автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование задач нанофотоники на основе численных и аналитических методов решения нестационарных уравнений Максвелла

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

На правах рукописи

4842ЯОО

Прокопьева Людмила Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ НАНОФОТОНИКИ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННЫХ И

АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 ЯпВ 2011

Новосибирск — 2010

4842936

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Михаил Петрович Федорук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Леонид Лазаревич Фрумин

кандидат физико-математических наук Сергей Валерьевич Смирнов

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 19 января 2011 года в Ю00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика М.А.Лаврентьева, 6, ИВТ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН (проспект академика М.А.Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан « 17 » декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Л. Б. Чубаров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из актуальных и интенсивно развивающихся современных разделов оптикп является ианофотоника.

Разработка наноструктур с нетривиальными свойствами для создания новых оптических устройств ведется во многих научно-исследовательских группах. В последнее время большое количество экспериментальных и теоретических работ посвящено исследованию ряда революционных устройств: оптических линз с разрешением, не ограниченным дифракционным пределом, идеально-поглощающих концентраторов - оптических "черных дыр", а также устройств, меняющих распределение электромагнитного поля вокруг объекта так, чтобы делать его невидимым в заданном спектральном диапазоне. Экспериментальное исследование искусственных материалов (метаматериалов) для этих и других устройств часто ограничено их сложной наноструктурой и, следовательно. высокой стоимостью изготовления опытных образцов. Поэтому для исследования, проектирования и оптимизации образцов материалов и оптических устройств на их основе возникает потребность в математическом моделировании распространения оптического сигнала в изучаемых структурах на основе апалютгчсских п численных методов. При этом моделирование затруднено несоизмеримостью масштабов самих устройств (десятки микрон) и их структурных элементов (несколько нанометров), резкими изменениями электромагнитных свойств па границах элементов, а также наличием анизотропии и частотной дисперсии в используемых материалах. По этим причинам возникают следующие требования к применяемым численным методам: выбранный метод должен адекватно работать в средах со сложной геометрией разрыва диэлектрической проницаемости; для применяемых методов требуется разработка параллельных версий программ для ускорения расчетов; кроме того, требуется обобщение методов для сред с частотной дисперсией и анизотропией диэлектрической проницаемости.

Цель работы заключается в разработке инструментария для моделирования распространения электромагнитных волн в новых нано-структурироваллых материалах и устройствах палофотопики на основе аналитических и численных методов для решения нестационарных уравнений Максвелла, создании комплекса цараллельпых программ.

На защиту выносятся:

в части численных и аналитических методов

• параллельная версия конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках, п котором для достижения второго порядка точности по пространству и времени применяется схема MUSCL (Monotone Upstream-centered Scheme for Concervatiou Laws) u интерполяции полей па полушаг по времени с использованием формулы Тейлора и точных уравнений в недивергентной форме 1;

• обобщение численных методов для решения нестационарных уравнений Максвелла: конечно-разностного .метода Йп (Yee) и метода конечных объемов па случай дисперсионных сред, в которых частотная зависимость диэлектрической проницаемости дается в виде аппроксимации Паде, включающей различные модели дисперсионного отклика, среды па электромагнитное излучение;: Дебая, Зельмейера (Sellmeier), Друде, Лоренца, критических точек, а также обобщение конечно-объемного алгоритма для сред с анизотропной диэлектрической проницаемостью в двумерном случае:

• аналитическое решение уравнений Максвелла, основанное на теории Мн н реализованное в пакете программ PhotonicsCL для цилиндрического прибора, состоящего из концентрических слоев с постоянной либо с обратной квадратичной радиальной зависимостью диэлектрической проницаемости, п падающего на прибор поля в виде плоской волны либо гауссова пучка ТЕ (Transverse Electric) и ТМ (Transverse Magnetic) поляризаций;

