автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Моделирование синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем на основе принципа максимума

На правах рукописи

ГУРВИЧ АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

05 13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидат технических наук

Воронеж 2006

Работа выполнена на кафедре информационных и управляющих систем в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образовании «Воронежская государственная технологическая академия».

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Лебедев Владимир Федосеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Семёнов Михаил Евгеньевич

кандидат технических наук, Курицын Владимир Алексеевич

Ведущая организация:

ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет

Защита диссертации состоится "_9_" марта 2006 г. в 1330 ч. на заседании Диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия».

Автореферат разослан февраля_ 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л\.А. Хаустов

2,006 А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный уровень информационных и управляющих систем в значительной мере определяется эффективностью методов и средств информационного и матемагического обеспечения, среди которых важное значение отводится методам синтеза оптимальных систем управления.

Интенсивное развитие методов синтеза оптимальных систем управления обусловлено с одной стороны возрастающими возможностями средств вычислительной техники, с другой стороны системным подходом к решению этой проблемы, включающим методологические, информационные и математические аспекты.

Применение в системах управления современной микропроцессорной техники открывает широкие возможности на новом качественном уровне решать задачи стабилизации режимных параметров, используя оптимизационные подходы и новые информационные технологии. Проведенный анализ показывает, что задачи оптимальной стабилизации технологического режима для многомерных объектов, в окрестности заданной регламентом, являются первоочередными, в связи с повышением требований к качеству выпускаемой продукции. Для повышения качественного уровня управления недостаточно применять универсальные пропорционально - интегрально - дифференциальные регуляторы, 1ак как необходимо учитывать дополнительно «индивидуальные» характеристики объекта управления, 1ехнологические ограничения, чувствительность, то есть необходимый объем информации, содержащийся в математической модели. Отсюда следует, что задача синтеза оптимальной стабилизации технологического режима многомерных линейных объектов можно рассматривать как актуальную задачу моделирования синтеза управления для выделенного класса объектов на основе системного подхода с использованием современных методов оптимизации, основанных на принципе максимума.

В работе исследуются матемагические модели линейных многомерных объектов управления с постоянными параметрами, но полученные результаты можно использовать и для объектов с медленно изменяющимися параметрами, которые с допустимой погрешностью можно считать постоянными на заданном интервале времени.

Предполагается, что математические модели удовлетворяют условиям управляемости и наблюдаемости. В качестве критерия оценки каче-

ства стабилизации используется интегральный квадратичный критерий Постановка задачи разработки методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации основана на применении принципа максимума, имеет праютческую направленность вследствие общепромышленного применения, ее разработка является актуальным исследованием

Диссертация выполнена в соответствии с планом НИР ГОУ ВПО ВГТА № г.р. 01960007315 по теме «Разработка и совершенствование математических моделей, средств и систем автоматического управления техногогических процессов»

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и обоснование методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации состояния многомерных линейных динамических систем на основе принц (па максимума, разработка алгоритмического и программного обеспечения.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие 5адачи исследования:

на основе принципа максимума поставить задачу оптимальной стабилизации для замкнутых обратной связью линейных многомерных динамических объектов:

исследовать свойства блочной матрицы оптимальной замкнутой га-мильточовой системы и корней ее характеристического уравнения, разработать методику выделения и упорядочения устойчивых корней и кх расположения в блоках определяющих единственное устойчивое решение матричного уравнения Риккати. получить решение матричного уравнения Риккати, определяющего структуру обратной связи управления;

- на основе полученных результатов разработать методику моделирования синтеза оптимальноV стабилизации системы;

разработать алгоритмы и программы для реализации методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации линейных динамических объектов;

- произвести апробацию полученных результатов на примерах синтеза моделыых систем различных порядков.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись- теория автоматического управления, теория оптимальных систем, алгебра матриц, методы математического моделирования, инструментальные средства интегрированных программных систем компьотерной математики.

Научная новизна работы: В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной

Методика упорядочения устойчивых корней характеристического уравнения гамильтоновой матрицы и их расположения в заданных блоках. отличающаяся отсутствием ее промежуточных преобразований к треугольной структуре, без использования операций ортогонализации, отражения и вращения, обеспечивающая устойчивость синтеза апериодического управления.

- Методика моделирования синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем, отличающаяся отсутствием сложной операции развязывания перекрестных связей.

- Алгоритмы реализации разработанной методики, особенностью которых является решение характеристического уравнения многомерной системы без явного обращения системной матрицы, вычисление коэффициентов характеристического полинома, используя операции вычисления следа присоединенных матриц.

Практическая значимость. Результаты работы (теоретические положения, методика синтеза стабилизирующих управлений и алгоритмы и программы) могут быть использованы при разработке апериодических систем управления линейными многомерными объектами. Практическое значение имеют результаты, позволяющие путем моделирования процесса синтеза разрабатывать оптимальные, устойчивые алгоритмы управления многомерными объектами, применяя разработанные алгоритмы и комплексы программ. Комплекс алгоритмов и программ можно рекомендовать проектным организациям для разработки оптимальных замкнутых систем управления многомерными процессами, а также использование их в системах управления на предприятиях химической и пищевой промышленности.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены на 17 международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», том 2. Кострома, 2004., в международной школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики" Воронеж 2004, а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и научных работников ВГТА, 2003-2005 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, в том числе 5 статей и получены 2 регистрации программных продуктов

