автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вероятностные модели гидрометеорологических процессов и полей

На правах рукописи

УХИНОВА ОЛЬГА СЕРГЕЕВНА

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2004

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

д.ф.-м.н.

Огородников Василий Александрович д.ф.-м.н.

Костюков Василий Васильевич, к.ф.-м.н.

Соболева Ольга Николаевна

Институт водных экологических проблем СО РАН

Защита состоится 22 декабря 2004 года в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 003.061.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в конференцзале Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6),

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан 17 ноября 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

/ С.Б. Сорокин

£.55¿Ц 6-1

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одними из важных и актуальных задач при численном моделировании процессов в атмосфере являются задачи, связанные с построением адекватных численных математических моделей на основе вероятностного подхода с использованием данных многолетних наблюдений. Наряду с динамическим подходом, основанном на численном решении уравнений гидротермодинамики атмосферы, вероятностный подход к моделированию атмосферных процессов активно развивается как в нашей стране, так и за рубежом и позволяет решать широкий круг актуальных теоретических и прикладных задач статистической гидрометеорологии и климатологии, в частности, при исследовании экстремальных погодных условий, при решении экологических задач, вероятностном и динамико-вероятностном прогнозировании, при исследовании долговременных воздействий погодных условий на различные объекты и сооружения и т. д. Для решения современных задач из этого класса необходима разработка многомерных стохастических моделей гидрометеорологических процессов и полей, в которых в рамках имеющейся информации были бы учтены наиболее характерные особенности реальных процессов, специфика негауссовости, неоднородность по корреляциям и распределениям и т. д.

Диссертация посвящена разработке численных стохастических моделей различных гидрометеорологических процессов и полей и их комплексов для решения задач прикладной метеорологии, а также разработке численных алгоритмов моделирования специальных классов случайных временных: рядов и пространственных полей с заданными вероятностными свойствами, необходимых для построения этих моделей. Эти алгоритмы могут быть использованы также и в других приложениях.

Основные алгоритмы, предлагаемые в диссертации, основаны на методе условных математических ожиданий для моделирования гаус-совских процессов и полей с последующими специальными функциональными их преобразованиями для учета негауссовости. Использование этого подхода позволяет в достаточно большом объеме учитывать характерные особенности реальных процессов. Для оценки параметров стохастических моделей используется реальная гидрометеорологическая информация. Для проверки адекватности моделей используются специальные статистические характеристики ре-

альных процессов, связанные с задачами исследования экстремальных погодных условий.

Основные цели работы.

• Построение алгоритмов численного моделирования Специальных классов процессов и полей. Исследование области применимости алгоритмов. Решение на их основе задач статистической метеорологии.

• Изучение вероятностных свойств временных рядов индикаторов осадков с использованием численных стохастических моделей.

• Построение вероятностных моделей пространственных и пространственно-временных полей сумм осадков на комплексе метеорологических станций.

• Построение вероятностных моделей и разработка численных алгоритмов статистического моделирования векторных временных рядов скорости ветра и комплексов гидрометеорологических полей.

Научная новизна и практическая ценность. Впервые разработан метод моделирования трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от высоты. Рассматривается область применения этого метода для точных и приближенных решений. Рассматриваются специальные классы корреляционных матриц, часто используемые на практике, с помощью которых молено аппроксимировать фактические корреляционные матрицы и находить приближенные решения, если нет точных. Для решения прикладных задач используется упрощенный вариант алгоритма. Предложено несколько специальных алгоритмов для моделирования индикаторных процессов и полей дискретного аргумента и исследованы вычислительные свойства этих алгоритмов. На временном интервале в один месяц построена численная стохастическая модель пространственно-временного поля суточных сумм осадков. При построении этих полей используются индикаторные поля.

Впервые предложено использовать для моделирования комплексов гидрометеорологических полей физические связи. Для построения гауссовских однородных и изотропных пространственных полей векторной скорости ветра предложен специальный экономичный

векторный алгоритм, основанный на методе условных математических ожиданий и использующий специфику соответствующего корреляционного тензора. Получены специальные соотношения для элементов матриц, используемых в алгоритме, позволяющие численно исследовать точность вычислений. Все основные результаты диссертации являются новыми. Практическая ценность состоит в возможности решения на основе этих алгоритмов важных задач прикладной метеорологии и климатологии. Все результаты подтверждаются численными расчетами.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН, на конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2000-2004 гг.), на четвертом международном семинаре по математическому моделированию в г. Санкт-Петербурге (2001 г.), на международной конференции по вычислительной математике в г. Новосибирске (1ССМ-2002) и на Международной конференции по математическим методам в геофизике в г. Новосибирске (ММГ-2003).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 работах, список которых помещен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 10 пунктов, заключения, списка литературы из 93 наименований. Объем работы - 129 машинописных страниц, включая 11 таблиц и 10 рисунков.

Содержание работы

Во Введении обосновала актуальность темы диссертации, делается обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, дается краткое содержание диссертации по главам, приведен перечень положений, выносимый на защиту.

В первой главе рассматриваются алгоритмы численного моделирования специальных классов случайных процессов и полей. Исследуются свойства этих алгоритмов.

В п. 1.1 рассматривается алгоритм численного моделирования совместных индикаторных рядов (или пространственно-временных полей дискретного аргумента) хг = Сш,• • • ,Х1к)т, * = 0,1,..., где хи принимает значения 1 либо 0 с заданными вероятностями

Р(Хи = 1) = р» и матричной корреляционной функцией •

(И!: = (гьм))- Метод основан на пороговом преобразовании

*« = Ц &>« в=р(Си < = /

С,-

2 du

совместных гауссовских рядов Çt = (Çii,..., Ctk)T со специально построенной с помощью уравнений, связывающих корреляции рядов и Çt, матричной корреляционной функцией Г0,Г1,..., (Г& = (7¡¡¿j)) такой, чтобы после этого порогового преобразования матричная корреляционная функция индикаторных рядов x't совпадала либо в определенном смысле была близка к заданной. Для моделирования гауссовских рядов Çt используется многомерная модель авторегрессии 71-го порядка. Для построения начальных рядов (д,..., ~ iY(0,r(n)), Г(п) = (F|;_j|), г, j = 1,... ,п,, для этой модели используется метод условных математических ожиданий.

В п. 1.2 рассмотрена специальная модель стационарного ряда с состояниями 1 и 0 (или индикаторного ряда), заданного вероятностями pi п ро я первыми несколькими значениями /?/и h = 1,..., к, корреляционной функции

Р0Р1

Для случая к = 2 может быть использована модель, основанная на представлении ряда xt в виде %t — щСи гДе Щ я Ct~ взаимно независимые индикаторные ряды, причем элементы ряда щ независимы между собой и появляются с вероятностью

во = Р(щ = 1) = Pi + Pofi0, a Ci - марковский односвязный индикаторный ряд с

0x = p(a = i)= Pl

Pl + Pop0

и корреляционной функцией согг(Сг,С«+л) = Числовые параметры здесь подобраны так, чтобы Р(гУ{£=1) = Рг, Р(ги^=0) = р0, при этом корреляционная функция ряда хь имеет вид /?о = 1, /Зд =

Л > 1. Результаты анализа корреляционных функций реальных рядов показывают, что они хорошо описываются функциями такого вида.

В п. 1.3 рассматривается алгоритмы численного моделирования специальных негауссовских процессов и полей, предназначенных для построения численных вероятностных моделей временных рядов и полей осадков. Под негауссовским полем дискретного аргумента понимается последовательность случайных 5-мерных негауссовских векторов & = (£¿1,..., t = 1 ,т, в совокупности образующих вектор = (<Г,...,£)Т с некоторой блочной ковариационной матрицей Щт). При моделировании используются индикаторные процессы. Рассматривается также специальный алгоритм с использованием метода обратных функций распределения.

