автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование синтеза наноструктур и транспортных процессов в них

На правах рукописи

БЛИНОВА ИРИНА ВЛАДИМИРОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИНТЕЗА НАНОСТРУКТУР И ТРАНСПОРТНЫХ ПРОЦЕССОВ В НИХ

Специальность 05 13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Попов Игорь Юрьевич

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук,

профессор Балошин Юрий Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор Ульянов Сергей Владимирович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится 6 мая 2008 года в 14°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.227 06 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу 197101, г Санкт-Петербург, Кронверкский пр, д 49, ауд 308

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу

197101, г Санкт-Петербург, Кронверкский пр, д 49, СПбГУИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан СУ 0 4 2008 года Ученый секретарь

диссертационного совета д.тн ТарлыковВ.А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы.

Последние десятилетия изучение структур нанометрового масштаба привлекает все большее внимание специалистов в таких областях как химия, молекулярная биология, материаловедение, физика твердого тела Это связано с возможностью синтеза (а, следовательно, и с улучшением) таких структур, а также возможностью модификации свойств известных материалов, разработкой процессов формирования наночастиц и т п. Поведение электрона в наноструктурах очень специфично, что связано с эффектами квантования, вызываемыми пространственными ограничениями. В то же время, электронная структура ответственна за такие свойства материала, как электронная проводимость, оптическое поглощение, химическая реакционная способность и даже механические характеристики Поэтому наноструктуры являются частицами с иными физическими и химическими свойствами Для теоретического обоснования и предсказания поведения и свойств таких систем необходимо создание моделей процессов их образования, особенно учитывая их сложность, обилие параметров, определяющих их ход, а также трудности управления процессами

Цель диссертационной работы. Создание прогностических моделей формирования наноструктур и моделей для описания их транспортных свойств Для достижения указанной цели решены следующие задачи.

1 Построена модель процесса образования наноразмерных свитков

2 Построена модель процессов образования наноструктур в многофазной среде Предложено и проанализировано «почти квазистационарное» приближение для описания роста зерен и выведены критерии устойчивости фронта кристаллизации.

3 Представлена модель для описания транспортных свойств электрона на непрерывном графе типа салфетки Серпинского Изучены свойства коэффициента прохождения

Методика исследования при решении первых двух задач опирает«

применение методов молекулярной динамики с использованием компьютерного моделирования Кроме того, в задаче о формировании наносвитка используются методы механики жидкости и численные методы, а в задаче об образовании наноструктур в двухфазной среде применяются методы решения уравнений в частных производных в областях с подвижными границами При описании транспортных свойств фрактальной структуры использованы методы теории рассеяния, спектрального анализа, теории дифференциальных уравнений и компьютерное моделирование Создан комплекс программ для моделирования перечисленных процессов

Научная новизна исследования - все полученные результаты являются новыми

Основные результаты, выносимые на защиту. 1 Модель процесса образования наноразмерных свитков в гидротермальной среде.

2. Модель процессов образования наноструктур в многофазной среде. Предложено «почти квазистационарное» приближение для описания роста зерен

3 Модель для описания транспортных свойств электрона на непрерывном графе типа салфетки Серпинскош Зависимость коэффициента прохождения от параметров системы Предложен эффективный вычислительный алгоритм для вычисления коэффициента прохождения

Обоснованность и достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, подтверждается тщательным анализом и апробацией на конференциях и в печатных изданиях

Практическая значимость Разработайные модели и комплексы программ могут быть использованы при выработке оптимальных методов и технологических режимов создания новых материалов на основе наноструктур На их базе возможно прогнозирование свойств наноматериалов и управление процессами их образования. Апробация результатов работы.

Результаты работы прошли апробацию на конференциях The International Conference "Workshop on Computational Physics" St -Petersburg, August 24-27 2003, The International Conference "Computer Modeling of Dynamic Systems", St Peterburg, June 2-5 2004, Конференция «Региональная информатика 2004», Санкт-Петербург, 22-24 июня 2004, Topical meeting of the European ceramic society "Nanoparticies, nanostructure, nanocomposites", St-Petersburg, July 5-7 2004, Topical meeting of the European ceramic society "Structural chemistry of partially ordered systems, nanoparticies and nanocomposites", St-Petersburg, June 27-29 2006, Политехнический симпозиум, Санкт-Петербург, декабрь 2006, IV межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 10-13 апреля 2007

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 7 статей и 4 тезиса докладов на конференциях в том числе в журналах из перечня ВАК («Физика и химия стекла», «Научно-технический вестник СПб ГУИТМО»)

