автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Морфологические методы интерпретации измерений рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа

На правах рукописи

Захарченко Алексей Александрович

МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ РЕЛЬЕФА ПОВЕРХНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ОПТИЧЕСКОГО МИКРОСКОПА

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006 г.

Работа выполнена на кафедре компьютерных методов физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Алексей Иванович Чуличков

доктор физико-математических наук, профессор Петр Викторович Голубцов

кандидат физико-математических наук, Дмитрий Петрович Николаев

Московский энергетический институт

1

Защита диссертации состоится « 7 » 2006 г. в на

заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. №

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан «-£ »

Ученый секретарь Диссертационного Совета 5 Доктор физико-математически'

МйЕ®^'

П.А. Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность

В настоящее время задача измерения и визуализации рельефа поверхности микрообъектов является чрезвычайно актуальной в различных областях науки и промышленности. Существуют несколько основных методик измерения и визуализации рельефа поверхности: поверхностная профилометрия, зондовая сканирующая микроскопия, растровая электронная и просвечивающая электронная микроскопия, оптическая конфокальная микроскопия и др. Развиваются также методы реконструкции рельефа поверхности с помощью «классического» оптического микроскопа. Это методы стереомикроскопии и методы определения высоты поверхности по фокусу. Методы, использующие «классический» микроскоп, существенно дешевле аналогов. А по характеристикам они могут конкурировать с современной конфокальной микроскопией в области размеров выше 100 нм.

Методы стереомикроскопии в целом гораздо менее точные, нежели методы измерения высоты по фокусу и используются для визуального наблюдения объемного объекта. Методы же измерения высоты по фокусу, требующие больших расчетов, получили свое развитие лишь в конце 90-х годов прошлого века и в настоящее время быстро развиваются с развитием вычислительной техники1. Они основаны на том, что область объекта изображается наиболее четко, когда она находится в фокусе. По нескольким изображениям, захваченным при различном положении фокуса микроскопа, для каждой области объекта

1 M. Noguchi and S. Nayar. Microscopic shape from Focus using Active Illumination 12'h IAPR Int. Conf. on Patt Recog. Vol. 1, IEEE, pp 147-152, 1994.

строиться кривая измерения фокуса, выражающая степепь «сфокусированности» этой области. Максимум кривой измерения фокуса соответствует положению, при котором область находится в фокусе. Поэтому, найдя для каждой области положение максимума функции измерения фокуса, можно реконструировать и измерить рельеф поверхности объекта. Однако, на практике, кривая измерения фокуса зашумлеиа и искажена, поэтому максимум кривой может не соответствовать положению фокуса. Кроме того, существуют области на изображении, высоту которых определить нельзя из-за отсутствия текстуры.

Основным недостатком известных методов определения высоты по фокусу является отсутствие математических методов анализа кривой измерения фокуса, позволяющих оценивать, с какой погрешностью определена высота рельефа поверхности и указывать, насколько правдоподобна математическая модель, используемая для оценки. Существующие методы в качестве оценки высоты рельефа поверхности указывают либо положение максимума кривой, либо некое средневзвешенное значение, при этом погрешность реконструкции оценивается экспериментально на тестовых образцах.

Данная работа посвящена разработке методов анализа кривой измерений фокуса с помощью морфологических методов анализа изображений. В работе построены новые математические методы, минимизирующие погрешность оценивания высоты рельефа в каждой точке анализируемой поверхности и позволяющие определять адекватность используемой математической модели измерения. На базе разработанных методов строиться новый метод реконструкции трехмерного рельефа поверхности, позволяющий достигнуть погрешности реконструкции менее 100 км для задач анализа поверхностей микросхем [2].

Цель работы

Целями настоящей работы являются:

1. Разработка математических методов максимально точного определения микрорельефа поверхности по измерениям яркости его изображений, полученным с помощью оптического микроскопа с различным положением фокуса.

2. Разработка метода анализа адекватности используемой модели.

3. Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения реконструкции трехмерного рельефа поверхности микросхем.

Решаемые задачи

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

1. Описание класса функций измерения фокуса

2. Разработка морфологических методов анализа кривых измерений фокуса с целью:

• определения высоты рельефа поверхности;

• оценки погрешности определения высоты рельефа поверхности;

• оценки адекватности модели измерения.

3. Создание быстрых вычислительных алгоритмов и оценка их точности.

4. Реализация разработанных методов в виде комплекса программ.

5. Применение разработанных методов к прикладным задачам

Решение этих задач позволяет рассматривать созданные методы измерения микрорельефа поверхности как информационную технологию получения знаний о реальном микрообъекте.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что впервые:

1. Морфологические методы анализа изображений применялись для анализа кривой измерений фокуса и измерения высоты рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа.

2. Получено точное решение задачи наилучшего приближения сигнала элементами множества унимодальных сигналов в конечномерном евклидовом пространстве (вычисления проекции).

3. Разработаны новые методы оценивания положения максимума на зашумленной унимодальной кривой, определены погрешность и адекватность оценки.

Практическое значение

Разработанные методы позволяют существенно улучшить современные методы реконструкции трехмерного рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа. Они позволяют создать измерительный прибор, который не просто реконструирует рельеф поверхности, а измеряет высоту поверхности в каждой точке и указывает погрешность измерений. Более того, методы позволяют определить степень доверия к результату оценивания высоты рельефа в заданной точке, базирующуюся на понятии адекватности используемой модели измерения, и исключить из реконструкции сомнительные точки.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод измерения высоты рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа, контролирующий погрешность измерения и адекватность модели измерению в каждой точки поля зрения.

4

2. Класс функций измерения фокуса, найденный с помощью четко построенной математической модели формирования изображения в оптическом микроскопе.

3. Оператор проецирования на множество унимодальных сигналов и приближенные методы его расчета.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на:

- 12 Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (Московская обл., г. Звенигород, 2005)

- 13 Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, 2006)

Публикации

Основные результаты опубликованы в 5 работах и 1 тезисе конференции.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 116 страниц основного текста, включая 34 иллюстрации и 3 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 93 библиографические ссылки.

