автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование задач нанофотоники на основе численных и аналитических методов решения нестационарных уравнений Максвелла

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

На правах рукописи

4855523

Прокопьева Людмила Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ НАНОФОТОНИКИ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННЫХ И

АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2011

-6 окт

?

4855523

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Михаил Петрович Федорук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Леонид Лазаревич Фрумин

кандидат физико-математических наук Сергей Валерьевич Смирнов

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 1 ноября 2011 года в Ю00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика М.А.Лаврентьева, 6, ИВТ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН (проспект академика М.А.Лаврентьева, 6). г \

Автореферат разослан 22 сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук профессор

Л. Б. Чубаров

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из актуальных и интенсивно развивающихся современных разделов оптики является нанофотоника. Разработка наноструктур с нетривиальными свойствами для создания новых оптических устройств ведется во многих научно-исследовательских группах. В последнее время большое количество экспериментальных и теоретических работ посвящено исследованию ряда революционных устройств, например: оптических линз с разрешением, не ограниченным дифракционным пределом, всенаправленных оптических концентраторов, а также устройств, меняющих распределение электромагнитного поля вокруг объекта так, чтобы делать его невидимым в заданном спектральном диапазоне (optical cloacking). Экспериментальное исследование искусственных материалов (метаматериалов) для этих и других устройств часто ограничено их сложной наноструктурой и, следовательно, высокой стоимостью изготовления опытных образцов. Поэтому для исследования, проектирования и оптимизации образцов материалов и оптических устройств на их основе возникает потребность в математическом моделировании распространения оптического сигнала в изучаемых структурах на основе аналитических и численных методов. При этом моделирование затруднено несоизмеримостью масштабов самих устройств (десятки микрон) и их структурных элементов (несколько нанометров), резкими изменениями электромагнитных свойств на границах элементов, а также наличием анизотропии и частотной дисперсии в используемых материалах. По этим причинам возникают следующие требования к применяемым численным методам: выбранный метод должен адекватно работать в средах со сложной геометрией разрыва диэлектрической проницаемости; для применяемых методов требуется разработка парал-

лельных версий программ для ускорения расчетов; кроме того, требуется обобщение методов для сред с частотной дисперсией и анизотропией диэлектрической проницаемости.

Цель работы заключается в разработке инструментария для моделирования распространения электромагнитных волн в новых нанострук-турированных материалах и устройствах нанофотоники на основе аналитических и численных методов решения нестационарных уравнений Максвелла, создании комплекса параллельных программ.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие четырем пунктам паспорта специальности 05.13.18 — "математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" по физико-математическим наукам.

пункт 2 (развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей):

1. На основе теории Ми построено аналитическое решение уравнений Максвелла для цилиндрического устройства, состоящего из концентрических слоев с постоянной либо с обратной квадратичной радиальной зависимостью диэлектрической проницаемости, и падающего на устройство поля в виде плоской волны либо гауссова пучка ТЕ (Transverse Electric) и ТМ (Transverse Magnetic) поляризаций.

пункт 3 (разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий):

2. Разработана и протестирована параллельная версия конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках, в котором для достижения второго порядка точности по пространству и времени применяется схема MUSCL (Monotone Upstream-centered Scheme for Conservation Laws) и интерполяция полей на полушаг по времени с использованием формулы Тейлора и точных уравнений в недивергентной форме показано практически идеальное ускорение параллельной программы на многопроцессорных комплексах кластерной архитектуры при числе процессоров до 32 и достаточно большом количестве вычислительных ячеек.

1При последующих упоминаниях конечно-объемного алгоритма в тексте автореферата будет подразумеваться именно этот конечно-объемный алгоритм

3. Разработан и протестирован алгоритм, обобщающий на случай дисперсионных сред численные методы для решения нестационарных уравнений Максвелла: конечно-разностный метод Йи (Усе) и метод конечных объемов, в которых частотная зависимость диэлектрической проницаемости дается в виде аппроксимации Паде; а также разработано обобщение конечно-объемного алгоритма для сред с анизотропной диэлектрической проницаемостью в двумерном случае.

пункт 4 (реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента):

4. Создана программа РЬо^шсвСЬ, предназначенная для моделирования электромагнитных полей в цилиндрических устройствах, которая реализует алгоритм аналитического решения 1; создан пакет параллельных программ РЬо^шсбРУТБ, предназначенный для расчета электромагнитных полей в композитных средах металл-диэлектрик произвольной двумерной геометрии и реализующий алгоритмы, перечисленные выше в 2, 3.

пункт 5 (комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента):

5. По результатам численного моделирования внешней и внутренней гиперлинз с помощью обобщенного на случай анизотропной диэлектрической проницаемости конечно-объемного алгоритма и программы РЬо1отс8Е\ТО показана уникальная способность гиперлинз увеличивать изображение объектов размером менее дифракционного предела.

6. С использованием созданных алгоритмов и программ выполнено моделирование нового оптического всенаправленного концентратора света (оптической "черной дыры"), получены теоретические и численные оценки эффективности поглощения идеального устройства и устройства, в котором радиальная зависимость диэлектрической проницаемости заменена однородными слоями.

Таким образом, в соответствии с формулой специальности 05.13.18 в работе присутствуют оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования (1, 5, 6), численных методов (2, 3) и комплексов программ (4).

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем.

• Впервые предложена и реализована параллельная версия конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках, и проведено тестирование ускорения параллельной версии алгоритма на вычислительных комплексах кластерной архитектуры.

• Впервые предложено обобщение методов конечных разностей Йи и конечных объемов для сред, частотная дисперсия диэлектрической проницаемости которых описывается аппроксимацией Паде, позволяющее единообразно, с помощью методов дополнительного дифференциального уравнения и рекурсивной свертки, моделировать среды с различной зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты, характерной для диэлектрических и металлических сред. В частности, для модели критических точек впервые построены схемы рекурсивной свертки второго порядка и установлены численные погрешности предложенных методов.

• Впервые проведено обобщение конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках для случая анизотропной диэлектрической проницаемости в двумерной постановке, с помощью которого выполнено моделирование цилиндрических гиперлинз.

• Впервые проведен подробный теоретический, основанный на теории Ми, анализ для цилиндрического случая "оптической черной дыры", идеальной и выполненной из однородных слоев, а также впервые получена приближенная оценка эффективности поглощения прибора для ТМ случая и выполнено математическое моделирование устройства в рамках нестационарных уравнений Максвелла на основе численных методов: метода конечных разностей Йи и метода конечных объемов.

Практическая значимость работы. Разработанные аналитические и численные методы для решения нестационарных уравнений Максвелла в диэлектрических и металлических средах, а также реализующие их комплексы программ могут быть применены для проектирования, анализа и оптимизации современных оптических устройств, выполненных из метаматериалов и материалов нанофотоники.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении гранта РФФИ № 09-01-00352 и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 113 (2009-2011гг).

Обоснованность и достоверность основных результатов, полу-

ченных в диссертации, основываются на проведении методических тестовых расчетов, сопоставлении результатов с аналитическими решениями, а также с численными результатами, полученными другими авторами и другими методами.

Представление работы. Результаты настоящего исследования были представлены на следующих научных конференциях: Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006; Новосибирск, 2007); Russian-German Advanced Research Workshop (Novosibirsk, 2007); Совещание Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); Международная научная конференция по параллельным вычислительным технологиям (Челябинск, 2007); Всероссийская конференция по вычислительной математике (Новосибирск, 2007, 2009); Conference on Applied Computational Electromagnetics (Niagara Falls, Canada, 2008); The Conference on Lasers and Electro-Optics and The Quantum Electronics and Laser Science Conference (San Jose, CA, USA, 2010); SIAM Conference on Mathematical Aspects of Material Science (Philadelphia, PA, USA, 2010); 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (Chicago, IL, USA, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе — объем, принадлежащий лично автору) 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (2.0/1.2), 3 — в трудах международных и всероссийских конференций (1.9/1.2), 7 — в тезисах международных и всероссийских конференций (0.4/0.2).

