автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование особенностей развития макроэкономических систем вблизи критических точек

На правахрукописи

Смыкова Наталия Владимировна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ РАЗВИТИЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2004

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Лебедев В. И.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Симоновский А. Я.

доктор физико-математических наук, профессор Алтухов В. II.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Кубанский государственный университет, г. Краснодар

Зашита состоится 29 декабря 2004 г. в 13"" часов на заседании диссертационного совета К 212.245.02 Северо-Кавказского государственного технического университета по адресу: 355038, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевКавГТУ.

Автореферат разослан «Л ноября 2004 г.

Ученый секретарь

ТШЛЛЛП^гаиНАИИАГА /1/ЛП АТ»1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Возможность использования для анализа рядов динамики развивающихся, экономических систем концепции равновесия ограничена исходной предпосылкой о статичности порождающей данный ряд системы, для которой в действительности характерна сложная динамика. Сложно организованные новые пространственно-временные структуры систем возникают как результат самоорганизации из хаотических состояний. В таких самоорганизующихся системах вместо устойчивости и гармонии обнаруживаются эволюционные процессы, приводящие к еще большему разнообразию и усложнению структур. Концепции нелинейности и бифуркаций дают возможность методологически корректно исследовать динамические рады данных.

Открытие феномена детерминированного хаоса и самоорганизации в нем расширяет возможности, как математического моделирования, так и экономического прогнозирования. Наличие детерминированной природы хаоса позволяет предположить, что некоторые, кажущиеся в большей степени случайными, экономические явления могут оказаться в большей степени предсказуемыми.

В зависимости от того является система устойчивой или неустойчивой, она по-разному реагирует на внешние воздействия. Если система способна быстро возвращаться к равновесию, то результат внешнего воздействия будет незначителен. Однако, если система неустойчива, то влияние случайных воздействий очень сложно. Неустойчивая система может претерпевать структурную перестройку даже в том случае, когда изменения параметров будут небольшими.

Таким сложным системам как экономика присуще как регулярное, так и нерегулярное хаотическое поведение вблизи критических точек, генерируемое их нелинейным характером. Чтобы прогнозировать поведение развивающейся системы, необходимо построить теорию флуктуации вблизи критических состояний. Поэтому одной из проблем реализации концепции хаоса в исследованиях экономической динамики является методика измерения нерегулярного поведения, которое в развивающихся системах может проявляться в различных формах: движение к устойчивому узлу, фокусу, предельных циклов, бифуркации. Для гого чтобы отличать не-

| гесшмчц-иад!

I "У"»"« I

!

регулярное поведение систем от регулярного, необходимы критерии, на роль которых претендуют показатели Ляпунова.

Таким образом, для исследования поведения нелинейных неустойчивых динамических сметам, к которым относится экономика, особенно важен анализ поведения системы вблизи критической точки, когда небольшие изменения параметров приводят к потере системой линейной устойчивости и хаотическому поведению

Объектом исследования диссертационной работы является влияние стационарных и нестационарных факторов на особенности поведения макроэкономических показателей развивающихся экономически систем различной природы

Предмет исследования, математические модели и оценка с помощью разработанных алгоритмов влияния социальных и экономических факторов на динамическое нелинейное поведение параметров развивающихся систем.

Целью диссертационных исследований является разработка эффективного алгоритма получения равновесных и неравновесных математических моделей с использованием динамических рядов экспериментальных данных с целью исследования сущности развивающихся экономических систем и повышения точности прогнозных моделей

Научная задача исследований заключается в разработке алгоритма исследования динамических рядов, описывающих на разчных этапах развития поведение динамических экономических систем, с целью моделирования экономических связей и построения прогнозов

При решении поставленной общей научной задачи решен ряд частных чадач.

1. Разработка и обоснование методики исследования дискретных экспериментальных данных, позволяющей определить равновесие и неравновесие экономических систем.

2. Разработка алгоритма исследования временных рядов на основе методов неравновесной нелинейной динамики

3 Применение разработанных алгоритмов к исследованию динамики конкретных экономических систем, представленных экспериментальными данными, в области эволюционного развития и режиме бифуркаций.

4. Изучение процессов самоорганизации в области динамического хаоса на основе нелинейной динамики систем с целью построения прогноза их поведения.

Методы исследования. При построении математических моделей использовались методы математической статистики, методы теории катастроф и методы исследования нелинейных динамических систем, включая методы исследования динамического хаоса, исследование дискретных отображений, нелинейных динамических уравнений, исследование характеристик странных аттракторов.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обосновывается корректньм использованием апробированных методов корреляционного, множественного регрессионного и гармонического анализов, построением математических моделей с помощью методов неравновесной нелинейной динамики на основе экспериментальных динамических рядов, использованием современных информационных технологий, а также сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.

Информационная бaзa исследования включает данные Ставропольского краевого комитета госстагистики о динамике средней урожайности озимой пшеницы на территории Ставропольского края и курса акций компании "Лукойл" на ММВБ (Московской межбанковской валютной бирже).

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Предложен алгоритм обработки динамических рядов, отражающих сущность равновесных и развивающихся экономических систем.

2. Разработал метод построения простейших нглинейных математических моделей развивающихся экономических систем на основе исследования экспериментальных динамических рядов как дискретных отображений,

3. Исследованы динамические системы на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса на основе временных рядов урожайности зернового комплекса Ставропольского края и курса акций компании "Лукойл" с помощью дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

4 Создан пакет программ для ЭВМ, позволяющий строить аппроксимацион-ную модель развития динамической системы, определять значение управляющих

параметров и вычислять характеристики самоорганизации системы в виде странного аттрактора в режиме динамичгского хаоса

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Алгоритм исследования равновесия и неравновесия математических моделей экономических систем на основе динамических рядэв

2. Метод восстановления динамических нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем в виде нелинейных дифференциальных уравнений с помощью динамических рядов как дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

3. Методика исследования нелинейных динамических моделей, описывающих поведение развивающихся экономических систем на примере зернового комплекса Ставропольокого края и компании "Лукойл" на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса.

4. Апробация методики оценки характеристик странного аттрактора динамической системы компании "Лукойл" в режиме динамического хаоса с целью получения прогноза

Практическая значимость исследования состоит в тол, что полученные результаты могут быть применены в процессе прогнозирования поведения развивающихся систем. Разработана методика построения нелинейной аппроксимации экономических систем, позволяющая давагь прогнозы поведения системы в области эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса Полученные характеристики аттрактора позволяют определять характерное время, на которое может быть прел сказано поведение системы.

Реализация результатов исследования. Основные рсзультаты диссертационной работы реализованы в учебном процессе Ставропольского государственного университета и Ставропольского института переподготовки кадров агробизнеса; программный комплекс, созданной в работе, используется к Ставропольском филиале ОАО «МДМ-Баню; для анализа экономических показателей.

