того чтобы имела место оценка (19), условие

|А| < ехр(аш)

достаточно, а условие

|А| < ехр(аш)

31 Матрицы •), а, следовательно, и С(-, •), удовлетворяют третьему из условий па ядра /£«(-,•) уравнения (25). Поэтому радиус окружности, внутри которой функция Г(Г, с, •) аналитична, отличен от 0.

необходимо.

Поскольку матрица C(s2,.s1) может быть найдена лишь в исключительных случаях, то в § 5.4 строится алгоритм ее (и, как следствие, Л) приближенного вычисления, позволяющий провести конструктивное исследование устойчивости изучаемой модели. В качестве иллюстрации доказана устойчивость одной из моделей динамики уровня основных производственных фондов.

Показатель а в оценке (19) может оказаться положительным; либо отрицательным, но большим по модулю. Поскольку то и другое в реальных системах нежелательно, в § 5.5 разработана методика, позволяющая для этих случаев, взяв у < О, от модели (1) перейти к устойчивой модели (i £ [0, оо[)

Этот прием с технической точки зрения означает введение в моделируемое устройство обратной связи, которая и позволяет от неустойчивой модели перейти к устойчивой, а устойчивую Оставить таковой же, но требующей меньшего потребления энергии моделируемым устройством. Отметим, что на практике для этого конструируются блоки запаздывания, включаемые в линии обратной связи, причем в отличие от нас величина запаздывания подбирается эмпирически.

Стремясь возможно более точно описать моделируемое устройство, в главе 6 рассматриваем случай, когда в модели (1) периоды коэффициентов Ах и запаздываний д, несоизмеримы. Главную роль здесь играет вводимый нами класс слабо периодических матричных функций, "близких" к

Определение 6.2.1. Заданную на промежутке [0, оо[ма-тричную функцию назовем слабо периодической, если су-

и рассматривать Hf(-) как постоянно действующие возмущения. Таким образом, вопрос об устойчивости модели (1) в этом случае сводится к установлению оценки вида (19) матрицы Коши Се(•) неоднородного уравнения (20). Приведем соответствующее утверждение.

Теорема 6.3.1. Пусть

sup ||С£(г,б)|| <Cl

Sl<S<t<Sl+T,

max{j|C£(^ +rI,5l)Hi||C£(-Si +n,5i)||} < г,

где Cj > 0 rt г > 0 — некоторые числа. Тогда имеет место оценка

||C£(i,s)|| < cexp(a(i — 5)), (t,s) € Дь

где

_ Г max{cjr'

\ max{cji'

a = (br)/j9,

ft = (Pn + ftnPn+l)u,

-{0+rClV-T./P} при r < Л.+1w/0 ClJ при r > I

Отметим, что весьма существенным для предлагаемого метода исследования данной модели является то, что он дает возможность получения экспоненциальной оценки ее матрицы Коши (с отрицательным показателем), если она в действительности имеет место.

В § 6.5 приводится алгоритм, позволяющий провести конструктивное исследование рассматриваемой модели на устойчивость.

К предыдущей главе естественным образом примыкает глава 7, в которой рассматривается почти-периодическая дифференциальная модель

Основная идея главы 6 (введение слабо периодических матриц) позволяет и здесь определить экспоненциальную оценку матрицы Коши уравнения

со слабо периодической матрицей после чего

рассматриваются как постоянно действующее возмущение.

Отметим, что относительно плотное множество {т/с}, используемое для построения помимо своей основной роли, позволяет дать отличные от известных нам доказательства почти периодичности некоторых матриц; в частности, суммы и произведения периодических матриц с несоизмеримыми периодами.

Глава 8 посвящена изучению устойчивости интегральных моделей.

При составлении математической модели реального явления ее параметры (в частности, запаздывания) неизбежно определяются с некоторой погрешностью. Возникает задача о

сохранении устойчивости математической модели при их возмущении. В §8.1 рассмотрен этот вопрос применительно к. уравнению

x{t) = J K(t, s)x{y(s))ds + /(i) (t €]a, cx>[), (21) 0

являющемуся математической моделью, например, импульсного устройства с запаздывающей обратной связью.32 Наряду с (21) рассмотрим модель

x{t) = J K(i, s)xW(s))ds + m (t e]a, oo[), (22) 0

и пусть

St = vrai sup Iф(Ь) —

¿6[0,oo[ t

к» = lim vrai sup / || K(t + h,s) — if(f,.s)||<is,

h-*0+ ie[o,oo[ J t

vrai sup I II Jî(t, s)\\d$ < ci < oo, te[o,°°[ {

где R{-,-) — резольвентное ядро модели (21).

Следующее утверждение дает важное для приложений конструктивное описание окрестности устойчивой модели (21).

Теорема 8.1.1. Пусть относительно моделей (21) и (22) выполнены те же условия, что и для уравнения ( 15), и модель (21) устойчива.

32Моругин Д.А. Импульсные устройства с запаздывающей обратной связью.- М:, 1961.

Тогда, если существует а е]0,1/(2(1 + 2сх))[ такое, что к, < сг, то при достаточно малом 8„ устойчива и модель (22).

Отметим, что в ходе доказательства этого утверждения требуемая малость 6* устанавливается.

Последний, второй параграф восьмой главы, посвящен методу получения экспоненциальной оценки решения интегрального уравнения Вольтерры

x(t) = J K{t, з)ф) ds + f{t) it 6 [0, oo[), (23)

являющегося подходящей моделью для описания, например, сосуществования двух биологических видов 33. Пусть

Kit, s) â Kit, s) exp (0(í - s)), (3 > 0, (24)

Q(-,*) и RQi-,-) — соответственно ядро вспомогательного уравнения вида (23) и его резольвента,

Hit,s)±Kit,s)-Qit,s). (25)

Теорема 8.2.2. Пусть в модели (28)

vrai sup vrai sup |¡A'(<,s)||exp(—cvo(¿ — s)) < со,

te[o,oo[ зе[о,(]

где Со > 0 и cío — некоторые числа; определенная равенством (24), где ¡3 > 0 — некоторое число, матрица А'(-,-) имеет экспоненциальный порядок роста 7 > Со + h + 1, где

А ~(с° + + \/(со + + 4<г

33Вольтерра В. Математическая теория борьбы оа существование. М.: Наука, 1976.

а > 0 — заданное число; выполняется равенство-(25), где

vrai supvraisup||ff(i,3)|| < h. te[o,oo[ sefo.t]

Тогда, если выполняется неравенство

vrai sup vrai sup s)|| exp(—cv(i — -s)) < с < oo,

tg[0,oo[ s£[0,t]

где с < c0 + h, mo RK(-,-) удовлетворяет неравенствам

vrai sup vrai sup ||.RK(i,.s)|| exp((/? — a — a)(t — s)) < oo, te[o,oo[ 56[o,t]

vrai sup I ||ЯК"(М)|| exp ((/? -a- a)(t - s))ds < oo. te[o,cc[ J

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации разработан ряд теоретических положений относительно математических моделей, представляющих собой ф.-Д. уравнения. В частности,

- установлен ряд свойств интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, используемых при описании общих ф.-д. моделей (теоремы существования, об изменении порядка интегрирований в повторных интегралах и др.);

- найдены аналитические выражения некоторых сопряженных операторов, в основном неограниченных, применяемых, в частности, для изучения устойчивости ф.-д. моделей;

- предложен способ восстановления оператора по его сопряженному, используемый, например, при получении интегрального представления решений ф.-Д. моделей;

- доказана разрешимость задачи Коши для ф.-д. уравнения с распределенным запаздыванием, являющегося общей математической моделью многих реальных процессов;

- введены понятия левой и правой матриц Грина (Коши) краевой задачи для общей ф.-д. модели; получены уравнения относительно этих матриц как функций первого и второго аргументов, лежащие в основе критериев возможности представления решений ф.-д. моделей в виде формулы Грина (Коши);

- выведены формулы Трипа. (Коши) представления решения общей краевой задачи для ф.-д. моделей, широко используемые при исследовании асимптотики их решений;

Полученные теоретические результаты применяются для установления различных свойств некоторых классов ф.-д. моделей. В частности,

- указаны методы нахождения оценок сверху и снизу решений ф.-д. моделей, в том числе интегро-дифференциальных;

- предложен метод исследования устойчивости периодической ф.-Д. модели с распределенным запаздыванием;

- построен алгоритм для установления устойчивости периодической ф.-д. модели с распределенным и сосредоточенным запаздываниями, допускающий применение компьютера;

- приведен метод исследования устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая соизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний;

- введен класс слабо периодических функций и на его основе разработан метод определения устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний как наиболее полно описывающей моделируемое устройство;

- разработаны эффективные методы определения устойчи-

вости почти периодической дифференциальной модели;

- исследован вопрос о сохранении устойчивости модели, представляемой интегральным уравнением Вольтерры с запаздыванием, при его возмущении;

- указан способ вычисления параметров экспоненциальной оценки решения модели, представляющей собой интегральное уравнение Вольтерры;

- предложен прием, позволяющий с помощью введения в изучаемое устройство обратной связи от неустойчивой ф.-д. модели перейти к устойчивой, а для устойчивой, оставляя ее таковой же, добиться потребления моделируемым устройством как можно меньшего количества энергии.

ПУБЛИКАЦИЯ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

1. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения.-1969.- Т. 5, N 7.- С. 1256 - 1266 (соавторы: Артемьев М.И., Вержбицкий В.М., Цалюк З.Б.).

2. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти-периодическими ядрами и запаздываниями // Докл. АН СССР.- 1971.Т. 201, N 4.- С. 1704 - 1707 (соавтор: Винокуров В.Р.).

3. О порядке роста резольвентных ядер системы интегральных уравнении Вольтерра с периодическими ядрами и запаздываниями // Дифференц. уравнения.- 1971.- Т. 7, N 12.- С. 2246 - 2252.

4. Об асимптотическом поведении решения квазилинейной системы интегральных уравнений Вольтерра с постоянным запаздыванием аргумента // Дифференц. уравнения.-1971.- Т. 7, N 6.- С. 1133 - 1134.

5. Об оценке снизу решений интегро-дифференциальных уравнений с запаздыванием // Краевые задачи. - Пермь, 1979.-

С. 183 - 186.

6. Некоторые свойства фундаментальной матрицы системы интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Диффе-ренц. уравнения.- Рязань, 1981.- С. 10 - 12 (соавтор: Винокуров В.Р.).

7. О некоторых свойствах фундаментальной матрицы системы интегро-дифференциальных уравнении Вольтерра // Иов. вузов. Математика.- 1982,- N 9.- С. 77 - 80 (соавтор: Винокуров В.Р.).

8. О некоторых свойствах функционально-дифференциальных уравнений // Иов. вузов. Математика.- 1984.- N 6.- С. 3

- 10 (соавтор: Абдрахманов В.Г.).

9. Сопряженные системы линейных интегральных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика.- 1984.- N 6.- С. 70

- 76 (соавтор: Винокуров В.Р.).

10. Обобщенное полугрупповое свойство матрицы Коши линейной краевой задачи // Краевые задачи.- Пермь, 1984.-С. 42 - 46.

11. Оценка роста решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения.- Пермь, 1985.- С. 30 - 33 (соавтор: Артемьев М.И.).

12. О разрешимости общей краевой задачи для одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика.- 1986.- N 11.- С. 3-11 (соавтор: Абдрах-манов В.Г.).

13. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика.- 1987.- N 5.- С. 3 -11 (соавтор: Абдрахманов В.Г.).

