автореферат диссертации по электронике, 05.27.01, диссертация на тему:Моделирование процессов в теплофизических микросенсорах

На правах рукописи

КОЗЛОВ Александр Геннадьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ МИКРОСЕНСОРАХ

Специальность 05.27.01 -Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектроника, приборы на квантовых эффектах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

^ С1

¡КЗ 2015

Санкт-Петербург - 2014

005557462

005557462

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского» на кафедре прикладной и медицинской физики.

Официальные оппоненты: Гридчин Виктор Алексеевич, д.т.н., профессор,

профессор кафедры полупроводниковых приборов и микроэлектроники, ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный технический университет».

Петросянц Константин Орестович, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой электроники и нанозлектроники, ФГАОУ ВПО Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».

Сапожников Сергей Захарович, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Теоретические основы теплотехники», ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МИЭТ», Москва, Зеленоград.

Защита состоится 12 марта 2015 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.238.04 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. проф. Попова, Д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГЭТУ «ЛЭТИ» и на сайте www.eltech.ru

Автореферат разослан 11 декабря 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.238.04, д.ф.-м.н., профессор

Мошников В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

С развитием науки и техники появились технические объекты, способные расширить возможности человека в получении информации об окружающем мире. Эти объекты, имеющие общее название "сенсоры", являются первичными устройствами, которые подвергаются воздействию измеряемой величины и при этом формируют эквивалентный выходной сигнал (обычно электрической природы), функционально связанный с измеряемой величиной. На современном этапе развития широкое использование в конструкции и технологии изготовления сенсоров получили достижения микроэлектроники и микросистемной техники, что привело к появлению нового класса приборов - микроэлектронных сенсоров. Микроэлектронные сенсоры имеют ряд существенных преимуществ перед объемными сенсорами, изготавливаемыми по традиционным технологиям. Однако переход к микроэлектронному исполнению сенсоров создает дополнительные трудности, которые сдерживают развитие микроэлектронных сенсоров и препятствуют их широкому использованию. Среди этих трудностей можно выделить две основные группы.

1. Трудности, связанные с исследованием и разработкой микроэлектронных сенсоров. Указанные трудности обусловлены тем, что переход к микроэлектронным конструкциям приводит к значительному уменьшению размеров сенсоров. В этом случае, во-первых, размеры чувствительного элемента сенсора становятся соизмеримыми с размерами других элементов (элементов крепления, элементов защиты, выводов, элементов питания) вследствие чего возрастает влияние данных элементов на характеристики микроэлектронного сенсора. Во-вторых, из-за малых размеров микроэлектронного сенсора, возрастает влияние на его характеристики различных фоновых (паразитных) воздействий и воздействий от питающих сигналов. Поэтому при исследовании и проектировании микроэлектронных сенсоров необходимо учитывать большое число параметров, чтобы установить закономерности функционирования сенсора или спроектировать сенсор с заданными или оптимальными характеристиками. Это требование значительно усложняет процессы исследования и проектирования микроэлектронных сенсоров, возрастают их временные и стоимостные затраты.

2. Трудности, связанные с эксплуатацией микроэлектронных сенсоров. В этом случае из-за сильного влияния фоновых (паразитных) воздействий и воздействий питающих сигналов при изменении условий эксплуатации будут изменяться выходные сигналы микроэлектронного сенсора. Это влияние усложняет процесс эксплуатации микроэлектронных сенсоров, так как необходимо дополнительно использовать способы, позволяющие учитывать и корректировать влияние условий эксплуатации на выходной сигнал микроэлектронного сенсора.

Для преодоления трудностей на этапе проектирования микроэлектронных сенсоров (сокращения временных затрат и стоимости) в настоящее время развиваются и начинают широко использоваться системы автоматизированного проектирования (САПР) микроэлектронных сенсоров. Основу любой САПР конкретного типа микроэлектронного сенсора составляют математические и физические модели различных уровней, которые в определенной

степени учитывают конструктивные особенности сенсора, свойства материалов, из которых изготовлены его элементы, условия эксплуатации сенсора, параметры входного воздействия, измеряемого сенсором, и характеристики устройств последующей обработки выходного сигнала сенсора. Для снижения временных и стоимостных затрат на этапе эксплуатации микроэлектронных сенсоров в настоящее время широко используются системы автоматизации измерений, которые позволяют в автоматическом режиме определить погрешности измерений и режим измерения, исходя из конкретных условий эксплуатации и характеристик объекта измерения. В этом случае также существует потребность в математических моделях микроэлектронных сенсоров, учитывающих как особенности структуры сенсоров, так и особенности их эксплуатации. Поэтому разработка математических моделей, которые позволяли бы проводить исследование, синтез и оптимизацию микроэлектронных сенсоров и автоматически определять режим и погрешности измерения при их эксплуатации является в настоящее время актуальной задачей для всех типов микроэлектронных сенсоров.

Среди микроэлектронных сенсоров большую группу составляют микроэлектронные тепловые сенсоры (теплофизические микросенсоры), интенсивная разработка и исследование которых происходит последние 15 лет. Эти сенсоры характеризуются тем, что при их функционировании важную роль играют тепловые процессы. Обобщенные математические модели теплофизических микросенсоров, используемые для исследования, синтеза и оптимизации их конструкции и определения эксплуатационных параметров, должны в обязательном порядке учитывать тепловые процессы, протекающих в этих сенсорах. Указанное требование приводит к тому, что моделирование теплофизических микросенсоров является чрезвычайно сложным процессом. До настоящего времени не выработано основных подходов к моделированию теплофизических микросенсоров, которые учитывали бы особенности этих микросенсоров и позволяли бы осуществлять процесс моделирования быстро и корректно, с минимальной погрешностью. Разработанные к данному времени математические модели теплофизических микросенсоров (одномерные аналитические модели, численные модели, модели на основе электротепловой аналогии) характеризуются рядом существенных недостатков, что не позволяет использовать их в полной мере при исследования данных сенсоров, при синтезе и оптимизации их конструкции с помощью САПР и при определении эксплуатационных параметров этих сенсоров путем моделирования. Таким образом, разработка математических моделей теплофизических микросенсоров является актуальной задачей и составляет основное содержание представленной диссертационной работы.

Цель работы. Развитие научных основ и разработка методов моделирования процессов в теплофизических микросенсорах для обеспечения их исследования, автоматизированного проектирования и эксплуатации.

Задачи, решаемые в работе для достижения поставленной цели:

1). Изучение общих вопросов функционирования теплофизических микросенсоров, выделение основных групп теплофизических микросенсоров, разработка функциональных моделей теплофизических микросенсоров.

2). Разработка метода моделирования распределения температуры в теплофизических микросенсорах, учитывающего особенности их конструкции.

3). Разработка математических моделей различных уровней и оптимизационных моделей для конкретных типов теплофизических микросенсоров.

4). Анализ и оценка предложенных математических моделей теплофизических микросенсоров по ряду критериев (адекватность, точность).

5). Использование предложенных математических моделей для исследования процессов в конкретных типах теплофизических микросенсоров.

Методы исследований: методы теории цепей с распределенными и сосредоточенными параметрами; методы теории матриц; методы линейной алгебры; методы теории дифференциальных уравнений в частных производных; методы теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (уравнений Матье и Хилла); методы теории рядов; методы вычислительной математики; методы оптимизации; методы теории систем; методы теории распределенных систем; методы теории электромагнитного поля; методы теории тепломассообмена; методы спектрального исследования; методы интегральных преобразований; методы математической физики.

Достоверность и обоснованность.

Достоверность и обоснованность полученных результатов достигается использованием апробированных физических моделей и применением строгих математических методов, использованием при компьютерном моделировании тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение, применением современных методов и вычислительных средств, сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.

Научная новизна.

1. Предложена классификация теплофизических микросенсоров, отличающаяся детальным учетом роли тепловых процессов при их функционировании.

2. Разработана точная аналитическая модель определения одномерного распределения температуры в двухзонных структурах теплофизических микросенсоров на основе решения одномерного уравнения теплопроводности в каждой зоне методом разделения переменных с использованием гиперболических функций, учитывающая параметры всех слоев, из которых сформированы элементы микросенсора.

3. Разработан аналитический метод моделирования стационарного и нестационарного распределения температуры в теплофизических микросенсорах, в котором используется разделение термически изолированной структуры микросенсора на ряд зон и учет параметров всех пленочных слоев микросенсора. Метод позволяет определять распределение температуры для всех типов термически и золированных структур (консоли, мосты, мембраны, подвешенные платы), для структур, закрепленных с помощью косоугольных консольных мостов, для структур имеющих теплогенернрующие границы, границы с конвективным теплообменом и границы с разными условиями теплообмена на линии.

4. Разработана модель для определения распределения температуры в структуре пленочного терморезистивного сенсора, учитывающая конвективный теплообмен с поверхности сенсора, разогрев сенсора измерительным током и изменение его сопротивления от температуры.

5. Разработаны модели для определения стационарного и нестационарного распределения температуры в тепловых микроэлектронных приемниках излучения консольного, мостового и мембранного типов, позволяющие учитывать неоднородность оптического излучения и определять комплексные частотные характеристики приемников излучения и их отклик на различного рода воздействия: ступенчатое, гармоническое, импульсное.