Содержание работы

В первой главе приводится обзор современных методов измерения и визуализации трехмерного рельефа поверхности. Рассматриваются поверхностная профилометрия, сканирующая зоидовая, оптическая и электронная микроскопия. Описаны преимущества и недостатки современных методов. Отдельно вьщслены методы измерения «высоты по фокусу» как относительно недорогие н вместе с тем достаточно точные методы, получившие развитие с развитием вычислительной техники. Описаны недостатки современный методов - отсутствие математического аппарата анализа функции измерения фокуса.

Вторая глава посвящена разработке математических моделей рельефа поверхности и формирования изображения в оптическом микроскопе. В первом параграфе рассматривается математическая модель рельефа поверхности. Накладываются некоторые условия па наблюдаемый рельеф, а именно отсутствие взаимных перекрытий и полупрозрачности. Во втором параграфе рассматривается оптический микроскоп как система формирования изображения рельефа поверхности. Сначала система рассматривается с точки зрения геометрической оптики. Вводятся понятия плоскости объекта (ПО) и плоскости изображения (ПИ). Затем система рассматривается с точки зрения волновой оптики. Вводятся понятия оптической передаточной функции (ОПФ) микроскопа, как дифрационно ограниченной центрально симметричной оптической системы. Показано представление ОПФ в виде произведения двух составляющих: определяемой дифракцией света на объективе и других частях микроскопа и определяемой расфокусировкой объекта. В третьем параграфе разрабатывается математическая модель формирования изображения объемного

рельефа поверхности в микроскопе. Записан основной закон формирования изображения рельефа поверхности

/(х0,у0,г0) = ^с1хс1уа(х-хй,у-у0,г(х,у)-г0)10(х,у), где /0(>г0,>>0,го)

•V

интенсивность света в плоскости изображения при положении столика микроскопа равном г0, точка (х0,у0) - элемент поля зрения X; /0(х,у) -интенсивность отраженного от наблюдаемого объекта света и <з(.,.,.) - аппаратная функция микроскопа - Фурье-образ ОПФ.

Введено понятие мультифокусного изображения, как набора изображений {/(лг0,_у0,г,)}, / = 1..«, полученных при различных положениях объекта относительно объектива г, е (гт,п ,гтах). Показано, что такая характеристика, как дисперсия яркости области изображения максимальна, если соответствующая ей область поверхности объекта находится в фокусе и монотонно убывает при удалении области поверхности от положения фокуса при условии, что вся область поверхности находится в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси микроскопа, и интенсивность отраженного света 10(х,у) в области поверхности отлична от константы. Поэтому, определив для каждой точки (хо>.Уо) мультифокусного изображения то значение "к, при котором дисперсия яркости по окрестности точки (хо^о) максимальна, можно построить зависимость г = г(х0, у0 ).

Дисперсия яркости области является не единственной характеристикой. В работе рассмотрены также другие подобные характеристики, общей чертой которых является наличие одного максимума, который соответствует положению «в фокусе». Все эти характеристики названы функциями измерения фокуса. В четвертом параграфе поставлена задача реконструкции рельефа поверхности по его мультифокусному изображению, решение которой позволит построить прибор, измеряющий рельеф поверхности объектов. Описаны сложности, возникающие при ее решении. А именно, при наличии шума на изображении, функция измерения фокуса также содержит шум, и положение ее максимума может не

7

соответствовать положению фокуса (рис 1). Для построения же измерительного прибора необходимо знать погрешность, с которой измерена высота рельефа. Более того, в ситуациях, когда точка (х0,70) попадает на сильно наклонный участок или па участок, в котором 10(х,у) = сода/ (отсутствие текстуры на объекте), функция измерения фокуса уже не является функцией с максимумом, соответствующим положению фокуса на поверхности объекта. Ее вид может быть совершенно произвольный. Такие точки необходимо распознавать и исключать из рассмотрения.

В третьей главе описывается морфологический подход к решению задачи реконструкции. В первом параграфе описываются морфологические методы распознавания образов. Морфологические методы анализа изображений — это математические методы, направленные на решение задач узнавания, классификации объектов, оценки их параметров по изображению, выделение

отличий в сцене не связанных с изменением условий регистрации изображений2. В отличие от большинства существующих методов распознавания образов, направленных извлечение специальных признаков из изображения объектов, морфологические методы в значительной

2 4

Фокус, МКМ

Рис. 1 Пример реальной функции измерения фокуса, равной выборочной дисперсии яркости в области изображения.

г Пытьен Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений. В сб. "Математические методы исследования природных ресурсов Земли из Космоса". М.:Наука. 1984.

степени используют математическую модель, связывающую анализируемое изображение с реальной сценой. Вводится основное понятие морфологических методов - форма изображения, которая определяется как множество всех изображений, которые можно получить от данной сцены при всевозможных условиях наблюдения. В данном случае изображением является кривая измерения фокуса, т.е. значения функции измерения фокуса в точках измерения а его формой — множество Ул унимодальных кривых с максимумом в точке Л - 2к1 соответствующей положение «в фокусе». С точки зрения морфологических методов, задача определения положения максимума кривой измерений фокуса — это задача оценки параметра формы.

Во втором параграфе более подробно рассмотрена форма изображения кривой измерений фокуса. Математически формализовано понятие кривой измерений фокуса как вектора в п -мерном евклидовом пространстве й„, называемого сигналом, координатами которого являются измерения в точках г-, / =-1../7. Показано, что форма кривой измерений фокуса - это выпуклый замкнутый конус в Л„. В третьем параграфе рассматривается основная характеристика формы, использующаяся при решение задач морфологии — проектор на форму. Показано, что проектор Ру на форму Ух нелинейный. Задача

нахождения проекции на форму является задачей выпуклого математического программирования и для се решения можно воспользоваться методом поиска седловой точки функции Лагранжа. Однако решение такой задачи осложняется тем, что количество измерений п может быть достаточно велико (102-103), что приводит к большому количеству проверяемых условий. В работе предлагается альтернативный метод построения проекции на конус, который существенно быстрей известных методов выпуклого математического программирования. На рисунке 2 показан пример проекции сигнала на множество унимодальных сигналов.

