автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование стационарных в широком смысле случайных последовательностей с заданными автовариационной функцией и одномерным законом распределения

Р Г Б ОД

~ 2 ПИТ

На правах рукописи

КОЗНОВ Александр Венедиктович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ЗАДАННЫМИ АВТОКОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ И ОДНОМЕРНЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

05.13.18 - ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новгород - 1995.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Новгородского государственного университета.

Научный руководитель -

заслуженный деятель науки и техники РФ, академик Петровской АНИ,

доктор технических наук, профессор Б.Ф.КИРЬЯНОВ

Официальное оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор А.С.ГАВРИЛОВ,

кандидат физико-математических наук Т.М.ТОВСТИК.

Ведущая организация - Казанский государственный технический университет им. А.Н.Туполева.

Защита состоится 18 октября 1995 г. в 15 часов на заседании специализированного совета К 063.31.06 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском архитектурно-строительном университете по адресу:

198005, С.-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 1995 г. '

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ « .

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Сгеди общего круга задач стохастического моделирования важное место занимают задачи моделирования стационарных в широком смысле случайных процессов и полей я рамках корреляционной теории- Этой темы касаются работ« Л.Юла,- Д.Уокера. Г.Дженкинса, Д.Бокса. Г.Андерсона, В.И.Тихонова, Б.Р.Левина, Ю.Г.Поллчка. Н.В.Быкова и других авторов.

Хорошо изученной является задача. моделирования нормальных

стационарных случайных последовательностей , Ъ £ 2 с заданной

£

автоковариаиионной Функцией ¡>к- Функция , как

правило. задается своими первыми в значениями р,, ^.....^ .

А.С.Марченко и В.А.Огородниковым предложен эффективный алгоритм моделирования сколь угодно- длинных стационарных нормальных последовательностей, основанный на методе линейного преобразования не-короелированных последовательностей с использованием ал-

горитма Дзрбина, учитывающего особый виз ковариационной матрицы

Более сложной является задача моделирования стационарных в широком смысле случайных последов гтельностей с негауссовскнм одномерным распределением. Для решения этой задачи в настоящее время , как правило. применяется метод нелинейных безынерционных пре-£

образований нормальной последовательности {и4>. Функция £

подбирается таким образом, чтобы имела заданное одномерное

распределение, а автоковарианионная Функция последовательности {и4> должна быть такой, чтобы автоковариационная функция Схь> получилась требуемой. Помимо вычислительной сложности недостаток этого метода заключается в том, что, как указано Ю.Г.Полляком, из-за жестгоети схемы безынерционных преобразований он не позволяет моделировать случайные последовательности с некоторыми одномерными распределениями и автоковариационными Функциями. Особенно недостатки этого метода проявляются при моделировании последовать 'ъностей с отрицательными ковариациями и с несимметричными плотностями одномерных распределений.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью работы является разработка и

¡¡обследование алгоритма моделирования стационарных в широком смысле случайных последовательностей с заданными одномерным распределение« и автоковариационной функцией, использующего модель пероятностной смеси. Этой смеси соответствует схема случайных эс-паздываний, описанная Б.Р.Левиным « для процессов с непрерывным временем.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе показано, что параметры исследуемой модели определяется либо одним линейным разностным уравнением, либо, в общем случае, системой из двух линейных разностных уравнений. Уравнения решаются методом отыскания корней характеристической функции. Поведение полученной модели исследуются на ЭВМ. ,

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Впервые применена схема случайных запаздываний для моделирования случайных последовательностей с требуемой автсковариацнонной функцией. Схема случайных запаздываний расширена за счет применения преобразований

и Ри'! (1-Ри (и)) случайной величины и, не меняющих. ее функции распределения С помощь.« такого преобразования удается значительно увеличить класс реализуемых автоковариационных функций.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты и методы работы могут быть использованы во многих приложениях: например, при моделировании помех в каналах связи, при формировании сигналов управления вибростендами для имитации механических вибраций с заданной спектральной характеристикой и в других задачах имитационного моделирования. В теоретическом плане могут быть получены оценки допустимых значений автоковариационной функции в зависимости от одномерных распределений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедр высшей и прикладной математики Новгородского государственного университета и на международном семинаре по математическим методам компьютерного моделирования, организованным научно-исследовательским институтом математики и механики им. В.И.Смирнова. Разработанные алгоритмы использовались в НИР

