автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование сложных динамических объектов сверхбыстрыми цифровыми фильтрами

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ

На правах рукописи

БОГАТУШИН Игорь Яковлевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ СВЕРХБЫСТРЫМИ ЦИФРОВЫМИ ФИЛЬТРАМИ

(на примерах систем навигации и теплоэнергетики)

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 05.13.16 — ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ

ТЕХНИКИ, МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1992

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор Р. И. ИВАНОВСКИМ

Научный, консультант — кандидат технических наук, доцент В. Н. ТРИФАНОВ

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор, академик Международной Академии Технологической кибернетики А. В. ТИМОФЕЕВ, кандидат технических наук, доцент А. Е. ГОРОДЕЦКИЙ

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится « » 1992 года

в часов на заседании специализированного совета Д.003.62.01

при Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14 линия, д. 39

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке специализированного совета Д.003.62.01

Автореферат разослан « » 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук

В. Е. МАРЛЕЙ

Общая характеристика работы

В диссертации рассматриваются сложные нестационарные стохастические многомерные динамические объекты и процессы, имеющие место в различных областях науки и техники. Нестационарными являются объекты и процессы, модели которых, описывающие эти объекты и процессы с заданной точностью, имеют изменяющиеся во времени структуры с переменными параметрами.

Основное внимание уделяется проблеме идентификации и фильтрации нестационарных' стохастических скалярных сигналов (НССС) динамических объектов и процессов, осуществляемых с выполнением современных требований по быстродействию, сложности и надежности вычислений, соответствующих возросшим нормативным требованиям по точности оценок заданных величин, которым действующие системы практически не удовлетворяют. Так, например, навигационные комплексы "Ольха" и "Пижма I" самолетов ЯК-42 и ИЛ-86 соответственно не обеспечивают выполнение существующих норм эшелонирования самолетов при полетах по отечественным и зарубежным трассам из - за уменьшения в полтора, два раза международных норм эшелонирования самолетов: размер коридора бокового эшелонирования самолетов на отечественных трассах, оснащенных радиомаяками, сокращен с 15 до 10 километров, а временной интервал продольного эшелонирования снижен с 10 до 5 минут. Аналогичные пропорции резкого ужесточения требований к параметрам эшелонирования самолетов имеют место на всех других самолетных трассах, проложенных в безориентирной местности, в районах Крайнего Севера и т. д.

Выполнение требований по быстродействию вычислений может быть осуществлено тремя способами: путем разработки высокоскоростной элементной базы вычислительной техники, применения новейших архитектурных решений, позволяющих производить распараллеливание вычислений и, наконец, снижения числа арифметических операций, затрачиваемых на" функционирование алгоритмов. Реализация первых двух способов увеличения быстродействия вычислений требует крупных капиталовложений, поэтому в диссертации основное внимание уделяется вопросу снижения объемов вычислений, выполняемых при функционировании алгоритмов идентификации и фильтрации (МИФ) НССС без снижения точности получаемых оценок параметров, и проделана работа по

подготовке названных алгоритмов к распараллеливанию, состоящая в разработке алгоритмов ШФ, имеющих высокую естественную способность к распараллеливанию.

Предметом • исследования являются процессы идентификации и фильтрации НССС, имеющих место во всех областях науки и техники, так как происхождение этих сигналов не имеет никакого значения для осуществления их моделирования с помощью применяемых в данной работе методов и алгоритмов.

Актуальность тещ. Все задачи навигационных комплексов модернизируемых (ИЛ-62, ИЛ-62М, ИЛ-76Т, ИЛ-86, ТУ-154, ЯК-42) и новых (ИЛ-96, ТУ-204) самолетов решаются с использованием НССС, полученных от расположенных на борту самолета датчиков информации. Из множества таких задач назовем задачи коррекции местоположения самолета по данным радиотехнических систем дальней и ближней навигации, счисления частноортодромических координат, управления полетом самолета в горизонтальной и вертикальной плоскостях, оптимизации режимов его полета по расходу топлива и временным отклонениям относительно нормативного времени прибытия в промежуточные пункты маршрута и на аэродром посадки.

Требования к точности решения перечисленных задач резко возросли в связи с упомянутым выше уменьшением в полтора, два раза международных норм бокового, продольного и вертикального эшелонирования самолетов, принятых также и в отечественной гражданской авиации 9.02.83 года.

