автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование устойчивых и оптимальных систем с учетом квадратичности, билинейности и запаздывания

УДЙ?5В>.718 0Д

На правах рукописи

у гг;'д той

с~ С tl.il

Тапалова Шолпан Кабденовна

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ И ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ КВАДРАТИЧНОСТИ, БИЛИНЕЙНОСТИ И ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Специальность 05.13.16-Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Республика Казахстан г. Алматы 1998 г.

Работа выполнена им. Аль-Фараби.

в

Казахском государственном национальном университете

Научный руководитель:

Академик Международной академии информатизации, доктор технических наук, проффесор Бияров.Т.Н.

Официальные Академик Международной инженерной акаде-оппоненгы: мни, доктор технических наук Жумагулов Б.Т.

оппоненты:

Доктор физико-математических наук, проффесор Серовайский С.Я.

Ведущая организация:

Институт проблем информатики и управления Министерства науки - Академии наук Республики Казахстан.

Защита состоится «24» сентября 1998 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета К 14А.01.14 при Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47, ауд. 217.

Отзывы на автореферат направлять по адресу: 480078, г. Ал маты, пр. Аль-Фараби, 71. Казахский государственный национальный университет им. Аль-Фараби, ученому секретарю, (для Нысанбаевой С.Е.)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ им.Аль-Фараби. Автореферат разослан «22» августа 1998г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

С.Е.Нысанбаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. При изучении различных процессов, происходящих в реальной действительности, приходится сталкиваться с одним го наиболее важных понятий - понятием устойчивости движения. Основы теории устойчивости движения были разработаны в конце прошлого века великим русским ученым А.М.Ляпуновым. Им было предложено два метода решения задач устойчивости. Второй (прямой) метод Ляпунова является мощным строгим аналитическим и весьма эффективным методом решения многих теоретических и прикладных вопросов устойчивости движения. Изложение и развитие этой теории полно освещены в известной монографии А.М.Ляпунова, а также в работах Н.Г.Четаева, Е.А.Барбашина, Н.Н.Красовского, В.И.Зубова, И.Г.Малкина, А.М.Летова, К.П.Персидского и других.

На практике часто встречаются модели, описываемые квадратическими дифференциальными уравнениями. Исследование устойчивости по Ляпунову таких систем на основе системы новых приближений не всегда адекватно исходной реальной модели. Поэтому актуальным является исследование устойчивости «в большом» квадратических систем на основе второго метода Ляпунова. К таким математическим моделям относятся, в частности, динамика прямоточного волочильного стана, динамика твердого тела с одной неподвижной точкой и др.

При математическом описании физических явлений мы предполагаем, что будущий ход процесса однозначно определяется его состоянием в настоящий момент. Но, существует ряд физических процессов, в которых будущее зависит от состояний процесса на некотором интервале времени в прошлом, или от всей предыстории процесса, причем этим нельзя пренебречь. Впервые применение метода функций Ляпунова к изучению устойчивости дифференциальных уравнений с запаздыванием выполнены Л.Э.Эльсгольцем и Б.С.Разумихиным. Фундаментальная теория устойчивости систем с запаздыванием создана Н.Н.Красовским на основе понятии функционала Ляпунова. В этой связи, устойчивость квадратических систем с запаздывающим аргументом играет важную роль, так как такими системами описываются все основные медико-биологические, экологические модели.

Одним из качественных свойств математической модели является их оптимальность. В теории оптимального управления хорошо известны метод принципа максимума Понгрягина, метод динамического программирования Беллмана, условия оптимальности В.Ф.Кротова. В этой связи представляется актуальным решение задачи оптимизации для модели с запаздывающим аргументом на основе достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова на конечном отрезке времени.

Как известно, устойчивость по Ляпунову рассматривается на бесконечном интервале времени, что является серьезным препятствием для многих приложений. В связи с этим была разработана теория устойчивости движения на конечном отрезке времени для систем без запаздывания и с запаздыванием, отличающиеся от известных подходов Н.Г.Четаева,Г.В.Каменова, К.А.Абгаряна и

др. Поэтому, представляются актуальными задачи устойчивости движения билинейных систем с запаздывающим аргументом, так как такими системами описывается большинство реальных биологических, экологических и др. моделей. Вопросам математического моделирования биологических систем с запаздыванием посвящены работы Г.И. Швитра, В.Б.Колмановского, Ю.Г.Антомонова и др.

