автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процессов нагрева химически реагирующих композиционных материалов

На правах рукописи

СУВОРОВ СТЕПАН ВАЛЕНТИНОВИЧ

УДК 519.6:629.7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НАГРЕВА ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 2010

004606130

Работа выполнена в Ижевском государственном техническом университете

Научный руководитель:

доктор физико-математическич наук, профессор Алиев Али Вейсович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Загребин Леонид Дмитриевич

.. Ведущая организация;

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Михаил Юрьевич

Институт прикладной механики УрО РАН

• Защита диссертации состоится «¿¡О»

2010 г. в /У

часов

на заседании диссертационного совета Д 212.065.07 по адресу, г. Ижевск, ул. 30 лет Победы, 2, к. 504

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью, просим.выслать по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7, ИжГТУ -

Е-шаУ: dissovet@istu.ru; тел./факс: (8-3412)-59-05-49

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО ИжГТУ. С авторефератом можно ознакомиться на официальном сайте ГОУ ВПО ИжГТУ -http://www.i5tu.ru

Автореферат разослан ^АЛ-СЬ^Л- 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Современный уровень развития вычислительной техники позволяет моделировать сложные физические процессы, используя при этом более совершенные численные методы, повышающие точность результатов расчетов. Одной из сфер практического применения математического моделирования и вычислительных методов являются, в частности, задачи о процессах нагрева химически реагирующих композиционных материалов. Химически реагирующими композиционными материалами, процесс нагрева которых исследован в данной работе, являются баллиститные (гомогенные) и смесевые (гетерогенные) твердые топлива, используемых в ракетных двигателях (РДТТ). Исследование рассматриваемого класса задач в разные годы выполнялось такими учеными, как Зельдович Я.Б., Новожилов Б.В., Вилюнов В.Н., Соркин Р.Е., Липанов A.M., Романов ОЛ., Бабук В.А, ДульневГ.Н., и др. Ведущая роль в развитии данного направления принадлежит, в частности, следующим организациям: Институт химической физики РАН (г. Москва), НПО «Алтай» (г. Бийск), НПО «Союз» (г. Люберцы), НИИ полимерных материалов (г. Пермь), НИИ прикладной математики и механики при ТГУ (г. Томск), НИИ прикладной химии (г. Сергиев Посад) и др. Среди зарубежных ученых следует отметить существенный вклад в исследование вопросов прогрева и зажигания твердого топлива Саммерфильда М., Кулкарни А., Кумара М., Куо К., Бекстеда М., Прайса Е.Б., Брэдли Х.Х. и др.

Численные методы решения задач прогрева и зажигания твердых материалов содержится в работах Самарского А. А.; Патанкара С., ФлетчераК., Андерсона Д., Таннехилла Дж., Плетчера Р. и др.

В задачах о прогреве твердого топлива актуальными являются следующие вопросы: особенности перемещения изотерм в заряде из металлизированного и безметального смесевого твердого топлива, особенности прогрева твердого топлива при контактном воздействии на него горячих конденсированных частиц, основные закономерности горения твердого топлива при воздействии на горящую поверхность теплового ножа, прогрев и зажигание твердого топлива с установленным в теле заряда металлическим неизвлекаемым теплопроводным элементом. Перечисленные задачи требуют разработки таких математических моделей, численных методов и вычислительных алгоритмов, которые позволяли бы исследовать тепловые процессы в средах с изменяющимися во времени и по пространственным координатам теплофизическими свойствами. При разработке вычислительных методов становятся актуальными вопросы, связанные с развитием методов оценки устойчивости применяемых вычислительных алгоритмов.

Объект исследования - процессы нагрева химически реагирующих композиционных материалов (баллиститных и смесевых твердых топлив), безметальных и металлизированных, в том числе, при использовании теплового ножа и неизвлекаемых теплопроводных элементов.

Предмет исследования - математические модели, численные методы и вычислительные алгоритмы расчета процессов прогрева твердых ракетных топлив с металлическими включениями, анализ устойчивости используемых вычислительных

методов решения, закономерности прогрева твердых ракетных топлив при наличии в них металлических элементов.

Цель работы: разработка математических моделей процессов прогрева смесевых твердых топлив с металлическими включениями; создание устойчивых вычислительных алгоритмов, обеспечивающих решение рассматриваемого класса задач; исследование закономерностей прогрева твердых топлив при наличии в них металлических включений.

Для реализации поставленной цели решаются следующие задачи:

- обоснование применения для расчета прогрева твердых топлив с металлическими включениями уравнений теплопроводности с разрывными коэффициентами;

- обоснование интегро-интерполяционного метода при построении вычислительных алгоритмов;

- разработка метода оценки устойчивости численного решения;

- анализ результатов численного решения задач о прогреве твердого топлива при выпадении на его поверхностный слой конденсированных частиц, при воздействии на его прогретую зону теплового ножа или другого металлического включения.

Методы исследования

При формулировании математических моделей используются известные теоремы и законы физики (закон сохранения энергии, методы линеаризации). При проведении расчетов используются апробированные методы вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением фундаментальных законов физики. Для задач, имеющих аналитическое решение, было проведено сравнение с численным решением. Такое сравнение подтвердило достаточную для практики точность численного решения.

На защиту выносятся:

- математическая модель и вычислительные алгоритмы решения задач о нагреве химически реагирующих композиционных материалов;

- метод анализа устойчивости численного решения задачи теплопроводности;

- результаты анализа прогрева металлизированного и безметального твердого топлива;

- результаты исследования процессов прогрева твердого топлива при выпадении на поверхность заряда твердого топлива К-частиц, образованных при сгорании воспламенительного состава;

- установленные физические закономерности процессов прогрева и воспламенения заряда твердого топлива в зоне контакта с тепловым ножом, и в зоне с неизвлекаемым теплопроводным элементом.

Научная новизна работы:

- для решения всех рассматриваемых классов задач о прогреве композиционного материала используется единый подход - общая математическая модель процессов и единый вычислительный алгоритм;

- предложенный метод анализа устойчивости численного решения уравнения теплопроводности основан на анализе собственных значений характеристической матрицы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих ошибку численного решения;

- установлено, что пиролиз твердого топлива при контакте с тепловым ножом имеет место при относительно низкой температуре нагрева теплового ножа -порядка 650 К. При температуре более 700 К возможен только режим разрезания заряда твердого топлива. Показано, что марка тугоплавкого материала, используемого для теплового ножа, незначительно влияет на качественные и количественные результаты прогрева твердого топлива;

- исследование теплопроводности в неизвлекаемом теплопроводном элементе, установленном в заряде твердого топлива, при подводе к нему тепла от внешнего источника, показало, что время воспламенения твердого топлива в зоне контакта неизвлекаемого теплопроводного элемента и твердого топлива будет на порядки больше, чем время воспламенения твердого топлива;

- предложена конструкция эффективного неизвлекаемого металлического элемента, защищенная патентом на полезную модель.

Теоретическая ценность работы

Полученные результаты являются новыми. Оценка устойчивости численного решения основана на анализе собственных значений характеристической матрицы, записанной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих ошибку численного решения. Такой подход представляется более универсальным, по сравнению с применяемыми в настоящее время методами. Дана качественная и количественная оценка влияния температуры, размеров и теплофизических свойств компонентов смесевого твердого топлива, К-часгиц и элементов конструкции РДТТ на процессы прогрева и воспламенения заряда твердого топлива. Установлены параметры, при которых обеспечивается устойчивое горение твердого топлива, контактирующего с тепловым ножом или неизвлекаемым теплопроводным элементом.

Практическая значимость работы

Полученные результаты о прогреве композиционных материалов (смесевых твердых топлив и твердых топлив, контактирующих с К-частицами, с тепловым ножом и с неизвлекаемым теплопроводным элементом) могут быть применены при проектировании новых топливных зарядов для твердотопливных энергетических установок.

Реализация работы состоит в выполнении НИР (номера государственной регистрации № 01.2006 06493, № 0120.0 805055). Разработанные математические модели и программное обеспечение используются при проведении лекций и лабораторных работ по дисциплине «Математическое моделирование» и «Проектирование РДТТ» (направление «Авиа- ракетостроение» специальность 16.01.00 и специальность 160302.65 «Ракетные двигатели»), читаемых на кафедре «Тепловые двигатели и установки» ГОУ ВПО ИжГТУ.

Апробация работы

Результаты исследований докладывались на следующих научных конференциях:

- Международные научно-практические конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве», г. Тирасполь, 3-6 июня 2007 г., 7-10 июня 2009 г.;

- Всероссийская конференция «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и в ствольных системах», г. Санкт-Петербург, 8-10 сентября 2008 г;

- Всероссийская научно техническая конференция «Фундаментальные основы баллистического проектирования», г. Санкт-Петербург, 23-26 июня 2008 г.;

Полностью работа докладывалась на научных семинарах в ИжГТУ.

Публикации

Результаты диссертационной работы отражены в семи научных статьях, две из которых опубликованы в журналах из списка ВАК, отчетах по НИР номера государственной регистрации №01.2006 06493, №0120.0 805055. Получен патент на полезную модель №92109.

Личное участие автора

Личное участие автора состоит в формулировании исследуемой проблемы и математических моделей прогрева элементов конструкции зарядов твердого топлива, в разработке метода анализа устойчивости численного решения. Лично автором проводились разработка вычислительных алгоритмов, моделирование процессов теплопроводности, разработка программных продуктов и анализ результатов расчетов, полученных в рамках исследований.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, изложенных на 163 страницах, содержит 92 рисунков, 25 таблиц и библиографический список, включающий 106 источников.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации («Математические модели прогрева материалов с неоднородными свойствами») приводится математическая модель прогрева заряда твердого топлива и элементов конструкции, используемых для регулирования процессов прогрева и горения композиционного материала.