Общее количество различных НССС, используемых в расчетах в самолетных навигационных комплексах, составляет несколько десятков .

При решении в режиме реального времени задач навигации и управления космическим аппаратом Буран применяется около десяти тысяч различных НССС, поступающих от датчиков информации. За одну секунду в расчетах используется от трехсот тысяч до одного мегабайта данных о НССС. Объем обрабатываемой информации зависит от режимов полета аппарата.

В других областях техники, где могут быть применены те же фильтры, что и в навигации самолетов и космических аппаратов, объем обрабатываемой информации достигает сотни килобайт, а при обработке видеоизображений даже десятки мегабайт в секунду.

Например, в задачах управления технологическими процессами объектов теплоэнергетики, решаемых не реже одного раза за шесть

секунд, используется около четырех тысяч НССС, поступащих от датчиков информации одного энергоблока и связанных с ним агрегатов и устройств.

Размер одного кадра видеоизображения, передаваемого космическим аппаратом, составляет 16000 х 16000 сигналов или 256 мегабайт информации, которая должна быть обработана в режиме реального времени за II секунд.

Независимо от способа применения в расчетах перечисленных НССС возникают задачи идентификации и фильтрации либо каждого такого сигнала, либо каждой расчетной величины, найденной с использованием неотфильтрованных НССС. Как показано в первой главе диссертации, решение этих задач должно осуществляться с выполнением современных требований по быстродействию, сложности и надежности вычислений- при высокой нормативной точности определения оценок параметров. Так, например, быстродействие ЭВМ, осуществляющей обработку упомянутых кадров видеоизображений, должно быть порядка 7 миллиардов операций в секунду.

Отсюда со всей очевидностью вытекает необходимость создания быстродействующей элементной базы вычислительной техники, использования новейших достижений архитектурных решений при разработке современных ЭВМ, обеспечивающих конвейерную, параллельную или какую-либо другую обработку информации, а также необходимость разработки алгоритмов ИИФ НССС, удовлетворяющих заданным требованиям и применяемых для обработки видеоизображений и других НССС.

По стоимости работ создание быстродействующих алгоритмов ИИФ НССС обойдется намного дешевле всех других названных способов ускорения вычислений, поэтому диссертация посвящена именно этому направлению исследований.

В настоящее время разработано большое число разных методов решения задач фильтрации стационарных скалярных сигналов. Однако, как показано в главе I, существующие фильтры плохо приспособлены к обработке НССС. Так, например, адаптивные фильтры на базе фильтров Калмана, которые были исследованы Иванойским Р.И. с целью применения их в навигации, затрачивают недопустимо большое время на формирование первых достоверных оценок фильтруемого сигнала. Фильтры на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае Ьбработки НССС могут иметь неустранимое запаздывание на всех интервалах фильтрации при необходимости аппроксимации этого сигнала полиномами более

высокого порядка, чем размерность систем уравнений, что приводит к потере точности полученных оценок НССС. Фильтры процессов авторегрессии (АР), скользящего среднего (СО), авторегрессии и скользящего среднего (АРСС), авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) слабо адаптируемы к HCGC. Фильтры Прони имеют низкую вычислительную устойчивость. Кроме того, все существующие фильтры в процессе своего функционирования выполняют недопустимо большое число арифметических операций, что не позволяет использовать их в современных системах обработки информации.

Изложенные в работах Ли, Эйкхоффа, Бокса и Дженкинса и других исследователей методы и алгоритмы решения задачи идентификации стационарных скалярных сигналов, то есть задачи определения необходимого для их аппроксимации с заданной точностью числа базисных функций, пригодны только в случае использования для аппроксимации этих сигналов экспоненциальных базисных функций и выполняют при своем функционировании большие объемы арифметических операций.

Различные методы решения задач идентификации и фильтрации НССС при условии выполнения совокупности критериев качества К получения оценок НССС , не имеющие указанных выше недостатков, изложены во второй и третьей главах диссертации.

Таким образом, в настоящее время имеется потребность в решении задач идентификации и фильтрации НССС, нестационарных двумерных, трехмерных и многомерных сигналов с выполнением современных требований по быстродействию, сложности, надежности и точности вычислений оценок параметров в навигации, теплоэнергетике и других областях техники, обладающих общностью поведения измеряемы? сигналов и требований к их обработке, существует возможность их решения и целесообразность использования разработанных алгоритмов в названных областях техниги.

