автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые модели реорганизации экономических объектов

ГЛАВА L МОДЕЛИ СБАЛАНСИРОВАННОГО РОСТА Обзор моделей с нелинейными технологиями Дальнейшее развитие модели Неймана Задача перехода экономики на магистраль сбалансированного роста с ограничением на динамик^' выпусков

ГЛАВА

II. ЗАДАЧА О ВЫВОДЕ КАПИТАЛА ИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ в ФИНАНСОВУЮ СФЕРУ Экономические предпосылки реорганизации экономических объектов Постановка задачи Применение принципа максимума Качественный анализ оптимальных решений Структура оптимальных решений Оценки для оптимальных траекторий

ГЛАВА

III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ РЕОРГАНИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Особенности задач оптимальной реорганизации экономических объектов Постановка задачи Применение принципа максимума Свойства фазовых траекторий Случай безубыточной реорганизации Случай малоубыточной реорганизации Некоторые численные результаты

в рамках математического анализа динамических моделей многоотраслевой экономики исключительно важное место занимает качественное исследование их траекторий. Во многих случаях основные свойства этих траекторий описываются утверждениями, которые называются теоремами о магистрали. Они позволяет определить основные черты оптимальных траекторий на продолжительных временнькх интервалах еще до того, как эти траектории будут найдены. При этом, согласно теоремам о магистрали, поведение оптимальных траекторий зависит главным образом от структурных параметров модели и в меньшей степени от целевой функции, а также начальных и конечных условий.Магистральной теории посвящено огромное число работ и приведенный в диссертации список работ по этой тематике ([4-6, 8, 10-12, 16-64]) не претендует на полноту.Данная глава содержит краткое введение в проблематику магистральной теории, имеет характер краткого обзора (за исключением последнего параграфа), и основывается на указанных библиографических источниках.Первым, кто обнаружил существование магистрали в моделях экономической динамики, был Дж. фон Нейман, который разработал абстрактную модель расщиряющейся экономики в начале 30-х годов X X века (подробное описание этой модели приведено в [5]).Модель считается замкнутой, т.е. не существует потоков продуктов, входящих в данную экономическую систему, или выходящих из нее.Тем самым, все ресурсы, используемые при производстве, должны быть заранее произведены в этой экономической системе, и вся продукция, произведенная за один цикл, остается в системе в качестве ресурсов для следующего производственного цикла. Формально это предположение может быть записано так: Bx{t)> Ax{t'^l), (1.3) где x{t) -а x{t -\г 1) соответственно векторы интенсивностей технологических процессов на двух соседних технологических циклах t ж t -\-1.Предположим, что для некоторого вектора интенсивностей х и некоторого положительного скаляра а выполняется неравенство Вх > аАх. (1.4) В этом случае говорят, что модель -расширяется расширяется с темпом роста, не меньшим, чем а. Действительно, неравенство (1.4) означает, что объем выпуска каждого продукта по крайней мере в а раз больще, чем его затраты. Следует отметить, что здесь не исключается возможность обращения в нуль как выпуска, так и затрат некоторых продуктов.Для рассматриваемой модели задача технологического роста состоит в нахождении неотрицательного вектора х и положительного скаляра а, удовлетворяющих неравенству (1.4), и для которых величина а максимальна: о: —>• max. (1-5) Этот максимум называется технологическим темпом роста. Обозначим его через а*. Если а* > 1, то имеет место расширенное воспроизводство, случай а* = 1 соответствует простому воспроизводству, а при О < о;* < 1 имеет место суженное воспроизводство. Экономический интерес представляет случай, когда а > 1, хотя теория остается справедливой и для случая суженного воспроизводства.Вектор ж*, отвечающий а*, называется оптимальным.Имеет место следующая теорема существования, доказательство которой приведено, например, в [5 .1.1. Т е о р е м а . Пусть в модели выполняются условия (1.1) и (1.2).Тогда, существует максимальное положительное число а*, удовлетворяющее неравенству (1.4).При заданном векторе х теми роста выпуска продукта г, который обозначим через ai{x), определяется так: п а,{х) = ^ • (1.6) Легко видеть, что а* = max mm ai{x). (1.7) Аналогично модели межотраслевого баланса Леонтьева (см., например, [4, 8]), в модели Неймана вводится понятие продуктивности. Оно означает возможность превыщения выпуска над затратами одновременно для всех видов продукции. Формально это означает существование вектора технологий ж, такого, что [В — А)х > 0. В этом случае а* > 1, т.е. имеет место случай расширенного воспроизводства.Для формулирования основного результата этого параграфа необходимо обобщить понятие неразложимой матрицы на пару матриц (Л, В).Известно, (см., например, [4]), что с экономической точки зрения неразложимость матрицы прямых затрат в модели Леонтьева означает, что каждая отрасль прямо или косвенно использует продукцию всех отраслей в качестве производственных ресурсов. Отсюда следует, что в экономической системе ие существует подмножества отраслей, которые могли бы функционировать независимо от оставшей части системы. Для системы {А, В) из двух матриц в модели Неймана неразложимость означает. что не существует подмножества продуктов, которое можно произвести без использования по крайней мере одного продукта, не принадлежащего этому подмножеству.1.2. Теорема (фон Неймана) . Пусть в модели, определенной технологией {А,В], выполняются условия (1.2) и (1-3). Тогда, сушествуют неотрицательные векторы х", р* и положительный скаляр 7 , такие, что: -fAx<Bx, (1.13) -^рА>рВ, (1.14) р{^А-В)х = 0. (1.15) Если технология [А, В) неразложима, то скаляр 7 единственен и равен 7* = а* = /3*, где а* и ^* — решения соответственно задач (1.4)-(1.5) и (1.10)-(1.Г1). PaccмoтpиvI экономическую интерпретацию этой теоремы в случае, когда пара матриц [А, В) неразложима и 7* > 1. Из (1.13) следует, что выпуск каждого продукта по крайней мере в 7* раз больше его затрат, т.