автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование МГД-процессов в плотной электродинамически ускоряемой плазме

На правах рукописи

ДЬЯЧЕНКО Сергей Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ МГД-ПРОЦЕССОВ В ПЛОТНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИ УСКОРЯЕМОЙ ПЛАЗМЕ.

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гасилов Владимир Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Головизнин Василий Михайлович;

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Иваненков Георгий Владимирович.

Ведущая организация: Троицкий Институт Инновационных

и Термоядерных Исследований (ТРИНИТИ)

Защита диссертации состоится «_»_2006 г. в

«_» часов на заседании диссертационного совета К 002.058.01 при Институте

математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан «70 » лл^л^иис^ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н. Прончев^ГНадежда Геннадьевна

^§1щАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Современные фундаментальные и прикладные исследования в области физики плотной высокотемпературной плазмы характеризуются большим и постоянно возрастающим объемом вычислительных экспериментов на компьютерах. Бурное развитие вычислительной физики плазмы оказалось возможным благодаря широкому внедрению новых ЭВМ, высокопроизводительных аппаратных средств для выполнения параллельных вычислений и сетевых технологий. С другой стороны, это развитие обусловлено и возрастающими потребностями анализа нелинейных и неравновесных плазменных процессов, т.е. усложнением собственно математических моделей плазмы различных видов. Большую роль играет и создание новых крупных плазменных установок (типа ITER, NIF и др.). Все вышеуказанные факторы приводят к необходимости значительной модификации существующего программного обеспечения (ПО) или создания новых прикладных программ.

Для исследований течений плотной плазмы применяются модели газовой динамики (ГД) и магнитной газовой динамики (МГД). В рамках этих моделей плазма представляется континуальной (непрерывной) квазинейтральной средой, состоящей из ионов различных сортов, электронов и, в общем случае, нейтральных частиц. Уравнения МГД выводятся в кинетической теории в предположении локального термодинамического равновесия компонент плазмы.

Характерные временной масштаб Tq и пространственный масштаб Lo, при которых применимы ГД- и МГД-модели, имеют следующие ограничения: по

времени Го -, где ш1|лазма - плазменная частота, а по простран-

^плазма

ству Lq ~3> Ддебая) где Ядебая " радиус Дебая. Указанные ограничения не позволяют использовать ГД- и МГД-модели для исследования высокочастотных движений плазмы. Мощность экспериментальной аппаратуры в современных исследованиях высокотемпературной плазмы является величиной порядка нескольких тераватт, причем нередко она выделяется за весьма короткое время порядка 102 Ч-103 наносекунд, а размеры исследуемых объектов варьируются от Ю-2 см до нескольких десятков сантиметров. При этом плазмодинамические ГД- и МГД-модели достаточно широко и в целом успешно применяются для аналитического и численного анализа и прогнозирования результатов многих физических экспериментов.

Постановки задач численного моделирования плазмы, рассматриваемых в первую очередь в настоящей диссертации, возникли из прикладных исследований физического метода электродинамического ускорения и сжатия плазмы по схеме «Z-пинч».

Электродинамические разгон и сжатие плазменных оболочек были впервые предложены в 60-х годах XX века. Этот метод предназначался, во-первых, для нагрева дейтериево-тритиевой смеси до термоядерных температур, и, во-вторых, для создания мощных импульсов рентгеновского излучения за счет преобразования кинетической эь eßM^^^^^^S пдазменной

О*

Ъ&АГС.

оболочки в энергию излучения. Создание подобных источников рентгеновского излучения требуется как для различных физических исследований, так и для развития новых технологических процессов (например, рентгеновской фотолитографии). В России и за рубежом уже имеются генераторы электромагнитных импульсов длительности порядка 102 наносекунд при мощности порядка 10 и более тсраватт. Это известные установки Ангара-5-1, ГИТ-12, PBFA, Saturn, Z и другие. В последние годы активно исследуется схема нагрузки сильноточного генератора, называемая быстрым Z -пинчем (или плазменным лайнером).

Одним из наиболее впечатляющих результатов, полученных в последнее десятилетие в области высоких импульсных мощностей (Pulsed-Power), явилась успешная разработка источника мягкого рентгеновского излучения в Sandia National Laboratories (США). Плазма, инициированная взрывом цилиндрической сборки из 240 вольфрамовых проводников диаметром 7.5 мкм, оказалась способной конвертировать магнитную энергию электрофизической установки в излучение с полным КПД порядка 10% и обеспечить импульс излучения в мягком рентгеновском диапазоне с энергией ~ 2 МДж и мощностью более 200 ТВт. Электротехническая установка, потребовавшаяся для создания такого излучения, обеспечивала амплитуду тока в нагрузке ~ 20 МА со временем его нарастания 100 не. Этот результат открыл новый реалистичный подход к исследованиям в области физики высоких энергий и инерционного управляемого термоядерного синтеза (УТС).

Исходя из полученного результата стало возможным предположить, что при использовании вышеупомянутой нагрузки на уровне токов до 60 МА можно было бы получить условия, необходимые для реализации УТС посредством непрямого обжатия термоядерной мишени.

Проблема получения импульсных токов такого уровня заставляет искать альтернативы существующим электрофизическим технологиям, возможности которых в значительной мере исчерпаны.

Одной из перспективных схем, реализующих накопление магнитной энергии с последующей ее концентрацией в пространстве и времени, является схема сжатия магнитного потока (magnetic flux compression, MFC). Этот метод генерации больших магнитных полей и больших токов был предложен уже давно, ещё в конце 50-х годов прошлого столетия независимо в СССР и в США.

Концепция MFC состоит в сжатии закрытой проводящей полости настолько быстро, чтобы запертый в ней магнитный поток не успевал про-диффундировать наружу через проводящую поверхность. В этом случае магнитное поле в полости растет, как следствие сохранения внутреннего магнитного потока, обратно пропорционально её уменьшающемуся сечению. В цилиндрической геометрии возможно сжатие либо аксиального магнитного поля, либо азимутального поля, захваченного между центральным электродом («статором») и сжимающейся проводящей стенкой («ротором»). Первая конфигурация, первоначально предложенная академиком А. Д. Сахаровым, позволяет получать сверхвысокие магнитные ноля (до ~ 30 МГс), тогда как вторая может быть использована для получения сверхвысоких токов в полезной нагрузке (до ~ 100 МА).

Для сжатия полости с магнитным полем долгое время использовалась химическая энергия взрывчатых веществ (поэтому такие генераторы получили название взрывомагнитных — ВМГ), что ограничивало максимальную скорость ускоряемой внешней проводящей стенки на уровне ~ 5 км/с.

Взрывомагнитные генераторы способны создавать импульсные магнитные поля и токи микросекундиого диапазона. С другой стороны, решение задачи УТС с источником излучения на основе магнитной имплозии многопроволочных сборок требует на порядок меньших значений времен нарастания тока. При этом скорость сжатия полости (т.е. скорость внешней стенки магнитной полости) должна достигать ~ 100 км/с. На взрывомагнитных генераторах подобные скорости кажутся недостижимыми.

Такие параметры являются типичными для плазменных оболочек малой массы, ускоряемых магнитным нолем. В этом случае максимальная скорость сжимающей плазменной оболочки уже не ограничена скоростью разлета продуктов взрыва, а скорее может быть оценена как альфвеновская скорость в плазме оболочки при данном значении ускоряющего поля. Данный подход (его можно условно назвать «плазменным MFC») был предложен сравнительно недавно. Поэтому схема плазменного MFC ещё слабо изучена экспериментально.

Одним из практических приложений схемы плазменного сжатия магнитного потока может стать создание новых установок для исследования проблемы УТС. Другим приложением рассматриваемой схемы является создание мощных источников рентгеновского излучения. Наконец, предлагается использовать MFC схемы вместо традиционных взрывомагнитных генераторов для создания импульсных давлений магнитного поля с целью экспериментального изучения уравнений состояния веществ методами безударного и ударного сжатия.

Для корректного согласования параметров плазменных пинчей (лайнеров) с параметрами генераторов импульсов тока, для профилирования формы электродов разрядных камер и т.п. необходим численный расчет электродинамического разгона и сжатия пинчей. Численное моделирование позволяет получить обоснованные количественные оценки энергетического баланса установки, устойчивости плазменных объектов, характеристики излучения и т.д., а также осуществлять оптимизацию параметров установок.

Цели и задачи

Целью работы являются: создание моделей и вычислительных методов для моделирования МГД-процессов в диссипативной двухтемпературной плазме на неструктурированных сетках, разработка и реализация соответствующего программного обеспечения, расчет ряда задач сжатия плазменных лайнеров и плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в областях нетривиальной геометрии.

Настоящая диссертация посвящена следующим вопросам:

• Разработка и анализ разностных схем суммарной аппроксимации МГД-уравнений на треугольных неструктурированных сетках и алгоритмов

решения сеточных уравнений с целью моделирования процессов в плотной электродинамически ускоряемой плазме.

• Программная реализация разработанных алгоритмов в коде MARPLE. Разработанное программное обеспечение ориентировано в первую очередь на задачи моделирования разгона и сжатия плазменных лайнеров, в том числе задачи MFC, однако оно также применимо и к другим задачам расчета плотной плазмы. При разработке программного обеспечения использован современный объектно-ориентированный подход, языком реализации является Cf+. Использование объектно-ориентированного подхода приводит к повышению удобочитаемости кода, существенному уменьшению затрат на поддержку и модификацию кода, к возможности повторного использования кода.

• Использование созданного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов, посвященных исследованию задач плазмодинамики:

1. Задачи о разгоне кратковременным (102 ~103 не) токовым импульсом плазменных лайнеров, как однородных, так и с внесенными начальными возмущениями плотности. Эти задачи используются главным образом для оценки качества работы разработанного кода и сравнения результатов с другими источниками (валидация кода).

2. Задачи о сжатии ускоряемым плазменным лайнером магнитного потока в экспериментальных установках сложной геометрии. Использование лайнера позволяет провести усиление токового импульса генератора за счет существенного уменьшения его длительности. Проведение численных экспериментов позволяет еще на этапе проектирования выявить потенциальные проблемы в работе и оптимизировать параметры устройств (профили электродов, формы токовых импульсов, параметры плазменных лайнеров и т.д.).

3. Задачи о сжатии магнитного потока в установках сложной геометрии в постановках с двумя плазменными лайнерами. Этот класс задач отличается от предыдущего тем, что в качестве нагрузки используется дополнительный подвижный лайнер. Основной лайнер-компрессор, ускоряемый токовым импульсом от генератора, сжимает в режиме усиления мощности магнитный поток, который, в свою очередь, инициирует движение лайнера-нагрузки. Целью является магнитная имплозия лайнера-нагрузки, в то время как лайнер-компрессор служит только для усиления токового импульса генератора за счет уменьшения его длительности. Численные эксперименты предназначены для тех же целей, что и в задачах предыдущего класса, — диагностика и оптимизация параметров установки на этапе проектирования.

Научная новизна

В данном разделе сформулированы научно-технические задачи, которые были решены лично автором диссертации в рамках проекта создания кода MARPLE (Magnetically Accelerated Radiative PLasma Explorer). Разработка кода ведется в ИММ РАН.

1. Разработан ряд сеточных и вычислительных алгоритмов, предназначенных для работы на нерегулярных неструктурированных сетках:

• Предложен оригинальный алгоритм построения двойственных сеток (сеток контрольных объемов), необходимых для расчетов методами конечных объемов.

• Построены различные варианты явной двухэтапной разностной схемы расчета идеальной МГД с использованием немонотонных и квазимонотонных реконструкций сеточных величин на разных этапах. Предложенная схема является экономичной с вычислительной точки зрения и при этом обеспечивает достаточно хорошую точность расчета.

• С помощью интегро-интерполяционного метода построена неявная разностная схема расчета анизотропной диффузии мапгатного поля на треугольных сетках. Использование современных программных средств для обращения матриц позволяет получить высокоточные результаты за приемлемое время.

• Предложена двухэтапная схема общего МГД-солвера, реализующего принцип суммарной аппроксимации для рассматриваемой системы уравнений двухтемпературной диссипативной МГД. Предложены специальные околовакуумные корректировки, позволяющие проводить сквозной расчет в областях очень низкой плотности за счет определенной корректировки базовых уравнений МГД.

2. Разработанный программный код MARPLE сочетает развитую и расширяемую физико-математическую модель, использование современных технологий неструктурированных сеток и вычислительных методов, использование объектно-ориентированного подхода (ООП). Все это открывает широкие возможности использования кода для научных и практических приложений, а также перспективы его дальнейшего развития.

3. С помощью созданного программного обеспечения проведен ряд оригинальных вычислительных экспериментов. В частности, расчеты рассмотренных нами задач плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в областях нетривиальной геометрии и с привлечением развитых физико-математических моделей ранее не проводились. Сделанные ранее расчеты либо выполнялись в областях самой тривиальной геометрии, либо не учитывали многих важных МГД -процессов. На конкретных примерах демонстрируется недостаточность расчетов задач MFC

по упрощенным моделям и необходимость проведения полноценных двумерных или трехмерных расчетов.

Научная и практическая значимость

Научная и практическая значимость полученных результатов обусловлена следующими причинами:

1. В разработанном программном обеспечении (код MARPLE) сочетаются:

• Достаточно развитая и при этом легко расширяемая физико-математическая модель. В модели учтены анизотропная диффузия магнитного поля, джоулев нагрев, ионная и электронная теплопроводности и ионно-электронный обмен, излучение, двухтемператур-ность.

• Использование современных численных методов и сеточных технологий (так называемые неструктурированные сетки), позволяющих вести расчет в областях практически любой геометрии, в том числе с меняющимися на несколько порядков характерными размерами элементов. В настоящей работе под неструктурированными сетками понимаются нерегулярные сетки произвольной структуры из правильно примыкающих треугольных элементов. Возможно использование сеток в несколько сотен тысяч элементов (треугольников) в расчете на современном серийном ПК.

• Использование современного объектно-ориентированного подхода (ООП), что повышает удобочитаемость исходного кода, уменьшает затраты на его модификации, способствует повторному использованию кода и т.д.

Таким образом, разработанный код приспособлен для решения современных практически интересных физических задач в областях очень сложной геометрии на сетках с большим количеством элементов. При этом за счет использования объектно-ориентированного подхода существенно облегчена модификация кода, что положительно сказывается на перспективах дальнейшего развития.

2. Рассчитанные с помощью разработанного кода MARPLE задачи плазменного сжатия магнитного потока (MFC), представляя самостоятельный практический интерес, являются также прототипами более сложных и еще более интересных в практическом плане задач этого класса. Схема плазменного сжатия магнитного потока может быть использована во многих приложениях: определение уравнений состояния методами ударного и безударного сжатия, получение рентгеновских источников. исследования по управляемому термоядерному синтезу. Указанные приложения, наряду с развитием новых численных методов магнитной гидродинамики, определяют практическую значимость и актуальность диссертационной работы. Сравнение наших двумерных расчетов задач

MFC с расчетами по упрощенным физико-математическим моделям убедительно доказало необходимость проведения полноценных двумерных и трехмерных расчетов, особенно для конфигураций со сложной геометрией. При этом такие полноценные расчеты для рассмотренных классов задач MFC ранее еще не были проведены. Таким образом, нет сомнений и в необходимости проведения расчетов задач MFC с помощью кода MARPLE. Как было сказано выше, это особенно актуально для расчетных областей с нетривиальной геометрией.