2.5

Рис. 2. Проекция сигнала (линия),

обозначенного точками, на множество унимодальных сигналов с максимумом в Л = 2.

о

о

2

4

6

8

10

Фокус, мкм

Четвертая глава посвящена вопросам погрешности оценки и адекватности модели измерению. В первом параграфе рассматривается модель регистрации сигнала, в которой зашумленный сигнал представлен в виде суммы «чистого сигнала» / и аддитивного шума V :

В выбранной схеме измерений отличие £, от проекции на целиком

определяется шумом V. На практике шум не может принимать совершенно произвольные значение или известно распределение вероятности принять шуму некоторые значения. Поэтому по величине разности % — % можно судить об

адекватности модели измерению. Если отличие £ — Ру £ не может быть

объяснено шумом, то модель не адекватна. На практике это означает, что в окрестности точки (х0,>■(,) не выполняются условия, наложенные на область вычисления функции измерения фокуса: например, отсутствует текстура на изображении или точка находится на сильно наклонном участке рельефа. В этом случае точку следует исключить из рассмотрения.

Зная априорную информацию о шуме можно найти интервальную оценку положения максимума сигнала Л, т.е. определить погрешность оценки. Во

4 = / + у,/еУ_

(1.)

втором н третьем параграфах рассматриваются методы определения интервальной оценки Л с оценкой адекватности модели при различной априорной информации о шуме: детерминированной и стохастической.

Во втором параграфе рассматривается решение задачи оценки параметра Л при условии уеЛсй,, где N - некое подмножество К„. Такая модель

регистрации сигнала записывается как В этом случае, оценка Л

параметра Л может быть получена из условия минимума погрешности оценки как решение задачи на минимакс:

— XI = £пГ вир |Я — Л'1 , (2.)

| 1

где Л^ ={АеЛ:£ = / + V,/Ы] - множество значений параметра Л, при которых равенство (1.) выполнено при некоторых V е N и / еУл. Это множество содержит те и только те значения параметра, для которых отличие результата измерения ¿; от множества УЛ может быть объяснено погрешностью у е N Оценка Лц минимизирует максимально возможную погрешность оценивания параметра Л. Решением задачи (2) является центр шара минимального радиуса, содержащий множество Л^, радиус этого шара является

погрешностью оценки ^. Адекватность модели равна: «(£) =

Функция «(■), следуя теории измерительно-вычислительных систем, названа надежностью модели.

В конце параграфа рассмотрен наиболее распространенный частный случай модели АГ={лгбйп :|х| <¿>}, Множество А( в этом случае содержит те и только тс

значения параметра ЛеАп, для которых — Р^ < 3. Модель же является

адекватной, если тГ- Р^ < д.

На рис. 3 приведены графики трех различных функций измерения фокуса н найденные множества Л, (отмеченные вертикальными линиями) для 1-ой и 2-ой

Г1,

1о, Л^=0'

функции. Для 3-ей функции множество Л_, пусто, что свидетельствует о неадекватности модели. На рис. 4 представлены графики зависимости функционала невязки Ц^-Р^^Ц от параметра АеЛ„ для этих сигналов. Интервалы возможных значений параметра ЯеЛл получаются как интервалы наименьшей длины, включающие области изменения параметра, для которых график зависимости функционала невязки - Р^ от 1бЛп лежит ниже

прямой - Ру^\ ~ 3-6, соответствующей максимальному значению шума.

10 20 30

положение фокуса, цм

40

50

Рис. 3. Зависимость дисперсии яркости в окрестности фиксированной точки поля зрения (вертикальная ось) от положения фокуса (горизонтальная ось), вертикальными линиями отмечены границы множеств на каждом сигнале.

положение фокуса, цм

Рис. 4. Зависимость функционала невязки — (вертикальная ось) от ЛеЛ„

(горизонтальная ось) для сигналов 1,2 и 3, изображенных на Рис.1. Горизонтальной линией отмечен уровень шума 8г = 3.6.

В третьем параграфе рассматривается решение задачи оценки параметра Л при условии, что шум V является нормально распределенным случайным элементом евклидова пространства Ля с нулевым математическим ожиданием и

диагональной матрицей корреляции сг2/: V ~ N(0,сг2/). Такая модель

обозначена как [кд,Л, А^(0,сг2/)]

о

Мерой согласия реализации £, с предположением £ ~ N{/,<7 /), / еУл, является надежность ал(4) этой гипотезы при альтернативе /ёГ^, которая определена как вероятность

2

где г/ ~ Ы{/и,ст /), а ц = Иными словами, надежностью рассматриваемой

гипотезы /бК, при альтернативе f (2 V; является вероятность получить в

эксперименте (I) результат, согласующийся с гипотезой так же, как £, или хуже . Для решения задачи оценки параметра Я в такой модели предлагается построить множество оценивающее параметр Л с гарантированной надежностью:

Оценка параметра Я может быть получена с помощью решения задачи на минимакс, аналогичной (2):

К-Я Бир |Я-Я'|

I ЛеЛ э'^А /с\

Мерой согласия используемой модели с результатом наблюдения служит величина а(^) = 'т{ал(^). Для вычисления надежности (3) предлагается

ЛеЛ

воспользоваться методом Монте-Карло или разработанным в диссертации приближенным методом, который обладает в 100-1000 раз большей скоростью вычислений. В приближенном методе надежность (3) вычисляется по формуле

"1 \^-Ру4-'"Л

«А(<?) = 1-Ф

где тх и 5Я находятся экспериментально.

Показано, что тх и зя могут быть аппроксимированы функциями, зависящими лишь от так называемой устойчивости сигнала к шуму:

пАх\,~>хп)=—гХ

П - 1 Ы7

2Ф

а

-1

Построены экспериментальные зависимости тл(г]а) и и оценена

погрешность вычислений надежности с помощью предложенного метода.