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 101 страницах, включает 6 таблиц и 5 рисунков; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 153 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновала актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определена практическая значимость

В первой главе на осювании обзора литературы проводилось исследование и анатиз проблемы синтеза многомерных линейных динамически): систем стабилизации, их свойств и требований предъявляемых к ним

Для управления технологическими процессами широко применяются замкнутые системы автоматического регулирования. Типовые системы реализуются с использованием пропорционально интегрально-диффеэенпиапьных (ПИД) законов управления. Являясь общепромышленными и универсальными по применению, что обусловлено ПИД способом формирования управляющего воздействия они имеют существенный недостаток, заключающимся в том, что плата за универсальность связана с потерей качества управления. Поэтому в настоящее время проводятся работы как по модификациям законов ПИД управления, расширению их функций, так и по разработке новых подходов, на основе которых можно получить более совершенные законы управления.

Универсальность современных микропроцессорных средств, их высокая надежность открыла новые возможности создания алгоритмических методов формирования законов управления на основе применения методов оптимизации В диссертации предлагается подход к решению задач оптимальной стабихизации технологического режима для непрерывных процессов, протекающих в окрестности стационарного режима, т.е. в области, допускающей линеаризацию, позволяющий получить апериодический, устойчивый режим управления. Этот подход основан на моделировании сингеза процесса управления, предусматривающий возможность внесенич изменений и коррекций в процессе синтеза с целью получения решения, удовлетворяющего поставленной задаче. 3 работе рассматривается проблема оптимальной стабилизации линейных многомерных объектов с постоянными параметрами и объектов приближенно преобразованным к ним.

Актуальность и востребованность решения этил задач определяется широким использованием систем стабилизации в различных от раслях промышленности, в том числе пищевой и нефтехимической. Во многих случаях полученные результаты целесообразно также использо вать как приближенные для более сложных задач синтеза управлений.

Во второй главе исследуются особенности синтеза оптимальны? устойчивых систем стабилизации многомерных линейных систем. Рас сматривается линейная многомерная динамическая модель объек та

Как показывает анализ, проведенный в первой главе, существенная особенность проявляется в задачах синтеза оптимальных систем стабилизации замкнутых систем, что усложняет их решение пс сравнению с задачами нахождения оптимального программного управления. Важным фактором, учитываемым в процессе синтеза, является требование, заключающееся в том, что оптимальная замкнутая система управления должна быть устойчивой. Допопнительным требованием является нежелательность колебательных процессов. Траектория оптимальной стабилизации должна быть апериодической

Задача стабилизации ставится ка-с задача оптимального управле ния в пространстве состояний, обеспечивающая достижение мкнимума обобщенного интегрального квадратичного функционала:

где И и <2 пхп- мерные, (как правило диагональные), или симмет ричные соответственно положительно и неотрицательно определенные' весовые матрицы, которые являются мерой оценки потерь, обусловлен ных отклонениями векторов состояния, х(() и управлений и(1) от значений, установленных регламентом Эти векторы имеют размерное™ п х 1, А - характеристическая матрица системы, В - матрица управлений.

Управление, доставляющее минимум критерию (2) в соответствии принципом максимума, определяется из условия, максимума функции Гамильтона.

(1)

(2)

Н(х. р,и)=- (х(0, вх(0 + и(0, Щг))Н Р(О, МО + Ви(ф,

(3)

генерирующую систему сопряженных уравнений и условия оптимальности'

' dx дН л ч „ — = — = 4х(/)~ Bu(t) dt dp

i dt д\

— = Ru(t) ~ В' p(t) = 0. ' (4)

du

Из (4) можно получить оптимальное управление как функцию сопряженной переменной р{!):

"(')„_ Р(П. (5)

Оптимальную функцию Гамильтона получим, подставляя (5) в (3)'

Н(х,р) = X-(4t\Qx{t))-(6)

Сопряженная система уравнений для оптимальной траектории получается подстановкой (5) в первое уравнение (4):

t dx

<~ = Ax(,)-~Sp(t)

f 1 W

|-f = -Qx(t)-A'p(t)

v dt

где S= BR ' В' и jr(0 ) = x: . p(oo) = 0 начальное и граничное условия.

Система линейных уравнений (7) с граничными условиями не является классической задачей Коши с начальными условиями. Это приводит к значительным трудностям при получении численного решения, так как необходимо задать начальное условие р(0) и если решение при / = ос будет получено с приемлемым допущением, то можно считать, что решение получено В противном случае необходимо внести изменение в первоначальное значение р(0) и повторить процедуру решения. Эта операция повторяется столько раз, пока не будет удовлетворено условие на границе для переменной p(t). Альтернативным методом является преобразование системы (7) Это можно осуществить, введя замену переменных'

p{t) = Kx(t), (8)

где К - постоянная и у. и матрица Дифференцируя (8) по времени и подставляя в (8) производные из (7), получим алгебраическое нелинейное матричное уравнение Риккати

KSK - КЛ - А1 К) - О = 0. (9)

Решением этого нелинейного матричного уравнения является симметричная матрица, что проверяется тоанспонированием (9).

Таким образом, для получения оптимальной траектории в пространстве х{1) следует получить решение однородной системы из (7) и (8) при начальном условии л-(0) - хи.

