автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование течения несжимаемого вязкого газа на многопроцессорной вычислительной системе

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. (а - ^-ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ.

1.1 ОПИСАНИЕ (а - -ИТЕРАЦИОННОГО АЛГОРИТМА.

1.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ {а - /^-УРАВНЕНИЙ.

1.3 СХОДИМОСТЬ (а - 0)- ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА.

1.4 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВЕРХНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ К РАСЧЕТУ ß -ПРОЦЕССА.

1.4.1 Расчетные формулы.

1.4.2 Сравнение скорости сходимости ß -процесса при со = 1.2 и » = 1.

1.4.3 Определение оптимального значения релаксационного параметра.

1.4.4 Уменьшение скорости сходимости при измельчении пространственной сетки.

1.4.5 Уравнения прямых, аппроксимирующих функцию Y в первой части ее графика.

1.5 СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ КРИТЕРИЕВ ОКОНЧАНИЯ ß-ПРОЦЕССА.

1.6 ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ (а - ß)- АЛГОРИТМА.

1.6.1 Принцип геометрического параллелизма.

1.6.2 Описание используемой многопроцессорной системы.

1.6.3 Описание параллельного (а-^-алгоритма.

1.6.4 Проблема балансировки загрузки и снижение числа коммутаций между процессорами.

1.6.5 Параллельные алгоритмы вычисления погрешности.

1.7 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВЕРХНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ К МНОГОПРОЦЕССОРНОМУ ВАРИАНТУ ß -ПРОЦЕССА.

1.7.1 Увеличение отрезка сходимости -процесса.

1.7.2 Определение оптимального релаксационного параметра.

1.7.3 Уравнения прямых, аппроксимирующих функцию У в первой части ее графика.

1.8 ЭФФЕКТИВНОСТЬ МНОГОПРОЦЕССОРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ.

1.9 СРАВНЕНИЕ (а - у?)-АЛГОРИТМА С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ.

РИСУНКИ К ГЛАВЕ 1.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА В ЕСТЕСТВЕННЫХ

ПЕРЕМЕННЫХ.

2.1 ПОСТАНОВКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ.

2.2ПОСТРОЕНИЕ РАЗНЕСЕННЫХ СЕТОК.

2.3 АППРОКСИМАЦИЯ ПО ПРОСТРАНСТВУ.

2.4АППРОКСИМАЦИЯ ПО ВРЕМЕНИ.

2.5 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ. АПРИОРНЫЕ

ОЦЕНКИ. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ.

2.63АДАЧА О ТЕЧЕНИИ В КВАДРАТНОЙ КАВЕРНЕ.

2.6.1 Постановка задачи, алгоритм решения.

2.6.2 Однопроцессорная реализация.

2.6.3 Эффективность многопроцессорной реализации.

2.7МОДЕЛИРОВ АНИЕ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ СЛОЖНОЙ

ФОРМЫ.

2.8 ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ

УДАЛЕННОГО ДОСТУПА.

РИСУНКИ К ГЛАВЕ 2.

Течения несжимаемого газа являются основой технологических процессов во многих промышленных установках, на их изучении базируется описание процессов тепло- и массопереноса. Таким образом, численное решение задач течения вязкого несжимаемого газа представляет собой большой практический интерес.

Газ, по своей природе обладающий большой сжимаемостью, может быть поставлен в такие условия, когда его плотность остается постоянной, не зависящей от давления. Именно такой газ и называют несжимаемым. Происходит это, когда выполняются следующие требования: скорость движения среды мала (т.е. число Маха М очень мало и даже в качестве предельного случая может быть М = 0), отсутствуют значительные нагревы, а перепады давления слабы. Очень часто в литературе, посвященной гидроаэродинамике, понятия несжимаемого газа и несжимаемой жидкости объединяют и обозначают одним обобщающим словом "жидкость".

Таким образом, математическое описание течения несжимаемого вязкого газа можно строить, исходя из модели движения несжимаемой вязкой жидкости, которая основывается на уравнениях Навье-Стокса. Нелинейность этих уравнений и наличие в них малого параметра при старших производных (особенно при больших числах Рейнольдса), а также характерные для многих задач многомерность, нестационарность, наличие свободных границ и пограничных слоев затрудняет аналитическое исследование этих уравнений. Точных решений найдено мало (в основном только для модельных задач и частных случаев; так, например, почти во всех решенных задачах специфика нелинейности не учитывается). Решить точно задачу обтекания даже простых тел конечного размера в рамках уравнений Навье-Стокса не оказалось возможным, поэтому уже давно большое внимание уделяется разработке приближенных численных методов решения этих уравнений. По сути дела сформировалась самостоятельная область исследований -вычислительная гидроаэродинамика (Computational Fluid Dynamic, CFD), за время ее развития разработано множество работоспособных методов решения уравнений Навье-Стокса, которые можно сравнивать по различным параметрам: порядкам аппроксимации и точности, простоте реализации, эффективности и т.д. С помощью уже разработанных методов решено множество разнообразных задач, однако и сейчас проблема построения новых методов не потеряла своей актуальности. Дело в том, что на современном этапе развития науки и техники возникает насущная потребность детального описания картины течения. Детальное моделирование требует подробной сетки с мелким пространственным шагом и большим числом точек разбиения, что значительно увеличивает объем вычислений (например, в трехмерных задачах при увеличении числа пространственных узлов в N раз по каждому направлению объем вычислений увеличивается как минимум в N4 раз). Повышение производительности последовательных компьютеров с архитектурой фон Неймана имеет предел [76]. Это обстоятельство объясняет ограничения, накладываемые на используемую сетку и большое время счета современных задач гидроаэродинамики даже на достаточно производительных ЭВМ. Выходом из создавшегося положения представляется использование многопроцессорных суперЭВМ, основанных на принципе параллельной обработки данных. Применение современных параллельных ЭВМ сделало возможным очень детальное описание процессов в движущемся газе за сравнительно небольшое время реальностью. Однако проблема заключается в том, что существующие алгоритмы плохо приспособлены для их реализации на многопроцессорных ЭВМ с архитектурой распределенной памяти, на сегодняшний день являющихся наиболее доступными и выгодными высокопроизводительными компьютерами. Применение этих ЭВМ позволяет сократить время счета уже решенных задач, а также решить новые, недоступные ранее задачи. Поэтому чрезвычайно важной на данный момент является разработка новых алгоритмов описания течения несжимаемого вязкого газа, изначально предназначенных для реализации именно на многопроцессорных ЭВМ. В диссертации проводятся исследования, нацеленные на решение данной актуальной проблемы.

