автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование дифракции линейно поляризованного света на многослойных тонкоплёночных покрытиях

На правах рукописи

Хохлов Алексей Анатольевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЛИНЕЙНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА НА МНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКОПЛЁНОЧНЫХ ПОКРЫТИЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 МДР 2011

Москва-2011

4840880

Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Севастьянов Леонид Антонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Шикин Георгий Николаевич

Защита состоится «25» марта 2011 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6. (Отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу.)

Автореферат разослан « » февраля 2011 г.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Гусев Александр Александрович

Ведущая организация: Национальный исследовательский ядерный

университет «МИФИ»

Ученый секретарь диссертационного совета

М.Б.Фомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задачи моделирования многослойных оптических структур, характерные размеры которых (толщина, период) имеют тот же порядок, что и длина волны оптического диапазона, либо меньше нее, в настоящее время, являются актуальными задачами физической оптики.

Результаты решения этих задач имеют применение не только в теоретических и экспериментальных научных исследованиях. Тонкопленочные оптические структуры используются в бытовых и промышленных приборах, в устройствах интегральной оптики, микрооптики в качестве миниатюрных поляризаторов, зеркал, светоделителей и светофильтров.

Роговица человеческого глаза состоит из нескольких десятков тонких оптически анизотропных коллагеновых пленок. Если человек имеет врожденное или приобретенное повреждение роговицы, он практически слеп, и разработка кератопротезов из многослойных коллагеновых структур также является актуальной задачей на сегодняшний момент.

Рис. 1. Многослойная оптическая структура

В общем случае многослойная тонкопленочная оптическая структура имеет вид, изображенный на рис. 1. Она может состоять как из однородных, так и из решетчатых слоев. На структуру падает электромагнитная волна, в общем случае от структуры отражается набор волн и на выходе из структуры также имеется набор волн.

В процессе решения прямой задачи в общем случае необходимо определить амплитудные и энергетические коэффициенты отраженных и прошедших волн, состояния их фаз и поляризаций. В процессе решения обратной задачи необходимо определить геометрические и оптические характеристики слоев структуры и их количество так, чтобы она обладала требуемыми характеристиками.

Основные результаты в теории решения прямых задач для однородных многослойных структур из изотропных материалов были получены М. Борном, Ф. Абеле и развиты в современных работах A.B. Тихонравова, Э.С. Пу-тилина и других. В 1972 г. была опубликована статья Д. Берремана, в которой предложен матричный метод моделирования дифракции поляризованного света на однородных многослойных структурах из анизотропных материалов, сводящий систему уравнений Максвелла к системе из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Теория моделирования дифракции света на неоднородных периодических структурах разрабатывалась еще лордом Релеем, и один из существующих методов назван в его честь. Один из точных универсальных методов моделирования дифракции света на наноразмерных решетках и фотонных кристаллах носит название точного метода связанных волн (RCWA), он был разработан в конце XX века и нашел свое отражение в работах многих авторов - Г. Мохарама, В. А. Сойфера и других. Для применения этого метода функции, входящие в состав уравнений Максвелла, необходимо разложить в ряды Фурье, а затем использовать условия равенства на границах раздела тангенциальных компонент электромагнитных полей.

Обратные задачи - задачи синтеза подобных структур - требуют многократного решения прямых задач, так как практически все методы синтеза так или иначе имеют в своей основе алгоритмы условной многомерной оптимизации. Такого рода задачи являются по своей сути некорректными, и поэтому для их решения требуется регуляризация.

В связи с необходимостью проектирования устройств микрооптики весьма актуальной является задача создания адекватных математических

2

моделей, разработка устойчивых численных методов и алгоритмов решения прямых и обратных задач дифракции поляризованного света на тонкопленочных многослойных покрытиях.

Целью диссертации является реализация вычислительного эксперимента по моделированию дифракции поляризованного света на многослойных тонкопленочных оптических структурах и разработка алгоритмов синтеза таких структур. Работа включает в себя:

1. Создание единообразного, математически корректного подхода для моделирования дифракции плоских электромагнитных волн на слоистых оптических структурах.

2. Разработку устойчивых численных методов и алгоритмов решения прямых и обратных задач, возникающих в результате применения модели, их реализация в виде программного обеспечения.

3. Верификацию редуцированной модели путем сравнения с существующими результатами других авторов и путем спектрофотометрических измерений.

4. Применение редуцированной модели и алгоритмов для решения задачи проектирования многослойной структуры с заданными характеристиками с последующим анализом результатов.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Решить систему дифференциальных уравнений для тангенциальных компонент электромагнитной волны, распространяющейся вдоль выбранного направления в однородной оптической среде.

2. Используя граничные условия равенства тангенциальных компонент, составить и решить систему линейных алгебраических уравнений для амплитуд компонент электромагнитного поля всей оптической системы.

3. Разработать алгоритм восстановления оптических свойств материала по спектрофотометрическим данным и алгоритм синтеза оптической структуры с заданными свойствами.

4. Реализовать полученные алгоритмы в виде компьютерных программ, осуществить верификацию путем сравнения результатов расчета со спек-трофотометрическими данными.

5. Применить полученные алгоритмы для решения задачи проектирования кератопротеза человеческого глаза на основе тонких коллагеновых пленок.

Методы исследований Метод решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами позволяет записать решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в виде матричной экспоненты, поиск которой возможен численно устойчивыми методами.

Метод вращений Якоби позволяет создавать численно устойчивые реализации алгоритма Якоби поиска собственных векторов и собственных значений комплекснозначных матриц.

Метод ЫУразложения позволяет устойчиво решать системы линейных уравнений, возникающие при решении поставленных задач.

Метод Галеркина редукции систем дифференциальных уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида минимизации функционала применяется при решении обратных задач восстановления оптических свойств материала по спектрофотометрическим данным и при решении зада синтеза оптических структур.

Устойчивый метод Тихоновской регуляризации используется при решении обратных задач восстановления оптических свойств материала по спектрофотометрическим данным.

Научную новизну работы составляют следующие факты

1. Математически обоснована редуцированная модель дифракции нормальных волн на многослойных структурах. В частных случаях она совпадает с существующими моделями.

2. Модель включает в себя:

• процедуру редукции уравнений Максвелла к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 4x4 для плоско - параллельных однородных слоев и систему из 4 наборов из 2Ы+1 уравнений для дифракционной решетки

• с учетом граничных условий задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений

3. Модель верифицируется различными способами:

• В частных случаях возможна теоретическая верификация

• Модель верифицируется путем сравнения результатов численных расчетов с результатами других авторов

4

• Модель верифицируется путем проведения серий спектрофотометри-ческих измерений

4. Предложенная модель позволяет унифицировать методику решения задач, связанных с моделированием прохождения света через плоскопараллельные системы.

Практическая значимость результатов

Полученные теоретические и практически результаты можно применять:

• при решении задач восстановления неизвестных оптических свойств различных анизотропных материалов (диэлектрической проницаемости) по спектрофотометрическим данным

• при решении задач проектирования многослойных оптических структур: поляризаторов, светофильтров, светоделителей, просветляющих и отражающих покрытий, жидкокристаллических дисплеев, устройств формирования трехмерного изображения

• с использованием полученных результатов возможно создание керато-протеза роговицы человеческого глаза

Обоснованность и достоверность полученных результатов Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения задач использовались строгие и проверенные методы: метод вращений Якоби, метод многомерной оптимизации Нелдера-Мида, метод Тихоновской регуляризации.

Достоверность результатов подтверждается сравнением результатов тестовых расчетов, во-первых, с результатами расчетов с использованием моделей других авторов [1-4], а, во-вторых, путем спектрофотометрических измерений при помощи спектрофотометра Lambda 950.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: Выступления на конференциях

■ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии РУДН 2008 г., 2009 г. и 2010 г.

■ Международный форум по нанотехнологиям. Москва:- «Роснано», 2008 г. и 2010 г.

■ Математическое моделирование и краевые задачи, Самара 2009 г.

5

■ Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика», июль 2009, г. Дубна.

■ 52 научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», ноябрь 2009 г. Долгопрудный. Выступления на семинарах

1. Общеуниверситетский научный семинар по нанотехнологии, 11 октября 2009 г., РУДН, Москва.

2. Общемосковский научный семинар "Интегральная оптоэлектроника. Физическая экология. Математическое моделирование", 15 сентября 2010, МНТОРЭС, Москва.

3. Семинар по вычислительной физике ЛИТ ОИЯИ, 23 декабря 2010 г., ОИ-ЯИ, Дубна.

