автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование береговых изменений равнинных рек

На правах рукописи

Бондаренко Борис Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕРЕГОВЫХ ИЗМЕНЕНИЙ РАВНИННЫХ РЕК

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

5 ДЕК 2013

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ісомольск-на-Амуре — 2013

005542895

005542895

Работа выполнена на кафедре "Информационные технологии и системы" Дальневосточного государственного университета путей сообщения и в лаборатории вычислительной механики вычислительного центра Дальневосточного отделения Российской академии наук.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Потапов Игорь Иванович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Алексеев Геннадий Валентинович

кандидат физико-математических наук, с.н.с.

Погорелова Александра Владимировна

Ведущая организация Институт проблем механики

им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 27 декабря 2013 года в 14:00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.092.03 в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете по адресу: 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, просп. Ленина, д. 27.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета.

С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайте http://vak.ed.gov.ru/. Автореферат разослан «22» ноября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Г

Зарубин М.М.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. При изучении гидродинамических и русловых процессов в равнинных реках с песчаным основанием особенно остро стоит проблема моделирования эволюции активно развивающихся береговых склонов, поскольку данные процессы, происходящие в руслах рек, искусственных и естественных водопропускных каналов имеют большое прикладное значение для решения конкретных инженерных и проектно-изыскательских задач проектирования береговых сооружений, водозаборных станций, дамб, запруд и берегоукрепительных сооружений, сезонного проектирования судоходных трасс, для прогнозирования чрезвычайных ситуаций и их последствий.

Важными особенностями рассматриваемого класса задач является наличие двух типов свободных границ, а так же различное характерное время протекания русло-формирующих процессов:

— свободная поверхность речного потока,

— поверхность дна русла, изменяющаяся во времени вследствие протекания русловых процессов.

— процессы лавинного схода материала и диффузионного переноса его из прибрежных областей русла в глубоководные имеют различное характерное время, зачастую отличающееся на несколько порядков.

Очевидно, что самым достоверным способом изучения русловых процессов рек и каналов является натурный эксперимент, однако, по трудозатратам, временным и финансовым издержкам, натурное изучение уступает численному эксперименту. Математическое же описание гидродинамических и русловых процессов равнинных рек, в свою очередь, относится к ряду сложнейших задач механики сплошных сред.

Сложность математического моделирования эволюционных русловых процессов, протекающих в руслах равнинных рек и каналов, обусловлена:

— высокой сложность моделирования эволюции прибрежных участков русел, обусловленных активным действием руслоформирующих механизмов, имеющих различное характерное время прохождения;

— наличием свободных границ для изменяющейся во времени расчетной области;

— свободной поверхности речного потока и поверхности дна русла;

— турбулентным характером движения речного потока;

— построением математической модели, адекватно описывающей процесс русловых деформаций с учетом влияния сложного рельефа речной долины, физических и гранулометрических свойств донного материала;

— большим различием между характерными временами различных эффектов, влияющих на русловые деформации;

— нелинейным законом гидравлического сопротивления естественных русел;

— необходимостью решения плохо обусловленной системы нелинейных алгебраических уравнений большой размерности;

— необходимостью предварительного получения большого объема эксперимен-

тальных данных о рельефе донной поверхности и физико-механических характеристиках слагающих ее грунтов.

Проблеме математического моделирования русловых процессов равнинных рек и моделированию процесса эволюции поперечного профиля песчаных каналов посвящено большое количество работ.

Первые работы по математическому моделированию русловых процессов появились в 50-х годах ХХ-го века, когда были предложены аналитические математические модели для горных и равнинных рек, в которых были предложены устойчивые конечно-разностные схемы, позволяющие исследовать движение речных потоков и эволюцию русел. В тоже время была предложены и обоснованы математические модели по теории устойчивости каналов. Отметим работы таких ученых как Франкль Ф.И., Маккавеев Н.И., Кондратьев Н.Б., Великанов М.А., Кеннеди Р., Гловер Р. и Флори К.

Дальнейшее развитие теории русловых деформаций было связано с обоснованием и развитием моделей, учитывающих транспорт влекомых донных наносов, получивших отражение в работах Гришанина К.В., Караушева A.B., Дебольского В.К., Паркера Г. и Икеда С.

В работах Бэгнольда Р.А, Бэйларда Дж.А. и Бовена А. были предложены и развиты энергетические модели расчета движения влекомых наносов для морской береговых линий. Недостатком представленных моделей были присутствующие в уравнениях феноменологические коэффициенты, что позволяло получить с их помощью лишь качественную оценку. Своё развитие идеи Бэгнольда, Бэйларда и Бовена получили в работах Петрова А.Г., Петрова П.Г. и Потапова И.И., в которых модель движение влекомых наносов была получена для реологического соотношения включающего в себя закон Кулона для сыпучей среды и закон Прандтля для жидкости. В предложенных ими моделях, не содержащих феноменологических членов, учитывалась топология донной поверхности и ее физико-механические свойства.

Вместе с тем, следует отметить, что в настоящее время практически отсутствуют математические модели и методы расчета русловых процессов, описывающие русловые деформации с учетом сложной топологии дна, реальных физико-механических характеристик донного материала, с учетом влекомого, взвешенного и лавинного механизмов движения наносов, турбулентного характера движения речного потока, имеющего свободные границы и протекающего в геометрически сложном русле с нелинейным гидравлическим сопротивлением русла.