6. Разработана модель для определения распределения температуры в структуре теплового микроакселерометра с инерционной массой, в которой учитывается изменение сопротивления нагревателя от температуры и которая позволяет определять влияние смещения элемента с инерционной массой на распределение температуры и выходной сигнал микроакселерометра.

7. Разработана модель оптимизации конструкции микроэлектронных тепловых приемников излучения, позволяющая определять значения длин зон занятых поглощающим слоем и пленочным термопреобразователем, при которых обеспечивается максимальное значение удельной вольт-ваттной чувствительности при заданной тепловой постоянной времени приемника излучения.

8. Разработан метод определения распределения высокочастотного тока в тонкопленочных электротепловых преобразователях, учитывающий шунтирующее действие батареи термопар и периодичность изменения погонного сопротивления батареи термопар, погонной емкости и погонной взаимной индуктивности между нагревателем и батареей термопар.

9. Разработана модель для определения распределения температуры в теплофизических микросенсорах, работающих при высоких температурах, позволяющая определять распределение температуры с учетом температурных зависимостей параметров материалов всех слоев, из которых сформированы элементы микросенсора, и условий охлаждения в каждой зоне микросенсора.

10. Разработан метод оптимизации конструкции и режима питания термокаталитических газовых сенсоров, позволяющий определять характерный размер элементов сенсора и напряжение питания мостовой схемы его включения, при которых обеспечивается максимальное отношение чувствительности сенсора к напряжению питания мостовой схемы при заданном значении рабочей температуры элементов сенсора.

Практическая значимость.

1. Разработанные модели теплофизических микросенсоров позволяют проводить параметрический синтез и оптимизацию различных типов данных сенсоров: микроэлектронных термо-резистивных сенсоров, микроэлектронных тепловых приемников излучения, микроэлектронных электротепловых преобразователей, тепловых микроакселерометров, микроэлектронных газовых сенсоров на основе оксидных полупроводниковых материалов и твердых электролитов, микроэлектронных термокаталитических газовых сенсоров.

2. Разработанные модели теплофизичесюк микросенсоров позволяют повысить эффективность применения и эксплуатации данных сенсоров путем более точной оценки и определения метрологических характеристик, учета влияния на метрологические характеристики конкретных условий эксплуатации.

3. Разработанный метод моделирования распределения температуры в двумерных структурах теплофизических микросенсоров может быть использован для определения и исследования теплофизических свойств пленочных слоев различных материалов: коэффициента теплопроводности; удельной теплоемкости; температурного коэффициента сопротивления; коэффициента термоэдс.

4. Разработанные математические модели теплофизических микросенсоров служат основой для создания систем автоматизированного проектирования и эксплуатации этих микросенсоров, что позволит существенно снизить материальные и временные затраты при их проектировании и эксплуатации. В работе данное практическое применение показано на примере САПР агломеративного термокаталитического газового сенсора.

5 Разработанные математические модели использованы при проектировании и оптимизации ряда тепловых микросистем (терморезистивных сенсоров, электротепловых преобразователей, термоэлектрических приемников излучения, термокаталитических агломеративных газовых сенсоров), при определении эксплуатационных параметров терморезистивных сенсоров, газовых сенсоров на основе полупроводниковых оксидных материалов и твердых электролитах, термокаталитических агломеративных газовых сенсоров.

а

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Стационарное и нестационарное распределение температуры в теплофизических микросенсорах эффективно определяется путем разделения двухмерной термически изолированной структуры микросенсора на ряд зон в зависимости от состава слоев и условий тепловыделения, замены каждой зоны эквивалентной зоной с однородными параметрами, нахождения условий теплообмена каждой зоны с окружающей средой и соседними зонами и определен™ распределения температуры в каждой зоне методом разделения переменных, при этом плотности тепловых потоков ме;кду соседними зонами представляются как суммы соответствующих ортогональных функций с неизвестными весовыми коэффициентами, значения которых находятся из граничных условий сопряжения между всеми соседними зонами.

2. Определение стационарного распределения температуры в структуре терморезистивного тонкопленочного сенсора типа «меандр» осуществляется путем использования конструктивных особенностей сенсора (трансляционная симметрия единичной области, состоящей из полоски меандра и примыкающей к ней свободных участков подложки; значительное различие в толщине подложки и резистивного слоя сенсора), введением теплогенерирующей границы между окружающей средой и подложкой на участке подложки, занятом резистивным слоем, и нахождением распределения температуры в единичной области с учетом изменения сопротивления резистивного слоя от температуры.

3. Стационарное распределение температуры в тепловом микроакселерометре с инерционной массой может быть определено путем выделения в его структуре активной области, которая

содержит термически изолированную структуру и два воздушных промежутка над и под структурой, где происходит основное изменение температуры от максимального значения до температуры окружающей среды, введением теплогенерирующей границы между воздушной средой и термически изолированной структурой на участке,'занятом нагревателем, и нахождением распределения температуры в активной области с учетом изменения сопротивления нагревателя от его температуры.

4. Стационарное распределение температуры в теплофизических микросенсорах с термически изолированными структурами, работающими при высоких температурах, определяется с использованием итерационного процесса, на каждом шаге которого значения параметров материалов пленочных слоев и условий охлаждения в каждой зоне термически изолированной структуры находятся в зависимости от текущей средневзвешенной температуры в зоне.

5. Оптимизация конструкции тепловых приемников излучения с термическими изолированными структурами консольного и мостового типов реализуется методом множителей Ла-гранжа с использованием двухзонной модели для определения распределения температуры в структуре приемника и с учетом параметров всех слоев, из которых сформированы элементы приемника излучения, при этом в качестве целевой функции при оптимизации используется удельная вольт-ваттная чувствительность; в качестве ограничения - уравнение для тепловой постоянной времени; в качестве независимых переменных - длина зоны, занятой поглощающим слоем, и длина зоны, занятой термоэлектрическим преобразователем.

6. Распределение высокочастотного тока в структуре пленочного микроэлектронного электротеплового преобразователя, обусловленное шунтирующим действием батареи термопар, определяется периодичностью изменения погонного сопротивления батареи термопар, погонной емкости и погонной взаимной индуктивности между нагревателем и батареей термопар.

7. Оптимизации конструкции и режима питания термокаталитических газовых сенсоров реализуется на основе алгоритма, использующего уравнения теплового баланса элементов сенсора, включающие температурные зависимости характеристик этих элементов и характеристики мостовой схемы включения сенсора, при этом в качестве целевой функции при оптимизации используется отношение чувствительности сенсора к напряжению питания мостовой схемы его включения; в качестве ограничения - уравнение теплового баланса для элемента сенсора в газовой среде без горючего газа; в качестве независимых переменных - диаметр элемента сенсора и напряжение питания мостовой схемы его включения.

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы были использованы: 1) при выполнении следующих научно-исследовательских работ и проектов:

— НИР "Исследование возможности создания и внедрения квадратирующего электротеплового преобразователя", государственный регистрационный № 80026634, заказчик - Электро-точприбор, г. Омск.

- НИР "Создание высокоэффективных сенсорных элементов, чувствительных к составу газовой среды", договор №17-94 от 30.12.93 г., заказчик СНПВП "Экотоп", г. Омск.

— НИР "Повышение уровня контроля производственных процессов, показателей качества и надежности ТЧЭ газовых сенсоров на базе твердого электролита (для разовых заказов)", договор №3-96/ЭКТ/07-96 от 12.01.96 г., заказчик СНПВП "Экотоп", г. Омск.

— Научно-исследовательский проект "Создание высокоэффективных сенсорных элементов, чувствительных к температуре и составу газовой среды" в рамках Региональной научно-технической программы "Сибирь", утвержденной Министерством науки и технической политики Российской Федерации, Президиумом Сибирского отделения Российской академии наук, Межрегиональной ассоциацией "Сибирское соглашение", 1994—1995 гг.

— Комплексный проект "Исследование физических процессов и разработка физико-химических основ создания материалов и приборных структур для интеллектуальной сенсорной и силовой микроэлектроники", выполняемый в рамках основного научного направления Института сенсорной микроэлектроники СО РАН "Физико-химические основы микросенсорики: материалы и элементная база интеллектуальных интегрированных сенсоров для систем управления, робототехники, контроля жидких и газообразных сред и экологического мониторинга", 1996-2003 гг.

— Проект № И0267/1291 "Интегрированные сенсорные системы для экологического мониторинга" в рамках федеральной целевой программы "Интеграция науки и высшего образования России на 2002-2006 годы", 2002-2004 гг.

— Проект № 9.3.5 "Разработка и исследование физико-химических основ создания нанострук-турированных материалов и приборных структур для интегрированных микросенсоров. Исследование физических процессов в сенсорных гетероструктурах" в рамках программы СО РАН № 9.3 "Твердотельные устройства и приборы для микро- и наноэлектроники, медицины и экологии", 2004-2006 гг.

-НИР "Новые наноструктурированные материалы и принципы функционирования диагностических устройств на их основе", 2010-2011 гг., государственный регистрационный № 01200954095.