Выполнен обзор существующих моделей прогрева, воспламенения и горения твердого топлива. В этих моделях описывается влияние химических реакций, фазовых переходов и структуры твердого топлива на тепловые процессы в теле заряда. На основе анализа литературы предлагается использовать в качестве математических моделей тепловых процессов в смесевом твердом топливе (СТТ) пространственных (одно-, двух- и трехмерных) нестационарных уравнений теплопроводности с учетом протекающих в СТТ химических реакций и фазовых переходов. Формулируются цели выполняемого исследования, основная из которых - создание устойчивых вычислительных алгоритмов расчета задач теплопроводности в материалах с неоднородными теплофизическими свойствами.

а)

а - связка между каналом заряда и частицей ПХА; б - частица ПХА граничит с каналом заряда; Рисунок 1 - Расчетная схема металлизированного СТТ (1 - ПХА; 2 - алюминий; 3 - связующие)

Математическая модель:

В работе выполнен анализ прогрева СТТ при двух различных вариантах ориентации частиц

перхлората аммония (ПХА) в заряде твердого топлива, что представлено на рисунке 1.

В решаемой задаче о прогреве используются следующие допущения:

- расчет ведется до температуры газификации;

- тепловое расширение частиц алюминия отсутствует;

- теплообмен между частицами ПХА, частицами алюминия и связующим идет в условиях идеального контакта.

дх 1дх) ду

срнл рим

дТп

Ек

'ду д

О <х<Н,0$у<1 дТ,

ь риа

крна

о г па л

ду\ ду

д (к дт„

дТ„

<Эх(^ дх) д у\ щ ду

(х-хт)2~(у-ут)2

Начальные и граничные условия имеют вид:

аг дг

дГЛмд (х_х у-огй» о<т<т

^ риа ^ '¿¡-'риал* хриа) IУ Урна) тьт,,

Г>,г,0)=Г0 = 293£, Тгш(г,г,0) = Т0= 293К, Тт(г,г,0)=Т0=293К.

где к - коэффициент теплопроводности; р - плотность; с - удельная теплоемкость; х - координатная ось вдоль канала заряда СТТ; у - координатная ось в глубь заряда СТТ; Н— ширина исследуемого участка СТТ; L - длина исследуемого участка СТТ; хпха, Упхл - координаты центра частицы ПХА; хт, ут - координаты центра частицы алюминия; dwu - диаметр частицы ПХА; dm - диаметр частицы алюминия; Т] -время начала газификации твердого топлива.

Индексы «jv», «РНА» и «т» соответствуют связующему, перхлорату аммония и алюминию.

Приведенная математическая модель учитывает неоднородность теплофизических свойств компонентов смесевого твердого топлива и позволяет исследовать процесс прогрева СТТ до момента начала газификации связующего.

Основные выводы, которые можно сделать из анализа литературы по прогреву и зажиганию твердого топлива К-фазой:

- вклад кондуктивного (контактного) теплового потока в общий тепловой поток может превосходить 50%;

- при значительной массовой и объемной доле металлов в воспламенительном составе требуется рассматривать неодномерные модели течения двухфазной среды;

- К-фаза полагается многофракционной по причине соударения К-частиц как между собой, так и со стенками камеры сгорания.

Применение в воспламенительных составах металлов (алюминий, магний) требует изучения влияния частиц оксидов этих металлов на прогрев и воспламенение твердого топлива. Оксиды металлов, образуемые при сгорании твердых топлив, имеют сферическую форму. Однако при контакте с зарядом твердого топлива происходит деформация К-частицы. От соударения частица приобретает форму, близкую к цилиндрической, что показано на рисунке 2.

При решении сформулированной задачи могут быть приняты допущения:

- поверхностный слой ТТ не деформируется после контакта.

- теплообмен между частицей и зарядом происходит в условиях идеального контакта.

- в виду малых размеров К-частиц (до 150 мкм) их влиянием на конвективную составляющую теплообмена ТТ с окружающей средой можно пренебречь.

- учитывается влияние температуры на теплофизические свойства оксидов металлов, так как диапазон исследуемых температур от 700 К до 2000 К.

- твердое топливо воспламеняется по твердофазной модели.

Математическая модель нагрева твердого топлива частицей металла с оксидной

пленкой:

а) частица оксида; б) частица металла с оксидной пленкой Рисунок 2 - Расчетная схема (1 - оксид металла; 2 - ТТ; 3 - металл)

дт, (а(,агЛ , 1 дг, д(, дгЛ) ,, . о¿шг, V

/

4 4 "о <.гйгкс,{к-®)<г<,}г

&тт (д(, дгЛ , 1 дгт з(, згтУ| , ч ,, ч

от

/ Г, >

-£

, 0<г£г„ Гг^г^Н+И,

где ф - доля прореагировавшего вещества.

Индексы «/», «оЬ> и «от» соответствуют топливу, оксиду металла и металлу. Начальные и граничные условия:

Г„<г<г„ О^т,,

&

дг дг

-к, ' =0, Ь<г<Н+к,

1= Ъ<2<Н+Ь, 0<т<т„

, дгДгДт) . , 5Т„,(лДт) „ ^ Л о- о-

= 0<г<г., О^т,

ст*

0<2ей, О-^т,,

Г„=7^, Ш<7<(А-Ю), 0<т<Т,,

ет- ст-

Т,{г>г$)-Т<> =293К, То1 (г,г,0) = Г„(г,г,0) = Ты, Ф,(г,7,0)=Фо =0,

где Т1 - время воспламенения твердого топлива.

9

Используя приведенную математическую модель, можно исследовать процесс теплообмена между твердым топливом и К-частицами различной структуры. Такой подход позволяет учитывать особенности процесса зажигания заряда твердого топлива частицами воспламенительного состава, что мало описано как в отечественной, так и в зарубежной литературе.

Тепловой нож (ТН) представляет собой пространственную деталь из тугоплавкого металла (вольфрам, молибден, ниобий). После разогрева теплового ножа в камере сгорания и соприкосновения ТН с горящей поверхностью заряда происходит локальное увеличение теплообмена. Итогом этого является местное форсирование скорости горения твердого топлива. Такой эффект может быть использован в двигательных установках с регулируемыми параметрами.

Результатами натурных экспериментов являются выводы о том, что РДТТ с регулируемыми параметрами требуют использования зарядов из безметального топлива с температурой продуктов сгорания от 1500 до 1700 К при времени работы от 100 с. В таких сложных условиях использование жаропрочных сталей не представляется возможным. Тугоплавкие материалы сочетают в себе эксплуатационные и технологические свойства, востребованные при конструировании тепловых ножей.

Процесс взаимодействия теплового ножа с зарядом твердого топлива изображен на рисунке 3.

Допущения в задаче прогрева тепловым ножом заряда твердого топлива:

- твердое топливо деформируется только в зоне контакта с тепловым ножом;

- глубина врезания теплового ножа соизмерима с глубиной прогретого слоя;

- теплообмен между тепловым ножом и зарядом идет в условиях идеального контакта;

- твердое топливо воспламеняется по твердофазной модели.

Математическая формулировка плоской двухмерной задачи нестационарной

теплопроводности имеет вид, аналогичный (1). Начальные и граничные условия аналогичны (2).

Приведенная модель в двухмерной постановке позволяет исследовать процесс пиролиза твердого топлива при контакте ТТ с тепловым ножом.

В работе выполнен обзор существующих конструкций зарядов твердого топлива, в которых можно применить неизвлекаемые теплопроводные элементы (НТЭ). Неизвлекаемые теплопроводные элементы представляют собой пространственные детали, устанавливаемые в заряде твердого топлива, что позволяет отказаться от изготовления конструктивных элементов в теле заряда (канавки, проточки). Основными предполагаемыми достоинствами НТЭ являются: снижение трудоемкости изготовления заряда твердого топлива; изменение горящей поверхности в широком диапазоне; повышение коэффициента объемного

Рисунок 3 -

)У

Расчетная схема теплового ножа и твердого топлива (1 - тепловой нож; 2 -участок твердого топлива)

заполнения камеры сгорания. Для практического применения неизвлекаемого теплопроводного элемента нерешенными вопросами являются:

- выбор материалов;

- выбор формы поперечного сечения НТЭ;

- обеспечение гарантированного воспламенения в зоне контакта НТЭ и заряда.

Рассмотрим неизвлекаемый теплопроводный элемент в качестве альтернативы

радиальной кольцевой проточке, как показано на рисунке 4.

Для исследования теплообмена между НТЭ и твердым топливом делаются

следующие допущения:

- большая температуропроводность материала НТЭ в сравнении с температуропроводностью ТТ (это позволяет рассчитывать НТЭ по одномерным математическим моделям);

- теплообмен между НТЭ и зарядом идет в условиях идеального контакта;

- твердое топливо воспламеняется по твердофазной модели.

Математическая модель

осесимметричной двухмерной задачи нестационарной теплопроводности имеет ввд аналогичный (3). Начальные и граничные условия аналогичны (4).

Во второй главе («Численные методы решения задач теплопроводности») проводится анализ существующих численных методов решения уравнения теплопроводности: метод конечных разностей, метод взвешенных невязок, метод контрольных объемов (интегро-интерполяционный), конечно-элементный метод, спектральный метод. Кроме того, описаны способы дискретизации расчетной области.