В п. 1.4 рассмотрен метод моделирования трехмерных гауссов-ских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня. Для наглядности рассматривается вертикальное сечение поля {£?■} при фиксированном з и применяется следующее обозначение поля {£?}, р = 1,..., т, г = 1,..., п. Алгоритм заключается в следующем: пусть мы имеем гауссовское поле

Й £ • .. f1 Sn S n

tm em • • Sn

где = 0, M(£f)2 = 1, M£f£? = 0, если р ф q, = г\?, если

р = q, где rff = — г|) = г^р\к). Из поля {£?} строится поло

{v?} при помощи линейного преобразования

4 \ vl = A- ( ti ) ek i

\ С ) I k

( ou 0 ... 0 \

A = <221 a-22 ... 0

\ °ml am2 Q>rnm /

нижняя треугольная матрица размерности т такая, что ААТ = Ев, Ив - корреляционная матрица вертикального профиля поля Тогда корреляционная матрица Г^ = (у-^) поля {77?} будет иметь следующий вид:

\ w

\ W /

/

ah 0 . . 0 \

«Ii а2 «22 . 0

aml am2 • а2 • umm /

( rft) \

h

угИ

\ г3

(2)

или в матричном виде 7 = Bf. Матрица В является стохастической, известны ее собственные числа (Л{(В) = а% < 1) и собственный вектор (1,1,..., 1)г, соответствующий Ai (В) = 1.

При моделировании случайных полей с заданной корреляционной структурой решается обратная задача. Пусть rW,r(2),...,r(m) - заданные корреляционные матрицы строк поля {rjf}. Задача заключается в том, чтобы подобрать корреляционные матрицы строк поля {£f} так, чтобы после преобразования (1) получить поле {?jf} с этими требуемыми корреляционными матрицами.

Пусть заданы корреляции 7 = 7*, тогда г* = С7*, где С = (сц) = В, при этом матрица С стохастической не является. И таким обраг зом возникает вопрос: какими свойствами должны обладать 7у, чтобы r*j имели смысл коэффициентов корреляции, образующих неотрицательно определенную корреляционную матрицу.

Рассматривается область применения этого метода для точных и приближенных решений. Рассматриваются специальные классы корреляционных матриц Г(р).

Первый класс матриц имеет вид 7^ = (1 — ер)7 + ер1, где 7 -некоторая фиксированная корреляционная матрица, I - единичная матрица. Тогда соответствующие г^ определяются уравнениями

r(p) = [cpi (1 - ei) + ... + срр( 1 - g,,)]7 + (cpiei + ... + сррер)1.

Для того, чтобы имели смысл корреляционных матриц необходимы следующие ограничения:

/7(Т\<ср1£1 + ... + Сррер<.Л7(7)1.

Amin (7) ~ 1 Amax(T) ~ 1

Второй класс матриц получается из первого заменой матрицы I на произвольную корреляционную матрицу 70: 7^ = (1—£р)7+£р70,

где 7 и 70 - произвольные фиксированные корреляционные матрицы, таким образом, второй класс является расширением первого. Соответствующие г(р> определяются равенствами:

г(р) = [ср1 (X - еа) +... 4- Срр( 1 - £Р)]7 + (ср1£1 +.. • + Срр£рЪо. Здесь, чтобы г^ имели смысл корреляционных матриц, необходимо

Лш1п(7) < , _ + < ^шах(т)

Атт(7) - ^шах(7о) ~ "' Атах(7) - Атт(7о) '

Во второй главе изучаются вероятностные модели пространственных и пространственно-временных полей сумм осадков. По данным наблюдений временные ряды суточных сумм осадков выглядят как чередование серий из суток, в которые имеют место осадки, и серий из суток, в которых осадки отсутствуют. В те сутки, когда выпадают осадки, фиксируется их суммарное количество. Исходные ряды включают два процесса:

• индикаторный процесс со значениями 1 и 0 описывает появление сухих и дождливых суток,

• процесс, характеризующий количество осадков при условии их выпадения.

Осадки изучаются на комплексе метеорологических станций.

В п. 2.1 описывается статистическая структура индикаторов осадков по данным наблюдений (входные параметры для моделей, характеристики для верификации моделей). Предлагается несколько способов оценки этих параметров (в течение календарного месяца и на некотором "условном месячном" интервале, позволяющем избежать разрыв серий). Показано, в каких случаях выгодно использовать каждый из этих способов, а когда это несущественно.

В п. 2.2 изучаются различные численные вероятностные модели временных рядов индикаторов осадков на временном интервале в один месяц. Рассматриваются численная модель, использующая пороговое преобразование гауссовского ряда, и трехсвязная марковская модель. Исследуются свойства этих моделей (точность, верификация), проводятся численные эксперименты с использованием реальных данных. Показано, что марковскую модель выгодно использовать для моделирования жидких осадков.

В п. 2.3 строятся численные модели пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков. Стохастическая модель пространственного поля суточных сумм жидких осадков рассматривается с учетом пространственной неоднородности. На временном интервале в один месяц строится численная вероятностная модель пространственно-временного поля суточных сумм осадков с учетом корреляционных связей на двое суток, при этом считается, что по времени в пределах месяца процесс является стационарным. Используется приближенный прием, основанный на методе обратных функций распределения. Для аппроксимации эмпирической функции распределения сумм осадков используется комбинированная интерполяция: линейная интерполяция, интерполяция с помощью кубических сплайнов, функция Вейбула. В случае, когда задача не имеет решения, предлагается специальный прием корректировки соответствующих матриц, используемых при реализации метода обратных функций. С целью исследования точности моделирования проводятся численные эксперименты.

В третьей главе строятся вероятностные модели векторных временных рядов, а также комплексов гидрометеорологических полей. Моделируется и изучается комплекс полей геопотенциала Я = Н(х,у,р), температуры Т=Т(х,у,р) и скорости ветра V = (и(х,у,р), г>(ж,у,р)), которые рассматриваются как отклонения от соответствующих климатических средних.

В п. 3.1 численное стохастическое моделирование комплексов гидрометеорологических полей происходит с учетом физических связей. В первом (стационарном) приближении поля геопотенциала и горизонтальные составляющие скорости ветра в свободной атмосфере (на высотах 3-5 км) связаны между собой геострофическими соотношениями _ _ д дН v~ I ду' v ~ I дх ' где параметр Кориолиса I = 2гу-sin ip, w - угловая скорость вращения Земли (w = 0.72921 • 10~4 рад/с), ц> - широта. Для умеренных широт I = 1.2 • 10~4 с-1, g - ускорение свободного падения g = 9.8м/с2), Я - высота изобарической поверхности, м, дН - геопотенциал.

Связь между температурой Т = Т(х,у,р), как функции от давления р, в системе координат (х,у,р) с известной степенью точности описывается уравнением статики

_ 9РдН

где Я - удельная газовая достоянная (Л = 2.8704 • 10е эрг/г-град, Т - температура, град).