На рисунке 5 представлен график функции измерения фокуса, на котором вертикальными линиями отмечено найденное для него множество Л с р = 0.85. На рисунке 6 показан график зависимости надежности от

параметра Я е Л. Интервал возможных значений параметра Я е Л„ получается

3 Пытьев Ю-П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

как интервал наименьшей длины, включающий область изменения параметра, для которой график зависимости «я(£) т А еЛ„ лежит выше прямой = 0.85, что соответствует минимальной надежности гипотезы. На рисунке 7 отображаются графики двух различных оценок, полученных в 3 и 4 параграфах, для одного и того же смоделированного сигнала в зависимости от дисперсии шума (шум считается нормально распределенным). Видно, что стохастическая оценка является более точной, что достигается использованием информации о распределении шума.

В пятой главе рассмотрены вопросы, связанные с реализацией разработанных методов. Методы были реализованы на оптическом микроскопе Leica INM 300 с цветной камерой Leica DC300. Для управления микроскоп подключался к компьютеру через RS-232 порт. В первом параграфе приведена схема хода лучей и характеристики микроскопа. Рассмотрены вопросы оптимального разрешения изображения. Во втором параграфе более подробно рассматриваются алгоритмы вычисления проекции и сглаживания рельефа поверхности. Разработан быстрый приближенный алгоритм вычисления

l^-ZV^I Для -Я = 1..«, имеющий 0(п2) количество вычислительных операций.

Оценена его погрешность, которая на практике пренебрежимо мала.

В третьем параграфе описана общая схема работы программно-аппаратного комплекса. Последовательно захватываются 20-200 изображений (в зависимости от требуемой точности реконструкции) при двигающемся столике микроскопа. Для каждой точки изображения рассчитывается функция измерения фокуса как дисперсия яркости изображения в ее окрестности. С помощью анализа функции измерения фокуса одним из предложенным в работе методов определяется высота рельефа поверхности с погрешностью, а также рассчитывается адекватность модели. Из полученного рельефа убираются точки с низкой адекватностью, полученный рельеф сглаживается.

Фокус, мкм

Рис. 5. Кривая измерений фокуса (дисперсия). Вертикальными линиями отмечена найденная оценка положения максимума с надежность 0.85

Фокус, мкм

Рис. 6. Надежность равная

вероятности (3.), вычисленная методом

Монте-Карло. Вертикальными линиями отмечен интервал «д(^)>0.85

Стохастическая оценка

Нелинейная оценка

Рис. 7. Сравнение нелинейной и стохастической оценок для различных шумов. По вертикальной оси отложена точность оценки в количестве координат. Число координат может быть дробным, т.к. для нахождения границ Лр(^) используется интерполяция.

В четвертом параграфе созданные методы используются при активном освещении, наносящем текстуру на объект. Показано, что применение активного освещения позволяет реконструировать поверхности практически любых объектов и заметно уменьшать погрешность измерений.

В пятом параграфе приведены результаты работы метода. Метод применялся для реконструкции объектов микроэлектроники: дефектов, структур

16

на кремнии, поверхности металлов и т.д. Применение метода вместе с активным освещением позволило достигнуть такой точности измерений высоты рельефа поверхности, как 0.1 мкм и ниже. В отдельных случая точность измерений достигает 50 нм. Горизонтальное разрешение при этом составляет около 0.4 мкм. На рисунке 8 показаны результаты сравнения разработанного метода с высокоточным контактным профиломстром Dcktak V200SL фирмы Vccco Instruments. Точность профиломстра в данном случае составляет 0.01 мкм. Точность разработанного метода - 0.1 мкм. Видно, что результаты измерения высоты рельефа поверхности совпадают в пределах указанной точности.

р I1'

| <hA> lin

1Я

1«

I1

in я)

0 100 200 300 400 (^т)

U

' 1( 0 2( 0 3( 0 400

Рис. 8. Сравнение разработанного метода с профилометром Dektak V200SL фирмы Veeco Instruments, а) - профиль высоты части метки в кремнии, полученный с помощью профилометра; б) - профиль части метки в кремнии, полученный с помощью разработанного метода (4 объектив, 50х, NA=0.8)

На рисунках 9, 10 показаны результаты реконструкции для некоторых объектов микроэлектроники: края цифры, выжженной лазером на поверхности корпуса микросхемы (требовалось проконтролировать глубину канавок) и царапины, оставленной зондом на контактной площадке (требовалось оценить высоту шероховатости). Метод был также применен для исследования таких объектов микроэлектроники как дефектов, металлических покрытий, меток и др.

Высоте (мт)

□ 4.613-5.382

□ 3644 - 4 61Э П 3.075 - 3 844

□ 2306 - 3015 О 1.537 - 2.306

□ 0 768 - 1 537 ■ 0 -0.768

Рис. 9. Реконструированный рельеф поверхности металлического корпуса микросхемы с

выжженной лазером цифрой. Глубина канавок — 3 мкм. Погрешность измерения I* высоты рельефа - 0.5 мкм.

Рис. 10. Реконструированный рельеф поверхности царапины в металле на контактной площадке, оставленной зондом. Размер поля зрения 24x30 мкм. Погрешность измерения высоты рельефа поверхности 0.1 мкм. Высота рельефа - 3 мкм.

Результаты диссертации

• Разработаны морфологические методы реконструкции трех мерного рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа.

• Построена строгая математическая модель формирования изображения. На ее основании сделано заключение о классе функций измерения фокуса. Построена форма кривой измерений фокуса как множество унимодальных сигналов.

• Построен проектор на форму кривой измерений фокуса как нелинейный проектор на конус в евклидовом пространстве. Разработаны методы приближенного расчета проекции сигнала на форму.

• Разработаны методы оптимального оценивания высоты рельефа поверхности. Получены оценки точности и адекватности модели.

• Описана реализация разработанного метода. Рассмотрены вопросы оптимального разрешения изображения, гладкости сигнала н применения активного освещения.

• Показана эффективность разработанных методов для ряда практических задач в микроэлектронике.

Список публикаций по теме диссертации

1. Захарченко A.A. Морфологические методы анализа многофокусных изображений. // Труды 12-й Международной конференции «Математические методы распознавания образов» ММРО-12, Москва 2005, ВЦ РАН, с. 335.