Структура и объем диссертационной работы Диссертационная работа объемом 125 машинописных страниц, содержит введение, четыре главы и заключение, список литературы, содержащий 110 наименований, 4 приложения, 41 рисунок

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении формулируются основные цели и задачи диссертационной работы, обосновывается их научная актуальность, кратко перечисляются основные результаты, полученные в работе

В первой главе приводится обзор нанотехнологических исследований, описаны некоторые основные численные методы для многочастичных систем, приведена квантово-механическая трактовка многочастичной задачи, рассмотрены феноменологические потенциалы, используемые при решении многочастичных задач с взаимодействием, описан метод молекулярной динамики, приведены методы решения уравнений движения, рассмотрены

явления формирования кристаллов, приведен обзор исследований, проводимых на фракталах и исследований статистики энергетического спектра квантовых хаотических систем

Во второй главе рассмотрена модель процесса образования наноразмерных свитков С помощью метода молекулярной динамики рассмотрен процесс флуктуационного отрыва и быстрого закручивания двойного слоя с образованием первого витка Рассмотрен процесс скручивания нанослоя с образованием многостенного наносвитка

В первом разделе приводятся причины, приводящие к возможности формирования наносвитка из химических соединений, имеющих слоистую структуру Рассматриваются соединения, состоящие из слоев, которые можно представить как два подслоя, связанные друг с другом сильной химической связью. При этом сами двойные слои связаны друг с другом более слабыми химическими связями по сравнению со связями между образующими их подслоями или связями внутри каждого подслоя В общем случае из-за размерного несоответствия между структурными элементами, образующими химически связанные друг с другом подслои, в этих подслоях могут возникать напряжения Двойной слой в определенных условиях (при увеличении толщины межслоевого пространства вследствие интеркалирования в него воды или других компонентов окружающей среды) скручивается в круговой цилиндр - наносвиток с начальным радиусом _ (а. +а,)3 ,

к0=—г-— - расстояние между структурными элементами верхнего

2(а, —а2)

подслоя двойного слоя в ненапряженном состоянии, а2 - расстояние между структурными элементами нижнего подслоя двойного слоя в ненапряженном состоянии, 3 - суммарная толщина двойного слоя и межслоевого пространства)

Во втором разделе представлены результаты расчета, проведенного с использованием метода молекулярной динамики, последовательных стадий отрыва напряженного двойного слоя и скручивание его в наносвиток.

В третьем разделе описана динамика скручивания с образованием многостенного наносвитка При этом угловая скорость вращения наносвитка (б'У Е

составляет <о= 1 ; (Е - модуль Юнга нанослоя, ц - динамическая Ъщр

вязкость жидкости, 5' - начальная толщина двойного слоя) Оценка числа Рейнольдса вязкого течения дает значение порядка Яе-кг4, что позволяет использовать для описания течения квазистационарное приближение Стокса Решение бигармонического уравнения для функции тока ЧР с однородными д¥

условиями для Ч* й — (к- нормаль) на плоской границе слоя и условием 8У

УЧ* = -о г на поверхности трубки имеет вид

4Лу3 Зу2

ЧР = 2112ш

[(х^у2)2 х3+у2

свидетельствующий о формировании вшфевого течения при скручивания наносвитка в жидкости (ли у ~ декартовы координаты, отсчитываемые от точки касания нанотрубки и слоя)

Первый виток наносвитка имеет равновесный радиус Й.,,. В ходе скручивания внутренний радиус наносвитка Л, принимает значения меньшие исходного радиуса , а его внешний радиус оказывается большим, чем Я0 Уменьшение внутреннего радиуса наносвитка после образования более чем одного витка, определяется уменьшением при этом механической энергии наносвитка вследствие проскальзывания скрученных слоев друг относительно друга и приводит к выдавливанию жидкости изнутри наносвитка Получена зависимость внутреннего (Я,) и внешнего (Ы2) радиусов наносвитка от времени скручивания, а также зависимость напряжения от номера слоя в наносвитке

В третьей главе с использованием методов молекулярной динамики рассмотрен процесс образования наноструктур в многофазной среде Предложено и проанализировано «почти квазистационарное» приближение для описания роста зерен и выведены критерии устойчивости фронта

кристаллизации Проводится сравнение результатов моделирования с данными критериями.

