автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование линейных стационарных процессов жидкости, описываемых обобщенными осесимметричными уравнениями

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи Черняев Александр Петрович

УДК"532.5; 532.546; 517.95

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ЖИДКОСТИ, ОПИСЫВАЕМЫХ ОБОБЩЕННЫМИ ОСЕСИМЕТРИЧШИ УРАВНЕНИЯМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук).

Автореферат диссертации на соискание ученой степенп доктора физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Ыооковском физико-техническом институте.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор О.В.Голубева

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Харинов

доктор физико-математических наук, профессор Б.Н.Четверушкин

Ведущая организация - Московский инхенерно-физичеокий институт

Защита состоится " 1992 г.в " 4 часов

на заседании Специализированного Совета Д 063.91.01 при Московском физико-техническом институте по адресу: 141700,г .Долгопрудный Мооковокой обл.,Институтский пер.9, МФТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. .

Автореферат разослан " . " 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета,

доцент /| /----------В.А.Волков

ОШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТН

Актуальность работа„ 3 последние годы зсе большее внимание исследователей привлекают вычислительные методы динамики жкссэсти основанные кг теории потенциала,, Интерес это? носит нэ случайный характер а саязан непосредственно с запросами практики. Вычислительные методы сснозагаие ка теории потенциала, крк правило, дают въхокую точность. Вместе о тем, большинство этих методов характерно сразгатэльно малым количест- с вом вычислений и неболшнлк объемами памяти компьютера, ибо вычислительные процессы происходят в основном на границе области физического процесса не заходя внутрь области. Кроме того, больпая часть зтях методов обладает з некотором смысле асимптотическими свойствами, то есть зти методы позволяют практически осупесгзлтгэ предельные переходы моделируя процессы з неограниченных областях.

Построение теории потенциала гццродкнамического процео-са„ :<с?. правил)» является очень трудной задачей и первая трудность^Бозликапц&я йа этом пути,это построение фундаментального реиенкя дар^еренциальиого уравнения,описызалщего процесс во всей области течения жидкости. Кроме этого,, возникает высокие требования х ггростоте з^Нзсстрсённогб фунда-кектЕльнаго решения, кбо1 наиболее простой над фундаментального решения обеспечивает в дальнейшем построение приближенного метода теоря?: котзжиала. Построен?^ фткдшзнтальннх решений ^удовлетворяющих описанным ваяв трзбозгкетм„известны для дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами и с переменными^ коэффициентами частных зидоз.,

Ограничиваясь обобщенными осесгалметричными уравнениями,

так мы называем уравнения, коэффициенты которых зависят от выбранных переменных, 1*ы ограничиваемся рассмотрением гидродинамических процессов, законы изменения сред которых изменяются лить по этим переменным. Примеров таких-гидродинамических процессов великое множество,причем указанное ограничение на закон изменения среды является не искусственным, а естественно следует из физики процесса, например: зависимость проницаемости фильтрационного грунтаот глубины.

Цельп работы является построение фундаментального решения обобщенного осесимметричного уравнения описывающего линейный стационарный процесс жидкости и на основании его найти алгоритм, позволяющий определять основные характеристики моделируемого процесса.

Для достижения этой цели необходима разработка следующих основных положений:

. I. Определение пространств обобшешшх функций, ™ которых мы будем искать фундаментальное решение обобщенных осесиммет-ричных уравнений.

2. Построение операционного исчисления в указанных обобщенных функциях для отыскания фундаментального решеняя в виде пригодном для практических целей.

3. Выражение физических характеристик процесса, чаще всего скоростей течения, через подученное фундаментальное решение в ввде каких-либо функциональных соотношений.

4. Подстановка граничных условий гидродинамического процесса в полученные функциональные соотношения и решение возникших граничных функциональных уравнений.

Научная новизна работы. Основным в вопросе новизны мате-

матической части диссертации, то есть ее первых трех глав, является' введение и использование анизотропных пространств обобщенных функций для изучения фундаментальных решений обо й-: щепных осесимиетрячныХ уравнений, а также интегральное представление использущее приближение Днувилля-Грина Для фундаментальных решений обобщенных осесимметричных уравнений в эллиптическом случае. Мояю сказать, что настоящая диссертация шесте с работами А.Вайштейна и ого учеников, которые занимались только вырожденными уравнениями осесимцетричного типа и имели другую технику, в основном завершает осесншетричоо-кую теорию потенциала.