14. О матрице Грина как функции первого аргумента // Функционально-дифференциальные уравнения.- Пермь, 1988.-С. 60 - 63.

15. О матрице Коши функционально-дифференциального уравнения // Иов. вуоов. Математика.- 1989.- N 5.- С. 54 - 62.

16. Об уравнениях, определяющих матрицу Грина общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения // // Иов. вуоов. Математика.- 1993.- N 10.- С. 3-12 (соавтор: Абдрахманов В.Г.).

17. Критерий существования матрицы Грина оадачи Коши для функционально-дифференциального уравнения // Докл. АН СССР.- 1994.- Т. 49, N 1.- С. 174 - 175 (соавтор: Абдрахманов В.Г.).

18. О восстановлении оператора по его сопряженному // Изв. вуоов. Математика.- 1996.- N П.- С. 3-13 (соавтор: Абдрахманов В.Г.).

19. Об одном методе получения экспоненциальной оценки решения уравнения Вольтерра // Иов. вуоов. Математика. -1999.- N 4.- С. 79 - 82.

20. Об устойчивости решения оадачи Коши для периодического функционально-дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием // Иов. вуоов. Математика.- 2001.-N6.- С. 3-11 (соавторы: Абдрахманов В.Г., Сапрыкин Е.Ф.).

21. К вопросу об экспоненциальной устойчивости почти периодических дифференциальных уравнений // Иов. вуоов. Математика.- 2003.- N 4.- С. 57 - 60.

22. Экспоненциальная устойчивость почти периодических дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. -2003.- Т. 39, N 9.- С. 1282 - 1285.

23. Некоторые вопросы теории функционально-дифференциальных моделей.- Магнитогорск, иод. МаГУ, 2003.- 341 с.

¡РОСЛАЦНОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.Петербг?г

зз < ОЭ ЗСО »«

i - 1

281

РНБ Русский фонд

2004-4 23935

Регистрационный № 0363 от 2.04.2001 г. Подписано в печать 19.01.04 г. Формат 60x84 l/ti. Бумага тип. № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. _Уч-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 16. Бесплатно._

Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография МаГУ

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Смолин, Юрий Николаевич

О б означения Введение

Глава 1. Вспомогательные сведения

§1.1. Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа

§ 1.2. Некоторые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений

Глава 2. Резз^льтаты общетеоретического хах>актера

§2.1. Свойства интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса

§2.2. Аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов

§2.3. Восстановление операторов по их сопряженным

Глава 3. Общие вопросы теории функционально-дифференциальных моделей

§3.1. Представление общего решения функционально-дифференциальной модели

§3.2. Разрешимость задачи Коши для функционально-дифференциальной модели с распределенным запаздыванием

§3.3. Оценки сверху решений функционально-дифференциальных моделей

§3.4. Оценки снизу решений функционально-дифференциальных моделей

Глава 4. Устойчивость периодической дифференциальной модели с распределенным запаздыванием

§4.1. Конструктивные оценки показателя экспоненциальной устойчивости и свойства производящей функции. Определяющая матрица

§4.2. Вспомогательные соотношения, использующие композиционное произведение ядер

§4.3. Конструктивная аппроксимация определяющей матрицы в классе вычислимых матриц

§ 4.4. Алгоритмы и схема вычислительного эксперимента по исследованию устойчивости

Глава 5. Устойчивость периодической дифференциальной модели с сосредоточенным запаздыванием. Случай соизмеримых периодов

§5.1. Вспомогательные утверждения и оценки. Матрица Коши

§5.2. Конструктивное исследование асимптотики матрицы Коши

§5.3. Вспомогательные соотношения между резольвентными ядрами

§5.4. Алгоритмы и схема вычислительного эксперимента по исследованию устойчивости

§5.5. Коррекция показателя устойчивости модели

Глава 6. Устойчивость периодической дифференциальной модели с сосредоточенным запаздыванием. Случай несоизмеримых периодов

§6.1. Вспомогательные конструкции

§6.2. Класс слабо периодических матриц как основа конструктивной аппроксимации

§6.3. Конструктивное исследование вспомогательной модели

§6.4. Достаточный признак экспоненциальной устойчивости

§6.5. Алгоритмы и схема вычислительного эксперимента

Глава 7. Устойчивость почти-периодической дифференциальной модели

§7.1. Достаточный признак экспоненциальной устойчивости

§7.2. Устойчивость моделей со специальной конструкцией коэффициентов

§7.3. Случай эффективного вычисления показателя экспоненциальной устойчивости

§7.4. Признаки почти-периодичности матриц

Глава 8. Устойчивость интегральных моделей

§8.1. Сохранение устойчивости модели с запаздыванием при его возмущении. Конструктивное описание окрестности устойчивой модели

§8.2. Экспоненциальная оценка решения модели вольтеррового типа

Введение 2004 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Смолин, Юрий Николаевич

Актуальность темы. Функционально-дифференциальные (ф -д ) модели, учитывающие не только настоящее состояние объекта, но и его предысторию, имеют своим источником многочисленные задачи из различных областей знания. Примеры доставляют нам акустическая обратная связь [185], автоматические регуляторы ленточного транспортера [128] и прокатного стана [173], врубовые машины [144], импульсные устройства [177], экономические системы [114] и т.д.

Многочисленность процессов, описываемых ф.-д. моделями, вызвала интенсивное развитие их теории, начавшееся в 40-х годах прошлого века. Ей полностью или в значительной степени посвящены труды Азбелева Н.В., Андрианова Д.Л., Беллмана Р., Долгого Ю.Ф., Красовского Н.Н. Кука К., Курбатова В.Г., Максимова В.П., Мартынюка Д.И., Митро-польского Ю.А., Мышкиса А.Д., Пинни Э., Пуляева В.Ф., Рахматуллпноп Л.Ф., Рубаника В.П., Румянцева А.Н., Тонкова Е.Л., Халаная А., Хейла Дж., Цалюка З.Б., Шиманова С.Н., Эльсгольца А.Э. и других ученых.

1) = ¥>«) K<0), и более общая [313] а x(t) = J dR(r)x(t - т) + Д«) (t € [0, oo[).

2) 0

Об этом вынуждены говорить многие авторы [308, 309], однако применяемый этими исследователями математический аппарат заставляет их принимать упрощающее предположение о постоянстве запаздываний. Это объясняется тем, что, хотя к настоящему времени по этой тематике и получен ряд глубоких теоретических результатов (см., например, библиографию в [221]), далеко не всегда они носят эффективный характер. А это либо затрудняет их применение на практике, либо делает его даже невозможным.2

Наконец, при изучении новых моделей, например, в экономике [26]: существующие методы оказываются неприменимыми, а имеющиеся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях.

Все это делает создание более глубокой теории ф.-д. уравнений, разработку эффективных методов их исследования, основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем, актуальной задачей.

2Упомянем две работы, являющиеся исключением из этого "правила":

Румянцев А.Н. Вычислительный эксперимент в исследовании ф.-д. моделей: теория и приложения. Автореферат . докт. физ.-матем. наук. Казань, 1999.

3) о ф.-д. уравнения вида (1) - (3) и более общие. Рассмотрены ф.-д. модели с распределенным запаздыванием, почти периодические (по Бору) дифференциальные модели, а также периодические ф.-д. модели вида (1) с несоизмеримыми периодами коэффициентов и запаздываний.

Цель диссертационной работы состоит в разработке ряда теоретических положений относительно общих ф.-д. моделей, в получении на их основе эффективных критериев устойчивости некоторых типов моделей (1) - (3) и создании для их проверки конструктивных методов, основанных на применении современных компьютерных технологий.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:

- разработан эффективный метод исследования устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздываниями, являющегося моделью процесса горения в камере жидкостного реактивного двигателя;

- разработаны методы установления устойчивости почти-периодической дифференциальной модели;

- разработана методика, позволяющая с помощью введения в изучаемое устройство обратной связи от неустойчивой ф.-д. модели перейти к устойчивой, а для устойчивой, оставляя ее таковой же, добиться потребления моделируемым устройством как молено меньшего количества энергии.

Методы исследования. В основе полученных в диссертации резупьтатов лежат методы функционального анализа, теории функций действительной и комплексной переменных, ф.-д. и интегральных уравнений и алгебры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: "Нелинейные колебания" (Будапешт, 1987), "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2000, 2002), "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000); на всесоюзных: "Функционально-дифференциальные уравнения" (Магнитогорск. 1984), (Душанбе, 1987),"Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989); на всесоюзной школе по теории операторов (Тамбов, 1987); на республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений" (Рига. 1988); на Понтрягинских чтениях-4 (Воронеж, 1993); на всероссийской математической конференции (Магнитогорск, 1999); на Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988; Уфа, 1999, 2003); на второй северокавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала, 1989); на конференциях математических кафедр пединститутов Уральской зоны (Ижевск. 1969); на межвузовской конференции "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1996); на конференции по дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом в университете Дружбы народов им. П. Лумумбы (Москва, 1969); на 14-й научно-технической конференции ВЗПИ (Москва, 1970); на научно-технических конференциях Пермского политехнического института (Пермь, 1976 - 1983); на Пермском городском семинаре по ФДУ под руководством проф. Азбелева Н.В. (1988 -2000); на Магнитогорском городском семинаре по ФДУ (1986 - 1988); на Екатеринбургском городском семинаре по уравнениям с запаздыванием под руководством проф. Долгого Ю.Ф. (2001); на Ижевском городском семинаре под руководством проф. Тонкова E.JI. (2002).

Публикации. Результаты диссертации представлены в работах [260]

Содержание и основные результаты. В главе 1 для удобства дальнейшего чтения приведены некоторые сведения из различных разделов математики.

Известно, что при построении общих ф.-д. моделей широко используются интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса. Так, подобные модели в теории оптимального управления использовал акад. Красовскип Н.Н. [312]; такие уравнения являлись предметом исследования А.Д. Мы-шкиса [180], и им установлен ряд свойств интеграла Римана-Стилтьеса. и т.д. При этом развитие теории таких моделей (см., например, [26]) требует знания новых свойств этих интегралов.

В § 2.1 установлены некоторые свойства интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, используемые для описания общих ф.-д. моделей. В частности, справедлива

Теорема 2.1.5. Пусть функция q : [a, b] х [с, (/] —> R удовлетворяет условиям Q :

Qi ) vraisup var q{t, s ) < с < oo;

310].

Qi) g(*,-)e£ooM (f€[a,6]); seM с

Qs) Jq{-,s)dseAC[a.b] (£ e [c,d]); a

Qa) 4{-is) непрерывна слева на ]a,6[ (s e [c, r/]); у : [a, b\ —> R — ограниченная борелевская функция, ь справедливо равенство a b d d b a с с a

При изучении ф.-д. модели, как и при рассмотрении уравнений в произвольных банаховых пространствах, большую роль играет сопряженное уравнение. Оно позволяет, в частности, установить формулу представления общего решения рассматриваемой модели (типа формулы вариации постоянных), используемую, в свою очередь, для решения ряда задач прикладного характера, связанных с устойчивостью, различными оценками их решений и т.д. При этом неизбежно встает вопрос о построении соответствующих сопряженных операторов. Полученные в работе аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов, в основном неограниченных, собраны в §2.2. Остановимся на одном из них.

Будем говорить, что функция К : [а, 6] х [а, 6] —> Ап удовлетворяет условиям К, если:

К[) Л' (•, s) при всех s суммируема;

К-2) K(t, ■) при почти всех (п.в.) t интегрируема по Риману;

А'з) существует неотрицательная суммируемая функция <р : [а.Ь] —> В1 такая, что ||A'(i,-)ll < при п.в. t.

