автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование экспериментов по воздействию высокочастотных электромагнитных полей на объекты

На правах рукописи УДК 519.68

Скачков Михаил Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО ВОЗДЕЙСТВИИ) ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ НА ОБЪЕКТЫ С 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов - в научных исследованиях )

- АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор ~

Москва, 1997г.

Работа выполнена в Московском Государственном инженерно-физическом институте (техническом университете) и в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор Васильков Д.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, . профессор Гасилов В.А.

кандидат технических наук.

Дацыков А. В.

Ведущая организация:

Четвертый Центральный научно-исследовательский институт МО

Защита диссертации состоится " 'ХХУОУчЭч, 1997г. на заседании диссертационного совета Д0530308 в МИФИ по адресу: 115409, Москва, Каширское ш., 31, тел.323-91-67, 324-84-98. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан

1997г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв I одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Леонов А. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.... -1 . ■ ■ .

Актуальность. С появлением и эксплуатацией в нашей стране и за рубежом насыщенного электронной техникой • оборудования возникла проблема стойкости аппаратуры к электромагнитным воздействиям -природным и антропогенным. К числу последних относится электромагнитное излучение импульсных ионизирующих источников, длительное время исследовавшееся разными авторами с помощью средств численного моделирования, в результате чего были■ получены амплитудные, пространственные и временные характеристики электромагнитного излучения. - Одновременно проводились исследования механизмов воздействия внешнего электромагнитного поля на технику. Среди возможных механизмов такого воздействия - наводки токов по внешнему корпусу объекта и проникновение высокочастотных электрических полей через отверстия в корпусе. Необходимбсть обеспечения работоспособности техники влечет за собой потребность в испытаниях ее стойкости к электромагнитному воздействии.

Сложность, а в ряде случаев и невозможность реализаций натурных условий воздействия приводит к необходимости разработки лабораторных методов* испытаний техники на воздействие высокочастотных электромагнитных полей. В связи с этим встают вопросы о методике испытаний, оптимизации параметров моделирующих воздействие установок, а также адекватности лабораторных и реальных условий воздействия. Эти вопросы можно решить посредством математического моделирования. Поэтому актуальными становятся разработка и исследование математических моделей этих экспериментов; построение многомерных численных методик расчета электромагнитных полей, генерируемых в лабораторных опытах, и проведение-'

на их основе численного эксперимента. Численный эксперимент (моделирование на ЭВМ исследуемого физического процесса) имеет ряд достоинств, а именно: является недорогим методом исследования, позволяет независимо менять параметры задачи, извлекать информацию о процессе без' вмешательства в него, более детально изучать отдельные этапы эволюции процесса.

Возможны разные подходы к лабораторному испытанию работоспособности содержащих приборные комплексы объектов в условиях электромагнитного воздействия, различающиеся, например, способом возбуждения и физической природой электромагнитных колебаний. Один из таких подходов, который и рассматривается в данной работе, основан на использовании в качестве источника электромагнитных полей ускорителей электронов. Выбором соответствующей редакции эксперимента и параметров установки можно добиться близости характеристик воздействия в опыте и в натурных условиях функционированияобъекта испытаний. Для таких лабораторных экспериментов задачей математического моделирования является анализ параметров электромагнитного воздействия при использовании различных ускорителей и оптимизация редакций опытов выбором условий проведения испытаний.

В настоящей работе рассматриваются эксперименты с использованием в качестве испытательной установки ускорителя электронов ЛУЭ-7/30. На этой установке пучок релятивистских электронов ускорителя (амплитуда тока порядка десятков ампер) инжектируется в промежуток между цилиндрической боковой поверхность» вакуумной камеры радиуса ЯсЬ и проводящей цилиндрической боковой поверхностью объекта испытаний радиуса Я (характерные размеры объекта и камеры порядка единиц метров). Генерируются электромагнитные поля, амплитудночастотные характеристики которых определяются, с одной стороны, геометрическими параметрами резонатора камера-объект, а с

другой - состоянием плазмы в камере.

Цель настоящей работы - на примере указанной установки провести анализ лабораторных опытов средствами математического моделирования. Такого рода анализ, предваряющий соответствующие экспериментальные работы, должен способствовать выработке рекомендаций по оптимизации условий опытов и параметров установки. Для этого необходимо решить следующие задачи.