C^- = (A-SK)x(t). (10)

dl

но при этом нужно иметь решение алгебраического матричного уоавне-ния (9). В результате исходная граничная задача сводится к решению уравнению Риккати и уравнению (10) с нгчальным условием Исходя из анализа блочной матрицы системы (7). можно обосновать существование решения матричного нелинейного уравнения (9) и предложить конструктивный путь его получения

Предлагаемая методика получения решения матричного нелинейного уравнения Риккати(9) заключается в следующем. 1) Матрицу замкнутой системы.

vJ/ "Я СО

1-0 J)

посредством неособого преобразования можно представить в блоч-но - треугольном виде: (A-SK S \ (12)

^ 0 -(A-SK)7)

характеристический полином которой имеет вид:

det[A - (А - Ж)] - det[A - (А - SK)' ] = 0 (13)

Можно показать по индукции, что этот полином содержит только четные степени Я. Отсюда следует, что из 2п вещественных корней характеристического полинома имеется п-положительны< и п-отрицательных корней, которые определяют апериодическую траекторию. Однако корни характеристического полинома (13) неупорядочены. Для получения единственного устойчивого решения уравнения Риккати необходимо решить задачу упорядоченного расположения корней характеристического полинома и собственных векторов, являющихся столбцами системообразующей матрицы

2) Упорядочение корней и собственных векторов характеристичного уравнения:

1. Решается характеристическое уравнение замкнутой системы: йеЦАЕ-М) = 0

2 Определяется матрица Т собственных векторов, соответствующая полученным собственным значениям

3 Упорядочиваются корни в следующем порядке, начиная от самого большого отрицательного, до самою большого положительного по возрастанию

4 в таком же порядке формируется упорядоченная матрица собственных векторов, которая является для последующих операций системообразующей матрицей, обеспечивающей получение устойчивого решения задачи оптимальной стабилизации.

5. Полученная матрица и из матрицы Т операцией переупорядочения представляется в блочной форме:

и ^ (15)

6. Выполняется расчет, в результате которого получаем диагональную блочную матрицу собственных значений:

(/'АЛ/=[~Л (16)

10 А)

3) Решение матричного уравнения Риккати можно получить, используя операцию диагонализации, так как матрица С/ , полученная упорядочиванием матрицы Т диагонализирует матрицу М :

(л -6'У(Л иа У-Д 0Л| (17)

ии) и, С/ДО А/

Отсюда получаем два уравнения соответствующие устойчивым собственным значениям:

/)(,'„-5'1Л, = -Ц, А (1В)

-2('п-Л'(/;1=-(/21Л (19)

Матрице^' , соответствует невырожденная матрица системы А, которая имеет определитель не равный нулю, поэтому Ъ\, можно обратить. Тогда, умножая матрицу А справа на О', / имеем.

„ ---(У.ДС,-1 (20)

Аналогичное преобразование (19) приводит к уравнению

-(( Г, У 0-(1 „(/„) \'1 I , = -Ь, А,С,1 (21)

Приравнивая зти выражения, и полагая.

Л. = 2Л'„', (22)

находим:

Л.7>А. - КА- А'К) -0 = 0 (23)

Таким образом полученное выражение дл? матрицы А" удовлетворяет уравнению Риккати и является единственным решением, обеспечивающим устойчивость замкнутой системы'

^ = (Л-££)*(/) (24)

Ж

Действительно, из (20) следует, с учетом (22):

Ь;!( 4~$К)и\ =-Л 125)

Следовательно, матрица V приводит к диагональному виду матргцу в правой части уравнения (24) с отрицательными собствсвенными значениями, что обеспечивает получение устой1- ивой апериодической оптимальной траектории.

В случае если верхний предел в интеграле (2), имеет конечное значение Т , вместо (8) будем иметь;

р0) = К(г)х(1) (26)

В этом случае получаем дифференциальное матричное уравнение Риккати:

К(1)5К(1)~ К{!)А- \'КЦ)-0 <27)

Ж

Тогда решение дифференциального матричного уравнения Риккати г. окрестности стационарного состояния можнэ искать в виде К{ 0 = К0+ Г(0 (28)

Подставляя (26) в (23) получим-

К„А- А' + <2- К„8К, = 0 (29)

У- У( А -5К0 ) + {А- ЯК )' ) =0 (30)

Уравнение (29) является алгебраическим матричным уравнением Риккати. которое рассмотрено ранее, уравнение (30) дифференциальным матричным уравнением Риккати без свободного члена Ведя преобразование

/М) = У\1), (31)

выражение (30) представим в виде / = ( I - ХА. )/ - 7( I - ¿"А" )' - .V, Решение лого уравнения имеет следующий вид-

Z(/) = e"'<Z(0)- f

e se ат >e .

(33)

В результате получаем с учетом постоянной и переменной составляющей решение нелинейного дифференциального матричного уравнения Риккати'

K(t)=K -[е17 "(/->' V ' ' -/1 (34)

В результате исследований выполнена разработка методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем на основе принципа максимума для реализации в замкнутом контуре управления, в котором матрица решения дифференциального матричного уравнения Риккати определяет настройки алгоритма регулирования.

В третьей главе выполнено моделирование синтеза оптимальной стабилизации для линейного объекта третьего порядка с использованием разработанного метода Вычисления проводились с использованием операторов MathCAD12 Professional. Для примера рассматривается объект третьего порядка, расчеты проводились в среде MathCAD 12 Professional.