'Использование анизотропных пространств обобщенных .Фя®-~ ций в совокупности с методом приближения Лиувлллл-^ина (методом 1Ш)),а такие его обобщениями на обыкновенные даТфсренци-альнне уравнения высоких порядков п о результата?,и по асимптотике интегралов типа потенциала,как извеспгнми ранее,так VI развитыми в последнею время,моню классифицировать как новое ньучнее папр'ИчТгшго .Применение этой общей конструкции не ограничивается рамками рассмотренных процессов и их моделей распространяясь на то области физики,которые описываются обобщен-_шди_£сесшл«2ТЕ2Ч1шни уравнениями,_ _________________

Новизна интегрального представления Фундаментального решения обойденного осеснмметричнсго уравнения второго порядка эллиптического типа обусловливает новизну интегрального представления стационарных задач о притоке к горизонтальной дрене и несовершенной скважине, этил задачам посвящены четвертая й пятая главы. Кроме итого, построенные в этих главах приближения к квазипотенциалу скоростей сходятся к нему шесте с первыми произ водными, что очень важно,ибо основные характерно-

тики физического процесса., как правило, выражаются не чепез сам потенциал, а через его первые производные.

Новизна результатез шестой главы следует не только ез новизны Фурье-представленки полученного фундаментального решения. Сведение этого Фуръг-представления к функциям Леяакд-ра второго рода позволил:; через икх выразил® потенциал, скорости источника в пленках переменной толщины изменягцейся по степенному закону с почти любым показателем степени.

Научная и практическая ценность работы. Результаты первых трех глав могут быть ксполъзовага не только в кехектсе сплошной среды, о чем свидетельствуют "четвертая0 пятая и шестая главы, но и в теплофизике, теории электрических к магнитных полей и других вопросах физики„

Относительно четвертой главы надо отметить,, что так как в нашей модели отсутствует отток жидкости в бесконечность„ то результаты этой главы долгош применяться главным образов в вопросах крригацгЕо Cawoe содержательное для практики ото зависимость притока к горизонтальной дрекажкоК трубе от глубины залегания этой трубы в грунте. Эта зависимость легко находится иг формулы дебета четвертой главы и дает возможность ответить на вопрос насколько глубоко нужно зарывать дренажную трубу з- 1рунт чтобы получить нужный приток.

Самой содержательной информацией для практических целей в пятой глазе является зависимость притока жидкости от глубины несовершенной скважины. В отличие от четвертой главы, где каи известке, разность давлений являыдаяся причиной фильтрации, здесь эта разность давлений практически нам известьi быть не может* Однако поместив несовершенную скважину малой глубины в грунт к получив приток к ней экспериментально,

мотсно, пользуясь результатами этой главы, полностью определить как этот приток будет увеличиваться если мы (Зудом увеличивать глубину скважины.

Практическая полезность результатов шестой главы обусловлена явным видом представления квазипотенциала скоростей через функция Лежандра второго рода. Этот явный вид позволяет построить всю теории потенциала как это продемонстрировано в приложении 3 для функции тока вихревого кольца, которая

*

является частным случаем квазипотенциала скоростей' найденного в шестой главе. Эта теория потенциала решает одну из наиболее трудных задач струйной автоматики - расчета поля давлений на заслонке служащей препятствием осесимметричному току жидкости и определения зависимости этого поля давлений от зазора медцу заслонкой и соплом.. Последняя задача нашла применение в различного рода гидрорегуляторах.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались: на научных семинарах в Институте проблем механики АН СССР, Математическом институте им. В.А.Стеклова,"Всесоюзном научно-исследовательском институте Гидротехники и мелиорации им. А.Н.Костякова под руководством академиков П.Я.Кочиной, В.П.Маслова и профессоров О.В.Голубевой, В.Б.Лидского, В.П.Михайлова, О.А.Олейник, Л. М.Рэкса, на межотраслевом семинаре по динамике и систсам питания энергетических установок (Москва, 1988), на совещаниях секции физики Московского общества испытателей природы по гидродинамике (Москва, 1982, 1988), на первой и второй Всесоюзной конференциях "Математическое моделирование: Нелинейные проблемы и Вычислительная математика" (Звенигород

- а -

19ВЙ, 1990).

