автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые вопросы математического моделирования среднесрочных и краткосрочных инвестиций

На правах рукописи

РГ5 ОД 2 1 АВГ 2000

Бабиков Владимир Георгиевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СРЕДНЕСРОЧНЫХ И КРАТКОСРОЧНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук

Долгопрудный - 2000

Работа выполнена на кафедре управления и вычислительных систем Московского физико-технического института

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук,

доцент Шахнов И. Ф.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук кандидат физ.-мат. наук, доцент

Абрамов А. П. Шеверов В. Г.

Ведущая организация:

Институт Системных Исследований РАН

Защита состоится "2-?" и^к^ 2000 г. в • на

заседании Диссертационного совета К 063.91.03 при МФТИ р Московском физико-техническом институте по адресу: 141700, г. Долгопрудный, Моск. Обл., Институтский пер., д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан " ~ с. 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физ.-мат. наук Федько О. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Формирование кредитно-депозитного портфеля и управление активами являются важными задачами как для отдельного банка, так и для всего банковского сектора экономики. Для их' решения исследуются соответствующие зависимости, функции, оцениваются параметры модели банка, прогнозируются доходности по ценным бумагам.

Методы прогнозирования в применении к рынку ценных бумаг рассматривались в ряде работ. К изучению этой проблемы существуют различные подходы. Так в решении задач прогнозирования, инвестиционного анализа нашли широкое применение исследования по временным рядам, экспертные оценки.

Изучение зависимости процентных ставок от макроэкономических показателей также имеет большое теоретическое и практическое значение. Необходимость этих исследований возникает во многих задачах экономической теории, в финансовом менеджменте, при инвестиционном анализе. Изучение и моделирование различных явлений, протекающих в банковской системе, и, в особенности, процесса формирования кредитно-депозитных портфелей банков и спроса на деньги с их стороны является очень важной задачей как для государства, так и для частных инвесторов.

В данной работе представлены методы прогнозирования в применении прежде всего к задачам в области экономики и управления. В первой главе представлена модель банка и на ее основе решается задача формирования кредитно-депозитного портфеля. Во второй главе с помощью методов статистического анализа многомерных временных рядов решается задача прогнозирования параметров модели кредитно-депозигной полигики банка. В третьей главе рассматривается задача управления временно свободными активами банка Применительно к этой задаче предлагается специальный метод экспертного прогнозирования.

Цель работы: разработка комплекса моделей, алгоритмов и программ для поддержки принятия решений в области среднесрочных и краткосрочных инвестиций.

Научная новизна. Потребности практики и возможности, предоставляемые сегодня программными средствами и средствами вычислительной техники, дали мощный импульс развитию новых информационных технологий.

Одним из важных направлений новых информационных технологий является создание систем поддержки принятия решений. Именно на это направлена представленная работа - на разработку комплекса математических моделей, алгоритмов и программ как основы для системы поддержки принятия решений в области среднесрочных и краткосрочных инвестиций кредитно-депозитного учреждения (банка).

Одной из отличительных черт выполненного исследования является взаимоувяз анность моделей, предлагаемых для использования при формировании портфеля среднесрочных и краткосрочных инвестиций. В тоже время каждая из рассмотренных моделей представляет самостоятельный интерес, ибо может бьггь применена для решения конкретных задач, возникающих в практической деятельности кредитного учреждения.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.

1. Вопрос о среднесрочных инвестициях в настоящей работе рассматривается с позиций формирования банком общей полигики по привлечению и размещению денежных средств для выбранного горизонта среднесрочного планирования. Для 4 динамической модели процесса движения денежных средств рассматривается задача поиска допустимого решения в диалоговом режиме. Решение этой задачи осуществляется с помощью численных методов. Ее основное назначение - дать пользователю информацию в визуальной и количественной формах о влиянии выбранных значений управляющих переменных на итоговые результаты деятельности банка, а также определение "чувствительности" итоговых результатов к возможным изменениям значений параметров финансового рынка.

2. Вопросы прогнозирования и оценки параметров модели банка на основе накопленной статистики объективных данных рассмотрены в отдельной главе диссертации. Здесь можно выделить следующие результаты.

2.1. Предложен метод оценки коэффициентов линейной множественной регрессии с помощью обобщенных обратных матриц Мура-Пенроуза. Доказана теорема об эффективности такого рода оценок в классе несмещенных оценок.

2.2. Сформулированы основные определения и доказана теорема о прогнозировании в условиях сравнительно медленно меняющихся параметров системы, в которой обосновывается целесообразность на коротком интервале времени рассматривать регрессию с гетероскедастичностью и корреляцией ошибок во времени, а при рассмотрении продолжительных отрезков времени учитывать еще и устаревание информации. В результате выполненных исследований были получены модели прогноза процентных ставок в краткосрочном и среднесрочном периодах.

3. Одним из действенных методов прогнозирования является метод прямых экспертных оценок.

3.1. Автором разработан оригинальный метод краткосрочного прогнозирования доходностей ценных бумаг на основе опроса экспертов. Для устранения эффекта гетероскедастичности полученных экспериментальных данных были построены эффективные функции-мультипликаторы. Показано, что после устранения гетероскедастичности систематические (общие для всех экспертов) и случайные ошибки в

прогнозах каждого из экспертов могут быть разделены. Получены несмещенные оценки для каждого вида ошибок. Это позволило найти оценки числа экспертов, минимально необходимого для "подавления" случайных ошибок, то есть для максимально возможного повышения точности прогноза.

3.2. Рассмотрена задача краткосрочного размещения временно свободных средств по возможным финансовым операциям. В отличие от традиционно применяемых различных методов, основанных на фиксировании доверительной вероятности, предлагается использовать критерий минимаксного риска Сэвиджа. Показана обоснованность предлагаемого подхода в случае, когда для рассматриваемых финансовых операций известен прогноз лишь крайних (максимальных и минимальных) значений их доходностей. Проведенные численные расчеты показали высокую эффективность используемого алгоритма решения данной задачи.

Практическая ценность. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Полученные в ней результаты могут бьггь использованы в задачах инвестиционного анализа, финансового менеджмента.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всероссийской экономической научно-практической конференции в Екатеринбурге (1997), на Ш Международном симпозиуме по экоинформатике в Москве (1998), на семинаре в Высшей школе экономики (ВШЭ) (1999), на Президиуме Российской экономической академии (РЭА) (1999) и представлены на Международной конференции "Application of Physics in Financial Analysis" в Дублине (Ирландия, 1999).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, четырех приложений и списка литературы, содержит 102 страницы печатного текста, И иллюстраций и 7 таблиц. Список литературы включает 95 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, приведено ее краткое описание, обозначены области приложения ее результатов. В обзоре литературы по проблематике работы описываются работы других авторов по вопросам, затронутым в диссертации и по смежной тематике, отражена научная новизна диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются вопросы формирования кредитным учреждением (банком) политики по привлечению и размещению денежных ресурсов. Для описания процесса формирования кредитно-депозитного портфеля принята динамическая модель в непрерывном времени, для которой поставлена оптимизационная задача с фазовыми ограничениями. На практике для использования такой модели необходимо проводить предварительную оценку входящих в нее параметров. Методы оценки и прогноз значений параметров данной модели являются основной задачей второй и третьей глав диссертации.

Модель банка. Управление финансовыми активами банка - сложная комплексная задача. Для решения поставленной задачи требуется не только построить модель банка, но и оценить (или спрогнозировать) параметры модели. Таковыми параметрами модели являются: текущий рыночный курс ценных бумаг приобретенных банком, рыночная стоимость портфеля ценных бумаг, индекс потребительских цен, коэффициент неприятия к риску по Эрроу-Пратгу и т. д. Для модели принимается следующее.

Определение 1.1. Банк считается типичным, если: при проведении кредитно-депозитной деятельности он не зависит от кого-либо, кроме своих владельцев; юридический статус и множество доступных для проведения операций банка не меняются на рассматриваемом периоде; своими действиями банк не оказывает существенного влияния на финансовый рынок.

Количество денег {11(0 (объем свободных денежных средств банка -наличных денежных знаков в кассе банка, либо денег находящихся на корреспондентских счетах банка в расчетных центрах ЦБ РФ, а также на корреспондентских счетах в других банках), стоимость портфеля ценных бумаг |л2(0 и объем ценных бумаг размещенных банком йз(0> описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

ф№ = Ц^/Т - 82/Д1) + Р2('1(0/ср(0 +1/71« + (1-^2)/Л0 +

Из(_/2 _ 1/у2(,) _ 5з/д2) + -р(0Щ + Ф(0,

с1\хМ = ц,(82/Л,) + ц2((с/ф(/)ЛЛ)/<р(0 - 1/у,« - (1-б2)/Л,),

= ц3(—1/у2(0 - 63/Д2) + £53/ч/Л2, / е [0, 7]. (1)

В модели банка приняты следующие обозначения: Ф(/) - доход независящий от объема активов (брокерское обслуживание, проведение гарантийных операций, комиссионные за расчетно-кассовое обслуживание ...); Т - горизонт планирования; К0 - капитал банка (объем собственных средств);

к - коэффициент надежности банка;

v(i) - скорость расходования банком средств на содержание аппарата

управления, оплату аренды помещения ...; /?(/) - индекс потребительских цен;

х - характерное время проведения платежей (поступления денежных средств);

Д] - постоянная времени, характеризующая степень развития фондового рынка;

i'i(f) - номинальный индекс роста портфеля ценных бумаг, приобретенных банком. Индекс определяется как 1п(1+т)[), где т| i -средневзвешенная годовая ставка по приобретенным ценным бумагам;

ф(0 - текущий рыночный курс ценных бумаг, приобретенных банком; Yi(0 " среднее время погашения ценных бумаг, приобретенных банком; »г(0 - индекс роста совокупной задолженности по размещенным ценным бумагам. Индекс определяется как 1п(1-И12), где Г)2 средневзвешенная годовая ставка по размещенным ценным бумагам;

Yz(0 ■ среднее время погашения ценных бумаг, эмитированных банком; Д2 - постоянная времени, характеризующая степень развития рынка

ценных бумаг, эмитированных банком; 8i(0 - скорость проведения дивидендных выплат; 8г(0 - скорость скупки ценных бумаг сторонних эмитентов; 63(0 - скорость привлечения банком заемных средств.

Доходы банка dynldt складываются из следующих составляющих: Ф(0 - оплата своих услуг за проведение расчетов, гарантий операций, брокерское обслуживание и т. д.,

\Xi(ii(t)/q(t) + l/yi(0 + (I-S2VA1) - доходы от приобретенных ценных бумаг: складываются из процентов по бумагам и выплаты вложенных средств при погашении или продаже ценных бумаг,

Цз(- h - 1/72(0 - S3/A2) - оплата расходов по привлечению заемных средств, которые состоят из выплат процентов по размещенным ценным бумагам и выплат основных сумм заемных средств,

-p(t)v(t) - расходы банком средств на содержание аппарата управления, оплату аренды помещения ...

£8зАГо/Л2 - поступления в банк средств от размещения им своих ценных бумаг,

5£/т - 82/Д0 - оставшиеся средства банк использует для вложения в собственную инфраструктуру и для дивидендных выплат.

Рыночная стоимость портфеля ценных бумаг изменяется d\xi!di в результате расходования денег на приобретение ценных бумаг сторонних эмитентов Hi(82/Ai), в результате их продажи -Ц2О-82УД11 в результате

погашения -(^/уКО. или из-за изменения курсовой стоимости

Мф(0/<ЛУФ(0-

Объем ценных бумаг, размещенных банком, изменяется со скоростью ф3/Л в результате их выкупа -|Лз53/Д2, погашения -ц3/у2(0 или размещения ИзКо/Дг.

На величины управляющих функций §!(<), 82(0» &з(0 наложены ограничения

/=1,2,3.

Для сохранения банком ликвидности необходимо, чтобы выполнялось условие

ц, ф/т - / 2(0№(О ~ Цз(0/У2(0 -Р('М') 2 0, I € [0, 7]. (2)

Фазовые ограничения. Будем считать, что банк не получает "сверхдоходов". Следовательно максимальное количество денег, которое он может привлечь и получить в виде прибыли ограничено некоторой константой М

щ(0 йМ, /е[0,2].

Оценку М можно получить, исходя из максимального объема заимствований кК0, соотношения процентных ставок по привлечению и размещению средств, объема доходов, не зависящих от суммы активов

ш

Смешанное ограничение. После уплаты налогов банк использует средства для вложения в собственную инфраструктуру (внутренние инвестиции) - Х'М(0 и Для дивидендных выплат. Так как дивидендные выплаты не могут быть отрицательными, приходим в результате к следующему ограничению

8щ1р/х-У1^0, /е [0,7],

где У](г) означает скорость проведения реинвестиций в инфраструктуру банка в ценах на начальный момент времени.

Критерий качества Интересы банка (его владельцев) описываются желанием максимизировать дисконтированную полезность будущих дивидендных выплат на достаточно большом интервале времени [0, Т]. Будем считать, что полезность, получаемая от немедленной выплаты, представляется в ехр(шг) раз больше, чем полезность выплаты того же объема средств с учетом инфляции, но через время /. Величина со называется коэффициентом дисконтирования полезности дивидендных выплат. В этом случае функционал записывается в виде

J = oTexp(coi)«[V2(0]cft»

(3)

где и[.] - функция полезности дивидендных выплат, v2(i) - скорость проведения дивидендных выплат в ценах на начальный момент времени.

