автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование распространения электромагнитного излучения в системах, содержащих дифракционные оптические элементы, методом разностного решения уравнений Максвелла

На правах рукописи

ОЛ

ГОЛОВАШКИН Димитрий Львович

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СИСТЕМАХ, СОДЕРЖАЩИХ ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, МЕТОДОМ РАЗНОСТНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Специальность 05.13.16 Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 2000

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.П. Королева на кафедре технической кибернетики.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор В.А. Сойфер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.И. Жданов (Самарский государственный аэрокосмический университет) доктор физико-математических наук, профессор В.А. Неганов (Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики)

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Зашита состоится "¿" 1<ЮМЛ 2000г. в / О часов на заседании диссертационного совета Д 63.87.02 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.П. Королева по адресу: 443086, Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан А ц^М 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н.

А.А. Калентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке разностных схем решения системы уравнений Максвелла в трехмерных и двумерных декартовых координатах для исследования прохождения электромагнитной волны через дифракционные микролинзы с высокой числовой апертурой и антиотражающие дифракционные микроструктуры, а также реализации параллельных вычислений для решения разностных уравнений.

Актуальность задачи.

В последние годы особый интерес в оптике вызывают задачи, в которых необходимо учитывать поляризацию электромагнитной волны, френелевское отражение и распределение интенсивности, как в самом оптическом элементе, так и в его выходной плоскости. Это связано с появлением интегральных оптических схем, антиотражающих решеток, дифракционных микролинз для ввода излучения в оптическое волокно. Методы геометрической и скалярной оптики не позволяют исследовать прохождение излучения через данные системы. Так, геометрическое приближение не позволяет учитывать дифракцию на дифракционной микролинзе, что делает лучевой подход неприемлемым для исследования микролинз. В рамках скалярного приближения известны работы Н. JI. Казанского, в которых рассматривается задача распространения излучения через микролинзу в приближении Френеля-Кирхофа. Ф. Выровский (F. Wyrowski) для этих целей использовал приближение Френеля. Однако для исследования короткофокусных микролинз, используемых для ввода излучения в волокно, необходимо рассчитывать распределение интенсивности на расстоянии нескольких длин волн от микролинзы. Такую задачу рассмотрели М.С. Мирозник, Д.В. Пратер, Д.Н. Мэйт (M.S. Mirctznik, D.W. Prather и J.N. Mait) решая уравнение Гельмголь-ца методом конечных элементов. Однако при этом не исследовалось прохождение излучения через рефракционную линзу и не оценивалось распределение интенсивности внутри предложенных дифракционных микролинз. Подход, предложенный М.С. Мирозником, Д.В. Пратером и Д.Н. Мэйтом не позволяет исследовать оптический элемент в волноводе. Поэтому актуально исследование прохождения электромагнитной волны через рефракционную и дифракционные микролинзы, заключенные в волновод.

При изготовлении дифракционных микролинз для мощных лазеров применяют материалы, обладающие высокой устойчивостью к термическому разрушению. Наиболее прочным материалом является алмаз, однако он обладает высоким показателем преломления, что обусловливает отражение большой доли энергии от границы раздела алмаз-воздух. Для снижения доли отраженной энергии алмазные оптические элементы просветляют, формируя на поверхности ан-тиотражающий субволновый рельеф. Принципы работы антиотражающих поверхностей глубоко исследовались в работах Д. Г. Рагуина и Г. М. Морриса (D.H. Raguin и G.M. Morris). Методика расчета бинарного антиотражающего рельефа, согласно с теорией эффективных сред, представлена в работе М.Е. Мотамеди, В.Г. Саусвелла и В.Д. Ганнинга (М.Е. Motamedi, W.H. Southwell и W.J. Gunning). Однако аналогия с теорией тонких пленок не является очевидной и требует проверки. Поэтому актуален поиск оптимальной формы рельефа анти отражающей поверхности с помощью численного решения уравнений Максвелла.

Решение уравнений Максвелла для задач оптики требует применения численных методов. Известен аналитический подход Р. Петита (R. Petit), рассматривающий прохождение электромагнитной волны через дифракционные решетки, однако для общего случая аналитические методы отсутствуют.

В оптике широко применялись разностные схемы. Так А. Ренаут (A. Renaut) составил неявную разностную схему для решения волнового уравнения, а Т. Фла (Т. Fla) записал консервативную разностную схему для решения нелинейного уравнения Шредингера. С.Т. Чу, В.П. Гуанг и С.К. Чаудгури (S.T. Chu, W.P. Huang и S.K. Chaudhuri) представили явную разностную схему для уравнений Максвелла, которая не является устойчивой. При решении задачи построения разностных схем для уравнений Максвелла вполне очевиден отказ от явных схем. Даже будучи устойчивыми, они, как правило, налагают жесткие ограничения на шаги сетки, что делает неявные схемы более предпочтительными.

В классических работах Самарского A.A. и Марчука Г.И. представлен большой выбор неявных разностных схем, однако для уравнений Максвелла схемы не приведены, поэтому их разработка является актуальной.

Разностное решение задач оптики требует существенных временных затрат. Следовательно, актуальна разработка алгоритмов, реализующих параллельные вычисления. Особенности организации параллельных вычислений для решения уравнений математической физики изложены И.Н Молчановым. Н.Н Ми-ренковым представлен алгоритм распараллеливания продольно-поперечных прогонок, а Б.А. Головин описал методику расчета характеристик параллельных вычислительных процессов. Однако перечисленные авторы не исследовали проблемы построения алгоритмов распараллеливания для решения разностных уравнений явно-неявных схем и повышения эффективности алгоритмов распараллеливания продольно-поперечных прогонок за счет асинхронизации и использования как правой, так и левой прогонок.

Целью работы является разработка разностных схем для системы уравнений Максвелла и алгоритмов распараллеливания решения разностных уравнений для анализа прохождения электромагнитной волны через микролинзы с высокой числовой апертурой и антиотражающую бинарную поверхность. • t ■ -

Для достижения указанной цели определены основные задачи диссертации:

1. Построение корректных и сходящихся разностных схем для решения системы уравнений Максвелла.

2. Изучение влияния числа уровней квантования дифракционной микролинзы на положение ее фокуса и эффективность.

3. Определение параметров бинарной субволновой структуры на алмазных пленках, обеспечивающей наименьшие потери на отражение инфракрасного (ИК) излучения.

4. Реализация параллельных вычислений с целью сокращения времени вычислительного эксперимента

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложены явно-неявные и неявные разностные схемы для системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовой систе--ме-хеординаТглоказаны их корректность и сходимость.

2. Проведено систематическое исследование распределения интенсивности поля внутри и вблизи рефракционной и дифракционных микролинз.

3. Определены наиболее эффективные параметры бинарной антиотражающей структуры для алмаза непосредственным решением уравнений Максвелла Проведено сравнение с результатами, полученными с помощью теории, эффективных сред нулевого и второго порядков.

4. Предложен алгоритм вычисления продольно-поперечных прогонок, обладающий более высокой эффективностью по сравнению с известными алгоритмами.

5. Разработан алгоритм распараллеливания решения разностных уравнений явно-неявных разностных схем для уравнений Максвелла Найден более эффективный, по сравнению с известным, алгоритм распараллеливания решения сеточных уравнений неявных разностных схем для уравнений Максвелла. Проведено сравнение эффективности распараллеливания алгоритмов решения сеточных уравнений явно-неявных и неявных схем.

На защиту выносятся:

1. Явно-неявные и неявные разностные схемы для системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовой системе координат.

