автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей

На правах рукописи

Кранчев Денис Федорович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИИ И ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА СИСТЕМОЙ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□03160446

Новосибирск - 2007

003160446

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Рудяк Валерий Яковлевич

Официальные оппоненты

кандидат технических наук,

доцент Тимофеев Владимир Семенович,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Рылов Анатолий Игоревич

Ведущая организация

Томский государственный университет

Защита состоится 31 октября 2007 года в 10— на заседании диссертационного совета Д 212 173 06 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, Новосибирск-92, пр Карла Маркса, 20)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан «£-%>» сентября 2007 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

Чубич В М

Общая характеристика работы

К моделированию полей течения, в которых значение завихренности не равно нулю, приходят при изучении многих практически важных задач Это закрученные и отрывные течения, слои сдвига и т п Закрученные потоки жидкости часто встречаются в природе - это атмосферные и океанические течения (торнадо, циклоны), в технике эти течения научились использовать в вихревых камерах, сепараторах и т д С отрывными течениями имеют дело во всех задачах обтекания тел С ними встречаются при движении летательных аппаратов, судов, в различных технологических процессах

Для моделирования указанных течений часто применяются прямые численные методы решения уравнений Навье-Стокса Однако, численное решение уравнений встречает значительные трудности при больших числах Рейнольдса Во-первых, из-за наличия в уравнениях малого коэффициента пропорционального Ке ' при старшей производной появляются узкие области с большими локальными градиентами функций, что приводит к потере точности и устойчивости решения Во-вторых, решение нестационарных задач требует больших вычислительных затрат Поэтому на практике часто используются более экономные и удобные в применении вихревые методы, основанные на лагранже-вом подходе к описанию жидкости

Идея вихревых методов состоит в моделировании изучаемого поля завихренности набором вихревых частиц, движение которых задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Первым таким методом был метод точечных вихрей, где завихренность частиц задается 5-функцией Впервые этот метод был применен Розенхэдом для исследования эволюции вихревой пелены Точечными вихрями удается находить значения общих интегральных характеристик течений, например, сил, действующих на тела, а в ряде случаев — и правильную качественную информацию о течении Применяют метод точечных вихрей и в задачах с образованием пограничных слоев как составную часть пригодную для описания течений в зонах, где вязкие эффекты несущественны Однако для расчета более тонких характеристик течений связанных с пульсационным характером течения, с развитием неустой-чивостей, исследованием отрывных зон, метод точечных вихрей применить не удается Для моделирования таких эффектов приходится увеличивать число точечных вихрей, при этом наблюдается стохастизация траекторий частиц, что связано с неограниченным ростом скоростей точечных вихрей при их взаимном сближении По этой же причине погрешность в определении поля скорости может быть очень значительной даже, если движение точечных вихрей является регулярным

В связи с этим за три последних десятилетия усилиями Леонарда, Чорина, Кавахары и Таками, Белоцерковского с коллегами и других были развиты методы моделирования течений жидкости системой вихревых частиц, имеющих в отличии от 8 -образных точечных вихрей, конечные размеры Однако эти ме-

о

ч. _

тоды, как правило, имеют большое число дополнительных параметров Причем эти параметры не имеют физического обоснования, что вносит произвол в выбор их значений Кроме того, в них отсутствуют законы сохранения, присущие исходной континуальной модели В работах Веретенцева, Рудяка и Яненко был предложен вариационный принцип построения вихревых моделей, который лишен перечисленных недостатков К преимуществам этих моделей можно отнести еще их консервативность, то есть в них выполняются законы сохранения импульса, момента импульса и энергии Было показано, что на практике удобно использовать систему гауссовских вихрей Гауссовские вихри - модель, построенная на основе вариационного принципа, выбором в качестве функции формы завихренности функции Гаусса Данная функция формы удовлетворяет условиям сходимости метода и позволяет легко найти явный вид уравнений движения и аналитически вычислить интегралы движения

И хотя данный метод дискретных вихрей имеет большие возможности моделирования физических полей завихренности, нет работ по изучению точности моделирования поля завихренности, а также не изучен вопрос оптимального выбора численной схемы интегрирования уравнений движения вихревых частиц Поэтому исследования в данном направлении актуальны

Несмотря на широкое применение метода дискретных вихрей, работ по изучению динамических и стохастических свойств этого метода не много В общем виде была решена система для двух и трех точечных вихрей (Гребли), в работе Новикова было показано, что система 4 вихрей уже не интегрируема В то же время стоит отметить, что течения, которые изучаются с помощью систем дискретных вихрей, в том числе, указанные выше, зачастую сами плохо изучены и, как правило, являются неустойчивыми Поэтому, при моделировании таких течений системами дискретных вихрей очень важно различать неустойчивость моделируемого течения от неустойчивости системы дискретных вихрей В связи с этим, изучение динамических и стохастических свойств систем дискретных вихрей также оказывается весьма актуальным

При обтекании поверхностей (крыло самолета, лопатки турбин и т д ), как правило, наблюдается переход от ламинарного типа течения к турбулентному, который сопровождается возникновением отрывных зон и большими потерями энергии В работе Зверкова, Занина, Довгаля и Козлова экспериментально изучен новый тип крылового профиля - профиль с волнистой поверхностью Было показано, что этот профиль имеет ряд преимуществ по сравнению с гладким Перспективы использования такого крылового профиля на практике, при проектировании летательных аппаратов, требуют, однако, его теоретического исследования В частности, необходимо изучить свойства устойчивости течения в пограничном слое профиля Внедрение в практику требует скорейшего решения этой задачи, что делает ее актуальной

Цель данной диссертационной работы заключается в разработке и реализации численного инструментария для моделирования вихревых течений и изучения ламинарно-турбулентного перехода Были решены следующие конкретные задачи

1 Исследованы динамические и стохастические свойства систем дискретных вихрей

2 Разработан пакет программ для моделирования динамики вихревых течений

3 Изучена линейная устойчивость течений в пограничном слое гладкого крыла и профиля с волнистой поверхностью

Научная новизна работы состоит в следующем

1 Изучены динамические и стохастические свойства полигональной системы точечных и гауссовских вихрей, найдены время обратимости, инкременты нарастания возмущений, построены корреляционные функции Показано, что в рассматриваемых системах дискретных вихрей, начиная с некоторого N (число вихрей) наблюдается динамический хаос Изучены его свойства

2 Численно изучена введенная Рудяком обобщенная энтропия Колмогорова-Синая (ОК-энтропия) Установлено, что ее эволюция позволяет детектировать различные стационарные состояния системы, в которых она последовательно оказывается в процессе развития неустойчивости Показано, что производство энтропии ведет себя при этом не монотонно Установлена связь ОК-энтропии с энтропией Гиббса и дан алгоритм ее расчета

3 Аналитически и численно впервые изучены характеристики устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей

4 Построен алгоритм решения задач вихревой динамики методом вихревых частиц При этом исходные поля завихренности могут быть смоделированы сколь угодно точно Точность алгоритма растет с увеличением N

5 Исследован ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое над гладким и волнистым крылом Выявлены основные этапы развития волновых возмущений ламинарного течения Установлено соответствие экспериментальных и теоретических результатов, полученных для течения по оси симметрии крыла Выявлены особенности развития неустойчивых возмущений ламинарного течения на волнистом крыле

Практическая ценность работы состоит в создании пакета программ для решения широкого класса гидродинамических задач Данные расчета устойчивости течений над гладким и волнистым крылом могут быть использованы при проектировании новых видов летательных аппаратов Алгоритм расчета энтропии Гиббса можно использовать при исследованиях любых систем частиц, в том числе молекулярных

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается сопоставлением с экспериментальными результатами, многочисленным тестированием используемых программ и алгоритмов, сравнением с известными аналитическими результатами и данными других авторов

Основные положения, выносимые на защиту

1 Результаты изучения динамических и стохастических свойств полигональных систем дискретных вихрей

2 Данные аналитического исследования устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей

3 Численное изучение обобщенной энтропии Колмогорова-Синая

4 Алгоритм расчета энтропии Гиббса для системы вихрей

5 Пакет программ для моделирования вихревых течений с помощью системы дискретных вихрей и для изучения ламинарно-турбулентного перехода

