автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование волн и гидродинамических течений в биологических жидкостях

На правах рукописи

и/

Газиа Мохамед Сорор Абдельлатиф Махмуд

Моделирование волн и гидродинамических течений в биологических жидкостях

05.13.18 Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 МАЙ 2011

Астрахань — 2011

4847468

Работа выполнена в Астраханском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Тарасевич Ю.Ю.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Яковенко Г.Н. (Московский физико-технический институт (ГУ))

доктор физико-математических наук, профессор Жуков Ю.М. (Южный федеральный университет)

Ведущая организация — Институт проблем управления РАН.

Защита состоится 17 июня 2011 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.009.06 при Астраханском государственном университете) по адресу: 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20а, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Астраханского государственного университета.

Автореферат разослан « 13 з. мая 2011 г.

Ученый секретарь

Введение. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Отличительным свойством артериального кровотока является его пульсирующий характер. Периодические выбросы крови из левого желудочка сердца создают давление, и поток пульсирует в артериальной системе. Из-за его применения в артериальной механике распространение импульсов давления в заполненных жидкостью упругих трубках было изучено рядом исследователей1. В большинстве работ, посвященных распространению волн в эластичных трубках, рассматриваются волны малой амплитуды и игнорируются нелинейные эффекты; основное внимание концентрируется на дисперсионных свойствах волн2. Следует подчеркнуть, что реальные артерии являются неоднородными, с переменными радиусами вдоль оси трубки.

Математическое моделирование потока крови через стенозирован-ные артерии становится важным, поскольку основной причиной более чем половины всех смертей в промышленно развитых странах является склерозирование артерий или атеросклероз. В ходе кровотока отложения жировых веществ, холестерина, клеточных отходов, кальция и других веществ нарастают во внутренней оболочке артерий. Такое отложение называется бляшкой. Бляшки могут достигать достаточно больших размеров (стеноз), чтобы значительно уменьшить поток крови через артерии. Именно по этой причине изучение последствий стеноза на кровоток в артериях становится чрезвычайно важным.

Известно, что сосуды кровеносной системы выполняют проводящую и демпфирующую функцию3. Проводящая функция отвечает за транспорт крови, обогащенной кислородом, а демпфирующая функция приводит к сглаживанию импульсов давления. Заболевания сердечнососудистой системы приводят к нарушению как первой, так и второй функций. Нарушением демпфирующей функции является артериосклероз, когда импульсы давления плохо сглаживаются из-за структурных изменений стенок сосудов, что приводит к повышению кровяного давления (гипертонии) и разрушению сосудов. Поэтому представляет интерес построение и анализ модели, учитывающей механические свойства стснок сосуда.

Изучение нелинейных волновых процессов в вязкоэластичных трубках представляет интерес, поскольку такие трубки отражают особенности сосудов кровеносной системы, и понимание волновых процессов в

1 Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. 400 с.

2Demiray Н. Wave propagation through a viscous fluid contained in a prestressed thin elastic tube // Int. Л. Eng. Sei. 1992. Vol 30. P. 1607-20.

3Fung Y.C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. N.Y.: SpringerVerlag. 1993. 568 p.

них может способствовать прогнозированию развития заболеваний4.

При построении и анализе моделей гемодинамики возникает ряд трудностей. Первая особенность связана с необходимостью учета нелинейных эффектов, возникающих при течении крови. С точки зрения реологии, кровь — это суспензия частиц в водном растворе3. Другая сложность состоит в том, что необходимо учитывать многослойную структуру стенки сосуда и ее нелинейные вязкоупругие свойства. Третья трудность связана с тем, что в литературе представлено недостаточно данных по физическим параметрам, характеризующим модели гемодинамики, например вязкости стенки артерии и коэффициенту нелинейной упругости.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационного исследования — установление влияния вязкости жидкости, упругости стенок сосуда и его формы на амплитуду и скорость пульсовых волн; выявление влияния режима испарения на гидродинамические течения внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

2. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

3. Исследовано распространение пульсовой волны в рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки, так и эффекты сужения, а кровь рассматривается как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

4. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках

4Kudryashov N.A., Chernyavskii I.L. Nonlinear waves in fluid flow through a viseoelastic tube // Fluid Dynamics. 2006. Vol. 41. No. 1. P. 49-62.

модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость. Численно решено и исследовано возмущенное уравнение Кортевега-де Фриза, являющееся математическим представлением данной модели.

5. Проведены расчеты поля скоростей и усредненной по высоте скорости гидродинамических течений внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке. Найдено аналитическое решение уравнения Лапласа в виде обобщенного ряда Фурье-Бесселя.

6. Реализованы в виде комплексов программ в пакетах Maple и Mathematics алгоритмы нахождения решения обыкновенных дифференциальных уравнении с использованием обобщенного метода разложения по эллиптическим функциям Якоби и нахождения численных решений дифференциальных уравнений в частных производных с использованием метода разложения Адомяпа.

Объекты и методы исследования. Основным объектом исследования являются нелинейные волны, возникающие в кровеносных сосудах, в частности, пульсовые волны. Исследования проводились с использованием нелинейных моделей. Результаты были получены путем применения аналитических (классический метод анализа симметрии, метод разложения по эллиптическим функциям Якоби, расширенный метод отображения) и численных (метод разложения Адомяна) методов математического моделирования.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Впервые получены следующие из них.

1. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость, найдены следующие режимы распространения воли: периодические волны, солитоноподобные и уединенные волны.

2. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость, численно исследовано распространение уединенной волны в артерии и показано, что амплитуда этой уединенной волны медленно затухает во времени.

3. В рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки сосуда, так и влияние сужения сосуда, а кровь рассматривается как идеальная жидкость, найдены периодические решения, солитоноподобные решения и решения в виде уединен-

ных волн. Показано, что амплитуда и скорость уединенной волны, распространяющейся в таких наполненных жидкостью упругих трубках, зависят от того, как модуль упругости трубки Е{т) и ее радиус го(т) меняются с расстоянием.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в том, что был найден ряд новых решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Практическая значимость работы состоит в том, что найденные решения позволяют интерпретировать некоторые процессы, протекающие при распространении пульсовых волн в стенозированных сосуде«, что представляет интерес для медицины. В частности, полученные результаты позволяют прогнозировать амплитуду и скорость пульсовых волн в зависимости от модуля упругости стенок сосуда и его формы.

Разработанные соискателем комплексы программ на Maple и Mathematica5 позволяют находить аналитические и численные решения уравнений, представляющих интерес для задач гемодинамики, при различных значениях механических характеристик сосудов, реологических свойств жидкости и формах стеноза.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и иных научных мероприятиях.

• Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19-24 января 2009 г;

• Международная конференция «Геометрия в Астрахани», г. Астрахань, 10-16 сентябрь 2009 г;

• Международная конференция «Геометрия в Одессе», г. Одесса, 2430 мая 2010 г;

• Международная конференция «Геометрия в Кисловодске», г. Кисловодск, 13-20 сентябрь 2010 г;

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2008 г, 2009 г, 2010 г, 2011 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано самостоятельно и в соавторстве 8 работ, в том числе,

• статей в журналах, включенных в хотя бы одну из систем цитирования (библиографических баз) Web of Science, Scopus, Web of Knowledge, Astrophysics, PubMed, Mathematics, Chemical Abstracts, Springer, Agris, GeoRef) — 2;

5Примеры некоторых программ представлены в приложении к диссертации.

• статей в журналы, входящих в список ВАК, — 2.

• тезисов докладов — 4.

Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые па защиту, принадлежат лично соискателю.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 122 наименования и четырех приложений. Объем диссертации — 123 страницы.

Основное содержание работы

Во введении формулируются цели и задачи исследования, обосновывается актуальность проблемы, указываются объекты и методы исследования, научная новизна, объясняется теоретическая и практическая ценность исследования, приводятся информация о публикациях соискателя по теме диссертации, вклад соискателя в разработку проблемы, апробация работы.

В первой главе приведен обзор источников, относящихся к теме данного исследования.

В первом разделе даны основные понятия об уединенных волнах. Во втором разделе представлен обзор работ, связанных с волнами в заполненных жидкостью упругих трубках.

В третьем разделе представлен обзор работ, связанных с уединенными волнами в заполненных жидкостью упругих трубках.

Вторая глава основана на публикациях соискателя [3,5,7].