Личный вклад автора. В публикациях [1,4-5,10,12] автору принадлежит разработка и реализация параллельных версий конечно-объемного алгоритма и метода конечных разностей Ии, а также проведение численных расчетов; в [6,9] автором предложены численные методы для учета дисперсии диэлектрической проницаемости в методах конечных разностей Йи и конечных объемов, проведен анализ дисперсионной погрешности и устойчивости, выполнены расчеты одномерных и двумерных задач; в [3,7-8] автору принадлежит вывод аналитического решения с помощью теории Ми, создание комплекса компьютерных программ для моделирования волновых процессов на основе теории Ми и численных методов решения нестационарных уравнений Максвелла, а также полученная приближенная оценка эффективности поглощения оптиче-

ской черной дыры для случая ТМ поляризации. Во всех публикациях автор принимала участие в постановке задач, интерпретации и анализе точности результатов, создании компьютерных программ и проведении численных экспериментов с использованием разработанных программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 110 наименований. Полный объем диссертации составляет 157 страниц, включая 30 рисунков и 5 таблиц.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук М. П. Федоруку за всестороннюю поддержку и постоянное внимание в ходе выполнения работы. Отдельно хочется поблагодарить кандидата физ.-мат. наук А. В. Кильдише-ва за многочисленные обсуждения и консультации, которые во многом способствовали успешному выполнению работы, отраженной в главах 2-4, кандидата физ.-мат. наук A.C. Лебедева — за построение неструктурированных сеток для проведения расчетов электромагнитных полей методом конечных объемов, а также Д.Л. Чубарова — за техническую поддержку при проведении параллельных вычислений.

Содержание диссертации

При изложении содержания диссертации используются следующие обозначения и сокращения: i — комплексная единица, Eq — диэлектрическая постоянная, с — скорость света в вакууме, U(t) — функция Хевисайда, т — шаг дискретизации по времени, НУМ — нестационарные уравнения Максвелла, МКР — метод конечных разностей, МКО — метод конечных объемов, МКЭ — метод конечных элементов.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются основные цели и задачи диссертационной работы, приводится краткое содержание по главам. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В главе 1 представлены численные методы решения нестационарных уравнений Максвелла в изотропных средах без дисперсии, которые в последующих главах модифицируются для анизотропных и дисперсионных сред и применяются для моделирования оптических устройств. Предложены параллельные версии используемых алгоритмов для проведения расчетов на многопроцессорных вычислительных комплексах.

В §1.1 приведены нестационарные уравнения Максвелла, описывающие распространение электромагнитного поля в изотропной среде без дисперсии, а также соглашения о безразмерных величинах.

В §1.2 дается краткое описание стандартного конечно-разностного метода для решения НУМ, предложенного Йи (Yee) [1] и излагается конечно-объемный алгоритм на неструктурированных сетках [2].

Параграф 1.3 посвящен распараллеливанию МКР и МКО и тестированию ускорения на многопроцессорных вычислительных комплексах кластерной архитектуры. Параллельные версии основаны на декомпозиции вычислительной области и реализованы с помощью библиотеки MPI (Message Passing Interface). Приводятся блок-схемы параллельных программ. Тестовые расчеты показывают, что при достаточном количестве вычислительных узлов и тестируемом количестве процессоров (32) ускорение параллельной программы практически линейно.

Глава 2 посвящена введению дисперсионного отклика металлов и диэлектриков в конечно-разностную и конечно-объемную модели численного решения НУМ.

В §2.1 вводится обобщенная модель дисперсии, в которой зависимость относительной диэлектрической проницаемости от частоты представляется в виде аппроксимации Паде с вещественными коэффициентами. В предположении об отсутствии кратных корней в знаменателе последняя раскладывается на сумму Паде-алпроксимант более низких степеней

где Еж — диэлектрическая проницаемость на высоких частотах, а — проводимость, 1\ = 1, ¿1 и 12 = 1, (¿1 + ¿2) \ 1г — непересекающиеся множества индексов. В частности, в виде (1) представляются классические модели Дебая, Друде-Лоренца, Зельмейера, а также модель критических точек [3].

Если в уравнении (1) слагаемое в суммах с индексом г обозначить Хг, то соответствующая поляризация РДш) = Е(ш)хгво временной области определяется через интеграл свертки (/ = и-^2)

£>0,i — ¿W&M —

Qp,t - tuai,j

,2'

(1)

t

либо с помощью задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого или второго порядка

Pi + Ьо.гР. = ао,<Е, Р,(0) = 0 Vie/i, (3)

Pi + bitiPi + b0>iPi = ах,iE + a0)iE, Р4(0) = Р4(0) =0 Vi € /2- (4)

В §2.2 для обобщенной модели (1) строятся численные схемы для нахождения локального отклика Р¿. При этом используется два классических подхода для дискретизации дисперсионного соотношения — метод дополнительного дифференциального уравнения (Auxiliary Differential Equation, ADE) и метод рекурсивной свертки (Recursive Convolution, RC). Эти методы с различным выбором конечно-разностной аппроксимации (для ADE) либо метода численного интегрирования (для RC) освещены в [4-9], однако выводятся отдельно для классических моделей Друде, Лоренца, Дебая, причем для каждого метода RC сопровождаются громоздкими вычислениями коэффициентов. В данном параграфе приводится универсальная параметризация для более общей модели дисперсии (1) для ADE и RC методов, которая унифицирует и минимизирует вычислительную сложность разных подходов, а также облегчает численный анализ схем.

В предлагаемом методе ADE для аппроксимации ОДУ 1-го порядка (3) используется схема Кранка-Николсон, а для ОДУ 2-го порядка (4) — билинейная схема. Выбор последней обусловлен тем, что схема не нарушает условие устойчивости при совместном решении со схемой Йи [1] для НУМ. Для модели Лоренца этот факт показан в [10], для предлагаемой обобщенной модели устойчивость исследована в §2.4.

Метод RC основан на вычислении интеграла свертки (2), которое выполняется рекурсивно для каждого слагаемого Pj и для различных методов численного интегрирования согласно следующим леммам.

Лемма 1 Если для восприимчивости \(t) = otc^Uft) метод RC аппроксимирует интеграл свертки (2) в виде Рга = o^Xn-j, причем коэффициенты аппроксимации Xj{a, ß-,Т) удовлетворяют рекурсивному соотношению Xj+i — > 1> тогда интеграл свертки может быть вычислен рекурсивно

рп+1 = eßrVn + ХоЕп+1 + _ е/ЗтХо] Еп

Лемма 2 Пусть условия Леммы 1 выполнены, а восприимчивость дается суммой x(t) = X+(t) ~ X~(t):X± = ^ exp(P±t)U(t), тогда рекурсивная формула для вычисления интеграла свертки имеет вид

Р"+! = ДР» + /30Р"_1 + a2En+1 + aiEn + QoE""1,

где а0 = е/3+тхГ - e0~Txt ~ "гАъ «1 = xf - ХГ ~ a2/3i, а2 = Хо ~ Хо » ft = 2е~7Т cos 5т, /30 = , 7 = + /3+)/2, 5 = л(/3" - /3+)/2.

Например, условиям Леммы 1 удовлетворяют: метод прямоугольников (RRC) [5], метод трапеций (TRC) [6], кусочно-постоянный метод первого и второго порядка (PCRC,PCRC2) [7, 8], кусочно-линейный метод (PLRC) [9]. Для методов приводятся коэффициенты Хо(с*, /3, т), Xi(a, /3, т), необходимые для построения рекурсивной формулы.