В первом разделе рассматривается рост частиц двух основных типов -сферического и цилиндрического - с учетом влияния капиллярных сил

1) Рассматривается эволюция сферического фронта В качестве исходного берется уравнение для случая, когда поверхность раздела движется со скоростью и:

где р - плотность, ср - удельная теплоемкость жидкости, Т - температура

Получено условие устойчивости сферического фронта, движущегося со скоростью и = иг0~2г

(если у положительно (отрицательно), то в данном направлении имеется неустойчивость (устойчивость)), а также с постоянной скоростью й - и0г~'г

2) Рассмотрим случай цилиндрической границы раздела, движущейся со скоростью и = и{р)"1ёр, где р,ф,г - цилиндрические координаты, ер -соответствующий единичный вектор. Получено выражение для параметра, характеризующего устойчивость

Неустойчивость по определенным направлениям приводит к начальной стадии роста дендриггов

Проведено моделирование роста зерен цилиндрического типа Рассматривается два случая- 1) осаждение молекул на невозмущенную окружность, 2) осаждение молекул на возмущенную окружность, имеющую

рсрТ[-Ш + рср&у(ТТ}) = 0,

неровность выпуклого характера На рис I представлены три характерных результата

а б в

Рие.1. (а) Осаждение на невозмущенную окружность, (б,в) осаждение молекул на окружность, имеющую неровность выпуклого характера (б - отношение скоростей - 1/55, в -отношение скоростей —1/250)

В результате численного моделирования выявлено, что при отношении скорости перемещения молекул по окружности к скорости движения молекул в моделируемом пространстве, большем 1/55 наблюдается устойчивость фронта кристаллизации В противном случае фронт кристаллизации неустойчивый

Во втором разделе рассматривается моделирование процесса образования структуры, подобной периодической, в двухфазной среде при трех условиях 1) осаждение с быстрым затвердеванием, 2) осаждение с вертикальной мобильностью, 3) осаждение с вертикальной и горизонтальной мобильностями. В работе приведены результаты моделирования.

В четвертой главе рассмотрена модель для описания транспортных свойств электрона на непрерывном графе типа салфетки Серпинского

В первом разделе даны основные определения для дискретной и непрерывной салфеток Серпинского

Во втором разделе приведена постановка задачи Исследуются свойства решений одномерного стационарного уравнения Шредингера на непрерывной салфетке Серпинского, граничные точки которой образуют правильный треугольник,

л/=-*7„,

где /п - функция, заданная на непрерывном графе, Д - вторая производная

Требуется, чтобы выполнялись следующие граничные условия В вершинах графа функция остается непрерывной, а сумма производных в каждой вершине равна нулю Решение уравнения ищется отдельно на каждом ребре в виде /(х) = С,е"'ь +Сае'ь, где С, и С2 константы, определяемые из граничных условий

В третьем разделе получены выражения для коэффициента отражения а„(к) и коэффициента прохождения ра{к) через салфетку Серпинского п-ого порядка для волнового числа к через коэффициенты салфетки Серпинского п-1-ого порядка

1 - ап_. „ 1 - а,..

«.=«*-.+--Р"=~~--^-'

и описаны их свойства.

Четвертый раздел посвящен численному исследованию коэффициента прохождения электрона через салфетку Серпинского п-ого порядка в зависимости от волнового числа к Рассмотрены два метода

1) Первым способом нахождения коэффициента прохождения является явное решение систем линейных уравнений, возникающих из требования выполнения граничных условий в точках ветвления и границы

Рассмотрим салфетку Серпинского п-ого порядка Она состоит из 3"~' элементарных треугольников размера 1/2". Эти треугольники могут быть естественным образом локализованы в одном из трех треугольников размера 1/2, после такой локализации каждый элементарный треугольник может быть в свою очередь локализован в одном из трех треугольников размера 1/4и т д Таким образом, местоположение любого треугольника может быть задано с помощью (п-1)-значного троичного числа

Каждому ребру соответствует два неизвестных коэффициента перед экспонентами <Г'Ь и е'ь Они обозначаются хА и уА соответственно Записаны граничные уравнения для вершин салфетки

Х01 + У 01 ~ Х02 + У 01 Хт+Уо^е^Хп+е^Уп

хт +хог +ет'уп +ет-уп = ут + уог +е~*1хп +е-т-хп Каждая неизвестная встречается не более чем в четырех уравнениях Для решения можно применять любой итерационный метод Но поскольку число точек растет экспоненциально от порядка салфетки, этот метод плохо применим для салфетки порядка выше пятого

2) Предложен второй метод Рассмотрим салфетку Серпинского 1-ого порядка Ее поведение однозначно задается девятью уравнениями с 12-ю неизвестными (по три уравнения на каждую вершину) Путем исключения переменных, описывающих состояние внутренних ребер, можно получить 3 уравнения с шестью неизвестными.