е. темп роста выпуска каждого продукта не меньше, чем 7*. Из (1.14) следует, что все продукты, темпы выпусков которых превышают 7*, имеют нулевую цену. С другой стороны, все продукты, цены которых положительны, имеют одинаковый темп роста 7*.Для интерпретации условия (1.14) предположим, что закупки ресурсов финансируются посредством займов для каждого производственного цикла, и за каждый полученный рубль нужно выплачивать 7 рублей после окончания цикла. Тогда условие (1.14) означает, что ни один из технологических процессов не должен давать прибыль. С другой стороны условие (1.15) означает, что те производственные процессы, прибыль которых отрицательна в ценах р* и темпе накопления капитала 7*, должны иметь нулевые интенсивности использования, т.е. не должны применяться.Анализ многих моделей экономической динамики показывает, что при достаточно продолжительном функционировании экономической системы ее оптимальная траектория близка к магистрали в той или иной метрике независимо от начального состояния и целевой функции, а также от конечного состояния, если оно задано.Любую теорему о магистрали можно отнести к одному из следующих трех классов: теоремы о магистрали в слабой, сильной и сильнейшей формах. К первому из них относятся те, в которых доказывается близость в выбранной метрике большинства точек оптимальной траектории к точкам магистрали. Теоремы о магистрали в сильной форме доказывают, что точки, удаленные от магистрали достаточно далеко, принадлежат либо началу, либо концу каждой оптимальной траектории.Наконец, теоремы о магистрали в сильнейшей форме доказывают, что большинство точек оптимальной траектории принадлежит магистрали.Таким образом, последние два класса теорем констатируют, что при любом начальном состоянии Хо и любом конечном состоянии хт на оптимальной траектории можно выделить три участка: на первом из них происходит перемещение от хо к магистрали, на втором — движение по магистрали или в непосредственной близости от нее, а на третьем — движение от магистрали к точке хт- При этом начальное и конечное состояния могут задаваться непосредственно, либо определяются с помощью целевой функции на временном отрезке [0,Т]. Кроме того, из этих теорем следует, что продолжительность нахождения системы на первом и третьем участках траектории не зависит от длительности отрезка [О, Г] . Отсюда вытекает, что с ростом Т все большая часть траектории будет проходить по магистрали или близко от нее. Это значит, что при достаточно больших Т поведение оптимальной траектории определяется главным образом структурными параметрами модели, а не целевой функцией, начальными и конечными условиями. Таким образом, второй, т.е. магистральный, участок оптимальной траектории характеризует динамические и структурные особенности рассматриваемой системы.2 Модели с нелинейными технологиями Рассмотренная модель фон Неймана относится к классу моделей с линейными технологиями. Полученные для нее результаты можно обобщить на модели экономических систем с нелинейными технологиями, но с постоянной эффективностью при изменении масштаба производства.Предположим, что в экономической системе объем выпуска у{ продукта г, г = определяется производственной функцией вида Уi = /,(2ь-,-г2.-,- - • ,гтО> (2-1) где — затраты ресурса j на выпуск продукта %. Пусть все функции fi{•), г = 1,..., т линейно однородные, т.е. Ji[pzu, рг2{, ргш1) = рМ^и, 22{,..., (2.2) для всех чисел р > О и всех аргументах, при которых они определены.Кроме того, будем считать, что функция Ji{•), г = 1 , . . . , т , не убывает по каждому из аргументов и строго возрастает хотя бы по одному из них.Чтобы устранить этот "произвол" в поставках ресурсов будем предполагать, что они распределяются между отраслями по определенной схеме. Например, пусть распределение всех видов ресурсов осуществляется согласно фиксированным пропорциям. Для этого достаточно выбрать числа г^-, такие, что т ^2^1 = ^ 3 = 1,...,т. (2.4) ¿ = 1 Тогда на производство продукта г будет направляться часть имеющегося запаса Zj в количестве z'•^Zj. Легко видеть, что это правило распределения ресурсов также обладает свойством линейной однородности.Предположим, что рассматриваемая экономическая система замкнута и все произведенные продукты потребляются в качестве ресурсов в следующем производственном цикл, что формально выражается уравнением вида г{1) = у{1-1), ¿ = 1,2,..., (2.5) где ¿ — индекс производственного цикла, z{t) — вектор ресурсов, потребляемых в течение производственного цикла ¿, а у[1 — 1) — вектор выпуска продукции на предыдущем цикле. Соответственно функция (2.1) должна быть записана так: 2/.(0 = fгizu{t),Z2г{t),...,Zra,{t)), (2.1') При этом подразумевается, что все технологические процессы имеют одинаковую продолжительность, а также совпадающие моменты начала и окончания производственных циклов. Для такой системы справедлив следующий результат (см., например, [8]).2.1. Т е о р е м а . Экономическая система с линейно однородными производственными функциями имеет по крайней мере одну траекторию сбалансированного роста для каждой фиксированной пропорции распределения ресурсов. Если экономика неразложима (т.е. не существует подмножества продуктов, которые можно производить без использования продуктов, не принадлежащих данному подмножеству), то для каждой фиксированной пропорции распределения ресурсов существует только одна траектория сбалансированного роста.Очевидно, что каждый конкретный набор пропорций распределения ресурсов определяет свой темп роста производства. Среди них существует такой, при котором этот темп максимальный. Его называют неймановской траекторией.3 Дальнейшее развитие модели Неймана Предположения, на основе которых строится модель Неймана, весьма далеки от реалий экономической жизни, что отрицательно сказывается на возможности практического применения полученных результатов.Так, в модели Неймана не учитываются следующие весьма важные факторы: — непроизводственное потребление продукции, — невоспроизводимость или ограниченная воспроизводимость части ресурсов, — технологический прогресс, который с течением времени обеспечивает большую отдачу от потребляемых ресурсов.Рассмотрим некоторые способы включения этих факторов в модели данного типа. Так непроизводственное потребление ресурсов может быть учтено путем небольшой модификации исходной модели Неймана.