автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.01, диссертация на тему:Исследование динамики дискретных систем фазовой синхронизации второго порядка с нелинейным фильтром

на правах рукописи

Палей Дмитрий Эзрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕЛИНЕЙНЫМ ФИЛЬТРОМ

Специальность - 05.12.01 - "Теоретические основы радиотехники"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1998 г.

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. Демидова П.Г. на кафедре динамики электронных систем

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущее предприятие

- кандидат технических наук, доцент Казаков Л.Н.

- доктор технических наук, профессор Пестряков А.В.

- кандидат технических наук, профессор Капранов М.В.

- конструкторское бюро «Луч»,

г. Рыбинск.

Защита диссертации состоится "_"_199 г.

в_ч._мин. в аудитории _ на заседании диссертационного

совета К-053.16.13 по присуждению ученой степени кандидата технических наук Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Е-250, ул. Красноказарменная, д.14, Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ.

Автореферат разослан "_"_199 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета К-053.16.13

кандидат технических наук, доцент

Т.И.Курочкина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы фазовой синхронизации (СФС) нашли в настоящее время широкое применение во многих областях радиотехники, таких как радиопередающие и радиоприемные системы, радиолокация и радионавигация, радиоизмерительная техника и т. д. В качестве примера можно привести современные цифровые радиоприемные системы, в которых с помощью СФС решается целый ряд задач. Среди них синхронизация несущих колебаний, синхронизация и демодуляция поднесущих и модулирующих колебаний, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, синхронизация и свертка псевдослучайной последовательности в системах связи с использованием широкополосных сигналов.

Дискретные системы фазовой синхронизации (ДСФС) в большинстве случаев составляют основу вышеперечисленных устройств. Выбором структуры колец и типов входящих в них узлов, в первую очередь, фильтров цепи управления можно создавать варианты систем, обладающие требуемыми характеристиками по точности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения алгоритмов обработки и реализующих их устройств появляется возможность создавать гибкие алгоритмы обработки информации, оптимизации различных параметров и характеристик.

Отдельно следует сказать о системах частотного синтеза, которые строятся на основе дискретных колец фазовой синхронизации. За счет усложнения цепей управления, и соответственно алгоритмов управления можно значительно повысить эффективность этих систем, расширить их функциональные возможности. Например, наряду с традиционным применением использование колец, обладающих высокими астатическими свойствами, позволяет совместить в синтезаторе функцию синтеза высокостабильной по частоте несущей с ее угловой модуляцией. Использование различных режимов управления фильтрами, как правило нелинейными, позволяет достичь высоких характеристик синтезируемых сигналов.

Приведенные примеры говорят о том, что в настоящее время существует устойчивая тенденция расширения области применения систем фазовой синхронизации. Развитие дискретных и цифровых технологий только усиливает ее. Вместе с тем увеличение области применения, связанное в том числе и с расширением функциональных возможностей СФС, предполагает усложнение алгоритмов управления, а это напрямую связано с использованием сугубо нелинейных режимов функционирования.

Можно утверждать, что задача повышения эффективности существующих и вновь созданных типов устройств на основе дискретных СФС достаточно актуальна. Решение этой проблемы неразрывно связано с анализом нелинейных режимов систем, при котором учитываются не только нелинейные свойства фазового детектора, но и других узлов - в первую очередь фильтра нижних

частот цепи управления. При этом удачный выбор нелинейного фильтра, режима его работы позволяет не только оптимизировать динамические свойства системы, такие как область устойчивости в большом или в целом, характер движений, переходные процессы, но и придавать системе совершенно новые качества и характеристики, получение которых невозможно в системе с линейным фильтром.

Таким образом речь идет об исследовании моделей дискретных СФС, имеющих несколько нелинейностей. При этом одна из них периодическая, обусловленная фазовым детектором (синусоидальная, пилообразная, треугольная и т.д.), вторая, обусловленная нелинейными свойствами фильтра, может быть периодической, либо непериодической - ограничивающей. Периодическая (чаще пилообразная) нелинейность характерна для цифровых интегрирующих фильтров со сбросом по переполнению. Нелинейность ограничивающего типа характерна для аналоговых фильтров (например при реализации их на операционном усилителе) и цифровых с переполнением без сброса.

Необходимо отметить, что модель дискретной СФС с двумя и более нелинейностями представляет собой достаточно сложный объект исследования, практически неизученный до недавнего времени. Системы с перечисленными особенностями практически не рассмотрены в научно-технической литературе. Основные причины кроются в отсутствии достаточно развитой теории нелинейных дискретных систем.

Основы теории систем фазовой синхронизации заложены в монографиях В. В. Шахгильдяна, А. А. Ляховкина, Г. И. Тузова, в работах Б. И. Шахтарина, В. Н. Белыха, А. В. Пестрякова, М. В. Капранова, Г. А. Леонова. Теоретическим исследованиям систем с торроидальным фазовым пространством посвящены труды В. П. Пономаренко, Т.С. Федосовой.

Непосредственно исследованиям дискретных систем фазовой синхронизации с несколькими нелинейностями посвящены работы Паушкиной Т.К., Федосовой Т.С. Однако в них использованы непрерывные модели, что ограничивает область применения полученных результатов. В работах Казакова Л.Н., Широкова Ю.В. рассмотрен ряд задач по исследованию систем на основе дискретных связанных колец фазовой синхронизации, которые описываются дискретными моделями с двумя нелинейностями. В целом эти модели можно рассматривать как частный случай системы с периодическими нелинейностями.

Целью диссертационной работы является исследование динамики дискретных систем фазовой синхронизации второго порядка с нелинейными фильтрами в цепи управления, включая изучение общих свойств систем с фильтрами различного типа, вопросы анализа периодических и квазипериодических движений, устойчивости в большом и целом состояния синхронизма.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- разработка обобщенной модели импульсных и цифровых систем фазовой синхронизации с различными типами фазовых детекторов и нелинейных фильтров в цепи управления;

- разработка методики исследования и анализ периодических и квазипериодических движений в ДСФС с пилообразной характеристикой детектора с пилообразным и ограничивающим фильтром в цепи управления, включая вопросы устойчивости в большом и целом состояния синхронизма;

- разработка методики исследования и анализ периодических и квазипериодических движений в ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора с пилообразным и ограничивающим фильтром в цепи управления, включая вопросы устойчивости в большом и целом состояния синхронизма;

- исследование динамических свойств ДСФС с пилообразным и ограничивающим фильтром в цепи управления при наличии шумового входного воздействия для случая синусоидальной характеристики детектора, включая вопросы статистических характеристик периодических движений, состояния синхронизма, области устойчивости в целом;

- компьютерное моделирование импульсных и цифровых систем фазовой синхронизации, исследование их динамических характеристик с учетом реального поведения отдельных узлов;

- проведение экспериментальных исследований импульсной системы фазовой синхронизации с нелинейным интегратором в цепи управления и цифрового синхронно-фазового демодулятора с квадратурным преобразователем на входе, проверка основных результатов теоретических исследований.

Научная новизна заключается в следующем:

- получена обобщенная модель ДСФС второго порядка с нелинейным фильтром, определены ее параметры, позволяющие легко интерпретировать результаты исследований для конкретных физических объектов;

- предложена методика нелинейного анализа дискретных систем фазовой синхронизации второго порядка с нелинейным фильтром для различных типов характеристики фазового детектора и фильтра, основанная на качественно-аналитическом анализе структуры фазового пространства;

- на основе разработанной методики и алгоритмов получены результаты нелинейного анализа дискретной СФС второго порядка с ограничивающим фильтром для пилообразной и синусоидальной характеристик детектора, включая области существования в пространстве параметров различных периодических движений, точные значения областей устойчивости в целом состояния синхронизма, графики полосы захвата;

- на основе разработанной методики и алгоритмов получены результаты нелинейного анализа дискретной СФС второго порядка с пилообразным фильтром для пилообразной и синусоидальной характеристик фазового детектора, включая основные бифуркации периодических движений, области существования в зависимости от нелинейных свойств фильтра, области глобальной устойчивости, полосу захвата;

- получены результаты исследований статистических свойств ДСФС с синусоидальной характеристикой фазового детектора для ограничивающей и пилообразной характеристики фильтра, включая статистические области глобальной устойчивости для различных значений дисперсии входного шума;

- разработаны компьютерные модели импульсной и цифровой систем синхронизации, учитывающие свойства реальных узлов и позволяющие проводить исследования для произвольных значений параметров устройств.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

- установлены закономерности поведения дискретных систем фазовой синхронизации с различными типами нелинейности фильтра, учет которых позволяет улучшить ряд важных показателей устройств, созданных на основе подобных систем;

- получены результаты теоретических исследований математической и компьютерной моделей для различных типов нелинейности фильтра и детектора в виде формул и графиков для инженерного расчета параметров радиотехнических устройств на основе ДСФС с нелинейным фильтром;

- в ходе выполнения работы создан комплекс программных пакетов для персонального компьютера, позволяющий исследовать и производить расчеты необходимых характеристик импульсных и цифровых систем синхронизации с нелинейным фильтром;

- в ходе выполнения работы создан программно-аппаратный комплекс, позволяющий исследовать процессы в цифровых системах и производить расчеты необходимых характеристик цифровых систем синхронизации с нелинейным фильтром;

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Обобщенная модель импульсных и цифровых СФС второго порядка с произвольной характеристикой фазового детектора и нелинейным фильтром в цепи управления.

2. Методика анализа ДСФС второго порядка с линейным фильтром для пилообразной и синусоидальной характеристик детектора. Результаты анализа обобщенной модели для данного случая, включая анализ областей существования возможных периодических движений, устойчивости в целом состояния синхронизма, графики полосы захвата.

3. Методика анализа дискретных СФС второго порядка с ограничивающим фильтром в цепи управления для пилообразной и синусоидальной характеристикой детектора. Результаты исследования обобщенной модели с данными типами нелинейностей: типы существующих в системе движений, их бифуркации и области существования в пространстве параметров, области устойчивости в целом, полоса захвата в зависимости от усиления.

4. Методика анализа дискретных СФС второго порядка с пилообразным фильтром для пилообразной и синусоидальной характеристикой детектора. Результаты, полученные при анализе обобщенной модели с данным фильтром: типы и качественные характеристики существующих в системе движений,

области устойчивости в большом и целом, полоса захвата в зависимости от параметров системы.