Цель 11 задачи исследования. Целью диссертационной работы является моделирование устойчивых, оптимальных систем с учетом квадратичности, билинейности и запаздывания.

В рамках сформулированной цели ставятся и решаются следующие задачи:

-исследование устойчивости «в большом» квадратических дифференциальных систем с запаздывающим аргументом;

-исследование устойчивости «в большом» квадратических систем с запаздыванием;

-рассмотрение конкретных моделей биологии и техники; -решение задач оптимального управления линейной нестационарной системой с фиксированным временем и с запаздыванием; -исследование устойчивости на конечном отрезке времени билинейных управляемых систем с запаздыванием.

Методы исследования. Теоретические исследования проводились на основе общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, теории уравнений с отклоняющимся аргументом, теории оптимального управления, теории устойчивости движения на конечном отрезке времени.

Научная новизна. В диссертационной работе решена задача моделирования устойчивых «в большом» квадратических дифференциальных систем без запаздывания,,а также с запаздывающим аргументом на основе второго метода Ляпунова.

Исследована устойчивость «в большом» простейших математических моделей регуляции уровня сахара в крови и динамики прямоточного волочильного стана.

Решена задача оптимального управления линейными нестационарными системами с запаздывающим аргументом с фиксированным временем на основе достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова.

Впервые получены условия устойчивости на конечном отрезке времени билинейных моделей с запаздывающим аргументом. В качестве приложения исследован процесс управления микробиологическим ростом клеток и образованием продукта в замкнутом сосуде. На основе вычислительных данных на ЭВМ построены графики.

Практическая ценность и реализация результатов. Устойчивые и оптимальные модели, основанные на квадратических и билинейных дифференциальных уравнениях без запаздывания или с запаздыванием, могут быть использованы в медицине, биологии, экологии, а также в других приложениях. Полу-

ченные результаты могут быть полезны при лечении болезни сахарного диабета, в процессах волочения в производстве и т.д.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, доказывались и обсуждались ria Украинской международной конференции «Modelling and investigation of systems stability». (May 22-23 .-Kiev, 1997); на Ka-захстанско-Российской научно-практической конференции «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности» (16-17 октября, 1997); на Международной научной конференции «Математическое моделирование в естественных науках», посвященное 75-летию академика HAH PK, проф. А.Т.Лукьянова (17-18 апреля, г.Алматы,1997); на республиканской конференции «Компьютеризация образования: проблемы и перспективы» (26-27 май, г.Алматы, 1998); на научных семинарах кафедры МО ЭВМ и математической кибернетики, вычислительной и прикладной математики КазГУ им. Аль-Фараби (1996-1998).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников, включающего 114 наименований, приложения и изложена на 127 страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится структура диссертации и содержание работы, а также сформулированы результаты, отражающие новизну и практическую ценность работы.

В главе 1 диссертационной работе исследуется устойчивость квадратиче-ских дифференциальных систем и их приложения.

В п. 1.1. рассматривается устойчивость квадратических дифференциальных систем вида:

х, = 2ЯХ, + Ё1Л*ХЛ> ' = 1>и> 0)

где а,у , , / = 1 ,п, у = 1«, к - \,п -постоянные числа, или в векторно-матричной форме:

х^а^ + х'В^, / = 1,и,

где х-и-мерный вектор-столбец, а, =(я„ ..... о,„), В=(Ь^ - пхп матрица,

Функцию Ляпунова возьмем в виде 9=х*Нх, где положительно-определенная пхп матрица Н определяется как решение матричного уравнения Ляпунова

НА+А*Н= -С,

С- положительно-определенная пхп матрица. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если матрица А гурвицева, то множество Л = \x\i\ < Их < //,| лежит в области притяжения начала координат квадратической системы (2), где числа д, определяются из условия положительной определенности матрицы Б:

Ч 0 . . о4 ЬП2 • ■

Ы 0 д2 . . 0 -22, Ьт •

ч'о 0 . • Д.; А«1 Ьыг ■ Ь\пп ,

...гг.