Другой подход учета непроизводственного потребления состоит в том, что вся продукция, произведенная на шаге t в объеме Вх{Ь), должна быть распределена на две части, первая из которых в объеме Ах{1 + I) идет на производственное потребление в следующем технологическом цикле, а вторая часть c{t + 1) = Вх{Ь) — Ах{1 4-1) — на непроизводственное потребление. При этом оптимальная траектория может определяться с помощью целевой функции, оценивающей непроизводственное потребление на заданном врменном отрезке.К сожалению, учет ограничений по невоспроизводимым ресурсам приводит к радикальному изменению основных свойств модели. Эти ограничения имеют вид дополнительных неравенств вида r(t) < Го, где г[1) — затраты некоторого невоспроизводимого ресурса на шаге 1, ¿ = 1,2,.... Если этот ресурс используется для производства хотя бы одного вида продукции, то расширенное воспроизводство заменяется простым, начиная с того шага, где данное ограничение становится эффективным. Если же данный ресурс растет с темпом 7г, то темп роста модели не может превысить этот показатель.Один из возможных путей преодоления этой проблемы состоит в учете научно-технического прогресса, влияющего на коэффициенты матриц Л и Б . В этом случае технологические матрицы принимают вид А(1) и B[t), что подразумевает их зависимость от времени. В простейшем случае можно считать, что коэффициенты матрицы затрат убывают с одинаковым и постоянным темпом, а коэффициенты матрицы выпуска растут с одинаковым и постоянным темпом: А{1) = ^^Ао, 7.4 <1; ¿ = 1,2,....Легко видеть, что в этом случае модель полностью сохраняет магистральные свойства. При этом технологический темп роста включает темпы изменения коэффициентов матриц.Также не вызывает проблем анализ случая, когда матрицы Л(¿) и В{1) имеют асимптотически постоянные коэффициенты. Здесь оптимальная траектория оказывается близкой к лучу Неймана для предельных матриц.В общем случае учет динамики коэффициентов матриц затрат и выпуска превращает "прямую" магистраль в "косую", на которой сбалан17 сированное развитие осуществляется с переменным темпом роста и переменными структурами векторов выпуска и затрат. Однако, теоремы о "косой" магистрали доказываются при более жестких ограничениях, чем теоремы о "прямой" магистрали, так как динамика матриц затрат * • и выпуска значительно усложняет экономико-математическую модель.Другой подход к анализу таких моделей состоит в том, что при каждом изменении матриц находится новая магистраль, к которой стремится оптимальная траектория, т.е. фактически решается задача о преследовании.Таким основополагающим свойством модели Неймана, как сбалансированный рост, обладают и экономические системы, описываемые динамическим уравнением вида х{Ц-1) = Н{х{1)), (3.1) где вектор-функция Н переводит неотрицательный вектор х в неотрицательный вектор Л(х) той же размерности. Системы такого рода исследовались Солоу и Самуэльсоном [56], Сьютсом [57], Масом [44] и Моришимои 41, 42 Приведем список основных предположений о функции Я , при которых в экономико-математических моделях наблюдается сбалансированный рост [12]. а) Вектор-функция Н{х) определена при всех неотрицательных векторах х аз , причем ее значения Ы{х) также являются неотрицательными векторами в Ь) Функция Н{х) непрерывна на своей области определения, кроме, быть может, точки х = 0. с) функция Н{х) положительно однородна степени г, О < г < 1, т.е.И{Хх] = Х'-Н{х) для всех Л > О, х>0. с1) {Слабая монотонность). Если х = {хг,. . . ,Хп] > О, у = {ух,... ,Уп} ^ О, то Н,{х) < Щ[у) для всех г, таких, что ж,- = y¿. е) [Монотонность). Н{х) > Н[у) при х > /^ > 0. £) [Сильная монотонность). Н[х) > ^"(2/) при а; > у > 0.При исследовании моделей предполагается выполнение всех или некоторых из вышеперечисленных условий в соответствии с теми утверждениями, которые доказываются в конкретной теореме.Поскольку уравнение (3.1), вообще говоря, не является линейным, для рассматриваемого случая необходимо уточнить понятие сбалансированного роста.Сбалаг1си'раванно-растущим решением уравнения (3.1) называется последовательность векторов х[1), ¿ = 0,1,2,. . . , такая, что х[1)=а[г)х{{}), ¿ = 1,2,..., (3.2) где a[t) — положительная скалярная функция времени.Это означает, что в данном случае сбалансированный рост приводит в пределе к стационарному состоянию.Имеет место следующее утверждения, доказательства которых можно найти, например, в 12 3.1. Т е о р е м а . Есля выполнены условия а), Ь), то задача о собственных значениях (3.5) имеет решение при некотором Д > 0.Пусть Ь{Н) = { /41 Н{у) > \1у ярн некотором у £ 5'п }• 3.3. Т е о р е м а . Пусть выполнены условия а), Ь), с), е). Тогда число Л(Я) можно определить эквявалеятным способом по формуле А(Я) = max^^ по всем из Ь(Т1), и справедливы следующие утверждения: (1) Если Н[у) > р,у при некотором у € Зп, то А(Я) > р. (И) Если функция О также удовлетворяют условиям а), Ь), с), е), и если Н{х) > 0[х) тождественно по х Е Зщ то А(Я) > Х{0). (ш) Пусть есть т-кратная итерация функции Я , т.е.4 Задача перехода экономики на магистраль сбалансированного роста с ограничением на динамику выпусков в этом параграфе рассматривается алгоритм выхода на магистраль сбалансированного роста в модели экономики на основе многофакторных производственных функций. При этом учитывается ограничения на объем спада производства в отдельных отраслях, чреватых резким ростом безработицы.Задача о минимуме времени выхода экономики на магистраль сбалансированного роста в рамках классической модели затраты - выпуск фон Неймана была сформулирована и решена в [16]. Однако, в этой работе не учитывались такие ограничения на динамику объемов выпуска отдельных видов продукции, как требование достаточно плавных изменений этих показателей. Дело в том, что резкое падение объемов производства отдельных видов процукции весьма нежелательно с социальной точки зрения, так как приводит к массовой безработице в соответствующих отраслях. Это обстоятельство было учтено в задаче выхода на магистраль сбалансированного роста, рассмотренной в [2], где функционирование отдельных отраслей описывается производственными функциями Леонтьева [7]. В настоящей работе данная задача исследуется для случая, когда работа отраслей может быть описана линейными производственными функциями [7, 9].