В артериальной механике широко приметается модель, в которой артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом) и кровь как идеальная жидкость6. Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, — это модифицированное уравнение Кортсвега-де Фриза с переменным коэффициентом

Ut + /¿2 U2UX + ЦзУ-ххх + h(t)ux — 0, (1)

6Demiray H. Variable coefficient raodified KdV équation in fluid-fillcd elastic tubes with stenosis: Solitary waves // Chaos Soliton FYact. 2009. Vol. 42. No. 1. P. 358-364.

где /¿2, А'з — коэффициенты, характеризующие свойства материала трубки. í является отмасштабировонной координатой вдоль оси сосуда после статической деформации, характеризующей осесимметричный стеноз на поверхности артериальной стенки, х является переменной, зависящей от времени и координаты вдоль оси сосуда. /г(4) является формой стеноза, и характеризует усредненную осевую скорость жидкости.

С помощью классического метода анализа симметрии и метода разложения по эллиптическим функциям Якоби найдены новые точные решения для уравнения (1). Получено решение уравнения (1) в виде уединенной волны

и = ±<^^-sech ^х - J h(t)dt - (i^tj ,

скорость распространения которой задается формулой

и = (цз + hit))-1.

(2)

(3)

Предполагая в след за работой7, что кровоток в трубке и геометрия стеноза симметричны, запишем

h{t)

_ Jcfo (1 - ф71'1^ — а) — (t — а)п)) , a^t<a + b;

do,

в противном случае,

(4)

где /г(<) — ширина сосуда со стенозом, й — ширина сосуда без стеноза. Ь — длина стеноза; 2) — параметр, определяющий форму стеноза, Ь — длина трубки, а указывает местонахождение стеноза (как показано на рис. 1).

Рис. 1. Геометрия трубки со стенозом (Mekheimer К. S., El Kot М. А.)

7Mekheimer K. S. El Kot M. A. Influence of magnetic field and hall currents on blood flow through a stenotic artery // Appl. Math. Mech. 2008. Vol. 29. No. 8. P. 1093-1104.

Параметр г? задается формулой

_ 5 п^т .

Т1~ й0Ъ»(п-1)' ( )

где 5 обозначает максимальную высоту стеноза, расположенную в точке с координатой х = а + Ьп~ "-1.

Из выражения (2) ясно, что амплитуда уединенной волны зависит от параметров трубки Из, (рис. 2).

и и

Рис. 2. Изменение профиля уединенной волны a) t = 0, /г2 = 1, fi3 = 1;

б) i = 0, щ = 1, /х3 = 2

Из выражения (3) ясно, что скорость распространения зависит от параметра трубки и3 и формы стеноза /i(i). Изменение скорости распространения волн в сосудах с различными формами стеноза, которые задаются уравнением (4), приведено па рис. 3, из которого видно, что скорость волны достигает максимального значения па пике стеноза. Скорость волны является постоянной вне зоны стеноза.

В другой модели артериальной механики артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом) и кровь как идеальная жидкость6. Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, — это уравнение Кортевега-де Фриза с переменным коэффициентом

ut + niuux + цзиххх + h(t)ux = 0, (6)

где fii, цз — константы, характеризующие свойства материала трубки. t является отмасштабировонной координатой вдоль оси сосуда после статической деформации, характеризующей осесимметричный стеноз на поверхности артериальной стенки, х является переменной, зависящей от времени и координаты вдоль оси сосуда. h(t) является формой стеноза. и характеризует усредненную осевую скорость жидкости.

Рис. 3. Изменение скорости распространения волн в сосудах с различными формами стеноза

С помощью классического метода анализа симметрии и метода разложения по эллиптическим функциям Якоби найдены новые точные решения для уравнения (6). Получено решение уравнения (1) в виде уединенной волны

а + 8ц3 _ 12^з 2

■ - J h(t)dt - atj , (7)

Hi Hi

где a = const. Скорость распространения волны задается формулой

v = (a + h(t))~1. (8)

Предполагая в след за работой8, что кровоток в трубке и геометрия стеноза симметричны, запишем

= + d<t<d + L-, (g)

1а, в противном случае,

где h(t) — ширина сосуда со стенозом, а — ширина сосуда без стеноза. L — длина стеноза, a d указывает его местонахождение (как показано на рис. 4).

Из выражения (7) ясно, что амплитуда уединенной волны зависит от параметров трубки fj,i, /13, (рис. 5).