3. Многие разработанные для MARPLE вычислительные алгоритмы допускают обобщение на случай трехмерных неструктурированных сеток (например, тетраэдральных). Такая работа ведется уже в настоящее время, в частности, в рамках проекта ISTC-2830 (Международного научно-технического центра). Создание трехмерной версии кода существенно облегчается за счет использования в MARPLE объектно-ориентированного подхода: активно используется повторное использование кода и т.д. Разработанные модели, методы и непосредственно программное обеспечение ускоряют и облегчают ведущуюся в настоящее время разработку трехмерной версии кода, что имеет большое практическое значение.

В силу вышеизложенного можно заключить, что совокупность полученных результатов (модели, вычислительные методы, программное обеспечение, расчеты задач сжатия лайнеров и плазменного сжатия магнитного потока) имеет как научную, так и практическую значимость. При этом открываются широкие перспективы дальнейшего развития моделей, методов, программного обеспечения, а также проведения расчетов других интересных задач плазмодинамики.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработано программное обеспечение MARPLE для моделирования МГД-пропессов в плотной электродинамически ускоряемой плазме, в котором использована технология неструктурированных сеток и современный объектна ориентированный подход к созданию кода.

2. Разработаны и программно реализованы численные алгоритмы расчета идеальных и диссипативных МГД-процессов на неструктурированных сетках, разработан и реализован общий МГД- солвер, использующий принцип суммарной аппроксимации.

3. Предложена и реализована методика обеспечения сквозного расчета газодинамических величин и электромагнитного поля в околовакуумных (с низкой плотностью вещества) областях, практически всегда встречающихся в задачах разгона и имплозии лайнеров и задачах плазменного сжатия магнитного потока.

4. Проведены расчеты задач разгона и имплозии плазменного лайнера, как однородного, так и с гармоническими возмущениями плотности. Параметры расчетной установки соответствовали известному эксперименту Сандийской Национальной лаборатории (США) на установке «Z». Данный расчет можно рассматривать как валидацию разработанного программного обеспечения. Сравнение результатов с другими источниками (экспериментальные данные, численные эксперименты на ЭВМ) показало совпадение с практически приемлемой точностью. Это позволяет использовать код MARPLE для прогноза результатов экспериментов, выполняемых на современных сильноточных устройствах.

5. Проведены расчеты задач плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в различных постановках. В качестве нагрузки схемы MFC, обостряющей токовый импульс, были использованы как вакуумная индуктивность, так и дополнительный плазменный лайнер. Осуществлено сравнение с расчетами по упрощенной физической модели (упрощенная геометрия, пренебрежение диссипацией). Показано, что в задачах сжатия магнитного потока возможно увеличение мощности токового импульса более чем на порядок. Продемонстрировано отрицательное влияние на работу схемы MFC эффекта проникновения плазмы лайнера-компрессора в область нагрузки. С помощью численного эксперимента проверена эффективность способа предотвращения указанного эффекта, заключающегося в увеличении затравочного тока во вторичном (нагрузочном) контуре.

6. Проведенные расчеты доказывают пригодность использования разработанного программного обеспечения для расчета задач разгона и имплозии лайнеров и плазменного сжатия потока в областях сложной геометрии. Использование неоднородных неструктурированных расчетных сеток позволяет моделировать физические и инженерные плазменные установки высокой степени геометрической сложности, содержащие существенно разномасштабные элементы.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается, во-первых, сравнением их с физическими экспериментами и другими расчетами. В частности, результаты наших расчетов разгона и сжатия лайнера (см. раздел 3.1) достаточно хорошо согласуются с известными результатами, полученными с помощью двумерного лагранжево-эйлерова кода на структурированных сетках (РАЗРЯД).

Результаты расчета более интересных в практическом плане задач сжатия магнитного потока MFC (см. раздел 3.2) сравнивались только с сильно упрощенными физическими оценками. Сравнение с кодом РАЗРЯД для этих задач оказалось невозможным по той причине, что данный код малопригоден для их решения. Это вызвано в первую очередь использованием в нем устаревших сеточных технологий (индексные моноблочные сетки). Кроме

того, модификация кода РАЗРЯД затруднена процедурным подходом, использованным при его создании.

Таким образом, сравнение наших расчетов задач MFC с другими полноценными двумерными или трехмерными расчетами невозможно за отсутствием таковых. Однако сравнение даже с весьма упрощенными физическими оценками демонстрирует достоверность и непротиворечивость получаемых результатов. При этом наши расчеты позволили исследовать важные процессы, которыми упрощенные физические модели полностью пренебрегают. Естественно, такого рода отличия от примитивных оценок никак не могут снизить достоверность наших результатов.

Во-вторых, следует заметить, что каждый из программных модулей MARPLE подвергался автономному тестированию. В качестве тестов использовались задачи, для которых известны аналитические или высокоточные численные решения. Таким образом, блок расчета идеальной МГД тестировался на ряде задач идеальной МГД, блок расчета диффузии магнитного поля тестировался на ряде задач по диффузии поля и т.д.

В-третьих, достоверность проведенных расчетов косвенно подтверждается теоретическими оценками использованных разностных схем (аппроксимация, устойчивость, сходимость) и алгоритмов.

Вышесказанное позволяет сделать заключение о достоверности полученных в работе результатов.

Апробация результатов

Основные результаты были представлены на следующих конференциях и семинарах:

1. XXX Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, г. Звенигород, 24 28 февраля 2003 года.

2. 13th International Symposium on High Current Electronics, Tomsk, Russia, 25-30 July 2004.

3. Семинар лаборатории LPTP (физика и технология плазмы) Ecole Polytechnique под руководством проф. J.M. Rax, 91128 Palaiseau Cedex, France, июль 2005 г.

4. The 25th International Symposium on Shock Waves - ISSW25, Bangalore, India, 17th - 22nd July, 2005.

5. International conference on parallel computational -fluid dynamics, PARCFD, 2005.

6. International Conference on Parallel Computing, PARCO-2005, Malaga, Spain, 13-16 September, 2005.

7. Третий международный научный семинар LPM3: Математические модели и моделирование в лазерно плазменных процессах, МОСГУ, Москва, Россия, 31 января - 4 февраля 2006 года.

8. Совместный семинар сотрудников ИММ РАН, ИТЭФ РАН, ФИ РАН и «Нейрок Техсофт» под руководством к.ф.-м.н. Диянкова О.В., г. Троицк, 31 января 2006 года.

9. XXXIII Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, г. Звенигород, 13-17 февраля 2006 года.

10. Совместный семинар сотрудников ИММ РАН и ТРИНИТИ под руководством к.т.н. Грабовского Е.В., Троицк, февраль 2006 года.

И. Семинар ИММ РАН под руководством проф., д.ф.-м.н. Леванова Е.И., Москва, март 2006 года.

Личный вклад автора

Работа автора является частью коллективного проекта создания кода MARPLE, выполняемого коллективом сотрудников восьмого отдела ИММ РАН (Гасилов В.А., Болдарев A.C., Дьяченко C.B., Карташева Е.Л., Ольховская О.Г.). Автором настоящей диссертации лично решены следующие задачи:

1. Разработка специального алгоритма построения двойственной сетки (см. раздел 2.2). Программная реализация соответствующих классов.

2. Разработка общего МГД-солвера (имеется в виду основной управляющий модуль, см. раздел 2.8). Программная реализация соответствующих классов.

3. Разработка блока расчета анизотропной диффузии магнитного поля (см. раздел 2.3). Программная реализация соответствующих классов.

4. Разработка блока расчета идеальной двухтемпературной МГД (см. раздел 2.4). Программная реализация соответствующих классов. К данному пункту можно отнести также раздел 1.1, посвященный предварительному анализу ряда существующих одномерных разностных схем расчета идеальной МГД, и раздел 2.7, в котором предлагаются специальные корректирующие функции, предназначенные для обеспечения сквозного расчета в областях с низкой плотностью вещества (например, в низкоплотной плазменной короне или в остаточном газе).

5. Проведение вычислительных экспериментов (см. главу 3). Анализ полученных численных результатов. Постановка физических задач и анализ результатов расчетов проводились, как правило, совместно с Чувати-ным A.C. (лаборатория LPTP физики и технологии плазмы Политехнической школы, Франция). Сравнение с известными источниками. В частности, решались задачи разгона и сжатия плазменных лайнеров, а также задачи сжатия магнитного потока (MFC). Рассмотренные постановки задач сжатия магнитного потока имеют практические приложения — определение уравнений состояния веществ методами безударного

и ударного сжатия, создание мощных источников рентгеновского излучения, исследования в области управляемого термоядерного синтеза.

6. Разработка ряда вспомогательных модулей (например, модуль поддержки работы с разряженными матрицами, модуль ввода—вывода результатов и т.п.). Программная реализация соответствующих классов.

* Публикации

По результатам диссертационной работы имеется 13 публикаций, список ко, торых приведен в конце настоящего документа (на стр. 25).

Структура и объем диссертации

Диссертация включает введение, три главы и заключение. Работа содержит 201 страницу основного текста, 61 рисунок и список литературы из 85 наименований на 11 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описаны актуальность темы диссертации, сформулированы цели исследований, рассмотрены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту. Рассмотрены также вопросы достоверности и апробации результатов, описан личный вклад автора диссертации, приведен перечень научных публикаций по теме диссертации. Приведено развернутое описание содержания работы.

Первая глава посвящена предварительному сравнительному анализу ряда одномерных схем МГД, в частности, модифицированной схемы Лакса-Фридрихса, схемы Курганова-Тадмора, а также схемы коррекции потоков на основе линеаризованной задачи Римана. Первая из указанных схем описана в разделе 1.1.1 рассматриваемой главы, вторая — в разделе 1.1.2, а третья — в разделе 1.1.3. > В разделе 1.1.4 осуществлено сравнение указанных схем. Его целью являлся выбор некоторой известной базовой одномерной МГД-схемы для дальнейшей ее модификации и обобщения на случай использования неструк-I турированных треугольных сеток. Для проведения сравнения схем использовался вычислительный эксперимент, заключавшийся в расчете ряда известных тестовых задач магнитной гидродинамики: «магнитный поршень» (подраздел 1.1.4.1), распад МГД-разрыва (подраздел 1.1.4.2), распространение ударной волны по холодному фону (подраздел 1.1.4.3) и другие задачи. Примеры сравнительных графиков см. на рис. 1. Кроме того, при сравнении схем учитывались известные достоинства и недостатки соответствующих им алгоритмов применительно к реализации на ЭВМ.

На основании проведенного сравнения сделан вывод о целесообразности использования одномерной модифицированной схемы Лакса-Фридрихса в

Рис. 1: Слева: тестовая задача 1. Сравнительные профили плотности р на момент времени I = 32. Справа: тестовая задача 2. Сравнительные профили компоненты Ну магнитного поля на момент времени £ = 12. Расчетная сетка в обоих случаях содержит 100 ячеек.

качестве базы для обобщения на случай неструктурированных сеток. Кроме того, при разработке двумерной МГД-схемы использовались определенные свойства схемы Курганова Тадмора, например, построение немонотонных и квазимонотонных реконструкций сеточных величин. Построенная в настоящей работе разностная схема обеспечивает порядок аппроксимации 0(т2 + Ь?) на однородных треугольных сетках, 0(т2 + Н) — на произвольных треугольных сетках и является устойчивой при выполнении условия Куранта. Обобщенная схема предназначена для использования в модуле расчета недиссипативной двухтемпературной МГД, являющемся основным компонентом разрабатываемого МГД-солвера (МАЯРЬЕ).

В главе 2 описаны вычислительные алгоритмы, реализованные в отдельных компонентах общего МГД-солвера, а также способ их взаимодействия друг с другом. Общий МГД-солвер МАЛРЬЕ реализует известный принцип суммарной аппроксимации как на методологическом уровне, так и на уровне программной реализации.

Реализация принципа суммарной аппроксимации на методологическом уровне осуществляется разбиением членов уравнений системы диссипатив-ной двухтемпературной МГД на группы исходя из соображений физического и вычислительного характера. Отдельные группы затем аппроксимируются различными способами в различных вычислительных блоках. Затем результаты работы отдельных блоков объединяются в единое целое определенным образом, обеспечивая суммарную аппроксимацию полной системы уравнений.

Реализация принципа суммарной аппроксимации на уровне программной реализации основана на применении в процессе разработки современного объектно-ориентированного подхода. В соответствии с этим подходом осу-

ществляется построение иерархической системы слабо взаимодействующих классов, инкапсуляция данных и методов внутри классов и т.д.

В разделе 2.1 приведена решаемая система уравнений двухтемператур-ной диссипативной МГД:

д ^ д „ п

игк - (пигюк + Рд1к - ^ (и{Нк - ¿Н25гк^

ЭЙ

1

_ = —— гоЬ — гоЬ Я )--гot

ОТ 47Г V 0"х / 47Г

..-^я-я)

(

■ н

\

а±а ¡| -I- гot (Чи х Я)

Я

(1) (2)

(3)

(4)

—р£е + V (/?£е ^ ) Р^ ^ ^излучение Фджоулев нагрев ^Зег фе = 0 (5)

0

т^р£г + V (регт) + РгУго + <2« - <2г = О Р = Ре + Рг £ = £е + £, <?е = У(хеУТе) = V (ХгУТ,)

3- = ('II

дТг; Гег(р,Те)

3 А;

Су,(Р> Г,) = -— - const

/ УТЬ*

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(И) (12)

Q,

джоулев нагрев

= 3 -Е* =

с

— rot Я Аж

с С (Т±

rot Я +

a||(rot Я-я)

4тг(т±

47Г О ±ст у

Я

• Я

Е*

(13)

Для замыкания системы используются уравнения состояния (аналитические, табличные или смешанные) общего вида:

% = Ш £е), Ре = Ре(р, Те), 7} = Т,(/9, ¿¿), Д =

В приведенных вьшге уравнениях — это символ Кронекера, определяемый следующим образом:

при г — к, при г ф к

(15)

Использованы общепринятые обозначения плазмодинамических величин [С.И. Брагинский, «Явления переноса в плазме», в книге «Вопросы теории плазмы. Вып. 1», М.: Атомиздат, 1963].

В разделе 2.2 предложен оригинальный алгоритм построения двойственных сеток (или сеток контрольных объемов), необходимых, наряду с основными треугольными сетками, для расчета. Алгоритм основан па осуществлении коррекций известных диаграмм Вороного (Дирихле) с целью выполнения определенных условий. В разделе подробно описан алгоритм, показаны отличия получаемых с его помощью сеток контрольных объемов от известных аналогов (диаграммы Вороного, барицентрические контрольные объемы). Предложенный алгоритм программно реализован в MARPLE и успешно использовался при решении различных задач плазмодинамики.

Раздел 2.3 посвящен описанию расчета важного диссипативного процесса — диффузии магнитного поля в плазму из-за конечной проводимости последней. Диффузия магнитного поля и связанный с ней джоулев нагрев играют ключевую роль во многих практически важных задачах плазмодинамики. Не составляют исключения и задачи разгона и сжатия плазменных пинчей, в том числе задачи плазменного сжатия магнитного потока (MFC). Поэтому модуль расчета диффузии магнитного поля по важности очень близок к основному модулю расчета недиссипативной двухтемпературной МГД.

В подразделе 2.3.1 рассмотрен упрощенный случай изотропной (т.е. не зависящей от пространственного направления) проводимости плазмы, представляющий определенный самостоятельный интерес. Следующий за ним раздел 2.3.2 посвящен более сложному случаю анизотропной проводимости плазмы. Для удобства использования уравнений осуществляется их преобразование в форму, аналогичную рассмотренному ранее случаю изотропной

проводимости. Даются необходимые комментарии относительно недиссипа-тивного «вмороженного» члена rot ^ ги х H^j, возникающего в .уравнениях

диффузии поля (~w — скорость плазмы, Я — напряженность магнитного поля).