Апробация результатов исследования Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах Всероссийской научной конференции

«Математическое моделирование в научных исследованиях», г. Ставрополь, СГУ, 2000; I, II Региональных научных конференциях студентов и преподавателей «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Ставрополь, СевКавГТУ, 200^ 2002; Регионально й научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики», г. Ставрополь, СГУ, 2002; VI международной конференции «Экология и сдоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии», г. Краснодар, 2001; X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов на Дону, 2002; 46, 48 научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Унизерситет-ская наука - региону», г. Ставрополь, СГУ, 2001,2003.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 1С работ, из них 6 в соавторстве.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемых источников (содержащего 122 наименования) и приложений. Основная часть работы изложена на 129 страницах машинописного текста. Работа содержит 4 таблицы, 43 рисунка, 3 приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, научная новизна, практическая значимость, указаны основные положения выносимые на защиту, охараьтеризована структура диссертации.

В первой главе диссертации приводятся описания динамических рядов экономических показателей зернового комплекса Ставропопьского края с 1%2 года по 2002 год и курса &кций компании "Лукойл" с 5 августа 1998 года по 16 сентября 1998 года. В исследуемые временные промежутки дашые динамические ряды развиваются во времечи неоднородным образом с выражен-шми сменами режимов.

Далее проведен обзор традиционных статистических методов эко юметриче-ской обработки динамических рядов и новых информационных технологий, позво-

ляюших облегчить процесс моделирования поведения динамических рядов экономических систем. Известно, что каждый уровень динамического ряда формируется под воздействием закономерной и случайной составляющих. Приведены характеристики каждой компоненты динамического ряда. Представлен обзер имеющихся в литературе критериев проверки наличия/отсутствия неслучайной составляющей динамического ряда. Рассмотрены аналитические и алгоритмические методы выделения неслучайной составляющей в траектории, отражающей поведение динамического ряда экономических систем.

В последнее время для исследования и прогнозирования поведения развивающихся экономических систем используют методы теории нелинейных динамических систем, теории бифуркаций и теории катастроф.

Приведен один из подходов к исследованию динамических систем, основанный на наблюдении хаотических процессов в поведении системы и на построении аттрактора в так называемом реконструированном фазовом пространстве, которое восстанавливается из наблюдаемого динамического ряда, представляющего собой последовательность дискретных значений какой-либо переменной, генерируемой системой.

Рассмотрены основные количественные характеристики аттракторов, применяемые для идентификации параметров хаотической система, такие как экспоненты Ляпунова, корреляционная размерность и корреляционная энтропия.

Проанализированы основные положения теории бифуркации и теории катастроф, связанные с исследованием поведения динамических систем вблизи критических точек.

В ходе исследований сделан вывод о необходимости разработки усовершенствованной методики получения нелинейных моделей на основе динамических рядов, описывающих поведение равновесных и развивающихся экономических систем.

Вторая глава посвящена разработке методики исследования равновесия и неравновесия математических моделей экономических систем на основе динамических рядов. Предложен алгоритм исследования дискретных экспгриментальных

данных, позволяющий определить равновесие и неравновесие экономической системы, включающий следующие этапы: выделение неслучайной (закономерной) составляющей временного ряда; оценка параметров модели; оценка ТОННОСТи модели; исследование случайной компоненты ряда с целью проверки адекватности модели. Если полученная на основе исследования динамического ряда математическая модель экономической системы адекватна, то ее можно использовать для построения прогнозов. В противном случае для построения модели следует использозать методы исследования неравновесных данных.

Конкретная проработка предложенного алгоритма проведена на примере динамического ряда урожайности зернового комплекса Ставропольского края. Наличие смен режима в динамике ряда затрудняет построение единой модели экономической системы, поэтому построены различные модели, отражающие поведение временного ряда на двух интервалах: первый динамический ряд ста-

тистические данные с 1962 г. по 1989 г., а второй У2 — данные, приь адлежащие периоду с 1990 г. по 2002 г. Каждый из полученных временных рядов исследуется отдельно. С помощью методов регрессионного и гармонического анализов получены аддитивные модели, воссоздающие основные закономерности динамических рядов Так, например, для динамического ряда модель вида:

Щ0 = 12.94 - 0.23/ - 0.09/2 + 0.1/3 + 2.7559с05^^ -3.1416^ +

2.5889соэ[ ^±^-0.3715 ]+ 2.0582со$[ 2л"/-13+ 2.2726) + (1)

I 32 ) I 32 )

1.7684со5| 2п'1'7 +1.5488 ] + 1.7653со5| 2п'1'2-0.6434 | + I 32 ) I 32 )

1.6195соз -0.1586^ + £Г,

где Е — случайная компонента ряда. График реальных и рассчитанных с помощью модели (1) данных представлен на рисунке 1.

Графическое представление результатов моделирования и исходных статистических данных, близость коэффициента детерминации к I и Еыполнение Г-

критерия Фишера-Снедекора свидетельствуют о качестве полученных моделей.

Для проверки адекватности полученных моделей динамических рядов исследованы случайные компоненты (остатки) Е. Для этого используются ё -критерий Дарбина - Уотсона, ^-тест Льюинга-Ьокса, критерий "восходящих" и "нисходящих" серий, /-критерий Стьюдента, рассчитываются значения коэффициентов асимметрии Ас И Эксцесса Эк. Получено, что дня остатков моделей необходимые предпосылки метода наименьших квадратов не выполняются (исследуемые ряды остагков не позчиняются нормальному закону, математическое ожидание случайной последовательности отлично от нуля).

а а

2 4

?

о 6 2

1962 1964 1966 186« 11170 1 972 1974 1976 19'8 19S0 1962 1964 1916 1968 Time

Рисунок 1. Реальные и модельные данные динамического ряда

Таким образом эконометрические модели динамического ряда, описывающего развитие зернового комплекса Ставропольского края, не являются адекватными. Скорее всего, большинство эконометрических моделей, описывающих поведение развивающихся экономических систем, не являются адекватными и не могут быть использованы для прогноза. Для моделирования согласно предложенному алгоритму следует использовать методы обработки данных, основанные на теории неравновесной динамики.

В третьей главе показаны результаты применения методики исследования нелинейных развивающихся экономических систем на основе динамических рядов.

Исследована универсальная приближенная модель динамических систем вида:

В синергетике уравнению (2) удовлетворяет катастрофа типа "складка", представляющая основные лри южения теория катастроф в науке и технике

Проведено исследование свойств логистического отображения вида

В зависимости от значения управляющего параметра отображение (3) описывает различные этаты в поведении нелинейной развивающейся системы Имеем, что при 0</"<3 система развивается эволюционио; п /и Г& =3.5699т е -ма находится в режиме бифуркаций; при наблюдается режим динамического

хаоса Таким обрасом, предложен алгоритм исследования поведения развивающихся экономических систем на основе методов нелинейной динамики, подставленный на рисунке 2.

Гак как управляющий параметр г со временем претерпевает изменения, то необходимо определпъ значение управляющею параметра на отдельных временных промежутках Исполыуя нелинейный метод наименьших квадратов, на каждом участке можно получить наиболее оптимальное разностное уравнение, описывающее поведение системы. При математическом исследовании простейших одномерных систем с дискретным временем под отображением понимают временную выборку данных, которую записывают в виде разностного уравнения. Если использовать в качестве выборки уровни временных рядов, хараетеризующих поведение развивающихся систем, можно получать модели динамических систем на основе временных рядов как одномерных отображений

Метод построения простейших нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем на основе исследования экспериментальны к динамических рядов как дискретных отображений был проверен на примере временных рядов урожайности пшеницы на территории Ставропольского края и курса акций компании "Лучойл".

