автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование течения вблизи трещины гидроразрыва и порождаемых им электрических и магнитных полей

На правах рукописи

ЧЕХОНИН ЕВГЕНИЙ МИХАЙЛОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА И ПОРОЖДАЕМЫХ ИМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Специальность 05.13.IS. — «Математическое моделирование, численные методы н комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученоП степени кандидата технических наук

У

Москва - 2006

Работа выполнена в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Ентов Владимир Мордухович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Кадет Валерий Владимирович

кандидат физико-математических наук Се га л Аркадий Юрьевич

Ведущая организация: Международный институт теории прогноза

землетрясений и математической геофизики РАН

Защита диссертации состоится «28» декабря 2006 г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д 212.200.14 при Российском государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина, по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, 65, ауд. 308.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В нефтегазовой отрасли одним из наиболее эффективных средств повышения производительности скважин является гидравлический разрыв пласта (ГРП). В основе современного гидроразрыва лежит проектирование и контроль процесса с помощыо специальных комплексов программ. Несмотря па впечатляющий прогресс, не прекращается работа по совершенствованию аспектов моделирования гидроразрыва. В данной работе уделяется внимание двум из них:

- моделирование гидродинамического взаимодействия пласт-трсщипа;

- методы мониторинга трещины гидроразрыва.

Оказывается, что эти два вопроса тесно связаны между собой как но физическим механизмам так и по математическим моделям. Это позволяет рассматривать их в рамках одной диссертационной работы,

В работе активно используется сочетание аналитических методов с численными. Это связано со спецификой трещины как протяжённого объекта практически лишенного толщииы, что порождает основные трудности при прямом численном решении задачи, но оказывается преимуществом при аналитическом исследовании. Максимальное использование аналитического аппарата (методов математической физики) позволяет упростить задачу для последующей численной реализации.

Целью работы является разработка методов расчета и последующее исследование гидродинамических и генерируемых течением вблизи трещины гидроразрыва электрических и магнитных полей.

Основные задачи исследования:

- моделирование гидродинамического взаимодействия трещина-пласт, описывая поле давления в пласте уравнением пьезо про води ости;

- разработка аналитического и вычислительного аппарата, необходимых для изучения электрических и магнитных полей, порождаемых

течением вблизи трещины гидроразрыва;

- теоретическое исследование различных типичных сценариев с попыткой выделить и проанализировать ситуации, в которых электрические и/или магнитные ноля существенны (наблюдаемы);

- исследование подходов к мониторингу трещины, то есть определению параметров (например, длины и направления роста, трещины) по данным наблюдений за электрическим и/или магнитным полем.

Предмет и объект исследования. Объектом исследования служат природные пефте- и/или газоносные пласты, вскрываемые или вскрытые трещиной гидроразрыва. Возникающие в них гидродинамические, а также образующиеся вследствие элсктрок и пеги ческ и х явлений электрические и магнитные ноля составляют предмет настоящей работы.

Методологическая и теоретическая основа исследования.

Работа построена на сочетании математического моделирования с численными методами: применялись стандартные методы математической физики (интегральные преобразования Фурье и Лапласа, метод суперпозиции и функция Грина), численные методы вычисления интегралов, методы ■кюрии функций комплексного переменного (конформные отображения, комплексный потенциал), метод "дискретных вихрей" (Белоцсрковского-Лифапова) решения сингулярных интегральных уравнений.

Научная новизна результатов исследований.

В работе впервые специально изучаются электрические и магнитные поля, порождаемые гидроразрывом. В пей разработан необходимый аналитический и вычислительный аппарат, проведен большой объем расчетов и детально исследован ряд практически важных ситуаций.

Разработан алгоритм решения задачи о распределении давления вокруг растущей трещины со смешанными граничными условиями (растущая по известному закону трещина с заданным распределением давления).

Это позволяет уточнить расчёты поля давления, порождаемого движущейся трещиной.

В диссертации показано, что существует возможность мониторинга трещины путем локальных измерений в скважинах. На основе результатов исследования получен патент "Evaluation of fracture geometries in rock formations" Великобритании и поданы заявки на патенты США и России,

Практическая ценность результатов заключается в разработке принципов пассивного электромагнитного мониторинга трещин гидроразрыва и в создании комплекса программ для расчёта гидродинамических электрических и магнитных полей, причём:

- разработанный алгоритм и программа для предсказания распределения давления в пласте вокруг растущей трещины могут быть включены в любой современный пакет программ моделирования гидроразрыва;

- модель трещины конечной электрической проводимости и аппарат для её решения могут быть использованы при исследовании и оптимизации процесса ремедиации (очистки) грунтов с помощью элсктроосмоса и методов активной электроразведки.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Идея использования наблюдений за электрокинетически генерируемыми течением вблизи трещины ГРП электрическим и магнитным полями с целью мониторинга (оценки параметров) трещины гидроразрыва.

2. Подходи вычислению электрического поля в ело исто-неоднородной по удельной электрической проводимости среде, пересечённой хорошопро водящими скважинами.

3. Модель трещины гидроразрыва конечной электрической проводимости и аппарат для её решения.

4. Алгоритм решения задачи о распределении давления вокруг растущей по известному закону трещины с заданным профилем давления.

Апробация результатов и публикации. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья" (РАН, Москва,

2004), С-oil научно-технической конференции "Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России" (РГУНГ, Москва,

2005), 5-ой Всероссийской конференции "Новые технологии в газовой промышленности" (РГУНГ, Москва, 2003), па международных конференциях Hydraulic Fracturing Summit VI (Canada, 2005) и VI {Australia, 2006), 6th Global Advanced Technology Well Stimulation Forum (Moscow, 2005), на научных семинарах ПМСС (ИПМех РАН, Москва) и кафедры Прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ Нефти и Газа им, И.М.Губкина. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа излагав ется на 147 страницах машинописного текста и состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Список литературы насчитывает 118 наименований. В работе содержится 41 рисунок к 2 таблицы.

Автор выражает благодарность заведующему кафедрой ПМ и КМ РГУНГ им. И.М.Губкина проф., д.т.н. М.Г.Сухарсву, преподавателям кафедры ПМ и КМ, коллегам из Института Проблем Механики РАН за квалифицированные советы, фирме Schlumberger за разрешение использовать результаты работы по контракту. Интересом к рассматриваемым в диссертационной работе вопросам и знаниями автор обязан проф., д.т.н. В,М. Ентову, которому глубоко признателен за постоянную помощь и поддержку.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи исследования, обсуждается практическая значимость полученных результатов, дается обзор научной литературы по теме.

Задача о вычислении электрических и магиитных полей является логическим продолжением совместной работы В.М. Емтова и П.М. Адлера, посвященной крупномасштабным электрокинетическим (ЭК) явлениям в природных пористых средах. Поля вокруг трещины гидроразрыва рассматриваются впервые, в связи с чем возникает потребность в соответствующей модели, упрощенный вариант которой показан на рис. 1.

При притоке пластового флюида к трещине гидроразрыва на стадии разработки или при утечках жидкости разрыва на стадии распространения трещины заснёт ЭК-эффсктов возникают электрические и/или магнитные поля. Предварительные грубые оценки показывают, что можно пытаться использовать эти поля для изучения геометрии трещины и её азимутального угла. Чтобы уточнить эти оценки необходимо учесть решение гидродинамической задачи. Расчёт полей должен осуществляться с учетом сложности строения среды (слоистость, наличие одновременно высоко и низко про водящих материалов, узкость трещины) и прииимая во внимание наличие скважин - проводников малого сопротивления. Особенно сложной задачу делают большие перепады электрической проводимости; в реальности могут встречаться самые разнообразные ситуации: начиная от трещины, заполненной слабопроводящим проппантом (например, песком), и заканчивая случаем хоро шоп роводя щей трещины (если в качестве про-ппанта используются частицы графита). В первом случае проводимость трещины определяется проводимостью жидкости, во втором - проводимостью проппапта. Таким образом, для решения полной задачи приходится рассматривать большое число частных задач (постепенно возрастающей

Рис. 1: Укрощенная модель задачи: пористая среда состоит из трех однородных горизонтальных слоён и пересечена скважинами, в центральном пласте расположена вертикальная, симметричная относительно скважины гидроразрыва трещина длиной 2( (модель Пер к и нса-Керна)

сложности), что определило структуру диссертационной работы.

В работе используются извести и о представления теории ЭК-явлсний и пористоИ среде, краткая сводка которых включена в первую главу. Рассматривается механизм возникновения потенциала течения, приводятся основные термодинамические соотношения, описывающие течение и электрический ток в пласте:

и = -^р + j = ЬцЧр - а Здесь к - проницаемость, /а - вязкость флюида, р — давление, ф - элек-

трический потенциал. Коэффициенты Lia и ¿21, удовлетворяющие соотношению взаимности Онзагера (Ьц = L21), описывают перекрёстные эффекты. В работе рассматриваются случаи, когда обратным влиянием электрического поля на течение флюида (электроосмосом) можно пренебречь, то есть движение пластового флюида определяется законом Дарен. Это позволяет гидродинамическое поле рассчитывать отдельно от электрического, а вычисление последнего производить с помощью результатов гидродинамической задачи:

и ---Vp ,

M

j = -а [V-ф - CVp) , (2)

где о - удельная электрическая проводимость среды (характеризует способность среды оказывать электрическое сопротивление прохождению тока), С - электрокинетический коэффициент связи (определяет связь между приложенным перепадом давления и измеряемой при этом разности потенциалов).