ки Кп Ь«21 Кп

при

л

= -x*Fx

Здесь в случае, когда Р неотрицательно-определенная, то можно определить область допустимых возмущений:

О = {х\9(х) = х'Нх < /}.

Теорема 2. Пусть матрица А гурвицева. Тогда О является областью допустимых возмущений системы (2), т.е. если начальные значения х^еТ), то траектория системы (2) остается внутри области О - (д)^, < Их < .

Теорема 3. Пусть матрица А гурпицева или не имеет собственных чисел с положительной вещественной частью. Если существует матрица Н, определяемая как решение матричного неравенства

НА +А *Н<0 или НА +А *Н<0, ' " " п

то нулевое положение равновесия системы (2) асимптотически устойчиво в целом.

Рассматривается также уравнение возмущенного движения, описываемого системой квадратично-нелинейных дифференциальных уравнений:

х = alx + x'Blx + ql<p(a), а = с х, ¿ = 1,и, (3)

где характеристика нелинейного элемента <р{а) удовлетворяет условию

- <к, ?>(0=0, -оо<а, <——<«, <+оо (4)

а да

Для исследования устойчивости использована функция Ляпунова, типа

Э^х'Нх + в\ср{о)с1о,

где 9-вещественный неотрицательный параметр.

В качестве примера рассмотрена устойчивость комплекса «регулируемый источник питания - система автоматического управления» (ИП-САУ).

В п. 1.2. исследована устойчивость «в большом» квадратических дифференциальных систем с запаздыванием:

= + +¿с,,.*(-(¡ = \,п, (5)

где сй=(с,7£, сяь—.стд; аь Ьиц - определяются как и раньше.

Для исследования устойчивости здесь использована теорема Н.Н.Красовского об асимптотической устойчивости, где вместо функции Ляпунова рассматривается обладающий аналогичными свойствами функционал Ляпунова:

т О

где ак, к -1,т -диагональные матрицы с элементами «„„ к = \,т Теорема 4. Пусть матрица А гурвицева. Тогда, если существует положительно-определенные матрицы Я и а такие, что матрица

( т г \

р _ »»1 ¡-1

-С' -а

ч /

отрицательно-определенная в некоторой области Й, то множество й лежит в области притяжения нулевого положения равновесия системы (5).

В п.1.3, проведено исследование математической модели регуляции уровня сахара в крови. В частности рассматривается модель Швитра Д.И., где приходим к системе дифференциально - разностных уравнений

с(<) ¡М

С ЛМ J

О(0 КО

Кс К,

<?(*) = гс<1 + с

ш

т

кп

К,

ш к,и

СО),

т,

(6)

где положительная величина г/ характеризует линейную скорость производства инсулина, положительные величины г1А игс- линейный рост концентраций активного инсулина и сахара в крови соответственно, а при помощи а, Ь и с осуществляется обратная связь. Параметр а управляет скоростью производства инсулина, параметр Ь осуществляет регуляцию уровня сахара активного инсулина в крови, а параметр с показывает уровень сахара в крови. Эти параметры играют центральную роль в осуществлении регуляции системы (6), причем а и с по своему биологическому смыслу являются положительными.

Также исследуется случай сахарного диабета. При сахарном диабете нарушается нормальная регуляция уровня сахара в крови, что выражается в ослаблении обратных связей рассматриваемой физиологической системы.

Здесь же излагается решение другой задачи: составление математической модели системы сахара в крови с учетом функциональной связи гормонов. Функционирование системы сахара в крови описывается с помощью системы дифференциальных уравнений:

Кг:

к*

/

кс к,

G(/) = rJl + c

1-

ш-

S = rx

+ d

lM

KU.

zêLM

„ К/ KIA .

G(t)

Kn

G{r) ,

14

a ,

(7)

G , ч a S

Kr.

к„ K,

s.

В системе (7) посредством параметров аы ,д1 и р осуществляются дополнительные обратные связи.

В п.1.4. исследуется динамика прямоточного волочильного стана, где рассматривается устойчивость системы автоматического управления п - кратным волочильным станом при наличии всех нелинейностей в контурах регулирования.