В §2.3 численные уравнения для поляризации Pj, полученные ранее методами ADE и RC, решаются совместно с МКО и МКР для НУМ. При этом, число выполняемых операций сокращается по сравнению с классическими работами [4-9] за счет использования следующей Леммы.

Лемма 3 Пусть дисперсия диэлектрической проницаемости дается соотношением (1), и локальная поляризация вычисляется рекурсивно

P?+1 = A,iP? + a^E**1 + ax.iE" Vi € h,

P?+1 = Pi.JP? + / VP?-1 + a2,iE"+1 + ai,iEB + ao^E»"1 Vi G I3,

тогда схема Йи [1] с учетом дисперсии может быть записана в виде

' En+1 = СГЧ&Е" + crV х Нп+1/2 _ £iei ф»}

Ф,»+1=А,4Ф» +{(/?м-1Ь,4}Е» Vie/!

Ф?+1=/?:м*? + Ф? +b,i + (/3M-lb,i}E" Vi G J2 ' W

. ФГ+1 = А>,<Ф? -{r?0,i - Ам^ЛЕ" Vi G 72

где£х = £oo + ^+Eie/a2,i, £o = ^l-f^-Eie/i ^M» = ao,i+a2,i/3o,i, Vl,i = al,i +<*2,iPl,i-

Аналогичным образом в этом параграфе дисперсия вводится в МКО. В §2.4 исследованы дисперсионные ошибки и устойчивость предложенных численных схем для сред, дисперсия которых представляется в виде Паде аппроксимации порядка [1/2]. Для ADE метода выведено

достаточное условие на коэффициенты aobi — a\bo > 0 и sin ф > 0 для того, чтобы учет дисперсии в схеме Йи не приводил к нарушению условия устойчивости. Для исследуемых ADE и RC методов анализируется относительная погрешность дисперсии в численном решении (х„„т — х)/х-Анализ показывает, что наиболее точный локальный отклик среды получается при вычислении поляризации методом PCRC2.

В §2.5 приведены результаты численных экспериментов с помощью предложенных дисперсионных МКО, МКР, а также МКЭ (COMSOL Multiphysics). Дисперсия золота описывалась в рамках модели критических точек [3]. Проведены одномерные расчеты прохождения плоской волны через пленку из золота, подтверждающие второй порядок сходимости. Кроме того, для анализа точности разработанных методов выполнен расчет задачи о нормальном падении плоской волны света видимого диапазона ТЕ и ТМ поляризации на образец периодической наноструктуры из золота и двуокиси кремния (рис. 1а). Для вычисления точного коэффициента пропускания и отражения структуры использована программа [11]. Результаты сравнения точности коэффициентов для ТМ поляризации показаны на рис. 1. Сравнение проводилось на прямоугольных сетках, с шагом по пространству равному Л/4 для МКО и h/2 для МКР и МКЭ. В МКЭ порядок элемента брался первым, а в областях с дисперсией повышался до пятого. При этом время счета МКЭ оказалось на 2 порядка больше.

Глава 3 посвящена моделированию цилиндрических линз: гиперлинз и линзы Лунеберга. Для моделирования гиперлинзы разработана анизотропная модификация МКО.

В §3.1 описывается устройство гиперлинзы, предложенное в работе [12]. Такая линза может быть сделана из анизотропных немагнитных метаматериалов и обладает разрешающей способностью менее дифракционного предела. В отличии от идеальной гиперлинзы, материальные уравнения для которой могут быть выведены с использованием аппарата трансформационной оптики, ее немагнитные аналоги не имеют отражений лишь на одной — внутренней (/> = а) либо внешней (р = I) границе цилиндрического прибора. Для внутренней и внешней гиперлинз компоненты тензора диэлектрической проницаемости в цилиндрических координатах е = diag [ер,£ф] задаются уравнениями (6) и (7) соответственно.

Ч(Р) = Р/г> £р(Р) = г/(г'Р) а<р<1 (6)

еФ{р) = 1р/{Ъг), ер{р) = г/{г'р) а<р<1 (7)

(Г)

Длина волны, мкм Дли на волны, мкм

Рис. 1: а) Геометрия: h = Юнм, w = 400нм, р - 480нм; б) отражение (R) и пропускание (Т), точное (SHA) и численное; в-г) относительная ошибка R,T.

где г = г(р) = т~1(р — I) + Ъ — выбранное линейное преобразование, которое взаимно однозначно отображает кольцо {а < р < 1,} на кольцо {а < г < Ь}, т = (I — а)/(Ь — а), а < Ь < I — параметры линзы.

В §3.2 строится модификация МКО для анизотропной среды с произвольным тензором диэлектрической проницаемости в декартовых ко-

&ХХ £х\

ординатах е —

~ух с-уу

В §3.3 приводятся результаты моделирования внутренней и внешней гиперлинз, демонстрирующие увеличение изображения от 5 источников света с расстоянием менее дифракционного предела до размеров, которые могут разрешить стандартные оптические устройства. На рис.2а-б показаны расчеты амплитуды магнитного поля для гиперлинз.

В §3.4 с помощью МКО проводится моделирование внутренней лин-

зы Лунеберга, выполненной из 10 однородных слоев. На рис.2в-е приводятся результаты расчета, из которых видно, что при падении плоской волны слоистая структура фокусирует поле подобно ее идеальному аналогу с непрерывным распределением диэлектрической проницаемости е(г) = (гц + г\ - г2)/г\, где г\ — фокус линзы, г о — радиус линзы.

ы ^

2 0|

Й

%

Иш

-2 0 2 X, мкм

' |Н2|

А

----— чг

к.

-2 0 2 х, мкм

Рис. 2: а) и б) — амплитуда магнитного поля для внутренней и внешней гиперлинз; параметры линзы: а — 600нм, Ъ = 610нл«, I = 3мкм, длина волны Л = 732 нм; в)-е) — электрическое поле при падении плоской волны на внутреннюю линзу Лунеберга с параметрами г\ = 0.75мкм, го = 1 мкм.

Глава 4 посвящена исследованию идеально-поглощающего концентратора света, также называемого оптической черной дырой. Такое устройство было впервые предложено в работе [13] и вскоре было выполнено в эксперименте [14], однако не в оптическом, а в микроволновом диапазоне частот. В главе теоретический результат [13] обобщен для случая ТМ поляризации. Для моделирования, проектирования и оптимизации как идеального устройства, так и слоистого аналога, который может быть выполнен с использованием метаматериалов, предложены

аналитические и численные методы.

В §4.1 описывается устройство оптической черной дыры (ОЧД), представляющее собой поглощающее ядро радиуса гс и оболочку с внешним радиусом г3, обеспечивающую захват света. Диэлектрическая проницаемость системы дается формулой (8)

где е., и (ес + 17с) — диэлектрическая проницаемость вне ОЧД и в ядре, гс = га(е3/£с)1/р, р> 2. Предполагается оссвая симметрия ОЧД и р — 2.

Параграф 4.2 посвящен аналитическому описанию работы устройства для монохроматического электромагнитного поля. Решение уравнений Максвелла строится с помощью теории Ми для произвольного цилиндрического устройства, состоящего из концентрических слоев. Каждый слой предполагается либо однородным, либо с обратной квадратичной зависимостью диэлектрической проницаемости е(г) = С/г2. Падающее поле задается в виде плоской волны и гауссовых пучков, ТЕ и ТМ поляризаций. Алгоритм реализован в программе РЬо1;ошс8(Х [15].