В подразделе 2.3.3 осуществлено построение неявной разностной схемы расчета диффузии магнитного поля. При создании численной схемы использован интегро-интерполяционный метод.

Рис. 2: Слева: реконструкция решения (и) на этапе «предиктор». Каждая область постоянства производных щ выделена своей штриховкой. Реконструированное решение не имеет разрывов. Ячейки двойственной сетки выделены жирными линиями. Справа: реконструкция решения (и) на этапе «корректор». Каждая область постоянства производных щ выделена своей штриховкой. Реконструированное решение имеет разрывы на границах контрольных объемов; на рисунке эти границы выделены двойными линиями. Ячейки двойственной сетки выделены жирными линиями.

Раздел 2.4 посвящен основному алгоритму общего МГД-солвера - алгоритму расчета идеальной двухтемпературной МГД. «Идеальность» подразумевает пренебрежение всеми диссипативными процессами, такими как диффузия магнитного поля, джоулев нагрев, излучение, теплопроводность и ионно-электронный обмен. Система уравнений идеальной двухтемпературной МГД, являющаяся подсистемой полной системы уравнений МГД, приведена в подразделе 2.4.1. Следующий подраздел 2.4.2 содержит подробное описание предлагаемой вычислительной схемы. Построенная явная разностная схема относится к классу методов контрольных объемов и имеет второй порядок аппроксимации по пространству. В подразделах 2.4.2.12.4.2.6 дано структурированное и детальное описание элементов вычислительной схемы. В них описаны немонотонные и квазимонотонные реконструкции разностных величин, этапы «предиктор» и «корректор», вычислс-

ние потоков, варианты сборки разностной схемы. Графическая иллюстрация к построению немонотонной и квазимонотонной реконструкций приведена на рис. 2. Основой вычислительной схемы является проведение пространственных реконструкций сеточных величин (так называемых восполнений решения). Потоки вычисляются на основе сделанных реконструкций. Использование на этапе «предиктор» немонотонной реконструкции решения обеспечивает повышенный порядок аппроксимации, но разностная схема может стать неустойчивой. Для стабилизации схемы (обеспечения устойчивости) на этапе «корректор» выполняется квазимонотонная реконструкция, основанная на применении техники ограничителей антидиффузионных потоков (лимитеров).

В разделе 2.5 описана неявная разностная схема, предназначенная для расчета ионной и электронной теплопроводностей и ионно-электронного обмена. Схема получена интегро-интерполяционным методом.

Раздел 2.6 посвящен алгоритмам расчета джоулева нагрева, связанного с диффузией магнитного поля в плазму, и излучения, играющего большую роль при высоких температурах вещества. Алгоритм расчета джоулева наг грева, полученный с помощью иитегро- интерполяционного метода, описан в подразделе 2.6.1 Описание ссточно-характеристического (лучевого) алгоритма расчета излучения дано в подразделе 2.6.2.

В разделе 2.7 подробно рассмотрена весьма важная для практических приложений проблема расчета в «околовакуумных» областях, т.е. областях с очень низкой плотностью вещества (плазменная корона, остаточный газ). В подразделе 2.7.1 приведено общее описание проблемы, дан перечень факторов. усложняющих расчет задач при низких плотностях. Предлагаемые нами корректировки вычислительных алгоритмов, обеспечивающие возможность сквозного расчета в областях низкой плотности, описаны в подразделе 2.7.2. Сквозной расчет в областях с низкой плотностью вещества (например, в плазменной короне) в используемом МГД -приближении не может претендовать на точность описания происходящих в них процессов. Необходимым условием является только сохранение адекватности расчета плазмы в целом (т.е., в первую очередь, более плотных плазменных объектов). В подразделе 2.7.2.1 приведен общий вид корректирующих функций. В следующих за ним подразделах 2.7.2.2-2.7.2.5 описаны соответственно корректировки проводимости, джоулева нагрева, переноса, а также коррекция уравнения импульса. В подразделе 2.7.3 приведена оценка требуемого значения одного из параметров корректировки проводимости — константы

"вакуум-

Раздел 2.8 посвящен вопросам, связанным со сборкой общего МГД-солвера, реализующего принцип суммарной аппроксимации. Общий МГД-солвер осуществляет управление блоками расчета идеальной двухтемпера-турной МГД, расчета диффузии магнитного поля, расчета ионной и электронной теплопроводностей и ионно-электронного обмена, расчета джоулева нагрева, расчета излучения, а также различными вспомогательными модулями (например, модулем работы с двойственными сетками). Соответственно, общий МГД-солвер отвечает и за координацию потоков данных между всеми другими модулями. Также в рассматриваемом разделе диссертации

приведена некоторая информация, относящаяся к программному комплексу MARPLE в целом. В подразделе 2.8.1 описана единая программная система единиц (ПСЕ). Она фактически совпадает с объединенной гауссовой системой единиц, за исключением того, что в качестве единицы измерения времени используется не секунда, а микросекунда, а также того, что напряженность магнитного поля Н нормируется на множитель__Выбор

V47T

микросекунды в качестве единицы измерения времени связан с ориентацией разрабатываемого программного обеспечения в первую очередь на задачи электродинамического разгона плазменных лайнеров, а таким задачам характерны временные масштабы порядка 102 не -г-103 не. Нормирование напряженности магнитного поля на указанный множитель позволяет несколько упростить запись уравнений МГД и не несет принципиального значения. Основной целью введения ПСЕ является повышение точности арифметических вычислений за счет специального масштабирования (scaling) расчетных величин. Такого рода перемасштабирование является составной частью многих известных вычислительных алгоритмов. Кроме того, использование ПСЕ повышает удобство работы с кодом. В подразделе 2.8.2 приведено описание итерации общего МГД солвера, состоящей из двух этапов — «предиктор» и «корректор». Использование механизма «предиктор-корректор» позволило обеспечить второй порядок аппроксимации по времени. Подраздел 2.8.3 посвящен проблеме выбора временного шага At.

31 0.0046

гв 0004186

25 илля/гг

22 0.003358

1« 0.002944

16 0.00253

13 0402116

10 0 001702

7 0.001286

4 0.000674

0.00046

Рис. 3: Задача о имплозии плазменного лайнера с возмущениями. Контуры плотности (слева) и напряженности полоидального магнитного поля (справа) для момента времени £ = 0.217 мкс.

В последней главе настоящей работы — 3, описаны расчеты задач МГД, выполненные с помощью разработанного программного обеспечения МАЯРЬЕ. Раздел 3.1 посвящен задаче разгона и сжатия к оси плазменного лайнера в цилиндрической вакуумной камере. Лайнер является либо однородным по плотности (см. подраздел 3.1.1), либо имеет начальные гармонические возмущения плотности (см. подраздел 3.1.2). Сжатие лайнера

N

41 0.000203824

37 0.00017911 в

33 0 000154412

29 0000129707

25 0.000105001

21 8.02954Е-05

17 5.65897Ё-ОЬ

13 3 08341Е-05

9 1.63679Е-05

б 8.786Е-07

1 2Е-09

N N

31 2.120Е-04

29 1 962Е-Ф4

27 1 862Е-04

25 1.7836-04

23 1.605Е-04

21 1.427Е-04

19 1-249Е-04

17 1.070Е-04

15 8.917Е-05

13 7.133Е-05

11 5.Э50Е-05

9 3.5в7Е-05

7 1.784Е-05

5 в.919Е-Ов

3 2.731 Е-07

1 2.000Е-09

Рис. 4: Расчет задачи MFC с одним лайнером. В качестве нагрузки выступает вакуумная индуктивность. Момент времени t — 1.040 мкс. Контуры плотности (г/см?). Справа — увеличение (непропорциональное) области с нагрузкой. Серой заливкой выделен контур, соответствующий начальной плотности лайнера. Проникновение плазмы в область нагрузки привело к нежелательному эффекту - неоднородности магнитного поля вблизи электрода.

происходит под воздействием кратковременного импульса тока от генератора. Рассматриваемая постановка носит скорее тестовый характер, так как, не являясь ориентированной на конкретные практические приложения, позволяет осуществить сравнение результатов расчета с другими известными источниками. Графическая иллюстрация к расчету возмущенного лайнера дана на рис. 3.

Более сложные и важные в практическом плане задачи, относящиеся к классу задач сжатия магнитного потока (MFC), рассмотрены в разделе 3.2. Задачи данного подраздела, в отличие от задач предыдущего, имеют вполне конкретные практические приложения.

В подразделе 3.2.1 рассмотрены задачи сжатия магнитного потока в постановках с одним плазменными лайнером (компрессором) и вакуумной индуктивностью в качестве нагрузки (см. рис. 4). Имплозия лайнера-компрессора приводит к сильному росту напряженности магнитного поля в нагрузке. Смысл использования лайнера-компрессора заключается в обострении токового импульса внешнего генератора. Практическим приложением соответствующих физических установок является создание импульсных давлений магнитного поля с целью экспериментального изучения уравнений состояния веществ методами безударного (изэнтропического) и ударного сжатия. Приведены результаты расчетов задач с помощью разработанного кода MARPLE, осуществлено сравнение с известными физическими оценками (модель «снежный плуг»). Проведенное сравнение однозначно

ВАКУУМ

Магнитное поле первичного

контура (генератор)

N

Второй лайнер:

Масса ш ■ 0.5 иг или ш ■ 1.0 мг

Температура Т = 2 эВ Внутренний радиус №1 = 0.65 см Внешний радиус № = 0.75 ем Толщина й = 0.10 см

Рис. 5: Постановка задач плазменного сжатия магнитного потока (MFC) с двумя лайнерами: компрессором и нагрузкой.

указывает на недостаточность использования упрощенных физических оценок и необходимость проведения полноценных двумерных и трехмерных расчетов установок. Например, упрощенные нульмерные и одномерные оценки совершенно непригодны для диагностики такой критической для установки проблемы, как внос плазмы лайнера-компрессора с вмороженным в нее магнитным полем в область нагрузки. Таким образом, на примерах конкретных конфигураций нами доказана необходимость проведения полноценных (т.е. двумерных или трехмерных, причем с учетом диссипативных процессов) расчетов рассматриваемого класса задач.

Подраздел 3.2.2 посвящен расчетам задач сжатия магнитного потока в постановках с двумя лайнерами: лайнером компрессором и лайнером нагрузкой (см. рис. 5 и 6). Имплозия лайнера-компрессора приводит к разгону и сжатию к оси системы лайнера-нагрузки за счет сжатия магнитного потока между этими лайнерами. Лайнер-компрессор служит для обострения токового импульса внешнего генератора. Основной целью является обеспечение требуемой динамики имплозии лайнера-нагрузки. При сжатии к оси лайнер-нагрузка интенсивно излучает энергию в нужном диапазоне (например, рентгеновском). Такого рода экспериментальные установки могут слу-

23 5.640Е-03

21 1 608Е-03

19 7.132Е-04

17 5 443Е-04

15 3.687Е-04

13 2.025Е-04

11 3.725Е-05

9 3.028Е-06

7 2.461 Е-07

5 1.3146-07

3 7.015Е-08

1 2.000Е46

4 65

N N

О_

т-

0-5

-г-

19 5Л40Е-03

17 5.172Е-03

15 2.Э01Е-03

13 3.B31E-04

11 6.37ЭЕ-05

9 1.062E-0S

7 1.768Е-06

5 2344Е-07

3 1.253Ь-07

1 2ЛООЕ-О8

Мт

0.5

Рис. 6: Расчет задачи MFC с двумя лайнерами. В качестве нагрузки выступает второй плазменный лайнер. Момент времени t = 0.193 мкс. Контуры плотности (г/ел?). Справа - увеличение области с нагрузкой. Серой заливкой выделен контур, соответствующий начальной плотности лайнера-компрессора (слева) или лайнера-нагрузки (справа).

Рис. 7: Расчет задачи MFC с двумя лайнерами. В качестве нагрузки выступает второй плазменный лайнер. Сравнение результатов работы кода MARPLE и нульмерных оценок (Snow). Обозначения: X — координата лайнера-компрессора (см), W скорость лайнера-компрессора (см/мкс), t — момент модельного времени (мкс), Хр координата лайнера-нагрузки (см), Wp — скорость лайнера-нагрузки (см/мкс).

жить для создания мощных источников рентгеновского излучения, а также для исследований в области управляемого термоядерного синтеза. Как и в

предыдущем подразделе, осуществлено сравнение результатов наших расчетов с физическими оценками (см. рис. 7). Сравнение убеждает в недостаточности проведения упрощенных оценок и в необходимости выполнения полноценных двумерных или трехмерных расчетов с учетом диссипативных эффектов.

В заключении приведены основные результаты работы, сделаны необходимые комментарии и выводы, обозначены перспективы дальнейших исследований по теме настоящей диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Перечислим основные результаты проделанной работы:

1. Разработан ряд сеточных и вычислительных алгоритмов, предназначенных для работы на нерегулярных неструктурированных сетках:

• Разработан новый алгоритм построения двойственных сеток (сеток контрольных объемов), необходимых для расчетов методами конечных объемов.

• Построены варианты явной двухэтапной разностной схемы расчета идеальной МГД с использованием немонотонных и квазимонотонных реконструкций сеточных величин на этапах «предиктора» и «корректора». Предложенная схема является экономичной с вычислительной точки зрения и при этом обеспечивает высокую точность расчета на сетках нерегулярной структуры. В частности, порядок аппроксимации оценивается как 0(т +И2) на однородных треугольных сетках, 0(т2+К) — на произвольных треугольных сетках; схема является устойчивой при выполнении условия Куранта.

• Построена неявная разностная схема расчета анизотропной диффузии магнитного поля на треугольных сетках. Использование современных программных средств для обращения матриц позволяет получить высокоточные результаты за приемлемое время при расчете на современной серийной ПЭВМ.

• Предложена двухэтапная схема общего МГД -солвера, реализующего принцип суммарной аппроксимации для рассматриваемой системы уравнений двухтемпературной диссипативной МГД. Предложены специальные околовакуумные корректировки, позволяющие проводить сквозной расчет в областях низкой плотности (плазменная корона, остаточный газ) за счет определенной корректировки базовых уравнений МГД.

2. Разработан программный код МАИРЬЕ, сочетающий развитую и расширяемую физико-математическую модель, использование современных технологий неструктурированных сеток и вычислительных методов, использование объектно-ориентированного подхода к программированию (ООП).

3. С целью валидации кода MARPLE осуществлены тестовые расчеты задачи имплозии лайнера кратковременным токовым импульсом в цилиндрической разрядной камере. Параметры расчетной установки соответствовали известному эксперименту Сандийской Национальной лаборатории (США) на установке <?Z». Проведено сравнение результатов численного моделирования с другими источниками. Сравнение показало хорошее совпадение результатов, что свидетельствует о высокой точности работы кода и его применимости для решения актуальных задач радиационной плазмодинамики.

4. С помощью созданного программного обеспечения проведен ряд вычислительных экспериментов по расчету задач радиационной МГД в новых постановках. Рассмотрены задачи плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в областях нетривиальной геометрии с привлечением развитых физико-математических моделей. Показано, что в задачах сжатия магнитного потока возможно увеличение мощности токового импульса более чем на порядок. Продемонстрировано отрицательное влияние на работу схемы MFC эффекта проникновения плазмы лайнера компрессора в область нагрузки. С помощью численного эксперимента проверена эффективность способа предотвращения указанного эффекта, заключающегося в увеличении затравочного тока во вторичном (нагрузочном) контуре. Показана возможность оптимизации параметров установок плазменного сжатия магнитного потока с помощью разработанного кода MARPLE.