Пусть А : АС11 с С" L'{, А — D + Т, где D — оператор дифференцирования, (х е АС11) ь

Tx[t) = f dsK(t, s)x(s) (t e [a, ft]), (5) a причем функция К : [a, ft] x [a, ft] —> An удовлетворяет условиям К, A'(-, ft) = О п.в. на [a, ft]; L^ — множество классов у e Lимеющих своими представителями интегрируемые по Риману функции у : [a, ft] —> Rn.

Тогда 6

Р(А*) = Ln к {у G L^ : -у{.) + J y(t)K(t,-)dt е NBV»} a и (у € V(A*)) ь

-£(*) + Jy(t)K(t,s)dt, s e]a,ft], a b jy{t)K(t,a)dt, s = a.

A*y{8)

В некоторых вопросах, связанных с представлением решении ф.-д. моделей, [193] требуется, чтобы рассматриваемый оператор являлся сопряженным к некоторому, вообще говоря, другому оператору. При этом оказывается полезным и явное выражение последнего. Иными словами, возникает задача восстановления оператора по его сопряженному. Решению этой задачи посвящен § 2.3.

Глава 3 посвящена решению общих вопросов, касающихся ф.-д. моделей, без которых невозможно получить многие конкретные результаты. Здесь рассматривается возможность представления общего решения ф.-д. модели в виде формулы Грина (Коши), а также приводятся методы получения оценок сверху и снизу решений этих моделей.

Наиболее широкий класс математических моделей, к которому относятся дифференциальные уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздываниями, интегро-дифференциальные уравнения, уравнения нейтрального типа и др.[14] может быть описан уравнением

Ax(t) = f(t) (* е Ml), (6) где Л : АС" с Сп —> L7/ — линейный неограниченный плотно определенный оператор. Присоединяя к (б) краевое условие tlx = а, (7) где вектор-функционал Q : АС11 с Сп —> Rn также неограничен, и вводя оператор ( q j : АСп с Сп х Rn-> определенный правилом х = хе АСп), получаем краевую задачу

В §3.1, занимающем центральное место третьей главы, рассматривается возмолсность представления общего решения задачи (8) в виде равенства ь x{t) = X{t)a + J G{t,s)f{s)ds (feMl), (9) играющего ту же роль в теории ф.-д. моделей, что и формула Грина в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и с помощью которой получен ряд важных результатов прикладного характера.

Здесь же получены и системы уравнений относительно матрицы Грина общей краевой задачи для ф.-д. уравнений как функции первого и второго аргументов соответственно. Отметим, что на необходимость их построения в свое время указывал проф. Азбелев Н.В. (см. [14], с. 61).

Традиционно полагают, что в модели (3) K(t, •) имеет на [0,6] ограниченную вариацию; при этом в виде (3) могут быть записаны обыкновенные дифференциальные уравнения, интегро-дифференциальные и дифференциальные уравнения с сосредоточенным запаздыванием [156]. Нами модель (3) рассматривается с интегрируемой по Риману K(t,-). Это позволяет существенно расширить класс математических моделей, записываемых в таком виде; при этом теория этой модели становится более стройной, а ее практическая реализация — проще. Имеет место

Теорема 3.2.6. Пусть функция К : [0,6] х [0,6] А11 {Ь е]0,оо[) удовлетворяет условиям Л\ K(t,.s) =0 при s > t; х(0) =а0, of0 е Rn. (10)

Тогда задача (3) - (10) всюду однозначно разрешима, а ее решение представимо в виде t t t x(t) = (E + jR(T,0)dr)a0 + J(E + J R(T,s)dT)f(s)ds, (11) 0 0 s где R(-,-) —резольвента ядра /{(■, ■) рассматриваемого в пространстве L"[0,Ь] уравнения t y(t) = jK(t,s)y(s)ds + h(t) (fe[0,6]). (12) о

В §3.3 излагается способ получения оценки сверху решений ф.-д. моделей.

В §3.4 между решениями х и y(t, ■) двух ф.-д. моделей устанавливается соотношение y(t,t)x(t) = y(t, 0)а(0), частный случай которого широко применяется в теории оптимального управления, в дифференциальных играх и т.д. Здесь оно используется для получения оценок снизу решений ф.-д. моделей.

В главе 4 рассматривается модель (3), где п х n-матрица К(-,-) удовлетворяет условиям К, в которых условие А'з заменено условием 3) при всех s е [0, оо[ и п.в. t е [s,oo[

ЩМ)||<сехр(7(г-5)) (7>0), и w-периодична по двум аргументам.

Пусть Д = {(t,s) : О < $ < t < оо}. Воспользуемся полученным в §3.2 представлением (11) решения модели (3), удовлетворяющего условию (10). Видим, что устойчивость этой модели обеспечивается оценкой

Д(М)|| < Со exp(«(*-«)), (t,s) е Д (13) при cv < 0, получением которой вначале и занимаемся. Положим

D = {(?, s):0<s<i<s + u<2uj},

- 00

T(t,s,z)= R(t + kto, s)zk, (14) k=о где (f, s) e D, z — комплексная переменная.

Следующее утверлсдение устанавливает связь показателя а в оценке (13) с областью аналитичности функции T(F,s,•).

Теорема 4.1.1. 1) Пусть существует р > 0 такое, что функция Г(?,s, •) аналитична внутри окружности \z\ = р и ограничена на ней равномерно по t, s при П.В. S.

Тогда найдется со > 0 такое, что при всех t е [0, оо[ и п.в. s е [0,/] выполняется неравенство (13), где а = -(Ыр)/и>.

2) Пусть существуют а- и cq > 0 такие, что выполняется неравенство (13).

Тогда функция T(t, s, •) аналитична внутри окружности \z| = ехр(-cvtu). Для случая, когда ядро ) вырождено, установлены формулы коэффициентов ряда (14):

R(t + ku,s) = Ф(М)(Д+ Г(«))*Я(«), (t,s) € D, где jR(-,-) — резольвента ядра A(-)B(•) уравнения (12),

Ф(1, s) й J R(t,OA(№ + Ait), (t, s) € Д s

S+LO

T(s)± J В{ОЩ,т (seM). s

Это дает возможность исследование устойчивости модели (3) свести к нахождению собственных чисел матрицы E + T(s). Оказывается, что они не зависят от s, и потому справедлива

Теорема 4.1.2. Для того чтобы имела место оценка (13), условие < exp(rt'u), sup max \\T(t, s, z)|| < oo (t,s)€D M=exp(-cvw) достаточно, а условие lA^I < exp(rn^) необходимо.3

Природа модели (3) такова, что матрица U может быть найдена лишь в исключительных случаях. Поэтому, имея в виду получение практически значимого критерия, в §§4.3,4.4 разрабатывается алгоритм конструктивного исследования устойчивости рассматриваемой модели, ориентированный на применение компьютера. В качестве примера доказывается устойчивость уравнения колебаний упругой струны.

В главе 5 рассматривается "периодическая" дифференциальная модель с запаздыванием (1), описывающая, например, процесс горения в

3Здесь А(1) — наибольшее по модулю собственное число матрицы си

U = E + J Я(ОФ(£,0)#. жидкостном реактивном двигателе, работу системы типа электромагнитного прерывателя, некоторые экономические процессы и др.

Первый путь исследования устойчивости данной модели, предложенный акад. Н.Н. Красовским [132] и которым идет большинство ученых, работающих в этой области [231], приводит к оценке спектрального радиуса так называемого оператора монодромии. Наиболее далеко в этом весьма трудном вопросе продвинулся проф. Ю.Ф. Долгий, предложивший метод конечномерной аппроксимации натуральной степени этого оператора. При этом ему удается исследовать асимптотическую устойчивость широкого класса моделей вида (1) [94].

Второй путь, предложенный проф. Н.В. Азбелевым и его учениками [14], заключается в переходе от модели (1) (при £ < 0) к равносильному уравнению т i(t) = EMt)shix(t) + /№ (t € [0,оо[), i= 1 где оператор внутренней суперпозиции : АСп[0, 6] L"[0, 6] определен равенством (ж е АСп[0,6]) (6 е]0,оо[)

S,Hx(t) = т а/(*) = £Л-(%ДЧ0, где

•'•(/',(/))• WO е [0,6]; 0, hi(t)4[ 0,6],

0-1 if'1' 0, Л.-С0 е [0,Ь];

U MM*)), Ht){[o,b}.

При этом общее решение модели (1) записывается в виде t x(t) = C(t.,0)x(0) + J C(t, s)f(s) ds (*e[0,oo[), 0 и вопрос об устойчивости некоторых типов таких моделей сводится к оценке спектрального радиуса матрицы монодромии С{г\ + a;,7"i) [42], а для получения эффективных признаков их устойчивости, подобно тому как это сделано в работе [126], — к оценке их мультипликаторов.

К m

W = / EKi{^sMhi(s))ds + f{t) (гф,оо[), (15) n '= 1 где а;-периодические по двум аргументам п х гс-матрицы Л",-(-,-) таковы, что

1) Ki(-,s) измеримы и локально ограничены в существенном на [s,oc[ при п.в. s е [0,оо[;

2) Iii(t, •) суммируемы на [0,t] при всех t е [0,оо[;

3) ||ATt-(t,s)|| < cexp(y(t-s)) при п.в. t е [0,оо[ и п.в. s е [0,t], где с, 7 > О — некоторые числа;

4) Ki(t,s) = 0 при s > t; заданные на [0,оо[ скалярные функции Нг (г = 1 , .,т) измеримы, удовлетворяют условию независания ([14], с. 21) и определяют начальный промежуток ]а,0], включающий значения h{(t) < 0 при t е [0,оо[, h{(t) = t-gi(t), (^-периодические функции дг(-) > 0; существует число si > 0 такое, что hi(s) > s 1 при s > Si, n-мерная функция /(-) определена на промежутке ]а,оо[, измерима п локально ограничена в существенном на нем.

Привлекательность интегральных уравнений с запаздыванием состоит в возможности приближенного нахождения резольвентных ядер как частичных сумм определяющих их рядов, а реализованные с помощью ЭВМ современные средства вычислений позволяют найти их с достаточной для практических нужд степенью точности. При этом удается: установить критерии устойчивости некоторых типов периодических моделей вида (1); полученные критерии проверить на практике, в том числе4 с применением компьютера; найти экспоненциальную оценку их решении не только с отрицательным показателем, но и с пололейтельным, если, конечно, она в действительности такова; указать способ, позволяющий прикладнику от неустойчивой модели вида (1) перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньших энергетических затрат на функционирование моделируемого ею устройства; рассмотреть трудно поддающийся исследованию случай несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний.

Приведем некоторые результаты относительно модели (1) или, что то же, относительно уравнения

К т x(t) = JE\MM*Mbi(s))ds + f(t) (16) о i=1 где х(-, ■) — характеристическая функция множества А; ^'-периодические (и > 0) п х n-матрицы А;( ) измеримы и ограничены в существенном на [0,о;]; остальные условия — те же, что и для уравнения (15).

Отметим, что приводимые здесь результаты в своей главной части не распространяются на уравнение (15) общего вида. Таким обх^азом, оно является лишь удобным инструментом для изучения модели (1).

Пусть •) — резольвентные ядра уравнения (16). Введем матрицу, играющую в этом параграфе главную роль, положив при любых t и s 771

C(t,s) = I^Rt(t,T)X(hi(T),s)dT + x(t,s)E. (17) s i= 1

Теорема 5.1.3. Пусть существует число si е [0,оо[ такое, что h^s) > si при s > S{, а / локально абсолютно непрерывна на [.s-b оо[. Тогда решение уравнения m x(t) = / Е *) А^ММ*)) ds + f(t) (t е [si. oo[)

Si г=1 при и.в. t е [si,oo[) определяется формулой

Заметим, что равенство (18) обобщает известную формулу Коши [37] для обыкновенного дифференциального уравнения. Поэтому С'(-, ) называем матрицей Коши модели (1).