2. Захарченко А. Построение рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. 8/2005, с. 14.

3. Введенский С. Захарченко А. Троицкий В. Измерения субмикронных размеров. Оптический микроскоп с нскогерентным освещением. // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. 1/2005 с. 59.

4. Захарченко A.A., Чуличков А.И. "О морфологических методах анализа многофокусных изображений" // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006 №5 с. 6

5. Захарченко A.A., Чуличков А.И. "Точность оценки и адекватность модели при минимаксном оценивании параметров формы сигнала" // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006 №6 с. 11

6. Захарченко A.A., Чуличков А.И. Морфологические методы анализа многофокусных изображений - 13-я Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование.» Дубна, 2006, с. 141

Заказ № 281/10/06 Подписано в печать 1.11.2006 Тираж 100 экз. Усл. пл. 1,25

р^'-у, ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 778-22-20 www.cfr.ru ; е-таН:info@cfr.ru

Введение

Актуальность

Цель работы

Решаемые задачи

Научная новизна

Практическое значение

Глава

Методы контроля рельефа поверхности

§ 1.1 Поверхностная профилометрия

§ 1.2 Сканирующая зондовая микроскопия

§ 1.3 Оптическая микроскопия

§ 1.4 Электронная микроскопия

§1.5 Выводы

Глава

Математическая модель

§2.1 Математическая модель рельефа

§2.2 Математическая модель системы формирования изображения

§2.3 Математическая модель изображения рельефа

§2.4 Постановка задачи

§2.5 Выводы

Глава

Морфологический анализ кривой измерения фокуса

§3.1 Описание методов морфологического анализа

§3.2 Форма кривой измерений фокуса

§3.3 Проектор на форму кривой дисперсий

§3.4 Примеры

§3.5 Выводы

Глава

Адекватность модели и оценивание параметра формы

§4.1 Модель регистрации сигнала

§4.2 Нелинейная минимаксная оценка погрешности

§4.3 Стохастическая модель измерения

§4.4 Выводы

Глава

Реализация, применение, результаты

§5.1 Аппаратура

§5.2 Алгоритмы

§5.3 Программная реализация

§5.4 Активное освещение

§5.5 Результаты

Актуальность

В настоящее время задача измерения и визуализации рельефа поверхности микрообъектов является чрезвычайно актуальной в различных областях науки и промышленности. Существуют несколько основных методик измерения и визуализации рельефа поверхности: поверхностная профилометрия, зондовая сканирующая микроскопия, растровая электронная и просвечивающая электронная микроскопия, оптическая конфокальная микроскопия и др. Развиваются также методы реконструкции рельефа поверхности с помощью «классического» оптического микроскопа. Это методы стереомикроскопии и методы определения высоты поверхности по фокусу. Методы, использующие «классический» микроскоп, существенно дешевле аналогов. А по характеристикам они могут конкурировать с современной конфокальной микроскопией в области размеров наблюдаемых объектов выше 100 нм.

Методы стереомикроскопии в целом гораздо менее точные, нежели методы измерения высоты по фокусу и используются для визуального наблюдения объемного объекта. Методы же измерения высоты по фокусу, требующие больших расчетов, получили свое развитие лишь в конце 90-х годов прошлого века и в настоящее время бурно развиваются с развитием вычислительной техники. Они основаны на том, что область объекта изображается наиболее четко, когда она находится в фокусе. По нескольким изображениям, захваченным при различном положении фокуса микроскопа, для каждой области объекта строиться кривая измерения фокуса, выражающая степень «сфокусированности» этой области объекта. Максимум кривой измерения фокуса соответствует положению, при котором область находится в фокусе. Поэтому, найдя для каждой области положение максимума функции измерения фокуса, можно реконструировать и измерить рельеф поверхности объекта. Однако, на практике, кривая измерения фокуса зашумлена и искажена, поэтому максимум кривой может не соответствовать положению фокуса. Кроме того, существуют области на изображении, высоту которых определить нельзя из-за отсутствия текстуры.

Основным недостатком современных методов определения высоты по фокусу является отсутствие математического аппарата для анализа кривой измерения фокуса. Дело в том, что вид кривой измерений фокуса зависит от конкретного объекта, микроскопа и условий регистрации. Единственной общей чертой, присущей кривым измерения фокуса, является наличие одного максимума, т.е. унимодальность. Однако класс унимодальных функций сложен для анализа, поэтому современные методы в качестве оценки высоты рельефа поверхности указывают либо положение максимума кривой, либо некое средневзвешенное значение, что существенно увеличивает погрешность реконструкции.

Данная работа посвящена разработке методов анализа кривой измерений фокуса с помощью морфологических методов анализа изображений. В работе построены новые математические методы, минимизирующие погрешность оценивания высоты рельефа в каждой точке анализируемой поверхности и позволяющие определять адекватность используемой математической модели измерения. На базе разработанных методов строиться новый метод реконструкции трехмерного рельефа поверхности, позволяющий достигнуть погрешности реконструкции менее 100 нм для задач анализа поверхностей микросхем.

Цель работы

Целями настоящей работы являются:

1. Разработка математических методов максимально точного определения микрорельефа поверхности по измерениям яркости его изображений, полученным с помощью оптического микроскопа с различным положением фокуса.

2. Разработка метода анализа адекватности используемой модели.

3. Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задачи реконструкции трехмерного рельефа поверхности микросхем.

Решаемые задачи

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

1. Описание класса функций измерения фокуса

2. Разработка морфологических методов анализа кривых измерений фокуса с целью:

• определения высоты рельефа поверхности;

• оценки погрешности определения высоты рельефа поверхности;

• оценки адекватности модели измерения.

3. Создание быстрых вычислительных алгоритмов и оценка их точности.

4. Реализация разработанных методов в виде комплекса программ.

5. Применение разработанных методов к прикладным задачам Решение этих задач позволяет рассматривать созданные методы измерения микрорельефа поверхности как информационную технологию получения знаний о реальном мнкрообъекте.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что впервые:

1. Морфологические методы анализа изображений применялись для анализа кривой измерений фокуса и измерению высоты рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа.