Метод контрольных объемов позволяет, с одной стороны, решать параболические, гиперболические и эллиптические задачи, а с другой -использовать адаптивные сетки в расчетных областях со сложной геометрией.

Для создания на базе конечно-объемного метода алгоритма, позволяющего рассчитывать теплопроводность в материалах с существенно меняющимися теплофизическими характеристиками на неортогональных и неупорядоченных сетках расчетной области, был использован закон сохранения энергии в интегральной записи. Уравнение нестационарной теплопроводности рассматривается в виде:

Рисунок 4 - Заряд РДТТ с радиальной кольцевой проточкой

дТ

, Щ дт

где > %'Уг~\1-Уг 81

I ц*у2

дТ

'•'~Уг

дТ

Ф

<-У?)

Индексы «/» и «_/» поясняются на рисунке 5.

Рисунок 5 - Расчетная схема из неортогональных контрольных объемов

Для решения нестационарных уравнений теплопроводности в конечно-объемной постановке могут применяться различные численные методы: метод Эйлера, метод Рунге-Кутга, метод Адамса-Башфорта.

При решении уравнения (5) принимаются следующие допущения: - аппроксимация производной температуры по времени:

дТ _ - Т^ дх Дт

(6)

где Т" — температура в исследуемом контрольном объеме в момент времени т; Дт - шаг по времени;

Г,"+| - температура в исследуемом контрольном объеме в момент времени х+Ах\

- коэффициент теплопроводности на грани элементарного объема определяем как среднегармоническую величину:

* , =

К+1,/ К,)

д/

к р I 1с

а1

1--

д/

(7)

где А/ - расстояние между узлами контрольных объемов; Д1Р - расстояние между точкой пересечения грани исследуемой ячейки и линией, соединяющей соседние узловые точки.

Из соотношения (5) следует, что для определения значения теплового потока через грань контрольного объема требуется знать производную температуры по пространственной координате на данной грани.

У

На рисунке 6 точками отмечены узлы контрольных объемов, крестиками - грани контрольных объемов.

Определим значение производной температуры по координате Ох на грани «О». Для этого воспользуемся значениями температур на девяти гранях, пронумерованных от «О» до «8»:

и*1 V ♦ ( з;

/ У

) Л У-' , б / ^

¿с

ВТ *

ОХ («о

(8)

О X

Рисунок 6 - Схема для определения производной температуры по пространственной координате

систему линейных уравнений:

где Го - значение температуры в точке «О».

Индекс «г» соответствует порядковому номеру грани ячейки.

Для определения всех коэффициентов необходимо использовать метод неопределенных коэффициентов и решить

А0 + А, + А2 + Л3 + й4 + А3 + А6 + Л7 + Л8 = О,

- А, Ах - (Аг + А, )0.5 Дд: + (А4 + А6 )0.5 Дят, + А5 = 1, А,Дх2 + (Л2 + Л3Х0.5Д*)2 + (А, + А6Х0.5Ах, )2 + Л5Д** = О,

- А,Д*3 - (йг + А,X0-5 Д»)5 + (А4 + А6Х°-5Дх* )' +Ь,Ах1= О, А,Д*4 + (А2 + А3 Х0.5Ах)4 + (А, + А6Х0.5Д*+ )4 + Л5 Дд:* = О,

- А[Дх5 - (й2 + А3Х0.5Дх)5 + (Л, + А6Х0.5Л^)5 + ¿Ж = О, Л,Дх6 + (А2 + А3Х0.5Дх)6 + (А4 + И6Х0.5&х.)6 + А5Д*? = О,

- А,Д*7 - (Аг + Л3Х0.5Д*)7 + (А, + А6Х0.5Д*+)' + Л5Д*' = О, А,Дх8 + (Л2 + А3Х0.5Дх)8 + (А4 +■ Й6Х0.5Л^^)8 + = 0.

(9)

Систему, аналогичную (9), можно записать для производной температуры по координате на всех гранях ячейки «/,/». Полученные результаты можно применить к соотношению (7).

Для расчета теплопроводности в композиционном материале

использовалась схема аппроксимации, показанная на рисунке 7. В таком случае производная температуры на одной из граней ячейки определяется следующим соотношением:

аг а/

Рисунок 7 - Схема кусочно-линейной аппроксимации температурного поля

'♦К

г,:. - г,-

д/

(10)

Аппроксимация производной от

температуры по пространственной координате, приведенная в (10), может применяться в двух- и трехмерных задачах.

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности в неоднородной пластине без внутренних источников тепла.

рсдТ_ = д(кдТ\ (И)

5т дг\ дг )

Начальные условия задачи:

Г(г,0)=7;, (12)

Граничные условия имеют следующий вид:

Г(0,-С)=Г„ГМ=Г2, (13)

где Ь - толщина пластины.

Учитывая соотношение (5), численная интерпретация (11) в конечно-объемной постановке на нерегулярной и неортогональной сетке примет вид:

ят Т" _гл / \ Т" -Т" / \

^ ^=*<-к со5 С^Нх "д^я - Ы •(14)

Устойчивость численного решения рассматривается как функция времени и исследуется на интервале т е [0,..т.], где т* - предельное значение времени, при котором ошибка численного решения является ограниченной. В таком случае в уравнении (14) можно перейти от частной производной по времени к обыкновенной, а произведя преобразование, получаем:

^-а^ + аК + а^П,, (15)

где -= рГс; дг(ДГ)+1 : а'

Записав уравнение (15) для каждого контрольного объема, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем также понятие относительной численной ошибки, определяемой соотношением:

гр Л + 1 уГИ + 1

' • (16)

I /

Переходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для относительной ошибки численного решения:

¿а

где т= т/ - безразмерное время. / •

Частное решение системы ищем в виде: ст( = с, ■ екл. Преобразование системы (17) дает:

(а2х. - Х)с2 + а^уХ,с3 +... + 0*, +... + 0= О, Ос2 +... + £цд.см + (я,т. -к)с, + а^уХ,см +... + Ос^, = О, Ос2 +... + Ос, +... + ак 3/х,с^2 + (а„_,т. - к)с„_, = 0.

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно представить в матричном виде:

(18)

(А-АЛ)-с = 0,

(19)

где I - единичная матрица; {аг-х. апух. О ...

А=

О О

... О а^-х. а,-х. а^-х. О

%

0 %.у2'х> в*-Гт'

\

; с— с,

*

В записанном выражении (19) матрица (.А-Х-1) является характеристической матрицей, а вектор с - это собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению А..

В соответствии с теорией устойчивости Ляпунова ошибка численного решения ст будет ограниченной на интервале времени т е [0...г>], если все собственные значения X матрицы А удовлетворяют условию:

Приняв условие т. = Дт, можно анализировать устойчивость численного решения для конкретного шага по времени.

Следует отметить, что предложенная методика определения устойчивости численного решения была использована для двух- и трехмерных задач. В этих случаях необходимо было решать соответственно пяти- и семидиагональные матрицы.

Из сформулированного условия (20) следует, что решения частичной проблемы собственных значений будет достаточно для того, что бы определить устойчивость численного решения.

Результаты расчетов максимального собственного значения матрицы А для одно- и двухмерного случая представлены на рисунке 8.

«и

г 1 о -1

\

\ 1,2

N \

\

-2

\

1,2, 3, 4,5

\

\

-3 -2 -1 0 ^(а-Д-с/Дг*)

б)

^(а-Дт/Дг2)

а) одномерная расчетная область б) двухмерная расчетная область Рисунок 8 - Изменение максимального собственного значения в зависимости от параметра устойчивости й-Дт/Дг2 (1 - порох «Н»; 2 - алюминий; 3 - вольфрам; 4 - молибден; 5 - ниобий)

Были проведены тестовые расчеты, в которых сравнивалось численное и аналитическое решения. Наибольшее отличие численного решения от аналитического на неортогональной сетке составило не более 0.5%.

В третьей главе проведен расчет прогрева смесевого твердого топлива и теплопроводности между К-частицей и твердым топливом.

Результаты расчета прогрева смесевого твердого представлены в виде температурных полей на рисунках 9-12.

Размеры расчетных областей и компонентов смесевого топлива, приведенных на рисунке 1: Я = 1.66-10"4 (м), 1 = 3.32-10"' (м), 4>* = 1.5-10-4 (м), йт = 1.5-10"5 -г- 2-10"5 (м). Расчетная область дискретизируется на равные элементарные объемы размером Лх = Ау = 2-10"6 (м). Расчет ведется до того момента, когда температура на поверхности заряда достигнет 570 К.

Шаг по времени Дт = 2.5-10'9 (с).

Начальная температура смесевого твердого топлива То = 293 К.

Изотермы: 1 - 293 К; 2 - 313 К; 3 - 333 К;4 - 353 К; 5 - 373 К; б - 393 К; 7 - 413 К; 8-433 К; 9-453 К; 10-473 К; 11-493 К; 12-513 К; 13-533 К; 14-570К; Рисунок 9 - Температурное поле в СТТ для Рисунок 10 - Температурное поле в СТТ для рисунка 1, а рисунка 1, б

г 4.1.