По материалам диссертации опублккованы статьи .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе.'гая, шести глав, заклотештл и трех приложений. Объем работы составляет 305 стр. текста, в том числе 17 рисунков и 4 таблиц. Список литературы содержит 253 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОга

Глава I. Анизотропные пространства основных и обобщенных функций

Эта глава посвящена введению анизотропных пространств основных и обобщенных функций, которые мы обозначаем

^5£(й.^^соответственно' Здесь Щ, и IV -натуральные числа, ~ -мерное веществен-

ное пространство [) , в котором в одну грушу г гделены переменные ЭС4 , Х^ ,...,ОСт, а в другую переменные ,

и2..... И-ц, , так что каждая точка К ж.,*, записывается

. где ССс:^,...,^^) , д-СЛ*,...,«^) . с: -объединение непересекающихся областей в

к*.

Пространства строятся как пространства линейных непрерывных функционалов со слабой сходимость» над

£ • которые состоят из таких бесконечно диф-

ференцируемых функций <р(эст1р ,что для каддой пз них существует ограниченное в

множество такое, что

е-сЕ

((г -замыкание 6- ) и при ^ € б- ^С^С,у) = О для

любого X с . Кроме этого, для любых векторов

€ , §> € Й*1, с целочисленными неотрицательными коор-

динатами существует постоянная Е ^ а, О такая,

что справедливо неравенство

Здесь ХУ-Х^СС^... Х^^-Я^Я^ ... ^ ?

Последовательность . ^г ..••из ш на-

зиваем сходящейся к СР €

и преобразования 1урье по X РхМН!^) •

с?е . 4 б (В^) .которые вво-

длтея в отпх пространствах обычным образом, справедливы соответствуете свойства, основное из которых состоит в том, что эти пространства преобразуются преобразованием <1урье по X взаимно однозначно.

'¿ункшш из анизотропных пространств основных функций являются фшштными по одним переменным и обладают свойствами пространств 1иварца по другим. Анизотропные пространства обобщенных функций шире традиционных пространств Е1варца, что очень вакно для задач с неоднородностями по выбранным переменны?.!, ибо есть примеры неоднородностий показывающие узость простра:;ств Шварца для задач подобного рода. Однако, анизотропные пространства обобщенных функций достаточно узки и настолько, что преобразование «¿урье по X допускает зттег-ральнсе представление в обычном смысле. Именно интегральное представление этого преобразования >^урье обеспечивает широ-

прп

кое использование анизотропных пространств обобщенных функций в' приложениях.

Глава 2. Фундаментальные решения обобщенных осеснмыет-ричных уравнений.

В этой, главе вводится определение фундаментального решения с источником в произвольной точке для уравнений осе-симметричного типа произвольного порядка в ^^^ ,

а именно: называется фундаментальным

решением' уравнения

где /(^^«^"¿^С^хв^ -состоит из конечного числа слагаемых, ^ Е -объедц-

нение непересекающихся открытых промежутков,

# ' »Г

вС. -векторы с целочисленными неотрицательными координата-#

ии соответствуете ф -порядку старей производной чо , в пространстве . с источником в (рС0>^о) •

Хобй^ , Е ес!та

Здесь СЗ не зависит от (х?^) » а ^С-^-32©^"-^)

функция Дирака.

Ясно как начинать искать Ф : вычислить преобразование Зурьс по X от обеих частей последнего уравнения и найти решение подученного обыкновенного дифференциального уравнения зависящего от параметра. Однако, обратное преобразование Фурье от полученного решения может не существовать, так как ' это решение по £ может иметь более чем степенной рост и по-

этому не принадлеггать . Но мы все-таки най-

дем среди множества полученных решений обыкновенного уравнения такое решение, обратное преобразование <Аурье от которого будет существовать в

Предполагая во второй главе Е ~ , 2. ,

отсутствие в левой части уравнения .