2. Результаты исследования прохождения электромагнитной волны через цилиндрическую микролинзу с высокой числовой апертурой и соответствующие ей дифракционные линзы.

3. Параметры бинарной анти отражающей субволновой структуры для оптических элементов на алмазных пленках, обеспечивающие наименьшие потери на отражение.

4. Алгоритмы реализации параллельных вычислений для решения записанных разностных уравнений, обеспечивающие сокращение времени вычислений в несколько раз по сравнению с алгоритмами без распараллеливания.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: VIII всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (Абрау-Дюрсо, 1998 г.); IX межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 1999 г.); международная конференция "Diffiactive Optics" (г. Йена, Германия, 1999 г.); VI международная конференция "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ" (г. Самара, 1999 г.); международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г. Саратов, 1999 г.); Байкальская молодежная научная школа по фундаментальной физике (г. Иркутск, 1999 г.); совместные научные семинары Института систем обработки изображений РАН и кафедры Технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, двух Приложений, Списка использованных источников из 102 наименований, изложенных на 121 странице. Диссертация содержит 50 рисунков и 10 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы и научная новизна работы сформулированы цель и задачи диссертации, дан краткиНбзор научных раГт усматриваемым вопросам, описана структура и краткое со/ерж^е^ссф!

В Главе 1 Р^Работаны явно-неявные и неявные разностные схемы для сис

зацисанной ви-« ле ~

Предложенная постановка краевых условий соответствует задаче распро-

ZTT ЭЛеК1Р0МагаИта0Й В0ЛНЫ в заполненном диэлек^Х

Волновод представляет собой параллелепипед с идеально пронодящими* ми. Граничные условия, которые определяют смешанн^о зСГди« Неймана, соответствуют электрической стенке - когда эГ^ескал сос!

— Г^™010 П0ЛЯ ~ « «е по нормой ¿« Немана), а магнитная составляющая поля расположена тангенциально к птше (условие Дирихле). На один из торцов параллелепипеда падает^эдаетромагаишая волна (условие Дирихле), которая еще не дошла до другого Торц7на ГтГом поле отсутствует (условие Дирихле). Постановка наЧ„ ZZZT ключать присутствие в волноводе поля, не связанного с торцомТа вр^ рас-" пространения элегоромагаитной волны в волноводе падаюнЕ волна не долга доити до дальнего торца. Волна, отраженная от оптического элеме™3™ ВОЛНОВ°^ - — к ближнему торцу (ОТКуда

Суп. любого способа записи разностных схем со™ в замене произвол ных разностными отношениями. От метода замены зависят такие хмшстеристаки

Г^ГиГвТГ^ И СХ0ДИМ0СТЬ' пригодность^!™

Максвслл^С.Т. ^^ В г/Т'уалг iTcTk Решеыию системы уравнений

о чу, d.h. 1 уанг и UK. Чаудаури предложили явную схему в ко-

торой значения искомых сеточных функций определялись толькочерез значен™ ^чтшх функции на предыдущем слое. Обычно такие схемы накл^™

^ ™ ГЧеНИЯ Н3 ^ П0 ВреМеНИ" ЕГО выбирать оГ MZZ

ким, что приводит к увеличению времени расчета по сравнению с неявными

ГвТгуГТ^^ГГ" УСЛ°Т УСТОЙЧ" ^ "Р-~с СМТИ

Z'1 уа™ И СК- ЧаУдаУР«. не обеспечивает ее сходимости и корректности. адГ ЧИСЛЭ вычислительных экспериментов лоз™ утв^

ждать, что предложенная ими явная разностная схема неустойчива при любых параметрах дискретизации. фи люоых

В данной работе представлена явно-неявная разностная схема для уравнении Максвелла, записанных в трехмерной декартовой системе KoopZaf Свое название она получила в силу топ>, что при решении системы разной ~

"Г СеГОЧНЫХ ФУНВДИЙ Н3 0ПРС«™ «Рунном слоТнаГда^и" 3 СеТ™е Р™"* Ш ТОМ Ж6 — — ви-

&н:ГвнГв^ТЧНЫР ФУНКЧ— - —' ™ и на предыдущем

Зависимости относительной погрешности решений разностных уравнений от числа узлов сетки на 1 мкм при А,=1 мкм.

60556065707580858095 100 число узлов сетки на1мкм

Рис. 1а

3)556065707580859095 100 число узлов сетки на 1 мкм

Рис.16

нее узлов, находящихся на электрической стенке. В этих узлах формируются значения сеточных функций, отвечающие краевым условиям первого и второго рода. При традиционном способе соблюдения краевых условий, когда они учитываются при записи разностного оператора, действующего на границе, возникает неустойчивость от граничных условий. Хотя при решении разностных уравнений часть сеточных функций, записанных в граничных узлах сетки, не используется, схема окажется неустойчивой, если значения в этих узлах не будут соответствовать граничным условиям.

На рис. 1а представлена зависимость погрешности разностного решения, полученного с помощью явно-неявной схемы для уравнений Максвелла, записанных в трехмерной декартовой системе координат, от параметров сетки. Число временных слоев сетки меняется от 500 до 1000 с шагом 50, соответственно число узлов сетки по пространству меняется от 50 до 100 с шагом 5. Первый порядок аппроксимации схемой уравнений Максвелла определяет линейную зависимость погрешности от линейно меняющихся шагов сетки. Аналитически найден критерий устойчивости схемы:

^ 1 2 -"Ел'

а)55836Б7О 75 80ЕБ90 951С0 число узлов сетки на 1 м к м

Рис. 1в

Особенностью предложенной сеточной области является включение в

[шш(ьх,ьу,ь,)р " 120 0

где Ьъ Ьх, Ьу, Ъг - шаги сетки по времени и пространству, е0 - электрическая постоянная. На основании аппроксимации и устойчивости делается заключение о сходимости схемы.

На основе явно-неявной схемы для уравнений Максвелла, записанных в трехмерной системе координат, предложены схемы для уравнений Максвелла в двумерной системе координат. Они справедливы при исследовании волн типа Н и Е, распространяющихся в

тонком слое или через цилиндрическую структуру.

Для каждого типа волны приводятся две явно-неявных схемы, отличающиеся направлениями прогонки при решении разностных уравнений. На рис. 16 представлена зависимость погрешности разностного решения, - полученного с помощью таких схем, от параметров сетки. Число временных слоев сетки меняется от 100 до 600 с шагом 50, соответственно число узлов сетки по пространству меняется от 50 до 100 с шагом 5. Предложенные схемы обладают высокой точностью, но на достаточно мелких сетках начинают сказываться погрешности, вызванные дискретизацией. Поэтому при достаточно малых шагах сетки график погрешности перестает быть линейным.

Аналитически найденный критерий устойчивости таких схем:

Ь,

[шш(ьх,ьу,ь7]р Ц °

Для уравнений Максвелла, записанных в двумерной декартовой системе координат, возможно составление чисто неявных схем. Считается, что такие схемы обладают больше^ точностью по сравнению с явными. Однако, как видно из рис. 1с, в данном случае это не так. В отличие от явно-неявной схемы, для решения сеточных уравнений неявной схемы требуется большее число арифметических операций, что приводит к накоплению большей ошибки округления.

Исследования аппроксимации и устойчивости неявных схем позволяют говорить об их корректности и линейном характере сходимости. Аналитически найденный критерий устойчивости неявных схем:

[тш(ьх,Ьу,Ьг)р 16 °

При проведении вычислительных экспериментов не было обнаружено параметров сетки, при которых схема оказывалась некорректной.