Из выражения (8) ясно, что скорость распространения зависит от формы стеноза h(t). Изменение скорости распространения волны вдоль

8Misra J. С., Ghosh S. К. A Mathematical model for the study of interstitial fluid movement vis-a-vis the non-newtonian behaviour of blood in a constricted artery // Comput. Math. Appl. 2001. Vol. 41. P. 783-811.

d_ L __d

Рис. 4. Геометрия трубки со стенозом (Misra J. С., Ghosh S. К.)

u u

Рис. 5. Изменение профиля уединенной волны а) ^ = 0. = 1, /¿з = 1, а = 5; б) Ь — 0, цг = 1, ^з = 2, а = 5

трубки с формой стеноза, задаваемой уравнением (9), приведено на рис. 6.

V

Рис. 6. Изменение скорости распространения волны в сосуде с формой стеноза, задаваемой уравнением (9)

Из рис. 6 видно, что скорость волны достигает максимального зна-

чения на пике стеноза. Скорость волны является постоянной вне зоны стеноза.

В артериальной механике используется модель, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка и кровь как вязкая жидкость. Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубка:«, — это возмущенное уравнение Кортевега-де Фриза 9

щ + /J,iuux + рз иххх + ц^и = 0. (10)

В уравнении (10) Mi, А«з — константы, характеризующие упругие свойства трубки, а ц4 — вязкость жидкости. С использованием метода разложения Адомяна найдено численное решение для уравнения (10).

Численное решение очень длинное и содержит много слагаемых, поэтому для простоты мы не будем приводить его здесь.

Полученное численное решение uappr,(x,t) уравнения (10) с начальным условием «(х,0) = scch2 (0.01а;)) для различных моментов времени t представлено на рис. 7. Из рис. 7 видно, что уравнение (10) имеет решение в виде уединенной волны, и амплитуда этой уединенной волны затухает медленно во времени. Полученное поведение амплитуды волны согласуется с результатом, полученным в работе10.

Третья глава основана на публикациях соискателя [2,8] и посвящена изучению обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, которое записывается в виде

Щ + f(t)uux -b g(t)uxxx + k(t)ux + l(t)u = h(t). (11)

В артериальной механике уравнения (11) было детально исследовано для следующих частных случаев

1. Если рассматривать артерию как предварительно напряженную, конусообразную, тонкостенную, длинную и упругую трубку, а кровь как несжимаемую невязкую жидкость, то распространение слабо нелинейных волн в таких заполненных жидкостью упругих трубках подчиняется уравнению11,

ит + HlUUx + H2Uxxx + Атц3их = 0. (12)

Значения fii, Ц2 и цз зависят от начальной деформации материала трубки. Уравнение (12) является частным случаем уравнения (11).

9Demiray Н. Он the derivation of some non-linear evolution equations and their progressive wave solutions // Int. J. Non. Linear. Mech. 2003. Vol. 38. P. 63-70.

10Demiray H. Solitary waves in elastic tubes filled with a layered fluid // Int. J. Eng. Sci. 2001. Vol. 39. P. 629-639.

11Demiray H. The effect of a bump on wave propagation in a fluid-filled elastic tube // Int. J. Eng. Sci. 2004. Vol. 42. P. 203-215.

Рис. 7. Изменение профиля уединенной волны /ii = дз = 0.1, ¡-Ц = 0.001 a) t = 0; б) i = 50; в) t = 100; г) t = 150; д) t = 250; е) t = 300

2. Уравнение (11) описывает распространение пульсовой волны через заполненные жидкостью трубки с эластичными стенками, с учетом эластичности стенки, а также влияния сужения12.

Некоторые новые точные решения обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами (11), возникающего в артериальной механике, были получены с помощью расширенного метода отображений. Полученные решения включают в себя солитонные решения и солитоноподобные решения, периодические решения, рациональные решения. Стоит отметить, что этот метод является надежным и эффективным в решении нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами.

В артериальной механики определяющее уравнение перемещения стенки задается уравнением12

3 (Е'{т) Гп (т) \ 5 1

^ + 4 -Ш)и+2го{г)ЩгУ*ии*+

кГо(т)2 1 2 п(т) „ .„„.