В качестве исходного поля предпочтительней оказывается использовать поле температуры. Далее геопотепциал вычисляется по температуре

где Т{р) - вертикальный профиль температуры как функция непрерывного аргумента, #(ро) - значение геопотвтщиала на нижней изобарической поверхности ро■ Для этого пересчета используется аппроксимация профиля температуры кубическими сплайнами. А затем поле ветра вычисляется с использованием геострофических соотношений. Величина Н(ро) выбирается независимо от Т(р) из условия, что дисперсия Н(ро) определяется

где rfnl(pk,pk) ~ фактическая дисперсия на уровне p¡;. В заключение проводятся численные эксперименты. Строятся реализации профиля Н(рк), рк = 1000,850,700,500,400,300,200,100 Мб. По полученным реализациям Н[рк) оценивается ковариационная матрица гнн{рк>рд и в таблицах приводятся корреляционная матрица профилей Н(рк) на восьми уровнях и соответствующие ей дисперсии, корреляционная матрица фактических профилей Н*(рк) на пяти уровнях и фактические дисперсии. Полученные результаты оказались достаточно точными, но при этом, при использовании Н(ро) как величины, независимой от Т(р), внесены существенные искажения во взаимную ковариационную функцию ттн (р, Ч] • Для уточнения взаимных корреляционных связей предлагается специальный прием. Приводятся также результаты численных экспериментов для поля температуры и векторного поля скорости ветра, при этом последнее вычисляется из поля геопотенциала с помощью геострофических соотношений. Построение трехмерного поля геопотенциала основано на представлении корреляционной функции трехмерного поля в виде прямого произведения матриц и кратко описывается в данном пункте.

Ро

YL {гнн(Рк,Рк) ~ г*Нп(Рк,Рк))2 =

min ,

гнн(ра,ра)

В п. 3.2 рассматривается численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра. Здесь векторное гаус-совское поле

£8) •

где и, V - проекции вектора на оси хну, в узлах равномерной сетки = {яу = с единичным шагом (/1 = 1), где х^ = г,

У^ = .3, г = 1,... ,т,= 1,...представляется в виде последовательности из ттг 2р-мерныхвекторов£1,62

Г «(1,1) 1 " "(2,1) 1 " и(гп, 1) "

«(1,1) «(2,1) «(т, 1)

«(1,2) «(2,2) «(т, 2)

«(1,2) ,4а = «(2,2) ) • • •, «(т, 2)

и(1,р) «(2,р) «(т,р)

. «(1>Р) . . «(М . . г>(т,р) _

Поле V(х, у) предполагается однородным и изотропным. В этом случае среднее равно нулю, а компоненты корреляционного тензора

1\ — ( НиП(к,1) \ /„\

V адм) адм) )> ™

г^е к - ¿2-11, I = 32 ~ к, кМ = 1, • • •, т, эик = 1, • • • ,Р> поля V (ж, у) имеют вид

Д«„(М) = ЯлглгОО + {Яц(р) - Яы^р))к2/р2, Яи„(М) = №ьь{р) - Ям(р))Ы/Л (4)

Д»«(М) = {Кц(р) -

ДотСМ) = Длл(р) + (Льь(р) - ПммШ2/Р2>

где /э = + ¿2, Яы(р) - продольная и Лдгдг(р) - поперечная составляющие корреляционного тензора 11(к,1).

Общая структура матрицы 2?(т) коэффициентов корреляции меле-

—• -+

ду компонентами векторов & и г, ] = 1,... ,ттг, определяется спецификой этих векторов, которые состоят из р подвекторов размерности 2, а также отношениями (4). Эта матрица состоит из гп х тп блоков с2рх2р элементами, которые, в свою очередь, состоят из

рхр блоков Я(к, I) размерности 2 х 2. Из однородности поля У (ж, у) следует, что Щт) блочно-теплидева относительно блоков Як, а из (4) следует, что эти блоки теплицевы относительно блоков Я(!с, I), но не симметричны. Из (4) также следует, что блоки Л(к, I) - симметричные скалярные матрицы, но в отличие от блоков Як теплицевыми не являются.

Таким образом, корреляционную матрицу Щт) поля У(х,у) в узлах сетки Пд можно представить в виде

( До д2 . • #771-1 ^

Щгп) = Я[ Яо Яг . • Ят-2

Д£-2 Я? .. Яо )

где блоки Як, к = 0,... ,т - 1, имеют вид

/ Я(к,0) Я(к, 1) Я(к,2) ... Я(к,р-1)\ Я(к,-1) Я (к,0) Я(к, 1) ...Я{к,р~ 2)

\ Я(к, -р +1) Я{к, -р + 2) Я{к, -р + 3) ... Я{к, 0) у

Я(к, I), I = 0,... ,р - 1, имеет вид (3), а ее элементы имеют вид (4).

Для построения последовательности &, £2, • • • > с нулевым средним используется метод условных математических ожиданий, в соответствии с которым вектор при фиксированных значениях векторов £1, £2, • • •, & моделируется по схеме

1*1 = С0Ф1,

Ь = ВТ{Щф + Сгф2,

|*го = Вт[тп - 1Цт_1)£т_1 + Ст-гфт,

где Яи = (ЯТ,...,Я1У, ВТ[к} = П*])Т. В[к]

является решением системы уравнений Дал В [/г] = Я^, С к - нижняя треугольная матрица такая, что С^С/Г = С]к, где (¿к - корреляционная матрица условного нормального распределения, щ — ,... - нормальный вектор с нулевым средним и единичной корреляционной матрицей. Матрица Уу.) представляет собой блочную матрицу перестановок блочной размерности к х к, на побочной

блочной диагонали которой стоят единичные матрицы размерности 2р х 2р.

Использование специфики матрицы Щт) позволяет построить экономный алгоритм для вычисленя матриц В [А:] и С/;, который в этом случае имеет вид

Яо = -Ко, СоСд = Яо,

ВТ{1) = Яг^Ъ -Щв[1], = д 1,

№ +1],.. •, ВЦк +1]) = ВТ[к] - В?+1[к + 1Цр)Вт[/с],/(,;р),

Вк+Л^ +1] = (Ло - ^Й^ВЩ^У1 -

Як+г = По- й!+1 В[к + 1], Ск+1С^+1 = Як+и к = 1,...,т — 2.

Отметим, что сходные алгоритмы рассмотрены в работе С.Л. Марпла-мл. для случая скалярных полей. При реализации алгоритма для случая векторного поля на регулярной сетке размером 22x24 максимальная размерность матриц В [к] и Ёк равна 44x44x24. Для уменьшения размерности матриц применяются геострофические соотношения.

Для однородного и изотропного скалярного поля матрицы Як становятся симметричными и перестают быть блочными, что также уменьшает количество вычислений.

Для случая скалярного однородного и изотропного гауссовского поля получены простые соотношения, связывающие скалярные элементы В^ блоков [к] матриц Эти соотношения имеют вид:

1. Если р четно, то

приг = 1,...,р/2, ¿ = 1,...,р.

2. Если р нечетно, то

ы _ р I

аЧ ~ -°р-»+1,р-з'+1>

при г = 1,.. .,Е(р/2), ; = 1,... ,р и г = Е(р/2) +1, ; = Е(р/2) +1. Здесь Е(.) - целая часть числа.

При этом для матриц Як размерности р имеют место соотношения

¿рЯк^ — Як,

где ^ - матрица перестановок размерности р с единицами на побочной диагонали. Использование этих соотношений позволяет значительно сократить объем вычислений.

В результате мы получаем, что использование свойств блочной тешпщевости и симметричности матрицы (случай однородного и изотропного скалярного поля) позволяет сократить объем вычислений приблизительно в два раза.

В п. 3.3 (с использованием этих соотношений) рассматриваются некоторые вопросы точности алгоритма. Рассматриваются также вопросы верификации численных стохастических моделей пространственных полей скорости ветра. Приводятся результаты численных экспериментов.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Разработан метод моделирования трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня. Рассматривается область применения этого метода для точных и приближенных решений. Рассматриваются специальные классы корреляционных матриц.

2. Предложено несколько специальных методов для моделирования индикаторных процессов и полей в приложении к моделированию осадков. Исследованы вычислительные свойства этих алгоритмов.

3. На временном интервале в один месяц построена численная вероятностная модель поля суточных сумм осадков. При построении используются индикаторные поля.