Глава II посвящена изучению прохождения электромагнитной волны через цилиндрические микролинзы: рефракционную и дифракционные.

При исследовании прохождения Н - волны через цилиндрические микролинзы использовались разностные схемы для уравнений Максвелла, записанных в двумерной декартовой системе, так как при прохождении излучения через цилиндрическую микролинзу исключено возникновение волны другого типа

Сетка должна быть достаточно мелкой по направлению распространения для описания волны, р воздухе и диэлектрике. Вполне приемлема сетка, позволяющая записать значения напряженностей поля не менее чем в 50 узлах на расстоянии одной длины волны. Сетка также должна быть достаточно мелкой в поперечном сечении волновода для описания Н - волн высоких порядков. Хотя при проведении вычислительных экспериментов на торец волновода всегда подавалась основная волна, но после прохождения через оптический элемент возникают волны высоких порядков (на рис. 2а видна волна Но,м) и для их описания необходима более, мелкая сетка, чем для основной волны. Так, если для основной волны в поперечном сечении вполне довольно 25 узлов сетки, то для волн более высоких порядков необходимо умножать это число на порядок ожидаемой вол--ны-В-силучщи, чго заранее неизвестно, волны каких порядков возникнут, перед постановкой основного эксперимента необходимо провести ряд вспомогательных для определения шагов сетки. При этом не стоит добиваться учета всех воз-

никающих порядков, ведь основную энергию переносят волны низших порядков. На мелкость сетки также влияет форма оптического элемента. Чем сложнее конфигурация его границ, тем мельче должна быть сетка. Так, для описания бинарной дифракционной микролинзы (рис. 2д) достаточна более редкая сетка, чем та, что описывает микролинзу с 8 (рис. 2в) уровнями градации фазовой функции.

у/а 0,5

t.A."

Распределение интенсивности в плоскости эксперимента и на главной оптической оси для микролинз с М=оо,16,8,4,2 степенями градации фазовой функции

1

0,8 о 0,6

Рис. 2а

Рис. 2г

Рис.2д

В работе исследовалось распространение Н волны (Х=1 мкм) через рефракционную цилиндрическую микролинзу (рис. 2а), заключенную в волновод с идеально проводящими стенками. Размер апертуры микролинзы а=8 мкм, толщина 2 мкм, показатель преломления п=2. Тогда фокусное расстояние (f) составляет 5 мкм.

Для уменьшения сферической аберрации рефракционную микролинзу располагают таким образом, чтобы плоская волка падала на ее выпуклую поверхность. При этом аберрация все равно велика (рис.2б). Фокусное расстояние сравнимо с длиной волны и апертурой микролинзы, а числовая апертура равна -Jljl. При таких условиях применение теории аберраций становится невозможным.

Были проведены исследования для дифракционных микролинз, полученных из рефракционной разделением на зоны Френеля и квантованием фазовой функции (рис.2в, рис.2д). Для всех уровней квантования М реальный фокус не совпа-

дал с геометрическим. Отмечено, что с уменьшением числа уровней квантования фокус микролинз смещался вправо (рис.2г, рис.2е). Эта особенность отмечена в работе М.А. Голуба, Н.Л. Казанского и В.А. Сойфера, которые проводили исследования для микролинз с меньшей числовой апертурой.

Распределение интенсивности в фокальных плоскостях микролинз с М=оо,16,8,4,2 степенями градации фазовой функции

1/1о

—рефракционная линза — М=16 М=8 —М=4 М=2

-0,1 0 ось у/а

Рис.3

На рис. 3 представлены распределения интенсивности в фокальных плоскостях рефракционной микролинзы и дифракционных микролинз. Нормировка осуществлялась на максимальную интенсивность в фокусе рефракционной микролинзы. Для микролинз с М=4 и М=16 наблюдается полное совпадение с результатами, приведенными М.А. Голубом, Н.Л. Казанским и В.А. Сойфером. Для бинарной микролинзы (рис.2е) нормированная интенсивность в фокусе составляет 0,55 в то время, как у перечисленных авторов она равна 0,4. Такое расхождение, возможно, вызвано влиянием стенок волновода на фокусировку. Для линзы с М=8 (рис.2г) интенсивность в фокусе превысила интенсивность рефракционной микролинзы. Высота ступеньки этой микролинзы равна четверти длины волны, что приводит к понижению доли отраженной энергии и увеличению прошедшей. Факт влияния квантования микролинзы на ее френелевское отражение ранее никем отмечен не был.

Глава III посвящена нахождению оптимального профиля антиотражающего бинарного рельефа для алмазной поверхности.

Задача определения доли отраженной энергии от субволнового бинарного профиля поверхности ставится при прохождении волны типа Н (А.=10,6 мкм) через границу раздела алмаз (п=2,4) - воздух, при этом считается, что вектор электрического поля направлен вдоль штрихов рельефа. В качестве характеристики

биипрнпгп лр

ределяемый как отношение ширины штриха дифракционной решетки к ее периоду.

Ранее для решения данной задачи использовалась теория эффективных сред, подробно рассматриваемая в работах Д. Г. Рагуина и Г.М. Морриса Теория эффективных сред сопоставляет бинарному профилю тонкий диэлектрический слой, толщина которого равна высоте профиля:

- -■■■■■■■

4л/П*П>

где п;, п5 - показатели преломления сред, на границу которых падает волна

Показатель преломления профиля вычисляется по формулам теории эффективных сред нулевого или второго порядка, затем находится доля энергии, отраженной от тонкопленочного слоя.

В диссертации приводятся результаты вычислительного эксперимента, в ходе которого численно решались уравнения Максвелла в двумерном случае для Н волны непосредственно на бинарном профиле поверхности без использования тонкопленочной аналогии. На рис. 4 приводится сравнение зависимости доли отраженной энергии от заполнения бинарного профиля поверхности для приведенных выше параметров.

Сравнение зависимостей доли отраженной энергии от значения параметра заполнения я, полученных разностным решением уравнений Максвелла и на основе теории эффективных сред.

16

«

^ 14

о. 12

в)

5«

0

1 8 ®

О.

Ё 4 |>

теория эфф. сред второго порядка

> разностное решение

теория эфф. сред нулевого порядка

О ^— 0,05

0,15 0,25 ' 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

. Рис.4

Имеется хорошее согласование результатов, полученных с помощью теории эффективных сред второго порядка и разностным решением уравнений Максвелла. Теория эффективных сред нулевого порядка дает результаты, существенно отличающиеся от разностного решения в интервале 0,25 < ц < 0,8 и, следовательно, не может быть использована для решения поставленной задачи. Из рис.4 видно, что лучший антиотражающий эффект достигается при заполнении 0,25, то есть ширина штриха должна быть равна четверти периода бинарной решетки.

Глава IV посвящена разработке алгоритмов, реализующих параллельные вычисления для решения разностных уравнений.

В известных работах Молчанова И.Н. и Миренкова H.H. представлены алгоритмы для распараллеливания решения сеточных уравнений явных и неявных схем. В диссертации предложены алгоритмы для явно-неявных схем, отсутствующие в известной литературе, приведен более эффективный алгоритм распараллеливания неявных схем.

Преимущество предложенных явно-неявных схем заключается в том, что при решении отпадает необходимость в реализации продольно-поперечных прогонок. Решение разностных уравнений явно-неявных схем для уравнений Максвелла, записанных в двумерных координатах, распараллеливается с учетом дискретизации сеточной области. Для минимизации времени обмена данными между параллельными процессами необходимо разбивать сеточную область таким образом, чтобы границы областей, обрабатываемых одним процессом содержали как можно меньшее количество узлов сетки - тогда придется передавать меньше данных. Например, при наложении сеточной области на двумерную декартову систему координат (Y,Z), при Ny> Nz, где Ny - число узлов сетки по направлению у, а Nz - число узлов сетки по направлению z, следует разбивать сетку вдоль оси Y и использовать ту явно-неявную схему, решение разностных уравнений которой требует реализации процедуры прогонки вдоль оси Z. Тогда для вычисления прогонки не понадобится участие соседних процессов.