Личный вклад соискателя. Исследованы матричные методы моделирования дифракции поляризованного света на анизотропных структурах, указаны вычислительные сложности и предложены способы их преодоления. Предложена собственная модель взаимодействия поляризованного света с многослойными наноразмерными оптическими системами. Модель обобщена для описания дифракции поляризованного света на периодических структурах. В рамках модели разработаны вычислительные алгоритмы.

Предложен метод решения задачи восстановления оптических свойств анизотропных материалов по спектрофотометрическим данным. Исследованы результаты других авторов в данной тематике и предложен собственный устойчивый алгоритм восстановления.

Предложен метод решения задачи синтеза многослойной оптической структуры с заданными спектральными характеристиками. В качестве примера решена задача синтеза кератопротеза.

Опубликованные результаты получены либо лично соискателем (предложенная математическая модель, алгоритмы расчета в рамках этой модели, её верификация, модель роговицы человеческого глаза), либо при его непосредственном участии.

Публикации. По результатам диссертационных исследований опубликованы 10 статей в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. Результаты, выносимые на защиту, изложены в трех работах, опубликованных в изданиях из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 116 наименований и 38 рисунков. Содержание работы изложено на 131 странице.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены актуальность темы диссертационных исследований, цель работы, методы исследований, научная новизна и практическая значимость результатов, выносимые на защиту положения, обоснованность и достоверность полученных результатов, а также краткое содержание диссертации. Приведен краткий аналитический обзор результатов по математическому моделированию многослойных тонкопленочных оптических структур.

В первой главе диссертации предлагается математическая модель дифракции плоских линейно поляризованных монохроматических электромагнитных волн (далее - нормальных волн) на многослойных плоскопараллельных оптических системах. Сначала рассматривается дифракция нормальных волн на изотропных материалах, проводится редукция уравнений Максвелла к двум независимым подсистемам дифференциальных уравнений. Для ТЕ поляризации:

дЕ,, дН

--— = -¡к0/иНх; - ¡кхЕ,, = -\кфН.\ —— + 1кхН. = ¡к^еЕ,, (1.1)

д: у ' д: ' *

Для ТМ поляризации:

81/., дЕг

--- = 1к0еЕх;-1кхНу=1к0еЕ.; —- + ¡кх Е. =-/'&0£# (1.2)

д: у " & у

Показано, что в изотропной среде ТЕ и ТМ поляризованные волны могут распространяться независимо друг от друга, и можно решать задачу моделирования отдельно для каждой поляризации.

При рассмотрении распространения нормальных электромагнитных волн в анизотропных материалах делается вывод о том, что в анизотропном материале всегда распространяются две собственные волны с ортогональными поляризациями. Система уравнений Максвелла редуцируется к системе из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

¿(Я, Еу Ну ЕХ)Т = Ь{НХ Еу Ну ЕХ)Т (1.3)

с матрицей коэффициентов А.

Утверждение 1. Система дифференциальных уравнений (1.3) в рамках решаемой задачи эквивалентна исходной системе уравнений Максвелла.

Показано, что в общем случае внутри однородной изотропной или анизотропной среды электромагнитное поле может быть представлено в виде разложения по фундаментальной системе решений (1.3) с неопределенными коэффициентами:

(НХ;ЕУ;НУ;ЕХ)Т (:) = + + С\>ъек>2 + . (1.4).

На плоской границе раздела двух однородных сред математически строго проведено исследование эволюции фаз и амплитуд электромагнитного поля в рамках предложенной модели.

Предлагается метод моделирования слоистых систем, основанный на выполнении граничных условий для четырех тангенциальных компонент электромагнитного поля между соседними слоями и последующем решении системы линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов из представления поля (1.4), имеющей в общем случае размерность 4(т+1), где ш - число слоев системы. Полученную для многослойной структуры систему линейных алгебраических уравнений можно гарантированно решить устойчивым методом.

Утверждение 2. Полученная система линейных алгебраических уравнений в рамках решаемой задачи эквивалентна системе уравнений (1.3), а значит, и уравнениям Максвелла

В рамках предложенной модели рассматривается матричный метод моделирования многослойных оптических систем, аналогичный методу, предложенному в работах [1,2,3].

Математическая модель обобщается на случай периодических сред, в качестве примера рассматриваются бинарные одномерные диэлектрические решетки.

Рис 2. Бинарная одномерная дифракционная решетка

Пример такой решетки представлен на рис. 2. Подложка считается однородной изотропной полубесконечной.

Электромагнитные поля над решеткой и в подложке представлены в виде разложений Релея:

00 СО

Еир = ЕтсШш+ X I Тпе~'К"*. (1.5)

п=—00 П=—оо

где Кп - блоховский волновой вектор, Тп и Кп - амплитудные коэффициенты отражения и пропускания Релея.

Внутри периодической области общее решение уравнений Максвелла записывается в виде разложения Флоке - Блоха:

| Ё=ЁКп{х)е~'к«*\ Н = ЙК:(х)е-'к"*. (1.6)

Система уравнений Максвелла редуцируется к системе, аналогичной системе (1.3), однако функции, входящие в ее состав, представлены в виде бесконечных рядов Фурье. Для того, чтобы перейти к работе с системой дифференциальных уравнений из конечного числа, необходимо использовать какой-либо метод регуляризации. В данной работе предлагается использование проекционного метода Галеркина, в результате применения которого получаем систему из конечного числа дифференциальных уравнений вида:

ко

1

ко д:

1 диуп(=)

ко д:

1 дит(=)

I- I -I Ъ У"у ' ¡г 1 1 1г

к0 к0 \ к0 Кг

ихп(=)

о;

, к0 кО ) кО кО

ку к.

хп

кг, к.

8:

"О 2

К ку £---——

ко ко )

(1.7)

у»

к к„ ко «о

Утверждение 3. Решение системы дифференциальных уравнений (1.7) сходится к решению исходной системы уравнений Максвелла с периодической функцией диэлектрической проницаемости.

С использованием условия равенства тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границах раздела двух сред получена система линейных алгебраических уравнений для неопределенных коэффициентов, в том числе амплитудных коэффициентов Релея.

Утверждение 4. Полученная система линейных алгебраических уравнений в рамках решаемой задачи эквивалентна системе (1.7), а значит, ее решение сходится к решению исходной системы уравнений Максвелла с периодической функцией диэлектрической проницаемости.

Вторая глава диссертации посвящена устойчивым численным алгоритмам решения прямых задач оптики в рамках полученной модели, их реализации в виде компьютерных программ и использование для решения обратных задач оптики.

Изложен метод моделирования дифракции нормальных электромагнитных волн на многослойных оптических системах из однородных слоев, основанный на получении для каждого слоя системы представления поля вида (1.4) и приравнивании на каждой границе четырех тангенциальных компонент электромагнитного поля. Предложенный метод приводит к необходимости решения системы линейных алгебраических уравнений размерностью 4(ш+1), где ш - количество слоев системы.

Предложен алгоритм, основанный на матричном методе моделирования дифракции нормальной электромагнитной волны на многослойных системах из однородных слоев.

Приведены результаты расчетов, сделанных при помощи описанных выше методов. Проведена верификация путем сравнения с существующими результатами и результатами спектрофотометрических измерений.

Оба метода подразумевают собой решение системы дифференциальных уравнений (1.3). Предлагается искать решение при помощи матричной экспоненты, которая, в свою очередь, ищется при помощи представления матрицы коэффициентов Л в виде:

Д = (1.8)

где ' н $ - обратная и прямая матрицы собственных векторов матрицы коэффициентов, а О - диагональная матрица собственных значений матрицы коэффициентов.

Предложен алгоритм решения задачи дифракции плоской волны на одномерной бинарной решетке. По отдельности рассмотрены случаи для ТЕ поляризованной падающей волны, для ТМ поляризованной падающей волны и для двух поляризаций одновременно.

Далее рассматриваются обратные задачи оптики и методы их решения. Рассмотрены две обратные задачи - задача восстановления оптических свойств анизотропного материала по спектрофотометрическим данным и задача синтеза многослойных оптических структур с заданными свойствами.

Предложен устойчивый метод восстановления тензора диэлектрической проницаемости, основанный на использовании Тихоновской регуляризации [5]. Он основан на использовании соотношений Крамерса - Кронига в качестве стабилизатора при решении некорректной задачи. Метод позволяет использовать информацию об отраженных и прошедших через структуру волнах.