Поэтому построение математических моделей эволюции русел равнинных рек и каналов с песчаным основанием и разработка устойчивых вычислительных алгоритмов расчета задач развития русел и каналов в областях с произвольной топологией русла, позволяющих исследовать гидродинамические и русловые процессы эволюции русел с учетом влекомого, взвешенного и лавинного механизмов движения наносов, является в настоящее время актуальной и значимой задачей, имеющей практическое применение при проектировании береговых сооружений, донноуглу-бительных работ, работ по очистке судовых ходов, а так же при проведении работ по выполнению анализа характера донных изменений в краткосрочной и среднесрочной перспективе.

Цель настоящего исследования состоит в построении математических моделей эволюции русел равнинных рек и каналов с песчаным и песчано-гравийным основанием, позволяющей моделировать русловые и береговые деформации в краткосрочной и среднесрочной перспективе с учётом влекомого и в особенности лавинного механизмов движения донных наносов.

Основными задачами настоящего исследования явились:

1. Разработка математических моделей и методик расчета береговых процессов для равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным основанием.

2. Построение алгоритмов для численного исследования береговых процессов в реках и каналах с песчаным или песчано-гравийным руслом.

3. Исследование влияния турбулентно-диффузионного и лавинного руслоформи-рующих механизмов на протекание береговых процессов.

4. Проведение численных исследований береговых процессов в реки Амур, в окрестности города Хабаровска.

Научная новизна заключается в следующем:

предложена математическая модель, позволяющая моделировать деформации донной поверхности русла с учетом реальных физико-механических характеристик донного материала, влекомого и лавинного механизмов движения наносов. Модель описывает движение речного потока со свободными береговыми границами в геометрически сложном русле, имеющем сложную, изменяющуюся во времени топологию дна с учетом турбулентной вязкости потоков и не содержит феноменологических параметров и учитывает процесс лавинного обрушения донного материала в прибрежных областях.

На основе предложенной модели, с применением методов конечных элементов, граничных элементов и контрольных объемов, разработан ряд алгоритмов расчета эволюции поперечного сечения изначально трапециевидного песчаного канала с постоянным продольным уклоном.

Проведены вычислительные эксперименты, позволившие исследовать закономерности руслообразования. В результате численных исследований было получено качественное и количественное согласование расчетных и экспериментальных данных ряда натурных экспериментов. Обнаружено, что именно наличие модели лавинного схода донного материала позволило добиться согласования расчетных и экспериментальных профилей на участках донной поверхности близкой к урезу воды.

Практическая значимость Разработанные методики расчета и комплексы программных средств могут быть использованы для проведения инженерных и проектно-изыскательских работ при проектировании береговых сооружений, планировании донноуглубительных работ, а так же для проведения краткосрочного и среднесрочного прогнозирования эволюции русла и берегов русел рек и искусственных каналов с песчаным и песчано-гравийным основанием.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением современной теории математического моделирования гидродинамических и русловых процессов, использованием хорошо отработанных методов расчета и подтверждается согласованием с экспериментальными данными и известными численными решениями.

Публикации и апробация работы. По результатам диссертации опубликовано 2 печатные работы в журналах, входящих перечень ведущих периодических изданий ВАК, 2 научно-технических отчетов в рамках финансирования Российского фонда фундаментальных исследований (09-01-99-035 р-офи; 12-01-98518-р во-сток(а)), 1 отчет в рамках финансирования ДВО РАН (Х9 12-Ш-А-03-034) и 1 отчет в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России "(госконтракт X» 02.740.11.0626). Имеется свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (№2009610865).

Разработанные методики, алгоритмы и программные продукты проходили апробацию в Дальневосточном Государственном Университете Путей Сообщения (г. Хабаровск) на кафедре "Информационные системы и технологии"и Вычислительном Центре Дальневосточного Отделения Российской Академии Наук (г. Хабаровск) в лаборатории "Вычислительной механики".

Основные результаты работы докладывались на XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2008 г.), IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Кемерово, 2008 г.), VII и VIII Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008, NPNJ'2010, NPNJ'2012) (г. Алушта, 2008, 2010, 2012 гг.), VII Международной конференции посвященной 110-летию со дня рождения академика Михаила Алексеевича Лаврентьева (г. Новосибирск, 2010 г.), XVII Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) (г. Алушта, 2011 г.), Всероссийской научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления"посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (г. Владивосток, 2011 г.), Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и высокопроизводительные вычисления"(г. Хабаровск, 2013 г.), XXXVII Дальневосточной математической школе им. академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2013г.).

Структура диссертации и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы (119 источников) общим объемом 92 страницы, из них 62 страницы текстовой информации и 20 страниц с рисунками и графиками.

Основное содержание работы

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость темы диссертации. Сформулированы цель и основные задачи исследований. Дана краткая характеристика работы и ее изложение по главам.

В первой главе в §1 приводится физическая и математическая постановка задачи об эволюции донной поверхности русла однородного по составу донного материала песчаного канала (рис. 1) под воздействием проходящего по нему турбулентного Яе > 104 установившегося гидродинамического потока при малых числах Фруда Fr < 1.

Основу математического описания данного процесса составляют уравнения механики сплошных сред, включающие в себя систему уравнений Рейнольдса и уравнение неразрывности для описания движения гидродинамического потока:

(дщ диЛ др да,, _ . . —— дщ

дх =0, I 6 П, (2)

где Xi - декартовы координаты расчетной области; и1 - скорость потока в направлении оси Хи р,„ - плотность воды; р - давление; <3« - источниковый член, определяющий действие объемных гравитационных сил па гидродинамический поток; аг] - тензор турбулентных напряжений учитывается следующим образом

(дщ дщ \

(3)

где fx - динамическая вязкость, и - кинематическая вязкость, определяемая как сумма молекулярной vm и турбулентной 1/( вязкостей.