В §4.3 с помощью полученного аналитического решения выводится теоретическая оценка эффективности поглощения для идеальной ОЧД. В частности, оценка показывает, что если внешний радиус оболочки много больше длины волны падающего света г, А, то небольших потерь в ядре 7с/ес и 5/(кагя) уже достаточно для того, чтобы устройство поглощало 99% падающего света, кв = 27гЛ_11/ё7-

В §4.4 разработанная аналитическая теория применяется для моделирования ОЧД. На рис.3 представлены результаты расчета амплитуды поля при падении гауссова пучка под разными углами к идеальной ОЧД. Проведено моделирование ОЧД, состоящей из однородных слоев; показано, что 17 слоев достаточно для достижения 94% поглощения.

В §4.5 моделирование идеальной ОЧД проведено в рамках нестационарных уравнений Максвелла с помощью разработанного МКО и МКР, результаты расчетов согласуются с аналитической теорией. Такой численный инструмент позволяет моделировать устройство для произвольного падающего электромагнитного поля.

В заключении приводятся результаты диссертационной работы, которые в целом совпадают с основными положениями, выносимыми на защиту.

(8)

Рис. 3: Амплитуда магнитного поля (ТМ поляризация) при падении гауссова

пучка шириной 3 мкм под углами а) 90°, б) 60°, в) 0° к идеальной ОЧД.

Л = 1.5мкм, rs = 20мкм, es = 2.1, ес = 12, 7с = 0.7, поглощение 99%.

Список основных работ по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1.Прокопьева Л.Ю., Федорук М.П., Лебедев А.С. Параллельный алгоритм метода конечных объемов для решения трехмерных уравнений Максвелла в панокомпозитных средах // Вычислительные методы и программирование-2009-Т. 10 .-№ 2 .-С .28-33.

2.Прокопьева Л.Ю. Моделирование анизотропных метаматериалов с помощью параллельной реализации метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла // Вычислительные техно-логии.-2009.-Т.14.-№ 3.-С.58-68.

3.Kildishev A.V., Prokopeva L.J., Narimanov Е.Е. Cylinder light concentrator and absorber: theoretical description // Opt. Express.-2010.-V.18,-P.16646-16662.

Публикации в трудах международных и всероссийских конференций

4.Прокопьева Л.Ю., Шокин Ю.И., Лебедев А.С., Федорук М.П. Параллельная реализация метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке // Вычислительные технологии.-2007.-Т.12.-Вып: Спецвыпуск № 4.-С.59-69, по материалам V Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям.

5.Prokopeva L.J., Lebedev A.S., Fedoruk M.P., Kildishev A.V. FVTD Simulations of Nano-structured Plasmonic Metamaterials // 24th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics, Niagara Falls, Canada—2008.-P.562-566.

6.ProkopyevaL.Yu., Shokin Yu.I., Lebedev A.S., Shtyrina O.V., and Fedoruk M.P. Parallel numerical modeling of modern optics devices, chapter in "Computational Science and High Performance Computing III". Eds: E.Krause et al. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.-2008.-V.101.-P.122-136, Proc. of the 3rd Russian-German Advanced Research Workshop.

Публикации в тезисах международных и всероссийских конференций

7.Prokopeva L.J., Borneman J., Kildishev A.V. Time-domain modeling of metal-dielectric nanostructures characterized by a set of single-pole dispersion terms // 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC), Chicago, IL, USA.-2010.-P.1-1

8.Kildishev A., Prokopeva L., Narimanov E. An Analysis and Performance Evaluation of the Optical Black Hole // SIAM Conference on Mathematical Aspects of Material Science, Philadelphia, PA, USA.-2010-P.107.

9.Kildishev A.V., Prokopeva L.J., Shtyrina O.V., Fedoruk M.P., Narimanov E.E. Optical Black Hole: Design and Performance // The Conference on Lasers and Electro-Optics and The Quantum Electronics and Laser Science Conference (CLEO/QELS-2010), San Jose, CA, USA.-2010. JWA10.

10.Prokopeva L.J., Borneman J., Kildishev A.V. Time-Domain Modeling of Metal-Dielectric Nanostructures // The Conference on Lasers and Electro-Optics and The Quantum Electronics and Laser Science Conference, San Jose, CA, USA.-2010. JWA14.

П.Прокопьева Л.Ю. Параллельные вычисления в некоторых задачах нелинейной волоконной оптики // Тезисы докладов международной научной конференции по параллельным вычислительным технологиям (ПаВТ), Челябинск.-2007.-С.286.

12. Маслова О.А., Прокопьева Л.Ю. Параллельные численные методы решения уравнений Максвелла: метод конечных объемов и метод конечных разностей // Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск.-2007.-С.60.

13. Прокопьева Л.Ю. Параллельная реализация метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск.-2006.-С.26-27.

Список цитируемой литературы

К. Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media IEEE Trans. Antennas Propag. Vol. 14, 1966, pp. 302-307.

Лебедев А.С., Федорук М.П., Штырина O.B. Конечно-объемный алгоритм решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке // Журн. выч. мат. и мат. физики 47, №7, 2006, С. 1286-1301. Etchegoin P.G., Le Ru Е.С., Meyer M. An analytic model for the optical properties of gold // J. Chem. Phys, Vol. 125, 2006, pp. 164705-3. Taflove A. and Hagness S.C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed. Artech House Publishers, 2005. Hawkins R., Kallman J. Linear electronic dispersion and finite-difference timedomain calculations: a simple approach (integrated optics) //J. Lightwave Technol., Vol. 11, 1993, pp. 1872-1874.

Siushansian R., LoVetri J. A comparison of numerical techniques for modeling electromagnetic dispersive media // IEEE Microwave Guided Wave Lett., Vol. 5, 1995, pp. 426-428.

Luebbers R., Hunsberger F. FDTD for Nth-order dispersive media // IEEE Trans. Antennas Propag., Vol. 40, 1992, pp. 1297-1301. Schuster J., Luebbers R. An accurate FDTD algorithm for dispersive media using a piecewise constant recursive convolution technique // IEEE Antennas and Propagation Soc. Internat. Symp. Digest, Vol. 4, 1998, pp. 2018-2021. Kelley D. et al. Piecewise linear recursive convolution for dispersive media using FDTD // IEEE Trans. Antennas Propag., Vol. 44, 1996, pp. 792-797. Knoesen A., Hulse C. Dispersive models for the finite-difference time-domain method: design, analysis, and implementation // J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 11, 1994, p. 1802.

Ni X. et al. Photonics sha-2d: Modeling of single-period multilayer optical gratings and metamaterials. D01:10254/nanohub-r6977.6, 2009. Kildishev A.V., Narimanov E.E. Impedance-matched hyperlens // Opt. Lett., Vol. 32, 2007, pp. 3432-3434.

Narimanov E.E., Kildishev A.V. Optical black hole: Broadband omnidirectional light absorber // Appl. Phys. Lett., Vol. 95, 2009, pp. 041106-3.

Cheng Q. et al. An omnidirectional electromagnetic absorber made of metamaterials // New Journal of Physics, Vol. 12, 2010, pp. 063006-10. Ni X., Gu F., Prokopeva L.J., Kildishev A.V. PhotonicsCL: Photonic Cylindrical Multilayer Lenses. DOI: 10254/nanohub-r9914.1, 2010.

Прокопьева Людмила Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ НАНОФОТОНИКИ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автореферат:

Формат 60x84 1/16, 1 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1141 от 20.09.2011

Отпечатано в типографии ЗАО РИЦ «Прайс-курьер» г. Новосибирск, ул. Кутателадзе, 4г, оф. 310, тел. (383) 330-7202

Введение

1 Параллельная реализация численных методов решения нестационарных уравнений Максвелла

1.1 Уравнения Максвелла .:

1.2 Численные методы решения уравнений Максвелла.

1.2.1 Метод конечных разностей на прямоугольных сетках

1.2.2 Метод конечных объемов на неструктурированных сетках.

