автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модифицированное равновесие как инструмент анализа лабораторных рынков

На правах рукописи

Модифицированное равновесие как инструмент анализа лабораторных рынков

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 ЗЯНВ2011

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010

004618906

Работа выполнена на кафедре анализа систем и решений Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент МЕНЬШИКОВ Иван Станиславович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Государственный университет — Высшая школа экономики

диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ).

доктор физико-математических наук, профессор ВАСИН Александр Алексеевич

кандидат физико-математических наук ХОХЛОВ Михаил Александрович

Защита состоится

2010 года в час. на заседании

Автореферат разослан

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федько О.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Экспериментальная экономика — сравнительно молодой раздел экономической науки, основанный на широком использовании математики и информационно-вычислительных систем. Экономический лабораторный эксперимент уже завоевал широкое признание в качестве одного из важнейших методов исследования. Лабораторные эксперименты дают возможность получить представление о типичном поведении экономических агентов в тщательно контролируемых условиях лаборатории, что позволяет проверить адекватность и условия применимости моделей, теорий и гипотез. Американский экономист Вернон Смит получил в 2002 г. Нобелевскую премию по экономике за «лабораторные эксперименты как средство в эмпирическом экономическом анализе, в особенности в анализе альтернативных рыночных механизмов».

В данной работе исследуется равновесие Нэша — одна из наиболее широко используемых теоретических конструкций для разработки математических моделей в экономике. Например, почти все разработки в области несовершенной отраслевой конкуренции основаны на теоретико-игровом анализе. С использованием равновесия Нэша в качестве центральной концепции теория игр все более широко применяется в других дисциплинах помимо экономики, таких как право, биология и политические науки. Однако многие исследователи находятся в сложном положении при использовании строгого теоретико-игрового подхода. В частности, в последнее время получили широкое распространение аномалии, наблюдаемые в лабораторных экспериментах (Kagel и Roth, 1995; Goeree и Holt, 2001). Особенно силен скептицизм к крайней рациональности участников взаимодействия в психологии, где экспериментальные методы являются центральными. У представителей не экспериментальных наук (например, политологов) возникают сомнения относительно допущений о крайней рациональности в подходах рационального выбора, лежащих в основе практически всего «формального» моделиро-

вания политического поведения.

В связи с этим в данной работе вводится концепция модифицированного равновесия, основанная на предположении, что сам принцип Нэша о наилучшем ответе на стратегии остальных игроков остается верным, но каждый игрок имеет неточную информацию о стратегиях остальных игроков, выраженную в вероятностной форме. Это влечет модификацию функции выигрыша: в действия всех других игроков добавляется случайная ошибка. Таким образом, ищется оптимальный ответ на «модифицированные действия» других игроков. Неподвижная точка подобного процесса будет равновесием в модифицированной игре. Если же уменьшать ошибку, то набор стратегий, к которому сойдутся равновесия в модифицированных играх, в работе назван модифицированным равновесием.

Цели диссертационной работы

Целями диссертации является разработка концепции модифицированного равновесия и построение математической модели, основанной на данной концепции, создание библиотеки программ для комплексного исследования поведения участников аукционных и сетевых игр, а также интерпретация результатов лабораторных экспериментов, имитирующих реальные экономические ситуации.

Методы исследования

Определение модифицированного равновесия опирается на концепции равновесий в теории игр и экспериментальной экономике, таких как точное равновесие (perfect equilibrium), истинное равновесие (proper equilibrium), квантильное равновесие (quantal response equilibrium, QRE).

Экспериментальные данные были получены с помощью как лабораторных экспериментов, проводимых в Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ, так и опубликованных результатов лабораторных экспериментов, проведенных за рубежом.

Для численного нахождения значения модифицированного равновесия для сетевых рынков использовались методы вычислительной математики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Концепция модифицированного равновесия.

2. Математическая модель, основанная на концепции модифицированного равновесия.

3. Комплексное исследование свойств модифицированного равновесия.

4. Результаты анализа данных лабораторных экспериментов для аукционных и сетевых игр и их соответствия равновесиям в модифицированных играх.

Научная новизна работы

1. Для игр с выпуклыми компактными множествами действий игроков предложена концепция модифицированного равновесия, которую лишь до некоторой степени можно считать обобщением точного равновесия. Построена математическая модель, основанная на данной концепции.

2. Применение введенной концепции для класса аукционных и сетевых игр показало, что для этих игр модифицированное равновесие не обладает недостатками равновесия Нэша как инструмента прогноза поведения: равновесие в модифицированной игре единственно и согласуется как со здравым смыслом, так и с лабораторными экспериментами.

3. В сравнении с квантильным равновесием (ОКЕ), которое также лишено недостатков равновесия Нэша, поиск модифицированного равновесия является более простой задачей. Даже для простейших игр с компактными множествами действий (¿ЯЕ определяется функцией распределения, поиск которой сводится к решению дифференциального уравнения. Данная задача становится еще более сложной, если рассмотреть байесовскую игру с неполной информацией. Поиск же модифицированного равновесия проще: для простых аукционных игр он заключается в решении алгебраического уравнения, для байесовской игры — дифференциального уравнения.

Практическая ценность работы

Предложенное модифицированное равновесие может быть применено для исследования практически важных задач теории игр и экспериментальной экономики, таких как аукционные игры, сетевые аукционы и других игр, у которых множества действий игроков — выпуклые компакты.

Разработанный комплекс программ для проведения лабораторных экспериментов вошел в цикл лабораторных работ по курсу «Экспериментальная экономика», который читается студентам факультета управления и прикладной математики МФТИ.

Апробация и публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе одна работа [1] — в журнале из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ. Результаты диссертационного исследования докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на научных конференциях и семинарах:

• 13-я Всероссийская конференция «Математические методы распознавания образов» (Ленинградская область, г. Зеленогорск, 2007);

• 51-я, 52-я, 53-я научные конференции Московского физико-технического института (Москва-Долгопрудный, 2008,2009,2010);

• Семинар лаборатории экспериментальной экономики МФТИ (Москва, 2007, 2008,2009,2010)

• Семинар отдела «Математическое моделирование экономических систем» ВЦ РАН (Москва, 2010);

• Общемосковский семинар «Экспертные оценки и анализ данных» (Москва, ИПУ РАН, 2010);

• Семинар лаборатории анализа выбора и принятия решений Высшей школы экономики (Москва, 2010);

• Научный семинар «Математическая экономика» в ЦЭМИ РАН (Москва, 2010);

• VI Московская международная конференция по Исследованию Операций (Москва, МГУ, 2010).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников, включающего 43 наименования. Общий объем работы составляет 113 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, описаны научная новизна полученных результатов, структура диссертации и кратко изложено содержание работы.

В первой главе вводится определение модифицированного равновесия,

дастся обзор существующих понятий равновесия из теории игр и производится сравнение этих понятий с модифицированным равновесием.