Аналогично рассмотрена салфетка Серпинского п-ого порядка Она составлена из 3-х салфеток п-1-го порядка, для каждой из которых известны описывающие их уравнения. Причем, часть неизвестных из системы для одной салфетки Серпинского являются неизвестными из системы для другой, соединяя их вместе Тогда, получаем 9 уравнений с 12-ю неизвестными Исключая неизвестные, описывающие состояния внутренних ребер, получили 3 уравнения с шестью неизвестными, но описывающие уже салфетку Серпинского п-ого порядка. Продолжая итерационную процедуру, можно получить уравнения, описывающие салфетку Серпинского любого порядка

В этом же разделе проанализированы характеристики коэффициентов прохождения Во всех случаях рассматривается логарифмический коэффициент прохождения, логарифм максимального коэффициента прохождения будет равен 1п(2/3)«0 8. Частоты, на которых коэффициент прохождения равен нулю, будем называть резонансами Приведены логарифмические графики коэффициента прохождения для салфеток 1-ого, 4-ого, 5-ого порядков Проанализирована зависимость резонансов от порядка

салфетки Обнаружено самоподобие частотных характеристик (Рис 2) При больших порядках салфетки коэффициент прохождения становится мал всюду, кроме небольших областей в окрестностях сингулярностей

Рис.2. Самоподобие частотных характеристик N=11

Изучено поведение частотной характеристики при внесении неоднородаостей в салфепсу Серпинского (изменения длин отдельных ребер, введения «трения» в некоторые вершины)

В пятом разделе изучены свойства дискретной салфетки Серпинского Приведены базовые определения и теоремы Приведены определения предгармонической и гармонической функции Для гармонической функции верна следующая теорема

Теорема 5.1 .Для данных трех чисел а,/),у существует единственная гармоническая функция / удовлетворяющая условиям /(р]) = се, /(р2) = р и /{Ръ)~Т> где Р\, Рг и Рз граничные точки

Теорема 5.2 (Принцип максимума). Если гармоническая функция/, определенная на дискретной салфетке Серпинского достигает своего максимального значения на неграничных точках салфетки, тогда f константа на всей салфетке

Приведено определение дискретного лапласиана т-го порядка и определение лапласиана на дискретной салфетке бесконечного порядка

В шестом разделе рассматривается взаимосвязь между дискретной моделью салфетки Серпинского и непрерывной. Доказаны следующие теоремы

Теорема 6.1. Для любой собственной функции / оператора Лапласа на непрерывной салфетке Серпинского ее сужение на дискретную салфетку является собственной функцией дискретного лапласиана, возможно, с другим собственным значением

Замечание Обратное утверждение неверно- не всегда существует расширение дискретной собственной функции на непрерывной салфетке Тем не менее, для предгармонической функции такое расширение всегда можно построить

Теорема 6.2. Сужение предгармонической функции с непрерывной салфетки на дискретную дает предгармоническую функцию Расширение предгармонической функции с дискретной салфетки на непрерывную с помощью аппроксимации дает предгармоническую функцию

В седьмом разделе изучена статистика распределения резонансов для салфетки 8-ого порядка Рассмотрено влияние нарушений симметрии салфетки на характер распределения

В заключении представлены основные выводы

В приложениях приведены программы для расчетов в соответствующих задачах

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абрамова И В (Блинова), Мельничук О.П, Попов И Ю., Сандлер М М Резонансные эффекты в задаче рассеяния на сложном графе // Научно-технический вестник, Выпуск 11, Санкт-Петербург 2003. С 129-136

2. Abramova IV. (Blinova), Melmchuk OP, Popov IYu, Sandler MM Scattering problem for the graph of Sierpinski gasket type computational experiment // Int Conf Workshop on Computational Physics, Book of abstracts, Samt-Petersburg 2003 P 44

3. Blinova IV., Chivilikhm S A, Popov I Yu, Gusarov V V. The model of nanotube formation // Int Conf "Nanoparticles, nanostructures and nanocomposites" Book of abstracts, Saint-Petersburg 2004 P. 21

4. Блинова И В., Попов И Ю , Чивилихин С А. Скручивание нанотрубки в вязкой жидкости // Научно-технический вестник, Выпуск 30, Санкт-Петербург 2006. С. 65-69

5. Blmova IV, Gusarov V V., Popov I Yu. Dynamical model of nuclei growth m two-phase medium // Int Conf "Structural Chemistiy of partially ordered systems, nanoparticles and Nanocomposites" Book of abstracts, Saint-Petersburg- 2006 P 46.

