автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование теплоэнергетических установок на основе теории дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных

На правах рукописи

//ф^Ч^-

Нгуен Хак Дисп

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

005557999

Иркутск 2014

005557999

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Иркутский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ИрГТУ»)

доктор физико-математических наук, профессор Чистяков Виктор Филимонович

Гозбенко Валерий Ерофеевич

доктор технических наук, профессор, кафедра «Математика» ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения», профессор

Жарков Павел Валерьевич

кандидат технических наук, отдел теплосиловых систем ФГБУН Институт систем энергетики им. JI.A. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук, старший научный сотрудник

Ведущая организация - ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет), г. Челябинск.

Защита состоится 18 декабря 2014 г. в 9:00 на заседании диссертационного совета Д 003.017.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 664003, г. Иркутск, ул.Лермонтова, 130, к.355.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН по адресу: г.Иркутску, ул.Лермонтова, 130, к.407, и на сайте: sei.irk.ru/dissert/council

Отзывы на автореферат в двух экземплярах с подписью составителя, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 664033, г.Иркутск, ул.Лермонтова, 130, на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Автореферат разослан « 06 » ноября 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного со- '

вета, доктор технических наук, профессор A.M. Клер

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важную роль в подготовке персонала электрических станций, повышении и поддержании уровня его профессионального мастерства играют тренажеры, с помощью которых можно с той или иной степенью полноты воспроизвести обстановку работы на данной станции. В последнее время широкое распространение начинают получать тренажеры, воспроизводящие информационное поле оператора с помощью алфавитно-цифровых } дисплеев. Главным ядром и наиболее сложной частью тренажеров является всережимная математическая модель технологического процесса, качество которой в значительной мере определяет эффективность всего процесса тренировки и обучения.

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей сложных теплоэнергетических установок, на примере математических моделей прямоточного парового котла. Модели включают в себя: дифференциальные уравнения, описывающие поверхностные сосредоточенные или распределенные теплообменники; обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие топку; алгебраические уравнения, описывающие гидравлику пароводяного и газоводяного трактов котла.

Такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Если система содержит уравнение в частных производных, то такую систему называют ДАУ в частных производных. В настоящее время системы ДАУ в частных производных (не типа Коши-Ковалевской) активно изучаются в связи с приложениями в энергетике, моделировашш химических реакторов, моделировашш сложных механических конструкций, и т.д.

При изучении ДАУ в частных производных возникает ряд вопросов:

• можно ли приписать системе какой-нибудь тип (гиперболический, эллиптический, параболический). Как известно из теории невырожденных систем, тип системы является определяющим при выборе методов решения;

• одной из фундаментальных трудностей является такое обстоятельство: мы не можем судить о близости некоторой вектор-функции к решению по малости невязки при подстановке в систему. Сколь угодно малой невязке может соответствовать сколь угодно большое отклонение вектор-функции от решения;

• мы не можем произвольно задавать начальные и краевые условия. Они должны быть согласованы с системой уравнений;

• решение начально-краевой задачи может существовать, а решение разностной схемы отсутствовать при сколь угодно малых шагах интегрирования, и наоборот, разностная схема может иметь решение, и решение начально-краевой задачи может не существовать. Поэтому проверка соответствия свойств разностной схемы и решаемого ДАУ является ключевым моментом достоверности проводимых расчетов.

Модель теплоэнергетических установок описывается ДАУ и изучение свойств соответствующей системы позволяет судить о корректности математических моделей.

Вопросы описания динамических процессов в энергетических установках и управление этими процессами привлекали внимание ученых на протяжении длительного времени (см. работы Хабенского В.Б., Вульмана А.Ф., Рущинско-го В.М., Серова Е.П., Королькова Б.П., Попырина A.C., Демиденко Н. Д., Блоха А.Г., Клера A.M., Таирова Э.А., Рубашкина A.C., Жаркова П.В, Левина A.A.). Были разработаны принципы автоматического управления и созданы автоматические управления динамическими процессами в широком диапазоне нагрузок.

В целом, можно выделить два управления-.

В первом из них разработаны методы расчёта отдельных элементов установок, в которых происходит тепломассообмен. Здесь получены условия разрешимости и построены численные методы с обоснованием устойчивости и сходимости ''2.

Во втором направлении, тесно связанном с конструированием тренажеров, рассматриваются сложные теплоэнергетические установки, включающие в себя модели разнообразных элементов. Эти модели в «целом» базируются на расчете материальных и энергетических балансов в каждый момент времени. Наиболее полное воплощение в настоящее время этот подход нашел в работах Рубашкина А.С3.