5. Результаты исследования ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора и нелинейным фильтром при наличии шума на входе системы, включая сравнительный анализ статистических областей глобальной устойчивости для ДСФС с различными типами нелинейности фильтра.

6. Результаты компьютерного моделирования импульсных и цифровых СФС второго порядка с различными типами нелинейных фильтров, включая полосу захвата для импульсных и цифровых систем.

7. Результаты экспериментальных исследований лабораторных модулей импульсных и цифровых СФС второго порядка с различными типами нелинейных фильтров, включая полосу захвата. Сравнительный анализ результатов, полученных при качественно-аналитическом, компьютерном и экспериментальном исследованиях.

Методы исследования. Для решения перечисленных задач в диссертационной работе используются общие и прикладные методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, методы анализа нелинейных разностных уравнений, теория точечных отображений, моделирование на ЭВМ.

Апробация результатов работы. Работа выполнялась в отраслевой научно-исследовательской лаборатории "Дискрет" в рамках ряда научно-исследовательских программ, проводимых кафедрой радиофизики Ярославского государственного университета в течение 1991-1997 г.г. по госбюджетным темам "Университеты России", "Исследование динамики дискретных и цифровых систем передачи информации". Основные результаты работы докладывались на Научно-технической конференции "Повышение качества и эффективности устройств синхронизации в системах связи" (Ярославль,1993), Международной научно-технической конференции "Цифровая обработка сигналов" (Ярославль, 1994), The Second International Scientific School-Seminar (Nizny Novgorod, 1994), Международной научной конференции "100 - летие начала использования электромагнитных волн для передачи сообщений и зарождения радиотехники" посвященная дню радио (Москва, 1995), Научно-техническом семинаре секции "Фазовой синхронизации" РНТО РЭС "Нелинейные свойства систем синхронизации" (С-Петербург, 1995), конференции "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук" (Ярославль, 1995), на IV конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, сентябрь 1996), конференции "Направления развития систем и средств радиосвязи" (Воронеж, 1997), LII Научной сессии, посвященной дню радио РНТО РЭС (Москва, 1997), 5-th Internetional Specialist Workshop. Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (Moskva, 1997).

По результатам исследований опубликовано 15 научных работ, в том числе: 3 статьи в центральной печати, 1 доклад в материалах международной конференции по нелинейной динамике, 2 доклада в материалах Всероссийских

конференций по системам связи, 5 тезисов докладов в материалах международных конференций и семинаров, 4 тезисов докладов в материалах Всероссийских и региональных конференций и семинаров.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения, заключения и списка литературы. Работа содержит 125 страниц текста, 42 страницы рисунков и 8 страниц списка литературы. Список литературы включает 93 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, выполнен обзор научной и технической литературы, обоснована актуальность, сформулированы цель, основные задачи и методы исследования, дана общая характеристика рассматриваемых систем и их особенности, кратко изложено содержание работы.

В первой главе выполнено моделирование различных классов дискретных систем фазовой синхронизации второго порядка с нелинейным фильтром в цепи управления. Рассмотрены следующие типы широко используемых на практике ДСФС:

- цифровые системы фазовой синхронизации с многоуровневым аналого-цифровым преобразователем фазы или многоуровневым аналого-цифровым квадратурным преобразователем входного сигнала;

- импульсные системы фазовой синхронизации с детектором «выборка-запоминание» и нелинейным аналоговым фильтром в цепи управления;

- импульсно-цифровые системы фазовой синхронизации с нелинейным цифровым каналом в цепи управления.

При моделировании рассматривались следующие характеристики нелинейных фильтров: ограничивающая и пилообразная (рис. 1).

'Ф(У)

1 м -м 'Ф(У)

м У -м

м

-м

м

а)

б)

Рис. 1.

В результате моделирования показано, что математические модели всех указанных классов систем могут быть сведены к отображению второго порядка, следующего вида:

'фп+1 = Фп (Ф) + хп (1)

Л+1 = 8 - ФМ,*(8 - хп) + в р(ф)),

где фп - разность фаз сигналов на входах фазового детектора в момент времени п; хп - нормированная разность частот входного сигнала и ПГ в момент

У

времени п; F(р) - характеристика фазового детектора; Ф(у) - характеристика нелинейности фильтра; M - максимальное значение Ф(у); а, в ^ - параметры системы; g - нормированная начальная расстройка.

Определены основные условия, ограничивающие применение обобщенной модели (1) для описания конкретных систем. Для цифровых систем это прежде всего конечность разрядной сетки отдельных узлов. Для импульсных СФС - это непостоянство периода дискретизации и произвольное время срабатывания (не кратное системному такту) нелинейности Ф(у) .

Наличие единой модели позволило в дальнейшем разработать и соответственно применить общие для различных по классу систем методики и алгоритмы исследования, основанные на единых качественно-аналитических подходах. Показано, что выбор для анализа систем плоскости параметров (а,в) при фиксированных значениях M, g, d позволяет легко интерпретировать результаты исследований в параметры и характеристики конкретных физических объектов.

Вторая глава диссертации посвящена анализу обобщенной модели (1) для случая пилообразной характеристики фазового детектора с различными типами фильтра в цепи управления. Исследование проведено в два этапа.

На первом этапе разработана методика исследования и рассмотрены свойства модели (1) для случая линейного фильтра. Исследована структура фазового пространства. Выделены линии Lрm и Lx,0, являющиеся линиями отображения с сохранением координат ршоё 2ш и x соответственно. Определены области линейного и нелинейного отображения Qm (при т>0 с увеличением координаты р, при т<0 с уменьшением координаты р). Найдены необходимые и достаточные условия существования периодических движений заданной структуры. На основе анализа структуры фазового пространства системы показано, что возникновение предельного цикла происходит при попадании всех его точек в соответствующие области Qm. Соответственно разрушение цикла происходит при выходе хотя бы одной из них из соответствующей области. Найдены аналитические выражения для точки произвольного цикла, в частности показано, что вектор 7-ой точки цикла некоторой! структуры периода к можно представить в виде

ЧуЦ+gЬ,

где 17 зависит от структуры цикла и выбора первой точки цикла на периоде

F(р). Ь = (Е - TL)(0,1)т - постоянный вектор. При изменении g точки произвольного цикла, не меняя взаимного расположения, сдвигаются в фазовом пространстве вдоль вектора Ь .

Построены области существования различных предельных циклов в пространстве параметров. Проанализировано их влияние на область устойчивости в целом системы. На основе проведенного анализа, для систем с линейным ПИФ ^<1) в цепи управления разработана эффективная методика

точного определения полосы захвата. В ее основу легло доказательство утверждения, что при выполнении условий \р<а(1 + й) + ^

[Р<а(й -1)

с ростом g возникают первыми циклы структуры (1/к). На основе предложенной методики получены точные зависимости полосы захвата от параметров СФС.

Для систем с линейным интегратором с форсированием показано, что пространство параметров разбито на три области, где существуют движения различных типов:

- только кратные захваты;

- только движения второго рода по координатам р и х с одним нелинейным отображением;

- циклы первого и второго рода, характеризующиеся несколькими нелинейными отображениями по обеим координатам.

На втором этапе анализа, на основе данных, полученных при исследовании систем с линейным фильтром, исследованы СФС с нелинейным фильтром.

1. Изучены основные свойства СФС с ограничивающей характеристикой фильтра. В результате анализа установлено, что тип движений определяется

взаимным расположением границ областей Qm (т=±1,±2...) и прямых Ьх,0 (т=±1,±2...).

Показано, что состояние синхронизма существует при условий:

Ь

р,т

выполнении

М + g >а

g (1 - й) (1 - й )а +в

(2)

- М + g <а

g (1 - й)

(1 - й )а + в

А при выполнении неравенства:

М>\в/(1-ф (3)

нелинейность Ф(у) не влияет на установившееся в системе движение.

Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы. Для каждого возможного в пределах области локальной устойчивости разбиения фазового пространства указаны типы существующих периодических движений и предельных притягивающих множеств. Получены области существования данных движений в пространстве параметров. Исследованы их бифуркации в зависимости от М. Исследован механизм возникновения-исчезновения периодических движений при изменении начальной расстройки. В частности установлено, что при незначительных g и малых М в системе существуют притягивающие множества двух типов, точки которых равномерно заполняют отрезки на границах нелинейности Ф(у) (циклы-интервалы). Описана структура этих множеств, найдены области их существования, исследованы их бифуркации.

На основе результатов проведенного анализа получены области устойчивости в целом СФС. Установлено их увеличение при незначительном росте g. Это связано с разрушением симметрии фазового пространства, что в свою очередь приводит к исчезновению циклов первого рода. Получены графики зависимостей полосы захвата системы от коэффициента усиления в кольце.

2. Исследованы динамические свойства СФС с пилообразной характеристикой фильтра в цепи управления. Фазовое пространство этой системы является торроидальным. Выделены соответствующие области Pm, из которых происходят нелинейные отображения по координате x, прямые Lxm отображения с сохранение координаты x mod 2M.

На основе анализа структуры фазового пространства найдены условия

' M + g <a

M+g<2-a

<

- M + g >-a

- M + g >-2 + a ,

при которых невозможны нелинейные отображения по р.

Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы. В результате анализа установлено, что в данной системе существуют семейства периодических движений с одинаковым периодом. Описано взаимное расположение областей существования циклов разных семейств в пространстве параметров. Показано, что оно повторяется в пространстве параметров (а в) для движений лежащих на разных периодах Ф(у).

При анализе установлено, что в данной системе могут существовать движения, эквивалентные состоянию синхронизма (Cm), возникновение которых обусловлено характером нелинейности фильтра. Их точки располагаются на пересечении линий Lxm и L(0. При нахождении системы в Ст, в отличие от основного состояния синхронизма, нелинейность фильтра успевает сработать несколько раз за одну итерацию. При этом поведение системы в окрестности Ст совпадает с поведением системы в окрестности основного состояния синхронизма. Показано, что Ст могут существовать даже при отсутствии основного состояния равновесия.