Эволюция донной поверхности описывается уравнением Экснера:

где Gi - количественная мера интенсивности транспорта донного материала, вектор расхода наносов, определяющий удельный массовый расход твердых частиц донного материала на единичную ширину потока; є - пористость донного материала; s, - система ортогональных криволинейных координат, привязанная к поверхности дна С. где si - совпадает по направлению с вектором скорости гидродинамического потока, a S2 - перпендикулярно ему.

Для замыкания уравнения (4) используются зависимости следующего вида:

Gi = Go

■'-^ОвгІ"

+ Gi, (5)

с _ 4 РДГ t

З y/p^KFa'

G? = m° ( Jj: -tg^cosij

^C m = / 1. 7>v

a»,' ° 1 o, 7<v '

/Ж - _ ч _

-, Ті = (cri}-rij)e¡, тс =

Г, = ----—, Fa = cos7 tg <p {p, - pw) g.

tg ip cos 7 as,;

где G¡ - коэффициент лавинного обрушения, учитывающий осыпание донного материала в береговых областях, связанное с подмывом берега; Т - придонные поверхностные сдвиговые напряжения в системе координат создаваемые движением потока, соизмеримые с величиной критического дониого напряжения тс\ ps,d,tp -плотность, диаметр частиц и угол внутреннего трения донного материала; в - критерий начала движения влекомых наносов.

Для описания свободной поверхности потока r¡ служит дополнительное уравнение

Уравнения (1) - (7) замыкаются граничными (на дне и на свободной поверхности соответственно)

гц = 0, х € Гь, (6)

dri дг] -г, ,_ч

_ + и_=Из, Х6Г„, (7)

и начальными условиями

tíj(0) = щ(х), 77(0) = %(£), С(0) = Со(ж), х € П. (8)

В §2 показано, что в случае установившегося характера течения потока, осевой и трансляционной симметрии русла канала (рис. 2) исходная постановка задачи эволюции русла (1) - (7) может быть упрощена.

Уравнение движения (1) упрощается до вида

V< {fiV¡ui) = pwg sin a, і = 2,3, (9)

где = тг—; о - ускорение свободного

дxi

падения; а - продольный угол уклона донной поверхности канала.

Уравнение русловых деформаций, ввиду постоянства продольной составляющей вектора движения донных наносов, имеет вид

К

Рис. 1: Схема расчетной области. Ггп^ - береговая граница расчетной области; Г¿„ -граница втекания потока в область О; Г^ - граница вытекания потока; Г(, - донная поверхность русла; Г,„ - свободная поверхность речного потока.

Рис. 2: Схема расчетной области.

Для определения свободной поверхности Г} используется дополнительное условие о постоянстве гидродинамического расхода, проходящего через сечение канала

Q — J щ<1х2 dx3 — const. (11)

n

Задача (9) - (10) замыкается граничными

u(x2,x3)=0, (х2,х3)еГи (12)

ди(х2,х3)

дхз ди(х2,х3)

= 0, (х2,х3)еГ2, = 0, (х2, х3) 6 Г3,

и начальными условиями

дх2

C(i,0) = Co(0), dt(t,L) _0 ds2

C(i = 0, s2) = Со (s2) ■ (13)

В §3 показано, что для математического описания процесса движения речного потока в сложном природном рельефе (рис. 1) целесообразно перейти от системы уравнений Рейнольдса (1) - (2) к системе уравнений в рамках модели мелкой воды, тем самым сведя задачу от трехмерной к двухмерной:

^ + + и = (14)

ОТ ОХ] ОХ, ОХ] рш

£ + (15)

т дxi v ;

qi = щН - расход речного потока; И = т? — С ~ глубина речного потока; и, - осреднен-ная по глубине средняя скорость речного потока, имеющая параболический поперечный профиль; х, - ортогональные координаты горизонтальной системы координат;

і - однонаправленная временная координата; С - вертикальная координата донной поверхности русла; т, - касательное напряжение, возникающее на стенках русла при

0 -I

1 О

- коэф-

1

прохождении потока, pw - плотность воды речного потока; I,, = —

Ру .

фициент Корриолиса; - тензор вязких напряжений, определяемый из уравнения Навье-Стокса для Ньютоновских жидкостей

(дщ диі \ , ч

Вязкость речного потока определяется в рамках модели турбулентности Роди

(к)'+(£*£)'♦'(£)'• (171

i/„~ 0.5(0.2-5-1.0), Vb ~ 0.1, = 1.

Связь касательных напряжений Ті на стенках русла с параметрами речного потока определяется по модели Гришанина:

_ _ Pwguj\uk\ _ 2.3 Н1/6

Щ ' Cs~vl~' ( }

где п - Шероховатость по Маннингу; и» - динамическая скорость; С, - коэффициент Шези.

Уравнения (14) - (18) замыкаются начальными и граничными условиями:

<?i(0) = Q°, t = 0, іЄП, (19)

qi(t) = Qi(t), (х, t) Є Гі„, Н (х, t) = Я™, (х, t), (х, t) Є r^t, 9i(x,i)= 0, (£,І)ЄГІПІ,

В §4 приводится обзор методов замыкания (5) уравнения донных деформаций (4) и обосновывается выбор модели движения влекомых наносов и необходимость учета лавинного движения берега.

Во второй главе решается задача эволюции профиля изначально трапециевидного канала с допущением о постоянной вязкости гидродинамического потока.