Рассматриваются игры в нормальной форме 0 = {л^(С,)(еЛГ,(нДбЛ,}, в которых множества чистых стратегий игроков С, — непустые выпуклые компактные подмножества конечномерных евклидовых пространств.

Считаем, что каждый игрок при формировании ответных действий знает стратегии остальных игроков с точностью до некоторой ошибки. Обозначим ошибки вектором случайных величин % = (£,),бЛ, ■ Каждый игрок / предполагает, что все остальные игроки у -Ф- / реализуют действие с] + ^. Тогда модифицированными функциями выигрыша назовем й/(с,,с_,)= Е^ и, (с,,с_(+ £_,), где мате-

магическое ожидание берется по ошибкам ¿¡_, остальных игроков. Модифицированной игрой назовем игру Gs = |л',(сД лг ,(*'/) д:|, которая получается из игры

G заменой функций выигрыша модифицированными функциями выигрыша.

Определение. Пусть имеется последовательность случайных ошибок

Т = (?™)геЛ,> для которых для Vf>0 вероятность Р^1"]>£•)-> 0 при т-± со,

для каждого т существует равновесие Нэша S" в модифицированной игре Gm, и последовательность равновесий |S"J сходится, тогда ее предел S будем называть модифицированным равновесием.

Далее в данной главе производится сравнение модифицированного равновесия с концепциями равновесий из теории игр.

В отличие от точного равновесия (perfect equilibrium) и истинного равновесия (proper equilibrium) модифицированное равновесие вводится для игр, у которых множества действий игроков — выпуклые компакты. В отличие от этих равновесий в модифицированном равновесии ошибка ожидается почти всегда, но сама величина ошибки мала. Подобное возможно, т.к. модифицированное равновесие вводится для игр с выпуклыми множествами действий. Если же модифицированное равновесие рассмотреть для смешанного расширения дискретной игры, то в этой игре оно совпадет с точным равновесием.

В сравнении с квантильным равновесием (QRE) можно сказать, что модифицированное равновесие относится к тому же классу «поведенческих равновесий». Но оно существенно отличается от него в первую очередь тем, что модифицированное равновесие основано на понятии близости стратегий, то есть «ошибка» добавляется к самим стратегиям в отличие от QRE, где «ошибка» добавляется к значению функции выигрыша игрока.

QRE первоначально вводилось для игр с дискретным множеством действий. Обобщение QRE на случай игр с выпуклыми компактными множествами действий приводит к необходимости даже в простых играх искать решения дифференциального уравнения. Данная задача становится еще более сложной, если рас-

смотреть байесовскую игру с приватной информацией, в которой стратегии — это функции, отображающие тип игрока на множество действий. Поиск же модифицированного равновесия является более простой задачей, для простых аукционных игр он заключается в поиске решения алгебраического уравнения, для байесовской игры — в поиске решения дифференциального уравнения.

Во второй главе исследуются основные математические свойства модифицированного равновесия.

Достаточные условия того, что при определенных условиях модифицированное равновесие является равновесием Нэша, дает

Теорема 1. Есливигре & = {м,(С1).еК,(и1)1е111} для функций выигрыша каждого игрока и, (х) выполнены следующие условия:

1. \/х е (С, ) функция выигрыша и, (х) полунепрерывна сверху,

2. \/хе(С,).сУ и \/е>0, найдется те С, такой что функция выигрыша / -го игрока непрерывна в точке (г,х,) и |и, (х) - и, (г,х_()| < е,

то модифицированное равновесие будет равновесием Нэша.

Приводятся доказательство теоремы и примеры, показывающие, что оба условия теоремы существенны. Рассмотрим пример игры, для которой не выполнено первое условие теоремы (функции выигрыша не везде непрерывны сверху), в этой игре существует модифицированное равновесие, но оно не является равновесием Нэша.

Пример 1. Двойной аукцион без равенства заявок. Игроки (покупатель (Б) и продавец (Б)) одновременно подают заявки — числа цв е [0,1]. Функции выигрышей участников определяются так:

0, если цк ...<7В Яч +<7в

, если < <74

если д5 <дв

0, если ..

В этой игре существует единственное равновесие Нэша = 1, £/*, = 0, однако имеется модифицированное равновесие д" = дЦ = Уг.

Рассматривается пример, когда первое условие про непрерывность функций выигрыша игроков выполнено, но не выполнено второе.

Пример 2. Почти совпадающие интересы. Два игрока 1 и 2 выбирают действия: а: е R. Функции выигрышей:

\-(а\+агЛ, если а,*l.aj^O , 2 п

[ 1, если а, =1, a1 =0

В этой игре существует единственное равновесие Нэша а,* =1, а2 = 0 и имеется единственное модифицированное равновесие а,

= 0,of =0.

Приводится поиск модифицированного равновесия. Для этого берется некоторая ошибка 4 = с непрерывными функциями плотности распределения вероятности для ^ и 4г : fx и /2, соответственно. Модифицированные функции выигрыша записываются следующим образом:

«1 (Ö1>«2) = J"i + г)■ /2 (r)dr = -я,2 - J(a2 + г)2 • /2(r)dr.

Для второго игрока модифицированная функция выигрыша получается такой же. Если af, af — равновесие в модифицированной игре, тогда:

й, (af, aj ).. .шах н, [а, а\ ) = шах (-а2 - J(af + г)2 • /2 (г) d г j |к2 (af, af ).. .шах й2 (af, б) = шах [-Ъ2 - J(af + rf ■ / (г) drj

Отсюда получается, что единственное равновесие в модифицированной игре: af = af = 0. Значит, модифицированное равновесие тоже единственное и такое же: af = 0 и а^ = 0, и оно отлично от равновесия Нэша a' = 1, а2 = 0.

Справедлива теорема существования модифицированного равновесия для выпуклых игр.

Теорема 2. Если в игре G = | Л', (С, ) , (и, )|еД1 ] функции выигрыша к, (с) непрерывны по с и вогнуты по сп то тогда в каждой модифицированной игре Cr существует равновесие Нэша, а в игре G существует модифицированное равновесие.

Формулируются достаточные условия того, что равновесие Нэша является модифицированным равновесием.

Теорема 3. Если с — строгое равновесие Нэша в игре С = с К.).еЛ, ,(ч),сУ}' 11 для V/е N функции выигрыша ы,(с) являются дос-

ЭЧ(с')

таточно гладкгши в точке с и матрица V =

3с, ■ дс1

невырожденная и

ЭЧ(с)

--—- < О, то с будет модифицированным равновесием.

дс1 ■ дс(

Приводятся доказательство последних двух теорем и примеры, показывающие, что условия теоремы 3 существенны.

Пример 3. Игра двух лиц, С, = Я.

М1 (сРсг) = + с2 ■ С1 «2 (С1,с2) = -с] + (с, + 2) ■ с2

В этой игре равновесие Нэша-— (2;2), но для любой несмещенной ошибки в модифицированной игре нет равновесия Нэша в чистых стратегиях, а значит, и нет модифицированного равновесия.