6 Результаты исследования линейной неустойчивости пограничного слоя над гладким и волнистым крылом

Личный вклад автора состоит в разработке комплекса программ для моделирования вихревых течений системой дискретных вихрей и исследования ламинарно-турбулентного перехода, а также в проведении аналитических и численных исследований и анализе всех полученных результатов

По результатам выполненных исследований опубликовано 19 печатных работ, из них 4 в рецензируемых журналах из списка изданий рекомендованных ВАК РФ, 1 научная статья в журнале «Доклады АН ВШ РФ» и 2 научные конференции

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников (93 наименований). Работа изложена на 136 страницах, включая 68 иллюстраций и 9 таблиц

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор соответствующей литературы, формулируется цель работы, кратко излагается содержание диссертации по главам, приводится перечень выносимых на защиту положений

Первая глава посвящена изучению динамических и стохастических свойств дискретных вихрей В первом параграфе кратко изложен вариационный принцип построения метода дискретных вихрей для описания течений жидкости, разработанный Веретенцевым, Рудяком и Яненко В работе исследуются две конкретные модели - гауссовские вихри и точечные Уравнения движения гауссовских вихрей имеют вид

( 1х.-х,.'2^

1-

Й?Х,

Л

-ехр

к 1 У

(х-х,)хп

(1)

где п - нормаль к плоскости течения, 7=1,. Движение точечных вихрей

описывается уравнениями

л

■х4)хп

1 к

(2)

В разделе 1 2 изучаются динамические и стохастические свойства полигональной системы точечных вихрей Полигональная система представляет собой систему одинаковых вихрей, расположенных в углах правильного многоугольника Для полигональной системы точечных вихрей Кельвин построил аналитическое решение Для полигональной системы (1) такое решение было построено нами Частицы движутся по одной окружности вокруг центра с постоянной угловой скоростью

а=-

4тг Я2

^ -1) - £ехр{-2Д2 [1 - соз(2 жк/Ы)]/<г2}

Для точечных вихрей угловая скорость равна а = Г(ЛГ-1)/4тг7г2 Наличие точного решения показывает, что данная система интегрируема Именно поэтому полигональная система вихрей была выбрана в качестве тестовой для изучения динамических и стохастических свойств систем дискретных вихрей

Уравнения (1), (2) решались численно с помощью методов Эйлера, Рунге-Кутта 2 и 4-го порядков, Бутчера, а также методами прогноза-коррекции Милна и Хемминга Эволюция возмущений (естественных, возникающих при компьютерной реализации, или контролируемых) в фазовом пространстве описывается функцией

1 ' Г " г- -.У'2

• (3)

где г; (О - соответственно точное и численно полученное решения, а I число реализаций Типичное поведение функции (3) для разного числа точечных вихрей представлено на рис 1 Для систем точечных вихрей с N >7 функция (3) имеет экспоненциальный участок роста, что означает наличие в системе локальной неустойчивости

Ьп А

10'

10

-5

10

10 10

-9

■14

■и

""Г ' 1__ Т..............— "1-------------------

¡2 /

-/ 3 ^^ -

А ^

~ . . ... .1™ _____ б —4_

0 2 4 б Г Рис 1 Эволюция функции (3) Кривая 1 соответствует системе N = 100,2 -N = 50,3-И = 20,4-N =10,5-N = $,€-N=1

Получены зависимости инкрементов нарастания возмущений от параметров полигональной системы Установлено, что инкремент нарастания прямо

пропорционален интенсивности вихрей, обратно пропорционален квадрату радиуса окружности описанной вокруг полигона вихрей и прямо пропорционален квадрату числа частиц Полученные зависимости хорошо согласуются с результатами линейной теории устойчивости Хэвлока

Кроме естественных возмущений, вносимых в систему компьютером, проводились расчеты с контролируемыми возмущениями Контролируемые возмущения задавались смещением вихрей в начальный момент времени в виде гк = СО$(2як / Ы) + А со$(27гкт / Ы), где А - амплитуда, а т - мода возмущений Установлено, что для малых амплитуд возмущений порядка А < 10"6, инкремент неустойчивости фактически не отличается от инкремента неустойчивости решений с естественными возмущениями Однако, при А> 10-6 инкремент неустойчивости зависит от амплитуды возмущений А а — СС( А)

Динамический хаос в системе определяется наличием локальной неустойчивости и перемешиванием фазовых траекторий Свойство перемешивания характеризуется затуханием автокорреляционной функции В работе, в частности, изучена эволюция автокорреляционной функции координат

4'>0) = *„(*,0)/;гя(0,0), (5)

X» (',0) = Д х, (уд*)*, +*) + у, (у Дг)у, + г)] |

Установлено, что для полигональной системы точечных вихрей при N>7, функция (5) имеет квазипериодический затухающий характер (рис 2) Для систем, где N <7, данная функция (5) периодична, а амплитуда ее колебаний не уменьшается со временем Таким образом, показано, что в системах точечных

Рис 2 Эволюция корреляционных функций (5) для разных N Кривая 1 соответствует 100 вихрям, 2-10 вихрей, 3-7 вихрей

В разделе 1 3 представлены результаты решения задачи линейной устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей Совместно с Бордом по-

8

лучена аналитическая формула зависимости инкремента роста возмущений от параметров полигональной системы Для предельного случая, когда дисперсия гауссовских вихрей стремится к 0, что соответствует системе точечных вихрей, данная формула совпадает с формулой Хэвлока для полигональных систем точечных вихрей

■5¿yiQQ 25/50

0 75

02S-

OSS 11 165 Рис 3 Зависимость инкрементов нарастания главных мод от дисперсии распределения завихренности

На рис 3 представлены графики зависимостей инкрементов нарастания главных мод возмущений от дисперсии распределения а Названия кривых т/N составляются из т - мода возмущений и N - число вихрей в системе Значению <т = 0 соответствуют точки на оси ординат Видно, что существует пороговое значение <т = 0 3, до достижения которого гауссовские вихри ведут себя практически как точечные Дальнейшее увеличение дисперсии приводит к монотонному уменьшению инкрементов главных мод до нуля Видно также, что значения дисперсии, при которых происходит стабилизация движения, имеют конечное значение, причем эти значения близки для систем с различным числом вихрей Таким образом, показано, что существует порог полной стабилизации главных мод возмущений в системах гауссовских вихрей

Влияние дисперсии распределения на инкременты нарастания разных мод возмущений в системе гауссовских вихрей оказывается различным Однако, существует пороговое значение дисперсии, при котором наступает стабилизация всех мод возмущений Показано, что численным моделированием можно получить лишь инкремент наиболее неустойчивой моды возмущений

Раздел 1 4 посвящен изучению динамических и стохастических свойств систем гауссовских вихрей с помощью прямого численного моделирования Было установлено наличие стадии локальной неустойчивости, для общего случая N >1 Характерно, что при увеличении дисперсий вихрей происходит стабилизация системы На рис 4 представлены графики эволюции функции (3) для систем с различным числом частиц Из рис 4 видно, что система 8 вихрей при значении <т = 0 8 уже не имеет экспоненциального роста Получены зависимо-

сти инкрементов нарастания возмущений от интенсивности, числа вихрей и радиуса полигона Установленные зависимости аналогичны тем, что получены для систем точечных вихрей Значение инкремента неустойчивости монотонно уменьшается при увеличении дисперсии вихрей, причем существуют конечные пороговые значения дисперсии, при которых в системе не наблюдается локальная неустойчивость

Рис 4 Эволюция функции (3) для гауссовских вихрей при а — О 8 Кривая 1 - N = 100,2 - N = 50,3 - N = 20,4 - N = 10,5 - N = 8,6 - N=7

Изучено поведение автокорреляционной функции координат гауссовских вихрей (5), которая, в общем случае, при N >1 имеет квазипериодических затухающий характер, что указывает на наличие в системе перемешивания траекторий Таким образом, в системах гауссовских вихрей установлено существование динамического хаоса. Было показано, что, варьируя значение дисперсий вихрей, можно замедлить затухание функции (5) Поэтому в сравнении с системами точечных вихрей, системы гауссовских вихрей более устойчивы к возмущениям, возникающих, в частности, при численном моделировании

В работах Савченко и Рудяка было отмечено, что полигональные системы дискретных вихрей имеют ряд различных стационарных состояний На примере полигональной системы точечных вихрей можно проследить, как в некоторый момент времени происходит спаривание соседних вихрей, и эти пары ведут себя как единые вихревые структуры Затем процесс повторяется, и вихревые пары образуют уже вихревую четверку, и т д Рудяком была высказана гипотеза о том, что смену стационарных состояний можно описывать с помощью, так называемой, обобщенной энтропии Колмогорова-Синая (OK-энтропия) К-энтро-пия может быть представлена в виде

К = lim lim Г1 In &(t, s) = lim lim Г1 In ([r(0 - r(i, s)f У" (6)

£-»0 ' - >'« £ >0 /-»oo \ /

Функция (6) позволяет получить лишь инкремент нарастания возмущений, однако, она не чувствительна к структурным изменениям течения, которые происходят на ранних этапах Поэтому вводится OK-энтропия, которую можно записать следующим образом

Ке =(?') 'ЬгаД, (7)

где ^ = t/TN =2жt/Q, (параметр а выбирался так, чтобы была положительной), Тп - период вращения невозмущенной системы.