В §1 сформулирована математическая постановка задачи эволюции берегового профиля изначально трапециевидного канала (9) - (10) при допущении о постоянной кинематической вязкости ц — ЦоитахН1плх = const

+ V = 0, ф = І = 2Д (20)

ц

ЭС 1 dG2

it + —г;—ї я"2 = 21

at р, (1 — є) OS2

G, = -

16

PsT

3/2

15 л/fhHnFa tg Ip COS 7

+ ma ^J

— I

ds2

— tg if cos 7

—,

/ T>Tc m =l1' 7>

10, r<rc, m. = l ' m' \ 0, 7 <

T = HTli

du Эх,'

где и - осевая скорость потока; щ - компоненты нормали к донной поверхности; поверхностное сдвиговое напряжение т эквивалентно Т\.

В §2 сформулирована слабая интегральная постановка задачи движения гидродинамического потока в трапециевидном канале при постоянной турбулентной вязкости (20)

(1/2М0 = I Нх)^(х, О - т(*)Рт(х, 0] ¿5(1) + Iф{х)Рт{х, £)<ВД, (23)

FT(x, О = In (г), F„(x, О =

(х, £) - координаты произвольной точки наблюдения в области П и точки приложения нагрузки соответственно, 5 = Tj иГ'г U Г3 - граница области П, FT - сингулярное решение для потенциала, создаваемого в точке единичным источником, находящимся в точке £ неограниченного двухмерного тела; г - расстояние между точкой наблюдения и точкой приложения единичного источника.

Для уравнения (23) для кусочно-постоянных граничных элементов и треугольных симплекс-элементов области получен дискретный гранично-элементный аналог

(1/2)

к г N г

«=1 ЛС . 9=1 лс

(24)

+

м .

£>(*') / FT(xl,e0)dQ(x!)

r—t J

где д,р - номера элементов границы области П; / - номер треугольного симплекс-элемента области П.

В §3 сформулирована слабая интегральная постановка задачи определения береговых и русловых деформаций канала

/

дС 1 8G2 dt 1-е ds2

w dL = 0,

(25)

где и; - весовая функция; £ = Г\ и Г4 донная поверхность.

Для уравнения (25) получен дискретный контрольно-объемный аналог

N

£

¡=1

f dQ , Gh2 J -±ds + njT-

0

(26)

В §4 предложен метод корректировки уровня свободной поверхности потока (11) VnM = An? + А (§ № - С) + с) , (27)

пг

где Ai - шаг по времени; ft) ~ At - коэффициент релаксации; Q0 = const - начальный расход потока; <2д. - расход потока на к-ой итерации процесса вычисления нового уровня свободной поверхности.

В §5 предложен алгоритм решения эволюционной задачи развития поперечного профиля изначально трапециевидного канала. Рассматривается тестирование алгоритма, обсуждаются генерация адаптивной гранично-элементной сетки со сгущением элементов на донной поверхности русла для области П, общий вид которой представлен на рис. (3), вопросы устойчивости и сходимости предложенного алгоритма.

В §6 был исследован характер протекания береговых русловых изменений для изначально трапециевидного профиля. Проведены расчеты эволюции незатопленно-го (рис. 4) и затопленного (рис. 6) русел, которые получили хорошее согласование с имеющимися экспериментальными данными (University of Minnesota J. Ptlick, J. Pizzuto; ЦНИИС A.H. Милитеев, Н.Л. Можес). Показано, что в случае незатопленно-го русла (поток протекает не выходя из берегов канала) эволюция профиля канала качественно отличается от эволюции затопленного канала наличием прямолинейных береговых участков, обусловленных действием лавинного руслоформирующего механизма.

г> „ о г\г, « - Рис. 4: Эволюция незатопленного трапе-

Рис. 3: Общий вид адаптивной сетки

циевидного канала

профиль

V / 2: жперчиснтаяьныс Ланны*

* 2 3 .-расчетный профиль Á 4.расчетный пргнричь Петрова Л.Г.

(а) (Ь)

Рис. 5: Эволюция затопленного трапециевидного канала: (a) t = 42мин.; (b) t = ббмин.

В третьей главе сформулирована математическая постановка задачи эволюции поперечного профиля изначально трапециевидного канала с учетом более сложной модели турбулентности, приведена методика решения задачи в сформулированной постановке.

В §1 приведена математическая постановка и обсуждены особенности модели турбулентности Розовского, позволяющей точнее моделировать движение гидродинамического потока в каналах с большим отношением глубины к ширине, включающая в себя:

- уравнение движения потока

V,; intViU) + ф = 0, ф = pwg sin a, i = 2Д (28)

№ = ftou> = ~ corasí, (29)

л , 7 п 2 7 2Pw9 si" а

Aw + Z = 0, w = и, Z =--(30)

filo

- уравнение русловых деформаций

ЭС , i эс2 _

dt + (i - е) ds2 ~

где fio - постоянная молекулярная вязкость;

В §2 гидродинамической задачи (28) предложено использовать метод конечных элементов, приводится слабая интегральная постановка

J [ViWpV¡u - тф] dü- J wn,V.,udS = 0, (32)

a s

сформулирована конечно-элементная постановка

(J f ptVjNfVjNqdn uhq = (J f p.wg sin aNydCl, p,q = ТД

где N - линейные функции формы.

(33)

I: начальный профиль З. зкспериментапьные данные. I ~ 66 мин. З-расчетиый профиль 4 расчетный профиль Петрова Л.Г.