1.3 Параллельная реализация численных методов решения уравнений Максвелла.

1.3.1 Параллельная реализация метода конечных разностей

1.3.2 Параллельная реализация метода конечных объемов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из актуальных и интенсивно развивающихся современных разделов оптики является нанофотоника. Разработка наноструктур с нетривиальными свойствами для создания новых оптических устройств ведется во многих научно-исследовательских группах. В последнее время большое количество экспериментальных и теоретических работ посвящено исследованию ряда революционных устройств, например: оптических линз с разрешением, не ограниченным дифракционным пределом, всенаправленных оптических концентраторов (также называемых "оптическими черными дырами"), а также устройств, меняющих распределение электромагнитного поля вокруг объекта так, чтобы делать его невидимым в заданном спектральном диапазоне (optical cloacking). Экспериментальное исследование искусственных материалов (метаматериалов) для этих и других устройств часто ограничено их сложной наноструктурой и, следовательно, высокой стоимостью изготовления опытных образцов. Поэтому для исследования, проектирования и оптимизации образцов материалов и оптических устройств на их основе возникает потребность в математическом моделировании распространения оптического сигнала в изучаемых структурах на основе аналитических и численных методов. При этом моделирование затруднено несоизмеримостью масштабов самих устройств (десятки микрон) и их структурных элементов (несколько нанометров), резкими изменениями электромагнитных свойств на границах элементов, а также наличием анизотропии и частотной дисперсии в используемых материалах. По этим причинам возникают следующие требования к применяемым численным методам: выбранный метод должен адекватно работать в средах со сложной геометрией разрыва диэлектрической проницаемости; для применяемых методов требуется разработка параллельных версий программ для ускорения расчетов; кроме того, требуется обобщение методов для сред с частотной дисперсией и анизотропией диэлектрической проницаемости.

Цель работы заключается в разработке инструментария для моделирования распространения электромагнитных волн в новых нанострук-турированных материалах и устройствах нанофотоники на основе аналитических и численных методов решения нестационарных уравнений Максвелла, создании комплекса параллельных программ.

На защиту выносятся: в части численных и аналитических методов

• параллельная версия конечно-объемного алгоритма [1] для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках, в котором для достижения второго порядка точности по пространству и времени применяется схема MUSCL (Monotone Upstreamcentered Scheme for Concervation Laws) и интерполяция полей на полушаг по времени с использованием формулы Тейлора и точных уравнений в недивергентной форме;

• обобщение численных методов для решения нестационарных уравнений Максвелла: конечно-разностного метода Йи (Yee) [2] и метода конечных объемов [1] на случай дисперсионных сред, в которых частотная зависимость диэлектрической проницаемости дается в виде аппроксимации Паде, а также обобщение конечно-объемного алгоритма для сред с анизотропной диэлектрической проницаемостью в двумерном случае;

• аналитическое решение уравнений Максвелла, основанное на теории Ми и реализованное в пакете программ PhotonicsCL [3] для цилиндрического устройства, состоящего из концентрических слоев с постоянной либо с обратной квадратичной радиальной зависимостью диэлектрической проницаемости, и падающего на устройство поля в виде плоской волны либо гауссова пучка ТЕ (Transverse Electric) и ТМ (Transverse Magnetic) поляризаций; б части моделирования материалов и устройств

• результаты численного моделирования внешней и внутренней гиперлинз, полученные обобщенным на случай анизотропной диэлектрической проницаемости конечно-объемным алгоритмом, которые демонстрируют способность гиперлинз увеличивать изображение объектов размером менее дифракционного предела, а также расчеты внутренней линзы Лунеберга, выполненной из однородных слоев;

• результаты моделирования "оптической черной дыры" (optical black hole) [4] на основе аналитической теории Ми и с помощью численного решения нестационарных уравнений Максвелла методами конечных разностей и конечных объемов, а также результаты теоретического и численного анализа эффективности поглощения идеального устройства и устройства, в котором радиальная зависимость диэлектрической проницаемости заменена однородными слоями.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем.

• Впервые предложена и реализована параллельная версия конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках и проведено тестирование ускорения параллельной версии алгоритма на вычислительных комплексах кластерной архитектуры.

• Впервые предложено обобщение методов конечных разностей Йи и конечных объемов для сред, частотная дисперсия диэлектрической проницаемости которых описывается аппроксимацией Паде, позволяющее единообразно, с помощью методов дополнительного дифференциального уравнения и рекурсивной свертки, моделировать среды с различной зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты, характерной для диэлектрических и металлических сред;

• Впервые для модели критических точек установлены численные погрешности методов, предлагаемых для учета дисперсии диэлектрической проницаемости, а также необходимое спектральное условие устойчивости схемы Йи для метода дополнительного уравнения.

• Впервые проведено обобщение конечно-объемного алгоритма для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках для случал анизотропной диэлектрической проницаемости в двумерной постановке, с помощью которого выполнено моделирование цилиндрических гиперлинз.

• Впервые проведен подробный теоретический, основанный на теории Ми, анализ для цилиндрического случая "оптической черной дыры", идеальной и выполненной из однородных слоев, а также впервые получена приближенная оценка эффективности поглощения прибора для ТМ случая и выполнено математическое моделирование устройства в рамках нестационарных уравнений Максвелла на основе численных методов: метода конечных разностей Ий и метода конечных объемов.

Практическая значимость работы. Разработанные аналитические и численные методы для решения нестационарных уравнений Макс велла в диэлектрических и металлических средах, а также реализующие их комплексы программ могут быть применены для проектирования, анализа и оптимизации современных оптических устройств, выполненных из структурированных метаматериалов и материалов нанофотони-ки.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении гранта РФФИ № 09-01-00352 и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 113 (2009-2011гг).

Обоснованность и достоверность основных результатов, полученных в диссертации, основываются на проведении методических тестовых расчетов, сопоставлении результатов с аналитическими решениями, а также с численными результатами, полученными другими авторами и другими методами.

Представление работы. Результаты настоящего исследования были представлены на следующих научных конференциях: Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006; Новосибирск, 2007); Russian-German Advanced Research Workshop (Novosibirsk, 2007); Совещание Российско-Казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); Международная научная конференция по параллельным вычислительным технологиям (Челябинск, 2007); Всероссийская конференция по вычислительной математике (Новосибирск, 2007, 2009); Conference on Applied Computational Electromagnetics (Niagara Falls, Canada, 2008); The Conference on Lasers and Electro-Optics and The Quantum Electronics and Laser Science Conference (San Jose, CA, USA, 2010); SIAM Conference on Mathematical Aspects of Material Science (Philadelphia, PA, USA, 2010); 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (Chicago, IL, USA, 2010); 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (Chicago, IL, USA, 2010); 4th Young Scientist Meeting on Metamaterials (Valencia, Spain, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе — объем, принадлежащий лично автору) 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (2.0/1.2), [5-7] 3 — в трудах международных и всероссийских конференций (1.9/1.2), [8-10] 7 — в тезисах международных и всероссийских конференций (0.4/0.2). [11-17]

Личный вклад автора. В публикациях [5, 8, 9, 14, 16] автору принадлежит разработка и реализация параллельных версий конечно-объемного алгоритма и метода конечных разностей Йи, а также проведение численных расчетов; в [10, 13] автором предложены численные методы для учета дисперсии диэлектрической проницаемости в методах конечных разностей Йи и конечных объемов, проведен анализ численной погрешности и устойчивости, выполнены расчеты одномерных и двумерных задач; в [7, 11, 12] автору принадлежит вывод аналитического решения с помощью теории Ми, создание комплекса компьютерных программ для моделирования волновых процессов на основе теории Ми и для решения нестационарных уравнений Максвелла с помощью конечно-объемного алгоритма, а также полученная приближенная оценка эффективности поглощения оптической черной дыры для случая ТМ поляризации. Во всех публикациях автор принимала участие в постановке задач, интерпретации и анализе точности результатов, создании компьютерных программ и проведении численных экспериментов с использованием разработанных программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 111 наименований. Полный объем диссертации составляет 157 страниц, включая 30 рисунков и 5 таблиц.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

В части численных и аналитических методов:

• Разработана параллельная версия конечно-объемного алгоритма второго порядка точности [1] для решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированных сетках, основанная на декомпозиции вычислительной области.