6. Блинова И В Методы молекулярной динамики для процессов синтеза в гидротермальных средах // Материалы конференций политехнического симпозиума «Молодые ученые - промышленности Северо-западного региона», Санкт-Петербург. 2006 С 111-112.

7. Блинова И.В, Попов И Ю, Свитенков А И, Чивилихин С А Формирование наносвитков в вязкой жидкости. // Научно-технический вестник, Выпуск 42, Санкт-Петербург 2007. С 56-59

8. Блинова ИВ , Гусаров ВВ., Попов И.Ю «Почти квазистационарное» приближение для описания роста зерен // Научно-технический вестник, Выпуск 44, Санкт-Петербург 2007. С 3-10

9. Чивилихин С.А., Попов И.Ю, Блинова ИВ, Кириллова С.А, Коновалов А С Облогин С И, Тшпкин В О., Чернов И А, Гусаров В В Моделирование процессов формирования наноразмерных свитков // Физика и химия стекла. 2007 ТЗЗ N4 С 442-448

10.Blmova I V, Popov I Yu., Sandler M. M. Quantum Graph of Sierpinski Gasket Type. Computational Experiment // Russian Journal of Mathematical Physics. 2007. V 14, N 4. P. 388-396

11.Blinova IV, Gusarov VV, Popov I.Yu. "Almost quasistationaiy" approximation for the problem of solidification front stability // Z angew Math.Phys 2008 V.59 1-10

Тиражирование я брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Са&гонская ул., 14 Тел (812) 233 4669 объем 1 пл Тираж 100 экз

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Область нанотехнологических исследований.

2. Основные численные методы для многочлстичных систем.

3. Квантово-механическая трактовка многочастичной задачи.

4. Феноменологические потенциалы.

5. Метод молекулярной динамики.1 б

6. Решение уравнений движения.

7. Оценка алгоритмов интегрирования.

8. Образование кристаллических структур.

9. Анализ на фракталах.

10. Статистика энергетического спектра.

ГЛАВА II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАЗОВАНИЯ НАНОСВИТКОВ ИЗ СЛОИСТОГО ВЕЩЕСТВА.

1. Постановка задачи.

2. Образование первого витка наносвитка.

3. Динамика скручивания наносвитка.

ГЛАВА III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАЗОВАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСАЖДЕНИИ ЧАСТИЦ.

1. Получение материалов с заданной структурой зёрен.

2. Образование почти периодической структуры в двухфазной среде.

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ НА СЛОЖНОМ ГРАФЕ.

1. Основные определения.

2. Постановка задачи.

3. Анализ коэффициента прохождения и коэффициента отражения салфетки Серпинского.

4. Численный анализ.

5. Дискретная модель.

6. Связь между дискретной и непрерывной моделями.

7. Статистика распределения резонансов.

Актуальность темы работы.

Последние десятилетия изучение структур нанометрового масштаба привлекает все большее внимание специалистов в таких областях как химия, молекулярная биология, материаловедение, физика твердого тела. Это связано с возможностью синтеза (а, следовательно, и с улучшением) таких структур, а также возможностью модификации свойств известных материалов, разработкой процессов формирования наночастиц и т.п. Поведение электрона в наноструктурах очень специфично, что связано с эффектами квантования, вызываемыми пространственными ограничениями. В то же время, электронная структура ответственна за такие свойства металла, как электронная проводимость, оптическое поглощение, химическая реакционная способность и даже механические характеристики. Поэтому наноструктуры выглядят как частицы с иными физическими и химическими свойствами. Для теоретического обоснования и предсказания1 поведения и свойств таких систем необходимо создание моделей процессов их образования, особенно учитывая их сложность, обилие параметров, определяющих их ход, а также трудности управления процессами.

Цель диссертационной работы. Создание прогностических моделей формирования наноструктур и моделей для описания их транспортных свойств.

Для достижения указанной цели решены следующие задачи:

1. Построена модель процесса образования наноразмерных свитков.

2. Построена модель процессов образования наноструктур в многофазной среде. Предложено и проанализировано «почти квазистационарное» приближение для описания роста зерен и выведены критерии устойчивости фронта кристаллизации.

3. Представлена модель для описания транспортных свойств электрона на непрерывном графе типа салфетки Серпинского. Найдены коэффициенты прохождения и отражения как функции волнового числа падающей волны.

