автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил

03-6 388 - 7

на правах рукописи

Самонов Виталий Евгеньевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОНКОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОВЕРХНОСТНЫХ СИЛ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Ставропольского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Игропуло Виталий Стилианович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чеканов Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, Бондарь Виктория Витальевна

Ведущая организация: Карачаево-Черкесский государственный

технологического институт (г. Черкесск)

Защита состоится 20 июня 2003 года в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 3'55009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГУ по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан 19 мая 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических

Г о '<." .....

... » • ■ ■ Л'1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В последние годы значительно возрос интерес исследователей к расходящимся течениям, вызванным поверхностными силами. Это объясняется важной ролью таких течений в биологических системах, возможностью использования результатов исследований в медицине и промышленности.

В ряде экспериментальных и теоретических работ показано, что при точечном нанесении на свободную поверхность жидкости поверхностно-активного вещества (ПАВ) возникает осесимметричное течение жидкой

подложки, получившее название эффекта Марангони. Это течение приводит к деформации свободной поверхности (рис. 1) вплоть до образования устойчивого сухого участка («ямки»). Расходящиеся течения, приводящие к появлению «сухих пятен»,' возникают также при локальном нагреве свободной поверхности жидкости.

Математические модели растекающихся течений разработаны либо для глубоких слоев (в пределе - бесконечной толщины), либо для пленок толщиной порядка 0,01 - 1 мкм. В первом случае не учитывается деформация свободной поверхности жидкости, а во втором ~ сила тяжести и, как правило, вертикальные течения.

Эти модели не способны точно описать растекающиеся течения и образование сухих пятен в тонком слое жидкости толщиной 1 - 2,5 мм, наблюдаемые экспериментально. Под тонким слоем будем понимать слой жидкости, толщина которого значительно меньше линейных размеров рассматриваемых сухих участков, образующихся в результате течения, но значительно больше диаметра молекул.

Таким образом, возникает необходимость исследования математической модели движения тонкого слоя жидкости, которая учитывает влияние силы тяжести, возможность движения жидкости в вертикальном направлении и деформацию свободной поверхности. Поскольку такая модель описывает процессы в системе со свободной границей, она, по всей видимости, имеет нелинейный характер.

Нелинейность математической модели и сложность протекающих физико-химических процессов предполагают использование специальных методов исследования. Нами применен известный метод математического моделирования - метод эталонных уравнений. Классический метод эталонных уравнений разработан для решения обыкновенных дифферен-

Рис. 1. Схематическое изображение деформации свободной поверхности тонкого слоя жидкости.

циальных уравнений, их систем, а также дифференциальных уравнений в частных производных со скалярным аргументом. Существенным достоинством этого метода является возможность моделирования многомерных систем, не допускающих разделения переменных, системами, допускающими такое разделение. Это создает предпосылки к применению метода при исследовании математических моделей нелинейных систем. Однако для использования при моделировании гидродинамических процессов метод эталонных уравнений должен быть предварительно усовершенствован.

Целью диссертации является исследование математической модели движения тонкого слоя жидкости конечной толщины при нанесении на ее поверхность капли поверхностно-активного вещества.

Для достижения сформулированной цели решены следующие задачи:

1. Известные гидродинамические модели преобразованы для описания движения слоя жидкости конечной толщины под действием поверхностных сил с учетом влияния гравитации, многомерного характера течений и деформации свободной поверхности.

2. Разработан модифицированный метод эталонных уравнений (ММЭУ) для решения гидродинамических задач.

3. Исследована математическая модель движения тонкого слоя жидкости, что позволило определить поле скоростей и описать деформацию свободной поверхности.

4. Исследовано анизотропное течение на примере движения тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле.

Методы исследования. В процессе выполнения диссертационного исследования использован^; стандартные методы теории операторов; методы решения дифференциальных уравнений в частных производных; вариационный метод Ритца при численном анализе полученных результатов.

С использованием указанных выше методов осуществлена модификация известного метода эталонных уравнений для исследования некоторых гидродинамических систем, его апробация при решении классических задач движения жидкости и применение для изучения движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил.

Научная новизна диссертации заключается в следующем. Автором впервые:

1. Известный метод эталонных уравнений модифицирован применительно к моделированию гидродинамических процессов и апробирован при решении известных задач течения жидкости.

2. С использованием модифицированного метода эталонных уравнений получено приближенное решение нелинейной задачи движения тонкого слоя жидкости конечной толщины.

3. Теоретически исследована динамика роста экспериментально обнаруженных ранее сухих пятен, образующихся при растекании тонкого слоя жидкости конечной толщины, и определен максимальный радиус этих образований. Показана зависимость их радиуса от толщины слоя жидкости, количества наносимого на ее поверхность ПАВ, коэффициентов поверхностного натяжения жидкости и ПАВ.

4. На примере движения тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил теоретически исследовано анизотропное течение и показано, что общий характер течения в этом случае сходен с движением обычной жидкости, а образующиеся сухие участки при некоторых условиях принимают эллиптическую форму. Практическая ценность полученных в работе результатов заключается в следующем:

1. Предложенный модифицированный метод эталонных уравнений может быть применен к моделированию процессов диффузии и теплопроводности, уравнения для которых аналогичны уравнению Навье-Стокса.

2. Имеется принципиальная возможность использования разработанного метода при решении нелинейных уравнений параболического типа (уравнение Зельдовича, уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова), описывающих распространение пламени, рост биологических популяций и т.д.

3. Результаты моделирования движения тонкого слоя жидкости конечной толщины могут использоваться в медицине при разработке новых способов доставки жидких лекарственных препаратов.

4. Результаты исследования анизотропных течений могут использоваться для разработки динамических методов исследования характеристик анизотропных сред, в частности, поверхностного натяжения магнитных жидкостей.

Достоверность результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечена строгостью произведенных математических преобразований, базирующихся на аппарате операторного исчисления и теории решения систем дифференциальных уравнений. Важным подтверждением достоверности является качественное и количественное согласие результатов исследования математической модели движения тонкого слоя жидкости с данными независимого эксперимента. Эффективность модифицированного метода эталонных уравнений подтвержда-

ется корректностью полученных с его помощью результатов решения известных задач гидродинамики.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Математическая модель движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил, учитывающая влияние гравитационных сил и деформацию свободной поверхности.

2. Модифицированный метод эталонных уравнений (ММЭУ) для моделирования гидродинамических систем и его апробация.

3.. Результаты исследования математической модели движения тонкого слоя жидкости: собственные функции скорости, анализ условий на границе, переход от эталонной системы к исследуемой.

4. Построенная на основе полученных выражений динамическая компьютерная модель движения тонкого слоя жидкости. Выводы о характере течения жидкости, размерах образующихся сухих участков, зависимости характера протекания процесса от внешних факторов. Сравнение полученных результатов с данными независимого эксперимента.

5. Исследование анизотропных течений на примере движения тонкого слоя магнитной жидкости во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле: математическая модель, анализ частных случаев и результаты исследования модели.

Личный вклад автора. Лично автору принадлежит разработка расчетной схемы модифицированного метода эталонных уравнений, апробация метода при исследовании гидродинамических систем и его использование при моделировании движения обычной и магнитной жидкостей. Кроме того, лично автором разработана динамическая компьютерная модель движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил.