111 1 4 1 ^ 5 14 6 7 8 , а

Р

[ Г

щ

ёЕрЕ вЁ1§ ¡и

Изотермы:*1 -293 К;2-313 К;3-333 К; 4-353 К; 5 - 373 К; 6-393 К; 7-413 К;

8 - 433 К; 9 -453 К; 10 - 473 К; 11 - 493 К; 12 - 513 К; 13 - 533 К; 14-570 К; Рисунок - 11 Температурное поле в Рисунок - 12 Температурное поле в

безметальном СТТ для рисунка 1, а безметальном СТТ для рисунка 1, б

Исследование свойств металлизированного и безметального смесевого топлива проводилось на примере изотермы Т = 450 К. Для этого были определены параметры изотермы Т = 450К в однородных материалах, компонентах СТТ: алюминий, ПХА, бутилкаучук. По результатам расчетов можно сделать следующие выводы о процессе прогрева металлизированного и безметального смесевого твердого топлива:

- в металлизированном СТТ, как и в безметальном, газификация связующего начинается раньше пиролиза ПХА;

- скорости перемещения изотермы Т = 450 К в металлизированном и безметальном смесевых топливах имеют промежуточное значение между скоростями изотерм Т = 450 К в каждом из элементов смесевого топлива. Так как скорость перемещения изотермы Т = 450 К в алюминии выше, чем в ПХА, то усредненная скорость перемещения изотермы Т = 450 К в металлизированном смесевом топливе выше, чем в безметальном. В исследованных задачах отличие скоростей перемещения изотермы Т = 450 К достигает 10%;

- чем ближе частица ПХА расположена к каналу заряда, тем меньше скорость перемещения изотермы Т = 450 К. Для металлизированного и безметального СТТ в тех случаях, где частица ПХА граничит с каналом заряда, скорость перемещения изотермы Т = 450 К снижается до 5%;

- скорость перемещения изотермы при решении задачи в пространственной постановке может существенно отличаться от скорости перемещения изотермы, вычисленной при решении задачи в двухмерной (осесимметричной или плоской) постановке. Это обусловлено, в частности, сферической формой частиц металла и ПХА.

Аналитические решения задач прогрева в композиционных материалах приведены в работах Дульнева Г.Н. и могут быть применены при расчете прогрева смесевого твердого топлива.

Исследование теплопроводности К-частицы проводилось при следующих геометрических параметрах системы К-частицы и твердого топлива: гь ~ 5-Ю"6 (м), h = 4-Ю'5 (м), г, = 10"4 (м), Я = 10"4 (м). Расчетная область разбивалась на элементарные объемы размером Дг = Дг = 10"6 (м). Расчеты выполнялись для пороха «Н». Шаг по времени принимался равным Дт = 10"8 (с).

Исследования проводились для двух типов К-частиц из оксида алюминия и оксида магния. Выполнена количественная оценка влияния теплофизических свойств, размеров, температуры и структуры К-частицы на прогрев ею твердого топлива. Расчеты позволили установить, что увеличение температуры К-частицы с 700 К до 2000 К сокращает время прогрева твердого топлива до 60 раз, что показано на рисунке 13. Увеличение размеров К-частицы по отношению к площади контакта частицы с зарядом ТТ сокращает время прогрева твердого топлива, что представлено на рисунке 14. Не полиостью сгоревшие частицы металла обеспечивают тем более быстрое воспламенение ТТ, чем меньше толщина оксидной пленки, их покрывающей, что изображено на рисунке 15.

о

600 800 1000 1200 1400 1(500 1800 Т, К Рисунок 13 - Зависимость времени воспламенения твердого топлива от температуры контактирующей с ним К-частицы АЬОз

т-105,с 5

4 3 2 1 0

2 3 4 5 6 7 8 9 Мгь Рисунок 14 - Время воспламенения ТТ при различных Ь/гы частицы АЬ03 т-105,с

3.2 2,8 2.4 2.0

3 4 5 6 7 8 9 /г/й) Рисунок 15 - Влияние толщины оксидной пленки на процесс прогрева

19

"-V

\

В четвертой главе проводится расчет теплопроводности в твердом топливе в зоне контакта теплового ножа и неизвлекаемого теплопроводного элемента.

Проведенные расчеты позволили установить влияние параметров (материалы, температура нагрева, размеры) теплового ножа на процессы прогрева и воспламенения твердого топлива, что показано на рисунках 16. Было установлено, что изменение теплового потока по периметру контакта теплового ножа с твердым топливом не превышает 10%. Изменение начальной температуры теплового ножа с Тхы = 650 К до Ттк~ 800 К сокращает время прогрева твердого топлива до 18 раз. Теплофизические свойства материалов теплового ножа и его геометрические размеры не оказывают значительного влияния на время воспламенения ТТ.

Г10®, м 21.П0

0.00 2.20 3.60 4.30 4.704.83 +955.005.051-Ю4,и

Рисунок 16 - Температурное поле в ТН из вольфрама и порохе «Н» в момент воспламенения пороха «Н» (Изотермы: 1 - 293 К; 2 - 313 К; 3 - 323 К; 4 - 343 К; 5-393 К;6 - 443 К; 7 - 543 К; 8 - 618 К; 9 - 653К; 10 - 693 К)

В работах Новожилова Б.В. содержится вывод о том, что горение гомогенного твердого топлива будет устойчивым, если выполняется условие:

(21)

где 17«—тепловой поток, поступающий в твердое топливо от газовой фазы;

дш - тепловой поток, поступающий в твердое топливо от газовой фазы при

стационарном горении ТТ.

На основе анализа результатов, приведенных на рисунке 17, можно сделать вывод о том, что пиролиз твердого топлива при контакте с тепловым ножом возможен при температуре Тщ = 650 К. При температурах Гш= 700,800 К и более возможно реализовать только режим разрезания заряда твердого топлива.

q-106, Дж'с-м3 70

60

50

40

30

20

10

0 *

3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 рЛ(Г, Ш Рисунок 17 - Устойчивость воспламенения пороха «Н», прогреваемого ТН (1 - qje-, 2 - qcm-e; 3 - д,, W, 7'ÍW=650K;4~ q„ Nb, Tm = 700 К; 5 - д., Mo, W, Tm = 700 К; 6 - q., W, Тщ = 800 К)

Анализ формы и материалов, подходящих для неизвлекаемых теплопроводных элементов, показал, что оптимальными характеристиками обладает НТЭ трапециевидного сечения из алюминия.

На рисунке 18 при значении 2 <2.5-10"3 м находится алюминиевый неизвлекаемый теплопроводный элемент, при z > 2.5-10° м расположен порох «Н».

гЮ3,ы 50.2-1

50.22

50.20

50.15

50.16 50.14 50.12 50.10 50.08 КМ 50.04 50.02 50.00

2.48 2 50 2.52 2.54 2.56 2.58 2.602.62 2.64 2.«2.68г-103,ы

Рисунок 18 - Температурное поле НТЭ/ТТ при hjrk = 0.4 и ЫЪ = 0.25 (Изотермы: 1 - 293 К; 2 - 303 К; 3 - 313 К; 4 - 323 К; 5 - 333 К; 6 - 343 К; 7 - 353 К;8 - 363 К; 9 - 383 К; 10 - 413 К; 11 - 443 К; 12 - 473 К; 13 - 503 К; 14 - 543 К; 15 - 573 К; 16 - 603 К; 17 - 618 К)

На основе приведенного температурного поля, изображенного на рисунке 18, можно сделать следующие выводы о возможности и целесообразности применения неизвлекаемых теплопроводных элементов:

- к моменту, когда температура топлива достигнет температуры воспламенения, теплопроводный элемент не способен обеспечить достаточный прогрев в глубине заряда;

- с момента воспламенения твердое топливо будет играть роль теплового изолятора, не позволяющего теплу поступать в теплопроводный элемент, а горение топлива, контактирующего с НТЭ, будет затруднено.

Для улучшения прогрева топлива предлагается использовать НТЭ, имеющий внутреннюю полость.

Применение полого неизвлекаемого теплопроводного элемента, позволяет избавиться от недостатков НТЭ, описанных выше:

- можно подобрать такую толщину стенки (Д) полого НТЭ, при которой возможно воспламенение контактирующего с ним ТТ, что следует из рисунка 19;

- можно использовать НТЭ в двигателях с малым временем работы.

ф 10^, Дж'с ы* 20.0

17.5 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0

3.0 3.75 4.5 5.25 «.О 6.75 7.5 8 25 9.0 9.75 р-Ю^. Па Рисунок 19 - Устойчивость воспламенения пороха «Н», прогреваемого полым НТЭ (Плотность теплового потока: 1 - дст/е; 2 - дст-е\ 3 - Д = 0.25-10"3 (м);

4 - Д = 0.5-10"3 (м);5 - Д = 10"3 (м))

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Для решения задач о процессах нагрева химически реагирующих композиционных материалов предложено использовать модели тепловых процессов, основанные на решении задачи теплопроводности в нестационарной одно-, двух- и трехмерной постановках. При этом теплофизические характеристики прогреваемых материалов зависят от температуры и пространственных координат. В моделях учитывается возможность протекания химических реакций и фазовых переходов.

2. Разработан конечно-объемный алгоритм, позволяющий рассчитывать теплопроводность в материалах с существенно меняющимися теплофизическими характеристиками на неортогональных и неупорядоченных сетках расчетной области. Для интегрирования по времени обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым приводятся уравнения теплопроводности, записанные в

22

конечно-объемной постановке, могут применяться различные численные методы: метод Эйлера, метод Рунге-Кутга, Метод Адамса-Башфор га.

3. Для анализа устойчивости численного решения используется метод, основанный на анализе собственных значений характеристической матрицы для системы обыкновенных дифференциальных уравненнй, характеризующих ошибку численного решения. Исследование устойчивости выполнено для одно- и двухмерных задач на неравномерных и неортогонзльных сетках. С использованием приведенной методики установлено, что условие ¡A^alí| < 1 для одномерных задач

. достигается при а • Дт¡te1 < 0,25, а для двухмерных задач при а • Дт/Az2 < 0,25.