В разделе 1 5 изучается связь ОК-энтропии с указанными выше переходами между стационарными состояниями Чтобы ускорить развитие неустойчивости, вводились контролируемые малые возмущения Рассмотрена система 32 точечных вихрей Исходные координаты частиц возмущались по синусоидальному закону, с длинами волн кратных числу вихрей Л,6 - 2л"Л/16,

= 2я\#/8, и амплитудами соответственно равными 10~6, Ю"10

Эволюция функции (7) для системы 32 точечных вихрей представлена на рис 5 На стадии локальной неустойчивости ОК-знтропия постоянна (рис 5, кривая 1) и равна инкременту нарастания возмущений Эта стадия завершается спариванием вихрей Затем ОК-энтропия монотонно уменьшается Выход системы на новый стационарный режим (£'»0.75) - образование 8 вихревых структур, сопровождается заметным снижением затухания ОК-энтропии Именно здесь график ОК-энтропии заметно меняет свою кривизну Перестройкам состояний соответствуют всплески производства энтропии (рис 5, кривая 2)

Таким образом, подтверждена гипотеза о том, что ОК-энтропия позволяет не только характеризовать свойства локальной неустойчивости и перемешива-

Рис 5 Эволюция ОК-энтропии (кривая 1) и ее производства (кривая 2)

Как известно, гиббсовская энтропия гамильтоновых систем конечного числа частиц постоянна Поэтому для описания неравновесных состояний обычно вводят тем или иным способом огрубленную энтропию, которая зависит от величины огрубления Для системы материальных точек, в частности точечных вихрей, энтропия Гиббса пропорциональна объему фазового пространства занимаемого системой. Объем фазового пространства системы материаль-

ных точек имеет меру ноль, поэтому соответствующая энтропия оказывается не определенной

За счет ограниченного представления вещественных чисел начальные координаты всегда имеют погрешность порядка S (£»10 16) Следовательно, фазовые траектории, выходящие в начальный момент из фазового пространства с характерным размером S, не различимы Поэтому при численном моделировании энтропия начального состояния системы имеет конечное значение Объем фазового пространства с течением времени изменяется пропорционально функции А(0 Поэтому энтропия S(t) = &1пГ(0, где Г(0 - фазовый объем с течением времени изменяется по закону

S = ¿1пГ(*0)Д(0 = *1пГ(*0) + ШД(0 - S0 + *]пД(0 (8)

где S0 - некоторое начальное значение энтропии

Значение энтропии (8) в численных расчетах является универсальной характеристикой системы Эволюция функции S = S —S0 показана на рис 6 (кривая 1) Переход на новый стационарный режим также характеризуется резким изменением энтропии и всплескам ее производства (кривая 2) Фактически последовательное спаривание вихревых структур означает понижение в систе-

Рис 6 Эволюция энтропии Гиббса (кривая 1) и ее производства (кривая 2)

В главе 2 описан реализованный пакет программ В первом разделе рассмотрен алгоритм построения аппроксимации однородного поля завихренности течения с помощью гауссовских вихрей Аппроксимация заключается в распределении вихрей по узлам равномерной прямоугольной сетки и поиске таких значений дисперсий и циркуляций вихрей, которые бы минимизировали погрешность аппроксимации При моделировании равномерных полей завихренности вихри должны быть одинаковыми, а значит, неизвестных будет всего два

Для их определения выделим некоторый внутренний узел сетки с координатами Г1; и точку Г2 в середине смежной ячейки сетки Тогда записав условия равенства значения завихренности заданного поля и поля генерируемого набором одинаковых вихрей в этих точках 0(г,,0,з) = 0(г2,0,8) = Г20, получим систему двух нелинейных алгебраических уравнений относительно двух неизвестных Г и о" Для численного решения этой системы использовался метод градиента Показано, что с измельчением сетки (увеличением числа частиц) уменьшается погрешность аппроксимации поля Тестирование предложенного алгоритма проводилось на нескольких характерных течениях (вихрь Рэнкина, вихрь Кирхгофа, вихревое кольцо и т п ) Относительная погрешность моделирования определяется по формуле

©=[п-п0|/а0, (9)

здесь С10 - моделируемое значение завихренности, О, - среднее значение завихренности в узлах заданной сетки О = Л^' , )

1

05

0

Рис 7 Поле завихренности вихря Ренкина вдоль оси х Кривая 1 соответствует N = 109, кривая 2 - N = 185, кривая 3 - N = 3505

В диссертации представлены результаты моделирования двух тестовых полей завихренности - вихрь Рэнкина и вихревое кольцо На рис 7 показан график завихренности вдоль оси л: для поля завихренности вихря Рэнкина Таблица 1 отражает относительную погрешность в зависимости от числа частиц Так при моделировании поля вихря Ренкина с точностью 3% достаточно 1000 частиц

Таблица 1

Относительная погрешность начальной аппроксимации поля Ренкина в зависимости от числа частиц

N 109 137 185 317 641 1245 3505

© 0 114 0 103 0 086 0 069 0 047 0 033 0 02

В разделе 2 2 изучена применяемость методов семейства Рунге-Кутта и методов прогноза-коррекции для интегрирования систем уравнений движения дискретных вихрей (1) и (2) Установлено, что возмущения численных траекторий, полученных различными методами, имеют характерный экспоненциальный рост Причем, инкременты нарастания возмущений различаются в пределах процента (см рис 8 для полигональной системы 32 гауссовских вихрей с

<7 = 1(Г3 и Г = 1) ¿ЛД

-ГС -20 -30

"^О 0.2 04 0.6 0Я ?

Рис 8 Эволюция функции (3) Кривые соответствуют разным методам 1 -Эйлер, 2 - Р К-2, 3 - Хэмминг, 4 - Р К -4, 5 - Бутчер, 6 - Милн

Отметим, что чем выше порядок схемы интегрирования, тем меньше погрешность решения (рис 8), однако, можно заметить, что с увеличением порядка схемы участок локальной неустойчивости возникает раньше Связано это с тем, что с увеличением порядка схемы увеличивается и число арифметических операций на выполнение одного шага, что приводит и к более интенсивному накоплению погрешности Поэтому при интегрировании на больших интервалах лучше выбирать схему меньшего порядка

При численном решении систем (1) и (2) проверяется выполнение законов сохранения импульса, момента импульса и энергии вихревой системы Показано, что законы хорошо выполняются (см таблицу 2) на достаточно больших интервалах интегрирования В таблице 2 приведены значения относительной погрешности энергии полигональной системы 32 гауссовских вихрей на одном периоде вращения Шаг интегрирования для рассматриваемых схем был равен КГ"

Таблица 2

Точность определения энергии

Методы Эйлер РК-2 РК-4 Бутчер Хемминг Милн

тах| £(/) - £0 | /Я0] 7 КГ2 5 8 10"' 3 5 1(Г12 1 2 1<Г12 з ю-10 1 5 Ю-10

В третьем разделе второй главы описана математическая постановка задачи линейной устойчивости гидродинамических течений Следуя работе Линя, введено уравнение Орра-Зоммерфельда с однородными граничными условиями Описаны методы Галеркина и ортогональной прогонки для численного решения уравнения Орра-Зоммерфельда

Четвертый раздел посвящен описанию архитектуры и интерфейса разработанного пакета программ для моделирования вихревых течений с помощью вихревых частиц и исследования устойчивости течений Представленный программный комплекс имеет следующую блочную структуру

1 Блок решения динамических уравнений

2 Блок аппроксимации начального поля завихренности

3 Блок расчета кривых нейтральной устойчивости.