Основные перспективные направления дальнейшей работы следующие:

1. Обобщение моделей, вычислительных методов и программного обеспечения на трехмерный случай.

2. Дальнейшее расширение физико-математической модели. Например, введение в модель эффектов двужидкостности (для анализа высокочастотных МГД-процессов). переход к уточненным табличным уравнениям состояния и т.д.

3. Расчет с помощью созданного кода ряда актуальных задач радиаци- ? онной плазмодинамики. Укажем две такие задачи, имеющие непосредственное отношение к разработкам диссертации:

• естественным развитием исследований схемы плазменного сжатия магнитного потока является анализ влияния рэлсй-тейлоровской неустойчивости, развивающейся на стадии торможения лайнера компрессора;

• в связи с большим объемом полученных в последние годы экспериментальных данных о имплозии лайнеров на основе проволочных сборок, особую актуальность приобрела задача исследования динамики таких лайнеров в плоской (X, Y) или полярной (R. tp) геометрии.

Результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. В.Л. Гасилов, A.C. Чуватин, А.Ю. Круковский, E.JI. Карташева, О.Г. Ольховская, A.C. Болдарев, Д.С. Тарасов, Н.В. Серова, C.B. Дьяченко, О.В. Фрязинов. Комплекс программ «Разряд»: моделирование ускорения плазмы в сильноточных импульсных системах. - Математи-

, ческое моделирование, 2003 г., том 15, номер 9, стр. 107-124.

2. Гасилов В.А., Дьяченко C.B., Карташева Е.Л. Алгоритм построения сеток контрольных объемов для сложных двумерных областей. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов. / под редакцией Уваровой Л.А. - М.: Изд.-во «Станкин», 2003.

3. Гасилов В.А., Дьяченко C.B., Карташева Е.Л., Ольховская О.Г. Алгоритмы адаптации неструктурированных сеток: маркеры особенностей и перестройка сеточных подобластей. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов./ под редакцией Уваровой Л.А. - М.: Изд.-во «Станкин», 2003.

4. V.A. Gasilov and S.V. D'yachenko. Quasimonotonous 2D MHD scheme for unstructured meshes. Mathematical modeling: modern methods and applications. - Janus-K, Moscow, 2004.

5. V.A. Gasilov , A.S. Chuvatin , A.Yu. Krukovskii, E.L. Kartasheva, O.G. Olkhovskaya, A.S. Boldarevand S.V. D'yachenko. Magnetically-driven plasma simulations with Marple. Mathematical modeling: modern methods and applications. - Janus-K, Moscow, 2004.

6. B.A. Гасилов, A.C. Чуватин, А.Ю. Круковский, Е.Л. Карташева, О.Г. Ольховская, A.C. Болдарев, Д.С. Тарасов, Н.В. Серова, C.B. Дьяченко, О.В. Фрязинов. Исследование сжатия магнитного потока плазменным лайнером. - В сб. «Тезисы докладов XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (г.Звенигород, 24-28 февраля

Г 2003)». - Москва, Науч. Совет РАН по физике плазмы, 2003, стр. 132.

7. В.А. Гасилов, C.B. Дьяченко. Разностная схема для идеальной МГД-системы на неструктурированных треугольных сетках. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» ИММ РАН. Вып.7 - М.: изд-во Янус-К, 2004, с. 180-196.

8. V.A. Gasilov, S.V. D'yachenko, O.G. Olkhovskaya, V.V. Valko, D.E. Zeitoun, G. Tchuen, I.A. Graur. Computation of hypersonic radiating flowfield over a blunt body. A collection of abstracts submitted to the 25th International Symposium on Shock Waves - ISSW25.

9. Б.Н. Четверушкин, В.А. Гасилов, С.В. Поляков, E.JI. Карташева, М.В. Якобовский, И.В. Абалкин, В.Г. Бобков, А.С. Болдарев, С.Н. Болдырев, С.В. Дьяченко, П.С. Кринов, А.С. Минкин, И.А. Нестеров, О.Г. Ольховская, И.В. Попов, С.А. Суков. Пакет прикладных программ GIMM для решения задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах. - Математическое моделирование, 2005 год, том 17, номер б, стр. 58-74.

10. В.А. Гасилов. С.В. Дьяченко. Квазимонотонная двумерная схема МГД для неструктурированных сеток. - Математическое моделирование, 2005 год, том 17, номер 12, стр. 87-109.

11. V.A. Gasilov, S.V. D'yachenko, O.G.Olkhovskaya, O.V.Diyankov and S.V. Kotegov. Coupled magnetogasdyiiamics - radiative transfer parallel computing using unstructured meshes. - Book of Abstracts of the International conference on parallel computational fluid dynamics, 2005.

12. B.N.Chetverushkin, V.A. Gasilov, S.V. D'yachenko, O.G.Olkhovskaya, and V.V.Valko. Radiative gas dynamics parallel computing using unstructured meshes. - Book of Abstracts of the Int. Conf on Parallel Computing «ParCo-2005» (Malaga, Spain, 13-16 September, 2005), p. 42.

13. С.В. Дьяченко, О.Г. Ольховская, В.В. Валько, Г.А. Багдасаров, В.Г. Чубченко. Методические основы применения неструктурированных сеток для моделирования течения излучающего газа около возвращаемого космического аппарата. - ИММ РАН, 2005 год.

ZOOGA

5Ъ 33 p - 5 3 3 §

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы.б

Цели и задачи

Научная новизна.

Научная и практическая значимость.

Основные положения, выносимые на защиту.

Достоверность результатов.

Апробация результатов.

Личный вклад автора.

Публикации.

Содержание работы.

Благодарности.

1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

1.1 Одномерные расчетные схемы

1.1.1 Модифицированная схема Лакса-Фридрихса

1.1.2 Схема коррекции потоков на основе решения линеаризованной задачи Римана.

1.1.3 Схема Курганова-Тадмора.

1.1.4 Сравнение результатов расчетов тестовых задач

1.1.4.1 Тестовая задача 1 — «магнитный поршень»

1.1.4.2 Тестовая задача 2 — распад МГД-разрыва

1.1.4.3 Тестовая задача 3 — распространение ф ударной волны по холодному фону

2 РАЗРАБОТКА МГД-СОЛВЕРА

2.1 Система уравнений двухтемпературпой МГД.

2.2 Алгоритм построения двойственных сеток для сложных двумерных областей.

2.2.1 Формальная постановка задачи.

2.2.2 Алгоритм построения сетки контрольных объемов 71 ф 2.2.3 Основные достоинства предлагаемого метода построения двойственной сетки.

2.3 Расчет диффузии магнитного поля.

2.3.1 Вывод уравнений диффузии магнитного поля в случае изотропной проводимости сгц = сг± = а

2.3.2 Вывод уравнений диффузии магнитного поля в случае анизотропной проводимости <тц ф а±

2.3.3 Расчетная схема для плоскосимметричного случая

2.3.3.1 Аппроксимация Е* в серединах ребер двойственной сетки

2.3.3.2 Аппроксимация rot Е* в узле треугольной сетки.

2.3.3.3 Сборка матрицы для расчета диффузии магнитного поля.

1 2.3.3.4 Решение системы линейных уравнений

2.3.3.5 Аппроксимация вектора напряженности электрического поля в узлах.

2.3.4 Расчетная схема для случая осевой симметрии (цилиндрическая геометрия).

Щ 2.4 Расчет идеальной двухтемпературпой МГД.

2.4.1 Решаемая система уравнений в плоскосимметричном случае

2.4.2 Расчетная схема для плоскосимметричного случая 119 2.4:2.1 Немонотонная реконструкция на этапе предиктор»

2.4.2.2 Квазимонотонная реконструкция на этапе «корректор»

2.4.2.3 Этап «предиктор».

2.4.2.4 Этап «корректор».

2.4.2.5 Вычисление потоков

2.4.2.6 Построение явной вычислительной схемы

2.4.3 Расчетная схема для случая осевой симметрии (цилиндрическая геометрия).

2.5 Расчет теплопроводности и ионно-электронного обмена

2.6 Расчет джоулева нагрева и излучения.

2.6.1 Расчет джоулева нагрева.

2.6.2 Расчет излучения.

2.7 Расчет в околовакуумных (сильноразреженных) областях

2.7.1 Проблема расчета в околовакуумпых областях

2.7.2 Обеспечение сквозного расчета в околовакуумных областях.

2.7.2.1 Общий вид корректирующих функций

2.7.2.2 Корректировка проводимости а.

2.7.2.3 Корректировка джоулева нагрева и излучения

2.7.2.4 Корректировка переноса (истечения) из околовакуумных ячеек.

2.7.2.5 Корректировка уравнения импульса

2.7.3 Оценка требуемого значения сгвакуум.

2.8 Сборка общего МГД-солвера.

2.8.1 Программная система единиц (ПСЕ).

2.8.2 Итерация общего МГД-солвера.

2.8.3 О выборе временного шага At

3 РАСЧЕТЫ ЗАДАЧ МОД

3.1 Разгон и сжатие плазменной оболочки (лайнера).

3.1.1 Разгон невозмущенного плазменного лайнера

3.1.2 Разгон плазменного лайнера с возмущениями

3.2 Сжатие магнитного потока (MFC).

3.2.1 Постановки с одним лайнером (компрессором)

3.2.2 Постановки с двумя лайнерами (компрессором и нагрузкой).

Актуальность проблемы

Современные фундаментальные и прикладные исследования в области физики плотной высокотемпературной плазмы характеризуются большим и постоянно возрастающим объемом вычислительных экспериментов на компьютерах [1], [2]. Бурное развитие вычислительной физики плазмы оказалось возможным благодаря широкому внедрению новых ЭВМ, высокопроизводительных аппаратных средств для выполнения параллельных вычислений и сетевых технологий. С другой стороны, это развитие обусловлено и возрастающими потребностями анализа нелинейных и неравновесных плазменных процессов, т.е. усложнением собственно математических моделей плазмы различных видов.

Для проведения численных исследований различных задач создаются специализированные программные комплексы, которые могут включать инструментальные средства препроцессинга (предварительной подготовки данных перед расчетом), средства проведения расчетов (солверы), а также средства постпроцессинга (анализа результатов расчета). Прогресс в области компьютерной техники (повышение вычислительных мощностей, развитие мультимедийных средств) приводит к возможности и даже необходимости модернизации программного обеспечения. Например, широкое распространение параллельных компьютерных систем стимулирует создание и развитие программных средств, реализующих параллельные алгоритмы расчетов и визуализации результатов. Развитие графических возможностей компьютеров позволяет поднять на новый уровень инструментальные средства пре-процессинга и постпроцессинга.

Очевидно, что прогресс в развитии научно-технического программного обеспечения обусловлен не только усовершенствованием вычислительной техники, но п развитием самого объекта численного исследования. Под этим мы подразумеваем совершенствование известных и создание новых физико-математических моделей, уточнение известных данных по уравнениям состояний веществ, появление новых экспериментальных результатов, для объяснения которых необходимо изучение новых постановок задач. Большую роль играет и создание новых крупных плазменных установок (типа ITER или NIF). Все вышеуказанные факторы приводят к необходимости значительной модификации существующего программного обеспечения (ПО) или создания новых прикладных программ.

Более того, существует еще один немаловажный фактор стимулирования, не связанный непосредственно ни с прогрессом вычислительной техники, ни с развитием объектов численного анализа. Этим фактором является развитие численных методов: усовершенствование существующих и создание новых. Например, в настоящее время весьма широкое распространение получили различные алгоритмы на неструктурированных расчетных сетках: тетраэдральных, призматических, треугольных и т.д. [27]. Ранее, как известно, в расчетных программах доминировали структурированные (часто даже просто кубические или прямоугольные) сетки. Использование новых классов расчетных сеток привело к пересмотру вычислительных алгоритмов и, соответственно, к модернизации соответствующего ПО.

Для исследований течений плотной плазмы применяются модели газовой динамики (ГД) и магнитной газовой динамики (МГД). В рамках этих моделей плазма представляется континуальной (непрерывной) квазинейтральной средой, состоящей из ионов различных сортов, электронов и, в общем случае, нейтральных частиц. Уравнения МГД выводятся в кинетической теории в предположении локального термодинамического равновесия компонент плазмы.

Характерные временной масштаб То и пространственный масштаб

1*0, при которых применимы ГД- и МГД-модели, имеют [58] следующие 1 ограничения: по времени То -, где плазма ~ плазменная частоплазма та, а по пространству — Ьо^> Ядсбая> где Ядсбая — радиус Дебая. Указанные ограничения не позволяют использовать ГД- и МГД-модели для исследования высокочастотных движений плазмы. Мощность экспериментальной аппаратуры в современных исследованиях высокотемпературной плазмы является величиной порядка нескольких тераватт, причем нередко она выделяется за весьма короткое время порядка 102-г-103 наносекунд, а размеры исследуемых объектов варьируются от Ю-2 см до нескольких десятков сантиметров. При этом плазмодинамические ГД- и МГД-модели достаточно широко и в целом успешно применяются для аналитического и численного анализа и прогнозирования результатов многих физических экспериментов.

Задачи магнитной гидродинамики плотной плазмы можно условно разделить на два семейства, используя в качестве критерия существенность процессов взаимодействия с собственным магнитным полем плазмы по сравнению с процессами взаимодействия с внешним магнитным полем. К первому классу будем относить задачи, в которых зарождение и развитие плазменных образований осуществляются в условиях весьма существенного влияния собственного магнитного поля плазмы, по которой течет электрический ток. К этому семейству относятся задачи изучения плазменных объектов, возникающих в электроразрядных и электродинамических устройствах. Имеются в виду такие плазменные объекты, как различного рода самосжатые разряды, Z-пиичи, плазменные лайнеры и т.п. К этой же группе относятся различные задачи генерации в импульсной плазме спонтанных магнитных полей.

Ко второму классу можно отнести физические задачи, в которых основную роль играют процессы взаимодействия плотной импульсной плазмы с внешним магнитным полем, а процессы, связанные с собственным магнитным полем плазмы, не играют ключевой роли. Внешнее магнитное поле может быть создано некоторым обособленным устройством, таким как генератор токовых импульсов и т.п. Например, ко второму семейству можно отнести многие задачи магнитного удержания плазмы, задачи формирования разрядных каналов с требуемыми свойствами для различных прикладных целей, задачи инжекции термоядерного топлива в системы с магнитным удержанием плазмы и т.д.

Очевидно, что деление физических задач на указанные выше классы достаточно условно. Более того, в каждом отдельном случае ситуация может динамически меняться с течением времени. Например, роль процессов, связанных с собственным магнитным полем плазмы, может постепенно расти, и, начиная с некоторого момента, задача станет относиться не ко второму классу, а к первому.

Постановки задач численного моделирования плазмы, рассматриваемых в первую очередь в настоящей диссертации, возникли из прикладных исследований физического метода электродинамического ускорения и сжатия плазмы по схеме <^-пипч». Задачи динамики внешней токонесущей оболочки пинча (лайнера) относятся к первому семейству, в то время как задачи моделирования процесса формирования и распространения электромагнитной волны, порожденной сильноточным ко-роткоимпульсным генератором, следует отнести ко второму классу.