Метод основан на минимизации функционала невязки методом деформируемого многогранника Нелдера - Мида:

/и ) / » )

Г(х)=1 £(Т,.(А)-Т, (х(Л),А))2 £(КДА)-К,(л(А),Л))2 г/Л, (1.9)

Л<=1 У Я \'=1

где и Т - априорная информация об отраженной и прошедшей волне, а (х(А),А)) и Т, (х(А),А) - вычисляемые величины, зависящие от вектора неизвестных х(Л) = {ех{Х),ех(Х),Еу{Х),£у{Х),е:(Х),£:{Х),(р,в,ц/,к}.

Задача синтеза многослойной оптической системы заключается в подборе количества слоев, их толщин и оптических свойств таким образом, что-

бы система обладала требуемыми свойствами. Предложенный метод основан на идеях А.Н. Тихонова и его учеников [5]. Предложенные в первой и второй главах работы алгоритмы реализованы в виде модулей на языке Object Pascal, которые используются для численного решения поставленных задач.

В третьей главе диссертации решается практическая задача синтеза многослойной структуры из оптически анизотропных тонких коллагеновых пленок, аналогичной роговице человеческого глаза.

Описывается проведение серии спектрофотометрических измерений оптических образцов с последующим восстановлением оптических свойств материала, из которого они сделаны. Для верификации полученных результатов проведены расчеты энергетических коэффициентов отражения и пропускания под различными углами падения и сравнение с экспериментальными данными, которые не использовались при восстановлении. По рисунку 3 можно сделать вывод, что полученные в результате измерений и в результате вычислений данные совпадают с точностью < 1%.

о; X

и >

CZ

о

о. С

S

го о

X

800

ДЛИНАВОЛНЫ, НМ

Рис. 3. Сравнение вычисленного по восстановленным данным и измеренного коэффициентов пропускания акриловой пластины.

Поставлена актуальная на сегодняшний день задача проектирования ке-ратопротеза на основе многослойной коллагеновой структуры, обладающего достаточной оптической прозрачностью в видимом диапазоне спектра электромагнитных волн (Ае[400...800] нм). Необходимость проектирования многослойной структуры обусловлена тем, что толстая коллагеновая пленка,

12

сравнимая по толщине с роговицей человеческого глаза, оптически плохо прозрачна, и ее нельзя использовать в качестве кератопротеза.

Расчеты проводились с использованием данных по параметрам оптически анизотропного коллагена, которые были получены с помощью предложенного алгоритма восстановления.

С использованием алгоритма синтеза многослойных оптических структур поставленная задача была решена - в результате выполнения вычислительного эксперимента была синтезирована многослойная структура из тонких коллагеновых пленок, по толщине соответствующая роговице человече-

ДЛИНАВОЛНЫ, НМ Рис. 4. Коэффициент пропускания синтезированной оптической структуры для разных углов падения (200 коллагеновых пленок, толщина каждой пленки 2500 им).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные выводы и результаты

В диссертационной работе получены следующие основные результаты: 1. Редуцирована математическая модель, охватывающая широкий круг оптических задач и позволяющая описывать дифракцию плоских линейно

поляризованных монохроматических электромагнитных волн на многослойных плоскопараллельных оптических структурах.

2. В рамках редуцированной модели разработаны расчетные алгоритмы, они реализованы в виде компьютерных программ либо программных модулей.

3. Разработан устойчивый метод и реализован алгоритм восстановления оптических свойств (тензора диэлектрической проницаемости) анизотропного материала по спектрофотометрическим данным.

4. Разработан устойчивый метод и реализован алгоритм синтеза многослойных тонкопленочных оптических структур. В качестве его применения решена задача проектирования многослойной коллагеновой структуры, аналогичной роговице человеческого глаза.

Основные публикации по теме диссертации:

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Ловецкий К.П., Хохлов A.A. Моделирование взаимодействия электромагнитной волны оптического диапазона с анизотропным слоем. // Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Математика. Информатика. Физика». - №1. - 2010. - С. 93-100.

2. Хохлов A.A. Решение задачи описания прохождения электромагнитной волны через слоистую среду //Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Математика. Информатика. Физика». - №2. - 2010. - С. 104-106.

3. Хохлов A.A. Прохождение электромагнитной волны через субволновые дифракционные структуры //Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Математика. Информатика. Физика». - №3 (1). - 2010. - С. 69-78.

Научные статьи в других изданиях

1. Устойчивый метод восстановления тензора диэлектрической проницаемости анизотропных тонких пленок по спектрофотометрическим измерениям. Севастьянов Л.А., Ловецкий К.П., Хохлов A.A. Сборник тезисов докладов научно-технических секций. Международный форум по нанотехнологиям. Москва:- «Роснано», 2008.

2. Л.А. Севастьянов, К.П. Ловецкий, A.A. Хохлов. Моделирование прохождения света через многослойные анизотропные покрытия. Восстановление тензора диэлектрической проницаемости для однослойного анизотропного образца. // Фундаментальные физико-

14

математические проблемы и моделирование технико-технологических систем, материалы международной научной конференции

"Моделирование нелинейных процессов и систем 2008", выпуск 12, том 2, стр. 484.

3. О.Н. Бикеев, К.П. Ловецкий, JI.A. Севастьянов, А.А. Хохлов. Дифракция света на анизотропных покрытиях. // Математическое моделирование и краевые задачи. Самара 2009. Секция "Информационные технологии в математическом моделировании". / Тезисы докладов. - СамГТУ, 2009. -с. 22.

4. К. Lovetskiy, L. Sevastianov, A. Hohlov. Robust Method of Dielectric Tensor Evaluation from Spectrophotometric Data. // Mathematical Modeling and Computational Physics. Section "Methods and Software for Experimental Data Processing". / Book of Abstracts of the International Conference. Dubna, 2009. - p 102.

5. Хохлов A.A. Синтез субволновых оптических структур // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. — М.: МФТИ, 2009. — с.155 - 158

6. Буканина В.И., Диваков Д.В., Хохлов А.А. Моделирование роговицы человеческого глаза // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. — М.: МФТИ, 2009. — с.128- 130

7. Mydini, Е.; Khokhlov, A.; Tyutyunnik, A. The model of optical diffraction on stratified media. АСА 2010, Applications of Computer Algebra, June 24-27, Vlora, Albania, 2010. Date accessed: 01 Jul. 2010.

8. K. P. Lovetskiy, L. A. Sevastianov, A. A. Hohlov. Robust method of dielectric tensor evaluation of anisotropic thin-film gratings from spectrophotometric data. Международный форум по нанотехнологиям Rusnanotech 2010, 1-3 ноября 2010, Москва.

Общий объем публикаций автора по теме диссертации составляет около 4 п.л.

Цитируемая литература

1. Berreman D.W. Optics in Stratified and Anisotropic Media: 4x4-Matrix Formulation // Journal of the optical society of America. - 1972. - vol. 62, № 4.-p. 502-510.

2. Палто С.П. Алгоритм решения оптической задачи для слоистых анизотропных сред // ЖЭТФ, т. 119, 2001, №4.

3. Mathias Schubert. Theory and Application of Generalized Ellipsometry // In book «Handbook of ellipsometry», Harland B. Tompkins, Eugene A. Irene. William Andrew, 2005

4. Путилин Э.С., Оптические покрытия. Учебное пособие. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2010-227с.

5. Тихонов А.Н., Арсенин ВЛ. Методы решения некорректных задач // М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. Изд. 2-е.

6. В.В. Гласко, А.Н. Тихонов, А.В. Тихонравов. О синтезе многослойных покрытий // Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 14, № 1, 1979.

Хохлов Алексей Анатольевич (Россия) Моделирование дифракции линейно поляризованного света на многослойных тонкоплёночных покрытиях

В работе предложена охватывающая широкий круг задач модель взаимодействия поляризованного монохроматического света с многослойными в общем случае анизотропными оптическими структурами, характерные размеры которых имеют порядок длины волны излучения либо меньше нее. Рассматриваются структуры, состоящие как из однородных, так и из периодических слоев.

Проведено теоретическое и численное исследование полученной модели, проведена верификация, в том числе методами спектрофотометрии. Разработан численно устойчивый алгоритм восстановления оптических свойств материалов по имеющимся спектрофотометрическим данным и алгоритм синтеза многослойных оптических структур с заданными характеристиками.

Решена задача проектирования многослойной оптической структуры из тонких коллагеновых пленок, способной заменить роговицу человеческого глаза. На основе таких структур можно в будущем изготовлять кератопроте-зы.