первой производной по ^ , существование таких функций , • чт0 возможно представление

где ХУС-вещественная константа, гозмо:ягость выбора таких сС^ , что

¿!>0, О)<6г,

гдеС^^,6£>0 -некоторые константы, ^ = 1,2 -вариашгонный оператор,

функция контроля ошибки, выполнение условия

где "Ж -вронскиан функций ^ являющихся приближени-

ями Лиувилля-Грина уравнения

а лленпо

получаем, что при обозначении

где 8 -функция Хевисайда, искомое фундаментальное решение может бить выражено интегралом

0*1

Для остаточных членов приближений Лиувилля-Грина

получено обыкновенное уравнение

которое в совокупности с отмеченными ранее условия™

0-^)=: образует задачу Коши, а зна-

чит для можно написать интегральное уравнение

Больтерра и функциональный ряд Лиувнлля-Неймана, который можно дважды почленно дифференцировать по у и который равномерно на. любом компакте в Е сходится к , • Следовательно, указано точное решение для (| 5 , а значит казенное фундаментальное решение является точным.

Далее в этой главе исследуется условие Ф О ,

показано, что оно выполнено для всех удовлетворящих неравенству

Отсюда следует, что. нули могут существовать если

Исследован такяе случай когда может обращаться в нуль

и показано, что и в этом случае искомое фундаментальное решение может быть выражено том не интегралом с некоторым изменением функции "а множестве определяемом пос-'ледним неравенством.

Глава 3. фундаментальные решения приведенных обобщенных осесимметрнчных уравнений второго порядка.

В этой главе рассмотрено только приведенное обобщенное осесимметричное уравнение второго порядка, то есть

где - ^ -мерный оператор Лапласа. В этом случае

= =1 . =

- , а, следовательно, У;(£,!})

= ^¿Оад .V/© .

^ С1%1, - -Я ^ е| а%1 »«аО - О.

При выполнении условий О .Х-А'Ш^О

искомое фундаментальное релепие могет быть выражено интегралом

где

Неравенства ограничивающие выполнение условия и множество нулей оста! сми же самыми, что и в

предыдущей главе. Без изменений также переносится построение искомого фундаментального решения в слууае обнуления .

то есть изменение функции К»»Уо^ 113 множестве определяемом неравенством ограничивающим нули

Далее в главе 3 рассмотрены примеры приведенного обобщенного осесшшетркчного уравнена второго порядка, из которых широким освещением в научной литературе выделяется вырожденный случай, то есть

ОД = ро/1/, Ро=' еонЛ, Е = (0,+оо)

и показано как отличается от традиционного интегральное представление искомого фундаментального решения с источником в произвольной точке в анизотропном пространстве обобщенных функций в атом случае.

Глава 4. Моделирование течений в задачах о горизонтальном дренаже-.

В этой главе построена математическая модель напорной фильтрации к горизонтальной дрене, расположенной в грунте, проницаемость которого зависит от глубины, рис.1. Построение этой модели основано на приближенном методе теории потенциа-ла-методе источников, где в качестве источника и стока берутся функции, получаемые из фундаментальных решений приведенного обобщенного осесимметричного уравнения второго порядка при Ш— £ в анизотропном пространстве обобщенных

функций Ж £ когда Е — .ПосколъкуФ =

= , то в силу метода источников будем

тлеть

где

-квазипотенциал скоростей, то есть координаты вектора скорости выражаются форглулами их= , ^-глубина, на

которую зарыта дренажная труба, -коэсйщциент прони-

цаемости или фильтрации, а слагаемое добав-

лено для того, чтобы удовлетворить условию на поверхности земли при у—О .В формуле для 11

ФС^ь^Ф) = ^[е'^и]^).

Поскольку мы делаем предположение, что после симметричного отражения относительно оси абсцисс на верхнюю полуплоскость функция Щ) остается бесконечно дифференцируемой,

то

=

Если \Х/(1|0=£О тогда при

Кроме этого, получаем, что нули вронскиана

сосре-

- IG -

доточены на множестве определяемом неравенством § ^ ОСУ) .функцию и также удобно представлять в

виде

где

V0I0

+[е(сЦ)У(щН) -6(^-^(111^(111,

Здесь

со К и о

где , а при к>±

Из последнего представления для функцшг U следует ее интегральное представление

о

при Щ, такой, что ltC| интегрируема по | когда га,а,)

IIa основании сказанного выше приводится алгоритм определения поля давлений в грунте в задаче о горизонтальной дрене. Предполагая известными значения "Ü(^) на разной глубине: , ищем ßfy) в

ввде

top-к^+кф...+W"},

где коэффициенты , .....1ЩСМ пз Л1гаеЙ1ЮЙ

системы '

и ..+к [к- »»з.