"Радар-2", проводимой в Новгородском государственном университете научно-исследователькой лабораторией цифровой обработки сигналов. Изученные в диссертации методы применяются в учебьсм процессе в виде лабораторных работ, пособий и программ на кафедрах Новгородского государственного университета и Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации отражены в четырех работах [1-4].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложений и списка литературы, содержащего 46 наименований. Общий объем работы 84 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается тема диссертации, дается краткий литературный обзор, рассматривается содерхсание работы.

Первая глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассматривается вопрос моделирования нормальной стационарной последовательности случайных величин (yt), t 7. с нормированной автоковариационной функцией

rk - (Е(У[ + 1сУ1) " Е*У1)/ВУ1' заданной своими первыми s значениями rj,rg,...,rs. Рассматривает, ся обобщенная модель авторегрессии - скользящего среднего

Vt = а1 У1-1 a3yt_3 + b0xt + J^xt.!*. ..+bvxt.v

и приводятся формулы для нахождения параметров aj.'bj. Для модели авторегрессии описывается алгоритм Дарбина решения уравнений Юла-Уокера

( at + rta2 +...+ rs -1 а3 = rt ;

| ri ai + az +...+ rs - g as * r2. ;

< ....................................

i г3-1а1 + r3-2a2 + ... + as ~ rs •

- б -

Вовтором параграфе рассматриваются методы моделирования не-гауссовских случайных последовательностей. Обсуждается метод нелинейных безынерционных преобразований у^^эч), где {х^ > - гаус-совская стационарная последовательность, автоковариационная функция которой такова, чтобы автоковариационная функция {уг } бнла требуемой, а преобразование £ йодбирается таким образом, чтобы уь имела заданное распределение. В предыдущем параграфе показывалось , что моделирование нормальных стационарных последовательностей трудностей не представляет, однако нахождение автоковариаций входной последовательности требует решения системы интегральных уравнений, «то Приводит к вычислительным трудностям, кроме того, эта система не всегда имеет допустимое решение. Приводятся примеры моделирования последовательностей с одномерными распределениями: равномерным, показательным, логарифмически-нормальным, арксинуса и Релея. Отмечается, что в случае несимметричных распределений: показательного и ■ Релея отрицательные ковариации указанным методом не могут быть получены.

Для рассматриваемого моделирования может быть предложен другой подход. Возьмем последовательность независимых с.в. (иг) с произвольным распределение и рассмотрим следующую схему построения случайной последовательности (У[} (схема случайных запаздываний) : • '

( Ц(,, с вероятностью р0 ; >« <

^ Уг-к» с вероятностью Рц»

з ' .

к=1,...I Р! = 1.

1 = 0

Очевидно, одномерное распределение (У[) совпадает с распределением и^. Нормированная автоковариационная функция последовательности (У[} при этом удовлетворяет однородному разностному : уравнению

ГК - Р!^.! - р2Гк_г -;..- рагк.з - О (к>8)

с начальными условиями, определяемыми системой линейных уравне-

кий

( = Pi + Р2Г1 +• • Ps^s-i ;

I = Pirt<V p2 +...+ ps-ra.2;

{ ..........*.........J...____

i rs = pirs_! + Рггз-г P3>

V

которая может би.ь решена с использованием алгоритма Дарбина, описанного в первом параграфе.

В главе 2 предложена некоторая модификация этого метода, позволяющая расширить класс допустимых автоковариационных функций. Именно, рассматривается схема

I ut, с вероятностью р0;

• I

yt = { yt-k » с вероятностью р^;

I _

^ yt-k» ° вероятностью qk ,

s _

k=l,...,s; ро + Z pj+q!=l, где для с.в. X символ X означа-i=l

ет следующее преобразолание:

X = F"1 (l-F(X)), F(x) - функция распределения с.в. X.

Доказывается, что для непрерывно распределенных на R случайных величин X, X и X распределены одинаково, причем Х=Х.- В случае

центрированных с.в. и симметричных распределений Х=-Х.