в части моделирования материалов и устройств

• результаты численного моделирования внешней п внутренней гнпер-линз, полученные обобщенным на случай анизотропной диэлектрической проницаемости конечно-объемным алгоритмом, которые демонстрируют способность гиперлинз увеличивать изображение объектов размером менее дифракционного предела, а также расчеты внутренней линзы Лупеберга, выполненной нз однородных слоев;

• результаты моделирования оптической "черной дыры': на основе аналитической теории Ми и с помощью численного решения нестационарных уравнений Максвелла конечно-объемным алгоритмом и конечно-

1При последующих упоминаниях конечно-объемного алгоритма в тексте автореферата будет подразумеваться данный конечно-объемный алгоритм

разностным методом Ии, а также результаты теоретического и численного анализа эффективности поглощения идеального прибора и прибора, в котором радиальная зависимость диэлектрической проницаемости заменена однородными слоями.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

• Впервые предложена и реализована параллельная версия конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках и проведено тестирование ускорения параллельной версии алгоритма на вычислительных комплексах кластерной архитектуры.

• Впервые предложено обобщение методов конечных разностей Йи и конечных объемов для сред, частотная дисперсия диэлектрической проницаемости которых описывается аппроксимацией Паде. позволяющее единообразно, с помощью методов дополнительного дифференциального уравнения и рекурсивной свертки, моделировать среды с различной зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты, характерной для диэлектрических и металлических сред;

• Впервые для модели критических точек определены дисперсионные погрешности методов, предлагаемых для учета дисперсии диэлектрической проницаемости, а также необходимое спектральное условие устойчивости схемы Йи для метода дополнительного уравнения.

• Впервые проведено обобщение конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках для случая анизотропной диэлектрической проницаемости в двумерной постановке, с помощью которого выполнено моделирование цилиндрических гиперлипз.

• Впервые проведен подробный теоретический, основанный на теории Ми, анализ для цилиндрического случая оптической "черной дыры", идеальной и выполненной из однородных слоев, а также впервые получена приближенная оценка эффективности поглощения прибора для ТМ случая и выполнено математическое моделирование прибора в рамках нестационарных уравнений Максвелла на основе численных методов: метода конечных разностей Ий и метода конечных объемов.

Практическая значимость работы. Разработанные аналитические и численные методы для решения нестационарных уравнений Максвелла в диэлектрических и металлических средах, а также реализующие

их комплексы программ могут быть применены для проектирования, анализа и оптимизации сопрсмспных оптических устройств, выполненных из структурированных метаматериалов и материалов наиофотони-ки.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении гранта РФФИ JVs 09-01-00352 и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 113 (2(Ш-2(Шгг).

Обоснованность и достоверность основных результатов, полученных в диссертации, основываются на проведении методических тестовых расчетов, сопоставлении результатов с аналитическими решениями, а также с численными результатами, полученными другими авторами и другими методами.

Представление работы. Результаты настоящего исследования были представлены на следующих научных конференциях: Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск. 2006; Новосибирск, 2007); Russian-German Advanced Research Workshop (Novosibirsk. 2007); Совещание Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям (Новосибирск, 2007): Международная научная конференция по параллельным вычислительным технологиям (Челябинск, 2007); Всероссийская конференция но вычислительной математике (Новосибирск. 2007, 2009); Conference on Applied Computational Electromagnetics (Niagara Falls, Canada, 2008); The Conference: on Lasers and Electro-Optics and Tile Quantum Electronics and Laser Science Conference (San Jose, CA, USA, 2010); SIAM Conference on Mathematical Aspects of Material Science (Philadelphia, PA, USA. 2010); 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (Chicago, IL, USA, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общин объем этого типа публикаций, в знаменателе — объем, принадлежащий лично автору) 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (2.0/1.2), 3 — в трудах международных и всероссийских конференций (1.9/1.2). 7 — в тезисах международных и всероссийских конференций (0.4/0.2).