В данной игре оптимальные ответы: с\ = /2с22, с\ +1 имеют единственную точку пересечения (2; 2), в которой их графики касаются друг друга.

При добавлении несмещенной ошибку в модифицированной игре оптимальный ответ первого игрока изменится: с," = ^(с^ + с/), а второго игрока останется тем же с2 = Угсх +1. В результате, оптимальные ответы перестают пересекаться даже при маленьких ошибках, т.е. в любой модифицированной игре не существует равновесия Нэша, а значит, в самой игре нет модифицированного равновесия.

В третьей главе модифицированное равновесие применяется к различным аукционным играм. Для игры строится однопараметрическая математическая модель, основанная на концепции равновесия в модифицированной игре, в которой

11

ошибка берется несмещенной нормально распределенной, а параметром является дисперсия. Далее по экспериментальным данным, подбирается параметр модели.

Вначале рассматривается класс игр, в которых выигрыш игрока зависит от того, будет ли его заявка больше, чем у другого игрока или нет. Игра двух лиц, в которых действиями игроков являются отрезки: а, е [0,1]. Выигрыш игрока, когда его действие меньше действия другого игрока, равен и11(я) = и1(а„а_1). И наоборот, когда больше— г/м(а) = «н(о1,а_,.). Такие игры в работе называются аукционными.

Далее рассматриваются аукционные игры с функциями выигрыша определенного вида: = + и ит(а) = «//(«,) + Рн)■

Берется некоторая ошибка £ с функцией плотности вероятности (г) и модифицированные функции выигрыша для данной игры записываются так:

] а а1-а1

Хотя функции выигрыша в исходной игре разрывные, модифицированные функции выигрыша оказываются гладкими и достаточно хорошими для того, чтобы равновесие Нэша в модифицированной игре существовало и было единственно. Точнее, верна следующая теорема.

Теорема 4. В аукционной игре С = | Л', (С,. > в которой функции вы-

, ч к, (а) = ссь (а,) + Д. (я,), если а, < а} игрыша игроков заданы: м, (а] - <1 , а функции

[«я, (а) = «„ {а, )+Р„{а,), если а, > 0]

Р^Рн —непрерывные, а1,ан —гладкие, ид(а,а) = мя(а,а)-иДа,а) и а) (а) не возрастают, а ан (а) не убывает. В данной игре существует равновесие Нэша в модифицированной игре. Для ошибки с симметричной функцией плотности распределения равновесие единственное и симметричное.

Равновесие находится следующим образом.

Если ид(0,0)/{ (0) + or¿(0) J/, (r)dr<0, то равновесие Нэша в модифициро-

0

ванной игре соответствует точке а = О, и оно единственное.

i

Если ui(0,0)f((0) + a'f/(0)ffí(r)dr>0, то равновесие Нэша в модифициро-

о

ванной игре соответствует точке а = 1, и оно единственное.

В остальных случаях существует точка а, в которой уравнение

1-я О

0 = ид(а,а)(О) + aL(a) j/f(r)dr + a^(a) |/{(r)dr имеет решение, которое яв-

0 -а

ляется единственным равновесием Нэша в модифицированной игре.

Далее в работе рассматриваются следующие аукционные игры (в скобках приведены работы, в которых приводятся результаты лабораторных экспериментов по данным играм):

• Дилемма путешественника, Traveler's Dilemma (Capra, 1999)

• Координационная игра по минимизации затрат, Minimum-effort Coordination Game (Goeree и Holt, 1999)

• Пространственная конкуренция, Spatial Competition

• Модель Бертрана, Bertrand Competition in a Procurement Auction (Duf-wenberg и Gneezy, 1998)

• Модель конкуренции фирм при наличии лояльности у покупателей, Imperfect Price Competition with Meet-or-Release Clause (Capra, 2000)

• Игра компромиссов, The Compromise Game (Carrillo и Palfrey, 2006)

В данных играх равновесие Нэша обладает рядом недостатков, которых нет у равновесия в модифицированной игре:

• В некоторых играх имеется бесконечно много равновесий Нэша.

• В некоторых — равновесие Нэша противоречит здравому смыслу и лабораторным экспериментам.

• В других — равновесие Нэша не зависит от параметров, определяющих игру, что также противоречит здравому смыслу и лабораторным экспериментам.

Равновесие в модифицированной игре не обладает данными недостатками.

Рассмотрим первую игру Дилемма Путешественника:

Пример 4. Каждый из двух игроков самостоятельно выбирает сумму от А до В долларов, которую он считает справедливой компенсацией морального ущерба от задержки рейса. Обоим игрокам выплачивается метшая из выбранных ими сумм. Игрок, выбравший большую сумму, передает игроку, выбравшему меньшую сумму, /? долларов в виде штрафа за жадность.

Равновесие Нэша в этой игре единственно и совпадает со скромными заявками в размере А, в то время как социальное поведение диктует выбор максимальных заявок для обоих участников. Неправдоподобность прогнозирования на основе равновесия Нэша базируется на том, что даже малые значения штрафа/вознаграждения могут привести к результату, минимизирующему суммарный и индивидуальный выигрыш игроков. Действительно, равновесие Нэша не зависит от размера штрафа, однако интуиция подсказывает нам, что поведение игроков должно быть близким к равновесию Нэша только при высоких значениях штрафа и быть близким к социальному поведению при уменьшении штрафа практически до нуля.

Данное интуитивное предположение подтвердили лабораторные эксперименты. Поведение, близкое к равновесию Нэша, наблюдалось в лабораторных экспериментах только при крупных штрафах Я. При малых штрафах участники эксперимента тяготели к максимальным заявкам В. Объясним этот эффект зависимости исхода игры ДП от величины штрафа с помощью модификации принципа Нэша о наилучшем ответе.

200 180

1 160

(К

та

о

к 140

к

Il20 100 80

О 10 20 30 40 50 60 70 80

Штраф R

Рис. 1. Среднее значение заявок в экспериментах и модифицированное

равновесие

В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ со студентами были проведены эксперименты, повторяющие эксперименты проведенные в Вирджинском университете. Для проведения экспериментов был написан комплекс программ с помощью системы Z-tree, разработанной в университете Цюриха. Результаты проведенных экспериментов подтвердили на качественном уровне актуальность модифицированного равновесия. В экспериментах брались следующие параметры: Л = 80; В-200; Re {5,10,20,25,50,80}. Для каждого значения штрафа рассчитывалось равновесие в модифицированной игре. Дисперсия для нормально распределенной ошибки подбиралась максимизацией функции правдоподобия для каждого значения штрафа R. Результаты экспериментов представлены на рис. 1, из которого видно, что при маленьких значениях штрафа R е {5,10,20,25} действия игроков сильно отличаются от равновесия Нэша, а равновесие в модифицированной игре более корректно описывает поведение игроков, близкое к социальному поведению.