Khokhlov Aleksey Anatolyevich (Russia) Modeling of linear-polarized plane wave diffraction on multilayer thin-film coatings

The paper proposed a universal model of the interaction of polarized monochromatic light with multilayer optical structures, consist, in the general case, of anisotropic materials, the characteristic dimensions of layers are of the order of the wavelength or less it. We consider the structure consisting of a homogeneous and of the periodic layers.

It is proposed a theoretical and numerical study of the model, carried out verification, including the methods of spectrophotometry. A numerical stable algorithm for reconstructing the optical properties of materials using available spectro-photometric data and synthesis algorithm for multilayer optical structures with desired characteristics were developed.

The problem of designing multilayer optical structure of thin films of collagen that can replace the cornea of the human eye was solved. In the future on the basis of such structures keratoprothesis can be manufactured.

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Распространение плоских монохроматических электромагнитных волн в диэлектрических средах.

1. 1 Электромагнитные волны в изотропных средах.

1. 2 Электромагнитные волны в анизотропных средах.

1. 3 Граница раздела между двумя изотропными средами.

1. 4 Граница раздела между двумя в общем случае анизотропными средами.

1. 5 Энергетические коэффициенты отражения и пропускания.

1. 6 Распространение электромагнитных волн в слоистых средах.

1. 7 Распространение электромагнитных волн в периодической среде. Одномерная бинарная дифракционная решетка.

Глава 2. Алгоритмы решения задач оптики.

2. 1 Алгоритм моделирования взаимодействия световых волн с многослойными однородными оптическими системами, основанный на матричном методе 4x4.

2. 2 Алгоритм моделирования взаимодействия световых волн с многослойными однородными оптическими системами, основанный на методе решения СЛАУ размером 4(т+1).

2. 3 Алгоритм моделирования дифракции световых волн на одномерной бинарной дифракционной решетке (волновой вектор падающей волны лежит в плоскости, перпендикулярной «штрихам» решетки).

2. 4 Алгоритм моделирования взаимодействия световых волн с одномерной бинарной дифракционной решеткой (волновой вектор падающей волны лежит в плоскости, не перпендикулярной «штрихам» решетки).

2. 5 Алгоритм восстановления тензора диэлектрического проницаемости тонкой пленки.

Глава 3. Проектирование многослойного кератопротеза из коллагена.

3. 1 Постановка задачи.

3. 2 Спектрофотометрические исследования коллагена.

3. 3 Определение оптических свойств искусственного коллагена.

3. 4 Схема вычислительного эксперимента.

3. 5 Перспективное использование полученных результатов.

Актуальность темы

Задачи моделирования многослойных оптических структур, характерные размеры которых (толщина, период) имеют тот же порядок, что и длина волны оптического диапазона, либо меньше нее, в настоящее время, являются актуальными задачами физической оптики.

Результаты решения этих задач имеют применение не только в теоретических и экспериментальных научных исследованиях. Тонкопленочные оптические структуры используются также в бытовых приборах, в том числе в жидкокристаллических дисплеях, из них изготавливают отражатели в DVD и Blue Ray приводах, просветляющие покрытия для оптических линз. Самые современные устройства получения трехмерного изображения без специальных очков, которые уже появились на рынке, основаны на использовании тонкопленочных дифракционных элементов в качестве устройств, которые специальным образом модулируют фазу световой волны, в результате чего достигается требуемых эффект.

В последние годы особенно актуальной стала тема энергосбережения, в США и Европе запускаются правительственные программы, направленные на увеличение энергоэффективности практически всех сфер быта и производства, а также программы, направленные на освоение возобновляемых и природных источников энергии, в том числе солнечной. Специальные многослойные покрытия, нанесенные на элемент солнечной батареи, способны заметно увеличить ее КПД, тем самым уменьшив затраты на получение одного киловатта энергии.

Также тонкопленочные оптические структуры имеют обширное применение в устройствах интегральной оптики и микрооптики в качестве миниатюрных поляризаторов, зеркал, светоделителей и светофильтров.

Человеческий организм состоит помимо всего прочего из определенного вида полимера - коллагена. В природе насчитывается более 20 видов этого материала. Из коллагена состоят внешние оболочки внутренних органов, кожа, кишечно-желудочный тракт, роговица глаза. Коллаген хорошо изучен, и уже есть возможность искусственно изготовлять некоторые его типы, что делает этот материал важным в раневой медицине, хирургии, офтальмологии. Перед использованием коллагена для лечения людей необходимо проводить его лабораторные анализы, уметь предсказывать и моделировать его взаимодействие с внешней средой, в том числе с ультрафиолетовым, видимым и ближним инфракрасным электромагнитным излучением. Обычно коллагеновые пленки имеют толщину в несколько длин волн, кроме того, коллаген оптически анизотропен (так как это полимер), и для его изучения необходимо решать поставленные в данной работе задачи.

Роговица человеческого глаза состоит из нескольких десятков тонких коллагеновых пленок, что обеспечивает ей достаточную смачиваемость и оптическую прозрачность. Если человек имеет врожденное или приобретенное повреждение роговицы, он практически слеп, и разработка кератопротезов из многослойных коллагеновых структур также является актуальной задачей на сегодняшний момент.

В настоящее время в ведущих университетах и лабораториях мира проводятся обширные исследования на тему получения и использования материалов со свойствами, которых нет у природных материалов. Такие материалы принято называть метаматериалами. С ними связаны такие проекты, как стелс-технологии, технологии «невидимости», «суперлинзы» - линзы, способные фокусировать пучок света в точку, обладающую поперечными размерами меньше длины волны и другие. Моделирование таких материалов тесно связано с новейшим направлением в оптике - фотоникой. Фотоника включает в себя изучение, моделирование и методы проектирования фотонных кристаллов. Фотонный кристалл - это среда, обладающая периодичностью в одном, двух или трех направлениях, а период неоднородностей имеет размер порядка длины волны.

В общем случае многослойная тонкопленочная оптическая структура имеет вид, изображенный на рис. 1. Она может состоять как из однородных, так и из решетчатых слоев. На структуру падает электромагнитная волна, в общем случае от структуры отражается набор волн и через нее также проходит набор волн. к|гк

Рисунок 1. Многослойная оптическая структура

В процессе решения прямой задачи в общем случае необходимо определить амплитудные и энергетические коэффициенты отраженных и прошедших волн, состояния их фаз и поляризаций.

В процессе решения обратной задачи необходимо определить состав такой структуры (геометрические и оптические характеристики слоев и их количество), которая бы обладала требуемыми свойствами. При этом полученные характеристики должны быть реализуемы на практике - должна существовать техническая возможность создания такой структуры.

Основные результаты в теории решения прямых задач для однородных многослойных структур из изотропных материалов были получены еще М. Борном, Ф. Абеле и развиты в современных работах Л.В. Тихонравова, Э.С. Путилина и других. В 1972 г. была опубликована статья Д. Берремана, в которой был предложен матричный метод для моделирования однородных многослойных структур из анизотропных материалов. Этот метод положен в основу современных методик расчета. Согласно нему система уравнений Максвелла сводится к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая может быть решена различными методами.

Для неоднородных периодических структур (дифракционных решеток) теория разрабатывалась еще лордом Релеем, и один из методов моделирования дифракции света на периодических структурах назван в его честь. Один из точных универсальных методов моделирования дифракции света на наноразмерных решетках и фотонных кристаллах носит название точного метода связанных волн (11С\\^А), он был разработан в конце XX века и нашел свое отражения в работах многих ученых - Г. Мохарама, В. А. Сойфера и других. Для применения этого метода функции, входящие в состав уравнений Максвелла, необходимо разложить в ряды Фурье, а затем использовать условия равенства на границах раздела тангенциальных компонент электромагнитных полей.

Обратные задачи - задачи синтеза подобных структур - требуют многократного решения прямых задач, так как практически все методы синтеза так или иначе имеют в своей основе алгоритмы условной многомерной оптимизации. Такого рода задачи являются по своей сути некорректными, и поэтому для их решения требуется регуляризация.

Цель диссертационной работы

Целью диссертации является реализация вычислительного эксперимента по моделированию дифракции поляризованного света на многослойных тонкопленочных оптических структурах и разработка алгоритмов синтеза таких структур. Работа включает в себя:

• Создание единообразного, математически корректного подхода для моделирования дифракции плоских электромагнитных волн на слоистых оптических структурах.

• Разработку устойчивых численных методов и алгоритмов решения прямых и обратных задач, возникающих в результате применения модели, их реализация в виде программного обеспечения.