Личный вклад автора. В публикациях [1,4-5,10,12] автору принадлежит разработка и реализация параллельных версий конечно-объемного алгоритма и метода конечных разностей Ип, а также проведение численных расчетов; в [6,9] автором предложены численные ме-

fi

тоды для уметя дисперсии диэлектрической проницаемости п методах конечных разностей Мн и конечных объемов, проведен анализ дисперсионной погрешности и устойчивости, выполнены тестовые одномерные н двумерные задачи; в [.'5.7-8] автору принадлежит вывод аналитического решения с помощью теории Ми, создание комплекса компьютерных программ для моделирования волновых процессов па основе теории Ми и для решения нестационарных уравнений Максвелла с помощью конечно-объемного алгоритма, а также полученная приближенная оценка эффективности поглощения оптической черной дыры для случая ТМ поляризации. Во всех публикациях автор принимала участие в постановке задач, интерпретации и анализе точности результатов, создании компьютерных программ и проведении численных экспериментов с использованием разработанных программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессор)' М.П. Федоруку за всестороннюю поддержку и постоянное внимание в ходе выполнения работы. Отдельно хочется поблагодарить кандидата, фпз.-мат. паук A.B. Кильдшпева за многочисленные обсуждения и консультации, а также Д.Л. Чубарова. за помощь в освоении теории и практики параллельных вычислений.

Содержание диссертации

При изложении содержания диссертации используются следующие обозначения и сокращения: i. — комплексная единица. Со — диэлектрическая постоянная, U(t) — функция Хевисайда, т — шаг дискретизации по времени. НУМ — нестационарные уравнения Максвелла, МКР — метод конечных разностей, МКО — метод конечных объемов, МКЭ — метод конечных элементов.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются основные цели и задачи диссертационной работы, дается обзор численных методов, применимых для моделирования поставленных задач, а также приводится краткое содержание по главам.

В главе 1 представлены численные методы решения нестационарных уравнений Максвелла, в изотропных средах без дисперсии, которые

в последующих главах модифицируются для анизотропных и дисперсионных сред и применяются для моделирования оптических устройств. Предложены параллельные версии используемых алгоритмов для проведения расчетов на многопроцессорных вычислительных комплексах.

В §1.1 приведены нестационарные уравнения Максвелла, описывающие распространение электромагнитного поля в изотропной среде без дисперсии, а также соглашения о безразмерных величинах.

В §1.2 дается краткое описание стандартному конечно-разностного метода для решения НУМ, предложенного Ии (Yee) [1]. В §1.3 излагается конечно-объемный алгоритм на неструктурированных сетках [2].

Параграф 1.4 посвящен распараллеливанию МКР и МКО а тестированию ускорения на многопроцессорных вычислительных комплексах кластерной архитектуры. Параллельные версии основаны на декомпозиции вычислительной области и реализованы с помогцыо библиотеки MPI (Message Passing Interface). Приводится блок-схема параллельной программы. Тестовые расчеты показывают, что при достаточном количестве вычислительных узлов и тестируемом количестве процессоров (80) ускорение параллельной программы практически линейно.

Глава 2 посвящена введению дисперсионного отклика металлов и диэлектриков в конечно-разностную и конечно-объемную модели численного решения НУМ.

В §2.1 вводится обобщенная модель дисперсии, в которой зависимость относительной диэлектрической проницаемости от частоты представляется в виде аппроксимации Паде с вещественными коэффициентами. В предположении об отсутствии кратных корней в знаменателе последняя раскладывается на сумму Паде-аппроксимант более низких степеней

/ \ о «ОЛ , v^ "СМ ~~ LulaL.i п\

C(u))=C00--+ > --:- + 2^1-ï-W

1Ш£о f-f i>o,t ~ tu) rri bo.i - tubi,i - Lû-

гДе ^oe — диэлектрическая проницаемость на высоких частотах, а — проводимость, Ii = 1, ¿ï и /г = 1, (¿г + /'а) \ h — непересекающиеся множества индексов. В частности, в виде (1) представляются классические модели Дебая, Друде-Лоренца, Зельмейера. а также модель критических точек [3].