4 Блок расчета гидродинамических полей и аналитических функций

5 Блок визуализации и представления расчетных данных

6 Пользовательский интерфейс

Основой пакета программ является объектно-ориентированная библиотека классов численных алгоритмов Так, для решения систем дифференциальных уравнений построен интерфейс ODESolver, который должны наследовать все схемы интегрирования В этом интерфейсе предусмотрены функция solve() -решение системы ОДУ, функции установки нового значения шага, и получения текущего состояния класса Система уравнений, в свою очередь, описывается интерфейсом ODESystem с такими методами как size() (получить размерность системы) и get() (получить вектор значений правой части при заданном значении вектора аргументов) Такой подход упрощает процедуру добавления новых методов решения и новых систем уравнений - будь это уравнения движения системы точечных вихрей PointSystem или система гауссовских вихрей VortexEnsembleDynamics Расширение типов вихревых частиц, основанных на вариационном принципе (Веретенцев, Рудяк), требует создания класса-наследника от VortexEnsembleDynamics

Помимо численного интегрирования в библиотеке реализованы также методы численного решения СЛАУ методом Гаусса, методы решения нелинейных алгебраических уравнений, а также различные аналитические функции, которые используются для анализа численных решений автокорреляционная функция координат, функция энергии системы вихревых частиц и т д.

Объектно-ориентированная структура позволяет в дальнейшем расширять библиотеку без изменений в готовых алгоритмах, а также может быть использована в новых задачах Построена справочная система на основе HTML, из которой можно получить полную информацию обо всех классах и их методах

Интерфейс программы основан на диалоговом режиме с пользователем (Wizard) Такой режим предлагает пользователю выбрать класс задач и далее установить значения требуемых параметров задачи Для отображения полученных данных (решение динамической задачи или значения аналитических функций) построены графические модули.

Третья глава диссертации посвящена численному исследованию развития возмущений в пограничном слое крылового профиля Из экспериментов, выполненных сотрудниками ИТПМ СО РАН Зверковым, Заниным, Козловым и Довгалем, были получены профили скоростей вдоль миделевого сечения в пограничном слое над крыльями двух типов - крыло с гладкой поверхностью и с волнистой поперечной поверхностью, для которой снимались значения скорости в горбах и во впадинах В эксперименте также были получены спектральные разложения амплитуд пульсаций модуля продольной компоненты скорости

В первом параграфе численно изучалась устойчивость течения в пограничном слое над крылом с гладкой поверхностью Для каждого профиля скорости, задаваемого сплайн-интерполяцией экспериментальных данных, численно

решалась задача Орра-Зоммерфельда Д2^ = IЯе[(аи — 0))А1// — аи"ц/] относительной амплитуды функции тока возмущений Ц/ Где Д = с1г /с/у2 — а2, а - безразмерное волновое число, СО — безразмерная частота, Ые - число Рейнольдса На верхней границе пограничного слоя у —»1 устанавливаются условия затухания возмущений в виде

у/{у) = Ч'\ ехр(-ау) + у/2 ехр{-уу), у2 = а2 + г Ке(сш(>>) - ю) На нижней границе — условия прилипания жидкости к поверхности крыла

К0) = г'(0) = 0 (9)

Для численного решения задачи применялась процедура ортогональной прогонки На границе у = 1 формулируются линейные условия, допускающие решение в форме (9) Интегрирование проводилось в направлении к границе у = О Спектральный параметр СО определяется из условия существования нетривиальных решений, удовлетворяющих граничным условиям (9) Характеристическая функция, удовлетворяющая этим условиям, может быть взята в виде Г = ц/х ф)у/'2 (0) — ^¡(0)1//2(0) Эта функция является нелинейной и зависит от СО, Яе и а При заданных Яе, и а уравнение -Р(й>) = 0 численно решается методом Ньютона И в результате решения мы имеем точку (со, Яе, а) кривой нейтральной устойчивости Изменяя значения Яе, а и повторяя процедуру нахождения частоты СО, строится кривая нейтральной устойчивости

Таким образом, была проведена серия расчетов, в результате которых для каждого профиля, полученного в эксперименте, построены кривые нейтральной устойчивости По кривым нейтральной устойчивости определялись критические числа Рейнольдса Индексы кривых соответствуют номеру сечения, вдоль крыла (см таблицу 3)

При спуске вдоль крыла, характер течения изменяется, что видно по кривым нейтральной устойчивости (рис 9) Критические числа Рейнольдса при этом меняются от 134 до 36,8 Вертикальные асимптотические участки на кри-

вых 6-8 (см рис 9а) демонстрируют неустойчивость течения по отношению к низкочастотным возмущениям, характерную для слоя сдвига

Таблица 3

Положение сечений профиля и соответствующие им Кес

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

х' 0,28 0,31 0,33 0,36 0,39 0,44 0,46 0,49 0,51 0,54 0,56 0,59

Яес 334 209 134 80 57,5 41,8 38,4 36,5 36 38,5 42,9 61,6

а б

Рис 9 Кривые нейтральной устойчивости

Было установлено, что коэффициенты усиления имеют максимумы в том же частотном диапазоне, что и максимумы спектральных разложениями пульсаций скорости, полученных в эксперименте

Во втором разделе третьей главы изучены характеристики устойчивости течения над крылом с волнистой поверхностью Установлено, что отрыв пограничного слоя над волнистым крылом локализуется во впадинах между волнами и друг с другом не соединяются Кроме того, отрыв пограничного слоя по впадине волнистого крыла возникает раньше, чем над гладким крылом, а отрывные пузыри во впадинах имеют существенно меньшие размеры над волнистым крылом Таким образом, показано, что существуют значительные различия пространственных картин отрывного течения на гладком и волнистом крыльях Зависимости волнового числа и частоты нейтрально устойчивых возмущений от числа Рейнольдса для профилей скорости, соответствующих различным положениям по хорде, представлены кривыми нейтральной устойчивости (рис 10) Критические числа Рейнольдса монотонно уменьшаются по хорде вплоть до сечения 11 (в сечении 1 11ес = 250, в сечении 11 - = 35) Кривые ней-

тральной устойчивости в плоскости позволяют видеть качественную

перестройку свойств устойчивости течения, вызванную формированием внутреннего слоя сдвига

Рис 10 Кривые нейтральной устойчивости для течения во впадинах

Установлено, что в сечении, ближайшем к передней кромке во впадине, неустойчивых возмущений нет, при этом, уже в следующем за ним сечении появляются неустойчивые возмущения со значительными инкрементами нарастания и широким частотным диапазоном

Для течений на горбах также были построены кривые нейтральной устойчивости Было установлено, что критические числа Рейнольдса, в каждом сечении не превышает локальных чисел Рейнольдса, что говорит об устойчивости течения над горбом волнистого крыла Амплитуды пульсаций, наблюдаемые в эксперименте, оказываются при этом в несколько раз меньше амплитуд пульсаций течения во впадинах волнистого крыла и на гладком крыле Возможным объяснением роста амплитуды пульсаций вдоль хорды может быть распространение волн неустойчивости возмущений во впадинах под углом к основному течению

Таким образом, установлено, что придание поперечного профилирования обтекаемой поверхности модели крыла позволяет разбить трехмерную отрывную зону над ней на отдельные участки, разделенные течениям на горбах, устойчивыми в области отрыва на гладкой поверхности Отрыв в течениях во впадинах при этом возникает выше по потоку на 11% хорды по сравнению с гладким профилем Зона перехода развития отрывных возмущений во впадинах сужается по сравнению с соответствующей зоной на гладком профиле, при этом частоты и коэффициенты наиболее неустойчивых возмущений во впадине и на гладком профиле оказываются близки Проведенное экспериментальное и численное исследование течения на волнистой поверхности позволяет сделать