ДАУ обладают свойствами, отличными от систем уравнений в нормальной форме (форме Коиш-Ковалевской). Поэтому теоретическое (с точки зрения математики) обоснование разрешимости систем уравнений модели и разностных аппроксимаций модели в настоящее время отсутствует. Таким образом, возникает проблема обоснования моделей теплоэнергетических установок

1 Демиденко II. Д., Потапов В. И., Шокин Ю. И. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 2006. — 550.

2Таиров Э.А., Залов В.В. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений. ВАНТ. Сер.: Физика ядерных реакторов. 1991. Вып. 3. С. 14-20.

3 Рубашкин A.C. Теоретические основы построения всережимных аналитических моделей тепломеханических процессов и систем управления энергоблоков ТЭС. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Москва, 2006.

в «целом», в смысле разрешимости систем уравнений, описывающих модели котла и применимости численных методов. ДАУ активно используются в приложениях

Цели работы. Целью диссертационной работы является разработка агрегированных математических моделей (сосредоточенной и распределенной) прямоточного парового котла, а также разработка численных методов решения ДАУ, их обоснование и применение для расчета динамики сложных энергоустановок.

Основные задачи работы:

• разработка агрегированных моделей прямоточного парового котла на основе теории ДАУ в частных производных и сравнение их с сосредоточенными моделями;

• исследование разрешимости ДАУ в частных производных общего вида и начально-краевых задач для них;

• исследование применимости разностных схем (как известных, так и новых: разностные схемы на основе сплайн-коллокации) для решения начально-краевых задач для ДАУ в частных производных;

• создание программ, реализующих численный метод решения начально-краевых задач для ДАУ в частных производных и комплекс программ, моделирующих прямоточный паровой котел.

Методы исследования работы. В диссертации использованы сведения из теории тепломассообмена и существующие модели отдельных элементов котельных установок. При исследовании ДАУ использованы методы линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) и теории разностных схем.

Для создания программ, реализующих численный метод решения начально-краевых задач для ДАУ в частных производных и комплекс программ, моделирующих прямоточный паровой котел, использована среда разработки Delphi 7 (язык программирования Object Pascal).

Научная новизна. Обусловлена тем, что в работе

1. впервые для задач динамики энергоустановок обоснован подход к решению комбинированной системы уравнений, где часть элементов описывается обыкновенными ДУ, часть уравнениями в частных производных и часть алгебраическими уравнениями;

1 Келлер A.B. Численное исследование задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Челябинск, 2011.

2. выделены классы ДАУ в частных производных с гиперболической скрытой структурой, для которых доказаны теоремы существования и единственности. Для квазилинейных ДАУ теоремы существования выписаны автором впервые;

3. исследована разрешимость моделей динамики прямоточного котла как сосредоточенных, так и в частных производных (включающих алгебраические уравнения, описывающие газовоздушный и пароводяной тракты, и ДУ, описывающие теплообмен). Это позволяет проверять модели на корректность (если решете не существует, то нужно пересматривать саму модель);

4. в рамках теорем существования обоснованы разностные методы 1 и 2 порядка точности для системы с постоянными коэффициентами высокого индекса и для квазилинейных ДАУ в частных производных. Индекс системы в квазилинейном случае позволяет судить о применимости численных методов решения систем ДАУ, описывающих энерго-усновки;

5. создан и апробирован комплекс программ, реализующих сосредоточенную (на основе обыкновенных ДАУ) и распределенную (на основе ДАУ в частных производных) модели прямоточного парового котла, и гарантирующий устойчивость и сходимость счета.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

• выписаны сосредоточенная модель (на основе обыкновенных ДАУ) и распределенная модель (на основе ДАУ в частных производных) прямоточного парового котла;

• проведено исследование разрешимости ДАУ в частных производных общего вида и начально-краевых задач для них, доказаны теоремы существования;

• в условиях теорем существования проведено исследование применимости разностных схем (как известных, так и новых: разностные схемы на основе сплайн-коллокации) для решения начально-краевых задач для ДАУ в частных производных;

• создан комплекс программ, реализующих сосредоточенную и распределенную модели прямоточного парового котла. Произведено сравнение функционирования распределенной и сосредоточенной модели при внесении возмущений (изменения расходов топлива, воды, энтальпии входной воды). Показано удовлетворенное совпадение функционирования обеих моделей (совпадение по времени выхода на стационарное решение).