4. Скорость перемещения изотермы Т = 450 К в металлизированном и - безметальмем смесевых топливах имеет промежуточное значение между скоростями

изотерм Т = 450 К в каждом из элементов смссевого топлива. Так как скорость перемещения изотермы Т - 450 К в алюминии выше, чем в ПХА, то скорость перемещения изотермы Т = 450 К в металлизированном смесевом топливе выше, чем в безметальном. В исследованных задачах отличие скоростей изотермы Т = 450 К достигает 10%. Также на скорость изотермы Т = 450 К будет влиять процентное содержание металла и пространственное расположение частиц металла.

5. Расположение частиц ПХА относительно канала сказывает влияние па процесс прогрева топлива: чем ближе частица ПХА расположена к каналу заряда, тем ниже скорость движения изотермы Т = 450 К. Для металлизированного и безметального CIT в тех случаях, где частица ПХА граничит с каналом заряда, скорость перемещения изотермы Т = 450 К снижается до 5%.

6. Установлено влияние теплофизических параметров, размеров и температуры К-частицы на прогрев твердого топлива. Увеличение температуры К-частицы в диапазоне 700 К * 2000 К сокращает время прогрева твердого топлива до 60 раз. Если К-частица предстаиляет собой металл, покрытый оксидной пленкой, то при толщине оксидной пленки, равной 0,1 высоты всей К-частицы, время прогрева твердого топлива сокращается на 45%.

7. Проведенные расчеты позволили выяснить влияние теплофизических свойств, размеров и температуры нагрева теплового ножа на прогрев твердого топлива. Установлено, что изменение теплового потока по периметру контакта теплового ножа с твердым топливом не превышает 10%. Теплофизические свойства материалов теплового ножа и его геометрические размеры не оказывают значительного влияния на время воспламенения твердого топлива. Тепловой кож, нагретый до температуры 650 К, при контакте с твердым топливом обеспечивает пиролиз твердого топлива в диапазоне давлений р = 3 -г 12 МПа. При температурах нагрева теплового ножа 700 К и более возможно реализовать только режим разрезания заряда твердого топлива.

8. Исследования теплопроводности в неизвлекаемом теплопроводном элементе, изготовленном из изотропного (алюминий) или ортотропного (пиролитический графит) материалов и установленном в заряде твердого топлива, показали, что воспламенение в зоне контакта заряда твердого топлива с неизвлекаемым теплопроводным элементом происходит за время, превосходящее начальный этап работы ракетного двигателя твердого топлива. С момента воспламенения твердое топливо будет играть роль теплового изолятора, не позволяя теплу поступать в

теплопроводный элемент, а горение топлива, контактирующего с НТЭ, будет затруднено.

9. Полый неизвлекаемый теплопроводный элемент с толщиной стенки 0,25 мм позволяет воспламенить порох «Н» при давлении в диапазоне 3-5 МПа. При большей толщине стенок полого теплопроводного элемента плотность теплового потока от НТЭ к топливу недостаточна для обеспечения устойчивого воспламенения пороха «Н».

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Суворов, С. В. Моделирование процессов теплопроводности в среде с существенно неоднородными свойствами / С. В. Суворов, А. В. Алиев // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2009.-№4.-С. 182-186.

2. Суворов, С. В. Моделирование процессов теплопроводности при контакте высокотемпературной частицы с твердым топливом / С. В. Суворов, А. В. Алиев,

B. И. Сарабьев, В. И. Бабин // Интеллектуальные системы в производстве. - 2009. -№4.-С. 10-13.

3. Суворов, С. В. Решение задачи о зажигании гетерогенной среды / С. В. Суворов // Математическое моделирование в образовании, науке и производстве : материалы IV Междунар. науч.-практич. .конф. Тирасполь, 3-6 июня 2007 г. -Тирасполь: Изд-во РИО ПТУ, 2007. - С. 115-116.

4. Суворов, С. В. Модели зажимания твердого топлива с металлическими вкладышами / С. В. Суворов // Фундаментальные основы баллистического проектирования: Всерос. науч.-технич. конф. Санкт-Петербург, 23-26 июня 2008 г.: сб. материалов. Т. 1 /подред.Б.Э.Кэрта.-Балт.гос.тех.ун-т;СПб.,2008-С. 159-160.

5. Суворов, С. В. Зажигание полимера с металлическими вкладышами / С. В. Суворов // Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и в ствольных системах : Шестая Всерос. конф. (ICOC-2008). Россия, С.-Петербург, 810 ноября 2008 г. - Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2008. - С. 128-130.

6. Суворов, С. В. Теплообмен в гетерогенной среде / С. В. Суворов // Математическое моделирование в образовании, науке и производстве : материалы VI Междунар. науч.-праетич. конф. Тирасполь, 7-10 июня 2009 г. - Тирасполь : Изд-во РИО ПТУ, 2009. - С. 102-103.

7. Моделирование процессов в камере сгорания управляемого твердотопливного двигателя с- учетом стохастического характера условий его работы : отчет по НИР. - № гос. регистр. НИР 01.2006 06493 / С. В. Суворов, А. В. Алиев, О. В. Мищенкова, А. Н. Лошкарев, Д. С. Блинов. -Ижевск: ИжГТУ, 2007.-60 с.

8. Исследование процессов зажигания, воспламенения и нестационарного горения твердых ракетных топлив с существенно неоднородными теплофизическими свойствам.: отчет по НИР. .- Щ гос. регистр. НИР 0120.0 805055 /

C. В. Суворов, А. В. Алиев, О. В. Мищенкова, А. Н. Лошкарев, Д. С. Блинов. -Ижевск: ИжГТУ, 2009. -141 с.

9. Пат. 92109 Российская Федерация, МПК F03B 15/02. Ракетный двигатель твердого топлива / С. В. Суворов, А. В. Алиев (РФ); заявитель С. В. Суворов, А. В. Алиев ; патентообладатель ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет». 2009129891; заявл. 03.08,09, опубл. 10.03.2010 Бюл. №7 -5с.: ил.

Основные сокращения и обозначения

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В

МАТЕРИАЛАХ С НЕОДНОРОДНЫМИ СВОЙСТВАМИ

1.1 Процессы прогрева и воспламенения баллиститных и смесевых твердых топлив

1.2 Прогрев твердого топлива частицей воспламенительного состава

1.3 Моделирование теплопроводности при контакте теплового ножа с зарядом твердого топлива

1.4 Моделирование теплопроводности в заряд твердого топлива при установке в него неизвлекаемого теплопроводного элемента

Выводы по главе

Глава 2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1 Общие положения

2.2 Методы аппроксимации дифференциальных уравнений

2.3 Анализ устойчивости численного решения

2.4 Анализ сходимость численного решения 84 Выводы по главе

Глава 3 РАСЧЕТ ПРОГРЕВА ТВЕРДОГО ТОПЛИВА

3.1 Прогрев смесевого твердого топлива конвективным тепловым потоком

3.2 Контактная теплопроводность между К-частицей и твердым топливом 110 Выводы по главе

Глава 4 ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РДТТ С

РЕГУЛИРУЕМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

4.1 Пиролиз твердого топлива при подводе к нему теплового ножа

4.2 Теплопроводность между неизвлекаемым теплопроводным элементом и твердым топливом

Выводы по главе

Актуальность темы

Современный уровень развития вычислительной техники-, позволяет моделировать сложные физические процессы, используя при этом более совершенные численные методы, повышающие точность результатов расчетов. Одной из сфер практического применения математического моделирования и вычислительных методов являются, в частности, задачи о процессах нагрева химически реагирующих композиционных материалов. Химически реагирующими композиционными материалами, процесс нагрева которых исследован в данной работе; являются' баллиститные (гомогенные) и смесевые (гетерогенные) твердые топлива, используемых в ракетных двигателях (РДТТ). Исследование-рассматриваемого' класса' задач в разные годы выполнялось такими учеными, как. Зельдович Я.Б., Новожилов. Б.В:, Вилюнов В.Н., Соркин Р.Е., Липанов A.M., Романов ОгЯ., Бабук В:А, Дульнев Г.Н., и др. Ведущая* роль в развитии данного направления принадлежит, в частности, следующим организациям: Институт химической физики РАН- (г. Москва), НПО «Алтай» (г. Бийск), НПО «Союз» (г. Люберцы), НИИ полимерных материалов (г. Пермь), НИИ прикладной математики и механики при ТГУ (г. Томск), НИИ прикладной химии (г. Сергиев Посад) и др. Среди зарубежных ученых следует отметить существенный вклад в исследование вопросов-прогрева* и зажигания твердого топлива Саммерфильда Mi, Кулкарни А., Кумара М., Куо К., Бекстеда М., Прайса Е.Б., Брэдли Х.Х. и др.

Численные методы решения задач прогрева и зажигания* твердых материалов содержится в работах Самарского А. А-.; Патанкара С., Флетчера К., Андерсона Д., Таннехилла Дж., Плетчера Р. и др.