• Разработано обобщение численных методов для решения нестационарных уравнений Максвелла: конечно-разностного метода [2] и метода конечных объемов [1] на случай дисперсионных сред, в которых частотная зависимость диэлектрической проницаемости дается в виде аппроксимации Паде; исследованы численные погрешности предлагаемого подхода; получено спектральное условие устойчивости фон Неймана для конечно-разностного метода, учитывающего дисперсионный отклик среды.

• Разработано обобщение конечно-объемного алгоритма [1] для сред с анизотропной диэлектрической проницаемостью в двумерном случае.

• Построен рекуррентный алгоритм аналитического решения уравнений

Максвелла на основе теории Ми для цилиндрического устройства, состоящего из концентрических слоев с постоянной либо с обратной квадратичной радиальной зависимостью диэлектрической проницаемости, и падающего на прибор поля в виде плоской волны либо гауссова пучка ТЕ и ТМ поляризаций; разработан комплекс программ РкоЬопгсзСЬ, доступный на веб-портале www.nanoHUB.org, позволяющий моделировать указанные цилиндрические устройства.

В части моделирования материалов и устройств:

• Получены результаты численного моделирования периодической наноструктуры из золота и двуокиси кремния с помощью обобщенных для случая дисперсии диэлектрической проницаемости методов конечных разностей [2] и конечных объемов [1]. и проведена оценка точности предлагаемого подхода по сравнению с коммерческим конечно-элементным продуктом СОМБОЬ МиШрЬузкэ.

• Получены результаты численного моделирования внешней и внутренней гиперлинз на основе конечно-объемного алгоритма [1], обобщенного на случай анизотропной диэлектрической проницаемости, демонстрирующие способность гиперлинз увеличивать изображение объектов размером менее дифракционного предела, и расчеты внутренней линзы Лунеберга, выполненной из однородных слоев.

• Получены результаты моделирования оптической "черной дыры" (ОЧД) [4] на основе аналитической теории Ми, и с помощью численного решения нестационарных уравнений Максвелла конечно-объемным алгоритмом [1]; установлена приближенная аналитическая оценка эффективности поглощения электромагнитного излучения оптической черной дырой; получены результаты анализа ОЧД, в которой радиальная зависимость диэлектрической проницаемости заменена однородными слоями.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук М.П. Федоруку за всестороннюю поддержку и постоянное внимание в ходе выполнения работы. Отдельно хочется поблагодарить кандидата физ.-мат. наук A.B. Кильдишева за многочисленные обсуждения и консультации по главам 2-4, кандидата физ.-мат. наук A.C. Лебедева — за построение неструктурированных сеток для проведения расчетов электромагнитных полей методом конечных объемов, а также Д.Л. Чубарова — за техническую поддержку при проведении параллельных вычислений.

1. Лебедев А.С., Федорук М.П., Штырина О.В. Конечно-объемный алгоритм решения нестационарных уравнений Максвелла на неструктурированной сетке. // Журн. выч. мат. и мат. физики. —2006. -Вып. 47. -т. -С. 1286-1301.

2. Yee. К. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. // IEEE Trans, on Antennas Propag. -1966. —Vol. 14. -P. 302-307.

3. Ni X., Gu F., Prokopeva L. J., Kildishev A. V. PhotonicsCL: Photonic Cylindrical Multilayer Lenses. —2010. DOI: 10254/nanohub-r9914.1.

4. Narimanov E. E. and Kildishev A. V. Optical black hole: broadband omnidirectional light absorber. // Appl. Phys. Lett. —2009. —Vol. 95. -P. 041106.

5. Прокопьева Л.Ю., Федорук М.П., Лебедев A.C. Параллельный алгоритм метода конечных объемов для решения трехмерных уравнений Максвелла в нанокомпозитных средах. // Вычислительные методы и программирование. —2009. —Т. 10. —№ 2. —С. 28-33.

6. Прокопьева Л.Ю. Моделирование анизотропных метаматериалов спомощью параллельной реализации метода конечных объемов для решения нестационарных уравнений Максвелла. // Вычислительные технологии. —2009. —Т. 14. —№ 3. —С. 58-68.

7. Kildishev А. V.,Prokopeva L.J., Narimanov Е.Е. Cylinder light concentrator and absorber: theoretical description. // Optics Express. -2010. -Vol. 18. -P. 16646-16662.

8. Prokopeva L.J., Lebedev A.S., Fedoruk М.Р., Kildishev A.V. FVTD Simulations of Nano-structured Plasmonic Metamaterials. // Proc. of 24th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics, Niagara Falls, Canada. —2008. —P. 562-566.

9. Kildishev A.V., Prokopeva L.J., Narimanov E.E. An Analysis and Performance Evaluation of the Optical Black Hole. // Proc. of SI AM Conference on Mathematical Aspects of Material Science, Philadelphia, PA, USA. -2010. -P. 107.

10. Prokopeva L.J., Borneman J., Kildishev A.V. Time-Domain Modeling of Metal-Dielectric Nanostructures. // Proc. of the Conference on Lasers and Electro-Optics and The Quantum Electronics and Laser Science Conference, San Jose, CA, USA. -2010. -P. JWA14.

11. Прокопьева Л.Ю. Параллельные вычисления в некоторых задачах нелинейной волоконной оптики. // Тезисы докладов международной научной конференции по параллельным вычислительным технологиям, Челябинск. —2007. —С. 286.

12. Etchegoin P. G., Le Ru Е. С., Meyer М. An analytic model for the optical properties of gold. Jj J. Chem. Phys. —2006. —Vol. 125. -P. 164705-3.

13. Kildishev A.V., Narimanov E.E. Impedance-matched hyperlens // Opt. Lett -2007. -Vol. 32. -P. 3432-3434.

14. Sullivan D.M. Electromagnetic simulation using the FDTD method. The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., New York. —2000.

15. Taflove A. (editor) Advances in computational electrodynamics. The finite-difference time-domain method. Boston: Artech House. —1998.

16. Madsen N.K., Ziolkowski R.W. A three-dimensional modified finite volume technique for Maxwell's equations. // Electromagnetics. —1990. -Vol. 10. -P. 147-161.

17. Shankar V., Mohammadian A.H., Hall W.F. A time-domain, finite-volume treatment for the Maxwell equations. // Electromagnetics. — 1990. -Vol. 10. -P. 127-145.

18. Shang J.S., Characteristic-Based Algorithms for Solving the Maxwell's Equations in the Time Domain. // IEEE Antennas and Propagation Magazine. -1995. -Vol. 37, -P. 15-25.

19. Bonnet P., Ferrieres X., Michielsen B.L., Klotz P., and Roumiguires J.L. "Finite-Volume Time Domain Method," in Time Domain Electromagnetics, S. M. Rao (editor). Academic Press, San Diego. -1999.

20. Fumeaux C., Baumann D., Leuchtmann P., Vahldieck R. A generalized local time-step scheme for efficient FVTD simulations in strongly inhomogeneous meshes. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. —2004. -Vol. 52, -P. 1067-1076.

21. Fumeaux C., Baumann D., Bonnet P., Vahldieck. R. Developments of Finite-Volume Techniques for Electromagnetic Modeling in Unstructured Meshes. // Proc. of 17th International Zurich Symposium on Electromagnetic Compatibility. —2006. —P. 5-8.