Следовательно, проблема идентификации и фильтрации НССС, нестационарных многомерных сигналов динамических объектов актуальна. Ее разрешение позволит расширить круг решаемых научных •и технических задач за счет снижения объемов вычислений и распараллеливания алгоритмов ИИФ НССС, повысить качество управления сложными динамическими объектами в результате увеличения точности оценок фильтруемых параметров, снизить количество арифметических операций, используемых при

- б -

интегрировании систем дифференциальных, интегродифференциальных и других уравнений и одновременно повысить точность их решения.

Основной целью исследования является решение проблемы идентификации и фильтрации НССС динамических объектов и разработка универсальных алгоритмов МИФ НССС, пригодных для использования без корректировки их параметров в различных областях науки и техники, обладающих определенной общностью поведения НССС, например, в навигации и теплоэнергетике, причем функционирование этих алгоритмов должно происходить с выполнением современных требований по быстродействию, сложности, надежности и точности вычислений оценок заданных величин в режиме реального времени.

Другая цель исследования, тесно связанная с первой и вытекающая . из нее, состоит в решении вопросов субоптимального преобразования непрерывных линейных операторов в их дискретную алгебраическую форму, обеспечивающую последующую реализацию этих операторов на ЦВМ.

Для достижения указанных целей в работе решались следующие задачи:

- разработка прикладного математического аппарата для создания сверхбыстрых цифровых фильтров (СБЦФ) НССС на основе систем базисных функций с постоянными и неизвестными параметрами; сверхбыстрыми назовем фильтры, работающие в равных условиях быстрее известных самых быстрых фильтров;

- оценка алгоритмической сложности алгоритмов СБЦФ НССС и сравнение ее с аналогичными оценками существующих алгоритмов;

- создание автоматизированной подсистемы разработки СБЦФ НССС;

- создание подсистем моделирования алгоритмов модернизируемых и перспективных самолетных навигационных комплексов и объектов теплоэнергетики с применением алгоритмов МИФ НССС;

проверка правильности и эффективности функционирования алгоритмов МИФ НССС в навигационных комплексах и в системах управления объектами теплоэнергетики.

Методы исследований основаны на теории фильтрации сигналов, вычислительных методах линейной алгебры, численного анализа, методах статистической аппроксимации сигналов и имитационного моделирования.

Основные результаты, полученные в работе:

- показана возможность и целесообразность сведения различных

способов идентификации и фильтрации HCGC к единому дискретному алгебраическому представлению, что дает возможность проектирования СБЦФ с использованием любого из этих способов;

- предложен универсальный математический аппарат для разработки СБЦФ НССС на основе полных систем базисных функций с постоянными параметрами, обеспечивающий равную алгоритмическую сложность создаваемых фильтров цри равном числе используемых базисных функций, принадлежащих разным системам;

- предложен универсальный метод разработки СБЦФ с выполнением современных требований по быстродействию, сложности, надежности и точности оценок параметров НССС на основе базисных функций с неизвестными параметрами, позволяющий расширить множество используемых классов таких функций;

- разработаны универсальные методы сверхбыстрой идентификации сигналов, аппроксимируемых с применением базисных функций, содержащих постоянные или неизвестные параметры, позволяющие создавать алгоритмы идентификации, осуществляющие определение числа базисных функций, необходимых для аппроксимации НССС с заданной точностью, в режиме реального времени;

- предложены универсальные алгоритмы линейных преобразований базисных функций с постоянными параметрами, в результате применения которых коэффициенты аппроксимирующих НССС многочленов приобретают заданную разработчиком СБЦФ интерпретацию, что дает возможность одновременного определения этих коэффициентов и соответствующих им оценок НССС в заданных точках, производных и кратных интегралов от НССС и линейных комбинаций названных величин;

- найдены способы разработки СБЦФ для вычисления оценок сигнала и его производных методом неопределенных коэффициентов, используя дифференциальные и интегродифференциальные тождества;

- предложен способ получения ядер интегральные уравнений, обеспечивающих нахождение оценок линейных комбинаций, содержащих нестационарные стохастические скалярные сигналы, их производные в заданных точках и кратные интегралы от НССС;

•- получены системы базисных функций, параметрически ортогональных и нормированных на интервале переменной длины, выведены соответствующие им дифференциальные уравнения и рекуррентные соотношения;

- показана возможность осуществления сверхбыстрой идентификации и

фильтрации нестационарных стохастических многомерных сигналов на основе методов СБЦФ НССС при их соответствующей доработке;

- предложен способ расширения области допустимых преобразований непрерывных линейных операторов в их дискретное алгебраическое представление с применением методов, используемых для разработки алгоритмов сверхбыстрой идентификации и фильтрации нестационарных стохастических скалярных и многомерных сигналов, позволяющий снизить объемы вычислений при получении численных решений систем дифференциальных, интегродифференциальных и других уравнений;

- разработаны методы идентификации и СБЦФ НССС, позволяющие создавать алгоритмы, обладающие высокой способностью к распараллеливанию вычислений.