• Верификацию разработанной модели путем сравнения с существующими результатами других авторов и путем спектрофотометрических измерений.

• Применение разработанной модели и алгоритмов для решения задачи проектирования многослойной структуры с заданными характеристиками с последующим анализом результатов.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

• Решить систему дифференциальных уравнений для тангенциальных компонент электромагнитной волны, распространяющейся вдоль выбранного направления в однородной оптической среде.

• Используя граничные условия равенства тангенциальных компонент, составить и решить систему линейных алгебраических уравнений для амплитуд компонент электромагнитного поля всей оптической системы.

• Разработать алгоритм восстановления оптических свойств материала по спектрофотометрическим данным и алгоритм синтеза оптической структуры с заданными свойствами.

• Реализовать полученные алгоритмы в виде компьютерных программ, осуществить верификацию путем сравнения результатов расчета со спектрофотометрическими данными.

• Применить полученные алгоритмы для решения задачи проектирования кератопротеза человеческого глаза на основе тонких коллагеновых пленок.

Методы исследований

• Метод решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами позволяет записать решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в виде матричной экспоненты, поиск которой возможен численно устойчивыми методами.

• Метод вращений Якоби позволяет создавать численно устойчивые реализации алгоритма Якоби поиска собственных векторов и собственных значений комплекснозначных матриц.

• Метод Ш разложения позволяет устойчиво решать системы линейных уравнений, возникающие при решении поставленных задач.

• Метод Галеркина редукции систем дифференциальных уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

• Метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида минимизации функционала применяется при решении обратных задач восстановления оптических свойств материала по спектрофотометрическим данным и при решении зада синтеза оптических структур.

• Устойчивый метод Тихоновской регуляризации используется при решении обратных задач восстановления оптических свойств материала по спектрофотометрическим данным.

Научная новизна работы

1. Математически обоснована редуцированная модель дифракции нормальных волн на многослойных структурах. В частных случаях она совпадает с существующими моделями [4,13,39,40,61,85].

2. Модель включает в себя: о процедуру редукции уравнений Максвелла к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 4x4 для плоско -параллельных наборов однородных слоев и систему из 4 наборов из 2Ы+1 уравнений для дифракционной решетки о с учетом граничных условий задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений

3. Модель верифицируется различными способами: о В частных случаях возможна теоретическая верификация о Модель верифицируется путем сравнения результатов численных расчетов с результатами других авторов о Модель верифицируется путем проведения серий спекгрофотометрических измерений

4. Предложенная модель позволяет унифицировать методику решения любой задачи, связанной с моделированием прохождения света через плоскопараллельные системы.

Практическая значимость результатов

Полученные теоретические и практически результаты можно применять:

1. при решении задач восстановления неизвестных оптических свойств различных анизотропных материалов (диэлектрической проницаемости) по спектрофотометрическим данным

2. при решении задач проектирования многослойных оптических структур: поляризаторов, светофильтров, светоделителей, просветляющих и отражающих покрытий, жидкокристаллических дисплеев, устройств формирования трехмерного изображения

3. с использованием полученных результатов возможно создание кератопротеза роговицы человеческого глаза

Положения, выносимые на защиту

1. Редуцирована математическая модель, охватывающая широкий круг оптических задач и позволяющая описывать дифракцию плоских линейно поляризованных монохроматических электромагнитных волн на многослойных плоскопараллельных оптических структурах.

2. В рамках редуцированной модели разработаны расчетные алгоритмы, они реализованы в виде компьютерных программ либо программных модулей.

3. Разработан устойчивый метод и реализован алгоритм восстановления оптических свойств (тензора диэлектрической проницаемости) анизотропного материала по спектрофотометрическим данным.

4. Разработан устойчивый метод и реализован алгоритм синтеза многослойных тонкопленочных оптических структур. В качестве его применения решена задача проектирования многослойной коллагеновой структуры, аналогичной роговице человеческого глаза.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения задач использовались строгие и проверенные методы: метод вращений Як оби, метод многомерной оптимизации Нелдера-Мида, метод Тихоновской регуляризации и т.п.

Достоверность результатов подтверждается сравнением результатов тестовых расчетов, во-первых, с результатами расчетов с использованием моделей других авторов, а во-вторых, путем спектрофотометрических измерений при помощи спектрофотометра Lambda 950.

Обзор результатов по математическому моделированию (теории) многослойных тонкопленочных оптических покрытий

Исследование взаимодействия световых волн с оптическими структурами в рамках волновой теории света начиналось еще в работах Френеля, Гюйгенса, Дж Релея. Без использования электромагнитной теории были получены коэффициенты Френеля отражения и пропускания электромагнитной волны от плоской границы раздела двух изотропных однородных сред [30].

С развитием электромагнитной теории Максвелла, а также с развитием науки и техники в 19 веке, моделирование дифракции света на различных оптических системах стало чрезвычайно актуальной задачей. Одним из самых простых для моделирования объектов, который часто применяется на практике ввиду удобства в производстве, является оптическая система, состоящая из некоторого количества плоских, параллельных между собой пластин. Одной из первых работ, посвященных моделированию взаимодействия плоской монохроматической линейно поляризованной волны с такого рода системой, является известная работа Абеле [14], материалы из которой использованы в соответствующем разделе.

Исследования в этом направлении показали, что в зависимости от количества слоев, их свойств (толщины и диэлектрической проницаемости) и взаимного расположения друг относительно друга, оптическая система может проявлять различные свойства - например, полностью отражать световые волны определенной частоты или, наоборот, практически полностью их пропускать. Точное математическое описание таких эффектов, как полное внутреннее отражение от менее плотной оптической среды и поляризация света при отражении под определенным углом (эффект Брюстера) еще более усилило интерес исследователей к данной тематике. Помимо задач моделирования, или, так называемых, прямых задач (когда по заданным свойствам оптической системы необходимо исследовать состояния отраженных от нее и прошедших через нее волн), стало актуально решение «обратных» задач проектирования (синтеза) таких структур (задачи, когда требуется подобрать структуру, обладающую заданными спектральными характеристиками).

Безусловно, новым этапом в развитии теории моделирования оптических структур стало появление вычислительной техники и измерительной аппаратуры. Это позволило во много раз ускорить процессы моделирования и проектирования, а затем проводить контроль созданных оптических структур.

В дальнейшем изложении для простоты под понятием «моделирование» будет подразумеваться решения как прямых, так и обратных задач оптики.

В качестве моделируемых систем стали рассматриваться такие объекты, как тонкопленочные оптические системы на подложке, или, так называемые, оптические покрытия. Возможно производство слоев толщиной всего в несколько десятков нанометров. С развитием технологий производства стало возможно изготовление покрытий, слои которых состоят из оптически анизотропного материала, а также покрытий, слои которых являются неоднородными - например, решетчатыми.

Размеры оптических систем, которые влияют на свойства распространения в них света, принято называть характерными. Это - толщина слоев покрытия, период дифракционной решетки, высота ее штрихов. Если характерные размеры оптической системы много больше длины волны оптического излучения, то для ее моделирования достаточно использование скалярной волновой теории света, а для осуществления численного эксперимента не требуется больших вычислительных ресурсов.

В случае моделирования нанометровых оптических систем необходимо применение векторной электромагнитной теории Максвелла, и для решения такого рода задач необходимы устойчивые и быстрые алгоритмы.

Алгоритмы моделирования взаимодействия света с оптическими структурами макромасштабов, в основе которых лежит геометрическая оптика и скалярная волновая теория, подробно рассмотрены в сериях работ, ссылки на которые приведены в [61] и в данной работе рассматриваться не будут.

Алгоритмы для моделирования многослойных оптических покрытий из изотропных материалов рассмотрены в работах [33, 36, 39, 40, 32, 31]. Авторами подробно описан ход решения задачи моделирования взаимодействия плоских монохроматических волн с различными многослойными оптическими структурами. Выведены расчетные формулы для вычисления амплитудных коэффициентов отражения и пропускания волн различных поляризаций. Приведенные алгоритмы построены на основе так называемых матричных методов - каждый слой оптической системы описывается переходной матрицей, которая строится путем приравнивания фаз волн на границах между слоями - так называемый метод многолучевой интерференции.

Также в этих работах проведен подробный анализ полученных результатов, описаны методики проектирования оптических покрытий с заданными свойствами, приведены примеры расчетов. Однако, данные работы, в основном, имеют инженерную направленность и содержат в себе некоторые допущения и пробелы.