22. Firsov D. et al. High-Order FVTD on Unstructured Grids using an Object-Oriented Computational Engine. // ACES Journal. —2007. — Vol. 22. -P. 71-82.

23. Martin H.C. and Carey G.F. Introduction to Finite Element Analysis: Theory and Application. New York: McGraw-Hill. —1973.

24. Livesley R.K. Finite Elements: An Introduction for Engineers. Cambridge: Cambridge University Press, 3rd ed. —1996.

25. Silvester P.P. and Ferrari R.L. Finite Elements for Electrical Engineering, Cambridge: Cambridge University Press. —1983.

26. Jin J.M. The Finite Element Method in Electromagnetics. New York: John Wiley к Sons, Inc. -1993.

27. Leuchtmann P., Fumeaux C. , Baumann D. Comparison of errors and stability in FDTD and FVTD. // Advances in Radio Science —2003. -Vol. l.P. 87-92.

28. Firsov D., LoVetri J. New Stability Criterion for Unstructured Mesh Upwinding FVTD Schemes for Maxwell's Equations. // Proc. of the 23th Annual Review of Progress in Applied СЕМ, Verona, Raly. —2007. -Vol. 23. -P. 193-199.

29. Fumeaux C., Sankaran K., Vahldieck R. Spherical perfectly matched absorber for finite-volume 3-D domain truncation. // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques MTT-55 —2007. —Vol. 12. — P. 2773-2781.

30. Kaufmann Т., Sankaran K., Fumeaux C., Vahldieck R. A review of perfectly matched absorbers for the Finite-Volume Time-Domain method. // ACES Journal -2008. -Vol. 23. -P. 184-192.

31. Baumann D., Fumeaux C., Hafner C., and Li E. P. A modular implementation of dispersive materials for time-domain simulations with application, to gold nanospheres at optical frequencies. // Opt. Express. -2009. -Vol. 17. -P. 15186-15200.

32. Fumeaux С., Baumann D., Vahldieck R. FVTD characterization of substrate effects for Archimedean spiral antennas in planar and conformal configurations. // ACES Journal. —2005. —Vol. 20. —P. 186197.

33. Fumeaux C., Baumann D., Vahldieck R. Advanced FVTD simulation of dielectric resonator antennas and feed structures. // ACES Journal. -2004. -Vol. 20. -P. 155-164.

34. Almpanis G., Fumeaux C., Vahldieck R. The trapezoidal dielectric resonator antenna // IEEE Transactions on Antennas and Propagation -2008. -Vol. 56. -P. 2810-2816.

35. Oskooi A.F., Roundy D., Ibanescu M., Bermel P., Joannopoulos J.D., and Johnson S.G. MEEP: A flexible free-software package for electromagnetic simulations by the FDTD method. // Comput. Phys. Commun. -2010. —Vol. 181. -P. 687-702.

36. Berenger J.P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J. Comput. Phys. —1994. —Vol. 114. —P. 185200.

37. Veselago V. G. The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of e and fi. // Sov. Phys. Usp. —1968. —Vol. 10. -P. 509-514.

38. Pendry J.B. Negative refraction makes a perfect lens // Phys. Rev. Lett. -2000. -Vol. 85. -P. 3966-3969.

39. Shalaev V. М., Cai W. S., Chettiar U. K., Yuan H. K., Sarychev A. K., Drachev V. P., and Kildishev A. V. Negative index of refraction in optical metamaterials. // Opt. Lett. —2005. —Vol. 30. —P. 3356-3358.

40. Smith D. R., Padilla W. J., Vier D. C., et al. Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity. // Phys. Rev. Lett. -2000. -Vol. 84. -P. 4184-4187.

41. Shelby R. A., Smith D. R., Schultz S. Experimental verification of a negative index of refraction. // Science. —2001. —Vol. 292. —P. 77-79.

42. Parazzoli C. G., Greegor R. В., Nielsen J. A. Performance of a negative index of refraction lens. // Appl. Phys. Lett. —2004. —Vol. 84. -P. 3232-3234.

43. Zhang S., Fan W., Panoiu N. C., et al. Experimental Demonstration of Near-Infrared Negative-Index Metamaterials. // Phys. Rev. Lett. —2005. -Vol. 95. -P. 137404-4.

44. Xiao S., Drachev V. P., Kildishev A. V., Ni X., Chettiar U. K., Yuan H.-K., and Shalaev V. M. Lossfree and active optical negativeindex metamaterials. // Nature. —2010. —Vol. 466. —P. 735-738.

45. Wuestner S., Pusch A., Tsakmakidis K. L., Hamm J. M., and Hess. O. Overcoming Losses with Gain in a Negative Refractive Index Metamaterial. // Physical Review Letters. —2010. —Vol. 105. — P. 127401-4.

46. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, том 8. —М.: ФизМатЛит. —1982.

47. Johnson Р. В. and Christy R. W. Optical Constants of the Noble Metals. // Phys. Rev. B. -1972. -Vol. 6. -P. 4370-4379.

48. The collected papers of Peter J. W. Debye. Interscience Publishers, Inc., New York. -1954.

49. Seilmeier W. Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge im Spectrum einiger Substanzen. // Annalen der Physik und Chemie. —1871. — Vol. 219. -P. 272-282.

50. Hao F., Nordlander P. Efficient dielectric function for FDTD simulation of the optical properties of silver and gold nanoparticles. // Chem. Phys. Lett. —2007. —Vol. 446. -P. 115-118.

51. Etchegoin P. G., Le Ru E. C. Meyer M. Erratum: "An analytic model for the optical properties of gold." J. Chem. Phys., 2006, Vol. 125, P.164705] //J. Chem. Phys. -2006. -Vol. 127. -P. 189901-1.

52. Vial A. and Laroche Т. Comparison of gold and silver dispersion laws suitable for FDTD simulations. // Appl. Phys. B. -2008. -Vol. 93. -P. 139-143.

53. Hawkins R., Kallman J. Linear electronic dispersion and finite-difference time-domain calculations: a simple approach (integrated optics). //J. Lightwave Technol. -1993. —Vol. 11. —P. 1872-1874.

54. Siushansian R., LoVetri J. A comparison of numerical techniques for modeling electromagnetic dispersive media. // IEEE Microwave Guided Wave Lett. -1995. -Vol. 5. -R 426-428.

55. Luebbers R., Hunsberger F. FDTD for Nth-order dispersive media. // IEEE Trans. Antennas Propag. -1992. —Vol. 40. — P. 1297-1301.

56. Schuster J., Luebbers R. An accurate FDTD algorithm for dispersive media using a piecewise constant recursive convolution technique. // IEEE Antennas and Propagation Soc. Internat. Symp. Digest. —1998. —Vol. 4. -P. 2018-2021.

57. Kelley D. et al. Piecewise linear recursive convolution for dispersive media using FDTD. // IEEE Trans. Antennas Propag. —1996. —Vol. 44. —P. 792-797.

58. Vial A. Implementation of the critical points model in the recursive convolution method for modelling dispersive media with the finite-difference time domain method. //J. Opt. A: Pure Appl. Opt. —2007. -Vol. 9. -P. 745-748.

59. Lu J. and Chang Y. Implementation of an efficient dielectric function into the finite difference time domain method for simulating the coupling between localized surface plasmons of nanostructures. // Superlattice Microst. -2010. -Vol. 47. -P. 60-65.

60. Zhili L. and Thylen L. On the Accuracy and Stability of Several Widely Used FDTD Approaches for Modeling Lorentz Dielectrics. // IEEE Trans. Antennas Propag. —2009. —Vol. 57. —P. 3378-3381.