--^-гиххх + -1-гп {т) + , -V/ ,их = О, (13)

8 £(г)! 2го(т)4£?(г)4 ^ г0(т)Е(т) V ;

где го(т) — радиус ненапряженной трубки, и(х,т) — смещение стенки из ненапряженной позиции, г является отмасштабировонной координатой вдоль оси сосуда, а: является переменной, зависящей от времени и координаты вдоль оси сосуда, Е(т) — модуль упругости (предполагается, что он не постоянный и зависит от переменной т). п(т) — функция, которая зависит от начального состояния трубки. Будем считать, что трубка первоначально находилась в состоянии покоя (нулевой поток), и п{т) = к\, где к\ — константа.

Получено решение уравнения (13) в виде уединенной волны

и = Ао(х, ¿) - аА2(х, 2(ч/=а0. а < °> (14)

где

M*,t)=<*E-i(T)r$(T), (15)

A2(x,t)=c3E-*(T)rl(r), (16)

zi{t) = ci, (17)

+C2, (18)

12Cascaval R. C. in Evolution Equations, edited by G. R. Goldstein, R. Nagel,

S. Romanelli. Lecture Notes Pure Appl. Math. 2003. Vol. 234.

= г^х + г2Ц)

с условием совместности

Е(т) = ^гй3(г). (19)

Амплитуда решения (14) в виде уединенно волны задается формулой (16), и его скорость определяется формулой

V =

+ -С1(-2Г+ЗСД) (Ш - Ш) Мг?(г))"1 - (20)

Из выражений (14) и (20) ясно, что амплитуда и скорость уединенной волны (14) зависят от формы ненапряженной трубки го(г) и модуля упругости 1?(т).

В четвертой главе, основанной на публикациях соискателя [1,6], проведены расчеты поля скоростей и усредненной по высоте скорости гидродинамических течений внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейки. Найдено аналитическое решение уравнения Лапласа в виде обобщенного ряда Фурье-Бесселя

/„(1) \ / (1) \ и(г, г) = У" а„ сЬ —г ,

где и(г, г) — потенциал поля скоростей, г/, /г/ — геометрические характеристики ячейки, Jm(r) — функция Бесселя I рода порядка т, Цп^ — положительные корни уравнения Л (г) = 0,

а функция .Р(г) определяется граничными условиями на свободной поверхности жидкости.

В заключении подводятся итоги исследования и формулируются положения, выносимые на защиту.

Изложенный в диссертации материал, позволяет сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. В артериальной механике артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом) и кровь — как идеальная жидкость6. Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, — это уравнение Кортевега-де Фриза с переменным коэффициентом (6) или модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза с переменным коэффициентом (1). Показано, что амплитуда уединенной волны, которая распространяется в таких наполненных жидкостью упругих трубках, зависит от параметров трубки цх, рз, а скорость ее распространения зависит от параметра трубки ¿13 и формы стеноза и достигает максимального значения на пике стеноза. Скорость волны является постоянной вне зоны стеноза.

2. В артериальной механике артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка и кровь — как вязкая жидкость9. Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, — это возмущенное уравнение Кортевега-де Фриза (10). Это уравнение не имеет точного решения13. С использованием метода Адомяна, получено численное решение уравнения (10) в виде уединенной волны, амплитуда которой медленно затухает во времени.

3. Определяющее уравнение, которое моделирует распространение пульсовой волны в заполненных жидкостью трубках с учетом эластичности стенки, а также влияния сужения трубки12, — это обобщенное уравнение Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами (11). Показано, что амплитуда и скорость уединенной волны, распространяющейся в таких наполненных жидкостью упругих трубках, зависят от того, как модуль упругости трубки Е(т) и ее радиус :го(т) меняются с расстоянием.

4. Исследовано влияние модельного закона испарения на гидродинамические течения внутри капли, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке. Для различных законов испарения получены аналитические выражения для усредненной по высоте скорости течения жидкости. Для частного случая, когда свободная поверхность жидкости является плоской, найдено поле скоростей внутри ячейки.

13Kudryashov N. A. Meromorphic solutions of nonlinear ordinary differential equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulât. 2010. Vol. 15. P. 2778-2790.

На защиту выносятся

• новые решения нелинейных математических моделей, описывающих распространение пульсовых волн в артериях;

• результаты численного моделирования нелинейных волн в артериях;

• результаты комплексного исследования распространения пульсовых волн в стенозированных сосудах;

• комплекс программ, которые реализуют алгоритмы обобщенного метода разложения по эллиптическим функциям Якоби для нахождения решения обыкновенных дифференциальных уравнении и метода разложения Адомяна для нахождения численные решения дифференциальных уравнении в частных производных.