Основные задачи исследования:

- разработать и исследовать расчетную математическую модель эксперимента;

- построить многомерные численные методики расчета электромагнитных полей, генерируемых в лабораторных опытах, и провести на их основе численный эксперимент;

- провести численные исследования параметров полей вблизи объекта и токов, наведенных на его поверхности;

- продемонстрировать возможность применения построенных многомерных численных методик к решении широкого класса задач по изучению электромагнитной обстановки вблизи объекта испытаний.

Научная новизна.

Построена математическая модель для самосогласованного описания электронных токов в плазме и электромагнитных полей, генерируемых при распространении релятивистских электронных потоков, которая может быть положена в основу многомерных численных исследований ряда экспериментов по электромагнитному воздействию на объекты, содержащие приборные комплексы.

Для аксиально - симметричных областей разработана новая спектрально - разностная методика численного интегрирования простглиственно трехмерных уравнений Максвелла в цилиндрических ксг.2-;:ка-тах, основанная на сочетании схемы "крест" в переменны/. С1,г,~_- :

использованием Фурье-разложения по тригонометрическим функциям угловой переменной р. Методика сохраняет все преимущества двумерной явной схемы "крест" в переменных С1,г,г) (простоту реализации, второй порядок аппроксимации на равномерных сетках и при достаточно гладком решении, устойчивость при выполнении условия Куранта) и реализуется как для последовательных расчетов на ПЭВМ с размещением в оперативной памяти лишь двумерных массивов, так и для параллельных расчетов на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью при полном отсутствии обменных операций между процессорами в ходе решения соответствующих двумерных систем разностных уравнений.

Практическая ценность. Созданный на основе разработок диссертации комплекс прикладных программ позволяет йроводить численные исследования высокочастотных электромагнитных полей в окрестности проводящего цилиндрического объекта в опытах по испытанию электромагнитной стойкости. Трехмерная- численная методика, предложенная в работе, может быть использована и в других численных исследованиях электромагнитного поля в аксиально-симметричных областях.

Положения, выносимые на защиту:

- математическая модель для самосогласованного описания электромагнитных полей, генерируемых в результате инжекции пучка быстрых электронов ускорителя в вакуумную камеру, и электронных токов в плазме;

- разработанная двумерная численная методика расчета полей и токов в аксиально-симметричной постановке задачи;

- новая спектрально-разностная методика численного интегрирования пространственно трехмерных уравнений Максвелла в цилиндрических координатах;

- параллельная реализация спектрально-разностной методики на

многопроцессорной вычислительной системе с распределенной память» МВС-100;

- проведенные численные исследования электромагнитных полей и наведенных токов, генерируемых при распространении слаботочных электронных пучков в опытах по испытанию электромагнитной стойкости, а также при дифракции электромагнитного импульса на проводящем цилиндрическом объекте.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всероссийской конференции памяти К.И.Бабенко "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" С Пущино, 1996г.), научном семинаре Института динамики геосфер РАН, научных семинарах и.совещаниях отдела № 18 Института прикладной математики им.М. В.Келдыша РАН, на кафедре Прикладной математической физики Московского инженерно-физического института.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Основной текст изложен на 94 машинописных страницах, диссертация содержит 29 рисунков. Список литературы включает 106 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

На основании оценок параметров эксперимента по испытанию электромагнитной стойкости объекта построена математическая модель для самосогласованного описания электромагнитных' полей, генерируемых в результате инжекции пучка быстрых электронов ускорителя в вакуумную камеру, и электронных токов в плазме.

Оценки оптимальных значений параметров эксперимента, котоа:-?

послужили ориентирами при разработке математической модели, получены, исходя из следующих соображений:

- длина волны электрического поля, проникающего внутрь объекта, должна быть меньше его характерного пространственного размера;

условие существования ленгмюровских колебаний подразумевает их сравнительно слабое затухание, т.е. эффективная частота соударений должна быть много меньше частоты плазменных колебаний.

При возбуждении "резонаторных" колебаний системы камера-объект первое соображение накладывает ограничения на геометрические параметры рассматриваемой установки. При возбуждении плазменных колебаний указанные соображения накладывают ограничение снизу на плотность электронов (степень ионизации) и ограничение сверху на давление воздуха в вакуумной камере. С учетом характеристик испытательной установки и оценок энергии электронов плазмы приведены численные значения полученных порядковых оценок:

Ндгю9см"3, Р 5 i(Tz Topp.