Исследована динамика изменения области глобальной устойчивости в зависимости от значения параметра M. В частности установлено, что для системы с нелинейным интегратором изменение области устойчивости в целом при изменении M качественно различно для M<1 и M>1. На основе проведенных исследований построены графики зависимостей полосы захвата системы от коэффициента усиления в кольце.

Третья глава диссертации посвящена анализу обобщенной модели для случая синусоидальной характеристики фазового детектора и различных фильтра в цепи управления. Как и во второй главе, исследование проведено в два этапа.

На первом этапе рассмотрены свойства модели (1) для случая линейного фильтра. Исследована структура фазового пространства.

На основе качественно-аналитического анализа найдены области параметров, при которых в системе существуют устойчивые предельные циклы первого и второго рода. В частности получена аналитическая оценка на параметры, при которых в системе невозможны движения с постоянным убыванием или возрастанием фазы:

при а>g+в/(1-d) , если а<1,

Проведен анализ устойчивости в целом стационарного состояния. Получена полоса захвата системы. Установлено, что с увеличением коэффициента усиления пропорционального канала в системе с линейным ПИФ наблюдается расширение полосы захвата при малых значениях обобщенного коэффициента усиления В и уменьшение при больших В.

Для системы с линейным интегратором найдены области существования различных периодических движения в пределах области локальной устойчивости системы. Для некоторых из них, границы этих областей получены аналитически.

На втором этапе анализа, на основе данных, полученных при исследовании систем с линейным фильтром, исследованы СФС с нелинейным фильтром.

1. Изучены основные свойства СФС с ограничивающей характеристикой фильтра. Установлено, что, как и для случая пилообразной характеристики детектора, состояние синхронизма существует при выполнении условий (2), а при выполнении неравенства (3) нелинейность Ф(у) не влияет на установившиеся в системе движения.

Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы. Получены аналитические оценки на параметры системы, при которых в СФС невозможны скольжения по фазе:

а > M+g, для а<1,

Га > М + g

{- arccos(1 / а) + ^а2 -1 + М + g <п/2, для а>1.

При анализе установлена возможность существования в системе дополнительных состояний синхронизма. Они располагаются на границах нелинейности Ф(у). Для существования таких движений необходимо, чтобы точки пересечения Lр0 и границ Ф(у) были притягивающими по координате х. Это будет выполняться для следующих условий: - а > М + g

если а>1.

М (g - М)(1 - d)

Показано, что поведение системы в окрестности этих состояний совпадает с поведением СФС первого порядка.

Проведен анализ области устойчивости в целом в зависимости от М. Установлено, что при малых М ее граница определяется двумя типами движений - циклами структуры (0/2)н, (0/1)н и может быть вычислена аналитически. Найдены значения М, при которых область устойчивости в целом практически совпадает с областью локальной устойчивости. Исследовано поведение системы при больших М. Установлено, что в этом случае область устойчивости ограничивается в основном периодическими движениями, характерными для системы с линейным фильтром.

Исследованы свойства системы при отличных от нуля расстройках. Найдены качественные различия в ее поведении для различных значений М. В частности установлено, что для малых М определяющими для области устойчивости будут условия существования состояния равновесия. Для больших М она будет определяться еще и циклами второго и первого рода. Причем преобладающими являются циклы структуры (1/2п), (0/3 2п).

На основе проведенного анализа получены графики полосы захвата для различных параметров системы.

2. Исследованы динамические свойства СФС пилообразной характеристикой фильтра в цепи управления. Найдены области параметров системы, где нелинейные свойства фильтра не играют роли. Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы.

Как и для ДСФС с пилообразной характеристикой детектора, установлено, что в данной системе существуют семейства периодических движений. Циклы одного семейства имеют одинаковый период, и разные абсолютные приращения координат ф, х. Описаны основные семейства циклов, найдены области их существования в пространстве параметров (а в).

Установлено, что в данной системе может одновременно существовать множество состояний синхронизма. Их координаты располагаются на пересечении линий Ьф0 и Ьхт. От основного эти состояния отличаются тем, что нелинейный фильтр в каждом из них за системный такт успевает несколько раз сброситься.

Изучены возможные типы устойчивых предельных движений в системе. В частности, установлено, что устойчивые предельные множества в данной системе возникают при нелинейном продолжении неустойчивой сепаратрисы седла за границы Ф(у). Рассмотрены возможные типы данных множеств, найдены области их существования в пространстве параметров.

На основе проведенного анализа построены графики полосы захвата. Установлено, что в основном она ограничивается циклами второго рода по х. С этим связано ее значительное уменьшение по сравнению с системой с ограничивающим фильтром.

3. Исследованы свойства системы при наличии на входе дополнительного шумового воздействия. Численными методами получены значения

стационарной плотности вероятности для различных значений параметров системы.

Установлено, что периодические движения могут разрушаться при наличии шума. Это позволило ввести понятие статистической области глобальной устойчивости (СОГУ). Данная область определяет параметры системы, в которых среднее время до срыва состояния синхронизма не меньше заданной величины и среднее время попадания в окрестность состояния синхронизма не больше заданной величины. Исследована СОГУ в зависимости от параметров системы. Установлено, что наибольшее расширение ее по сравнению с областью глобальной устойчивости происходит в системах с пилообразным фильтром, так как в данном случае область глобальной устойчивости в основном ограничивается движениями, области притяжения которых в фазовом пространстве малы по сравнению с областью притяжения состояния синхронизма.

В четвертой главе проведено компьютерное моделирование импульсной и цифровой систем фазовой синхронизации с учетом особенностей режимов работы устройств и их отдельных узлов, приведены результаты экспериментальных исследований цифровой системы фазовой синхронизации на базе аппаратно-программного комплекса «цифровые системы» и лабораторного модуля синтезатора частоты на основе импульсной системы фазовой синхронизации.

С помощью разработанных компьютерных моделей импульсной и цифровой систем фазовой синхронизации с нелинейными фильтрами проведены исследования динамических характеристик системы, включая определение полосы захвата и областей существования различных периодических движений для широкого диапазона изменения параметров.

На основании полученных результатов исследования полосы захвата и динамических характеристик компьютерной модели цифровой СФС установлено практически полное совпадение с результатами теоретических исследований математической модели, рассмотренной во второй и третьей главах диссертации.

На основании полученных результатов исследования полосы захвата компьютерной модели импульсной СФС установлено качественное совпадение с данными теоретических исследований математической модели, рассмотренной во второй и третьей главах диссертации. Количественные отличия объясняются учетом в модели переменного периода дискретизации в кольце и произвольного времени срабатывания нелинейности фильтра.

Проведены экспериментальные исследования полосы захвата импульсной и цифровой СФС. В целом, установлено хорошее совпадение с результатами моделирующего алгоритма. Количественное расхождение не превышает 5%.

Проведен сравнительный анализ результатов исследований компьютерной модели, лабораторных модулей и обобщенной модели ДСФС (главы 1-3), который подтвердил совпадение основных результатов экспериментальных испытаний и аналитических исследований.

В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведено моделирование различных типов ДСФС с нелинейным фильтром в цепи управления и получена обобщенная математическая модель, наличие которой позволило разработать и применить единые для различных по классу систем методики и алгоритмы исследования, основанные на общих качественно-аналитических подходах.

2. Предложена методика нелинейного анализа дискретных систем фазовой синхронизации второго порядка с линейным фильтром, на основании которой получены результаты нелинейного анализа дискретных СФС второго порядка с пилообразной и синусоидальной характеристиками фазового детектора, включая области существования в пространстве параметров различных периодических движений, точные значения областей устойчивости в целом состояния синхронизма, графики зависимости полосы захвата от параметров системы.

3. На основе разработанной методики выполнен анализ дискретных СФС с ограничивающим фильтром для случая пилообразной и синусоидальной характеристик детектора. Исследованы общие свойства систем данного типа. Найдены условия на параметры системы, при которых область устойчивости в целом определяется условиями существования состояния равновесия и может быть вычислена аналитически. Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы и влияние на область устойчивости в целом. Построены графики полосы захвата в зависимости от значений параметров системы. Показаны ее качественные изменения в зависимости от параметров нелинейного фильтра.

4. Проанализированы динамические свойства ДСФС с пилообразным фильтром для случая пилообразной и синусоидальной характеристик детектора. Исследованы общие свойства систем данного типа. Рассмотрены наиболее типичные периодические движения и их бифуркации. В пространстве параметров построены области устойчивости в целом. Исследовано их изменение в зависимости от параметров системы. Изучена зависимость полосы захвата от параметров нелинейного фильтра. Проведен сравнительный анализ областей захвата ДСФС с ограничивающим и пилообразным фильтром.

5. Разработаны компьютерные модели импульсной и цифровой систем синхронизации, учитывающие свойства реальных узлов и позволяющие проводить исследования для произвольных значений параметров устройств. Получены результаты исследований компьютерной модели и лабораторных модулей импульсных и цифровых СФС для различных типов нелинейности детектора и фильтра. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных качественно-аналитическими методами, на основе компьютерного моделирования и на основе экспериментальных исследований. По итогам

выполненных исследований предложены рекомендации по выбору параметров и режимов управления ДСФС с нелинейным фильтром, обеспечивающих наибольшие области захвата в системе.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Анализ двумерного отображения системы фазовой синхронизации с двумя нелинейностями. // "Нелинейные колебания механических систем" : Тез. докладов III научн. конф. - Н. Новгород. - 1993. -С.88.

2. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Анализ дискретной СФС третьего порядка // Научная сессия НТОРЭС, посвященной дню радио: Тез. докладов 48 сессии. -Москва. - 1993. - С.152.

3. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Применение многомерных точечных отображений для исследования дискретных систем фазовой синхронизации // Научно-техническая конференция "Повышение качества и эффективности устройств синхронизации в системах связи": Тез. докладов. - Ярославль. - 1993.

- С.1.

4. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Анализ динамики дискретной СФС второго порядка // Научно-техническая конференция "Повышение качества и эффективности устройств синхронизации в системах связи": Тез. докладов. -Ярославль. - 1993. - С.42.

5. Широков Ю.В., Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Нелинейная динамика взаимосвязанных цепей с фазовым управлением (на английском языке) // "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena": Abstracts of the Second International Scientific School-Seminar. - Nizny Novgorod. - 1994. - P.76.