Научная новизна:

- показана возможность и целесообразность сведения различных способов фильтрации НССС к единому дискретному алгебраическому представлению, обеспечивающему моделирование НССС с выполнением современных требований по быстродействию, сложности, надежности й точности вычислений;

- разработаны новые методы сверхбыстрой.идентификации и СБЦФ НССС с применением базисных функций с постоянными и неизвестными параметрами;

- предложены оригинальные способы преобразования систем базисных функций, позволяющие осуществлять требуемую интерпретацию коэффициентов аппроксимирующих НССС многочленов;

- разработаны эффективные сверхбыстрые алгоритмы идентификации и фильтрации НССС объектов навигации и теплоэнергетики, обеспечивающие выполнение современных требований по быстродействию, алгоритмической сложности, надежности и точности оценок параметров.

Положения, выносимые на защиту изложены выше под названиями Основные результаты и Научная новизна.

Практическская ценность работы состоит в следующем: - разработан прикладной матеметический аппарат для создания универсальных СБЦФ НССС, имеющих место в различных областях науки и техники;

созданы подсистемы разработки алгоритмов СБЦФ, моделирования алгоритмов навигационных комплексов и объектов теплоэнергетики, позволяющие снизить число специалистов, занимающихся разработкой алгоритмического обеспечения, сократить

сроки его разработки и повысить качество алгоритмов СБЦФ;

показана возможность применения разработанного математического аппарата для улучшения алгоритмов численного интегрирования систем дифференциальных, интегродифференциальных и других уравнений.

Реализация результатов работы.

Результаты диссертации были использованы при разработке математического и программного обеспечения навигационных комплексов "Гвоздика", КСВ - 204, КСВ - 96, названных в дальнейшем ВСС - 85, изделий 9.21 J6 211, "300", "400", "Сумма", К - 082, К - 087, ПНК - 114.

В ШО ВДТИ им. Ползунова И.И. внедрена система конструирования СБЦФ и моделирования процессов генерации и фильтрации сигналов объектов теплоэнергетики, написанная на языке Фортран - 77 для ЭВМ СМ - 1700.

В материалах технических проектов ИВС I очереди и АСУ ТП 2 очереди Билибинской АЭС внедрены алгоритмы сверхбыстрой цифровой фильтрации сигналов.

Внедрение результатов диссертации подтверждается 8 актами. Суммарный экономический эффект от внедрения этих результатов согласно двух актов, выданных в 1987 году, составляет 20 тыс. руб.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на III Всесоюзной научно - практической конференции по безопасности полетов (Ленинград, 1982), Отраслевой научно -технической конференции (Москва, 1986), семинаре "Управление и устойчивость" МИЭМ (Москва, 1986), Научно - технической конференции "Технология проектирования программных и аппаратных средств вычислительных систем" (Ленинград, 1989), 5-м Ленинградском симпозиуме по теории адаптивных систем "Адаптивные и экспертные системы в управлении' (1991), семинарах Ленинградского института машиноведения АН СССР (1991), ИПМаш РАН (1992), Санкт - Петербургского института информатики и автоматизации РАН (1992), Ленинградского института теоретической астрономии (1992), НПО "Рудгеофизика" (Ленинград, 1987, 1992), Санкт - Петербургского института авиационного приборостроения (1992), НПО ЦКТИ им. Ползунова И.И. (1991).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ.

Структура и объеы работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 118 наименований и двух приложений. Объем основного текста диссертации составляет страниц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели исследований, кратко изложены основные научные и практические результаты, аннотировано содержание глав.

В первой главе осуществлен анализ современного состояния методов и алгоритмов идентификации и цифровой фильтрации стационарных стохастических скалярных сигналов и рассмотрена возможность их использования для обработки аналогичных нестационарных сигналов. Ввиду показанной в этой главе плохой приспособленности существующих фильтров к обработке НССС из проведенного анализа'вытекает новая постановка задачи фильтрации, которую мы приводим.