В последнем разделе главы затрагиваются вопросы измерения электромагнитной активности.

Во второй главе описывается первый шаг в расчётах электрических и магнитных полей — вычисление двумерного гидродинамического поля, порождаемого притоком жидкости к трещине гидроразрыва на стадии разработки, или нестационарными утечками жидкости па стадии распространения трещины.

Изучение гидродинамических полей вблизи трещины ГРП здесь не является самоцелью: рассматриваются лишь те частные случаи, которые необходимы при расчётах электрических и магнитных полей. Сводка исследованных в работе случаев представлена в таблице 1; часть результатов хорошо известна, некоторые являются новыми.

Вычисление гидродинамического поля подразумевает решение сопряжённой задачи о распределении потоков и полей давления как в трещине, так и в пласте, в котором она находится/распространяется. В связи с этим, давление в трещине должно рассматриваться как граничное значение пластового давления, а интенсивность утечек должна равняться скорости фильтрации в пласте у поверхности трещины (рис. 2). Задача осложняется тем, что нестационарное распределение давления должно быть рассчитало совместно с течением вязкой жидкости в трещине и условиями распространения трещины. Несмотря на активное применение численных методов такая сопряжённая задача дорога в вычислительном отношении. Поэтому, большинство коммерческих пакетов программ для моделирования ГРП используют упрощенную модель, в которой интенсивность утечек задастся явно по так называемой формуле Картера. Это

Таблица 1.

Сводка исследованных в работе случаев

что [пвсстно решение

стационарна» трещина растущая тренщна

давление вдоль трещины явный вид (функция Жуковского) явный вид в двух частных случаях (раздел 2.1) идеальная трещина (со проводимость) pf =const

5 S3 Ч С приближённое (сингулярное интегральное ур-ние) приближённое (раздел 2.3) pf = р00

утечкн вдоль трещины явный вид (комплексный потенциал) явный вид (раздел 2.2)

трещина/ пласт суммарный поток НЛП давление на скважине ГРП приближённое (подход, описанный А.Ф.Зазоеским 11 Г.Т.Тодуа) (раздел 2.4) - трещина конечной проводимости

фильтрация в пласте

'.^■■iу Т. в Ч К И ' 'фуГм^мЯУй..^ -t-' : f . 1 1 t

течение жидкости в трещине >

- "Одеркностъ гр«гцини

давление в трещине = давление в пласте интенсивность утечек = скорости фильтрации

Рис. 2: Схема сопряженной модели при проектировании ГРП

позволяет задачу о росте трещины решать независимо от задачи о течении в пласте- С другой стороны, использование формулы Картера не всегда правомерно. Поэтому в начале второй главы рассматривается общая модель взаимодействия пласта и трещины (рис. 3), в которой па трещине задано граничное условие для уравнения пьезопроводности.

Если па поверхности трещины заданы утечки, то решение находится стандартными методами математической физики, чему посвящен раздел 2.3. В этом случае распределение давления в пластс р и в трещине pj:

t +Цг)

p(x,y,t) = fdrf qL{Z,T)G{x-Z,y,t-T)d$ , (3)

о -*(т>

Рис. 3: Общая модель взаимодействия пласта и трещины.

Р! = 1|тр(а;,у,4) , (ЗЬ)

где дь - функция распределения утечек, С? - функция Грина.

Если же в качестве граничного условия на трещине задано давление, возникает нестационарная задача со смешанными граничными условиями. В такой постановке найти точное решение можно лишь в исключительных случаях, обзор которых представлен в разделе 2.2.

Аналитическими методами получить решение в других случаях не удастся, поэтому в разделе 2.4 приводится полу-аналитический подход к построению приближенного решения задач такого рода:

а) Выражение (ЗЬ) при заданном распределении давления представляет собой интегральное уравнение для скорости дг фильтрационного потока через поверхность трещины (утечек). Искомое распределение

ищется в виде разложения по "базисным" функциям.

б) Используя квадратурные формулы, интегральное уравнение сводится к системе линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения функции утечек.

с) Коэффициенты разложения находятся из условия минимизации отклонения расчётного давления р/ от заданного давления р/ по методу наименьших квадратов, после чего по (3) рассчитывается распределение давления в пласте и в трещине. Данный подход реализован для функции утечек, представленной в виде разложения по полиномам Чсбышева 1-го рода. Для того чтобы учесть не только простые, по и сложные законы роста (например, с вынужденной остановкой), представлены два алгоритма решения задачи: "пошаговый" (коэффициенты разложения зависят от времени) и "глобальный" (коэффициент!.! не зависят от времени). Результаты расчётов показали, что такой подход позволяет решить задачу со смешанными граничными условиями с необходимой точностью.

В вышеуказанных задачах трещииа предполагалась либо гидравлически идеальной, либо имеющей неизвестную проводимость (см. таблицу 1). Математический аппарат доя изучения двумерных гидродинамических полей в случае явно заданного конечного гидродинамического сопротивления трещины рассматривается в разделе 2.5. Основу составляет подход, предложенный А.Ф. Зазовским и Г.Т. Тодуа. Задача сводится к сингулярному интегральному уравнению (относительно распределения плотности фильтрационного потока через поверхность трещины), решение которого ищется методом "дискретных вихрей". Решение уравнения определено с точностью до константы, которая вычисляется с учётом интегрального условия. Физически это означает необходимость задания потока через скважину ГРП (или давления в одной точке трещины). Основным пара^ метром задачи в такой постановке является "безразмерная проводимость трещины"

Co-ift. м

где fcr и к/ - проницаемости пласта и трещины, имеющей раскрытие Wf.

Третья глава посвящена изучению электрических и магнитных полей, порожденных простейшими фильтрационными потоками вблизи трещины гидроразрыва. Из уравнения (2), описывающего течение тока в пласте, и уравнения неразрывности следует, что при постоянных Сна распределение потенциала вне трещины описывается уравнением

Аф = С Ар .

Если пласт "изолирован" а трещииа непроводящая, то данная задача имеет тривиальное решение: электрический ток отсутствует, а распределение потенциала повторяет распределение давления (ф = CP + const). Это отвечает классическому случаю потенциала течения. Бели есть ток через какую-либо границу (через трещину или в верхний и нижний пласты), то электрическое поле уже не повторяет распределение давления. Дал-

нос о6стоятоле>ство при исследовании растущей и стационарной трещины, с учётом разнообразия гидродинамических свойств пласта и трещины, наличия/отсутствия скважин, приводит к многовариантности рассматриваемой ситуации. Поэтому естественно вначале рассмотреть уединённую трещину (без скважин) для двух крайних случаев: идеально проводящей и непроводящей трещины (таблица 2).

Чтобы получить оценку магнитного поля, в разделе 3.1 рассматривается крайний частный случай, когда в пласте течет ток порождаемый стационарным притоком к идеально проводящей трещине. В этом случае, предполагая, что продуктивный пласт "изолирован" (то ееть выше- и ии-жезалегающие горные породы непроницаемы и непроводящие), выражение

Таблица 2.

Рассматриваемые в работе случаи: идеально проводящая, непроводящая, имеющая конечную проводимость стационарная или растущая трещина

что известна стационарная трещина растущая трещина

яласт нлеально проводящая трещина (оу — =»>, непроводящий горный массив (а1,о} = 0 ) потенциал на трещине (раздел 3.1) пористая среда, насыщенная упругой жидкостью (раздел 3.3) газон ас ы ще нны й пропласток (раздел 3.4)

непроводящая треп (■( и а (стг=0). проволшцмй горный массив — любые) ток через трещину (раздел 3.2) гаю насы щенн ый пропласток, свободная поверхность (раздел 3.3)

трещина/ пласт | трещина конечной проводимости, непроводящий горный массив (О|=стч=0) суммарный ток через прещнну* ч (раздел газонасыщенный пропласток 3.6) - пропласток насыщенный упругой жидкостью

(2) переписывается как

j = у) .

(4)

Такая постановка не лишена физического смысла, так как соответствует случаю проппапта в трещине, состоящего из хорошо проводящего материала (например, из частиц графита).

Ис:юл!>зуя соотношение (4) совместно с решением р{х, у) гидродинамической задачи, с помощью интегрального преобразования Фурье и формулы Био-Савара-Лапласа вычисляются компоненты мапштното ноля в пространстве над трещиной, С целью поиска лучшей методики расчета задача была решена также другим методом - с помощью вектор- потенциал а магнитного поля. Данный подход показал спою эффективность, приведя к такому же результату с меньшими вычислительными затратами. Количественно установленная связь между величиной сигнала, свойствами породы и длиной трещины открывает принципиальную возможность определения длины трещины путём измерения магнитного поля на значительных расстояниях от трещины, В такой постановке чувствительность сигнала становится решающим фактором: согласно вычислениям величина магнитного поля для типичного набора параметров имеет порядок 0,15 п 0.5 нТл в пространстве над трещиной па высотах ( и 0.5£ соответственно.