Если в уравнении (1) слагаемое в суммах с индексом i обозначить Xi, то соответствующая поляризация Pj(u/) = E(u/)x«(u>) во временной

области определяется через интеграл свертки (/ = 1у (J/г)

P.-W = f \>nnt - T)dT Mi G /, (2)

i)

либо с помощью задачи Копш для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого или второго порядка

Р, + fco.iPi = «о.,Е. Р,(0) = 0 Vt е /ь (3)

Р, + + г>о.,:Р,. = «i.,E + Яо.уЕ, Р,(0) = Р,(0) = 0 Уге/2. (4)

В §2.2 для обобщенной модели (1) строятся численные схемы для нахождения локального отклика Р7. При этом используется два классических подхода для дискретизации дисперсионного соотношения — метод дополнительного дифференциального уравнения (ADE — Auxiliary Differential Equation) и метод рекурсивной свертки (КС — Recursive Convolution). Эти методы с различным выбором конечно-разностной аппроксимации (для ADE) либо метода численного интегрирования (для RC) освещены в [4]-[9], однако выводятся отдельно для классических моделей Друде, Лоренца. Дебая. причем для каждого метода RC сопровождаются громоздкими вычислениями коэффициентов. В данном параграфе приводится универсальная параметризация для более общей модели дисперсии (1) для ADE п RC методов, которая унифицирует и минимизирует вычислительную сложность разных подходов, а также облегчает численный анализ схем.

В предлагаемом методе ADE для аппроксимации ОДУ 1-го порядка (3) используется схема Кранка-Николсон. а для ОДУ 2-го порядка (4) — билинейная схема. Выбор последней обусловлен тем. что схема не нарушает условие устойчивости при совместном решении со схемой Йн [1| для НУМ. Для модели Лоренца этот факт показан в [10], для предлагаемой обобщенной модели устойчивость исследовала в §2.4.

Метод RC основан на вычислении интеграла свертки (2). которое выполняется рекурсивно для каждого слагаемого Р, и для различных методов численного интегрирования согласно следующим леммам.

Лемма 1 Если для восприимчивости \(t) = aeritU(t) метод HC аппроксимирует интеграл свертки (2) в виде Р" = "_0 \п_j, причем коэффициенты аппроксимации Xjia>ßiT) удовлетворяют рекурсивному со отношению Xj+i = K>,TXj-J > 1. тогда интеграл свертки может быть вычислен рекурсивно

pn+i = t0rр„ + y0E"+1 + [Xl - е'3тхи] Е".

Лемма 2 Пусть условия Леммы 1 выполнены, а восприимчивость дается суммой х(t) — \+(t) — X~0-)iX±' — а± 6xp(/3±i)i/(i), тогда рекурсивная (формула для вычисления интеграла свертки имеет вид

Р"+! = /3iPn + /30Р"'-1 + a2En+1 + ajE" + a0E"-\

где a0 = е'3+тхГ ~ TXÎ - си2ва, Q'i = Xi" ~ Хх ~ "гА, а2 = - \о , ßx = 2с-">т cos ¿г.. А, = —е~2ут, 7 = + ß+)/2, <5 = ¿(/Г - /ii+)/2.

Например, условиям Леммы 1 удовлетворяют: метод прямоугольников (RRC) |5|, метод трапеций (TRC) |(j|, кусочио-постояштьш метод первого и второго порядка (PCRC,PCRC2) [7],[8], кусочно-линейный метод (PLRC) [9]. Для методов приводятся коэффициенты Xo(a> ß: т)> Xi(q,/5,t), необходимые для построения рекурсивной формулы.

В §2.3 численные уравнения для поляризации Р;, полученные ранее методами ADE и RC, решаются совместно с. МКО и МКР для НУМ. При этом, число выполняемых операций сокращается по сравнению с классическими работами [4] -[9] за счет использования следующей Леммы.