— х(t) = А x(t) - В u(t) dt

/

А =

-О 11

05

02 (1 62

03

-0 9

03 0

-0 4 1

04

-0 7/ 0 >

(\2

В = ' 0

V 0 '1 2

Q = 0 0.82 0 V о о 0.68;

R =

о

0.75

0 0

1

о

о '

0.43 )

\

0 о

0 QZ)

Требуется найти u(t) из условия минимума критерия

J = -

7

[(x(t)-Q \(t)) - (u(t),Ru(t))]dt

Пара (А, В)'управляемая, ее матрица управляемости имеет раж

П> = augmenl(в,А В,А2 в) гапк(Э) -= 3 Последовательность расчета'

1 Формируется гамильтониан

нио,иа),Аш) = --[[(5<0,0-><Ш - (и(1),Яи(1))| + 1р(1),(А 41) - В-и(())| 2

2 Записывается каноническая система и условие оптимальности

d 3 .. . — v = — Н = А х -

dt рр

В и

-р = — I dl (Ч

= -Q х - л р

— Н = Я-ин- В -р = С

ср

3 Определяется оптимальное управление и (I)

ор1

-R ' ВГ p(t)

- 1 Т

Вводится обозначение 3 = В Н В /1.2 1 п

Вычисляется S =

О

О 0.352

ч 0 0 0.231/ 4 Формируется матрица замкнутой системы и вычисляется с помои и>ю операции:

м =

A -S ^

М =

V-Q -А1J Г-о.п о.з

0.5 -0.9

0.2 0.3

-1.62 0

0 -0.82

0 0

М = stack (augment (А, -S), augment V- Q, - Л

U-дО)

-0.4 -1 2 0.4 0 -0.7 0

0 0 -0.352 О О -0 231

V

О 0.11 -0.5 -0 2

О -0.3 0.9 -0 3

-0.68 0.4 -0.4 0 7 у Вводятся операции для вычисления матрицы собственных векторор и собственных значений для матрицы М: Т = ещепуесвСЩ X = е^ет/а1Б(М)

'-0.586-0 357 —() 339 0.447 -0 45 -0 27Î* 0 588 -0 015 4) 257 0.186 -0.253 0.389 i

-0.042-0 095-0.207-0.546-0.067 0.67 -0.525 0 511 0 251 0 596 0 412 -0.274 0.148 -0.513 0 498 0 119 0 722 0.223

k =

f-1.515^ 1.515 0.761 -1.098 1.098 V -0:761 )

^ 0.109 0 582 0 682 -0.313-0 197 0.448,/ отсюда видно, что собственные значения и собственные векторы матрицы М не упорядочены

5 Упорядочение расположения собственных векторов и собственных значений матрицы М достигается следующими операциями.

и=аи8тет(т<0),Г(з)>Г<5),Т(2),Т(4>,Т<1>) XI = ешет^(и' 'м I

U =

6. Выделяем системообразующие субматрицы из матрицы U, для решения матричного уравнения Риккати с применением операций: Uli =submatrix(l',0,2,0,2) U21 := submatrix(U,3,5,0,2)

^-0.586 0.447 -0.27Л f-0.525 0.596 -0.274"\

(-0.586 0.447 -0 271 -0.339 -0.45 -0 357^ f-1.5l5\

0 588 0 186 0 389 -0 257 -0.253 -0.015 -1 098

-0.042 -0.546 0.67 -0.207 -0.067 -0.095 -0.761

M =

-0.525 0.596 -0.274 0.251 0.412 0.511 1.515

0.148 0.119 0.223 0.498 0.722 -0 513 0.761

v 0.109 -0 313 0.448 0.682 -0.197 0.582, v 1.098 ,

U11 =

U21 =

0.148 0.119 0.223 (.0 109 -0.313 0.448

0.588 0.186 0.389

„ -0.042 -0 546 0.67 7. Получаем решение матричного уравнения Риккати

( 1.136 0.233 -0.083>

К := i/21 - Ù11 ' К= 0.233 0.494 0 141

^-0.083 0.141 0.553 у 8 Проверяется полученное решение матричного уравнения Риккати

K S К - К. А - А К - Q =

-l.llx 10 0

V 0

15

1.249х 10

0 0

г 15

9 Для получения в явном виде оптимальных управлений и граекторий решается дифференциальное уравнение

с!

-х = (A -S-K)-x(t)

dt

начальные условия

xl()=l

Х"Т) "

XJ0 =J

Матрица U11диагонализирует матрицу А - S К. действительно

(

Uli ' (А - S-K)-Ul 1 =

1515 О

О

15

О -1.098 1 332х 10

I

V 0 0 -0 761 )

Следовательно, решение уравнения для определения оптимальных

,,,, Uli" (A-S К) Ы1 t IM1- 1 траекторий имеет вид- \(t) = Lll-e- - Uli

В явном виде полученная магричная экспонента имеет вид-( - 1 515 1

Uli '-(A-S К) U1t

V

Задавая интервал времени Решение записываем в виде-

( - 1 515 t е

x(t) = Uli

0

- I 098 t

0

0

- I 098 t

е

О е t =0,001 7

Ш 1

- 0761-1

е J

0 О

-0 761 t

Ч;

V х3о у

u(t) --R В Kx(t)

3

22

*<t)0

1 4

x(t)a

06

-о:

N

\

V \

V •, s ' «

u(t)o utt)! u(t)2

1 4

\г 4: t

14 2Z 42 56 t

Результатом исследований является разработка обоснование методики моделирование синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем на основе принципа максимума, заключающаяся в использовании компьютерного моделирования с применением разработанного комплекса программных средств полученных на основе предложенного метода решения задачи оптимальной стабилизации на примем системы третьего порядка Результаты проверки разработанной методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации многомерных лкнейных систем на основе принципа максимума на примере процесса синтеза системы стабилизации третьего порядка показал улучшение качества регулирования

В четвертой главе на примере непрерывного процесса растворной полимеризации в батарее воздействием на расход катализатора в первой и второй реактора батареи показана стабилизация температуры и расхода мономера Система уравнений материального и теплового баланса тля реактора идеального перемешивания в случае одной реакции первого порядка без изменения реакционного объема в ходе реакции имеет вид:

£ \-(0 = -'--[1-А"(г)] |1^[Г(/),СА<0]}

* 1 ' (35)

ё) Ср 1 ' в в-Срр

Систему (35) относительно отклонений от установившихся значений степени конверсии и температуры представим в виде:

— Д.г0 = «11 Дл0->-я12 Дх\+Ь1Ли1

ё' , (36)

— Лг! = а2\ ЛхО + й22 Ах\+Ь,\и, Л 1 '

где ЛтО , Аг1 - отклонение степени конверсии температуры и от установившегося значения а, , Дг/ - управляющее воздействие на катализатоэ и температуру

Приме-¡яя предложенную методику для системы (36) были получены оптимальное управление и оптимальные траектории движения системы

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Разработана методика моделирования синтеза оптимальной стабилизации переменных состояния линейных многомерных объектов с постоянными параметрами на основе принципа максимума, обеспечивающая устойчивое апериодическое управление.

2 На основе исследования блочной матрицы предложена и обоснована методика решения нелинейного матричного уравнения Риккати при помощи выделения субматриц из упорядоченной гамильтоновой матрицы системы, обладающих свойством инвариантности по отношению к отрицательным вещественным корням.

3 Получено явное решение для оптимальных управлений и оптимальных траекторий в пространстве состояний, с использованием полученного решения уравнения Риккати без введения компенсаторов перекрестных связей.

4 На основе проведенных исследований разработана методика синтеза оптимального управления, реализованная в среде MathCAD 12 Professional, реализация которого показана на модельном численном эксперименте.

5 Разработан комплекс алгоритмов и программ моделирования синтеза систем оптимальной стабилизации, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в процессе модельного проектирования систем управления.

6. Проведена апробация разработанной методики моделирования на примерах оптимальной стабилизации процесса полимеризации и процесса ректификации.

Основное содержание диссертации отражено работах:

1. Лебедев, В Ф Синтез системы автоматической стабилизации объекта третьего порядка [Тгкст] / В Ф Лебедев, Е А Сидоренко, А М. Гурвич // Сборник трудов 17 международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». - Кострома, 2004 -Т.2.--С. 70-73

2 Bf тюков. В. К Методика аналитического синтеза регулятора [Текст] / В. К. Битюков В. Ф Лебедев. Е А Сидоренко. А. М. Гурвич // Сборник трудов международной школы-семинара "Современные проблемы механики и приклад-юй математики".- Воронеж. 2004 - Ч 1 Т.1.-С. 86-90

3 Бигюков, В К. Методика синтеза систем управления многомерными объектами [Текст] / В. К Битюков В Ф Лебедев, Е. А. Сидоренко, А. М Гурвич // Материалы XXL отчетной научной межвузовской конференции за 2003 год. - Воронеж. 2004 - 4.2. - С. 102-103

4 Лебедев, В. Ф. Итерационные методы в аналитическом синтезе регулятора [Текст] / В. Ф. Лебедев, Е А Балашова А. М Гурвич // Седьмой выпуск сборника научных трудов "Математическое моделирование информационных и технологических систем" - Воронеж, 2004 -С 81-84

5 Лебедев, В Ф. Моделирование и синтез систем оптимальной стабили шции [Текст] / В. Ф.Лебедев. Е. А. Балашова. А. М Гурвич Ч Седьмой выпуск сборника научных трудов "Математическое моделиро-ваниг информационных и технологических систем".- Воронеж, 2004 -С.81-84

6 Лебедев, В Ф Программный модуль моделирования синтеза дискретной системы оптимальной стабилизации многомерных систем, [Электронный ресурс] / В. Ф Лебедев, А М Гурвич / Государственный фоне, алгоритмов и программ. Регистрационный номер 50200501618.

7 Лебедев. В. Ф. Программный модуль моделирования синтеза многомерными объектами на основе решения уравнения Риккати, [Электронный ресурс] / В. Ф. Лебедев, А. М Гурвич, Р. А Романов /' Государственны? фонд алгоритмов и программ. Регистрационный номер 50200501615.

Подписано в печать • оз. сбг. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризография

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № Z6 Воронежская государственная технологическая академия (ВГТЛ) Участок оперативной полиграфии ВГТА Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394017, г. Воронеж, пр. Революции, 19

2 9 9 ï

Введение.

1. Анализ подходов к моделированию оптимального управления линейных многомерных объектов.

1.1. Математические модели линейных динамических систем.

1.2 Математические модели замкнутых многомерных систем.

1.3 Свойства моделей линейных динамических систем.

1.4 Проблема моделирования синтеза оптимальной стабилизации.

1.5 Моделирование синтеза систем оптимальной стабилизации.