6 Широков Ю.В., Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Нелинейная динамика взаимосвязанных систем фазовой синхронизации (на английском языке) // "Bifurcations and Chaos": Abstracts of the School-Conferense was supported by Ukrinian Academy of Sciences. - Kotsiveli, Ukraine. - 1994. - P.48.

7. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации второго порядка // Радиотехника и электроника. - Т.40. № 5.- 1995. - С.823-829.

8. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Динамика дискретной системы второго порядка с несколькими нелинейностями // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника.

- № 3. - 1995. - С.61-68.

9. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Исследование цифровой СФС с нелинейным интегратором в цепи обратной связи. // "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук": Тез. докладов. - Ярославль. - 1995. - С.92.

10. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю., Палей Д.Э. Синтезатор частоты с улучшенными спектральными характеристиками // "Направления развития систем и средств радиосвязи": Тез. докладов научн. техн. конф. - Воронеж. -1996. - Т.3. С. 1181-1186.

11. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Динамика дискретной системы фазовой синхронизации с двумя нелинейностями // "Нелинейные колебания механических систем": Тез. докладов IV научн. конф. - Н. Новгород, - 1996. -С.117.

12 . Палей Д.Э. Устойчивость дискретной СФС с нелинейным фильтром при наличии шума. // "Направления развития систем и средств радиосвязи": Труды научн. техн. конф. - Воронеж. - 1997. - Т.3. C. 1269-1274.

13. Палей Д. Э. Нелинейная динамика дискретной системы фазовой синхронизации с двумя нелинейностями // Научная сессия НТОРЭС, посвященная дню радио: Тез. докладов LII сессии. - Москва. - 1997. - С. 137.

14. Палей Д. Э. Динамические свойства дискретной системы фазовой синхронизации с двумя нелинейностями (на английском языке) // Nonlinear Dynamics of Electronic Systems: Proceedings of 5-th Internetional Specialist Workshop. - Moskva. - 1997. - P.63-68.

15. Казаков Л.Н., Палей Д.Э Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации третьего порядка с пилообразной характеристикой детектора // Радиотехника. - № 1. - 1998. - С.29-35.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Математические модели дискретных СФС с двумя нелинейностями.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Математическая модель цифровой СФС.

1.3. Математическая модель импульсной СФС.

1.4. Математическая модель импульсно-цифровой СФС.

1.5. Выводы.

ГЛАВА 2. Динамика ДСФС с пилообразной характеристикой детектора.

2.1. Система с линейным фильтром в цепи управления.

2.1.1. Общие свойства СФС с пилообразной характеристикой детектора.

2.1.2. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления.

2.1.3. Система с интегратором в цепи управления.

2.2. Система с ограничивающим фильтром в цепи управления.

2.2.1. Общие свойства ДСФС с ограничивающим фильтром.

2.2.2. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления.

2.2.3. Система с интегратором в цепи управления.

2.3. Система с пилообразным фильтром в цепи управления.

2.3.1. Общие свойства ДСФС с пилообразным фильтром.

2.3.2. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления.

2.3.3. Система с интегратором в цепи управления.

2.4. Выводы.

ГЛАВА 3. Динамика ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора

3.1. Система с линейным фильтром в цепи управления.

3.1.1. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления.

3.1.2. Система с интегратором в цепи управления.

3.2. Система с ограничивающим фильтром в цепи управления.

3.2.1. Общие свойства ДСФС с синусоидальной характеристикой

ФД и ограничивающим фильтром.

3.2.2. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления.

3.2.3. Система с интегратором в цепи управления.

3.3. Система с пилообразным фильтром в цепи управления.

3.3.1. Общие свойства ДСФС синусоидальной характеристикой

ФД и пилообразным фильтром.

3.3.2. Система с пропорционально интегрирующим фильтром в цепи управления.

3.3.3. Система с интегратором в цепи управления.

3.4. Статистическая динамика ДСФС с синусоидальным детектором и нелинейным фильтром.

3.4.1. Постановка задачи.

3.4.2. Стохастическая модель и описание движений в ДСФС с нелинейным фильтром.

3.4.3. Исследование статистической области глобальной устойчивости.

3.5. Выводы.

ГЛАВА 4. Экспериментальные исследования ДСФС с нелинейным фильтром.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Компьютерное моделирование импульсной СФС с интегратором в цепи управления.

4.2.1. Блок-схема моделирующего алгоритма.

4.2.2. Анализ результатов исследования компьютерной модели.

4.3. Экспериментальные исследования однокольцевого синтезатора частоты КВ-диапазона.

4.4. Экспериментальные исследования цифровой СФС с квадратурным аналого-цифровым преобразователем на входе.

4.4.1. Описание програмно-аппаратного комплекса «Цифровые системы».

4.4.2. Блок-схема алгоритма экспериментальных исследований.

4.4.3. Анализ результатов эксперимента.

4.5. Выводы.

Системы фазовой синхронизации (СФС) нашли в настоящее время широкое применение во многих областях радиотехники, таких как радиопередающие и радиоприемные системы, радиолокация и радионавигация, радиоизмерительная техника и т. д. [1-6]. Примером могут служить современные цифровые радиоприемные системы, в которых с помощью СФС решается целый ряд задач. Среди них синхронизация несущих колебаний, синхронизация и демодуляция поднесущих и модулирующих колебаний, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, синхронизация и свертка псевдослучайной последовательности в системах связи с использованием широкополосных сигналов [7-11].

Как правило, основу вышеперечисленных систем составляют дискретные системы фазовой синхронизации (ДСФС). Путем оптимизации структуры колец, типов входящих в них узлов, и, в первую очередь, фильтров цепи управления можно создавать варианты систем, обладающие требуемыми характеристиками по точности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции [10,11]. За счет усложнения алгоритмов обработки и реализующих их устройств появляется возможность создавать гибкие алгоритмы обработки информации, оптимизации различных параметров и характеристик.

Отдельно следует сказать о системах частотного синтеза, которые строятся на основе дискретных колец фазовой синхронизации [12-19]. В диапазонах метровых, дециметровых и сантиметровых волн подобные системы пользуются большой популярностью. Здесь также за счет усложнения цепей управления, и соответственно алгоритмов управления можно значительно повысить эффективность, расширить функциональные возможности. Например, наряду с традиционным применением использование колец, обладающих высокими астатическими свойствами, позволяет совместить в синтезаторе функцию синтеза высокостабильной по частоте несущей с ее угловой модуляцией [22,23]. Использование различных режимов управления фильтрами, как правило нелинейными, позволяет достичь высоких характеристик синтезируемых сигналов.

Приведенные примеры говорят о том, что существует устойчивая тенденция расширения области применения систем фазовой синхронизации. Развитие дискретных и цифровых технологий только усиливает ее. С другой стороны, необходимо понимать, что увеличение области применения, связанное в том числе и с расширением функциональных возможностей СФС, предполагает усложнение алгоритмов управления, а это напрямую связано с использованием сугубо нелинейных режимов функционирования.

В пользу этого говорит хотя бы следующий очевидный факт. Для эффективного использования СФС необходимо, чтобы состояние синхронизма обеспечивалось как можно в более широкой области значений параметров и начальных расстроек по частоте. Это, в свою очередь, невозможно без функционирования системы на границе предельных нелинейных режимов. При этом нелинейные свойства будут определяться не только фазовым детектором, но и другими звеньями, например фильтром цепи управления. Так наличие в кольце СФС фильтра нижних частот астатического типа (аналогового для импульсных систем и цифрового для цифровых систем) при наличии больших расстроек по частоте зачастую приводит к подобным режимам. Вид нелинейность фильтра зависит от конкретной реализации и может быть различным.

Другим примером может служить искусственное введение нелинейности в цепь управления с целью придания системе требуемых свойств и характеристик. Примером может служить двусторонний ограничитель для уменьшения диапазона расстроек по частоте. Подобная нелинейность позволяет избежать возникновения кратных захватов по частоте и других паразитных движений. Т.е., удачный выбор нелинейного фильтра позволяет не только оптимизировать динамические свойства системы, такие как область устойчивости в большом или в целом, характер движения, переходные процессы, но и придавать системе совершенно новые качества, получение которых невозможно в системе с линейным фильтром.

Таким образом, можно утверждать, что задача повышения эффективности существующих и вновь созданных типов устройств на основе дискретных СФС достаточно актуальна. С другой стороны решение этой проблемы неразрывно связано с анализом нелинейных режимов систем, при котором учитываются не только нелинейные свойства фазового детектора, но и других узлов - в первую очередь фильтра нижних частот цепи управления. Т.е. речь идет об исследовании моделей дискретных СФС, имеющих несколько нелинейностей. При этом одна из них периодическая, обусловленная фазовым детектором (синусоидальная, пилообразная, треугольная и т.д.), вторая, обусловленная нелинейными свойствами фильтра, может быть периодической, либо непериодической - ограничивающей. Периодическая (чаще пилообразная) нелинейность характерна для цифровых интегрирующих фильтров со сбросом по переполнению [7,14]. Нелинейность ограничивающего типа характерна для аналоговых фильтров (например при реализации их на операционном усилителе) и цифровых с переполнением без сброса [3,7,14].

Рис. В.1. Структурная схема синхронно-фазового демодулятора на основе цифровой СФС с нелинейным цифровым фильтром.

На рис. В.1, В.2 приведены типичные структурные схемы цифровой и импульсной систем фазовой синхронизации с нелинейными фильтрами в цепи управления. На рис. В.1 показана схема синхронно-фазового демодулятора с квадратурным аналого-цифровым преобразователем на входе. В качестве сглаживающего фильтра применяется интегрирующий фильтр с конечной разрядной сеткой на основе накопительной схемы с параллельным форсирующим каналом. В зависимости от алгоритма переполнения сумматора типичными являются два варианта нелинейной функции, описывающей фильтр. Это линейная с насыщением и пилообразная функции. Далее нелинейные фильтры с такими характеристиками будем называть соответственно ограничивающим и пилообразным. При значении коэффициента передачи усилителя кода d равном единице цифровой фильтр будет представлять из себя нелинейный интегратор с форсированием, при значении d меньше единицы -пропорционально-интегрирующий фильтр. N

НОН M

ИФД

ИмодхО)

Ж.