Рассмотрим замкнутую динамическую модель производства и обмена продуктов, в которой фигурирует N отраслей, каждая из которых производит только один вид продукции и каждый из видов продукции производится только одной отраслью.Предполагается, что длительности производственных циклов одинаковы для всех продуктов и синхронизованы по времени, т.е. начинаются и заканчиваются одновременно. При этом произведенная продукция может быть использована в следующем производственном цикле любой из отраслей, т.е. время, необходимое для обмена товарами, в этой модели не учитывается.Произведенная продукция должна быть распределена или использована самой отраслью до окончания следующего производственного цикла.Неиспользованные остатки считаются непригодными для дальнейшего использования.Будем считать, что производственная функция отрасли г имеет линейный вид [7, 9]: где все скаляры положительны. Данная функция является линейно однородной, аоскольку при увеличении всех факторов в А раз во столько ко же раз увеличится объем выпуска.Таким образом, в данной модели предполагается, что каждая из отраслей использует в качестве ресурсов продукцию всех отраслей системы.Следующее предложение показывает, что при любых начальных условиях можно выбрать такую схему распределения ресурсов, что данная экономическая система будет функционировать в режиме магистрали.Схема распределения ресурсов (4.3), как и аналогичная схема, полученная в результате решения задачи (4.4)-(4.7), сохраняют пропорции объемов выпуска различных видов продукции такими же,, как у вектора х^. Вообще говоря, эти пропорции могут не соответствовать некоторым критериям, оценивающим эффективность и/или уровень социальной направленности экономической системы. Вопрос о выборе таких пропорций выходит за рамки данной работы, поэтому будем считать экзогенно заданным некоторый строго положительный вектор ж*, компоненты которого определяют эталонные соотношения между объемами выпусков. Ясно, что такой вектор может быть задан с точностью до положительного скалярного множителя. При начальных условиях (4.1) выход на соответствующую магистраль можно осуществить за один шаг, если определить переменные y*j{l) так: либо решить задачу линейного программирования, аналогичную задаче (4.4)-(4.7). Далее, взяв за основу полученный вектор х[1), можно вновь воспользоваться схемой распределения ресурсов (4.3), либо решением соответствующей задачи линейного программирования.С практической точки зрения выход на магистраль за один шаг может вызвать резкое падение объемов производства в некоторых отраслях, что сопряжено со значительным увеличением безработицы. Поэтому учет данного социального фактора требует, чтобы такой переход происходил достаточно плавно, без резких снижений объемов выпуска продукции в отраслях. В связи с этим рассмотрим следующую постановку задачи, где минимизируется абсолютная величина падения производства по всем отраслям в процессе выхода на магистраль. При этом период времени, за который должен быть осуществлен выход на магистраль, считается экзогенно заданным параметром.Легко видеть, что задача (4.8)-(4.13) относится к классу задач линейного программирования с переменными и;, ж,(^), yij{t), i,j = 1,..., JV, t 1,... ,N. Общее число переменных в этой задаче равно NT{N+l)+2, а число ограничений (без условий неотрицательности) — iV(3T — 1) -Ы. Переменные Xi{t) легко элиминируются и неравенства (4.12) можно записать через переменные yij{t).ГЛАВА П. ЗАДАЧА О ВЫВОДЕ КАПИТАЛА ИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ , В ФИНАНСОВУЮ СФЕРУ 5 Экономические предпосылки реорганизации экономических объектов Экорюмические проблемы последних лет, возникшие в ряде стран Восточной Европы, в значительной степени связаны с необходимостью перестройки многих из сложившихся экономических укладов в направлении их более успешного функционирования. Такая необходимость была обусловлена в первую очередь формированием механизмов открытого конкурентного взаимодействия действующих экономических объектов с зарубежными, среди которых зачастую встречаются и гораздо более эффективные.Наиболее радикальным способом перестройки экономического объекта может считаться способ, основанный на его полной реорганизации, т.е. переводе основного капитала в другую, более предпочтительную в сложившейся исторической обстановке, форму. Если не задаваться вопросом о конкретном виде последней, ограничиваясь лишь считающимся известным показателем ее эффективности, то возникает задача об оптимальной (с учетом этого показателя) стратегии изъятия капитала из работающего экономического объекта. Основные вопросы в определении такой стратегии в условиях ограниченности общего отпущенного времени относятся к формированию правил нахождения моментов переключения с одних методов изъятия капитала (например, проведение щадящей, фондосберегающей экономической политики) на другие (например, применение жестких форм изъятия основного капитала).Заметим наконец, что в качестве реорганизуемого экономического объекта может выступать как отдельное предприятие, так и целая отрасль экономики. Не исключается также интерпретация такого объекта как отдельного экономического уклада, так и экономики в целом. Единственным условием, допускающим возможность применения излагаемых ниже теоретических построений к конкретному экономическому объекту, является возможность его рассмотрения как самодостаточного, т.е. самовоспоизводящегося объекта.Темп изъятия основного капитала v считается ограниченным сверху величиной Um < + 0 0 .Текущий доход Ginc{t) от экономического объекта складывается из налоговых отчислений и средств, полученных в результате реализации его основного капитала. При этом учитывается необходимость дополнительных затрат при переводе капитала из материальной в конвертируемую форму, что отражается в использовании коэффициента о < 1 в функции текущего дохода Gino{i) — XiaxiS) + OL'oK^f).Перспективный доход от производства определяется интегральной формой от текущего дохода с учетом показателя эффективности Ь целевого экономического объекта. Так, например, если таковым объектом является банковский депозит, то b - это просто учетная ставка банка.