Лемма 3 Пусть дисперсия диэлектрической проницаемости дается соотношением (1), и локальная поляризация вычисляется рекурсивно

РГ+1 = ¿Р" + »2,1Е"+1 + auE" Vi G Ii.

PT+1 = А.гР" + АмРГ1 + «2,iEn+1 + «ME» + O'o.jE"-1 Vi € I2.

тогда схема Plu [1/ с учетом дисперсии может быть записана в виде

С Е"+! = СГ1 {ÎuE» + crV х Н»+1/2 - Ф!'}

I =ßi,iV? +{(/3i,; - l)r/i,}E" Vieh

) = ß^v? + ф? + (ßx,- i^.je» Viei2 ' ы

{ ф.;1+1 = вол*? - 0o,im;i}En Vi е h

где ix = £oo + f£+£i€/ £o = Ci-f^-Eie/, Пи, Пол = <*(М+а2,;А).ь

Hl Л = «1,г + П2Л^и-

Аналогичным образом в этом параграфе дисперсия вводится в МКО.

В §2.4 исследованы дисперсионные ошибки и устойчивость предложенных численных схем для сред, дисперсия которых представляется в виде Паде аппроксимации порядка |1/2|. Для ЛБЕ метода выведено достаточное условие на коэффициенты а0Ь\ —ахЬц > 0 и 8П10 > 0 для того, чтобы учет дисперсии в схеме Пи не приводил к нарушению условия устойчивости. Для исследуемых ЛБЕ п НС методов анализируется относительная погрешность дисперсии в численном решении (х„„т ~ Х)/Х-Анализ показывает, -что наиболее точный локальный отклик среды получается при вычислении поляризации методом РСНС2.

В §2.5 приведены результаты численных экспериментов с помощью предложенных дисперсионных МКО, МКР, а также МКЭ (СОМБОЬ МиШрЬузкз). Дисперсия золота описывалась и рамках модели критических точек [3]. Проведены одномерные расчеты прохождения плоской волны через пленку из золота, подтверждающие второй порядок сходимости. Кроме того, для анализа точности разработанных методов выполнен расчет задачи о нормальном падении плоской волны света видимого диапазона ТЕ и ТМ поляризации на образец периодической наноструктуры из золота и двуокиси кремния. Для вычисления точного коэффициента прохождения и отражения структуры использована программа [11]. Результаты сравнения точности коэффициентов для ТМ поляризации показаны на рис. 1. Сравнение проводилось на прямоугольных сетках, с шагом по пространству равному к/4 для МКО и к/2 для МКР и МКЭ. В МКЭ порядок элемента брался первым, а в областях с дисперсией повышался до пятого. При этом время счета МКЭ оказалось па 2 порядка больше.

Глава 3 посвящена моделированию цилиндрических линз: гипер-лнизы и линзы Лупеберга. Для моделирования гипсрлппзы разработана анизотропная модификация МКО.

В §3.1 описывается устройство гиперлипзы, предложенное в работе |12]. Такая линза может быть сделана из анизотропных немагнитных метаматериалов и обладает разрешающей способностью менее дифракционного предела. В отличии от идеальной гиперлипзы, материальные уравнения для которой могут быть выведены с использованием аппарата трансформационной оптики, ее немагнитные аналоги не имеют отражений лишь на одной — внутренней (р = а) либо внешней (р = I) границе цилиндрического прибора. Для внутренней и внешней гиперлинз компоненты тензора диэлектрической проницаемости в цилиндрических

Длина волны, мкм

в)

Г) я

5 з

С О

£ г

О О

£ ч

"ЦЛ,

о

- * - МКР -х- МКО ■о мкэ

% 2 о

о

?ч

0.5

о о »х -к ■

Длина волны, мкм Длина волны, мкм

Рис. 1: а) Геометрия: Н = Юнм, го = 400нм. р = 480нм: б) отражение (И) и прохождение (4'). точное (йПЛ) и численное: п-г) относительная ошибка К.Т.