-НИР "Разработка научных основ послойного синтеза (метод ЗО-прототшшрования) и исследование фундаментальных физико-механических свойств оксидных наноматериалов конструкционного назначения с иерархической внутренней структурой и фазовыми превращениями", 2012—2013 гг., государственный регистрационный № 01201276197.

2) прн разработке и оптимизации конструкции нескольких типов газовых сенсоров, тепловых приемников излучения и терморезистивных преобразователей, выпускаемых рядом организаций (ЗАО ПО "Электроточприбор", г. Омск; ООО "Экотоп", г. Омск; ООО "Научно-производственный центр Термаль" г. Омск; ОАО НПП "Эталон", г. Омск).

3) в учебном процессе Омского государственного университета и Омского государственного технического университета.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах: II Международная научно-технические конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", АПЭП-94 (Новосибирск, 1994); 10 Байкальская международная школа-семинар "Методы ой-

тимизации и их приложения" (Иркутск, 1995); Вторая международная конференция "Датчики электрических и неэлектрических величин (Датчик-95)" (Барнаул, 1995); Международные конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 1997, 2003,

2012); II-VI Международные научно-технические конференции "Динамика систем, механизмов и машин" (Омск, 1997, 1999, 2002, 2004, 2007); International IEEE-Russia conference "High power microwave electronics: measurements, identification, applications (MIA-ME'99)" (Russia, Novosibirsk, 1999); Технологический конгресс "Современные технологии при создании продукции военного и гражданского назначения" (Омск, 2001); Third IEEE-Russia international conference "Microwave electronics: Measurements, Identification, Applications", MEMIA'2001 (Novosibirsk, 2001); Российское совещание по актуальным проблемам полупроводниковой фотоэлектроники "Фотоника-2008" (Новосибирск, 2008); 6, 8, 10 и 12 Семинары-совещания ОАО НПП "Эталон" "Эталонные и рабочие средства измерения в области теплофизики" (Омск, 2008, 2010, 2012, 2014); IEEE Region 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering "SIBIRCON-2010" (Irkutsk/Listvyanka, Russia, 2010); 36th International Conference on Micro & Nano Engineering "MNE 2010"(Genda, Italy, 2010); IV-VI Всероссийские научно-технические конференции "Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем": "МЭС-2010", "МЭС-2012", "МЭС-2014" (Москва, 2010, 2012, 2014); Международная научно-техническая конференция "Радиотехника, электроника и связь РЭнС-2011 (Омск, 2011); 13th - 15th International Conferences on Thermal, Mechanical and Multi-Physics Simulation and Experiments in Microelectronics and Micro-Systems: "EuroSimE 2012" (Cascais, Portugal, 2012), "EuroSimE 2013" (Wroclaw, Poland,

2013), "EuroSimE 2014" (Ghent, Belgium, 2014); 29th International Conference on Microelectronics "MIEL 2014" (Belgrade, Serbia, 2014).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 научных работ (из них 28 в изданиях из списка ВАК) и 2 учебно-методических работы, получено 2 авторских свидетельства на изобретения, 1 патент и 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Всего - 75 публикаций.

Личный вклад автора. Личный вклад автора включает формулировку цели и задач исследований, разработку всех математических методов и моделей теплофизических микросенсоров, методик и алгоритмов расчетов, проведение аналитических исследований с помощью разработанных моделей. Автору принадлежит получение, анализ и обобщение материалов, на базе которых обоснованы научные положения и выводы диссертации. Указанный личный вклад подтверждается тем, что из 75 публикаций по теме диссертации 53 публикации опубликована без соавторов. Работы с соавторами (22 работы) относятся к практическому приложению разработанных моделей. В данных работах автору принадлежит инициатива в постановке и решении задач. При этом моделирование и проведете аналитических и экспериментальных исследований тепловых процессов в объектах выполнялись лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи разделов, заключения, списка использованной литературы и 9 приложений. Работа изложена на

384 страницах машинописного текста, содержит 107 рисунков, 13 таблиц и 44 страницы приложений. Список литературы включает 407 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы и задачи исследований, показаны ее научная новизна и практическая значимость, представлены научные положения, выносимые на защиту, рассмотрена общая структура диссертации.

В первом разделе проведен анализ теплофизических микросенсоров. Дано определение и предложена общая классификация теплофизических микросенсоров, в основу которой положена роль тепловых процессов при функционировании данных микросенсоров. К тепловым микросенсорам отнесены все микросенсоры, в которых при преобразовании измеряемой величины в выходной сигнал тепловые процессы выполняют определяющую или существенную роль. Анализ роли тепловых процессов в теплофизических микросенсорах позволил выделить следующие критерии для их классификации:

1) параметры тепловых процессов являются измеряемыми величинами;

2) тепловые процессы являются промежуточными при преобразовании измеряемой величины в выходной сигнал микросенсора;

3) параметры тепловых процессов (тепловые потоки) управляются измеряемой величиной;

4) тепловые процессы активируют или регулируют процесс преобразования в сенсоре.

Используя данные критерии, все теплофизические микросенсоры разделены на следующие группы:

1) теплофизические микросенсоры прямого преобразования;

2) теплофизические микросенсоры с промежуточным тепловым преобразованием;

3) теплофизические микросенсоры с управляемыми тепловыми потоками;

4) теплофизические микросенсоры с температурной активацией и управлением;

5) комбинированные теплофизические микросенсоры.

Для каждой группы разработаны функциональные структуры теплофизических микросенсоров на основе распределенных блоков. Данные функциональные структуры позволили выделить общую для всех групп теплофизических микросенсоров структурную подсистему и установить классы задач, решаемых при моделировании. Рассмотрены конструктивные особенности теплофизических микросенсоров, которые учитываются при моделировании процессов в этих микросенсорах. Исходя из функциональных схем теплофизических микросенсоров и их конструктивных особенностей определены цели и задачи моделирования процессов в теплофизических микросенсорах.

Во втором разделе представлены математический метод и модели для определения распределения температуры в теплофизических микросенсорах. Рассмотрены существующие модели для определения распределения температуры в теплофизических микросенсорах и показаны их особенности и недостатки. Проведен анализ тепловых процессов в структуре теплового микросенсора. Распределение тепловых потоков и значение температур элементов

в типичной конструкции теплового микросенсора показаны на рис. 1. Рассмотрены особенности моделирования температуры в теплофизических микросенсорах.

Разработана точная аналитическая модель для определения одномерного распределения температуры в двухзонных структурах теплофизических микросенсоров. В модели учитывается теплообмен с поверхности термически изолированной структуры за счет конвекции и излучения. Учет параметров слоев в каждой зоне осуществляется путем перехода к эквивалентной структуре зоны с однородными параметрами. В основу модели положено решение одномерного уравнения теплопроводности в каждой зоне методом разделения переменных с использованием гиперболических функций. Модель является основой для проверки двумерных моделей и для создания оптимизационных моделей теплофизических микросенсоров.

Разработан аналитический метод для определения стационарного и нестационарного распределения температуры в двумерных термически изолированных структурах теплофизических микросенсоров. Этот метод использует следующий алгоритм (на примере теплового микросенсора с прямоугольными границами и со стационарным тепловым воздействием).

Шаг 1. Двумерная термически изолированная структура теплового микросенсора разделяется на прямоугольные зоны в зависимости от состава слоев и условий тепловыделения. Каждая зона, состоящая из нескольких слоев, заменяется эквивалентной зоной с однородными параметрами (эквивалентной толщиной и эквивалентной теплопроводностью

м

где —коэффициент, равный отношению общей площади слоя / в зоне у к площади зоны; ¿V' — толщина слоя / в зоне у; Л}" — удельная теплопроводность материала слоя / в зоне у.

Шаг 2. Для каждой зоны определяются условия теплообмена с окружающей средой. Данный теплообмен осуществляется: а) посредством теплопередачи через газовую среду и радиационного теплообмена через нижнюю и верхнюю поверхности зоны: б) посредством теплопроводности через края зоны с соседними зонами и подложкой. Для учета первого механизма обшую удельную мощность теплопередачи от зоны у в окружающую среду через нижнюю и верхнюю поверхности, ТУ,', можно представить в следующей форме:

микросенсора. изолированной структурой и Тт=Тя Тж=Та основанием микросснсора

Рис. 1. Распределение тепловых потоков и значение температур элементов в типичной конструкции теплового микросенсора: (2Т > бк > 2Р ~ теп~ ловые потоки, обусловленные, соответственно, теплопроводностью, конвективным и радиационным теплообменом; верхние индексы "а", "Ь"5 "тис" относятся, соответственно, к тепловым потокам от термически изолированной структуры (вверх и вниз) и через нее; Г0, Тв, Ттс, Тос, ТК0р -соответственно, температуры окружающей среды, воздуха, термически изолированной структуры, основания микросенсора и основания корпуса.

АЛ

(2)

где = Лс + Я„ /</,°' + 4<т(г,°>+ >)ге'; Л,

плообмена в зоне}\ Г. — температура зоны- температура окружающей среды; /гс - ко-зффпщ1ент конвекции для данной структуры микросенсора; Ла - удельная теплопроводность окружающей воздушной среды; — расстояние между нижней поверхностью зоны у и

ты излучения нижней и верхней поверхностей зоныj, соответственно.