Уравнения движения отдельного к-то блока стана имеет следующий вид:

dik rt . ск dcok с„

-¡¡•—-лм+ъ

(8)

где Ifc rh ih икя - индуктивность, сопротивление, ток и напряжение цепи якоря двигателя к- блока волочения соответственно; ск- коэффициент пропорциональности; й)к- угловая скорость двигателя к-го блока; щ- поток возбуждения двигателя к-то блока; м>к - число витков обмотки возбуждения к-то блока; Мнк, Jir приведенные к валу к-то двигателя моменты нагрузки и инерции, соответственно; fk((рь) - нелинейная функция, соответствующая кривой намагничивания двигателя к- го блока.

Справедлива следующая теорема относительно уравнения возмущенного движения для (8).

Теорема 5. Если для системы уравнений

^ = ~апх> -"к1ук -акзРк - aktyk Рк, к = Ъп,

~ = etlxt + вк2Рк + вк,хкРк -eki{zk - z, J , dz, _

= сиУк -СпУк-1. к = 2,п, г, = 0, (9)

dp _

-^- = dk]xk-9kyt-dkJk(Pk), к = \,п,

выполняется условие

0к>0, к - Гп,

2. к = \Гп

в силу выбора неизвестных коэффициентов обратной связи {¡ы, к— 1, п , то положение равновесия Л системы (9) устойчиво в целом.

Приводится численное моделирование стана, на основе которого построены графики уравнения движения.

В главе 2 рассматриваются оптимизация и устойчивость систем с запаздывающим аргументом.

В п.2.1. рассмотрена оптимизация детерминированных систем с запаздыванием в общем, изложено известное достаточное условие оптимальности В.Ф.Кротова.

Здесь рассматривается задача о минимизации функционала:

т }

1(и) = \[а1(1)х(1)+Ь'(^х(1 х)л-иЩГ)и]А (10)

о ^

при ограничениях

х(У = АО) х(г) + ВО) х(г-т) + 00) и0), 1е1=/0,Т], (11)

х(0)=9{в\ в е[-т,0] ,иО)=Яг, хО)еЯ„,

где АО),ВО) -матрицы размерности п х и; вектор-функции а/0), Ь/0) из Яп; N0)-положительно-определенная г х г- матрица; 0(0- прямоугольная п хг-матрица и предположениях, что все указанные функции измеримы по ? и ограничены.

х(Т)=0. (12)

Теорема 6. Управление вида

и"0)= и (t) + V°0), tel

с учетом выражения для й"(/)и V°0) решает задачу оптимального управления (10)-(12), где вектор ПО) определяется согласно системе дифференциальных уравнений

<%(/>=п'о) do) и о) -и 71) NO) и о),

%(t)=ai(t)-A'(t)n(t), q\ (0 = b,(t)-B'(t)n(t), te [0,T]

и

с граничным условием

<Р, (Т-т)=0,

если -положительно-определенная матрица и с1е1 Р(0,Т)^0.

В п. 2.1.4 рассматривается случай, при котором кроме условия положительной определенности на систему налагается условие такое, чтобы обеспечить ограничение на управление, если это имелось в постановке задачи. Справедлива следующая теорема. Теорема 7. Управление вида

г/(0 = «(О + У°(0 = (0,Г)?(0,Г), I е I

решает задачу оптимального управления

.](и) = - )и N(1)11(11 ~> тш 2 о

и (11),(12), если ¿/е/ Р (О, Т)Л) и N(0- положительно-определенная матрица.

В п. 2.1.5 синтезирующее управление для заданной системы определяется из условия управляемости, обеспечивающее перевод системы из заданного положения к положению равновесия. Справедлива следующая теорема. Теорема 8. Управление вида

с учетом

и выражения для u(t)

м(0 = u{x(t),t) = ~M(t)x(t) + Л/0(0, / е[0,7), решает задачу оптимального управления

1

J{u) = J

Г г

a\(t)xit)\-blO)x{t - г) + j(u~ u(t))'MW<~ "(0) И.

(11),(12), если detF(t,T)^0 Vte[0,T)víN(t) -положительно-определенная матрица.