Алгоритм для моделирования оптических систем, состоящих, в общем случае, из анизотропных слоев, годный к численному кодированию, был впервые представлен в работе [4], а затем дополнен, проанализирован и применен к различным случаям (в том числе для неоднородных сред) в работах [5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13]. Предложенный метод основан на редукции системы уравнений Максвелла в определенным образом выбранной системе координат к системе из 4 дифференциальных уравнений относительно тангенциальных компонент электромагнитного поля, его принято называть матричным методом Берремана 4x4, по фамилии автора.

Детальный обзор анизотропных сред и особенностей распространения волн в них приведен в книгах советских ученых [3, 17, 18, 24].

При численной реализации предложенного Берреманом матричного метода возникали различные проблемы, связанные с поиском экспоненциальной функции от матрицы. В классическом алгоритме было предложено разложение матричной экспоненты в ряд Тейлора, в дальнейших работах — использование теоремы Сильвестра и других способов. Эти подходы являются не универсальными, так как накладывают определенные ограничения на толщину слоев системы и на матрицу СОДУ, описывающую распространение волны в анизотропном слое.

Автором с коллегами была предложена универсальная численно устойчивая модификация алгоритма Берремана, представленная в работе [15].

Также существуют методы моделирования многослойных оптических систем, основанные на анализе состояния поляризации отраженного и прошедшего света. Основные из них - это матричные методы Джонса и Мюллера, они представлены в [27], но ввиду неширокого охвата решаемых задач в данной диссертации они рассмотрены не будут.

Развитие методов решения обратных задач оптики обусловлено, во-первых, развитием вычислительной техники, а, во-вторых, развитием технологий производства и возможностью получать новые материалы и оптические системы на их основе.

Первая задача заключается в необходимости определения диэлектрических свойств некоторого материала по результатам различных измерений о состоянии прошедших и отраженных сквозь него волн. Так как в настоящее время довольно широко распространены различного рода спектрофотометры, то в качестве информации, по которой необходимо провести восстановление, берутся серии измеренных энергетических коэффициентов отражения и пропускания. Универсальных алгоритмов решения этой задачи нет, в разных работах предлагаются разные подходы. В книге [25] описана общая теория обработки результатов серий измерений. В работах А.Б. Кузьменко [41, 43, 44] предложен алгоритм восстановления свойств материала по измеренному коэффициенту отражения и приведены результаты численных расчетов, однако предложенный алгоритм далеко не универсален и не учитывает информацию о прошедших волнах.

В статье [42] представлен способ восстановления оптических свойств материала, основанный на интерполяции функции диэлектрической проницаемости определенного вида сплайнами.

В диссертации предложен достаточно универсальный алгоритм, основанный на Тихоновской регуляризации, позволяющий восстанавливать свойства анизотропных материалов по результатам серий спектрофотометрических измерений.

Вторая задача заключается в необходимости синтеза оптической системы из заранее заданного набора материалов. Необходимо подобрать толщины слоев, их количество и углы, под которыми слои повернуты друг относительно друга таким образом, чтобы получившаяся система, во-первых, удовлетворяла инженерным условиям (ограничения по суммарной толщине, по толщине каждого слоя и т.д.), а, во-вторых, удовлетворяла заданным спектральным характеристикам.

Для систем из изотропных материалов А.Н. Тихоновым и его учениками были созданы регуляризованные алгоритмы, позволяющие решать данную задачу [31, 32, 33, 36]. Математическая теория решения такого рода задач рассмотрена в работах [34, 35, 37]. Некоторый анализ зависимости свойств системы от ее структуры приведен в книге [40].

В настоящей работе авторами предложен алгоритм синтеза многослойного покрытия, слои которого являются оптически анизотропными, учитывающего априорную информацию о структуре покрытия. На основе этого алгоритма проводится синтез многослойного кератопротеза из коллагена.

Большой практический интерес представляют также неоднородные периодические структуры с нанометровыми характерными размерами -дифракционные решетки и фотонные кристаллы.

Существуют различные способы решения этой задачи, однако до конца не построена строгая универсальная математическая теория ее решения и, как следствие, не существует универсальных алгоритмов.

Эталонное» программное обеспечение 08о1уег, существующее на рынке, позволяющее решать прямые задачи дифракции света на решетках, основано на алгоритмах, построенных на математической модели, в основе которой лежат уравнения Максвелла в интегральной форме и уравнения Фредгольма. Этому посвящена работа [106].

Методы, основанные на решении системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме, делятся на приближенные и точные. Среди приближенных методов большую известность имеет метод БОТО, основанный на разностной схеме. Его отличает широкая область применения и возможность наблюдения эволюции электромагнитных полей во времени, однако в применении к нанометровым структурам необходимо накладывать сетку, состоящую из крайне большого количества ячеек, что делает проведение серий численных экспериментов практически невозможным.

Однако, точные методы, основанные на решении уравнений Максвелла в дифференциальной форме, считаются более широко применимыми и универсальными, а алгоритмы, построенные на их основе - более быстрыми.

Модальный метод Фурье (РММ) был разработан сравнительно давно, и на его основе был создан точный метод связанных волн (ЯС\¥А), впервые четко сформулированный в работе [85]. В основе решения уравнений Максвелла лежит теория Флоке-Блоха [67] и дальнейшее применение граничных условий.

Метод И-СУ/А был обобщен для многослойных систем, состоящих из дифракционных решеток [73], а также для решеток из анизотропных слоев [77,78,79].

Существующие методики имеют существенный недостаток. При компьютерной реализации алгоритма необходимо сократить до конечного размера бесконечные ряды Фурье, которыми представлены функции, входящие в уравнения Максвелла, и предлагается это делать необоснованным математически путем, например, просто взять достаточно больше число гармоник.

В данной работе автором предложен регуляризованный метод, основанный на методике Галеркина [86,87,88].

Объект моделирования - многослойная плоскопараллельная тонкопленочная оптическая структура.

В качестве объекта моделирования была выбрана оптическая структура (оптическое покрытие), состоящая их некоторого количества тонких слоев, расположенных параллельно друг другу. Система координат, связанная с моделируемой структурой выбирается так, как это показано на рис. 1. Ось ОЪ направлена перпендикулярно слоям системы, параллельным между собой.

Слои структуры могут быть либо однородными, либо неоднородными (например, дифракционными решетками). Именно такие структуры используются в качестве оптических покрытий, поляризаторов, зеркал и других устройств микрооптики, про которые было рассказано выше.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Предложены редуцированные математические модели дифракции поляризованного монохроматического света на различных оптических структурах. Первая модель подразумевает собой решение системы дифференциальных уравнений относительно тангенциальных компонент электромагнитного поля, вторая модель - решение системы линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

2. Разработаны и реализованы в виде программного обеспечения устойчивые численные алгоритмы, связанные с предложными моделями.

3. На основе предложенных моделей и алгоритмов разработан алгоритм восстановления оптических свойств (тензора диэлектрической проницаемости) произвольного анизотропного материала.

4. На основе предложенных моделей и алгоритмов, а также принципа Тихоновской регуляризации, разработан алгоритм синтеза многослойных оптических структур с заданными свойствами.

5. Осуществлен вычислительный эксперимент по синтезу многослойного кератопротеза на основе тонких оптически анизотропных коллагеновых пленок.

1. Физическая оптика: Учебник. 2-е изд. / С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин. - М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. - 656 с. - (Классический университетский учебник).

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. 4-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 656 с.

3. Федоров Ф.И. Оптика анизотропных сред. Изд. 2-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2004.-384 с.

4. Berreman D.W. Optics in Stratified and Anisotropic Media: 4x4-Matrix Formulation // Journal of the optical society of America. 1972. - vol. 62, № 4. -p. 502-510.

5. P. J. Lin-Chung and S. Teitler. 4X4 Matrix formalisms for optics in stratified anisotropic media. Vol. 1, No. 7/July 1984/J. Opt. Soc. Am. A. p. 703 705

6. Zhao Lu. Accurate and efficient calculation of light propagation in one-dimensional inhomogeneous anisotropic media through extrapolation. J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 24, No. 1/January 2007. p236 242.