Как видно, поведение игроков сильно различается в играх с разными значениями параметра R, хотя равновесие Нэша для исходной игры не зависит от величины штрафа R. Модифицированное равновесие позволяет описать данную за-

+ Среднее заявок в эксперименте О Среднее в равновесии в модифицированной игре

О .

г.

¿ <

|

висимость. С увеличением R равновесия в модифицированных играх уменьшаются, также как и средние действия игроков.

Пример 5. Координационная игра. Два игрока делают вклад в общее дело. Эффект от него определяется по минимальному из вкладов, т.е. выигрыш игрока записывается в виде и, (а,, а2) = min (fl,, а2) - с ■ at., где 0 < с < 1.

В данной игре бесконечно много равновесий Нэша. Любая пара стратегий (а; а) является равновесием Нэша. Множество равновесий Нэша не зависит от параметра с. Согласно экспериментам, проведенным Goeree и Holt, в которых заявки были ограничены отрезком [110,170], при увеличение затрат с с 0.25 до 0.75 наблюдалось снижение средних заявок со 154 до 126.

Равновесие в модифицированной игре лучше описывает экспериментальные данные, оно единственно и убывает с ростом затрат с.

Пример 6. Аукцион Бертрана. N продавцов подают заявку на продажу единицы товара. Сделка произойдет только с одним из них, назначившим меньшую цену. Его выигрыш будет равен цене, по которой он продал товар. Выигрыш остальных игроков будет нулевым.

Равновесие Нэша не зависит от количества игроков и согласно ему цена должна стремиться к издержкам (в нашем случае к нулю) даже в случае игры с двумя продавцами. В лабораторных экспериментах, проведенных Dufwenberg и Gneezy, в которых цены выбирались из отрезка [2,100], получены следующие результаты:

Количество продавцов JV = 2 JV = 3 II

Средние цены продаж, наблюдаемые в экспериментах 26.4 19.0 15.2

Данная зависимость также описывается с помощью равновесия в модифицированной игре.

Пример 7. Двойной аукцион. N = {1,2} а, е[0,1]

f 0, если я, > аг

1 ' ^-,еслнв,<а2

О, если а, > а2 1 Д1+а2

1 —!--, если а, < а,

2

В данной игре бесконечно много равновесий Нэша. Но равновесие в модифицированной игре единственное. Оно имеет следующий вид:

ах = I_V-i/ln2^-<?(л/</), e2 + V-Jln+ O(V^)

А само модифицированное равновесие симметрично а, = а2 = i, что соответствует интуиции для симметричной игры. Сетевые рынки.

Характерной особенностью сетевого рынка является отсутствие возможности у продавца и покупателя взаимодействовать друг с другом непосредственно, а только через транспортную сеть. Транспортная сеть представляет ориентированный граф, в вершинах которого расположены продавцы и покупатели, ребра соответствуют третьему типу агентов — транспортировщикам, а направление показывает, в какую сторону может передаваться продукт.

1. Покупатель (Buyer) хочет приобрести N единиц продукта на рынке для конечного использования. Он обладает некоторыми выкупными стоимостями товара v,,...,viV, и выигрыш его в случае приобретения к>0 единиц товара

к

равняется Пл = - д"), где pf - это цена, по которой была куплена i-я ¡-1

единица товара. Если покупатель не приобрел продукт, то его выигрыш равен нулю. Выкупная стоимость товара является случайной величиной, которая реализуется в момент начала аукциона. Только покупатель знает реализации выкупных стоимостей. Другим участникам известно распределение.

2. Продавец (Seller) обладает N единицами неделимого продукта и готов продать их на рынке. Издержки продавца: Cf,...,Cf,. Прибыль в случае продажи

к

к>0 единиц, равна -Cf)s где pf — цена, по которой была прода-

/=1

на i-я единица товара. В случае если продавец ничего не продал, его выигрыш равен нулю.

3. Транспортировщик (Transporter) может доставить N единиц товара из одной вершины в другую. Издержки за транспортировку: C{,...,CTN. Прибыль при

к

транспортировке к единиц равна Пг = ^{pj -Cf) > гДе f! — цена транспоры

тировки из одной вершины в другую. В случае если транспортировщик ничего не перевозит, то выигрыш его равен нулю.

Опишем механизм заключения сделки. Все участники независимо друг от друга выставляют заявки: продавец на каждую единицу товара выставляет величину, за которую он готов ее продать; транспортировщик на каждую единицу товара, которую он может перевезти, выставляет величину, за которую он готов это сделать; покупатель на каждую единицу, которую он может купить, выставляет максимальную цену, за которую он еще готов купить.

Для расчета равновесия в модифицированных играх был разработан комплекс программ, использующий следующий алгоритм для поиска модифицированного равновесия.

1. Определяем распределение ошибки £,.

2. Берем некоторые начальные условия для заявок: Q°Pj( ),Qs{ ), <2? ( )-

3. Текущая итерация и := 0.

4. Ищется оптимальный ответ Qs.( ) на стратегии других игроков Q"T( ), Q"B( ) в модифицированной игре, т.е. Qs( ):=argmax5|(gs( ),Q"( )>бв( ))•

?s( )

Ищется оптимальный ответ QT() на стратегии других игроков Q"( ),Qg( ) в модифицированной игре, т.е. QT( ):= argmaXHf (gj( ),<7Г( )>вИ( ))•

Чт{ )

Ищется оптимальный ответ QB( ) на стратегии других игроков Q"( ), Qt( ) в модифицированной игре: QB( ):=argmaxM|(gs( ),g"( ),qB( )).

Ча()

5. Приближение на следующей итерации определяется как

ег( );=&( )■«+&( HI-«), &Л )-«+е?( )•(!-«)'

ЙГ'( )==&( )•« + «( )■(!-«)•

6. п:=п+1.

7. Если или или то T0™a пеРе" ходим на 4-ый шаг.

8. Если мы дошли до этого шага, то решение для данной ошибки <f найдено с точностью о.

Далее берется несмещенная нормально распределенная ошибка с дисперсией d. Были проведены вычислительные эксперименты, которые показали, что независимо от начальных условий алгоритм сходится к одному и тому же равновесию.

Пример 8. STB. Простейший сетевой аукцион.

о-—

{n = 1,Cs s [0;20]) В (,V = 1, ve [30;100])

После того, как поданы все заявки, определяется следующая величина: A-QB- Qs - О,. Если она неотрицательна: Л ...0, т.е. покупатель готов заплатить за товар больше, чем в сумме просят транспортировщик и продавец, то сделка заключается В противном случае сделка не происходит.

В случае заключения сделки (A...Q) цены определяются следующим образом: PB=QB-A/3, Ps = Qs+A/3, PT = QT + А/3.