Рассматриваемая далее математическая модель полей и электронных токов в камере ориентируется на приведенные оценки параметров опыта.

Самосогласованное описание электромагнитных полей и электронных токов в плазме разбивается на связанные подзадачи:

1) описание движения быстрых электронов (сторонних токов);

2) описание электромагнитных полей с учетом внешнего тока быстрых электронов и индуцированных токов в плазме;

3) описание кинетики электронов плазмы (образовавшихся в результате предварительной ионизации рабочего объема камеры, а также порожденных инжектированными быстрыми электронами) с учетом обратного влияния генерируемых электромагнитных полей.

Далее идет подробное описание предлагаемой модели в рамках

каждой подзадачи.

Опираясь .на сравнения энергии электронов с работой сил иониза-

I

ционного торможения и электрического поля, характерных размеров камеры с пробегами электронов в разреженном воздухе, длительности импульса тока с его уширением на размере камеры, оценки расходимости или сжатия пучка в зависимости от . компенсации его заряда, делается вывод о том, что слаботочный релятивистский пучок можно считать моноэнергетическим, а движение электронов в пучке равномерным и прямолинейным. В этом случае пространственно-временное распределение плотности сторонних токов в камере полностью определяется характеристиками инжектируемого пучка.

Электромагнитные поля описываются нестационарными уравнениями Максвелла. Плотность тока равна суперпозиции плотности сторонних токов быстрых электронов, инжектированных в вакуумную камеру, и плотности индуцированного тока "медленных" электронов плазмы.

Главное внимание уделяется описанию движения электронов плазмы (порожденных предионизацией и вторичных) под действием созданного пучком электромагнитного поля. Для разреженной плазмы приведен вывод основных "гидродинамических" уравнений относительно низших моментов одночастичных функций распределения /а ((., г, у) :

плотности электронов сорта а - Ра0(г) = |с2г'/а(Ч ,г, у) :

плотности потока электронов сорта а - ,]а = |с?у ■ V ■ /а (Ч, г , у) .

При выводе этих уравнений использованы следующие приближения:

1) исключается влияние магнитного поля и ,релятивистских эффектов;

2) рассматриваются два сорта частиц: "фоновые" электрон*:, возникшие в результате предионизации воздуха в камере, к втсричк.»

электроны, возникающие вследствие ионизации молекул воздуха инжектированным пучком;

33 исключаться из рассмотрения неупругие столкновения нерелятивистских электронов с другими частицами в разреженной среде (Р $ 0.01 ТоррЭ за' время наблюдения I 5 1 икс. Тем самым пренебрегается электрохимическими реакциями (такими, в частности, как прилипание и отлипание электронов от молекул кислорода, электрон-ионная рекомбинация, ударная ионизация);

4) рассматривается случай слабоионизованной плазмы, для которой преобладающим является упругое рассеяние электронов на нейтральных молекулах, удовлетворительно описываемое интегралом столкновений легкой примеси в тяжелом газе;

5) процесс рождения электронов в плазме предполагается изотропным.

Для замыкания полученных моментных уравнений использовано

приближение "теплой" плазмы, а именно-.

« • Ш

и*а

- и'/аО.г.г-)

"а л

Уа = ' Ра

В рамках этого приближения и в предположении однородности по пространству температуры электронов моментные уравнения замыкаются в систему уравнений акустики:

-3 4 см« I = 5пС1,гУ .

Л л <Д (Л

91 СЕ)

1- Е <>** 0 '

Здесь Б С Ь, г) - источник электронов сорта а; е, т. -. заряд и масса электрона; Е - напряженность электрического поля;

- и -

увгг.« = "о = . от =

яа

а - "радиус молекулы", Нт- Иьб, число Лошмидта, б - относительная плотность воздуха.