Методика исследования при решении первых двух задач опирается на применение методов молекулярной динамики с использованием 3 компьютерного моделирования. Целью анализа является нахождение устойчивых конфигураций для систем многих частиц, описание динамики процесса, изучение зависимости хода процесса и его результата от начального состояния и внешних параметров, прогнозирование результатов процесса. Кроме того, в задаче о формировании наносвитка используются методы механики жидкости и численные методы, а в задаче об образовании наноструктур в двухфазной среде применяются методы решения уравнений в частных производных в областях с подвижными границами. При описании транспортных свойств фрактальной структуры использованы методы теории рассеяния, спектрального анализа, теории дифференциальных уравнений и компьютерное моделирование. Создан комплекс программ для моделирования всех перечисленных процессов.

Научная новизна исследования — все полученные результаты являются новыми.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Модель процесса образования наноразмерных свитков. При этом процесс рассматривается в несколько стадий. На первой стадии происходит флуктуационный отрыв и быстрое автокаталитическое закручивание двойного слоя с образованием первого (ненапряженного) витка. Использованы численные методы. Проведено моделирование второй стадии процесса скручивание нанослоев из слоистых структур с образованием многостенного наносвитка, что позволило оценить продолжительность данной стадии процесса.

2. Модель процессов образования наноструктур в многофазной среде. Проведено исследование методами молекулярной динамики. Предложено и проанализировано «почти квазистационарное» приближение для описания роста зерен и выведены критерии устойчивости фронта кристаллизации. Проводится сравнение результатов моделирования с данными критериями.

3. Модель для описания транспортных свойств электрона на непрерывном графе типа салфетки Серпинского. Найдены коэффициенты прохождения и отражения как функции волнового числа падающей волны.

Зависимость имеет резонансный характер. Количество резонансных пиков увеличивается при переходе к салфетке более высокого порядка. Предложен эффективный вычислительный алгоритм, позволяющий находить транспортные характеристики салфетки n-го порядка через характеристики салфетки (n-l)-ro порядка и изучать появление свойств фрактальной структуры при возрастании порядка салфетки. Исследовано изменение графика коэффициента прохождения при изменении порядка салфетки. Обнаружен эффект самоподобия графика. Изучена статистика распределения резонансов для салфеток 5-8 порядков с точки зрения хаотичности поведения электрона в данной регулярной структуре. Рассмотрено влияние нарушений симметрии салфетки (изменение длины одного из ребер и изменение граничного условия в одной из вершин) на коэффициент прохождения.

Обоснованность и достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, подтверждается тщательным анализом и апробацией на конференциях и в печатных изданиях.

Практическая значимость. Разработанные модели и комплексы программ могут быть использованы при выработке оптимальных методов й технологических режимов создания новых материалов на основе наноструктур. На их базе возможно прогнозирование свойств наноматериалов и управление процессами их образования.

Апробация результатов работы.

Результаты работы прошли апробацию на конференциях:

1. Конференция проф.-преп. состава СПб ГИТМО (ТУ), февраль, 2003г.

2. The International Conference "Workshop on Computational Physics" St.-Petersburg, August 24-27 2003.

3. The International Conference "Computer Modeling of Dynamic Systems", St. Peterburg, June 2-5 2004.

4. Конференция «Региональная информатика 2004», Санкт-Петербург, 22-24 июня 2004.

5. Topical meeting of the European ceramic society "Nanoparticles, nanostructure, nanocomposites", St-Petersburg, July 5-7 2004. 5

6. Topical meeting of the European ceramic society "Structural chemistry of partially ordered systems, nanoparticles and nanocomposites", St-Petersburg, June 27-29 2006.

7. Политехнический симпозиум, Санкт-Петербург, декабрь 2006.

8. IV межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 1013 апреля 2007.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 7 статей [13, 14, 62, 65, 66, 67, 108] и 4 тезиса докладов на конференциях [1, 11, 12, 68]. Материалы статей опубликованы в журналах из перечня ВАК на соискание ученой степени доктора и кандидата наук («Физика и химия стекла», «Russian Journal of Mathematical Physics», «Научно-технический вестник СПб ГУ ИТМО» (2)).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа объемом 125 машинописных страниц, содержит введение, четыре главы и заключение, список литературы, содержащий 110 наименований, 4 приложения, 41 рисунок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате работы:

1. Показано, что формирование наноразмерных свитков необходимо моделировать как многостадийный процесс с использованием различных методов. На первой стадии происходит флуктуационный отрыв и быстрое автокаталитическое закручивание двойного слоя с образованием первого (ненапряженного) витка. Моделирование скручивания нанослоев из слоистых структур с образованием многостенного наносвитка позволило оценить продолжительность данной стадии процесса. Для слоев с характерной длиной и шириной от 100 нм до нескольких микрометров время скручивания составляет от единиц до сотен миллисекунд.