Как хорошо известно, численные методы решения задач математической физики в общем и течения несжимаемого вязкого газа в частности делятся на явные и неявные. В первых из них значение искомой величины на новом слое по времени целиком определяется ее значениями на предыдущем слое. Кроме общеизвестных преимуществ (применение явных формул, пропорциональность числа операций при переходе с одного временного слоя на другой общему количеству узлов сетки) достоинством явных схем является их высокая эффективность при реализации на параллельных ЭВМ (при увеличении количества счетных узлов эффективность может приближаться к 100% [86]). Следует отметить, что знаменитый российский физик-теоретик А.А.Власов еще в 60-х годах, указывая на перспективность явных схем, отмечал, что в них четко выражена причинно-следственная связь между прошлым и будущим [15]. К сожалению, явные схемы, как правило, обладают низкой вычислительно устойчивостью, при этом допустимый шаг по времени не может быть произвольным и в общем случае течения вязкого несжимаемого газа связан с пространственными шагами условиями типа Куранта: где Ь - минимальный шаг пространственной сетки, С - константа, не зависящая от I и 11, но пропорциональная числу Рейнольдса Яе. Поэтому использование явных схем даже при умеренно больших сетках (особенно для средних и малых чисел Рейнольдса) является неэкономичным, а в наиболее актуальных задачах с использованием очень подробных сеток -попросту невозможным.

Выходом из создавшейся ситуации является использование неявных схем, когда значение искомой величины на новом (]+1)-ом слое по времени определяется не только с помощью ее величины на предыдущем ]-ом слое, но и при участии ее значений в соседних точках слоя 0+1). Устойчивость неявных схем гораздо выше, однако их применение намного сложнее, т.к. возникает необходимость на каждом временном слое решать систему сеточных уравнений очень большого порядка (при детальном моделировании число неизвестных в зависимости от параметров сетки может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч). В настоящее время существует достаточно широкий выбор алгоритмов решения подобных уравнений на однопроцессорных ЭВМ (см., например, [70]). Число алгоритмов, позволяющих решить сеточные уравнения на многопроцессорных вычислительных системах, гораздо меньше, однако в последнее время ведется активная работа по их созданию, причем в ряде случаев (см. литературу в [86]) были получены многообещающие результаты.

Представляется перспективным для использования на многопроцессорных ЭВМ техники расщепления, которая является обычной в численных методах нелинейной механики и гидроаэродинамики (см., например, работы [32], [50], [64], [67], а также цитированную в них литературу) и объединяет преимущества явных и неявных схем. Выделяют следующие виды расщепления [37], [66]: 1) геометрическое (например, различные схемы переменных направлений, предложенные Писменом, Дугласом и Рэкфордом [121], [149], попеременно-треугольный метод, предложенный А.А.Самарским [63] и В.П.Ильиным [29]);

2) физическое (метод частиц в ячейке PIC, предложенный Харлоу [81], метод маркеров и ячеек MAC, предложенный Харлоу и Уэлчем [132], метод крупных частиц, описанный в работах [5], [7], [28], [97]);

3) аналитическое [37];

4) методы декомпозиции (разделения) области [66], [67].

В диссертации используется схема расщепления, аналогичная схеме Дугласа-Рэкфорда для задачи теплопроводности, однако расщепления по пространственным координатам не происходит. Рассматриваемый алгоритм приводит к необходимости решения трех сеточных уравнений: двух - параболического и одного эллиптического, на которое приходится основная вычислительная нагрузка. Разработка эффективных алгоритмов для решения эллиптических уравнений и особенно их адаптация для параллельных компьютеров — не простая проблема как с точки зрения прикладной математики, так и с точки зрения программирования. В диссертации уравнения, в том числе и эллиптического типа, решаются с помощью (а - /?) -итерационного алгоритма, выбор которого обусловлен в первую очередь возможностью его эффективного распараллеливания, а также широкой областью применимости. Разработаны многопроцессорные варианты этого алгоритма (для различного количества процессоров) с использованием принципа геометрического параллелизма для параллельных компьютеров с распределенной памятью. Это очень важно, т.к. применение таких ЭВМ делает возможным детальный анализ газовых течений, который требует подробных пространственных сеток

В данной работе рассматриваются уравнения Навье-Стокса в естественных переменных "скорость, давление" (х,р). Большая часть известных в настоящее время численных методов решения этих уравнений была разработана применительно к системе переменных "функция тока, вихрь" {у/,со). Подробный анализ таких методик, в том числе и с использованием техники расщепления, можно найти в [8], [24],

37], [46], [61], [119]. Гораздо меньше результатов получено при решении уравнений Навье-Стокса в естественных переменных. Роуч в качестве достоинств системы (у/, со) отмечал то, что в случае одномерной односвязной области она позволяет понизить число рассчитываемых уравнений и то, что при получении нестационарной картины линии тока строятся с помощью простой интерполяции (в случае (у, р) -системы они определяются интегрированием). Кроме того, основная трудность задачи в естественных переменных состоит в определении давления. Малое количество работ, в которых использовались уравнения Навье-Стокса в переменных (у,р), объяснялось именно этим. Однако начиная с 80-х гг. данная методика стала широко применяться, в настоящее время достигнуты значительные успехи в преодолении описанной выше трудности и произошло увеличение интереса к методам решения уравнений Навье-Стокса в естественных переменных (см., например, [11], [12], [13]). Это объясняется не только отсутствием при такой постановке задачи недостатков (у/, со) -системы (трудности с неявной реализацией граничных условий для завихренности, существенное возрастание объема вычислений при обобщении на случай пространственных течений [61]; трудности в применении (у/,со)-системы при попытках расчетов течений со свободной поверхностью), но и тем, что эти методы легко обобщаются на случай жидкостей и сжимаемых газов с неоднородными и переменными свойствами и очень эффективны по крайней мере при небольших числах Маха. Кроме того, для (у,р)— системы характерна более простая постановка граничных условий, особенно в многосвязных областях. Таким образом, использование переменных "функции тока, вихрь" может быть эффективным только для двумерных односвязных областей и несжимаемой вязкой жидкостью в приближении Буссинеска, в то время как область применения переменных "скорость, давление" гораздо шире.

Алгоритм, предложенный в данной работе, может быть использован не только для описания движения несжимаемого газа, но и обобщен на некоторые другие виды течений, в частности, течений слабосжимаемого газа. Подобные течения являются основой процессов во многих промышленных установках (например, всевозможных камерах сгорания, в том числе и различных двигателей). Известно, что слабосжимаемые течения имеют некоторые специфические особенности, которые типичны для несжимаемых течений и отражаются в уменьшении зависимости между плотностью и давлением при стремлении числа Маха к 0 [104]. Приемлемы такие математические модели, которые учитывают эту слабую зависимость (или независимость), следовательно, алгоритм, предложенный в диссертации, в случае слабосжимаемых течений вполне конкурентоспособен.