Соответствие специальности. Соответствие паспорта специальнсти 05.13.18 по следующим пунктами: 3) разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; 4) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента; 5) комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. В настоящее время не существует общей теории ДАУ в частных производных, поэтому приходится идти по пути выделения классов уравнений, для которых применимы те или иные численные методы. В рамках этого подхода наблюдается исследование моделей прямоточного парового котла на основе теории ДАУ в частных производных; получены условия, при выполнении, которых начально-краевые задачи для ДАУ в частных производных разрешимы и имеют единственное решение. Квазилинейные ДАУ исследованы, насколько известно автору, впервые; в рамках доказанных теорем существования исследованы возможности применения численных методов (как известных, так и новых).

Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем:

• в работах многих организаций исследуются вопросы построения и алгоритмизации моделей энергоблоков угольных электростанций, предназначенных для использования в составе тренажера оперативного персонала котлотурбинного цеха. На агрегированных моделях, рассматриваемых в данной диссертации, можно отрабатывать принципиальные вопросы построения полных моделей;

• разработанная программная система реализует агрегированные модели прямоточного парового котла. Программная система позволяет изучать влияние изменения условий функционирования котла: уменьшение площадей нагрева, теплоты сгорания топлива и т.д.

Апробация работы. Результаты, излагаемые в диссертации, были представлены на следующих конференциях и семинарах:

• IV Международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования", г. Воронеж, 2011 г.;

• Ляпуновские чтения, ИДСТУ СО РАН, 2011 г.;

• XII Прибайкальская Школа-семинар "Моделирование, оптимизация и информационные технологии", г. Иркутск-- д. Ангасолка, 2012г.;

• X Международная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление", г. Казань, 2012 г.;

• Ляпуновские чтения, ИДСТУ СО РАН, 2012 г.;

• III Международная Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", г. Иркутск, 2012 г.;

• Всероссийская молодёжная научно-практическая конференция "Малые Винеровские чтения", г. Иркутск, 2013 г.;

• XVin Байкальская Всероссийская конференция "Информационные и математические технологии в науке и управлении", г. Иркутск, 2013 г.;

• Ляпуновские чтения, ИДСТУ СО РАН, 2013 г.

Результаты диссертационного исследования неоднократно сообщались на научных семинарах кафедры Вычислительной техники Иркутского государственного технического университета (рук. к.т.н., доцент Дорофеев A.C.).

Кроме того, результаты диссертации были заслушаны на семинаре лаборатории №73 ИСЭМ СО РАН под руководством профессора Таирова Э.А. и на семинаре кафедры Математического анализа и дифференциальных уравнений Иркутского государственного университета под руководством профессора Фа-лалеева М.В.

Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 10 научных работах, из них 2 статьи в изданиях, входящих в Перечень ВАК: одна из них входит в журналы из перечня Web of Science. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014610193 (2014 г.). Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад. Все выносимые на защиту результаты получены автором лично или при его непосредственном участии.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, 4 глав, заключения, списка литературы, содержащего 178 наименований и приложения. Объем работы составляет 151 страницу, включая 24 рисунка и 10 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана постановка проблемы и обоснована ее актуальность, приведен обзор литературы, сформулирована цель диссертационного исследования и его задачи, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Приведены краткое содержание диссертации и ее основные результаты.

В первой главе представлено описание прямоточной котельной установки, выписаны сосредоточенные и распределенные ДАУ, описывающие математическую модель прямоточного парового котла.

ТО 4 ■3

ft, (Г) / \ G.J Рт{ г)

ТО I Р\ ТО 2 Р2 ТО 3

Рис. 1. Принципиальная схема движения воды (пароводяной схемы) в прямоточном паровом котле (/г, (г) — напор насоса, Рт (г) - давление на входе турбины)

В п. 1.6, 1.7, 1.8 выписаны сосредоточенная модель (на основе обыкновенных ДАУ) и распределенная модель (на основе ДАУ в частных производных) прямоточного парового котла, соответственно.

Рассматривается 3 участка (см. рис. 1). В ТО 1 (теплообменник 1) происходит нагревание воды до температуры кипения, в ТО 2 вода превращается в пар, а в ТО 3 пар доводится до нужной температуры. По ветке 4 в ТО 3 подается вода из ТО 1 для регулирования температуры пара на выходе из котла. Система уравнений, описывающая отдельный ТО имеет вид

+ -/„,,) = a,,-г(р„7,)], (1)

+ - W = -©,)> (3)