4. Предложено использовать для моделирования комплексов гидрометеорологических полей физические связи в виде уравнения статики и геострофических соотношений.

5. Для построения пространственных полей скорости ветра предложен специальный векторный подход, использующий предположения об однородности и изотропности поля скорости ветра. С учетом специфики соответствующей блочной корреляционной матрицы построен экономичный алгоритм моделирования двумерных полей векторной скорости ветра и исследована точность алгоритма.

6. Проведен ряд численных расчетов, подтверждающих теоретические результаты.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность члену-корреспонденту РАН Геннадию Алексеевичу Михайлову, своему научному руководителю Огородникову Василию Александровичу за постоянное внимание и плодотворное руководство работой, кандидату географических наук Немировской Ларисе Гдальевне за участие в постановке задач, связанных с осадками, а также кандидатам физико-математических наук Ухинову Сергею Анатольевичу и Бур-мистрову Александру Васильевичу.

Публикации по теме диссертации

[1] TJkhinova O.S. Stochastic Simulation of a Class of Heterogeneous Gaussian Fields // Proc. 4th St.Petersburg Workshop on Simulations. St.Petersburg: N11 Chemistry St.Petersburg University Publishers, 2001.

- P. 486-491.

[2] Ukhonova O.S. Numerical simulation of a special class of non-homogeneous Gaussian fields // Bull. NCC. Ser. Num. Anal. - 2001. -Iss. 10. - P. 53-60.

[3] Ухинова О.С. Стохастическая модель временных рядов сумм осадков // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск, 2002. -С. 164-169.

[4] TJkhinova O.S. Stochastic model of time series of precipitation sums // Proc. Intern. Conf. on Computational Mathematics. - Novosibirsk, 2002.

- P. 291-294.

[5] Ухинова О.С. Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск, 2003. - С. 118-127.

[6] TJkhinova O.S., Ogorodnikov V.A. Stochastic models of meteorological processes // Intern. Conf. on Mathematical Methods in Geophysics "MMG-2003", Abstract, ICMMG, Novosibirsk, 2003. http://www-sbras,nsc.ru/ws/show_abstract.dhtml?en+78+5726.

[7] Ухинова О.С. Некоторые вопросы численного стохастического моделирования временных рядов индикаторов осадков // Труды конференции молодых ученых. - Новосибирск, 2004. - С. 211-218.

УХИНОВА ОЛЬГА СЕРГЕЕВНА

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И НОЛЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ИД No 02202 от 30 июня 2000 г. Подписано в печать 12.11.2004 г.

Формат бумаги 60 X 841/ie Объем 1,0 л. л. 0,9 уч.-иэд.л. Тираж 100 экз. Заказ № 8Ц

ООО "Омега Принт", Новосибирск-90, пр. Лаврентьева, 6

I

t.

1

РНБ Русский фонд

2007-4 19811

19 НОШ

Введение.1

Глава 1. Алгоритмы численного моделирования специальных классов случайных процессов и полей.16

1.1. Алгоритмы моделирования совместных индикаторных рядов и полей на основе специального преобразования гауссовских процессов и полей.16

1.2. Специальные индикаторные совместные временные ряды . . 22

1.3. Численное моделирование специальных негауссовских процессов и полей (на основе индикаторных рядов, на основе метода обратных функций).25

1.4. Моделирование трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня.27

Глава 2. Вероятностные модели пространственных и пространственно - временных полей сумм осадков.45

2.1. Статистическая структура временных рядов индикаторов осадков по данным наблюдений (входные параметры для моделей, характеристики для верификации моделей).47

2.2. Вероятностные модели временных рядов индикаторов осадков.56

2.3. Численные модели пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков.66

Глава 3. Вероятностные модели временных рядов и полей комплексов гидрометеорологических полей.78

3.1. Численное стохастическое моделирование комплексов гидрометеорологических полей с учетом физических связей.78

3.2. Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра.97

3.3. Некоторые вопросы точности моделирования и верификации моделей. .109

Одной из важных и актуальных проблем при численном моделировании процессов в атмосфере является проблема, связанная с построением адекватных математических моделей на основе вероятностного подхода с использованием данных многолетних наблюдений. Накапливающийся с каждым годом объем информации об атмосферных процессах требует соответствующей физической и математической ее интерпретации и обобщения в виде математических моделей, учитывающих разнообразные вероятностные свойства и связи. Стохастические модели атмосферных процессов, построенные на основе реальных многолетних наблюдений, позволяют решать широкий класс фундаментальных и прикладных задач гидрометеорологии и климатологии в вероятностной интерпретации.

Под численной стохастической моделью реального временного ряда обычно понимают искусственную случайную последовательность (или псевдослучайную последовательность), которая по некоторому набору входных вероятностных характеристик совпадает, либо близка к наблюдаемой. Обычно в качестве входных характеристик используют одномерные распределения, корреляционные функции или спектральные плотности, для дискретных процессов матрицы переходных вероятностей и т. д. При построении стохастических моделей на основе реальных данных, как правило, приходится иметь дело с выборками ограниченного объема, поэтому соответствующие оценки входных характеристик содержат определенные статистические погрешности, однако соответствующие численные алгоритмы моделирования реализаций модельных последовательностей должны быть построены таким образом, чтобы эти характеристики воспроизводились в модели по возможности точно. Реальные временные ряды, как правило, не стационарны, причем зависимость характеристик ряда от времени, может проявляться в различных временных интервалах по разному, например, в виде суточного хода параметров распределений, наличии глобального тренда и т.д., поэтому необходим учет в моделях и этих особенностей реальных рядов, а для этого требуется либо значительно больший объем информации, либо введения дополнительных гипотез о характере нестационарности.

Аналогичным образом определяется численная стохастическая модель реального многомерного гидрометеорологического процесса, а также поля на регулярной или нерегулярной сетке. В этом случае входными характеристиками для моделей могут служить матричные корреляционные функции, для негауссовских моделей наборы одномерных, а в некоторых случаях двумерных распределений и т.д.

На практике невозможно в полном объёме учесть все особенности реального ряда, поэтому численные стохастические модели строятся в определенной степени приближения. Чаще всего специфика ряда передается через одномерные распределения и корреляционные связи, поскольку для учета совместных распределений второго и более высокого порядка имеющейся информации оказывается недостаточно. Например, при решении задач по исследованию экстремальных погодных явлений, таких как длительное понижение температуры, длительные выпадение осадков и т.д. необходимо, чтобы в модели достаточно точно воспроизводились характеристики, определяемые совместным распределением достаточно большого числа значений ряда. Тем не менее, учет одномерных распределений и корреляций позволяет получать достаточно приемлемые результаты.

Проверка пригодности модели для решения конкретных прикладных задач осуществляется на этапе верификации. На этом этапе по модельным выборкам и по реальному ряду оценивается некоторый набор характеристик, связанных со спецификой решаемой задачи, но не являющихся входными для модели. Степень близости соответствующих характеристик служит критерием качества модели. При этом для проверки качества модели выбирают такие характеристики, которые достаточно надежно оцениваются по имеющимся данным наблюдений. Например, в качестве таких характеристик могут быть использованы вероятности длительных выходов температуры воздуха за сравнительно невысокие уровни. Оценка вероятностей выхода за высокие уровни уже осуществляется по модельным данным.