В данной работе описана модель газодинамических течений, основанная на использовании уравнений Навьк-Стокса, однако методика, предложенная в диссертации, может быть применена и при других способах решения задач гидроаэродинамики. Как известно, существует два подхода к исследованию материальных сред: статистический и феноменологический. Последний, основанный на построении макроскопической теории, получил наиболее широкое распространение

43], [45], [61], [72]. Статистический метод, в котором применяется вероятностный подход к изучаемым явлениям и вводится осреднение основных характеристик по большому числу молекул, используется реже. Некоторые авторы (например, Л.И. Седов [72]) отрицают эффективность статистического подхода, однако с такой точкой зрения нельзя согласиться, так как существует большое число монографий ([38],

44], [83], [84], [85], а в последнее время [88]), в которых рассматривается кинетическая теория газов и на ее основе производится вывод уравнений Навье-Стокса, а также более широкого класса разностных уравнений -явных схем со специальными регуляризаторами. В этом случае в алгоритм или непосредственно в математическую модель вводятся дополнительные члены, которые демпфируют неустойчивости счетного характера, оставляя все естественные возмущения. Примером таких алгоритмов могут служить применяемые для моделирования течений вязкого газа кинетически-согласованные разностные схемы1 (КСРС) [88], а также вытекающая из них квазигазодинамическая система уравнений [125]. Эта система была успешно использована для эффективного моделирования различных течений газа, однако до недавнего времени изучались в основном околозвуковые и сверхзвуковые течения. Случай дозвуковых течений (являющийся предметом исследования диссертации), которые характеризуются небольшим числом Маха (М<0.1) рассматривался (см., например, [26], [92]), но встречал трудности при использовании традиционных методов численного решения получаемых уравнений. Даже при применении неявных разностных схем достижение требуемой точности не могло быть гарантировано (не говоря уже о крайней неэффективности явных разностных схем, что обусловлено указанными выше ограничениями на шаг по времени), скорость сходимости была очень низкой. Причина - в типичном поведении давления, которое в каждой точке области осциллирует около некоторой средней величины. Эта величина постоянна во всей области и много больше, чем осцилляции. В общем случае для получения обезразмеренной формы уравнений эта средняя величина используется в качестве характерной величины давления. Вследствие этого в уравнении количества движения при члене gradp появляется коэффициент у 2, что приводит к существенным вычислительным ошибкам при М -» 0.

В работе [162] предложен способ, который позволяет избежать этой трудности и, следовательно, обеспечивает успешное применение квазигазодинамической системы уравнений для моделирования

1 В зарубежной литературе эти схемы часто называют Больцмановскими. существенно дозвуковых течений. Для того, чтобы сделать корректной обезразмеренную форму квазигазодинамических уравнений, в [162] предложено разделить давление на сумму двух компонент, которые имеют различные характерные значения, что влияет на их обезразмеривание. Первая компонента зависит только от времени, а вторая, динамическая, - как от времени, так и от пространственных переменных. В результате коэффициенты типа в обезразмеренное уравнение не входят. Подобная техника может быть применена и для решения полных уравнений Навье-Стокса [114].

Для избежания потерь точности в [162] разработан новый неявный вычислительный алгоритм, на одном из этапов которого возникает необходимость решить уравнение эллиптического типа, что требует значительных вычислительных издержек. Для решения подобного типа уравнений с успехом может быть использован (а-у?)-итерационный алгоритм, в том числе и разработанная в данной диссертации его параллельная реализация, что позволит существенно сократить вычислительные затраты при моделировании течений газа.

В качестве примера практически важных задач, где необходимо детальное моделирование слабосжимаемых газовых течений, можно рассмотреть также задачу гетерогенного катализа метана — основной компоненты природного газа, переработка которого может обеспечить сырьем практически все современные химические производства. В промышленности повсеместно используются способы превращения метана в химические продукты (паровая конверсия, парциальное окисление метана кислородом и комбинация этих способов), основанные на его предварительном превращении в синтез-газ - смесь окиси углерода СО и водорода Н2. Синтез-газ различного состава используется для получения многих соединений: метанола, аммиака, формальдегидов, а также топлива, в том числе синтетических высокооктановых бензинов.

Однако, несмотря на такие радужные перспективы, использование метана на данном этапе осуществляется в недостаточной степени, причина этого - технологическая сложность процессов и их энергоемкость. Поэтому перспективным представляется математическое моделирование новых процессов, позволяющих увеличить возможности более полного использования метана. В [110] разработана математическая модель каталитического реактора парциального окисления метана, где в качестве катализатора использована платиновая сетка. В реактор, представляющий собой цилиндр, подается газ (смесь, содержащая 6.5% метана, 3.5% кислорода и 90% аргона), нагретый приблизительно до 800К, что недостаточно для начала гомогенного окисления метана, точнее, реакция идет очень медленно, не успевая пройти за время, пока смесь находится в реакторе. Платиновые сетки подогреты до 1000-1200К, потери тепла в пограничный газовый слой приводят к тому, что начинается процесс гетерогенного окисления метана, который сам по себе экзотермичен. Окись углерода и водород являются промежуточными продуктами окисления метана (конечные продукты - СО, и вода Н20), поэтому на определенном этапе смесь охлаждают, чтобы прекратить реакцию и обеспечить требуемый состав газа. Боле подробно процесс катализа описан в [118].

Механизм реакции парциального окисления метана регулируется системой из 13 обыкновеннных дифференциальных уравнений для концентраций газовых составляющих в точке на поверхности катализатора, а также двух балансовых уравнений сохранения. Рассматриваемый процесс характеризуется малыми числами Маха (0.010.1), значительными температурными градиентами в области каталитической поверхности, поэтому указанная выше система должна быть дополнена уравнением для температуры каталитической поверхности, учитывающим подогрев за счет химической реакции, охлаждение за счет диссипации тепла через стенки и потери тепла при излучении. В работе [110] для описания данного процесса используется обобщение кинетически-согласованных разностных схем на случай течения реагирующей газовой смеси [105]. Основная схема выражает законы сохранения плотности, моментов движения и энергии в полунеявной форме, для решения используется простой итерационный алгоритм. Подобные схемы были применены и для решения других промышленных проблем [111], [112].

Также в [110] изучается течение нереагирующей смеси (без учета изменения ее объема), для этого используются уравнения Навье-Стокса для сжимаемой среды в приближении нулевого числа Маха (что обеспечивает моделирование нереагирующих течений), а также числа Рейнольдса, обеспечивающие ламинарный режим. В итоге получилась система уравнений для плотности, скорости, температуры и поправки давления и возникла необходимость решить 2 типа уравнений (конвекции-диффузии и эллиптического уравнения для давления), для обоих возможна их параллельная реализация. При решении второго уравнения перспективным представляется использование многопроцессорного варианта (а - /^-итерационного алгоритма. Подход, описанный в диссертации, может быть с успехом применен и в данном случае, он поможет расширить число задач вычислительной гидроаэродинамики, решенных на многопроцессорных ЭВМ. Это очень важно, т.к. потенциальные возможности таких компьютеров до сих пор используются не полностью, хотя история развития параллельных ЭВМ насчитывает несколько десятков лет.