7. H. Wohler, M. Fritsch, G. Haas, D. A. Mlynski. Characteristic matrix method for stratified anisotropic media: optical properties of special configurations. J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 8, No. 3/March 1991, p 536 540

8. K. Eidner. Light propagation in stratified anisotropic media: orthogonality and symmetry properties of the 4X4 matrix formalisms. Vol. 6, No. 11/November 1989/J. Opt. Soc. Am. A, p. 1567 1660

9. H. Wohler, G. Haas, M. Fritsch, and D. A. Mlynski. Faster 4X4 matrix method for uniaxial inhomogeneous media. J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 5, No. 9/September 1988, p. 1554- 1557

10. Kanghua Lu, Bahaa E. A. Saleh. Reducing Berreman's 4X4 formulation of liquid-crystal-display optics to 2 X 2 Jones vector equations. November 15, 1992 /

11. Vol. 17, No. 22 / OPTICS LETTERS, p 1557 1559

12. Hiap Liew Ong. Reducing the Berreman 4X4 propagation matrix method for layered inhomogeneous anisotropic media to the Abeles 2X2 matrix method for isotropic media. Vol. 8, No. 2/February 1991/J. Opt. Soc. Am. A, p 303 305

13. M. Shubert. Theory and applications of Generalized Ellipsometry. Chapter from book № 12.

14. Палто С.П. Алгоритм решения оптической задачи для слоистых анизотропных сред // ЖЭТФ, т. 119, 2001, №4.

15. М.Борн, Э.Вольф. Основы оптики. -М.: Наука, 1973, 721 с.

16. Хохлов А.А. Решение задачи описания прохождения электромагнитной волны через слоистую среду. Вестник РУДН, серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 2. — С. 103-105.

17. Michael В, Eric W, David R, William L. Handbook of optics, vol 1. USA, Chicago, 1995, 1606 p.

18. Федоров Ф.И., Филиппов B.B. Отражение и преломление света прозрачными кристаллами. Минск. Наука и техника, 1976, - 224 с.

19. А.Ф. Константинова, Б.Н. Гречушников, Б.В. Бокуть, Валяшко Е.Г. Оптические свойства кристаллов. — Мн.: Наука и Техника, 1995, 302 с.

20. А.А. Колоколов. Формулы Френеля и принцип причинности. Успехи физических наук, т. 169, №9, с 1025-1034.

21. М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. Теория волн. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1979, 382 с.

22. JI.J1. Досколович, H.JI. Казанский, С.И. Харитонов. Интегральные представления решения системы уравнений Максвелла для анизотропных сред. Компьютерная оптика, т. 34, № 1, с 52-57.

23. Я.П. Терлецкий, Ю.П. Рыбаков. Электродинамика. 2-е изд, перераб., М.: Высш. шк., 1990, 352 с.

24. Агранович В.М., Гинзбург B.JI. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. Москва:-«Наука», 1965, 376 с.

25. B.C. Сизиков. Устойчивые методы обработки результатов измерений. Учебное пособие. СПб.: «Спец. Лит.», 1999, 240 с.

26. Mathias Schubert. Polarization-dependent optical parameters of arbitrarily anisotropic homogeneous layered systems. Physical review B, vol 53, №8, p 4265 -4274.

27. Аззам, P. Эллипсометрия и поляризованный свет / Р. Аззам, Н. Башара. М. : Мир, 1981.-583 с.

28. Ефимов, В. В. К вопросу о соотношении фаз при отражении и пропускании электромагнитной волны диэлектрическим слоем / В. В. Ефимов, О. В. Иванов, Д. И. Семенцов //Ученые записки. УлГУ. - 2001.

29. А.С. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников. Математические модели электродинамики. М.: Выс. шк., 1991, 224 с.

30. Р. Дитчберн. Физическая оптика. Перевод с английского: Л.А. Вайнштейн, О.А. Шустина. М.: Наука, 1965, 627 с.

31. Т.В. Амочкина. Алгоритм синтеза многослойных оптических покрытий, основанный на теории эквивалентных слоев. Вычислительные методы и программирование, Т. 6, 2005. с 194-208.

32. Sh. A. Furman, A.V. Tikhonravov. From the book Basics of optics of multilayer systems. Edition Frontieres, Gif-sur-Yvette, 1992

33. В. Б. Гласно, А. Н. Тихонов, А. В. Тихонравов. О синтезе многослойных покрытий. Журнал вычислительной математики и математичекой физики. Т. 14, № 1, 1974.

34. Ягола А.Г. Некорректные задачи и методы их численного решения.

35. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, изд. 2-е, 283 с.

36. А.В. Тихонравов, Н.В. Гришина. Современные подходы к проектированию многослойных оптических систем. Элементы компьютерной оптики.

37. В.А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 240 с.

38. К. V. Popov. A uniqueness result for the recovery of the optical parameters of a dispersive and absorbong thin film. Inverse problems, №14, 1998, p 725 731.

39. Э.С. Путилин. Оптические покрытия. СПб:СПбГУИТМО, 2005.

40. П.П. Яковлев, Б.Б. Мешков. «Проектирование интерференционных покрытий», М.: «Машиностроение», 1987, - 185 с.

41. А.В. Kuzmenko, D. van der Marel, F. Carbone, F. Marsiglio. Model-Independent Sum Rule Analysis Based on Limited-Range Spectral Data. University of Geneva, 29 Jun 2007.

42. Spektroscopic Ellipsometry: B-spline dispersion model to determine optical constants. Spectrum newspaper, Edition 12, Nov 2010.

43. A.B.Kuzmenko, E.A.Tishchenko, A.S.Krechetov. Extension of the Kramers-Kronig method for polarized infrared reflectance spectra from the face of low-symmetry crystals. P.L.Kapitza Institute for Physical Problems RAS, 10 Jul 1997.

44. A. B. Kuzmenko. Kramers-Kronig constrained variational analysis of optical spectra. DPMC, University of Geneva, 24 Quai Ernest-Ansermet.

45. JI.А. Севастьянов, К.П. Ловецкий, О.Н. Бикеев, А.П. Горобец. Методы и алгоритмы решения задач в моделях оптических покрытий. М.: РУДН, 2008, 171 с.

46. Л.А. Севастьянов, К.П. Ловецкий, Е.Б. Ланеев, О.Н. Бикеев Алгоритмы вычислительного эксперимента для проектирования оптических наноструктур. М.: РУДН, 2008, 185 с.

47. К.П. Ловецкий, Л.А. Севастьянов, О.Н. Бикеев А.П. Горобец, И.В. Хавруняк. Математическое моделирование и методы расчета оптических наноструктур. М.: РУДН, 2008, 159 с.

48. Л.А. Севастьянов, К.П. Ловецкий, Е.Б. Ланеев Регулярные методы и алгоритмы расчета обратных задач в моделях оптических структур. М.: РУДН, 2008, 155 с.

49. К.П. Ловецкий, Л. А. Севастьянов, М. В. Паукшто, О.Н. Бикеев. Математический синтез оптических наноструктур. М.: РУДН, 2008, 145 с.

50. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва:- «Наука», 1966.

51. V.I. Tsoi, N.K. Sidorov. Description of propagation, dispersion and scattering in optics. Russian physics journal, vol. 39, No. 9, 1996, p 805-808.

52. Дж. X. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Москва:-«Машиностроение», 1976.

53. Дж. X. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. М., 1970, 564 с.

54. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969 г., 368 с.

55. Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. Практическая оптимизация. Пер. С англ. М.: Мир, 1985, 509 с.

56. Kenneth Lange. Optimization. NY.: Springer.

57. H.C. Бахвалов. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975, 125 с.

58. Е.Л. Гусев. Априорное сужение области поиска в волновых задачах синтеза неоднородных структур. Математическое моделирование, т. 12, №4, 2000, с 117-127.

59. Lifeng Li. User of Fourier Series in the analysis of discontinuous periodic structures. J. Opt. Soc. Am, Vol 13, №9, 1996, p 1870 1876.

60. Matthew N.O. Sadiku. Numerical techniques in electromagnetics. 2nd ed.- CRC Press, LLC, 2001.

61. Дифракционная компьютерная оптика. Под редакцией В.А. Сойфера. Москва, физматлит, 2007. 736 с. Авторский коллектив: Д.Л. Головашкин, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.В. Котляр, B.C. Павельев, Р.В. Скиданов, В.А. Сойфер, С.Н. Хонина

62. В. А. Сойфер. Нанофотоника и дифракционная оптика. Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика.

63. Д.С. Пожарский, В.В. Котляр. Двухволновое приближение при дифракции света на бинарной диэлектрической решетке. Компьютерная оптика.

64. A surface-emitting laser incorporating a high-index-contrast subwavelength grating, Michael С.Y. Huang 1, Y. Zhou 1 & Connie J. Chang-Hasnainl, Nature Photonics 1, 119 122 (2007) doi:10.1038/nphoton.2006.80

65. Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А., Паукшто M.B., Жуков А.А. Методы связанных волн расчета оптических покрытий: Учеб. Пособие. - М.: РУДН, 2008. - 144 с.