Нормированная автоковариационная функция в этом случае подчиняется системе двух разностных уравнений.

/rk.= pirk_, + qirk.!+...+ park.3 + Чз rk_s , ' { _ _ _

^ rk = qtrk.! + pjrk.!+...+ qsrK.s■ +■ psrk_s.

где к>в, г* - взаимная нормированная ковариационная функция:

г* = <ЕУ1У1-к " ^У! )/0уь • Начальные условия определяится системой из 2з линейных уравнений, имеющих в матричной форме вид:

(

I Г = Е р + И Я,

< - _

1 г = И р ♦ й ч,

V

где

( \

г =

/ _ ^

гг

г =

V )

I \

г0 Г1 Г3_!

Г0 Г3_г

( _ 1 *0 Г, г3_1 I

г0 га.2 I

Г8-1 г--2 г0 V )

г3-1 г8-2 г0 i

V • }

( Р1 Ч Г 11 I

I Рг I ! Чг I

Р = I •• ] : Ч = I : I .

I : I I : I

^ Ре ' ■ 1 Чз ;

Значение г0 может быть вычислено по формуле:

г +<н т

г0 =(1/0иг)| / XX йх - Еги^I.

-О» „

где у(х) - плотность распределения с. в. и;, . Если det К - det К,

то эиачения г^ , г^ (1=1,....б) однозначно определяют Р! и (1=1,...,э), таким образом, задача имеет, в определенном смысле,

з свободных параметров: Г1,...,Г3.

Далее, в главе 2 более подробно рассматривается случай з=1. Глава 3 посвящена рассмотрен« использования предложенной схемы для симметричных одномерных распределений.

В первом параграфе рассматривается общий случай. Схема моделирования для центрированных, например, распределений при этом принимает вид:

[ , с вероятностью р0;

У1 - { У(.-к , с вероятностью р^ ; V -Уг-к» с вероятностью дк,

5

к = 1,2,...,а; р0 + I р!= 1.

1=1

ИАКФ процесса (ус) подчинена одному разностному уравнению гк = Ь1 гк -1 + • ■ • гК . 3 ,

где к>5, Ь^Р!^.

Начальные значения гк определяются уравнениями типа Юла-Уо-

кера:

( г, = bt + bgrt + ЬзГ2 +. . bsrs.j .

| га = biv1 + b2 + b3rt +...+ bsrs_j»,

{ ....................................

V' rs = bj rs_ i + b2rs_2 + b3rs_3 +...+ bs.

Утверждение 2 доказывает стационарность в широком смысле процесса (yt) при Ро*0.

Утверждение з определяем допустимые границы параметров bj:

s

I |btl<i.

i=l

Во втором параграфе рассматривается случай s=l. Здесь

( ut, с вероятностью р0: Уг ~ i Уt-i, с вероятностью pj; V -yt-!, с ьероятностыо qj,

(utI имеет центрированное симметричное одномерное распределение,

IKI

Po "•"Pi +4i =1 • ПРИ этом rk = (pj-qj )

В третьем параграфе рассматривается случай s=2. Приводятся допустимые значения параметров bj и Ь2 и соответствующие допустимые значения rj и г2.

В приложениях приводятся программы на языке ПАСКАЛЬ, реализующие изложенные алгоритмы и результаты рассчетов.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ.

1. Кирьянов Б.Ф., Кознов A.B. Процессы авторегрессии со случайными коэффициентами и их -применение при моделировании радиотехнических систем. Прикладная математика. Межвузовский сборник, вып-1, НовГУ, Новгород, 1994.-С.З-8.

2. Кознов A.B. Процессы авторегрессии над полем GP(2). Прикладная математика. Межвузовский сборник, вып.1, НовГУ, Новгород, 1994, С.20-23.

3. Kiryanov B.F.,Koznov A.V. The modelling of random sequences with given normed autocovariation function and univariate distribution. International workshop on mathematical nethods and tools in computer simulation. Preprint MM-94-oi. St.-Petersburg,1994,p.10-11.

4. Кознов А.В. Моделирование стохастической последовательности с заданной автокорреляционной функцией. Лабораторная работа, в сб. "Лабораторный практикуй по математическому моделированию", НПИ, Новгород, 1992, С.52-64.