Из (18) видно, что для получения экспоненциальной оценки решения модели (1) нужна оценка

C(f,s)||<c0exp(^-.s)), (М)еДь (19) где Ai = {(t, s) : < s < t < оо}. Займемся ею. Положим

D = {(f.s) : sl < s < i < s + w < si + 2ы}, оо где (t,s) e D, z — комплексная переменная.

Следующее утверждение устанавливает связь показателя а в оценке (19) с областью аналитичности функции Г(£, s, •).

Теорема 5.2.1. 1) Пусть существует р > 0 такое, что функция Г(£, s, •) аналитична внутри окружности \z\ = р и ограничена на ней равномерно по i as.

Тогда существует cq > 0 такое, что выполняется неравенство (19). где a = -(\пр)/и>. 4

2) Пусть существуют а и с0 > 0 такие, что выполняется неравенство (19).

Тогда функция r(t, s, •) аяалитична внутри окружности \z\ = exp(-acj).

Замечание. Бросается в глаза сходство теорем 4.1.1 и 5.2.1, и может возникнуть соблазн получить оценку не ||C(t,s)||, как это делаем здесь, а \\Ri(t,s)\\, подобно тому как это было сделано в главе 4. Однако такой путь, как показывает анализ, к цели не приводит. Не дает желаемого результата и попытка в главе 4 получить оценку ||С(£, s)||, как это делаем здесь.

Пусть Л - наибольшее по модулю собственное число матрицы C(s-2, S'i )• На основании теоремы 5.2.1 доказывается

Теорема 5.2.2. Для того чтобы имела место оценка (19), условие

А| < exp(au)) достаточно, а условие

А{ < ехр(аси) необходимо.

Поскольку матрица C(.S2:S[) может быть найдена лишь в исключительных случаях, то в §5.4 ст^юится алгоритм ее (и, как следствие. Л) приближенного вычисления, позволяющий провести конструктивное исследование устойчивости изучаемой модели. В качестве иллюстрации доказана устойчивость одной из моделей динамики уровня основных производственных фондов.

Показатель а в оценке (19) может оказаться положительным; либо отрицательным, но большим по модулю. Поскольку то и другое в реальных системах нежелательно, в §5.5 разработана методика, позволяющая для этих случаев, взяв у < 0, от модели (1) перейти к устойчивой модели (t € [0,оо[) x(t) = (7 - a)x(t) + £ (0 Ai(t)x[hi(t)) - (7 - a)ip(0) x(0 = <P(Q (f < О)

Матрицы Ri(-, •), а, следовательно, и C(-, •), удовлетворяют третьему из условий на ядра /({(■,■) уравнения (25). Поэтому радиус окружности, внутри которой функция Г(<,с, •) ана-литична, отличен от 0.

Этот прием с технической точки зрения означает введение в моделируемое устройство обратной связи, которая и позволяет от неустойчивой модели перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньшего потребления энергии моделируемым устройством. Отметим, что на практике для этого конструируются блоки запаздывания, включаемые в линии обратной связи, причем в отличие от нас величина запаздывания подбирается эмпирически.

Стремясь возможно более точно описать моделируемое устройство, в главе 6 рассматриваем случай, когда в модели (1) периоды коэффициентов А{ и запаздываний несоизмеримы. Главную роль здесь играет вводимый нами класс слабо периодических матричных функций, "близких" к Ai.

Определение 6.2.1. Заданную на промежутке [0,оо[ матричную функцию А\ назовем слабо периодической, если существует относительно плотное множество {тк} (к = 0,1,.) и .si > 0 такие, что A](t) = Af(t - тк) При t Е [-5J + Tk,Si + 7*+1[.

Это позволяет модель (1) записать в виде m m

X(t) = Y,Am<4t)) + ^H!(t)x(hi(t)) (t E [0, oof), i= 1 i— 1 *(0 = v(0 (<e < o), где

Hf(t)^Ai(t)-A\(t) (*€[0,oo[), и рассматривать Hf(-) как постоянно действующие возмущения. Таким образом, вопрос об устойчивости модели (1) в этом случае сводится к установлению оценки вида (19) матрицы Коши С£(-,-) неоднородного уравнения (20). Приведем соответствующее утверждение.

Теорема 6.3.1. Пусть sup \\C4t.s)W<C\

Si<S<t<Si+T* И max{||C£(5i + гь51)(|, ||C£(.Sl + r*,«i)||} < r, где c\ > 0 и r > 0 — некоторые числа. Тогда имеет место оценка

Cf(M)||<cexpM*-.s)), (М)бД 1, где e* = (lnr)//3,

Р = (Pn + f3nPn+ cir~T*^} при r < 1, 1 max{cfr-P"+lW/^, Cj} при r > 1.

В §6.5 приводится алгоритм, позволяющий провести конструктивное исследование рассматриваемой модели на устойчивость.

К предыдущей главе естественным образом примыкает глава 7, в которой рассматривается почти-периодическая дифференциальная модель x(t) = A(t)x(t) (*е[0,оо[).

Основная идея главы 6 (введение слабо периодических матриц) позволяет и здесь определить экспоненциальную оценку матрицы Коши уравнения x(t) = A£(t)x(t) (t е [0, оо[) со слабо периодической матрицей А£(-), после чего А(-) - Ае{-) рассматриваются как постоянно действующее возмущение.

Отметим, что относительно плотное множество {т^}. используемое для построения Л£( ), помимо своей основной роли, позволяет дать отличные от известных нам доказательства почти периодичности некоторых матриц; в частности, суммы и произведения периодических матриц с несоизмеримыми периодами.

Глава 8 посвящена изучению устойчивости интегральных моделей.

При составлении математической модели реального явления ее параметры (в частности, запаздывания) неизбежно определяются с некоторой погрешностью. Возникает задача о сохранении устойчивости математической модели при их возмущении. В §8.1 рассмотрен этот вопрос применительно к уравнению t x(t) = Jh-(t,s)x(<p(s))d8 + f(t) (t e]a,oo[), (21) о являющемуся математической моделью, например, импульсного устройства с запаздывающей обратной связью [177]. Наряду с (21) рассмотрим модель x(t)= jK(t,s)x(il>(s))ds + f(t) (t е]а, оо[), (22) о и пусть vrai sup |ip(t) - (p(t)I, iG[0,oo[ t lim vrai sup f \\K(t + h,s) - K(t, -s*)||c?.s,

1-0+ <G[0,oo[ {J t vrai sup I .s)\\ds < cL < oo,

G[0,oo[ J где R(-,-) — резольвентное ядро модели (21).

Тогда, если существует a е]0,1/(2(1 + 2ci))[ такое, что А;* < а, то при достаточно малом <5* устойчива и модель (22).

Отметим, что в ходе доказательства этого утверждения требуемая малость Ь* устанавливается.

Последний, второй параграф восьмой главы, посвящен методу получения экспоненциальной оценки решения интегрального уравнения Воль-терры t x(t) = f K(t,s)x(s)ds + f(t) (t e [0, oo[), (23) о являющегося подходящей моделью для описания, например, сосуществования двух биологических видов [314]. Пусть

K(t s) = I<(t, s) exp (P(t - s)), /3 > 0, (24)

Q(-, •) и RP(-,-) — соответственно ядро вспомогательного уравнения вида (23) и его резольвента.

Я(М)=ЩМ)-£(М). (25)

Теорема 8.2.2. Пусть в модели (23) vrai swpvrai sup ||A"(t,s)|| exp(-o:o(t - s)) < cq, te[0,oo[ s€[0,t] где cq > 0 и cv() — некоторые числа; определенная равенством (24), где в > О — некоторое число, матрица К(-, •) имеет экспоненциальный порядок роста 7 > Cq + h + 1, где u А, ~(с0 + Сг) + ^(^О + (7)2 + 4(7 /г- 2

7 > 0 — заданное число; выполняется равенство (25), где vrai sup vrai sup ||i/(£,s)|| < h. fG[0,oo[ sG[0,f]

Тогда, если выполняется неравенство vrai sup vrai sup \\B9(t, s)|| exp(~a(t - s)) < с < oo, tG[0,oo[ s€[0,<] где с < Co + h, то RK (-, •) удовлетворяет неравенствам vrai sup vrai sup \\Rh (t, s)|| exp((/3 - a - a)(t - s)) < oo,

G[0,oo[ sG[0,<] I vrai sup f \\RK(t, .s)|| exp((/i - a - a){t - s))ds < oo. fG[0,oo[ £

Таким образом, диссертация посвящена разработке теоретических основ и эффективных методов исследования математических моделей физических, химических, биологических и других естественнонаучных, а также социальных, экономических и технических объектов, представляющих собой ф.-д. уравнения.

В каждом параграфе принята своя нумерация утверждений, определений и формул. Запись "по теореме 2.1.5", например, означает, что речь идет о теореме 5 первого параграфа второй главы. При ссылках на материал внутри главы ее номер опускается, а при ссылках на материал внутри параграфа опускается и номер последнего. Конец доказательства утверждений помечен знаком □.

Судьба сложилась так, что у меня были прекрасные учителя и друзья. В хронологическом порядке это: проф. Цалюк 3. Б., доц. Винокуров В.

Р., проф. Азбелев Н. В., доценты Абдрахманов В. Г. и Чистяков А. В. проф. Симонов П. М. Всем им я искренне признателен за многолетнее внимание к моей работе.

Не могу не высказать слова благодарности и в адрес руководства Магнитогорского государственного университета, а также моих коллег по работе за оказанные мне помощь и поддержку.

Заключение диссертация на тему "Функционально-дифференциальные модели"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработан ряд теоретических положений относительно математических моделей, представляющих собой ф.-д. уравнения. В частности,

- предложен способ восстановления оператора по его сопряженному, используемый, например, при получении интегрального представления решений ф.-д. моделей;

- выведены формулы Грина (Коши) представления решения общей краевой задачи для ф.-д. моделей, широко используемые при исследовании асимптотики их решений;

- предложены методы нахождения оценок сверху и снизу решений ф,-д. моделей, в том числе интегро-дифференциальных;

- указан метод исследования устойчивости периодической ф.-д. модели с распределенным запаздыванием;

- предложен метод исследования устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая соизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний;

- введен класс слабо периодических функций и на его основе разработан метод установления устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний как наиболее полно описывающий моделируемое устройство;

- разработаны методы определения устойчивости почти-периодической дифференциальной модели;

- рассмотрен вопрос о сохранении устойчивости модели, представляемой интегральным уравнением Вольтерры с запаздыванием, при его возмущении;

Библиография Смолин, Юрий Николаевич, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Абдуллаев А. Р. К вопросу об операторе внутренней суперпозиции // Краевые задачи.- Пермь, 1982.- С. 162 166.

2. Азбелев Н. В. К вопросу об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения.- 1985.- Т. 21, N 5,- С. 911.

3. Азбелев Н. В. О некоторых тенденциях в обобщениях дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения,- 1985.- Т. 21, N 8.- С. 1291 1304.

4. Азбелев Н. В. Матрица Коши // Краевые задачи.- Пермь, 1981.-С. 67 70.

5. Азбелев Н. В., Березанский JI. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. 1 // Дифференц. уравнения,- 1987.- Т. 23, N 5.- С. 745 754.