В приложении приводятся примеры некоторых программ на Maple и Mathematica, реализующих как аналитические, так и численные методы нахождения решений уравнений, исследованных в диссертации.

Основные публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, индексируемых Scopus

1. Tarasevich Yu. Yu., Vodolazskaya I. V., Isakova 0. P., Abdel Latif M. S. Evaporation-Induced Flow Inside Circular Wells: Analytical Results and Simulations // Microgravity Sci. and Tec. 2009. Vol. 21. Suppl 1. P. S39-S44.

2. Abdel Latif M. S. Some exact solutions of KdV equation with variable coefficients // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2011. Vol. 16. P. 1783-1786.

Статьи в журналах, включенных в список ВАК

3. Абдель Латиф М.С. Симметрийный анализ и некоторые точные решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, возникающего в артериальной механике // Известия СГУ. Новая серия. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. вып. 2. С. 42-48.

4. Абдель Латиф М.С. Численные исследования уединенных волн в наполненных жидкостью упругих трубках // Естественные науки. 2011. № 2 (35).

Тезисы докладов

5. Abdel Latif М. S. Symmetry analysis of two models from arterial mechanics // Геометрия в Астрахани — 2009: тезисы докладов (Астрахань, 10 сентября - 16 сентября 2009) / под ред. В. Гольд-берга, В. Кузоконя, А. Кушнера, В. Лычагина. — Астрахань: Астраханская цифровая типография, 2009. — 46 с. С. 39.

6. Тарасевич Ю. Ю., Водолазская И. В., Исакова О. П., Абдель-Латиф М. С. Моделирование гидродинамических течений внутри открытой цилиндрической ячейки // Математика. Компьютер. Образование. Под ред. Ризниченко Г.Ю. Сборник научных тезисов. Выпуск 16, ч.1, М., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. 316 с. ISBN 978-5-93972-716-7. С. 188.

7. Abdel Latif М. S. Symmetry analysis and exact solutions for a model arising in arterial mechanics // Геометрия в Одессе — 2010. Тезисы Международной конференции (Одесса, 24 мая - 30 мая 2010) / под ред. В.М. Кузоконя, А.Г. Кушнера, В.В. Лычагина. — Одесса: Фонд «Наука». ISBN 978-966-389-171-2. С. 69.

8. Abdel Latif М. S. Group classification of a variable coefficient KdV equation arising in arterial mechanics // Геометрия в Кисловодске — 2010. Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Кисловодске-2010». Кисловодск, 13-20 сентября 2010 г. Астраханская цифровая типография. 52 с. С. 46.

Подписано в печать 12 мая 2011 г. Заказ № 2402. Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 1,2. Усл. печ. л. 1,1

Издательский дом «Астраханский университет» 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20 факс (8512) 25-17-18, тел. (8512) 54-01-87, 54-01-89; E-mail: asupress@yandex.ru

Введение. Общая характеристика работы

Глава 1. Математическое моделирование в области артериальной механики.

1.1. Введение.

1.2. Уединенные волны

1.3. Волны в заполненных жидкостью упругих трубках

1.4. Уединенные волны в заполненных жидкостью упругих трубках.

Глава 2. Численное и аналитическое исследование распространения волн в заполненных жидкостью упругих трубках

2.1. Введение.

2.2. Классическая симметрия

2.3. Обобщенный метод разложения по эллиптическим функциям Якоби.

2.4. Точные решения.

3.2. Расширенный метод отображения [103].77

3.3. Приложение к обобщенному уравнению Кортевегаде Фриза с переменными коэффициентами.79

3.4. Приложения к артериальной механике.83

3.5. Обсуждение и заключение.85

Глава 4. Индуцированное испарением течение внутри цилиндрической ячейки.87

4.1. Введение.87

4.2. Течение внутри капли.89

4.2.1. Определение усредненной по высоте скорости с использованием закона сохранения вещества (уравнения неразрывности).89