В данной игре существует бесконечно много равновесий Байеса-Нэша следующего вида:

[С5, если Су > <2$ [С7, если Ст > (¿т

Показывается, что (^{Ст), йв(v) являются равновесием Байеса-

Нэша для любых <21, 2я> удовлетворяющих следующему условию:

В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ с помощью разработанного комплекса программ для системы были проведены эксперименты со студентами.

На графиках рис. 2 - рис. 3 (график для заявок транспортировщика не приводятся, т.к. он схож с графиком заявок продавца) приведены равновесия для модифицированной игры при = 9, с1т =6, с1в == 9 (кривые на графиках) и поведение игроков в экспериментах (точки на графиках). Значение с1 было взято примерно

равным дисперсии заявок игроков в проведенных экспериментах.

« ---------------------------------------------------------------------- ----------

3530 25 О 20 15 Ю 5 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

С

Рис. 2. Стратегии продавца и заявки участников

£)в,если у>де V, если V < 2а

Рис. 3. Стратегии покупателя и заявки участников На рис. 4 приведены два распределения: нормальное распределение (БО и эмпирическое распределение разности заявок игроков и заявок согласно равновесию в модифицированной игре (Р1). Чем ближе две кривые, тем более схожи заявки игроков и «зашумленные» заявки в равновесии модифицированной игры. Графики для транспортировщика и продавца аналогичные и здесь не приводятся. Из графика видно, что поведение игроков неплохо согласуется с поведением в рав-

Пример 9. TRUE

Л

(2,10UT (6,L0) .. T (6,20). S (2,20) S (4,60) В (2,140) В (6,200)

В данной игре бесконечно много равновесий Нэша. Но равновесие в модифицированной игре единственно.

Т TR R и UE Е

Равновесие в модифицированной игре 53 48 103 101 59 168

Средние заявки в эксперименте 64 40 104 107 55 165

Были проведены эксперименты в Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ. Результаты одного из них приводятся в таблице вместе с рассчитанным равновесием в модифицированной игре. Равновесие в модифицированной игре качественно согласуется с экспериментальными данными.

В заключении изложены основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Введена новая концепция равновесия для игр с выпуклыми и компактными множествами действий -— модифицированное равновесие.

2. Установлены и доказаны свойства модифицированного равновесия:

• модифицированное равновесие является равновесием Нэша для ряда игр с разрывными функциями выигрыша специального вида;

• достаточные условия существования модифицированного равновесия.

3. С помощью концепции и математической модели модифицированного равновесия проинтерпретированы результаты проведенных лабораторных экспериментов для аукционных и сетевых игр. Подтверждена целесообразность введения модифицированного равновесия.

4. На основании предложенной математической модели разработаны алгоритм и комплекс программ для проведения вычислительных экспериментов, ими-

тирующих поведение экономических агентов в сетевых играх.

5. Разработан комплекс программ для проведения лабораторных экспериментов, результаты которых используются при исследовании поведения участников аукционных и сетевых игр.

Список публикаций автора по теме диссертации:

1) Яминов Р.И. Модифицированное равновесие и его свойства // Труды Московского физико-технического института (государственного университета) — М., 2010. — Т.2. № 3. — С. 96-114.

2) Яминов Р.И. Модифицированное равновесие для сетевого аукциона STB // Сборник научных трудов МФТИ «Информационные технологии: модели и методы». — М., 2010. — С. 73-83.

3) Яминов Р.И. Модифицированное равновесие в лабораторных сетевых рынках // Математические методы распознавания образов. Доклады 13-й Всероссийской конференции. —М., 2007 — С. 564-567.

4) Яминов Р.И. Модифицированное равновесие в лабораторных сетевых рынках // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ, 2008. — Т.1. — С. 70-73.

5) Яминов Р.И. Свойства модифицированного равновесия // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ,

2009. — Т1. — С. 100-102.

6) Яминов Р.И. Модифицированное равновесие и его свойства // Труды VI Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2010). — М.: МАКС Пресс, 2010. — С. 359-361.

7) Яминов Р.И. Свойства модифицированного равновесия // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ,

2010, — Т1. — С. 137-138.

ЯМИНОВ Ринат Ильгизович

Модифицированное равновесие как инструмент анализа лабораторных рынков

Автореферат

Подписано в печать: 12.11.2010

Заказ Ха 4504 Тираж - 90 экз. Печать трафаретная. Объем: 1 усл.п.л. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО РАВНОВЕСИЯ И СОПОСТАВЛЕНИЕ С ДРУГИМИ

РАВНОВЕСИЯМИ.

Определение модифицированного равновесия.

Математическая модель.

Сопоставление с другими равновесиями из теории игр и экспериментальной экономики.

Точное равновесие (trembling hand perfect equilibrium).

Квантильноеравновесие (quantal response equilibrium, ORE).

Модель когнитивной иерархии.

Агрегированное равновесие.

Слабое равновесие.

ГЛАВА 2. СВОЙСТВА МОДИФИЦИРОВАННОГО РАВНОВЕСИЯ.

Достаточные условия того, что модифицированное равновесие — равновесие Нэша.

Достаточное условие того, что равновесие Нэша является модифицированным равновесием.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО РАВНОВЕСИЯ.

Аукционные игры.

Дилемма путеъиественника (Traveler's Dillemma).

Координационная игра по минимизации затрат, Minimum-effort Coordination Game.

Пространственная конкуренция, Spatial Competition.

Модель Бертрана, Bertrand Competition in a Procurement Auction.

Модель конкуренции фирм при наличии лояльности у покупателей, Imperfect Price Competition with Meet-or-Release Clause.

Игра компромиссов, The Compromise Game.

Двойной аукцион.

Сетевые рынки.

STB. Простейший сетевой аукцион.

Сетевой аукцион TRUE.

Экспериментальная экономика — сравнительно молодой раздел экономической науки, основанный на широком использовании математики и информационно-вычислительных систем [1]. Экономический (лабораторный) эксперимент уже завоевал широкое признание в качестве одного из важнейших методов исследования. Лабораторный эксперимент представляет собой повторение экономической ситуации в контролируемых условиях лаборатории. Участниками эксперимента являются люди, которым объясняются правила моделируемой ситуации, и они стимулируются (мотивируются) таким образом, чтобы их стимулы соответствовали стимулам агентов из исходной экономической ситуации.

Лабораторные эксперименты позволяют получить представление о типичном поведении экономических агентов в тщательно контролируемых условиях лаборатории, что позволяет проверить адекватность и условия применимости моделей, теорий и гипотез. Американский экономист Верной Смит получил в 2002 г. Нобелевскую премию по экономике за «лабораторные эксперименты как средство в эмпирическом экономическом анализе, в особенности в анализе альтернативных рыночных механизмов».