Когда и(1) играет роль полезности потребителя, обычно требуется, чтобы она была непрерывной, монотонной, вогнутой и ограниченной сверху с дополнительным условием и(0) = -°о. Последнее условие гарантирует положительность текущего потребления в каждый момент времени. Но можно не требовать выполнения этого условия, полагая, что функция u{t) имеет достаточно низкие значения для нулевого потребления (дивиденды могут выплачиваться в течение некоторых промежутков времени).

В качестве функции полезности примем зависимость вида Фъ(0]Л = - Ц,(/)5,(М(1-«М'Ж) + (1/(1-£))(ТУ,(0/Л/+ 1). (4)

Здесь 9 означает относительное неприятие риска по Эрроу-Пратту. Для системы (1) заданы начальные условия

ц1(0) = М0>0, n2(0)=S0>0, n3(0) = D0>0. (5)

Граничные условия имеют вид

М2(Т) = 0, ц3(Т) = 0. (6)

Для прогнозирования значений функций Ф(/), Л(0> Ш), ф(0, Yi(0. Уг(0. vi(0, v2(/) в диссертации предлагаются методы математико-статистического анализа временных рядов и экспертных оценок.

Аналитическое исследование модели банка (1-6) крайне затруднено. Оно возможно только при допущениях, существенно упрощающих модель и делающих ее неадекватной. Поэтому разумно перейти к численному эксперименту. Для решения системы уравнений (1-6) использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка. При проведении расчетов использовались следующие два утверждения:

• существует интервал времени (<ь /2) с (О, Т) такой, что /2(0 < i\(t)fq>(t) + (d<f>(i)/dt)/q>(f) = /(г). В противном случае привлечение пассивов всегда будет убыточным и 53 надо будет положить равным нулю на всем интервале планирования (О, Т), что приведет к резкому упрощению модели и к потере ее адекватности;

• управления 8i(f), 62(f), S3(i) будем искать в классе кусочно-постоянных или кусочно-линейных функций. Такой подход соответствует реальной банковской практике.

Решение системы уравнений (1)-(6) с заданными внешними параметрами в общем случае целесообразно проводить в два этапа. На первом этапе исследований модели с заданными внешними параметрами откажемся от выплаты дивидендов (51=0) и расходов на внутренние инвестиции. Будем максимизировать финансовый результат Ц](0 (при условии ц2(/) 0, |!3(0 -> 0, при / -» Т) на конец периода и рассчитаем отдельно необходимый объем внутренних инвестиций по номиналу. Исходя из здравого смысла, следует привлекать (6э=1) и размещать (82=1) средства с максимальными скоростями, если ставка привлечения ниже ставки размещения в течение длительного периода времени (т. е. существенно большего чем Д[ и Д2), и полностью отказываться от привлечения заемных средств (63=0), если заемные средства обходятся дороже по сравнению с прибылью приносимой от их размещения. Данный подход трудно обосновать при частых колебаниях процентных ставок на финансовом рынке, но в стабильной ситуации, например, когда ставка привлечения всегда ниже ставки размещения, можно показать необходимость привлечения по максимуму пассивов (8з=1) и размещения активов (82=1) на большей части участка планирования.

В реальной ситуации, когда ставки по привлечению средств и доходность активов часто изменяются, можно заменить в описанном выше подходе /з(0 и /(/) их трендами, и для принятия решений сравнить /2(<)тренд и ¿(Олу>еид, что соответствует реальной банковской практике. Оценку трендов здесь предлагается проводить с помощью методов, сформулированных в главах II и Ш. При выборе конкретного метода построения трендов следует помнить, что чем выше ликвидность активов (меньше ДО и выше возможность оперативно привлекать пассивы (меньше Д2), тем более короткие по времени ряды данных должны использоваться. Здесь можно применить и интервальный подход. Расчет модели формирования кредитно-депозигной политики банка проводился для различных интервальных оценок тренда и далее с помощью критерия минимаксного риска решалась задача выбора управления банком.

На втором этапе, имея получающийся при найденных управлениях финансовый результат, можно сравнить его с объемом необходимых внутренних инвестиций. Если финансовый результат меньше требуемого объема внутренних инвестиций, то далее решать задачу бессмысленно, так как у банка не хватит средств для финансирования собственного развития. Если финансовый результат превосходит объем требующихся внутренних инвестиций, то задача скорее всего имеет решение и теперь остается только подобрать управление дивидендными выплатами. Для этого следует на каждом шаге рассчитывать объем дивидендных выплат по номиналу и искать такие управления, чтобы этот объем был меньше разности между финансовым результатом и требуемым объемом внутренних инвестиций. Очевидно, что для максимизации функционала полезности дивиденды должны выплачиваться достаточно равномерно, без

всплесков, и отказ от выплат дивидендов на коротких отрезках времени слабо сказывается на всем функционале.

С целью интерпретации описанной выше модели в диссертации подробно описан пример результатов ее исследования в случае, когда процентные ставки по размещаемым и приобретаемым ценным бумагам постоянны, курс приобретаемых бумаг колеблется, но при этом ставка привлечения всегда ниже реальной ставки размещения. В этом случае на большей части участка планирования будет выгодно максимально быстро привлекать пассивы путем продажи собственных ценных бумаг (5з=1) и размещать привлеченные средства, покупая ценные бумаги сторонних эмитентов (52=1). Подобрать управление дивидендными выплатами в данном случае также достаточно просто, если вообще отказаться от выплаты дивидендов на начальном и конечном этапах, когда происходит активное перетекание средств.

Ниже приведен пример результатов расчетов кредитно-депозитной политики банка с помощью описанной модели для следующих исходных данных:

Г=1 горизонт планирования (лет);

ЛГ0=1 капитал банка (млрд. $);

к= 1 коэффициент надежности банка;

Д)=0.02 постоянная времени, характеризующая степень развития фондового рынка;

Д2=0.02 постоянная времени, характеризующая степень развития рынка ценных бумаг, эмитированных банком;

т=0.01 характерное время проведения платежей (поступления денежных средств);

6=2 относительное неприятие риска;

Л/=1.1 максимальная сумма денег, которая может оказаться в распоряжении банка (млрд. $).

Начальные условия:

Ц](0)=0 сумма денег, принадлежащих банку в начальный момент времени;

ц2(0)=0 рыночная стоимость портфеля ценных бумаг банка в начальный момент времени;

цз(0)=0 объем, размещенных банком ценных бумаг по номиналу в начальный момент времени;

/1(0)=40 % годовых;

/2(0)=30 % годовых.

Результаты расчетов для этих данных (оптимальная кредитно-депозитная деятельность банка для заданного горизонта планирования) приведены на рис. 1-4.

Сумма денег, принадлежат»! банку на начальном участке

Врем я (годы)

Рис. 1. Изменение суммы денег, принадлежащих банку на начальном этапе (Ц1(0).

Сумм а денег, арнаядлсжат и банку икисчяьм этан».

Рис. 3. Изменение суммы денег, принадлежащих банку на конечном этапе (^(0).

1 п

Рис. 2. Изменение стоимости приобретенных и размещенных (цз(0) ценных бумаг на начальном этапе.

Рис. 4. Изменение стоимости приобретенных (Цг(0) и размещенных (ц3(0) ценных бумаг на конечном этапе.

На практике возникает задача прогнозирования процентных ставок /1(0, Ш) на периоде планирования (или их интервальные оценки). В целом, предлагается проводить оценку процентных ставок с помощью методов изложенных в главах II и Ш.

Вторая глава посвящена математико-статистическим методам прогнозирования и оценки параметров модели банка (1-6). Таковыми параметрами модели являются: текущий рыночный курс ценных бумаг, приобретенных банком, рыночная стоимость портфеля ценных бумаг,

индекс потребительских цен, коэффициент отношения к риску по Эрроу-Пратту и т. д. Для исследования методов использовалась собранная автором база данных по государственным краткосрочным облигациям.

В большинстве случаев база данных, по которой строится прогноз, представляет собой временной ряд векторов-состояний исследуемой системы. Пусть а(<)=(а1(0> а2(0, ••• а„(г)) - случайный вектор состояния некоторой системы в момент времени [1; а].

В настоящей работе предлагается (лемма 2.1) метод оценки коэффициентов линейной множественной регрессии с помощью обобщенных обратных матриц Мура-Пенроуза.

Лемма 2.1. Пусть <х(0=(а10), «2(0. ••• «„(/)) - вектор состояния некоторой системы в момент времени причем /е [1; и пусть выполняется условие.

сс(е+1)=Ла(0 + (7)

где А - невырожденная пхп-матрица, \ - (£1, £2, ..., и<5, причем Ук,1 {к,1е [1;л] Е&)=0 & У&)=Е(^> оД & Ы Е&УН}. Тогда оценка матрицы А:

/ = (Р+(л-1)Р(л))т, (8)

является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок, где ( )+ - оператор псевдообращения (в смысле Мура-Пенроуза),

р(оН

г а,0) «10-1) «10-2)

«20)

а2(М)

агО-2)

азО)

аз(М) азО-2)

а,(2) а2(2) а3(2) ....

и, соответственно,

Э(М) =

= <

а!0-1)а20-1)а30-1)... а10-2)а20-2)а30-2)... а!0-3)а20-3)аз0-3)...

а,(1) а2(1) аэ(1) ...

>

(9)

Ранги матриц (3(я) и [3(5-1) равны п. Ы-множество натуральных чисел.

Таким образом, существует возможность прогнозирования вектора состояния экономической системы, удовлетворяющей условиям леммы 2.1. Для расчета псевдообратных матриц целесообразно использовать

п

матрицы Мура-Пенроуза, для которых разработаны эффективные алгоритмы. Это позволяет ускорить процесс вычисления матрицы А*.

Лемма 2.1 обобщается на случай более сложных моделей рынка. Введем следующее обозначение: г

о.\{1-к) о12У-к) а3(1-к) а^-Ы) а 2(1-кЛ) а3(/-Ы) Ри(М) = Ча1(М-2) а2(/-*-2) а3(/-*-2)

а1(1-Аг+/и) а2(1-&+/и) а3(1 -к+т)

> , т>к.

(10)

Искомая база данных в этих обозначениях будет р^/) (/о=1, /=5'). Применяя метод, описанный в лемме 2.1 к базе данных ||рт(.0 1р„(^-1) 1рт(у-2) | ... |рт(5-/я+1)||, получаем метод анализа порядка т. Решением задачи прогнозирования будет следующее выражение:

а'(л+1) -А сф),

(П)

для метода порядка т = 1 (лемма 2.1) и:

аVI) = ЛЛ||а(х)!а(5-1) I... Iа(5-ю+1)||т, ^Л = (Р+(5-1)Р,^))Т,

где РК) = Ш*) 1рИ(^-1) 1РтС*-2) I... 1ри(5-/л+1)||, (при т = 1, р(х) = р1(х)), т - порядок метода.

(12)

Теорема 2.2. Пусть а(/)=(ос|(0, а2(1), ... а„(/)) - вектор состояния некоторой системы в момент времени /еД причем /е [1; .$•] и пусть выполняется условие (13).

а(/+1)=Л||а(01а(М) I... Ь(/-от-Ы)|]т + %,

(13)

где А - пхпт-матрица (ранга п), £ = (с,и £2, пт < л, причем \/к,1

{к,1е[ 1;я] Е&)=0 & У(ад=Е(Щу= аД & Ы Е£&>0}. Тогда оценка матрицы А

Лл = (Р+(*-ПР1(*))т, (14)

является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

Матрицы Р($-1), Р|($) определены соотношениями (10) и (12).

Далее во второй главе изучаются вопросы устаревания информации. Этот аспект интересен с точки зрения учета устаревания ранее полученной информации. С этой целью вводится понятие функции старения информации. В настоящей работе "старение" информации понимается в том смысле, что точность полученных данных уменьшается с течением времени.

Предположим, что функция "старения" ДО может быть любой возрастающей монотонной функцией времени Введем обозначение

ГМ*-Ю о

О Д(5-2)г) ...

О 10

О О

о о о о

о

О 1

(15)

где ДО = 1 + (, 2 - параметр (в качестве ДО можно выбрать и другие функции, например ДО = ехр(О).

Рассмотрим параметрическую матрицу К(г) как матрицу преобразования матрицы ковариаций ошибок По

С1к = К(г)С1оК(г)т (16)

Отметим, что матрица ковариаций соответствует выборке на малых интервалах времени. В случае когда £10 = Е (где Е - единичная матрица) имеет место равенство = К(2)К(:)Т. То есть при отсутствии гетероскедастичности и корреляции ошибок во времени на относительно малых интервалах времени для оценки коэффициентов регрессии на больших интервалах времени имеет смысл использовать в качестве матрицы ковариаций ошибок не единичную матрицу, а диагональную матрицу = К(г)К(г)т. В этом случае искусственно вводится гетероскедастичность, подразумевая, что с точки зрения последних событий предшествующая информация "устарела", поэтому предшествующим событиям приписываются большие ошибки. Формализуем эти рассуждения следующим образом:

Определение 2.1. Лагом называется временной сдвиг между временными рядами.