4.2.2. Определение поля скоростей с использованием уравнения Лапласа .95

4.2.3. Заключение.101

Заключение .102

Литература. 105

Приложение 1. Некоторые частные решения уравнения (2.31).119

Приложение 2. Пример одной из программ в пакете

Mathematica.120

Приложение 3. Пример одной из программ в пакете Maple 122

Приложение 4. Пример одной из программ в пакете

Mathematica.123

Введение. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Отличительным свойством артериального кровотока является его пульсирующий характер. Периодические выбросы крови из левого желудочка сердца создают давление, и поток пульсирует в артериальной системе. Экспериментальные исследования обнаружили, что скорость потока в кровеносных сосудах сильно зависит от упругости стенок сосудов, и волны давления распространяются в направлении периферии характерным образом [3]. Макдональд [4] измерил одновременные изменения амплитуды и формы потока и волны давления на пяти участках от восходящей части дуги аорты в подкожной артерии у собаки, как показано на рис. 1. Передача импульса давления сопровождается увеличением амплитуды и уменьшением длительности импульса, которые были отмечены в качестве «обострения» и «укру-чения», соответственно. Уменьшение амплитуды в соответствии с увеличением импульса скорости и в сочетании с развитием дикротической волны.

Из-за его применения в артериальной механике распространение импульсов давления в заполненных жидкостью упругих трубках было изучено рядом исследователей [3]. В большинстве работ, посвященных распространению волн в эластичных трубках, рассматриваются волны малой амплитуды и игнорируются нелинейные эффекты; основное внима

Нрыпшая аор га

Рис. 1. Одновременная регистрация а) давления Р и б) средней скорости и на разных участках артерий собаки (по данным работы [4]) ние концентрируется на дисперсионных свойствах волн (см. [5]). Однако, когда вводятся нелинейные слагаемые, возникающие из основных уравнений и кинематических соотношений, следует рассматривать либо волны конечных амплитуд, либо волны малых, но конечных амплитуд, в зависимости от порядка нелинейности.

Распространение волн конечной амплитуды в заполненных жидкостью упругих или вязкоупругих трубках было рассмотрено, например, в [6-9] с помощью метода характеристик при изучении формирования удара. С другой стороны, распространение волн малых, но конечных амплитуд в упругих трубках исследовалось в [10, 22, 23, 25, 52] с использованием различных асимптотических методов. Во всех этих работах [10,22,23,25,52] в зависимости от соотношения между нелинейностью, дисперсией и диссипацией уравнения Кортсвега—де Фриза, Бюр-герса или Кортевега-де Фриза-Бюргерса получаются как эволюционные уравнения. Для получения таких уравнений эволюции артерии рассматривались как цилиндрические, длинные, тонкие, однородные и изотропные упругие трубки с постоянным радиусом. Следует подчеркнуть, что реальные артерии являются неоднородными, с переменными радиусами вдоль оси трубки.

Математическое моделирование потока крови через стенозирован-ные артерии становится важным, поскольку основной причиной более чем половины всех смертей в промышленно развитых странах является склерозированием артерий, или атеросклерозом. В ходе кровотока отложения жировых веществ, холестерина, клеточных отходов, кальция и других веществ нарастают во внутренней оболочке артерий. Такое отложение называется бляшкой. Бляшки могут достигать достаточно больших размеров (стеноз), чтобы значительно уменьшить поток крови через артерии. Именно по этой причине изучение последствий стеноза на кровоток в артериях становится чрезвычайно важным.

Изучение нелинейных волновых процессов в вязкоэластичных трубках представляет интерес, поскольку такие трубки отражают некоторые особенности сосудов кровеносной системы, и понимание волновых процессов в них может способствовать прогнозированию развития некоторых заболеваний [11,50,102].

Известно, что сосуды кровеносной системы выполняют проводящую и демпфирующую функцию [3,11]. Проводящая функция отвечает за транспорт крови, обогащенной кислородом, а демпфирующая функция приводит к сглаживанию импульсов давления. Заболевания сердечнососудистой системы приводят к нарушению-как первой, так и второй функций. Нарушением демпфирующей функции является артериосклероз, когда импульсы давления плохо сглаживаются из-за структурных изменений стенок сосудов, что приводит к повышению кровяного давления (гипертонии) и дополнительным разрушениям сосудов. Поэтому представляет интерес построение и анализ модели, учитывающей механические свойства стенок сосуда.