Описав логистической кривой временной ряд урожайности пшеницы на различных временные интервалах, получим нелинейную аппроксимацию данного ди-

намического ряда, которая приведена на рисунке 3.

(^Начало^)

Представление модели системы в виде одномерного отображения

Г г

Оценка управляющего параметра г модели

_да

_п

Эволюционный режим

Рисунок 2. Алгоритм исследования поведения развивающихся экономических систем на основе методов нелинейной динамики

62-65 66-69 70-70 7460 61-65 86-66 69-93 94 96 9М2 ?епой

Рисунок 4. Динамика управляющего параметра для нелинейной аппроксимации динамического ряда урожайности

Анализ значений управляющего параметра модели, представленных на рисунке 4, показал, что в периоды с 1962 года по 1980 год и с 1986 года по 2002 год управляющий параметр не превышает 3, следовательно, сельскохоляйственная система производства пшеницы находится в режиме эволюционного развития. С 1981 года по 1985 год значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций, т.е. дальнейшее развитие системы может пойти по одному из нескольких различных путей. Бифуркационный период развития системы совпадает с нестабильными годами перестройки общественной жизни. По-видимому, перемены в

общественных отношениях, происходящие в стране, затронули и сельское хо-

- Пютченный ряд • • • « Исходный ряд • К

\JXr

$ $ 3 о

Time

I I

Рисунок 5 Результаты нелинейной аппроксимадии временного ряда курса акции компании "Лукоич"

Рисунок 6 Динамика управляющего параметра для нелинейной аппроксимации динамического ряда курса акций <омпании "Лукойл"

На рисункг 5 представлены резутътаты нелинейной аппроксимации логистической кривой временного ряда, описывакщего динамику курса акций компании "Лукойл" за период с 5 августа 1998 года по 16 сентября 1998 года Значение управляющего параметра за этот период менялось четыре раза Результаты динамики управляющего параметра представлены на рисунке б Анализ поведения

управляющего параметра показывает, что в период с 19 августа 1998 года по 14 сентября 1998 года развитие экономической системы было хаотичным, поскольку значение управляющего параметра г = 3 86 > Гг. Хаос в развитии экономичгской системы связан с последствиями экономического кризиса 1998 года. В остальное время система развивалась эволюционно.

В режиме эволюдионного развития логистическая кривая стремиться к асимптотическому значению, равному X = — . Модель предсказывает, что с течением времени устанавтивается устойчивый режим Например, с 1999 года по 2002 год динамическая сельскохозяйственная система производства озимой пшеницы оптимально описывается дискретным отображением вида

Отображение (4) позволило получить прогнознье значения урожайности в 2003 и 2004 года< Пропкн урожайности пшеницы по Ставропольскому краю в 2003 году составил 24.26 ц^, фактическая урожайность - 23 6 ц/га. Предварительное значение средней урожайности пшеницы по Ставропольскому краю в 2004 году составляет 34.1 ц/гл, полученное модельное зна4ение - 33 27 ц/га.

Для отображения (3) режим бифуркаций характеризуется расщеплением неподвижной неустойчивой критической точки на два осциллирующих значения И Хг То есть происходит переход от однократного цикла, представленного критической точкой х, к двукратному циклу, состоящему из двух устойчивых критических точек Д)^ ="-^^ ^ ^. Наличие дзукратного цикла означает,

что значение показателя, характеризующего экономическую сущность динамической системы, будет меняться с периодом в два характеоных интервала.

Исследование рагаивающейся экономической системы в режиме бифуркаций было проведено на примере динамической системы производства пшеницы на территории Ставропольского края Было получено, что с 1981 года по 1985 год значение управляющего параметра Следовательно, имеет место режим би-

фуркаций При этом неподвижная неустойчивая точка jr = 06711 переходит в устойчивый двукратный цикл, представленный точками Х\ — 0 5978 К 0 7305 С точки зрения производства озимой пшеницы такая орбита дискретного отображения означает, что в данный период значения урожайности вместо приблизительного уровня в 14 49 ц/ra будут состав пять 1191 ц/га или 15 77 u/ra, причем эти значения будут ежегодно чередоваться Фактические данные урожайности пшеницы удовлетворяет данному выводу

Методика исследования нелинейных динамических моделей, описывающих поведение развивающихся -кономических систем в режиме динамического хаоса, рассматривается на примере экономической системы компании "Лукойл"

Для построения аттрактора динамической системы компании "Лукойл" использовался метод временной задерлли координат, при использовании которого большое значение приобретает правильный выбор временной задержки г Один из методов определения времени задержки вычисления спектра мощности

автокорреляционной функции вр( менного ряда, вычисленной по формуле

где Х^ r>- >^i+(n-|)r) _ последовательность точек вревенного ряда экс-

периментальных данных {i^}^1ц', & = 0,/и-1, тя = М-(и-1)г Гели в спектре мощности присутствуют кратные пики, то задержка г Еыбирается равной четверти периода самой высокой и j домин лрующих частот

На рисунке 7 видно, что в рез)льтате спектрального аналит автокорреляционной функции временного ряда курса акций компании "Лукойл" пик самой высокой из доминирующих частст приходиться на период, равный 4 Потому время за-держьи г выбираем равнь м четверти периода, что составляет 1 день

Полученный аттрактор свидетельствует о том, что кур( акции стремиться к определенной притягивающей траектории в 4 0 - 45 рублей

Получены значения количественных характеристик степени хаотичности системы - корреляционной размерности и корреляционной энтропии

Рисунок 7. Спектральный анализ автокорреляционной функции временного ряда

курса акций

Для этого рассматривался корреляционный интеграл, показывающий относительное число пар точек а-практора, находящихся на расстоянии, не большем г

. т-1 лт-1

СМ = -7-~£ ^(г-рСл:,,*,)),

(6)

т{т-\)12

где

число точек

Если выполняется условие

то В считают корреляционной размерностью аттрактора

На практике величину корреляционной размерностью аттрактора находят, построив график зависимости Корреляционная размерность дотжна сходиться к своей истинной величине, по мере увеличения размерности вложения аттрактора На рисунке 8 представлены графики корреляционных интегралов для размерностей вложений аттрактора динамической системы компании "Лукойл", позволяющие выделить область сходимости корреляционной размерно-

Целое число, следующее за числом корреляционной размерности, говорит о минимальном количестве переменных, необходимых для модглирования системы

Корреляционная размерность аттрактора курса акций компании "Лукойл" составляет й = 222 Система является низкоразмерной и для моделировачия развивающейся экономической системы компании "Лукойл" потребуются не менее трех переменных Размерность фазового пространства динамической системы не превосходит 6

Рисунок 8 Графики корреляционных интегралов для размерностей вложений аттрактора курса акций компании "Лукойл"