Определение 2.2. Разностным временным рядом будем называть ряд, полученный как разность исходного ряда и этого же ряда взятого с лагом относительно исходного.

Определение 2.3. Если стандартное отклонение с разностного временного ряда возрастает монотонно как Д£)а0 (с0 - стандартное отклонение от тренда исходного временного ряда, к-лаг) с ростом лага, то функцию Дх) будем называть функцией "старения ".

Рассмотрим регрессию временного ряда а;</+/) (£е[1,л]) на а(/). a(/)={ai(/),a2(/),...а„(/)}, /e[l,s]. В работе доказывается следующая теорема,

Теорема 2.4. Предположим, что

1. а;(Г+1) = ct(0ß +ßj)z;

2. a(l) - детерминированная sxk матрица, имеющая максимальный ранг к;

3. Е(е) = 0; V(e) = ECes1) = Q;

4.f(t) - функция "старения" информации, t - время с момента наступления события, £lk = КПК* (см.15,16),

тогда оценка ßA = (Хс€1{хХ)ЛХ'С1к1У является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой.

При анализе котировок ценных бумаг, различных индексов, макроэкономических показателей исследователи сталкиваются с рядом проблем. На продолжительных интервалах времени законы рынка могут меняться несколько раз. Естественно, устаревшая модель рынка будет неприменима для прогноза будущих значений наблюдаемого временного ряда. Поэтому, как правило, для прогноза берутся данные, накопившиеся за некий короткий промежуток времени. Для оценки матрицы ßA (см. теорема 2.4) используется вся информация, но учитывается эффект устаревания данных. Исследователю остается подобрать функцию старения для того, чтобы строить прогноз не по малой выборке, а использовать всю доступную статистическую информацию и получать более эффективный прогноз.

В результате экспериментальных исследований была получена модель краткосрочного прогнозирования доходности по государственным облигациям.

a,(i+l) = ai+a2/+üf3ai(r) +tf4oci(f-l) +c5<XiO-2) +a6a2(/-2) +a7a3(0 +aga4(i) где

cii(i) - средневзвешенная по объемам и срокам до погашения доходность в момент V,

а2(г) - средняя разница между средневзвешенной ценой и ценой закрытия за торговую сессию в момент t;

<х3(0 - Z ai(j), _/' = 0,..., t (индекс пессимизма - оптимизма); а4(/) - количество денег в системе перед началом торгов в момент времени t.

График (рис.5.) наглядно демонстрирует эффективность модели для предсказания изменения доходности в краткосрочном периоде. Такой прогноз дает ответ на вопрос, что делать в начале торговой сессии: продавать ценные бумаги или покупать.

Заметим, что при оценке коэффициентов модели предполагалось, что она обладает гетероскедастичностью.

За счет включения в модель дополнительных регрессоров (а^/); а^*-/); С11 ((-2)), была исключена корреляция ошибок во времени. По этой причине считалось, что полученная таким образом модель обладает диагональной матрицей ковариаций вектора ошибок.

Далее на каждом шаге с учетом «устаревания» информации (см. теорема 2.4, ДХ) = ехр((зч)/20), где э - число наблюдений) производился расчет коэффициентов модели и строился прогноз.

номер торговой сессии

Рис.5. Фактические и прогнозные значения средневзвешенной доходности государственных облигаций.

В третьей главе рассматривается один из возможных подходов к задаче управления временно свободными активами банка на коротком интервале времени. Данный подход основан на экспертной оценке области возможных значений критерия доходности рассматриваемых ценных бумаг и применении критерия Сэвиджа для распределения свободных активов при вложении их в различные ценные бумаги. Рассматриваемая задача имеет очевидную практическую направленность, ибо при наличии достоверных прогнозов и соответствующем размещении активов можно существенно увеличить временно свободные ресурсы.

В первой части третьей главы рассматриваются методы обработки информации, полученной в результате опросов экспертов, с целью выявления наиболее существенных факторов, влияющих на исследуемый процесс.

Имея в дальнейшем конкретные реализовавшиеся значения интересующих нас величин, а также прогнозные значения этих величин, можно оценивать действительную важность факторов, названных экспертами.

В течение двух месяцев (1.1996-11.1996) проводился опрос восьми экспертов (трейдеров и специалистов аналитического отдела одного из коммерческих банков). Каждый из экспертов накануне /'-ой торговой сессии представлял свои прогнозы цен по различным видам государственных краткосрочных облигаций на предстоящую' сессию, заполняя соответствующую анкету. Цена облигаций выражалась в процентах к номиналу. Прогноз к-го эксперта на j-ю торговую сессию удобно представлять в виде разности спрогнозированной им цены ctß и фактически реализовавшейся цены для ;-го вида ценных бумаг

Vijk = cijk-c,^ (17)

Таким образом, величина vtJt есть ошибка прогноза к-го эксперта по /-ой ценной бумаге на j-ой торговой сессии.

Основные задачи этого раздела третьей главы таковы.

1. Определение степени влияния различных факторов на ошибку прогноза.

2. Создание методики проведения опроса экспертов и построение "приведенных" таблиц опросов. Преимущество "приведенных" таблиц состоит в том, что они дают более объективное представление о качестве прогноза каждого эксперта в отдельности.

3. Выбор оптимальной весовой функции.

4. Построение эффективного метода обобщения сведений, поступивших от экспертов.

Введем следующие обозначения:

Viß - квадрат отклонения прогноза ¿-го эксперта от фактического значения по /- й бумаге, на j-ю торговую сессию;

V = (1 ЩЪ&ф) - среднее значение квадрата отклонения прогнозов экспертов от фактического значения по /-й ценной бумаге для /'-ой торговой сессии;

V/2 = (1 /л)2/у,/) - средний квадрат ошибки прогноза для /-ой ценной бумаги;

v/ =(l//tt)2,(v//) - средний квадрат ошибки прогноза для /-ой торговой сессии;

hj- количество экспертов, участвующих в данном прогнозе, hj е[1,Я];

Я - общее количество экспертов;

п - количество торговых сессий, je [1,л];

т - количество видов ценных бумаг, /е[1,от];

¿-номер эксперта, £е[1, Я].

Каждый из индексов /, /', к здесь несет дополнительную смысловую нагрузку. Например, выражение v, означает среднеквадратичную ошибку, имевшую место для /-ой торговой сессии и вычисленную по всем экспертам и всем видам ценных бумаг; выражение V/ означает

среднеквадратичную ошибку для /-го вида ценных бумаг, вычисленную по всем экспертам и по всем прошедшим торговым сессиям.

На основе анализа данных опроса экспертов в работе доказывается утверждение 3.1.

Утверждение 3.1. Среднее значение квадрата ошибки прогноза \у и оценки квадратов ошибок, связанных с риском по ценным бумагам и с "особенностями" рынка в определенный момент времени (\} ), связаны между собой следующим выражением:

V,/ ~ А2. (18)

Для доказательства утвервдения 3.1 рассматривалась следующая регрессионная модель

у,/ = а! + а2у, + а3у, + а4у(уу + а5у,2 + о^у/ + а7у/2у/ + ^ (19)

В результате процедуры пошагового отбора было получено регрессионное уравнение V,/ = 5,2(0д)У/2у/ + £ с высоким коэффициентом детерминации Я (К2 = 0,99). Добавление в уравнение регрессоров из (19) не увеличивает качество подгонки регрессионной модели, из чего и следует справедливость утверждения 3.1.

После деления каждого из элементов таблицы опросов для к-то эксперта на у,-2у/ перейдем к "приведенной" таблице для к-то эксперта с элементами Аук , где элементы которой суть

Л,,/ = Уй2/у,У (20)

Далее в работе делается существенное допущение, что "качество" предсказаний эксперта для каждого вида ценных бумаг остается неизменным, а фактическое значение цен ценных бумаг различного вида зависит как от "особенностей" рынка, так и от волатильности ценной бумаги (риска, связанного с вложением денежных средств в эту бумагу). Анализ данных показал, что матрица ковариаций ошибок отдельно взятого эксперта обладает гетероскедастичностью, и это является следствием того, что временной ряд ошибок прогнозов подвержен изменениям конъюнктуры рынка. Основной способ устранения гетероскедастичности -выявление фактора, являющегося источником гетероскедастичности (18) и затем устранения его. В данном случае это делается с помощью деления на этот фактор. В связи со сказанным из утверждения 3.1 вытекает

Утверждение 3.2. Элементы "приведенных" таблиц А,у* отличаются от элементов таблиц у/;*2 коэффициентом 1/(у/у, ) и слабо зависят как от "особенностей" рынка, так и от свойств отдельных видов ценных бумаг.

Ошибка измерений в общем случае, как правило, складывается из систематической и случайной составляющих а2 = ст2снст + с2случ. При прогнозировании параметров экономической системы необходимо учитывать систематическую ошибку, которая возникает как следствие прогнозирования в условиях неполной информации. Операторь1 рынка, аналитики не обладают полной информацией и, соответственно, не могут полностью предвидеть влияние будущих политических и других факторов.

Проведенный дополнительный анализ показал отсутствие в составе экспертов устойчивых "разнородных" (по своим мнениям) групп. Поэтому можно принять, что у экспертов данной группы ошибка прогноза состоит из примерно одной и той же "систематической" ошибки, а так же случайной ошибки, которая является характеристикой отдельного эксперта (его опыта).

Вышесказанное равносильно принятию допущения о том, что приведенная ошибка А,д прогноза £-го эксперта имеет вид

А/д- = V/,* / = (% + (21)

где случайная величина Г]у связана с общей неопределенностью ситуации (сложившейся к началу у'-ой торговой сессии) и является причиной появления "систематической" составляющей дисперсии приведенных ошибок у всех экспертов. Случайная величина играет роль "случайной" составляющей приведенной ошибки к-го эксперта для у'-ой торговой сессии и может существенно меняться при переходе от одного эксперта к другому, а также при переходе от одного вида ценных бумаг к другому их виду.

В работе доказывается следующее утверждение.

Утверждение 3.3. Пусть д, и ^ - независимые величины с математическим ожиданием равным нулю, так что дисперсия приведенной ошибки а(<г к-го эксперта при прогнозировании цены ¡-ой ценной бумаги есть

аа2 = ап2 + сга2© (22)

где аа(£) - дисперсия "случайной" составляющей приведенной ошибки прогноза к-го эксперта для ¡-ой ценной бумаги, стп2 - дисперсия "систематической" составляющей ошибки экспертов. Тогда несмещенные оценки 5П2 и для дисперсий стп2 и

а,2« *п2 = («-1)"' пД <г,Д$) » sl,fa) = (л-1)"1 £у-1 Ъ/ (23)

определяются через приведенные ошибки Д,^ с помощью выражений

in2« [(п-1)тЩ1 frj Aiji)-v(i//2]}

Vij - (Aij,H - Дуд)2 + ^"''k-i (Ay.i+i - Ауд)2

(24)

sap «/«-W1 {2% [bjM ~ Vu ~ vv/2])]}

А и ы

Сделанное в утверждении 3.3 предположение о равенстве нулю математического ожидания величин т^ и ^ связано с тем обстоятельством, что в рассматриваемом случае в качестве экспертов привлекались высококвалифицированные специалисты с большим опытом прогнозирования результатов рассматриваемых специализированных торгов. Поэтому естественно ожидать, что такие эксперты, имея результаты сопоставления своих прогнозов с реальностью, достаточно быстро адаптируются к складывающейся ситуации и после проведения уже первых нескольких торговых сессий "уберут" свои ненулевые систематические составляющие ошибок (связанные с их излишним оптимизмом или пессимизмом).

Утверждение 3.3 показывает, что "систематические" и "случайные" ошибки могут быть разделены, а оценки их дисперсий могут быть непосредственно найдены на основе экспериментальных данных. Изменение оценок Stt2(£) в зависимости от вида ценных бумаг и привлеченных экспертов представлено в табл. 3.1, где также приведены значения si? оценок средней дисперсии случайных ошибок ст*2(£) у различных экспертов

Табл. 3.1

№ ГКО, серия

к 50 51 52 53 54 55 56 15 16 17 18 19 0,56

V ^ V „ 1 Н.к V V S9k S\o.k «п.И «12./ V

1 0,97 0,32 0,24 1,06 0,33 0,65 0,81 0,67 0,77 1,12 0,93 1,47 0,78

2 1,29 0,21 0,23 1,13 0,56 0,55 1,11 1,09 1,10 1,16 1,04 1,16 0,88

3 2,03 1,17 1,65 2,31 2,05 2,14 3,07 1,26 2,39 4,11 3,74 4,10 2,50

4 2,02 2,67 1,79 3,42 2,37 1,71 2,43 3,38 2,95 2,26 2,33 2,27 2,47

5 1,01 0,67 1Д5 1,94 1,59 1,79 2,67 0,86 2,10 3,97 3,88 4,20 2,15

6 2,60 1,24 1,99 4,06 2,81 2,99 1,87 2,76 5,13 3,19 4,45 1,26 2,86

7 1,56 0,90 0,59 1,84 0,83 0,58 2,01 1,58 1,36 1,57 1,27 1,39 1,29

8 3,72 2,06 1,70 3,61 1,55 1,83 2,63 5,95 2,96 3,04 3,08 3,70 2,98

Выделение и анализ случайных ошибок имеет своей целью выявление лучших экспертов. В данном случае естественно считать лучшими экспертов, обладающих меньшими значениями дисперсий случайных ошибок. Так, из табл. 3.1 следует, что по отношению к ценным бумагам

серий 21050, 22015 к числу лучших экспертов следует отнести первого и пятого; в отношении ценных бумаг других серий лидируют первый и второй эксперты. Пользуясь усредненными оценками точности прогнозов в виде значений показателя s2(Q видим, что наибольшей точностью обладают прогнозы первого, второго и седьмого экспертов. Ё целом, данные о точности прогнозов, даваемых различными экспертами, в дальнейшем представляются весьма важными при решении проблемы формирования экспертной группы.