Для нахождения дискретной модели какого-либо НССС в виде цифрового фильтра осуществляется минимизация функционала R(M,T,A), заданного на множествах М,Т и А=А(е), при условии выполнения совокупности К(А(е)) выбранных разработчиком модели критериев качества. Множество М состоит из всевозможных моделей НССС, множество Т содержит различные дискретные преобразования операторов из множества М в множество дискретных алгебраических моделей А(е) НССС. Элементы множества A(s) обеспечивают получение оценок НССС с заданной и фиксированной точностью е.

Заметим, что возможна другая, отличающаяся от приведенной нами, постановка задачи филь'трации НССС динамических объектов, предложенная В.Н. Трифановым в его работах и базирующаяся на методах обобщенного обращения операторов, квадратичного программирования и принципах" самоорганизации, однако исследования, в этом направлении выходят за рамки диссертации и круг интересов автора.

В нашей постановке задачи фильтрации задача идентификации становится ее неотъемлемой частью, так как решение этой задачи обеспечивает заданную точность оценки параметров НССС. Выполнение требований K(A(s)) по быстродействию, алгоритмической сложности и т. п. осуществляется за счет вычислений в лабораторных условиях, где производится вся подготовительная работа по созданию алгоритмов ИИФ НССС и выбор наилучших систем базисных функций,

обеспечивающих высокое быстродействие разработанных алгоритмов.

Во второй главе диссертации изложен прикладной математический аппарат для создания алгоритмов СБЦФ НССС, удовлетворяющих современным требованиям по быстродействию, алгоритмической сложности, надежности и точности оцениваемых величин.

Показано, что, если сигнал u(t) на интервале (а,Ь) может быть с заданной точностью представлен с помощью некоторого, определенного в результате решения задачи идентификации, числа Оазисных функций в виде

п

^ = I VPk^'Wk!.....PkmJ + € {0.....(D

к=о

где .....Pj^) - принадлежащие полной системе базис-

ные функции с известными параметрами Pk;J (k = 0,...,n; j = ОТгп; m çCO,...,q>), ак (к = 0,...,п) - определяемые коэффициенты, v(t) -белый шум, то, после умножения соотношения (I) по методу взвешенных невязок, изложенному Флетчером, на ступенчатые функции g±(t) (I = 0,...,п), принимающие только (п+1) значение на промежутке (а,Ь), равное числу используемых в выражении (1) базисных функций, и интегрирования всех членов полученных равенств по указанному промежутку, найдем (п+1) систему уравнений для вычисления значений = 0,...,п) ступенчатых функций g±(t)

(i = 0,...,п), исходя из требований обращения в ноль всех множителей при коэффициентах разложения (1), кроме одного при коэффициенте ak(k = 0,...,п), который должен быть равен единице:

П bJ

Я^рко'рк1.....ьц^тм v^-Vm.....

3=0

= Sik (1,к = 0,...,п; п^ ç {0,...,q>; aQ = a, bn = b), (2)

где S±k - символ Кронекера.

Определив значения неизвестных Л.±^(i,J = 0,...,п) систем уравнений (2) и воспользовавшись методом прямоугольников при вычислении интегралов , найдем выражения для нахождения оценок коэффициентов

mi

b№ ( I U (V] (k = °.....n) (3)

3=0 1=1

и сигнала u(t) в точке t = г

n mJ

U(T) =¿ a, [£ u (t13)]. (4)

3=0 1=1

где u(t±í) - измеренные значения сигнала на интервале (a,b).

Правые части выражений (3), (4) обеспечивают снижение объемов вычислений по сравнению со всеми известными фильтрами, рассмотренными в первой главе. Показано, например, что при определении оценки сигнала с помощью соотношения (4) потребуется выполнить в десятки раз меньше арифметических операций, чем при использовании дискретного быстрого преобразования Фурье.

В навигации, теплоэнергетике и других областях техники в некоторых случаях необходимо в разложении (I) считать параметры базисных функций определяемыми. Например, в теплоэнергетике высокое качество вырабатываемой электроэнергии характеризуется стабильностью заданной амплитуды а, частоты ш, и фазы 9 электрического напряжения u(t) = a sin (wt + 9), которые надо контролировать по результатам измерений величины u(t). Расчетные соотношения для нахождения оценок коэффициентов а^ (к=0,... ,п) и неизвестных параметров Рк0.Рк1.....P^^l^O,... ,n m^ eíO.....q}),

входящих в соотношение (1) могут быть найдены в результате умножений в соответствии с методом взвешенных невязок всех членов этого соотношения на такие линейно независимые весовые функции <J)i(t) (1=0,...,1), для которых существуют первообразные функции

.....= J V*- pko.....dt- <5>

где к = 0.....n; i =0,...,г; е CO,...,q}.