Выводы и задачи диссертационного исследования.

2. Моделирование оптимальных стабилизации многомерных линейных систем.

2.1 Моделирование оптимальной стабилизации с применением алгебраического уравнения Риккати.

2.2 Моделирование оптимальной стабилизации с применением дифференциального уравнения Риккати.

2.3 Моделирование оптимальной стабилизации дискретных систем.

Выводы.

3. Численное моделирование оптимальной стабилизации многомерных линейных систем.

3.1 Описание применения методики численного моделирование синтеза оптимальной стабилизации.

3.2 Численное моделирование оптимальной стабилизации многомерных линейных систем с применением системы MathCAD12.

Выводы.

4. Применение разработанной методики и решение задач моделирования оптимальной стабилизации многомерных линейных систем на примере модельных систем.

4.1 Моделирование оптимальной стабилизации на примере процесса полимеризации.

4.2 Моделирование оптимальной стабилизации на примере процесса ректификации.

Выводы.

Актуальность темы. Современный уровень информационных и управляющих систем в значительной мере определяется эффективностью методов и средств информационного и математического обеспечения, среди которых важное значение отводится методам синтеза оптимальных систем управления.

Интенсивное развитие методов синтеза оптимальных систем управления обусловлено с одной стороны возрастающими возможностями средств вычислительной техники, с другой стороны системным подходом к решению этой проблемы, включающим методологические, информационные и математические аспекты.

Применение в системах управления современной микропроцессорной техники открывает широкие возможности на новом качественном уровне решать задачи стабилизации режимных параметров, используя оптимизационные подходы и новые информационные технологии. Проведенный анализ показывает, что задачи оптимальной стабилизации технологического режима для многомерных объектов, в окрестности заданной регламентом, являются первоочередными, в связи с повышением требований к качеству выпускаемой продукции. Для повышения качественного уровня управления недостаточно применять универсальные пропорционально - интегрально - дифференциальные регуляторы, так как необходимо учитывать дополнительно индивидуальные» характеристики объекта управления, технологические ограничения, чувствительность, то есть необходимый объем информации, содержащийся в математической модели. Отсюда следует, что задача синтеза оптимальной стабилизации технологического режима многомерных линейных объектов можно рассматривать как актуальную задачу моделирования синтеза управления для выделенного класса объектов на основе системного подхода с использованием современных методов оптимизации. В теории систем современные методы оптимизации основаны на применении принципа максимума, вследствие этого, использование принципа максимума является актуальным и перспективным направлением.

В работе исследуются математические модели линейных многомерных объектов управления с постоянными параметрами, но полученные результаты можно использовать и для объектов с медленно изменяющимися параметрами, которые с допустимой погрешностью можно считать постоянными на заданном интервале времени.

Предполагается, что математические модели удовлетворяют условиям управляемости и наблюдаемости. В качестве критерия оценки качества стабилизации используется интегральный квадратичный критерий. Постановка задачи разработки методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации основана на применении принципа максимума, имеет практическую направленность вследствие общепромышленного применения, ее разработка является актуальным исследованием.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и обоснование методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации состояния многомерных линейных динамических систем на основе принципа максимума, разработка алгоритмического и программного обеспечения.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:

- на основе принципа максимума поставить задачу оптимальной стабилизации для замкнутых обратной связью линейных многомерных динамических объектов;

- исследовать свойства блочной матрицы оптимальной замкнутой гамильтоновой системы и корней ее характеристического уравнения, разработать методику выделения и упорядочения устойчивых корней и их расположения в блоках определяющих единственное устойчивое решение матричного уравнения Риккати, получить решение матричного уравнения Риккати, определяющего структуру обратной связи управления;

- на основе полученных результатов разработать методику моделирования синтеза оптимальной стабилизации системы;

- разработать алгоритмы и программы для реализации методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации линейных динамических объектов;

- произвести апробацию полученных результатов на примерах синтеза модельных систем различных порядков.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись: теория автоматического управления, теория оптимальных систем, алгебра матриц, методы математического моделирования, инструментальные средства интегрированных программных систем компьютерной математики.

Научная новизна работы: В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

Методика упорядочения устойчивых корней характеристического уравнения гамильтоновой матрицы и их расположения в заданных блоках, отличающаяся отсутствием ее промежуточных преобразований к треугольной структуре, без использования операций ортогонализации, отражения и вращения, обеспечивающая устойчивость синтеза апериодического управления.

Методика моделирования синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем, отличающаяся отсутствием сложной операции развязывания перекрестных связей.

Алгоритмы реализации разработанной методики, особенностью которых является решение характеристического уравнения многомерной системы без явного обращения системной матрицы, вычисление коэффициентов характеристического полинома, используя операции вычисления следа присоединенных матриц.

Практическая значимость. Результаты работы (теоретические положения, методика синтеза стабилизирующих управлений и алгоритмы и программы) могут быть использованы при разработке апериодических систем управления линейными многомерными объектами. Практическое значение имеют результаты, позволяющие путем моделирования процесса синтеза разрабатывать оптимальные, устойчивые алгоритмы управления многомерными объектами, применяя разработанные алгоритмы и комплексы программ. Комплекс алгоритмов и программ можно рекомендовать проектным организациям для разработки оптимальных замкнутых систем управления многомерными процессами, а также использование их в системах управления на предприятиях химической и пищевой промышленности.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены на 17 международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», том 2, Кострома, 2004., в международной школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики" Воронеж 2004, а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и научных работников ВГТА, 2003 - 2005 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, в том числе 5 статей и зарегистрированы 2 программных продукта.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 122 страницах; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 94 наименований и приложений.

Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований:

1. Разработана методика моделирования синтеза оптимальной стабилизации переменных состояния линейных многомерных объектов с постоянными параметрами на основе принципа максимума, обеспечивающая устойчивое апериодическое управление.

2. На основе исследования блочной матрицы предложена и обоснована методика решения нелинейного матричного уравнения Риккати при помощи выделения субматриц из упорядоченной гамильтоновой матрицы системы, обладающих свойством инвариантности по отношению к отрицательным вещественным корням.

3. Получено явное решение для оптимальных управлений и оптимальных траекторий в пространстве состояний, с использованием полученного решения уравнения Риккати без введения компенсаторов перекрестных связей.

4. На основе проведенных исследований разработана методика-синтеза оптимального управления, реализованная в среде MathCAD 12

Professional, реализация которой демонстрируется на модельном численном эксперименте.

5. Разработан комплекс алгоритмов и программ моделирования синтеза систем оптимальной стабилизации, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в процессе модельного проектирования систем управления.

6. Проведена апробация разработанной методики моделирования на примерах оптимальной стабилизации процесса полимеризации и процесса ректификации.

Заключение

В диссертационной работе решена актуальная задача разработки методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем на основе принципа максимума и её апробация.

1. Абдуллаев Н. Д. Абдуллаев Н. Д. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов Текст. / Н. Д. Абдуллаев, Ю.П. Петров. Д.: Энергоатомиздат, 1985. — 240 с.

2. Дудникова Е.Г. Автоматическое управление в химической промышленности Текст. / под ред. проф. Е.Г. Дудникова, М.: «Химия», 1987 г.

3. Александров А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем Текст. / А. Г. Александров.— М.: Машиностроение, 1986.— 272 с.

4. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы Текст. / А. Г. Александров -М.: Высш. шк., 1989.-263с.

5. Александров Е.Е. Многоканальные системы оптимального управления Текст. / Е.Е. Александров, Б.И. Кузнецов, И.Н. Богаенко -К.: TexHiKa, 1995. 228 с.

6. Алексеев В.М. Оптимальное управление Текст. / . В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин М.: Наука, 1979. 429 с.

7. Андриевский Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами в системе MatLab Текст. / Б.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков СПб.: Наука, 1999. 355 с.

8. Арис, Р. Анализ процессов в химических реакторах Текст. / : [пер. с англ.] / Р. Арис. Л.: Химия, 1967. - 328 с. - Библиогр.: с.316.

9. Предм. указ.: с. 322 325. - 4000 экз.

10. Атанс М. Оптимальное управление Текст. / Атанс М. Фалб П. М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

11. VI.Балакирев B.C. Оптимальное управление процессами химической технологии Текст. / B.C. Балакирев, В.М. Володин В.М., A.M. Цирлин. М.: Химия, 1978. - 384 с.(6)

12. Банд и, Б. Методы оптимизации Текст. / . Вводный курс [Текст]: [пер. с англ.] / Б. Банди. М.: Радио и связь, 1988. - 128 е.: ил. -Библиогр.: с. 124 - 125. - 50000 экз. - ISBN 5-256-00052-7.

13. Беллман Р. Динамическое программирование Текст. / Р. Беллман М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.

14. Боровских, А. В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Текст. / А.В. Боровских, А.И Перов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. 2004. - 540 с.

15. Гайдук А. Р. К исследованию устойчивости линейных систем Текст. / А. Р. Гайдук «Автоматика и телемеханика», 1997, №3.— С. 153—160.

16. Гамильтон У. Р. Избранные труды Текст. / У. Р. Гамильтон.— М.: Наука, 1994.

17. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление Текст. / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. — М.: Физматгиз, 1961. — 228 с.

18. Голуб Дж. Матричные вычисления Текст. / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун / Пер. с англ, под ред.В.В. Воеводина. М.: Мир, 1999. 548 с.

19. Дидук Г. А. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления Текст. / Г. А. Дидук, А. С. Коновалов, И. А. Орурк, Л. А. Осипов. — М.: 1984. — 343 с.

20. Зеликин М. И. К теории матричного уравнения Риккати Текст. / М. И. Зеликин // Мат. сборник. —1991,—Т. 182, №7,— С. 970-984.33 .Зеликин М. И. К теории матричного уравнения Риккати 2 Текст. / М. И. Зеликин //Мат. сборник.— 1992.—Т. 183, № 10.—С. 87108.

21. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении Текст. / М. И. Зеликин. — М.: Изд-во «Факториал, 1998. —351 с. — ISBN 5-88688-022-4.

22. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования Текст. / В. И Зубов. — JL: Машиностроение, 1974. — 335 с.

23. ЪЪ.Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления Текст. / X/ Квакернаак, Р. Сиван — М.: Мир1977.— 650 с.

24. Ъ9.Кирин Н. Е. Методы оценивания и управления в динамических системах Текст. / Н. Е Кирин. — СПб. СПбГУ, 1993.— 306 с.

25. Корн Г. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров Текст. / Г. Корн , Т. Корн : Пер. с англ. М.: Наука, 1973. 832 с.