Известно, что действенным способом повышения точности прогноза является переход к взвешенному усреднению предсказаний экспертов. В этом случае прогноз цены су имеет вид

Су = 'Lkgifiijk (25)

где g¿ - вес предсказания к-го эксперта, суммирование ведется по всем экспертам, принимавшим участие в рассматриваемом прогнозе.

Конечной целью прогнозов, рассматриваемых в настоящей работе, является предсказание ожидаемых значений цен сфа|СТ/7+1 и их возможных диапазонов для ценных бумаг различного вида на предстоящей (/+1)-ой торговой сессии. Основой для таких прогнозов должна служить информация об имевших место прогнозных данных и фактически реализовавшихся цен на предыдущих сессиях (с 1-ой по j-ю сессию). Применительно к этой цели в диссертационной работе обосновывается следующее утверждение.

Утверждение 3.4. Пусть для предстоящей (j+\)-oú торговой сессии оправдано использование статистических характеристик систематической и случайных ошибок, найденных в результате обработки статистических данных, полученных для предыдущих торговых сессий.

Тогда наилучшей (в смысле минимума дисперсии) несмещенной оценкой для ожидаемого значения цены c,j^¡ i-ой ценной бумаги является взвешенная цена

Cíj+i = ^Hk{gkCij+ u),

а доверительный интервал для сфшсТу>1 - фактического значения искомой цены - определяется с помощью распределения Стъюдепта и имеет вид

где gk = ¿u W, S? = *,2 + g¿

величина критерия Стъюдента ¡дц-1 находится через выбранное значение доверительной вероятности Р

Р(^+1 - < с^ V1 < сфХ + 1» = 1-9.

Значения оптимальных весов & легко находятся из двух условий: математическое ожидание взвешенного прогноза должно совпадать с математическим ожиданием фактической цены, в то время как дисперсия взвешенного прогноза должна быть минимальной за счет выбора соответствующих значений весов.

Очевидно, что в общем случае оценка есть убывающая функция от числа экспертов Я. В пределе должно быть х2 —> 5П2 при Я -> <». Это хорошо видно на примере данных, представленных в табл. 3.2.

Табл. 3.2

И 1 2 3 4 5 6 7 8

¿Л ГКО-2Ю54 1,51 1,09 0,88 0,8 0,75 0,72 0,7 0,68

ГКО-2Ю52 1,17 0,88 0,76 0,71 0,68 0,66 0,65 0,64

Предельные значения я2, равные 0,6, достаточно хорошо согласуются с оценкой ¿„2, полученной для данных (табл. 3.1,5П2=0,56).

Заметим, что если все эксперты обладают одинаковой оценкой дисперсии = случайной ошибки, то полученное выше

выражение для з,2 приобретает вид

¡,г = 5* + !,\®1Н. (26)

то есть с увеличением числа экспертов Я дисперсия ошибки взвешенного прогноза цены стремится к дисперсии систематической составляющей ошибки со скоростью, пропорциональной Н"\

Утверждение 3.1-3.4 были положены в основу методологического и математического обеспечения разработанной автором методики прогнозирования цен различного вида ценных бумаг. Разработанное программное обеспечение данной методики приведено в приложении к диссертации.

Сопоставление прогнозов цены различных ценных бумаг и их фактически реализовавшихся значений приведено на рис. 6. Здесь на рис. 6 проведено сопоставление, когда в качестве "обучающей" выборки каждый раз брались данные за г = 4 предшествующие торговые сессии и прогнозировали цены с,,3, с16, ..., с,,и. Значение » 1,9 при ¿7=0,1 и Н-8.

Рис. 6. Фактические и прогнозные цены облигации серии 21050.

Разработанная методика на практике оказалась весьма эффективна и позволяет существенно уменьшить ошибки прогнозов, основанных на опросе экспертов. С помощью представленной методики предлагается проводить верхнюю и нижнюю оценку курса валют, ценных бумаг и т. д. (см. утверждение З.4.).

Во второй части третьей главы рассматривается задача управления свободными активами в условиях риска, связанного с неполнотой знаний о возможных последствиях принимаемых решений. Задача управления активами на основе прогнозов заключается в выборе таких валют, инструментов и сроков вложения средств, чтобы по возможности при минимальном риске получить максимальный доход на конец определенного периода. Предполагается, что рассматриваются операции по краткосрочному размещению свободных средств, и что для каждого возможного варианта размещения средств имеются прогнозы его основных параметров, определяющих доходность данного варианта Под доходностью операции понимается доход, который дает каждая единица вложенных в операцию средств.

Одним из действенных способов прогнозирования уровня риска является оценивание только области возможных значений интересующих нас параметров, без конкретизации закона распределения вероятностей реализации тех или иных значений параметров. В этом случае прогнозируются лишь верхние и нижние границы (интервалы) возможных значений параметров. При таком "интервальном" подходе к прогнозированию целесообразно прибегнуть к специальным критериям принятия решений в условиях неопределенности, применяемых обычно в теории игр и смежных областях (например, критерии Вальда, Байеса, Гурвица, Сэвиджа). В настоящей работе в качестве такого критерия используется критерий Сэвиджа.

Несомненным достоинством критерия Сэвиджа является учет человеческой психологии при оценке принимаемых решений. Исходная

концепция Сэвиджа основана на двух допущениях: (а) о достоинствах и недостатках своих решений, принятых в условиях неопределенности, человек может судить только после претворения его решений в жизнь, (б) реакция человека на результаты принятого им решения выражается в виде "сожалений" по поводу того, что он выбрал не то решение, которое дало бы оптимальный результат в той конкретной ситуации, которая реализовалась в действительности.

Формально критерий Сэвиджа в рассматриваемой задаче управления свободными средствами строиться следующим образом. Пусть х = (xi, ..., х„) и у - (уи ■■■> Уп) - Два возможных размещения имеющихся свободных средств. Здесь jc„ у, - доли общего количества свободных средств, вкладываемых в /'-ю операцию, i е [1, л], п - число рассматриваемых возможных операций, Zx, = = 1.

Пусть к = (>ч, Х2, ..., Х„) - вектор доходностей рассматриваемых операций. Доход от вариантов размещений средств х и у есть 2Хрс„ и, соответственно, Максимальный доход, который можно получить при фиксированном векторе доходностей X, есть результат решения задачи max^SA.^,, Еу/ = 1. Функция Длг,Я) "сожаления" (иногда называемая "риском" по Сэвиджу) для размещения средств х при фиксированном К вводится в виде

fix,К) = maxyLA,^/ - ХАрг,-

Максимальное "сожаление", которое может иметь место для произвольного размещения х при изменении вектора доходностей X. в установленном диапазоне [Х.НДВ] есть

F(x) = max,,/*, А.), \,а <Х,< ХД / е [ 1, и]

Функция F(x) может быть приведена к ввду, в котором фигурируют только верхние и нижние границы значений X,

F(x)=F,(X) + T2(X) (27)

где

Ffc) = max, [l,' - (V-V)*/J. F2(x) = -2ЯЛ,, 2c, =1, / e [1,«] (28)

Оптимальное размещение свободных средств х* в этом случае есть решение задачи

Fi(x) + F2(x) -> minr (29)

Из выражений (27) - (30) следует, что при решении задачи размещения свободных средств с помощью критерия Сэвиджа можно

-м

ограничиться знанием лишь интервалов значений доходностей [ХНДВ] рассматриваемых финансовых операций,

Используя предложенный Ю. Б. Гермейером принцип последовательной оптимизации минмаксных функций нетрудно построить весьма простой алгоритм решения задачи (27) - (29). В основе этого алгоритма лежит следующее утверждение.

Утверждение 3.5. Пусть рассматриваемые финансовые операции перенумерованы в порядке убывания их верхних границ доходности, так что}1" > А./,у > /, иг = ахё шах/ к". Пустьх* = (х\*, ... ,х„*)- оптимальное размещение свободных средств по п финансовым операциям, найденное из решения задачи (27) - (29). Тогда существует такое значение ^ функции Р^х), что для всех х,, /' е[1, и], / Ф г, отличных от нуля, имеет место равенство

Доля XI вложений в йо операцию при заданном значении определяется из выражения (5) как

где величина Fi выступает в качестве параметра, убывающего по мере увеличения общего количества средств, Ixt <, l,xt > 0, вкладываемых во все операции (maxx Fi(x) = A-i"). Суть использовавшегося в настоящей работе алгоритма нахождения оптимального размещения х* состоит в последовательном подключении различных операций к "распределителю" финансовых средств по мере увеличения суммарного количества средств. Подключение операций происходит в порядке убывания их максимальной доходности. При этом для "подключенных" операций всегда должно выполняться соотношение (30). Выделение средств на "подключенные" операции ведется до тех пор, пока функция F(x) не начнет возрастать. Остаток средств выделяется на операцию с номером i = г.

Для решения задач экспертного прогнозирования и определения оптимального краткосрочного размещения свободных денежных средств на основе критерия Сэвиджа был разработан комплекс соответствующих программ. Особое внимание было уделено разработке удобного для пользователя интерфейса.

Ниже рассмотрен пример использования критерия Сэвиджа.

Пример. В таблице 3.4 приведены доверительные интервалы (иначе говоря, интервальные оценки), построенные на основании экспертных прогнозов с доверительной вероятностью Р = 1-q = 90%. (см. утверждение 3.4) для ГКО на 25 января 1996 г.

Я," - (к," - Х,У, = Fu х, >0

(30)

(31)

Табл. 3.4.

ГКО Дсфакт(°'>, % к Лсфа1а,(н), %к % АЛ % Распределение, %

номиналу номиналу годовых годовых

22019 1,84 0,70 849 322 18

22017 1,81 0,94 753 392 45

22018 1,62 0,67 707 294 16

21057 1,67 0,64 701 270 10

21056 1,59 0,65 652 260 11

21055 1,31 0,25 525 215 0

22016 1,29 0,54 511 215 0

21054 1,22 0,29 490 154 0

21053 1,25 0,56 486 167 0

21052 1,10 0,16 421 104 0

22015 0,87 0,38 324 99 0

21051 0,83 0,13 316 72 0

21050 0,60 0,21 221 76 0

21049 0,46 0,14 169 52 0

В таблице 3.4 так же приведены соответствующие прогнозным ценам доходности вложений в эти ценные бумаги со сроком на один день и оптимальное распределение (по Сэвиджу) средств по этому набору финансовых инструментов.

Основные результаты работы

1. Предложена и исследована динамическая модель процесса движения денежных средств банка, являющаяся одним из инструментов "скользящего" среднесрочного планирования привлечения и инвестирования денежных средств.

2. Применительно к задаче прогнозирования и оценке параметров модели банка на основе накопленной статистики объективных данных предложен метод оценки коэффициентов линейной множественной регрессии с помощью обобщенных обратных матриц Мура-Пенроуза.

3. Получено обобщение теоремы Айткена на случай прогнозирования при наличии гетероскедастичности и корреляции ошибок во времени с учетом устаревания информации.

4. В результате выполненных исследований получены модели процентных ставок в среднесрочном и краткосрочном периодах.

5. Разработан специальный метод краткосрочного прогнозирования на основе экспертных оценок.

6. Показана обоснованность критерия Сэвиджа, когда информация о доходности финансовых операций сводится к прогнозу лишь интервалов возможных значений доходности.

7. Проведенные численные расчеты показали эффективность предложенного подхода к решению задачи краткосрочного размещения свободных средств.

8. Для рассмотренных в диссертации задач было разработано соответствующее программное обеспечение. Особое внимание было уделено сервисным программам, позволяющим пользователю визуально наблюдать результаты расчетов и работать в диалоговом режиме.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1.Бабиков В. Г. Некоторые методы управления банковскими операциями // Всероссийская научно-практическая конференция "Предпринимательство и занятость населения в условиях перехода к рыночной экономике". Екатеринбург: УрГЭУ, 1997.

2. Бабиков В. Г. Многомерный статистический анализ в экологии // Материалы III Международного симпозиума "Проблемы экоинформатики". М.: ИРЭ РАН, 1998.

3. Бабиков В. Г. Прогнозирование фондового индекса I/ Моделирование процессов управления и обработки информации. ML: МФТИ, 1999.

4. Бабиков В.Г. Экспертные оценки на рынке ценных бумаг И Электронный журнал МФТИ "Исследовано в России", 1999, http://zhumal.mipt.rssi.rU/articles/l 2/012.pdf

5. Бабиков В.Г. Среднесрочное прогнозирование процентной ставки // Электронный журнал МФТИ "ИсследовановРоссии", 1999, http://zhurnal.mipt.rssi.ru/articles/12/013 .pdf

6. Бабиков В. Г. Ценные бумаги. Прикладные методы прогнозирования /IМ.: Физтех-полиграф, 1999.