Если условия (5) выполнены, то все неизвестные величины, входящие в равенство (1) могут быть определены. Это показано на примерах систем базисных функций tkí и соответствующих им весовых ai

функций t (1=0,...,2(п+1)) (а±-заданы), где параметры kj являются определяемыми, и тригонометрических функций вида

cos(cokt+9k) с неизвестными параметрами оо^., 9к (к=0,...,п) и с весовыми функциями cos(at+p±) (a и р± известны) (1=1,...,4п+1), для которых искомые параметры Рх€ {шк,вк> и определяются с помогцью выражений

т т

Рх = ( S u(t)g1(t) dt ] / ( J u(t) g(t) dt ], (6)

о о

где функции g(t) и gx(t) зависят еще и от параметров используемых весовых функций и определяются в лабораторных условиях; индекс i принимает все необходимые значения.

Путем сравнения с алгоритмом Прони показано, что алгоритмы, в основе которых положены соотношения (6), являются сверхбыстрыми, устойчивыми и обеспечивающими требуемую точность оцениваемых величин.

Если в соотношении (1 ) для обеспечения его заданной точности должно быть использовано большое число п базисных функций, например, n = 10б, то при определении оценок сигнала и(т;) и оценок F(т ) линейных комбинаций НССС и его производных в некоторой точке t=x, вычисляемых при формировании управляющих сигналов в процессе управления полетом самолета в горизонтальной и вертикальной плоскостях, целесообразно воспользоваться сооношениями

l ь n

Р(т) = £ kx u(1)(T) = J G(t.x) u (t) dt = £ c3 uttj), (7) i=o а j=o

n l

где G(t,T) = £ k^'ix) ) q>3(t). (8)

J=0 1=0

N намного меньше n, cp^Ct) - ортогональные и нормированные на интервале (а,Ъ) базисные функции, принадлежащие полной системе, кх - известные множители, u(tj) - измеренные на промежутке (а,Ь) значения сигнала, коэффициенты с^ получеш в результате вычисления интеграла, входящего в соотношения (V), каким - либо численным методом.

Если функция G(t,T), описываемая соотношением (8), при некотором n принимает недопустимо большое значение, то необходимо иметь другой способ оценки величины F(t). Для этого случая автор

предлагает воспользоваться системой интегродифференциальных тождеств

Т п-1

J U(n)(t)(p±(t) dt + £ U(n-;M'(я) ф{л(т:) +

J=o

т

)Ju(n-i-n(a)(pU)(a) + (_1}n-i | U(t)(p^n)(t)dt = О, (Э)

П-1 ,;)=0

в которых подинтегральная функция u(t) считается известной, внеинтегральные величины и'11"3-1' (т) и и(п-;,~1)(а) (3= О,...,п-1)

- определяемыми, а неизвестная подинтегральная функция и(п,(1;) раскладывается в ряд по некоторой полной системе функций:

u(n)(t)=£ Sfc V*) (I0)

k=0

Часть или все величины u'"-3-1 ] (т) и u(n_;,~1 ) (а) (3= О,...,п-1) в результате выбора функций 91(t) вида

4>±(t) = П I9ik(t) - Ф1к(а) ] П СФд.-,Ct) - (|>13(т) ] и подходящих величин r,q могут быть исключены из тождеств (9) в результате обращения в ноль соответствующих множителей, а оставшиеся величины и первые коэффициенты ак (к = 0,...,Ю разложения (10), в котором оставляется только (N + 1) слагаемое, определяются в лабораторных условиях путем решения полученной с помощью тождеств (9) системы линейных алгебраических уравнений.

Показано, что универсальные оценки производных сигнала u(t) могут быть найдены также методом неопределенных коэффициентов на основе равенств:

n m

u(k)(x + dQ) = £ cJk ( £ u (T + a±J ) ] + (k=0,I,...), (II)

i=О 1=1

где aQ, a±;J (i = 1,...,m; 3 = 0.....n) - величины смещений

аргумента функции ait) относительно фиксированного значения t=x, ошибки выражений (II).