В России одной из первых лабораторий экспериментальной экономики была лаборатория экспериментальной экономики, созданная под началом И.С. Меньшикова. Можно считать, что лаборатория берет свое начало в 1990 г., когда после конференции в университете Дюк, США, на которой выступали с лекциями по экспериментальной экономике Верной Смит и Чарльз Плотт, И. С. Меньшиковым были проведены первые эксперименты по Многопродуктовому двойному аукциону в Москве. Для проведения экспериментов была использована программа MUDA, разработанная по заказу Плотта в Лаборатории реактивного движения Калтеха (Калифорнийского Технологического института).

Позднее в 1991 г. на базе Академии народного хозяйства при Совете Министров СССР при поддержке ректора АНХ академика А.Г. Аганбегяна была открыта первая в стране специализированная лаборатория экспериментальной экономики, которую возглавила O.P. Меньшикова. В АНХ проводился учебный курс, в котором эксперименты были включены в качестве практических занятий. В 1991 г. в лаборатории была проведена серия экспериментов, разработанных совместно с Плоттом. Это были классические лабораторные рынки однородного товара, в которых взаимодействуют две группы участников: покупатели и продавцы. В начале эксперимента каждый покупатель получал в качестве приватных параметров значения своих выкупных стоимостей, а каждый продавец в качестве приватных параметров узнавал свои производственные затраты. Затем начинался процесс торга по правилам двойного аукциона, при помощи которого выявляется рыночная цена в каждой сделке. Купив единицу товара на лабораторном рынке по такой рыночной цене, покупатель в конце сессии мог сдать ее диспетчеру эксперимента по заранее известной ему выкупной стоимости. Разница стоимости и цены составляла выигрыш от покупки данной единицы. Аналогично продавец, продав единицу товара на рынке по некоторой цене, получал выигрыш, отняв от этой цены величину своих производственных затрат. Благодаря гранту Плотта участники имели прямую финансовую мотивацию. Им заранее объявлялся курс пересчета очков лабораторного рынка в рубли, которые выплачивались сразу по окончанию эксперимента.

Агрегированное поведение на этом рынке было хорошо известно по многочисленным экспериментам, проведенных к тому времени в лабораториях США. Это поведение характеризуется сходимостью к конкурентному равновесию, которое строится с помощью индуцированных в лаборатории функций спроса и предложения, основанных на выкупных стоимостях и затратах. Вопрос состоял в том, будут ли участники эксперимента в Москве демонстрировать такое рыночное поведение.

Анализ результатов [2] показал, что хотя в целом стремление к равновесию просматривается, однако скорость сходимости в серии экспериментов в Москве 1991—1992 гг. была существенно ниже, а амплитуда колебаний цены значительно выше, чем в аналогичных экспериментах с участниками из стран с рыночной экономикой. Эти отличия объяснялись отсутствием стереотипов рыночного поведения у большинства участников эксперимента в Москве. Среди участников экспериментов наблюдались две яркие группы. Участники первой группы обладали неправильными стереотипами и стремились заключить сделку быстрее других. Наличием участников первой группы, воспользовались участники второй группы, которые быстрее адаптировались, поняли что к чему и научились извлекать выигрыш из данной ситуации. Участникам первой группы понадобилось время, чтобы обучиться несложным фокусам рыночного поведения (по крайней мере, в рамках проводимых экспериментов).

В данных и в других многочисленных экспериментах наблюдается различия в поведении участников экспериментов на индивидуальном уровне. Хотя если рассматривать агрегированное поведение участников, то в среднем они действуют близко к оптимальному, в том смысле, что средние действия по данной игровой роли близки к оптимальным ответам на действия участников в других игровых ролях. Но при рассмотрении действий конкретных участников, наблюдается систематическое отклонение. Подобные расхождения индивидуальных поведений от агрегированного частично могут быть объяснены с помощью различий в психотипах участников. В частности, заведующей лабораторией О.Р. Меньшиковой в контакте с институтом психологии РАН были проведены психологические тестирования слушателей курса FAST. Было установлено, что типичный слушатель АНХ существенно отличается от типичного студента МФТИ или ВМК МГУ. Причем это различие проявляется не только в уровне подготовки и в возрасте, но и в ином психологическом типе личности. Более того, оказалось, что по результатам психологического тестирования можно сделать хороший прогноз, кто из слушателей окажется наиболее результативным в серии экспериментов по торговле на лабораторных финансовых рынках [3].

Значительный шаг в сторону систематического накопления опыта по поведению участников в лабораторных экспериментах был сделан в 2004 г., когда в МФТИ была создана Лаборатория экспериментальной экономики (ЛЭЭ), заведующим которой стал А.Н. Чабан. На базе ЛЭЭ был организован годовой курс лабораторных работ для студентов V—VI курсов ФУПМ. Параллельно была создана небольшая лаборатория в ВЦ РАН, которая позволяла конструировать новые эксперименты и проводить их отладку группой участников специального семинара. В результате были созданы уникальные условия, позволяющие совмещать исследования и преподавание, причем в форме активного участия студентов и аспирантов, как в самих экспериментах, так и в анализе их результатов, а также в разработке новых вариантов экспериментов.

В продолжение анализа поведения участников экспериментов на индивидуальном уровне в Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ был проведен ряд исследований, который выявил феномен прямой зависимости типа поведения участниках от типа его личности [4], [5].

Для более глубинного анализа зависимости поведения участников от психофизиологических характеристик Лаборатория экспериментальной экономики МФТИ была оснащена системой из пяти стабилографических кресел. Данные кресла позволяют измерять системные психофизиологические характеристики участников в процессе принятия решений [6]. Заказ на разработку этой системы для ОКБ «Ритм», Таганрог, был выполнен совместно со специалистами из института нейрохирургии им. Бурденко, в котором подобные кресла использовали для реабилитации пациентов, а также в прикладных исследованиях. С использованием полученных данных был обнаружен феномен двойственности процессов принятия решений и изменения функционального состояния участников лабораторных экспериментов. При этом отображение процесса ценообразования в динамике психофизиологических характеристик зависит от механизма взаимодействия (правил игры) и от типов личности участников эксперимента. Целью данных исследований является построение системы математических моделей для анализа данного феномена двойственности экономических и психофизиологических процессов [7]. Эти модели должны быть адекватны результатам лабораторных исследований, проводимых методами экспериментальной экономики [8].

Если не спускаться на уровень индивидуального поведения, то возникает задача анализа и описания коллективного (агрегированного) поведения всех участников. Данной проблемой в основном занимается теория игр -математическая теория принятия решений в конфликтных ситуациях [9].

Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны. Если имеется несколько конфликтующих сторон (лиц), каждая из которых принимает некоторое решение, определяемое заданным набором правил, и каждой из сторон известно возможное конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой из сторон платежами, то говорят, что имеет место игра.

Основной моделью конфликтной ситуации является игра в нормальной форме [10]:

N - множество участников или игроков;

- множество допустимых стратегий игрока /; ситуация игры, возникающая в результате выбора всеми игроками своих стратегий; и1 (с) - выигрыш игрока / в ситуации с.