вывод, что создание поперечной волнистости на поверхности является эффективным способом управления трехмерной отрывной зоной Основные эффекты влияния волнистости на свойства течения могут быть получены в результате решения линейной задачи устойчивости для двумерных течений в миделевых сечениях впадин и горбов на профиле

Заключение

Основные результаты работы заключаются в следующем

1 Разработан пакет программ для моделирования вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей Пакет программ содержит объектно-ориентированную библиотеку классов счетных алгоритмов, классы построения аналитических функций и гидродинамических полей, содержит модуль визуализации результатов расчета, а также имеет единый пользовательский интерфейс

2 Разработан алгоритм моделирования вихревых течений методом дискретных вихрей Алгоритм позволяет аппроксимировать с любой наперед заданной точностью произвольные поля завихренности и изучать их последующую динамику

3 Исследованы динамические и стохастические свойства полигональных систем точечных и гауссовских вихрей Установлены зависимости инкрементов неустойчивости от параметров системы Показано, что в данных системах, в общем случае, при N>7 имеет место динамический хаос Численно показано, что система гауссовских вихрей стабилизируется при увеличении значения дисперсии вихревых частиц Результаты численного исследования согласуются с аналитическими результатами линейной теории устойчивости

4 Исследована обобщенная энтропия Колмогорова-Синая Показано, с ее помощью можно детектировать переходы стационарных состояний в вихревой системе Установлена связь этой энтропии с энтропией Гиббса и предложен алгоритм ее численного расчета Данный алгоритм пригоден для вычисления энтропии Гиббса любых дискретных систем частиц, в частности систем молекул

5. Аналитически решена задача линейной устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей Получена аналитическая зависимость инкремента нарастания возмущений в зависимости от дисперсии частиц Показано, что имеется конечное значение дисперсии, при котором стабилизируются все моды возмущений

6 Выполнены численные расчеты линейной устойчивости течения с местной зоной отрыва потока на поверхности гладкого и волнистого крыла Результаты численного расчета согласуются с экспериментальными данными Установлено, что придание поперечного профилирования обтекаемой поверхности модели крыла позволяют управлять трехмерной отрывной зоной

Автор искренне благодарит своего научного руководителя д ф -м н , проф В Я Рудяка за постоянную помощь в работе, полезные советы и поддержку на протяжении всех этапов исследования Автор выражает признательность к ф -м н , доценту Б Г Борду за теоретические консультации и помощь в решении аналитических задач

список публикаций

1 Кранчев Д Ф Стохастические свойства системы точечных вихрей / Рудяк В Я, Борд Е Г, Кранчев Д Ф // Письма в журнал технической физики - 2004 - Т 30, вып 6 - С. 20-24

2 Кранчев Д Ф Динамический хаос в полигональной системе точечных вихрей / Рудяк В Я, Борд Е.Г, Кранчев Д Ф // Доклады академии наук высшей школы РФ -2004 -№2(3) - С 48-57

3 Кранчев Д Ф Исследование устойчивости полигональных систем вихрей / Кранчев ДФ // Доклады молодежной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» -Новосибирск ИТПМ СО РАН -2005, вып Х,-С 102-105

4 Кранчев ДФ Линейная устойчивость системы гауссовских вихрей / Борд Е Г, Кранчев Д Ф // Сибирский журнал индустриальной математики -2005 -Т VIII, № 3(23) -С 8-17

5. Кранчев Д Ф Обобщенная К-энтропия и энтропия Гиббса системы точечных вихрей / Рудяк В Я, Кранчев Д Ф // Письма в журнал технической физики -2006 -Т 32, вып 18 - С 58-64

6 Кранчев Д Ф Экспериментальное и теоретическое исследование развития возмущений в пограничном слое на крыле малого удлинения / Рудяк В Я , Борд Е Г, Кранчев Д Ф , Козлов В В , Зверков И Д, Занин Б Ю , Довгаль А В // Теплофизика и аэромеханика - 2006 - Т 13, № 4 - С 551-560

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20, тел /факс (383) 346-08-57 формат 60x84/16, объем 1 5 п л , тираж 100 экз , заказ № 1199 , подписано в печать 10 09 07 г

Введение.

Глава 1. Динамические и стохастические свойства системы дискретных вихрей.

1.1. Дискретные вихревые модели.

1.2. Динамический хаос в системе точечных вихрей.

1.3. Об устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

1.4. Динамический хаос в системе гауссовских вихрей.

1.5. Обобщенная энтропия Колмогорова-Синая.

Глава 2. Пакет программ для моделирования вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода.

2.1. Моделирование поля завихренности.

2.2. Решение задачи Коши для системы дискретных вихрей.

2.3. Методы решения линейных задач гидродинамической устойчивости.

2.4. Пакет программ.

Глава 3. Исследование развития возмущений в пограничном слое крылового профиля.

3.1. Развитие возмущений на гладком крыле конечного размера.

3.2. Развитие возмущений на крыле с волнистой поверхностью.

С вихревыми течениями сталкиваются при изучении широкого круга практически важных задач, например, закрученные и отрывные течения. Закрученные потоки жидкости часто встречаются в природе - это атмосферные и океанические течения (торнадо, циклоны), в технике эти течения научились использовать в вихревых камерах, сепараторах и т.д. (см., например, работы [Gupta 1984, Алексеенко 1996, Ахмедов 1977]). Вместе с тем было показано, что закрученные течения, при определенных обстоятельствах, могут терять устойчивость по отношению к внутренним или внешним возмущениям, что в свою очередь сказывается на характеристиках потока, а вместе с тем и на режимы вихревых установок. Существующие работы теоретического и экспериментального характера (например [Пиралишвили 1992, Loffer 1991, Ярцев 1991, Kitamura 1994]) рассматривают закрученные течения в конкретных вихревых камерах.

С отрывными течениями имеют дело во всех задачах обтекания тел. С этими течениями встречаются при движении летательных аппаратов, судов, в различных технологических процессах, например, в аппаратах химической технологии. Отрывные течения сами по себе мало изучены и, вообще говоря, являются нестационарными. Также недостаточно изучены вопросы зарождения и развития неустойчивости отрывных течений, что проявляется в переходе из ламинарного режима обтекания в турбулентный.

Для моделирования вихревых течений широко используется вычислительная техника. Это требует совершенствования методов численного моделирования вихревых течений, в том числе отрывных. В частности, появляется все больше работ, в которых задачи о течении вязкой жидкости и газа исследуются путем прямого численного решения уравнений Навье-Стокса. Прямое численное моделирование течений с большим числом Рейнольдса Re встречает, однако, определенные трудности. Во-первых, из-за наличия в уравнениях малого коэффициента пропорционального Re"1 при старшей производной появляются узкие области с большими локальными градиентами функций, что приводит к потере точности и устойчивости решения. Во-вторых, решение нестационарных задач требует больших вычислительных затрат. Поэтому в последние несколько десятилетий все более широко используются более экономные и удобные в применении вихревые методы, основанные на ла-гранжевом подходе к описанию жидкости.

Идея вихревых методов состоит в моделировании изучаемого поля завихренности системой вихревых частиц, движение которых задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Впервые метод точечных вихрей был применен Розенхедом [Rosenhead 1931] для исследования эволюции вихревой пелены. Точечные вихри основаны на представлении поля завихренности системой прямолинейных вихревых нитей с 6-образной завихренностью. Метод точечных вихрей достаточно эффективен для задач, в которых требуется найти некие общие интегральные характеристики течений, например, силы, действующие на тело, а в ряде случаев позволяют получать правильную качественную информацию о течении. Применяют метод точечных вихрей и в задачах с образованием пограничных слоев как составную часть пригодную для описания течений в зонах, где вязкие эффекты несущественны [Горячев 1898]. Однако для расчета более тонких характеристик течений связанных с пульсационным характером течения, с развитием неустойчивости, исследованием отрывных зон, метод точечных вихрей применить не удается. Для моделирования таких эффектов приходится увеличивать число точечных вихрей, при этом наблюдается стохастизация их траекторий [Kuwahara 1973, Birkhoff 1959], что связано с неограниченным ростом скоростей точечных вихрей при их взаимном сближении. По этой же причине погрешность в определении поля скорости может быть очень значительной даже, если движение точечных вихрей является регулярным [Beale 1985].