Электродинамические разгон и сжатие плазменных оболочек были впервые предложены в 60-х годах XX века [59]. Этот метод предназначался, во-первых, для нагрева дейтериево-тритиевой смеси до термоядерных температур и, во-вторых, для создания мощных импульсов рентгеновского излучения за счет преобразования кинетической энергии ускоренной плазменной оболочки в энергию излучения [60]. Создание подобных источников рентгеновского излучения требуется как для различных физических исследований, так и для развития новых технологических процессов (например, рентгеновской фотолитографии). В России и за рубежом уже имеются генераторы электромагнитных импульсов длительностью порядка 102 наносекунд при мощности порядка 10 и более тераватт. Это известные установки PBFA-Z [61], Saturn [62], Ангара-5-1 [63], [81] и другие. В последние годы активно исследуется схема нагрузки сильноточного генератора, называемая быстрым Z-пинчем (или плазменным лайнером).

Одним из наиболее впечатляющих результатов, полученных в последнее десятилетие в области высоких импульсных мощностей (PulsedPower), явилась успешная разработка источника мягкого рентгеновского излучения в Sandia National Laboratories (США). Плазма, инициированная взрывом цилиндрической сборки из 240 вольфрамовых проводников диаметром 7.5 мкм, оказалась способной конвертировать магнитную энергию электрофизической установки в излучение с полным КПД порядка 10% и обеспечить импульс излучения в мягком рентгеновском диапазоне с энергией ~ 2 МДж и мощностью более 200 ТВт. Электротехническая установка, потребовавшаяся для создания такого излучения, обеспечивала амплитуду тока в нагрузке ~ 20 МА со временем его нарастания 100 не. Этот результат открыл новый реалистичный подход к исследованиям в области физики высоких энергий и инерционного управляемого термоядерного синтеза (УТС) [31].

Исходя из полученного результата, стало возможным предположить, что при использовании вышеупомянутой нагрузки па уровне токов до 60 МА, можно было бы получить условия, необходимые для реализации УТС посредством непрямого обжатия термоядерной мишени. Характерно, однако, что строительство такого электрофизического генератора не было немедленно начато. Дело в том, что технология получения импульсных токов, использованная в установке лабораторией Sandia (увеличение мощности посредством стадийного накопления энергии электрического поля), имеет внутренние ограничения, связанные с максимальной электрической прочностью существующих диэлектриков. Альтернативой этому подходу, который развивается уже более 50 лет, могли бы послужить различные схемы, появившиеся относительно недавно и использующие стадийное накопление не электрической, а магнитной составляющей энергии электромагнитного поля. В этом случае магнитная энергия накапливается в вакуумных полостях, и максимальная плотность мощности уже не ограничена электрическим полем пробоя материалов, а зависит от механической прочности проводящих стенок полости.

Одной из схем, реализующих накопление магнитной энергии с последующей ее концентрацией в пространстве и времени, является схема сжатия магнитного потока (magnetic flux compression, MFC). Этот метод генерации больших магнитных полей и больших токов был предложен уже давно, ещё в конце 50-х годов прошлого столетия независимо в СССР [65] и в США [66].

Концепция MFC состоит в сжатии полости с проводящими стенками настолько быстро, чтобы запертый в ней магнитный поток не успевал продиффундировать наружу через проводящую поверхность. В этом случае магиитиое поле в полости растет, как следствие сохранения внутреннего магнитного потока, обратно пропорционально её уменьшающемуся сечению. В цилиндрической геометрии возможно сжатие либо аксиального магнитного поля, либо азимутального поля, захваченного между центральным электродом («статором») и сжимающейся проводящей стенкой («ротором»). Первая конфигурация, первоначально предложенная академиком А. Д. Сахаровым [65], позволяет получать сверхвысокие магнитные поля (до ~ 30 МГс), тогда как вторая может быть использована для получения сверхвысоких токов в полезной нагрузке (до ~ 100 МА).

Для сжатия полости с магнитным полем долгое время использовалась химическая энергия взрывчатых веществ (поэтому такие генераторы получили название взрывомагнитных — ВМГ) [67], что ограничивало максимальную скорость ускоряемой внешней проводящей стенки на уровне ~ 5 км/с. При первоначальном внешнем радиусе магнитной полости порядка 5 см (ограничен сверху максимальной допустимой амплитудой рэлей-тейлоровской неустойчивости, развивающейся во время сжатия) взрывомагнитные генераторы способны, таким образом, создавать импульсные магнитные поля и токи микросекундного диапазона.

С другой стороны, решение задачи УТС с источником излучения на основе магнитной имплозии взрываемых многопроволочных сборок требует на порядок меньших значений времени нарастания тока. При этом скорость сжатия полости (т.е. скорость внешней стенки магнитной полости) должна достигать ~ 100 км/с. На взрывомагнитных генераторах подобные скорости кажутся недостижимыми.

В то же время такие параметры являются типичными для плазменных оболочек малой массы, ускоряемых магнитным полем. В этом случае максимальная скорость тонкой плазменной стенки магнитной полости уже не ограничена скоростью разлета продуктов взрыва, а скорее может быть оценена как альфвеновская скорость в плазме оболочки при данном значении ускоряющего поля. Магнитный поток сжимается в области между неподвижным «статором» и внешней оболочкой ротором»), ускоряемой импульсным магнитным полем, создаваемым электрофизическим генератором. Ожидаемое время сжатия оболочки настолько мало, что запертое между «статором» (электрод) и «ротором» (плазма) магнитное поле не успевает значительно продиффунди-ровать в плазму. Данный подход (его можно условно назвать «плазменным MFC») был предложен сравнительно недавно [40]. Поэтому схема плазменного MFC ещё слабо изучена экспериментально.

Одним из практических приложений схемы плазменного сжатия магнитного потока может стать создание новых установок для исследования проблемы УТС в соответствии с [31]. Другим приложением рассматриваемой схемы является создание мощных источников рентгеновского излучения. Наконец, предлагается использовать MFC-схемы вместо традиционных взрывомагнитных генераторов для создания импульсных давлений магнитного поля с целью экспериментального изучения уравнений состояния веществ методами безударного и ударного сжатия [68].

Несмотря на различия возможных экспериментальных установок MFC, обусловленные различными сферами их применения, в них можно выделить общие элементы (по крайней мере, на некотором уровне абстрагирования). Во-первых, это электрофизический генератор тока и основной плазменный лайнер-компрессор. Внешняя поверхность лайнера-компрессора и цепь генератора тока образуют первичный электрический контур. Лайнер-компрессор разгоняется и сжимается к оси системы магнитным полем, порождаемым кратковременным импульсом тока генератора. Вторичный электрический контур образуется электродами установки, внутренней поверхностью плазменного компрессора и нагрузкой. Магнитный поток, запертый во вторичном контуре, сжимается за счет имплозии компрессора, что ведет к росту давления запертого магнитного поля.

В качестве нагрузки может, например, использоваться второй плазменный лайнер (в задачах по исследованию УТС или по созданию радиационного источника) или вакуумная индуктивность (в задачах по изучению уравнений состояния материалов). В первом случае сжатие магнитного потока во вторичном контуре приводит к имплозии лайнера-нагрузки к оси системы. Во втором случае — к резкому нарастанию давления магнитного поля в нагрузке (вакуумной области); передача этого давления на исследуемый образец позволяет реализовать требуемый режим его сжатия.

Сжатие лайнера-компрессора используется для усиления мощности токового импульса электротехнического генератора, в первую очередь, за счет существенного (в несколько раз) уменьшения длительности импульса. Как было сказано выше, подобная схема с накоплением энергии магнитного поля представляется в настоящий момент более перспективной, чем классическая схема накопления энергии электрического поля, например, в конденсаторных батареях.

Для корректного согласования параметров плазменных пинчей (лайнеров) с параметрами генераторов импульсов тока, для профилирования формы электродов разрядных камер и т.п. необходим численный расчет электродинамического разгона и сжатия пинчей. Численное моделирование позволяет получить обоснованные количественные оценки энергетического баланса установки, устойчивости плазменных объектов, характеристики излучения и т.д., а также осуществлять оптимизацию параметров установок.

Необходимость развития старых и создания новых численных кодов для расчета задач плазмодинамики и, в частности, для расчета задач разгона и сжатия плазменных лайнеров (в том числе задач плазменного MFC) вызвана разными причинами.

Во-первых, это естественное требование увеличения точности численных решений. Здесь имеются в виду как распределения расчетных величин по пространству, так и интегральные характеристики решений.

Во-вторых, это требование учета последних достижений физической теории, физического и численного эксперимента. Например, это может быть появление уточненных или расширенных таблиц уравнений состояния вещества, получение улучшенных аналитических оценок параметров плазмы и т.п.

Третья причина — это изменение постановок самих физических задач. Поясним это на примере интересующих нас в первую очередь задач разгона и сжатия лайнеров. Раньше вполне удовлетворительными считались расчеты, в которых расчетная область представляла собой простейшую фигуру — например, прямоугольник или призму (имеется в виду сечение плоскостью RZ цилиндрической системы координат; предполагается осевая симметрия). При дискретизации областей с такой простой геометрией использовались простейшие индексные, т.е. структурированные, расчетные сетки [27]. В современных постановках лайнерных задач расчетная область имеет достаточно сложную геометрию. Например, это может быть система из двух или нескольких разрядных камер, соединенных узкими каналами сложной формы. Характерные размеры элементов таких расчетных областей могут меняться в десятки, сотни раз и даже более. Используются криволинейные профили (поверхности) электродов. Использование простейших индексных сеток для дискретизации таких областей не всегда приемлемо. Если эти сетки и удается построить, то в них, вследствие их структуры, содержится физически неоправданно большое число расчетных узлов, возникают проблемы с границами сложной формы и т.п. Это приводит к тому, что старые коды оказываются непригодными для решения задач в областях сложной формы. Требуется создание кодов, использующих современные сеточные технологии. Например, в настоящей диссертации рассматривается код МАИРЬЕ, в котором реализована поддержка неструктурированных треугольных сеток.

Четвертой и немаловажной причиной является необходимость учета современных требований к прикладному программному обеспечению (ПО). В частности, требуется обеспечение надежности ПО (за счет использования современных систем управления качеством разработки [64]), повышение производительности ПО (что связано с развитием аппаратного и программного обеспечения компьютеров), уменьшение затрат на модификацию ПО (за счет использования современных подходов к разработке) и т.д. Заметим, что обеспечение высокой производительности ПО на современных аппаратно-программных платформах особенно важно при проведении серийных расчетов (например, при оптимизации профиля электрода) и при наличии жестких требований относительно допустимого времени расчета.

В последние годы разработано достаточно много численных схем, позволяющих достичь высокой точности расчета на нерегулярных сетках [3], [19], [12], [72] (см. также краткий обзор разностных схем в разделе 1.1 настоящей работы). Это открывает возможности широкого внедрения в вычислительной физике и, в частности, в вычислительной нлаз-модинамике новых сеточных технологий (блочные сетки, неструктурированные сетки и т.д.).

Разработка подобных технологий (построение вычислительных схем и алгоритмов, их программная реализация на современном уровне и интеграция в составе пакета прикладного ПО), а также их введение в практику вычислительных экспериментов в области физики сильноточных разрядов является некоторой идеальной «глобальной» целью настоящей диссертационной работы.

Цели и задачи

Целью работы являются: создание моделей и вычислительных методов для моделирования МГД-процессов в диссипативпой двухтемпе-ратурной плазме на неструктурированных сетках, разработка и реализация соответствующего программного обеспечения, расчет ряда задач сжатия плазменных лайнеров и плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в областях нетривиальной геометрии.

Настоящая диссертация посвящена следующим вопросам:

• Разработка и анализ разностных схем суммарной аппроксимации МГД-уравнепий на треугольных неструктурированных сетках и алгоритмов решения сеточных уравнений с целью моделирования процессов в плотной электродинамически ускоряемой плазме.

• Программная реализация разработанных алгоритмов в коде MARPLE. Разработанное программное обеспечение ориентировано в первую очередь на задачи моделирования разгона и сжатия плазменных лайнеров, в том числе задачи MFC, однако оно также применимо и к другим задачам расчета плотной плазмы. При разработке программного обеспечения использован современный объектно-ориентированный подход; языком реализации является С++. Использование объектно-ориентированного подхода приводит к повышению удобочитаемости кода, существенному уменьшению затрат на поддержку и модификацию кода, к возможности повторного использования кода.

• Использование созданного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов, посвященных исследованию задач плазмодинамики:

1. Задачи о разгоне кратковременным (102 -f-103 не) токовым импульсом плазменных лайнеров, как однородных, так и с внесенными начальными возмущениями плотности. Эти задачи используются главным образом для оценки качества работы созданного кода и сравнения результатов с другими источниками (валидация кода).

2. Задачи о сжатии ускоряемым плазменным лайнером магнитного потока в экспериментальных установках сложной геометрии. Использование лайнера позволяет провести усиление токового импульса генератора за счет существенного уменьшения его длительности. Проведение численных экспериментов позволяет еще на этапе проектирования выявить потенциальные проблемы в работе и оптимизировать параметры устройств (профили электродов, формы токовых импульсов, параметры плазменных лайнеров и т.д.).

3. Задачи о сжатии магнитного потока в установках сложной геометрии в постановках с двумя плазменными лайнерами. Этот класс задач отличается от предыдущего тем, что в качестве нагрузки используется дополнительный подвижный лайнер. Основной лайнер-компрессор, ускоряемый токовым импульсом от генератора, сжимает в режиме усиления мощности магнитный поток, который, в свою очередь, инициирует движение лайнера-нагрузки. Целыо является магнитная имплозия лайнера-нагрузки, в то время как лайнер-компрессор служит только для усиления токового импульса генератора за счет уменьшения его длительности. Численные эксперименты предназначены для тех же целей, что и в задачах предыдущего класса, — диагностика и оптимизация параметров установки на этапе проектирования.

Научная новизна

В данном разделе сформулированы научно-технические задачи, которые были решены лично автором настоящей диссертации в рамках проекта создания кода MARPLE (Magnetically Accelerated Radiative PLasma Explorer). Разработка кода ведется в ИММ РАН.

1. Разработан ряд сеточных и вычислительных алгоритмов, предназначенных для работы на нерегулярных неструктурированных сетках:

• Предложен оригинальный алгоритм построения двойственных сеток (сеток контрольных объемов), необходимых для расчетов методами конечных объемов.

• Построены различные варианты явной двухэтапной разностной схемы расчета идеальной МГД с использованием немонотонных и квазимонотонных реконструкций сеточных величин на разных этапах. Предложенная схема является экономичной с вычислительной точки зрения и при этом обеспечивает достаточно хорошую точность расчета.

• С помощью иптегро-интерполяционного метода построена неявная разностная схема расчета анизотропной диффузии магнитного поля на треугольных сетках. Использование современных программных средств для обращения матриц позволяет получить высокоточные результаты за приемлемое время.

• Предложена двухэтапная схема общего МГД-солвера, реализующего принцип суммарной аппроксимации для рассматриваемой системы уравнений двухтемнературной диссипативной МГД. Предложены специальные околовакуумные корректировки, позволяющие проводить сквозной расчет в областях очень низкой плотности за счет определенной корректировки базовых уравнений МГД.

2. Разработанный программный код MARPLE сочетает развитую и расширяемую физико-математическую модель, использование современных технологий неструктурированных сеток и вычислительных методов, использование объектно-ориентированного подхода (ООП). Все это открывает широкие возможности использования кода для научных и практических приложений, а также перспективы его дальнейшего развития.