Противоположный случай - задача об электрическом и магнитном нолях, порожденных установившимся притоком к непроводящей трещине фиксированной длины - рассматривается в разделе 3.2. Фактически этот случай соответствует трещине, заполненной непроводящим ток пронпап-том, например, песком. Следовательно, на всей поверхности Г трещины нормальная компонента тока обращается в 0, что позволяет в соответствии с формулой (2) получить граничное условие для электрической задачи из решения гидродинамической:

РФ =(удР дх г Эх г

При этом правая часть в (5) может считаться известной. По сравнению с предыдущим разделом здесь рассматривается более сложная ситуация, когда кровля и подошва пласта являются электропроводящими. Укзанную задачу удаётся решить точно с помощью интегрального преобразования Фурье и промежуточных результатов, полученных при решении задачи предыдущего раздела. На основе полученных выражений проведены детальные расчеты, которые показали, что неоднородность среды по удельной электрической проводимости существенно влияет на возникающие поля. Оптимальные условия для измерения электрического поля возникают при малой проводимости горного массива вмещающего продуктивный пласт. Величина потенциала электрического поля имеет порядок 50 и 140 мВ, величина магнитного поля — 0.4 и 0.9 пТл в пространстве над трещиной па высотах 3£ и 0.1£ соответственно.

Величина потенциала пропорциональна СР (Р - перепад давления), величина магнитного поля - произведению аСР. Таким образом, чтобы получить более мощный сигнал, необходимо перейти от стационарных задач (Р ~ Юатм) к исследованию нестационарных (Р ~ 100 атм). Раздел 3.3 содержит теоретическое исследование электрического поля, порожденного неустановившимся течением через идеально проводящую трещину в "изолированном" пласте, насыщенном жидкостью. В такой постановке (в отличие от предыдущего случая) поле давления р(х,у,4) нестационарно и удовлетворяет уравнению пьезопроводности. Пользуясь полученным ранее выражением (3), электрическое поле отыскивается с неизвестной плотностью утечек ад, Задача сводится к решению парных интегральных уравнений (предложено проф. Ю.Н. Гордеевым), что удается сделать аналитически. В результате для электрокинетичсского потенциала получено точное решение. Оно, однако, сложно для вычисления, в связи с чем рассматривается его ассимптотическос поведение. На значительном удалении от трещины выражение для потенциала представляет собой произведение

двух независимых функций, первая из которых (Л) зависит от координат, а вторая (Т) есть функция времени и параметров пласта. Иными слонами, на значительном расстоянии от трещины распределение потенциала сохраняет постоянную форму по отношению к ориентации трещины, а "амплитуда" элсктрокиистического эффекта зависит от временного множителя Т. Согласно вычислениям, величина потенциала па расстоянии порядка 15£ от скважины гидроразрыва может достигать 100 мВ -г 10 В в течении 5 -ь 20 мин с момента начала роста трещины.

Результаты расчетов показывают, что при благоприятных условиях элсктрокипстичсски генерируемые поля могут быть измерены современными приборами. Характер распределения и "амплитуда" полей зависит от ориентации и размеров трещины, что можно использовать для мониторинга трещины, производя множественные измерения па поверхности или осуществляя локальные измерения в скнажииах. Последний подход нашел отражение в патенте и двух заявках па патент, существенно опирающихся на материал раздела 3.4, В этом разделе рассматривается простейший случай идеальной трещины, растущей в "изолированном" газон асы ионном пласте с малой водопасыщепностыо. При этом элсктрокиистическне эффекты происходят только в тонком "фильтрационном слое" (зона, куда успевает проникнуть фильтрат жидкости разрыва) вокруг трещины (рис. 4). Фильтрат проникает в пласт лишь па малую глубину, поэтому

момент времени.

при расчете электрического поля толщиной "зоны проникновения" и её электрическим со ri рот и плен и ем можно пренебречь. Это приводит к тому, что распределение потенциала на внешней границе "зоны проникновения" пропорционально перепаду давления между трещиной и пластом (■= С(рг — Pf) = const), а вне неё описывается двумерным уравнением Лапласа. Это уравнение имеет решение, ограниченное на бесконечности, если наряду с источником в конечной области существует сток. Поэтому на некотором расстоянии от основной скважины (в которой проводят ГРП) в модель вводится "скважина-электрод", которая соединена с основной скважиной проводником пренебрежимо малого сопротивления (в силу чего ее потенциал тоже пулевой).

Распределение потенциала находится с использованием теории конформных отображений (через функцию Жуковского), в результате чего потенциал в точке (х, у) пласта записывается через действительную часть определённой комплексной функции Т:

ф{х,у,ха,уй,1) = ipt(l + Re{T(z,;zo,i)}) , г = x + iy (б)

(здесь Zf, = xo + iyo - центр скважины-электрода). Естественный следующий шаг - решение обратной задачи, то есть определение параметров трещины (полудлины i и направления роста а) с помощью измерений электрического потенциала в скважинах. Если замеры потенциала (-фп) производятся в N наблюдательных скважинах, то простейший способ решения заключается в минимизации неотрицательного функционала

(7)

71=1

где величины ф„ вычисляются по (6). Специфическая форма поверхности F позволяет с достаточной точностью оценить полудлину трещины, но лишь с большой погрешностью угол. Однако, последний в процессе гидроразрыва остаётся постоянным, поэтому производя измерения потенциала в

различные моменты времени t11, можно по (7) найти оценки (к и построить новый функционал

fc-i

минимизация которого приведёт к приблизительному значению азимута трещины. Численный эксперимент показал, что вышеописанная процедура приводит к разумным оценкам угла и длины трещины ужо для двух измерительных скважин.

Моделирование непроводящей трещины, растущей в неоднородной по удельной проводимости пористой среде (см. таблицу 2), представляет серьёзные трудности. Тем не менее частный случай - трещина в газона-сыщепном проплаетке - поддастся решению, чему поенящёп раздел 3.5. С целью приблизить модель к реальным условиям, в модель введена земная поверхность (см. рис. 1).

Полагая функцию qi{x\t) распределения потока через поверхность трещины известной из решения гидродинамической задачи, граничное условие па трещине для электрической задачи записывается в виде

оу г ду г кг

Вычислив функцию Грина с помощью интегрального преобразования Фурье, решение задачи записывается в виде ОД

ф{х,у,г)-Ст£- f qL{x\t)g{p\z)dx', р' = j(x-x>y- + y* , (0)

kr-m

где функция g - интеграл взятый от функции Грина но высоте трещины.

В предыдущих разделах данной главы были исследованы крайние случаи: идеально проводящая и непроводящая трещина (см. таблицу 2). Общий случай трещины конечной электрической проводимости болен; сложен. Поэтому раздел З.б посвящен разработке математического аппарата и численной технике вычислений, необходимых для изучения двумерных

сопряжённых гидродинамических и электрических попей вблизи трещины гидроразрыва с конечным сопротивлением.

Задача сводится к двум сингулярным интегральным уравнениям (относительно распределения плотности электрического тока и фильтрационного потока через поверхность трещины), которые решаются последовательно методом "дискретных вихрей". Решение задачи определено с точностью до двух констант: потока через скважину (или давления на скважине) и суммарного тока /( через поверхность трещины; поток можно считать известным, а ток определяется при задании внешнего условия для электрической задачи (например, при введении в модель скважины-электрода, соединённой проводником пренебрежимо малого сопротивления с основной скважиной).

Данный аппарат позволяет решить целый класс двумерных задач, причём в некоторых случаях применим для растущей трещины. В качестве примера в разделе 3.6 рассмотрены два случая, представляющие практический интерес: газонасыщенпый пласт и пласт, насыщенный упругой жидкостью. Оказалось, что одним из основных параметров задачи является "безразмерная электрическая проводимость трещины" а/о, которая в обычных ситуациях мала

^ = (Ю)

и в конечном итоге основным случаем становится модель непроводящей трещины (сг/ « 0).

В четвёртой главе исследуется пространственная задача об электрокинетическом потенциале, появляющемся в процессе ГРП в нескольких наблюдательных скважинах и на земной поверхности (рис. 1 на стр. 8). В такой постановке появляется новая проблема, выходящая за рамки рассматриваемых прежде задач, - значительное влияние скважин, являющихся хорошими проводниками тока. Подход к решению полной задачи и

предположения модели описываются с разделе 4.1. Задача разби Iнютсм па более простые подзадачи с последующим объединением их решений:

A. вычисление гидродинамического поля (например, модель трещины

конечного гидравлического сопротивления раздела 2.5);

B. расчёт распределения ЭК-потенциала:

Б1. трещина в слоистой среде (модель непроводящей трещины, растущей в газонасыщеппом пропласткс; раздел 3.5);

Б2. скважина в слоистой среде.

Целью раздела 4.2 является моделирование последнего пункта (В2), то есть разработка техники нахождения распределения потенциала в слон сто-неоднородной среде, пересечённой скважиной. Ключевой элемент подхода к решению такой задачи - представление скважины в виде распределения точечных источников тока вдоль сё оси, а затем получение и решение интегрального уравнения для неизвестного распределения тока. При этом максимально используется аналитический аппарат и "тонкость" скважины по сравнению с прочими размерами задачи, порождающая основные трудности при прямом численном решении задачи. Искомое распределение потенциала вокруг скважины имеет вид:

Ф(Р> = /.МО 9{р, г. О . Р = х0)2 + (у -уа)2 , (И) т

где (хо, уо) - координаты центра скважины, а д(р, г, £) - функция Грнпа данной задачи.