Теорема 9. Управление вида

u\x{t\t) = -M(t)x{t) + Ma{t) + V\t), t е[0,Г)

с учетом

V°(t) = N-1 - Q' (1)Г1 (0,T)F(0,7)], t е[0,Г)

и

(f)/7(/) + M"(t)D\t)n(jt) - М>Ж0^(0 + *2(0Ma(t), ^(0=6,(0-540/7(0, (13)

Nfi) + M"{t)N{t)M(í) - N2(í)M(í) - Af(í)i%(í)=0, N2(Í)=M-(Í)N(Í)

u(t) = u(xft).t) = - M(t)x(t)+ M„(t). [0,T)

решает задачу оптимального управления

o ^ 2

(11),(12), если det F(0,T)^0 и /V(7j -положительно-определенная, iV/Cj - неотрицательно-определённая матрица, и N¿(t) такие, что выполняются условия (13).

Далее, в п.2.2, где устойчивость на конечном отрезке времени рассматривается для билинейных систем с запаздыванием, даются основные определения и теоремы, используемые в теории устойчивости для заданной системы.

В п. 2.2.2 стабилизируется движение билинейной системы на конечном отрезке времени. Билинейным принято называть системы, уравнения эволюции которых линейны относительно фазовых координат при фиксированных управлениях и относительно управлении при фиксированных координатах . Справедлива следующая теорема. Теорема 10. Управление вида

u(t,x) = -[О(0х+ДО]' N\t)+^^0)XD \?т, t е[0,7)

где

и

-г

Р(1) = У'0,Т)Р10)У0,Т), I е[0, Г), Р(Г) = 00,

РД/НК-'О.Х), ' 6[0,Г), />,(Г) = со,

г

/

У((,Т)~ решение системы

= -У0 + Г,Г)50 + Г), з-е [О, Г),

сЬ

У(Т,Т)=Е, У(з,Т)=0, если

если Р(иТ), ?е/0,7>положителыю-определенная матрица, осуществляет стабилизацию движения билинейной системы

х(0 = - т)+(С(1)х(1)+1Х1))и, 0 <1 <Т, х(0)=х„, х(в)=<р(в), -т<в<0,

на конечном отрезке времени.

В п. 2.2.3 рассматривается билинейная модель процесса управления микробиологическим ростом клеток и образования продукта в замкнутом сосуде, в котором необходимо достигнуть фиксированного объема выходного продукта за конечное время. В аналитическом виде вычислено управление, которое обеспечивает устойчивость на конечном отрезке времени.

В сосуд, имеющий входное отверстие для подачи питательных веществ и отверстие для отвода образующего продукта, помещается некоторая масса активных бактерий. Бактерии, потребляя питательные вещества, в течение конечного момента времени вырабатывают выходной продукт, размножаются, а также теряют свою жизненную активность.

Этот процесс может быть описан билинейной моделью вида:

т(0 = у(1)т(1)-иОМ1)-зтиО)-т(1 - г), Ф) = -у(0Кхт(1)-и(ф(1)+*,и(1).

Первое уравнение описывает баланс биомассы в замкнутом сосуде, второе характеризует производство синтезируемого продукта. Введены обозначения: т(!)- объем микробиологической массы, 5(7)- объем выходного продукта, и(1)-объем питательных веществ, у (г)- скорость роста клеток, т(/-т)~ учитывает по-

терю жизнеспособности бактерий за конечное время % Л:/, и 5Г- некоторые

постоянные.

В начальный момент времени Го=0:

ф)=0, т(0)==то, т(в)=0, -е?в<0

Задача состоит в том, чтобы достигнуть фиксированного объема выходного продукта я о за конечное время Г, т.е.

*(Г)=80, т(Т)=0.

Используя «метод шагов», получили условия существования и единственности решения. Управление и(1<р), вычисленное аналитически, имеет разрыв - ¿У

первого рода производной — в единственной точке 1-Т—т и определяется по

непрерывности слева.

В заключении приведены основные результаты диссертации:

1. Получены условия устойчивости «в большом» и области притяжения квад-ратических дифференциальных систем без запаздывания, а также включая характеристики нелинейного элемента с запаздывающим аргументом на основе второго метода Ляпунова.