Раскладывая функции и(к)(тжх0) и u(x+a±;J) в ряды Тейлора в окрестности точки т, считая, что |aQ| < I, ^ 1 (1=1,...,

т; 3 = 0,...,п), и приравнивая члены при одинаковых производных в левой и правой частях равенств (II), получим системы уравнений, в результате решения которых найдем значения коэффициентов с^и = О,..,п; к = 0,1,...) и выражения для ошибок

В третьей главе разработан прикладной математический аппарат для решения задач идентификации НССС и осуществления линейных преобразований базисных функций, обеспечивающих заданную интерпретацию коэффициентов разложения по этим функциям. Рассмотрены способы создания алгоритмов идентификации и СБЦФ НССС на основе математических методов, изложенных во второй и третьей главах диссертации.

Идея предложенного автором метода идентификации основана на том факте, что при точном представлении сигнала с помощью конечной или бесконечной совокупности базисных функций коэффициенты разложения этого сигнала по данным базисным функциям, найденные, например, методом взвешенных невязок, не зависят от вида весовых функций, а при неточном приближении того же сигнала упомянутые коэффициенты будут разными для разных весовых функций. По сумме абсолютных величин разностей коэффициентов, полученных с помощью разных весовых ступенчатых функций можно судить о точности аппроксимации сигнала и таким образом искать решение задачи идентификации.

Аппроксимируя методом, взвешенных невязок сигнал и(1;), имеющий вид (I), с применением двух систем весовых функций

фт1(1;), Х^Ш (1 =0,...,т; т = 0.....п), найдем совокупности

коэффициентов а = {а „,а .,...,а } и а' = {а' ,а',,...,а' }. Введя норму р(ат,а^), характеризующую расстояние между векторами ат, а^ (ш = 0,...,п), например,следующего вида

т

Р<ат'аш> = £ 1аш1 " аш11 - 0.....П> <12>

1=0

и потребовав, чтобы при некотором искомом значении ш выполнялось неравенство

р(ат,а^) $ е (ш = 0,...,п), (13)

в котором величина б характеризует точность аппроксимации сигнала, найдем значение ш, последовательно используя выражения

т ъ

РЧ,'ат> =1 I Х^в^т и - «и |, (14)

эквивалентные соотношениям (12), где подинтегралыше множители при и(1;) являются разностями двух различных весовых функций, принадлежащих названным выше системам, а т = 0,...,п.

Линейные преобразования базисных функций, обеспечивающие ускорение вычислений, основаны на использовании тождества

п п

I ^ ^ (г) ' (15)

к=0 к=0

где в зависимости от заданного разработчиком фильтров вида

коэффициентов Ьк(к = 0,...,п) определяются преобразованные

функции фк(Ю. Например, при

п

= Х а^^) № = 0, — ,п),

1=0

п

Фк(1;) = X Чк V10 (к = 0,... ,п).

1=0

В этой главе приведены различные способы нахождения неизвестных коэффициентов функций фк(1;), соответствующих разным коэффициентам Ьк( к = 0,...,п).

Здесь описаны также алгоритмы СБЦФ НССС, основанные на математических методах второй главы.

В четвертой главе рассмотрены прикладные аспекты применения алгоритмов СБЦФ НССС, основанных на соотношениях (I), (3), (4), (6) и учитывающих особенности задач навигации и теплоэнергетики.

Показано, что при соответствующей доработке алгоритмов СБЦФ НССС они могут быть использованы, например, для определения коэффициентов разложения видеосигнала и(х,у) по некоторой полной

системе функций с использованием выражений: Ь Ъ р ч

п п

= X! X! ^рчИ I I и(х,у)сМу = ~ известны),

р=1 ^ а а

р ч

где (а >Ь ) х (а .Ь ) (р,я = Т7п) - подобласти интегрирования. Основные результаты и выводы

- разработан прикладной математический аппарат, позволяющий создавать алгоритмы идентификации и фильтрации НССС, имеющих

место в различных областях науки и техники, удовлетворяющие современным требованиям по быстродействию, алгоритмической сложности, надежности и точности оценок сигналов, их производных, кратных интегралов от измеренных сигналов, линейных комбинаций названных величин, а также коэффициентов разложения сигнала по базисным функциям с постоянными или неизвестными параметрами;