Определение условий теплопередачи через края зоны эквивалентно заданию граничных условий на этих краях. Любая прямоугольная зона, выделенная в структуре теплового микросенсора, характеризуется 4 граничными условиями в соответствие с количеством краев. В зависимости от рода граничных условий на этих краях все зоны разделены на следующие типы:

1) 3011ы А-типа - эти зоны имеют граничные условия 2 рода на всех границах;

2) зоны В-типа - эти зоны имеют три граничных условия 2 рода и одно граничное условие 1 рода;

3) зоны С-типа - эти зоны имеют два граничных условия 2 рода и два граничных условия 1 рода;

4) зоны и-типа — эти зоны имеют одно граничное условие 2 рода и три граничных условия 1 рода.

Шаг 3. Для каждой зоны определяется стационарное уравнение теплопроводности, которое решается методом разделения переменных. Учитывая, что условия теплообмена в зонах (за исключением теплообмена по краям зон) имеют одинаковый вид, стационарные уравнения теплопроводности для зон будут иметь также одинаковый вид. Эти уравнения могут быть представлены в следующей обшей форме:

ловыделения в зоне / Решение уравнения (4) проведено методом разделения переменных. Форма решения уравнения теплопроводности для каждой зоны зависит от граничных условий на ее краях и определяется видом собственных функций. При этом значения плотностей тепловых потоков представляются как суммы соответствующих ортогональных функций с неизвестными весовыми коэффициентами. Для зоны А-типа при линейном законе тепловыделения (<р {х ,у ) = <Рд] + + <р^у\) решение имеет следующий вид:

дном протравленной полости; <т — постоянная Стефана-Больцмана; 1, ' — коэффициен-

; д п — удельная мощность теп-

,0)

(4)

7- ^

М

■

2 <р[Л

' I Ь

1]в]ке к-1

2 р) 2 р) г(-'Г-1 ■

т^тп/Ъ^ + р)]

ы*

к тс.

_ яУ->) + ¿О'-") + ¿0".»)

/ и

гЕ

'/л»;

(клх,

И —- +

I ,

тлуу

В уравнении (5) неизвестными величинами являются весовые коэффициенты 5'гп'

¿и*) и

Шаг 4. Определяются значения весовых коэффициентов, для нахождения которых используются уравнения равенства температур на границах между зонами. Чтобы получить полную систему для всех весовых коэффициентов необходимо, во-первых, записать условия равенства температур для каждой границы между зонами и перейти к конечным значениям индексов суммирования, во-вторых, получить системы линейных уравнений для каждой границы между зонами и, в-третьих, объединить системы линейных уравнений для всех границ в одну обобщенную систему линейных уравнений. Удобно записать эту обобщенную систему уравнений в матричном представлении

МА = Ф, (6)

где Л/ - матрица коэффициентов при неизвестных весовых коэффициентах; А - вектор неизвестных весовых коэффициентов; Ф— вектор правых частей. Матрица М может быть представлена в виде блочной матрицы с подматрицами, которые характеризуют каждое множество коэффициентов при весовых коэффициентах на каждой границе между зонами. Аналогичным образом можно представить вектора А и Ф. Весовые коэффициенты, найденные в результате решения обобщенной системы линейных уравнений, позволяют окончательно определить распределение температуры в зонах рассматриваемой структуры.

Разработан ряд модификаций предложенного метода, которые расширяют его возможности:

а) использование замены граничных условий — позволяет применять метод для структур, имеющих граничные условия 3 рода, граничные условия различного рода на сопряженных границах двух соседних зон и теплогенерирующие границы;

б) определение распределения температуры в структурах, подвешенных к кремнию на косоугольных мостах в виде параллелограммов;

в) использование усеченных структур — позволяет сокращать объем вычислений;

г) определение распределения температуры в микросенсорах с высокой рабочей температурой;

д) определение нестационарного распределения температуры.

Для решения нестационарных задач используется интегральное преобразование Фурье по времени для уравнения теплопроводности в каждой зоне теплового микросенсора. В этом случае задача нахождения неизвестных весовых коэффициентов решается в частотной области и значения этих коэффициентов являются частотно-зависимыми.

Представлен анализ и оценка погрешности предложенного метода моделирования распределения температуры в микросенсорах. Основными погрешностями метода являются: 1) погрешности физико-математической модели: а) погрешность, обусловленная заменой реальных структур зон эквивалентными структурами с однородными параметрами; б) погрешность, обусловленная применением условий сопряжения для зон с разной толщиной; 2) погрешности расчета: а) погрешность, связанная с использованием при численных расчетах конечных значений для индексов суммирования к и пг\ 0) погрешность, связанная с решением обобщенной системы линейных уравнений вследствие плохой обусловленности матрицы М. Экспериментальная проверка показала, что суммарная относительная погрешность предложенного метода моделирования распределения температуры не превышает 7,6 %.

В третьем разделе представлена модель для определения распределения температуры в структу ре терморезистивного тонкопленочного сенсора, служащего для измерения поверхностной температуры. Модель использует особенности конструкции сенсора (трансляционную симметрию и небольшую толщину резистивного слоя) и основывается на выделении из его структуры единичной подобласти (рис. 2). Эквивалентная структура единичной подобласти имеет прямоугольную форму и состоит из двух слоев (подложка и соединительный слой). Верхняя граница эквивалентной структуры является границей с разнородными граничными условиями. Она имеет участок, на котором происходит выделение тепла. Поэтому эквивалентную структуру единичной подобласти разделена на четыре зоны: две зоны в слое подложки и две зоны в соединительном слое. Зоны 1 и 2 имеют границы (верхняя граница каждой зоны) на которых имеют место граничные условия 3 рода. В этом случае задача решается путем замены граничных условий и использования на указанных границах граничных условий второго рода.

Представленная модель была использована для вычисления распределения температуры перегрева в тонкопленочном терморезистивном преобразователе на основе платины (рис. 3). С помощью данной модели проведено исследование влияния ряда конструктивных и эксплуатационных параметров (измерительный ток, толщина и коэффициент теплопроводности материала подложки, коэффициент конвективного теплообмена, поверхностная температура исследуемого объекта, ширина полоски меандра и расстояние между полосками меандра (рис. 4)) на температуры перегрева в центре полоски меандра. Значение температуры перегрева в этой точке может быть использовано в качестве характериспиеской температуры, характеризующей абсолютную погрешность сенсора из-за саморазогрева. Из анализа зависимостей температуры перегрева в центре полоски меандра от конструктивных параметров сделан ряд выводов по конструированию тонкопленочных терморезистивных сенсоров. Температура перегрева более чувствительна к изменению ширины полоски меандра, чем к изменению расстояния между полосками, особенно при малых значениях этих параметров. Для

Рис. 2. Структура тонкопленочного терморезистивного сенсора и его единичные область и подобласть: (а) вид сверху; (б) фронтальный вид; (в) фронтальный вид единичной области; (г) фронтальный вид единичной подобласти; (д) эквивалентная структура единичной подобласти; (1) резистивный слой; (2) подложка; (3) соединительный слой; (4) исследуемый объект, (5) теплогенерирующая граница; (а) расстояние между полосками меандра; (6) ширина полоски меандра; (<4) толщина подложки; толщина соединительного

слоя.

уменьшения абсолютной погрешности сенсора из-за саморазогрева и, следовательно, его температуры перегрева целесообразнее увеличивать ширину полоски меандра, чем расстояние между этими полосками.

В четвертом разделе представлены модели для моделирования процессов в теплофи-зических микросенсорах с промежуточным тепловым преобразованием, модель оптимизации конструкции теплового приемника излучения с консольной термически изолированной структурой и метод определения распределения высокочастотного тока в структуре электротеплового преобразователя.

Разработаны математические модели для определения распределения температуры в микроэлектронных тепловых приемниках излучения с термически изолированными структурами в виде консоли, моста и закрытой мембраны при неоднородном пространственном распределении падающего излучения. Используя данные модели, в основу которых положен предложенный метод моделирования температуры в двухмерных структурах, получены аналитические выражения для определения распределения температуры в зонах тепловых приемников излучения при линейном распределении падающего потока излучения (д = д0 + дхх + ).

4 6 х (мкм)

Рис. 3. Распределение температуры перегрева вдоль верхней границы эквивалентной структуры единичной подобласти.

12 16 а (мкм)

12 16

Ь (мкм)

Рис. 4. Зависимость температуры перегрева в центре меандра от расстояния между полосками меандра а и от ширины полоски меандра Ь.

Разработаны одно- и двухмерные модели для определения нестационарного распределения температуры и исследования нестационарных процессов в микроэлектронных тепловых приемниках излучения. На основе одномерной модели нестационарного распределения температуры для тепловых приемников излучения с термически изолированной структурой консольного и мостового типов получены аналитические выражения для комплексных частотных характеристик тепловых подсистем этих приемников излучения. Используя двумерную модель нестационарного распределения температуры, получены аналитические модели для определения комплексных частотных характеристик тепловых приемников излучения со всеми типами термически изолированных структур (консоль, мост, мембрана). Определенные из данных моделей модули и аргументы комплексных частотных характеристик указанных приемников излучения представлены на рис. 5.