Методика расчета русловых деформаций претерпела ряд изменений по отношению к методике, рассмотренной во второй главе. Особенностью расчета контрольно-объемного аналога является проводимая на каждой итерации при решении уравнений (28), (31) сшивка сеток конечно-элементной и контрольно-объемной задачи. Процесс сшивки необходим для вычисления значения касательных напряжений (22) в узлах контрольно-объемной сетки. Для проведения сшивки использовался метод Галеркина применяемый в мортарных конечно-элементных задачах.

м . - е

U / iVXr* dl = Nkv £ di, (34)

*=1 Le LE k=° где N? = 1 ———. Nf = ----линейные функции формы, зависящие от локальной

ólk+ ólic+

координаты s, получаемые для линейной интерполяции геометрии донной поверхности между узлами контрольных объемов, - - значения касательного напряжения в узлах q, k-x конечных элементов. ЙТ7 - линейные функции формы, получаемые для подинтервалов границы конечно элементной сетки попадающих на участок дна lk+-

В §3 проводится исследование протекания береговых и русловых деформаций для трапециевидного профиля и сравнение с известными экспериментальными данными (Deng, DeLima). На (рис. 6(a), 6(b)) продемонстрировано сравнение безразмерных расчетных профилей с безразмерными экспериментальными данными. Параметр Z - гидродинамическая нагрузка, определяемая как

2pwg sin а Н^В2

z = ~--Qr' (3о)

где Н, В - характерная глубина и ширина канала, Q - характерный гидродинамический расход, реализующийся в канале.

Рис. 6: Эволюция трапециевидного канала: (а) при постоянном Z = 50; (Ь) при постоянном Т = 150 часов.

В четвертой главе в рамках модели (14), (15), (4) выполнено численное моделирование эволюции русла Хабаровского водного узла реки Амур в районе островов Большой Уссурийский и Кабельный (рис. 7).

Рис. 7: Моделируемый участок р. Амур, изолиниями показано поле глубины

В §1 приводится описание цифровой карты местности моделируемого участка реки Амур, построенной по данным гидрологических промеров глубин за 2005 -2007 гг.

В §2, 3 на основе математической постановки плановой задачи эволюции сложного природного русла, предложенной в §3 главы 1, рассматривается алгоритм решения задачи мелкой воды на основе метода контрольного объема, предложенного Елизаровой. Метод дополнен учетом эволюции и движения берегов русла. На основе метода контрольных объемов на треугольных нерегулярных сетках, общий вид которой представлен на (рис. 8), в §4 предложен алгоритм расчета эволюции русла.

В §5 проводится анализ русловых изменений рассматриваемого участка за 2005-2007гг. и сравнение результатов натурных наблюдений и результатов численного эксперимента, имеющего цель построения среднесрочного прогноза эволюции русла реки, а в особенности береговой части. Для анализа русловых и береговых деформаций на рассматриваемом участке реки (рис. 7 б) были определены два продольных створа, соответствующих центральной части рассматриваемого участка. Результаты численного моделирования эволюции русла реки сравнивались с натурными наблюдениями, проведенными ЗАО Ленгипроречтранс в 2005 - 2007 гг. На

Рис. 8: Разбиение расчетной области треугольной неструктурированной адаптивной сеткой

(рис. 10) приведено сравнение численно моделированной эволюции русла (рис. 76, сечения 1, 2) с результатами натурных наблюдений.

Рис. 9: Поля: а) модуля скорости, Ь) модуля придонных напряжений и с) удельного расхода донного материала моделируемого участка

В заключении приведены основные результаты полученные в работе:

1. Предложена математическая модель береговых процессов, позволяющая моделировать береговые деформации и деформации донной поверхности русла с учетом реальных физико-механических характеристик донного материала, влекомого и лавинного механизмов движения наносов. Модель описывает движение речного потока со свободными береговыми границами в геометрически сложном песчано-гравийном русле, имеющем сложную, изменяющуюся во времени топологию дна с учетом турбулентной вязкости потоков. Модель учитывает возможные деформации сухой части берегового склона, при лавинном обрушении материала.

2. Предложены алгоритмы для численного исследования береговых процессов в реках и каналах с песчаным или песчано-гравийным руслом. Предложенные алгоритмы использованы для решения задач о развитии поперечного профиля изначально трапециевидного канала. При определении параметров гидродинамического потока (поля скоростей и придонных напряжения) с различными моделями турбулентности, использованы различные численные методы:

- решение задачи с допущением о постоянной турбулентной вязкости основано на комбинации прямого метода граничных элементов и метода контрольных объемов;

- решение задачи с учетом модели турбулентности Розовского основано на комбинации метода конечных элементов и метода контрольных объемов. Предложен оригинальный алгоритм корректировки уровня свободной поверхности потока.

3. Исследовано влияние турбулентно-диффузионного и лавинного руслоформи-рующих механизмов на развитие русла. Показана важность учета лавинного схода материала в береговых областях при исследовании эволюции береговой линии в быстроразвивающихся каналах с активно отступающими берегами.

4. Проведено численное моделирование процесса развития поперечного профиля изначально трапециевидного канала. Показано хорошее согласование полученных результатов с рядом натурных экспериментов.

5. Использовав метод контрольных объемов для решения плановой гидродинамической задачи, была предложена методика численного расчета береговых процессов для естественных русел. Проведено численное моделирование развития русла и берегов реки Амур в окрестностях острова Большой Уссурийский на основе данных 2005 — 2007 гг. Показано качественное согласование расчетных и натурных данных.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Бондаренко Б.В., Потапов И.И. Численное моделирование эволюции профиля дна канала с песчаным руслом // Материалы VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008), 24-31 мая 2008г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2008. - 472 с. 336 - 337 сс.