При построении и анализе моделей гемодинамики возникает ряд трудностей. Первая особенность связана с необходимостью учета нелинейных эффектов, возникающих при течении крови. С точки зрения реологии, кровь — это суспензия частиц в водном растворе [11]. Другая сложность состоит в том, что необходимо учитывать многослойную структуру стенки сосуда и ее нелинейные вязкоупругие свойства. Третья трудность связана с тем, что в литературе представлено недостаточно данных по физическим параметрам, характеризующим модели гемодинамики, например вязкость стенки артерии и коэффициент нелинейной упругости.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационного исследования — установление влияния вязкости жидкости, упругости стенок сосуда и его формы на амплитуду и скорость пульсовых волн; выявление влияния режима испарения на гидродинамические течения внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

2. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

3. Исследовано распространение пульсовой волны в рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки, так и эффекты сужения, а кровь рассматривается как идеальная жидкость. Найдены и исследованы аналитические решения обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

4. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость. Численно решено и исследовано возмущенное уравнение Кортевега—де Фриза, являющееся математическим представлением данной модели.

5. Проведены расчеты поля скоростей и усредненной по высоте скорости гидродинамических течений внутри жидкости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке. Найдено аналитическое решение уравнения Лапласа в виде обобщенного ряда Фурье-Бесселя.

6. Реализованы в виде комплексов программ в пакетах Maple и Mathematica алгоритмы нахождения решения обыкновенных дифференциальных уравнении с использованием обобщенного метода разложения по эллиптическим функциям Якоби и нахождения численных решений дифференциальных уравнений в частных производных с использованием метода разложения Адомяна.

Объекты и методы исследования. Основным объектом исследования являются нелинейные волны, возникающие в кровеносных сосудах, в частности, пульсовые волны. Исследования проводились с использованием аналитических (классический метод анализа симметрии, метод-разложения по эллиптическим функциям Якоби, расширенный метод отображения) и численных (метод разложения Адомяна) методов математического моделирования.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Впервые получены следующие из них.

1. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь — как идеальная жидкость, найдены следующие режимы распространения волн: периодические волны, солитоноподобные и уединенные волны.

2. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь — как вязкая жидкость, численно исследовано распространение уединенной волны в артерии и показано, что амплитуда этой уединенной волны медленно затухает во времени.

3. В рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки сосуда, так и влияние сужения сосуда, а кровь рассматривается как идеальная жидкость, найдены периодические решения, солитоноподобные решения и решения в виде уединенных волн. Показано, что амплитуда и скорость уединенной волны, распространяющейся в таких наполненных жидкостью упругих трубках, зависят от того, как модуль упругости трубки Е(т) и ее радиус го(т) меняются с расстоянием.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в том, что был найден ряд новых решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Практическая значимость работы состоит в том, что найденные решения позволяют интерпретировать некоторые процессы, протекающие при распространении пульсовых волн в стенозированных сосудах, что представляет интерес для медицины. В частности, полученные результаты позволяют прогнозировать амплитуду и скорость пульсовых волн в зависимости от модуля упругости стенок сосуда и его формы.

Разработанные соискателем комплексы программ на Maple и Mathematica1 позволяют находить аналитические и численные решения уравнений, представляющих интерес для задач гемодинамики, при различных значениях механических характеристик сосудов, реологических свойств жидкости и формах стеноза.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и иных научных мероприятиях. Основные из них:

• Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19-24 января 2009 г;

• Международная конференция «Геометрия в Астрахани», г. Астрахань, 10-16 сентябрь 2009 г;

• Международная конференция «Геометрия в Одессе», г. Одесса, 2430 мая 2010 г;

• Международная конференция «Геометрия в Кисловодске», г. Кисловодск, 13-20 сентябрь 2010 г;

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2008 г, 2009 г, 2010 г, 2011 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано в соавторстве и самостоятельно 8 работ, в том числе,

1 Примеры некоторых программ представлены в приложении к диссертации.

• статей в журналах, включенных в хотя бы одну из систем цитирования (библиографических баз) Web of Science, Scopus, Web of Knowledge, Astrophysics, PubMed, Mathematics, Chemical Abstracts, Springer, Agris, GeoRef) — 2.

• статей в журналах, входящих в список ВАК, — 2.

• тезисов докладов — 4.

Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 122 наименования и четырех приложений. Объем диссертации — 123 страницы.