Разработана модель оптимизации микроэлектронного термоэлектрического приемника излучения с термически изолированной структурой консольного типа. Оптимизационная модель может быть использована для двух конструкций приемника излучения: структура, в которой горячие спаи термоэлектрического преобразователя расположены на конце консольной термически изолированной структуры под поглощающим слоем (конструктивный вариант 1); консольная структура, в которой горячие спаи термопар расположены у границы зоны с поглощающим слоем (конструктивный вариант 2) (рис. 6). В качестве целевой функции в данных моделях использована удельная интегральная вольт-ваттная чувствительность. В качестве ограничения использовано выражение для тепловой постоянной времени микроэлектронного термоэлектрического приемника излучения. Независимыми параметрами являлись длина зоны расположения поглощающего покрытия и расстояние от границы зоны расположения поглощающего покрытия до места крепления консольной термически изолированной структуры.

Рис. 5. Зависимости модуля (а) и аргумента (б) комплексной частотной характеристики микроэлектронкых приемников излучения консольного (1), мостового (2) и мембранного (3) типов.

Для нахождения зависимости целевой функции от независимых параметров использована одномерная модель для определения распределения температуры в структуре из двух разнородных зон: зоны расположения поглощающего слоя и зоны расположения термоэлектрического преобразователя. С помощью одномерной модели получены следующие выражения для удельной интегральной вольт-ваттной чувствительности микроэлектронных термоэлектрических приемников излучения:

1) конструктивный вариант 1

£ =д,лг(аг,-а-2) [,__¿"Х'р"_1. (7)

2) конструктивный вариант 2 5 а,И{а, -агуХр\юЬ{р"1г)

А'[с1"АУ сой (р'1,) + й'Хр' 1апЬ {р"12)]

где р' = у/А'1{с1'Х); р" = ^ А"/\с1"Я"); а, - коэффициент поглощения; N - количество термопар термоэлектрического преобразователя; - коэффициенты термоэдс материалов положительной и отрицательной ветвей термопар термоэлектрического преобразователя, соответственно; А', А" - суммарные коэффициенты теплоотдачи поверхности в зонах 1 и 2, соответственно; </, (¡" - эквивалентная толщина зон 1 и 2, соответственно; Я', Я"- эквивалентные коэффициенты теплопроводности в зонах 1 и 2, соответственно; /,, 12 - длины зон 1 и 2, соответственно.

Выражение для тепловой постоянной времени микроэлектронного термоэлектрического приемника излучения получено путем замены одномерной структуры с двумя различны-мизонами эквивалентной однородной структурой и решением нестационарного уравнения теплопроводности для этой структуры.

Оптимизационная задача для термоэлектрического приемника излучения сформулирована следующим образом. Необходимо получить максимальное значение удельной вольт-ваттной чувствительности 5ипри данном значении тепловой постоянной времени т. В этом случае оптимизационная задача представляет собой оптимизационную задачу с нелинейной целевой функцией и с нелинейными ограничениями. Она была решена методом множителей Лагранжа с использованием численных методов. Решение позволило определить значения независимых переменных /, и /2, при которых удельная вольт-ваттная чувствительность имеет максимальную величину. Разработанная оптимизационная модель использована для исследования зависимости оптимального значения целевой функции (удельной вольт-ваттной чувствительности) и соответствующих этому значению значений независимых переменных от параметров теплового приемника излучения: тепловой постоянной времени (рис. 7), толщины и коэффициента теплопроводности материала термически изолированной структуры, коэффициента конвективного теплообмена.

Разработан аналитический метод для определения распределения высокочастотного тока в пленочных электротепловых преобразователях двух конструктивных вариантах: 1) электротепловой преобразователь, в котором горячие спаи термопар расположены около нагревателя: 2) электротепловой преобразователь, в котором горячие спаи термопар расположены над или под нагревателем (рис. 8). Распределение высокочастотного тока в структуре пленочного электротеплового преобразователя определяется его особенностями работы на высоких частотах, одной из которых является шунтирующее действия батареи термопар, обусловленное наличием емкостной и индуктивной связи между нагревателем и батареей термопар по всей длине их соприкосновения.

с

Рис. 6. Микроэлектронный тепловой приемник излучения консольного типа (конструктивный вариант 2): (1) основание, (2) термически изолированная структура, (3) поглощающий слой, (4) термоэлектрический преобразователь, (5) контактные площадки, (6) горячие спаи термопар, (7) холодные спаи термопар.

Рис. 7. Зависимость оптимальных значений , /, и от тепловой постоянной времени для теплового приемника излучения (конструктивный вариант 2).

Для нахождения распределения высокочастотного тока в структуре электротеплового преобразователя она рассматривается как структура с распределенными параметрами. Эквивалентная электрическая схема участка структуры длиной Лс приведена на рис. 9. На этой схеме использованы следующие обозначения: /, - комплексная амплитуда высокочастотного тока в нагревателе; /2 — комплексная амплитуда высокочастотного тока в батарее термопар; (У — комплексная амплитуда напряжения между нагревателем и батареей термопар; г, - погонное сопротивление нагревателя; г2 - погонное сопротивление батареи термопар; с,2 — погонная емкость между нагревателем и батареей термопар; тп — погонная взаимная индуктивность между нагревателем и батареей термопар; у'охг,,/, - комплексная амплитуда погонной наведенной эдс в батарее термопар током нагревателя; ](отп1г— комплексная амплитуда погонной наведенной эдс в нагревателе высокочастотным током батареи термопар. Погонные параметры гг, с12, т12 являются переменными параметрами, то есть их значения изменяются по длине структуры. Причиной такого изменения этих параметров является конструкция пленочной батареи термопар.

Используя эквивалентную электрическую схему участка пленочного электротеплового преобразователя (рис. 9), получена система уравнений для комплексных амплитуд высокочастотного напряжения и токов на участке Ах с учетом периодичности погонных параметров г2, с,,, тп :

Рис. 8. Структура электротеплового преобразователя: 1 - нагреватель; 2 - граница изолирующего слоя; 3 - горячие спаи термопар; 4 - холодные спаи термопар; 5 - контактные площадки нагревателя; 6 - контактные площадки термоэлектрического преобразователя.

О

усст[211Ах

-О-

Рис. 9. Эквивалентная электрическая схема участка структуры термоэлектрического преобразователя типа "гребенка" длиной Ах .

сЮ с!х

сИ1 ах

1 + Агсоз'!| ~

\12—

и-,

2| ЛХ 2а

А +]ОЛПфт-\ ~у2 ;

2 а

(9) (Ю)

di2 . dx

1-АссоГ| £

U, (11)

где r0 = /7,/i,; kr = lija; /7, - удельное поверхностное сопротивление пленок положительной и отрицательной ветвей термопар; с0 = с{5" ; = (с,""' - с™" )/с,Т" ; с^, с™" - минимальное и максимальное значения Ci2; т0 = т{5™; т^ - максимальное значение /и12 .

Из данной системы уравнений путем преобразований получено уравнение для комплексной амплитуды тока /2, которое является неоднородным дифференциальным уравнение второго порядка (уравнение Хилла):

d2i7 , к . (тЛ I лх ■—kc — sin — eos —

dx

-jwc 0

а l 2а J

l-A,,cos2 —

= -jox о

2 а

1-Wlf

2 а

Л + П

2( ЛХ

1+ raucos | —

dl2 dx

1 + £,cos"

2[ ЖС 2а

- 2] ft«J0siri2í ~ j ]■!о

(12)

'Í + je*n0sin2\ ~

/п

Решение уравнения (12) позволяет получить выражение для комплексной амплитуды высокочастотного тока /,. Выражение для комплексной амплитуды высокочастотного тока определяется из следующего уравнения: /,+/,=/„, где /0 — комплексная амплитуда суммарного высокочастотного тока в структуре электротеплового преобразователя.

Представленный метод использован для определения распределения высокочастотного тока в реальной структуре электротеплового преобразователя (рис. 10). На основе представленной математической модели проведено исследование зависимостей высокочастотных токов /,, 7, от следующих параметров электротеплового преобразователя: расстояния между горячими и холодными спаями термопар, погонного сопротивления нагревателя, частоты входного сигнала.

В пятом разделе представлена математическая модель для определения распределения температуры в тепловом акселерометре с инерционной массой, который относится к группе теплофизических микросенсоров с управляемыми тепловыми потоками. Распределение тепловых потоков и значение температур элементов в тепловом микроакселерометре с инерционной массой показаны на рис. 11. Выделена активная область в его структуре, в которой темпера:ура изменяется от максимального значения до температуры окружающей среды. Модель для определения распределения температуры в активной области теплового микроакселерометра разработана на основе предложенного метода моделирования температуры в двумерных структурах. Используя условие симметрии активной области, распределение температуры в ней достаточно определить только в одной ее половине (правой). Эта половина активной области заменена эквивалентной структурой. Эквивалентная структура разделена на 6 зон. Четыре зоны соответствуют воздушным промежуткам активной области. Две зоны соответствуют участкам термически изолированной структуры. Одна из этих зон (место

'I

1.0 А', ММ

(а)

\

Л I л

расположения нагревателя в ак- Ие/„мА тивной области) является теплоге- 6000 нерирующей с тепловой мощностью, равной тепловой мощности, генерируемой резистивным слоем нагревателя.