Ограниченность архитектуры фон Неймана была известна еще на заре компьютерной эры в конце 40-х - начале 50-х годов [88]. Практически тогда же стали внедряться идеи параллелизма (примером могут служить компьютеры 1ВМ701 (1953 г.), 1ВМ704 (1955 г.) и т.д.). Однако полноценный параллельный суперкомпьютер 11Х1АС IV появился только в 1974 г. [169] (словом "параллельный" стали называть все вычислительные системы, которые используют для обработки информации большое число функциональных устройств). В нашей стране наиболее успешными первыми разработками в этой области можно считать серийный выпуск многопроцессорных ЭВМ ПС-2000 и Эльбрус-2 [77]. Истории и развитию параллельных вычислений в России посвящена работа [169]. На современном этапе развиваются следующие типы компьютерных архитектур: векторно-конвейерные компьютеры, параллельные компьютеры и кластеры (фактически являющиеся комбинацией систем первых двух типов). Хотя различные исследователи отдают предпочтение разным типам суперкомпьютеров, в настоящее время наиболее распространенными и поэтому наиболее используемыми являются параллельные ЭВМ.

В распоряжении автора находилась вычислительная система РАБ^УТЕС СС, относящаяся к классу параллельных ЭВМ с распределенной памятью, поэтому остановимся подробнее на характеристике таких компьютеров. Существует несколько видов классификации параллельных систем [76], [126], [169], один из важнейших - по типу памяти: разделяемая (общая) и распределенная [57]. В устройстве с разделяемой памятью все процессоры имеют доступ к общей памяти и любое общение между отдельными процессорами осуществляется именно через нее. Главными достоинствами систем с разделяемой памятью является потенциально очень быстрое взаимодействие процессоров и простота адаптации численных алгоритмов. К числу их недостатков можно отнести сравнительно высокую стоимость и также то, что число процессоров в них чисто технически и может быть большим (только порядка 10-20), что резко снижает возможности применения таких систем.

В системах с распределенной памятью каждый процессор может адресоваться только к собственной памяти, обмены между процессорами происходят медленнее, чем локальная обработка данных самими процессорами [169]. Этот фактор нужно учитывать при адаптации последовательных алгоритмов для многопроцессорных систем, стараясь свести к минимуму количество обменов между процессорами. Неоспоримыми достоинствами систем с распределенной памятью являются их сравнительно низкая стоимость и возможность легкого подбора оптимальной конфигурации.

Важным этапом развития многопроцессорной техники стало создание в 1985г. фирмой INMOS первого элемента семейства транспьютеров -IMS Т414 [52], [76]. Транспьютеры относятся к семейству RISC-процессоров, которые очень компактны и объединяют обрабатывающий элемент, систему связи и память в одной микросхеме, изготовленной по технологии СБИС. Производительность транспьютеров по современным стандартам достаточно мала, поэтому в дальнейшем стали применяться системы, построенные на основе гибридных узлов, в которых транспьютер служит для коммуникационных целей, а в качестве арифметического устройства используется другой, более производительный процессор. Подобные компьютеры на значительный срок определили облик многопроцессорных систем массового параллелизма. Однако в настоящее время на их смену пришли системы, использующие вместо транспьютеров другие процессоры-коммутаторы, что позволяет значительно увеличить скорость обмена информацией, хотя пропускная способность коммутаторов остается более низкой по сравнению с производительностью вычислительного узла. И хотя сейчас происходит отказ от применения транспьютеров, отдавая дань той роли, которую они сыграли в развитии многопроцессорной техники, системы с распределенной памятью часто называют транспьютероподобными.

Появление и постоянное совершенствование многопроцессорной техники сделало реальностью решение задач, исследование которых ранее было невозможно или крайне неэффективно. Укажем основные направления использования многопроцессорных систем [95]:

- задачи "большого вызова" (список Grand Challenge), решение которых невозможно на вычислительных системах традиционной архитектуры, а физический эксперимент при исследовании подобных проблем обходится очень дорого или невозможен в принципе (проблемы моделирования климата и экологических задач, предсказание погоды, описание режимов горения топлива, моделирование обтекания летательных аппаратов сложной формы и многие другие);

- задачи реального времени, когда требуется принять адекватное решение за короткое время (управление движением самолетов в воздушной зоне аэропорта и т.д.);

- сокращение времени решения задач;

- построение систем высокой надежности функционирования (в таких системах особенно популярны транспьютеры, т.к. они обладают высокой отказоустойчивостью);

- одновременное обслуживание многих потоков данных (например, сбор информации со множества датчиков, установленных вдоль технологической линии).

В настоящее время происходит быстрый рост производительности вычислительных систем, не редкость системы суммарной производительностью 10-100 GFLOPS (Ю10 -10й операций с плавающей запятой в секунду), существуют и уникальные пока компьютеры производительностью 1 TFLOPS (1С12 операций с плавающей запятой в секунду) и более1. Однако многопроцессорные вычислительные комплексы используются лишь на несколько процентов от их реальных возможностей, причем, как показывает практика, чем больше процессоров в системе, тем меньше эффективность ее использования. Причина заключается в трудностях адаптации вычислительных алгоритмов к архитектуре многопроцессорных систем, в первую очередь

1 В настоящее время самый мощный в мире компьютер ASCI White обладает пиковой производительностью более 12 TFLOPS [170].

- систем с распределенной памятью. Поэтому разработка новых эффективных алгоритмов, ориентированных на реализацию в системах с распределенной памятью, и адаптация уже существующих алгоритмов к этим системам является чрезвычайно актуальной. В диссертации разработан и применен для решения уравнений Навье-Стокса параллельный вариант (а - /^-итерационного алгоритма для четырех и шестнадцати процессоров, соответствующий разбиению области по двум пространственным направлениям.

Из всего множества уже существующих алгоритмов значительная часть не имеет эффективных параллельных аналогов, успешно могут быть распараллелены только те, которые обладают следующими свойствами [86]:

1) Необходимо, чтобы метод обладал внутренним параллелизмом, т.е. конечный результат должен быть достигнут решением ряда подзадач, каждая из которых вычисляется на отдельном процессоре. Это требование является самым главным, без него невозможно построение параллельного алгоритма, более эффективного, чем его последовательный аналог. Важно оценить объем вычислений, который распараллелить невозможно. Если этот объем невелик, то он (при сравнительно небольшом числе процессоров) незначительно снижает эффективность работы системы, но при увеличении числа процессоров негативное влияние этого фактора может возрастать.

2) Необходимо, чтобы алгоритм обеспечивал равномерную загрузку процессоров. Если однородные процессоры загружены неравномерно, то конечная эффективность, которая определяется наибольшим для всех процессоров временем счета, будет снижена. Еще более остро эта проблема стоит при объединении в одну систему разнородных процессоров, а также при использовании для вычислений распределенных сетей.

3)Важным является требование минимизации обмена информацией между процессорами во время счета, которое актуально в первую очередь для вычислительных систем с распределенной памятью. При большом объеме информации, передаваемой по межпроцессорным каналам связи, значительная часть времени будет тратиться не на полезные вычисления, а на относительно медленные обмены, что приведет к снижению эффективности работы системы.

4) Необязательным, но крайне желательным свойством является логическая простота алгоритма. Дело в том, что хотя и существует программное обеспечение, позволяющее автоматически получить параллельный вариант исходного алгоритма (см., например, [17]), но только опытный вычислитель вручную может разработать более эффективную параллельную версию. Если алгоритм сложен, то усилия ученого (или программиста) могут быть затрачены впустую. Требование простоты важно еще и потому, что многопроцессорная техника постоянно совершенствуется, что влечет за собой необходимость изменения математического обеспечения. Необходимость постоянного переписывания программ с целью использования всех возможностей, предоставляемой более совершенной техникой, может оттолкнуть, как отмечалось в работе [17], от использования суперкомпьютеров многих квалифицированных специалистов. Более простые алгоритмы позволяют свести к минимуму силы, затраченные на переработку программного кода.