Решения (И) и (9) позволяют рассмотреть полную задачу, чему посвещёп раздел 4.3. Предполагается, что модель содержит М скважин, некоторые из которых, возможно, соединены проводником пренебрежимо малого сопротивления. Распределение потенциала записывается в виде

двух слагаемых

м

ф{х,у,г) = Y, Фт(Рт,г)+ФЛх,у,г) , (12)

т=1

где второе слагаемое {ф/) - вклад (9) от трещины, а первое — суммарный вклад в величину потенциала от каждой скважины:

Ф«>(рт,г) = / jm(0 9(Рт, Z,0 ¿С , Рт ~ }/(х ~ Хт)2 + (у ~ Ут)2 Т„

Так как скважины предполагаются идеально проводящими, то при решении задачи необходимо учитывать постоянство потенциала вдоль каждой скважины. Полагая, что все необходимые параметры пласта и трещины заданы, имеем М неизвестных констант фи,т (потенциалов на скважинах) и столько же неизвестных функций junn{z) (плотностей распределения тока вдоль поверхности каждой скважины). Эти величины подлежат определению с помощью законов Кирхгоффа, которым подчиняются токи и напряжения в любой электрической цепи. На рис. 5 представлена возможная электрическая схема задачи для случая трёх скважин, две из

Рис. 5: Электрическая схема задачи. Здесь 1и,т - суммарный ток через поверхность т-п скважины {т = 1,2,3).

которых соединены проводником пренебрежимо малого сопротивления. Источником тока является область вокруг трещины, сток располагается па бесконечности. В результате, алгоритм решения задачи следующий:

1) Вычисляется интенсивность фильтрационного потока t) через поверхность трещины; например, используя технику решения сингулярных интегральных уравнений.

2) Вычисляется функция Грина д (для М скважин) и д (для трещины). С целыо сокращения времени последующих вычислений производится сплайн-интерполяция функций Грина с последующим сохранением коэффициентов в файл.

3) Согласно электрической схсме, уравнение (12) сводится к системе линейных уравнений относительно потенциалов ф,т1 скважин и значений

о узлах

4) С помощью полученных плотностей тока но (12) вычисляется искомое распределение потенциала.

Численные эксперименты показали, что благодаря высокой ироводи-

Рис. 6: Пример распределения потенциала на свободной поверх коми (две скнажины соединены проводником).

мости скважин часть тока утекает из продуктивного пласта и растекается по другим пластам. В результате чего распределение потенциала на свободной поверхности выгладит специфическим образом (рис. б): напряжённость поля резко возрастает при приближении к скважинам.

Развитый аналитический и вычислительный аппарат позволяет решать прямую задачу: расчёт электрического поля вокруг трещины гидроразрыва с известными геометрией и направлением. Таким образом, сделан первый этап, необходимый для решения обратной задачи - мониторинга трещины, - проблема которого обсуждается в разделе 4.4.

В заключении изложены основные результаты диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1, развит аналитический и вычислительный аппарат, необходимый для исследования электрических и магнитных полей вокруг трещины гидроразрыва;

2. исследован ряд практически важных ситуаций и показало, что в них как электрическое так и магнитное поля могут быть измерены существующими приборами;

3, показано, что существует принципиальная возможность определить ориентацию трещины и сё длину производя локальные измерения в скважинах;

4. разработан полу-аналитический алгоритм решения задачи со смешанными граничными условиями па основе полученного точного решения задачи о распределении давления вокруг растущей трещины для заданного закона роста и интенсивности утечек.

Публикации по теме диссертационной работы:

1. Чехонин Е.М., Ентов В.М., Гордеев Ю.Н. О распределении давления вблизи растущей трещины гидроразрыва / Тезисы докладов 5-ой Всероссийской конференции "Новые технологии и газовой промышленности". - М.: Нефть и газ, 2003, - С. G4.

2. Чехонин Е.М. Некоторые физические приложения ТФКП / Козлова А.К., Чертовских Р.А., Чехоиип Е.М., Чугупопа Т.Л. Математические методы моделирования в нефтегазовой отрасли; уч. пособие под ред. Е.В. Гливепко, В.М. Еитова. - М: Нефть и газ, 2004. - С. 3-31.

3. Adler P.M., Chekhonin Е.М., Entov V.M., Gordeyev Yu.N. On magnetic field generated by flow to a hydraulic fracture. - M.: ИПМех РАН, препринт №748, 2004. - 34 с.

4. Гордеев Ю.Н,, Ентов В.M., Чехонин Е.М. О расчетах давлений и потоков вблизи растущей трещины гидроразрыва / Материалы международной конференции "Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья" (Москва, 2004 г.). - М.: ГЕОС, 2004. - С. 28-29.

5. Чехонин Е.М. Об одном подходе к расчету утечек при проведении ГРП / Тезисы докладов С-ой научно-технической конференции "Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России". - М.т Нефть и газ, 2005. - С. 432.

6. UK Patent GB2404253B, Int Cl7 G01V 3/2C, G01N 15/08.

Evaluation of fracture geometries in rock formations / Entov V,M,, Gordeev Y.N., Chekhonin E.M., Thiercelin M.; proprietor Schlumbcrger Holdings Lim./ British Virgin Islands inc.- №0413873.1; filed 21.00.04; pub. 08.06.05. - 30 p.

7. Patent Application Publication US 20050017723Al, CI. 324/346. Eva-luation of fracture geometries in rock formations / Entov V.M., Gordccv Y.N., Cliekhonin E.M., Thiercelin M.; assignee Schlumberger technology corporation / State of Texas inc. -№10/872,116; filed 01.18.04; pub. 01.27.05. - 1С p.

8. Заявка 2003123596 Российская Федерация, МПК7 Е21В47/00.

Способ и устройство для определения формы трещин в горных породах / Ептов В.М., Гордеев Ю.Н., Чехонин Е.М., Тьерселэн М.; заявитель ИПМех РАН; пат. поверенный Егорова Г. Б. - №2003123596/ 03; заявл. 2003.07.25; опубл. 2005.02.10, Бюл, №4. - 2 с.

9. Chekhonin Е., Entov V., Thiercelin М. Fracture-reservoir interaction in hydraulic fracturing: fluid dynamics / Hydraulic Fracturing Summit V (Canada, June 22-24, 2005) and VI (Australia, July 5, 2006).

10. Чехонин E.M., Ентов B.M., Гордеев Ю.Н. О расчёте магнитного поля вблизи трещины в пористой среде // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2006. - №10. - С, 230-234.

11. Чехонин Е.М. Гидродинамическое поле вокруг растущей трещины/ B.Noetinger, V.Artus, М Le Ravalec et al. Моделирование течений в пористых средах. Сборник статей. - М.: Нефть и газ, 2006. - С. 110133,

Заказ №230/11/06 Подписано в почать 16.11.2006 Тираж 100 экз. Усл. пл. 1,5

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 774-22-20 \v\vw.cfr.ru; е-таП:т/о@с/г. т

Введение

1. Электрокинетические явления в естественных пористых средах

1.1. Двойной электрический слой.

1.2. Потенциал течения.

1.3. Основные уравнения электрокинетики.

1.4. Измерение электромагнитной активности.

2. Гидродинамическое поле

2.1. Гидравлически идеальная трещина.

2.2. Полу-сопряжённая двумерная модель с заданным распределением утечек.

2.3. Полу-сопряжённая двумерная модель с заданным профилем давления.

2.4. Сопряжённая двумерная модель.

3. Электрическое и/или магнитное поле в среде без учёта влияния проводимости скважин

3.1. Стационарная идеально проводящая трещина; непроводящий массив.

3.2. Стационарная непроводящая трещина; проводящий массив

3.3. Гастущая идеально проводящая трещина в среде, насыщенной упругой жидкостью; непроводящий массив.

3.4. Растущая идеально проводящая трещина в газонасыщенном пласте; непроводящий массив.

3.5. Растущая непроводящая трещина в газонасыщенном пласте; проводящий массив.

3.6. Трещина конечной проводимости; непроводящий массив

4. Электрическое поле в слоистой среде с учётом влияния проводимости скважин

4.1. Постановка полной задачи и подход к её решению.

4.2. Скважина в слоистой среде.

4.3. Решение полной задачи.

4.4. Проблема мониторинга трещины гидроразрыва.

Актуальность исследования. В нефтегазовой отрасли одним из наиболее эффективных средств повышения производительности скважин яв-ляе:ся гидравлический разрыв пласта (ГРП). В основе современного гидроразрыва лежит проектирование и контроль процесса с помощью специальных комплексов программ. Несмотря на впечатляющий прогресс, не прекращается работа по совершенствованию аспектов моделирования гидроразрыва. В данной работе уделяется внимание двум из них:

- моделирование гидродинамического взаимодействия пласт-трещина;

- методы мониторинга трещины гидроразрыва.

Оказывается, что эти два вопроса тесно связаны между собой как по физическим механизмам так и по математическим моделям. Это позволяет рассматривать их в рамках одной диссертационной работы.

В работе активно используется сочетание аналитических методов с численными. Это связано со спецификой трещины как протяжённого объекта практически лишенного толщины, что порождает основные трудности при прямом численном решении задачи, но оказывается преимуществом при аналитическом исследовании. Максимальное использование аналитического аппарата (методов математической физики) позволяет упростить задачу для последующей численной реализации.

Целью работы является разработка методов расчета и последующее исследование гидродинамических и генерируемых течением вблизи трещины гидроразрыва электрических и магнитных полей.