Введение

Глава 1. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАНКА

Глава 2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ БАНКА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МНОГОМЕРНЫХ

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

2.1. Постановка задачи, представление данных

2.2. Мультиколлинеарность и частная корреляция

2.3. Оценка дисперсии ошибок а2. Распределение в

2.4. Гетероскедастичность и корреляция по времени

2.5. Обобщенный метод наименьших квадратов

2.6. "Старение" информации

2.7. Интерпретация факторов

2.8. Политический фактор

2.9. Модель для прогнозирования доходности государственных облигаций

2.10. Замечания по модели

Глава 3. УПРАВЛЕНИЕ КРАТКОСРОЧНЫМИ

ФИНАНСОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

3.1.1. Исходные данные

3.1.2. Анализ данных

3.1.3. Разделение ошибок экспертов

3.1.4. Анализ ошибок и точность прогнозов 66 3.2. Задача о размещении временно свободных средств. 71 Использование критерия Сэвиджа

3.2.1. Критерий Сэвиджа

3.2.2. Использование критерия Сэвиджа в задаче о 74 размещении свободных средств

Формирование кредитно-депозитного портфеля и управление активами являются важными задачами как для отдельного банка, так и для всего банковского сектора экономики. Для их решения исследуются соответствующие зависимости, функции, оцениваются параметры модели банка, прогнозируются доходности по ценным бумагам.

Методы прогнозирования в применении к рынку ценных бумаг рассматривались в ряде работ [1-3]. К изучению этой проблемы существуют различные подходы. Так в решении задач прогнозирования, инвестиционного анализа нашли широкое применение исследования по временным рядам [4-11], экспертные оценки [12-22].

Изучение зависимости процентных ставок от макроэкономических показателей также имеет большое теоретическое и практическое значение. Необходимость этих исследований возникает во многих задачах экономической теории, в финансовом менеджменте, при инвестиционном анализе. Изучение и моделирование различных явлений, протекающих в банковской системе, и, в особенности, процесса формирования кредитно-депозитных портфелей банков и спроса на деньги с их стороны [23,24] является очень важной задачей как для государства, так и для частных инвесторов.

В данной работе представлены методы прогнозирования в применении, прежде всего, к задачам в области экономики и управления. В первой главе представлена модель банка и на ее основе решается задача формирования кредитно-депозитного портфеля. Во второй главе с помощью методов статистического анализа многомерных временных рядов решается задача прогнозирования параметров модели кредитно-депозитной политики банка. В третьей главе рассматривается задача управления временно свободными активами банка. Применительно к этой задаче предлагается специальный метод экспертного прогнозирования.

Цель работы: разработка комплекса моделей, алгоритмов и программ для поддержки принятия решений в области среднесрочных и краткосрочных инвестиций.

Потребности практики и возможности, предоставляемые сегодня программными средствами и средствами вычислительной техники, дали мощный импульс развитию новых информационных технологий.

Одним из важных направлений новых информационных технологий является создание систем поддержки принятия решений. Именно на это направлена представленная работа - на разработку комплекса математических моделей, алгоритмов и программ как основы для системы поддержки принятия решений в области среднесрочных и краткосрочных инвестиций кредитно-депозитного учреждения (банка).

Одной из отличительных черт выполненного Исследования является взаимоувязанность моделей, предлагаемых для использования при формировании портфеля среднесрочных и краткосрочных инвестиций. В тоже время каждая из рассмотренных моделей представляет самостоятельный интерес, ибо может быть применена для решения конкретных задач, возникающих в практической деятельности кредитного учреждения.

Так, в первой главе диссертации рассматриваются вопросы формирования кредитным учреждением (банком) политики по привлечению и размещению денежных ресурсов. Для описания процесса формирования кредитно-депозитного портфеля принята динамическая модель в непрерывном времени [25], для которой поставлена оптимизационная задача с фазовыми ограничениями. Решение этой задачи представлено в работах ^25,26] при условии, что все переменные описывающие внешние воздействия считаются заданными. На практике для использования такой модели необходимо проводить предварительную оценку входящих в нее параметров. Методы оценки и прогноз значений параметров данной модели являются основной задачей второй и третьей глав диссертации.

Публикации на тему моделирования финансовой деятельности банка все чаще появляются на страницах периодической печати [27-32]. Однако возрастающая актуальность данной проблемы при отсутствии законченного комплексного решения, а также непонимании многими банкирами необходимости создания модели банка заставляют снова и снова возвращаться к данной теме.

Моделирование финансовой деятельности банка - чрезвычайно сложная задача, поскольку банк представляет собой систему, в которой одновременно протекают детерминированные и случайные процессы, связанные между собой очень сложным образом. Существенную роль в деятельности банка играют и субъективные управленческие решения. Все это указывает на предельную сложность (а то и невозможность) разработки практически применимой аналитической модели финансовой деятельности банка [31]. Моделируя протекание вполне конкретных банковских процессов, их взаимодействие между собой, с учетом влияния факторов внешней среды, можно с достаточно высокой точностью предсказывать будущие состояния банка и использовать эти результаты для анализа его финансового положения.

Успех моделирования в первую очередь зависит от правильного выбора базового объекта, в качестве которого в задачах операционного учета используется, как правило, лицевой счет с его атрибутами: остаток, обороты (иногда доходность и срок). Такой базовый объект позволяет описывать банковские процессы в статике, что вполне достаточно для учета. Однако моделировать динамику банковских процессов [33,34], используя лицевые счета, крайне затруднительно из-за сложных взаимосвязей между лицевыми счетами (особенно в случаях отражения результатов выполнения различных сделок на одном лицевом счете). Для моделирования банковских процессов в динамике целесообразно использование базового объекта "сделка" со следующими атрибутами: сумма, срок, доходность, риск, ликвидность. И поскольку под сделкой здесь понимается процесс предоставления банковской услуги клиенту, то и все атрибуты сделки представляются параметрами, изменяющимися во времени. При осуществлении разделения банковских процессов на сделки важно, чтобы число связей каждой такой сделки с остальными было минимальным. Это позволит рассматривать банк в виде системы, в которой параллельно протекает множество слабо связанных (практически независимых) процессов (сделок), и моделировать состояние банка путем моделирования состояний отдельных финансовых сделок.

Несмотря на то, что моделирование состояния отдельной финансовой сделки задача сама по себе достаточно сложная, осуществить ее значительно проще по сравнению с моделированием финансового состояния банка в целом. Об этом свидетельствуют программно реализованные модели для большинства типовых видов сделок: кредитные модули с прогнозом поступлений, модули работы с ценными бумагами, включающие блоки оценки стоимости портфеля, и пр. И хотя в этих программах моделирование ведется на основе собственных объектов (не обязательно объектов типа "сделка") с использованием ограниченного списка атрибутов, реализованные в них подходы и методы могут с успехом применяться в алгоритмах специализированной аналитической системы.

Когда в 50-е годы компьютеры впервые стали использоваться в банках, целью их внедрения была экономия средств за счет передачи компьютеру части рутинных операций, которые ранее выполнялись людьми. Установка компьютера обходилась дешевле содержания нескольких клерков. В этот период автоматизировались, прежде всего, бухучет и финансовая отчетность. С течением времени банковские операции адаптировались к возможностям автоматизированных банковских систем (АБС). Сейчас банки используют АБС для выполнения многих видов операций, в том числе:

• административных функций (бухучет, ведение клиентских файлов, обработка информации в операционных залах);

• операций банка с широкой клиентурой (банкоматы);

• платежей (SWIFT, Cedel);

• операций с ценными бумагами (системы фирм Reuters и Telerate);

• отслеживания различного рода рисков (связанных с изменением процентных ставок, курсов валют, стоимости ценных бумаг, а также с надежностью клиента, страны и т. д.).

Относительно новым видом услуг с использованием АБС является предоставление банковских услуг на дому (т. е. прямой доступ клиента к своему счету в банке и прямая передача платежных поручений), но такого рода услуги пока не стали популярными. Возможно, более широкое использование сети Internet изменит ситуацию, но предварительно должна быть решена проблема безопасности информации, передаваемой через Internet.

Внешние условия, в которых функционируют банки, очень изменчивь1. Колеблются рыночные ставки, курсы, котировки, возникают новые виды финансовых операций и финансовых инструментов, меняется состав участников рынка, их цели и правила поведения. В России все это усугубляется еще и несовершенством нашего законодательства (банковского, налогового и пр.), постоянным его изменением (доработкой), нестабильностью общей экономической ситуации. Перечисленные объективные предпосылки обусловливают отсутствие в настоящий момент и на Западе, и у нас универсальных подходов и алгоритмов решения задачи оптимального управления финансовой деятельностью банка. Поэтому каждый раз при необходимости решения такой задачи весь цикл работ (проведение исследований, постановка задачи, ее реализация и внедрение) проводится заново. Динамика же процессов в сфере банковского бизнеса такова, что на последовательное прохождение всех этих этапов физически не хватает времени: банковским аналитикам на все дается, как правило, только одна ночь. В таких условиях необходимо предоставить в распоряжение банковских аналитиков инструментарий, позволяющий гибко изменять показатели эффективности, критерии, решающие правила, список учитываемых ограничений, оперативно перестраивать логику работы оптимизационных алгоритмов.

Создание такого рода программ - задача чрезвычайно сложная, наукоемкая, требующая проведения глубоких исследований банковской предметной области [23,34], выявления присущих ей закономерностей и их использования при реализации оптимизационных алгоритмов. Все это под силу только высококлассным математикам и экономистам и связано со значительными сроками выполнения работ. Частично те же проблемы решаются с помощью программ-имитаторов (симуляторов) финансовой деятельности банка. Такие программы широко используются в практической работе западных банков для интерактивного поиска новых и оценки эффективности уже принятых управленческих решений, обучения и тренировок финансовых менеджеров. Они, как правило, не обеспечивают нахождение оптимального решения (не доказывают оптимальность выбранного решения), а лишь отвечают на вопрос: "Что будет, если.?". Однако и этого зачастую достаточно для оперативного анализа ситуации, поиска решений и оценки их эффективности.

Следует отметить, что подавляющее большинство существующих в настоящий момент отечественных АБС (автоматизированных банковских систем) разрабатывалось с целью автоматизации операционно-учетной деятельности банка, поэтому они оказались слабо приспособленными для выполнения аналитической работы. Например, еще не во всех АБС реализован учет сроков и доходности сделок, доходы и расходы по сделкам, как правило, "сливаются" на общие счета, а о полноценном учете рисков и ликвидности даже говорить не приходится. Функциональная полнота многих АБС все еще недостаточна: нередки случаи, когда договора по финансовым сделкам ведутся "в столах", проценты насчитываются на калькуляторе, а льготные сроки и штрафные санкции устанавливаются исходя из личных симпатий по отношению к клиенту. Понятно, что решать задачи оптимального управления банком в таких условиях, мягко говоря, проблематично.

В настоящее время, когда залогом успешной деятельности банка становится автоматизация управления его финансовой деятельностью, возникает потребность в разработке АБС, специально ориентированных на решение задач управления. Такие АБС должны создаваться вокруг систем поддержки принятия решений и могут включать существующие операционно-учетные версии. Аналитическая и операционно-учетная части таких АБС должны быть интегрированы как на уровне данных, так и на уровне используемых программных процедур. Операционно-учетные системы должны:

• Обеспечивать полный учет всех параметров финансовой сделки любого типа. Все формальные и неформальные данные по заключенным с клиентом соглашениям должны находить свое отражение в базе данных АБС.

• Предоставлять информацию о всех движениях средств, связанных с выполнением конкретной финансовой сделки. Аналогичным образом должно обеспечиваться получение информации об изменениях других атрибутов сделки.

• Полнота информации, выдаваемой по любой сделке, не должна зависеть от того, во время или после завершения сделки эта информация запрашивается.

• Эти системы должны обеспечивать работу со следующими атрибутами сделок: сумма, срок, доходность, риск, ликвидность. В связи с этим данные системы должны содержать модули, обеспечивающие насчет процентов, мониторинг рисков и ликвидности. Кроме того, должна быть предусмотрена возможность расширения состава атрибутов сделок без кардинальной переделки всей системы.

• Функциональная полнота этих систем должна быть такова, чтобы обеспечивалась автоматизация всех типов финансовых операций банка.

Отметим, что полученные в работе результаты не решают всех задач, возникающих в процессе управления банком, но даже на реализацию их в едином программном пакете в купе с подходящей системой учета может уйти несколько лет. Истинная же ценность модели, методов и алгоритмов предложенных в диссертации заключается в возможности проведения исследований банковской предметной области, выявления присущих ей фундаментальных закономерностей. Такое использование моделей позволит перейти от эмпирических методов решения банковских задач к строгим, математическим, научно обоснованным. Рентабельность такого использования моделей не сразу становится очевидной, однако именно такое их применение определит будущий успех банка в конкурентной борьбе.