Исследованию вопросов, связанных со статистической интерпретацией гидрометеорологических данных, а также использованию методов статистического моделирования для решения задач статистической гидрометеорологии и климатологии посвящено большое число работ. Например, в работах [13,2730,33,36-38,43-44,52,54-56,59,87-90] рассматривается широкий круг задач, которые эффективно решаются с использованием численных стохастических моделей реальных атмосферных процессов. В этот круг входят задачи по численному исследованию точности статистических оценок различных характеристик гидрометеорологических процессов [30,56], задачи о статистических закономерностях экстремальных атмосферных явлений [27,29,4344,54,87-90], задачи о воздействии случайных метеорологических факторов на различные динамические системы или объекты [1,12], агрофизические задачи, з частности задачи, связанные с исследованием влияния изменения климата на продуктивность сельскохозяйственных культур [26] и т.д. Численные модели случайных полей широко используются в задачах оптики атмосферы, например в задачах исследования рассеяния солнечного излучения в облачных средах [50].

Методы статистического моделирования случайных процессов и полей широко используются при решении теоретических и прикладных задач статистической океанологии. В работах [6-7,1819,21,65-68] решается широкий круг задач, связанных с исследованием и стохастическим моделированием скалярных и векторных океанологических процессов и полей [6,66] на основе данных океанографических наблюдений. Исследованы вопросы верификации моделей, разработан и исследован широкий класс методов оценивания различных характеристик океанологических и метеорологических процессов [67-68] по данным измерений, исследован класс периодически нестационарных океанологических и метеорологических процессов [21,66], построен ряд соответствующих вероятностных моделей.

Накопленный опыт стохастического моделирования реальных процессов и полей, современные тенденции в развитии статистической метеорологии и климатологии, а также океанологии ставят новые актуальные задачи, связанные с применением методов статистического моделирования. Это в первую очередь экологические задачи, для которых необходима разработка методов комплексного стохастического моделирования атмосферных и океанологических процессов с привлечением большого объема информации [18], а также методов объединения гидротермодинамических и стохастических подходов к описанию реальных процессов [51,55,73,76-77]. Для решения этих задач требуется разработка новых эффективных алгоритмов стохастического моделирования многомерных процессов и полей.

Математическим аппаратом для построения стохастических моделей реальных процессов являются методы численного моделирования случайных процессов и полей. Развитию этих численных методов и разработке соответствующих алгоритмов посвящено достаточно большое число работ [9,17,23-25,34,4547,53,57,58,60-63,66,69,70,72,74,75,78,91-93]. Центральное место среди них занимают методы моделирования гауссовых процессов и полей. В основе соответствующих алгоритмов лежат различного типа линейные преобразования независимых гауссовых величин [9,23,34,41,50,65,72,78] и др. В качестве одного из универсальных алгоритмов моделирования гауссовых векторов с заданной ковариационной матрицей можно привести алгоритм, основанный на методе условных математических ожиданий, который также сводится к линейному преобразованию независимых гауссовских величин, но в случае теплицевой ковариационной матрицы (случай стационарного процесса) соответствующие алгоритмы существенно упрощаются [41,50]. Среди наиболее распространенных моделей гауссовых стационарных процессов дискретного аргумента (или временных рядов) являются модели авторегрессии, а также смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего [2,8,32,66] . Для построения начальных значений для них [39] также используются алгоритмы, основанные на методе условных математических ожиданий. В работе [50] эти методы обобщаются на случай векторных последовательностей и полей дискретного аргумента. В работе [78] приведены алгоритмы моделирования однородных скалярных пространственных полей дискретного аргумента, основанные на модели скользящего среднего, причем соответствующие коэффициенты модели определяются через спектральное преобразование заданной корреляционной функции. В работе [15] рассматриваются класс однородных и изотропных гауссовских полей с корреляционными функциями гауссовского типа, порождаемый решением задачи Коши для уравнения теплопроводности с белым шумом, взятым в качестве начального поля. Приближенное моделирование осуществляется на основе численного решения этой задачи. Рассматривается также класс однородных и изотропных гауссовских полей с корреляционными функциями Макдональда.

Важным классом приближенных численных моделей гауссовских процессов и полей непрерывного аргумента являются методы, основанные на спектральном представлении случайных процессов и полей. Эти методы широко используются при решении прикладных задач, в которых требуется знать значение процесса или поля в произвольной точке области. Например, эти методы используются в задачах, связанных с исследованием рассеяния солнечного излучения на взволнованной поверхности моря или в облачных средах [47,62-63,93].

Рассмотренные гауссовские процессы могут быть использованы в качестве основы для моделирования негауссовских гидрометеорологических процессов и полей. Для этой цели наиболее часто используют хорошо известный метод обратных функций распределения [23,58] в соответствии с которым для получения негауссовой величины rj с функцией распределения F(x) используется преобразование г, = р-\ФШ где Ф(<^) - функция одномерного нормального распределения, ^ -стандартная гауссовская величина. Для построения негауссовского поля в качестве используются скалярные элементы рассмотренных выше гауссовских процессов или полей. Скалярные элементы g корреляционной матрицы гауссовского поля связаны с соответствующими скалярными элементами г корреляционной матрицы R^ негауссовского поля соотношением r = f(g).

Конкретный вид этого соотношения с учетом rj = Е~1(Ф(£У) приведен в [23,58]. При использовании метода обратных функций распределения корреляционная матрица R^ считается заданной.

Обычно ее получают путем соответствующей обработки данных наблюдений. Необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений вида г = f(g) относительно элементов матрицы G{ny При определенных сочетаниях вида одномерных распределений F{x) и значений корреляций г эти уравнения могут не иметь решения. В работе [64] приведены соответствующие условия совместимости одномерных распределений и корреляций. Если уравнение г — f(g) при заданной функции распределения

F(jc) и заданном г не имеет решения, то ищется приближенное решение, т.е. в качестве г выбирается значение ближайшее к заданному, но такое, чтобы решение уравнения г = f(g) существовало. В силу этого обстоятельства, а также нелинейности уравнений, преобразующих корреляции полученная матрица G(/l) в ряде случаев может оказаться отрицательно определенной, т.е. задача может не иметь решения. В этих условиях приходится искать приближенное решение задачи. Один из эффективных способов нахождения приближенной положительно определенной матрицы А

G(n) в определенном смысле близкой к G(n) основан на соответствующем спектральном разложении этой матрицы [47].

Модификацией метода обратных функций распределения является приближенный метод, основанный на нормализации реального ряда [45,70]. Этот метод широко используется при построении стохастических моделей атмосферных процессов и состоит в следующем.

Представим реальный временной ряд в виде Tjl,rj2,.,T]i

Приближенный алгоритм стохастического моделирования соответствующей этому ряду модельной последовательности Г)х, т]2,. rji,. сводится к следующим преобразованиям: к) Для каждого элемента rji реального ряда оцениваются одномерные распределения F * (х), с последующей аппроксимацией

Vi этих распределений подходящими аналитическими функциями F^ (х). В частности для этой цели может быть использован метод аппроксимации эмпирических распределений кубическими сплайнами [35]. kk) Строится нормализованный ряд

N *N *N

N * элементы rfi которого вычисляются из элементов Tji реального ряда по формуле дг *N *N

По нормализованному ряду 7]x ,T]2 ,.7]i ,. оцениваются первые к элементов ковариационной функции

N *N *N rQ ,r{ rkx,---kkk) Строится гауссовская последовательность

Vi Ml •>---7li с нулевым средним и ковариационной функцией r0 , ,., rk{, Для этой цели используется модель авторегрессии А;-го порядка [50]. Соответствующие начальные к

N N N значении ряда Г)х ,Г]2 ,.Г]к с теплицевои ковариационнои матрицей R^ = (r^), i,j = \,.,k моделируются, например, на основе метода условных математических ожиданий [50]. kkkk) На заключительном этапе строится искомый ряд T}l,T}2,.rji,. с помощью преобразования каждого элемента ряда

Vi i-'-Vi в виде

В результате преобразований (k)-(kkkk) получена последовательность, в которой одномерные распределения элементов ряда 7]t совпадают с заданными, но ковариационная функция r0,r15r2,. отличается от соответствующей ковариационной функции реального ряда * *

Т]х, rj2,., rjt,. Степень различия ковариационных функций исходного и модельного рядов определяется численно. Опыт использования этого метода показывает, что для многих гидрометеорологических приложений точность этого метода оказывается вполне приемлемой.