= 1,2.....6 . Далее, для функции С(^) на промежутке

(- йг , й/ ) ищем 5К. удовлетворяющую условии интегрируемости ]«Г| по ^ при Затем находим К = 1,2,... при помоци итерационного процесса и заменял 6(1|1,1р на ищем приближение к решению задачи по формулам _

ею '

ик= ^М^т+ЬШ

■ О

т? _ Л_II

поскольку является частными сушами ряда Лиувил-

ля-НеЙмана, определяющего £{!|1,1|)

На основании оценок приближений Лиувилля-Грина в этой главе Доказана не только сходимость построенных нами приближений к ремешш задачи, но я сходимости первых производных от приближений к соответствующим первым производным от решения в равномерно;; метр;п<е соответствующем множества не задевающем источника или стока. Отсвда следует возможность вычисления дебита дрены, определяемого -Тормулами

- 1а - •

и-КМИ-кмЛчЗ, р г

где | -непрерывная замкнутая кривая окружаицая центр стока (X с1), П» -внешняя нормаль к Г , с!^ -элемент длины дуги этой кривой, как предела

'К,

=

где

Ж

Кроме этого, получены приближенные формулы для вычисления дебита дрены

ш:>о,

которые являются аналогами известных формул Дюпюи при конкретных изученных ранее ^(у) - Здесь ^ -квазипотенциал скоростей на поверхности земли, Т?^ ' -ои же 11а контуре дрены, б' -радиус дренажной трубя, а -Функция задаваемая формулами ,__

где

+®4.0|0+©1|10№},

Отметим, что интегральная поправка в формулах для дебита

Глава 5. Моделирование напорной фильтрации к скважинам в неоднородной пористой среде.

В этой главе рассмотрены задачи напорной фильтрации к скваяинаг,1. Сначала рассматривается задача движения жидкости в двухсвязной области при условии, что эта область является конформным образом концентрического кольца ,Т)ИС.2,3. Методы решения этой задачи сходны с методами других работ, однако, введением несколько спицефнчноЯ системы координат

дрены мала когда

81 мал по сравнению с <Ь .

, ъ?

¿ £ I ( гг.' ае _п

где &(&) -закон неоднородности среды. Это уравнение является примером обобщенного осесиыметричного уравнения второго порядка и решение его при граничных условиях

выписывается в виде

Отметим, что если предположить функцию определенной

при ( 0 , ), то первые два слагаемых

являются фундаментальным решением последнего уравнения с источником в точке Б = 0 . Однако, поскольку точка $ = О является, вообще говоря, особой для последнего уравнения, то определение фундаментального решения обоб.ценного ^сесимметрич-ного уравнена! данное в главе 2 не годится для данного случая. Отыскание последующих слагаемых можно понимать как нахождение поправки к фундаментальному реаениа. В выражении

ДЛЯ "Р

Л.-?,, 6А%-%)1\

%ф и -радиусы малой и больной окружностей концентричес-

„/

кого кольца в плоскости £ , __ТГ

т

-I -I

■5в»

х-

»1

Фуга* идя Грина соответствующего оператора при нуле-

вых значениях на концах будет выражаться формулой

гк&г^Ос)

&М=

где равномерные приближения для функций и и их производных К'/(&) и ^¿С^) > которые мы будем обозначать . и (б) . (£) соот-ветстпенно, оудут выражаться формулами

а ЧХ/^о) = .

Алгоритм вычисления приближений к"? будет следующим:

считая (50)= и2 [ (йо) находим далее по Люг,мулам

находим приближения функций М^к^) , . 8 по

формулам'

приближения функций , ^С^) • Функции!?^

приближающие 1? находи:.! из формулы

' Ьв Л"!