61. Pereda J. A. et al. Analyzing the Stability of the FDTD Technique by Combining the von Neumann Method with the Routh-Hurwitz Criterion. // IEEE Trans, on Microwave Theory and Tech. —2001. —Vol. 49. -P. 377-381.

62. Knoesen A. and Hulse C. Dispersive models for the finite-difference time-domain method: design, analysis, and implementation. // J. Opt. Soc. Am. A. -1994. Vol. 11. —P. 1802-1811.

63. Young J. L., Kittichartphayak A., Sullivan D., and Ming K. Yuk. On the dispersion errors related to (FD)2TD type schemes. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. —1995. —Vol. 43. —P. 1902-1910.

64. Kelley D. F. and Luebbers R. J. Calculation of Dispersion Errors for the Piecewise Linear Recursive Convolution Method. // Proc. IEEE Antennas and Propagation Soc. Internat. Symp. Digest. —1996. —Vol. 3. -P. 1652-1655.

65. Schuster J. and Luebbers R. An accurate FDTD algorithm for dispersive media using a piecewise constant recursive convolution technique. // IEEE Antennas and Propagation Soc. Internat. Symp. Digest —1998. -Vol. 4. -P. 2018-2021.

66. Ni X., Liu Z., Kildishev A. V. PhotonicsDB: Optical Constants. —2007. DOI: 10254/nanohub-r3692.10.

67. Сивухин Д. В. Общий Курс Физики, Оптика, том 4. М.: Наука. -1980.

68. Born М., Wolf Е. Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. Oxford, Pergamon Press. —1964.

69. Ni X. et al. Photonics sha-2d: Modeling of single-period multilayer optical gratings and metamaterials. —2009. D01:10254/nanohub-r6977.6.

70. Thoreson M. D., Drachev V. P., Fang J., Kildishev A. V., Prokopeva L. J., Nyga P., Chettiar U. K., and Shalaev V. M. Fabrication and Realistic Modeling of 3D Metal-Dielectric Composites. // J. Nanophotonics. (to be published).

71. Pendry J. В., Schurig D., and Smith D. R. Controlling electromagnetic fields. // Science. -2006. -Vol. 312. -P. 1780-1782.

72. Leonhardt U. Optical conformal mapping. // Science. —2006. —Vol. 312. -P. 1777-1780.

73. Shalaev V. M. Transforming light. // Science. -2008. -Vol. 322. — P. 384-386.

74. Dolin L. S. On a Possibility of Comparing Three-Dimensional Electromagnetic Systems with Inhomogeneous Filling. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Radiofiz. —1961. —Vol. 4, P. 964-967.

75. Leonhardt U. Notes on conformal invisibility devices. // New Journal of Physics. -2006. -Vol. 8. -P. 118.

76. Kildishev A. V. and Shalaev V. M. Engineering space for light via transformation optics. // Optics Letters. —2008. —Vol. 33. —P. 43-45.

77. Leonhardt U. and Philbin T. G. General relativity in electrical engineering // New Journal of Physics. —2006. —Vol. 8. —P. 247.

78. Schurig D., Pendry J. В., and Smith D. R. Calculation of material properties and ray tracing in transformation media // Optics Express. -2006. -Vol. 14. -P. 9794-9804.

79. Shyroki D. M. Squeezing of Open Boundaries by Maxwell-Consistent Real Coordinate Transformation. // Microwave and Wireless Components Letters, IEEE. -2006. —Vol. 16. —P. 576-578.

80. Schurig D., Pendry J. В., and Smith D. R. Transformation-designed optical elements.'// Optics Express. —2007. —Vol. 15. —P. 14772-14782.

81. Rahm M., Cummer S. A., D. Schurig, Pendry J. В., and Smith D. R. Optical design of reflectionless complex media by finite embedded coordinate transformations. // Physical Review Letters. —2008. —Vol. 1. -P. 063903.

82. Zhang P., Jin Y., and He S. L. Cloaking an object on a dielectric halfspace. // Optics Express. —2008. —Vol. 16. —P. 3161-3166.

83. Jacob Z., Alekseyev L. V., Narimanov E. E. Optical Hyperlens: Far-fieldimaging beyond the diffraction limit. // Opt. Express. —2006. —Vol. 14. -P. 8247-8256.

84. Salandrino A., Engheta N. Far-field sub diffraction optical microscopy using metamaterial crystals: Theory and simulations // Phys. Rev. B. -2006. -Vol. 74. —Id. 075103.

85. Liu Z., Lee H., Xiong Y., Sun C., and Zhang X. Optical Hyperlens Magnifying Sub-diffraction-limited Objects. // Science. —2007. — Vol. 315. -P. 1686.

86. Smolyaninov I., Hung Y., and Davis C. Magnifying Superlens in the Visible Frequency Range. // Science. —2007. —Vol. 315. —N. 5819.

87. Luneburg R. K. Mathematical Theory of Optics. University of California Press, Berkeley. —1964.

88. Котляр В.В., Личманов М.А. Дифракция плоской электромагнитной волны на градиентном диэлектрическом цилиндре. // Численные методы компьютерной оптики. —2003. —№ 25. —С. 11-15.

89. Litchinitser N. М. and Shalaev V. М. Metamaterials: transforming theory into reality. // J. Opt. Soc. Amer. B. -2009. -Vol. 26. —P. B161-B169.

90. Landy N. I., Sajuyigbe S., Mock J. J., Smith D. R., and Padilla W. J. Perfect Metamaterial Absorber. // Phys. Rev. Lett. —2008. —Vol. 100. -P. 207402-4.

91. Teperik Т. V., Garcia de Abajo F. J., Borisov A. G., Abdelsalam M., Bartlett P. N., Sugawara Y., and Baumberg J. J. Omnidirectionalabsorption in nanostructured metal surfaces. // Nature Photonics. -2008. -Vol. 2. -P. 299-301.

92. Cheng Q. et al. An omnidirectional electromagnetic absorber made of metamaterials // New Journal of Physics. —2010. —Vol. 12. —P. 06300610.

93. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, том 1. —М.: ФизМатЛит. —1988.

94. Кильдишев А. В., Шалаев В. М. Транформационная оптика на основе метаматериалов. // Успехи физических наук. —2011. —Т. 181.

95. Agrawal G. Р. and Pattanayak D. N. Gaussian beam propagation beyond the paraxial approximation. //J. Opt. Soc. Amer. —1979. — Vol. 69. -P. 575-578.

96. Mie. G. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen // v4nn. Phys. —1908. —Vol. 330. -P. 377-445.

97. Hülst H. Light scattering by small particles. New York. John Wiley and Sons, Inc. —1957.

98. Bohren С. F., Huffman D. R. Absorption and scattering of light by small particles. New York. John Wiley and Sons, Inc. —1983.

99. Kotlyar V. V., Nalimov A. G. Analytical expression for radiation forces on a dielectric cylinder illuminated by a cylindrical Gaussian beam. // Opt. Express. -2006. -Vol. 14. -P. 6316-6321.

100. Kildishev A. V., Chettiar U. K., Jacob Z., Shalaev V. M., and Narimanov E. E. Materializing a binary hyperlens design. // Appl. Phys. Lett. -2009. -Vol. 94. -P. 071102-3.

101. Abramowitz M., Stegun I. A. (eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York, Dover. -1972.

102. Коновалов A. H. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Учебное пособие, издание НГУ, Наука. —1993.

103. Gradshteyn S. and Ryzhik I. M. Tables of integrals, series and products. Academic Press, New York, CD-ROM Edition. —1994. (Eq. 8.511.4)

104. Ni X., Prokopeva L. P., Kildishev A. V., Narimanov E. E. Modeling of an Optical Black Hole with True Gaussian Beam Incidence. // Proc. of COMSOL conference 2010, Boston, MA, USA (October 7-9, 2010). -2010. -P. 1-2.