3. С помощью созданного программного обеспечения проведен ряд оригинальных вычислительных экспериментов. В частности, расчеты рассмотренных нами задач плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в областях нетривиальной геометрии и с привлечением развитых физико-математических моделей ранее не проводились. Сделанные ранее расчеты либо выполнялись в областях самой тривиальной геометрии, либо не учитывали многих важных МГД-процессов. На конкретных примерах демонстрируется недостаточность расчетов задач MFC по упрощенным моделям и необходимость проведения полноценных двумерных или трехмерных расчетов.

Научная и практическая значимость

Научная и практическая значимость полученных результатов обусловлена следующими причинами:

1. В разработанном программном обеспечении (код MARPLE) сочетаются:

• Достаточно развитая и при этом легко расширяемая физико-математическая модель. В модели учтены анизотропная диффузия магнитного поля, джоулев нагрев, ионная и электронная теплопроводности и ионно-электропный обмен, излучение, двухтемпературность.

• Использование современных численных методов и сеточных технологий (так называемые неструктурированные сетки), позволяющих вести расчет в областях практически любой геометрии, в том числе с меняющимися па несколько порядков характерными размерами элементов. В настоящей работе под неструктурированными сетками понимаются нерегулярные сетки произвольной структуры из правильно примыкающих треугольных элементов. Возможно использование сеток в несколько сотен тысяч элементов (треугольников) в расчете на современном серийном ПК.

• Использование современного объектно-ориентированного подхода (ООП), что повышает удобочитаемость исходного кода, уменьшает затраты на его модификации, способствует повторному использованию кода и т.д.

Таким образом, разработанный код приспособлен для решения современных практически интересных физических задач в областях очень сложной геометрии на сетках с большим количеством элементов. При этом за счет использования объектно-ориентированного подхода существенно облегчена модификация кода, что положительно сказывается на перспективах дальнейшего развития.

2. Рассчитанные с помощью разработанного кода MARPLE задачи плазменного сжатия магнитного потока (MFC), представляя самостоятельный практический интерес, являются также прототипами более сложных и еще более интересных в практическом плане задач этого класса. Схема плазменного сжатия магнитного потока может быть использована во многих приложениях: определение уравнений состояния методами безударного и ударного сжатия, получение рентгеновских источников, исследования по управляемому термоядерному синтезу. Указанные приложения, наряду с развитием новых численных методов магнитной гидродинамики, определяют практическую значимость и актуальность настоящей работы. Сравнение наших двумерных расчетов задач MFC с расчетами по упрощенным физико-математическим моделям убедительно доказало необходимость проведения полноценных двумерных и трехмерных расчетов, особенно для конфигураций со сложной геометрией. При этом такие полноценные расчеты для рассмотренных классов задач MFC ранее еще не были проведены. Таким образом, нет сомнений и в необходимости проведения расчетов задач MFC с помощью кода MARPLE. Как было сказано выше, это особенно актуально для расчетных областей с нетривиальной геометрией.

3. Многие разработанные для MARPLE вычислительные алгоритмы допускают обобщение на случай трехмерных неструктурированных сеток (например, тетраэдральных). Такая работа ведется уже в настоящее время, в частности, в рамках проекта ISTC-2830 (Международного научно-технического центра). Создание трехмерной версии кода существенно облегчается за счет использования в MARPLE объектно-ориентированного подхода (что способствует повторному использованию кода и т.д.). Разработанные модели, методы и непосредственно программное обеспечение ускоряют и облегчают ведущуюся в настоящее время разработку трехмерной версии кода, что имеет большое практическое значение.

В силу вышеизложенного можно заключить, что совокупность полученных результатов (модели, вычислительные методы, программное обеспечение, расчеты задач сжатия лайнеров и плазменного сжатия магнитного потока) имеет как научную, так и практическую значимость. При этом открываются широкие перспективы дальнейшего развития моделей, методов, программного обеспечения, а также проведения расчетов других интересных задач плазмодинамики.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработано программное обеспечение МАИРЬЕ для моделирования МГД-процессов в плотной электродинамически ускоряемой плазме, в котором использована технология неструктурированных сеток и современный объектно-ориентированный подход к созданию кода.

2. Разработаны и программно реализованы численные алгоритмы расчета идеальных и диссипативных МГД-процессов на неструктурированных сетках, разработан и реализован общий МГД-солвер, использующий принцип суммарной аппроксимации.

3. Предложена и реализована методика обеспечения сквозного расчета газодинамических величин и электромагнитного поля в околовакуумных (с низкой плотностью вещества) областях, практически всегда встречающихся в задачах разгона и имплозии лайнеров и задачах плазменного сжатия магнитного потока.

4. Проведены расчеты задач разгона и имплозии плазменного лайнера, как однородного, так и с гармоническими возмущениями плотности. Параметры расчетной установки соответствовали известному эксперименту Сандийской Национальной лаборатории (США) на установке «Z». Данный расчет можно рассматривать как вали-дацию разработанного программного обеспечения. Сравнение результатов с другими источниками (экспериментальные данные, численные эксперименты на ЭВМ) показало совпадение с практически приемлемой точностью. Это позволяет использовать код MARPLE для прогноза результатов экспериментов, выполняемых на современных сильноточных устройствах.

5. Проведены расчеты задач плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в различных постановках. В качестве нагрузки схемы MFC, обостряющей токовый импульс, были использованы как вакуумная индуктивность, так и дополнительный плазменный лайнер. Осуществлено сравнение с расчетами по упрощенной физической модели (упрощенная геометрия, пренебрежение диссипацией). Показано, что в задачах сжатия магнитного потока возможно увеличение мощности токового импульса более чем на порядок. Продемонстрировано отрицательное влияние на работу схемы MFC эффекта проникновения плазмы лайнера-компрессора в область нагрузки. С помощью численного эксперимента проверена эффективность способа предотвращения указанного эффекта, заключающегося в увеличении затравочного тока во вторичном (нагрузочном) контуре.

6. Проведенные расчеты доказывают пригодность разработанного программного обеспечения для расчета задач разгона и имплозии лайнеров и плазменного сжатия магнитного потока в областях сложной геометрии. Использование неоднородных неструктурированных расчетных сеток позволяет моделировать физические и инженерные плазменные установки высокой степени геометрической сложности, содержащие существенно разномасштабные элементы.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается, во-первых, сравнением их с физическими экспериментами и другими расчетами. В частности, результаты наших расчетов разгона и сжатия лайнера (см. раздел 3.1) достаточно хорошо согласуются с известными результатами, полученными с помощью двумерного лагранжево-эйлерова кода на структурированных сетках (РАЗРЯД).

Результаты расчета более интересных в практическом плане задач сжатия магнитного потока MFC (см. раздел 3.2) сравнивались только с сильно упрощенными физическими оценками. Сравнение с кодом РАЗРЯД для этих задач оказалось невозможным по той причине, что данный код малопригоден для их решения. Это вызвано в первую очередь использованием в нем устаревших сеточных технологий (индексные моноблочные сетки). Кроме того, модификация кода РАЗРЯД затруднена процедурным подходом, использованным при его создании.

Таким образом, сравнение наших расчетов задач MFC с другими полноценными двумерными или трехмерными расчетами невозможно за отсутствием таковых. Однако сравнение даже с весьма упрощенными физическими оценками демонстрирует достоверность и непротиворечивость получаемых результатов. При этом наши расчеты позволили исследовать важные процессы, которыми упрощенные физические модели полностью пренебрегают. Естественно, такого рода отличия от примитивных оценок никак не могут снизить достоверность наших результатов.

Во-вторых, следует заметить, что каждый из программных модулей MARPLE подвергался автономному тестированию. В качестве тестов использовались задачи, для которых известны аналитические или высокоточные численные решения. Таким образом, блок расчета идеальной

МГД тестировался на ряде задач идеальной МГД, блок расчета диффузии магнитного поля тестировался на ряде задач диффузии поля и т.д.

В-третьих, достоверность проведенных расчетов косвенно подтверждается теоретическими оценками использованных разностных схем (аппроксимация, устойчивость, сходимость) и алгоритмов.

Вышесказанное позволяет сделать заключение о достоверности полученных в работе результатов.

Апробация результатов

Основные результаты были представлены на следующих конференциях и семинарах:

1. XXX Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, г. Звенигород, 24-28 февраля 2003 года.

2. 13th International Symposium on High Current Electronics, Tomsk, Russia, 25-30 July 2004.

3. Семинар лаборатории LPTP (физика и технология плазмы) Ecole Polytechnique под руководством проф. J.M. Rax, 91128 Palaiseau Cedex, France, июль 2005 г.

4. The 25th International Symposium on Shock Waves - ISSW25, Bangalore, India, 17th - 22nd July, 2005.

5. International conference on parallel computational fluid dynamics, PARCFD, 2005.

6. International Conference on Parallel Computing, PARCO-2005, Malaga, Spain, 13-16 September, 2005. о

7. Третий международный научный семинар LPM : Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах, МОСТУ, Москва, Россия, 31 января - 4 февраля 2006 года.

8. Совместный семинар сотрудников ИММ РАН, ИТЭФ РАН, ФИ РАН и «Нейрок Техсофт» под руководством к.ф.-м.н. Диянко-ва О.В., г. Троицк, 31 января 2006 года.

9. XXXIII Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, г. Звенигород, 13-17 февраля 2006 года.

10. Совместный семинар сотрудников ИММ РАН и ТРИНИТИ под руководством к.т.н. Грабовского Е.В., Троицк, февраль 2006 года.

11. Семинар ИММ РАН под руководством проф., д.ф.-м.н. Левано-ва Е.И., Москва, март 2006 года.

Личный вклад автора

Работа автора является частью проекта создания кода MARPLE, выполняемого коллективом сотрудников восьмого отдела ИММ РАН (Га-силов В.А., Болдарев A.C., Дьяченко C.B., Карташева E.JL, Ольховская О.Г.). Автором настоящей диссертации лично решены следующие задачи:

1. Разработка специального алгоритма построения двойственной сетки (см. раздел 2.2). Программная реализация соответствующих классов.

2. Разработка общего МГД-солвера (имеется в виду основной управляющий модуль, см. раздел 2.8). Программная реализация соответствующих классов.

3. Разработка блока расчета анизотропной диффузии магнитного поля (см. раздел 2.3). Программная реализация соответствующих классов.

4. Разработка блока расчета идеальной двухтемпературной МГД (см. раздел 2.4). Программная реализация соответствующих классов. К данному пункту можно отнести также раздел 1.1, посвященный предварительному анализу ряда существующих одномерных разностных схем расчета идеальной МГД, и раздел 2.7, в котором предлагаются специальные корректирующие функции, предназначенные для обеспечения сквозного расчета в областях с низкой плотностью вещества (например, в низкоплотной плазменной короне или в остаточном газе).

5. Проведение вычислительных экспериментов (см. главу 3). Анализ полученных численных результатов. Постановка физических задач и анализ результатов расчетов проводились, как правило, совместно с Чуватиным A.C. (лаборатория LPTP физики и технологии плазмы Политехнической школы, Франция). Сравнение с известными источниками. В частности, решались задачи разгона и сжатия плазменных лайнеров, а также задачи сжатия магнитного потока (MFC). Рассмотренные постановки задач сжатия магнитного потока имеют практические приложения: определение уравнений состояния веществ методами безударного и ударного сжатия, создание мощных источников рентгеновского излучения, исследования в области управляемого термоядерного синтеза.

6. Разработка ряда вспомогательных модулей (например, модуль поддержки работы с разреженными матрицами, модуль ввода—вывода результатов и т.п.). Программная реализация соответствующих классов.

Публикации

По результатам диссертационной работы имеется 13 публикаций, список которых приведен в конце настоящего документа (на стр. 246).

Содержание работы

В настоящем введении описаны актуальность темы диссертации, сформулированы цели исследований, рассмотрены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту. Рассмотрены также вопросы достоверности и апробации результатов, описан личный вклад автора диссертации, приведен перечень научных публикаций по теме диссертации. Приведено развернутое описание содержания работы.

Первая глава посвящена предварительному сравнительному анализу ряда одномерных схем МГД, в частности, модифицированной схемы Лакса-Фридрихса [3],[14], схемы Курганова-Тадмора [16], а также схе-^ мы коррекции потоков на основе линеаризованной задачи Римана [17].

Первая из указанных схем описана в разделе 1.1.1 рассматриваемой Ф главы, вторая — в разделе 1.1.2, а третья — в разделе 1.1.3.

В разделе 1.1.4 осуществлено сравнение указанных схем. Его целью являлся выбор некоторой известной базовой одномерной МГД-схемы для дальнейшей ее модификации и обобщения на случай исиользова-' иия неструктурированных треугольных сеток. Для проведения сравнения схем использовался вычислительный эксперимент, заключавшийся в расчете ряда известных тестовых задач магнитной гидродинамики: «магнитный поршень» (подраздел 1.1.4.1), распад МГД-разрыва (подраздел 1.1.4.2), распространение ударной волны по холодному фону (подраздел 1.1.4.3) и другие задачи. Кроме того, при сравнении схем учитывались известные достоинства и недостатки соответствующих им алгоритмов применительно к реализации на ЭВМ.

На основании проведенного сравнения сделан вывод о целесообразности использования одномерной модифицированной схемы Лакса-Фридрихса в качестве базы для обобщения па случай неструктурированных сеток. Кроме того, при разработке двумерной МГД-схемы использовались определенные свойства схемы Курганова-Тадмора, например, построение немонотонных и квазимонотонных реконструкций сеточных величин. Предложенная в настоящей работе разностная схема обеспечивает порядок аппроксимации 0(г2 + /г2) на однородных треугольных сетках, 0(т2 + 1г) — на произвольных треугольных сетках и является устойчивой при выполнении условия Куранта. Обобщенная схема предназначена для использования в модуле расчета недиссипа-тивной двухтемпературной МГД, являющемся основным компонентом разрабатываемого МГД-солвера (МАГ1РЬЕ).

В главе 2 описаны вычислительные алгоритмы, реализованные в отдельных компонентах общего МГД-солвера, а также способ их взаимодействия друг с другом. Общий МГД-солвер МАИРЬЕ реализует известный принцип суммарной аппроксимации как на методологическом уровне, так и па уровне программной реализации.

Реализация принципа суммарной аппроксимации на методологическом уровне осуществляется разбиением членов уравнений системы дис-сипативной двухтемпературной МГД на группы, исходя из соображений физического и вычислительного характера. Отдельные группы затем аппроксимируются различными способами в различных вычислительных блоках. Затем результаты работы отдельных блоков объединяются в единое целое определенным образом, обеспечивая суммарную аппроксимацию полной системы уравнений.

Соблюдение принципа суммарной аппроксимации на уровне программной реализации основано па применении в процессе разработ-ф ки современного объектно-ориентированного подхода. В соответствии с этим подходом осуществляется построение иерархической системы слабо взаимодействующих классов, инкапсуляция данных и методов внутри классов и т.д.

В разделе 2.1 приведена решаемая система уравнений двухтемпе-ратурной диссипативной МГД.

В разделе 2.2 предложен оригинальный алгоритм построения двойственных сеток (сеток контрольных объемов), необходимых, наряду с ^ основными треугольными сетками, для расчета. Алгоритм основан на осуществлении коррекций известных диаграмм Вороного (Дирихле) с

• целью выполнения определенных условий. В разделе подробно описан алгоритм, показаны отличия получаемых с его помощью сеток контрольных объемов от известных аналогов (диаграммы Вороного, барицентрические контрольные объемы). Предложенный алгоритм программно реализован в MARPLE и успешно использовался при решении различных задач плазмодинамики.