координатах г = I ^ ) задаются у])аште1шями ((>) и (7) соответ-

ственно.

О Ьф

£о(р)=р/г, £р{р) = г/{г'р) п<р<1 (б)

£Ф{р) = 1р/{Ьг), Ер(р) = г/{г'р) а < р < I (7)

где г = г(р) = т~1(р — I) + Ь - выбранное линейное преобразование, которое взаимно однозначно отображает кольцо {а < р < /} па кольцо {и, < г < Ь\. т = (I — а)/(Ь — а), а < Ь < I — параметры линзы.

В §3.2 строится модификация МКО для анизотропной среды с произвольным тензором диэлектрической проницаемости в декартовых ко-

-XX ~ XI/

ординатах г —

'и-т

В §3.3 приводятся результаты .моделирования внутренней и внешней гиперлппз, демонстрирующие увеличение изображения от 5 источников света с расстоянием менее дифракционного предела до размеров, которые могут разрешить стандартные оптические устройства. На рис.2а-б показаны расчеты амплитуды магнитного поля для внутренней и внешней гиперлинз.

В §3.4 с помощью МКС) проводится моделирование внутренней линзы Лунеберга, выполненной из 10 однородных слоев. На рис.2в-е приводятся результаты расчета, из которых видно, что при падении плоской волны слоистая структура фокусирует поле подобно ее идеальному аналогу с непрерывным распределением диэлектрической проницаемости е(г) = (гд + г? — г2)/г(, где Гх — фокус линзы, ?'о — радиус линзы.

Рис. 2: а) и б) ■— амплитуда магнитного поля для внутренней и внешней гипорлипз; параметры липзы: а ~ ООО им. Ь — 6 I () > им I - '¿мкм, длина волны А = 732нм\ в)-е) — электрическое поле при падении плоской волны на внутреннюю линзу Лунеберга с параметрами г\ = 0.75мкм. Гц = 1л«тс/1.

х, мкм

х,

Д)

Глава 4 посвящена исследованию идеально-поглощающего концентратора света, также называемого оптической черной дырой. Такой прибор был впервые предложен в теоретической работе [13] и вскоре был выполнен в эксперименте [14], однако не в оптическом, а. в микроволновом диапазоне частот. В главе теоретический результат |13| обобщен для случая ТМ поляризации. Для моделирования, проектирования и оптимизации как идеального устройства, так и слоистого аналога, который может быть выполнен с использованном метаматсрпалов. предложены аналитические и численные методы.

В §4.1 описывается устройство оптической черной дыры (ОЧД), представляющей собой поглощающее ядро радиуса гс и оболочку с внешним радиусом rs, обеспечивающую захват света. Диэлектрическая проницаемость системы дается формулой (8)

( £,, г > г.,

£{г) = < £к(г,./г)>'. Г(. < Г < г,. , (8)

{ + 'Пс Г < Гс

где ss и (ес + tr/c) — диэлектрическая проницаемость вне ОЧД и в ядре, г<; = [е/)/ес)1^г, р > 2 — параметр. Всюду далее предполагается осевая симметрия ОЧД п р = 2.

Параграф 4.2 посвящен аналитическому описанию работы устройства для монохроматического электромагнитного поля. Решение уравнений Максвелла строится в рамках теории Ми для произвольного прибора цилиндрической геометрии, состоящего из концентрических слоев и помещенного в однородную диэлектрическую среду. Каждый слон предполагается либо однородным, либо с обратной квадратичной зависимостью диэлектрической проницаемости е{г) = С/г2. Падающее поле задается в виде плоской волны либо в виде Гауссова пучка, рассмотрены случаи ТЕ и ТМ поляризации. Аналитическое решение реализовано в программе PhotonicsCL |15|.

В §4.3 с помощью полученного аналитического решения выводится теоретическая оценка эффективности поглощения для идеальной ОЧД. В частности, оценка показывает, что если внешний радиус оболочки много больше длины волны падающего света гч А. то небольших потерь в ядре 7с/е,; и Ъ/(кягя) уже достаточно для того, чтобы устройство поглощало 99% падающего света. кя = 2тгХ~1^/£^.