Для вычисления корреляционной энтропии рассматривается не только зависимость корреляционного интеграла от расстояния г, но и от размерности фазового пространства п При этом полагают, что

Получено, что корреляционная энтропия экономической системы компании "Лукойл" в режиме странного аттрактора положительна и имеет конечное значение Корреляционная энтропия системы равна 0 551

В состоянии хаоса поведение системы непредсказуемо Но странный аттрактор, определяющий хаотическое поведение системы, занимает ограниченную область фазового пространства. Поэтому, хотя траектории разбегаются с экспоненциальной скоростью, убежать за границы странного аттрактора они не могут Следовательно, определение границ области аттрактора может позволить получить оценки поведения системы

Характерное время, на которое может быть предсказано повеление системы, обратно пропорционально наибольшему показателю Ляпунова. Для построения прогноза вычислено значение наибольшего характеристического показателя Ляпунова, который для курса акций компании "Лукойл" составил 0 5763 бит/день. Это

означает, что можно делать адекватные прогнозы на

В заключении приведены основные результаты исследований, проведенных в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен алгоритм исследования на стационарность динамических рядов, описывающих поведение сложных нелинейных систем Алгоритм включает следующие шаги: выделение неслучайной (закономерной) составляющей временного ряда; оценка параметров модели; оценка точности модели; исследование случайной компоненты ряда с целью проверки адекватности модели. Если полученная математическая модель динамического ряда адекватна, то ее можно использовать для построения прогнозов. В противном случае для построения модели динамического ряда следует использовать методы черавновесного анализа данных.

2. Апробация предложенного алгоритма проведена на примере динамического рядя, отражающего экономическую сущность развития зернового комплекса Ставропольского края. При этом выявлено, что данный временной ряд развивается во времени неоднородным образом с выраженными сменами режимов. Наличие смен режима эволюции ряда затрудняет построение единой модели ряда, вследствие чего строятся различные модели эволюции ряда на двух временных интервалах: с 1962 по 1989 год и с 1990 по 2002 год. Каждый из полученных временных рядоз исследуется отдельно. Получены обобщенные аддитивные модели исследуемого временного ряда за периоды с 1962 по 1989 года и с 1990 года по 2002 год. Показано, что стационарная модель неадекватна. Так как большинство экономических систем современной России явллотся подобно

зерновому комплексу Ставропольского края развивающимися системами то, скорее всего, эконометрические модели, описывающие поведение данных систем, не являются адекватными и не могут быть использованы для прогноза. Следует использовать методы обработки данных на основе теории неравновесной динамики.

3. Предложен алгоритм исследования поведения развивающихся нелинейных экономических систем на основе построения математических моделей с помощью динамических рядов, дискретных отображений и нелинейной динамики.

4. Разработана методика исследования временных рядов, описывающих развитие экономических систем в режиме эволюционного развития и в режиме бифуркаций. На примере показателей зернового комплекса Ставропольского края показано, что в периоды эволюционного развития система стремится к устойчивому состоянию. Если значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций "удвоения периода", то такой режим, характеризуется переходом системы в устойчивый двукратный ци<л, то есть значения временного ряда начинают чередоваться.

5. Анализ поведения управляющего параметра динамической системы показывает, что если г > гх, то развитие экономической системы хаотично. Предложена методика получения и исследования нелинейной модели самоорганизации хаотической динамики временного ряда, отражающего поведение развивающейся системы в режиме динамического хаоса в виде странного аттрактора.

6. Исследованы характеристики странного аттрактора в поведении нелинейной динамической модели экономической системы компании "Лукойл", находившейся в период дефолта 1998 года в хаотическом режиме, позволяющего прогнозировать поведение системы в режиме самоорганизации динамического хаоса. Рассчитаны корреляционная размерность и корреляционная энтропия аттрактора, показатели Ляпунова, определяющие характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы.

7. Разработан комплекс программ для ЭВМ, позволяющий строить нелинейную аппроксимационную модель развития динамической системы, определять на основе данной модели значение управляющего параметра и вычислять количественные значения характеристик странного аттрактора, характеризующего процессы самоорганизации экономической системы в режиме динамического хаоса.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лебедев В. И., Смыкова Ы. В. Математическая модель технологического воздействия на урожайность зерновых культур Ставропольского края, // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование Е научных исследованиях» (27-30 сентября, 2000, г. Ставрополь). Часть I. - Ставрополь: Изд-во СТУ, 2000- С. 143 - 144.

2. Лебедев В. И., Смыкова Н. В Моделирование смены технологического уклада. // Материалы I Региональной научной конференции студентов и преподавателей «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках».- Ставрополь: СевКавГТУ, 2001.-С. 37-38

3. Лебедев В. И., Смыкова Н. В. К вопросу о моделировании смены технологического процесса. // Материалы 46 научно-методичгской конференции преподавателей и студентов «XXI век - век образования». Проблемы физико-математических наук. - Ставрополь: Изд-во СГУ. 200]. - С 67 - 70.

4. Лебедев В. 'Л., Смыкова Н. В. Применение логистической функции развития для исследоЕ!ания динамики урожайности зерновых культур Ставропольского края. // Тезисы докладов VI международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологиче:кое образование. Математические модели и информационные технологии».- Краснодар, 2001. -С. 288.

5. Смыкова Н. В. Математическая модель урожайности некоторых зерновых культур на территории Ставропольского края. // Материмы II Региональной научной конференции студентов и преподавателей «Проблемы компьютерных техноло-

гий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных наукам».- Ставрополь- СевКавГТУ, 2002. - С. 112 - 116

6. Смыкова Н.В Исследование динамики урожайности зерновой культуры. // Материалы Региональной научной конференции «Георети'-ескЛе и прикладные проблемы современной физики». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. -С. 461-465.

7. Смыкова Н. В, Лебедев В. И. Оптимизационная модгль выращивания пшеницы на территории Ставропольского края. // Тезисы докладов X Международной конференции «Матемагика. Экономика. Образование>, II Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения».- Ростов ш Дону, 2002 -С. 224-225.

S. Смыкова Н.В Учет циклических колебаний при производстве зерновых культур. I/ Материалы 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Проблемы физико-математических наук. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. - С. 69.

9. Смыкова Н.В. Моделирование временного ряда урожайности методами хаотической динамики. // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу память Н В Ефимова, Абрау-Дюр:о, 5 -11 сентября 2004 г. -г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2004. - С. 226 - 228.

10. Smykova N.V., Lebsdev V1. Time series productivity research by methods of chaotic dynamics. // VI International Congress on Mathematical Modeling: Book of Abstracts. - Nizhny Novgorod: University of Nizhny Novgorod, 2004. - P. 438

Изд. лиц. серия ИД № 00502 Подписано к печати 25.11.04 г. Формат 60x84.1/16 Усл. печ. л. - 1,4. Уч.-изд. л. - 1,1. Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ №267 Тираж 100 экз. Северо-Кавказский государственный технический университет 355029 г. Ставрополь пр. Кулакова, 2

Отпечатано в типографии СевКавГТУ Издательство Северо-кавказского государственного технического университета

615 5

л

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Обзор математических моделей и динамических рядов развивающихся экономических систем

1.1. Динамические ряды экономических показателей развивающихся систем.