При решении уравнений акустики С3) в занятой плазмой области пространства возникает проблема постановки краевых условий. У граничных поверхностей, на»которых происходит поглощение электронов, или вблизи которых краевые условия допускают накопление зарядов, образуется переходный слой, толщина которого на 3-4 порядка меньше пространственных размеров камеры и объекта. Адекватное описание этого переходного слоя выходит за рамки предлагаемой модели кинетики электронов в приближении "теплой" плазмы. Учет такого рода погранслоев на границе плазмы создает трудности при численном моделировании Снапример, возможность потери устойчивости счета, необходимость прибегать к специальным методам). Другой подход - постановка граничных условий так, чтобы в решении задачи не возникало .приграничных эффектов. Это допустимо, поскольку решение рассматривается в области, где не сказываются приграничные эффекты. Рассматриваются два варианта. Первый исходит из требования квазинейтральности плазмы у граничной поверхности Г и в предположении" неподвижности ионов имеет вид:

= Б XI,г) . " СЗ)

д1 'Г а 'Г

Второй вариант заключается в требовании равенства нулю производных

по направлению внешней нормали п к граничной поверхности Г либо

плотности электронов

либо плотности потока электронов через поверхность

- IE -

a-aa.n)|r = o. cs>

дп

Применимость приближения "теплой" плазмы (1) в рассматриваемом эксперименте показана на основе оценки характерных параметров кинетики медленных электронов, исходя из величины плотности сторонних токов. Для этой цели используется условие токовой нейтрализации, физический смысл которого заключается в том, что возникающий в проводящей среде индуцированный ток по закону электромагнитной индукции стремится компенсировать сторонний ток. В стационарном случае законы сохранения диктуют следующее соотношение между сторонними и индуцированными токами:

I

j s I jexl I , Сб)

Ja I 1 Jnax 1 '

a

где член в правой части неравенства представляет собой максимальную плотность сторонних токов.

В рассматриваемой нами нестационарной задаче предполагается, что для порядковых оценок можно использовать неравенство (6). Это предположение иллюстрируется несколькими модельными примерами, описывающими электрические поля и индуцированные токи в однородной плазме в присутствии внешнего тока. .

Изложенная модель положена в основу численного исследования характеристик электромагнитных полей в рамках пространственно двумерной и трехмерной постановок. С целью проиллюстрировать некоторые закономерности генерации нестационарных поляризационных электрических полей в плазме без учета влияния геометрических факторов рассмотрено несколько простейших модельных примеров. В приближении "теплой" плазмы CD-C2) была проведена серия расчетов для одномерной задачи о генерации поляризационных электрических полей и индуцированных токов в плоском слое однородной

слабоионизованной плазмы в результате прохождения плоскопараллельного потока ультрарелятивистских электронов. В этих численных экспериментах осуществлялись:'

- проверка справедливости неравенства (6) и связанной с ней применимости модели С 23;

- изучение влияния различных граничных условий на решение рассматриваемой задачи;

- исследование генерируемых электрических полей и индуцированных токов в зависимости от параметров эксперимента - давления воздуха в вакуумной камере и начальной плотности электронов.

На основании построенной математической модели разработана двумерная численная методика расчета электромагнитных полей в аксиально-симметричной постановке задачи.

Математическая постановка задачи включает следующие уравнения: - двумерные уравнения Максвелла в цилиндрических координатах относительно компонент электрического поля - £ , Ez, магнитного поля -В и тонов - jr, jz;

~ систему уравнений акустики С2) относительно компонент токов -jr, jz и плотности электронов - р.

Уравнения дополняются соответствующими граничными условиями и нулевыми начальными условиями для компонент электромагнитного поля и токов, а также заданием начальной плотности электронов ро. Граничные условия ставятся для двух вариантов эксперимента: для идеально проводящей поверхности вакуумной камеры и для электропрозрачной поверхности. Границы объекта, камеры и расчетной области совпадают с координатными поверхностями z =iconsI или г = const.

Для аппроксимации основных уравнений используется модификация схемы "крест". Приводятся примеры результатов тестирования численной методики, которые свидетельствуют в пользу надежности

работы программ и позволяет оценить погрешность расчетов компонент решения величиной порядка десятых долей - единицы процента от их амплитудных значений в равномерной сеточной метрике.

На основании исходных данных для моделирующей установки с использованием ускорителя электронов ЛУЭ-7/30 проводятся численные исследования на ПЭВМ для случая "разведенного" пучка кольцевого сечения. В результате численных исследований получены оценки параметров полей вблизи схй^кта М токов, наведенных на его поверхности. В зависимости от условий эксперимента преобладает один из двух механизмов генерации высокочастотных полей: "резона-торный", определяемый собственными электромагнитными колебаниями системы камера-объект, к "ленгмюровский", обусловленный плазменными колебаниями ионизованной среды.