Перспективный временной горизонт планирования Г может быть как конечным (например, в случае ограничений политического характера), так и бесконечным (например, в случае реализации установившихся планов долгосрочного национального развития).Заметим, что в предложенной постановке эта задача может интерпретироваться как задача оптимизации сбора урожая (см. [1], а также [23]), с учетом возможности снятия не только конечной биомассы популяции, но и ее промежуточного продукта (например, семенного материала).7 Применение принципа максимума Изложенная в предыдущем параграфе постановка оптимизационной задачи имеет классическую форму задачи с ограничениями на управление [13], для решения которой наиболее эффективной является методика их нахождения, основанная на принципе максимума Понтрягина [13].Приведенный здесь вариант относится к классу задач со свободным концом. Не углубляясь в общую схему решения задач этого класса изложим результаты ее применения для описанной выше постановки.8 Качественный анализ оптимальных решений В настоящем параграфе на качественном уровне исследуется поведение оптимальных решений для различных областей изменения вспомогательной переменной.Динамическая система, задающая оптимальные траектории описанной в предыдущем параграфе задачи, состоит из первого уравнения в (6.1) и уравнения (7.2') в областях, выделяемых одним из условий (7.5) и одним из условий (7.6), и представляет собой автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими подстановками для и и V: д,к = {1-р- и)Лк) -{т-^д + ь)к д,п = у{г1^ -а)+ г/(т 4 6) - - р) + (1 Пограничные области, соответствующие условиям типа равенства, следует рассматривать отдельно.Естественным образом выцеляются следующие пять областей изменения переменной г] на плоскости (^,??): А: О < г? < а. В: = а; С: о; < 7] < 1; В: ту = 1; Е: г) > I.Мы начнем исследование с двух случаев А и С, соответствующих условиям типа неравенств.Если для некоторого момента времени ¿1 € [О, Т) функция r](t) убывает (что означает существование такого п > О что для любого г £ (О, T I ) выполнено T]{ii-irr] < T]{ti)), то dtTi{t) > О для любого t > ti (ибо rj{t) и /t(/) убывают, т.е. fk{k(t]) возрастает, так что dtTi{ti-{-T) < supdt\eta{ti-j-0) < 0).Следовательно, в области А оптимальная траектория может иметь не более одного максимума по г/, причем если этот максимум достигается при 7/ < а, то он расположен на кривой, определяемой соотношением типа равенства в правой части (8.2). На рис. 1 и 2 это нижняя (ниже прямой 7 = 0;) часть пунктирной кривой .Заметим, что обе кривые совпадают в точке (А;,ту) = {ка,сх).В: т] — а. Здесь в (8.1) и = 1 — р; г» 6 [О,г;„ Из второго уравнения (8.1) видно, что равенство дtr| = О эквивалентно равенству к = ко, что с учетом монотонного убывания k[t) (следует из первого уравнения) влечет дискретность множества моментов времени, для которых ?](£) = а. Более того, установленные для областей А и С свойства монотонности имеют следствием то, что таких моментов может быть не более двух (соответствуют переходам из области А в С и обратно).С учетом сказанного свойство монотонности, сформулированное для области А распространяется в той же формулировке и на объединение областей А, В и С, т . е. на всю область {?/ < 1}.Е: г/ > 1. Здесь в (8.1) и = v = 0.Вообще же s\gn{дt'q) - sigп(fc - кр)). Отсюда следует, что подобласть {к > к-о^ц > 1) области Е является инвариантной относительно движений вперед по траекториям системы (8.1), что исключает возможность достижения краевого условия (7.3'). Другими словами ни одна оптимальная траектория не может пересекаться с этой запрещенной областью. В следующем параграфе мы покажем, как можно построить расширение этой области в сторону меньших значений как переменной А;, так и переменной ц.Из тех же соображений можно установить инвариантность области [к < ко,Г] > 1) относительно движений по оптимальным траекториям назад по времени.В случае, когда (8.5) не выполнено, т.е. ко > кр, точки прямой к = кр на участке ?у > 1 плоскости (к, г]) образуют притягивающую траекторию системы (4.1). На этом участке г}[1) убывает вплоть до значения ту = 1.В; ту = 1. Здесь в (8.1) -г; = О, и £ [0,1 - р].Выполнение неравенства в (8.7) эквивалентно, как нетрудно видеть, неравенству (8.5) и является необходимым и достаточным условием того, чтобы точка [к — ¿£1,7 = 1) могла быть стационарной точкой системы (8.1).Заметим также, что в случае невыполнения (8.5) г]{1) убывает при к < кг), а значит и при А, близких к кр, не только в областях ту < 1 и Т/ > 1, но и при Т) = \.Кроме описанного зцесь случая попадания в стационарную точку [ко, 1) все остальные случаи пересечения оптимальной траектории с областью В : {г/ = 1} образуют дискретное множество моментов перехода между областями С и Е. С учетом приведенных выше результатов можно сделать вывод о том, что таких моментов может быть не более двух: сначала при возрастании переменной Г1[1) и потом при ее убывании.9 С т р у к т у р а оптимальных траекторий Результаты предыдущего параграс]за позволяют построить фазовый портрет оптимальных траекторий. На рис. \ и 2 д ЬтЦт Л-Ьи^).Рис. 1. Оптимальные фазовые траектории при ко < кр. о к д к в ка Рис. 2. Оптимальные фазовые траектории при кв Обсудим сначала случай ко < кр, проиллюстрированный на рис.1.Фазовые траектории, проходящие через стационарную точку 5 имеют принципиальное значение.Заметим, что если ко фиксировано, то с ростом туо растет и время движения по оптимальной траектории до оси гу = О, которое мы обозначим как Те{ко, гуо).Для ко < ко, Щ > I это следует из того, что r]{t) монотонно убывает, так что траектория, начинающаяся выше, будет проходить правее при одинаковых г/, и поскольку во втором уравнении (8.1) правая часть растет с ростом к, то ту будет убывать медленнее, что соответствует большему времени прохождения одинаковых интервалов по ту, а значит и траектории в целом.Для ту < 1 k{t) монотонно убывает, и поскольку в области С ее экспоненциальная скорость убывания, равная {т -f- д) меньше, чем в области А, равной [m+g + Vm), то одинаковые участки по к траектория, проходящая выше, будет преодолевать не быстрее нижней. Поскольку при этом она еще и достигает оси ту = О при меньших значениях к, то совокупное время тем более будет больше.