ДПКД ивых(1)

ПГ ФНЧ rHN,

1 ,Ф(у) г.

-У f Е

Цмод2(1;)

Рис. В.2. Структурная схема возбудителя ЧМ-колебаний на основе импульсной СФС.

На рис. В.2 показана схема возбудителя ЧМ-колебаний на основе однокольцевого синтезатора с возможной одноточечной (в низкочастотном или высокочастотном каналах) или двухточечной (одновременно в двух каналах) модуляцией [22,23]. Фильтр нижних частот канала управления является астатическим звеном и представляет собой интегратор с форсированием. Его свойства описываются нелинейной с насыщением функцией, соответственно фильтр является ограничивающим. Постановка астатического звена вызвана требованием малых фазовых ошибок в канале модуляции. С другой стороны применение интегратора с большой вероятностью приводит к срабатыванию нелинейности фильтра, что в свою очередь обуславливает необходимость учета нелинейных свойств фильтров при разработке подобных устройств.

Приведенные схемы ДСФС с нелинейным фильтром являются определяющими при построении обобщенной модели, представляющей собой предмет исследования диссертации.

Необходимо отметить, что модель дискретной СФС с двумя и более нелинейностями представляет собой достаточно сложный объект исследования, практически неизученный до недавнего времени. Основные причины кроются в отсутствии достаточно развитой теории подобных систем. До недавнего времени, несмотря на большое число публикаций, не было полной картины поведения дискретных СФС второго и выше порядков даже с линейным фильтром, не говоря о двух нелинейностях. Можно утверждать, что для произвольных параметров до сих пор не решена основная задача нелинейной динамики дискретных СФС - задача о глобальной устойчивости или устойчивости в целом состояния синхронизма.

В лучшем случае для систем второго и выше даже для наиболее простых типов нелинейностей существует лишь оценки областей устойчивости в целом (полосы захвата). В подтверждение этого можно указать ряд работ Пестрякова А. В. [24-27], в которых для анализа динамики дискретных систем синхронизации применяются асимптотические методы, в частности метод усреднения. С его помощью получены оценки на время переходных процессов и области устойчивости в целом для разного типа дискретных систем синхронизации. Однако эта методика применима лишь в тех случаях, когда движения в системе можно разделить на медленные и быстрые. Методы оценки полосы захвата систем, базирующиеся на применении частотных критериев развиты в работах Леонова Г. А., Корякина Ю.А. [28,29]. Предложенная методика позволяет анализировать системы произвольного порядка с практически произвольной формой характеристики фазового детектора. Вместе с тем оценки, получаемые в результате зачастую сильно занижены, что не может удовлетворить практические потребности разработчиков. С использованием метода точечных отображений анализируются динамические свойства систем в работах Белыха В.Н., Максакова В.П., Лебедевой Л.В. Так в работах [30-32] рассмотрены свойства цифровой СФС с характеристикой фазового детектора типа Sign. На основе качественного анализа фазовых траекторий получены оценки на область глобальной устойчивости этой системы. В работах [33,34] исследована динамика моделей дискретных СФС первого и второго порядков с синусоидальной характеристикой ФД. Однако при исследовании систем второго порядка авторы ограничились случаем нулевых начальных расстроек, что ограничивает практическую применимость полученных результатов. В работах Шахтарина Б.И. [35-38] для исследования непрерывных и дискретных СФС применяются квазигармонический и численный методы. Исследования проведены для произвольной характеристики фазового детектора. Вместе с тем, при аналитическом и качественном анализе рассмотрены движения только простейших типов. Это также ограничивает применимость полученных результатов.

В отличие от использованных в перечисленных работах методов, автором диссертации была предложена методика исследования дискретных СФС с линейным фильтром, позволяющая в ряде случаев получить точный или близкий к нему результат. В первую очередь это касается анализа области глобальной устойчивости. Методика ориентирована на исследование нелинейной динамики дискретных и цифровых систем с разрывными и гладкими нелинейностями и опирается на качественно-аналитические методы, основу которых составляет анализ структуры фазового пространства системы. Методика позволяет описать условия перехода вектора состояния системы из одной области фазового пространства в другую, характерные для данной структуры фазового пространства движения, и наконец позволяет получить условия существования различных движений, включая сложные. В ряде случаев применение методики позволило получить аналитические условия существования периодических и квазипериодических движений, что в конечном итоге позволило найти в пространстве параметров точные границы области глобальной устойчивости системы. Так в работах [39,40] предложен и развит простой алгоритм точного определения полосы захвата ДСФС второго порядка с пилообразной характеристикой детектора и линейным фильтром.

Относительно систем фазовой синхронизации с несколькими нелинейностями можно назвать ограниченное число работ. В основном все они касаются исследования дискретных СФС c торроидальным фазовым пространством либо исследования многокольцевых систем синхронизации. В работах Федосовой Т. С., Паушкиной Т. К. рассматриваются модели СФС с двумя периодическими нелинейностями [41-43]. Однако полученные в работах результаты следует считать достаточно ограниченными поскольку для описания дискретных систем использовались их непрерывные аналоги. В работах [44,45] Казакова Л.Н., Широкова Ю.В. рассмотрен ряд задач по исследованию синтезаторов на основе дискретных связанных колец фазовой синхронизации. Получены результаты, имеющие научное и практическое значение. Связанные системы описываются дискретными моделями с двумя нелинейностями и, следовательно, могут быть отнесены к классу дискретных систем с несколькими периодическими нелинейностями. Их принципиальной особенностью является наличие двух равноправных периодических координат (координаты являются аргументами периодических функций - это разность фаз на выходах фазовых детекторов каждого из колец). Это придает особенности и методам исследования подобных систем, основанных на качественно-аналитическом подходе. Можно говорить например о полной симметрии фазового пространства. В целом эти модели можно рассматривать как частный случай системы с периодическими нелинейностями.

Автор диссертации предложил и развил методику исследования дискретных систем с двумя нелинейностями для достаточно общего случая кусочно-линейных типов характеристик фильтра. В работе [46] методика, использовавшаяся при анализе систем с линейным фильтром и пилообразной характеристикой детектора была развита для случая СФС с двумя нелинейностями. В частности она позволила получить точные значения области глобальной устойчивости системы для случая ограничивающего пропорционально-интегрирующего фильтра.

В работах [47-49] рассмотрены свойства системы с синусоидальной характеристикой детектора и двумя различными типами нелинейности фильтра - ограничивающей и линейной со сбросом.

Диссертационная работа является обобщением полученных ранее результатов а также развитием методики исследований и применением ее к изучению дискретных систем синхронизации с двумя нелинейностями.

Целью диссертационной работы является исследование динамики дискретных систем фазовой синхронизации второго порядка с нелинейными фильтрами в цепи управления, включая изучение общих свойств систем с фильтрами различного типа, вопросы анализа периодических и квазипериодических движений, устойчивости в большом и целом состояния синхронизма.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) разработка обобщенной модели импульсных и цифровых систем фазовой синхронизации с различными типами фазовых детекторов и нелинейных фильтров в цепи управления;

2) разработка методики исследования периодических и квазипериодических движений в ДСФС с пилообразной характеристикой детектора с пилообразным и ограничивающим фильтром в цепи управления, включая вопросы устойчивости в большом и целом состояния синхронизма;

3) разработка методики исследования и анализ периодических и квазипериодических движений в ДСФС с синусоидальной характеристикой детектора с пилообразным и ограничивающим фильтром в цепи управления, включая вопросы устойчивости в большом и целом состояния синхронизма;

4) разработка методики исследования и анализ динамических свойств ДСФС с пилообразным и ограничивающим фильтром в цепи управления при наличии шумового входного воздействия, включая вопросы статистических характеристик периодических движений, состояния синхронизма, области устойчивости в целом;

5) компьютерное моделирование импульсных и цифровых систем фазовой синхронизации, исследование их динамических характеристик с учетом реального поведения отдельных узлов;

6) проведение экспериментальных исследований импульсной системы фазовой синхронизации с нелинейным астатическим фильтром и цифрового синхронно-фазового демодулятора с квадратурным преобразователем на входе, проверка основных результатов теоретических исследований.

Научная новизна и практическая значимость диссертационной работы заключаются в разработке общей методики анализа дискретных систем фазовой синхронизации с различными типами нелинейных фильтров, в результатах исследования нелинейной динамики дискретных систем с ограничивающим и пилообразным фильтром в цепи управления для пилообразной и синусоидальной характеристик фазового детектора, включая результаты устойчивости в большом и целом состояния синхронизма с учетом и без учета шумового воздействия на систему. Также они заключается в методике и результатах компьютерного моделирования импульсной СФС с астатическим фильтром и цифрового синхронно-фазового модулятора с квадратурным аналого-цифровым преобразователем на входе. Полученные результаты имеют практическое значение для разработки и проектирования различных радиотехнических устройств на основе импульсных и цифровых систем фазовой синхронизации, в частности возбудителей ЧМ-колебаний и разного рода синхронно-фазовых демодуляторов. Многочисленные графики и рисунки позволяют поводить оптимизацию и сравнительный анализ поведения систем с различными типами нелинейных фильтров для широкого диапазона изменения параметров.

К числу основных результатов диссертационной работы следует отнести:

1) обобщенные модели дискретных систем фазовой синхронизации с нелинейным фильтром в цепи управления;

2) методику нелинейного анализа и результаты исследования СФС с пилообразной характеристикой ФД и двумя типами нелинейности фильтра в цепи управления: ограничивающим и пилообразным;

3) методику нелинейного анализа и результаты исследования СФС с синусоидальной характеристикой ФД и двумя типами нелинейности фильтра в цепи управления: ограничивающим и пилообразным;

4) методику и результаты исследования статистических характеристик периодических движений, состояния синхронизма, области устойчивости в целом ДСФС с синусоидальной характеристикой ФД и двумя типами нелинейности фильтра в цепи управления: ограничивающим и пилообразным;

5) области устойчивости в целом и полосу захвата ДСФС с различными типами детекторов и фильтров в цепи управления, полученные с помощью компьютерного моделирования;

6) результаты, полученные при компьютерном моделировании импульсных и цифровых систем фазовой синхронизации с нелинейными фильтрами;

7) динамические характеристики экспериментальных макетов возбудителя ЧМ-колебаний и цифрового синхронно-фазового демодулятора.