Далее для краткости будем использовать следующие общепринятые в теории игр обозначения: с принимается равным следующему вектору (с15. .,сп);

С принимается равным С. = С{ х. х Сп; еЛ' сч вектор без / -го элемента {сх,.,с11,см,.,сп), а С(. = С.; г,с,) вектор в котором на г-ом месте стоит т (с1,.,см,г,с1+1,.,с/)).

Важнейший принцип принятия решений из теории игр равновесие Нэша.

Равновесие Нэша [11] в игре От называется набор стратегий сеС такой, что для каждого игрока / его стратегия с1 удовлетворяет условию: с,, е Агатахи1 (т1 ,сч), V/ е N.

Другими словами равновесие Нэша это такой набор стратегий, от которого ни одному из игроков невыгодно отклоняться индивидуально.

Классический подход формулирует следующее правило принятия решения: в конфликтной ситуации каждому участнику следует использовать стратегию, которая входит в равновесие Нэша.

Данный подход и равновесие Нэша являются одной из наиболее широко используемых теоретических конструкций для разработки математических моделей в экономике. Почти все разработки в области несовершенной отраслевой конкуренции основаны на теоретико-игровом анализе. С использованием равновесия Нэша в качестве центральной концепции теория игр все более широко применяется в других дисциплинах помимо экономики, таких как право, биология и политические науки.

За время действия лаборатории экспериментальной экономики были накоплены экспериментальные данные по большому числу различных игр. Проведенные по ним исследования дают следующую картину:

• Действия участников экспериментов зачастую отклоняются от действий в равновесии Нэша.

• Наблюдается значительные отклонения в действиях участников в одной игровой роли.

• Несмотря на значительные отклонения в действиях участников, средние действия по игровой роли близки к оптимальным ответам на действия других участников в других ролях.

Подобные наблюдения поднимают вопрос об ограниченности применения равновесия Нэша как модели предсказания поведения. Другие исследователи также находятся в сложном положении при использовании строгого теоретико-игрового подхода [12]. В частности, в последнее время получили широкое распространение аномалии, наблюдаемые в лабораторных экспериментах [1],

13]. Особенно силен скептицизм к крайней рациональности участников взаимодействия в психологии, где экспериментальные методы являются центральными. У представителей неэкспериментальных наук (например, политологов) возникают сомнения относительно допущений о крайней рациональности в подходах рационального выбора, лежащих в основе практически всего «формального» моделирования политического поведения

14], [15].

Для разрешения данной проблемы был разработан класс поведенческих моделей, в частности квантильное равновесие [16], модель когнитивной иерархии [17] и другие. Но, к сожалению, данные модели имеют свои ограничения по применению, и, в основном, они были разработаны для игр с дискретными множествами действий. В данной же работе предлагается новая поведенческая модель для игр с выпуклыми множествами действий.

В работе вводится концепция модифицированного равновесия [18], [19], основанная на предположении, что сам принцип Нэша о наилучшем ответе на стратегии остальных игроков остается верным, но каждый игрок имеет неточную информацию о стратегиях остальных игроков, выраженную в вероятностной форме. Это влечет модификацию функции выигрыша: в действия всех других игроков добавляется случайная ошибка. Таким образом, ищется оптимальный ответ на «модифицированные действия» других игроков.

Неподвижная точка подобного процесса будет равновесием в модифицированной игре. Если же уменьшать ошибку, то набор стратегий, к которому сойдутся равновесия в модифицированных играх, в работе назван модифицированным равновесием.

Идея о добавление ошибки в действия игроков использовалась еще в работах Селтена [20] и Майерсона [21], где были введены понятия Proper Equlibrium и Perfect Equilibrium. Модифицированное равновесие является в некотором смысле обобщением Proper Equilibrium на непрерывный случай, когда действия игроков принадлежат выпуклым компактам. Но оно отличается от него тем, что в модифицированном равновесии ошибка ожидается почти всегда, но сама величина ошибки мала, в то время как в точном равновесии вероятность ошибки мала, но величина самой ошибки велика. Подобное возможно, так как модифицированное равновесие вводится для игр с выпуклыми множествами действий. Если же модифицированное равновесие рассмотреть для смешанного расширения дискретной игры, то в этой игре оно совпадет с точным равновесием.

В сравнении с квантильным равновесием (QRE) [16] можно сказать, что модифицированное равновесие относится к тому же классу «поведенческих равновесий». Но оно существенно отличается от него, в первую очередь, тем, что модифицированное равновесие основано на понятии близости стратегий, то есть «ошибка» добавляется к самим стратегиям в отличие от QRE, где «ошибка» добавляется к значению функции выигрыша игрока.

QRE первоначально вводилось для игр с дискретным множеством действий. Обобщение QRE на случай игр с выпуклыми компактными множествами действий приводит к необходимости даже в простых играх искать решения дифференциального уравнения. Данная задача становится еще более сложной, если рассмотреть байесовскую игру с приватной информацией, в которой стратегии это функции, отображающие тип игрока на множество действий. Поиск же модифицированного равновесия является более простой задачей: для простых аукционных игр он заключается в поиске решения алгебраического уравнения, для байесовской игры — в поиске решения дифференциального уравнения.

В работе во второй главе приводится и доказывается ряд полезных свойств модифицированного равновесия [22], [23], основные из них:

• Достаточные условия того, что при определенных условиях модифицированное равновесие является равновесием Нэша.

• Достаточные условия того, что равновесие Нэша, в котором функции выигрыша гладкие, является модифицированным равновесием.

Далее в работе рассматривается класс аукционных игр — игр, в которых вид функции выигрыша зависит от того, больше ли действие данного игрока, чем действия других или нет (победил он в аукционе или проиграл), а также сетевые игры — аукционы, в которых покупатель не может взаимодействовать напрямую с продавцом, а только через транспортировщика, третий тип агентов. Данную игру можно записать в виде графа, в вершинах которого распологаются покупатели и продавцы, а ребра соответствуют транспортировщикам.

В работе рассматриваются следующие игры:

• Аукционные игры: о Дилемма путешественника, Traveler's Dilemma [24], [25], о Координационная игра по минимизации затрат, Minimum-effort

Coordination Game [26], о Пространственная конкуренция, Spatial Competition [27], о Модель Бертрана, Bertrand Competition in a Procurement Auction [28], [29], о Модель конкуренции фирм при наличии лояльности у покупателей,

Imperfect Price Competition with Meet-or-Release Clause [30], о Игра компромиссов, The Compromise Game [31],

• Двойной аукцион [32];

• Сетевые аукционы: о STB [33], [34], о ТЕШЕ [35].

В данных играх равновесие Нэша обладает рядом недостатков, которых нет у равновесия в модифицированной игре [36]:

• В некоторых играх имеется бесконечно много равновесий Нэша.

• В некоторых — равновесие Нэша противоречит здравому смыслу и лабораторным экспериментам.