Основные задачи исследования: о Моделирование гидродинамического взаимодействия трещина/пласт с учётом того, что поле давления в пласте описывается уравнением пьезопроводности. о Разработка аналитического и вычислительного аппарата, необходимых для изучения электрических и магнитных полей, порождаемых течением вблизи трещины гидроразрыва. о Теоретическое исследование различных типичиых сценариев с попыткой выделить и проанализировать ситуации, в которых электрические и/или магнитные ноля существенны (наблюдаемы). о Исследование подходов к мониторингу трещины гидроразрыва, то есть определению параметров трещины (например, длины и направления роет) поданным наблюдений за электрическим и/или магнитным полем.

Предмет и объект исследования. Объектом исследования служат природные нефте- и/или газоносные пласты, вскрываемые или вскрытые трещиной гидроразрыва. Возникающие в них гидродинамические, а также образующиеся вследствие электрокипетических явлений электрические и магнитные поля составляют предмет настоящей работы.

Методологическая и теоретическая основа исследования.

Работа построена на сочетании математического моделирования с численными методами: применялись стандартные методы математической физики (интегральные преобразования Фурье и Лапласа, метод суперпозиции и функция Грина), численные методы вычисления интегралов, методы теории функций комплексного переменного (конформные отображения, комплексный потенциал), метод "дискретных вихрей" (Белоцерковского-Лифанова) решения сингулярных интегральных уравнений.

Научная новизна результатов исследований: о В работе впервые специально изучаются электрические и магнитные поля, порождаемые гидроразрывом. В ней разработай необходимый аналитический и вычислительный аппарат, проведен большой объем расчетов и детально исследован ряд практически важных ситуаций. о Разработан алгоритм решения задачи о распределении давления вокруг растущей трещины со смешанными граничными условиями (растущая по известному закону трещина с заданным профилем давления). Эю позволяет уючнить расчёты поля давления, порождаемого движущейся трещиной. о В диссертации показано, чю существует возможность мониторинга трещины путём локальных измерений в скважинах. На основе результатов исследования получен патент "Evaluation of fracture geometries in rock formations" Великобритании [97] и поданы заявки на патенты США и России [98, 14].

Практическая ценность результатов заключается в разработке принципов пассивного электромагнитного мониторинга трещин гидроразрыва и в создании комплекса программ для расчёта гидродинамических электрических и магнитных полей, причем: о разработанный алгоритм и программа для предсказания распределения давления в пласте вокруг растущей трещины могут быть включены в любой современный пакет программ моделирования гидроразрыва; о модель трещины конечной электрической проводимости и аппарат для её решения могут быть использованы при исследовании и оптимизации процесса ремедиации грунтов с помощью электроосмоса и методов активной электроразведки.

Апробация результатов и публикации. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья" (РАН, Москва, 2004), 6-ой научно-технической конференции "Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России" (РГУНГ, Москва,

2005), 5-ой Всероссийской конференции "Новые технологии в газовой промышленности" (РГУНГ, Москва, 2003), на международных конференциях Hydraulic Fracturing Summit VI (Canada, 2005) и VI (Australia, 2006), 6th Global Advanced Technology Well Stimulation Forum (Moscow, 2005), на научных семинарах ПМСС (ИПМех РАН, Москва) и кафедры Прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ Нефти и Газа им. И.М.Губкина. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Автор выражает благодарность зав. кафедрой ПМ и КМ РГУНГ им. И.М.Губкина проф., д.т.н. М.Г.Сухареву, преподавателям кафедры ПМ и КМ, коллегам из Института Проблем Механики РАН за квалифицированные советы, фирме Schlumberger за разрешение использовать результаты рабогы но контракту. Интересом к рассматриваемым в диссертационной работе вопросам и знаниями автор обязан проф., д.т.н. В.М.Ептову, которому глубоко признателен за постоянную помощь и поддержку.

Анализ состояния проблемы и обзор предшествующих работ. Побудительным мотивом данной работы явился экспериментальный факт наблюдения в естественных пористых средах вариаций электромагнитного поля, и то соображение, что ГРП является одним из возможных источников возмущений [64].

Аномалии наблюдаются при вулканической активности, а так же до/в течение/после землетрясений (подробный обзор содержится в работах Park [96], Johnston [80]). Естественные электрические сигналы порядка нескольких мВ обнаруживаются при изменении уровня воды в озёрах (Perrier et al. [99]), при фильтрации воды через дамбы (Al-Saigh et al. [110], Berube [53]), в процессе просачивания (инфильтрации) атмосферных осадков или талых вод через рыхлые породы в зоне аэрации земной коры (Darnet и Marquis [58], Sailhac et al. [111]). Таким образом, электромагнитные поля вызывают значительный интерес (Lighthill [87]) как предвестники землетрясений, индикаторы глубинных геологических процессов, а так же в некоюрых приложениях нефтегазовой отрасли.

Среди прочих объяснений наблюдаемой аномальности (различные проявления геомагнетизма, термо- и пьезоэлектрические, электрохимические эффекты, и др.) - электрокинетические явления при фильтрации флюидов. В пользу этого говорит сравнение влияния электрокинегическо-го эффекта с пьезомагиитным и пьезоэлектрическим эффектами (Гершеи-зон, Гохберг [9] и Gershenzon et al. [71]), а также с термоэлектрическими и электрохимическими эффектами (Jouniaux et al. [83]). Кроме того, иоле-вые эксперименты показали значительные электрические аномалии (до 40 мВ) возбуждаемые течением вблизи скважины (Bogoslovsky и Ogilvy [54], Wurmstich и Morgan [117], Pinettes et al. [101], Rizzo et al. [109], Titov et al. [113] и др.)

Взаимовлияние потока флюида и электрического тока в пористой среде описывается с помощью соотношения Онзагера [94, 12, 27]. Одной из первых теоретических работ, в которых этот принцип был успешно применён для изучения общих особенностей аномалий ЭК потенциала, была, по-видимому, диссертация Nourbehecht [93]. Он получил аналитические решения и оценки для нескольких простых случаев: горизонтально-неоднородное полупространство, полупространство, состоящее из двух вертикально контактирующих массивов, сферический источник давления в слоистой среде, вертикальное тело ("дайка") в однородном полупространстве и подземный сферический источник высокой температуры вблизи природной полубесконечной плиты. На основе тех же термодинамических соотношений Fitterman [66-69] рассмотрел электрическое и магнитное поля в полупространстве, возбужденные движением жидкости вблизи вертикального разлома, разделяющего массивы с различными ЭК свойствами. Результаты его работы использовались в дальнейшем рядом авторов, в том числе и для нестационарного случая (Dobrovolsky et al. [59]). Модель неоднородной среды, содержащей подземные закупоренные камеры, заполненные жидкостью с повышенным давлением, рассматривалась Fenoglio et al. [65], причём результаты расчёта количественно согласовались с магнитными сигналами записанными до землятресения Loma Prieta [52].

Крупномасштабным ЭК-явлениям в природных пористых средах посвящена работа Ентова и Адлера [64], в которой рассматривается слоистая или сплошная полубесконечная среда. Наряду с неоднородностью физических свойств по вертикали исследуется влияние граничных условий на генерируемый установившемся течением потенциал и соответствующее магнитное иоле. Рассматривается так же случай нестационарного течения в горизонтальном пористом пласте, лежащем на непроницаемом, но проводимом массиве конечной мощности. Авторы показали, что во многих ситуациях движение флюида может вызвать значительные электрические и магнитные ноля, попытка предсказать которые приводит к появлению широкого класса задач математической физики, решаемых классическими меюдами.

Данная диссертация служит логическим продолжением указанной работы [64] и посвящена ЭК эффектам, возникающим в природных нефте-и/или газоносных пластах вследствие течения вблизи трещины гидроразрыва. Одним из побуждающих обстоятельств явилась возможность получения дополнительного средства для определения параметров (например, длины и направления роста) трещины, что является важным этапом обеспечения оптимизации процесса ГРП [62, 63]. Геометрию и направление созданных/создаваемых трещин определяют,применяя различные технологии и методики: о Анализ динамики давления в ходе разработки и добычи [62]. Это наиболее широко используемая методика косвенного определения, позволяющая получить достаточно общую информацию о длине и толщине трещин (но не позволяющая определить их однозначным образом). о Технология акустического исследования трещин [50], основанная на анализе пассивных акустических излучений, которые представляют собой происходящие вокруг трещины микро-землетрясения, вызываемые высокой концентрацией напряжений впереди трещины, либо снижением эффективных напряжений вокруг трещины из-за утечек жидкости разрыва внутрь породы. В ходе образования трещин гидроразрыва производят запись геофонами, расположенными в соседних скважинах. Эта технология приспособлена для оценки азимута и падения трещины, однако не подходит для точного определения длины. о Построение карты наклона свободной поверхности [50, 56]. Технология включает в себя отслеживание поля деформаций породы, окружающей трещину. Решеткой датчиков наклона измеряют градиент смещения (наклона) ноля в функции от времени. Индуцированное иоле деформаций зависит главным образом от азимута, падения, глубины залегания средней точки и полного объема трещины. Недостатком этой технологии является прежде всего невозможность получения с помощью поверхностных датчиков наклона точных оценок параметров трещины из-за глубины расположения трещины иод поверхностью [115]. Располагаемые внутри разрабатываемой скважины датчики наклона позволяют получать более качественную информацию о высоте и ширине трещины, но по-прежнему не позволяют определить длину трещины [116].