С помощью предложенной модели рассчитано распределение температуры перегрева в активной области теплового микроакселерометра и исследовано влияния смещения элемента с инерционной массой и толщины подложки на температуру в месте расположения горячих спаев термопар (рис. 12). Представленные данные показывают, что температура в месте расположения горячих спаев термопар нелинейно зависит от расстояния между подвижным элементом и термически изолированной структурой.

В шестом разделе представлены математическая модель для определения распределения температуры в теплофизических микросенсорах, работающих при высоких температурах, и метод оптимизации конструкции и режима питания термокаталитических газовых сенсоров.

Для нахождения распределения температуры в теплофизических микросенсорах, работающих при высоких температурах, использован метод, предложенный в разделе 2. Для учета температурных зависимостей параметров материалов и окружающей среды предложено использовать итерационную процедуру, которая включает в себя следующие шаги:

1. Для каждой зоны микросенсора определяется распределение температуры, при этом значения температурно-зависимых параметров принимаются равными значениям при температуре окружающей среды, а суммарный коэффициент поверхностного теплообмена определяется также при температуре окружающей среды.

2. Определяется средневзвешенная температура в каждой зоне микросенсора.

3. Определяется средняя температура газовой среды у каждой зоны микросенсора.

(б)

Рис. 10. Изменение (а) действительной и (б) мнимой частей комплексной амплитуды высокочастотного тока в нагревателе по длине структуры электротеплового преобразователя (конструктивный вариант 2).

4. Для каждой зоны газового микросенсора определяются значения температурно-зависимых параметров.

5. Для каждой зоны газового микросенсора определяется суммарный коэффициент поверхностного теплообмена.

6. Для каждой зоны газового микросенсора определяется распределение температуры с новыми значениями температурно-зависимых параметров.

Далее, итерационная процедура может повторяться, начиная с пункта 2. Число циклов зависит от требуемой точности определения распределения температуры. Использование данной итерационной процедуры в представленном методе определения распределения температуры дает дополнительное преимущество, которое обусловлено тем, что для каждой зоны газового микросенсора итерационная процедура проводится независимо. Это позволяет повысить точность определения распределения температуры в газовых микросенсорах, работающих при высоких температурах. Используя данный метод, определено распределение температуры в структурах термокаталитического газового микросенсора на прямоугольной плате, присоединенной к монокристаллическому кремнию в центре противоположных сторон, и на прямоугольной плате, присоединенной к монокристаллическому кремнию на противоположных углах. Сравнение распределения температуры в обоих типах каталитических газовых микросенсоров на прямоугольных платах с различными вариантами крепления, но идентичными конструктивными параметрами позволяет отметить следующие особенности этих микросенсоров. В каталитических газовых микросенсорах на прямоугольной плате, присоединенной к монокристаллическому кремнию на противоположных углах, эта плата

Рис. 11. Тепловые потоки в тепловом микроакселерометре с инерционной массой; границы активной области показаны штриховой линией.

(]„ мкм

Рис. 12. Зависимость температуры перегрева в месте расположения горячих спаев термопар от расстояния между подвижным элементом и термически изолированной структурой: 1 -толщина термически изолированной структуры равна 1 мкм; 2 - толщина термически изолированной структуры равна 2 мкм.

имеет более высокую средневзвешенную температуру, более высокую максимальную температуру и более высокую минимальную температуру по сравнению с каталитическими газовыми микросенсорами, у которых прямоугольная плата закреплена на противоположных сторонах.

Разработаны аналитическая модель для исследования и параметрического синтеза аг-ломеративного термокаталитического сенсора (рис. 13) и метод оптимизации его конструкции и режима питании. Сенсор содержит два элемента: чувствительный и сравнительный. Основой для построения модели термокаталитического сенсора служат уравнения теплового баланса для его элементов, включенных в мостовую схему. Эти уравнения имеют следующий вид:

- для чувствительного элемента

где и - напряжение питания мостовой схемы; и Я, - сопротивления чувствительного и сравнительного элементов; к{— коэффициент массопередачи воздушного фильтра термокаталитического сенсора; ке - коэффициент эффективности катализатора чувствительного элемента; Р — геометрическая площадь поверхности элемента (Р=п<£, где с1— диаметр элемента); у — коэффициент массопередачи горючего газа к поверхности элемента; — удельная теплота сгорания горючего газа; — объемная концентрация горючего газа в воздухе; /г5 и /гг — суммарные коэффициенты теплопередачи чувствительного и сравнительного элементов, соответственно; Г5, Гг и Геп — абсолютные температуры чувствительного и сравнительного элементов и окружающей среды, соответственно. Уравнения теплового баланса (13) и (14) содержат параметры, которые зависят от диаметра элементов и их температур. К этим параметрам относятся Л„ /г5, /гГ и у, для которых в диссертационной работе определены зависимости их значений от диаметра и температур элементов.

Рис. 13. Структура элемента термокаталитического газового сенсорам мостовая схема включения сенсора: (1) платиновая спираль; (2) пористый носитель катализатора; (3) вывод элемента; (I ) расстояние между витками спирали; () диаметр платиновой проволоки; (<1) диаметр элемента; (/и) длина выводов; (V ) напряжение питания; (£/ои,) выходное напряжение мостовой схемы; (Р.: ) сравнительный элемент термокаталитического газового сенсора; чувствительный элемент термокаталитического газового сенсора; (, Я2) резисторы.

(13)

— для сравнительного элемента

(14)

При включении термокаталитического сенсора в мостовую схему (рис. 13) основным параметром является его чувствительность к концентрации горючего газа в окружающей среде. Этот параметр равен отношению выходного сигнала мостовой схемы i/oul к объемной концентрации горючего газа в воздухе Cg:

S = UM/Cs. (15)

При равенстве сопротивления дополнительных резисторов, включенных во второе плечо мостовой схемы (рис. 13), выходной сигнал мостовой схемы равен

f/out R, )/[2&+/0]. (16)

В этом случае выражение для чувствительности термокаталитического сенсора к концентрации горючего газа в окружающей среде может быть представлено в следующем виде:

S = -

Ua{Ta-Tr)

(17)

2Се[2 + «(Г>+Гг-2Г0.1 Предложенная математическая модель была использована для определения зависимостей чувствительности и потребляемой мощности термокаталитического газового сенсора от диаметра элементов сенсора и от напряжения питания мостовой схемы его включения и для оптимизации его конструкции и режима питания. При оптимизации конструкции и режима питания термокаталитического сенсора в качестве независимых переменных использованы диаметр элемента и напряжение питания мостовой схемы, в качестве ограничения - уравнение теплового баланса для элемента в среде без детектируемого газа, в качестве целевой функции 2 — отношение чувствительности термокаталитического сенсора к напряжению питания мостовой схемы. На рис. 14 показаны зависимости чувствительности и целевой функции от независимых переменных. Представленная оптимизационная модель решалась численными методами и позволила определить зависимость целевой функции и соответствующих значений чувствительности, диаметра элемента, напряжения питания мостовой схемы, сопротивления элемента, мощности, рассеиваемой каждым элементом, и тока, текущего через элементы, от диаметра платиновой проволоки, расстояния между витками спирали и рабочей температуры элементов.

Рис. 14. Зависимость значений целевой функции 2 и соответствующих значений чувствительности 5 от (а) диаметра элемента с] и (б) напряжения питания мостовой схемы и , = 20 мкм, / = 20 мкм, Г =450 °С.

В седьмом разделе рассмотрены вопросы практической реализации и использования предложенных моделей теплофизических микросенсоров.

Реализация математических моделей в программных средах возможна в двух вариантах: 1) использование специальных программных сред компьютерной математики; 2) разработка программ для реализации математических моделей с помощью языков программирования. Исходя из этого, в работе рассмотрены алгоритмы реализации предложенных моделей в системах компьютерной математики и в программной среде Pascal.

С целью показать возможности использования разработанных математических моделей для построения САПР сенсоров представлен программный комплекс для автоматизированного проектирования агломеративных термокаталитических газовых сенсоров. Основными задачами, решаемыми с помощью программного комплекса, являются: а) расчет вольтампер-ной характеристики элемента термокаталитического сенсора; б) расчет переходной характеристики элемента термокаталитического сенсора; в) расчет чувствительности термокаталитического сенсора; г) оптимизация конструкции и режима питания термокаталитического сенсора; д) расчет коэффициентов теплообмена и массопереноса элементов термокаталитического сенсора.

В качестве примера практического применения результатов работы рассмотрено использование предложенного метода моделирования распределения температуры для комплексного исследования многофункционального теплофизического мембранного микросенсора (рис.15). Данное исследование проводилось совместно с Centre of Microelectronic Technologies; Institute of Chemistry, Technology and Metallurgy; University of Belgrade, Serbia. Основными элементами рассматриваемого микросенсора являются П-образный нагреватель и две батареи термопар, которые расположены с обеих сторон нагревателя. Нагреватель и батареи термопар размещены на мембранной термически изолированной структуре, полученной анизотропным травлением кремния. Мембрана состоит из двух слоев: слоя диоксида кремния и слоя кремния. Её толщина и размеры регулируются путем выбора времени анизотропного травления кремния.