Иная картина складывается при распараллеливании решения разностных уравнений неявных схем. Появляется необходимость в реализации прогонок, для вычисления которых требуется участие всех процессов. Тогда объем передаваемых данных возрастает вдвое по сравнению с реализацией алгоритма для явно-неявных схем. Более того, процессы вынуждены простаивать в ожидании передачи данных. Алгоритм распараллеливания продольно-поперечных прогонок, предложенный Миренковым H.H., предполагает вычисление правой прогонки при условии, что все процессы будут выполнять одну и ту же операцию, действуя синхронно. Время простоя такого алгоритма:

tnpoc^KN-lXt.+tjHN-l) (tj+t,),

где N — число параллельных процессов, ti - время прямого хода прогонки, t3 -время обратного хода прогонки, t2 - время передачи коэффициентов прогонки, t» - время передачи искомой функции (в предположении, что передача и прием происходят одновременно). В диссертации предложен асинхронный алгоритм, использующий как правую, так и левую прогонки. Для него время простоя примерно в два раза меньше и определяется формулой:

tnpocro.=([N/2]-l)(tI+t2)+([N/2]-l)(t3+t4), где операция [..] есть округление до большего целого. Если ввести коэффициент эффективности

ь. __^ вычислений_

Ьфф- .

'вычислений 'обмена ' 'простоя

где вычислений - время, затраченное на вычисления, а Обмена ~ время, затраченное -на-обмеи-данннтаи, ти эффективность предложенного в диссертации алгоритма окажется выше, ведь время обмена и вычислений у обоих алгоритмов совпадают.

Зависимость от числа процессов IV: времени работы программы Т (а,б), коэффициента ускорения к,ск. (в,г) и коэффициента эффективности к,фф. (д,е) явно-неявной и неявной схем для уравнений Максвелла, записанных в двумерной декартовой системе координат при N,,=25, N1=15120

Т(мн)

• Из рис. 5д,5е очевидно, что явно-неявная схема распараллеливается более эффективно, чем неявная. Здесь коэффициент ускорения к^ = Т'/ТМ, где Т1-время работы программы без распараллеливания (один процесс), Тм- время работы параллельной программы с числом процессов равным N. Кривые на графиках ускорений (рис. 5в,5г) не достигают точек стагнации, значит можно решать задачу с помощью большего числа параллельных процессов.

Зависимость от числа процессов 14: времени работы программы Т (а), коэффициента ускорения куск. (б) и коэффициента эффективности к^ф. (в) явно-неявной схемы для уравнений Максвелла, записанных в трехмерной декартовой системе координат при N,=25, ГЧУ=25, N2 =1680

Т(мн)

80

КэДО

1т

Рис 6а

Куск

35-

3

гь 2 1.5

4 5 6 Рис 66

Рис 6в

На рис.6 показаны результаты распараллеливания явно-неявной схемы для уравнений Максвелла, записанных в трехмерной декартовой системе координат. Особенности решения сеточных уравнений таковы, что нельзя избавиться от продольно-поперечных прогонок, хотя для пяти уравнений из шести можно избежать прогонок, в вычислении которых участвуют все процессы. Поэтому ускорение и эффективность не уступают параметрам на рис.5г, 5е.

В Приложении I представлены доказательства предложений и следствий из них, используемых в Главе I для проверки корректности и сходимости разностных схем.

В Приложении II представлены результаты эксперимента по моделированию ирохиждения волны Типа Ьп через преломляющую сферическую поверхность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены разностные схемы для решения системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовых системах координат, проведены исследования прохождения электромагнитной волны через рефракционную и дифракционные микролинзы и антиотражающую субволновую дифракционную структуру, реализованы параллельные вычисления для нахождения решения разностных уравнений.

Получены следующие основные результаты:

1. Предложена явно-неявная разностная схема численного решения системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной декартовой системе координат, доказаны корректность и сходимость схемы.

2. Разработаны явно-неявные и неявные разностные схемы для численного решения систем уравнений Максвелла, записанных в двумерной декартовой системе координат, доказана их корректность и сходимость. Показано, что явно-неявные схемы для уравнений Максвелла обладают большей точностью, чем неявные.

3. На основе разработанных разностных схем проведено моделирование прохождения электромагнитного излучения через рефракционную и дифракционные микролинзы и субволновые антиотражающие структуры. Моделирование позволило обнаружить эффект смещения фокусов дифракционных микролинз относительно фокуса рефракционной микролинзы, зависящее от числа уровней квантования. Методом вычислительного эксперимента найдены параметры субволновой структуры, обеспечивающей наименьшее отражение ИК излучения от алмазной пленки.

4. Предложены алгоритмы распараллеливания задач численного решения системы уравнений Максвелла с помощью явно-неявных разностных уравнений, обеспечивающие высокую эффективность решения, ускорение и снижающие время вычислений.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Головашкин Д.Л., Дегтярев A.A., Сойфср В.А. Моделирование волноводно-го распространения оптического излучения в рамках электромагнитной теории// Компьютерная оптика. - 1997.-N.17.-c.5-9.

2. Головашкин Д.Л., Дегтярев A.A. Алгоритм второго порядка точности по времени для решения уравнений Максвелла// Компьютерная оптика. -1998.-N.18.-C.39-41.

3. Головашкин Д.Л., Павельев B.C., Сойфер В.А. Моделирование прохождения электромагнитной волны через алмазную антиотражающую структуру// Известия СНЦ РАН,- 1999.-N.1.-C.95-98.

4. Головашкин Д.Л. Разностная схема для уравнений Максвелла// Труды XI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара, 1999,- с.43-45.

5. Головашкин Д.Л., Павельев B.C., Сойфер В.А. Численный анализ прохождения света через антиотражающую алмазную структуру в рамках электромагнитной теории// Компьютерная оптика. - 1999.-N.19.-C.44-46.

6. Головашкин Д.Л., Сойфер В.А. Анализ прохождения электромагнитного излучения через дифракционную линзу// Автомстрия.-1999.-Ы6.-с. 119-121.

7. Pavelyev V., Golovashkin D., Soifer V., Konov V., Kononenko V., Pimenov S., Prokhorov A. CVD diamond transmissive diffractive optics for CO2 lasers// International conference "Diffractive Optics", Jena 1999,- P. 32-35.

8. Pavelyev V., Duparre M., Luedge В., Soifer V., Kowarschik R., Golovashkin D. Invariant laserbeams - fundamental properties and their investigation by computer simulation and optical experiment// Proceedings SPIE.- 1999,- Vol. 3737.-p. 509-519.

9. Головашкин Д.Л. Моделирование распространения электромагнитного излучения методом конечных разностей// Методы компьютерной оптики/ под ред. В.А. Сойфера. - М. Физматлит, 2000. i -¿И ■

10. Головашкин Д.Л., Павельев B.C. Анализ прохождения электромагнитного импульса через антиотражающую структуру// Методы компьютерной оптики/ под ред. В.А. Сойфера. - М. Физматлит, 2000. -¿J6

Подписано в печать 25.04.2000. Формат 60x84 Хб. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл. печ. л. 0,97. Тираж 100 экз. Здказ 141.