- предложен оригинальный способ линейных преобразований базисных функций с постоянными параметрами, в результате применения которого коэффициенты аппроксимирующих HGGG многочленов приобретают заданную разработчиком СБЦФ интерпретацию;

- разработаны эффективные сверхбыстрые алгоритмы идентификации и фильтрации НССС объектов навигации и теплоэнергетики, обеспечивающие выполнение современных требований по быстродействию, алгоритмической сложности, надежности и точности оценок параметров;

- созданы и внедрены подсистемы разработки алгоритмов СБЦФ НССС, моделирования алгоритмов навигационных комплексов и объектов теплоэнергетики, позволяющие снизить число специалистов, занимающихся разработкой алгоритмического обеспечения, сократить сроки его разработки и повысить качество алгоритмов СБЦФ.

Публикации по тепе диссертации

1. Богатушин И.Я., Васильев В.И. Прогнозирование долговечности стандартов и параметров унификации прокатных материалов // Труды ЛКИ.- Л.: Изд. ЛКИ, 1975, вып. 99. -С. 40-44.

2. Артюховский O.A., Богатушин И.Я. Простой способ фильтрации координат в курсодоплеровской навигационной системе.- Труды предприятий отрасли.- М.: 0ЦА0НТИ, 1983.- Вып. 122.- С. 13-16.

3. Богатушин И.Я., Зайцев В.Ф. Моделирование задач автоматического управления с применением дифференциальных уравнений // IX симпозиум по проблеме избыточности в информационных системах. Тезисы докладов. Часть 3. - Л.: ЛИАП, 1986. -С. I09-III.

4. Богатушин И.Я. Вычисление оценок функции и ее производных на бортовых цифровых вычислительных машинах // Научно-технический сборник "Вопросы авиационной науки и техники". -М.: Изд. НИИАС, 1987. -С. 74-75.

5. • Богатушин И.Я. Разработка математического обеспечения навигационных комплексов с применением диалоговой системы КРАБ //

Межвузовский сборник научных трудов "Диалоговые системы и персональные ЭВМ".-Л.: ЖАЛ, 1987.- Вып. 187.-С. 29-34.

6. Богатушин И.Я. Решение задач навигации с применением систем разностных дифференциальных уравнений.- Труды предприятий отрасли.- М.: ГОНТИ, 1987.-Вып. 144- С. 10-20.

7. Богатушин И.Я., Шек-Иовсепянц Р. А. Экономические и организационные вопросы разработки микропрограммного и программного обеспечения бортовых вычислительных машин // Организационно-экономические проблемы научно-технического прогресса в приборостроении. Межвузовский сборник научных трудов. -Л.:ЛИАП, 1987.-Вып. 186.- С. 85-88.

8. Богатушин И.Я., Рогалев А.П. Об одном методе оценки параметров навигационных систем // Научно-технический сборник "Вопросы авиационной науки и техники". - М.: Изд. НИИАС, 1987.-С. 36-37.

9. Богатушин И.Я. Разработка математического обеспечения навигационных комплексов с применением ЭВМ // Вопросы авиационой науки и техники, серия пилотажно- навигационых систем и приборов.- М.: Изд. НИИАС, 1988. - Вып. 10.- С.3-10.

10. Богатушин И.Я. Специализированное математическое обеспечение самолетных навигационных комплексов.- Технология проектирования программных и аппаратных вычислительных систем. Материалы научно - технической конференции.- Л.: ЛДКГП, 1989.- С. 89-90.

11. Богатушин И.Я. Разработка экспертной системы математического моделирования алгоритмов решения систем интегродиф^еренциальных уравнений и интегральных уравнений Вольтерра // Представление знаний и экспертные системы. Сборник научных трудов.- Л: ЛИИАН, 1989.-С. 122-129.

12. Богатушин И.Я. Сверхбыстрая фильтрация дискретных нестационарных скалярных сигналов * // Методы автоматизации обработки информации.- С. - П.: СПИИА РАН, 1992.-10 с. В печати.

13. Богатушин И.Я. Сверхбыстрая идентификация и фильтрация дискретных нестационарных скалярных сигналов // Актуальные вопросы технологии программирования.- С. - П.: СПИИА РАН,-1992.-26 с. В печати.

14. Богатушин И.Я. Сверхбыстрая адаптивная идентификация дискретных нестационарных скалярных сигналов // Актуальные вопросы технологии программирования.- С. - П.: СПИИА РАН, 1992.-10 с. В печати.