В §4.4 разработанная аналитическая теория применяется для моделирования ОЧД. На рис.3 представлены результаты расчета амплиту-

ды поля при падении гауссова пучка тюд разными углами к идеальной ОЧД. Проведено моделирование ОЧД. состоящей из однородных слоев; показано, что 17 слоев достаточно для достижения 94(/с поглощения.

Рис. 3: Амплитуда магнитного поля (ТМ поляризация) при падении пучка Гаусса шириной 3 мкм под углами а) 90°, 6) 60°, в) 0° к идеальной ОЧД. Л = 1.5мкм, г8 = 20мкм, г., = 2.1, ес = 12, ус = 0.7, поглощение 99%.

В §4.5 моделирование идеальной ОЧД проведено в рамках нестационарных уравнений Максвелла с помощью разработанного МКО и МКР. результаты расчетов согласуются с аналитической теорией. Такой численный инструмент позволяет моделировать прибор для произвольного падающего электромагнитного поля.

В заключении приводятся результаты диссертационной работы, которые в целом совпадают с основными положениями, выносимыми на защиту.

Список основных работ по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Прокоиьева Л.Ю.. Федорук М.П., Лебедев Л.С. Параллельный алгоритм метода конечных объемов для решения трехмерных уравнений Максвелла в нанокомпозитных средах / Вычислительные методы и программирование.—200!).—Т. 10.-.\" 2.-С.28-33.

2. Прокоиьева Л.Ю. Моделирование анизотропных метаматериалов с помощью параллельной реализации метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла // Вычислительные технологии.-2009.-Т. 14.-Л"8 3.~С.58-«8.

3.Kildishev A.V., Prokopeva L.J., Narimanov E.E. Cylinder light concentrator and absorber: theoretical description // Optics Express — 2010.--V.18.-P. 16646-16662.

Публикации в трудах международных и всероссийских конференций

4.Прокопьева Л.Ю., Шокин Ю.И., Лебедев А.С., Федорук М.П. Параллельная реализация метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке // Вычислительные технологии.-2007.-Т. 12.-Выи: Спецвыпуск № 4.-С.59-69, по материалам V Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям.

5.Prokopeva L..T., Lebedev A.S., Fedoruk М.Р., Kildisliev A.V. FVTD Simulations of Xano-structured Plasmonic Metamaterials // 24th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics, Niagara Falls, Ca.nada.-2008.-P.562-56G.

6. Prokopyeva L.Yu., Shokin Yu.I., Lebedev A.S., Shtyrina O.V., and Fedoruk M.P. Parallel numerical modeling of modern optics devices, chapter in "Computational Science and High Performance Computing IH". Eds: E.Krause et al. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.-2008.-V.101.-P.122-136, Proc. of the 3rd Russian-German Advanced Research Workshop.

Публикации в тезисах международных и всероссийских конференций

7.Prokopeva L.J., Borneman Л.. Kildisliev A.V. Time-domain modeling of metal-dielectric nanostructures characterized by a set of single-pole dispersion terms // 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC), Chicago, IL, USA.-2010.-P.1-1

8. Kildisliev A.V., Prokopeva L.J., Narimanov E.E. An Analysis and Performance Evaluation of the Optical Black Hole // SI AM Conference on Mathematical Aspects of Material Science (SIAM MS), Philadelphia, PA, USA.-2010.-P.107.

9.Kildisliev A.V., Prokopeva L.J.t Shtyrina O.V., Fedoruk M.P., Narimanov E.E. Optical Black Hole: Design and Performance // The Conference on Lasers and Electro-Optics and The Quantum Electronics and Laser Science Conference (CLEO/QELS-2010), San Jose, CA, USA.-2010. JWA10.