1.2. Аналитический обзор статистических методов исследования временных рядов.

1.3. Использование методов нелинейной динамики, теории бифурi> каций и теории катастроф при исследовании динамических рядов.

1.4. Применение современных компьютерных технологий при исследовании динамических рядов.

1.5. Постановка задачи исследования.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2. Математические модели исследования равновесных систем

2.1. Методика анализа данных в равновесных экономических системах.

2.2. Моделирование неслучайной компоненты временного ряда

2.2.1. Моделирование тренда.

2.2.2. Выделение сезонной и циклической компонент.

2.2.3. Построение обобщенной модели временного ряда.

2.3. Исследование случайной составляющей временного ряда.

2.4. Многофакторный анализ динамических рядов.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА 3. Математическое моделирование развивающихся экономических систем

3.1. Нелинейные дифференциальные уравнения как математические модели динамических систем.

3.2. Применение локальной программы Пуанкаре по исследованию дискретных отображений к развивающимся экономическим системам.

3.3. Построение кусочно-нелинейной аппроксимации модели динамических рядов и их интерпретация.

3.4. Режим эволюционного развития систем и прогнозирование.

3.5. Режим бифуркаций и особенности поведения систем вблизи

I» критических точек.

3.6. Режим динамического хаоса и возможности прогнозирования

3.6.1. Построение фазового портрета системы и восстановление аттрактора.

3.6.2. Стохастические характеристики аттракторов в режиме динамического хаоса.

3.6.3 Прогнозирование поведения системы.

Выводы по третьей главе.

Традиционные аналитические методы анализа экономических систем все чаще и чаще наталкиваются на проблемы, не имеющие эффективного решения в рамках устоявшихся парадигм. Это и неудивительно, ведь традиционные, ставшие уже классическими, подходы были разработаны для описания относительно устойчивого, медленно эволюционирующего и не радикально изменяющегося мира, мира - который еще не сильно отклонился от состояния равновесия. Традиционные модели являются стохастическими. Те ограничения, которые используются при построении модели с целью сделать ее пригодной для практического использования, по сути дела, уничтожает ту уникальную внутреннюю "сложность", которая присуща динамическому процессу. По самой своей сути эти методы и подходы не были предназначены для описания и моделирования быстрых изменений, непредсказуемых скачков и сложных взаимодействий отдельных составляющих современного мирового рыночного процесса.

Последние годы ознаменовались повышенным интересом к поиску нелинейных моделей, которые могли бы адекватно воспроизводить сложное поведение динамических систем, поскольку уже стало ясно, что линейный подход к анализу развивающихся систем не позволяет смоделировать сильно нерегулярное поведение, характерное для большинства динамических систем. Постепенно стало ясно, что изменения в экономике происходят настолько интенсивно, а их качественные проявления бывают настолько неожиданными, что для анализа и прогнозирования поведения развивающихся экономических систем синтез новых аналитических и вычислительных подходов стал насущной практической необходимостью. Этот синтез был осуществлен в рамках бурно развивающейся в настоящее время науки - теории неравновесной динамики. Теория неравновесной динамики изучает динамические процессы в сложных развивающихся системах. Она рассматривает причины и механизмы возникновения новых режимов в поведении системы, предсказывает вероятные изменения системы и указывает на то, как можно было бы управлять неожиданными динамическими режимами, возникающими в сложных системах. Законы, управляющие сложными развивающимися системами, коренным образом отличаются от тех, по которым функционируют равновесные системы, и которые являются основой традиционных классических методов анализа поведения экономических систем. Поэтому теория неравновесной динамики может стать адекватным инструментом для анализа сложных динамических процессов, происходящих в современной экономике.

В связи с этим, в последнее время интенсивно развивается раздел теории неравновесной динамики, базирующийся на теории динамического хаоса, которая предлагает исчерпывающее объяснение иррегулярному поведению и аномалиям в системах, которые, не являясь по своей природе стохастическими, ведут себя подобным образом. Теория хаоса предлагает совершенно новые концепции и алгоритмы для анализа временных рядов, которые могут привести к более глубокому и полному пониманию отражаемых ими экономических процессов. Эта теория предлагает широкий выбор методов, включая восстановление аттрактора в лаговом фазовом пространстве, вычисление показателей Ляпунова, обобщенных размерностей и энтропий, а также нелинейное предсказание.

Актуальность темы исследования. Возможность использования для анализа рядов динамики развивающихся экономических систем концепции равновесия ограничена исходной предпосылкой о статичности порождающей данный ряд системы, для которой в действительности характерна сложная динамика. Поскольку в рамках равновесного анализа развивающаяся система рассматривается как внутренне устойчивая система, то исследование ее динамики сводится к исследованию изменений устойчивого равновесия в результате экзогенных воздействий. Данный подход определяет характер взаимодействия между переменными как неизменный. Однако время играет определяющую роль в эволюции сложных систем, которая предстает как длительный переход от одного неустойчивого состояния к другому с возможным переходом к режиму динамического хаоса. Сложно организованные новые пространственно-временные структуры систем возникают как результат самоорганизации из хаотических состояний. В таких самоорганизующихся системах вместо устойчивости и гармонии обнаруживаются эволюционные процессы, приводящие к еще большему разнообразию и усложнению структур. Концепции нелинейности и бифуркаций, впервые сформулированные Пуанкаре А., Ляпуновым А., Андроновым А., Уитни X., Томом Р., а также последние работы Арнольда В. И., Ма-линецкого Г. Г., Лесина Я. Б., Такенса Ф., Фейгенбаума М., Занга В. Б., Гилмо-ра Р. дают возможность методологически корректно исследовать динамические ряды данных.

Таким сложным системам как экономика присуще как регулярное, так и нерегулярное хаотическое поведение вблизи критических точек, генерируемое их нелинейным характером. Регулярным поведением систем, под которым, как правило, понимают детерминированное поведение, считается поведение, описываемое дифференциальными и разностными уравнениями, позволяющими рассчитывать динамику систем на основе заданных начальных условий. Однако хаотическое поведение можно обнаружить в системах, описываемых дифференциальными уравнениями, из чего следует, что хаос имеет детерминированную природу. Детерминированные нелинейные разностные уравнения первого порядка иллюстрируют возникновение нерегулярных флуктуаций, тогда как в детерминированных линейных разностных уравнениях подобные явления не наблюдаются. Следовательно, хаос генерируется именно нелинейным характером системы. Известно также, каким образом нелинейные системы приходят к хаосу.

Открытие феномена детерминированного хаоса и самоорганизации в нем расширяет возможности как математического моделирования, так и экономического прогнозирования. Наличие детерминированной природы хаоса позволяет предположить, что некоторые, кажущиеся в большей степени случайными, экономические явления могут оказаться в большей степени предсказуемыми.