Нетрудно видеть, что при туо, пробегающих значения от О до гц^ко) величина Те{ко,г]о) будет пробегать значения в интервале [0,Te{ko,'rii{ko))], где Те{ко,г]ь{ко)) = Тг{ко) - (правая часть в (9.1)).Все эти соображения с учетом возможности задержки в точке S в течение избыточного времени Т — Te{ko,rii{ko)) свидетельствуют о су44 ществовании м единственности оптимального решения среди описанных выше при любых значениях ко > О я Т > 0.Приведенные выше результаты могут быть сформулированы как Теорема 1 Пусщъ выполнено (8.5). Тогда: 1) для любого О < Т < Тг опт-амальное управление задачи (6.1) имеет не более двух переключений между крайними допустимыми значениями управляющих параметров; 2) для любого Т > % оптимальная траектория задачи (6.1) лежит на LU Ld.В случае ко > кр картина (см. рис. 2) несколько иная. Здесь уже нет стационарных точек, а значит и выделенных траекторий, элементы которых служат оптимальными решениями для большинства задач. Нет здесь и запретных областей, поскольку всякая траектория, начинающаяся в положительном квадранте, достигает на нем оси абцисс. Однако свойство роста времени Те{ко,г}о), необходимого для этого достижения, при увеличении т/о и фиксированном ко сохраняется. В случае ко < кр здесь работают те же соображения, что и при fco £ ^ кр. В случае ко > кр надо использовать рассуждения, изложенные выше для ситуации, когда ко < кр ж Г] < 1. При этом Те{ко,г]о) вслед за туо пробегает значения в интервале [0,-foo). Отсюда снова следуют существование и единственность решений при любых значениях А;о > О и Т > 0.Обратим здесь внимание на траекторию L' = L[LlL\UL'^^, проходящую через точку М = (кр, 1). Участок этой траектории L[, расположенный в области Е, состоит из соответствующей части прямой к = кр. Остальные два участка Ь'^ для области С и Ь'^ для области А, аналогичны соответствующим участкам траектории X, исследованной для предыдущего случая. Обозначим время движения по этим участкам соответственно как Т{ и Гд', так что %{М) = + Г '^.В случае, когда ко = кр, а, Т > Те{М), оптимальное рещение составляется следующим образом. При щ = г? = О фазовая переменная k{^) остается в покое в неподвижной точке кр в течение времени Т — Те(М).Оставшийся резерв времени используется для спуска по траектории х', = х ; и х ' 5 .Пусть теперь ко ф кр, но Т очень велико. С учетом изложенных выше результатов о монотонной зависимости от ?уо становится понятным, что такая траектория будет начинаться при очень больших щ, а поскольку для 7/ > 1 точка к = кр является притягивающим положением равновесия для первого уравнения в (8.1), то траектория будет стягиваться к прямой к = кр на плоскости {к,г]), а значит проходить очень близко от точки М. Приведенные здесь результаты могут быть сформулированы как Теорема 2 Пусть (8.5) ие выполнено. Тогда: 1) для любого Т > О оптимальное управление задачи (6.1) имеет не более двух при ко < кр и четырех при ко > кр переключений меэюду крайними допустимыми значениями управляющих параметров; 2) для любого Т >> Test = !/[(! " p)\fkk{kp)\{k£> — кр)] заверилающая часть оптимальной траектории задачи (6.1) лежит на кривой, близкой к L'^ с отклонением от нее порядка е = T^st/T.10 Оценки для оптимальных траекторий Уравнения (8.1) при фиксированных и и v легко интегрируются.Пусть R{k,u,v) = (1 — р — u)f(k) — (тд + v)k - правая часть первого из этих уравнений. Далее мы зачастую будем последние два аргумента опускать и писать R{k) = R{k,u,v).Если для некоторых моментов времени U > to на оптимальной траектории выполнено ко = k{to), ki = k{ti), то очевидно dk p i dk 4„ R[ky Видно, что в области Е репление (10.1) как уравнения относительно k[t) имеет особенность при к ^ кр, принципиальную только для случая кр < ко- Во всех остальных ситуациях можно считать, что знаменатель в (10.1) в нуль не обращается.Считая функцию k{t) как выраженную из (10.1) ki{t = ti,to,ko) известной, представляется удобным выразить TJ как функцию к, удовлетворяющую дифференциальному уравнению, полученному делением второго из уравнений в (8.1) на первое.Разрешая (10.7) относительно г/, можно получить явное выражение для г/(к), а значит и для г/(А;).Рассмотрим подробнее случай области Здесь в качестве начальной точки имеет смысл выбирать fco = к^. Из (10.8) видно, что дкТ]{ко) = 0.Поэтому постоянную С •= Сс можно выбирать из условия того, чтобы выпуклая кривая у = '/^{к)'^^'^ касалась прямой у = fc на плоскости [к, у), (см. рис. 3) , так что Сс = ко - < О (поскольку > J{ko)).С любой другой прямой у = ак, где С < о < 1, построенная кривая имеет две точки пересечения ki < ¿ 2 , так что если в качестве этого а выбирается соответствующий параметр исходной задачи, то эти значения kl и ¿ 2 соответствуют точкам перехода оптимальной траектории, проходящей через стационарную точку (fcD,l), между областями А и Эти значения занимают принципиальное место в зацаче отслеживания момента переключения режима управления при наблюдении только за фазовой переменной k{t). Точнее, если Т достаточно велико (см. (9.1) и приведенную ниже оценку), то оптимальная траектория соответствует движению гю кривым Li - Xs,изображенным на рис. 1. При этом, если изначально было ко > к2, то первоначальный оптимальный режим, соответствующий области А, определяется управлениями и = I -- р, я V = Vm- Для поддержания оптимального управления на этом участке (кривая L2) достаточно отслеживать k(t) с тем, чтобы переключить его на режим области С (и = 1 — р, и = 0) по достижении ею величины Äq.Рис. 3. Построение оптимальной фазовой траектории в координатах (/г,2/= при г = 0.Дальнейшее движение осуществляется по кривой вплоть до истечения лимита времени.Если изначально было ко < ко, то первоначально оптимальным является режим области Е (и = V = 0), который применяется вплоть до достижения стационарной точки к = ко, после чего работает описанная выше схема.Для отыскания значения fcд можно воспользоваться также следующим простым соотношением.Здесь Хс = т д, ХА = гп + д + Ут, и = 1 — р, д = Ь^/ХА. Равенство (10.9) получается как линейная комбинация Хс{{а) — (Ь)) -|- ХА{{С) — (с?)).Из рис. 3 видно, что кл < кг < ко < ка < ¿ 2 , поскольку ка соответствует точке касания построенной кривой для прямой, параллельной прямой у = ак.Нетрудно заметить, что рис. 3 - это фактически (частично) рис. 1 в координатах [к, у = г]к).