Использование электрокинетического эффекта было предложено в виде одного из возможных путей повышения качества и достоверности впутрискважинных измерений.

Краткое описание структуры диссертационной работы. Поля вокруг трещины гидроразрыва рассматриваются впервые, в связи с чем возникает пофебность в соответствующей модели, упрощенный вариант которой показан на рис. 1.

При притоке пластового флюида к трещине гидроразрыва на стадии разработки или при утечках жидкости разрыва на стадии распространения трещины за счёт ЭК-эффектов возникают электрические и/или магнитные

Рис.1: Упрощенная модель задачи. Горизонтальный однородный пласт постоянной мощности h, в котором (вдоль всей его толщины) имеется вертикальная, симметричная относительно скважины гидроразрыва трещина длиной 21 {модель Перкинса-Керна); верхние и нижние пласты непроницаемы, но, возможно, проводимы. моля. Предварительные грубые оценки показывают, что можно пытаться использовать эти поля для изучения геометрии трещины и её азимутального угла. Чтобы уточнить эти оценки необходимо учесть решение гидродинамической задачи. Расчёт полей должен осуществляться с учётом сложности строения среды (слоистость, наличие одновременно высоко и низкопроводящих материалов, тонкость трещины) и принимая во внимание наличие скважин - проводников малого сопротивления. Особенно сложной задачу делают большие перепады электрической проводимости. Таким образом, для решения полной задачи приходится рассматривать большое число частных задач (постепенно возрастающей сложности), что определяет структуру диссертационной работы.

В работе используются известные представления теории ЭК-явлений в пористой среде, краткая сводка которых включена в первую главу. Рассматривается механизм возникновения потенциала течения, приводятся основные термодинамические соотношения, описывающие течение и электрический ток в пласте. Показывается, что в исследуемых в работе случаях гидродинамическое поле можно рассчитывать отдельно от электрического, а вычисление последнего производить с помощью результатов гидродинамической задачи. Рассматриваются основные параметры проблемы и затрагиваются вопросы измерения электромагнитной активности.

Во второй главе описывается первый шаг в расчётах электрических и магнитных нолей — вычисление двумерного гидродинамического поля, порождаемого потоком флюида вблизи трещины ГРП. Всестороннее таких полей здесь не является самоцелью: рассматриваются лишь те частные случаи, которые необходимы при расчётах электрических и магнитных полей. Часть результатов хорошо известна, некоторые являются новыми.

Неоднородность пористой среды по основным электрическим и электрокинетическим параметрам (удельной электрической проводимости и ЭК коэфиициенту связи) и/или несогласованность граничных условий для давления и электрического потенциала (когда ток может утекать через границу области фильтрации) служат основными источниками электромагнитных возмущений, вызванных движением флюида в данной среде. Данное обстоятельство при исследовании растущей и стационарной трещины, с учётом разнообразия гидродинамических свойств пласта и трещины, наличия/отсутствия скважин, приводит к многовариантности рассматриваемой ситуации. Поэтому следующая - третья глава - посвящена изучению электрических и магнитных полей, в пористой среде при отсутствии скважин. Причём вначале рассмотрены два крайних случая: идеально проводящая и непроводящая трещина, - а затем общий случай трещины конечной электрической проводимости. В связи с тем, что сигнал пропорционален разнице давлений между трещиной и пластом наряду со стационарной трещиной (перепад ~ 10 атм) рассматривалась растущая (~ 100 атм) в двух практически интересных случаях (газонасыщенный пласт и пласт, насыщенный упругой жидкостью).

В четвёртой главе исследуется пространственная задача об электрокинетическом потенциале, появляющемся в процессе ГРП в нескольких наблюдательных скважинах и на земной поверхности (рис. 1 на стр. 95). Описываююя предположения задачи, позволяющие её решить и подход к решению. Проблема разбивается на отдельные элементы: за исключением одного, они представляют собой задачи, рассмотренные в предыдущих главах. Решение новой проблемы - значительного влияние скважин, являющихся хорошими проводниками тока, - в совокупности с результатами рассмотренных выше задач и с учётом законов Кирхгоффа приводит к решению полной задачи. Данная глава является первым этапом, необходимым для решения задачи о мониторинге трещины в слоистой среде, пересечённой скважинами. Основная часть диссертационной работы заканчивается обсуждением данной проблемы.

Отдельные детали вынесены за пределы основной части диссертации в Приложение.

Заключение

1. Развит аналитический и вычислительный аппарат, необходимый для исследования электрических и магнитных полей вокруг трещины гидроразрыва. В частности: а) предложен подход к вычислению электрического ноля в слоисто-неоднородной по удельной электрической проводимости среде, пересечённой хорошопроводящими скважинами; б) разработана техника вычислений, позволяющая изучать двумерные сопряжённые гидродинамические и электрические поля вблизи трещины гидроразрыва с конечным сопротивлением. Данная техника моделирования может быть использована для исследования и оптимизации процесса электроосмотической ремедиации (очистки) загрязненных малопроницаемых грунтов.

2. Исследован ряд практически важных ситуаций и показано, что в них как электрическое так и магнитное поля могут быть измерены существующими приборами. Наиболее перспективным случаем является газовый пласт, вскрываемый трещиной ГРП при большом перепаде давления.

3. Проведённые численные исследования показали, что существует принципиальная возможность определить ориентацию трещины и её длину производя локальные измерения в скважинах (патент "Evaluation of fracture geometries in rock formations" Великобритании [97]).

4. Разработан полу-аналитический алгоритм решения задачи со смешанными граничными условиями на основе полученного точного решения задачи о распределении давления вокруг растущей трещины для заданного закона роста и интенсивности утечек. Результаты могут быть использованы при решении сопряженной задачи о росте трещины совместно с течением вязкой жидкости как в трещине, так и в пласте.

Что позволит более адекватно моделировать взаимодействие трещина/пласт в процессе гидравлического разрыва и будет способствовать более полному пониманию самого процесса.

1. Адамсон А. Физическая химия поверхностей; под ред. Зорина З.М., Муллера В.М.; перев. с англ. Абидора И.Г.- М.: Мир, 1979.- 568 с.

2. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика.- М.: Недра, 1993.- 416 с.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.- М.: Недра, 1984.- 208 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований; Т.1: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина М.: Наука, 1968.- 344 с.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике.- М.: Наука, 1985.- 256 с.

6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле.- 10-е изд., стер.- М.: Гардарики, 2003.- 317 с.

7. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов; под ред. Григолюка Э.И.; пер. с англ. Корнейчука Л.Г.- М.: Мир, 1987.- 524 с.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- 4-е изд., иерераб,- М.: Физматгиз, 1963.- 1108 с.

9. Гершензон Н.И., Гохберг М.Б. О происхождении ультранизкочастотных возмущений геомагнитного поля перед землетрясением в Лома Приета (Калифорния) // Изв. АН СССР. Физика Земли.- 1994.-№2.- С. 19-24.

10. Григоров О.Н. Электрокинетические явления.- JL: Изд-во ЛГУ, 1973.- 199 с.

11. Де Гроот С.Р., Мазур Р. Неравновесная термодинамика; под ред. Д.Н.Зубарева; пер. с англ. Хозяинова В.Т.- М.: Мир, 1964.- 456 с.

12. Зазовский А.Ф., Тодуа Г.Т. О стационарном притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва большой протяженности // Механика Жидкосги и Газа, 1990 №4 - С.107-116.

13. Заявка 2003123596 Российская Федерация, МПК7 Е21В4Т/00.

14. Способ и устройство для определения формы трещин в горных поро-дах/Ентов В.М., Гордеев Ю.Н., Чехонин Е.М., Тьерселэн М.; заявитель ИПМех РАН; пат. поверенный Егорова Г.Б.- №2003123596/03; заявл. 2003.07.25; опубл. 2005.02.10, Бюл. №4 2с.

15. Зимон А.Д. Коллоидная химия.

16. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы; под ред. Баренблатта Г.И.; перев. с англ. Салганика Р.Л.- М.: Мир, 1964.- 350с.

17. Комаров В.А. Петрофизика .- С.-Пб.: СПбГУ, 2003 132 с.

18. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов.- 2-е изд., доп.-М.: Наука, 1967 500 с.

19. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближённого преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа.- М.: Наука, 1974.224 с.

20. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного 5-е изд.- М.: Наука, 1987.- 688 с.

21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 томах); Т.8: Электродинамика сплошных сред М.: Наука, 1982,- 620 с.

22. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1987.- 840 с.

23. Ляховицкий Ф.М. Инженерная геофизика / Хмелевской В.К., Ящен-ко З.Г.- М.: Недра, 1989.- 252 с.

24. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде.- М.Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004.- 628 с.

25. Назарный С.А., Мазанова Э.В., Суворов А.Д. Сейсмо- и пьезоэлектрические явления в разведочной геофизике.- С.-Пб.: Наука, 1992.- 63 с.

26. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод.-М.: Наука, 1977.- 664 с.

27. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов.-М.: Изд-во иностр. л-ры, I960.- 127 с.

28. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции,- М.: Наука, 1983.- 752 с.