• В других — равновесие Нэша не зависит от параметров, определяющих игру, что также противоречит здравому смыслу и лабораторным экспериментам.

В работе показывается, что для данных игр равновесие в модифицированной игре не обладает данными недостатками, оно единственное, согласуется со здравым смыслом и лабораторными экспериментами, правильным образом зависит от параметров и может быть использовано для описания поведения участников экспериментов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введена новая концепция равновесия для игр с выпуклыми и компактными множествами действий модифицированное равновесие.

Установлены и доказаны свойства модифицированного равновесия:

• модифицированное равновесие является равновесием Нэша для ряда игр с разрывными функциями выигрыша специального вида;

• достаточные условия существования модифицированного равновесия.

Разработан комплекс программ для проведения лабораторных экспериментов, результаты которых используются при исследовании поведения участников аукционных и сетевых игр.

С помощью концепции и математической модели модифицированного равновесия для аукционных и сетевых игр проинтерпретированы результаты как лабораторных экспериментов, проведенных в Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ, так и опубликованных результатов лабораторных экспериментов, проведенных за рубежом. Подтверждена целесообразность введения модифицированного равновесия.

На основании предложенной математической модели разработаны алгоритм и комплекс программ для проведения вычислительных экспериментов.

1. Kagel J., Roth A. Handbook of Experimental Economics // Princeton: Princeton University Press. — 1995.

2. Меньшикова О.P. Использование психологических тестов для повышения эффективности обучения по программе FAST // Соционика, психология и межличностные отношения: человек, коллектив, общество.— 2001.— С. 24-39.

3. Меньшикова О.Р., Мороз И.И., Талачева Е.И. Влияние психологического типа участника лабораторных рынков на его поведение в социально-экономических экспериментах // Модели и методы обработки информации. — М. МФТИ, 2009. —С. 161-174.

4. Лукинова Е.М., Меньшикова О.Р. Результативность участников лабораторных рынков в зависимости от их психологических типов // Модели и методы обработки информации. — М.: МФТИ, 2009. — С. 175-185.

5. Лукьянов В.И., Максакова О.А., Меньшиков И.С., Меньшикова О.Р., Чабан А.Н. Функциональное состояние и эффективность участников лабораторных рынков // Изв. РАН. ТиСУ, 2007. — № 6. — С. 202-219.

6. Бурнаев Е.В., Меньшиков КС. Модель функционального состояния участников лабораторных рынков // Изв. РАН. ТиСУ, 2009. — № 6. — С. 187-204.

7. Меньшиков И.С. Анализ функционального состояния участников лабораторных рынков // Психология. Журнал Высшей школы экономики. — 2009. — Т. 6, № 2. — С. 125-152.

8. Gibbons R. Game Theory for Applied Economists. — 1992.

9. Ю.Меньшиков КС. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. — М.: МЗ Пресс, 2006.

10. W.Neumann J., Morgenstern О. Theory of Games and Economic Behavior // Princeton: Princeton University Press. — 1944.

11. Ostrom E. A Behavioral Approach to Rational Choice Theory of Collective Action // American Political Science Review. — 1998. — 92. — P. 1-22.

12. Green D., Shapiro I. Pathologies of Rational Choice Theory// New Haven: Yale University Press. — 1994.

13. Яминов P.И. Модифицированное равновесие в лабораторных сетевых рынках // Математические методы распознавания образов. Доклады 13-й Всероссийской конференции. —М., 2007 — С. 564-567.

14. Яминов Р.И. Модифицированное равновесие в лабораторных сетевых рынках // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ, 2008. — Т.1. — С. 70-73.

15. SeltenR. Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games I I International Journal of Game Theory 4. — 1975. — P. 25-55.

16. Myers on R. Refinements of the Nash equilibrium concept 11 International Journal of Game Theory 7. — 1978. — P. 73-80.

17. Яминов Р.И. Свойства модифицированного равновесия // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ, 2009. — Т 1. — С. 100-102.

18. Яминов Р.И. Модифицированное равновесие и его свойства // Труды Московского физико-технического института (государственного университета) — М., 2010. — Т.2. № 3. — С. 58-65.

19. Basu К. The Traveler's Dilemma: Paradoxes of Rationality in Game Theory. // American Economic Review. — 1994. — N. 84. — P. 391-395.

20. Capra M., Goeree J.K., Gomez R., Holt C.A. Anomalous Behavior in a Traveler's Dilemma. // American Economic Review. — 1999. — N. 89. — P. 678-690.

21. Goeree J., Holt C. An Experimental Study of Costly Coordination // Discussion Paper, University of Virginia. — 1999.

22. Anderson S., Goeree J., Holt C. The Logit Equilibrium: A Perspective on Intuitive Behavioral Anomalies // Southern Economic Journal, Southern Economic Association. — 2002. — V. 69(1). — P. 21-47.

23. Bertrand J. Review of Theorie Mathematique de la Richesse Sociale and Recherches sur les Principes Mathematicque de la Theoire des Richesse, Journal des Savants. — 1883. — P. 499-508.

24. Dufwenberg M., GneezyU. Price Competition and Market Concentration: An Experimental Study // International Journal of Industrial Organization. — 2000. — 18(1). —P. 7-22.

25. Myerson R. Game Theory: Analysis of Conflict // Harvard University, Press. -— 1991.

26. McCabeA., RassentiS., Smith V. Designing 'Smart' Computer-Assisted Markets

27. An Experimental Auction for Gas Networks // European Journal of Political Economy. — 1989. — V. 5,1 2-3. — P. 259-283.

28. ЪА.Яминов P.M. Модифицированное равновесие для сетевого аукциона STB // Сборник научных трудов МФТИ «Информационные технологии: модели и методы». — М., 2010. — С. 73-83.

29. ЪЪ.Меньшиков И.С., Платонов В.В. Игровые модели сетевых аукционов и их лабораторные исследования // Математическое моделирование.— 1998.— №8. — 63-79.

30. Ъб.Яминов Р.И. Поведенческие аномалии в аукционных играх // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ, 2010. —Т 1. —С. 137-138.

31. Ъ1.Яминов Р.И. Модифицированное равновесие и его свойства // Труды VI Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2010). — М.: МАКС Пресс, 2010. — С. 359-361.

32. ЪЪ.Сатегег С. Но Teck-Hua, Chong Jidn-Kuan A cognitive hierarchy model of games // The Quarterly Journal of Economics. — MIT Press, 2004. — V. 119(3). — P. 861-898.

33. Голубцов А.А., Меньшиков И.С. Агрегированное равновесие лабораторных сетевых рынков. — М.: ВЦ РАН, 2007.

34. Меньшиков КС., Першин A.B. Информационная эффективность двойного, аукциона. — М: ВЦ РАН, 2001.

35. Журавель Ю.Ю., Меньшиков И. С. Двойной аукцион для сетевых рынков.— М.: ВЦ РАН, 2004.