В зависимости от того, является система устойчивой или неустойчивой, она по-разному реагирует на внешние воздействия. Если система способна быстро возвращаться к равновесию, то результат внешнего воздействия будет незначителен. Однако, если система неустойчива, то влияние случайных воздействий очень сложно. Неустойчивая система может претерпевать структурную перестройку даже в том случае, когда изменения параметров будут небольшими. Чтобы прогнозировать поведение неустойчивой системы, необходимо построить теорию флуктуаций вблизи критических состояний. Поэтому одной из проблем реализации концепции хаоса в исследованиях экономической динамики является методика измерения нерегулярного поведения, которое в развивающихся системах может проявляться в различных формах: движение к устойчивому узлу, фокусу, предельных циклов, бифуркации. Для того чтобы отличать нерегулярное поведение систем от регулярного, необходимы критерии, на роль которых претендуют показатели Ляпунова.

Таким образом, для исследования поведения нелинейных неустойчивых динамических систем, к которым относится экономика, особенно важен анализ поведения системы вблизи критической точки, когда небольшие изменения параметров приводят к потере системой линейной устойчивости и хаотическому поведению.

Объектом исследования диссертационной работы является влияние стационарных и нестационарных факторов на особенности поведения макроэкономических показателей развивающихся экономических систем различной природы.

Предмет исследования: математические модели и оценка с помощью разработанных алгоритмов влияния социальных и экономических факторов на динамическое нелинейное поведение параметров развивающихся систем.

Целью диссертационных исследований является разработка эффективного алгоритма получения равновесных и неравновесных математических моделей с использованием динамических рядов экспериментальных данных с целью исследования сущности развивающихся экономических систем и повышения точности прогнозных моделей.

Научная задача исследований заключается в разработке алгоритма исследования динамических рядов, описывающих на различных этапах развития поведение динамических экономических систем, с целью моделирования экономических связей и построения прогнозов.

При решении поставленной общей научной задачи решен ряд частных задач:

1. Разработка и обоснование методики исследования дискретных экспериментальных данных, позволяющей определить равновесие и неравновесие экономических систем.

2. Разработка алгоритма исследования временных рядов на основе методов неравновесной нелинейной динамики.

3. Применение разработанных алгоритмов к исследованию динамики конкретных экономических систем, представленных экспериментальными данными, в области эволюционного развития и режиме бифуркаций.

4. Изучение процессов самоорганизации в области динамического хаоса на основе нелинейной динамики систем с целью построения прогноза их поведения.

Методы исследования. При построении математических моделей использовались методы математической статистики, а также гармонический анализ, корреляционный анализ, множественный регрессионный анализ, методы теории катастроф, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений и методы исследования нелинейных динамических систем, включая методы исследования динамического хаоса, исследование дискретных отображений, исследование характеристик странных аттракторов.

При работе над диссертацией было применено следующее ПО: Statistica 99 Edition., Microsoft Excel 2000, С++ Bulder 5.0, MathCAD 7 Professional.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обосновывается корректным использованием апробированных методов корреляционного, множественного регрессионного и гармонического анализов, построением математических моделей с помощью методов неравновесной нелинейной динамики на основе экспериментальных динамических рядов, использованием современных информационных технологий, а также сравнением результатов моделирования со статистическими данными.

Информационная база исследования включает данные Ставропольского краевого комитета госстатистики о динамике средней урожайности озимой пшеницы на территории Ставропольского края и курса акций компании "Лукойл" на ММВБ (Московской межбанковской валютной бирже).

Научная новнзна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Предложен алгоритм обработки динамических рядов, отражающих сущность равновесных и развивающихся экономических систем.

2. Разработан метод построения простейших нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем на основе исследования экспериментальных динамических рядов как дискретных отображений.

3. Исследованы динамические системы на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса на основе временных рядов урожайности зернового комплекса Ставропольского края и курса акций компании "Лукойл" с помощью дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

4. Создан пакет программ для ЭВМ, позволяющий строить аппроксима-ционную модель развития динамической системы, определять значение управляющих параметров и вычислять характеристики самоорганизации системы в виде странного аттрактора в режиме динамического хаоса.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Алгоритм построения и исследования равновесных и неравновесных математических моделей экономических систем на основе динамических рядов.

2. Метод восстановления динамических нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем в виде нелинейных дифференциальных уравнений с помощью динамических рядов как дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

3. Методика исследования нелинейных динамических моделей, описывающих поведение развивающихся экономических систем на примере зернового комплекса Ставропольского края и компании "Лукойл" на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса.

4. Апробация методики оценки характеристик странного аттрактора динамической системы компании "Лукойл" в режиме динамического хаоса с целью получения прогноза.

Практическая значимость исследования состоит в том, что полученные результаты могут быть применены в процессе прогнозирования поведения развивающихся систем. Разработана методика построения нелинейной аппроксимации экономических систем, позволяющая давать прогнозы поведения системы в области эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса. Полученные характеристики аттрактора позволяют определять характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы.

Реализация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы реализованы в учебном процессе Ставропольского государственного университета в рамках дисциплины специализации «Математические методы в экономике, экологии и биологии», а также при разработке тематики курсовых и дипломных работ; результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Ставропольского института переподготовки кадров агробизнеса при чтении соответствующих спецкурсов; программный комплекс, созданный в работе, применяется в Ставропольском филиале ОАО «МДМ-Банк» для анализа экономических показателей.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях», г. Ставрополь, СГУ, 2000; I, II Региональных научных конференциях студентов и преподавателей «Проблемы компьютерных технологий и математического моделии рования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Ставрополь, СевКавГТУ, 2001,2002; VI международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии», г. Краснодар, 2001; X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов на Дону, 2002; 46, 48 научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», г. Ставрополь, СГУ, 2002,2003.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 6 в соавторстве. В совместных работах соискателю принадлежит получение основных результатов и их обсуждение.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемых источников (содержащего 122 наименования) и приложений. Основная часть работы изложена на 129 страницах машинописного текста. Работа содержит 4 таблицы, 43 рисунка, 3 приложения.

Выводы по третьей главе:

1. Рассмотрен алгоритм исследования простейших нелинейных математических моделей развивающих систем, полученных на основе простейшей нелинейной модели типа «складка». В зависимости от значения управляющего параметра в развитии динамической системы выделяют эволюционный период, бифуркационный период и режим динамического хаоса. На каждом из режимов предложена методика построения прогноза.

2. Предложена методика построения динамических нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем с помощью динамических рядов как дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

3. Разработана методика исследования временных рядов, описывающих развитие экономических систем в режиме эволюционного развития и в режиме бифуркаций. Показано, что в периоды эволюционного развития система стремится к устойчивому состоянию. Если значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций "удвоения периода", то такой режим, характеризуется переходом системы в устойчивый двукратный цикл, т. е. значения временного ряда начинают чередоваться.

4. Анализ поведения управляющего параметра динамической системы показывает, что если r>rtJ2, то развитие экономической системы хаотично. Предложена методика получения и исследования нелинейной модели самоорганизации хаотической динамики временного ряда, отражающего поведение развивающейся системы в режиме динамического хаоса в виде странного аттрактора.