2. Получено точное решение задачи наилучшего приближения сигнала элементами множества унимодальных сигналов в конечномерном евклидовом пространстве (вычисления проекции).

3. Разработаны методы оценивания положения максимума на зашумленной унимодальной кривой, определены погрешность и адекватность оценки.

Практическое значение

Разработанные методы позволяют существенно улучшить современные методы реконструкции трехмерного рельефа поверхности с. помощью оптического микроскопа. Они позволяют создать измерительный прибор, который не просто реконструирует рельеф поверхности, а измеряет высоту поверхности в каждой точке и указывает погрешность измерений. Более того, методы позволяют определить степень доверия к результату оценивания высоты рельефа в заданной точке, базирующуюся на понятии адекватности используемой модели измерения, и исключить из реконструкции сомнительные точки.

§4.4 Выводы

В главе 4 были описаны методы построения оценок максимума кривой измерений фокуса как оценки параметра формы сигнала.

Были описаны как детерминированные, так и стохастические походы и алгоритмы вычисления.

Было установлено, что стохастический подход дает более точную оценку параметра формы, однако более трудоемок в расчетах, так как использует метод Монте-Карло для расчёта надежности. Поэтому был предложен полу эмпирический метод расчёта надежности, использующий понятие устойчивости унимодального сигнала к шуму, который дает результаты, близкие к полученным методом Монте-Карло и обладает в 102 большей скоростью вычислений. Также была проанализирована погрешность вычисления надежности предложенным методом.

Глава 5

Реализация, применение, результаты

В данной главе описывается реализация метода построения рельефа поверхности, основанного на методах измерения рельефа поверхности в точке, описанных в главах 2-4. Затронуты вопросы скорости вычислений, разработки алгоритмов, компьютерной реализации и использовании активного освещения.

§5.1 Аппаратура

Разработанный метод был реализован в виде программно -аппаратного комплекса в НИИСИ РАН, Москва [88 - 92]. Для получения изображений использовался микроскоп Leica INM 300 DUV (Германия) (рис. 1), который обладает высокой разрешающей силой и качеством изображений.

Микроскоп содержит шесть объективов. Пять для освещения в видимом диапазоне и один - для глубокого ультрафиолета (Я = 245 нм).

Освещение в видимом диапазоне осуществляется галогенной лампой накаливания, спектр которой является достаточно широким. Можно считать, что X =550 нм. Заметим, что согласно [55] все рассуждения о разрешающей силе микроскопа и формировании изображения с помощью микроскопа справедливы и для квазимонохроматического света с заменой

Л -> X. Поэтому в дальнейшем будем считать, что X в формулах глав I -4 диссертации означает именно среднюю длину волны освещения.

Микроскоп Leica ГЬГМ 300 обладает встроенным программируемым процессором, который позволяет управлять микроскопом программно через SECS-I интерфейс по COM (RS-232) порту.

Рис. 16. Общий вид зкспериментальной установки

Ниже приведены характеристики объективов микроскопа (подобным набором объективов обладают все стандартные микроскопы).

Заключение

В диссертации были получены следующие основные результаты:

• Разработаны морфологические методы реконструкции трехмерного рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа.

• Построена строгая математическая модель формирования изображения. На ее основании сделано заключение о классе функций измерения фокуса. Построена форма кривой измерений фокуса как множество унимодальных сигналов.

• Построен проектор на форму кривой измерений фокуса как нелинейный проектор на конус в евклидовом пространстве. Были разработаны методы приближенного расчета проекции сигнала на форму.

• Разработаны методы оптимального оценивания высоты рельефа поверхности. Получены оценки точности и адекватности модели.

• Описана реализация разработанного метода. Рассмотрены вопросы оптимального разрешения изображения, гладкости сигнала и применения активного освещения.

• Показана эффективность разработанных методов для ряда практических задач в микроэлектронике.

1. Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Минаев B.JI. Интерференционный компьютерный профилометр ПИК-20 // Материалы первого международного форума "Голография ЭКСПО-2004". 2004. с.71.

2. Elgay, Penbe. Non-contact laser surface profilometry. Masters Abstracts International, 33 (1995), 5, p. 1447

3. G.Binning, H. Rhorer, Gh. Gfrber and Weibel Phys.Rev.Lett. 49 (1982) p. 57.

4. G.Binning, Ch. Gerber, C.F. Quate. Phys.Rev.Lett.56 (1986) p. 930.

5. B.A. Быков, Б.К. Медведев, Д.Ю. Соколов, В.В. Лосев, ЗАО НТ-МТД. Мультимодовый сверхвысоковакуумный СЗМ СОЛВЕР-UHV. // Материалы всероссийского совещания "Зондовая микроскопия -1999". Нижний Новгород, 10-13 марта 1999г, ИФН РАН, стр. 320326.

6. М. Noguchi and S. Nayar. Microscopic shape from Focus using Active Illumination 12th I APR Int. Conf. on Patt. Recog. Vol. 1, IEEE, pp. 147152,1994

7. M. Noguchi and S. K. Nayar, Recovering Microscopic Shapes Using Focus Analysis and Active Illumination, Technical Report, CUCS-024-94, February 1994.

8. A. Pentland, T. Darell, M. Turk, W. Huang, A simple, real-time range camera, IEEE, Conf. Сотр. Vision a. Pattern Rec., pp. 256-261,1989.

9. Скворцов A.B. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне // Вычислительные методы и программирование, 3/2002, стр. 14-39.

10. M. Subbarao, G. Surya, Depth from Defocus: A Spatial Domain Approach, The Int. Jour, of Сотр. Vision-13(3), pp 271-294,1994.