• Раздел 2.3 посвящен описанию расчета важного диссипативного процесса — диффузии магнитного поля в плазму из-за конечной про

• водимости последней. Диффузия магнитного поля и связанный с ней джоулев нагрев играют ключевую роль во многих практически важных задачах плазмодинамики. Не составляют исключения и задачи разгона и сжатия плазменных пинчей, в том числе задачи плазменного сжатия магнитного потока (MFC). Поэтому модуль расчета диффузии магнитного поля по важности очень близок к основному модулю расчета иедиссипативной двухтемпературной МГД.

В подразделе 2.3.1 рассмотрен упрощенный случай изотропной (т.е. не зависящей от пространственного направления) проводимости плазмы, представляющий определенный самостоятельный интерес.

Следующий за ним раздел 2.3.2 посвящен более сложному случаю анизотропной проводимости плазмы. Для удобства использования уравнений осуществляется их преобразование в форму, аналогичную рассмотренному ранее случаю изотропной проводимости. Даются необходимые комментарии относительно недиссипативного «вмороженного» члена rot х li^j, возникающего в уравнениях диффузии поля (— скорость плазмы, ~Й — напряженность магнитного поля).

В подразделе 2.3.3 осуществлено построение неявной разностной схемы расчета диффузии магнитного поля. При создании численной схемы использован интегро-интерполяционный метод.

Раздел 2.4 посвящен основному алгоритму общего МГД-солвера — алгоритму расчета идеальной двухтемпературной МГД. «Идеальность» подразумевает пренебрежение всеми диссипативными процессами, такими как диффузия магнитного поля, джоулев нагрев, излучение, теплопроводность и ионно-электронный обмен. Система уравнений идеальной двухтемпературной МГД, являющаяся подсистемой полной системы уравнений МГД, приведена в подразделе 2.4.1. Следующий подраздел 2.4.2 содержит подробное описание предлагаемой вычислительной схемы. Построенная явная разностная схема относится к классу методов контрольных объемов и имеет второй порядок аппроксимации по пространству. В подразделах 2.4.2.1—2.4.2.6 дано структурированное и детальное описание элементов вычислительной схемы. В них описаны немонотонные и квазимонотонные реконструкции разностных величин, этапы «предиктор» и «корректор», вычисление потоков, варианты сборки разностной схемы.

В разделе 2.5 описана неявная разностная схема, предназначенная для расчета ионной и электронной теплопроводностей и ионно-электронного обмена. Схема получена интегро-интерполяциопиым методом.

Раздел 2.6 посвящен алгоритмам расчета джоулева нагрева, связанного с диффузией магнитного поля в плазму, и излучения, играющего большую роль при высоких температурах вещества. Алгоритм расчета джоулева нагрева, полученный с помощью интегро-интерполяционного метода, описан в подразделе 2.6.1. Описание сеточно-характеристического (лучевого) алгоритма расчета излучения дано в подразделе 2.6.2.

В разделе 2.7 подробно рассмотрена весьма важная для практических приложений проблема расчета в «околовакуумных» областях, т.е. областях с очень низкой плотностью вещества (плазменная корона, остаточный газ). В подразделе 2.7.1 приведено общее описание проблемы, дан перечень факторов, усложняющих расчет задач при низких плотностях. Предлагаемые нами корректировки вычислительных алгоритмов, обеспечивающие возможность сквозного расчета в областях низкой плотности, описаны в подразделе 2.7.2. Сквозной расчет в областях с низкой плотностью вещества (например, в плазменной короне) в используемом МГД-приближении пе может претендовать на точность описания происходящих в них процессов. Необходимым условием является только сохранение адекватности расчета плазмы в целом (т.е., в первую очередь, более плотных плазменных объектов). В подразделе 2.7.2.1 приведен общий вид корректирующих функций. В следующих за ним подразделах 2.7.2.2—2.7.2.5 описаны соответственно корректировки проводимости, джоулева нагрева, переноса, а также коррекция уравнения импульса. В подразделе 2.7.3 приведена оценка требуемого значения одного из параметров корректировки проводимости — константы сгвакуум.

Раздел 2.8 посвящен вопросам, связанным со сборкой общего МГД-солвера, реализующего принцип суммарной аппроксимации. Общий МГД-солвер осуществляет управление блоками расчета идеальной двухтемпературной МГД, расчета диффузии магнитного поля, расчета ионной и электронной теплопроводностей и ионно-электронного обмена, расчета джоулева нагрева, расчета излучения, а также различными вспомогательными модулями (например, модулем работы с двойственными сетками). Соответственно, общий МГД-солвер отвечает и за координацию потоков данных между всеми другими модулями. Также в рассматриваемом разделе диссертации приведена некоторая информация, относящаяся к программному комплексу MARPLE в целом. В подразделе 2.8.1 описана единая программная система единиц (ПСЕ). Она фактически совпадает с объединенной гауссовой системой единиц, за исключением того, что в качестве единицы измерения времени используется не секунда, а микросекунда, а также того, что напряженность магнитного поля ~Й нормируется на множительВыбор микросеv47T кунды в качестве единицы измерения времени связан с ориентацией разрабатываемого программного обеспечения в первую очередь на задачи электродинамического разгона плазменных лайнеров, а таким задачам характерны временные масштабы порядка 102 не 4- 103 не. Нормирование напряженности магнитного поля на указанный множитель позволяет несколько упростить запись уравнений МГД и не несет принципиального значения. Основной целью введения ПСЕ является повышение точности арифметических вычислений за счет специального масштабирования (scaling) расчетных величин. Такого рода перемасштабирование является составной частью многих известных вычислительных алгоритмов. Кроме того, использование ПСЕ повышает удобство работы с кодом. В подразделе 2.8.2 приведено описание итерации общего МГД-солвера, состоящей из двух этапов: «предиктор» и «корректор». Использование механизма «предиктор-корректор» позволило обеспечить второй порядок аппроксимации по времени. Подраздел 2.8.3 посвящен проблеме выбора временного шага At.

В последней главе настоящей работы — 3, описаны расчеты задач ф МГД, выполненные с помощью разработанного программного обеспечения MARPLE. Раздел 3.1 посвящен задаче разгона и сжатия к оси плазменного лайнера в цилиндрической вакуумной камере. Лайнер является либо однородным по плотиости (см. подраздел 3.1.1), либо имеет начальные гармонические возмущения плотности (см. подраздел 3.1.2). Сжатие лайнера происходит под воздействием кратковременного импульса тока от генератора. Рассматриваемая постановка носит скорее тестовый характер, так как, не являясь ориентированной на конкретные практические приложения, позволяет осуществить сравнение результатов расчета с другими известными источниками. ' Более сложные и важные в практическом плане задачи, относящиеся к классу задач сжатия магнитного потока (MFC), рассмотрены в разделе 3.2. Задачи данного подраздела, в отличие от задач предыдущего, имеют вполне конкретные практические приложения.

В подразделе 3.2.1 рассмотрены задачи сжатия магнитного потока в постановках с одним плазменными лайнером (компрессором) и ' вакуумной индуктивностью в качестве нагрузки. Имплозия лайнеракомпрессора приводит к сильному росту напряженности магнитного по-Ф ля в нагрузке. Смысл использования лайнера-компрессора заключается в обострении токового импульса внешнего генератора. Практическим приложением соответствующих физических установок является созда-^ ние импульсных давлений магнитного поля с целыо экспериментального изучения уравнений состояния веществ методами безударного (из-энтропического) и ударного сжатия. Приведены результаты расчетов задач с помощью разработанного кода MARPLE, осуществлено сравнение с известными физическими оценками (модель «снежный плуг»). Проведенное сравнение однозначно указывает на недостаточность использования упрощенных физических оценок и необходимость проведения полноценных двумерных и трехмерных расчетов установок. Например, упрощенные нульмерные и одномерные оценки совершенно непригодны для диагностики такой критической проблемы, как внос плазмы лайнера-компрессора с вмороженным в нее магнитным полем в область нагрузки. Таким образом, на примерах конкретных конфигураций наI ми доказана необходимость проведения полноценных (т.е. двумерных или трехмерных, причем с учетом диссипативных процессов) расчетов задач рассматриваемого класса.

Подраздел 3.2.2 посвящен расчетам задач сжатия магнитного ^ потока в постановках с двумя лайнерами: лайнером-компрессором и лайнером-нагрузкой. Имплозия лайпера-компрессора приводит к раз' гону и сжатию к оси системы лайнера-нагрузки за счет сжатия магнитного потока между этими лайнерами. Лайнер-компрессор служит для обострения токового импульса внешнего генератора. Основной целью является обеспечение требуемой динамики имплозии лайнера-нагрузки. При сжатии к оси лайнер-нагрузка интенсивно излучает энергию в нужном диапазоне (например, рентгеновском). Такого рода эксперименталь-' ные установки могут служить для создания мощных источников рентгеновского излучения, а также для исследований в области управляемого

• термоядерного синтеза. Как и в предыдущем подразделе, осуществлено сравнение результатов наших расчетов с физическими оценками. Сравнение убеждает в недостаточности проведения упрощенных оценок и в необходимости выполнения полноценных двумерных или трехмерных расчетов с учетом диссипативных эффектов.

В заключении приведены основные результаты работы, сделаны необходимые комментарии и выводы, обозначены перспективы дальнейших исследований по теме настоящей диссертации.

Благодарности

Работа выполнена под руководством зав. отд. ИММ РАН, профессора, д.ф.-м.н. Гасилова В.А., которому автор выражает искреннюю благодарность за постоянную поддержку и внимание, оказанные при выполнении настоящей работы.

Также автор хотел бы выразить признательность сотрудникам ИММ РАН к.ф.—м.н. Ольховской О.Г., к.ф.—м.н. Карташевой E.JL, к.ф.-м.н. Болдареву A.C., к.ф.-м.н. Круковскому А.Ю. за интересные дискуссии и замечания относительно численных методов, расчетных сеток, программной реализации алгоритмов и многого другого.

Автор признателен сотруднику лаборатории LPTP физики и технологии плазмы Политехнической школы (Франция) Dr. A.S. Chuvatin за предложенные физические постановки задач сжатия магнитного потока, за проделанные нульмерные оценки, а также за сотрудничество при анализе результатов численного моделирования и подготовке публикаций.

Отдельное спасибо многочисленным сотрудникам фирмы «Нейрок Техсофт», специализирующейся в области прикладного ПО, и, в частности, к.ф.-м.н. Диянкову О.В. за предоставленные вычислительные ресурсы и конструктивные обсуждения на регулярно проводимых фирмой в г. Троицке совместных семинарах.

Большую помощь в подготовке текста настоящей диссертации оказала Дьяченко Н.Е., которой автор выражает искреннюю признательность за быстро и аккуратно проделанную работу, а также за многое другое.

Автор благодарит аспиранта ИММ РАН Минкина A.C. за интерес, проявляемый к проекту MARPLE в целом и, в частности, к работе автора.

Хотелось бы также выразить искреннюю признательность Фонду содействия отечественной науке, Российскому фонду фундаментальных исследований, Международному научно-техническому центру, Национальному центру научных исследований CNRS (Франция) за оказанную финансовую поддержку, которая, несомненно, помогла автору в работе над настоящей диссертацией. Финансовая помощь была также оказана из грантов поддержки ведущих научных школ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты проделанной работы:

1. Разработан ряд сеточных и вычислительных алгоритмов, предназначенных для работы на нерегулярных неструктурированных сетках:

• Разработан новый алгоритм построения двойственных сеток (сеток контрольных объемов), необходимых для расчетов методами конечных объемов.

• Построены варианты явной двухэтапной разностной схемы расчета идеальной МГД с использованием немонотонных и квазимонотонных реконструкций сеточных величин на этапах «предиктор» и «корректор». Предложенная схема является экономичной с вычислительной точки зрения и при этом обеспечивает высокую точность расчета на сетках нерегулярной структуры. В частности, порядок аппроксимации оценивается как О (г2 + /г2) на однородных треугольных сетках, 0(т2 + К) — на произвольных треугольных сетках; схема является устойчивой при выполнении условия Куранта.

• Построена неявная разностная схема расчета анизотропной диффузии магнитного поля па треугольных сетках. Использование современных программных средств для обращения матриц позволяет получить высокоточные результаты за приемлемое время при расчете на современной серийной ПЭВМ.

• Предложена двухэтапная схема общего МГД-солвера, реализующего принцип суммарной аппроксимации для рассматриваемой системы уравнений двухтемпературной диссипативной МГД. Предложены специальные околовакуумные корректировки, позволяющие проводить сквозной расчет в областях низкой плотности (плазменная корона, остаточный газ) за счет определенной корректировки базовых уравнений МГД.

2. Разработан программный код MARPLE, сочетающий развитую и расширяемую физико-математическую модель, использование современных технологий неструктурированных сеток и вычислительных методов, использование объектно-ориентированного подхода к программированию (ООП).

3. С целью валидации кода MARPLE осуществлены тестовые расчеты задачи имплозии лайнера кратковременным токовым импульсом в цилиндрической разрядной камере. Параметры расчетной установки соответствовали известному эксперименту Сандийской Национальной лаборатории (США) на установке «Z». Проведено сравнение результатов численного моделирования с другими источниками. Сравнение показало хорошее совпадение результатов, что свидетельствует о высокой точности работы кода и его применимости для решения актуальных задач радиационной плазмодинамики.

4. С помощью созданного программного обеспечения проведен ряд вычислительных экспериментов по расчету задач радиационной МГД в новых постановках. Рассмотрены задачи плазменного сжатия магнитного потока (MFC) в областях нетривиальной геометрии с привлечением развитых физико-математических моделей. Показано, что в задачах сжатия магнитного потока возможно увеличение мощности токового импульса более чем на порядок. Продемонстрировано отрицательное влияние на работу схемы MFC эффекта проникновения плазмы лайнера-компрессора в область па-грузки. С помощью численного эксперимента проверена эффективность способа предотвращения указанного эффекта, заключающегося в увеличении затравочного тока во вторичном (нагрузочном) контуре. Показана возможность оптимизации параметров установок плазменного сжатия магнитного потока с помощью разработанного кода MARPLE.

Основные перспективные направления дальнейшей работы следующие:

1. Обобщение моделей, вычислительных методов и программного обеспечения на трехмерный случай.

2. Дальнейшее расширение физико-математической модели. Например, введение в модель эффектов двужидкостности (для анализа высокочастотных МГД-процессов), переход к уточненным табличным уравнениям состояния и т.д.

3. Расчет с помощью созданного кода ряда актуальных задач радиационной плазмодинамики. Укажем две такие задачи, имеющие непосредственное отношение к разработкам данной диссертации:

• естественным развитием исследований схемы плазменного сжатия магнитного потока является анализ влияния рэлей-тейлоровской неустойчивости, развивающейся на стадии торможения лайнера-компрессора;

• в связи с большим объемом полученных в последние годы экспериментальных данных об имплозии лайнеров на основе проволочных сборок, особую актуальность приобрела задача исследования динамики таких лайнеров в плоской (X, У) или полярной (Р, (р) геометрии.

Результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. В.А. Гасилов, А.С. Чуватин, А.Ю. Круковский, Е.Л. Карташе-ва, О.Г. Ольховская, А.С. Болдарев, Д.С. Тарасов, Н.В. Серова, С.В. Дьяченко, О.В. Фрязинов. Комплекс программ «Разряд»: моделирование ускорения плазмы в сильноточных импульсных системах. - Математическое моделирование, 2003 г., том 15, номер 9, стр. 107-124.

2. Гасилов В.А., Дьяченко С.В., Карташева Е.Л. Алгоритм построения сеток контрольных объемов для сложных двумерных областей. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов./ под редакцией Уваровой Л.А. - М.: Изд.-во «Станкин», 2003.