Методы исследования. Для решения перечисленных задач в диссертационной работе используются общие и прикладные методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, методы анализа нелинейных разностных уравнений, теория точечных отображений, моделирование на ЭВМ.

Структура диссертационной работы состоит из четырех глав, введения и заключения.

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность, сформулированы цель, основные задачи и методы исследования, дана общая характеристика рассматриваемых систем, кратко изложено содержание работы.

В первой главе получены и проанализированы модели импульсных и цифровых СФС второго порядка с нелинейными фильтрами в цепи управления различного типа. В качестве нелинейных фильтров рассмотрены пропорционально-интегрирующий фильтр с ограничивающей и пилообразной нелинейностью и интегратор с форсированием также с ограничивающей и пилообразной нелинейностью. Показано, что при соответствующих допущениях, все рассмотренные модели имеют общий вид. Это позволяет в дальнейшем исследовать свести исследование к изучению обобщенной СФС с двумя нелинейностями.

Во второй главе предложена методика и выполнены исследования дискретной СФС с пилообразной характеристикой фазового детектора и различными типами фильтра в цепи управления. Исследование проведено в два этапа. На первом, на основе предложенной методики, исследуется нелинейная динамика системы с линейным пропорционально-интегрирующим фильтром и интегратором с форсированием. На основе анализа структуры фазового пространства возможные в системе периодические движения, рассмотрены их основные бифуркации, получены точные значения областей устойчивости в целом состояния синхронизма и графики полосы захвата.

На втором этапе, на основе свойств системы с линейным фильтром, исследовано поведение систем с нелинейным фильтром: пилообразным и ограничивающим. Найдены области параметров системы, где нелинейные свойства фильтра не оказывают влияния на работу системы. Для каждого типа нелинейности фильтра изучено ее влияние на области существования и бифуркации предельных циклов. На основе полученных результатов построены области глобальной устойчивости СФС. Проведен сравнительный анализ характеристик систем с различными типами нелинейности фильтра.

В третьей главе предложена методика и выполнены исследования дискретной СФС с синусоидальной характеристикой фазового детектора и различными типами фильтра в цепи управления. Исследование также проведено в два этапа. На первом этапе проанализировано поведение систем с линейным пропорционально-интегрирующим фильтром и интегратором с форсированием. Исследованы возможные в системе типы периодических движений и притягивающих инвариантных множеств, изучена структура фазового пространства, соответствующая их возникновению. В пространстве параметров получены области существования основных предельных циклов, изучены их основные бифуркации. На основе проведенного анализа получены точные значения границ областей глобальной устойчивости и графики полосы захвата.

На втором этапе, на основе результатов исследования систем с линейным фильтром, рассмотрены свойства ДСФС с нелинейным фильтром: пилообразным и ограничивающим. Изучено влияние нелинейных свойств фильтра на динамические характеристики системы, включая структуру фазового пространства, основные бифуркации периодических движений и их области существования. Получены аналитические оценки на области существования движений определенного типа. На основе полученных результатов проанализировано влияние параметров второй нелинейности на области глобальной устойчивости и полоса захвата. Проведен сравнительный анализ характеристик систем с различными типами нелинейности фильтра.

В четвертой главе на основе компьютерного моделирования проведены исследования динамических характеристик, области устойчивости в целом и полосы захвата импульсной СФС с астатическим ограничивающим фильтром в цепи управления и цифрового синхронно-фазового демодулятора с квадратурным аналого-цифровым преобразователем на входе и с нелинейным (ограничивающим и пилообразным) фильтром в цепи управления. Использование для этих целей моделирующего алгоритма позволило уточнить построенные ранее модели и получить результаты, учитывающие целый ряд дополнительных факторов. Для импульсных систем это прежде всего переменный интервал дискретизации, отличие реального фазового детектора выборка-запоминание от экстраполятора нулевого порядка. Для цифровых систем - это конечность разрядной сетки узлов системы. На базе двух экспериментальных макетов: импульсной СФС с интегратором в цепи управления и цифрового синхронно-фазового демодулятора проверены основные результаты, полученные при анализе математических и компьютерных моделей. Проведено исследование динамических характеристик, областей устойчивости в целом, полосы захвата. Сравнительный анализ подтвердил совпадение основных результатов теоретических и экспериментальных исследований.

В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе.

1. Математические модели дискретных СФС с двумя нелинейностями

1.1. Постановка задачи

Основной целью главы является построение единой обобщенной модели разных по классу дискретных (импульсных и цифровых) систем фазовой синхронизации второго порядка с нелинейным фильтром в цепи управления. Задача связана с описанием систем не по технологическому признаку а по типу функций, описывающих нелинейные узлы. Вид характеристик нелинейных фильтров, рассматриваемых в диссертации приведен на рис. 1.1.

Рис. 1.1.

Рассматриваются следующие классы широко используемых на практике систем фазовой синхронизации:

1) цифровые системы фазовой синхронизации с многоуровневым аналого-цифровым преобразователем фазы или многоуровневым аналого-цифровым квадратурным преобразователем входного сигнала;

2) импульсные системы фазовой синхронизации c детектором «выборка-запоминание» и нелинейным аналоговым фильтром в цепи управления;

3) импульсно-цифровые системы фазовой синхронизации с нелинейным цифровым каналом в цепи управления.

В главе будет показано, что обобщенная математическая модель имеет вид отображения второго порядка

1 =Vn -aF(Pn) + xn (111)

Xn+1 = g - ,d(g - Xn) + в F(<Pn)), где )n - разность фаз сигналов на входах фазового детектора в момент времени n; xn - нормированная разность частот входного сигнала и ПГ в момент времени n; F()) - характеристика фазового детектора; Ф(у) - характеристика нелинейности фильтра; M - максимальное значение Ф(у); а, в ,d - параметры системы; g - нормированная начальная расстройка.

Наличие единой модели позволит в дальнейшем разрабатывать и соответственно применять общие для различных по классу систем методики и алгоритмы исследования, основанные на единых качественно-аналитических подходах.

Получим эту модель и определим основные условия, ограничивающие применение обобщенной модели для описания конкретных систем.

4.5. Выводы

1. Для проверки результатов анализа обобщенной модели и проведения дополнительных исследований, учитывающих допущения, сделанные при выводе обобщенной модели, разработана компьютерная модель импульсной и цифровой систем фазовой синхронизации. Модель реализована в виде программного комплекса для ЭВМ и позволяет проводить исследования динамических характеристик системы, включая определение полосы захвата для широкого диапазона изменения параметров системы.

2. С помощью компьютерной модели исследована ИСФС с ограничивающим интегратором в цепи управления. Исследования показали качественное совпадение результатов компьютерного эксперимента и исследований обобщенной модели. Количественные отличия связаны с учетом в компьютерной модели переменного интервала дискретизации и произвольного времени срабатывания нелинейности фильтра. В частности установлено, что за счет переменного интервала дискретизации для положительных расстроек области существования движений, ограничивающих полосу захвата, перемещаются в область меньших усилений. И наоборот, для отрицательных расстроек - в область больших усилений. При этом для положительных расстроек полоса захвата компьютерной модели проходит ниже значений, полученных при исследовании обобщенной модели, для отрицательных расстроек - выше.

3. С целью проверки результатов исследования обобщенной модели ИСФС с нелинейным интегратором разработан лабораторный модуль однокольцевого синтезатора частоты КВ-диапазона. Исследования синтезатора показали высокую степень совпадения экспериментальных результатов и результатов компьютерного моделирования для различных значений физически реализуемых параметров. Подтверждены качественно и количественно все тенденции изменения динамических свойств ИСФС.

4. С целью проверки результатов исследования обобщенной модели цифровых СФС был разработан программно-аппаратный комплекс, позволяющий выполнять компьютерные исследования ЦСФС с нелинейным фильтром и исследовать компьютерную модель. Исследования системы с различными типами нелинейных фильтров в цепи управления:

165 ограничивающим и пилообразным ПИФ, пилообразным интегратором показали высокое совпадение с результатами исследования обобщенной модели.

5. Применение програмно-аппаратного комплекса в режиме работы с реальным сигналом также подтвердило совпадение с результатами исследований обобщенной модели. Некоторая разница объясняется не функционированием программной части системы (собственно ЦСФС), а неидентичностью квадратурных каналов входного цифро-аналогового преобразователя.

6. Выработаны рекомендации по управлению состоянием системы с целью расширения полосы захвата. Для импульсных и цифровых систем с ограничивающим фильтром они заключаются в предустановке начального состояния интегратора в насыщение, знак которого зависит от знака начальной расстройки. Для цифровых систем с пилообразным фильтром - в предустановке знака начальной разности фаз в зависимости от знака частотной расстройки.

Заключение

1. В диссертационной работе исследована нелинейная динамика нескольких типов дискретных систем фазовой синхронизации с нелинейным фильтром в цепи управления, объединенных одной математической моделью. Рассмотрены фильтры с двумя вариантами наиболее часто встречающихся на практике нелинейностей: ограничивающей и пилообразной. Ограничивающая нелинейность характерна для импульсных, цифровых и импульсно-цифровых систем синхронизации, пилообразная - для цифровых и импульсно-цифровых.

2. Предложена обобщенная математическая модель дискретных СФС с нелинейным фильтром. Ее нелинейная динамика явилась объектом исследований, включая области существования периодических и квазипериодических движений, их устойчивость, бифуркации в зависимости от различных параметров, области устойчивости в большом и целом состояний синхронизма. Обоснован выбор параметров обобщенной модели для представления результатов исследований, обеспечивающий наилучшую физическую интерпретацию результатов исследования.

3. Для исследования обобщенной модели предложена методика, основанная на качественно-аналитическом анализе процессов в дискретных системах. Отличительной ее особенностью является анализ структуры фазового пространства на основе выделения в нем областей линейного и нелинейного отображения, линий отображения с заданным изменением координат, и, в конечном итоге, нахождение условий изменения качественного поведения системы. На первом этапе исследуется обобщенная модель с линейным фильтром. На втором этапе на основе полученных данных исследуются свойства системы с нелинейным фильтром.