26. Крамере, X. Химические реакторы. Расчет и управление Текст. / X. Крамере, К. Вестертерп. Пер. с англ. М.: Химия, 1967. - 264 с.

27. Лернер А.Я. Оптимальное управление Текст. / А .Я. Лернер, Е.А. Розенман . М.: Энергия. 1970. 358 с.

28. Ильин Б. Л., Линейная алгебра Текст. / , Б. Л. Ильин, Э. Г. Позняк, Главная редакция физико-математической литературы, изд-во «Наука», 1974.53Лукас В. А. Теория автоматического управления Текст. / В. А. Лукас. М.: Недра, 1990. - 416 с.

29. Математическое моделирование Текст. / Сб. под ред. Дж. Энрюс. М.: Мир. - 1979. - 276 с.55 .Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью Текст. / К. Меррием. —М.: Мир, 1967.— 549 с.

30. Методы классической и современной теории автоматическогоуправления Текст. / : Учебник в 3-х т. / Под общей редакцией Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2000г.

31. Мовшин А.О. Автоматизация процессов растворной полимеризации: диссертация, на соискание, ученой степени кандидата, технисеских. наук Текст. / . — JL: 1990. -227с.(64)

32. Ньютон Д. Теория линейных следящих систем Текст. / Д. Ньютон, JI. Гулд, Д. Кайзер.— М.: Физматгиз, —407 с.

33. Плис А.И. Mathcad 2000: математический практикум для экономистов и инженеров Текст. / А.И. Плис, Н.А. Сливина . М.: Финансы и статистика, 2000. 656 с.

34. Табак Д. Оптимальное управление и математическое программирование Текст. / . Д. Табак, Б.Куо, перев. с англ. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1975, 280 стр.

35. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления Текст. / Ю. П. Петров. — JI.: Энергия, издание второе, 1977. — 280 с.

36. Петров Ю. П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений Текст. / Ю. П. Петров. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. -192 е.: ил.

37. Петров Ю. П. Устойчивость линейных систем при вариацияхпараметров Текст. / Ю. П. Петров. — «Автоматика и телемеханика», 1994, № 11. —С. 186—189.

38. Ы.Раис, Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение Текст. / Дж. Раис, / Пер. с англ, под ред. В.В. Воеводина, М.: Мир, 1984. 264 с.68 .Рей У. Методы управления химико-технологическими процессами Текст. / У. Рей М.:«Мир», 1983г.

39. Розоноэр Л.И. Принцип Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем Текст. / //Автоматика и телемеханика, 1959, №10, С. 1320-1334; №11, С. 1441-1458; №12, С. 1561-1579.

40. Самарский А. А. Математическое моделирование Текст. / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Наука, 1997. 320 с.71 .Сейдж Э.П. Оптимальное управление системами Текст. / Э.П.Сейдж, Ч.С. Уайт: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

41. Слинько, М. Г. Моделирование химических реакторов Текст. / М.Г. Слинько. Новосибирск: Наука, 1968. - 138 с.

42. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем Текст. / В.П. Тарасик. Минск: ДизайнПРО, 1997. 640 с.

43. А.Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры Текст. / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева Издание 3-е, стереотипное. — СПб.: Издательство «Лань», 2002. — 736 с.

44. Фельдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования Текст. / //Автоматика и телемеханика. 1953. 14. №6. С. 1561-1580.1в.Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем Текст. / Я. З.Цыпкин. — Наука, 1977. — 569 с.

45. Чаки Ф. Современная теория управления Текст. / Ф. Чаки (пер. с венгерского). — М.: 1975.78 .Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического регулирования Текст. / Ш. Чанг.— М.: Машиностроение, 1964. — 440 с.

46. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы Текст. / Е.П. Чураков -М.: Энергоатомиздат, 1987. -256 с.

47. Шипачев, B.C. Высшая математика Текст. / B.C. Шипачев:учебник для вузов. 4-е изд., стер. - М.: Высш. шк, 1998. - 479 с.81 .Шмыров А. С. Устойчивость в гамильтоновых системах Текст. / А. С.Шмыров. — СПб.: СПбГУ, 1995. — 127 с.

48. Bucy R. S. Structural stability for the Riccati equation reactors Text. / R. S. Bucy SIAM J.Control and Optimization. — 1975. — V. 13. — P. 749753.

49. Gibson J. S. The Riccati integral equation for optimal control problemson Text. / J. S. Gibson Hilbert spaces ff SIAM J. Control and Optimiz.—1979.—V. 17.—P. 537-565.

50. Grugneli L. Sur Carteggio Jacopo Riccati Text. / L. Grugneli — Firence, 1992.

51. Hermann R., Martin C. F. Lie and Mors theory of periodicorbitsof vector fields and matrix Riccati equations I; General Text. / R. Hermann, C. Martin F.Lie-theoretic method /Math. Systems Theory. —1982—V. 15. —P. 277-284.

52. Levin J. J. On the matrix Riccati equation Text. / J. J. Levin Proc.

53. Amer. Math.Soc. — 1959. — V. 10, № 4, — P. 519-524.

54. S9.Reid W. T. Riccati matrix differential equations and nonoscillationcriteria for associated linear differential systems Text. W. T. Reid Pacific J. Math. — 1963. —V. 13,№ 2. — P. 665-685.

55. Kalman R. E. Mathematical description of linear dynamical systems Text. / , R. E. Kalman SIAM Journ. Control, ser. A, 1963, No. 1.