2. Бондаренко Б.В. Математическое моделирование деформации берегового склона равнинных рек // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010), 25-31 мая 2010г., Алушта.

- М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010. - 624 с. 348с.

3. Бондаренко Б.В., Потапов И.И. Математическое моделирование развития поперечного сечения речных пойм// Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011), 25-31 мая 2011г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - 832 с. 489 - 490сс.

4. Бондаренко Б.В. Математическое моделирование русловых деформаций трапециевидного канала // Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), 25-31 мая 2012г., Алушта.

- М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2012. - 656 с. 536 - 538 сс.

5. Бондаренко Б.В. Программный комплекс моделирования эволюции профиля дна капала с песчаным основанием // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ .V2009610865 от 06.02.2009.

6. Потапов И.И., Бондаренко Б.В. Моделирование эволюции поперечного сечения песчаного канала// Вычислительные технологии 2009. Т.14, № 5, С.1-14.

7. Бондаренко Б.В., Потапов И.И. Математическое моделирование эволюции берегового склона в каналах с песчаным руслом // Вычислительные технологии 2013. Т.18, №4, С. 26-35.

8. Потапов И.И., Бондаренко Б.В. Численное моделирование эволюции профиля дна канала с песчаным руслом: препринт №124. - Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, 2008. - 15 с.

9. Бондаренко Б.В. Численное моделирование эволюции профиля дна канала с песчаным руслом // Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение : Всероссийская конференция 23-28 апреля 2009 г., приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова : тезисы докладов. - Новосибирск : Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2009. -174 с.

10. Бондаренко Б.В. Численное моделирование эволюции профиля канала с песчаным руслом // IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : тезисы докладов.

- г. Кемерово, 28-30 октября 2008г.

11. Бондаренко Б.В. Математическое моделирование русловых деформаций трапециевидного канала // XIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : тезисы докладов. - г. Новосибирск, 15-17 октября 2012г.

Бондаренко Борис Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕРЕГОВЫХ ИЗМЕНЕНИЙ РАВНИННЫХ РЕК

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 21.11.2013 г. Формат 60x84'/к,. Гарнитура «Times New Roman». Уч.-изд. л. 1,5. Усл. печ. л. 1,4. Зак. 301. Тираж 100 экз.

Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи Бондаренко Борис Валерьевич

04201455768

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕРЕГОВЫХ ИЗМЕНЕНИЙ РАВНИННЫХ РЕК

Специальность:

05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Потапов И.И.

Комсомольск-на-Амуре — 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. Математическая модель эволюции донной поверхности песчаного канала 14

1.1. Общая постановка задачи развития песчаного русла ........14

1.2. Постановка задачи развития поперечного профиля исходно трапециевидного симметричного канала...................18

1.3. Постановка задачи об эволюции реки со сложным природным рельефом ..................................22

1.4. Уравнение донных деформаций ....................28

ГЛАВА 2. Задача об эволюции поперечного сечения канала 32

2.1. Математическая модель задачи.....................34

2.2. Метод решения гидродинамической задачи и нахождения поверхностных сдвиговых напряжений....................37

2.3. Метод решения задачи донных деформаций .............41

2.4. Контроль расхода гидродинамического потока. Корректировка уровня свободной поверхности.....................45

2.5. Тестирование предложенного алгоритма ...............46

2.6. Численные расчеты...........................49

2.7. Заключение................................51

ГЛАВА 3. Задача об эволюции поперечного сечения песчаного канала в

турбулентной постановке 52

3.1. Постановка задачи об эволюции песчаного канала..........52

3.2. Метод решения гидродинамической задачи..............57

3.3. Метод решения задачи донных деформаций .............60

3.4. Численные расчеты...........................61

, 3.5. Заключение................................64

I

ГЛАВА 4. Численное моделирование эволюции русла реки Амур в окрестностях города Хабаровска 65

4.1. Цифровая модель местности......................65

4.2. Постановка задачи............................67

4.3. Квазигидродинамическая регуляризация системы уравнений мелкой воды .................................70

4.4. Алгоритм решения регуляризованных уравнений мелкой воды ... 73

4.5. Численные расчеты...........................79

4.6. Заключение................................82

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 83

ПРИЛОЖЕНИЕ А: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 94

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность.

При изучении гидродинамических и русловых процессов в равнинных реках с песчаным основанием особенно остро стоит проблема моделирования эволюции активно развивающихся береговых склонов, поскольку данные процессы, происходящие в руслах рек, искусственных и естественных водопропускных каналов имеют большое прикладное значение для решения конкретных инженерных и проектно-изыскательских задач проектирования береговых сооружений, водозаборных станций, дамб, запруд и берегоукрепительных сооружений, сезонного проектирования судоходных трасс, для прогнозирования чрезвычайных ситуаций и их последствий.

На участках донной поверхности близких к урезу воды происходит активный лавинообразный сход донного материала, обусловленный подмывом на более глубоководных участках [1, 2, 3]. Важными особенностями рассматриваемого класса задач является наличие двух типов свободных границ, а так же различное характерное время протекания рулоформирующих процессов:

— свободная поверхность речного потока,

— поверхность дна русла, изменяющаяся во времени вследствие протекания русловых процессов.

— процессы лавинного схода материала и диффузионного переноса его из прибрежных областей русла в глубоководные имеют различное характерное время, зачастую отличающееся на несколько порядков.