29. Савельев И.В. Курс общей физики; кн.2: Электричество и магнетизм.- М.: ACT, 2000.- 336 с.

30. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений- М.: Наука, 1978 592 с.

31. Сафиева Р.З. Физикохимия нефти. Физико-химические основы технологии переработки нефти.- М.: Химия, 1998 448 с.

32. Серкеров С.А. Гравиразведка и магниторазведка.- М.: Недра, 1999.437 с.

33. Смайт В. Электростатика и электродинамика.- М.: Изд. иностр. лит., 1954.- 604 с.

34. Соболев Г.А., Богаевский В.Н. Лементулова Р.А., Мигунов Н.И., Хромов А.А. Физика очага землетрясения.- М.: Наука, 1975 -225 с.

35. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некоррект-ных задач М.: Наука, 1974 - 224 с.

36. Тихонов А.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- 5-е изд.- М.: Наука, 1977 735 с.

37. Фридрихсберг Д.А. Курс коллоидной химии.- JI.: Химия, 1984,368 с.

38. Фролов Ю.Г. Курс коллоидной химии. Поверхностные явления и дисперсные системы.- 3-е изд., стер., испр.; перепеч. с изд. 1989.- М.: ООО ТИД "Альянс", 2004.- 464 с.

39. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика.- М.: Гос. научно-технич. изд. нефтяной и горно-топливной лит., 1963.- 397 с.

40. Чехонин Е.М., Ентов В.М., Гордеев Ю.Н. О распределении давления вблизи растущей трещины гидроразрыва / Тезисы докладов 5-ой Всероссийской конференции "Новые технологии в газовой промышленности".- М.: Нефть и газ, 2003,- С. 64.

41. Чехонин Е.М. Некоторые физические приложения ТФКП / Козлова А.К., Чертовских Р.А., Чехонин Е.М., Чугунова T.JI. Математические методы моделирования в нефтегазовой отрасли; иод ред. проф. Е.В.Гливенко, В.М.Ентова М: Нефть и газ, 2004 - С. 3-31.

42. Чехонин Е.М. Об одном подходе к расчету утечек при проведении ГРП / Тезисы докладов 6-ой научно-технической конференции "Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России".- М.: Нефть и газ, 2005 С. 432.

43. Чехонин Е.М. Гидродинамическое поле вокруг растущей трещины/ B.Noetinger, V.Artus, М Le Ravalec et al. Моделирование течений в пористых средах. Сборник статей М.: Нефть и газ, 2006.- С. 110133.

44. Чехонин Е.М., Ентов В.М., Гордеев Ю.Н. О расчёте магнитного поля вблизи трещины в пористой среде // Вестник Оренбургского государственного университета 2006.- №10.- С. 230-234.

45. Шелудко А. Коллоидная химия; пер. с болг. — 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Мир, 1984 320 с.

46. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции.- 2-е изд.; пер. с 6-го перераб. немец, изд. иод ред. Седова Л.И.- М.: Наука, 1968.- 344 с.

47. Adachi, J.I. Fluid-Driven Fracture in Permeable Rock, Ph.D. Thesis, U. of Minnesota, 2001 162 p.

48. Adler, P.M., Chekhonin, E.M., Entov, V.M, Gordeyev, Yu.N. Onmagnetic field generated by flow to a hydraulic fracture; preprint №748.-Moscow: Inst. Probl. Mech. RAS, 2004.- 34 p.

49. Adler, P., Le Mouel, J.-L., Zlotnicki, J. Electro-kinetic and Magnetic Fields Generated by Flow through a Fractured Zone: A Sensitivity Study for La Fournaise Volcano // Geophys. Res. Lett- 1999 V.26 - P. 795-798.

50. Barree, D., Fisher, M.K., Woodroof, R.A. A practical guide to hydraulic fracture diagnostic technologies: SPE paper 77442 // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, San Antonio, Texas, USA, Sep.29 Oct.2, 2002.

51. Bernard, P. Plausibility of Long Distance Electrotelluric Precursors to Earth quakes // J. Geophys. Res.- 1992.- V.97, №B12 P. 17531-17546.

52. Bernardi, A., Fraser-Smith, A.C., McGill, P.R., Villard, O.G.Jr.

53. ULF Magnetic Field Measurements near the Epicenter of the Ms 7.1 Lorna Prieta Earthquake // Phys. Earth Planet. Inter 1991- V.68 - P. 45-63.

54. Berube, A.P. Investigating the streaming potential phenomenon using electric measurements and numerical modelling with special reference to seepage monitoring in embankment dams. Ph.D. Thesis. Lulea U. of Technology, Sweden, 2004.

55. Bogoslovsky, V.A., Ogilvy, A. A. Deformation of natural electric fields near drainage structures // Geophys. Prospect.- 1973.- V.21.- P. 716-723.

56. Bussian, A.E. Electrical conductance in a porous medium // J. Geophys.-1983.- V.48 P. 1258-1268.

57. Cipolla, C.L., Wright, C.A. Diagnostic techniques to understand hydraulic fracturing: What? Why? and How?: SPE paper 59735 // SPE-CERI Gas Technology Symposium, Calgary, Alberta Canada, 3-5 April, 2000.- 13 p.

58. Corwin, R.F., Morrison, H.F. Self-potential variations preceding earthquakes in central California // Geophys. Res. Lett 1977.-V.4, №4 - P. 171 - 174.

59. Darnet M., Marquis G. Modelling streaming potential signals induced by water movement in the vadose zone // J. Hydrology.- 2004,- 285.- P. 114-124.

60. Dobrovolsky, I.P., Gershenzon, N.I., Gokhberg, M.B. Theory of electrokinetic effects occurring at the final stage in the preparation of a tectonic earthquake // Phys. Earth and Planet. Inter 1989.- V.57, M-2.- P. 144-156.

61. Doussan, С., Jouniaux, L., Thony, J.-L. Variations of self potential and unsaturated water flow with time in sandy loam and clay loam soils // J. Hydrol 2002.- №267.- P. 173-185.

62. Dukhin, S.S., Derjaguin, B.V. Electrokinetic Phenomena, V.7 of Surface and Colloid Science; ed. by Matijevich E., Wiley J.- New York, 1974.

63. Economides, M.J., Nolte, K.G. Reservoir Stimulation. 3d ed.; Wiley J. and Sons, Chichester, 2000.

64. Economides, M.J., Oligney, R.E., Valko, P.P. Unified fracture design: bridging the gap between theory and practice.- Orsa Press, Alvin, Texas, 2002,- 200 p.

65. Entov, V.M, Adler, P.M. On Large-Scale Electrokinetic Phenomena in Natural Porous Media; preprint №754 Moscow: Inst. Probl. Mech. RAS, 2004.- 43 p.

66. Fenoglio, M.A., Johnston, M.J.S., Byerlee, J.D. Magnetic and electric fields associated with changes in high pore pressure in fault zones: application to the Loma Prieta ULF emissions // J. Geophys. Res.- 1995.-V.100, №B7 P. 12951-12958.

67. Fitterman, D.V. Electrokinetic and magnetic anomalies associated with dilatant regions in a layered earth // J. Geophys. Res.- 1978.- V.83, МИ2 P. 5923-5928.

68. Fitterman, D.V. Calculations of self-potential anomalies near vertical contacts //J. Geophysics.- 1979.- V.44, №2 P. 195-205.

69. Fitterman, D.V. Theory of electrokinetic-magnetic anoma-lies in a faulted half-space // J. Geophys. Res.- 1979.- V.84, №B11- P. 6031-6040.

70. Fitterman, D.V. Correction to 'Theory of electrokinetic-magnetic anomalies in a faulted half-space' 11 J. Geophys. Res 1981- V.86, №B10- P. 95859588.

71. Fujinawa, Y., Matsumoto, Т., Takahashi, K. Modeling confined pressure changes inducing anomalous electromagnetic fields related with earthquakes // J. Appl. Geophys 2002 - №49 - P. 101-110.

72. Gershenzon, N.I., Gokhberg, M.B., Yunga, S.L. On electromagnetic field of an earthquake focus // Phys. Earth and Planet. Inter.- 1993.- V.77, №12.- P. 13-19.

73. Gordeyev, Yu.N., Entov, V.M. The pressure distribution around a growing crack // J. Appl. Maths Mechs 1997 - V.61, №6 - P. 1025-1029.

74. Gusev, I., Horva, C. Streaming potential in open and packed fused-silica capillaries // J. Chromatography A 2002 - V.948 - P. 203-223.

75. Hashimoto, Т., Tanaka, Y. A large self-potential anomaly on Unzen vulcano, Shimabara peninsula, Kyushu island, Japan // Geophys. Res. Lett 1995.- V.22 - P. 191-194.

76. Heinson, G., Segava, J. Electrokinetic signature of the Nankai Trough accretionary complex: preliminary modelling for the Kaiko-Tokai program // Physics of the Earth and Planetary Interiors 1997 - №99 - P. 33-53.

77. Hunter, R.J. The significance of stagnant layer conduction in electrokinetics // Advances in Colloid and Interface Science.- 2003.- V.100,№2.-P. 153-167.

78. Ishido, Т., Mizutani, H. Experimental and theoretical basis of electro-kinetic phenomena in rock-water systems and its applications to geophysics // J. Geophys. Res.- 1981.- V.86.- P. 1763-1775.