Отпечатало с готовых оригинал-макетов в типографии ООО "ОФОРТ' Лицензия ПЛД 63-50 от 03.02.2000 г.

ВВЕДЕНИЕ.

1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА.

1.1. Постановка смешанной задачи Дирихле и Неймана для уравнений Максвелла.

1.2. Явно-неявная разностная схема, записанная в трехмерной декартовой системе координат.

1.3. Явно-неявные разностные схемы, записанные в двумерной декартовой системе координат

1.4. Неявные разностные схемы, записанные в двумерной декартовой системе координат.

Выводы.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ КОРОТКОФОКУСНЫЕ МИКРОЛИНЗЫ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Анализ распределения интенсивности оптического излучения на главной оптической оси рефракционной цилиндрической микролинзы и дифракционных цилиндрических микролинз.

Выводы.

3. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ, ОТРАЖЕННОЙ ОТ АНТИОТРАЖАЮЩЕЙ БИНАРНОЙ СТРУКТУРЫ.

3.1. Применение разностного решения уравнений Максвелла для расчета отраженной энергии.

3.2. Применение теории эффективных сред для расчета отраженной энергии.

Выводы.

4. РЕАЛИЗАЦИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ РАЗНОСТНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА.

4.1. Выбор явно-неявной схемы при решении уравнений Максвелла, записанных в двумерной декартовой системе координат.

4.2. Реализация поперечной прогонки.

4.3. Распараллеливание алгоритма решения разностных уравнений неявных схем, записанных в двумерной декартовой системе координат.

4.4. Распараллеливание алгоритма решения разностных уравнений явно-неявной разностной схемы, записанной в трехмерной декартовой системе координат.

Выводы.

Диссертация посвящена разработке разностных схем решения системы уравнений Максвелла в трехмерных и двумерных декартовых координатах для исследования прохождения электромагнитной волны через дифракционные микролинзы с высокой числовой апертурой и антиотражающие дифракционные микроструктуры, а также реализации параллельных вычислений для решения разностных уравнений.

Актуальность темы.

В последние годы особый интерес в оптике вызывают задачи, в которых необходимо учитывать поляризацию электромагнитной волны, френелевское отражение и распределение интенсивности, как в самом оптическом элементе, так и в его выходной плоскости. Это связано с появлением интегральных оптических схем, антиотражающих решеток, дифракционных микролинз для ввода излучения в оптическое волокно. Методы геометрической и скалярной оптики не позволяют исследовать прохождение излучения через данные системы. Так, геометрическое приближение не позволяет в полном объеме учитывать дифракцию на дифракционной микролинзе, что делает лучевой подход ограани-ченным для исследования микролинз. В рамках скалярного приближения известна работа Н. JI. Казанского [28], в которых рассматривается задача распространения излучения через микролинзу в приближении Френеля-Кирхофа. F. Wyrowski для этих целей использовал приближение Френеля [102]. Однако для исследования короткофокусных микролинз, используемых для ввода излучения в волокно, необходимо рассчитывать распределение интенсивности на расстоянии нескольких длин волн от микролинзы. Такую задачу рассмотрели M.S. Mirotznik, D.W. Prather и J.N. Mait решая уравнение Гельмгольца методом конечных элементов [87]. Однако при этом не исследовалось прохождение излучения через рефракционную линзу и не оценивалось распределение интенсивности внутри предложенных дифракционных микролинз. Подход, предложенный в [87] не позволяет исследовать оптический элемент в волноводе. Поэтому 5 актуально исследование прохождения электромагнитной волны через рефракционную и дифракционные микролинзы, заключенные в волновод.

При изготовлении дифракционных микролинз для мощных лазеров применяют материалы, обладающие высокой устойчивостью к термическому разрушению. Наиболее прочным материалом является алмаз, однако он обладает высоким показателем преломления, что обусловливает отражение большой доли энергии от границы раздела алмаз-воздух. Для снижения доли отраженной энергии алмазные оптические элементы просветляют, формируя на поверхности антиотражающий субволновый рельеф. Принципы работы антиотражаю-щих поверхностей глубоко исследовались в работах D.H. Raguin и G.M. Morris [92-96]. Методика расчета бинарного антиотражающего рельефа, согласно с теорией эффективных сред, представлена в работе М.Е. Motamedi, W.H. Southwell и W.J. Gunning [89]. Однако аналогия с теорией тонких пленок не является очевидной и требует проверки. Поэтому актуален поиск оптимальной формы рельефа антиотражающей поверхности с помощью численного решения уравнений Максвелла.

Решение уравнений Максвелла для задач оптики требует применения численных методов. Известен аналитический подход, рассматривающий прохождение электромагнитной волны через дифракционные решетки, однако для общего случая аналитические методы отсутствуют.

В оптике широко применялись разностные схемы. Так A. Renaut составил неявную разностную схему для решения волнового уравнения [98], а Т. Fla записал консервативную разностную схему для решения нелинейного уравнения Шредингера [83]. S.T. Chu, W.P. Huang и S.K. Chaudhuri представили явную разностную схему для уравнений Максвелла [82], которая не является устойчивой. При решении задачи построения разностных схем для уравнений Максвелла вполне очевиден отказ от явных схем. Даже будучи устойчивыми, они, как правило, налагают жесткие ограничения на шаги сетки, что делает неявные схемы более предпочтительными. 6

В классических работах Самарского A.A. и Марчука Г.И. представлен большой выбор неявных разностных схем [44,45,59-62], однако для уравнений Максвелла схемы не приведены, поэтому их разработка является актуальной.

Разностное решение задач оптики требует существенных временных затрат. Следовательно, актуальна разработка алгоритмов, реализующих параллельные вычисления. Особенности организации параллельных вычислений для решения уравнений математической физики изложены И.Н Молчановым [49]. Н.Н Миренковым [47] представлен алгоритм распараллеливания продольно-поперечных прогонок, а Б.А. Головин [27] описал методику расчета характеристик параллельных вычислительных процессов. Однако перечисленные авторы не исследовали проблемы построения алгоритмов распараллеливания для решения разностных уравнений явно-неявных схем и повышения эффективности алгоритмов распараллеливания продольно-поперечных прогонок за счет асин-хронизации и использования как правой, так и левой прогонок.

Краткий анализ методов построения разностных схем для задач оптики, исследований оптических элементов и организации параллельных вычислений для решения сеточных уравнений.

A. Renaut в работе [98] предложил неявную разностную схему для волнового уравнения, записанного в двумерной декартовой системе координат. Схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и времени, требуя задания начального условия на двух временных слоях сетки. Однако невозможно развить предложенный в [98] подход для изучения волновых процессов в трехмерном случае. Решая волновое уравнение можно изучить поведение электромагнитной волны только одного типа (Н или Е). Те же ограничения верны для работы [87], в которой M.S. Mirotznik, D.W. Prather и J.N. Mait решают уравнение Гельмгольца методом конечных элементов. Т. Fla [83] использовал консервативную разностную схему для решения нелинейного уравнения Шре-дингера, которое учитывает нелинейные эффекты при прохождении излучения 7 через оптические элементы, но верно только для параксиального случая, а значит не может применяться для исследования микролинз. S.T. Chu, W.P. Huang и S.K. Chaudhuri [82] представили явную разностную схему для уравнений Максвелла, записанную на равномерной сетке. Показано, что схема имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени и выписаны условия устойчивости для одномерного, двумерного и трехмерного случаев. Однако в ходе вычислительных экспериментов не обнаружены параметры сетки, при которых приведенная схема являлась бы устойчивой.