Совместно с научным руководителем сформулированы основные идеи и принципы модификации метода эталонных уравнений, исследована эталонная математическая модель движения тонкого слоя обычной жидкости; сформулированы цели, поставлены задачи и проведен анализ результатов исследования движения тонкого слоя магнитной жидкости.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на следующих международных конференциях: 8-й и 9-й международных конференциях по магнитным жидкостям (Тимишоара, Румыния, 1998 г.; Бремен, Германия, 2001 г.), на 8-й Международной Плесской конференции по магнитным жидкостям (Плес, 1998 г.), Международной конференции по теоретической физике (Париж, 2002 г.); всероссийских конференциях - Девятой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим

методам и Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Ростов на Дону, 2002 г.), симпозиуме «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, ВГУ, 2000 г.), всероссийской конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях» (Ставрополь, СГУ, 2000 г.), на всероссийской конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных жидкостей» (Ставрополь, СГУ, 1997 г.), Двенадцатой зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, ИМСС РАН, 1999 г.), школах «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, ВГУ, 1998 г.), «Понтрягинские чтения - X» (Воронеж, ВГУ, 1999 г.); на секции теоретической физики IV научной конференций молодых ученых и специалистов (Дубна, ОИЯИ, 2000 г.) - доклад отмечен дипломом конференции; региональных и местных конференциях - региональной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (Ставрополь, СГУ, 2002 г.); конференциях «Университетская наука - региону» (Ставрополь, СГУ, 1997-2000,2002 гг.).

Результаты исследования обсуждены на заседаниях семинара физико-математического факультета СГУ (Ставрополь, 1997-1999, 2003 гг.), межвузовского семинара «Теоретик» (Ставрополь, 2000 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 22 работах (5 научных статьях, 4 тезисах докладов международных, 7 - всероссийских и 6 - прочих конференций).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы, содержащего 170 наименований. Основная часть работы содержит 123 страницы машинописного текста. Диссертация содержит 20 рисунков и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы исследования, сформулирована цель работы; обоснованы научная новизна, практическая значимость, а также сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе, являющейся обзорной, рассмотрены известные теоретические и экспериментальные исследования движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил, а также проанализированы работы, посвященные теории и приложениям метода эталонных уравнений.

Изучены основные математические модели растекающихся течений в бесконечно толстом и бесконечно тонком жидких слоях. Одним из результатов моделирования в бесконечно тонком слое является деформация

7

свободной поверхности жидкости вследствие течения и образование сухого участка.

Однако рассмотренные математические модели не могут удовлетворительно описать наблюдающуюся экспериментально деформацию поверхности в тонком слое жидкости конечной толщины, для которого необходимо учитывать влияние тяготения и наличие вертикальных течений. В свою очередь, математические модели растекающихся течений в толстых слоях не учитывают деформацию свободной поверхности и также не пригодны.

В связи с этим, обоснована необходимость разработки математической модели, учитывающей влияние силы тяжести, вертикальных течений и деформацию свободной поверхности жидкости. Поскольку непосредственное исследование этой модели затруднительно, выполнен анализ одного из специальных методов математического моделирования - метода эталонных уравнений. Этот метод использован далее в диссертации в качестве основного метода исследования растекания жидкости под действием поверхностных сил.

Рассмотрены фундаментальные математические работы (А.А, Дородницын, А.И. Курьянов, В.В. Ларичева, А. Эрдейи и др.), связанные с обоснованием данного метода при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Выполнен анализ прикладного использования этого метода при решении уравнения Шредингера в одномерном и трехмерном случае (Н.И. Жирнов и соавт.) и уравнения Гельмгольца (В.М. Бабич, B.C. Булдырев). Отдельно проанализирована связь метода эталонных уравнений с асимптотическими методами, использующимися при решении дифференциальных уравнений (В.П. Маслов, С.Ю. Славя-нов и др.).

Показано, что к настоящему времени метод эталонных уравнений разработан только для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторых скалярных уравнений в частных производных. Это потребовало его модификации для решения системы уравнений неразрывности и Навье-Стокса, являющихся векторными.

Итогом настоящей главы явилась общая постановка задач диссертационного исследования.

Вторая глава посвящена модификации основного-метода диссертационного исследования - метода эталонных уравнений - для исследования гидродинамических процессов. С этой целью создана расчетная схема метода, адаптированная для решения системы уравнений Навье-Стокс£ и неразрывности и апробированная на простейших ранее решенных задачах.

Показано, что решение исследуемой системы выражается через соответствующее решение эталонной (моделирующей) системы посредством соотношений

для скалярной функции и

для компонент векторной функции. ,

Справедливость (1) и (2) подтверждена при помощи теории операторов. С этой целью уравнения исследуемой системы и модели представлены в операторном виде и введен оператор Т, осуществляющий преобразование соответствующих решений. Полученное в диссертации уравнение для оператора преобразования имеет вид

Щ =Й,7\ (3)

Здесь 5, и Я, - соответственно дифференциальные операторы искомого и эталонного уравнений.

Соотношения (1) и (2) позволяют перейти от непосредственного решения начально-краевой задачи к решению системы уравнений для фазовых функций ЛгДфс) и фазовых множителей или Ql|(t\x): В

ряде случаев, при наличии качественного сходства между исследуемой и эталонной системой, это позволяет упростить получение искомого решения. Последовательность действий, необходимых для этого представлена в виде алгоритма реализации расчетной схемы метода.

Далее выполнена конкретизация расчетной схемы метода для решения уравнений Навье-Стокса и неразрывности. Произведено преобразование этих уравнений к однородным уравнениям для потенциала и вихревой составляющей скорости й движения жидкости. Условия для фазовых функций Л^Зс) и фазовых множителей (}(}\х) или (Эу^х) вытекают из начальных и граничных условий для исследуемой и эталонной систем соответственно. Введено дополнительное условие преобразования поверхностей и ограничивающих жидкость:

Ух0:т[х0(ОМ<)' (4)

Использование метода упрощается при наличии качественного сходства исследуемой и эталонной систем, проявляющегося в сходстве некоторых характеристик течений. Сформулированы критерии этого сходства, связанные с совпадением числа и взаимного расположения осо-

бенностей (углов, изломов и т.д.) поверхностей, ограничивающих жидкость, источников и стоков в исследуемой системе и модели; совпадении типов краевых задач в обеих системах. Отдельно рассмотрены два частных случая преобразования решения модели в решение исследуемой системы, соответствующие сохранению симметрии и изменению масштаба вдоль одной из координатных осей.

Показано, что известный метод построения автомодельных решений также является частным случаем модифицированного в диссертации метода эталонных уравнений. В этом случае одна из координат изменяется по степенному закону: Л", (фс) = х,//", а другие сохраняются.

Выполнена апробация модифицированного метода эталонных уравнений путем исследования с его помощью гидродинамических задач, решение которых известно. В частности, рассмотрено движение жидкости между двумя вращающимися концентрическими сферами и коаксиальными цилиндрами. В качестве эталонной выбрана задача движения жидкости между двумя параллельными плоскостями. Реализация расчетной схемы метода в этом случае осуществлена достаточно просто, не привела к громоздким выражениям и наглядно продемонстрировала особенности использования указанного метода. Полученные в результате использования ММЭУ точные решения полностью совпадают с известными классическими решениями.

Основные результаты настоящей главы опубликованы в [1-7, 16].

В третьей главе выполнено математическое моделирование движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил (эффект Марангони), вызванных нанесением на ее поверхность небольшого количества поверхностно-активного вещества.

Математическая модель этого процесса основана на системе уравнений Навье-Стокса, неразрывности и уравнении баланса ПАВ в поверхностном слое;

р|- = -^гаф + Г|Ду+/> (5)

а7уу = 0, (6)

(7)

и замыкается уравнением эволюции свободной поверхности 5

= , \fmBS. (8)

Л

Начальные и граничные условия, наложенные на (5)-(8) имеют в цилинд-

рических координатах вид

Г|,_0=Г0(г), (10)

4,,-с (")

Лш|л=0' (12)

^=0=0. (13)

Кроме того, в силу симметрии системы, на (5)—(13) накладывается дополнительное условие:

^0 (V«). "(14)

бср

В соотношениях (5) - (14) Г0(г) - распределение ПАВ в начальный момент времени, рт и ри - соответственно нормальная и тангенциальная составляющие компонент тензора напряжений, а - коэффициент поверхностного натяжения, К - произвольная физическая величина.