В связи с этим за три последних десятилетия были развиты методы моделирования течений жидкости набором вихревых частиц, имеющих в отличии от 5-образных точечных вихрей, конечные размеры [Leonard 1980, Chorin 1973, 1973, Kuwahara 1973, Белоцерковский 1978, 1995]. Однако эти методы, как правило, имеют большое число дополнительных параметров, которые не имеют физического обоснования, что вносит произвол в выбор значений этих параметров. В работах Веретенцева, Рудяка и Яненко [Веретенцев 1982, 1985, 1989] предложен вариационный принцип построения вихревых моделей, который лишен перечисленных недостатков. К преимуществам построенных моделей можно отнести еще их консервативность, то есть в них выполняются законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. Было показано, что на практике удобно использовать систему гауссовских вихрей. Гауссов-ские вихри - модель, построенная на основе вариационного принципа, выбором в качестве функции формы завихренности" функции Гаусса. Данная функция формы удовлетворяет условиям сходимости метода и позволяет легко найти явный вид уравнений движения и аналитически вычислить интегралы движения.

В работах Рудяка, Веретнцева и Савченко [Веретенцев 1988, Рудяк 2002] были показаны большие возможности моделирования полей завихренности и реальных физических задач с помощью метода дискретных вихрей, однако, работ по изучению точности моделирования поля завихренности все еще нет. Мало изучен также вопрос оптимального выбора численной схемы интегрирования уравнений движения вихревых частиц. Поэтому исследования в данном направлении актуальны.

Несмотря на то, что методы дискретных вихрей нашли широкое применение в практически важных задачах, работ по исследованию их динамических и стохастических свойств не много. На сегодняшний день построены решения для систем двух и трех вихрей [Grobli 1877]. В работах [Новиков 1975, 1978] показано, что система уже четырех вихрей является неинтегри-руемой и указывалось, что такие системы имеют стохастические свойства. В то же время стоит отметить, что течения, которые изучаются с помощью систем дискретных вихрей, в том числе, вышеуказанные, зачастую сами плохо изучены и, как правило, являются неустойчивыми. Поэтому, при моделировании таких течений системами дискретных вихрей очень важно различать неустойчивость моделируемого течения от неустойчивости системы дискретных вихрей. В связи с этим, изучение динамических и стохастических свойств систем дискретных вихрей также оказывается весьма актуальным.

Аэродинамические характеристики крыльев, используемых при низких числах Рейнольдса, в большой мере определяются двумя возможными взаимосвязанными явлениями: отрывом потока и ламинарно-турбулентным переходом в пристенной зоне течения. Отрыв ламинарного пограничного слоя, как правило, сопровождается его турбулизацией. Последующее присоединение потока к поверхности крыла приводит к образованию местной отрывной зоны (отрывного пузыря), располагающейся в средней части крыла или вблизи его передней кромки. Ключевую роль в формировании подобных течений играет переход к турбулентности, завершающийся в пределах области отрыва.

Обзор экспериментальных результатов, относящихся к исследованию образования местной отрывной зоны в окрестности передней кромки стреловидного и прямого профиля при дозвуковом и сверхзвуквом обтекании, содержится в [Чжен 1991, гл. IX]. Здесь приводятся различные эмпирические критерии для формпараметра, коэффициента восстановления давления, полного давления, позволяющие определить положение точек ламинарного отрыва и последующего присоединения потока на профиле. Последовательное изучение и классификация отрывных пузырей на основании экспериментальных данных, по-видимому, впервые представлены в [Ward 1963]. В этой работе также используются критерии, построенные по формпараметру и коэффициенту восстановления давления для определения положения ламинарного отрыва и присоединения течения. В работе [Briley 1975] численно исследуется течение в отрывной зоне в среднем положении хорды относительно тонкого профиля крыла. В работе [Roberts 1980] предложена полуэмпирическая модель развития течения, вызванного появлением местной отрывной зоны, допускающая продолжение ее в область присоединенного турбулизованного течения.

Следующим шагом в моделировании задач обтекания крыла явилось применение линейной теории гидродинамической устойчивости для расчета развития малых возмущений ламинарного течения. В этом случае положение перехода к турбулентности за точкой отрыва определяется по "е^-методу", предложенному для пограничного слоя в работах [Smith 1956, Van Ingen 1956]. Такой подход к определению характеристик отрывных течений, возникающих в различных условиях, включая обтекание аэродинамических профилей и крыльев, использован рядом авторов [Dini 1992, Drela 1987, Van Ingen 1991, Cebeci 1989, Masad 1994]. В его основе лежит возможность применения линейной теории устойчивости для описания начальной стадии развития волновых возмущений в локальных областях отрыва ламинарного потока, установленная в итоге многочисленных исследований последнего времени. Сопоставление экспериментальных, теоретических и численных результатов указывает на то, что в двумерных течениях основные характеристики малых колебаний, нарастающих за точкой отрыва, удовлетворительно предсказываются теорией устойчивости в приближении параллельности потока.

Одним из главных ресурсов управления отрывом потока и улучшения аэродинамических качеств летательных аппаратов является модификация их несущей поверхности. В работе [Зверков 2003] экспериментально изучен новый тип крылового профиля - профиль с волнистой поверхностью. Было показано, что этот профиль имеет ряд преимуществ по сравнению с гладким. Перспективы использования такого крылового профиля на практике, при проектировании летательных аппаратов, требуют, однако, его теоретического исследования. В частности, необходимо изучить свойства устойчивости течения в пограничном слое профиля. Внедрение в практику требует скорейшего решения этой задачи, что делает ее актуальной.

Цель данной диссертационной работы заключается в разработке и реализации численного инструментария для моделирования вихревых течений и изучения ламинарно-турбулентного перехода. Были решены следующие конкретные задачи:

1. Исследованы динамические и стохастические свойства систем дискретных вихрей.

2. Разработан пакет программ для моделирования динамики вихревых течений.

3. Изучена линейная устойчивость течений в пограничном слое гладкого крыла и профиля с волнистой поверхностью.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Изучены динамические и стохастические свойства полигональной системы точечных и гауссовских вихрей, найдены время обратимости, инкременты нарастания возмущений, построены корреляционные функции. Показано, что в рассматриваемых системах дискретных вихрей, начиная с некоторого N (число вихрей) наблюдается динамический хаос. Изучены его свойства.

2. Численно изучена введенная Рудяком [Rudyak 2004] обобщенная энтропия Колмогорова-Синая (ОК-энтропия). Установлено, что ее эволюция позволяет детектировать различные стационарные состояния системы, в которых она последовательно оказывается в процессе развития неустойчивости. Показано, что производство энтропии ведет себя при этом не монотонно. Установлена связь ОК-энтропии с энтропией Гиббса и дан алгоритм ее расчета.

3. Аналитически и численно впервые изучены характеристики устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

4. Построен алгоритм решения задач вихревой динамики методом вихревых частиц. При этом исходные поля завихренности могут быть смоделированы сколь угодно точно. Точность решения задачи растет с увеличением N.

5. Исследован ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое над гладким и волнистым крылом. Выявлены основные этапы развития волновых возмущений ламинарного течения. Установлено соответствие экспериментальных и теоретических результатов, полученных для течения по оси симметрии крыла. Выявлены особенности развития неустойчивых возмущений ламинарного течения на волнистом крыле. Практическая ценность работы состоит в создании пакета программ для решения широкого класса гидродинамических задач. Данные расчета устойчивости течений над гладким и волнистым крылом могут быть использованы при проектировании новых видов летательных аппаратов. Алгоритм расчета энтропии Гиббса можно использовать при исследованиях любых систем частиц, в том числе молекулярных.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается сопоставлением с экспериментальными результатами, многочисленным тестированием используемых программ и алгоритмов, сравнением с известными аналитическими результатами и данными других авторов. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты изучения динамических и стохастических свойств полигональных систем дискретных вихрей.

2. Данные аналитического исследования устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

3. Численное изучение обобщенной энтропии Колмогорова-Синая.