2. Рассмотрена начальная стадия роста зерен и дендритов. Показано, что изменение радиуса зерна ведет, к модификации уравнения. Предложено «почти квазистационарное» приближение, при котором видно, что даже без учета поверхностного натяжения ситуация с устойчивостью может быть различна по разным направлениям. Предложены математические модели: 1) модель получения материалов с заданной структурой зерен, 2) модель процесса образования почти периодической структуры в двухфазной среде.

3. В работе предложена модель непрерывной салфетки Сёрпинского.

Найдены коэффициенты прохождения и отражения как функции волнового числа падающей волны. Зависимость имеет резонансный характер. Количество резонансных пиков увеличивается при переходе к салфетке более высокого порядка. Предложен, эффективный вычислительный алгоритм, позволяющий находить транспортные характеристики салфетки n-го порядка через характеристики салфетки (n-l)-ro порядка и изучать появление свойств фрактальной структуры при возрастании порядка салфетки. Исследовано изменение графика коэффициента прохождения при изменении порядка салфетки. Обнаружен эффект самоподобия графика. Изучена статистика распределения резонансов для салфеток 5-8 порядков с точки зрения хаотичности поведения электрона в данной регулярной структуре. Рассмотрено

78 влияние нарушений симметрии салфетки (изменение длины одного из ребер и изменение граничного условия в одной из вершин) на коэффициент прохождения.

Практическая значимость. Разработанные модели и комплексы программ могут быть использованы при выработке оптимальных методов и технологических режимов создания новых материалов на основе наноструктур. На их базе возможно прогнозирование свойств наноматериалов и управление процессами их образования.

По материалам диссертационной работы опубликовано 7 статей и 4 тезиса докладов конференций, результаты работы представлены на 8 конференциях.

1. Abramova I.V. (Blinova), Melnichuk O.P., Popov I.Yu., Sandler M.M. Scattering problem for the graph of Sierpinski gasket type: computational experiment. // Int. Conf. Workshop on Computational Physics, Book of abstracts, Saint-Petersburg. 2003. P. 44.

2. Amelinckx S., Bernaerts D., Zhang X.B., van Tendeloo G.,van Landuyt J. A structure model and growth mechanism for multishell carbon nanotubes // Science. 1995. V. 267. P. 1334-1338.

3. Barlow M.T. and Bass R.F. Brownian motion and harmonic analysis on Sierpinski carpet. // Canad. J. Math. 1999. P. 673-744.

4. Barlow M.T. and Bass R.F. Coupling and Harnack inequalities for Sierpinski carpet. //Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1993. P.2008-212.

5. Barlow M.T. and Bass R.F. On the resistance of the Sierpinski carpet. // Proc. R. Soc. London. 1990. P354-360.

6. Barlow M.T. and Bass R.F. Transition densities for Brownian motion on the Sierpinski carpet. // Probab. Theory Related'Field. 1992. P. 307-330.

7. Barlow M.T. and Perkins E.A., Brownian motion on the Sierpinski carpet. // Probab. Theory Related Fields. 1988. P. 542-624.

8. Ben-Bassat O., Strihartz R.S., Teplyaer A. What is not in the domain of the Laplacian on Sierpinski gasket type fractals//.!. Funct. Anal. 1999. V.166 N.2.

9. Berry M. V., Robnik M. Semiclassical level spacings when regular and chaotic orbits coexist. // J. Phys. Ser. A. 1984. V. 17. P. 2413.

10. Berry M. V., Tabor M. Level Clustering in the Regular Spectrum. // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1977. V. 356. P. 375.

11. Blinova I.V., Chivilikhin S.A., Popov I.Yu., Gusarov V.V. The model of nanotube formation. // Int. Conf. Nanoparticles, Nanostructures and Nanocomposites. Book of abstracts, Saint-Petersburg. 2004. P. 21.

12. Blinova I.V., Gusarov V.V., Popov I.Yu. Dynamical model of nuclei growth in two-phase medium. //.Int. Conf. Structural Chemistry of partially orderedsystems, nanoparticles and Nanocomposites. Book of abstracts, Saint-Petersburg. 2006. P. 46.