Разработана спектрально-разностная методика численного интегрирования трехмерник уравнений Максвелла в цилиндрических координатах.

Одним из популярных способов численного интегрирования пространственно двумерных уравнений Максвелла является явная схема "крест", которая характеризуется простотой реализации, обеспечивает второй порядок аппроксимации на регулярных сетках при достаточно гладком решении, устойчива при выполнении условия Куранта. Реализация аналогичной схемы для пространственно трехмерна* уравнений Максвелла требует существенно большего объема оперативной памяти, необходимого для хранения трехмерного расчетного слоя, и увеличения числа обменных операций ЭВМ. Кроме того, при дискретизации по угловой переменной в полярной системе координат условие Куранта для явной схемы "крест" накладывает бояее жесткое ограничение на шаг по времени. Неявные схемы для трехмерных уравнений Максвелла требуют при реализации не меньше

памяти и числа обменных операций ЭВМ и, как известно, распараллеливаются с меньшей эффективностью, чем явные.

Для аксиально-симметричных областей предлагается спектрально-разностная методика численного интегрирования пространственно трехмерных уравнений Максвелла, основанная на сочетании схемы "крест" в переменных с использованием Фурье-разложения по

тригонометрическим функциям угловой переменной р. Уравнения Максвелла при этом переходят в совокупность расщепленных пространственно двумерных систем уравнений относительно коэффициентов Фурье, которая аппроксимируется совокупностью систем разностных уравнений. Они решаются \ либо последовательно, чем достигается экономия оперативной памяти ЭВМ, либо параллельно на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью при полном отсутствии обменных операций между процессорами в ходе их решения.

Работа включает описание предлагаемой численной методики и ее программной реализации на вычислительной системе с массовым параллелизмом МВС-100. Приведены результаты тестирования программы на задаче о собственных электромагнитных колебаниях проводящей цилиндрической камеры.

Приводится трехмерное численное исследование, высокочастотных электромагнитных полей в окрестности проводящего цилиндрического объекта. Рассмотрены две физические задачи:

13 генерация полей в опытах по оценке электромагнитного воздействия;

. 2) дифракция плоского электромагнитного импульса на проводящем цилиндрическом объекте.

На примере этих задач проиллюстрировано изучение средствами математического моделирования электромагнитной обстановки вблизи

объекта испытаний в лабораторных и натурных условиях его функционирования.

По первой задаче с помощью двумерной численной методики получены результаты исследований для аксиально-симметричных двумерных постановок в частном случае "разведенного" пучка кольцевого сечения. В общем случае произвольного расположения оси пучка инжектируемых электронов ускорителя, вакуумной камеры и объекта испытаний численное исследование имитационных экспериментов требует решения задач в трехмерных нестационарных постановках. В работе описан подход к решению трехмерной нестационарной задачи об электромагнитном воздействии на объект. Предложенный метод решения задачи основан на использовании спектрально-разностной методики численного интегрирования трехмерных уравнений Максвелла в цилиндрических координатах.- Представлены конкретная постановка задачи для случая параллельного расположения оси пучка электронов и оси камеры с объектом, а также исходные данные для имитационных экспериментов с использованием- в качестве моделирующей установки ускорителя электронов ЛУЭ-7/30.

Для интерпретации расчетных параметров, полученных в результате численного решения задачи в трехмерной постановке, а также для дополнительной проверки непротиворечивости математической модели рассмотрена модельная задача генерации электромагнитных полей в бесконечном металлическом цилиндре под действием стороннего тока. Полученное простое аналитическое решение позволяет качественно описать ряд закономерностей поведения полей и токов в экспериментах, в которых преобладает ленгмвровский механизм генерации высокочастотных колебаний.

Результаты численного решения задачи представлены для двух характерных режимов проведения опыта, отличающихся преобладанием

различнх механизмов генерации высокочастотных электромагнитных полей: "резонаторного", определяемого собственными электромагнитными колебаниями системы камера-объект, и "яенгмюровского", обусловленного плазменными колебаниями ионизованной среды.