10.Prokopeva L.,1., Borneman ,].. Kildishev A.V. Time-Domain Modeling of Metal-Dielectric Nanostruetures // The Conference4 on Lasers and Electro-Optics and The Quantum Electronics and Laser Science Conference (CLEO/QELS-2010), San .lose, CA: USA.-201U. JWA14.

11. Прокопьева Л.Ю. Параллельные вычисления п некоторых задачах нелинейной волоконной оптики // Тезисы докладов международной научной конференции по параллельным вычислительным технологиям (ПаВТ). Челябинск-2007.-С.286.

12.Маелова O.A., Прокопьева Л.Ю. Параллельные численные методы решения уравнений Максвелла: метод конечных объемов и метод конечных разностей // Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новоспбпрск.-2007.-С.60.

13.Прокопьева Л.Ю. Параллельная реализация метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке / ,' Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск.-200G.-С.26-27.

Список цитируемой литературы

[1] К. Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media IEEE Trans. Antennas Propag. Vol. 14, 1966, pp. 302-307.

[2] A.C. Лебедев, М.П. Федорук, О.В. Штырина. Конечно-объемный алгоритм решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке // Журн. выч. мат. и мат. физики 47, №7, 2006, С. 1286-1301.

[3] Etchegoin P.G., Le Ru Е.С., Meyer M. An analytic model for the optical properties of gold. // .1. Cliem. Phys, Vol. 125, 2006, pp. 164705-3.

[4] A. Taflove and S.C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-DiiTerence Time-Domain Method, 3rd ed. Artech House Publishers, 2005.

[5] R. Hawkins, J. Kallman. Linear electronic dispersion and finite-difference time-domain calculations: a simple approach (integrated optics) // J. Lightwave Technol., Vol. 11, 1993, pp. 1872-1874.

[6] R. Siushansian, J. LoVetri. A comparison of numerical techniques for modeling electromagnetic dispersive media // IEEE Microwave Guided Wave Lett., Vol. 5, 1995, pp. 426-428.

[7] R. Luebbers, F. Hunsberger. FDTD for Nth-order dispersive media // IEEE Trans. Antennas Propag., Vol. 40, 1992, pp. 1297-1301.

• [8] J. Schuster, R. Luebbers. An accurate FDTD algorithm for dispersive media using a piecewise constant recursive convolution technique // IEEE Antennas and Propagation Soc. Internat. Syinp. Digest, Vol. 4, pp. 2018-2021, 1998.

[9] D. Kelley et al. Piecewise linear recursive convolution for dispersive media using FDTD // IEEE Trans. Antennas Propag., Vol.44, 1996, pp.792-797.

[10] A. Knoesen, C. Hulse. Dispersive models for the finite-difference time-domain method: design, analysis, and implementation // J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 11. 1994, p. 1802.

[11] X. Ni et al. Photonics sha-2d: Modeling of single-period multilayer optical gratings and metainaterials. D01:10254/nanohub-r6977.6, Aug 2009.

[12] A.V. Kildishev, E.E. Narimanov. Impedance-matched hyperlens // Opt. Lett., Vol. 32, 2007 pp. 3432-3434.

|13| E.E. Narimanov, A.V. Kildishev. Optical black bole: Broadband omnidirectional light absorber // Appl. Phys. Lett., Vol. 95, 2009, pp. 041106-3.

[14] Q. Cheng et al. An omnidirectional electromagnetic absorber made of metamaterials // New Journal of Physics, Vol. 12, 2010, pp. 063006(10).

[15| X. Ni, Fan Gu, L.,J. Prokopcva, A.V. Kildishev. "PhotonicsCL: Photonic Cylindrical Multilayer Lenses,"2010, DOI: 10254/nanohub-r9914.1.

Прокопьева Людмила Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ НАНОФОТОНИКИ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автореферат:

Формат 60x84 1/16,1,5 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №680. 14.12.2010

Отпечатано ЗАО РИЦ «Прайс-курьер» ул. Кутателадзе, 4г, т. 330-7202