Модель (5)—(14) движения тонкого слоя жидкости является общей и одновременно учитывает деформацию свободной поверхности, влияние силы тяжести и возможность вертикальных течений.

Краевая задача (5)—(14) относится к классу задач со свободной границей и носит нелинейный характер. Непосредственное решение рассматриваемой задачи является крайне сложным. По этой причине построена эталонная математическая модель, координаты которой связаны с координатами исследуемой системы посредством соотношений

Л = гД,(/), Ф = ф, 2 = г. (15)

Эталонная математическая модель соответствует движению жидкости внутри и вне области с деформированной поверхностью, размер которой с течением времени не изменяется. Получены выражения собственных функций радиальной у™ и вертикальной К™ компонент скорости, имеющие в эталонной системе вид: V? = -¡С« ехр(р„2)+ й™ ехр(- Р„2)+ М^ соз^)- Л^

Кп Р '

т =

С« ехр(р„2)-ехр(- р„г)+ Ы ^ N

Р.

Р

На основании анализа граничных условий внутри и вне «ямки» найдены трансцендентные уравнения для собственных значений ря и Х^'К

решенные численно. Кроме того, получены соотношения, связывающие постоянные коэффициенты в (16) и (17).

Далее выполнен качественный анализ уравнения баланса поверхностно-активного вещества (7) в поверхностном слое. Найдена зависимость Г'(г) для частного случая, соответствующего значительно более быстрому протеканию адсорбции и испарения ПАВ по сравнению со временем роста сухого пятна. Показано, что в процессе его роста можно выделить три качественно различные стадии: стадию начальной деформации, стадию быстрого роста и стадию замедления роста.

Использование модифицированного во второй главе метода эталонных уравнений позволило совершить переход от эталонной системы к исследуемой. Составлены уравнения для фазовых множителей ¡2,(ф*) и

фазовой функции Л0(/), используемых для преобразования решения эталонной систем^ в решение исследуемой системы. На основе физических соображений о перетоке жидкости из области деформации во внешнюю область получено решение для Л0(г). Рассчитанное предельное значение

радиуса сухого пятна при (-»оо соответствует результатам оценочных экспериментов. Также получены выражения собственных функций vr и V. компонент скорости движения жидкостей в исследуемой системе (5)-(14).

Полученные соотношения положены в основу численного анализа,

выполненного на основе

.4.1. '

Рис. 2. Деформация свободной поверхности с течением времени (разрез).

известного вариационного метода Ритца. Анализ позволил воспроизвести динамику движения жидкости в случае нанесения на ее поверхность поверхностно-активного вещества, а также получить некото-

рые сведения о характере течения. На рис. 2 приведено состояние свободной поверхности жидкости бесконечной площади в момент времени / = 4,0 с, начальная толщина которой Я = 1 мм. Кроме того, получена зависимость радиальной Уя и вертикальной Уг составляющих скорости

движения жидкости от радиальной координаты в эталонной системе (рис. 3,4).

о

Рис, 3. Зависимость компоненты У„ (мм/с) скорости движения жидкости от Л.

Рис. 4. Зависимость компоненты Уг (мм/с) скорости движения

жидкости от Я.

Наличие максимума горизонтальной и минимума вертикальной составляющих, скорости движения жидкости вблизи границы «ямки» свидетельствует о наиболее интенсивном течении в этой области. Такое течение приводит к перетоку жидкости изнутри области с деформированной поверхностью через ее границу во внешнее пространство. О перетоке также свидетельствует сравнительно небольшой передний фронт растекающейся жидкости (рис. 2),

Анализ численных результатов показал, что осесимметричное течение тонкого слоя жидкости приводит к деформации свободной поверхности и образованию сухого участка, радиус которых увеличивается с уменьшением толщины жидкой подложки. Также исследована зависимость радиуса образующихся в результате деформации поверхности жидкости «сухих пятен» от количества поверхностно-активного вещества и коэффициентов поверхностного натяжения жидкой подложки и ПАВ.

Полученные результаты соответствуют данным независимого эксперимента (А.Л. Зуев)

Основные результаты настоящей главы опубликованы в [4, 7-10].

Четвертая глава посвящена исследованию анизотропного течения на примере движения тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле Я0.

Анализ ограничен вариантом, при котором поле #0 действует на феррожидкость посредством пондеромоторной силы / = ц0(му)я, а

также изменяет условия на границе. Математическая модель растекания тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил отличается от модели (5)—(14) аналогичного процесса в обычной жидкости наличием дополнительных слагаемых в уравнении Навье-Стокса и изменением вида некоторых граничных условий.

Исследование этой математической модели предварено качественным анализом роста и деформации «ямки» при различных значениях в начальный момент времени введенного в диссертации параметра, равного отношению пондеромоторной силы и силы тяжести, действующих на жидкость:

Лж/ Аа

Здесь - магнитная постоянная, Да - разность коэффициентов

поверхностного натяжения жидкости-подложки и поверхностно-активного вещества, Ь - линейный размер сухого участка в направлении, перпендикулярном внешнему магнитному полю; ДМ и АН соответственно характеризуют изменение намагниченности и напряженности магнитного поля на расстоянии порядка Ъ . Показано, что при £гг «1 магнитное поле практически не влияет на характер движения жидкости, и решение соответствующей начально-краевой задачи совпадает с результатом главы 3. При Йг » 1 влияние магнитного поля может рассматриваться как переход от круговой симметрии системы к эллиптической, что позволило использовать для исследования математической модели метод эталонных уравнений.

Благодаря применению этого метода определены выражения собственных функций компонент скорости движения магнитной жидкости под действием поверхностных сил. В качестве моделирующей системы рассмотрена начально-краевая задача, исследованная в главе 3. Показано, что фбщий характер движения магнитной жидкости вследствие эффекта Марангони совпадает с аналогичным движением обычной жидкости.

V 14

Отдельно исследован вопрос деформации образующихся сухих пя- ' тен во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле Я „.Показано, что с ростом но расстояние между фокусами эллиптического сухого участка 2а увеличивается. Причем, характер зависимости а от напряженности поля при различных радиусах Я0 соответствующей круглой «ямки» различен: при малых Ц0 для существенного ее вытягивания необходимо сравнительно мощное внешнее магнитное поле, в то время как при больших значениях Я0 сухое пятно может вытягиваться и при сравнительно слабых полях.

Результаты настоящей главы опубликованы в [11-22].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследования получены следующие основные научные и практические результаты.

1. Исследована математическая модель движения тонкого слоя жидкости конечной толщины при нанесении на его поверхность капли ПАВ, в которой одновременно учтены действие сил тяжести, многомерность течения и деформация свободной поверхности жидкости.

2. Известный метод эталонных уравнений модифицирован для решения уравнений гидродинамики.

3. Решена задача Щтурма-Лиувилля для уравнений движения жидкости под действием поверхностных сил в эталонной и исследуемой системах. Найдены выражения собственных функций радиальной и вертикальной компонент скорости движения жидкости.

4. Показано, что при движении тонкого слоя жидкости вследствие нанесения ПАВ возникает деформация свободной поверхности вплоть до образования сухого участка. Деформация поверхности и, соответственно, размер образующейся «ямки» увеличиваются с уменьшением толщины подложки, ростом разности коэффициентов поверхностного натяжения жидкой подложки и ПАВ и зависит от количества поверхностно-активного вещества,

5. Показано, что наиболее интенсивное движение жидкой подложки происходит вблизи границы области с деформирующейся поверхностью. Внутри нее в приповерхностных слоях возникают вихревые течения. Основная масса жидкости при этом перетекает из внутренней области «ямки» через ее границу во внешнее пространство.

6. Исследовано анизотропное течение: движение тонкого слоя магнит-

ной жидкости под действием поверхностных сил во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле. Показано, что образующиеся сухие пятна принимают форму эллипса, а общий характер движения магнитной жидкости в этом случае во многом совпадает с характером аналогичного изотропного течения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Обобщение метода эталонных уравнений на векторные задачи. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т. 9, вып. 1. - С. 199.