В задачах о прогреве твердого топлива актуальными являются следующие вопросы: особенности перемещения изотерм в заряде из металлизированного и безметального смесевого твердого топлива, особенности прогрева твердого топлива при контактном воздействии на него горячих конденсированных частиц, основные закономерности горения твердого топлива при воздействии на горящую поверхность теплового ножа, прогрев и зажигание твердого топлива с установленным в теле заряда металлическим неизвлекаемым теплопроводным элементом. Перечисленные задачи требуют разработки таких математических моделей, численных методов и вычислительных алгоритмов, которые позволяли бы исследовать тепловые процессы в средах с изменяющимися во времени и по пространственным координатам теплофизическими свойствами. При разработке вычислительных методов становятся актуальными вопросы, связанные с развитием методов оценки устойчивости применяемых вычислительных алгоритмов.

Объект исследования — процессы нагрева химически реагирующих композиционных материалов (баллиститных и смесевых твердых топлив), безметальных и металлизированных, в том* числе, при использовании теплового ножа и неизвлекаемых теплопроводных элементов.

Предмет исследования - математические модели, численные методы и вычислительные алгоритмы расчета процессов прогрева твердых ракетных топлив с металлическими включениями, анализ устойчивости используемых вычислительных методов решения, закономерности прогрева твердых ракетных топлив при наличии в них металлических элементов.

Цель работы: • разработка математических моделей процессов прогрева смесевых твердых топлив с металлическими включениями; создание устойчивых вычислительных алгоритмов, обеспечивающих решение рассматриваемого класса задач; исследование закономерностей прогрева твердых топлив при наличии в них металлических включений.

Для реализации поставленной цели решаются следующие задачи:

- обоснование применения для расчета прогрева- твердых топлив с металлическими включениями уравнений теплопроводности с разрывными коэффициентами;

- обоснование интегро-интерполяционного метода при построении вычислительных алгоритмов;

- разработка метода оценки устойчивости численного решения;

- анализ результатов, численного решения задач о прогреве твердого топлива при выпадении на его поверхностный слой, конденсированных частиц^ при воздействии на его прогретую зону теплового ножа! или другого металлического включения.

Методы исследования

При формулировании математических моделей используются известные теоремы и законы физики (закон сохранения энергии, методы линеаризации). При проведении расчетов, используются апробированные методы вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением фундаментальных законов физики. Для задач,, имеющих аналитическое решение, было проведено сравнение с численным-решением. Такое сравнение подтвердило достаточную для практики точность численного решения.

На защиту выносятся:

- математическая модель и вычислительные алгоритмы решения задач о нагреве химически реагирующих композиционных материалов;

- метод анализа устойчивости численного решения задачи теплопроводности;

- результаты анализа прогрева металлизированного и безметального твердого топлива;

- результаты исследования процессов прогрева' твердого топлива при выпадении на поверхность заряда твердого топлива К-частиц, образованных при сгорании воспламенительного состава;

- установленные физические закономерности процессов прогрева и воспламенения заряда твердого топлива в зоне контакта м тепловым ножом, и в зоне с неизвлекаемым теплопроводным элементом.

Научная новизна работы:

- для решения всех рассматриваемых классов задач о прогреве композиционного материала используется единый, подход — общая математическая модель процессов и единый вычислительный алгоритм;

- предложенный метод анализа устойчивости численного решения уравнения теплопроводности основан на анализе собственных значений характеристической матрицы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих ошибку численного решения;

- установлено, что пиролиз твердого топлива при контакте с тепловым ножом имеет место при относительно низкой температуре нагрева теплового ножа -порядка 650 К. При температуре более 700 К возможен только режим разрезания заряда твердого топлива. Показано, что марка тугоплавкого материала, используемого для теплового ножа, незначительно влияет на качественные и количественные результаты прогрева твердого топлива;

- исследование теплопроводности в неизвлекаемом теплопроводном элементе, установленном в заряде твердого топлива, при подводе к нему тепла от внешнего источника, показало, что время воспламенения твердого топлива в зоне контакта неизвлекаемого теплопроводного элемента и твердого топлива будет на порядки больше, чем время воспламенения твердого топлива;

- предложена конструкция эффективного неизвлекаемого металлического элемента, защищенная патентом на полезную модель.

Теоретическая ценность работы

Полученные результаты являются новыми. Оценка^ устойчивости численного решения основана на анализе собственных значений характеристической матрицы, записанной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих ошибку численного решения. Такой подход представляется более универсальным, по сравнению с применяемыми в настоящее время методами. Дана качественная и количественная оценка влияния температуры, размеров- и теплофизических свойств, компонентов смесевого твердого топлива, К-частиц и элементов конструкции РДТТ на процессы прогрева и воспламенения заряда твердого топлива. Установлены параметры, при которых обеспечивается устойчивое горение твердого топлива, контактирующего с тепловым ножом или неизвлекаемым теплопроводным элементом.

Практическая значимость работы

Полученные результаты о прогреве композиционных материалов (смесевых твердых топлив и твердых топлив, контактирующих с К-частицами, с тепловым ножом и с неизвлекаемым теплопроводным элементом) могут быть применены при проектировании новых топливных зарядов для твердотопливных энергетических установок.

Реализация работы состоит в выполнении НИР (номера государственной регистрации № 01.2006 06493, № 0120.0 805055). Разработанные математические модели и программное обеспечение используются, при проведении лекций и лабораторных работ по- дисциплине «Математическое моделирование» и «Проектирование РДТТ» (направление «Авиа- ракетостроение»- специальность 16.01.00 и специальность 160302.65 «Ракетные двигатели»), читаемых на кафедре «Тепловые двигатели и установки» ГОУ ВПО ИжГТУ.

Апробация работы

Результаты исследований докладывались на следующих научных конференциях:

- Международные научно-практические конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве», г. Тирасполь, 3-6 июня, 2007 г., 7-10 июня 2009 г.;

- Всероссийская конференция «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и в ствольных системах», г. Санкт-Петербург, 8-10 сентября 2008 г;

- Всероссийская- научно техническая конференция- «Фундаментальные основы баллистического проектирования», г. Санкт-Петербург, 23-26 июня 2008 г.;

Полностью работа докладывалась на научных семинарах в ИжГТУ.

Публикации

Результаты диссертационной работы отражены в семи научных статьях, две из которых опубликованы в журналах из списка ВАК, отчетах по НИР номера государственной регистрации №01.2006 06493, №0120.0 805055. Получен патент на полезную модель №92109:

Личное участие автора

Личное участие автора состоит в формулировании исследуемой проблемы и математических моделей прогрева элементов конструкции зарядов твердого топлива, в разработке метода анализа устойчивости численного решения. Лично автором проводились разработка . вычислительных алгоритмов, моделирование процессов, теплопроводности, разработка программных продуктов и анализ результатов расчетов, полученных в рамках исследований.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, изложенных на 163 страницах, содержит 92 рисунков, 25 таблиц и библиографический^ список, включающий 106 источников.

Выводы о процессе прогрева металлизированного и безметального смесевого твердого топлива:

1. В металлизированном: GTT, как: и в безметальном; газификация связующего > начинается раньше пиролиза ПХА.

2. Скорость движения изотермы: Т. = , 450 К в металлизированном! и безметальном , смесевых топливах имеют: промежуточное; значение между скоростями изотерм; Т = 450 К в каждом » из * элементов-: смесевого , топлива5; Так как скорость движения изотермы Т = 450 К в алюминии выше, чем в ПХА, то скорость движения изотермы Т = 450 К в металлизированном смесевом топливе выше, чем-в-безметальном: В: исследованных задачах отличие: скоростей изотермы Т = 450 К достигает 10%.--Так;же на скорость изотермы Т = 450 К будет влиять, процентное: содержание и расположение частиц металла. .

3. Расположение частиц ПХА относительно канала оказывает влияние на процесс прогрева топлива — чем ближе частица ПХА расположена' к каналу заряда; тем ниже скорость движения изотермы: Т = 450 К. Для металлизированного и:

109 безметального СТТ в тех случаях, где частица ПХА граничит с каналом» заряда, скорость изотермы Т = 450 К снижается до 5%.

4. Полученные результаты относятся к решению задачи в двухмерной постановке. При расчете смесевого топлива в- трехмерной постановке результаты могут отличаться, так как частицы металла и ПХА имеют сферическую форму.

3.2 Контактная теплопроводность между К-частицей и твердым топливом

Как указывалось выше, применение в воспламенительных составах металлов требует изучения влияния оксидов этих металлов на прогрев и воспламенение твердого > топлива. Математическая формулировка данной задачи приведена в соотношениях (1.23), (1.24).

Температура продуктов сгорания воспламенительного состава равен Tg = 3200 К, л а коэффициент теплоотдачи^ продуктов сгорания ВС равен- а = 700 (Дж/(м -с-К)). Диапазон начальной температуры К-частицы Тм может быть от 700 К до 2000 К.

В первом-эксперименте исследуем влияние температуры К-частицы. Зададимся следующими.- геометрическими параметрами системы К-частицьь и* твердого топлива: = 5-10"6 (м), h = 4-10"5 (м), rt — 10"4 (м), Н= 10"4 (м). Вся расчетная область разбивается на равномерные элементарные объемы размером Аг = Az = 10"6 (м). о

Шаг по времени Дт = 10" (с).

Твердым топливом является порох «Н» [15] с параметрами химической кинетики: Q= 1130436.0 (Дж/кг); К0= 0 (1/с) при Т,< 450 К, К0=Ю,4(1/с) при-Tt > 450 К; Еа = 146422,2 (Дж/моль); Г* = 618 К.