6. Азбелев Н. В., Березанский JI. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. 2 // Дифференц. уравнения.- 1991.- Т. 27, N 4.- С. 555 562.

7. Азбелев Н. В., Березанский JI. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. 3 // Дифференц. уравнения,- 1991.- Т. 27, N 10.- С. 1659 1668.

8. Азбелев Н. В., Березанский JI. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. 4 // Дифференц. уравнения.- 1993.- Т. 29, N 2,- С. 196 204.

9. Азбелев Н. В., Березанский JI. М., Рахматуллина JI. Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа // Дифференц. уравнения,-1977.- Т. 13, N 11,- С. 1915 1925.

10. Азбелев Н. В., Ермолаев М. Б., Симонов П. М. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению // Изв. вузов. Математика.- 1995.- N 10.- С. 3-9.

11. Азбелев Н. В., Ефремов А. А., Рахматуллина JI. Ф. Приближенное построение функции Коши. // Пермь: Краевые задачи.- 1979.- С. 64 68.

12. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1976.- Т. 12, N 3,- С. 417 427.

13. Азбелев Н. В., Максимов В. П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения,- 1982.- Т. 28, N 12.- С. 771 797.

14. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина JI. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений,- М.: Наука, 1991.- 277 с.

15. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина JI. Ф. Методы современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.300 с.

16. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина JI. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения.-М.: Институт компьютерных исследований, 2002.384 с.

17. Азбелев Н. В., Рахматуллина JI. Ф. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения,- 1970,- Т. 6, N 4,- С. 616 628.

18. Азбелев Н. В., Рахматуллина JI. Ф. Задача Коши для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения.- 1972.- Т. 8, N 9,- С. 1542 1552.

19. Азбелев Н. В., Рахматуллина JI. Ф. Функционально- дифференциальные уравнения // Дифференц. уравнения.- 1978.- Т. 14, N 5.- С. 771- 797.

20. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика,- 1997,- N 6.- С. 3- 16.

21. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. 2 // Изв. вузов. Математика.- 2000.- N 4,- С. 3 13.

22. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Функционально-дифференциальные уравнения и теория устойчивости уравнений с последействием // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск). Пермь, 2002,- С. 52 -69.

23. Андреева Е. А., Колмановский В. Б., Шайхет Л. Е. Управление системами с последействием.- М.: Наука, 1992.- 336 с.

24. Андрианов Д. Л., Максимов В. П. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием // Вестник Пермского университета. Экономика.- 1995.-Вып. 2.- С. 102 123.

25. Андрианов Д. Л. и др. Система поддержки принятия решений в сфере управления государственными финансами // Экономическая кибернетика. Сборник статей. Пермский университет,- 2002.- С. 8 19.

26. Андрианов Д. Л., Ярушкина Н. В. К вопросу о концепции автоматизированной системы мониторинга и контроля природопользования // Экономическая кибернетика. Сборник статей. Пермский университет.-2002,- С. 19 23.

27. Андронов А. А., Майер А. Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Авт. и Телем.- 1946.- Т. 7, N 2 3.- С. 95 - 106.

28. Анохин А. В. К общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений // Перм. полит, ин-т.- Пермь, 1981.- 31 е.- Деп. в ВИНИТИ 30.03.81, N 1389.

29. Антоневич А. Б., Радыно Я. в. Функциональный анализ и интегральные уравнения.- Минск: Университетское, 1984.- 351 с.

30. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход.- Минск: Университетское, 1988.- 231 с.

31. Арнольд В. И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели.-М.: МЦНМО, 2000.- 32 с.

32. Артемьев М. И. Об одной экспоненциальной оценке решений дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения.-1970,- Т. 6, N 5,- С. 917 920.

33. Артемьев М. И. Устойчивость линейных однородных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения,- 1971.- Т. 7, N 10,- С. 1895 1898.

34. Ахмеров Р. Р. и др. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ.- М., 1982.- Т. 19.- С. 55 -126.

35. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости.- М.: Наука. 1967,- 223 с.

36. Батищева С. Э., Каданэр Э. Д., Симонов П. М. Математические модели микроэкономики / ПГТУ. Пермь, 2001.- 234 с.

37. Башкиров А. И. Оператор-функция Коши уравнения с последействием с периодическими параметрами // Перм. полит, ин-т.- Пермь, 1984,- 14 е.- Деп. в ВИНИТИ 07.05.84, N 2947.

38. Башкиров А. И. Матрица Коши и устойчивость решений уравнений нейтрального типа с периодическими параметрами // Перм. полит, ин-т,- Пермь, 1984.- 34 е.- Деп. в ВИНИТИ 12.02.85, N 1145.

39. Башкиров А. И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами // Дифференц. уравнения.- 1986,- Т. 22, N 11,- С. 1994 1997.

40. Башкиров А. И. Устойчивость решений периодических систем с последействием.- Дисс . канд. физ.-матем. наук. Пермь, 1986.- 101 с.

41. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения.-М.: Мир,- 1967.- 548 с.

42. Березанский JI. М. Об одном классе линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1978.- Т. 14. N 7.- С. 1163 1172.

43. Березанский JI. М. Существование и устойчивость решений линейных функционально-дифференциальных уравнений в лебеговых пространствах свесом // Дифференц. уравнения.- 1985.- Т. 21, N 6.- С. 1052 1059.

44. Березанский JI. М. Развитие W-метода Н. В. Азбелева в задачах устойчивости линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1986.- Т. 22, N 5.- С. 739 750.

45. Березанский JI. М., Малыгина В. В., Соколов В. А. Признаки экспоненциальной устойчивости решений уравнений с ограниченным последействием // Докл. АН СССР,- 1986.- Т. 289, N 1,- С. И 14.

46. Бор Г. Почти- периодические функции.- М.: ГТТИ, 1934.- 90 с.

47. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1965.- 474 с.

48. Быкадоров Ю. А. О свойствах функции Грина // Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.- ЛГУ,- Рига, 1987.- С. 83 90.

49. Быкадоров Ю. А. Сопряженные дифференциально- интегральные операторы // Линейные функционально-дифференциальные соответствия.- Минск, 1984.- N 8.- С. 3.

50. Быкадоров Ю. А. О дифференциально-интегральном операторе // Дифференц. уравнения.- 1980.- Т. 16, N 5.- С. 901 907.• 53. Быков Я. JL О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе, 1957.- 97 с.

51. Быкова Т. С., Тонков Е. JI. О ляпуновской приводимости систем с последействием // Изв. ин-та матем. и информ. Ижевск, 2002.- С. 27 -30.

52. Былов Б. Ф. и др. Теория показателей Ляпунова,- М.: Наука, 1966.- 576 с.

53. Вайнберг М. М. Интегро-дифференциальные уравнения // Итоги науки.- ин-т научной информации АН СССР.- М., 1964.

54. Валеев К. Г. Развитие теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента // Дифференц. уравнения с отклоняющимся аргументом.- Киев, 1977.- С. 72 82.

55. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями.- М.: Наука, 1977.- 623 с.

56. Ведь Ю. А., Пахыров 3. Об ограниченности и устойчивости решений интегро- дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения,- 1969.- Т. 6, N 11,- С. 2050 2061.

57. Ведь Ю. А. Об обратимости фундаментальной матрицы системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. АН Кирг. ССР.- 1973,- N 2,- С. 12 14.

58. ВержбицкийВ. М. Численные методы.-М.: Высшая школа, 2000.266 с.

59. ВержбицкийВ. М. Численные методы.-М.: Высшая школа, 2001.382 с.63 . Вержбицкий В. М. Основы численных методов.-М.:Высшая школа, 2002,- 840 с.

60. Винокуров В. Р. Об устойчивости решения системы интегральных уравнений Вольтерра 2 рода, 1 // Изв. вузов. Математика,- 1959.-N 1,- С. 23 34.

61. Винокуров В. Р. Об ограниченности решения систем интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей // Уч. зап. УрГУ, I960.- вып. 23.

62. Винокуров В. Р. Аппроксимация квазилинейных интегральных уравнений Вольтерра алгебраическими уравнениями // Изв. вузов.

63. Математика,- 1963,- N 6,- С. 39 48.

64. Винокуров В. Р. Об устойчивости решения бесконечной системы алгебраических уравнений, получающихся при аппроксимации линейных интегральных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика.- 1963.-N 4.- С. 33 43.

65. Винокуров В. Р. Об аппроксимации на бесконечном промежутке системы линейных интегральных уравнений Вольтерра системой алгебраических уравнений // Изв. вузов. Математика.- 1963.- N 5.- С. 24 29.

66. Винокуров В. Р. Один метод исследования асимптотических свойств резольвенты системы интегральных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика.- 1964.- N 6.- С. 24-31.

67. Винокуров В. Р. Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений Вольтерра, 1 // Изв. вузов. Математика.-1969,- N 6.- С. 24 34.

68. Винокуров В. Р. Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений Вольтерра, 2 // Изв. вузов. Математика.-1969.- N 7.- С. 28 38.

69. Винокуров В. Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования // Дифференц. уравнения.- 1969.-N 10.- С. 1894 1897.

70. Винокуров В. Р. Некоторые вопросы теории устойчивости интегральных уравнений Вольтерра, 3 // Изв. вузов. Математика.- 1971,- N 4,- С. 20 31.

71. Винокуров В. Р. Применение метода разложения к доказательству теорем об устойчивости решений дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика,- 1973.- N 1,- С. 28 36.

72. Винокуров В. Р. Близкие к диагональным системы уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика.- 1973.- N 6.- С. 19 31.

73. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.- М.: Наука.- 1967.- 575 с.

74. Грибанов Ю. И. Об измеримости ядер интегральных операторов // Изв. вузов. Математика.- 1972.- N 7.- С. 31 34.

75. Гриня Я. И., Копай-Гора П. Н. Блок запаздывания с использованием решающих усилителей и конденсаторов // Авт. и Телем.- 1956.- Т. 17, N 6,- С. 524 531.

76. ГУрецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием.- М.: Машиностроение, 1974.- 327 с.

77. Далецкий Ю. Д., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1970.- 534 с.

78. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.: ИЛ, 1962.- 895 с.

79. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения.- М.: Наука, 1983.- 278 с.

80. Дерр В. Я. К вопросу о факторизации линейной краевой задачи // Дифференц. уравнения.- 1981.- Т. 17, N 12.- С. 2123 2135.

81. Дерр В. Я. О преобразовании некоторых многоточечных краевых задач в задачу Балле Пуссена и условиях разрешимости // Дифференц. уравнения,- 1987.- Т. 23, N 4,- С. 598 608.

82. Дерр В. Я. К обобщенной задаче Балле Пуссена // Дифференц. уравнения,- 1987.- Т. 23, N 11.- С. 1861 1872.

83. Дерр В. Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах // Докл. АН СССР.- 1988.- Т. 298, N 2.- С. 269 272.

84. Дерр В. Я. Об одном обобщении интеграла Римана-Стилтьеса // Изв. ин-та матем. и информ. Ижевск, 1997.- Вып. 3(11).- С. 3 29.

85. Дерр В. Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения // Изв. ин-та матем. и информ. Ижевск, 1999.- Вып. 1(16).- С. 3 105.

86. Долгий Ю. Ф. О построении характеристического уравнения для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика,- 1977,- N 3,- С. 11 19.

87. Долгий Ю. Ф. О построении характеристического уравнения для дифференциальных уравнений с кусочно-постоянным запаздыванием. Устойчивость и нелинейные колебания.- Свердловск: Изд. Урал, ун-та, 1979.-С. 34-41.