11. Shree K. Nayar. Shape from Focus // Tech. Report, Carnegie Mellon University CMU-RI-TR-89-27, 1989

12. S. K. Nayar and Y. Nakagawa, Shape from Focus: An Effective Approach for Rough Surfaces, Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, pp. 218-225,1990

13. J. M. Tenenbaum, Accommodation in Computer Vision, Ph. D. Thesis, Stanford University, 1970.

14. Y. Xiong and S. A. Shafer, Depth from Focusing and Defocusing, Proc. CVPR, pp. 68-73, 1993.

15. R. G. Willson and S. A. Shafer, Modeling and calibration of automated zoom lenses, Technical Report CMU-RI-TR-94-03, The Robotics Institute, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA, January 1994.

16. Y. Xiong and S. A. Shafer, Moment and hypergeometric filters for high precision computation of focus, stereo and optical flow, Technical Report CMU-RI-TR-94-28, The Robotics Institute, Carnegie Mellon University, Pittsburg, PA, USA, September 1994.

17. Y. Xiong and S. A. Shafer, Variable window gabor filters and their use in focus and correspondence, Proc. of IEEE Conf. on Computer Vision and Pattern Recognition, pages 668-671, June 1994

18. J. Ens and P. Lawrence, A Matrix Based Method For Determining Depth From Focus, Proc. CVPR, pp. 600-606, 1991

19. A. Krishnan and N. Ahuja, Range Estimation From Focus Using a Non-frontal Imaging Camera, Proc. AAAI Conference, pp. 830-835, July, 1993.

20. M. Gokstorp, Computing depth from out-of-focus blur using a local frequency Representation, Proc. on Intl. Conf. on Patt. Recog., October 1994.

21. A. Gruss, S. Tada and T. Kanade, A vlsi smart sensor for fast range imaging, Proc. of ARPA Image Understanding Workshop, pages 977-986 April 1993

22. N. Asada, H. Fujiwara and T. Matsuyama, Edge and depth from focus, Proc. of Asian Conf. on Computer Vision, pages 83-86 November 1993

23. V. M. Bove, Jr. Entropy-based depth from focus, Journal of Optical Society of America A, 10: 561-566, April 1993

24. Shree K. Nayar, Masahiro Watanabe, Minori Noguchi. Real Time Focus Range Sensor. Tech. Report, Computer Science Columbia University CUCS-028-94,1994.

25. T. Darrell and K. Wohn Pyramid Based Depth from Focus, Proc. CVPR, pp. 504-509,1988

26. B.K.P. Horn Focusing MIT Artificial Intelligence Laboratory Memo No 160 May, 1968

27. R.A. Jarvis, Focus optimisation criteria for computer image processing, Microscope, Vol. 24, NO. 2, pp. 163-180, 1976.

28. J.F. Schlag, A.C. Sanderson, C.P. Neumann, EC. Wimberly, Implementation of automatic focusing algorithms for a computer vision system with camera connol, Carnegie Mellon University, CMU-RI-TR-83-14, August, 1983

29. G. Ligthart and F. Groen, A comparison of different autofocus algorithms, Proc. of International Conference on Pattern Recognition, pp. 597-600, 1982.

30. E. Krotkov, Exploratory visual sensing with an agile camera, Ph.D. Dissertation, TR-87-29, University of Pennsylvania, 1987.

31. A. Pentland, A new sense for depth of jeld, Proc. IJCAI, Los Angeles, pp, 988-994, August, 1985.

32. P. Grossmann, Depth from Focus, Pattern Recognition Letters, Vol. 5, pp. 63-69, 1987.

33. S. Inokuchi, K. Sato and F. Matsuda, Range imaging system for 3-d object recognition, Proc. of 7th Intl. Conf. on Pattern Recognition, pages 806808 July 1984

34. R. A. Jarvis, A perspective on range finding techniques for computer vision, IEEE Trans, on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 5(2): 122-139, March 1983.

35. E. Krotkov, Focusing, International Journal of Computer Vision, Vol. 1, pp. 223-237, 1987.

36. P. J. Besl, Range imaging sensors, Technical Report GMR-6090, General Motors Research Laboratories, March 1988

37. M. Subbarao, Direct Recovery of Depth Map 2: A New Robust Approach, Technical Report, 87-03, State University of New York, Stony Brook, 1987.

38. T. Ohta, K. Sugihara, and N. Sugie, A Method for Image Composition using Image Variance, Transactions of IECE, Vol. J66-D, No. 10, pp. 1245-1246.

39. K. Kaneda, Y. Wakasu, E. Nakamae, E. Tazawa, A Method ofPan-Focused and SrereoscopicDisplay Using a Series of Optical Microscopic Images, Roc. of Fourth Symposium on Image Sensing Technologies in Industry, pp. 189-194, June, 1988.

40. M. McGuire, W. Matusik, H. Pfister, J. F. Hughes, F. Durand, Defocus Video Matting, MITSUBISHI ELECTRIC RESEARCH LABORATORIES, TR2005-049 December 2005.

41. Y. Schechner and N. Kiryati. The optimal axial interval in estimating depth from defocus. In Proc. of the Intl. Conf. of Сотр. Vision, pages 843-848, 1993

42. Y. Y. Schechner and N. Kiryati, "Depth from defocus vs. Stereo: How different really are they?" Proc. ICPR, pp. 1784-1786 1998].

43. Murali Subbarao and Tse-Chung Wei. Depth from defocus and rapid autofocusing: A practical approach. In Proceedings of CVPR, pages 773776, 1992.

44. A. Mennucci and S. Soatto. On observing shape from defocused images. In Proc. of the Intl. Conf. on Image Analysis and Processing, pages 550555, 1999.

45. P. Favaro, M. Burger, and S. Soatto. Scene and motion reconstruction from defocused and motion-blurred images via anisotropic diffusion. In Proc. 8th European Conference on Computer Vision (ECCV'04), pages 257-269, Prague, May 2004.

46. Robert H. Webb "Confocal optical microscopy" Rep. Prog. Phys. 59 (1996) 427-471.

47. Minsky M. Memoir on inventing the confocal scanning microscope / Scanning. 1988. - Vol.10. - P.128-138

48. High-speed 1-frame/ms scanning confocal microscope with a microlens and Nipkow disks"/ T. Tanaami, S. Otsuki, N. Tomosada, Y. Kosugi, M. Shimizu, H. Ishida //Applied Optics. 2002. - Vol.41. - P.4704-4708.