2. Самонов В.Е. Об одном приеме решения задач теоретической физики II Труды IV научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ. - Дубна: Изд-во ОИЯИ, 2000. - С. 192-194.

3. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Использование метода эталонных уравнений при решении уравнений гидродинамики. // Понтрягинские чте-ния-Х. Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 1999. - С, 115.

4. Игропуло B.C., Самонов В.Е. О системе «относительных» координат в теории колец Марангони. // Проблемы физико-математических наук: Материалы XLIV научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 1999. - С. 85-86.

5. Игропуло В.С„ Самонов В.Е. О методе аналитического моделирования микромасштабных динамических процессов на поверхности жидкости // Материалы конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. -С.337-344.

6. Самонов В.Е. Апробация обобщенного метода эталонных уравнений на решение гидродинамических задач // Проблемы физико-математических наук: Материалы XLVIII научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. - С. 23-26.

7. Игропуло B.C., Самонов В.Е. О некоторых физических аспектах моделирования нелинейных систем. // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». - Ставрополь, 2000. - С. 120-125.

8. Игропуло B.C., Самонов В.Е. О процессе роста колец Марангони в жидкостях. // Вестник СГУ. - 1999. - Вып. 20. - С. 118-130.

9. Игропуло B.C., Самонов В.Е, Исследование эффекта Марангони в тонком слое жидкости. II Вестник СГУ. - 1997. - Вып. 11. - С. 65-75.

10. Igropulo V.S., Samonov V.E. Theoretical research of dynamics of growth of Marangoni rings. // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. - С. 28.

11. Igropulo V.S., Samonov V.E. About «Marangoni rings» in a magnetic fluids. // Eighth international conference on Magnetic Fluids. June 29 -July 3, 1998, Timisoara, Romania: Abstracts. - P. 357-358.

12. Игропуло B.C., Самонов B.E. Об эффекте Марангони в магнитных жидкостях. // Физико-химические и прикладные проблемы магнитных жидкостей: Сб. научных трудов. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1997. -С. 117-119:

13. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Об эффекте Марангони в магнитных жидкостях. // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ, 1998. - С. 130.

14. Samonov V.E. About dynamics of process of formation and growth of Marangoni rings in magnetic fluid. // The 8-th .international Plyos conference on magnetic fluids: Abstracts. - P. 70-71.

Самонов B.E. О динамике процесса образования и роста колец Марангони в магнитных жидкостях // 8-я Международная Плесская конференция по. магнитным жидкостям: Сборник научных трудов. -Иваново, 1998. - С. 142-144.

15. Igropulo V.S., Samonov V.E. About movement of a liquid at formation of a Marangoni ring in magnetic suspension. // The 8-th international Plyos conference on magnetic fluids: Abstracts. - P. 72 - 73.

Игропуло B.C., Самонов B.E. О движении жидкости при образовании кольца Марангони в магнитных суспензиях // 8-я Международная Плесская конференция по магнитным жидкостям: Сборник научных трудов. - Иваново, 1998.-С. 145-146.

16. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Об использовании метода эталонных уравнений для исследования эффекта Марангони в магнитных жидкостях. // Проблемы физико-математических наук: Материалы XLIII научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998.

- С. 49-50.

17. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Расчет пондеромоторной силы, действующей на эллиптическое кольцо Марангони со стороны магнитного поля. // Проблемы физико-математических наук: Материалы XLIV научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 1999.

- С. 87-90.

18. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Решение задачи роста колец Марангони в магнитных жидкостях на основе метода эталонных уравнений // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Тезисы докладов - Воронеж, 2000. - С. 99.

19. Игропуло B.C., Самонов В.Е. О «динамическом методе» исследования поверхностного натяжения магнитных жидкостей. // Проблемы физико-математических наук: Материалы XLV научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука -региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000. - С. 15-16.

20. Igropoulo V., Samonov V. The dynamical methods of measurement of ferrofluid's surface tension. // 9th International conference on magnetic fluids - Bremen, 23rd - 27th July, 2001.

21. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Теоретическое исследование роста колец Марангони в магнитных жидкостях. // Вестник СГУ. - 2001, -Вып. 28. - С. 28-36.

22. Igropoulo V., Samonov V, Some features of the Marangoni rings growth in ferrofluids // Magnetohydrodynamics. - 2002, - Vol. 38, № 3.,- P. 293-300.

Основные сокращения и обозначения.

Введение.

Глава I. Математические модели движения тонкого слоя жидкости и некоторые методы их исследования.

§1.1. Моделирование расходящихся течений на поверхности жидкости.

§1.2. Экспериментальные исследования расходящихся течений на поверхности жидкости.

§ 1.3. Анализ возможности использования метода эталонных уравнений при моделировании гидродинамических систем.

§ 1.4. Постановка задач исследования.

Глава И. Разработка аналитического метода моделирования движения жидкости.

§ 2.1. Основные направления модификации метода эталонных уравнений.

§ 2.2. Операторное представление метода эталонных уравнений.

§ 2.3. Анализ нестационарных систем в операторном представлении.

§ 2.4. Общие требования, накладываемые на эталонную систему.

§ 2.5. Алгоритм практической реализации ММЭУ.

§ 2.6. Использование ММЭУ при исследовании гидродинамических процессов.

§ 2.7. Анализ некоторых частных случаев гидродинамических систем.

§ 2.8. Апробация модифицированного метода эталонных уравнений.

Глава III. Исследование движения тонкого слоя обычной жидкости.

§ 3.1. Построение математической модели.

§ 3.2. Создание эталонной математической модели.

§ 3.3. Решение уравнений движения жидкости в эталонной системе.

§ 3.4. Анализ краевых условий в эталонной системе внутри и вне «ямки».

§3.5. Анализ краевых условий на границе «ямки».

§ 3.6. Анализ распределения ПАВ в поверхностном слое.

§ 3.7. Определение соотношений для исследуемой системы.

§ 3.8. Численный анализ полученных результатов.

Глава IV. Математическое моделирование анизотропных течений на примере движения магнитной жидкости.

§4.1. Общий анализ влияния магнитного поля на расходящиеся течения магнитной жидкости.

§ 4.2. Математическая модель движения тонкого слоя магнитной жидкости

§ 4.3. Предварительное преобразование соотношений для исследуемой и моделирующей систем.

§ 4.4. Определение общего вида выражения для скорости жидкости.

§ 4.5. Анализ полученных результатов.

В последние несколько лет значительно усилился интерес исследователей к расходящимся течениям, вызванным поверхностными силами. Это объясняется важной ролью таких течений в биологических системах [128], возможностью использования результатов исследований в медицине [140] и промышленности.

В ряде экспериментальных [128, 170] и теоретических [147, 162] работ показано, что при точечном нанесении на свободную поверхность жидкости поверхностно-активного вещества (ПАВ), вследствие эффекта Маран-гони, возникает осесимметричное течение жидкой подложки приводящее к ее деформации и появлению некоторой устойчивой области в форме «ямки» (рис. 1). Подобная деформация свободной поверхности жидкости возникает и при ее локальном нагреве [117, 118, 161, 163]. В некоторых случаях деформация свободной поверхности столь существенна, что приводит к образованию сухого участка («сухого пятна»).

Существующие математические модели движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил [117, 147, 161-163] разработаны для движения пленки толщиной порядка 0,01-1 мкм. В этом приближении не учитываются силы тяжести, а иногда и вертикальное движение жидкости.

Экспериментально была обнаружена деформация [170] и образование сухих пятен в слоях жидкости значительно большей толщины, составляющей 1 -2,5 мм. Эти процессы не могут удовлетворительно описываться существующими теоретическими моделями пленочного течения.