Во второй главе решается вспомогательная задача краткосрочного прогнозирования процентных ставок. Для построения краткосрочных прогнозов наиболее эффективными являются методы математической статистики и анализ временных рядов. Достаточно общей математической (статистической или вероятностной) моделью временного ряда является сумма систематической и случайной составляющих. Существует много методов прогнозирования и статистического анализа. Вначале представим те методы, которые получили широкое применение в исследовании многомерных временных рядов, а также определения некоторых терминов, используемых автором. Итак, статистические методы многомерного анализа (проблемы, возникающие при анализе многомерных временных рядов) удобно разделить на следующие группы:

• Корреляция. Очень важно определить степень зависимости между двумя случайными величинами. Понятие коэффициента корреляции распространяется на измерение зависимости между одной случайной величиной и другими случайными величинами посредством множественного коэффициента корреляции. Частный коэффициент корреляции измеряет зависимость между случайными величинами, когда действие других случайных величин исключено. Различные выборочные коэффициенты корреляции используются для оценки параметров распределения и для проверки таких гипотез, как гипотеза независимости [4, 36, 37].

• Аналоги одномерных статистических методов. Многие проблемы, возникающие при изучении многомерных совокупностей, совершенно аналогичны проблемам, возникающим при изучении одномерных совокупностей; методы решения этих проблем сходны {статистический анализ, сглаживание и фильтрация, модели авторегрессии и скользящего среднего). Например, в одномерном случае мы хотйм проверить гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной величины; в многомерном случае мы также хотим проверить гипотезу о том, что математические ожидания нескольких случайных величин равны нулю. Аналогом ^критерия Стьюдента для одномерного случая является обобщенный Т2-критерий для многомерного случая [38-48]. Обобщаются также методы наименьших квадратов и дисперсионный анализ.

• Проблемы системы координат. Эти проблемы являются задачами выбора системы координат таким образом, чтобы случайные величины имели желаемые статистические свойства (свойства, характеризующие нормальные распределения). Указанные задачи тесно связаны с алгебраическими методами представления матриц в канонической форме. Примером является отыскание такой нормализованной линейной комбинации случайных величин, что ее дисперсия максимальна или минимальна (нахождение главных компонент); это равноценно отысканию поворота осей, который приводит ковариационную матрицу к диагональной форме. Другой пример - характеристика зависимости между двумя множествами случайных величин (нахождение канонических корреляций). Для решения этих проблем требуется находить характеристические корни и характеристические векторы различных матриц [4].

• Более детализированные проблемы. Во многих из этих проблем множества случайных величин разбиваются на подмножества. Одной из важных задач здесь является проверка гипотез о независимости этих подмножеств. Другие задачи относятся к гипотезам о симметричности между подмножествами или внутри подмножеств. В категорию «более детализированных проблем» мы включаем также факторный анализ [48-56].

• Зависимые наблюдения. При анализе временных рядов наблюдения производятся над случайными величинами, последовательными во времени. Наблюдения, сделанные в некоторый момент времени, могут зависеть от ранее произведенных наблюдений. Такие проблемы ведут к изучению внутрирядной корреляции и стохастическим разностным уравнениям [1,4].

Не менее важно рассказать и о характерных этапах анализа временных рядов. Заметим, что некоторые из трейдеров (операторов фондового рынка) ограничиваются при анализе графическим представлением данных и рассчитывают на собственную интуицию при построении прогноза. Опыт стоит многого. Но это не есть научный, обоснованный подход. Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:

• графическое представление и описание поведения временного ряда;

• (детерминированная компонента) выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда, зависящих от времени: тренда, сезонных, циклических составляющих и интервенции;

• выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация);

• исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих;

• построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;

• прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;

• исследование взаимодействий между различными временными рядами.

Способы описания детерминированных компонент временного ряда сильно зависят от области приложений. При выборе модели детерминированной компоненты должны, прежде всего, учитываться содержательные соображения, то есть те объективные факторы и закономерности, которые приводят к ее формированию.

В экономических приложениях в детерминированной компоненте временного ряда (Ь обычно выделяют четыре составляющих части: тренд /п, сезонную компоненту 5/, циклическую компоненту а и интервенцию и. В качестве примера приведем аддитивную модель временного ряда. Мы можем записать: = № + ¿7 + а + и, при 1=1, .,п.

Пояснение 1. Трендом временного ряда , при 1=1, .,п называют плавно изменяющуюся компоненту, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно.

Пояснение 2. Сезонная компонента временного ряда л , при /=/,.,« описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов. Пояснение 3. Циклическая компонента временного ряда а , при 1=1,.,п описывает длительные периоды (один период - один подъем, одно падение).

Для анализа циклической компоненты обычно приходится привлекать дополнительную информацию в виде других временных рядов, которые оказывают влияние на изучаемый ряд, например, учитывать информацию типа налоговых льгот, перенасыщенности рынка и т. п.

Пояснение 4. Под интервенцией и , при .,п понимают существенное кратковременное воздействие на временной ряд.

Примером интервенции могут служить события «черного вторника», когда курс доллара за день вырос почти на 27%. Пояснение 5. Модель считается моделью с гетероскедастичностью, если ошибки в этой модели некоррелированы и имеют непостоянные дисперсии.

Как одну из важнейших работ отметим статью С. Гранджера и П. Ньюболда, опубликованную в 1974 г. [57], в которой указывается на то, что экономисты уделяют недостаточное внимание требованию стационарности исследуемых рядов, и, как следствие, "обнаруживают" несуществующие в действительности корреляции. И, следовательно, допускают неверную интерпретацию результатов регрессионного анализа. С. Гранджер и П. Ньюболд ввели понятие "порядок интегрированности", который показывает, сколько раз должна быть взята первая разность, чтобы ряд стал стационарным [58]. В частности, С. Гранджер и П. Ныйболд указали на то, что даже незначительная степень интегрированности рядов, особенно в случае, когда включенные в модель переменные обладают различной степенью интегрированности, ведет к тому, что полученная методом наименьших квадратов регрессия характеризуется высочайшими коэффициентом детерминации Я2 и статистической значимостью (¿-статистик), но, одновременно, сильной корреляцией остатков, которые сами по себе образуют нестационарный ряд (Дарбина-Уотсона [37] - статистика обращается в ноль). Эти вопросы детально рассмотрены в первой главе.

Отдельно отметим работы в области портфельных инвестиций [59-66]. Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковича представляет собой изогнутую непрерывную линию [59], что предполагает наличие бесконечного числа точек на этой кривой. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. Маркович видел эти потенциальные трудности и внес основной вклад в преодоление этих проблем, представив метод решения. Он включает в себя алгоритм квадратичного программирования, известного как метод критических линий [60]. Идея обобщения модели Марковича на случай безрискового кредитования и заимствования принадлежит Джеймсу Тобину [61-63].

При построении эконометрических моделей, можно ожидать, что некоторые макроэкономические переменные очень значительно влияют на доходность ценных бумаг. К ним относятся, в частности, ожидаемый темп прироста ВВП, инфляция, процентные ставки, цены на нефть и т. д. После выбора таких факторов следующий шаг при построении модели состоит в сборе информации. Затем полученные данные используются для вычисления чувствительности доходностей к факторам и собственной доходности ценных бумаг, а также стандартных отклонений и корреляций. При этом решающим является точное измерение значений факторов. На практике это может оказаться довольно трудным. Для профессиональных инвесторов, заинтересованных в количественной стороне дела, многофакторные модели являются интуитивно привлекательным методом анализа. Они в точном и легко проверяемом виде учитывают сущность фундаментальных экономических и финансовых сил, влияющих на доходности ценных бумаг. Однако переход от абстрактных рассуждений к разработке факторных моделей, которые были бы достаточно всесторонними и мощными для обслуживания различных потребностей институциональных инвесторов, является сложной задачей. Беглый обзор многофакторной модели BARRA для ценных бумаг США дает представление о сложностях строительства факторных моделей.

Модель BARRA основана на работе Барра Розенберга, специалиста по эконометрике в области финансов. В начале 1970-х гг., работая в Университете шт. Калифорния в Беркли, он и Виней Марат сформулировали сложную факторную модель. Эта модель связывала доходности акций с множеством факторов, полученных из данных по деловым операциям соответствующих компаний.

Первоначальная многофакторная модель Розенберга для ценных бумаг США была существенно пересмотрена в 1982 году, и теперь ее называют моделью Е2. В настоящее время 630 институциональных инвесторов (из них более 50% за пределами США) являются подписчиками службы модели Е2.

В практике российского рынка ценных бумаг нашли применение различные методы прогнозирования. Распространение получили следующие методы: факторный анализ (общее обсуждение факторных моделей и кластерный анализ можно найти в работах [48-56]), метод АРПСС (авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего [67-71]), нейронные сети (программный пакет Brain Maker и др.) [72-75], приемы технического анализа - практически все они реализованы в многочисленных программных пакетах. Обобщение рыночной модели, включающее сектор - факторы (сектора выбраны таким образом, чтобы представить отрасли промышленности), представлено в работе [54]. При этом акции любого типа имеют две чувствительности, характеризующие их отклик на доходности по индексу рынка и по индексу отрасли, к которой данные акции относятся.

Статистические методы анализа и прогнозирования временных рядов (сглаживание, частотная фильтрация, спектральный анализ, выделение сезонных колебаний, модели тренда, авторегрессионые модели, скользящее среднее, множественная регрессия, модель ARIMA [6-9]) реализованы в специализированном пакете анализа временных рядов МЕЗОЗАВР и в универсальных статистических пакетах SYSTAT7.0 и SPSS 7.5, а также во многих других.

Современные нейронно-сетевые методы анализа нелинейных структур и зависимостей в данных (многослойный персептрон, радиальная базисная функция, Бейесова сеть, сеть Кохонена) [72-75] представлены в новом нейросетевом пакете NeuralConnection2.0 -совместной разработке фирм SPSS и RecognitionSystems. Уже в 1990 г. фирма CaliforniaScientific Software выпустила коммерческий пакет BrainMaker (задача прогнозирования формализуется через задачу распознавания образов). Первые искусственные нейронные сети были созданы в результате попыток создать компьютерную модель, воспроизводящую деятельность мозга в упрощенной форме. Главное свойство таких сетей - способность к обучению. С помощью такой сети можно найти решение, не зная правил (формул), основываясь на нескольких примерах. Однако долгое время обучения нейронных сетей является одним из существенных недостатков этого метода.

Пакет САНИ специально разработан для решения задач, в которых значительная часть исходных данных имеет нечисловую природу. Кроме того, методы этого типа реализованы также в универсальных статистических пакетах SYSTAT7.0 и SPSS7.5.

Многочисленные методы необходимы при анализе больших массивов данных и активно используются в системах биржевой торговли, сложных вычислительных задачах и многих других областях. Каждая из представленных выше систем анализа данных содержит богатые собственные средства их визуализации. Для разработчиков оригинального программного обеспечения предназначены графические библиотеки IMSL Exponent Graphics и инструментальная среда PV-WAVE. К системам анализа, использующих графические средства визуализации, можно отнести известную в кругу финансистов программу WallStreet. В этой программе реализованы методы технического анализа [76]. В книге [77] подробно в неразрывной связи друг с другом раскрыты основные методы и формы фундаментального и технического анализа ценных бумаг, которые предшествуют принятию инвестиционных решений. Отметим, что в силу своей простоты и эффективности эти методы находят большое число поклонников из числа операторов рынка.

Методы анализа, реализованные в программных пакетах, обрабатывают массивы данных в электронном виде. Биржевую информацию в электронном виде можно найти на многочисленных сайтах Интернета. Одни из самых дешевых сервисов, содержащих информацию о продажных и покупных ценах и дающих цены акций на американских биржах без временной задержки, поставляют фирмы Data Broadcasting Corporation и Quote.Com [78]. Их адреса в Интернете: http://www.dbc.com и http://www.quote.com. Здесь можно узнавать без задержки основные экономические новости, информацию о профиле различных компаний, их финансовое положение и многое другое. Некоторые брокерские фирмы, предоставляющие возможность покупать акции через компьютерные сети, дают бесплатный доступ к текущим ценам акций. В качестве примера можно привести известную брокерскую фирму Datek Securities (http://www.datek.com), которая осуществляет львиную долю электронных сделок на рынке NASDAQ. Многие компьютерные сервисы позволяют бесплатно (требуется только регистрация) загружать графики цен акций. Так, компания Lombard Brokerage, Inc. (http://www.lombard.com) дает возможность просматривать графики изменения цен акций как за последний день, так и за много лет. Некоторые компьютерные сервисы в качестве рекламы дают возможность просмотреть показатели финансовой деятельности компаний бесплатно или за очень небольшую цену: http://pawws.com, http://www.hoovers.com, http://www.techstocks.com, http://www.marketguide.com. Информацию по акциям российских предприятий можно получить на сайте http://www.rtsnet.ru, котировки обновляются один раз в час.

В данной работе представлены методы математической статистики и экспертного анализа. Опыт работы на рынке ценных бумаг помог главным образом выделить наиболее важные с точки зрения финансового аналитика математические методы и предложить некоторые алгоритмы прогнозирования экономических параметров.

Исследования во второй главе стали возможны благодаря обширной и структурированной информации по государственным краткосрочным облигациям. Электронные торги и большой интерес к рынку государственных облигаций привели к созданию уникальной для исследований базы данных.