В работе М.А. Голуба, H.JI. Казанского, В.А. Сойфера [28] подробно рассматривается задача распространения излучения через микролинзу в приближении Френеля-Кирхофа. Получена зависимость эффективности дифракционных микролинз от числа уровней квантования фазовой функции, представлены величины отклонений фокусов дифракционных микролинз от геометрического фокуса. M.S. Mirotznik, D.W. Prather и J.N. Mait [87] исследовали распределение интенсивности света при прохождении излучения через дифракционные микролинзы в непосредственной близи от линзы. Однако системного изучения влияния числа уровней квантования микролинз на эффективность и смещение фокуса не проводилось. Также в [87] не представлена интенсивность поля внутри дифракционных микролинз.

Теория эффективных сред применялась для определения антиотражающей способности субволнового рельефа с конца прошлого века. Тогда была сформулирована теория эффективных сред первого порядка [92]. В середине нынешнего века С. М. Рытов представил теорию эффективных сред второго порядка [99]. Для разнообразных приложений теория эффективных сред развивается в работах D.H. Raguin и G.M. Morris [92-96].

Для реализации параллельных вычислений с целью сокращения времени решения разностных уравнений, в работах Вальковского В.А. [8,9], Миренкова H.H. [8, 47] и Молчанова И.Н. [49] представлены разнообразные алгоритмы распараллеливания. Приводятся алгоритмы для явных и неявных схем, обсуж8 даются вопросы разделения памяти между процессами. Однако отсутствуют алгоритмы распараллеливания для явно-неявных схем, а приведенные алгоритмы реализации прогонки могут быть улучшены.

Целью работы является разработка разностных схем для системы уравнений Максвелла и алгоритмов распараллеливания решения разностных уравнений для анализа прохождения электромагнитной волны через микролинзы с высокой числовой апертурой и антиотражающую бинарную поверхность.

Для достижения указанной цели определены основные задачи диссертации:

1. Построение корректных и сходящихся разностных схем для решения системы уравнений Максвелла.

2. Изучение влияния числа уровней квантования дифракционной микролинзы на положение ее фокуса и эффективность.

3. Определение параметров бинарной субволновой структуры на алмазных пленках, обеспечивающей наименьшие потери на отражение инфракрасного (ИК) излучения.

4. Реализация параллельных вычислений с целью сокращения времени вычислительного эксперимента.

Структура и краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и двух Приложений. В первой Главе предложены явно-неявные и неявные разностные схемы для системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовой системе координат, проводится исследование этих схем.

ВЫВОДЫ

1. Расчет с помощью решения уравнений Максвелла позволяет определить положение фокусов микролинз и их эффективность.

2. При уменьшении числа уровней квантования рельефа дифракционных микролинз с высокой числовой апертурой фокус микролинз смещается вправо.

3. При замене рефракционной микролинзы на дифракционную, толщина которой кратна четверти длины волны, эффективность дифракционной микролинзы может превысить единицу.

95

3 РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ, ОТРАЖЕННОЙ ОТ АНТИОТРАЖАЮЩЕЙ

БИНАРНОЙ СТРУКТУРЫ

3.1. Применение разностного решения уравнений Максвелла для расчета отраженной энергии

При использовании сред с большим показателем преломления заметное влияние на энергетическую эффективность оптического элемента начинает оказывать высокое отражение от границы среда - воздух. Например, от границы германий (ве) - воздух для длины волны 10,6. мкм отразится 36% энергии [38].

Традиционно [4,41,16,76] эта проблема решается с помощью наложения на границу тонкой пленки с показателем преломления пШт - »

3.1) и толщинои 11 =

3.2) где п; и п8:— соответственно показатели преломления среды из которой падает излучение, и среды, на которую падает излучение.

Однако на практике может не существовать пленки с подходящим показателем преломления. Также к недостаткам тонкопленочных покрытий следует отнести колебания толщины пленки при изменении температуры, что отрицательно сказывается на ее антиотражающих свойствах.

Для дифракционных оптических элементов свойственен довольно сложный рельеф поверхности, изобилующий резкими перепадами высоты, на который нанести пленочное покрытие бывает трудно, а порой и невозможно.

Другой подход к уменьшению отраженной энергии - формирование субволнового профиля на границе двух сред, уменьшающего отражение [99]. Для простоты в данной работе будет рассмотрен бинарный профиль, представленный в [89] (рис. 3.1)

96 Л

Рис. 3.1

Период бинарной антиотражающей структуры.

На рис. 3.1 период структуры обозначен Л, ширина выступа Ь, высота берется равной Ь. Ограничимся рассмотрением случая, когда на структуру падает Н волна и вектор электрического поля направлен вдоль штрихов рельефа.

В диссертации ставилась задача найти отраженную энергию от бинарной структуры при различных значениях заполнения я=Ь/Л для Л,=10,6 мкм. ♦ *

18 ,90 ] на границе раздела среда - воздух. Показатель преломления среды (поликристаллической алмазной пленки) составляет п5=2,4. [23*]. Актуальность задачи обусловлена возможностью применения поликристаллической алмазной пленки для изготовления дифракционных элементов, способных выдержать излучение СОг лазеров мощностью 10-20 кВт [11]. Традиционные материалы РЖ оптики, такие как селенид цинка или хлорид калия таких мощностей не выдерживают. $ $ $

Поставим вычислительный эксперимент [25 ,26 ,91 ], в котором волна Н01 будет падать на бинарный антиотражающий рельеф с Л

10,6 10,6 а = —из

3,4 ' 4Д4

3.2). Для постановки эксперимента использовалась схема 2 (1.81)-(1.83) со еле дующими параметрами дискретизации: Ь

7=—, Ь=—, N. — = 2000. При 2 100 у 100 Ь2 этом погрешность х<0,01. В отличии от экспериментов предыдущей главы для хорошего описания волны длиной 10,6 мкм достаточно использования более

97 грубых шагов дискретизации. Размеры исследуемой области составляли Ьу=50 мкм, Ь2=330 мкм.

Искалась усредненная по двадцати длинам волн прошедшей волны велитЦ чина 11Е^ последиэлектрика^У^ в воздухе после диэлектрика с антиотражающим о о бинарным рельефом и рассчитывалось значение доли отраженной энергии тЦ Е х после диэлектрика^У^ р = ---(3.3)

1 0 0 ТЬ /^х без диэлектрика ^У^^

0 0 тЦ где / без диэлектрика^1 " усредненный по двадцати длинам волн квадрат о о напряженности электрического поля в воздухе при отсутствии диэлектрика.

Из таблицы 3.1 видно, что менее всего энергии отражается от бинарного рельефа с заполнением q= 0,25, тогда доля отраженной энергии р=1,2471 %.

На рис. 3.2 представлен усредненный модуль амплитуды падающей и отраженной волн в эксперименте с q=0,25. Из рис. 3.2 видно, что на рельефе бинарной антиотражающей структуры возникают волны Н высоких порядков, которые порождены скачками профиля антиотражающей структуры.

99 ширина волновода (мкм) Рис. 3.2

Усредненный модуль амплитуды падающей и отраженной волн.

3.2. Применение теории эффективных сред для расчета отраженной энергии

К традиционному способу расчета энергии, отраженной от антиотра-жающих структур, относится метод, основанный на использовании теории эффективных сред [92].

Теория эффективных сред ставит в соответствие бинарному профилю тонкую диэлектрическую пленку с проницаемостью вЭфф. (рис. 3.3).

100 ж1™*"

- -""Л

-о :?т

Рис. 3.3

Сопоставление бинарному профилю диэлектрической пленки.