Поэтому возникает необходимость разработки и исследования математической модели движения тонкого слоя жидкости конечной толщины, учитыдеформации свободной поверхности вследствие движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил вающей влияние силы тяжести, возможность движения жидкости в вертикальном направлении и деформацию свободной поверхности. Такая модель будет' иметь нелинейный характер, поскольку она описывает гидродинамические процессы в системе со свободной границей.

Нелинейность математической модели и сложность протекающих физико-химических процессов требуют разработки специальных методов ее исследования. Нами предложено применить известный метод математического моделирования -метод эталонных уравнений [21, 35, 47]. Существенным достоинством этого метода является возможность [47] моделирования многомерных систем, не допускающих разделения переменных, системами, допускающими такое разделение. Это создает предпосылки к его использованию при исследовании математических моделей нелинейных систем.

Основная идея метода заключается в выражении искомого решения дифференциального уравнения через известное (эталонное) решение. Классический метод эталонных уравнений разработан для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем, а также дифференциальных уравнений в частных производных со скалярным аргументом. Этот метод успешно применяется в квантовой теории и теории распространения волн. Однако непосредственное использование его в гидродинамике невозможно, поскольку уравнения движения жидкости являются векторными.

По этой причине использование метода эталонных уравнений для моделирования движения жидкости требует его предварительной модификации.

Целью диссертации является исследование математической модели движения тонкого слоя жидкости конечной толщины при нанесении на ее поверхность капли поверхностно-активного вещества.

Методы исследования. В процессе выполнения диссертационного исследования использованы: стандартные методы теории операторов; методы решения дифференциальных уравнений в частных производных; вариационный метод Ритца при численном анализе полученных результатов.

С использованием указанных выше методов осуществлена модификация известного метода эталонных уравнений для исследования некоторых гидродинамических систем, его апробация при решении классических задач движения жидкости и применение для изучения движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Известный метод эталонных уравнений модифицирован применительно к моделированию гидродинамических процессов и апробирован при решении известных задач течения жидкости.

2. С использованием модифицированного метода эталонных уравнений получено приближенное решение нелинейной задачи движения тонкого слоя жидкости конечной толщины.

3. Теоретически исследована динамика роста экспериментально обнаруженных ранее сухих пятен, образующихся при растекании тонкого слоя жидкости конечной толщины, и определен максимальный радиус этих образований. Показана зависимость их радиуса от толщины слоя жидкости, количества наносимого на ее поверхность ПАВ, коэффициентов поверхностного натяжения жидкости и ПАВ.

4. На примере движения тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил теоретически исследовано анизотропное течение и показано, что общий характер течения в этом случае сходен с движением обычной жидкости, а образующиеся сухие участки при некоторых условиях принимают эллиптическую форму.

Практическая ценность полученных в работе результатов заключается в следующем:

1. Предложенный модифицированный метод эталонных уравнений может быть применен к моделированию процессов диффузии и теплопроводности, уравнения для которых аналогичны уравнению Навье-Стокса [20].

2. Имеется принципиальная возможность использования разработанного метода при решении нелинейных уравнений параболического типа [82] (уравнение Зельдовича, уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова), описывающих распространение пламени, рост биологических популяций и т.д.

3. Результаты моделирования движения тонкого слоя жидкости конечной толщины могут использоваться в медицине при разработке новых способов доставки жидких лекарственных препаратов [140].

4. Результаты исследования анизотропных течений могут использоваться для разработки динамических методов исследования характеристик анизотропных сред, в частности, поверхностного натяжения магнитных жидкостей.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Математическая модель движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил, учитывающая влияние гравитационных сил и деформацию свободной поверхности.

2. Модифицированный метод эталонных уравнений (ММЭУ) для моделирования гидродинамических систем и его апробация.

3. Результаты исследования математической модели движения тонкого слоя жидкости: собственные функции скорости, анализ условий на границе, переход от эталонной системы к исследуемой.

4. Построенная на основе полученных выражений динамическая компьютерная модель движения тонкого слоя жидкости. Выводы о характере течения жидкости, размерах образующихся сухих участков, зависимости характера протекания процесса от внешних факторов. Сравнение полученных результатов с данными независимого эксперимента.

5. Исследование анизотропных течений на примере движения тонкого слоя магнитной жидкости во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле: математическая модель, анализ частных случаев и результаты исследования модели.

Основные результаты настоящей главы опубликованы в работах [55, 6062, 64-66, 135-138,157].

Заключение

В результате проведенного в диссертации моделирования движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил получены следующие основные научные и практические результаты.

1. Исследована математическая модель движения тонкого слоя жидкости конечной толщины при нанесении на его поверхность капли ПАВ, в которой одновременно учтены действие сил тяжести, многомерность течения и деформация свободной поверхности жидкости.

2. Известный метод эталонных уравнений модифицирован для решения уравнений гидродинамики.

3. Решена задача Штурма-Лиувилля для уравнений движения жидкости под действием поверхностных сил в эталонной и исследуемой системах. Найдены выражения собственных функций радиальной и вертикальной компонент скорости движения жидкости.

4. Показано, что при движении тонкого слоя жидкости вследствие нанесения ПАВ возникает деформация свободной поверхности вплоть до образования сухого участка. Деформация поверхности и, соответственно, размер образующейся «ямки» увеличиваются с уменьшением толщины подложки, ростом разности коэффициентов поверхностного натяжения жидкой подложки и ПАВ и зависит от количества поверхностно-активного вещества.

5. Показано, что наиболее интенсивное движение жидкой подложки происходит вблизи границы области с деформирующейся поверхностью. Внутри нее в приповерхностных слоях возникают вихревые течения. Основная масса жидкости при этом перетекает из внутренней области «ямки» через ее границу во внешнее пространство.

6. Исследовано анизотропное течение: движение тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле. Показано, что образующиеся сухие пятна принимают форму эллипса, а общий характер движения магнитной жидкости в этом случае во многом совпадает с характером аналогичного изотропного течения.

1. Адамсон А. Физическая химия поверхностей. М.: Мир, 1979. - 568 с.

2. Алешков Ю.З., Баринов В.А., Тактаров Н.Г. О распространении нелинейных магнитогидродинамических поверхностных волн. // Магнитная гидродинамика. 1989. - т. 25, № 4. - С. 79-86.

3. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.: Наука, 1976.-287 с.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972. - 456 с.

5. Баринов В.А., Тактаров Н.Г. Нелинейные магнитогидродинамические поверхностные волны на слое движущейся жидкости. // Магнитная гидродинамика. 1990. - т. 26, № 4. - С. 71-76.

6. Баштовой В.Г., Берковский Б.М., Вислович А.Н. Введение в термомеханику магнитных жидкостей. М.:ИВТАН, 1985. - 188 с.

7. Бейкер Г.А., Грэйвз-Моррис П. Аппроксимации Паде./ Пер. с англ. М.: Мир, 1986.-502 с.

8. Белоносов С.М., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса. -М.: Наука, 1985.-312 с.

9. Бердичевскйй В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

10. Ю.Блум Э.Я., Майоров М.М., Цеберс А.О. Магнитные жидкости. Рига: Зи-натне, 1989.-386 с.

11. П.Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волны. М.: Сов. радио, 1966.

12. Варламов Ю.Д. Вязкость и магнитная восприимчивость магнитных жидкостей умеренных концентраций. // Автореф. дис. . канд. физ-мат. наук. -Новосибирск, 1987. 18 с.

13. З.Василевский А.С., Жирнов Н.И. Новый метод построения кривых двухатомных молекул по спектроскопическим данным. II. Упрощенный вариант нулевого приближения. // Оптика и спектроскопия. 1969. - Т. 26, вып. 5. - С. 704-710.

14. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ, 1997. - 240 с.

15. Гилев В.Г. Экспериментальное исследование реологических свойств магнитных жидкостей. //Автореф. дис. . канд. физ-мат. наук. Пермь, 1987. -17 с.