Очевидно, что самым достоверным способом изучения русловых процес-* сов рек и каналов является натурный эксперимент, однако, по трудозатратам, временным и финансовым издержкам, натурное изучение уступает численному эксперименту. Математическое же описание гидродинамических и русловых процессов равнинных рек, в свою очередь, относится к ряду сложнейших

задач механики сплошных сред.

Сложность математического моделирования эволюционных русловых ^ процессов, протекающих в руслах равнинных рек и каналов, обусловлена:

— высокой сложность моделирования эволюции прибрежных участков русел, обусловленных активным действием руслоформирующих механизмов, имеющих различное характерное время прохождения;

— наличием свободных границ для изменяющейся во времени расчетной области;

— свободной поверхности речного потока и поверхности дна русла;

— турбулентным характером движения речного потока;

— построением математической модели, адекватно описывающей процесс русловых деформаций с учетом влияния сложного рельефа речной долины, физических и гранулометрических свойств донного материала;

— большим различием между характерными временами различных эффектов, влияющих на русловые деформации;

— нелинейным законом гидравлического сопротивления естественных русел;

— необходимостью решения плохо обусловленной системы нелинейных алгебраических уравнений большой размерности;

— необходимостью предварительного получения большого объема экспериментальных данных о рельефе донной поверхности и физико-механических характеристиках слагающих ее грунтов.

Проблеме математического моделирования русловых процессов равнинных рек и моделированию процесса эволюции поперечного профиля песча-* ных каналов посвящено большое количество работ.

Не претендуя на полноту описания, отметим лишь некоторых ученых, которые внесли большой вклад в развитие теории русловых процессов и методов математического моделирования эволюции русел.

Первые работы по математическому моделированию русловых процессов появились в 50-х годах ХХ-го века, когда были предложены аналитические математические модели для горных и равнинных рек, в которых были предложены устойчивые конечно-разностные схемы, позволяющие исследовать движение речных потоков и эволюцию русел. В тоже время была предложены и обоснованы математические модели по теории устойчивости каналов. Отметим работы таких ученых как Франкль Ф.И. [4, 5, 6] Маккавеев Н.И. [7, 1], Кондратьев Н.Е. [3, 8], Великанов М.А. [9, 10, 11], Гловер Р. и Флори К. [12], Кеннеди Р. [13].

Дальнейшее развитие теории русловых деформаций было связано с обоснованием и развитием моделей, учитывающих транспорт влекомых донных наносов, получивших отражение в работах Гришанина К.В. [14, 15, 16], Ка-раушева A.B. [17, 18, 19, 20], Дебольского В.К. [21, 22], Кеннеди Дж.Ф. [23], Паркера Г. [24, 25, 26, 85], Икеда С. [28, 29, 30].

В работах Бэгнольда P.A. [31, 32], Бэйларда Дж.А. [33] и Бовена А. [34] были предложены и развиты энергетические модели расчета движения влекомых наносов для морской береговых линий. Недостатком представленных моделей были присутствующие в уравнениях феноменологические коэффициенты, что позволяло получить с их помощью лишь качественную оценку. Своё развитие идеи Бэгнольда, Бэйларда и Бовена получили в работах Петрова А.Г., Петрова П.Г. [35, 36, 37] и Потапова И.И. [38, 39, 40, 41], в которых модель движение влекомых наносов была получена для реологического соотношения включающего в себя закон Кулона для сыпучей среды и закон Прандтля для жидкости. В предложенных ими моделях, не содержащих феноменологических членов, учитывалась топология донной поверхности и ее физико-механические свойства.

Вместе с тем, следует отметить, что в настоящее время практически отсутствуют математические модели и методы расчета русловых процессов, описы-

вающие береговые деформации с учетом сложной топологии русла, реальных физико-механических характеристик донного материала, с учетом влекомого и лавинного механизмов движения наносов, турбулентного характера движения речного потока, имеющего свободные границы и протекающего в русле с нелинейным гидравлическим сопротивлением.

Поэтому построение математических моделей развития берегов равнинных рек и каналов с песчаным основанием и разработка устойчивых вычислительных алгоритмов расчета задач развития русел и каналов в областях с произвольной топологией русла, позволяющих исследовать гидродинамические и русловые процессы эволюции берегов с учетом влекомого и в особенности лавинного механизмов движения наносов, является в настоящее время актуальной и значимой задачей, имеющей практическое применение при проектировании береговых сооружений, донноуглубительных работ, работ по очистке судовых ходов, а так же при проведении работ по выполнению анализа характера донных изменений в краткосрочной и среднесрочной перспективе.

Цель работы

состоит в построении математических моделей эволюции русел равнинных рек и каналов с песчаным и песчано-гравийным основанием, позволяющей моделировать русловые и береговые деформации в краткосрочной и среднесрочной перспективе с учётом влекомого и в особенности лавинного механизмов движения донных наносов.

Основными задачами настоящего исследования явились:

1. Разработка математических моделей и методик расчета береговых про-$ цессов для равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным основанием.

2. Построение алгоритмов для численного исследования береговых процессов в реках и каналах с песчаным или песчано-гравийным руслом.

3. Исследование влияния турбулентно-диффузионного и лавинного русло-формирующих механизмов на протекание береговых процессов.

4. Проведение численных исследований береговых процессов в реки Амур, в окрестности города Хабаровска.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Приведены физические и математические постановки задачи об эволюции поперечного сечения изначально трапециевидного канала с песчаным основанием и эволюции сложного природного русла с учетом береговых деформаций, использующие уравнение деформации донной поверхности, учитывающее закон сохранения массы.