13. Blinova I.V., Gusarov V.V., Popov I.Yu. "Almost quasistationary" approximation for the problem of solidification front stability // Z. angew. Math. Phys. 2008. V. 59. 1-10.

14. Blinova I. V., Popov I. Yu., Sandler M. M. Quantum Graph of Sierpinski Gasket Type: Computational Experiment. // Russian Journal of Mathematical Physics. 2007. V 14, N 4. P. 388-396.

15. Boettinger W.J., Coriell S.R., Greer A.L. et al. Solidification microstructures: recent developments, future directions.// Acta mater. 2000. V.48. Nl.P.43-70.

16. Bourdillon A.J., Tan N.X., Sorrell C.C., Dou S.X. Stability of superconducting phases in Bi-Sr-Ca-Cu-O and the role of Pb doping // Phys. Rev. B. 1989. V. 40, P. 5246-5255.

17. Brener E.A., Saito Y., Muller-Krumbhaar H., Temkin D.E. Рост иглообразного кристалла около стенки. // Письма в ЖЭТФ. 1995. Т. 61. N4. С. 285-289.

18. Brody H.D., Black D.R., Burdette H.E. et al. Real time observation of dendritic solidification in alloys by synchrotron microradiography // J. Phys. D: Appl. Phys. 2006. V. 39., N. 20, P. 4450-4456.

19. Camarda. H.S., Georgopulos P.D. Statistical Behavior of Atomic Energy Levels: Agreement with Random-Matrix Theory. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 492.

20. Doole S.H. A stefan-like problem with a kinetic condition and surface tension effects. // Math. Comput. Modelling 1996. V. 23, N 3.P. 55-67.

21. Dougherty A., Kaplan P.D. and Gollub J.P. Development of side branching in dendritic crystal growth. //Phys. Rev. Lett. V. 58. 1987. 1652-1655.

22. Falconer K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. // New York: John Wiley and Sons XXII. 1990. 288 pp.

23. Falconer K.J., Geometry of Fractal Sets.// Cambridge University Press. 1985.

24. Galenko P. Local-nonequilibrium phase transition model with relaxation of the diffusion flux. // Phys. Lett. A. 1994. V.190. P. 292-294.81

25. Gasati G., Chirikov B.V., Guarneri I. D. L. Shepelyansky Dynamical Stability of Quantum "Chaotic" Motion in a Hydrogen Atom // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2437.

26. Gold A. Scattering times of the two-dimensional electron gas on silicon (111) with a density dependent effective mass // J. Phys.: Condens. Matter. 1980. V.19., P.279.

27. Goldstein S. Random walks and diffusions on fractals, Percolation theory and ergodic theory of infinite particle systems (H. Kesten, ed), // IMA Math. Appl. V.8. 1987. P.122-129.

28. Gusarov V.Y., Popov I.Yu. Flows in two-dimensional non-autonomous hyases in polycrystalline system.// IL Nuovo Cimento. 1996. Y.18D. N7. P.799-805.

29. Gus'kov A. P-T-X phase equilibrium studies in Zn-Te for crystal growth by the Markov method //Computational Materials Science. 2000. V. 17. P. 555559.

30. Havlin S. and Ben-Avraham D. Diffusion in disordered media. // Adv. Phys. 1987. P.695-798.

31. Higuchi Y. Shirai T. The spectrum of magnetic Schrolinger operators on a graph with periodic structure // J Funct. Anal. 1999. Y.169. N 2. P. 456-480.

32. Hunt J.D., Lu S.-Z. A numerical analysis of dendritic and cellular array growth: the spacing adjustment mechanisms. // Journal of Crystal Growth, 1992. V.123. P. 17-34.

33. Jackson H.J. A past Editor's retrospective // J. Radiol.Prot. 2006. V.26. P.5-6.

34. Jancar B. Suvorov D. The influence of hydrothermal reaction parameters on the formation of chrysotil nanotubes //Nanotechnology. 2006. V.17. P.25-29.

35. Karma A., Langer J.S. Impurity effects in dendritic solidification // Phys. Rev. A. 1984. V.30, N 6.P. 3147-3155.

36. Kenyon R., Li Y., Strichartz R.S., Wang Y. Geometry of self-appine tiles II // Indiana: Math J. 1999. V. 48. N 1, P. 25-42.

37. Kigami J., A harmonic calculus on the Sierpinski space. // Japan J. Appl. Math. 1989. P. 259-290.38,3940,41