1. Абакумов А.И. Управление и оптимизация в моделях эксплуатируемых популяций. Владивосток, Дальнаука, 1993, 129 с.

2. Абрамов А.П. Алгоритм выхода на траекторию сбалансированного развития в одной модели производства. Исследование операций (модели, системы, решения). М.: ВЦ РАН, 1999, С. 3-13.

3. Абрамов А.П., Петржик М. Задача перехода экономики на магистраль сбалансированного роста с учетом социального фактора. Исследование операций (модели, системы, решения). М.: ВЦ РАН, 2001, С. 3-10.

4. Ашлшиов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 296 с.

5. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963. 420 с.

6. Граиберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. 240 с.

7. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979. 304 с.

8. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Сов. радио, 1972. 464 с.

9. Клейиер Г.Б. Производственные функции. М.: Финансы и статистика, 1986. 240 с.

10. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

11. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. 280 с.

12. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. 520 с.

13. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Гос. физ.-мат. лит., 1961. 391 с.

14. Разжевайкин В.Н., Петрэ/сик М. Задача эффективной реорганизации работающего экономического объекта. Исследование операций (модели, системы, решения). М.: ВЦ РАН, 2001, С. 82-107.

15. Разжевайкин В.Н., Петржик М. Моделирование оптимальной реорганизации экономических объектов. М.: ВЦ РАН, 2002, 38 с.

16. Разумихин B.C. Метод физического моделирования в математическом программировании и экономике. VI. Автоматика и телемеханика, 1973, N 4, С. 87-99.

17. Черемиых Ю.Н. Анализ поведения траекторий динамики народнохозяйственных моделей. М.: Наука, 1982.

18. Bear, Donald V. Т. "A Multi-Sector Model Of Balanced Growth,"Review of Economics and Statistics, 1961, v43(2), 156-162.

19. Bhatt, V. V. "Some Notes On Balanced And Unbalanced Growth," The Economic Journal, 1965, v75(297), 88-97.

20. Bhatt, V. V. "Theories Of Balanced And Unbalanced Growth: A Critical Appraisal," Kyklos, 1964, vl7(4), 612-626.

21. Bierwag, G. 0. "Balanced Growth And Technological Progress," Oxford Economic Papers, 1964, vl6(l), 55-69.

22. Chilosi, Alberto and Stanislaw Gornulka. "Technological Condition For Balanced Growth: A Criticism And Restatement," Journal of Economic Theory, 1974, v9(2), 171-184.