Расчеты проводятся- для К-частиц из алюминия и магния;* теплофизические свойства их оксидов приведены в таблице 3.4 и соответствуют [81, 82]. Плотность материалов считаем постоянной во всем диапазоне температур. Плотность оксида алюминия р = 3960 (кг/м ), плотность оксида магния р = 3670 (кг/м ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для решения задач о процессах нагрева химически реагирующих композиционных материалов предложено использовать модели тепловых процессов, • основанные на решении задачи теплопроводности в нестационарной одно-, двух- и трехмерной постановках. При этом теплофизические характеристики прогреваемых материалов зависят от температуры и пространственных координат. В моделях учитывается возможность протекания химических реакций и фазовых переходов.

2. Разработан конечно-объемный алгоритм, позволяющий рассчитывать теплопроводность в материалах с существенно меняющимися теплофизическими характеристиками на неортогональных и неупорядоченных сетках расчетной области. Для интегрирования по времени обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым приводятся уравнения теплопроводности, записанные в конечно-объемной постановке, могут применяться различные численные методы: метод Эйлера; метод Рунге-Кутта, Метод Адамса-Башфорта>.

3. Для анализа устойчивости численного решения используется метод,' основанный на анализе собственных значений характеристической матрицы для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, характеризующих ошибку численного решения. Исследование устойчивости выполнено для одно- и двухмерных задач на неравномерных и неортогональных сетках. С использованием приведенной методики установлено, что условие |Я,тах I < 1 для одномерных задач достигается при а • Дт/Az1 < 0,25, а для двухмерных задач при а • Дт/Az2 < 0,25-.

4. Скорость перемещения изотермы Т = 450» К в металлизированном' и безметальном смесевых топливах имеет промежуточное значение между скоростями* изотерм Т = 450 К в каждом из элементов смесевого топлива. Так как скорость перемещения изотермы Т = 450 К в алюминии выше, чем в ПХА, то скорость перемещения изотермы Т = 450 К в металлизированном смесевом топливе выше, чем в безметальном. В исследованных задачах отличие скоростей изотермы Т = 450 К достигает 10%. Также на скорость изотермы Т = 450 К будет влиять процентное содержание металла и пространственное расположение частиц металла.

5. Расположение частиц ПХА относительно канала оказывает влияние на процесс прогрева топлива: чем ближе частица ПХА расположена к каналу заряда, тем ниже скорость движения изотермы Т = 450 К. Для металлизированного и безметального СТТ в тех случаях, где частица ПХА граничит с каналом заряда, скорость перемещения изотермы Т = 450 К снижается до 5%.

6. Установлено влияние теплофизических параметров, размеров и температуры К-частицы на прогрев твердого топлива. Увеличение температуры К-частицы в диапазоне 700 К -г 2000 К сокращает время прогрева твердого топлива до 60 раз. Если К-частица представляет собой металл, покрытый оксидной пленкой, то при толщине оксидной пленки, равной 0,1 высоты всей К-частицы, время прогрева твердого топлива сокращается на 45%.

7. Проведенные расчеты позволили выяснить влияние теплофизических свойств, размеров и температуры нагрева теплового ножа на прогрев твердого топлива. Установлено, что изменение теплового потока по периметру контакта теплового ножа с твердым топливом не превышает 10%. Теплофизические свойства материалов теплового ножа и его геометрические размеры не юказывают значительного влияния на время воспламенения твердого топлива. Тепловой нож, нагретый до температуры 650 К, при контакте с твердым топливом обеспечивает пиролиз твердого топлива в диапазоне давлений р = Ъ + \2 МПа. При температурах нагрева теплового ножа 700 К и более возможно реализовать только режим разрезания заряда твердого топлива.

8. Исследования теплопроводности в неизвлекаемом теплопроводном элементе, изготовленном из изотропного (алюминий) или ортотропного (пиролитический-графит^ материалов и установленном в заряде твердого топлива, показали, что воспламенение в зоне контакта заряда твердого топлива с неизвлекаемым теплопроводным элементом происходит за время, превосходящее начальный этап работы ракетного двигателя твердого топлива. С момента воспламенения твердое топливо будет играть роль теплового изолятора, не позволяя теплу поступать в теплопроводный элемент, а горение топлива, контактирующего с НТЭ, будет затруднено.

9. Полый неизвлекаемый теплопроводный элемент с толщиной стенки 0,25 мм позволяет воспламенить порох «Н» при давлении в диапазоне 3-5 МПа. При большей толщине стенок полого теплопроводного элемента плотность теплового потока от НТЭ к топливу недостаточна для обеспечения устойчивого воспламенения пороха «Н». При увеличении толщины стенки полого неизвел екаемого теплопроводного элемента увеличивается время прогрева топлива до температуры воспламенения, из-за чего увеличивается доля тепла, выделяемая в результате экзотермической химической реакции. В таком случае воспламенение твердого топлива будет происходить не на поверхности, а в глубине заряда, как следствие горение твердого топлива будет неустойчивым.

1. Аверсон А. Э. Закономерности зажигания конденсированных взрывчатых систем при идеальном теплообмене на поверхности с учетом выгорания / Аверсон А. Э., Барзыкин В. В., Мержанов А. Г. // Инженерно-физический журнал. -1965. Т. 9, № 2. - С. 245 - 260.

2. Алиев А.В. и др. Внутренняя баллистика РДТТ / Алиев А.В., Амарантов Г.Н., Ахмадеев В.Ф., Бурский Г.В. Под. ред. Липанов A.M., Милехин Ю.М. М.: Машиностроение, 2007. - 504 с.

3. Алиев А. В. Математическое моделирование в энергомашиностроении : учебное пособие для вузов / А. В: Алиев. Ижевск : Изд-во ИжГТУ4. 1 : Построение математических моделей. — 2001. — 164 с.

4. Алиев А. В. Современные проблемы внутренней баллистики РДТТ / А. В. Алиев. Ижевск : Изд-во Института прикладной механики УрО РАН, 1996.

5. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен : в 2-х т : пер. с англ. / Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. М. : Мир, 1990. - 384 с.

6. Бартеньев О. В. ФОРТРАН для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. : В 3 ч. / О. В. Бартеньев. М. : ДИАЛОГ-МИФИ, 2000-2001.

7. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов : пер. с англ. / К. Бате, Е. Вилсон. М : Стройиздат, 1982. - 448с.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. — М.: Наука, 1975.

9. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

10. Бекстед М. Модель горения двухосновных топлив / М. Бекстед // Ракетная техника и космонавтика. 1980. - № 8. - С. 148 — 155.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1969. -368 с.

12. Беляев Н.М. Методы нестационарной теплопроводности / Н.М. Беляев, А.А. Рядно. М.: Высшая школа. 1978 - 328 с.

13. Богомолов К. Л. Ячейки Дирихле в метрике кратчайшего пути* / К. Jit Богомолов, В. Ф. Тишкин. // Математическое моделирование. 2003 - Т. 15, № 5. -С. 71 -79.

14. Вилюнов В. Н. Моделирование двухфазного течения смеси газа с горящими частицами металла в полузамкнутом канале / В. Н. Вилюнов, А. Б. Ворожцов, Ю. В. Фещенко // Физика горения и взрыва. 1989. - №3. - С. 39 - 43.

15. Вилюнов В. Н. Теория зажигания конденсированных веществ / В. Н, Вилюнов. Новосибирск : Наука, 1984

16. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С, Владимиров.- 4-е изд. М. : Наука, 1981. - 512 с.

17. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. -М.: Наука, 1984

18. Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982

19. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы : пер. с англ. / Р. Галагер — М.: Мир, 1984.-428с.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1966 - 576 с:

21. Годунов С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов, В. С. Рябенький М. : Наука, 1973.-400с.

22. Дейч М. Е. Газодинамика двухфазных сред / М. Е. Дейч, Г. А. Филиппов. -М. : Энергоиздат, 1981.

23. Дульнев Г.Н. Процессы переноса в неоднородных средах / Г.Н. Дульнев, В.В. Новиков. Л.: Энергоатомиздат. 1991 -248 с.

24. Дульнев Г.Н. Теплопроводность смесей и композиционных материалов / Г.Н. Дульнев, Ю.П. Заречняк. Л.: Энергия: 1974 - 264 с.

25. Ерохин Б. Т. Нестационарные и квазистационарные режимы РДТТ / Б. Т. Ерохин, А. М. Липанов. -М. : Машиностроение, 1977.

26. Ерохин Б. Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирование РДТТ : учебник для высших технических учебных заведений / Б. Т. Ерохин. М. : Машиностроение, 1991. — 560 с.

27. Загребин Л.Д. Измерение температуропроводности твердых' тел с осесимметрично расположенным источником теплового импульса / Л.Д. Загребин,

28. A.И. Байметов // Инженерно-физический журнал 2001. - Т. 74, №3. - С. 75 - 80.

29. Зельдович Я. Б. Избранные труды. Химическая физика и гидродинамика-/ Я. Б. Зельдович. -М. : Наука, 1984. 374 с.

30. Зельдович Я. Б. Теория нестационарного горения пороха / Я. Б. Зельдович, О. И. Лейпунский, В. Б. Либрович. М. : Наука, 1975. - 132 с.

31. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений / Х.Д. Икрамов. — М.: Наука, 1984.

32. Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс / В. А. Ильин,

33. B.А. Садовничий, Бл. X Сендов. Под ред. А.Н. Тихонова. 2-е изд., перераб. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 662 с.

34. Исаков Г. Н. Анализ процессов воспламенения гетерогенных систем при нестационарном тепло и массообмене на примере смесевого состава ПММА + ПХА / Г. Н. Исаков // Физика горения и взрыва: - 1994. - №5. - С. 18-29.

35. Кавени Г. Дробление агломератов А1/А120з в ускоряющемся потоке / Гани Кавени // Ракетная техниками космонавтика. 1979. - Т. 17, Вып. 12. - С. 76 - 80.