88. Долгий Ю. Ф. Устойчивость одного уравнения нейтрального типа с переменным запаздыванием // Дифференц. уравнения.- 1985,- Т. 21, N 9,-С. 1480 1489.

89. Долгий Ю. Ф., Шиманов С. Н. О существовании зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием // Устойчивость и нелинейные колебания.- Свердловск, 1988.- С. 11 18.

90. Долгий Ю. Ф. Представление оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов // Докл. РАН.- 1994.Т. 334, N 2.- С. 138 141.

91. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциальныхуравнений с отклоняющимся аргументом // Автореферат докт. дисс.-Екатеринбург, 1994.- 30 с.

92. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений,- Екатеринбург: Изд. УрГУ, 1996,- 84 с.

93. Долгий Ю. Ф. Характеристическое уравнение в задаче устойчивости периодических систем с последействием // Изв. УрГУ, 1998.- N 10 (матем. и мех., вып. 1), С. 34 43.

94. Долгий Ю. Ф., Тарасян В. С. Условия конечномерности оператора монодромии для периодических систем с последействием // Изв. Урал, ун-та, 2000.- N 18 (матем. и мех. Вып. 3).- С. 67 83.

95. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических функционально-дифференциальных уравнений // Изв. ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002.- С. 43 46.

96. Долгий Ю. Ф. Конечномерные аппроксимации оператора монодромии для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздываниями // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск). Пермь, 2002,- С. 118 130.

97. Долголенко Ю. В. Устойчивость и автоколебания релейной системы регулирования с запаздыванием // Авт. и Телем., 1952.- Т. 13, N 2.- С. 109 120.

98. Драхлин М. Е., Плышевская Т. К. К теории функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1978.- Т. 14, N 8.- С. 1348 1361.

99. Драхлин М. Е. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения.- 1986.- Т. 22, N 8.- С. 1342 1332.

100. Забрейко П. П. и др. Интегральные уравнения. СМБ.- М.: Наука, 1968.- 448 с.

101. Завалищин С. Т. К вопросу об общем виде линейного уравнения. 1 // Дифференц. уравнения,- 1971.- Т. 7, N 6.- С. 981 989.

102. Зверкин А. М. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР.- 1959.- Т. 128, N 5,— С. 882 885.

103. Зверкин А. М. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, соизмеримым с периодом коэффициентов / / Дифференц. уравнения.- 1988.- Т. 24, N 9.- С. 1481 1492.

104. Зверкин А. М. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.- Пятая летняя матем. школа. Ужгород: Изд. АН УССР, 1968.- С. 307 399.

105. Иосида К. Функциональный анализ,- М.: Мир, 1967.- 624 с.

106. Исламов Г. Г. К вопросу об интегральном уравнении с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения.- 1974.- Т. 10, N 3.- С. 521 530.

107. Исламов Г. Г. К вопросу о представлении решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.-1976,- Т. 12, N 7.- С. 1194 1203.

108. Исламов Г. Г. Об оценке спектрального радиуса линейного положительного вполне непрерывного оператора // Функц.-дифференц. уравнения и краевые задачи матем. физики / Перм. политехи, ин-т, Перм. ун-т.- Пермь, 1978,- С. 119 122.

109. Исламов Г. Г. Линейные интегро-функциональные уравнения Дис. . канд. физ.- матем. наук.- Баку, 1976,- 120 с.

110. Каданэр Э. А. Динамическое моделирование экономических систем,- Пермь : Изд. ПГУ, 1990,- 96 с.

111. Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса.- М.: Гос. изд. ф,- м. лит. 1959,- 328 с.

112. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1977,- 742 с.

113. Канторович Л. В., ВулихБ. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.- М.-Л.: Гостехиздат, 1950.548 с.

114. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972,- 740 с.

115. Ким А. В., Ложников А. Б. Математическое моделирование систем с последействием: теория, алгоритмы, программное обеспечение // Изв. ин-та матем. Ижевск, 2002.- С. 55 58.

116. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979,- 381 с.

117. Колмановский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальные оценки состояния системы и некоторые задачи управления уравнениями с последействием// Прикл. матем. и мех.- 1977.- Т. 41, вып. 3.- С. 446

118. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.- М.: Наука, 1981.- 448 с.

119. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Системы с последействием нейтрального типа // Автомат, и телемех.- 1984.- N 1.- С. 5 35.

120. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1989.- 623 с.

121. Комленко Ю. В. Необходимое и достаточное условие справедливости теоремы об интегральных неравенствах в пространстве суммир} -емых функций // Тр. Ижевского матем. семинара.- 1975.- N 3.- С. 73 86.

122. Комленко Ю. В., Тонков Е. JI. О мультипликаторах линейного периодического дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Сиб. матем. журнал,- 1974,- Т. 15, N 4.- С. 835 844.

123. Комленко Ю. В., Тонков Е. JI. Представление Ляпунова-Флоке для дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика,- 1995,- N 10,- С. 40 45.

124. Копелович А. П. Автоматическое регулирование в черной металлургии. Краткий справочник,- М.: Гос. научно-техн. изд. по черной и цветной металлургии, 1963.

125. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.- М.: Наука, 1966.- 499 с.

126. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом,- М.: Наука, 1983,- 271 с.

127. Красовский Н. Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени // Докл. АН СССР.- 1957,- Т. 115.

128. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М. : Физматгиз, 1959.- 222 с.

129. Красовский Н. Н. Теория управления движением,- М.: Наука. 1968.- 476 с.

130. Крейн С. Г. и др. Функциональный анализ. СМБ.- М.: Наука. 1972.- 544 с.

131. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.-М.: Наука, 1971.- 104 с.

132. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1967,- 464 с.

133. Крокко Л., Чжен Син-и. Теория неустойчивого горения в жидкостных ракетных двигателях.- М.: ИЛ, 1958.- 351 с.

134. Кузнецов В. П. Математическое моделирование регуляторов систем с запаздыванием // Изв. ин-та матем. Ижевск, 2002.- С. 59 60.

135. Кузнецова В. И. О функционально-дифференциальных уравнениях с медленно меняющимися коэффициентами / Воронеж, ун-т.- Воронеж, 1984,- 43 с. Деп. в ВИНИТИ, N 4639.

136. Курбатов В. Г. Один критерий устойчивости функционально-дифференциальных уравнений / Воронеж, ун-т.- Воронеж, 1980.- 27 с. Деп. в ВИНИТИ 07.05.80, N 2139.

137. Курбатов В. Г. Об обратимости почти периодических дифференциально-разностных операторов / Воронеж, ун-т.- Воронеж, 1983.- 10 с. Деп. в ВИНИТИ, N 3424.

138. Курбатов В. Г. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на оси и на полуоси // Дифференц. уравнения,- 1986.Т. 22, N 6.- С. 923 927.

139. Курбатов В. Г. О функционально-дифференциальных уравнениях с непрерывными коэффициентами // Матем. заметки,- 1988.- Т. 44. вып. 6,- С. 850 852.

140. Кухтенко А. И., Светличный П. Л., Шайхет Л. Е., Шурис Н. А. Автоматизация очистных и проходческих работ.- М.: Гос. изд. научно-техн. литературы по горному делу, 1961.

141. Лаврентьев М. А. Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: ГИФ.-М.Л, 1958.- 678 с.

142. Ландо Ю. К. Функция Коши линейного интегро-дифференциаль-ного уравнения типа Вольтерра // Уч. зап. Минск, гос. пед. ин-та.-Минск, 1956.- вып. 5.- С. 41 47.

143. Ландо Ю. К. Краевая задача для линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Уч. зап. Минск, гос. пед. ин-та.-Минск, 1956,- вып. 6,- С. 257 269.

144. Ландо Ю. К. Об индексе и нормальной разрешимости интегро-дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения.- 1968,- Т. 4. N 6,- С. 1112 1126.

145. Ланкастер П. Теория матриц,- М.: Мир, 1978,- 280 с.

146. Логунов А. И. К вопросу об интегральных неравенствах для уравнений типа Вольтерра с запаздывающим аргументом // Докл. АН СССР.- 1963.- Т. 150, N 2.- С. 256 258.

147. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функциональногоанализа.- М.: Высшая школа.- 1982.- 271 с.

148. Максимов В. П., Рахматуллина JI. Ф. О представлении решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения,- 1973.- Т. 9, N 6.- С. 1026 1036.

149. Максимов В. П. Свойства функции Коши системы уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. моек, ин-та хим. маш. / Москва, 1973.- вып. 48.- С. 6 7.

150. Максимов В. П. Нетеровость общей краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения,- 1974.- Т. 10, N 12.- С. 2288 2291.

151. Максимов В. П. Определяющие свойства матрицы Коши линейного функционально-дифференциального уравнения // Тр. моек, ин-та хим. маш. / Москва, 1974.- вып. 53.- С. 3-5.

152. Максимов В. П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение. Дис. . канд. физ.- матем. наук.- Казань, 1974.- 119 с.

153. Максимов В. П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения.- 1977.- Т. 13, N 4.- С. 601 606.

154. Максимов В. П. О связности множества решений функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения,- 1978,- Т. 14. N 7,- С. 1179 1185.

155. Максимов В. П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений: Дис. . д-ра физ.-матем. наук.- Пермь, 1982.265 с.

156. Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Линейное функционально-дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной // Дифференц. уравнения.- 1973,- Т. 9, N 12,- С. 2231 2240.

157. Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Сопрялсенное уравнение для общей линейной краевой задачи // Дифференц. уравнения.- 1977.- Т. 13, N 11.- С. 1966 1973.

158. Максимов В. П. Об одном классе задач управления экономическими системами // Экономическая кибернетика. Сборник статей. Пермский университет.- 2002.- С. 121-133.

159. Максимов В. И. О реконструкции управлений в нелинейной системе с запаздыванием // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск). Пермь, 2002.- С. 180 188.

160. Максимов В. П., Румянцев А. Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Изв. вузов. Математика,- 1993.- N 5.- С. 56-71.

161. Максимов В. П., Румянцев А. Н. Вычислительный эксперимент в исследовании обобщенной управляемости функционально-дифференци• альных систем // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск). Пермь, 2002.- С. 189 195.

162. Максимов В. П., Румянцев А. Н. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании функционально-дифференциальных систем // Изв. ин-та матем. Ижевск, 2002,- С. 61 64.

163. Малыгина В. В. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Автореферат канд. дисс.- Пермь, 1983.- 15 с.

164. Малыгина В. В. Оценки оператор-функции Коши и устойчивость функционально-разностных уравнений,- Пермь, 1985.- 40 с. Деп. в ВИНИТИ 01.08.85, N 6128-85.

165. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим арг)'ментом // Дифференц. уравнения,- 1992,- Т. 28,1 N 10,- 1716 1723.

166. Малыгина В. В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика.- 1993,- N 5.- С. 72 85.

167. Мартынюк Д. И. Лекции по теории устойчивости решении систем с последействием.- Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1970.- 179 с.

168. Махин В. А., Присняков В. Ф., Велик Н. П. Динамика жидкостных ракетных двигателей.- М.: Машиностроение, 1969.- 834 с.

169. Мееров М. В. О стабилизации систем, содержащих элементы с запаздыванием // Автом. и телемех,- 1953,- Т. 14, N 5.- С. 647 658.

170. Митропольскип Ю. А., Мартынюк Д. И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием,- Киев: Наукова думка, 1969.

171. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодп-ческими коэффициентами,- Киев: Наукова думка, 1984.- 216 с.

172. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Наука, 1959.- 232 с.

173. Моругин Д. А. Импульсные устройства с запаздывающей обратной связью,- М., 1961.