В теории эффективных сред нулевого порядка [93,97] £Эфф=б(0) . При ориентации вектора электрического поля вдоль штрихов рельефа е(0Че5+(1-Я)^. (3.4)

В теории эффективных сред второго порядка [94] вЭфф=е(2) . При ориентации вектора электрического поля вдоль штрихов рельефа

8(2)=£(0)(1 + Ав), (3.5)

К2 2 Л \2 (а-1)2 АБ = —q¿{l-q)

1 + я1сх -1

3.6) где а = п0

П:

При нормальном падении антиотражающий эффект должен наблюдаться при [88] X Л тах(п;,п5).

3.7)

При изготовлении антиотражающих профилей период профиля находят так [96] X А

3.8)

101

Расчет отраженной энергии происходит по известной формуле из теории тонких пленок [14]: где \У1 и лу2 - энергия, отразившаяся на границах 1 и 2 , найденная по формуле Френеля [14], р - энергия, отразившаяся от тонкопленочного покрытия, 8 - набег фазы в тонкопленочном слое толщиной с! при нормальном падении.

В таблице 3.2 представлена зависимость доли отраженной энергии, рассчитанной по формулам (3.4)-(3.10) теории эффективных сред, от значений параметра q.

Однако теория эффективных сред не является точной и ее погрешность заранее неизвестна, поэтому необходимо применить разностное решение уравнений Максвелла для проверки границ применимости теории эффективных сред (рис. 3.3).

Можно утверждать, что при представленных параметрах среды данные, полученные с помощью теории эффективных сред второго порядка и разностным решением уравнений Максвелла, совпадают с точностью постановки вычислительного эксперимента, а данные, полученные с помощью теории эффективных сред нулевого порядка, сильно отличаются от данных, полученных разностным решением уравнений Максвелла при 0,85>д>0,25. Следовательно, в рассматриваемом случае теория эффективных сред нулевого порядка не может быть использована для изучения антиотражающего эффекта бинарной структуры с д>0,25.

Р = ехр(21б)

3.9)

1 + ехр(21б)

ЗЛО)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены разностные схемы для решения системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной и двумерной декартовых системах координат, проведены исследования прохождения электромагнитной волны через рефракционную и дифракционные микролинзы и антиотражающую субволновую дифракционную структуру, реализованы параллельные вычисления для нахождения решения разностных уравнений.

Получены следующие основные результаты:

1. Предложена явно-неявная разностная схема численного решения системы уравнений Максвелла, записанной в трехмерной декартовой системе координат, доказаны корректность и сходимость схемы.

2. Разработаны явно-неявные и неявные разностные схемы для численного решения систем уравнений Максвелла, записанных в двумерной декартовой системе координат, доказана их корректность и сходимость. Показано, что явно-неявные схемы для уравнений Максвелла обладают большей точностью, чем неявные.

3. На основе разработанных разностных схем проведено моделирование прохождения электромагнитного излучения через рефракционную и дифракционные микролинзы и субволновые антиотражающие структуры. Моделирование позволило обнаружить эффект смещения фокусов дифракционных микролинз относительно фокуса рефракционной микролинзы, зависящее от числа уровней квантования. Методом вычислительного эксперимента найдены параметры субволновой структуры, обеспечивающей наименьшее отражение ИК излучения от алмазной пленки.

4. Предложены алгоритмы распараллеливания задач исследования распространения электромагнитной волны с помощью решения явно-неявных разностных уравнений, обеспечивающие высокую эффективность, ускорение и снижающие время вычислений.

1. Барский А. Б. Параллельные процессы в вычислительных системах. М.: Радио и связь, 1990.-255 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.-Т.2.

3. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.-146 с.

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ.- М.:Наука, 1973.- 720 с.

5. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. -М.: Связь,1978.-248 с.

6. Вабищев П.Н. Численное моделирование. М.:МГУ, 1993.-152 с.

7. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции . М.: Наука,1982.-272 с.

8. Вальковский В.А., Котов В.Е., Марчук А.Г., Миренков H.H. Элементы параллельного программирования. М.: Радио и связь, 1983.-239 с.

9. Вальковский В.А., Малышкин В.И. Синтез параллельных программ и систем на вычислительных моделях. Новосибирск: Наука, 1988.-126 с.

10. Ю.Валях Е. Последовательно-параллельные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.-456 с.

11. П.Велихов Е.П., Голубев B.C., Григорянец А.Г., Лебедев Ф.П., Николаев Г.А. Мощные газоразрядные CO2 лазеры и их применение в технологии. - М.: Наука, 1984.-105 с.

12. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. М.: Советское радио, 1970.-206с.

13. И.Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука,1979.-384 с.

14. Вычислительная оптика. Справочник под редакцией М.М. Русинова. JL: Машиностроение, 1984.-423с.

15. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973.-400 с.

16. Гончаренко A.M., Редько В.П. Введение в интегральную оптику. Минск:

17. Наука и техника, 1975.-152 с.148

18. Головашкин Д.JI. Моделирование распространения электромагнитного излучения методом конечных разностей// Методы компьютерной оптики/ под ред. В.А. Сойфера. М.:Физматлит, 2000.-С.224-231.

19. Головашкин Д.Л., Павельев B.C. Анализ прохождения электромагнитного импульса через антиотражающую структуру// Методы компьютерной оптики/ под ред. В.А. Сойфера. М. :Физматлит, 2000. -с.232-236.

20. Головашкин Д.Л. Разностная схема для уравнений Максвелла// Труды девятой межвузовской конференции. Самара, 1999.- с. 43-45.

21. Головашкин Д.Л., Сойфер В.А. Моделирование распространения электромагнитной волны посредством разностного решения уравнений Максвел-ла//Материалы международной молодежной школы по оптике. Саратов, 2000 (в печати).

22. Головашкин Д.Л., Дегтярев A.A., Сойфер В.А. Моделирование волноводно-го распространения оптического излучения в рамках электромагнитной теории//Компьютерная оптика. 1997.-N.17.-c.5-9.

23. Головашкин Д.Л., Дегтярев A.A. Алгоритм второго порядка точности по времени для решения уравнений Максвелла// Компьютерная оптика.- 1998.-N.18.-c.39-41.

24. Головашкин Д.Л., Павельев B.C., Сойфер В.А. Моделирование прохождения электромагнитной волны через алмазную антиотражающую структуру// Известия СНЦ РАН.- 1999.-т.1.-с.95-98.

25. Головашкин Д.Л., Сойфер В.А., Шустов В.А. Реализация параллельных вычислений при разностном решении уравнений математической физики// Известия СНЦ РАН.- 2000.-т.З.-(в печати)

26. Головашкин Д.Л., Павельев B.C., Сойфер В.А. Численный анализ прохождения света через антиотражающую алмазную структуру в рамках электромагнитной теории// Компьютерная оптика. 1999.-N.19.-c.44-46.

27. Головашкин Д.Л., Сойфер В.А. Анализ прохождения электромагнитного излучения через дифракционную линзу// Автометрия.-1999.-N6.-c. 119-121.149

28. Головин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов.-М.: Радио и связь, 1983.- 272 с.

29. Голуб М.А., Казанский H.JL, Сойфер В.А. Математическая модель фокусировки лазерного излучения элементами компьютерной оптики // Научное приборостроение.-1993.-т.З.-Ы1.-с.8-28.

30. Горелик Г.С. Колебания и волны.-М.: Гос.изд.физ-мат. лит, 1959.-572 с.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.-552 с.