16. П.Гинзбург В Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

17. Голубятников А.Н. Об особенностях действия поверхностного натяжения магнитных жидкостей. // 8-я Международная Плесская конференция по магнитным жидкостям. Плес, 1998. - СЛ32—134.

18. Голубятников А.Н., Субханкулов Г.И. О поверхностном натяжении магнитной жидкости. // Магнитная гидродинамика. 1986. - Т. 22, № 1. - С. 73-78.

19. Диффузии уравнение. // Математическая физика. Энциклопедия. / Гл. ред. Л.Д.Фаддеев. М.: Большая российская энциклопедия, 1998. - С. 194.

20. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. // Успехи математических наук, вып. 6, 1952. С. 3-96.

21. Дроздова В.И. Концентрационные структуры и межфазные явления в магнитных коллоидах. // Автореф. дис. . докт. физ-мат. наук. Ставрополь, 1998.-35 с/

22. Друкарев Г.Ф. Об определении фазы волновой функции при рассеянии частиц. // ЖЭТФ. 1949. - Т. 19, вып. 3. - С. 247-250.

23. Жакин А.И. О зависимости поверхностного натяжения растворов и суспензий от напряженности магнитного и электрического полей. // Магнитная гидродинамика. 1989. - Т. 25, № 3. - С. 75-80.

24. Жирнов Н.И. Вероятность прохождения потенциального барьера в приближении ОВКБ-метода. I. // Известия вузов СССР. Физика. 1965, вып. 4. - С. 28-34.

25. Жирнов Н.И. Вероятность прохождения потенциального барьера в приближении обобщенного ВКБ-метода. И. Симметричные барьеры. // Известия вузов СССР. Физика. 1966, вып. 6. - С. 101-107.

26. Жирнов Н.И. Вероятность прохождения потенциального барьера в приближении обобщенного ВКБ-метода. III. Асимметричные барьеры. // Известия вузов СССР. Физика. 1966, вып. 6. - С. 108-113.

27. Жирнов Н.И. К вопросу о квазиклассических одноэлектронных функциях. // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32, вып. 5. - С. 1252-1254.

28. Жирнов Н.И. К расчету энергии связи внутренних электронов в атомах в приближении обобщенного ВКБ-метода. // Оптика и спектроскопия. 1967. - Т. 22, вып. 6. - С. 857-860.

29. Жирнов Н.И. О квазиклассических одноэлектронных функциях. I. Связанные состояния. // Оптика и спектроскопия. 1958. - Т. 4, вып. 2. - С. 125— 137.

30. Жирнов Н.Й. О квазиклассических одноэлектронных функциях. II. Состояния непрерывного спектра. // Оптика и спектроскопия. 1958. - Т. 4, вып. 2. -С. 138-143.

31. Жирнов Н.И. Об энергетических уровнях ji-мезоатомов. // ЖЭТФ. 1960.1. Т. 38, № 3. С. 959-962.

32. Жирнов Н.И. Обобщенный ВКБ-метод в нерелятивистской квантовой механике. // Дис. . докт. физ-мат. наук. М., 1973. - 313 с.

33. Жирнов Н.И. Обобщенный ВКБ-метод и его применение к задачам атомной и молекулярной спектроскопии. // Труды 1-й межвузовской конференции по спектроскопии и радиофизике. М.: Изд-во МГПИ, 1965. - С. 7-9.

34. Жирнов Н.И. Расчет эффективных потенциалов многоэлектронных атомов по спектроскопическим данным. // Оптика и спектроскопия. 1967. - Т. 23, вып. 1.-С. 10-14.

35. Жирнов Н.И., Василевский А.С. Новый метод построения кривых двухатомных молекул по спектроскопическим данным. I. Потенциальные кривые в нулевом приближении обобщенного ВКБ-метода. // Оптика и спектроскопия. 1968. - Т. 25, вып. 1. - С. 28-35.

36. Жирнов Н.И., Василевский А.С. Новый метод построения кривых двухатомных молекул по спектроскопическим данным. IV. Потенцияльная кривая основного электронного состояния молекулы Н2. // Оптика и спектроскопия. ~ 1970. Т. 29, вып. 4. - С. 658-665.

37. Жирнов Н.И., Василевский А.С. Новый метод построения кривых двухатомных молекул по спектроскопическим данным. V. Потенциальная кривая первого возбужденного состояния молекулы водорода. // Оптика и спектроскопия. 1971. - Т. 30, вып. 1.-С. 39-42.

38. Жирнов Н.И., Игропуло B.C. О поправках к квазиклассическим фазам рассеяния // Известия вузов СССР. Физика. 1971, вып. 7. - С. 149-151.

39. Жирнов Н.И., Игропуло B.C. Применение обобщенного ВКБ-метода к оценке параметров низкоэнергетического рассеяния частиц. I // Уч. Записки Ставропольского пединститута. Ставрополь: СГПИ, 1973. - С. 28-38.

40. Жирнов Н.И., Игропуло B.C. Применение обобщенного ВКБ-метода к оценке параметров низкоэнергетического рассеяния частиц. II // Уч. Записки Ставропольского пединститута. Ставрополь: СГПИ, 1973. - С. 39-46.

41. Жирнов Н.И., Кронрод JI.A. Квазиклассические волновые функции осциллятора Морзе и их применение к расчету факторов Франка-Кондона. III. Приближенный расчет факторов Франка-Кондона на ЭВМ. // Оптика и спектроскопия. 1965. - Т. 19, вып. 6. - С. 871-873.

42. Жирнов Н.И., Нурлыгаянов Ф.Б. Обобщенный ВКБ-метод в трехмерном случае I. // Известия ВУЗов СССР, Физика. 1975. - Вып. 5. - С. 43-50.

43. Жирнов Н.И., Нурлыгаянов Ф.Б. Обобщенный ВКБ-метод в трехмерном случае II. // Известия ВУЗов СССР, Физика. 1976. - Вып. 3, С. 123-128.

44. Жирнов Н.И., Нурлыгаянов Ф.Б. Обобщенный ВКБ-метод в трехмерном случае III. // Известия ВУЗов СССР, Физика. 1976. - Вып. 3, С. 128-134.

45. Жирнов Н.И., Нурлыгаянов Ф.Б. Обобщенный ВКБ-метод в трехмерном случае IV. // Известия ВУЗов СССР, Физика. 1976. - Вып. 11, С. 53-60.

46. Жирнов Н.И., Нурлыгаянов Ф.Б. Обобщенный ВКБ-метод в трехмерном случае V. // Известия ВУЗов СССР, Физика. 1976. - Вып. 12, С. 36-40.

47. Игропуло B.C. Приближение как модель // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». Ставрополь: СГУ, 2000. - С. 112-116.

48. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Использование метода эталонных уравнений при решении уравнений гидродинамики. // Понтрягинские чтения X. Тезисы докладов, - Воронеж, ВГУ, 1999. - С. 115.

49. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Исследование эффекта Марангони в тонкомслое жидкости. // Вестник СГУ. 1997. - Вып. 11. - С. 65-75.

50. Игропуло B.C., Самонов В.Е. О некоторых физических аспектах моделирования нелинейных систем. // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». Ставрополь, 2000.-С. 120-125.

51. Игропуло B.C., Самонов В.Е. О процессе роста колец Марангони в жидкостях. // Вестник СГУ. 1999. - Вып. 20. - С. 118-130.

52. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Об эффекте Марангони в магнитных жидкостях. // Физико-химические и прикладные проблемы магнитных жидкостей: Сб. научных трудов. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1997. С. 117-119.

53. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Об эффекте Марангони в магнитных жидкостях. // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тезисы докладов школы. Воронеж, ВГУ, 1998. - С. 130.

54. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Обобщение метода эталонных уравнений на векторные задачи. // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2002.-Т. 9, вып. 1. С.199.

55. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Решение задачи роста колец Марангони в магнитных жидкостях на основе метода эталонных уравнений // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Тезисы докладов Воронеж, 2000. - С. 99.

56. Игропуло B.C., Самонов В.Е. Теоретическое исследование роста колец Марангони в магнитных жидкостях. // Вестник СГУ. 2001. - вып. 28. - С. 2836.

57. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. -М.: Мир, 1972.-292 с.

58. Каплан Л.Г. Локальные процессы в жидкой среде и атмосфере. Ставрополь: АО «АСОК», 1993. - 242 с.

59. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. - 831 с.

60. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. -М.: Физматгиз, 1963. 727 с.

61. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983. - 279 с.

62. Кренкель Р.А., Куркбарт С.М., Перейра Дж.Г., Манна М.А. Система уравнений типа Буссинеска в системе Бенарда-Марангони. // Теоретическая и математическая физика. 1994. - Т. 99, № 3. - С. 419-427.

63. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -М.: Наука, 1975 431 с.

64. Курьянов А.И., Ларичева В.В. Об асимптотическом решении линейной дифференциальной системы второго порядка. // Проблемы прикладной математики и механики / сб. статей под. ред. Н.Н. Боголюбова. М.: Наука, 1971. -С. 86-97.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. - 752 с.

66. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. -М.: Наука, 1973.-733 с.

67. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8.: Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 623 с.

68. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. - 699 с.

69. Линде X., Шварц П., Вильке X. Диссипативные структуры и нелинейная кинетика неустойчивости Марангони. // Гидродинамика межфазных поверхностей. / Пер. с англ.- М.: Мир, 1984. С. 79-116.

70. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1977. - 848 с.

71. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Советское радио, 1970. - 120 с.

72. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. - 367 с.

73. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.-308 с.

74. Маслов В.П; Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1987. - 408 с.

75. Маслов В.П. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. - 296 с.

76. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Hayка, 1977.-384 с.

77. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. - 543 с.

78. Маелов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур. М., Наука, 1987.-352 с.

79. Маслов В.П., Мосолов П.П. Уравнения одномерного баротропного газа. -М.: Наука, 1990.-216 с.

80. Несис Е.И. Методы математической физики. М.: Просвещение, 1977. - 199 с.

81. Никитин Л.В., Тулинов А.А. Исследование магнитооптических и оптических свойств поверхностной области магнитной жидкости. // III Всесоюзное совещание по физике магнитных жидкостей. Сб. научных трудов. Ставрополь, 1986.-С. 81-82.

82. Никитин Л.В., Тулинов А.А. Магнитооптические свойства приповерхностного слоя феррожидкости. // Статические и динамические свойства магнитных жидкостей. Сб. научных трудов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. -С. 9-11.

83. Носов В.Р. Метод эталонных уравнений в теории некоторых классов динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 1999, № 2. - С. 19-32.

84. Петрашень М.И. О полуклассических методах решения волнового уравнения. // Уч. Записки ЛГУ. Серия физ. 1949. - Вып. 7. - С. 59-78.

85. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.-331 с.

86. Порубов А.В. Нелинейные волны на свободной поверхности тонкого слоя вязкой жидкости. // Препринт. АН СССР. Физ-техн. ин-т, 1991. - № 1502. -28 с.

87. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. - 368 с.

88. Самонов В.Е. Апробация обобщенного метода эталонных уравнений на решение гидродинамических задач // Проблемы физико-математических наук:

89. Материалы XLVIII научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. - С. 23.-26.

90. Самонов В.Е. Об одном приеме решения задач теоретической физики // Труды IV научной конференций молодых ученых и специалистов. Дубна: Изд-во ОИЯИ, 2000. - С. 192-194.

91. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Издательство МГУ, 1993. - 351 с.

92. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1. М.: Наука, 1983. - 528 с.

93. Славянов С.Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера / под. ред. проф. B.C. Булдырева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. - 256 с.

94. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: Изд-во иностр. литературы, 1954. - 604 с.

95. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. - 616 с.

96. Тихонов А.Н. Математическая модель // Математическая энциклопедия. / Под. Ред. И.М. Виноградова, т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1982. - С. 574.

97. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 352 с.

98. Фертман В.Е. Магнитные жидкости: Справочное пособие. Минск: Вы-шэйшая школа, 1988. - 184 с.

99. Фрёман Н., Фрёман П.У. ВКБ-приближение. М.: Мир, 1967. - 168 с.

100. Чеканов В.В. Магнетизм малых частиц и их взаимодействие в коллоидных ферромагнетиках. // Дис. . докт. физ-мат. наук. Ставрополь, 1985. -362 с.

101. Чеканов В.В. Об измерении давления в феррожидкости. // Магнитная гидродинамика. 1977. - т. 13, № 4. - С. 16-20.

102. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962. - 127 с.

103. Agble D., Mendes-Tatsis М.А. The effect of surfactants on interfacial masstransfer in binary liquid-liquid systems // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2000. - Vol. 43, is. 6. - P. 1025-1034.

104. Ahmed S., Carey V.P. Effects of gravity on the boiling of binary fluid mixtures // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1998. - Vol. 41, is. 16. - P. 2469-2483.

105. Bau H.H. Control of Marangoni-Benard convection // Int. J. Heat Mass Trans. 1999. - Vol. 42, is. 7. - P. 1327-1341.

106. Bertozzi A.L., Munch A., Shearer M. Undercompressive shocks in thin film flows. // Physica D. 1999. - Vol. 134, is. 4. - P. 431-464.

107. Bestehorn M. Square patterns in Benard-Marangoni convection. // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76, is. 1. - P. 46-49.

108. Boos W., Thess A. Cascade of structures in long-wavelength Marangoni instability. // Physics of Fluids. 1999. - Vol. 11, is. 6. - P. 1484-1494.

109. Burelbach J.P., Bankoff S.G., Davis S.H. Steady thermocapillary flows of thin liquid layers.TI. Experiment. Phys. Fluids. A. - 1990. - Vol. 2, is. 3. - P. 322323.

110. Cebers A. Physical properties and models of magnetic fluids. 1. // Магнитная гидродинамика. 1991. - Т. 27, № 4. - С. 25-39.

111. Cebers A. Physical properties and models of magnetic fluids. 2. // Магнитная гидродинамика. 1992. - Т. 28, № 1. - С. 27-38.

112. Chang F.-P., Chiang K.-T. Oscillatory instability analysis of Benard-Marangoni convection in a rotating fluid under a uniform magnetic field. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1998. - Vol. 41, is. 17. - P. 26672675.

113. Chen C.F., Su T.F. Effect of surface tension on the onset of convection in a double-diffusive layer // Physics of Fluids A. 1992. -Vol. 4, is. 11. - P. 23602367.

114. Duffy B.R., Wilson S.K. A third-order differential arising in thin-film flows and relevant to Tanner's law // Appl. Math. Lett. 1997. - Vol. 10, No. 3. - P. 6368.

115. Durst F., Danov K.D., Paunov V.N., Alleborn N., Raszillier H. Stability of evaporating two-layered liquid film in the presence of surfactant I. The equations of lubrication approximation. // Chem. Eng. Sci. 1998. - Vol. 53, is. 15. - P. 2809-2822.

116. Durst F., Danov K.D., Paunov V.N., Alleborn N., Raszillier H. Stability of evaporating two-layered liquid film in the presence of surfactant III. Non-linear stability analysis. // Chem. Eng. Sci. 1998. - Vol. 53, is. 15. - P. 2839-2857.

117. Dussaud A. D., Troian S. M., Harris S.R. Fluorescence visualization of a con-vective instability which modulates the spreading of volatile surface films. // Physics of Fluids.- 1998. -Vol. 10, is. 7.-P. 1588-1596.

118. Floarea O., Guzun-Stoica A., Kurzeluk M. Experimental study of Marangoni effect in a liquid-liquid system // Chemical Engineering Science. 2000. - Vol. 55, is. 18.-P. 3813-3816.