4. Предложенная методика позволила подробно исследовать процессы в обобщенной модели дискретной СФС с пилообразной и синусоидальной характеристиками детектора без учета нелинейных свойств фильтра. На основе анализа областей существования различных движений получены точные значения полосы захвата ДСФС с линейным ПИФ.

В частности, для системы с пилообразной характеристикой детектора разработан простой алгоритм точного определения полосы захвата для широкого диапазона параметров системы. Его основу составляет доказательство того факта, что полоса захвата ограничивается циклами второго рода с одним проскальзыванием.

Для системы с синусоидальной характеристикой детектора показано, что кратные захваты возникают при гораздо больших значениях усиления, чем в системе с пилообразным детектором. Это приводит к расширению полосы захвата в сторону больших усилений для случая узкой полосы фильтра.

5. Для анализа ДСФС с линейным интегратором и пилообразной характеристикой детектора предложен метод качественно-аналитического исследования, основанный на переходе от цилиндрического фазового пространства к торроидальному с границами, исключающими нелинейное отображение по одной из координат. Метод позволил свести всевозможные нелинейные движения по двум координатам к движениям по одной и значительно упростил процесс анализа. Его применение позволило разбить пространство параметров на области существования движений качественно различной структуры. В частности, найдена область параметров, где в системе существуют только кратные захваты. При ограничении начальных частотных расстроек данная область может выступать в качестве области, обеспечивающей устойчивость в целом состояния синхронизма.

6. Выполнен анализ дискретных СФС с ограничивающим фильтром. Исследованы общие свойства систем данного типа. Найдены условия на параметры системы, при которых устойчивость в целом определяется условиями существования состояния равновесия и может быть вычислена аналитически. Описаны возможные периодические движения, их бифуркации в зависимости от параметров системы.

Построены графики полосы захвата в зависимости от значений параметров системы. Показано, что область захвата может носить разрывный характер в области больших усилений. Это объясняется возникновением при этих параметрах кратных захватов на границах нелинейности фильтра.

7. Для ДСФС с ограничивающим пропорционально-интегрирующим фильтром и синусоидальной характеристикой детектора установлен факт существования движений, аналогичных состоянию синхронизма. Показано, что в этих режимах нелинейный фильтр находится в насыщении и ДСФС ведет себя подобно системе первого порядка. Установлено, что эти циклы возникают только при отрицательных значениях а.

Для ДСФС с ограничивающим ПИФ и пилообразной характеристикой детектора установлено существование кроме периодических движений притягивающих множеств двух типов, точки которых располагаются на границах Ф(у) (циклов-интервалов). В пространстве обобщенных параметров (а,в) цикл-интервал первого типа существует при достаточно больших а и ограничивает область устойчивости в целом справа. Цикл-интервал второго типа существует при малых и отрицательных а. Он определяет левую границу области устойчивости в целом.

Для ДСФС с ограничивающим интегратором и пилообразной характеристикой детектора установлено существование периодических движений второго рода по координате р при малых усилениях практически для любых параметров фильтра.

8. Выполнен анализ дискретных СФС с пилообразным фильтром. Исследованы общие свойства систем данного типа. Рассмотрены возможные периодические движения и их бифуркации. Установлено существование в системе семейств периодических движений. Циклы одного семейства имеют одинаковый период и разные абсолютные приращения координат р, x.

Установлена возможность существования в системе нескольких состояний, эквивалентных состоянию синхронизма. Показано, что эти движения могут существовать даже при отсутствии основного состояния равновесия. Для СФС с пилообразной характеристикой детектора показано, что поведение системы в их окрестности совпадает с поведением системы в окрестности основного состояния синхронизма.

Построены графики полосы захвата в зависимости от усиления в системе. Показано, что при малых M полоса захвата этой системы определяется вращательными движениями по координате x. А при увеличении M начинает определяться движениями второго рода по р, характерными для систем с линейным фильтром.

9. Установлено, что в ДСФС с пилообразным ПИФ и синусоидальной характеристикой детектора могут существовать устойчивые предельные множества. Они возникают при нелинейном продолжении неустойчивой сепаратрисы седла за границы Ф(у). Рассмотрены возможные типы данных множеств, найдены области их существования в пространстве параметров.

Для системы с пилообразным интегратором и синусоидальной характеристикой детектора показано, что область устойчивости в большом для малых M ограничивается движениями второго рода по x и расширяется в сторону увеличения в при отличных от нуля расстройках.

10. Исследовано поведение системы с синусоидальной характеристикой детектора при наличии дополнительного шумового воздействия. Показано, что предельные циклы могут разрушаться под воздействием шума, и вследствие этого увеличивается область захвата системы. Путем численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена получены области статистической полосы захвата. Установлено, что наибольшее расширение области захвата достигается в системе с пилообразным фильтром, для которого является характерным наличие движений с малыми областями притяжения.

11. Для проверки результатов анализа обобщенной модели и проведения дополнительных исследований, учитывающих допущения, сделанные при выводе обобщенной модели, разработаны компьютерные модели импульсной и цифровой систем фазовой синхронизации. Модель импульсной СФС реализована в виде программного комплекса и позволяет проводить исследования динамических характеристик системы, включая определение полосы захвата для широкого диапазона изменения параметров системы. Моделирование цифровой СФС проведено с помощью программно-аппаратного комплекса, позволяющего исследовать работу ЦСФС в режиме компьютерной модели и в режиме реального времени при работе с физическим сигналом.

12. Исследования компьютерной модели ИСФС показали качественное совпадение результатов компьютерного эксперимента и исследований обобщенной модели. Количественные отличия связаны с учетом в компьютерной модели переменного интервала дискретизации и произвольного времени срабатывания нелинейности фильтра. Показано расширение полосы захвата для случая отрицательных расстроек и уменьшение ее для положительных расстроек.

Исследования компьютерной модели ЦСФС системы с различными типами нелинейных фильтров в цепи управления: ограничивающим и пилообразным ПИФ, пилообразным интегратором показали высокое совпадение с результатами исследования обобщенной модели.

13. Для проверки результатов исследования обобщенной модели ИСФС с нелинейным фильтром разработан лабораторный модуль однокольцевого синтезатора частоты КВ-диапазона. Исследования синтезатора показали высокую степень совпадения экспериментальных результатов и результатов компьютерного моделирования для различных значений физически реализуемых параметров. Подтверждены качественно и количественно все тенденции изменения динамических свойств ИСФС.

14. В результате проведенных экспериментальных исследований выработаны практические рекомендации для пользователей и разработчиков по конкретному управлению состоянием ДСФС для достижения наиболее оптимальных режимов работы. В частности, показано, что для увеличения области захвата ДСФС с ограничивающим фильтром необходимо предустанавливать начальное состояние фильтра в насыщение, знак которого зависит от знака частотной расстройки. Это позволит гарантированно привести систему в состояние синхронизма. Аналогично, для ДСФС с пилообразным фильтром, необходимо устанавливать знак начальной разности фаз в зависимости от знака частотной расстройки.

1. Радиопередающие устройства / Под ред. В.В. Шахгильдяна. - М.: Радио и связь, 1990. - 432 с.

2. Стиффлер Дж. Теория синхронной связи. М.: Связь, 1975. - 488 с.

3. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.С. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь. - 1972. - 447 с.

4. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь: Пер с англ./Под ред. В.В. Маркова.- М.: Связь, 1979. 592 с.

5. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: 1985. -С.384.

6. Журавлев В.И. Поиск и синхронизация в широкополосных системах. М.: Радио и связь, 1986.- 240с.

7. Цифровые системы фазовой синхронизации /М.И. Жодзишский, С.Ю. Сила-Новицкий, В.А. Прасолов и др. Под ред. М.И. Жодзишского М.: Сов. Радио, 1980. - 208 с.

8. Цифровые радиоприемные системы: Справочник. / М.И. Жодзишский, Р.Б. Мазепа, Е.П. Овсянников и др./ Под ред. М.И. Жодзишского М.: Радио и связь, 1990. - 208с.

9. Жодзишский М.И. Проектирование цифровых устройств обработки широкополосных сигналов. М.: МАИ, 1986. - 52с.

10. Тузов Г.И., Сивов В.А., Прытков В.И. и др. Помехо-защищенность радиосистем со сложными сигналами /Под ред.Тузова Г.И. М.: Связь, 1985. -279 с.

11. Тузов Г.И., Прытков В.И. Система синхронизации, использующая сложные фазоманипулированные сигналы // Системы фазовой синхронизации: Сб. науч. ст. М.: 1985. 126 с.

12. Манасевич В. Синтезаторы частот. Теория и проектирование: Пер. с англ. / Под.ред. А.С. Галина. М.: Связь, 1979. - 384 с.

13. Шапиро Д.Н., Паин А.А. Основы теории синтеза частот. М.: Радио и связь, 1981. - 264 с.

14. Системы фазовой автоподстройки частоты с элементами дискретизации / Под ред. В.В. Шахгильдяна. М.: Связь, 1989. - 320 с.

15. Губернаторов О.И., Соколов Ю.Н. Цифровые синтезаторы частот радиотехнических систем. М.: Энергия, 1973. - 176 с.

16. Клепацкая И.И. Цифровые синтезаторы частоты для СВЧ возбудителей дискретной сетки частот // Техника средств связи. Сер. Техника радиосвязи. -1981. вып. 8. - С. 96 - 105.

17. Клепацкая И.И., Киселев Е.В. Цифровые синтезаторы частот ВЧ , СВЧ - диапазонов // Техника средств связи. - 1983. - вып. 6. - С. 90 - 95.

18. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. М.: Радио и связь, 1989.- 232 с.

19. Рожков А.В., Попов В.Н. Синтезаторы частот в технике радиосвязи. -М.: Радио и связь, 1991.- 364 с.

20. Баланов О.А., Кабанов А.И. Принципы построения синтезаторов частоты СВЧ диапазона // Электросвязь. 1987. - №2. - С. 53-56.

21. Казаков Л.Н. "Разработка и исследование быстродействующих широкополосных синтезаторов частоты" Дис. . канд. тех. наук./ Моск. инст-т радиотехн. электрон. и автомат. М.: 1988. - 172 с.

22. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. Перспективные направления развития динамической теории дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частот // Электросвязь. 1993. - №11. - С. 3842.