Предполагая теперь, что описанный нами процесс есть напорная фильтрация к совершенной скваж1ше, из формулы р/^Л , где р -давление, а ^ -вязкость, имеем распределение поля давлений р = —

,а также приближения к нему =

= - • Кроме этого, дебит скважины определяется

формулами _ £4.,

где Т ° Т

ро= ¿Др.Мвд-

-1 -1

Далее в главе 5 рассмотрена задача напорной фильтра-

дай к несовершенной скважине в пласте заниманием нижнее полупространство, рис.4. Предполагаем также, что проницаемость грунта зависит лишь от глубины. Задача решается методом источников, а в качестве стоков, то есть источников с обратным знаком берутся Функции, получаемые из Фундаментальнее решений приведенного обобщенного осесимметричного уравнения при М = 2 в анизотропном пространстве обобщенных функций , когда Е = (— ' . Поскольку

Ср = ф(х,1£ ^ЭСо^о) , то в силу метода источников будем иметь ^

и = и(1х-х0|^)= ^ФСх.Ч!^^.,

— Л/

где 1/ — • 1? -квазипотетшал скоростей, то

есть координаты вектора скорости выражаются формулами

Ьщ)^ . !ГХг= %)Ц, , V,=Щ) % .

А -Г.,0» СК1ШИ11Н, Ы}) -коэффициент проницаемости, а

и = -

где V (1^1,10 и

те гг.е самые, что и в предыдущей главе. Г?ри уо справедливо интегральное представление

Р.2

Для того, чтобы определить 0,(уо) -функцию распределения

стоков по промежутку ( - сЬ , с1 ) накладываем естественное требование, чтобы асимптотика квазипотенциала скоростей? = -и/Л® при Х0|-*0 и постоянной глубине ^ не зависела бы от этой глубины при . Это будет

выполнено если

<а с»)« йо^,«6 м А з0=

Для того, чтобы ото показать получены интегральные представления +©о

о

где -функция Бе с селя,

и соотношения порядка при ^ "Р^ , 0<Т?1<4-

Отшей алгоритм определения квазипотенциала скоростей

Из конечного числа значений на разной глубине находим

функция » как мы это сделлли ранее. Аналогично преды-

дущему находил JJt удовлетворяющую условию W(l||)/|£| ф О . ^кОВД) .\</к0^1) И YkC^I,^ . Затем по формулам

находил приближения к функции V/ .После этого по формулам

+оо

находим приближения к функциям

Ф .и

и ? . Все эти приближения равномерные на замыкатпш окрестности любой точки (X , tj ), у 40 не задеващем точек (0Со , у0 ), у0 €

• •Установлена такгхе сходимость этих приближений в равномерной метрике, а также сходимость их первых производных по ОС. и ^ , что позволяет искать приток жидкости к сква.тане, который мы обозначаем через и определяем Формулой

где Ц, -внешняя нормаль к поверхности 2 -поверхности окружающей сквалзту, dS -элемент этой поверхности, как предел

К,-»оо

где

Глава 6. Фундаментальные решения приведенного обобщенного осесимметричного уравнения второго порядка в выроненном случае и их приложения к гидродинамике .

В главе 6 рассмотрен вопрос применения к моделированию гидродинамических течений идеальной несжимаемой жидкости фундаментальных решений приведенного обобщенного осесимметричного уравнения второго порядка в вырожденном случае. Исторически сложилось, что именно вырожденный случай этого уравнения наиболее богат гидродинамическими приложениями, основные из которых это осесшлметричные течения идеальной несжимаемой жидкости и фильтрационные течения в средах измешго-щихся по степенным законам эдентичные течениям идеальной жидкости в пленках переменной толпииы.

Сначала показано, что при Щ = I фундаментальное решение уравнения

Р.-«»*.

в пространстве (^¿д) с источником в ( Х0 ,уо ),

, уобЕ. , Е=(0, со) молет быть выражено

формулой •

где V = р0+1/4 ,а фу-^ОО -функция Лежандра второго рода. Последняя формула совпадает с полученным нам

Фурье-представлением >$) . где

при Vя О и 0<йе,У<1/2 . При последующем возрастании

ми ухе не можем утверждать такого совпадения, так при V = 1/2

а получинное наш >урье-представление

& «Л+Ч'с*),

где ф(^) -многочлен перво? степени от у. ,а при

Фурье— представление отличается от выражения через функииа Лехандра птирого реда с точность« до решения уравне-тш — —О разрешимого в элемен-

тарных фулхш!лх и так далее.