Одна из целей данной работы - разработка и апробирование метода решения уравнений Навье-Стокса, удовлетворяющих перечисленным выше требованиям.

Различным аспектам использования параллельных ЭВМ посвящено достаточно большое количество литературы (так, например, методология параллельного программирования обсуждается в [16], [141], [146], практические основы - в [60], а параллельные численные методы - в [57],

67], [129], [154] и цитированной в ней литературе), но до сих пор многопроцессорные системы оставались уникальными, поэтому их возможности могло оценить лишь небольшое количество ученых. Однако за последнее время благодаря растущей популярности глобальных компьютерных сетей число исследователей, имеющих возможность использовать ресурсы многопроцессорных систем, резко увеличилось, тем самым повышая актуальность разработок в области распараллеливания вычислительных алгоритмов. Расчеты, результаты которых представлены в данной работе, проводились в Институте математического моделирования РАН (г. Москва) на многопроцессорном вычислительном комплексе PARSYTEC СС под управлением операционной системы AIX и параллельной среды PARIX, комплекс входит в состав локальной сети института, которая, в свою очередь, имеет выход в глобальную сеть Internet. Это предоставляет возможности для удаленного использования многопроцессорной системы, поскольку доступ к ней возможен с любого узла Internet.

Вычисления осуществлялись с помощью удаленного доступа из г.Орла с использованием стандартных возможностей, предоставляемых глобальной сетью Internet [36], наиболее важные из которых - telnet и ftp.

Цель работы заключается в решении уравнений Навье-Стокса на многопроцессорной вычислительной системе с помощью разработанного параллельного алгоритма, создании для этого нового математического обеспечения и комплекса программ, а также расширении возможностей использования ресурсов многопроцессорных систем посредством удаленного доступа.

Методы исследования

Для решения тестового эллиптического уравнения используются однопроцессорный и параллельные варианты (а - 0)-алгоритма, методов Зейделя и локальной релаксации с красно-черным упорядочиванием расчетных точек. Рассматриваемые в работе методы разработки параллельных алгоритмов численного моделирования основаны на принципе геометрического параллелизма.

Моделирование течения несжимаемого вязкого газа производится с помощью уравнений Навье-Стокса в естественных переменных, которые записываются в кососимметричной форме, что гарантирует сохранение кинетической энергии. Дискретизация производится с помощью линеаризованной схемы расщепления. Для проведения расчетов используются разнесенные сетки МАС-типа для давления и компонент скорости. Для решения получаемых сеточных уравнений применяются однопроцессорный и параллельные варианты {а - /?)- алгоритма и метода локальной релаксации.

Моделирование течений в областях сложной формы, а также обтекания препятствий производится с помощью метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам.

Научная новизна работы состоит в адаптации для многопроцессорной вычислительной системы с распределенной памятью и конфигурацией в виде решетки неявного (а - ¡3)-итерационного алгоритма и применении его эффективной параллельной реализации для расчета течения несжимаемого вязкого газа с использованием подробной пространственной сетки.

Практическая ценностьыс сл едованмя определяется необходимостью разработки новых и адаптации уже существующих алгоритмов решения задач гидроаэродинамики на многопроцессорных вычислительных системах. Основные практические достижения состоят в расширении возможностей применения современных вычислительных средств (в том числе путем использования удаленного доступа) для решения задач математической физики и обеспечении более эффективного решения этого класса задач. Результаты, полученные в данной работе, позволяют дополнить классификацию параллельных алгоритмов, применяемых для моделирования несжимаемых течений, указывают один из возможных путей решения задач гидроаэродинамики, позволяют создать для этих целей пакет прикладных программ, могут быть использованы для моделирования процессов в реальных промышленных установках и обобщены на случай слабосжимаемых течений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 150 машинописных страниц, текст содержит 17 рисунков и 37 таблиц. В списке использованной литературы 170 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты диссертации:

• Разработаны многопроцессорные варианты (а-р)-итерационного алгоритма, основанные на методе геометрического параллелизма и соответствующие разбиению области по двум пространственным направлениям. На примере решения тестовой эллиптической задачи проанализировано влияние релаксационного параметра на ускорение сходимости алгоритма, выявлена закономерность поведения функции, выражающей число итераций р-процесса, в зависимости от этого параметра для одно- и многопроцессорных вариантов (а-р)-алгоритма. Исследована эффективность предложенной параллельной реализации, проведенные расчеты показывают, что для подробных сеток (а-р)-алгоритм достаточно эффективен.

• Предложен и апробирован, в том числе посредством удаленного доступа, многопроцессорный метод решения задач динамики несжимаемого газа, основной чертой которого является сохранение кинетической энергии. Основой используемой математической модели являются уравнения Навье-Стокса в естественных переменных. В итоговом алгоритме получаемые неявные уравнения решались с помощью (а-р)-алгоритма и метода локальной релаксации. Точность и эффективность предложенного метода протестированы с помощью известных численных результатов.

• На основе разработанного метода реализован комплекс программ, позволяющий моделировать газодинамические течения на многопроцессорных системах с распределенной памятью, в том числе вокруг препятствий сложной формы.

1. Абрашин В.Н., Егоров A.A. Об одном итерационном методе декомпозиции области решения задач математической физики. II //Дифференциальные уравнения. т. 34, №2. - с. 266-271.

2. Агошков В.И. Методы разделения области в задачах математической физики. //Вычислительные процессы и системы (ред. Марчук Г.И.). Вып. 8. М.: Наука, 1991.-е. 4-15.

3. Аксенов H.H., Гольдин В.Я. Расчет двумерного стационарного уравнения переноса нейтронов методом квазидиффузии //ЖВМиМФ. 1979. - т.19, №5. - с. 1341-1343.

4. Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Ленинград: Судостроение, 1989. - 253 с.

5. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 519 с.

6. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости //ЖВМиМФ. 1975. - т. 15, №1. - с. 197-207.

7. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц (схемы и приложения). М.: МФТИ, 1978.

8. Браиловская И.Ю., Кускова Т.В., Чудов Л.А. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса (обзор). //Вычислительные методы и программирование. Вып. XI М.: Изд-во МГУ, 1968. - с. 3-15.

9. Бугров А.Н., Смагулов Ш. Метод фиктивных областей в краевых задачах для уравнений Навье-Стокса //Математические модели течений жидкости. Новосибирск, 1978. - с. 79-90.

10. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Издательство МГУ, 1991. - 156 с.

11. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках //Математическое моделирование. 1996. -т. 8, №7.-с. 81-108.

12. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на неразнесенных сетках. М.: ИММ РАН, 1993. - Препринт № 34. - 39 с.

13. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках //Математическое моделирование. 1997. - т. 9, №4. - с. 85-114.

14. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Высшая школа, 2000.-382 с.

15. Власов A.A. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966.-440 с.

16. Воеводин В.В. Математические методы и модели в параллельных процессах М.: Наука, 1986. - 296 с.

17. Воеводин В.В. Параллелизм в алгоритмах и программах.// Вычислительные процессы и системы (ред. Марчук Г.И.). Вып. 10. — 1993.-с. 253-270,

18. Волчинская М.И., Мажукин В.И., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Решение двумерных нестационарных задач динамики излучающего газа//ЖВМиМФ. 1983. - т.23, №5. -с. 1177-1185.

19. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н. Об одном итерационном методе решения двумерных уравнений диффузии излучения //ЖВМиМФ. -1977. т. 17, №2. - с.428-436.

20. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н. Решение двумерных нестационарных задач радиационной газовой динамики //ЖВМиМФ. 1979. - т. 19, №5. - с. 1262-1275.

21. Гольдин В.Я., Колпаков A.B. Нелинейный метод потоковой прогонки для решения многомерного диффузного уравнения. М.: ИПМ АН СССР, 1982. - Препринт № 22.

22. Гущин В.А. Пространственное обтекание трехмерных тел потоком вязкой жидкости //ЖВМиМФ. 1976. - т.16, №2. - с. 529-534.

23. Гущин В.А. Численное моделирование нелинейных процессов динамики несжимаемой вязкой жидкости: Автореф. дис. доктора физ.-мат. наук. М., 1990.

24. Гущин В.А., Щенников В.В. Об одном численном методе решения уравнений Навье-Стокса //ЖВМиМФ. 1974. - т.14, №2. - с. 512-520.

25. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Метод крупных частиц: вопросы аппроксимации, схемной вязкости и устойчивости. М.: ВЦ АН СССР, 1978.

26. Дородницын JI.B., Четверушкин Б.Н. Об одной неявной схеме для моделирования дозвукового течения газа //Математическое моделирование. 1997. - т.9, №5. - с. 108-118.

27. Дорофеева H.H., Кучеров А.Б. Исследование метода двумерных прогонок для решения сеточных эллиптических уравнений. //Разностные методы математической физики. -М.: Изд. МГУ, 1980. -с. 3-10.

28. Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными //ЖВМиМФ. 1965. - т.5, №4. - с. 680-688.

29. Ильин В.П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов //Сибирский математический журнал. 1965. -т.1, №1.

30. Ионкин A.A., Чурбанов А.Г. Схемы расщепления для уравнений Навье-Стокса на разнесенной сетке. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1996. - Препринт № 8. - 30 с.

31. Исаев С.А., Судаков А.Г., Лучко H.H., Сидорович Т.В. Численное моделирование ламинарного циркуляционного течения в квадратной каверне //Инженерно-физический журнал. 2002. - т. 75, №1. - с. 5460.

32. История отечественной математики, т.4, кн. 2. //Ред. И.З.Штокало и др. Киев: Наукова думка, 1970. - 668 с.

33. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Л., 1962.

34. Карпенко А.П. Параметрическое согласование вычислительных алгоритмов с архитектурой многопроцессорных систем: Автореф. дис. доктора физ.-мат. наук. -М., 1995.

35. Клевцур C.B., Латышев К.С., Четверушкин Б.Н. Циклический вариант (а-у?)-итерационного алгоритма //ДУ. 1988. - т. 24, №7. -с. 1213-1218.

36. Клименко С., Уразметов В. Internet. Среда обитания информационного общества. Протвино: Российский центр физико-технической информатики, 1995 - 327 с.

37. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

38. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. - 440 с.

39. Кучеров А.Б., Макаров М.М. Применение метода двумерных прогонок к решению пятиточечных разностных уравнений. //Разностные методы математической физики. М.: Изд. МГУ, 1981. -с. 31-38.

40. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1970. 288 с.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.

42. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974.-371 с.

43. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа М.: Наука, 1970. - 904 с.

44. Люлька В.А., Щенников В.В. Численное решение уравнений Навье-Стокса. //Сб. теор. работ по гидродинамике. М.: ВЦ АН СССР, 1970.-с. 107-149.

45. Мажорова О.С. Итерационный метод решения двумерных матричных уравнений. М.: ИПМ АН СССР, 1979. - препринт №48.

46. Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах численного решения уравнений Навье-Стокса //ЖВМиМФ. 1980. - т.20, № 4. - с. 10051020.

47. Мажукин В.И., Таран М.Д. Численное решение двумерной нестационарной задачи лазерного прогрева вещества. М.: ИПМ АН СССР, 1978. - Препринт №9.

48. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 263 с.

49. Марчук Г.И., Яненко H.H. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики. -Новосибирск: Наука, 1966.

50. Митчелл Д.А.П., Томпсон Дж. А., Мансон Г.А., Брукс Г.Р. Внутри транспьютера. М.: Мейкер, 1993. - 206 с.

51. Немухина A.M. Расчет течений несжимаемой вязкой жидкости на многопроцессорной вычислительной системе. М.: ИММ РАН, 2000. - Препринт № 1.-21 с.

52. Немухина A.M., Четверушкин Б.Н. Расчет течения слабосжимаемого вязкого газа на многопроцессорной вычислительной системе //Инженерно-физический журнал. 2002. - т. 75, №3. - с. 22-27.

53. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. — 365 с.

54. Павлов А.Н., Ионкин A.A., Воронков A.B., Чурбанов А.Г. Метод сквозного расчета процессов тепло- и массопереноса в областях сложной структуры. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1998. -Препринт № 8. - 25 с.

55. Прахт У. Неявный метод расчета ползущего движения с приложением к задаче о континентальном дрейфе. //Численные методы в механике жидкостей. -М.:Мир, 1973. с. 174-182.

56. Программирование на параллельных вычислительных системах: пер. с англ. //Р.Бэбб, Дж.Мак-Гроу, Т.Аксельрод и др.; под ред. Бэбба II. -М.: Мир, 1991.-376 с.

57. Роуч П. Вычислительная гидродинамика М.: Мир, 1980. - 616 с.

58. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. -239 с.

59. Самарский A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области //ЖВМиМФ. 1962. - т.2, №5. - с. 787-811.

60. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

61. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Векторные аддитивные схемы декомпозиции области для параболических задач //Дифференциальные уравнения. —1995. 31. — с.1563-1569.

62. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. -247 с.

63. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск: ЗАО ЦОТЖ, 1998. - 441с.

64. Самарский A.A., Волосевич П.П., Волчинская М.И., Курдюмов С.П. Метод конечных разностей для решения одномерных нестационарных задач магнитной газодинамики //ЖВМиМФ. 1968. - т.8, №5. — с. 1025-1038.

65. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. -430 с.

66. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. 590 с.

67. Софронов И.Ю. Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности //ЖВМиМФ. — 1965.- 5, №2.-с. 347-350.

68. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1. М.: Наука, 1970. - 492 с.

69. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.6. -М.: JL, 1951.

70. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981. - 408 с.

71. Транспьютеры. Архитектура и программное обеспечение. //Под ред. Г.Харпа. М.: Радио и связь, 1993. - 303 с.

72. Трапезникова М.А. Параллельные алгоритмы решения задач многофазной фильтрации: Авгореф.дис.канд.фш.-маг.наук.-М., 1999.- 14с.

73. Трапезникова М.А., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Параллельные алгоритмы решения разностных уравнений //Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем, вып.2. — М.: Станкин, 1999.-с. 178-197.

74. Фрязинов И.В., Мажорова О.С., Марченко М.П. Монотонизирующие регуляризаторы и матричный метод решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости //Математическое моделирование. 1994. - т. 6, № 12. - с. 97-116.

75. Фрязинов И.В., Моисеенко В.Д. Консервативные разностные схемы для уравнений несжимаемой вязкой жидкости в переменных Эйлера //ЖВМиМФ. 1981. - т. 21, № 5.-е. 1180-1191.

76. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. //Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.-с. 316-342.

77. Чен Р., Стрит Р., Фромм Дж. Численное моделирование волн в воде -развитие метода SUMMAC. //Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. - с. 183-188.

78. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М.: ИЛ, 1960.-510 с.

79. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.-245 с.

80. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.-495 с.

81. Четверушкин Б.Н. Проблемы эффективного использования многопроцессорных вычислительных систем //Информационные технологии и вычислительные системы. 2000. - №2. - с. 22-34.

82. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и высокопроизводительные многопроцессорные вычисления в газовой динамике //Вычислительные технологии. 2000. - т. 7, №2.

83. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.: Изд. Московского университета, 1999. - 231 с.

84. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. -М.: Наука, 1985. 430 с.

85. Четверушкин Б.Н. Об одном итерационном алгоритме решения разностных уравнений //ЖВМиМФ. -1976. т. 16, №2. - с. 519-524.

86. Четверушкин Б.Н. Решение двумерных задач динамики излучающего газа. //Современные проблемы вычислительной математики и математической физики. М.: Наука, 1982. - с. 321-332.

87. Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Моделирование течений газа при небольших числах Маха //Дифференциальные уравнения. 1998. -т.34, №7. - с. 988-992.

88. Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. О применении принципа геометрического параллелизма для (а /^-итерационного алгоритма //Математическое моделирование. - 1991. - т.З, №3. - с. 123-129.

89. Чурбанова Н.Г. Некоторые модификации {a-ß)-алгоритма решения эллиптических уравнений. М.: ИПМ АН СССР, 1982. - Препринт №48.

90. Якобовский М.В. Распределенные системы и сети М.: МГТУ Станкин, 2000.- 118 с.

91. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математическрй физики. Новосибирск: Наука, 1961. - 195 с.

92. Яненко H.H., Анучина H.H., Петренко В.Е., Шокин Ю.И. О методах расчета задач газовой динамики с большими деформациями

93. Численные методы механики сплошной среды. 1970. - 1, №1. -с.40-62.

94. Яненко Н.Н., Коновалов А.Н., Бугров А.Н., Шустов А.Н. Об организации параллельных вычислений и "распараллеливании" прогонки //Численные методы механики сплошной среды. 1978. -№7.-с. 139-146.

95. Amsden А.А., Harlow F.H. The SMAC method. //Los Alamos Scient. Lab. Rept. LA-4370, 1970.

96. Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: two-dimensional incompressible flow. Part 1. //J. Comput. Phys. 1966. - v. 1. - pp. 119-143.

97. Birjukova L.Yu., Chetverushkin B.N. On the problem of quasi-hydrodynamic model implementation for semiconductor structures simulation on parallel computer systems //Proc. 3rd Int. Conf. On Transputer Application. Glasgow, 1991. - pp. 359-365.

98. Botta E.F.F., Veldman A.E.P. On local relaxation methods and their application to convection-diffusion equations //J. Comput. Phys. 1982. -v. 48, № l.-pp. 127-149.

99. Brian P.L.I. A finite difference method of high order accuracy for the solution of three-dimensional heat conduction problem //A.I.Ch.E.J. -1961.

100. Buffat M. Simulation of two- and and three-dimensional internal subsonic flows using a finit element method //Int. J. Numer. Methods Fluids.-1991,- 12.-pp. 683-704.

101. Chetverushkin B.N. Experimentation on improvement of kinetically-consistent difference schemes. //Experimentation, modeling and computation in flow, turbulence and combustion (Eds. B.N.Chetverushkin et al.). John Wiley, 1997. - v. 2. - pp. 27-38.

102. Chetverushkin B.N. Submicron semiconductor structures simulation and implementation of computational physics problems on multiprocessortransputer systems //Computational Methods in Applied Sciences. -Elsevier, Amsterdam, 1992. pp. 267-275.

103. Chetverushkin B.N., Churbanova N.G., Trapeznikova M.A. Simulation of oil production on parallel computing systems //High Performance Computing 1997: Grand Challenges in Computer Simulation (Ed. A.Tentner). SCS, San Diego, CA, 1997. - pp. 122-127.

104. Chin P., d'Azevedo E.F., Forsyth P.A. and Tang W.-P. Preconditioned conjugate gradient methods for the incompressible Navier-Stokes equations. //Int. J. Numer. Methods in Fluids. 1992. - v. 15. - pp. 273295.

105. Churbanov A.G., Pavlov A.N. A pressure-based algorithm to solve the full Navier-Stokes equations at low Mach number //Computational Fluid Dynamics 98. Wiley, Chichester, 1998. - pp. 894-899.

106. Churbanov A.G., Pavlov A.N., Vabishchevich P.N. Operator-splitting methods for the incompressible Navier-Stokes equations on non-staggered grids. Part 1: First-order schemes //Int. J. Numer. Methods Fluids. 1995. -v. 21.-pp. 617-640.

107. Dawson C.N., Du Q. and Dupont T.F. A finite difference domain decomposition algorithm for the numerical solution of the heat equation //Math. Comp. 1991. - v. 57. - pp. 63-67.

108. Dawson C.N. and Dupont T.F. Explicit/implicit, conservative, Galerkin domain decomposition procedures for parabolic problems //Math. Comp. 1992. - v. 58. - pp. 21-34.

109. Deutschmann O., Schmidt L.D. Modeling the oxidation of methane in a short-contact-time reactor //A.I.Ch.E. Journal. nov. 1998. - v. 44, №11.

110. Dorodnicyn A.A. Review of methods for solving the Navier-Stokes equations //Lect. Notes Phys. 1973. - 18. -pp.23-47.

111. Douglas J. Alternating direction iteration for midly nonlinear elliptic difference equations //Numer. Math. -1961.-3.

112. Douglas J., Rachford H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables //Trans. Amer. Math. Soc. -1956.-v. 82, №2.-pp. 421-439.

113. Ducros F., Laporte F., Souleres T., Guinot V., Moinat P., Caruelle B. High-order fluxes for conservative skew-symmetric-like schemes instructured meshes: application to compressible flows //J. Comput. Phys. -2000.-161.-pp. 114-139.