Наряду с методом обратных функций распределения и методом нормализации для моделирования негауссовских процессов и полей при решении задач статистической метеорологии используются различные модификации алгоритма моделирования негауссовских процессов и полей на точечных потоках [46]. Например, в работах [46,79] предложены и исследованы алгоритмы моделирования однородных и изотропных многомерных полей на точечных потоках Пальма с произвольной корреляционной функцией выпуклого типа, а в работе [31] рассмотрены алгоритмы кусочно-постоянной стохастической интерполяции процессов и полей дискретного аргумента, основанные на использовании регулярных точечных потоков. Используемые преобразования сохраняют основные свойства исходных процессов и полей дискретного аргумента: значения процесса и корреляций в узлах сетки, одномерные распределения в произвольной точке области, для процессов - стационарность, для полей - однородность (либо однородность и изотропность). Алгоритмы предназначены для построения вероятностных моделей временных рядов и полей метеоэлементов с использованием реальных данных на сетках большого размера, а также в тех случаях, когда необходимо моделировать значение поля в произвольной точке рассматриваемой области.

Как отмечалось, при решении прикладных задач статистической метеорологии и океанологии часто приходится иметь дело с различного типа нестационарными процессами. Исследованию и моделированию нестационарных процессов посвящены работы [21,66]. В качестве примера можно привести алгоритм моделирования периодически нестационарного скалярного случайного ряда, средние и корреляции которого имеют период длины р rj( 1),., rj(p\ rj(p +1),., 77(2/0, • ■., rj((K - l)p +1),., Tj(Kp),.

Этот алгоритм сводится к следующим преобразованиям. Данный ряд можно представить в виде стационарной последовательности векторов [68] с матричной ковариационной функцией R0,RX,R2,. и заданными одномерными распределениями компонентов вектора fji. Здесь fjt —{t]{ip + l),.,7](ip + pf, p- число значений ряда внутри периода, / = 1,2,. - порядковый номер вектора в последовательности fj{,fj2,.rj[, Смежные к векторов в этой последовательности образуют случайный вектор с блочно-теплицевой ковариационной матрицей = i,j = I,.,к.

Для моделирования стационарной последовательности векторов fjl^fj2,.fji,. в гауссовском случае может быть использована многомерная модель авторегрессии в сочетании с соответствующими алгоритмами метода условных математических ожиданий.

Диссертационная работа посвящена разработке численных алгоритмов стохастического моделирования скалярных и векторных гидрометеорологических процессов и полей и их комплексов различного временного разрешения с учетом негауссовости, пространственной неоднородности и решения на основе этих алгоритмов задач статистической метеорологии. При построении вероятностных моделей реальных гидрометеорологических процессов и полей возникает необходимость в разработке специальных численных алгоритмов моделирования случайных рядов и полей, соответствующих специфике рассматриваемых процессов.

В первой главе рассматриваются алгоритмы, используемые при построении совместных временных рядов сумм осадков, привязанных к различным пространственным точкам. Эти совместные ряды можно интерпретировать, как пространственно-временное поле на нерегулярной сетке (или сети гидрометеорологических станций). Рассматривается важный класс негауссовских процессов, описывающих чередование сухих и дождливых периодов. В случае, когда дождливому периоду ставится в соответствие 1, сухому - 0 мы получаем числовой индикаторный (или «бинарный») ряд, для которого рассматривается специальный набор алгоритмов, учитывающих специфику реальных индикаторных рядов, связанных с рядами сумм осадков. Рассматриваются алгоритмы, использующие индикаторные ряды для построения численных стохастических моделей сумм осадков. В первой главе рассматриваются также специальные алгоритмы моделирования трехмерных неоднородных гауссовских полей, у которых горизонтальные корреляции зависят от вертикальной координаты. Алгоритмы основаны на линейном преобразовании гауссовских полей со специально подобранной корреляционной структурой такой, чтобы поле, полученное после этого линейного преобразования, обладало требуемыми свойствами. Исследуется область применимости этого метода для точных и приближенных решений.

Для специального класса корреляционных матриц (или корреляционных функций) горизонтальных сечений трехмерного поля, задаваемых выражениями у(р) = (1 — Sp)y + SpyQ) р = 1,. •.,т при фиксированной матрице вертикальных профилей RB, где у и у() - произвольные фиксированные корреляционные матрицы (или функции) получены условия на вещественные параметры s , при которых существует точное решение задачи.

В данном случае практическое использование рассмотренного алгоритма сводится к аппроксимации фактических корреляционных функций на уровнях функциями этого вида.

Вторая глава посвящена разработке вероятностных моделей сумм осадков по данным реальных наблюдений. В качестве реальной информации об осадках используются данные для двух регионов России: равнинная часть Новосибирской области (47 метеорологических станций) и район Среднего Урала (2 метеорологических станции). Приводятся результаты статистической обработки реальных рядов, рассчитаны характеристики рядов, используемые в качестве входных параметров модели и характеристики, используемые для верификации моделей. В качестве последних рассматриваются важные для приложений распределения длительностей «сухих» и «дождливых» периодов. Задача решается в стационарном приближении, поэтому модели строятся на интервалах длиной в календарный месяц (на интервале такой длины рассматриваемые процессы близки к стационарным). Соответствующие стохастические модели строятся на основе алгоритмов, рассмотренных в Главе 1. Для моделирования необходимых для этого гауссовских совместных рядов используются алгоритмы, основанные на методе условных математических ожиданий, с последующими специальными функциональными их преобразованиями для учета негауесовости. Исследуются вопросы точности статистических оценок в зависимости от объема выборки, а также вопросы точности моделирования.

В третьей главе рассматривается вероятностная модель и соответствующие численные алгоритмы моделирования комплекса трехмерных метеорологических полей, включающих поле температуры, поле геопотенциала и поля горизонтальных составляющих векторной скорости ветра, в которой взаимные связи между соответствующими полями определяются уравнением статики и геострофическими соотношениями. Получены соотношения, связывающие корреляционные функции вертикальных профилей поля температуры и поля геопотенциала, а также соотношения для соответствующих взаимных корреляционных функций. Для построения комплекса полей температуры и геопотенциала на основе уравнения статики используется сплайн-интерполяция соответствующих вертикальных профилей. При реализации этого алгоритма производится соответствующее восполнение корреляционной матрицы вертикальных профилей поля геопотенциала. В третьей главе рассматривается также алгоритм моделирования двумерных однородных и изотропных векторных полей горизонтальных составляющих скорости ветра на основе рассмотренного в первой главе метода условных математических ожиданий для моделирования многомерных гауссовских процессов. Проведены исследования точности алгоритма.

В заключение отметим, что в качестве исходных данных для построения моделей использованы многолетние ряды суточных сумм жидких осадков для отдельных станций Уральского региона и Новосибирской области.

С использованием специальных статистических характеристик рассматриваемых рядов, имеющих важное практическое значение для исследования климатических свойств осадков, проведены исследования по верификации построенных моделей.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН, на конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2000-2004 гг.), на четвертом международном семинаре по математическому моделированию в г. Санкт-Петербурге (2001 г.), на международной конференции по вычислительной математике в г. Новосибирске (ICCM-2002) и на Международной Конференции по Математическим Методам в Геофизике в г. Новосибирске (ММГ-2003). Основные результаты опубликованы в 7 работах, список которых помещен в конце диссертации [80-86].