где j = 1,2,3 -номер ТО, /' = 1,2, /иу, tiex] -входные в ТО энтальпия и температура газа, Ge - расходы теплоносителя (пара, воды или пароводяной смеси) и газа через ТО, /. - энтальпия на выходе из ТО, IJ -средняя энтальпия, J = yl + (1 - "/)/„, у е [0,1] - коэффициент усреднения, /(р,7) -функция, связывающая температуру теплоносителя с энтальпией и давлением в ТО, если 7 е [/',/"], то г(р,,7) = Г)(р,),где г,(р,) - температура насыщения, ¡'-энтальпия воды в состоянии насыщения, /"-энтальпия пара в состоянии насыщения; р = р(р,/) -функция плотности теплоносителя в ТО; 0; -температура стенки

ТО, -температура газа в ТО, c,,c„ -теплоемкости газа и металла, V],Vi t,Ft 7j ~объемы ТО и площади тепловоспринимающих поверхностей по воде и газу, aej,a2j - коэффициенты теплоотдачи по теплоносителю и газу, Оп j -лучевое тепло, воспринимаемое ТО.

В основу моделирования топки положен закон Стефана-Больцмана 1

а=^([г(Г,)]4-Г/), (4)

V.PA% = -GA(T,-rac)-eL+Q*. (5)

dT F

М3с3-f- = {Т3 - Ty) + QL, (6)

dx p3

где Тг = /,у +rCjS., Т3 = Qj + rCK, 7] -t{p2,I2) + rCK, rCK =273,15- соответственно

температуры газа на выходе из топки, тепловоспринимающего слоя и теплоносителя в градусах Кельвина, г = сТг -температура факела, с = const = 1,1, Ql - количество лучевого тепла, полученное при сгорании топлива, Qugl -количество тепла, выделяемое от сгорания топлива (угля),

Система уравнений, описывающих математическую модель ТО или топки, выражает законы сохранения. Количество тепла, поступающее с газом и лучевым теплом в теплообменник Gecs(teJ -tlex]) + Qj] j, в стационарном состоянии равно количеству тепла, уносимого теплоносителем GeJ(IJ-IexJ). Для

топки количество тепла от сгорания топлива равно теплу уносимому с газом и лучевым теплом: Q^ =вгсг(Тг -rCK) + QL.

Модель включает в себя уравнения (1-6) и уравнения гидравлической цепи (см. рис. 1), связывающие расходы Gel, i = 1,2,3,4 и давления р,,р2- Приток q учитывает изменение плотности пароводяной смеси в ТО 2.

В ряде случаев более точной является модель, описывающая радиацион-но-конвективный теплообменник (одну из структурных единиц комплекса) в частных производных. Горячие газы нагревают воду, протекающую по трубе. Из законов сохранения получаются следующие уравнения1:

• уравнение энергии для воды

Pj.^ + G.^ + atFt[te(I.,p)~©)} = 0; (7)

• уравнение теплого баланса для разделяющей стенки

М„с„ ^ - a,Fe[1(1 ,,р) - 0)] + а А 0 - -

дх { сг,

+ 0 = (8)

уравнение энергии для потока газов

( I '

0 — —

г г J г ^ г ^г г

ОТ ОХ

= 0; (9)

Серов Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенераторов. М.: Энергоиздат, 1981. 408с.

• уравнение, определяющее связи расходов давлений и балансов энергий (в частности, уравнения гидравлической цепи)

П1.,Р,0,) = 0; (10)

• замыкающие соотношения, определяющие условия теплообмена, и уравнения состояния.

В данных уравнениях т-время; /,-энтальпии потоков; * е {в(вода), г(газ), ^((металл)}; /.-температуры потоков; ©-температура стенки; р. - плотности; б,-массовые расходы; М, -массы; Е. -поверхности нагрева; с,-теплоемкости; а - коэффициенты теплоотдачи; р — давление, ()луч - лучевое тепло. Искомыми величинами являются 1в,1г,®,р,Св.

Модели, описываемые уравнениями (1-10), дополнены моделями автоматических регуляторов: расхода питательной воды, расхода на впрыск, содержания кислорода в топке, разрежения в топке и тепловой нагрузки.

Во второй главе рассмотрен общий случай ДАУ в частных производных, выявлены особенности и эффекты, которые могут встретиться при анализе конкретных систем в области энергетики. В этой главе дано определение индекса для ДАУ в частных производных, получены признаки разрешимости ДАУ.

Ниже мы будем говорить, что ДАУ в частных производных имеет скрытую гиперболическую структуру, если исходную систему можно расщепить на подсистемы: гиперболическую в классическом смысле; дифференциальные подсистемы по пространственной и временной переменной, где вторая переменная выступает в качестве параметра; подсистему с единственным решением, в частности, алгебраическую систему. Под индексом системы будем понимать, как максимальный порядок производных входных данных, от которых зависит от решения системы.