Много информации поступает непосредственно перед торгами и возникает задача построения эффективного и быстрого алгоритма прогноза котировок. В процессе исследования возникали новые задачи. Так, сформулированные в начале второй главы утверждения представляют собой эффективные алгоритмы. Теорема 2.2 дает ответ на вопрос, как строить прогноз в рамках моделей, учитывающих влияние сразу нескольких состояний системы, предшествующих прогнозируемому. При этом алгоритм реализуется с помощью обобщенных матриц Мура-Пенроуза [79-81], что обеспечивает высокую скорость решения задачи прогнозирования. Далее представлены алгоритмы поиска решений в условиях гетероскедастичности и корреляции ошибок во времени. И, наконец, в теореме 2.4 сформулированы основные пути анализа исследуемых многомерных временных рядов в условиях "старения" информации [82-84].

В начале второй главы дана постановка задачи прогнозирования параметров модели банка. Ряд факторов можно рассматривать как п-мерный случайный вектор, причем среди случайных компонент был введен и "политический" фактор (как фиктивная переменная). Был предложен метод краткосрочного прогноза, связанный с псевдообращением матриц. При этом была исследована дисперсия ошибок, гетероскедастичность и корреляция по времени. Для этого была рассмотрена процедура Кохрейна-Оркатта [37], рассматривался "физический" смысл явления и, так называемый, "политический" фактор, связанный с быстрым и существенным влиянием на временной ряд. В результате была построена модель (2.34).

При построении и изучении модели работа эконометриста имеет несколько аспектов: данные, эконометрическая теория, эконометрический метод оценивания и др. Далее исследователь получает некоторые результаты и, как правило,* не вполне удовлетворен ими. При построении модели рынка государственных облигаций возникает идея детализировать силы, под влиянием которых происходит эволюция рынка. Более сложным представляется вопрос влияния политики и макроэкономики. В первом приближении вводится «политический» фактор, как совокупный индекс ожидания информации отдельными лицами. На практике не всегда легко провести опрос и составить экспертные оценки этого фактора (в гл. III рассматривается алгоритм обработки экспертных опросов).

Возмущения возникают внезапно под влиянием тех или иных государственных решений или политических выступлений отдельных лидеров, поэтому имеет смысл при составлении модели анализировать эти события, другую информацию, а также не рассматривать те факторы, которые уже учтены в текущих котировках.

С другой стороны, политический фактор можно рассматривать как фиктивную переменную типа "0-1". Как правило, независимые переменные в регрессионных моделях имеют "непрерывные" области изменения (доходность, остаток средств на бирже и т. п.). Однако теория не накладывает никаких ограничений на характер регрессоров, в частности, некоторые переменные могут принимать всего два значения или, в более общей ситуации, дискретное множество значений. Необходимость рассматривать такие переменные возникает довольно часто в тех случаях, когда требуется принимать во внимание какой-либо качественный признак. Политический фактор легче оценивать как качественный признак.

Фиктивные переменные, несмотря на свою внешнюю простоту, являются весьма гибким инструментом при исследовании влияния качественных признаков [37].

При оценке коэффициентов модели (2.34) мы предполагали, что она с гетероскедастичностью. При использовании в общем случае метода наименьших квадратов оценки коэффициентов модели являются состоятельными и несмещенными, однако стандартная оценка ее матрицы ковариаций ад2(АтА') 1 смещена. Для поправки на гетероскедастичность и "улучшения" оценки матрицы ковариаций можно применить метод Уайта [37], для более сложного случая, когда в матрице ковариаций ошибок ненулевые элементы стоят не только на главной диагонали, но и на соседних диагоналях, применим метод Невье-Веста [37].

В третьей главе предлагается проводить оценку параметров модели с помощью экспертных опросов. В тех случаях, когда регрессионные модели недостаточно эффективны, предлагается проводить оценку параметров модели банка с помощью экспертов. Этот подход особенно действенен, когда требуется построить интервальные прогнозы значений параметров. Такие оценки необходимо проводить для решения задачи управления временно свободными активами банка. Главным подходом к управлению активами является страхование от риска, основанное на проведении операций, гарантирующих владельцев от потерь средств.

Следует отметить, что этот метод не свободен от недостатков: он не позволяет извлекать прибыль из благоприятных колебаний конъюнктуры валютных рынков, а в ряде случаев требует дополнительных затрат на страхование от риска. Вместе с тем, при наличии достоверных прогнозов движения курсов ценных бумаг, соответствующем размещении активов можно существенно увеличить временно свободные ресурсы.

Подходы к управлению активами коммерческих банков сочетают два противоположных критерия: максимизации прибыли и обеспечения минимального уровня рисков (рисков ликвидности, платежеспособности заемщиков и др.).

Сформулируем два основных подхода к управлению активами.

• Гарантирование определенного уровня дохода методами страхования от риска.

• Максимизация возможного дохода на основе прогнозов.

Наиболее эффективным способом, позволяющим застраховаться от рисков, является хеджирование [85].

При прогнозировании курсов ценных бумаг и процентных ставок часто используют вероятностный (стохастический) подход. Аргументом в пользу этого подхода является громадный статистический материал, на основе которого можно строить разнообразные математико-статистические модели происходящих на рынках процессов и прогнозировать дальнейшее развитие этих процессов.

Рассмотрим ряд существующих методов принятия решений при вероятностном подходе к прогнозированию будущих состояний среды с точки зрения возможности их использования при проведении финансовых операций.

Классический метод принятия решений в финансовых операциях при вероятностном подходе, когда прогнозируется матожидание и дисперсия возможного дохода при каждом виде операций, описан в работе Дж. Тобина [63]. Теоретически данный подход выглядит довольно привлекательно, однако необходимо отметить, что при низкой достоверности оценок матожидания и дисперсии доходов отдельных вариантов вложения средств, в еще большей степени недостоверны оценки суммарного матожидания и дисперсии для общего случая распределения средств.

Этот подход получил развитие в работах М. Лейбовича и Р. Хенриксона в [86]. Здесь авторы вместо матожидания дохода и его дисперсии, как меры риска в качестве полностью описывающих нормальное распределение параметров, используют некоторый желаемый уровень дохода и вероятность, с которой "этот уровень доходов может быть превышен. Например, р{Р=Е-1.28ст} = 0.9. Это выражение представляется, как уравнение "доверительной" прямой на плоскости (Е, а), отделяющей точки с доходом Б, достигаемым с вероятностью не ниже чем 0.9 от остальных, не удовлетворяющих этому критерию. Такое же уравнение будет справедливо и для совокупности ценных бумаг в предположении нормальности функций распределений их доходов. Допустим, существует некоторый набор бумаг, который характеризуется множеством параметров (Еь с^), граница которого есть кривая Ь. Тогда пересечение доверительной прямой с упомянутым множеством определяет множество допустимых вариантов размещения средств. Наилучший вариант (дающий максимальный ожидаемый доход с данной вероятностью) определяет прямая параллельная доверительной прямой и касательная к границе кривой Ь. Авторы также предлагают метод формирования портфеля ценных бумаг с использованием данного подхода.

Описание ряда критериев принятия решений при вероятностном подходе к прогнозированию будущих состояний дано в монографии Р. И. Трухаева [87].

Качество прогнозов движения курсов ценных бумаг в первую очередь определяет пригодность рассмотренных выше критериев для задач принятия решений. Точность вероятностных среднесрочных прогнозов для относительно медленно меняющихся показателей, таких как, например, процентных ставок, при правильно подобранном множестве объясняющих факторов может быть вполне удовлетворительной для целей принятия решений. Однако для прогнозирования быстро и резко меняющихся показателей, таких как цены облигаций, данные методы в основном оказываются малопригодными. Причину этого следует искать в возрастающем влиянии на состояние финансовых рынков чисто психологических и политических факторов, которые трудно, а может быть и невозможно учесть в полной мере. Поэтому надежность вероятностных прогнозов движения курсов ценных бумаг является весьма низкой.

Для средне- и долгосрочных прогнозов используют обычно эконометрические модели и факторный анализ. Такие модели позволяют строить прогнозы для относительно медленно меняющихся макроэкономических показателей [88]. В области же фондового рынка удовлетворительных вероятностных прогнозов, позволяющих принимать решения на основе описанных выше методов, как правило, получить не удается. Причина этого, видимо, состоит в том, что существующие математические модели не могут отразить всей сложности реальных процессов, влияющих на установление валютных курсов.

Все это делает малопривлекательным использование статистических методов прогнозирования в таких ситуациях. Оказывается практически невозможным более или менее обоснованно утверждать, что то или иное состояние рынка является более вероятным.

Альтернативой вероятностному подходу к прогнозированию курсов ценных бумаг может служить использование "интервального" способа прогнозирования, заключающегося в оценивании экспертами лишь области возможных значений параметров без выделения более или менее вероятных состояний. Иными словами, здесь оценивают лишь верхние и нижние границы возможных значений параметров. К такого рода методам прогнозирования относятся экспертные оценки [12-22].

Интервальный подход к прогнозированию позволяет использовать ряд специальных критериев принятия решений в условиях неопределенности, используемых обычно в теории игр и смежных областях [89-93]. В качестве критериев принятия решений в работе Молибога С.Н. [94] предлагаются: критерий максимина, "спекулятивный" критерий, критерий Гурвица, критерий Сэвиджа. Наиболее предпочтительным с точки зрения использования при проведении валютных операций автором выделяется критерий Сэвиджа.

Объединение в динамических задачах всех вариантов размещения средств, включая депозиты, облигации и другие ценные бумаги позволяет достичь максимально возможной эффективности управления временно свободными валютными ресурсами, планируя в зависимости от прогнозов движения курсов валют, процентных ставок, курсов облигаций переразмещение средств в наиболее прибыльные валюты и инструменты независимо от источника средств.

В настоящей диссертации (гл. III) предлагается алгоритм расчета интервалов возможной доходности [LH, А,«в] на основе опроса экспертов. Методы экспертного анализа уже зарекомендовали себя в экономике. С использованием методов экспертного анализа разрабатываются управленческие решения [12-15], решаются проблемы планирования [16], строятся экономические прогнозы в различных отраслях народного хозяйства [17] и так далее. За последние годы получили широкое распространение математические методы экспертного анализа [18-22]. Автор в 1996 году исследовал эти вопросы при проведении опросов нескольких экспертов из коммерческих банков [95]. В первую очередь составлялись таблицы ошибок для разных экспертов. Далее рассматривались вопросы о весовых функциях, устанавливался оптимальный выбор весовых коэффициентов, исследовалось, каким образом прогноз зависит от выбора весовых коэффициентов, от числа экспертов, участвующих в опросе.

При проведении опроса сложность заключалась в том, что данные не были представлены полностью; практически никогда не удавалось опросить всех экспертов. В результате ряд экспертов участвовали в опросе, когда прогноз осуществить было сложно, в то время как другие участвовали в опросе, когда котировки ценных бумаг предсказать было значительно легче. Если оценивать ошибки каждого из экспертов как средний квадрат отклонения прогнозного значения от фактического по всем бумагам и датам для каждого из них, то мы получим ошибочное представление о качестве индивидуальных прогнозов.

В главе разработана методика анализа различных форм опроса. Алгоритмы, представленные в главе, весьма эффективны и позволяют исследователям существенно уменьшить ошибки прогнозов, основанных на опросе экспертов.

Изученные модели обладают рядом преимуществ, облегчающих принятие решений для успешного управления финансами, но основная проблема состоит в том, что для успешного ее применения существует необходимость получения оперативной статистической информации.

В большинстве случаев (при проверке модели на реальных данных) прогноз оказался достаточно близок к реальности, что является доказательством эффективности такой модели. Кроме того, следует отметить, что динамика реальной процентной ставки практически полностью отражает динамику рынка ценных бумаг. Поэтому, эффективные модели прогноза реальной ставки обеспечивают существенно более высокий уровень доходности по операциям с ценными бумагами.

Основные результаты работы заключается в следующем.

1. Вопрос о среднесрочных инвестициях в настоящей работе рассматривается с позиций формирования банком общей'политики по привлечению и размещению денежных средств для выбранного горизонта среднесрочного планирования. Для динамической модели процесса движения денежных средств рассматривается задача поиска допустимого решения в диалоговом режиме. Решение этой задачи осуществляется с помощью численных методов. Ее основное назначение - дать пользователю информацию в визуальной и количественной формах о влиянии выбранных значений управляющих переменных на итоговые результаты деятельности банка, а также определение "чувствительности" итоговых результатов к возможным изменениям значений параметров финансового рынка.

2. Вопросы прогнозирования и оценки параметров модели банка на основе накопленной статистики объективных данных рассмотрены в. от дельной главе диссертации. Здесь можно выделить следующие результаты.

2.1. Предложен метод оценки коэффициентов линейной множественной регрессии с помощью обобщенных обратных матриц Мура-Пенроуза. Доказана теорема об эффективности такого рода оценок в классе несмещенных оценок.

2.2. Сформулированы основные определения и доказана теорема о прогнозировании в условиях сравнительно медленно меняющихся параметров системы, в которой обосновывается целесообразность на коротком интервале времени рассматривать регрессию с гетероскедастичностью и корреляцией ошибок во времени, а при рассмотрении продолжительных отрезков времени учитывать еще и устаревание информации. В результате выполненных исследований были получены модели прогноза процентных ставок в краткосрочном и среднесрочном периодах.