66. Г. Шмидт. Электромагнитное рассеяние на периодических структурах. Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3, 2003, с 113-128

67. Yariv Amnon, Yeh Pochi. Photonics: optical electronics in moderntbcommunications. 6 ed. Oxford University press, Inc, New York, 2007.

68. К.П. Ловецкий, Л.А. Севастьянов. Методы дифференциальных разностей расчета оптических покрытий. М.: РУДН, 2008. - 161 с.

69. Erwin G. Loewen, Evgeny Popov. Diffraction gratings and applications, MARCEL DEKKER, 1997, 620 p.

70. Christopher Palmer, Erwin Loewen. Diffraction grating handbook. 2005, Newport Corporation, 271 p.

71. Benoit Lombardet, L. Andrea Dunbar, Rolando Ferrini, and Romuald Houdre. Fourier analysis of Bloch wave propagation in photonic crystals. Lombardet et al. Vol. 22, No. 6/June 2005/J. Opt. Soc. Am. B

72. Michel Neviere, Evgeny Popov. Light propagation in periodic media. Differential theory and design. New York, Marcel Dekker, 2003, 410 p.

73. K. Sakoda. Optical Properties of Photonic Crystals. Germany, Springer, 2001, 2231. P

74. Jean-Michel Lourtioz, Henri Benisty, Vincent Berger, Jean-Michel Gerard, Daniel Maystre, Alexei Tchelnokov. Photonic Crystals. Towards Nanoscale Photonic Devices. Second Edition. Germanu, Berlin, Springer, 2008, 514 p.

75. John D. Joannopoulos, Steven G. Johnson, Joshua N. Winn, Robert D. Meade. Photonic Crystals. Molding the flow of light, Princeton: Princeton University Press, 2009, 305 p.

76. Koki Watanabe. Reformulation of the differential method for anisotropic crossed gratings with smooth profile, 3-30-1 Wajirohigashi, Higashi-ku, Fukuoka 8110295, Japan.

77. K. Watanabe, fast converging and widely applicable formulation of the differential theory for anisotropic gratings, Progress In Electromagnetics Research, PIER 48, 279-299, 2004

78. Allen Taflove, Morris E. Brodwin. Numerical Solution of Steady State Electromagnetic Scattering Problems using the time-depended Maxwell's equations. IEEE Transactions on microwave theory, vol MTT-23, no. 8, August 1975.

79. Thomas C. Paulick. Applicability of the Rayleigh hypothesis to real materials. Phys. Review, volume 42, number 5, August 1990.

80. Tanos Elfouhaily, Thomas Hahn. Rayleigh's Hypothesis and the Geometrical Optics Limit. Physical Review Letters, vol 97, September 2006

81. A. G. Ramm. Modified Rayleigh conjecture and applications. Journal of Physics A: Mathematical and General, Gen 35, 2002

82. A. G. Ramm, Semion Gutman. Modified Rayleigh conjecture for scattering by periodic structures. In the book "Differential Equations and Applications", vol 4, Nova Sci. publishers, New York, 2004

83. Moharam M. G., Grann E. В., Pommet D. A., Gaylord Т. K. Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings // J. Opt. Soc. Am. A 12, 1995.

84. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. Москва, МИР, -1988 г., 352 с.

85. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Ленинград, Физматгиз, 1962 г., 708 с.

86. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Москва, НАУКА, 1970 г., 512 с.

87. С.Ю. Карпов, С.Н. Столяров. Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью. Успехи физических наук, Т. 163, № 1, с 63 89.

88. Л. Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов. Интегральные представления решения системы уравнений Максвелла для анизотропных сред. Компьютерная оптика, т. 34, № 1, с 52-57.

89. Э.П. Шурина, М.Ю. Великая, М.П. Федорук. Об алгоритмах решения уравнений Максвелла на неструктурированных сетках. Вычислительные технологии, т. 5, №6, с 99-116.

90. M.G.M.M.v.Kraaij, J.M.L.Maubach. A more efficient Rigorous Coupled-Wave Analysis algorithm. In book "Progress in Industrial Mathematics at ECMI 2004", Springer, Berlin, 2006

91. Д.Л. Головашкин, Н.Л. Казанский, B.H. Сафина. Применение метода конечных разностей для решения задачи дифракции н-волны на двумерных диэлектрических решетках. Компьютерная оптика.

92. Л.Л. Досколович. Расчет бинарных диэлектрических решеток и одномерных доэ в рамках электромагнитной теории. Компьютерная оптика.

93. Chang-Wook Han, Doo Jin Cho. Rigorous Coupled-wave analysis of anti-reflective surface-relief gtatings. Journal of the optical sosciety of Korea, Vol 1. Num 1, March, 1997, p. 26-35.

94. Joerg Bischoff. Fast diffraction computation schema for multilayer crossed gratings containing layers with ID periodicity. J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 27, No. 1/January 2010, p. 116-122

95. Koki Watanabe, Martin Foldyna, Razvigor Ossikovski, Antonello De Martino, Bernard Drevillon. Effective medium approximation of anisotropic lamellar nanogratings based on Fourier factorization. Optical Sosciety of America.

96. L L Doskolovich, N L Kazanskiy, P Repetto, Ye V Tyavin. Design and investigation of colour separation diffraction gratings. J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 9 (2007) 123-127

97. Depine, Ricardo A. and Skigin, Diana C.(1996) 'Antispecular effects in conical diffraction from deep reflection gratings', Journal of Modern Optics, 43: 3, 453 — 468

98. Li, Lifeng(1998)'Reformulation of the fourier modal method for surface-relief gratings made with anisotropic materials',Journal of Modern Optics,45:7,1313 — 1334

99. Ricardo A. Depine, Miriam L . Gigli. Diffraction from corrugated gratings made with uniaxial crystals. Rayleigh methods. Journal of modern optics, 1994, vol. 41, no. 4, 695-715

100. E. Popov, M. Neviere. Maxwell Equations in Fourier Space: fast-converging formulation for diffraction by arbitrary shaped, periodic, anisotropic media. J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 18, No. 11/November 2001, p. 2886 2894

101. N.P. van der Aa. Diffraction grating theory with RCWA or the 0C method. Technical University of Eindhoven

102. John J. Hench, Zdenek Strakos. The ECWA method a case study with open questions and perspectives of algebraic computations.

103. David Fattal, Jingjing Li, Zhen Peng, Marco Fiorentino, Raymond G. Beausoleil. Flat dielectric grating reflectors with focusing abilities. Nature Photnics, DOI: 10.1038/NPHOTON.2010.116

104. L.I. Goray. Numerical analysis of the efficiency of multilayer-coated gratings using integral method. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 536 (2005) 211-221

105. V.V. Belyaev, E.M. Kushnir, A.V. Klyshkov. Numerical modeling of the difraction of light at periodic anisotropic gratings with rectangular surface microrelief. J. Opt. Technol. 72 (9), September, 2005, p. 725-728

106. A.B. Закиров, В.Д. Левченко. Эффективный алгоритм для трехмерного моделирования распространения электромагнитных волн в фотонных кристаллах. ИПМ РАН, 2008.

107. W.Lotmar Theoretical eye model with aspherics // JOSA. 1971. V. 61, №11, P. 1522

108. M.Guillon, P.M. Lydon, C. Wilson Corneal topography: a clinical model // Ophthalmic. Physiol. Opt, V.6, P.47-56

109. M.C. Dunne, J.M. Royston, D.A. Barnes Normal variations of the posterior corneal surface // Acta Ophthalmol. 70. P. 255-261

110. M. T. Flores-Arias, A. Diaz del Rio, С Bao-Varela, M. V. Perez, C. Gomez-Reino. Description of gradient-index human eye by a first-order optical system. J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 11 (2009) 125301 (8pp)

111. В.И. Цой, A.B. Тарасишин, В.В. Беляев, С.М. Трофимов. Моделирование дифракции света на структурах с пространственной периодичностью оптических параметров вещества и рельефа поверхности. Оптический журнал, том 70, №7, 2003, с 18-23

112. D. С. Dobson. Optimal design for periodic anti-reflective structures for Helmholtz equation // European J. Appl. Math. 4 (1993), pp. 321-340

113. Bao G. Numerical analysis of diffraction by periodic structures: TM polarization// Numer. Math. — 1996. — 75. — C. 1-16

114. A.A. Самарский. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1979, №5, с.38-49