49. Nakano A. Spinning-disk confocal microscopy a cutting-edge tool for imaging of membrane traffic //Cell. Struct. Funct. - 2002. - Vol.27, №5. -P.349-55.

50. Manfred Auer, Three-dimensional electron cryo-microscopy as a powerful structural tool in molecular medicine. J Mol Med (2000) 78:191-20251. «Практическая растровая электронная микроскопия» под ред. Дж. Гоулдстейна и X. Яковица. М.: Мир 1978.

51. Frank J Electron tomography three-dimensional imaging with the transmission electron microscope. Plenum, New York 1992.

52. DeRosier DJ, Klug A Reconstruction of three-dimensional structures from electron micrographs. Nature 217 (1968) pp. 130-134

53. Crowther RA, DeRosier DJ, Klug A The reconstruction of a three-dimensional structure from projections and its applications to electron microscopy. Proc R Soc bond A 317 (1970) pp. 319-340

54. M. Борн, Э. Вольф. Основы оптики М.: Наука, 1970, 856 с.

55. Введенский С. Захарченко А. Троицкий В. Измерения субмикронных размеров. Оптический микроскоп с некогерентным освещением. // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. 1/2005 стр. 59-61.

56. М.М. Мирошников Теоретические основы оптико-электронных приборов JL: Машиностроение 1983, 696 с.

57. Стейн И. Вейс Г. Гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974

58. Люстерник J1.A. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. школа, 1982.

59. Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений. В сб. "Математические методы исследования природных ресурсов Земли из Космоса". М.:Наука. 1984.

60. Pyt'ev Yu.P. Morphological Image Analysis. // Pattern Recognition and Image Analysis. 1993. V.3, No 1. pp. 19-28.

61. Пытьев Ю.П., Чуличков A.M. ЭВМ анализирует форму изображения. М.: Знание, 1988.

62. Чуличков А.И. Анализ изображений с точки зрения их формы // Синергетика. Вып. 4 М.: Изд-во МГУ, 2004

63. Пытьев Ю.П. Чуличков А.И. Морфологический анализ изображений. Комплекс «прибор+ЭВМ» и его возможности. Труды VII чтений по космонавтике, М. 1983

64. Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. и др. Морфологический метод в задаче идентификации объектов по их изображениям. В сб. Проблемы искусственного интеллекта и распознавания образов. Киев, 1984.

65. Пытьев Ю.П., Животников Г.С. Теоретико-вероятностные и теоретико-возможностные модели распознавания. Сравнительный анализ. // «Интеллектуальные системы», 2002, т. 6, вып. 1-4, сс. 6390.

66. Pyt'ev Yu. P. and Zhivotnikov G.S. On the Methods of Possibility Theory for Morphological Image Analysis. // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 14, No. 1 , 2004, pp. 60-71.

67. Чуличков А.И. Анализ и распознавание формы сигнала, искаженного линейным преобразованием. Математические методы распознавания образов, Рига, 1989.

68. Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений. Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. 5. С. 1061-1064.

69. Пытьев Ю.П., Животников Г.С. Теоретико-вероятностные и теоретико-возможностные модели распознавания. Сравнительный анализ. // «Интеллектуальные системы», 2001, N 6, сс. 63-90.

70. Животников Г.С. О задаче оптимального оценивания параметров объекта по его изображению. //Математические методы распознавания образов. Доклады XI Всероссийской конференции. М., 2003.

71. Пытьев Ю.П., Семин А.В., Успенский И.О. О быстром алгоритме морфологического анализа. //Математические методы распознавания образов. Доклады X Всероссийской конференции. М., 2001.

72. Богданов И.В., Чуличков А.И. Применение локального морфологического фильтра при анализе изображений. // 6-я Международная конференция "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" РОАИ-6-2002. В.Новгород, 2002г. С.71-74.

73. Устинин Д.М. Определение координат маркерных знаков методами морфологического анализа изображений. // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001», тезисы докладов, Москва, 2001, Стр. 78.

74. Устинин Д.М., Чуличков А.И. Применение морфологического анализа в растровой электронной микроскопии. // Десятая международная конференция «Математика, Компьютер, Образование», Пущино, 2003, тезисы докладов, Москва-Ижевск, 2003, стр. 171.

75. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

76. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества. М.: Наука, 1985

77. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.:Наука, 1980.-518 С.

78. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. □ М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

79. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. М.:Наука, 1984.

80. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979.

81. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.

82. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента. М.: Изд-во МГУ. 1990.

83. Чуличков А.И. Основы теории измерительно вычислитьельных систем. Стохастические линейные измерительно-вычислительные системы. // Тамбов: Изд-во Тамбовского гос. тех. ун-та. 2000. 140с.

84. Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. Основы теории измерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения. // Измерительная техника. N 2, 1998, с.3-10

85. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во МГУ. 1983.

86. Захарченко А. Построение рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа // Электроника: Наука Технология Бизнес, 8/2005, стр. 14-16.

87. Захарченко А.А. Морфологические методы анализа многофокусных изображений. // Труды 12-й Международной конференции «Математические методы распознавания образов» ММРО-12, Москва 2005, ВЦ РАН, с. 335.

88. Захарченко А.А., Чуличков А.И. "О морфологических методах анализа многофокусных изображений" // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006 №5 с. 3.

89. Захарченко А.А., Чуличков А.И. "Точность оценки и адекватность модели при минимаксном оценивании параметров формы сигнала" // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006 №6 с. 11.

90. Захарченко А.А., Чуличков А.И. Морфологические методы анализа многофокусных изображений 13-я Междунар. конф. «Математика. Компьютер. Образование.» Дубна, 2006, с. 141

91. Bryce Е. Bayer. Color imaging array. U.S. Patent 3,971,065, July 1976.

92. H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.

93. Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет.//Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933.

94. Bracewell, R. "The Sampling of Replicating Symbol Ш(х,у)." In The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill,pp. 77-79 and 85,1999.