23. Шахгильдян В. В., Пестряков А. В. Исследование динамики системы ФАПЧ с цифровым интегратором // Системы и средства передачи информации по каналам связи: Сб. научн. ст. Л.,- 1980.

24. Пестряков А. В. Использование метода усреднения для анализа импульсных систем фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. -1990. Т.35. - Вып. 11. - С. 2334-2340.

25. Пестряков А. В. Применение асимптотических методов для анализа дискретной системы фазовой синхронизации // Теоретическая электротехника. Республ. межвед. научн. техн. сб. Львовский гос. ун-т. - 1989. - Вып. 47. - С. 135-139.

26. Корякин Ю.А., Леонов Г.А. Определение полосы захвата в системах импульсно фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника. - 1977. - Т. 32. №6. - С. 65-72.

27. Карничев А. М., Корякин Ю. А., Леонов Г.А. Аппроксимация полосы захвата многосвязных дискретных систем фазовой синхронизации // Радиоэлектроника. 1982. №1. С. 81-84. (Изв. вузов СССР).

28. Белых В. Н., Максаков В. П. Динамика цифровых систем фазовой синхронизации первого и второго порядка // Динамика систем. 1976. Вып. 11.

29. Белых В. Н., Максаков В. П. Качественное исследование разрывного отображения цилиндра из теории фазовой синхронизации // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. научн. ст. М., 1982.

30. Максаков В. П., Панченко И. О. Оценка области захвата цифровой системы фазовой синхронизации второго порядка // Теоретическая электроника. Львов, 1986. Вып. 41.

31. Белых В. Н., Лебедева Л. В. Исследование одного отображения окружности. Прикладная математика и механика. Том 46, Вып.5, 1982, с.771-776.

32. Лебедева Л.В. Качественное поведение траекторий и бифуркации дискретных фазовых систем. Дис. . канд. физ. мат. наук., Н. Новгород 1993.

33. Шахтарин Б.И. Квазигармонический метод и его применение к анализу нелинейных фазовых систем. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 192с.

34. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я., Морозова В.Д. О полосе захвата дискретной ФАП с пилообразной характеристикой // Радиотехника и электроника. 1986. - № 4. - С. 745-751.

35. Шахтарин Б.И., Курочка Б.Я., Морозова В. Д. Исследование нелинейной ИФАПЧ третьего порядка // Теоретическая электроника: Республ. межвед. научн. технич. сб. Львовский гос. ун-т. - 1989. - Вып. 47. - С. 83-94.

36. Шахтарин Б.И. Анализ кусочно-линейных систем с фазовым регулированием. М.: Машиностроение, 1991. - 192с.

37. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации второго порядка // Радиотехника и электроника. 1995. Т.40. № 5. С.823-829.

38. Казаков Л.Н., Палей Д.Э Анализ полосы захвата импульсной системы фазовой синхронизации третьего порядка с пилообразной характеристикой детектора. // Радиотехника. 1998. - № 1. - С.29-35.

39. Паушкина Т.К. Динамические свойства синтезатора частот на основе двух взаимосвязанных колец ФАПЧ // Теоретическая электротехника. Республ. межвед. научн. техн. сб. Львов.: Львовский гос. ун-т. 1989. - Вып. 47. - С. 122128.

40. Федосова Т.С. Особенности расчета устойчивости систем с двумя нелинейными периодическими функциями // Теоретическая электроника. -Львов ЛГУ - 1989. - Вып. 4. С. 58-63.

41. Федосова Т.С. Устойчивость синтезаторов частоты на взаимосвязанных системах ФАП // "Стабилизация частоты". М.: ВИМИ. 1986. С.162-166.

42. Широков Ю.В., Казаков Л.Н. Дискретные связанные системы фазовой синхронизации. Радиоэлектроника. № 4. 1995. С.17-26. (Известия ВУЗов).

43. Широков Ю.В., Казаков Л.Н. Комбинированная система частотно-фазовой автоподстройки с различными периодами дискретизации в кольцах. Электросвязь. 1994. № 8. С.4-7.

44. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Динамика дискретной системы второго порядка с несколькими нелинейностями // Радиоэлектроника. 1995. № 3. С.61-68. (Известия ВУЗов).

45. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ двумерного отображения системы фазовой синхронизации с двумя нелинейностями. // Тез. докладов III конференции "Нелинейные колебания механических систем" Н.Новгород, -1993. - С.88.

46. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Динамика дискретной системы фазовой синхронизации с двумя нелинейностями. // Тез. докладов IV конференции "Нелинейные колебания механических систем". Н. Новгород, - 1996. - С.117.

47. Палей .Э Нелинейная динамика дискретной системы фазовой синхронизации с двумя нелинейностями. Тез. докладов LII Научной сессии, посвященной дню радио. Москва, 1997. - С. 137.

48. Кабанов А.Н. Динамические характеристики импульсной системы ФАПЧ с двумя каналами управления // Радиотехника. 1983. - №10. - С. 32-34.

49. Кабанов А.Н., Пестряков А.В. Сравнительный анализ некоторых синтезаторов частот на основе систем ИФАПЧ. // Электросвязь. 1984. - №2. -С. 59-61.

50. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. Перспективные направления развития динамической теории дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частот // Электросвязь. 1993. - №11. - С. 3842.

51. Карякин В.Л., Другов М.И. Система частотно-фазовой автоподстройки // Электросвязь. 1981. - №9. - С. 48-51.

52. Федосова Т.С. Анализ систем фазовой синхронизации с двумя периодическими нелинейностями // Радиотехника. 1986. № 6. С.46-48. (Деп. рук. № 772, ЦНТИ Информсвязь).

53. Федосова Т.С. Исследование динамических свойств тороидальных систем фазовой синхронизации // Сб. "Алгоритмы и программы". М.: ВНТИЦ, ГосФАП СССР ЦИФ. - 1990. № 3.

54. Широков Ю.В., Казаков Л.Н. Нелинейная динамика дискретных связанных систем фазовой синхронизации. Радиофизика. № 3-4. 1995. С.217-224. (Известия ВУЗов).

55. Широков Ю.В. Двухкольцевая система фазовой синхронизации // Тез. юилейной конференции "Актуальные проблемы естественных и гумманитарных наук". Физика. Ярославль. 1995. - С.92.

56. Kazakov L.N., Ponomarev N.Yu. The stability of a pulse phase-lock loop system with a triangular detector charecteristic // Telecommunications and radio engineering. 1995. № 12. p.36-42.

57. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю. Устойчивость импульсной системы фазовой синхронизации с треугольной характеристикой детектора // Электросвязь, № 8, 1994г.,С.13-16.

58. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю. Периодические движения, возникающие при кусочно-линейном отображении // Тез. докладов III конференции "Нелинейные колебания механических систем" Н.Новгород, - 1993. - С.88.

59. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ дискретной СФС третьего порядка. Тез. докладов XLVIII Научной сессии, посвященной дню радио. Москва, 1993. - С. 152.

60. Палей Д.Э., Казаков Л.Н. Исследование цифровой СФС с нелинейным интегратором в цепи обратной связи. Там же. С.94.

61. Paley D.E. Nonlinear Dynamics Of The Discrete Phase Locked-Loop System With Two Nonlinears // 5-th Internetional Specialist Workshop. Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Moskva, June 26-27, 1997. P.63-68.

62. Бессекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. - 576 с.

63. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифф.уравнения.-1973.-Т.9.№3.-с.403-415.

64. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М: ИПРЖР, 1996, 252С.

65. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982, 624С.

66. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л, Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965, 383С.

67. Демидович Б.Л., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1970. 664 с.

68. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1971. 328 с.

69. Малиновский В.Н., Романов С.К. Моделирование на ЭВМ синтезаторов частоты с кольцом импульсно-фазовой автоподстройки // Электросвязь, 1983. -№4 с.52-58.

70. Радиотехнические цепи и сигналы // Под ред. Самойло К. А. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

71. Широков Ю.В. "Моделирование и и исследование дискретных связанных систем фазовой синхронизации" Дис. . канд. тех. наук./ Моск. энергетический инст-т (технический университет). М.: 1996. - 204 с.

72. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983 г. 336 с.

73. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний.-М., Наука, 1976.-384с.

74. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю. Устойчивость в целом импульсной системы фазовой синхронизации второго порядка с трапециевидной характеристикой детектора. // Радиотехника и электроника. 1997. № 12. С.1459-1464.

75. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1972. С. 471.

76. Shirokov Yu.V., Kazakov L.N., Paley D.E. Nonlinear Dynamics of Interaction Phase Locked-Loop Systems. Bifurcations and Chaos. The School-Conferense was supported by Ukrinian Academy of Sciences, Kotsiveli, Crimea, Ukraine, May 3-14, 1994. P.48.

77. Shirokov Yu.V., Kazakov L.N., Paley D.E. Nonlinear Dynamics of Interaction Phase Locked-Loops. Dynamic and Stochastic Wave Phenomena. Abstracts of the Second International Scientific School-Seminar. Nizny Novgorod, 21-28, June 1994. P.76.

78. Максаков В.П., Панченко И.О. Область захвата в системе фазовой синхронизации второго порядка с реверсивным счетчиком // Теоретическая электротехника. Республ. межвед. научн. техн. сб. Львовский гос. ун-т. - 1989. - Вып. 47. - С. 68-72.

79. Казаков Л.Н., Палей Д.Э. Анализ динамики дискретной СФС второго порядка. Там же. С.42.

80. Фазовая синхронизация / Под ред. В.В.Шахгильдяна, Л.Н.Белюстиной. М.: Связь. 1975. 287 с.

81. Казаков Л.Н., Палей Д.Э., Пономарев Н.Ю. Синтезатор частоты с улучшенными спектральными характеристиками // Науч. техн. конф. "Направления развития систем и средств радиосвязи" Т.3. Воронеж. - 1996. С. 1181-1186.

82. Малиновский В.Н. Полоса захвата синтезатора частоты с кольцом ИФАПЧ первого порядка // Радиотехника. 1982. - Т.37. - № 9. - С. 42-44.

83. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958. - 724 с.

84. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.- 560 с.

85. Бессекерский В.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1970. - 578 с.