5. Исследованы характеристики странного аттрактора в поведении нелинейной динамической модели экономической системы компании "Лукойл", находящейся в хаотическом режиме, позволяющего прогнозировать поведение системы в режиме самоорганизации динамического хаоса. Рассчитанная корреляционная размерность аттрактора позволяет оценить количество переменных, которое необходимо для моделирования системы. Числовое значение корреля И^У ционной энтропии является количественной характеристикой степени хаотичности системы.

В состоянии хаоса конкретное состояние системы непредсказуемо. Однако странный аттрактор, определяющий хаотическое поведение системы, часто занимает ограниченную область фазового пространства. Следовательно, определение границ области аттрактора может позволить получить оценки поведения системы. Характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы, обратно пропорционально наибольшему показателю Ляпунова.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на разработку алгоритмов построения математических моделей, описывающих поведение равновесных и развивающихся экономических систем на основе динамических рядов. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Предложен алгоритм исследования на стационарность динамических рядов, описывающих поведение сложных нелинейных систем. Алгоритм включает следующие шаги: выделение неслучайной (закономерной) составляющей временного ряда; оценка параметров модели; оценка точности модели; исследование случайной компоненты ряда с целью проверки адекватности модели. Если полученная математическая модель динамического ряда адекватна, то ее можно использовать для построения прогнозов. В противном случае для построения модели динамического ряда следует использовать методы неравновесного анализа данных.

2. Апробация предложенного алгоритма проведена на примере динамического ряда, отражающего экономическую сущность развития зернового комплекса Ставропольского края. При этом выявлено, что данный временной ряд развивается во времени неоднородным образом с выраженными сменами режимов. Наличие смен режима эволюции ряда затрудняет построение единой модели ряда, вследствие чего строятся различные модели эволюции ряда на двух временных интервалах: с 1962 по 1989 год и с 1990 по 2002 год. Каждый из полученных временных рядов исследуется отдельно. Получены обобщенные аддитивные модели исследуемого временного ряда за периоды с 1962 по 1989 года и с 1990 года по 2002 год. Показано, что стационарная модель неадекватна. Так как большинство экономических систем современной России являются подобно зерновому комплексу Ставропольского края развивающимися системами то, скорее всего, эконометрические модели, описывающие поведение данных систем, не являются адекватными и не могут быть использованы для прогноза. Следует использовать методы обработки данных на основе теории неравновесной динамики.

3. Предложен алгоритм исследования поведения развивающихся нелинейных экономических систем на основе построения математических моделей с помощью динамических рядов, дискретных отображений и нелинейной динамики.

4. Разработана методика исследования временных рядов, описывающих развитие экономических систем в режиме эволюционного развития и в режиме бифуркаций. На примере показателей зернового комплекса Ставропольского края показано, что в периоды эволюционного развития система стремится к устойчивому состоянию. Если значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций "удвоения периода", то такой режим, характеризуется переходом системы в устойчивый двукратный цикл, т. е. значения временного ряда начинают чередоваться.

5. Анализ поведения управляющего параметра динамической системы показывает, что если г > r^, то развитие экономической системы хаотично. Предложена методика получения и исследования нелинейной модели самоорганизации хаотической динамики временного ряда, отражающего поведение развивающейся системы в режиме динамического хаоса в виде странного аттрактора.

6. Исследованы характеристики странного аттрактора в поведении нелинейной динамической модели экономической системы компании "Лукойл", находившейся в период дефолта 1998 года в хаотическом режиме, позволяющего прогнозировать поведение системы в режиме самоорганизации динамического хаоса. Рассчитаны корреляционная размерность и корреляционная энтропия аттрактора, показатели Ляпунова, определяющие характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы.

7. Разработан комплекс программ, позволяющий строить кусочно-нелинейную аппроксимационную модель развития динамической системы, определять на основе данной модели значение управляющего параметра и вычислять количественные значения характеристик странного аттрактора, характеризующего процессы самоорганизации экономической системы в режиме динамического хаоса.

1. Агропромышленный комплекс Ставрополья: Статистический сборник. Ставропольский краевой комитет госстатистики. — Ставрополь, 2000. 156 с.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 с.

3. Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. — 756с.

4. Андронов А.А., Леонович Е.А. и др. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 488 с.

5. Анищенко B.C. Устойчивость, бифуркации, катастрофы. //Соросовский образовательный журнал. 2000, № 6. — С. 105 - 109.

6. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.-272 с.

7. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 80 с.

8. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. М: Наука, 1989. - 217 с.

9. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982.-488 с.

10. Афраймович B.C. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. — М.: Наука, 1987.-213 с.

11. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд. МГУ, 1981.-158 с.

12. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. - 176 с.

13. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теоршо и теорию бифуркаций динамических систем. //Соросовский образовательный журнал. -1997, № 1. С. 115-121.

14. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1979. - 311 с.

15. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном подходе к турбулентности: Пер. с франц. — М.: Мир, 1991. 368 с.

16. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогнозирование и управление. Пер. с англ. А.ЛЛевшина. — М.: Мир, 1974. 195 с.

17. Болн Б., Хуань К. Дж. Многомерные статистические методы для экономики. М.: Наука, 1979. 348 с.

18. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965. - 35 с.

19. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. - 536 с.

20. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. — 384 с.

21. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. - 576 с.

22. Вайну Я.Я. Корреляция рядов динамики. М.: Статистика, 1977. - 118 с.

23. Векслер Л.С. Статистический анализ на персональном компьютере. //МИР ПК. 1992, № 2. - С. 89 - 97.

24. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учебное пособие. М.: Издательский дом «Дашков и К», 2000. — 308 с.

25. Гейл Г. Прикладное экономическое прогнозирование. М.: Прогресс, 1970.-365 с.

26. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Кн. 2. М.: Мир, 1984. - 285 с.

27. Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. Пер.с англ. М.: Статистика., 1972. - 312 с.

28. Григорьев С.Г., Перфилов A.M., Левандовский В.В., Юнкеров В.И. Пакет прикладных программ STATISTICA на персональном компьютере. С.Петербург, 1992. - 104 с.

29. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. - 278 с.

30. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его применение. Т.1 М.: Мир, 1971.-316 с.

31. Доклад о социально-экономическом развитии Ставропольского края за 1990 год и XII- ю пятилетку. Ставропольский краевой комитет государственной статистики. Ставрополь, 1991. - 126 с.

32. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Статистика, 1980. - 289 с.

33. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Статистика, 1973.-388 с.

34. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. — М.: Мир, 1999. 335 с.

35. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-272 с.

36. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З.и др. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Мир, 1999. - 239 с.

37. Иосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -М.: Мир, 1983.-301 с.

38. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997. - 236 с.

39. Касти Дж. Связность, сложность и катастрофы. Пер. с англ. — М.: Мир, 1982.-216 с.

40. Кендэл М. Временные ряды. Пер. с англ. Ю.П. Лукашина. М.:Финансы и статистика, 1979. - 198 с.

41. Кендэл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. 899 с.

42. Кильдинов Г.С., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: Статистика, 1973. - 324 с.

43. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994. - 262 с.