Сколь-пибудь реальные модели описываются квазилинейными ДАУ в виде систем вида.

+ В(х, 0$- + С(и,х,0 = ДхЛ (11)

от дх

где Дх,Г),В(х,Г)-(пх п)-матрицы с элементами, зависящими (*,/) е \]=Х х Г,и с V,/(*,/), С(и,х,() заданные п - мерные вектор-функции, и = - искомая п - мерная вектор-функция.

Мы предполагаем, что

с1еЫ(х,/) = 0, ¿&В(х, 0 = 0 У(х,0 е и, (12)

и

и(*0, о = у(0,и(*.'о) = ФШх, 0 еи = ХхГсЯ2, (13)

где /(;с,г),1//(0Ж*) обладают достаточной гладкостью.

В виде систем (11), удовлетворяющих условий (12), (13), можем записать системы, взаимосвязанных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических уравнений. Класс систем, об-

ладающих скрытой гиперболической структурой, и имеющих индекс 1, выделяется следующим утверждением.

Лемма 1. Если гапкЛ(х,{) = с^ с!с1[Я/((х,г) + В(х,г)] = сопя1 = ^,м корни многочлена + = 0удовлетворяют соотношениям

О <\{х,1) <Ъ(х,1) <... < \ < = 0. То-

гда найдутся матрицы Р(х^),<2(х,г):

P(x,t)

А(х, х)Щ- + B(x,t)~— + C(Qz,xj) at ox

(X 0 д (V (J 0 0

0 0 + 0 0 0

пг Jt 2

0 0, 0 \ 0 Е

C,(zi ,z2,z3) C2(^,z2,z3) C3(Zj,z2,z3)

(14)

где u = Qz,J =

\{x,t) 0

C,(Z) 6,(2) C3(z)

= P(*,/)[ f(x,t) - C{Qz,x,t)\ - P(x,t)

А{Х>Ж+В{ХЖ

at ox

z. (15)

Условие совместности начальных и краевых данных определяется следующим образом.

Лемма 2. Пусть выполнено условие леммы 1. Тогда начальные и краевые условия Zj (х, f0), "j (х0, t)можно выбрать произвольно, а начальные и краевые условия z2 (х, tg ), z3 (х0, t) должны удовлетворять соотношению

t X

22(х>0 = г2(хо<{о) + /С2 (z(*0, j))fifa,z3(x0,O = z3(x0,i0) + JC3 (z{s,ta))ds,zde

'о • *0

z(xJo) = Q(x, t0 )ф(х), z(x0,0 = Q(x0 ,t)y/(t),uC2 (z(x0,s)), C3 (z(s,t0 )) определяющиеся no формуле (15).

При предположении линейного роста, нелинейного члена получены условия существования решений.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1, леммы 2 и С(и,х,^удовлетворяет условию:

Щи^-С^х^Щщ-щ] V(.r,/) е U, V(z/[, и2) е R", (16)

где L = const >0. Тогда в области U существует единственное решение задачи (11) с условиями (12), (13).

В третьей главе рассмотрены неявные разностные методы первого и второго порядка на основе сплайн-коллокации.

В пункте 3.1.1 доказана сходимость неявной разностной схемы для начально-краевой задачи для ДАУ в частных производных с постоянными матрицами коэффициентов и получена оценка скорости сходимости. Рассмотрим линейное ДАУ в частных производных:

А— + В— + Си = /(х,0,(*,0еи = ХхГсЯ2, (17)

дt дх

где А,В,С-(пхп) - постоянные матрицы, и = и(х^),/(*:,?)-искомая и заданная вектор-функции соответственно. Предполагается , что в (17)

с!еЫ = 0,с1е1й = 0, (18)

и(х0,О=х1/(О,иМ = Ф(х),(х^е^ = ХхТ£ К1, (19)

причем предполагается, что обладают достаточной гладко-

стью. Вводится в области и сетка

ит, = {(*„.',):*„ =х0+тк,т = 0,1.....= + к,1 = 0,1,..., Л^},

где МИ = х1 = ?, -Г0. Введем оператор

Лт = —х-А^,/ ---'

Рассматривается разностная схема

ЛД^ + ВАнпт; + С™^=ГП1,т = 1,2...,М,1 = \,2,...,Ы, (20) где = /(хт,1,), сеточные начальные и краевые условия имеют вид

=Ф(.хт),м>а,=у/{1,).