3. Гасилов В.А., Дьяченко С.В., Карташева Е.Л., Ольховская О.Г. Алгоритмы адаптации неструктурированных сеток: маркеры особенностей и перестройка сеточных подобластей. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов./ под редакцией Уваровой Л.А. - М.: Изд.-во «Станкии», 2003.

4. V.A. Gasilov and S.V. D'yachenko. Quasimonotonous 2D MHD scheme for unstructured meshes. Mathematical modeling: modern methods and applications. - Janus-K, Moscow, 2004.

5. V.A. Gasilov , A.S. Chuvatin , A.Yu. Krukovskii, E.L. Kartasheva, O.G. Olkhovskaya, A.S. Boldarev and S.V. D'yachenko. Magneticallydriven plasma simulations with Marple. Mathematical modeling: modern methods and applications. - Janus-K, Moscow, 2004.

6. B.A. Гасилов, А.С. Чуватин, А.Ю. Круковский, Е.Л. Карташе-ва, О.Г. Ольховская, А.С. Болдарев, Д.С. Тарасов, Н.В. Серова,

C.В. Дьяченко, О.В. Фрязинов. Исследование сжатия магнитного потока плазменным лайнером. - В сб. «Тезисы докладов XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (г.Звенигород, 24-28 февраля 2003)». - Москва, Науч. Совет РАН по физике плазмы, 2003, стр. 132.

7. В.А. Гасилов, С.В. Дьяченко. Разностная схема для идеальной МГД-системы на неструктурированных треугольных сетках. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Стан-кин» - ИММ РАН. Вып.7 - М.: изд-во Янус-К, 2004, с. 180-196.

8. V.A. Gasilov, S.V. D'yachenko, O.G. Olkhovskaya, V.V. Valko,

D.E. Zeitoun, G. Tchuen, I.A. Graur. Computation of hypersonic radiating flowfield over a blunt body. A collection of abstracts submitted to the 25th International Symposium on Shock Waves -ISSW25.

9. Б.Н. Четверушкин, B.A. Гасилов, С.В. Поляков, Е.Л. Карташе-ва, М.В. Якобовский, И.В. Абалкин, В.Г. Бобков, А.С. Болдарев, С.Н. Болдырев, С.В. Дьяченко, П.С. Кринов, А.С. Минкин, И.А. Нестеров, О.Г. Ольховская, И.В. Попов, С.А. Суков. Пакет прикладных программ GIMM для решения задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах. - Математическое моделирование, 2005 год, том 17, номер 6, стр. 58-74.

10. В.А. Гасилов, С.В. Дьяченко. Квазимонотонная двумерная схема МГД для неструктурированных сеток. - Математическое моделирование, 2005 год, том 17, номер 12, стр. 87-109.

11. V.A. Gasilov, S.V. D'yachenko, O.G.Olkhovskaya, O.V.Diyankov and S.V. Kotegov. Coupled magnetogasdynamics - radiative transfer parallel computing using unstructured meshes. - Book of Abstracts of the International conference on parallel computational fluid dynamics, 2005.

12. B.N.Chetverushkin, V.A. Gasilov, S.V. D'yachenko, O.G.Olkhovskaya, and V.V.Valko. Radiative gas dynamics parallel computing using unstructured meshes. - Book of Abstracts of the Int. Conf on Parallel Computing «РагСо-2005» (Malaga, Spain, 13-16 September, 2005), p. 42.

13. C.B. Дьяченко, О.Г. Ольховская, В.В. Валько, Г.А. Багдасаров, В.Г. Чубченко. Методические основы применения неструктурированных сеток для моделирования течения излучающего газа около возвращаемого космического аппарата. - ИММ РАН, 2005 год.

1. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

2. А.А.Самарский, Ю.П.Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992.

3. A.G.Kulikovskii, N.V.Pogorelov, and A.Yu.Semenov. Mathematical problems of the numerical solution of hyperbolic equations. M., Fizmatlit publ. house, 2001.

4. Boris J.P., Book D.L. Flux corrected transport I. A fluid transport algorithm that works. J.Сотр. Phys., 1973, vol.11, p. 38-69.

5. DeVore C.R. Flux-corrected transport techniques for multidimensional compressible magnetohydrodynamics. J.Comput. Phys., 1991, 92, pp.142-160.

6. М.А.Рязанов, С.Ф.Крылов, В.Ф.Тишкип, К.В. Вязников. Разностные схемы для двумерных задач магнитной гидродинамики с полоидальным полем. Математическое моделирование, Т.4, № 10, 1992, с. 47-61.

7. K.Sankaran, L.Martinelli, S.С. Jardin, and E.Y.Chueiri. A flux-limited method for solving the MHD equations to simulate propulsive plasma flows. Int. J. Numer. Meth. Engng., 2002, 53, p.1415-1432.

8. Dai W., Woodward P. R. An approximate Riemann solver for ideal magnetohydrodynainics. J.Comput. Phys., 1994, vol. Ill, No 2, pp.354-372.

9. Brio M., Wu C. C. An upwind differencing scheme for the equations of ideal magnetohydrodynamics. J.Comput. Phys., 1988, 75, No 2, pp.400-422.

10. Zachary A.L., Colella P. A higher-order Godunov method for the equations of ideal magnetohydrodynamics. J.Comput. Phys., 1992, vol 92, No 2, pp.341-347.

11. Zachary A.L., Malagoli A., Colella P. A higher-order Godunov method for multidimensional ideal magnetohydrodynamics. SIAM J.Sci. Comput., 1994, vol 15, No 2, pp.263-284.

12. Tanaka T. Finite volume TVD schemes on an unstructured grid system for three-dimensional MHD simulations of inhomogeneous systems including strong background potential fields. J. Comput. Phys., 1994, vol. Ill, No 2, p.381-389.

13. Jorge Balbas, Eitan Tadmor and Cheng-Chin Wu. Non-oscillatory central schemes for one- and two-dimensional MHD equations. -CSCAMM Report 03-16. Universiy of Maryland, College Park, 2003.

14. A.E.Dudorov, A.G.Zhilkin, O.A.Kuznetsov. Quasimonotonous difference schemes of higher accuracy for the equations of magnetohydrodynamics. Mathematical modeling , 1999, Vol.11, No 1, pp. 101 - 116.

15. A.E.Dudorov, A.G.Zhilkin, O.A.Kuznetsov. Two-dimensional numerical code for axially symmetrical and self-gravitational MHD flows. Mathematical modeling, 1999, Vol.11, No 11, pp. 109 - 127.

16. Alexander Kurganov and Eitan Tadmor. New high-resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection-diffusion equations. Journ. Comput.Phys., 2000, Vol. 160, No 3, pp.241-282.

17. Болдарев А.С., Гасилов В.А., Ольховская О.Г., Панин В.М. Применение разностных схем с коррекцией потоков к уравнениям одномерной газовой динамики и магнитной гидродинамики. Препринт No 8. М., ИММ РАН, 1993.

18. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М., Наука, 1988.

19. D. Kroner. Numerical schemes for conservation laws. B.G.Teubner Publ., Stutgart, Leipzig, 2000.

20. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme, II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme. -Journ. Comput.Phys., 1974, Vol. 14, pp.361-370.

21. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. SIAM J. Numer. Anal., 1984, vol. 21, No 5, pp. 995-1011.

22. Мухин С.И., Попов С.В., Попов Ю.П. Разностные схемы с искусственной дисперсией для уравнений магнитогидродинамики. -Препринт No 19. М., ИМП им. М.В.Келдыша РАН, 1985.

23. Аксенов А.Г. Разностная схема типа С.К.Годунова для интегрирования уравнений МГД, описывающих течение газа в трансвер-сальном магнитном поле. Препринт No 19- 91-55. M., ИТЭФ РАН, 1991.

24. Карташева Е.Л. Инструментальные средства подготовки и анализа данных для решения трехмерных задач математической физики. Математическое моделирование, 1997, Т.9, N7, с. 113-127.

25. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение. Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

26. Pascal Gean Frey, Paul-Louis George. Mesh Generation. Application of finite elements. HERMES Science Publishing, 2000.

27. Iterative Methods Library in С++. http://rnath.nist.gov/iml++.

28. SparseLib++ Library. http://math.nist.gov/sparselib++.

29. M.K.Matzen. Phys. Plasmas, 1997, 4, 1519.

30. C.Stallings, et al. Appl. Phys. Lett., 1976, 29, 404.

31. M.E.Cuneo, R.A.Vesey, J.L.Porter, et al. Phys. Rev. Lett., 2002, 88(21).

32. Р.Миллер. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. М.: Мир, 1981.

33. P.J.Turchi, et al. IEEE Trans. Plasma Sei., 1987, PS-15(6), p.747-759.

34. B.M.Koval'chuk, Yu.A.Kotov, G.A.Mesyatc. Journal of Technical Physics, 1974, V.44, N.l, p.215.

35. IEEE Trans. Plasma Sei. (special issue) PS-15(6), 1987.

36. J.F.Leon, et al, in Proc. 12th IEEE Int. Pulsed Power Conf. (Monterey, CA, June 27-30, 1999), ed. Ch.Stallings and H.Kirbie, IEEE Cat. Nomber: 99CH36358, 275-278.

37. V.K.Chernyshev et al. Investigation of liner pondermotor units, used as drivers in magnetic implosion system, in Proc. 8th IEEE Int. Pulsed Power Conf., 1991, p. 438.

38. Ph. Monjaux et al. Status on the microsecond flux experiment at CEG. In Proceedings of the Pulsed Power Plasma Science, 2001, p.310-313 (13th International Pulsed Power Conference, June 18-22, 2001, Las Vegas, Nevada, USA).

39. M.A.Liberman, A.L.Velikovich, and F.S.Felber. Magnetic flux compression in plasma: concept and theory. Megagauss technology and pulsed power applications. 1987, v.IV, Plenum Press, p. 107. 27.

40. V.A. Gasilov and S.V. D'yachenko. Quasimonotonous 2D MHD scheme for unstructured meshes. Mathematical modeling: modern methods and applications. Janus-K, Moscow, 2004.

41. V.A. Gasilov , A.S. Chuvatin , A.Yu. Krukovskii, E.L. Kartasheva, O.G. Olkhovskaya, A.S. Boldarev and S.V. D'yachenko. Magnetically-driven plasma simulations with MARPLE. Mathematical modeling: modern methods and applications. Janus-K, Moscow, 2004.

42. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1977.

43. Гасилов В.А., Круковский А. 10., Новикова Т.П., Оточин А.А. Об алгоритмах решения двумерных уравнений магнитной гидродинамики в комплексе программ РАЗРЯД. Препринт N 36. М.: ИММ РАН, 1993.

44. С.И.Брагинский. Явления переноса в плазме. В книге: Вопросы теории плазмы. Вып. 1. - М.: Атомиздат, 1963, с.183-272.

45. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985.

46. Д.А. Франк-Каменецкий. Физические процессы внутри звезд. -М.: Наука, 1959.

47. Н.И. Карякин, К.Н. Быстров, П.С. Киреев. Краткий справочник по физике. Издание второе. М.: Высшая школа, 1964.

48. В.Б.Баранов, К.В.Краснобаев. Гидродинамическая теория космической плазмы. М.: Наука, 1977.

49. Linhart J.G. theory of fusion reactors in an inconfined plasma. Nuovo Cimento, 1960, vol.17, N.6, pp.850-863.

50. Turchi P.J., Baker W.L. Generation of high-energy plasmas by electromagnetic implosion. Journ. Appl. Phys., 1973, vol.44, N11, pp.4936-4945.

51. R.B.Spielman et al. PBFA Z : a 20 MA Z-pinch driver for plasma radiation sources. In: Proc. BEAMS'96. Prague, Czech Republic, 1996, vol. 0-4-3, p.150.

52. T.W.L. Sanford et al. X-ray power increase from symmetrized wire-array Z-pinch implosions. In: Proc. BEAMS'96. Prague, Czech Republic, 1996, vol. 0-4-2, p. 146.

53. Айвазов И.К., Вихарев В.Д., Волков Г.С., Захаров С.В., Смирнов В.П. и др. Физика плазмы, 1988, 14, 197.

54. Фаулер М., Скотт К. UML в кратком изложении. Применение стандартного языка объектного моделирования: Пер. с англ. -М.:Мир, 1999.

55. A. D. Sakharov, R. Z. Lyudaev, Е. N. Smirnov, Y. I. Plyushch, A. I. Pavlovskii, V. K. Chernyshev, E. A. Feoktistov, E. I. Zharinov, and Y. A. Zysin. Sov. Phys. Dokl. 165, 65 (1965).

56. С. M. Fowler, W. B. Garn, and R. S. Caird. J. Appl. Phys. 31, 588 (1960).

57. Megagauss fields and pulsed power systems (collected articles), ed. by V.M.Titov and G.A.Shvetsov. Nova Science Publishers, New York, 1990.

58. R. Cauble, D. B. Reisman, J. R. Asay, C. A. Hall, M. D. Knudson, W. F. Hemsing, J. H. Goforth, and D. G. Tasker. J. Phys.: Condens. Matter 14, 10821 (2002).

59. A.Chuvatin, L.Rudakov and A.Velikovich. Bull. Am. Phys. Soc. 46(8), 316 (2001).

60. P. L'Eplattenier, M. Bavay, G. Avrillaud, B. Lalle. In Proc. Pulsed Power Plasma Science Conf., p. 665, 2001.

61. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. М.: Физматлит, 2006.

62. В.А. Гасилов, С.В. Дьяченко. Квазимонотонная двумерная схема МГД для неструктурированных сеток. Математическое моделирование, 2005 год, том 17, номер 12, стр. 87-109.

63. Физический энциклопедический словарь./ под ред. A.M. Прохорова М.: Советская энциклопедия, 1984.

64. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003.

65. Т.Е. Фабер. Гидроаэродинамика. М.: Постмаркет, 2001.

66. В. Van Leer. Towards the ultimate conservative difference scheme IV: A new approach to numerical convection. J. Comput. Phys., 23 (1977), pp. 276-299.

67. Н. Nessyahu and Е. Tadmor. Non-oscillatory central differencing for hyperbolic conservation laws. J. Comput. Physics, 87 (1990), pp. 408-463.

68. Новикова Т.П. Двухэтапные лагранжево-эйлеровы алгоритмы расчета динамики плазмы при интенсивных энергетических воздействиях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 1999.

69. Оточин А.А. Математическое моделирование двумерных магни-тогазодинамических течений с осевой симметрией. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 1991.

70. Митрофанов К.Н. Исследование распределения магнитных полей в сжимающихся проволочных сборках с затянутым плазмообра-зованием. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 2005.

71. Орешкин В.И. Моделирование излучения плотной высокотемпературной плазмы и физических процессов, протекающих при имплозии Z-пинчей. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических паук. Томск, 2004.

72. J.P. Chittenden, S.V. Lebedev, A.R. Bell, R. Aliaga-Rossel, S.N. Bland, and M.G. Haines. Plasma formation and implosion structure in wire array Z pinches. Physical Review Letters Vol. 83, N. 1 (1999).

73. J.P. Chittenden, S.V. Lebedev, C.A. Jennings, S.N. Bland and A. Ciardi. X-ray generation mechanisms in three-dimensional simulations of wire array Z-pinches. Plasma Phys. Control. Fusion 46 (2004) B457-B476.

74. Л. Спитцер. Физика полностью ионизированного газа: Пер. с англ. М.: Издательство иностранной литературы, 1957.