4. Алгоритм расчета энтропии Гиббса для системы вихрей.

5. Пакет программ для моделирования вихревых течений с помощью системы дискретных вихрей и для изучения ламинарно-турбулентного перехода.

6. Результаты исследования линейной неустойчивости пограничного слоя над гладким и волнистым крылом.

Личный вклад автора состоит в разработке комплекса программ для моделирования вихревых течений системой дискретных вихрей и исследования ламинарно-турбулентного перехода, а также в проведении аналитических и численных исследований и анализе всех полученных результатов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников (93 наименований). Работа изложена на 136 страницах, включая 68 иллюстраций и 9 таблиц.

Основные результаты данной диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработан пакет программ для моделирования вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей. Пакет программ содержит объектно-ориентированную библиотеку классов счетных алгоритмов, классы построения аналитических функций и гидродинамических полей, содержит модуль визуализации результатов расчета, а также имеет единый пользовательский интерфейс.

2. Разработан алгоритм моделирования вихревых течений методом дискретных вихрей. Алгоритм позволяет аппроксимировать с любой наперед заданной точностью произвольные поля завихренности и изучать их последующую динамику.

3. Исследованы динамические и стохастические свойства полигональных систем точечных и гауссовских вихрей. Установлены зависимости инкрементов неустойчивости от параметров системы. Показано, что в данных системах, в общем случае, при N >7 имеет место динамический хаос. Численно показано, что система гауссовских вихрей стабилизируется при увеличении значения дисперсии вихревых частиц. Результаты численного исследования согласуются с аналитическими результатами линейной теории устойчивости.

4. Исследована обобщенная энтропия Колмогорова-Синая. Показано, с ее помощью можно детектировать переходы стационарных состояний в вихревой системе. Установлена связь этой энтропии с энтропией Гиббса и предложен алгоритм ее численного расчета. Данный алгоритм пригоден для вычисления энтропии Гиббса любых дискретных систем частиц, в частности систем молекул.

5. Аналитически решена задача линейной устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей. Получена аналитическая зависимость инкремента нарастания возмущений в зависимости от дисперсии частиц.

Показано, что имеется конечное значение дисперсии, при котором стабилизируются все моды возмущений. 6. Выполнены численные расчеты линейной устойчивости течения с местной зоной отрыва потока на поверхности гладкого и волнистого крыла. Результаты численного расчета согласуются с экспериментальными данными. Установлено, что придание поперечного профилирования обтекаемой поверхности модели крыла позволяют управлять трехмерной отрывной зоной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алексеенко С.В., Окулов В.Л. Закрученные потоки в технических приложениях / Теплофизика и аэромеханика. - 1996, т. 3, № 2. - С. 101-138.

2. Ахмедов Р.Б., Балагула Т.Б., Рашидов Ф.К., Санаев А.Ю. Аэродинамика закрученной струи / М.: Энергия. 1977. - 240 с.

3. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью / М.: Наука. 1978. - 351 с.

4. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей / М.: Физматлит. -1995.

5. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости / М.: Мир. -1971.-350 с.

6. Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях / Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ин-т компьютерных исследований. 2006. - 304 с.

7. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Динамический хаос в системе точечных вихрей / Тезисы докладов 61-ой научно-технической конференции НГАСУ. -2004.-С. 55.

8. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Линейная устойчивость системы гауссовских вихрей / Тезисы докладов 62-ой научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2005. - С. 52.

9. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Устойчивость полигональной системы гауссовских вихрей. Тезисы докладов международной конференции «Лавренть-евские чтения по математике, механике и физике» / Новосибирск: ИТПМ СО РАН.-2005.-С. 110.

10. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Линейная устойчивость системы гауссовских вихрей / Сибирский журнал индустриальной математики. 2005, т. VIII,3(23).-С. 8-17.

11. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Локальные характеристики устойчивости пограничного слоя на крыле с большой относительной толщиной / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. - С. 49.

12. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Управление отрывом в пограничном слое на волнистой поверхности / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. - С. 50.

13. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Вариационный метод построения дискретных вихревых моделей / Новосибирск, препринт ИТПМ СО АН СССР. 1982, №29.

14. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / М.: Мир. - 1973. - 758 с.

15. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Моделирование двумерных течений невязкой жидкости вихревыми частицами конечных размеров / Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск. - 1985. - С. 69733.

16. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Куйбин П.А., Меркулов В.И. О выводе уравнений движения дискретных вихревых частиц для осесимметрич-ных течений / Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1986, № 10, вып. 2. -С. 45-50.

17. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости / ЖВМ и МФ. 1986, т. 26, № 1.-С. 103-113.

18. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я. Об управлении развитием вихревых возмущений в слое смещения / Изв. АН СССР. МЖГ. 1988, № 3. - С. 78

19. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Куйбин П.А. Моделирование формирования вихря / Материалы VI школы-семинара «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости», Колюбакино. 1988. М.: Изд-во МГУ.- 1989.-С. 15.

20. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Куйбин П.А. Гешев П.И. О развитии метода вихревых частиц применительно к описанию отрывных течений / Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1989, т. 29, № 6. - С. 878-887.

21. Волевич J1.P. Исследование неустойчивости Гельмгольца-Кельвина / Москва. (Препринт / АН СССР. Ин-т прикл. Математики, №38-79). -1979.-71 с.

22. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Успехи математических наук. -1961,т. 16,№3.-С. 171-174.

23. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность / Новосибирск: Наука. 1977. - С. 366.

24. Горячев Д.Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей / Магистерская диссерация // Москва: Унив. тип. 1898.

25. Диковская Н.Д., Занин Б.Ю. Экспериментальное и численное исследование устойчивости предотрывного течения на профиле крыла / ПМТФ. -1999, т. 40, № 1.-С. 126-132.

26. Дразин. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Москва: ФИЗМАТ-ЛИТ. 2005. - С. 287.

27. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику / М.: Наука.-1988.

28. Зверков И.Д., Занин Б.Ю. Влияние формы поверхности крыла на отрыв потока / Теплофизика и аэромеханика. 2003, т. 10, № 2. - С. 205-213.

29. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем / М.: ТОО "Янус". 1995.

30. Кранчев Д.Ф., Рудяк В.Я. Стохастические свойства системы точечныхвихрей / Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск. 2003, 4.1. - С. 125-126.

31. Кранчев Д.Ф. Неустойчивость системы гауссовских вихрей с диссипацией / Тезисы докладов 62-ой научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2005. - С. 41.

32. Кранчев Д.Ф. Исследование устойчивости полигональных систем вихрей / Доклады молодежной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». Новосибирск: ИТПМ СО РАН.-2005, вып. Х.-С. 102-105.

33. Куракин Л.Г., Юдович В.И. Устойчивость стационарного вращения полигонального вихревого многоугольника / Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Ижевск. 2003. - С. 238-299.

34. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости / Издательство иностранной литературы. М.: Ин. лит. 1958. - С. 194.

35. Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей / ЖЭТФ. 1975, т. 68, вып. 5.-С. 1868-1882.

36. Новиков Е. А., Седов Ю. Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей / ЖЭТФ. 1978, т. 75, вып. 3. - С. 868-876.

37. Пиралишвили Ш.А., Кудрявцев В.М. Исследование характера распределения осредненных параметров закрученного потока по объему камеры энергоразделителя вихревой трубы с дополнительным потоком / ИФЖ. 1992, т. 62. № 4. - С. 534-538.

38. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях / Новосибирск: Наука. 1987.

39. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость гетерогенных сред. I. Устойчивость плоского течения Пуазейля: Препринт, НГАС N 2(4)-94, Новосибирск, 1994.-С. 44.

40. Рудяк В.Я., Савченко С.О. О развитии неустойчивости в отрывных течениях и кольцевых сдвиговых слоях / Доклады СО АН ВШ. Естественные науки. 2002, №2(6). - С. 42-51.

41. Рудяк В.Я., Савченко С.О. Моделирование неустойчивости закрученной затопленной струи, индуцируемой вихрестоком / СибЖИМ. 2002, т. V, №4(12).-С. 68-77.

42. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Стохастические свойства системы точечных вихрей / Письма в ЖТФ. 2004, т. 30, вып. 6. - С. 20-24.

43. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Динамический хаос в полигональной системе точечных вихрей / Доклады академии наук высшей школы РФ. -2004,№2(3). -С. 48-57.

44. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Динамический хаос в дискретных вихревых системах / Тезисы докладов «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». 2004, вып. IX. - С. 123-124.

45. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф.Устойчивость некоторых дискретных вихревых систем / Тезисы докладов международной конференции «Потоки и структуры в жидкостях». Москва: МГУ. 2005. - С. 268.

46. Рудяк В.Я., Кранчев Д.Ф. Разработка пакета программ расчета двухмерных течений методом дискретных вихрей / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. -С. 62.

47. Рудяк В.Я., Кранчев Д.Ф. Обобщенная К-энтропия системы точечных вихрей / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. - С. 63.

48. Рудяк В.Я., Кранчев Д.Ф. Обобщенная К-энтропия и энтропия Гиббса системы точечных вихрей / Письма в ЖТФ. 2006, т. 32, вып. 18. - С. 58-64.

49. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф., Козлов В.В., Зверков И.Д., Занин

50. Б.Ю., Довгаль А.В. Экспериментальное и теоретическое исследование развития возмущений в пограничном слое на крыле малого удлинения / Теплофизика и аэромеханика. 2006. т. 13, № 4. - С. 551-560.

51. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учебное пособие для вузов / Наука. Гл. ред. физмат лит. 1989.

52. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / М.: Мир. -1988.

53. Чжен П. Отрывные течения / М.: Мир. 1973, т. 2. - 280 с.

54. Ярцев В.А., Рожнема В.К., Мингалев Б.А. Математическая модель течения газа в прямоточном циклоне с рециркуляцией / Изв. Вузов. Горн. Журн. 1991,№2.-С. 47-51.

55. Anderson С., Greengard С. On vortex methods / Stam. J. Number. Anal. -1985. vol. 22. N3.-P. 413-440.

56. Beale J.T., Majda A. Vortex methods. II: Higher order accuracy in two and three dimensions / Math. Comput. 1982, vol. 39, N 159. - P. 29-52.

57. Beale J.T., Majda A. High order accurate vortex methods with explicit velocity kernels / J. Comput. Phys. 1985, vol. 58, N 2. - P. 188-208.

58. Birkhoff G., Fisher J. Do vortex sheet roll up? / Rend. Circ. Mat. Palermo. -1959, ser. 2, vol. 8.-P. 77-90.

59. Brendel M., and Mueller T.J. Boundary layer measurements on an airfoil at low reynolds numbers / AIAA J. of Aircraft. 1988, vol. 25, No. 7. - P. 612-617.

60. Briley W.R., McDonald H. Numerical prediction of incompressible separation bubbles / J. Fluid Mech. 1975, vol. 69. - P. 631-656.

61. Brookshaw Leigh. Java 2D Graph Package. Version 2.4. / web link: http://www.sci.usq.edu.au/staff/leighb/graph.

62. Cebeci Т., Egan D.A. Prediction of transition due to isolated roughness / AIAA Journ. 1989, v.27. - P. 870-875.

63. Chorin A.J. Numerical study of slightly viscous flow / J. Fluid Mech. 1973, -vol. 57.-P. 785-798.

64. Chorin A.J. A comment on the paper "The calculation of large Reynolds number flow using discrete vortices with random walk" by. P. Milinazzo and P.G.Saffman / J. Comput. Phys. 1978, vol.26, N 3. - P. 453-454.

65. Dini P., Selig M.S., Maughmer M.D. Simplified linear stability transition prediction method for separated boundary layers / AIAA J. 1992, vol. 30. - P. 1953-1961.

66. Drela M., Giles M.B. Viscous-inviscid analysis of transonic and low Reynolds number airfoils / AIAA J. 1987, vol. 25. - P. 1347-1355.

67. Fitzgerald E.J. and Mueller T.J. Measurements in a separation bubble on an airfoil using laser velocimetry / AIAA J. 1990, vol. 28, No. 4. - P. 584-592.

68. Grobli W., Specialle Probleme uber die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfaden / Vierteljahrsch. d. Naturforsch. Geselsch. 1877, v. 22. - P. 3781,129-165.

69. Gupta A.K., Lilley D.G., Syred N. Swirl Flows / Abacus press. 1984.

70. Hald O.H. Convergence of vortex methods for Euler'r equations. II / Stam J. Numer. Anal. 1979, vol 16, N 5. - P. 726-755.

71. Havelock Т.Н. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation / Phil. Mag. Ser. 7. 1931, N 1. - P. 617-633.

72. Kelvin Lord. Floating magnrts (illustrating vortex systems) / Collected works. 1878, vol. IV.-P. 135-140.

73. Kidambi R., Newton P. K. Motion of three point vortices on a sphere / PhysicaD. 1998, v. 116.-P. 143-175.

74. Kidambi R., Newton P. K. Collision of three vortices on a sphere /II Nuovo Cimento. 1999, v. 22, № C(6). - P. 779-791.

75. Kitamura O., Yamomoto M. Computation of turbulent flow in cyclone chamber with a Reynolds stress model.: 2-nd Report, Numericcal prediction of cyclone performance / Trans. JSME, B60. 1994, №580. - P. 4002-4009.

76. Kuwahara K., Takami H. Numerical studies of two dimensional vortex motion by a system of point vortices / J. Phys. Soc. Japan. 1973, vol. 34, N 1. -P. 247-253.

77. Leonard A. Vortex methods for flow simulation / J.Comput. Phys. 1980, vol.37, N3.-P. 289-335.

78. Loffer F., Schmidf M., Kirch R. Experimental investigation into gas cyclone flow fields using a laser Doppler velocimeter. Mines et Carries Suppl / Techn. -1991, v. 73, №3.-P. 149-153.

79. Masad J.A., Iyer V. Transition prediction and control in subsonic flow over a hump / Phys. Fluids. 1994, vol. 6, No. 1. - P. 313-327.

80. Milinazzo F., Saffman P.G. The calculation, of large Reynold number two-dimensional flow using discrete vortices with radom walk / J. Comput. Phys. 1977, vol. 23, N 4. - P. 330-392.

81. Perlman M. On the accuracy of vortex methods / J. Comput. Phys. 1985, vol. 59, N2.-P. 200-223.

82. Platten J.K., Flandroy P., Vanderborck G. / Int. J. Eng. Sci. 1974, v. 12. - P. 995-1006.

83. Roberts S. Accuracy of the random vortex method for a problem with non-smooth initial conditions / J. Comput. Phys. 1985, vol. 58, N 1. - P. 29-43.

84. Roberts W.B. Calculation of laminar separation bubbles and their effect on airfoil performance / AIAA J. 1980, vol. 18.-P. 25-31.

85. Rosenhead L. The formation of vortices from a surface of discontinuity / Proc. R. Soc. Lond. 1931, vol. A134. - P. 170-192.

86. Rudyak V.Ya. Dynamical chaos in systems of finite number interacting particles. Dynamics and irreversibility / Verhulst 200 on Chaos. Royal Military Academy. Brussels. Book of abstracts. 2004. - P. 59.

87. Smith A.M.O., Gamberoni N. Transition, pressure gradient and stability theory / Douglas Aircraft Co. Rep. 1956, ES 26388.

88. Teng Z.H. Elliptic-vortex method for incompressible: flow at high Reynolds number / J. Comput. Phys. 1982, vol. 4G, N 1. - P. 54-68.

89. Thomson J.J. A treatise on the motion of vortex rings / Macmillan. 1883.

90. Van Ingen J.L. A suggested semi-empirical method for the calculation of the boundary layer transition region / Rept. UTH-74. Delft Univ. of Technology,

91. Dept. of Aerosp. Eng. 1956.

92. Van Ingen J.L. Research on laminar separation bubbles at Delft University of Technology / Separated Flows and Jets / Eds. V.V. Kozlov, A.V. Dovgal. Springer.-1991.-P. 537-556.

93. Ward J.W., The behaviour and effects of laminar separation bubbles on airfoils in incompressible flow / J. of the Royal Aeronaut. Soc. 1963, vol. 67. -P. 783-790.