В пункте 3.1.2 предложены схемы первого порядка точности для решений линейных, квазилинейных систем ДАУ в частных производных с переменными матрицами коэффициентов. Если система линейна, то расчетная схема имеет вид

ЛО^Кл ,

Т п

(21)

А

+ /(*„,/,)> т = 1,2,..., А/, / = 1,2,...,ТУ.

В квазилинейном случае расчетная схема имеет вид

А(хя,г,) | В(хт,0

г Ъ

(22)

= 0.

Это система нелинейных уравнений решается методом Ньютона. Матрица Якоби имеет вид

Axm,t,) + B{xm,t,) + dC{umJ ,xm,t,)

т h du

и последовательные приближения находятся по формуле < =<i-4-,{uiJ,xm,tl)V(uiJ,xm,t,),j = 0,1,2,...,

где "1.1 =ит-\,!-\' Д° тех П0Р< покаЦи^,' е-некоторое малое поло-

жительное число.

Была решена система с индексом 3 методом первого порядка. На рис.2 показано поведение погрешности численного решения методом разностной схемы первого порядка. Как видно из рис.2 при использовании метода разностной схемы первого порядка возникает пограничный слой ошибок.

Погрешность

1И1111111РЧ НИИ HIHI

-Ш1

ни шиш ш 11

X <

Рис, 2. Поведение погрешности численного решения методом разностной схемы первого порядка (при h - 0,005, т =0,005, А, -вычисление погрешности искомой вектор-функции)

В пункте 3.2 предложены разностные схемы на основе сплайн-коллокации. Этот метод позволяет устранить пограничный слой ошибок. Если индекс системы не превышает порядок метода сплайн-коллокации, то пограничный слой ошибок не возникает .

Решение той же системы ДАУ что и в приведенном выше примере методом разностной схемы на основе сплайн-коллокации обеспечивает значение погрешности А, <0,01 во всей расчетной области.

В таблице 1 пофешности метода первого порядка приведены вне пограничного слоя ошибок.

Следует отметить, что такой эффект получается только для систем высокого индекса с постоянными матрицами коэффициентов. Для систем с переменными матрицами коэффициентов имеют место другие причины появления неустойчивости. Результаты вычислений приведены в табл. 1.

Таблица 1: погрешность Д! при использовании методом разностной первого порядка, погрешность А, при использовании методом разностной схемы на основе сплайн-коллокации.___

Шаг сетки И = т 0,1 0,05 0,04 0,025 0,02 0,0125 0,01

Погрешность Д, 0,029 0,016 0,013 0,0089 0,007 0,0045 0,0036

Погрешность Д2 0,001 0,0004 0,0003 0,0001 0,00008 0,00003 0,00002

Уравнения, описывающие реальные модели являются обычно квазилинейными системами уравнений. Это класс уравнений изучен не полно даже для систем в форме Коши-Ковалевской. В данной главе сделаны первые шаги по изучению квазилинейных ДАУ.

Четвертая глава посвящена анализу моделей прямоточного парового котла и описанию программного комплекса для численных исследований моделей прямоточного парового котла.

В п. 4.1 исследован стационарный случай сосредоточенной модели и проверено условие теоремы существования системы, описывающей распределенную модель.

В п. 4.2 рассмотрен написанный автором программный комплекс (ПК), реализующий модель прямоточного парового котла. Программа обеспечивает выполнение следующих функций: ввод, корректировка и обработка данных для автоматического регулятора (расход питательной воды, разрежение в топке, содержание кислорода в дымовых газах и температура острого пара); проверка стационарного состояния моделей на устойчивость по Ляпунову; расчет процесса изменения температуры острого пара, содержания кислорода в дымовых газах, расхода питательной воды, разрежения в топке; отображение имеющейся информации в таблицах и графическом виде.

В рамках программного комплекса разработаны следующие модули: модуль "Main" - головной модуль ПК, реализующего модель прямоточного парового котла; модуль "Input" - модуль ввода входных параметров и заданных параметров для автоматического регулятора; модуль "Phys" - модуль расчёта теплофизических свойств при использовании сосредоточенных моделей; модуль "Stat" - модуль проверки стационарного состояния моделей на устойчивость по Ляпунову; модуль "Dyn" - модуль расчёта нелинейных динамических величин; модуль "Derivative" - модуль расчёта теплофизических свойств при использовании моделей в частных производных; модуль "Graphic" - модуль, осуществляющий отображение результатов в виде графиков.

Таким образом, основными достоинствами этой программы являются: возможность расчётов с изменением в ходе процесса входных параметров; возможность сравнения результатов по распределенной и сосредоточенной модели. ПК имеет простой и интуитивно понятный интерфейс.