- Для моделирования донных и береговых деформации предложена математическая модель, позволяющая моделировать деформации берегов и донной поверхности русла с учетом реальных физико-механических характеристик донного материала, влекомого и лавинного механизмов движения наносов. Модель описывает движение речного потока со свободными береговыми границами в геометрически сложном русле, имеющем сложную, изменяющуюся во времени топологию дна и не содержит феноменологических параметров.

- На основе предложенной модели, сформулирован ряд алгоритмов расчета эволюции поперечного сечения изначально трапециевидного активно развивающегося песчаного канала с постоянным продольным уклоном.

- На основе предложенной математических моделей с использованием метода метода контрольных объемов разработан алгоритм расчета эволюции русла равнинной реки с песчаным или песчано-гравийным основанием.

- Проведены вычислительные эксперименты, позволившие исследовать закономерности руслообразования. В результате численных исследований было получено качественное и количественное согласование расчетных и экспериментальных данных ряда натурных экспериментов. Обнаружено, что имен-

но наличие модели лавинного схода донного материала позволило добиться согласования расчетных и экспериментальных профилей на участках донной поверхности близкой к урезу воды.

Публикации

По результатам диссертации опубликованы 2 печатные работы в журналах, входящих перечень ведущих периодических изданий ВАК, 2 научно-технических отчетов в рамках финансирования Российского фонда фундаментальных исследований (09-01-99-035 р-офи; 12-01-98518-р восток(а)), 1 отчет в рамках финансирования ДВО РАН (Х9 12-Ш-А-03-034), 1 отчет в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (госконтракт № 02.740.11.0626). Имеется свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (№2009610865) (см. приложение А).

Практическая значимость. Разработанные методики расчета и комплексы программных средств могут быть использованы для планирования дон-ноуглубительных работ, мероприятий по очистке судовых ходов и оголовков водозаборных сооружений, для проведения инженерных и проектно-изыскательских работ, а также для краткосрочного и среднесрочного прогнозирования эволюции русла и берегов рек и водопропускных каналов с песчаным и песчано-гравийным основанием.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением современной теории математического моделирования гидродинамических и русловых процессов, использованием хорошо отработанных методов расчета и подтверждается согласованием с экспериментальными данными и известными численными решениями.

Положения, выносимые на защиту

- Математическая модель для моделирования деформации донной поверхности русла и берегов с учетом реальных физико-механических характеристик донного материала, не содержащая феноменологических параметров,

позволяющая моделировать процесс эволюции русел равнинных рек и водопропускных каналов в сложной природной топологии с учетом влекомого и лавинного транспорта донного материала.

V - Алгоритмы расчета эволюции поперечного сечения изначально трапециевидного песчаного канала с постоянным продольным уклоном на основе предложенной модели.

- Алгоритм расчета эволюции русла равнинной реки с песчаным или песчано-гравийным основанием на основе предложенной модели.

- Численные эксперименты по моделированию процесса эволюции трапециевидного канала с постоянным уклоном. Верификация предложенных алгоритмов расчета эволюции профиля канала.

- Численные эксперименты по моделированию эволюции реки Амур в Хабаровском водном узле в окрестностях островов Большой Уссурийский и Кабельный, проведенные на основе многолетних натурных данных.

Апробация работы.

Разработанные методики, алгоритмы и программные продукты проходили апробацию в Дальневосточном Государственном Университете Путей Сообщения (г. Хабаровск) на кафедре "Информационные системы и технологии "и Вычислительном Центре Дальневосточного Отделения Российской Академии Наук (г. Хабаровск) в лаборатории "Вычислительной механики".

Основные результаты работы докладывались на XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2008 г.), IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Кемерово, 2008 г.), VII, VIII и IX Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008, NPNJ'2010, NPNJ'2012) (г. Алушта, 2008, 2010, 2012 гг.), VII Международной конференции посвященной 110-летию со дня рождения академика Михаила Алексеевича Лав-

рентьева (г. Новосибирск, 2010 г.), XVII Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) (г. Алушта, 2011 г.), Всероссийской научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления "посвященная 75-летию со дня рождения академика В. П. Мяс-никова (г. Владивосток, 2011 г.), Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и высокопроизводительные вычисления" (г. Хабаровск, 2013 г.), , XXXVII Дальневосточной математической школе им. академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2013г.).

Краткое содержание работы по главам.

Во введении раскрыта актуальность и практическая значимость математического моделирования русловых процессов для планирования донноуглу-бительных работ, проектирования гидротехнических сооружений и проведения проектно-изыскательских работ. Сформулированы цели и основные задачи , рассмотренные в диссертации, обоснована научная новизна полученных результатов. Дано изложение работы по главам.

В первой главе приводится физическая и математическая постановка задачи об эволюции поперечного сечения исходно трапециевидного активно развивающегося канала с песчаным основанием при различных физико-механических и гранулометрических свойствах донного материала с учетом возможности лавинного схода донного материала на прибрежных участках. Приведены физическая и математическая постановки задачи об эволюции поймы реки со сложным природным рельефом, при прохождении по ней турбулентного (Яе > 104) равнинного (Г г < 1) речного потока со свободными границами с учетом квадратичного закона сопротивления. Обоснована возможность использования для моделирования речного потока модели мелкой воды.

Приведен вывод уравнения деформации донной поверхности, учитываю-

щего закон сохранения массы донного материала, не содержащего феноменологических коэффициентов и учитывающего лавинный руслоформирующий механизм эволюции русла.

Во второй главе сформулирована модельная эволюционная задача развития поперечного сечения исходно трапециевидного канала при различных физико-механических и гранулометрических свойствах донного материала. На основе комби