Для задачи.о дифракции плоского электромагнитного импульса на проводящем цилиндрическом объекте изложены постановка задачи и исходные данные; вопросы реализации спектрально-разностной численной методики. На нескольких рисунках проиллюстрированы результаты численного исследования электромагнитных полей в окрестности проводящего цилиндрического объекта.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена математическая модель для самосогласованного описания электромагнитных полей, генерируемых в результате инжекции пучка быстрых электронов ускорителя в вакуумную камеру, и электронных токов в плазме. Эта модель положена в основу численного исследования характеристик электромагнитных полей в рамках пространственно двумерной и трехмерной постановок.

2. Разработана двумерная численная методика в аксиально-симметричной постановке задачи. Проведены численные исследования на ПЭВМ для случая "разведенного" пучка кольцевого сечения в двух типичных режимах проведения опыта, отличающихся преобладанием различных механизмов генерации высокочастотных электромагнитных полей: "резонаторного", определяемого собственными электромагнитными колебаниями системы камера-объект, или "ленгмвровского", обусловленного плазменными колебаниями ионизованной средн. В результате численных исследований получены оценки параметров полей вблизи объекта и токов, наведенных на его поверхности. .

3. Для аксиально-симметричных областей разработана спектрально-разностная методика численного интегрирования пространственно трехмерных уравнений Максвелла, основанная . на сочетании схемы "крест" в переменных С1,г,г) с использованием Фурье-разложения по тригонометрическим функциям угловой переменной р. Уравнения Максвелла при этом переходят в совокупность 1 растепленных пространственно двумерных систем уравнений относительно коэффициентов Фурье, которая аппроксимируется совокупностью систем разностных уравнений.

4. Методика программно реализована как для последовательных расчетов на ПЭВМ с размещением в оперативной памяти лишь двумерных массивов, так и для параллельных расчетов на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью М8С-100 при полном отсутствии обменных операций между процессорами в ходе решения соответствующих систем разностных уравнений.

5. В рамках трехмерной модели численно исследованы параметры электромагнитных полей и наведённых токов, генерируемых при распространении слаботочных электронных пучков в опытах по испытанию электромагнитной стойкости, а также при дифракции электромагнитного импульса на проводящем цилиндрическом объекте. Эти исследования служат примерами применения разработанной трехмерной численной методики при изучении электромагнитной обстановки вблизи объекта испытаний как в лабораторных, так и в реальных условиях электромагнитного воздействия.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах: 1. Г. Д. Васильков, М.В.Скачков. Генерация высокочастотных электромагнитных полей в опытах по оценке электромагнитного воздействия. Модель "теплой" плазмы. - Москва: Ин. прикя. матем. им.

М.В.Келдыша РАН, 1995, препр. №34, 23с.

2. Г. Д. Васильков, М.В.Скачков. Генерация высокочастотных электро, магнитных полей в опытах по оценке электромагнитного воздействия. Двумерная методика и результата расчетов - Москва:

Ин. прикл. матем. им. М. В. Келдыша РАН, 1995, препр. № 36 , 27с.

3. Г.Д.Васильков, М.В.Скачков. Математическое моделирование эксперимента по оценке» воздействия высокочастотных электромагнитных полей // Матем. моделирование, 1998, т. 8, №10, с. 45-58.

4. Г. Д. Васильков, М. В. Скачков. Численное моделирование в трехмерной линейной постановке высокочастотных электромагнитных полей, .генерируемых в опытах по оценке электромагнитного воздействия. М.; Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша РАН, 1996, препр. « 33 , 28с.

5. М. В. Скачков, С. Г.Чубукова, Параллельная реализация спектрально-разностной методики численного интегрирования трехмерных уравнений Максвелла в цилиндрических координатах. М.: Ин. прикл. матем. им, М.В.Келдыша РАН, 1996, препр. №64, 18с.

6. М. В. Скачков. СпекТрально-разностная методика численного интегрирования трехмерных уравнений Максвелла в цилиндрических координатах и ее реализация на МВС-100 // Тезисы докладов 11-й Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики. " - Пущино, 1996, с. 63-64.

Подписано в печать ¿/ ОЧ. 97' Заказ 323 Тщ>аж $Оэкъ _

Типография МИФИ, Каширское шоссе, 31