119. Garazo A.N., Velarde M.G. Dissipative Korteweg-de Vries description of Ma-rangoni-Benard oscillatory convection. // Physics of Fluids A. 1991. - Vol. 3, is. 10.-P. 2295-2300.

120. Gershuni G.Z., Nepomnyashchy A.A. Velarde M.G. On dynamic excitation of Marangoni instability. // Physics of Fluids A. -1992. Vol. 4, is. 11. - P. 23942398.

121. Hannaoui M., Lebon G. Weakly non-linear Marangoni instability in the presence of a magnetic field // International Journal of Heat and Mass Transfer. -1998. Vol. 41, is. 10. - P. 1327-1337.

122. Hashim I., Wilson S.K. The onset of Benard-Marangoni convection in a horizontal layer of fluid // International Journal of Engineering Science. 1999. - Vol. 37, is. 5.-P. 643-662.

123. Hooper A.P, Grimshaw R. Nonlinear instability at the interface between two viscous fluids. // Phys. Fluids 1985. - Vol. 28, is. 1. - P. 37-45.

124. Igropoulo V., Samonov V. Some features of the Marangoni rings growth in ferrofluids // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38, № 3. - P. 293-300.

125. Igropoulo V., Samonov V. The dynamical methods of measurement of ferro-fluid's surface tension. // 9th International conference on Magnetic Fluids Bremen, 23rd - 27th July, 2001.

126. Igropulo V.S., Samonov V.E. About «Marangoni rings» in a magnetic fluids. // Eighth international conference on Magnetic Fluids. June 29 July 3,1998, Timi-soara, Romania: Abstracts. - P. 357-358.

127. Igropulo V.S., Samonov V.E. About movement of a liquid at formation of a Marangoni ring in magnetic suspension. // The 8-th international Plyos conference on magnetic fluids: Abstracts. P. 72-73.

128. Игропуло B.C., Самонов В.Е. О движении жидкости при образовании кольца Марангони в магнитных суспензиях // 8-я Международная Плесская конференция по магнитным жидкостям: Сборник научных трудов. Иваново, 1998.-С. 145-146.

129. Igropulo V.S., Samonov V.E. Theoretical research of dynamics of growth of Marangoni rings. // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 28.

130. Jensen О.Е., Grotberg J.B. The spreading of heat or soluble surfactant along a thin liquid film. // Physics of Fluids A. -1993. Vol. 5, is. 1. - P. 58-68.

131. Kalikmanov V.I. A statistical theory of surface tension of magnetic fluids. //

132. Europhys. Lett. 1990. - Vol. 13, № 8. - P. 745-750.

133. Kalikmanov V.I. Statistical thermodynamics of ferrofluids. // Phisica A. -1992.-Vol. 183, № 1-2.-P. 25-50.

134. Kraenkel R.A., Pereira J.G., Manna M.A. Nonlinear surface-wave excitations in the Benard-Marangoni system // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 46, is. 8. - P. 4786-4790.

135. Lan C.W., Chian J.H. Three-dimensional simulation of Marangoni flow and interfaces in floating-zone silicon crystal growth. // Journal of Crystal Growth. -2001.-Vol. 230.-P. 172-180.

136. Lappa M., Savino R., Monti R., Three-dimensional numerical simulation of Marangoni instabilities in non-cylindrical liquid bridges in microgravity // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2001. - Vol. 44, is. 10. - P.1983-2003.

137. Matar O.K., Craster R.V. Models for Marangoni drying. // Physics of Fluids -2001. Vol. 13, is. 7. - P. 1869-1883.

138. Miller S.C., Good R.H. A WKB-type approximation to the Schrodinger equation.//Physical Review-1953. Vol. 91, is. l.-P. 174-179.

139. Nakamura Т., Takasu Т., Itou H., Toguri J.M. Observation and calculation of Marangoni convection induced thermally in a molten salt // Canadian Metallurgical Quarterly. 1998 - Vol. 37, is. 3-4. - P. 285-292.

140. Nield D.A. Surface tension and buoyancy effects in cellular convection. // Journal of Fluid Mechanics. 1964. - Vol. 19. - P. 341-352.

141. Ogawa K., Longtin J.P., Jikata K.H. Laser-induced surface-tension-driven flows in liquids // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1999. - Vol. 42, is. l.-P. 85-93.

142. Okhotsimskii A., Hozawa M. Schlieren visualization of natural convection in binary gas-liquid systems // Chemical Engineering Science. 1998. - Vol. 53, is. 14.-P. 2547-2573.

143. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface Tension // Journal of Fluid Mechanics. 1958. - Vol. 21. - P. 489-500.

144. Perez-Garcia C., Carneiro G. Linear stability analysis of Benard-Marangoni convection in fluids with a deformable free surface. // Physics of Fluids A. 1991. -Vol.3, is. 2.-P. 292-298.

145. Saghir M.Z., Hennenberg M., Islam M.R. Double diffusive and Marangoni convection in a multi-cavity system // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1998. - Vol. 41, is. 14. - P. 2157-2174.

146. Samonov V.E. About dynamics of process of formation and growth of Marangoni rings in magnetic fluid. // The 8-th international Plyos conference on magnetic fluids: Abstracts. P. 70-71.

147. Самонов B.E. О динамике процесса образования и роста колец Марангони в магнитных жидкостях // 8-я Международная Плесская конференция по магнитным жидкостям: Сборник научных трудов. Иваново, 1998. - С. 142144.

148. Sterling C.V., Scriven L.E. Interfacial turbulence: Hydrodynamic instability and the Marangoni effect. // A.I.Ch.E.J. 1959. - Vol.5. - P. 514-523.

149. Takashima M. Thermal instability of fluid layer bounded below by a solid layer of finite conductivity. // Journal of the Physics Society of Japan. 1971. -Vol. 31.-P. 283-292.

150. Takashima M. Surface tension driven instability in a horizontal liquid layer with a deformable free surface II. Overstability // Journal of the Physics Society of Japan 1981. - vol. 50. - P. 2751-2756.

151. Tan M.J., Bankoff S.G., Davis S.H. Steady thermocapillary flows of thin liquid layers. I. Theory. // Phys. Fluids. A. 1990. - Vol. 2, is. 3. - P. 313-321.

152. Thess A., Boos W. A model for Marangoni drying. // Physics of Fluids. -1999.

153. Vol. 11, is. 12.-P. 3852-3855.

154. Thess A., Zikanov O., Wolke K., Boos W. A model for thermal Marangoni drying // Journal of Engineering Mathematics. 2001. - Vol. 40, is. 3. - P. 249267.

155. Tomita H., Abe K. Numerical simulation of pattern formation in the Benard-Marangoni convection // Physics of Fluids. -2000. Vol. 12, is. 6. P. 1389-1400.

156. Tsekov R;, Radoev B. Surface forces and dynamic effects in thin liquid films on solid interfaces // Int. J. Miner. Process. 1999. - Vol. 56, is. 1-4. - P. 61-74.

157. Vidal A., Acrivos A. Nature of the neutral state in surface tension driven convection. // Physics of Fluids 1966. - Vol. 9. - P. 615-616.

158. Wang M., Ming N. In situ observation of surface-tension-induced oscillation of aqueous solution film in needlelike crystal growth. // Physical Review A. 1991. -Vol. 44, is. 12. P. R7898-R7901.

159. Weidman P.D., Linde H„ Velarde M.G. Evidence for solitary wave behavior in Marangoni-Benard convection. // Physics of Fluids A. 1992 - Vol. 4, is. 5. - P. 921-926.

160. Zeitounyan R.Kh. The Benard-Marangoni thermocapillary-instability problem. // Physics Uspekhi. 1998. - Vol. 41, is. 3. - P. 241-267.

161. Zuev A. L. Experimental studies of concentrational Marangoni effect in thin liquid layers. // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 59.