2. Исследованы устойчивость «в большом» по Ляпунову комплекса «регулируемый источник питания - система автоматического управления» без запаздывания и простейших математических моделей регуляции уровня сахара в крови, описываемые системой обыкновенных квадратических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

3. Исследованы устойчивость динамики прямоточного волочильного стана, описываемый квадратическими дифференциальными уравнениями без запаздывания. Рассматривается на конкретном примере.

4. Решена задача оптимального управления для линейной нестационарной системы с запаздывающим аргументом.

5. Впервые исследованы устойчивость на конечном отрезке времени билинейных систем с запаздывающим аргументом. В качестве примера рассмотрен процесс управления микробиологическим ростом клеток и образования продукта в замкнутом сосуде

Список публикаций по теме диссертации:

1. Об устойчивости на конечном отрезке времени систем с запаздыванием //Депонировано в КазгосИНТИ, вып.1., N8041.- Ка97,-12с. (соавтор Бияров Т.Н.).

2. Простейшие математические модели регуляции уровня сахара в крови // Научное приложение международного журнала "Вестник высшей школы": Поиск. 1998. №2. С. 124-128. (соавтор Бияров Т.Н.).

3. О моделировании динамики уровня сахара в крови // Материалы международной научной конференции "Математическое моделирование в естественных науках", поев. 75-летию акад. АН РК, проф. А.Т. Лукьянова, -Алматы, 1997.-С.83.

4. К оптимизации детерминированных систем с последействием // Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности: Тез. докл. На казахстанско-российской научно-пракг. конф., Алматы, 1997.-С.38. (соавтор Бияров Т.Н.).

5. Устойчивость квадратичных систем с запаздывающим аргументом // Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности: Тез. докл. На казах-станско-российской научно-практ. конф., Алматы, 1997.-С.117.

6. Экологическая задача управления межвидового взаимодействия // International Conference "Modelling and investigation of systems stability": Thesis of conference .-Kiev, 1997.-p.129.

7. Оптимизация систем с запаздыванием //Депонировано в КазгосИНТИ, вып. 1., N8042,- Ка97,-Юс. (соавтор Бияров Т.Н.).

8. К оптимизации детерминированных систем с последействием // Вестик КазГУ. Матем., механ., информат. №10 - Алматы, 1998.-С.149-152.

9. Моделирование биологических систем с учетом запаздывания // Материалы республиканской конференции «Компьютеризация образования: проблемы и перспективы», -Алматы, 1998. - С.200-201.

Тапалова Шолпан К^бденкызы

Орныкти жопе тшнод жуйелерд! квадратгылыкл'ы, бнсызыетылыкты жене кедиклел аргумента ескере отырып модельдеу.

Жумыстьщ мацсаты - дифференциалдьщ тецдеулерд1н; оц жагында квадраттылыкуы, бисызыкхылыкхы жэне кеилкпел1 аргумент ескере отырып Ляпунов бойьшша орньщгылыкз~ы жене тшмдо жуйелер1н модельдеу есебш шешу болып табылады.

Жумыста квадратгык; дифференциалдык; жуйелердщ "улкен ауытхудагы" орньгкуылыгыныц шарггары кецпкпел! ар1умееттердо ескермей жэне есекере отырьш альшган. Зерттеу нэтгсхелершщ крлданылуы ретище туратокгы сым созатьга стандарды модельдеу жене кэндагы кднттыд децгейш реттеу модельдер1 кдрастырылган.

Кеш1кпсл1 аргумент сызыкгы стационар емес жэне бнсызьщгы жуйелердщ тишд1 баскдру ссеб! шелилген.

Алынган нетижелерд1 техникалых,, медицпналык, жэне биологиялык. жуйелерда модельдеу кезшде хрлдануга болады

Tapalova Scolpan Kabdenovna

The designation of the stable and optimal systems with discount of the quadrating, bciining and belating.

The target of dissertational work concluded is a designation of the stable like Liapunov and optimal systems with discount of the quadraturing, beiining and belating in the right part differential equatins.

In this work for first time the conditins of the stabiliti "in grater" of the quadratial differential systems disregarding and with discount of the belating of the argument received.

The designation of the rectilinear dragind camps and models of the regulation of the labels of the sugar in a blood examined in the capacity or character of supplement.