79. Ishido, Т., Pritchett, J.W. Numerical simulation of electrokinetic potentials associated with subsurface fluid flow //J. Geophys. Res.- 1999.— V.104, №B7.- P. 15247-15259.

80. Ishido, Т., Pritchett, J.W. Using numerical simulation of electrokinetic potentials in geothermal reservoir management / Proc. World Geothermal Congress, Kyushu Tohoku, Japan, May 28 - June 10, 2000 - P. 2629-2634.

81. Johnston, M.J.S. Review of electric and magnetic fields accompanying seismic and volcanic activity //J. Surveys in Geophysics.- 1997.- V.18.-P. 441-476

82. Jouniaux, L., Pozzi, J.-P. Permeability dependence of streaming potential in rocks for various fluid conductivities // Geophys. Res. Let.- 1995.-V.22, т.- P. 485-488.

83. Jouniaux, L., Pozzi, J.-P., Berthier, J., Mass6, P. Detection of fluid flow variations at the Nankai Trough by electric and magnetic measurements in boreholes at the seafloor //J. Geophys. Res 1999,-V.104, J№B12 - P. 29293-29309.

84. Jouniaux, L., Bernard, M.L., Zamora, M., Pozzi, J.-P. Streaming potential in volcanic rocks from Mount Pelee // J. Geophys. Res.- 2000.-V.105, №B7.- P. 8391-8401.

85. Keller, G.V. Rock and mineral properties, in M. N. Nabighian, ed., Electromagnetic Methods in Applied Geophysics Theory: Tulsa, Oklahoma, Society of Exploration Geophysicists.- 1987.- V.I.- P. 13-51.

86. Kim, S., Heinson, G., Joseph, J. Electrokinetic groundwater exploration: a new geophysical technique / Roach I.C. ed.; Regolith. CRC LEME, 2004.- P. 181-185.

87. Kormiltsev, V.V., Ratushnyak, A.N., Shapiro, V.A. Three-dimensional modeling of electric and magnetic fields induced by the fluidflow movement in porous media // Physics of the Earth and Planetary Interiors 1998.- №105.- P. 109-118.

88. Lighthill, Sir J., ed., A critical review of VAN: earthquake prediction from seismic electric signals. World Scientific Publishing Co., River Edge, 1996.- 388 p.

89. Lome, В., Perrier, F., Avouac, J.-P. Streaming potential measurements; 2. Relationship between electrical and hydraulic flow patterns from rock samples during deformation // J. Geophys. Res.- 1999.- V.104, №8.- P. 17879-17896.

90. Marquis, G., Darnet, M., Sailhac, P., Singh, A.K., Gerard, A.

91. Surface self-potential variations induced by deep hydraulic stimulation: an example from the Soultz HDR site // Geophys. Res. Lett 2002 - V.29, №14.- 7.1-7.4.

92. Michel, S., Zlotnicki, J. Self-potential and Magnetic Surveying of La Fournaise Volcano (Reunion Island): Correlations with Faulting, Fluid Circulation, and Eruption // J. Geophys. Res 1998 - №103 - P. 1784517857.

93. Mitzutani, H., Ishido, Т., Yokokura, Т., Ohnishi, S. Electrokinetic phenomena associated with earthquakes // Geophys. Res. Lett.- 1976.-№3.- P. 365-368.

94. Morgan, F.D., Williams, E.R., Madden, T.R. Streaming potential properties of westerly granite with applications // J. Geophys. Res.-1989.- V.94.- P. 12449-12461.

95. Nourbehecht, B. Irreversible thermodynamics in inhomogeneous media and their applications in certain geoelectric problems. PhD Thesis, MIT, Cambrige, 1963.

96. Overbeek, J.Th.G. Electrokinetic phenomena / Coloid Science; ed. H.R. Kruyt. Amsterdam: Elsevier 1952 - V.l.- P. 194-244.

97. Palacky, G.J. Resistivity characteristics of geologic targets, in electromagnetic methods, in M. N. Nabighian, ed., Applied Geophysics-Theory: Tulsa, Oklahoma, Society of Exploration Geophysicists.- 1987.- V.l.- P. 53-129.

98. Park, S.K., Johnston, M.J.S., Madden, T.R., Morgan, F.D., Morrison, H.F. Electromagnetic Percursors to Earthquakes in the U.L.F Band: A Review of Observations and Mechanisms // Rev. Geophys.-1993.- №31- P. 117-132.

99. UK Patent GB2404253B, Int CI7 G01V 3/26, G01N 15/08.

100. Evaluation of fracture geometries in rock formations / Entov V.M., Gordeev Y.N., Chekhonin E.M., Thiercelin M.; proprietor Schlumberger Holdings Lim./ British Virgin Islands inc.- №0413873.1; filed 21.06.04; pub. 08.06.05 30 p.

101. Patent Application Publication US20050017723A1, Cl.324/346.

102. Evaluation of fracture geometries in rock formations / Entov, V.M., Gordeev, Y.N., Chekhonin, E.M., Thiercelin, M.; assignee Schlumberger technology corporation / State of Texas inc. №10/872,116; filed 01.18.04; pub. 01.27.05.- 16 p.

103. Perrier, F., Trique, M., Lome, В., Avouac, J.P., Hautot, S., Tarits, P. Electrical variations associated with yearly lake level variations // Geophys. Res. Lett.- 1998.- V.25, №11.- P. 1955-1958.

104. Perrier, F., Froidefond, T. Electrical conductivity and streaming potential coefficient in a moderately alkaline lava series // Earth and Planetary Sci. Lett.- 2003.- №210(1-2).- P. 351-363.

105. Pinettes, P., Bernard, P., Cornet, F., Hovhannissian, G., Jouniaux, L., Pozzi, J.-P., Barthes, V. On the Difficulty of Detecting Streaming Potentials Generated at Depth // Pure Appl. Geophys 2002 -№159 - P. 2629-2657.

106. Pride, S.R. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media // Phys. Rev.- 1994 B50- P. 15678-15696.

107. Revil, A., Cathles, L.M., Losh, S., Nunn, J.A. Electrical conductivity in shaly sands with geophisical applications //J. Geophys. Res 1998.-V.103, №B10.- P. 23925-23936.

108. Revil, A., Pezard, P.A., Glover, P.W.J. Streaming potential in porous media; 1. Theory of the zeta potential //J. Geophys. Res.- 1999.-V.104, №B9.- P. 20021-20031.

109. Revil, A., Schwaeger, H., Cathles, L.M. Streaming potential in porous media; 2. Theory and application to geothermal systems //J. Geophys. Res 1999.- V.104, №B9.- P. 20033-20048.

110. Revil, A., Hermite, D., Voltz, M., Moussa, R., Lacas, J.-G., Bourri£, G., Trolard, F. Self-potential signals associated with variations of the hydraulic head during an infiltration experiment // Geophys. Res. Lett.- 2002.- V.29, №7.- P. 1106-1109.

111. Revil, A., Naudet, V., Nouzaret, J., Pessel, M. Principles of electrography applied to self-potential electrokinetic sources and hydro-geological applications // Water Resources Res.- 2003.- V.39, №5.- P. 1114-1128.

112. Rikitake, T. Magnetic and electric signals precursory to earthquakes: an analysis of Japanese data //J. Geomagn. Geoelectr- 1987.- V.39, №1.-P. 47-61.

113. Rizzo, E., Suski, В., Revil, A., Straface, S., Troisi, S. Self-potential signals associated with pumping-test experiments //J. Geophys. Res.-2004.- V.109 P. 10203-10216.

114. Al-Saigh, N.H., Mohammed, Z.S., Dahham, M.S. Detection of water leakage from dams by self-potential method // Eng. Geol.- 1994.-V.37 P. 115-121.

115. Sailhac, P., Darnet, M., Marquis, G. Electrical streaming potential measured at the ground surface: forward modeling and inversion issues for monitoring infiltration and characterizing the vadose zone //J. Vadose Zone.- 2004 V.3.- P. 1200-1206.

116. Sill, W. R. Self-potential modelling from primary flows // Geophysics-1983.- 48(1).- P. 76-86

117. Titov, K., Revil, A., Konosavsky, P., Straface, S., Troisi, S.

118. Numerical modelling of self-potential signals associated with a pumping test experiment // Geophys. J. Int.- 2005 V.162 - P. 641-650.

119. Varotsos, P., Alexopoulos, K. Physical properties of the variations of the electric field of the earth preceding earthquakes, I and II // Tectonophys.- 1984,- V.110 P. 73-98, P. 99-125.

120. Wright, C.A., Davis, E.J., Minner, W.A. et al. Surface tiltmeter fracture mapping reaches new depths 10000 feet, and beyond?: SPE paper 39919 // SPE Rocky Mountain Regional Conference, Denver, 6-8 April, 1998.- 12 p.

121. Wright, C.A., Davis, E.J., Ward, J.F. et al. Real-time Fracture Mapping from the "Live" Treatment Well: SPE paper 71648 // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, New Orleans, Louisiana, Sep.30 -Oct.3, 2001.- 7 p.

122. Wurmstich, В., Morgan, F.D. Modeling of streamirig potential responses caused by oil well pumping // Geophysics 1994.- V.59.- P. 46-56.

123. Zlotnicki, J., Le Моиё1, J.-L. Possible electro-kinetic origin of a large magnetic variations at La Fournaise volcano // Nature.- 1990.- V.343.-P. 633-636.