Автор выражает искреннюю благодарность члену-корреспонденту РАН Геннадию Алексеевичу Михайлову, своему научному руководителю Огородникову Василию Александровичу за постоянное внимание и руководство работой, кандидату географических наук Немировской Ларисе Гдальевне за участие в постановке задач, связанных с осадками, а также кандидатам физико-математических наук Ухинову Сергею Анатольевичу и Бурмистрову Александру Васильевичу.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработан метод моделирования трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня. Рассматривается область применения этого метода для точных и приближенных решений. Рассматриваются специальные классы корреляционных матриц.

2. Предложено несколько специальных методов для моделирования индикаторных процессов и полей. Изучаются свойства и приложения этих алгоритмов.

3. На временном интервале в один месяц построена численная вероятностная модель поля суточных сумм осадков. При построении используются индикаторные поля.

4. Построена вероятностная модель комплекса метеорологических полей, включающих поле геопотенциала, поле температуры и поле вектора скорости ветра. Для моделирования предложено использовать физические связи в виде уравнения статики и геострофических соотношений. Модель предназначена для использования ее в задачах вариационного согласования вероятностных и динамических моделей атмосферных процессов.

5. Для построения пространственных полей скорости ветра предложен специальный векторный подход, основанный на методе условных математических ожиданий, использующий предположения об однородности и изотропности поля скорости ветра. Специфика соответствующей блочной корреляционной матрицы позволяет уменьшить объем вычислений (приблизительно в два раза) по сравнению со случаем, когда используется неизотропное поле скорости ветра.

6. Осуществлен ряд численных расчетов, подтверждающих теоретические результаты.

Все алгоритмы реализованы на IBM PC на языке FORTRAN в виде комплекса программ.

Заключение.

1. Анапольская Л.Е. О влиянии климатических факторов на технические изделия // Труды ГГО, 1970, вып. 268, стр. 76-85.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ // М: Гос. Издат. Физико-математической литературы, 1963. 500 с.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов // -М. : Мир, 1976,- 757 с.

4. Анисимова А.В. Численное моделирование индикаторных случайных полей осадков // Труды конференции молодых ученых, Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1997, стр. 3-15.

5. Белов П.Н. Практические методы численного прогноза погоды // Л: Гидрометеоиздат, 1967. 335 с.

6. Белышев А.П., Клеванцов Ю.П., Рожков В.А. Вероятностный анализ морских течений // Л.: Гидрометеоиздат, 1983. - 264 с.

7. Боков В.Н., Лопатухин Л.И., Микулинская С.М., Рожков В.А., Румянцева С.А. О межгодовой изменчивости волнения 7/ Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения // Санкт-Петербург: Гирометеоиздат, 1995, стр. 446-454.

8. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов (пер. с англ.) // Прогноз и управление. -М: Мир, 1974. -308 с.

9. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике // М.: Сов. радио, 1971.

10. Buell C.E. Variability of wind with distance and time on an isobaric surface//Journ. AppI Meteorolog., 1972, vol. 11, N.8, pp. 1299-1304.

11. П.Воеводин B.B., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления // М: Наука, 1984.-320 с.

12. Гандин J1.C. О влиянии ветра на тепловой режим зданий // Труды ГГО, 1970, вып.268, стр. 3-20.

13. Гандин JI.C., Каган P.J1. Статистические методы интерпретации метеорологических данных // JI: Гидрометеоиздат, 1976. - 259 с.

14. Статистическая структура метеорологических полей // под редакцией Гандина JI.C., Захариева В.И., Целнаи Р. Budapest, 1976. - 364 с.

15. Глуховский А.Б. О статистическом моделировании метеорологических полей // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5, N 7, стр. 724-729.

16. Gubina N.I., Ogorodnikov V.A. Some problems of the statistical simulation of conditional processes and fields // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 13, No. 5, pp. 345-358 (1998).

17. Gringorten I.I. Modelling conditional probability // J. Appl.Meteorol., 1971, v. 10, No. 4, pp. 646-657.

18. Моделирование компонентов экосистемы // под ред. И.Н. Давидана. JI:, вып. 3, Гидрометеоиздат, 1987. - 256 с.

19. Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения // под ред. И.Н. Давидана. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1995. - 472 с.

20. Дерин Х.,Келли П. Случайные процессы марковского типа с дискретными аргументами // ТИИЭР, т. 77, No 10, 1989, стр. 4271.

21. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов // -Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 320 с.

22. Дробышев А.Д., Марченко А.С., Огородников В.А., Чижиков В.Д. Статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков в равнинной части Новосибирской области // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 44-74.

23. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование // -М: Наука, Гл. Изд. Физико-математической литературы, 1982. -296 с.

24. Ермаков С.М., Павлов А.И., Сизова А.Ф., Товстик Т.М. Общее описание пакета программ моделирования распределений, случайных процессов и полей // Деп. ВИНИТИ, 1980, per. N 419080.

25. Ермаков С.М., Павлов А.И., Сизова А.Ф., Товстик Т.М. О пакете программ "Моделирование реализаций случайных процессов и полей" // Ж. Теория вероятностей и её применения, 1982, т. XXVI1, вып. 3, стр. 609-610.

26. Жуковский Е.Е., Бельченко Г.Г., Брунова Т.М. Вероятностный анализ влияния изменений климата на потенциал продуктивности агроэкосистем // Ж. Метеорология и гидрология, 1992, No 3, стр. 92-103.

27. Каган P.JI., Сибир Е.Е. Об учете взаимной связи статистических характеристик при расчете числа выбросов временных рядов // Труды ГГО, 1973, вып. 397, стр. 13-20.

28. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. К вопросу о статистическом моделировании двумерных метеорологических полей // Труды ГГО. 1973, вып. 308, стр. 20-26.

29. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. О применении теории выбросов к исследованию температурных рядов // Труды ГГО, 1970, вып. 267, стр. 86-89.

30. Каган Р.Л., Канашкин В.К., Федорченко Е.И. О расчете характеристик временных рядов методом статистического моделирования // Труды ГГО, 1972, вып. 286, стр. 71-82.

31. Калашникова Н.И., Огородников В.А. Стохастическая интерполяция однородных случайных полей // Методы и алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1995, стр. 40-51.

32. Кашьяп Р.Л.,Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным // М.: Наука, 1983.- 384 с.

33. Кобышева Н.В. Косвенные расчеты климатических характеристик//- Л.: Гидрометеоиздат, 1971. -191 с.

34. Марпл С.Л.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения // М: Мир, 1990. - 584 с.

35. Марченко А.С. Аппроксимация эмпирического распределения вероятностей суточных сумм жидких осадков // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 66-74.

36. Марченко А.С., Минакова JI.A. Вероятностная модель временных рядов температуры воздуха.// Ж. Метеорология и гидрология, 1982, N 3, стр. 51-56.

37. Марченко А.С., Минакова Л.А., Огородников В.А. Статистическое моделирование редких похолоданий с учетом их длительности // Анализ и прогноз многолетних временных рядов. Новосибирск, СНИИЗ и ХСХ СО ВАСХНИЛ, 1988, стр. 63-71.

38. Марченко А.С., Минакова Л.А., Семочкин А.Г. Восстановление вертикальных профилей температуры и ветра методом статистической эстраполяции // Применение статистических методов в метеорологии. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, стр. 82-121.

39. Марченко А.С., Огородников В.А. Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой // Известия вузов, Математика, 1985, No. 7, стр. 63-67.

40. Марченко А.С., Огородников В.А. Вероятностные модели последовательности сухих и дождливых суток // Препринт 993 ВЦ СОР АН, Новосибирск, 1991. 22 с.

41. Марченко А.С., Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских последовательностей большой длины с произвольной корреляционной функцией // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1984, Т. 24, No. 10, стр. 1514-1519.