36. Калинин В. В. Нестационарные методы проектирования узлов РДТТ / В. В. Калинин, Ю. Н. Ковалев, А. М, Липанов. М. : Машиностроение, 1986.

37. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1976: - 576 с.

38. Камынин Л. И. Курс математического анализа. Т II. : учебник / Л. И. Камынин. М. : Изд-во МГУ. - 1995. - 624 с.

39. Каслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Каслоу, Д. Егер — М.: Наука, 1964-488 с.

40. Кирьянов Д. В. Самоучитель Mathcad 11 / Д. В. Кирьянов. СПб. : БХВ-Петербург, 2003. - 560 с.

41. Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В. Копченова, И.А. Марон. -М.: Наука, 1972

42. Кузнецов Г. В. Численное моделирование зажигания конденсированного вещества нагретой до высоких' температур частицей / Г. В. Кузнецов, Г. Я. Мамонтов, Г. В. Таратушкина // Физика горения и взрыва.»- 2004. №1. - С. 78-85

43. Кузьмин М. П. Нестационарный тепловой режим элементов конструкции-двигателей летательных аппаратов / М. П. Кузьмин, И. М. Лагун. — М. : Машиностроение, 1988. 240 с.

44. Кулкарни А. Обзор исследований процесса воспламенения ТРТ / А. Кулкарни, М. Кумар, К. Куо // Ракетная техника и космонавтика. 1982. - Т. 20, №3. - С. 97-99.

45. Кунаков Г. А. Характеристики продуктов сгорания металлосодержащих топлив / Г. А. Кунаков, А. 3. Чулков // Ракетные топлива. М. : Мир, 1975. - С. 74 -96.

46. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена / С. С. Кутателадзе. М. : Атомиздат, 1979.

47. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: Справочное пособие / С.С. Кутателадзе. М.: Энергоатомиздат, 1990.

48. Ла-Салль Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова : пер. с англ. / Ж. Ла-Салль, С. Лефшер. М. : Мир, 1964 - 168 с.

49. Ланкастер П. Теория матриц : пер. с англ / П. Ланкастер. — М. : Наука, 1978, 280 с.

50. Лебедев А. С. Разработка методов построения адаптивных сеток / А. С. Лебедев, В. Д. Лисейкин, Г. С. Хакимзянов // Вычислительные технологии. 2002. -№3. - С. 29 -43.

51. Левин В. И. Дифференциальные уравнения математической физики / В. И. Левин, Ю. И. Гросберг. М. ; Л. : Государственное изд-во технико-теоретической лит., 1951 -575 с.

52. Липанов А. М. Проектирование ракетных двигателей твердого топлива : учебник для студентов вузов / А. М. Липанов, А. В. Алиев. М. : Машиностроение, 1995.-400 с.

53. Липанов А. М. Физико-химическая и математическая модели горения смесевых твердых топлив : препринт / А. М. Липанов. Ижевск : ИПМ УрО РАН, 2007.- 112 с.

54. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М.: Высшая школа, 1967.-599 с.

55. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). М.: Энергия, 1978. - 480 с.

56. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. — М. Л: ГИТТЛ, 1950; - 472 с.

57. Макчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Макчук. М. : Наука, 1977.

58. Матвеев В. В. О гетерогенном зажигании частицы твердого топлива горячим газом / В. В. Матвеев, А. Н. Гречаный // Физикагорения и взрыва. 1984. - • №5. - С. 61-64.

59. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными : пер. с англ. / Э. Митчелл, Р. Уэйт. -М. : Мир, 1981. -216с.

60. Моделирование закрученных двухфазных течений с реагирующей" (испаряющейся ) К-фазой / Белкина Е. П. и др. // Моделирование в механике. -1990.-Т. 4, №3.-С. 21-25.

61. Неледова А. В. Нерегулярные адаптивные сетки для решения задач математической физики / А. В. Неледова, В. Ф. Тишкин, А. Ю. Филатов // Математическое моделирование. 1997. - Т. 9, № 2.

62. Новожилов Б. В. Нестационарное горение твердых ракетных топлив / Б. В. Новожилов. М.: Наука, 1973. - 176 с.

63. Норри Д. Введение в метод конечных элементов : пер. с англ. / Д. Норри, Ж. де Фриз ; под ред. Г. И. Марчука. М. : Мир, 19811 - 304 с.

64. Образование и выгорание сажи при сжигании углеводородов'; / Ф. Т. Бакиров и др. М.: Машиностроение, 1989.

65. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической,технике /В; С. Авдуевский и др.. Ml: Машиностроение, 1975.

66. Наскоков В. М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена / В. М. Пасконов, В. И: Полежаев, А. А. Чудов. М. : Наука, 1984.

67. Патанкар G. Численные: методы решения^ задач; теплообмена и динамики, жидкости / С Патанкар. М. : Энергоатомиздат, 1984.

68. Пискунов Н.: С. Дифференциальное ишнтегральное исчисление для втузов : учебное пособие для втузов :.В 2 т. Т. 2 / Н. С. Пискунов. 13-е изд. - М. : Наука, 1985.-432 с.

69. Полянин А.! Д! Справочник, по нелинейным- уравнениям; математической? физики: Точные решения / Полянин А. Д, Зайцев В. Ф. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. -432 с. ' ' ' V. . '

70. Теория воспламенения? твердых топлив / Е. Б:. Прайс и др. // Ракетная техника и космонавтика. -1966. —Т. 4^№Т. -:GV3 -41.

71. Райзберг Б. А. Основы теории рабочих процессов в ракетных системах на твердом топливе,* / Б. А. Райзберг, Б. Т. Ерохин, К. . П. Самсонов. М. : Машиностроение, 1972.

72. РДТТ с регулируемым модулем тяги / В. И. Петренко и др.. Миасс : Изд-во ТРЦ:«КБ им: акад. BTI. Макеева», 1994; - 246 с.

73. Рус як И. Г. Моделирование процессов воспламенения, нестационарного горения1, и; эрозионного горения твердого топлива- / И.Г. Русяк. — Ижевск: изд; Ижевск, мех.институт , 1990. — 108 с.

74. Рыбанин С. С. Распространение волны горения по поверхности; горючего материала при гетерогенной реакции / С. С. Рыбанин, С. Л. Соболев // Физика горения и взрыва. 1988.-№4.- С: 38-47.

75. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. — М. : Наука, 1971.-552 с.

76. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский , Е. С. Николаев. М. : Наука, 1978.

77. Саммерфильд М. И. Исследование ракетных двигателей на твердом топливе / М. И. Саммерфильд. М. : Изд-во Иностранной литературы. - С. 171-193.

78. Сарнер С. Химия ракетных топлив / С. Сарнер. — М. : Мир, 1969.

79. Соркин Р.Е. Газотермодинамика ракетных двигателей на твердом топливе / Р. Е. Соркин. -М.: Наука, 1967. 368 с.

80. Соркин Р. Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твердом топливе / Р. Е. Соркин. М. : Наука, 1983.

81. Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах : справочник / В.Е. Зиновьев. — М.: Металлургия, 1989. — 384 с.

82. Теплопроводность твердых тел : справочник / под ред. А.С. Охотина. М.: Энергоатомиздат, 1974t - 320 с.

83. Теплофизические свойства веществ : справочник / под ред. проф. Н. Б. Варгафтика. — М.; JI. : Госэнергоиздат, 1956. — 367 е.

84. Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Т. 1 / Г.П. Толстов. -М.: Наука, 1974 520 с.

85. Тимнат И. Ракетные двигатели на химическом топливе / И. Тимнат. Mi : Мир, 1990.-294 с.

86. Тихонов А. Н. Уравнения, математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М. : Наука, 1966. - 724 с.

87. Управляемые энергетические установки на твердом ракетном топливе / М. И. Соколовский и др.'. М. : Машиностроение, 2003. - 464 с.

88. Годунов С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов М. : Наука, 1971.-416 с.

89. Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев , В. Н. Фаддеева. М. : Физматгиз, 1960. - 655 с.

90. Физические величины : Справочник / А. П. Бабичев и др.г; под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. М. : Энергоиздат, 1991. - 1232 с.

91. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : пер.- с англ. : В 2 т. Т. 1 / К. Флетчер. М. : Мир, 1991. - 504 с.

92. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина : пер. с англ / К. Флетчер. М.: Мир, 1988, - 352 с.

93. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике / Д. А. Франк-Каменецкий. — М. : Наука, 1987. — 502 с.

94. Численный эксперимент в теории РДТТ / А. М. Липанов и др. ; под ред.

95. A. М. Липанова. — Екатеринбург : УИФ «Наука», 1994.

96. Шидловский А. А. Основы пиротехники / А. А. Шидловский. М'. : Машиностроение, 1973.-3201с.

97. Эйзель Влияние давления, скорости и геометрии на размеры частиц AI2O3, образующихся при горении металлизированного твердого» топлива* / Эйзель, Браун, Прайс // Ракетная техника и<космонавтика. 1975. - Т. 13, Вып. 1-2. - С. 7.

98. Энергетические конденсированные системы : Краткий энциклопедический словарь / под ред. Б. П. Жукова. 2-е изд., исправл. - М. : Янус К, 2000. - 596 с.

99. Янке Е. Специальные функции*: формулы таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. М.: Наука, 1964. - 344 с.

100. B. И. Сарабьев, В: И. Бабин // Интеллектуальные системы в производстве. 2009. — №4.-С. 10-13.