Для проведения численных экспериментов основные параметры в уравнениях (1-6) и гидравлических цепей соответствуют параметрами котла ПК-24.

В п. 4.2.3 рассмотрены примеры применения разработанной методики для тестирования моделей реального котла ПК-24 на устойчивость при входных возмущениях.

Ниже приведены в виде графиков результаты расчетов при заданных значениях параметров, поддерживаемых регуляторами (разрежение в топке, расход питательной воды, содержание кислорода в дымовых газах, температура острого пара) и входных параметрах (входная энтальпия питательной воды, входная температура газа, напоры дутьевых вентиляторов, напор дымососов, атмосферное давление, расход угля, коэффициент потерь, количество воздуха, необходимое для сгорания 1 кг топлива).

Старт модели осуществляется при начальных данных сильно отклоняющихся от стационарного состояния модели. В частности, расход питательной воды на 25% превосходит номинальный расход.

Автоматические регуляторы выводят параметры модели на заданные номинальные значения реального котла ПК-24.

График температуры острого пара

График температуры острого пара

В 030 вр«м*.'

61)

График содержания кислорода

ей)

График содержания кислорода

62)

График разрежения в топке

График разрежения в топке

ai)

График раскола на впрыск

64)

График расхода на впрыск

е ооо в ооо время, с

а5)

65)

Рис. 3. График изменения параметров котла по времени (при т = 0,05 (al, а2, аЗ, а4, а5) и при X = 0,025 (61, 62, 63, 64, 65) (где т - шаг интегрирования по времени)

Из графиков рис. 3 видно, что запуск модели производится из начального состояния, которое сильно отклоняется от стационарных значений функционирования модели. На графиках З.а1, 3.61 показано, что при повышении расхода питательной воды, температура пара на выходе резко падает и под действием работы регуляторов расход питательной воды и температура острого пара выводятся на номинальный уровень. На графиках З.а2, 3.62, отражена работа регуляторов, поддерживающих заданный уровень содержания кислорода в топке. На графиках З.аЗ, 3.63, отражена работа регуляторов, поддерживающих заданное разрежение в топке.

Следующий численный эксперимент проводится при отключении двух из восьми пылепитателей. Результаты представлены в виде графиков на рис. 4.

4 ООО 6000 » 000 °

al) 61)

Рис. 4. График изменения температуры острого пара по времени при отключении двух из восьми пылепитателей в момент 2000 сек. при включенном регуляторе тепловой нагрузки при т = 0,05 (al) и при т = 0,025 (61) (где т - шаг интегрирования но времени)

а) б)

Рис. 5. График температуры острого пара при отключении двух из восьми пылепи-тателей и при отключенном регуляторе тепловой нагрузки при т = 0,05 (а) и при г = 0,025 (б) (где г - шаг интегрирования по времени)

Из графиков на рис.4-5 видно, что при отключении двух из восьми пы-лепитателей, количество топлива уменьшается на 25% и при отключенном регуляторе тепловой нагрузки температуру острого пара невозможно вывести на номинальное значение (545°С).

На этих графиках рис. 3-5 приведены результаты расчетов при шагах по времени интегрирования г =0,05 и т =0,025. Полученные решения практически совпадают, что дает основание использовать г =0,05 . При более крупных шагах, например г =0,1, стационарное состояние не меняется, но переходный процесс отличается на 5-7%.

Приведем результаты расчетов по распределенной модели

„с График температуры острого пара

МО

530

520

510

500

490

480

470 а ___ ..и -

460

450 / У ь

440 / /

430 {/

О 2 000 4 000 6 000 8 000

Рис. 6. Графики температуры острого пара определенные с использованием распределенной и сосредоточенной моделей при отключении двух пылепитателей из восьми (линия а - температура острого пара для сосредоточенной модели, линия Ъ - температура острою пара для распределенной модели) при т = 0,05 (где г - шаг интегрирования по времени)

На графике рис.6 представлено сопоставление результатов расчетов динамического процесса в котле ПК-24, выполненных с использованием моделей с сосредоточенными и распределенными параметрами. Рассматривается возмущение по расходу топлива при отключении двух из восьми пылепи-тателей. Расчёты по более точной модели с распределенными параметрами позволяют повысить точность определения температуры пара в динамическом процессе до 20° С.

График содержат» кислорода

мм водяного График разрежения в топке

а1) 61)

Рис. 7. График изменения параметров котла по времени при отключении двух пы-

лепитателей из восьми

На графике рис.7 представлено изменение разрежения и содержания кислорода. При отключении двух из восьми пылепитателей разрежение и содержание кислорода резко возрастает и регуляторы выводят параметры на заданные значения.