42. Марченко А.С., Огородников В.А. О потере информации при разрежении связных выборок // Применение статистических методов в метеорологии,- Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, стр. 68-81.

43. Марченко А.С., Романенко Т.П. Моделирование гамма-, последовательностей и их использование для изучения выбросов скорости ветра // Ж. Метеорология и гидрология, 1975, No 7, стр. 54-62.

44. Марченко А.С., Семочкин А.Г. Изучение выбросов относительной влажности воздуха путем статистического моделирования бета-последовательностей // Труды ГГО, 1977, вып. 397, стр. 35-43.

45. Марченко А.С., Сёмочкин А.Г. F<DOF метод моделирования временных рядов по наблюдаемым реализациям // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987, стр. 14-22.

46. Михайлов Г.А. Моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма // Докл. АН СССР, 1982, т. 3, N 3, стр. 531-535.

47. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло // -М: Наука, 1986 Engl.trans 1.: Springer-Verlag, 1992.

48. Монин JT.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, часть 2 // М: Наука, 1967. - 720 с.

49. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы // Л: Гидрометеоиздат, 1988. - 414 с.

50. Ogorodnikov V.A. and Prigarin S.M. Numerical modeling of random processes and fields: algorithms and applications // VSP, Utrecht, The Netherlands, 1996. 240 p.

51. Ogorodnikov V.A. and Protasov A.V. Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and variational methods of data assimilation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling (1997), V.12, N.5, pp. 399-480.

52. Огородников В.А. Моделирование трехмерных полей геопотенциала с заданной статистической структурой // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике .- Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1979, стр.73-78.

53. Огородников В.А. Моделирование стационарных векторных рядов с заданной корреляционной структурой // Методы и алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, стр.21-30.

54. Огородников В.А. Некоторые свойства оценок пороговых уровней длительных похолоданий // Методы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1986, стр. 25-34.

55. Огородников В.А. О динамико-вероятностном прогнозе // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, т. 11, No. 8, 1975, стр. 851-853.

56. Огородников В.А. О статистической устойчивости базиса из собственных векторов выборочной ковариационной матрицы // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1985, стр. 66-76.

57. Огородников В.А. Статистическое моделирование векторных процессов авторегрессии с заданной корреляционной структурой // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1989, стр. 54-63.

58. Пиранашвили З.А. Некоторые вопросы статистико-вероятностного моделирования случайных процессов // Вопросы исследования операций.- Тбилиси, 1966, стр. 53-91.

59. Поляк И.И. Методы анализа случайных процессов и полей в климатологии//- Л.: Гидрометеоиздат, 1979.- 255 с.

60. Полляк Ю.Г. Моделирование последовательностей неравноотстоящих по времени выборок из гауссова случайного процесса // Известия АНСССР, Техническая кибернетика, 1969 , N 1, стр. 50-56.

61. Пригарин С.М. Некоторые задачи теории численного моделирования случайных процессов и полей // Новосибирск, 1994.

62. Пригарин С.М. Приближенное моделирование гауссовских полей на основе спектрального представления // Новосибирск, 1989,- 21 е.- (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 876).

63. Пригарин С.М. Спектральные модели векторных однородных полей.// Новосибирск, 1989,- 36 е.- (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 945).

64. Пригарин С.М. Условия совместности маргинальных распределений и корреляций // Численные методыстатиститического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987, стр. 3-5.

65. Рожков В.А. Методы вероятностного анализа океанологических процессов II -11.: Гидрометеоиздат, 1979.- 280 с.

66. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. Вероятносные модели океанологических процессов // JL: Гидрометеоиздат, 1990.-272 с.

67. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. К вопросу о построении моделей океанологических процессов // Труды ГОИН, 1983, Вып. 169, стр. 46-59.

68. Румянцева С.А. Вероятностное моделирование ветрового волнения как полимодулированного полициклического случайного процесса // Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург, 1993.

69. Robinson Т.A. Multichannel time series analysis and digital computer programs //- S.F.: Holden DAY, 1967.

70. Сванидзе Г.Г. Математическое моделирование гидрологических рядов // JL: Гидрометеоиздат, 1977. - 296 с.

71. Смирнов И.В., Болыпев JI.H. Таблицы для вычисления функции двумерного нормального распределения // М: Изд. АН СССР, 1962.-204 с.

72. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло //- М.: Наука, 1973.-311 с.

73. Сонечкин Д.М. Динамико-стохастический подход к проблеме долгосрочного прогноза // Труды ГМЦ СССР, 1982, вып. 243, стр. 3-78.

74. Срагович В.Г. Моделирование некоторых классов случайных процессов // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1963, Т. 3, No. 3, стр. 586-593.

75. Sheuer Е.М., Stoller D.S. On the generation of normal random vectors//Technometrics, 1962, v. 4, No. 2, pp. 278-281.

76. Татарский В.И. Использование динамических уравнений при вероятностном прогнозе барического поля // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5, No. 3, стр. 293-297.

77. Тимченко И.Е. Динамико-стохастические модели состояния океана //- Киев.: Наукова Думка, 1981.- 192 с.

78. Товстик Т.М. Моделирование однородного гауссовского поля // Тр X Всесоюз. симпозиума. Секция 4. Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей. Л. 1978, стр. 75-77.

79. Тройников B.C. Численное моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма в задачах переноса излучения в облачной среде // Изв. АН СССР. Сер. ФАО, 1984, Т. 20, No. 4, стр. 274-279.

80. Ukhinova O.S. Stochastic Simulation of a Class of Heterogeneous Gaussian Field // Proceedings of the 4th St.Petersburg Workshop on Simulations. N11 Chemistry St.Petersburg University Publishers, 2001, pp. 486-491.

81. Ukhinova O.S. Numerical simulation of a special class of non-homogeneous Gaussian fields // Bull. NCC. Ser. Num. Anal. 2001. Iss. 10.-pp. 53-60.

82. Ухинова O.C. Стохастическая модель временных рядов сумм осадков // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, 2002, стр. 164-169.

83. O.S. Ukhinova Stochastic model of time series of precipitation sums // Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2002, pp. 291-294.

84. Ухинова O.C. Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, 2003, стр. 118-127.

85. Ukhinova O.S., Ogorodnikov V.A. Stochastic models of meteorological processes // International Conference on Mathematical Methods in Geophysics "MMG-2003", Abstract, ICMMG. -Novosibirsk, 2003.

86. См.: http://www-sbras.ngs.ru/ws/showabstract.dhtml?en+78+5726.

87. Ухинова O.C. Некоторые вопросы численного стохастического моделирования временных рядов индикаторов осадков // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, 2004, стр.211-218.

88. Федорченко Е.И. Об учете отклонений от нормального распределения при расчете вероятности выброса случайной последовательности // Труды ГГО, 1976, вып. 374, стр. 159-167.

89. Федорченко Е.И. О влиянии суточного хода параметров распределения на среднее число выбросов температуры воздуха // Труды ГГО, 1977, вып.397, стр. 21-26.

90. Федорченко Е.И. О среднем числе выбросов средней суточной температуры воздуха на территории СССР // Труды ГГО, 1977, вып. 374, стр. 181-185.

91. Федорченко Е.И. О суточном ходе характеристик выбросов температурных рядов // Труды ГГО, 1977, вып. 397, стр. 27- 34.

92. Franclin J. N. Numerical simulation of stationary and nonstationary Gaussian random processes // "SIAM REV", 1965, 7, No. 1, pp. 68-80.

93. Хеннан Э. Многомерные временные ряды (пер. с англ.) // М.: Мир, 1974. - 576 с.

94. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования // J1.: Машиностроение, 1986. -320 с.