32. Грицык В.В. Распараллеливание алгоритмов обработки информации в системах реального времени. Киев: Наук. Думка, 1981.- 215 с.32.3оммерфельд А. Оптика: Пер. с нем. М.: Иностранная литература, 1953г.-486с.

33. ЗЗ.Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики :Пер. с нем. -М.: Иностранная литература, 1950.- 456 с.

34. Каули Д. Физика дифракции. М.: Мир, 1979.-432 с.

35. Ключников A.C. Теория волновых процессов. Минск: БГУ, 1977.-176с.

36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1977.-832 с.

37. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Границы применимости метода геометрической оптики и смежные вопросы// Успехи физических наук, 1980.-t.132.-N3.-с.475-496.

38. Кэй Д., Лэби Т. Таблицы физических и химических констант: Пер с англ. -М.: Физматгиз, 1962.-780с.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988.-Т.2.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1959.-532С.

41. Ландсберг Г.С. Оптика. -М.: Наука, 1976.- 926 с.

42. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения. М.: Мир, 1964.-295 с.

43. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Сов. радио, 1973.-376 с.150

44. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.-608 с.

45. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416с.

46. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М.: Гос. изд. Технико-теоретической литературы, 1953.-526 с.

47. Миренков H.H. Реализация продольно-поперечных прогонок на ВС "Минск-222"// Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1968.-вып.30.-с.26-33.

48. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений .- М.: Наука, 1965.-383 с.

49. Молчанов И.Н. Введение в алгоритмы параллельных вычислений. Киев.:1. Наук. Думка, 1990.-127 с.

50. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики : Пер. с англ.-М.: Издательство иностранной литературы, 1958, 929 с.

51. Нестеренко Б.Б., Марчук В.А. Основы асинхронных методов параллельныхвычислений. Киев: Наук. Думка, 1989.- 171 с.

52. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.-540 с.

53. Никольский В.В. Математический аппарат электродинамики. М.:МИРЭА, 1973.-270 с.

54. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика: Пер. с англ. -М.: Физматгиз, 1963.-460 с.

55. Пярнпуу A.A., Хохлюк В.И. Реализация параллельных алгоритмов в прикладных задачах. М.: ВЦ АН СССР, 1988.-43 с.

56. Русинов М.М. Техническая оптика. М.: Физматгиз, 1961.-328 с.

57. Савельев И.В. Основы теоретической физики. -М.: Наука, 1975.-Т.1.

58. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999.-367 с.

59. Самарский A.A. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1989.-614 с.

60. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.-561 с.151

61. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. -М.: Наука, 1971.-320 с.

62. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973.-430 с.

63. Сена J1.A. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1988.-430 с.

64. Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Тонкая оптика, синтезируемая на ЭВМ// Физические основы прикладной голографии.-JI.: Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе АН СССР, 1984.-е. 142-164.

65. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов М.: Радио и связь, 1987.- 654 с.

66. Сойфер В.А. Введение в дифракционную микрооптику. Самара, 1996.-94 с.

67. Солимено С., Крозиньяни Б., Порто П.Ди. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. М.: Мир, 1989.-662 с.

68. Стренг Г., Фикс Д. Теория методов конечных элементов :Пер. с англ. -М.: Мир, 1977.-349С.

69. Стреттон Д. Теория электромагнетизма :Пер. с англ. М.: Гостехиздат, 1948.-780 с.

70. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.-614 с.

71. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.-724с.

72. Туров Е.А. Материальные уравнения электродинамики. -М.: Наука, 1983.-158с.

73. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978.-548с.

74. Физические величины. Справочник под редакцией И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.- 1232с.

75. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. -М.: Советское радио, 1970.-316 с.

76. Хансперджер Р. Интегральная оптика. -М.: Мир, 1985.-384 с.

77. Хаусс X. Волны и поля в оптоэлектронике. М.: Мир, 1988.-430 с.152

78. Хиппель А.Р. Диэлектрики и волны :пер. с англ. -М.: Иностранная литература, 1960.-43 8с.

79. Хоар Ч.Р. Взаимодействующие последовательные процессы: пер. с англ. -М.: Мир, 1998.-264 с.

80. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.-344 с.

81. Ярив А. Введение в оптическую электронику. М.: Высшая школа, 1983.320 с.

82. Chu S.T., Huang W.P., Chaudhuri S.K. Simulation and analysis of waveguide based optical integrated circuits// Computer Physics Communications.- 1991.-Vol. 68.-P. 451-484.

83. Fia T. A numerical energy conserving method for the DNLS equation// Journal of computation physics.-1992.-N. 102.-P. 71-79.

84. Hatakoshi G., Fujima H.,Goto K. Waveguide grating lenses for optical couplers// Applied Optics.- 1984.- Vol. 23.-N. 1 l.-P. 1749-1753.

85. Kusuda Y., Saton A., Tanaka I. Application of high NA planar microlens (PML)//1.ternational Optical Design Conference. Rochester.-1994.- P. 280-284.

86. Li Y. Establishment of the maximum encircled energy in the geometrical focal plane// Opt Acta.-1984.- Vol. 31.-N. 10.-P. 1107-1118.

87. Mirotznik M., Prather D., Mait J. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements// Journal of modern optics.-1996.-Vol. 43.-N. 7.-P. 1309-1321.

88. Moharam M.G. and Gaylord Т.К. Diffraction analysis of dielectric surface-relief grating//JOSA.-1982.-N. 72.-P. 1385-1392.

89. Motamedi M.E., Southwell W.H., Gunning W.J. Antireflection surfaces in silicon using binary optics technology// Applied Optics.- 1993.- Vol. 31.-N. 22.-P. 43714373.

90. Pavelyev V.,Golovashkin D., Soifer V., Konov V., Kononenko V., Pimenov S., Prokhorov A. CVD diamond transmissive diffractive optics for C02 lasers// Diffractive Optics Jena 99.- P. 32-35.153

91. Raguin D.H., Morris G.M. Antireflection structured surfaces for the infrared spectral region// Applied Optics.- 1993.- Vol. 32.-N. 7.-P. 1154-1167.

92. Raguin D.H., Morris G.M. Analysis of antireflection-structured surfaces with continuous one-dimensional surface profiles// Applied Optics.- 1993.- Vol. 32.-N. 14.-P. 2582-2598.

93. Raguin D.H., Morris G.M. Design of 1-D anti-reflection structured surface using second-order effective medium theory// JOS A technical Digest.- 1992.-N. 9.-P. 44-46.

94. Raguin D.H., Morris G.M. Diffraction analysis of antireflection. surface-relief gratings on losslees dielectric surfaces// JOS A technical Digest.- 1990.-N. 15.-P. 122-123.

95. Raguin D.H., Morris G.M. Analysis of 1-D antireflection structured surfaces //JOSA technical Digest- 1991.-N. 17.-P. 153.

96. Rayleigh On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the propertis of a medium// Philos. Mag.- 1892.-N. 34.-P. 481-502.

97. Renaut R. Absorbing boundary conditions, difference operators, and stability// Journal of computation physics.- 1992.-N. 102.-P. 236-251.

98. Rytov S.M. The electromagnetic properties of finely layered medium// Soviet Phis.-1956.-N. 2.-P. 466-475.

99. Schweicher E. Introductory review to diffraction optics// Rev.X, 1985.-N. 116.

100. Swanson G., Veldkamp W. Binary lenses for use at 10.6 micrometers// Opt. Eng.-1985.- Vol. 24.-N. 5.-P. 791-795.

101. Wyrowski F., Bryngdahl O. Digital holography as part of diffractive optics// Report on Progress in Physics.- 1991.-Vol. 54, N. 12.-P. 1481-1571.