114. ErlichL.W. An ad hoc SOR method//J. Comput. Phys. 1981. - v.44, №1.-pp. 31-45.

115. Erlich L.W. An ad hoc SOR method: a local relaxation scheme //Elliptic problem solvers II (Eds. G. Birkhoff and A.Schoenstadt). -Academic Press, Orlando, 1984. pp. 257-269.

116. Elizarova T.G., Chetverushkin B.N. Kinetically coordinated difference schemes for modeling flows of a viscous heat-conducting gas //J. Comp. Math, and Math. Phys. U.K. 1988. - № 11. - pp. 64-75.

117. Flynn MJ. Some computer organizations and their effectiveness //IEEE Trans. Comput. 1972. -21, №9. - pp. 948-960.

118. Foster I. Automatic generation of self-scheduling programs //IEEE Trans, on Parallel and Distr. Sys. 1991. - v.2, № 1. - pp. 68-78.

119. Fox G.C., Furmanski W. The physical structure of concurrent problems and concurrent computers. California Institute of Technology, 1987. - Preprint № 493. - 60 p.

120. Freeman L., Phillips C. Parallel numerical algorithms. Prentice Hall, 1993.-350 p.

121. Ghia U., Ghia K.N. and Shin C.T. High-Re solution for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid methods //J. Comp.Phys. 1982. - v. 48. - pp. 387-411.

122. Guj G., Stella F. //Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1988. - v. 8. - pp. 405-416.

123. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface //Phys. Fluids. -1965. 8. - 12. -pp. 2182-2189.

124. Horiuti K. Comparison of conservative and rotational forms in large eddy simulation of turbulent channel flow. //J. Comput. Phys. 1987. -71.-pp. 343-370.

125. Johnson S.L., Saad V., Schultz M.H. Alternating direction methods on multiprocessors //SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1987. - v. 8. - pp. 686700.

126. Kravchenko A.G., Moin P. On the effect of numerical errors in large-eddy simulations of turbulent flows //J. Comput. Phys. 1997. - 131. -310.

127. Kreiss H.-O., Oliger J. Methods for the approximate solution of time dependent problems //Geneva, Meteorological Organization/ International Council of Scientific Unions. 1973.

128. Kuo C.-C.J,. Levy B.C. and Musicus B.R. A local relaxation method for solving elliptic PDEs on mesh-connected arrays //SIAM J. Stat. Comput. 1987. - v.8. - pp. 550-573.

129. Kuznetsov Yu.A. New algorithms for approximate realization of implicit difference schemes //Sov. J. Numer. Anal. And Math. Model. -1988.-v.3.-pp. 99-114.

130. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation //Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1979. - v. 19. - pp. 59-98.

131. Le Tallec P. Domain decomposition methods in computational mechanics //Computational mechanics advances. 1994. - v. 1. - pp. 121220.

132. Lewis T.G. Foundations of parallel programming: a machine-independent approach. IEEE Computer Society Press, 1994. - 284 p.

133. Lilly D.K. On the computational stability of numerical solutions of time-dependent non-linear geophysical fluid dynamics problems //Monthly weather rev. 1965. - 93(1). - 11.

134. Morinishi Y. Conservative properties of finite difference schemes for incompressible flow. //Annual research briefs. Center for turbulence research. - 1995.

135. Murray K.A., Wellings A.J. Wisdom: a distributed operating system for transputers //Computer Syst. Sci. and Eng. 1990. - v.5, № 1. — pp. 13-20.

136. Nakamura Y., Takemoto Y.//Int. Symp. Fluid Dyn. Tokyo. - 1985. -v. l.-pp. 386-397.

137. Parallel computing: paradigms & applications. //Ed. By Albert Y. Zomaya. Int. Thomson Comp. Press, 1996. - 676 p.

138. Patankar S.V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. McGraw-Hill, 1980.

139. Pavlov A.N., Sazhin S.S., Fedorenko R.P., Heikal M.R. A conservative finite difference method and its application for the analysis of a transient flow around a square prism //Int. J. of Num. Meth. For Heat & Fluid Flow.-2000.-v.10,№ l.-pp. 6-46.

140. Peaceman D., Rachford H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations //SIAM. 1955. - 3, №1.

141. Polychronopoulos C.D., Girkar M., Reza M. etc. Parafrase-2, an environment for parallizing, partitioning synchronizing and scheduling programs on multiprocessors // Int. J. High Dreed Comput. 1989. - v.l, №l.-pp. 45-72.

142. Quarteroni A. Domain decomposition and parallel processing for the numerical solution of partial differential equations //Surveys on mathematics for industry. 1991. -v. 1. - pp. 75-118.

143. Quarteroni A., Periaux J., Kuznetsov Yu., Widlung O.B. Domain decomposition methods in science and engineering. Providence: AMS, 1994.

144. Rhie C.M., Chow W.L. Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation //AIAA Journal. 1983. - v.21. -pp.1525-1532.

145. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. PWS Publishing Co., Int. Thompson Publ. Co., 1995. - 447 p.

146. Shin T.M., Tan C.H., Hwang B.C. Effects of grid straggering on numerical schemes //Int. J. Numer. Methods Fluids. 1989. - v. 9, № 2. -pp.193-212.

147. Shishkin G.I., Vabishchevich P.N. Parallel domain decomposition methods with the overlapping of subdomains for parabolic problems //Math. Mod. Met. Appl. Sciences. 1996. - 6. - pp. 1169-1185.

148. Smith B., Bjorstad P., Gropp W. Domain decomposition. Parallel multilevel method for elliptic partial differential equations. Cambridge University Press, 1996.

149. Tadmor E. Skew-selfadjoint form for systems of conservation laws //J. Math. Anal. Appl. 1984. - 103. - pp. 428-442.

150. Tafti D. Comparison of some upwind-based high-order formulation with a second-order central difference scheme for time integration of the incompressible Navier-Stokes equations. //Computers & Fluids. 1996. -v. 25.-pp. 647-665.

151. Tantawi A.N. Optimal static load balancing in distributed computer systems //JACH. 1985. - Y.32, № 2. - pp. 445-465.

152. Trapeznicova M.A., Churbanova N.G., Chrtverushkin B.N. Simulation of gas flows at low Mach number using parallel computers //ECCOMAC 2000.-Barcelona, 2000.

153. Vazquez M., Houzeaux G. and Codina R. Chimera type domain decomposition methods applied to fractional step finite element schemes for incompressible flows //ECCOMAC 2000. Barcelona, 2000.150

154. Veldman A.E.P. "Missing" boundary conditions? Discretize first, substitute next, and combine later //SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1990. -v. 11. -№ l.-pp. 82-91.

155. Wang Y., Morris R. Load sharing in distributed systems //IEEE Trans. On Comput. 1985. - v.C-34, № 3. pp. 204-217.

156. Zang T.A. On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulation //Appl. Numer. Math. 1991. - № 7. — pp.27-40.167. www.citforum.ru168. www.ispars.ru/~mpc169. http ://www.parallel. srcc .msu. su170. www.top500.org