3. Одним из действенных методов прогнозирования является метод прямых экспертных оценок.

3.1. Автором разработан оригинальный метод краткосрочного прогнозирования доходности ценных бумаг на основе опроса экспертов. Для устранения эффекта гетероскедастичности полученных экспериментальных данных были построены эффективные функции-мультипликаторы. Показано, что после устранения гетероскедастичности систематические (общие для всех экспертов) и случайные ошибки в прогнозах каждого из экспертов могут быть разделены. Получены несмещенные оценки для каждого вида ошибок. Это позволило найти оценки числа экспертов, минимально необходимого для "подавления" случайных ошибок, то есть для максимально возможного повышения точности прогноза.

3.2. Рассмотрена задача краткосрочного размещения временно свободных средств по возможным финансовым операциям. В отличие от традиционно применяемых различных методов, основанных на фиксировании доверительной вероятности, предлагается использовать критерий минимаксного риска Сэвиджа. Показана обоснованность предлагаемого подхода в случае, когда для рассматриваемых финансовых операций известен прогноз лишь крайних (максимальных и минимальных) значений их доходности. Проведенные численные расчеты показали высокую эффективность используемого алгоритма решения данной задачи.

В приложении I рассмотрены вопросы псевдообращения матриц. В приложении II представлены опросные таблицы, которые имеют отношение ко второй главе. В приложениях III и IV представлены программа для отработки на реальных данных различных статистических методов и процедура для решения задачи оптимального распределения активов.

Результаты диссертации докладывались на Всероссийской экономической научно-практической конференции в Екатеринбурге в 1997 году, на III Международном симпозиуме по экоинформатике в Москве в 1998 году, на семинаре в Высшей школе экономики (ВШЭ), на Президиуме Российской экономической академии (РЭА) в 1999 году и опубликованы в сборнике МФТИ "Моделирование процессов управления и обработки информации" за 1998 г., в электронном журнале МФТИ "Исследовано в России" за 1999 г. и в тезисах докладов на указанных конференциях.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н., доц. И. Ф. Шахнову за консультации и постоянное внимание к работе.

1. Mills Т.С. The Econometric Modelling of Financial Time Series 1. Cambridge, 1995.

2. Azoff E.M. Neural Network Time Series Forecasting of Financial Markets II Wiley, 1994.

3. Gately E. Neural Networks for Financial Forecasting II Wiley, 1995.

4. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ IIМ., 1963.

5. Bierens H.J. Topics in Advanced Econometrics Estimation, Testing and Specification of Cross-Section and Time Series Models II Cambridge, 1994.

6. Enders W. Applied Econometric Time Series: A User's Guide H Wiley, 1995.

7. Gourieroux C. and Monfort A. (Ed.) Time Series and Dynamic Models II Cambridge, 1996.

8. Harvey A.C. Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter II Cambridge, 1991.

9. Masters T. Neural, Novel and Hybrid Algorithms for Time Series Prediction II Wiley, 1995.

10. Tanaka K. Time Series Analysis Nonstationary and Noninvertible Distribution Theory II Wiley, 1996.

11. Anderson T. W. The Statistical Analysis of Time Series 11 J. Wiley & Sons. New York. Русский перевод: Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов IIМ., Мир, 1976.

12. Раяцкас Р. Л., Плакунов М. К. Экономические догмы и управленческая реальность IIМ., Экономика, 1991.

13. З.Ларичев О.И., Мечитов А.И., Мошкович Е.М., Фуремс Е. М. Выявление экспертных знаний II М.:Наука, 1989.- 128 с.

14. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений И М: Наука, 1979. 200 с.

15. Глущенко В. В., Глущенко И. И. Разработка управленческого решения. Прогнозирование-планирование. Теория проектирования экспериментов II г.Железнодорожный, М. о.: ТОО НПЦ "Крылья", 1997.

16. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. Организация систем. Пер. с англ. IIМ.: Радио и связь, 1991.

17. Денискин В. В. Основы экономического прогнозирования в пищевой промышленности. Учебник. //М.: Колос, 1993.

18. Бешелев С. Д., Гуревич Ф. Т. Математико-статистические методы экспертных оценок II М.: Статистика, 1980.

19. Литвак Б. Г. Экспертные оценки и принятие решений II М.: Патент, 1996.

20. Мазманова Б. Т. Основы теории и практики прогнозирования II Екатеринбург, 1998.

21. Китаев H. Н. Групповые экспертные оценки. М.: "Знание", 1975.

22. Бабиков В.Г. Экспертные оценки на рынке ценных бумаг П Электронный журнал МФТИ "Исследовано в России", 1999, http ://zhurnal .mipt.rssi .ru/articles/12/012.pdf

23. Джозеф Ф. Синки, мл. Управление финансами в коммерческих банках. Catallaxy, M., 1994.

24. С. M. Гуриев. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: часть I и часть II. "Математическое моделирование", 1994, т. 6, №7, стр. 25-54.

25. Романюк Д. В. Модель формирования кредитно-депозитной политики банка II Препринт # WP/97/027 М.: ЦЕМИ РАН, 1997.

26. Дикусар В. В. Методы поиска допустимых решений в задачах оптимального управления //Ж. Д. у., №11, 1999.

27. Екушов А., Анализ процентных ставок коммерческого банка II "Банковские технологии" №8/1996.

28. Екушов А., Модель пассивной эволюции в задачах анализа и управления // "Банковские технологии", №8/1995.

29. Чернов М., Управление банком: гарантированный подход // "Банковские технологии", №4/1997.

30. Богарева Е., Эпов А., Моделирование пассивной эволюции для анализа и управления финансами банка // "Банковские технологии" №1/1997.

31. Григорьев Л., Романовский А., Сапов Г., Имитационное моделирование финансового управления банка II "Банковские технологии" №8/1996.

32. Фалько А., О классификации банковских аналитических программ II "Банковские технологии" №8/1996.

33. Банковское дело (Справочное пособие) под ред. Бабичевой Ю. А., М., Экономика, 1993.

34. Банковское дело, под ред. Лаврушина О. И., М., Банковский и биржевой научно-консультационный центр, 1992.

35. К. Р. Макконел, С. Л. Брю. Экономикс. М. Республика, 1992 Т1,Т2.

36. Леман Э. Проверка статистических гипотез II М.: Наука, 1979.

37. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика И М.: Дело, 1998.

38. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей II М., Финансы и статистика, 1985.

39. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным IIМ., Наука, 1979.

40. Колмогоров А. Н. Несмещенные оценки // Изв. АН СССР, №4, 1950.

41. Bickel P. J., Doksum К. A. Mathematical statistics II Holden-Day, Inc. Русский перевод: Бикел П., Доксам К. Математическая статистика // М., Финансы и статистика, 1983.

42. Cramer Н. Random Variables and Probability Destributions II Cambridge Universirty Press. Русский перевод: Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей И М., ИЛ, 1947.

43. Johansen S. Statistical Analysis of Cointegration Vectors II Journal of Economic Dynamics and Control, № 12, 1988.

44. Kaldor N., Alternative Theories of Distribution II Review of Economic Studies, V.XXIII, 1955-56.

45. McClave J. T. and Benson P. G. Statistics for Business and Economics II San Francisco: Dellen, 1991.

46. Blake D. Financial Market Analysis 11 McGrow Hill, 1990.

47. Ковалева Л. И. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики IIМ.: Наука, 1980.

48. Sharpe W. F. Factors in New York Stock Exchange Security Return, 1931-1979II Journal of Portfolio Management, 8, no. 4, 1982.

49. Sharpe W. F. Factor Models, CAMPs, and the АВТII Journal of Portfolio Management, 11, no. 1, 198451 .King B. F. Market and Industry Factors in Stock Price Behavior II Journal of Business, 39, no.l, 1966.

50. Farrell J. L., Jr. Analyzing Covariation of Returns to Determine Stock Groupings II Journal of Business, 47, no.2,1974.

51. Arnott R. D. Gluster Analysis and Stock Price Comovement II Financial Analysts Journal, 36, no.6, 1980.

52. Gordon J. A. and Francis J. Portfolio Analysis II Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall

53. Kahn R. N. And Gulrajani D. Risk and Return in the Canadian Bond Market II Journal of Portfolio Management, 19, no. 3, 1993.

54. Иберла К. Факторный анализ IIМ.: Фин. и стат., 1980.

55. Granger С., Newbold P. Spurious Regression in Econometrics II Journal of Econometrics, № 14, 1974.

56. Engle R. F., Granger C. Cointegration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing II Econometrica, №55, 1987.

57. Markowitz H. M. The optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints II Naval Research Logistic Quarterly, 3, 1956.

58. Шарп У. Ф., Гордон Д. А., Бейли Д. В. Инвестиции II М.: Инфра-М, 1997.

59. Tobin J. A Dynamic Aggregative Model II Journal of Political Economy, 1955.

60. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies, 1958.

61. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection II The Theory of Interest Rates, ed. F. H. Hahn and F.R.P.Brechling, London: Macmillan and Co., 1965.

62. Столярова E. M. Дискретный прецедентный анализ поведения ГКО // сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН, 1998

63. Гасанов И. И., Ерешко А. Ф. Об одном подходе к управлению портфелем ГКО II сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН, 1997

64. Агасандян Г. А. Элементы многопериодной портфельной модели II сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН, 1997

65. Gourieroux С. and Monfort A. Statistics and Econometric ModelsA: General Concepts, Estimation, Prediction, and Algorithms,V.2: Testing, Confidence Regions, Model Selection, and Asymptotic Theory, Собрание из двух томов II Cambridge, 1994.

66. Harvey A.C. Time Series Models, 2-nd ed. II Prentice Hall, 1993.

67. Бокс Дж., Дженкинс Г. "Анализ временных рядов // М.: Мир, 1987.

68. Klitzman М. . About Regression II Financial Analysts Journal, 47, no.3, 1991

69. Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ II М.: Финансы и статистика, 1986.

70. Bauer R.J. Genetic Algorithms and Investment Strategies II Wiley, 1994.

71. Deboeck G. (Ed.) Trading on the Edge. Neural, Genetic and Fuzzy Systems for Chaotic Financial Markets II Wiley, 1994.

72. Goonatilake S., Treleaven P. Intelligent Systems for Finance and Business 11 Wiley, 1995.

73. Refenes A.-P. (Ed.) Neural Networks in the Capital Markets II Wiley, 1994.

74. Эрлих А. Технический анализ товарных и финансовых рынков, прикладное пособие /У М.: АНХ, 1996.

75. Берзон Н.И., Буянова Е.А., Кожевников М.А., Чаленко А.В. Фондовый рынок: Учебное пособие для высших учебных заведений экономического профиля // М.: Вита-Пресс, 1998.

76. Дараган В. Игра на бирже // М.: УРСС, 1997.

77. Penrose R. A generalized inverse for matrices И Proc. Cambridge Philos. Soc., v. 51, 1955.

78. Moore E. H. -, Bull. Amer. Math. Soc., v. 26, 1920.

79. Moore E. H. General analysis, Pt.I, Mem. Amer. Philos. Soc.I, 1935.

80. Бабиков В. Г. Многомерный статистический анализ в экологии // Материалы III Международного симпозиума "Проблемы экоинформатики". М.: ИРЭ РАН, 1998.

81. Бабиков В. Г. Некоторые методы управления банковскими операциями // Всероссийская научно-практическая конференция "Предпринимательство и занятость населения в условиях перехода к рыночной экономике". Екатеринбург: УрГЭУ, 1997.

82. Бабиков В. Г. Прогнозирование фондового индекса П Моделирование процессов управления и обработки информации. М.: МФТИ, 1999.

83. Болдырев А. Страхование валютных рисков в современных условиях II "Внешняя торговля", №4, 1979.

84. Leibowitz М., Henriksson R. Portfolio Optimisation Under Shortfall Constraints // "Salomon Br. Inc", New York, 1987.

85. Трухаев P. Принятие решений в условиях неопределенности //М.: Наука, 1976.

86. Бабиков В.Г. Среднесрочное прогнозирование процентной ставки II Электронный журнал МФТИ "ИсследовановРоссии" ,1999, http://zhunial.mipt.rssi.ru/articles/12/013.pdf

87. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций И М.: Наука, 1971.

88. Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н. Н. Моисеева // М.: Наука, 1979.

89. Льюс Р., Райфа X. Игры и решения И М.: ИЛ, 1961.

90. Таха X. Введение в исследование операций // Т. 1,2. М.: Мир, 1985.

91. Исследование операций, ч. 1. Методологические основы и математические методы I под ред. Дж. Моудера, С. Эльмаграби // М.: Мир, 1981.

92. Молибога С. М. Модели управления валютными активами на основе критерия минимаксного риска // автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук М.: ЦЕМИ РАН, 1988.

93. Бабиков В. Г. Ценные бумаги. Прикладные методы прогнозирования //М.: Физтех-полиграф, 1999.

94. ЛиЭ. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука, 1972.

95. Раскин Л. Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления // М.: Наука, 1976.

96. Жуковский Е. Л., Липтор Р. Ш. О реккурентном способе вычисления систем линейных алгебраических уравнений Н Ж.в.м.и м.ф., т. 12, №4, 1972.