44. Костюков В.В., Костюкова Н.И. О коррекции физико-статистических моделей прогноза урожайности сельскохозяйственных культур. //Метеорология и гидрология. 1997, № 10. - С. 98 - 106.

45. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2002.-311 с.

46. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

47. Кузнецов А. П. Наглядные образы хаоса. //Соросовский образовательный журнал. 2000, № 11. - С. 104 - 110.

48. Кулаичев А.П. Пакеты для анализа данных. //МИР ПК. 1995, №1 .-С. 10 -17.

49. Кучин Б.Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем: технический прогресс, устойчивость. М.: Экономика, 1990. - 156 с.

50. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984. 528 с.

51. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб. руководство. М.: Наука, 1990. - 272 с.

52. Магнус Я.Р., Катышев Л.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.:Дело, 2000. - 311 с.

53. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 187 с.

54. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблема прогноза. //Вестник российской академии наук.- 2001, № 3. С. 210 - 232.

55. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

56. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 368 с.

57. Математическое моделирование. Методы описания и исследования сложных систем. М.: Наука, 1989. - 293 с.

58. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. М.: Финансы и статистика, 1982.-317с.

59. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312 с.

60. Неймарк Ю. И. Методы точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

61. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

62. Нижегородцев P.M. Модели логистической динамики как инструмент экономического анализа и прогнозирования. //Моделирование экономической динамики. М.: Диалог МГУ, 1997. - С. 34 - 51.

63. Николис Г. Динамика иерархических систем. М.: Мир, 1989. - 486 с.

64. Никульчев Е.В., Волович М.Е. Модели хаоса для процессов изменения курса акций. // Exponenta Pro. 2003, № 1. - С. 49 - 52.

65. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. - 430 с.

66. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодиче-ская теория. УМН, 1977.- Т. 32. - С.55-112.

67. Петере Э. Хаос и порядок на рынке капитала. М.: Мир, 2000. - 333 с.

68. Половников В.А., и др. Оценивание точности и адекватности моделей экономического прогнозирования. // Математическое моделирование экономических процессов: Сб. науч. трудов. — М.: МЭСИ, 1986. С. 37 - 47.

69. Пригожин И.Р. От существующего к возникающему. М.: Прогресс, 1985. -456 с.

70. Семенов Н.А. Программы регрессионного анализа и прогнозирования временных рядов. М.: Финансы и статистика, 1990. - 111 с.

71. Симо К., Смейл С. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 304 с.

72. Сиротенко О.Д., Абашина Е.В., Шаахмедов Ш.А. Программирование урожая с помощью динамических моделей. //Вестник с.-х. науки. 1987, № 8. -С. 55-59.

73. Смыкова Н.В. Исследование динамики урожайности зерновой культуры. // Материалы Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. - С. 461 -465.

74. Снедекор Дж. Статистические методы в применении к исследованиям в сельском хозяйстве. М.: Статистика, 1961. - 456 с.

75. Ставропольский край в цифрах в 1975-80 годах: Статистический сборник. Статистическое управление Ставропольского края. Ставрополь, 1980. - 274с.

76. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1988. - 185 с.

77. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1989. - 214 с.

78. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1993. - 210 с.

79. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1994. - 210 с.

80. Ставропольский край в цифрах: Статистический сборник. Ставропольский краевой комитет государственной статистики. Ставрополь, 1998. - 191 с.

81. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. - 301 с.

82. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Наука, 2001.-318 с.

83. Тихонов Э. Е. Методы и алгоритмы прогнозирования экономических показателей на базе нейронных сетей и модулярной арифметики. Автореферат дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук. Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. - 154 с.

84. Томсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.-254 с.

85. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос. //Соросовский образовательный журнал. 1998, № 1. - С. 77 - 83.

86. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. / Под ред. В.Э. Фигурнова. М.: ИНФА-М, 1998. - 528 с.

87. Фейгенбаум М. Универсальное поведение нелинейных систем. //УФН, т. 141, вып. 3, 1983. С. 343 - 374.

88. Фейгин М.И. Бифуркационный подход к исследованию динамической системы. //Соросовский образовательный журнал. 2001, № 2. - С. 121 - 127.

89. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. М.: Финансы и статистика, 1983. - 302 с.

90. Франс Дж., Торнли Дж.Х.М. Математические модели в сельском хозяйстве. М.: Агропромиздат, 1987. - 564 с.

91. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. - 423 с.

92. Хенан Э. Дж. Анализ временных рядов. М.: Статистика, 1964. - 215 с.

93. Хенан Э.Дж. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1986. - 575 с.

94. Холодниок М., Клич А., Кубическ М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей М.: Наука, 1994 - 287 с.

95. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наук, думка, 1986.-280 с.

96. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 240 с.

97. Эконометрика: Учебник. /Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. - 344 с.

98. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors. //Phys. Rev. Lett.- 1983, V. 50 P. 346-349.

99. Kantz H., Schreiber T. Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, 1997. - 304 p.

100. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. // Journ. of the Atmospheric Science. 1963, V. 20. - P. 130-141.

101. Mullin T. The nature of chaos. Oxford: Clarendon press, 1994. - 314 p.

102. Sornette D., Johansen A. Large financial crashes. // Physica A. 1997, V. 245. № 3-4.

103. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. //Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics, edited by D.A.Rand L.S.Young. — Springer-Verlag, 1985. P. 366 - 381.

104. Takens F. Distinguishing deterministic and random systems // Nonlinear dynamics and turbulence. Ed. G. I. Barenblatt, G. Jooss, D. D. Joseph. N. Y.: Pitman, 1983.-P. 314-333.

105. Tukey J.W. The future of data analysis. //Annual Mathematical Statistics. -1967, vol. 33.

106. Waldrop MM. Complexity: The emerging science at the edge of order and chaos. New York: Touchstone, 1993. - 278 p.

107. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series.// Physica D. 16 -1985, №3. P. 285 - 317.

108. Волович М.Е. Программные средства и алгоритмы идентификации и исследования динамических систем по временным рядам. Режим доступа, http: //www.do.sssu.ru/phorum/read.phpf7.html. 14.02.2004.

109. Дмитриева JT.A., Куперин Ю.А., Сорока И.В. Методы теории сложных систем в экономике и финансах. Режим доступа, http://is2001.icape.ru/thesset. html. 14.02.2004.

110. Идентификация параметров хаотических процессов в экспериментальных исследованиях. Режим доступа, http://neumews.iu4.bmstu.ru/neumews.html. 08.10.2002.

111. Информация о компании ОАО "Лукойл". Режим доступа. http://www.lucoil.ru /vivovoco/W/JOURNAL//about.html. 26.06.2004.

112. Махортых С.А., Сычев В.В. Стохастические характеристики аттракторов. Режим доступа. http://www.impb.ru/idproj&idlfractan/fractl2.html. 22.05.2003.

113. Основные возможности пакета STATISTICA. Режим доступа, http: //www.statsofl.ru/STATISTICA.HTM. 08.10.2002.

114. Поршнев С.В. Моделирование хаотического поведения динамических систем. Режим доступа, http://www.exponenta.ru/educat/systemat/porshnev/chaos /chaos.asp 2.08.2004.