23. Clark C. W. "Biomathematical Modelling and Fishering Menagement". N.-Y.; Wiley Int. Pub., 1985, 291 p.

24. Cozzi, Terezio. "Balanced And Unbalanced Growth: A Comment," The Economic Journal, 1966, v76(303), 672-674.

25. Dagnino-Pastore, Jose Maria. "Balanced Growth: An Interpretation," Oxford Economic Papers, 1963, vl5(2), 164-176.

26. Dasgupta, A jit. "Decision Criteria And Balanced Growth," Review of ) Economic Studies, 1964, v31(86), 107-112.

27. Ezawa, Taichi. "On The Uniqueness And Stability Conditions Of Balanced Growth Path In Neoclassical Two-Sector Models," Journal of Economic Theory, 1970, v2(4), 427-436.

28. Findlay, Ronald V. "International Specialization And The Concept Of Balanced Growth: Comment," Quarterly Journal of Economics, 1959, v73(2), 339-345.

29. Fisher, Franklin M. "Balanced Growth And Intertemporal Efficiency In Capital Accumulation: Comment," International Economic Review, 1963, v4(2), 232-234.

30. Fisher, Joseph L. "Policies For Balanced Growth," Growth and Change, 1971, v2(2), 5-9.

31. Fleming, M. "External Economies And The Doctrine Of Balanced Growth," The Economic Journal, 1955, v65(258), 241-256.

32. Fleming, M. "External Economies And The Doctrine Of Balanced Growth: A Rejoinder To Professor Nurkse," The Economic Journal, 1956, v66(263), 537-539.

33. Furuya, Hiroshi and Ktn-Ichi Inada. "Balanced Growth And Intertemporal Efficiency In Capital Accumulation," International Economic Review, 1962, v3(l), 94-107.

34. Gomulka, Stanislaw, "Technological Condition For Balanced Growth: A Note On Professor Whitaker's Contribution," Journal of Economic Theory, 1976, vl3(3), 484-485.

35. Hoffman, Lutz. "Theories Of Balanced And Unbalanced Growth: Em Kommentar," Kyklos, 1965, vl8(3), 531-535.

36. Johnson, M. Bruce. "Balanced Growth And The Two-Good, Two-Factor General Equilibrium Model," Quarterly Journal of Economics, 1961, v75(3), 501-505.

37. Lane, John S. "Duality And Balanced Growth," International Economic Review, 1974, vl5(3), 778-785.

38. Manning, R. "Two Theorems Concerning Optimal Educational Policy In Balanced Growth," Journal of Economic Theory, 1979, v21(3), 465-472.

39. Mathur, Ashok. "Balanced V. Unbalanced Growth A Reconciliatory View," Oxford Economic Papers, 1966, vl8(2), 137-157.

40. Montias, J. M. "Balanced Growth And International Specialization: A Diagrammatic Analysis," Oxford Economic Papers, 1961, vl3(2), 203220.

41. Morishima M. "Existence Of Solution To The Walrasian System Of Capital Formation And Credit," Z. Nationaloconomie, 1960, v20(l-2).

42. Morishima M. " Generalization Of The Frobenius-Wielandt Theorems For Non-negative Square Matrices," J. London Math. Soc., 1961, v36.

43. Morishima, Michio and Gerald L. Thompson. " Balanced Growth Of Firms In A Completitive Situation With External Economies," International Economic Review, 1960, vl(2), 129-142.

44. Muth, John F. "A Note On Balanced Growth," Econometrica, 1954, v22(4), 493-495.

45. Nath, S. K. "Balanced Growth," Oxford Economic Papers, 1962, vl4(2), 139-154.

46. Neisser, Hans P. "Balanced Growth Under Constant Returns To Scale: Some Comments," Econometrica, 1954, v22(4), 502-503.

47. Nikaido, N. "Balanced Growth In A Multi-Sectoral Income Propagation Under Autonomous-Expenditure Schemes," Review of Economic Studies, 1964, v31(85), 25-42.

48. Okuguchi, Koji. "The Stability Of The Balanced Growth Path Under Factor-Augmenting Technical Progress," Canadian Journal of Economics, 1969, v2(l), 135-136.

49. Radner R. "Paths Of Economic Growth That Are Optimal With Regard Only To Final States: A Turnpike Theorem," Review of Economic Studies, 1961, v28(2).

50. Read, Thomas T. "Balanced Growth Without Constant Returns To Scale," Journal of Mathematical Economics, 1986, vl5(2), 171-178.

51. Rose, Deb Kumar and Sanjii Bose. "An Algorithm For Computing The Von Neumann Balanced Growth Path," Econometrica, 1972, v40(4), 763-766.

52. Sengupta, J. К. and A. Sen. "Balanced Growth Path For An Expanding Multiproduct Firm," International Economic Review, 1972, vl3(3), 553567.

53. Sheshinski, E. "Balanced Growth And Stability In The Johansen Vintage Model," Review of Economic Studies, 1967, v34(98), 239-247.

54. Shinkai, Yoichi. "Balanced Growth And A Constant Degree Of Employment Of Labor: Reply To Professor Neisser," International Economic Review, 1962, v3(l), 138-144.

55. Solow, Robert M. and Paul A. Samuelson. "Balanced Growth Under Constant Returns To Scale," Econometrica, 1953, v21(3), 412-424.

56. Solow, Robert M. and Paul A. Samuelson. "Balanced Growth Under Constant Returns To Scale: A Brief Comment," Econometrica, 1954, v22(4), 504.

57. Suits D. B. "Dinamic Growth Under Diminishing Returns To Scale," Econometrica, 1954, v22(4).

58. Sutclifj'e, Robert B. "Balanced And Unbalanced Growth," Quarterly Journal of Economics, 1964, v78(4), 621-640.

59. Szyld, Daniel B. "Conditions For The Existence Of A Balanced Growth Solution For The Leontief Dynamic Input-Output Model," Econometrica, 1985, v53(6), 1411-1420.

60. Takayama, Akira. "A Reconsideration Of The Nurkse Balanced Growth Thesis," International Economic Review, 1967, v8(l), 86-96.