174. Мунембе Ж. С. П. К вопросу об асимптотическом поведении решений системы линейных функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами // Изв. вузов. Математика,- 2000,- N 4,- С. 1-8.

175. Мунембе Ж. С. П. Конструктивное исследование асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами // Автореферат канд. диссерт.- Пермь, 2000.- 18 с.

176. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1972.- 352 с.

177. Мюнтц Г. Интегральные уравнения.- М.-Л.: ОНТИ, 1934,- 320с.

178. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной,- М.: Наука, 1974,- 480 с.

179. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1965.- 354 с.

180. Пименов В. Г. Численные методы решения начальных и краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Изв. ин-та матем. и информ. Ижевск, 2002.- С. 75 78.

181. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.- М.: ИЛ, 1961.

182. Плеснер А. И. Спектральная теория линейных операторов.- М.: Наука, 1965,- 624 с.

183. Покорный Ю. В., Лялькина Г. Б. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с нелинейными краевыми условиями // Краевые задачи.- Пермь, 1979.- С. 136 140.

184. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. 1 // Дифференц. уравнения.- 1989.Т. 25, N 10.- С. 1787 1798.

185. Пуляев В. Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. 2 // Дифференц. уравнения.- 1990.Т. 26, N 8,- С. 1423 1432.

186. Пуляев В. Ф. О некоторых свойствах интегральных операторов с почти периодическими ядрами // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск). Пермь, 2002.- С. 196 -204.

187. Рахматуллина Л. Ф. Оператор Грина и регуляризация линейных краевых задач // Дифференц. уравнения.- 1979.- Т. 15, N 3.- С. 425 -435.

188. Рахматуллина Л. Ф. К теории линейных уравнений с функциональным аргументом // Дифференц. уравнения.- 1972.- Т. 8, N 3.- С. 523 528.

189. Рахматуллина Л. Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения: Дисс. . д-х>а физ.-матем. наук.- Киев, 1982.- 280 с.

190. Рехлицкий 3. И. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем.- Т. 30, N 5.- С. 981 992.

191. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979.- 587 с.

192. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Критерий полной управляемости линейной нестационарной системы в критическом случае // Изв. ин-та матем. и информ. Ижевск, 2002.- С. 81 86.

193. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием,- М.: Наука, 1969,- 287 с.

194. Румянцев А. Н. Вычислительный эксперимент в исследовании функционально- дифференциальных моделей: теория и приложения: Дис. . д-ра физ.-матем. наук.- Пермь, 1998.- 265 с.

195. Румянцев А. Н. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач.- Пермь: Изд. Перм. ун-та, 1999.- 174 с.

196. Румянцев А. Н., Софронов Ю. В. О проблеме выбора системы автоматизации управления производством промышленного предприятия// Экономическая кибернетика. Сборник статей. Пермский университет.- 2002.- С. 193 198.

197. Салехов Д. В. Пример вполне непрерывного интегрального оператора, действующего из Ср в £р, с положительным ядром, не принадлежащим С,- (г > 1) // Успехи матем. наук,- 1963.- Т. 18, N 4,- С. 179 -182.

198. Седова С. М. О критерии устойчивости одного скалярного .уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Изв. вузов. Математика.- 1997,- N 11,- С. 61-71.

199. Седова С. М. Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами. Автореферат канд. дисс. Пермь, 2000,- 16 с.

200. Сесекин А. Н. Численное построение областей достижимости для систем с импульсным управлением // Изв. ин-та матем. и информ. Ижевск, 2002,- С. 93 94.

201. Симонов П. М. Устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений с последействием: Дисс. . канд. физ.-матем. наук.- Киев, 1987,- 121 с.

202. Симонов П. М., Чистяков А. В. О разрешимости периодических уравнений // Вестник ПГТУ. Матем. и прикл. матем. / ПГТУ. Пермь,1996.- N 3,- С. 61 71.

203. Симонов П. М., Чистяков А. В. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально- разностных систем // Изв. вузов. Математика.- 1997,- N 6,- С. 37 49.

204. Симонов П. М. О некоторых динамических моделях макроэкономики // Экономическая кибернетика. Сборник статей. Пермский университет.- 2002.- С. 213 231.

205. Симонов П. М. О некоторых динамических моделях микроэкономики // Вестник ПГТУ. Матем. и прикл. матем. / ПГТУ. Пермь. 2002,- С. 109 114.

206. Симонов П. М. Устойчивость дифференциальных уравнений с последействием // Изв. ин-та матем. и информ. Ижевск, 2002.- С. 95 -96.

207. Солодовников В. В., Филимонов А. Б. Конструирование регуляторов для объектов с запаздыванием// Изв. АН СССР, техн. кибернетика, 1979.- N 1,- С. 168 177.

208. Сулавко Т. С. Оценки матрицы Коши и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений: Дисс. . канд. физ.-матем. наук.- Институт матем. АН УССР.- Киев, 1974.- 120 с.

209. Титов Н. И., Успенский В. К. Моделирование систем с запаздыванием,- JL: Энергия, 1969,- 97 с.

210. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бкшл. МГУ, 1.- 1938,- Секц. А, вып. 8.

211. Тонков Е. JL. Юткин Г. И. Периодические решения и устойчивость линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения.- 1969.- Т. 5, N 11.- С. 1990 -2001.

212. Треногин В. А. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1980.- 495с.

213. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений.- Киев: Наукова думка. 1981,- 78 с.

214. Федоров Д. JI. Интегральное уравнение Перрона-Стилтьеса и его применение к краевым задачам для уравнений второго порядка // Вестник Удмуртского университета.-2002,- N 1.- С. 13 18.

215. Федоров Д. J1. К общей теории интегральных уравнений в пространстве функций ограниченной вариации // Изв. ин-та матем. иинформ,- Ижевск, 1997.- С. 30 50.

216. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонениями // Математика. Период, сб. переводов иностранных статей,- 1961.- Т. 5, N 6.

217. ХейлДж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984.- 421 с.

218. Хинчин А. Я. Цепные дроби.- М.: ГИФМЛ, 1961.- 111 с.

219. Цалюк 3. Б. К вопросу об устойчивости систем линейных интегральных уравнений типа Вольтерра // Докл. АН СССР,- 1963.- Т. 150, N 2.- С. 268.

220. Цалюк 3. Б. Интегральные уравнения Вольтерра//Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ, ВИНИТИ.- 1977.- Т. 15,- С. 131 198.

221. Цалюк 3. Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения,- 1968.- Т. 4, N 11.- С. 1967 1979.

222. Цалюк 3. Б., Шамсутдинов М. М. К вопросу об асимптотике решений линейных интегральных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения.- 1970,- Т. 6, N 9.- С. 1567 1573.

223. Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с последействием,- М.: Наука, 1984,- 241 с.

224. Цыпкин Я. 3. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Авт. и Телем., 1946,- Т. 7, N 2 3,- С. 107 129.

225. Чистяков А. В. Свойства одного класса некомпактных операторов // Функционально-дифференциальные уравнения.- Пермь, 1988.- С. 21 30.

226. Шилов Г. Е., ГУревич Б. Л. Интеграл, мера и производная.- М.: Наука, 1964.- 211 с.

227. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных }фа-внений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл. матем. и мех,- 1963,- Т. 27, N 3,- С. 450 458.

228. Шиманов С. Н. Уравнения с запаздывающим аргументом. История отеч. матем., Т. 4, кн. 1. Киев, Наукова думка, 1970.- С. 438 -488.

229. Шиманов С. Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием.- Свердловск: Изд. Урал, ун-та. 1983.- 64 с.

230. Эдварде Э. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1969.- 1071 с.

231. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- М.: Наука, 1971.- 296с.

232. Янушевский Р. Г. Управление объектами с запаздыванием.- М.: Наука, 1978.

233. Atkinson F. V., Haddock J. R. Criteria for asymptotic constancy of solutions of functional differetial equations // J. Math. Anal, and Appl,-1983.- V. 91, N 2.- P. 410 423.

234. Azbelev N. V., Maksimov V. P., Rakhmatullina L. F. Introduction to the theory of linear functional differential equations. — Atlanta: World Federation Publishers Company, 1995.- 172 p.

235. Banks H. T. Representation for solution of linear functional equations // J. Differen. Equat.- 1969,- N 2,- P. 399 409.

236. Barszoz M., Olbrot A. W. Stability criterion of a linear differential difference systems // IEEE Trans. Autom. Contr.- 1979,- V. 24, N 2,- P. 368 369.

237. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fast periodischen Funktionen. 1, 2 Teil // Math. Annalen, 1927,- Bd. 96,- s. 119 149; 383 - 409.

238. Besicovihsch A. S. Almost periodic functions.- Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1932.

239. Cameron R. H. and Martin W. T. An unsymmetric Fubini theorem // Bull. Amer. Matli. Soc.- 1941.- N 47.- P. 121 125.

240. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags.-New York; London: Akad. press.- 1966.

241. Henry D. The adjont of a linear funktional differential equation boundaty value problems // J. Differen. Equat.- 1971.- N 9.- P. 55 66.

242. Honig C. S. Volterra-Stieltjesintegral equations. Functional analytic methods; linear constraints. (North-Holl. Math. Stud., 16).- Amsterdam-Oxford, North-Holl. Publ. Co., New York, Amer. Elsevier Publ. Co., Ind. 1975.- 157 p.

243. Hughes D. K. The adjoint of a linear functional differential operator // J. Diff. Equat.- 1975,- V. 18, N 1.- P. 11 17.

244. Kim A. V. Functional differential equations. Application of i-smootli calculus. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.- 167 p.

245. Kim A. V., Kwon W. H., Pimenov V. G., Han S. H., Lozhnikov A. В., Onegova О. V. Time-Delay Sistem Toolbox (for use with MATLAB). 2001.- 131 p.

246. Kolmanovskii V. В., Myshkis A. D. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.- 664 p.

247. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. N.Y.: Acad. Press, 1986.

248. Schwabik S., Tvrdy M., Veivoda O. Differential and integral equations. Boundary value problems and adjonts.- Praha, Academia.- 1979.- 245 P

249. Tvrdy M., Veivoda O. General boundary value problems for an integrodifferential systen and its adjoint // Cas. pestov. mat.- 1973.- V. 98.-P. 26 42.

250. Tvrdy M., Veivoda O. General boundary value problems for an integro differential systen and its adjoint // Cas. pestov. mat.- 1974,- V. 97.-P. 399 419.

251. Tvrdy M. Linear lineary value problem for functional- differential equations and their adjoint // Czechosl. Math. J.- 1975,- V. 25, N 1,- P. 37 66.

252. Weil H. Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen // Matli. Annalen, 1926,- Bd. 97,- s. 338 356.

253. Weis L. Decompositions of positive operators and some of their applications // Funct. Anal.: Surv. and Recent Results. 3: Proc. 3rd Conf'. Paderborn, 24 29 May 1983,- Amsterdam e. a.- 1984,- P. 95 - 115.

254. Wexler D. On boundary value problems for an ordinary linear differential sistem // Ann. di Mat. pura ed appl.- 1968.- V. 80.- P. 123 134.

255. Willems Y. C. The analysis of feedback systems. Cambridge: MIT Press, 1971.

256. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О разрешимости общей краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений // Челяб. гос. пед. ин-т,- Челябинск, 1983.- 9 е.- Деп. в ВИНИТИ 12.07.83, N 4163.

257. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О формуле Коши решения общей краевой задачи для линейного функционально- дифференциального уравнения // Челяб. гос. пед. ин-т.- Челябинск, 1983.- 16 е.- Деп. в ВИНИТИ 15.03.83, N 4162.

258. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. Вольтеррово-сопряженные функционально-дифференциальные уравнения // Челяб. гос. пед. ин-т.-Челябинск, 1983,- 13 е.- Деп. в ВИНИТИ 15.03.83, N 4161.

259. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. Вольтеррово-сопряженные функционально-дифференциальные уравнения / / Краевые задачи.-Пермь, 1983.- С. 85 93.

260. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О некоторых свойствахфункционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика.- 1984.- N 6.- С. 3 10.

261. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н., Якупов Э. 3. К вопросу о формуле Коши решения линейной краевой задачи // Уфимск. авиац. ин-т.- Уфа\ 1984.- 19 е.- Деп. в ВИНИТИ 03.07.84, N 5602.

262. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. К вопросу об 5-урезании оператора // Уфимск. авиац. ин-т.- Уфа, 1985.- 16 е.- Деп. в ВИНИТИ 17.07.85, N 5139.

263. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О разрешимости общей краевой задачи для одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика.- 1986.- N 11.- С. 3 11.

264. Абдрахманов В. Г., Макагонова М. А., Смолин Ю. Н. О представлении решений линейных уравнений в некоторых банаховых пространствах // Сб. тр. матем. кафедр пед. ин-тов РСФСР.- 1986,- С. 14 19.

265. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика.- 1987,- N 5.- С. 3 11.

266. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. Об уравнениях, определяющих матрицу Грина общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика.- 1993.- N 10.-С. 3 12.

267. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. Критерий существования матрицы Грина задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения // Докл. АН СССР,- 1994,- Т. 49, N 1,- С. 174 175.

268. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О восстановлении оператора по его сопряженному // Изв. вузов. Математика.- 1996.- N 11.- С. 3 13.

269. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. К вопросу об операторах, непрерывных по мере. // Тезисы докладов межвуз. конф.- Магнитогорск. 1996,- С. 80 81.

270. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О сохранении устойчивости решения линейного интегрального уравнения Вольтерры с запаздываниями при их возмущении// Тр. международной конф.: Уфа, 2000.- С. 6 -7.

271. Абдрахманов В. Г., Сапрыкин Е. Ф., Смолин Ю. Н. Оценка резольвенты периодического уравнения Вольтерры // Матер. Уральской регион, конф.- Уфа, 1999.

272. Абдрахманов В. Г., Сапрыкин Е. Ф., Смолин Ю. Н. Об устойчивости решения задачи Коши для периодического функционально-дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Математика,- 2001.- N 6.- С. 3-11.

273. Артемьев М. И., Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. Экспоненциальная оценка резольвенты Вольтерра // Материалы всероссийской конф.- Магнитогорск, 1999.- С. 3-4.

274. Артемьев М. И., Смолин Ю. Н. К вопросу об интегральности оператора Грина // Матер, межвуз. конф.- Магнитогорск, 1996,- С. 81 -82.

275. Артемьев М. И., Смолин Ю. Н. Об экспоненциальной оценке решения линейного интегрального уравнения Вольтерра // Сб. тр.: Магнитогорск, 1998,- С. 3-7.

276. Артемьев М. И., Вержбицкий В. М., Смолин Ю. Н.,ЦалюкЗ. Б. К вопросу об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом //3 научн. конф. УДН.- 1967.-С. 13 14.

277. Артемьев М. И., Вержбицкий В. М., Смолин Ю. Н., Цалюк 3. Б. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения,- 1969.- Т. 5, N 7.- С. 1256 1266.

278. Артемьев М. И., Смолин Ю. Н. Оценка роста решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения.- Пермь, 1985.- С. 30 33.

279. Винокуров В. Р., Смолин Ю. Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти-периодическими ядрами и запаздываниями // Докл. АН СССР.- 1971,- Т. 201, N 4.- С. 1704 1707.

280. Винокуров В. Р., Смолин Ю. Н. Некоторые свойства фундаментальной матрицы системы интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения.- Рязань, 1981.- С. 10 12.

281. Винокуров В. Р., Смолин Ю. Н. О некоторых свойствах фундаментальной матрицы системы интегр о-дифференциальных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика.- 1982.- N 9.- С. 77 80.

282. Винокуров В. Р., Смолин Ю. Н. Сопряженные системы линейных интегральных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика.-1984,- N 6,- С. 70 76.

283. Смолин Ю. Н. Об асимптотическом поведении решения квазилинейной системы интегральных уравнений Вольтерра с постояннымзапаздыванием аргумента // Дифференц. уравнения.- 1971,- Т. 7, N 6.-С. 1133 1134.

284. Смолин Ю. Н. О порядке роста резольвентных ядер системы интегральных уравнений Вольтерра с периодическими ядрами и запаздываниями // Дифференц. уравнения,- 1971.- Т. 7, N 12.- С. 2246 2252.

285. Смолин Ю. Н. Об уравнениях Вольтерра с малым параметром // Сб. тр. ВЗПИ.- 1972,- вып. 73,- С. 79 82. '

286. Смолин Ю. Н., Смолина Р. И. Об оценке снизу решения системы линейных интегральных уравнений Вольтерра // Тр. МИХМа.- Тамбов. 1974,- вып. 53.- С. 66 68.

287. Смолин Ю. Н. Об оценке снизу решений интегро-дифференциальных уравнений с запаздыванием // Краевые задачи. Пермь, 1979.-С. 183 - 186.

288. Смолин Ю. Н. Об оценках снизу решений дифференциальных уравнений с запаздыванием // Межвуз. сб. научн. тр. Пермь, 1981.- С. 196 - 201.

289. Смолин Ю. Н. Обобщенное полугрупповое свойство матрицы Коши линейной краевой задачи // Краевые задачи.- Пермь, 1984.- С. 4246.

290. Смолин Ю. Н. О матрице Грина общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения // Сб. докл. Всесоюзной школы по теории операторов.- Тамбов, 1987.- С. 16 17.

291. Смолин Ю. Н. Об асимптотике уравнений нейтрального типа // Матер. Международной конференции по нелинейным колебаниям.- Будапешт, 1987.- С. 345.

292. Смолин Ю. Н. Об одном свойстве матрицы Коши // Материалы Уральской регион, конф. по функц.-дифф. уравнениям.- Пермь, 1988.- С. 84.

293. Смолин Ю. Н. О матрице Грина как функции первого аргумента // Функционально-дифференциальные уравнения.- Пермь, 1988.- С. 60 -63.

294. Смолин Ю. Н. О матрице Коши функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика.- 1989,- N 5.- С. 54 62.

295. Смолин Ю. Н. Об одном методе получения экспоненциальной оценки решения уравнения Вольтерра // Изв. вузов. Математика.- 1999.-N 4,- С. 79 82.

296. Смолин Ю. Н. К вопросу об экспоненциальной устойчивости почти периодических дифференциальных уравнений // Изв. вузов.

297. Математика.- 2003.- N 4,- С. 57 60.

298. Смолин Ю. Н. Экспоненциальная устойчивость почти периодических дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 2003.Т. 39, N 9,- С. 1282 1285.

299. Смолин Ю.Н., Абдрахманов В. Г. Экспоненциальная устойчивость слабо периодических функционально-дифференциальных уравнений // Матер. 4 Уральской региональной научно-практической конф. Уфа, 2003.- С. 90-91.

300. Смолин Ю.Н. Алгебра и теория чисел.- Магнитогорск, Изд. МаГУ, 1994,- 446 с.

301. Смолин Ю.Н. Числовые системы.- Магнитогорск, Изд. МаГУ. 2001.- 85 с.

302. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. Матрица Коши уравнения с внешней производной. Матер. Понтрягинских чтений. Воронеж, 1993.-С.З.

303. Смолин Ю. Н. Оценка решений функционально-дифференциальных уравнений. Матер. 7 всесоюзной конф. Рига, 1989.- С.207.

304. Смолин Ю. Н. Ассоциированное произведение матриц в теории функционально-дифференциальных уравнений. Тезисы докл. 2 северо-кавк. регион, конф. по ф.-д. уравн. и их прилож. Махачкала, 1989.- С.194.

305. Абдрахманов В. Г., Смолин Ю. Н. О матрице Коши уравнения с внешней производной. Тезисы докл. 31 научной конф. МГПИ. Магнитогорск, 1993,- С. 241.

306. Смолин Ю. Н. Экспоненциальная оценка матрицы Коши периодического ф.-д. уравнения. Фундаментальные и прикладные исследования. Сб. научн. тр. Магнитогорск, 1997.- С. 13 17.

307. Смолин Ю. Н. Устойчивость линейного периодического функционально-дифференциального уравнения. Вестник Магу. Магнитогорск. 2003,- С.168 176.

308. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

309. Tischler A., Bellman D. Combustion Instability in an Acid-Heptane Rocket with a Pressurized-gas Propellant Pumbing System USA, NASA. Technical Notes, N 2936, 1953.

310. Халанай А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. Revue de mathematiques pures et appl. Acad. RPR. 6,4, 1961, P. 633 653.

311. Халанай А. Некоторые вопросы качественной теории систем сзапаздыванием. Труды Междунар. симпоз. по нелинейным колебаниям. Киев, изд. АН УССР, 1963. т. 11, с. 394 408.

312. Теодорчик К. Ф. Автоколебательные системы. Изд. 3.- M.-JL: Гостехиздат,1952.

313. Булгаков Б. В. Колебания.- М.: Гостехиздат, 1954.

314. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения.- М.: изд. МГУ, 1978.- 204 с.

315. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.- М.: Наука.- 1982.- 302 с.

316. Красовский Н. Н. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи // ПММ, 27.1963.

317. Dunkel G. Singl-species model for population growth depending oil past history. Lecture Notes in Matli., v. 60. Springer-Verlag, 1968.

318. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.-М.: Наука, 1976,- 286 с.

319. Azbelev N. V., Rakhmatullina L. F. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Memoirs on Different. Equat. and Math. Physics. Tbilisi: Publishing House GCI, 1996. V. 8. P. 1 102.

320. Azbelev N. V., Rakhmatullina L. F. Stability of solutions of the equations with aftereffect // Functional Different. Equat. 1998. V.5, N 1 2. P. 39 55.

321. Azbelev N. V. Stability and asymptotic behavior of solutions of equations with delay // Mathematica. Statistica. Informatica / Universidade Eduardo Mondlane. Maputo, 1996. N 4. P. 15-31.

322. Azbelev N. V. Stability and asymptotic behavior of solutions of equations with aftereffect // Volterra Equat. and Appl. London e.a.: Gordon and Breach Science Publishers, 2000. P. 27 38. (Stability and Contr.: Theory, Methods and Appl.; V. 10).

323. Kurbatov V.G. Functional differential operators and equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 433 p. 4- XX p.

324. Sugie J. On the stability for a population growth equation with time delay // Proc. Roy. Soc. of Edinburgh. 1992. Ser. A. N 120. P. 179 184.

325. Bainov D.D., Voulov H.D. Differential equations with maximum:stability of solutions. Sofia: Impulse "M", 1992. 101 p.

326. Cooke K.L. Asymptotic theory for the delay-differential equation u'(t) = -au(t-r(u(t))) // J. Math. Anal, and Appl. 1967. V. 19. P. 160 -179.

327. Yorke J.A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations // J. Different. Equat. 1970. V. 7, N 1. P. 189 202.

328. Yoneyama T. On the 3/2 stability theorem for one dimensional delay-differential equations // J. Math. Anal, and Appl. 1987. V. 125, N 1. P. 161 173.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00