Для представленного сенсора определено распределение температуры в зонах расположения нагревателя и батарей термопар, распределение температуры вдоль линии расположения горячих спаев термопар для различных толщин остаточного слоя кремния. Рассмотрено распределение температуры вдоль толщины двухслойной термически изолированной структуры. Результаты моделирования показывают, что в анализируемой двухслойной структуре распределение температуры является неоднородным по толщине и максимальное значение температуры наблюдается в центре структуры в верхнем слое Si02.

Рис. 15. Многофункциональный тепло-физический мембранный микросенсор.

Определены зависимость максимальной относительной погрешности моделирования от толщины слоя п-при толщине слоя ЭЮч, равной 1 мкм. Проведено исследование зависимости характеристик микросенсора от условий его размещения в корпусе. Получено распределение температуры в системе микросенсор-корпус. Исследована зависимость максимальной температуры горячих спаев термопар от расстояния между верхней поверхностью термически изолированной структуры и крышкой корпуса. Получены зависимости тепловых потоков от верхней и нижней поверхностей термически изолированной структуры от расстояния между верхней поверхностью термически изолированной структуры и крышкой корпуса. Исследованы динамические свойства многофункционального теплофизического мембранного микросенсора. Исследованы частотные характеристики микросенсора при различных толщинах остаточного слоя кремния в термически изолированной структуре. Сравнительный анализ характеристик показывает, что с увеличением толщины остаточного слоя кремния повышается граничная частота микросенсора. Используя частотную характеристику микросенсора, определена зависимость его тепловой постоянной времени от толщины остаточного слоя кремния (рис. 16).

Рассмотрены вопросы использования разработанных методов моделирования и моделей теплофизических микросенсоров: 1) при выполнении НИР и ОКР, направленных на создание различных типов теплофизических микросенсоров; 2) при разработке и оптимизации конструкции нескольких типов газовых сенсоров, тепловых приемников излучения и термо-резистивных преобразователей, выпускаемых рядом организаций: 3) в учебном процессе.

Рассмотрено использование разработанных методов моделирования и моделей теплофизических микросенсоров другими исследовательскими группами (зарубежными). Использование (57 работ, где имеются ссылки на работы, в которых опубликованы результаты диссертации) нашли следующие методы и модели: 1) одномерная многозонная модель для определения температуры в теплофизических микросенсорах; 2) модель оптимизации конструкции тепловых приемников излучения; 3) метод моделирования стационарного и нестационарного распределения температуры в двухмерных многозонных структурах; 4) метод оптимизации конструкции и режима питания агломеративного термокаталитического газового сенсора. Использование разработанных методов и моделей теплофизических микросенсоров в работах других исследователей является независимым подтверждением ряда основных положений диссертационной работы и показывает ее актуальность и практическую ценность.

Т, мс

Рис. 16. Зависимость тепловой постоянной времени ыикросенсора от толщины остаточного слоя кремния.

Основные результаты работы

1. Предложена классификация теилофизических микросенсоров, в основу которой положена роль тепловых процессов при функционировании этих микросенсоров. На основе данной классификации разработаны функциональные схемы для каждой группы теплофизи-ческих микросенсоров.

2. Разработана точная аналитическая модель для определения одномерного распределения температуры в двухзонных структурах теплофизических микросенсоров. В модели учитывается теплообмен с поверхности термически изолированной структуры за счет конвекции и излучения. Учет параметров слоев в каждой зоне осуществляется путем перехода к эквивалентной структуре зон с однородными параметрами. В основу модели положено решение одномерного уравнения теплопроводности в каждой зоне с использованием гиперболических функций.

3. Разработан метод моделирования распределения температуры в двухмерных структурах теплофизических микросенсоров с произвольными прямоугольными и косоугольными границами. Двухмерная термически изолированная структура микросенсора в зависимости от состава слоев и условий тепловыделения разделяется на ряд зон. Учет параметров слоев в каждой зоне осуществляется путем перехода к эквивалентной структуре зоны с однородными параметрами. Для каждой зоны устанавливаются условия теплообмена с окружающей .средой и соседними зонами. Распределение температуры в каждой зоне определяется через собственные функции однородной задачи. Плотности тепловых потоков между соседними зонами представляются как суммы соответствующих ортогональных функций с неизвестными весовыми коэффициентами, значения которых определяются из граничных условий сопряжения между всеми соседними зонами. Система уравнений для нахождения неизвестных весовых коэффициентов является системой линейных уравнении. Разработан ряд модификаций метода. Установлены основные составляющие погрешности моделирования и определены их значения.

4. Разработана модель для определен™ распределения температуры в пленочном тер-морезистивном сенсоре, в которой учитываются конструктивные особенности сенсора, введена теплогенерирующая граница между окружающей средой и подложкой на участке подложки, занятом резистивным слоем и учитывается изменение сопротивления сенсора от его температуры. Данная модель является основой для определения абсолютной погрешности сенсора. С помощью предложенной модели определено распределение температуры в эквивалентной структуре и в резистивном слое терморезистивного пленочного сенсора. Исследованы зависимости абсолютной погрешности сенсора в результате саморазогрева измерительным током от ряда конструктивных и эксплуатационных параметров.

5. Разработаны модели для определения стационарного и нестационарного распределения температуры в тепловых приемниках излучения. Показана возможность определения распределения температуры в разных типах тепловых приемников излучения (консольный, мостовой, мембранный) при неоднородном оптическом излучении. Нестационарная модель использована для определения комплексных частотных характеристик приемников излучения различных типов. С ее помощью определены частотные зависимости модуля и аргумента

комплексной частотной характеристики тепловой подсистемы приемников излучения консольного, мостового и мембранного типов и временные зависимости температуры горячих спаев термопар при ступенчатом, гармоническом и импульсном входных воздействиях.

6. Разработана модель оптимизации конструкции тепловых приемников излучения с термическими изолированными структурами консольного и мостового типов. В качестве целевой функции при оптимизации используется удельная вольт-ваттная чувствительность; в качестве ограничения - уравнение для тепловой постоянной времени; в качестве независимых переменных, значения которых определяются при оптимизации - длина зоны, занятой поглощающим слоем, и длина зоны, занятой термоэлектрическим преобразователем. Оптимизационная задача решена методом множителей Лагранжа. На основании оптимизационной модели проведено исследование зависимости оптимальных значений удельной вольт-ваттной чувствительности, длины зоны расположения поглощающего покрытия и расстояние от границы зоны расположения поглощающего покрытия до места крепления консольного основания от ряда конструктивных и эксплуатационных параметров.

7. Разработан метод для определения распределения высокочастотного тока в структуре микроэлектронного электротеплового преобразователя, при котором он рассматривается как структура с распределенными параметрами по линии сопряжения нагревателя и горячих спаев термопар и в котором учитывается шунтирующее действие батареи термопар и периодичность изменения погонного сопротивления батареи термопар, погонной емкости и погонной взаимной индуктивности между нагревателем и батареей термопар. Проведено моделирование распределения высокочастотного тока в реальных структурах электротепловых преобразователей для двух конструктивных вариантов: 1) вариант с раздельным расположением нагревателя и батареи термопар; 2) вариант, в котором горячие спаи термопар расположены над или под пленочным нагревателем. Получены зависимости комплексной амплитуды высокочастотных токов в нагревателе и батарее термопар по длине структуры.

8. Разработана математическая модель, позволяющая определять стационарное распределение температуры в структуре теплового микроакселерометра с инерционной массой. В тепловом микроакселерометре выделена активная область, в которой протекают основные тепловые процессы и которая содержит термически изолированную структуру и два воздушных промежутка над и под структурой. Эта область заменена эквивалентной прямоугольной областью, разделенной на ряд зон с однородными параметрами, в которой зона с нагревателем заменена эквивалентной зоной с теплогенерирующей границей. С помощью данной модели исследованы распределение температуры в конкретной конструкции теплового микроакселерометра и зависимость температуры в месте расположения горячих спаев термопар термоэлектрического преобразователя от расстояния между подвижным элементом с инерционной массой и термически изолированной структурой.

9. Разработана модель для определения стационарного распределения температуры в теплофишческих микросенсорах, работающих при высоких температурах, с термически изолированными структурами в виде подвешенных плат, закрепленных на основании с помощью консольных мостов. В основу модели положен метод определения распределения температуры в двухмерных структурах с произвольными прямоугольными границами. В модели использован итерационный процесс с изменением параметров материалов и условий охлаж-

дения от средневзвешенной температуры по каждой зоне термически изолированной структуры. Рассмотрено определение температуры в двух конструктивных разновидностях термо-каталитическнх газовых микросенсоров на термически изолированных структурах.

10. Разработан метод оптимизации структуры и режима питания агломеративного термокаталитического газового сенсора, который состоит из двух сферических элементов, включенных в мостовую схему. В качестве целевой функции при оптимизации выбрано отношение чувствительности сенсора к напряжению питания мостовой схемы. Уравнение теплового баланса элемента сенсора в газовой среде без горючего газа выбрано в качестве ограничения, при этом определяющим параметром является рабочая температура элемента сенсора. В качестве независимых переменных используются диаметр элементов и напряжение питания мостовой схемы. В результате решения оптимизационной задачи численными методами получены зависимости оптимальных значений целевой функции и соответствующих значений независимых параметров (диаметра элементов, напряжения питания мостовой схемы включения термокаталитического сенсора), а также чувствительности сенсора, сопротивления каждого элемента, потребляемой мощности каждого элемента и тока через элементы от конструктивных параметров элементов и их рабочих температур.