Использование моделей, основанных на применение ДАУ в частных производных, дает гораздо больше информации о протекающих процессах, в частности, можно отслеживать распределение температуры металла по тракту и наблюдать нагрев металла свыше допустимых температур. Эти модели также позволяю определить границы фазовых переходов воды и пароводяной смеси.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертации и выводы по проведенному диссертационному исследованию:

1) выписаны агрегированные сосредоточенная модель (на основе обыкновенных ДАУ) и распределенная модель (на основе ДАУ в частных производных) прямоточного парового котла. Агрегирование теплообменников использовано для обозримого представления полной модели парового котла;

2) проведено исследование разрешимости ДАУ в частных производных общего вида и начально-краевых задач для них, получены критерия разрешимости и указаны способы определения индекса ДАУ;

3) исследованы сосредоточенная модель и распределенная модель прямоточного парового котла. Показано, что эти системы имеют гиперболическую скрытую структуру и имеют индекс 1. Эти свойства обозначают, что для численного решения применим широкий класс разностных схем;

4) в условиях теорем существования проведено исследование применимости разностных схем (как известных, так и новых) для решения начально-краевых задач для ДАУ в частных производных. Показаны эффекты влияния индекса на вычисления, в частности, продемонстрированы ошибки, сопутствующие высокому индексу ДАУ;

5) создан комплекс программ, реализующих сосредоточенную и распределенную модели прямоточного парового котла. Произведено сравнение функционирования распределенной и сосредоточенной модели при внесении возмущений (изменения расходов топлива до 25%, и воды до 25%, энтальпии входной воды до 200 кДж/кг). Выполненные расчеты показали, что разработанный численный метод решений систем ДАУ парового котла обеспечивает устойчивый выход на конечный стационарный режим в условиях больших возмущений.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Научные статьи, опубликованные в изданиях по списку ВАК

1. Нгуен, X. Д. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных / X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Журнал ВМ и МФ, 2013, Т.53, № 6, с. 946-957.

2. Нгуен, X. Д. О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных / X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Вестник ЮУрГУ, серия "Математическое моделирование и программирование", 2013, Т.6, №1, С.98-111.

Свидетельство о государственной регистрации программы ЭВМ:

3. Нгуен. X. Д. Программа автоматизированного решения краевой задачи для квазилинейной системы дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных с переменными матрицами коэффициентов методом сплайн-коллокации / Х.Д. Нгуен, В.Ф. Чистяков // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014610193 от 9 января 2014 г. / Федеральная служба по интеллектуальной собственности. -2014.

Публикации в других изданиях

4. Нгуен, X. Д. О численных экспериментах по решению дифференциально-алгебраических уравнений заданной структуры / X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Материалы IV международной научной конференции ПМТУММ -2011, С. 210-212.

5. Нгуен, X. Д. О разрешимости начально-краевых задач для ДАУ в частных производных/ X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Материалы конференции Ляпуновские чтения, ИДСТУ СО РАН, 2011, С.36.

6. Нгуен, X. Д. Свойства дифференциально-алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами / X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Тезисы на XII Прибайкальской школе-семинаре, ИДСТУ СО РАН, 2012. С.34.

7. Нгуен, X. Д. К вопросу о свойствах ДАУ в частных производных с постоянными коэффициентами// Труды X международной Четаевской конференции / X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Изд-во Казань, 2012.Т.1 С. 372-379.

8. Нгуен, X. Д. О численных экспериментах по решению ДАУ в частных производных методом сплайн-коллокации / X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Тезисы на Ляпуновские чтения, ИДСТУ СО РАН, 2012, С.34.

9. Нгуен, X. Д. Моделирование сложных энергетических установок с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных / X. Д. Нгуен // Тезисы на Винеровские чтения, ИрГТУ, 2013. С.47-48.

10. Нгуен, X. Д. Методы сплайн-коллокации для решения дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных / X. Д. Нгуен // Материалы XVIII Байкальской Всероссийской конференции, ИСЭМ СО РАН, 2013. С.49-54.

11. Нгуен, X. Д. Разрешимость квазилинейных дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных / X. Д. Нгуен, В. Ф. Чистяков // Тезисы на Ляпуновские чтения, ИДСТУ СО РАН, 2013, С.43.

ОТПЕЧАТАНО в ИСЭМ СО РАН 664033, г. Иркутск, ул.Лермонтова, 130 Заказ № 147. Тираж 100 экз.