Таким образом, в результате выполненных исследований разработан комплекс научно-технических решений на основе использования современных методом математического моделирования, позволяющий оптимизировать процесс разработки широкого круга теплофи-зических микросенсоров и сократить временные и материальные затраты на его проведение, что является существенным вкладом в развитие отечественной микросистемной техники.

Список основных публикаций по теме диссертации

Публикации в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Kozlov, A. G. Optimization of thin-film thermoelectric radiation sensor with comb thermoelectric transducer / A. G. Kozlov // Sensors and Actuators A. Physical. - 1999. - Vol. 75. -P. 139-150.

2. Козлов, А. Г. Распределение высокочастотного тока в пленочном термоэлектрическом преобразователе типа "гребенка" с раздельным расположением нагревателя и батареи термопар / А. Г. Козлов // Радиотехника и электроника. - 2000. - Т. 45. - №9. - С. 1129-1138.

3. Kozlov, A. G. Optimization of thin-film thermoelectric radiation sensor with separate disposition of absorbing layer and comb thermoelectric transducer / A. G. Kozlov // Sensors and Actuators A. Physical. - 2000. - Vol. 84. - P. 259-269.

4. Kozlov, A. G. Optimization of structure and power supply conditions of catalytic gas sensor / A. G. Kozlov // Sensors and Actuators B. Chemical. - 2002. - Vol. 82. - P. 24-33.

5. Kozlov, A. G. Analytical modelling of steady-state temperature distribution in thermal microsensors using Fourier method. Part 1. Theory / A. G. Kozlov // Sensors and Actuators A. Physical.-2002.-Vol. 101.-P. 283-298.

6. Kozlov, A. G. Analytical modelling of steady-state temperature distribution in thermal microsensors using Fourier method. Part 2. Practical application / A. G. Kozlov // Sensors and Actuators A. Physical.-2002.-Vol. 101.-P. 299-310.

7. Козлов, А. Г. Моделирование стационарного распределения температуры в газовых микросенсорах на термически изолированных структурах / А. Г. Козлов // Микросистемная техника.-2004,-№2.-С. 8-13.

8. Козлов, А. Г. Аналитическое моделирование стационарного распределения температуры в двумерных структурах с произвольными прямоугольными границами / А. Г. Козлов // Инженерная физика. - 2004. — № 3. - С. 11-19.

9. Kozlov, A. G. High-frequency current distribution in thin-film comb thermal converter / A. G. Kozlov // Sensors and Actuators A. Physical. - 2005. - Vol. 121. - P. 352-363.

10. Козлов, А. Г. Моделирование распределения температуры в структуре теплового микроакселерометра с инерционной массой / А. Г. Козлов // Нано- и микросистемная техника.-2005.-№ 6. - С. 22-33.

11. Козлов, А. Г. Замена граничных условий при решении двумерных задач стационарной теплопроводности методом разделения переменных / А. Г. Козлов // Инженерная физика, 2005. -№3. -С. 2-7.

12. Козлов, А. Г. Моделирование нестационарного режима работы микроэлектронного теплового приемника излучения консольного типа / А. Г. Козлов // Нано- и микросистемная техника. - 2005. - № 12. - С. 16-25.

13. Kozlov, A. G. Analytical modelling of temperature distribution in resistive thin-film thermal sensors / A. G. Kozlov // International Journal of Thermal Sciences. - 2006. - Vol. 45. -P. 41-50.

14. Козлов, А. Г. Сравнительный анализ метрологических характеристик различных типов газовых датчиков на твердых электролитах / А. Г. Козлов, А. Н. Удод // Датчики и системы. -2006.-№ 1.-С. 55-62.

15. Козлов, А. Г. Тепловые микросенсоры: Классификация. Основные типы / А. Г. Козлов // Нано- и микросистемная техника. -2006. -№ 4. — С. 2-13.

16. Козлов, А. Г. Влияние особенностей конструкции и питающего напряжения на погрешность термокаталитических датчиков / А. Г. Козлов, А. А. Щербакова // Датчики и системы.-2006.-№ 10-С. 9-13.

17. Козлов, А. Г. Высокотемпературные протонпроводящие твердые электролиты для газовых сенсоров / А. Г. Козлов, А. Н. Удод // Перспективные материалы. - 2007. - № 1. -С.35-45.

18. Козлов, А. Г. Тепловые микросенсоры: Конструктивные особенности / А. Г. Козлов // Нано- и мпкросистемная техника. - 2008. - № 1. - С. 16-27.

19. Kozlov, A. G. Frequency response model for thermal radiation microsensors / A. G. Kozlov // Measurement Science and Technology. - 2009. - Vol. 20. - 045204 (lip).

20. Козлов, А. Г. Математическое моделирование распределения температуры в тепловых микросенсорах / А. Г. Козлов // Проблемы разработки перспективных микро- и нано-электронных систем - 2010. Сборник трудов. - М.: ИППМ РАН, 2010. - С. 76-79.

21. Kozlov, A. G. Frequency response model for thermal converter / A. G. Kozlov // Proceedings of the 2010 IEEE Region 8 International Conference on Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering, SIBIRCON 2010. - Irkutsk/Listvyanka, Russia. - Vol. I. -P. 561-566.

22. Kozlov, A. G. Analytical modeling of transient processes in thermal microsensors / A. G. Kozlov. D. Randjelovic, Z. Djuric // Proceedings of the 12th International Conference on Thermal, Mechanical and Multi-Physics Simulation and Experiments in Microelectronics and Micro-Systems, "EuroSimE 2011". - Linz, Austria. - 2011. - P. 493^499.

23. Kozlov, A. G. Modelling of Temperature Distribution in Thermal Microsensors on Sandwich Thermally Isolated Structures / A. G. Kozlov, D. Randjelovic // Proceedings of the 13lh International Conference on Thermal, Mechanical and Multi-Physics Simulation and Experiments in Microelectronics and Micro-Systems, "EuroSimE 2012". -Cascais, Portugal. -2012. - P. 433^137.

24. Козлов, А. Г. Моделирование нестационарных режимов работы теплофизических микросенсоров / А. Г. Козлов // Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлек-тронных систем - 2012. Сборник трудов. - М.: ИППМ РАН, 2012. - С. 662-667.

25. Kozlov, A. G. Account of the package features in modelling of thermal microsensors / A. G. Kozlov, D. Randjelovic // Proceedings of 14th International Conference on Thermal, Mechanical and Multi-Physics Simulation and Experiments in Microelectronics and Microsystems, "EuroSimE 2013". - Wroclaw, Poland. - 2013. - P. 202-209.

26. Kozlov, A. G. Modelling of Non-stationary Processes in Optomechanical Thermal Microsensors / A. G. Kozlov // Proceedings of the 15lh International Conference on Thermal, Mechanical and Multi-Physics Simulation and Experiments in Microelectronics and Micro-Systems, "EuroSimE 2014". - Ghent, Belgium. - 2014. - P. 174-180.

27. Kozlov, A. G. Analytical Modeling of Thermal Processes in Gas Microsensors Operating at High Temperature / A. G. Kozlov, A. N. Udod // Proceedings of the 29th International Conference on Microelectronics, "MIEL 2014".-Belgrade, Serbia.-2014. - P. 167-170.

28. Козлов А.Г. Погрешность и адекватность аналитического моделирования распределения температуры в тепловых микросистемах / А. Г. Козлов // Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем - 2014. Сборник трудов,- М.: ИППМ РАН, 2014.-Часть II.-С. 167-172.

Патенты, авторские свидетельства на изобретение, свидетельства на программный продукт:

29. Конденсатор переменной емкости: а. с. 1003163 СССР, МКИ3 Н 01 G 7/04 / А. Г. Козлов А.Г., И. И. Миллер, Н. В. Шепелев (СССР) - № 3227356; заявл. 31.12.80; опубл. 07.03.83, Бюл. №9.-3 е.: ил.

30. Термоэлектрический преобразователь: а. с. 1126145 СССР, МКИ3 Н 01 L 35/28 / А. Г. Козлов, Н. В. Шепелев (СССР). -№ 3575630; заявл. 20.03.83; опубл. 23.07.84. - 4 е.: 2 ил.

31. Программный комплекс по проектированию термокаталитических газовых сенсоров (ПКП ТКС): Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2011614253 / А. Г. Козлов (RU). - Заявка № 2011610031; зарегистрировано 30.05.2011.

32. Программа оптимизации конструкции микроэлектронных тепловых приемников излучения (Оптимизация ТПИ): Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2011612927 / А. Г. Козлов (RU). - Заявка № 2011610002; зарегистрировано 13.04.2011.

33. Термохимический датчик: Патент РФ 2483297 С1, МПК G01N 27/16 / А. Г. Козлов, А. Н. Удод. - Бюл. №15, 27.05.2013. - 5 е.: ил.

Подписано в печать 05.12.2014. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 220.

Отпечатано на полиграфической базе ОмГУ 644077, Омск-77, пр. Мира, 55а