При замене ? = ф/Д^) , где ШъЪу4

а ем, '¡то фундаментальное решение уравнения

' ЪиЗ. ^ Ь Ги\ Эй

может быть выражено .Формулой

а поскольку уравнение для 1? описывает течении идеальной жидкости в пленках' переменной толщины и последняя формула удовлетворяет условию неперетсканпя через ось абсцисс, то фундаментальное решение выраженное последней формулой моделирует течение источника в пленке толщины . При помощи

известной техники из источника легко построить течения диполя, квадруполя и соответствующих мультиполей.

В частном случае р0т —1./4 , а, следовательно,V—О полученное нами последнее представление дает

-1 %1КйМ\

где КС?-) -полный эллиптический интеграл. Это выражение для *2 моделирует с точностью до функции зависящей лишь от /|0 потенциал кольца источников (кольцевой источник) осесиммет-ричных течений идеальной несжимаемой жидкости. В частном случае V = I из представления Ф через функцию Лежандра второго рода получаем

Ф = -,

где -полный эллиптический интеграл. При замене =

получаем, что фундаментальное решение уравнения

^ + 1-ОГ-о

может быть выражено формулой

а последнее при О, — . 0^,= СОЦ^Ь совпадает с

формулой кольцевого вихря. Кольцевой источник и кольцевой в;крь очень удобны при моделировании различных задач осесим-метричных струйных течений методом граничных интегральных уравнений (ГНУ). Различные задачи для последнего уравнения удобно исследовать приводя это уравнение к виду

В приложениях к диссертации рассмотрены вопросы регуляризации внутреннего интеграла Фурье-представления фундаментального решения приведенного обобщенного осесимметричного

уравнения при С(ц)~ ро/^2 (Пр.1), моделирования течений в задачах фильтрации изучениях в главах 4,5 в случае грунта со специальной неоднородностью по глубине = = У /2 , Так как в случае такой неоднородности

квазипотенциал скоростей искомого фильтрационного течения выражается через решения дифференциального уравнения Вебе-ра, что дает возможность дополнительного аналитического и численного контроля (Пр.2) и одна задача осесимметрично-го струйного течения (Пр.З), рис.5. Задача эта заключается в построении методом кольцевых вихрей модели натекания осе-симметричного потока невесомой идеальной несжимаемой жидкости вытекащего из криволинейной трубы на соосное осесиммет-ричное препятствие. Кольцевые вихри с неизвестной плотностью располагаются по стенке препятствия (заслонке), стенке трубы я свободной границе. Находится асимптотика неизвестной плотности кольцевых вихрей на бесконечности по стенке препятствия, стенке трубы и свободной границе, а затем при помощи этой асимптотики и сама эта неизвестная плотность.Рассматриваемая струйная задача нелинейна из-за нелинейного условия'•постоянства скорости на свободной границе, поэтому накладывается условие звездности по Д.Гилбаргу области течения, обеспечивающее единственность свободной гранигш .Для построения приближений свободной границы используем вариационный метод, который удобен в силу справедливости для нашего случая утверждений аналогичных известным теоремам'"' сравнения для Ееличпнц скорости течения. В качестве примера рассмотрено численное решение нашей осесимметричной струйной задачи когда труба, из которой вытекает осесиммет-

рпчниП поток нсвгсог'.ой идеально'": нпс:--г:пс.:ло!: та.кссти, прямолинейна, а в качество препятствия, на которое натекает зтет поток, взята вертикальная стенка.

ЬШ-ЛЕНИЕ

Остановимся на вопросах характеризующих диссертацию в целом.

Основное, еслп коснуться вопроса общности глав диссертации, это то, что изучаются линейные стацнонарше гидродинамические процессы, описываемые обобщенным осесшметричным уравнением. Что касается подходов и методов исследования,то все эти процессы изучались при помогай теории потенциала,для построения которой написаны три первые главы.

Основой любой теории потенциала слугкит Фундаментальное решение, для удобства построения которого введены анизотропные пространства обобщенных футшиЬ введенные в первой главе. Пользуясь интегральным представлением преобразования Фурье по выбранным переменным в анизотропных пространствах обобщенных функций во второй и третьей главах получень" различные форш интегрального представления фундаментал>ного решения для обобщенного осесимметричного уравнения. В четвертой главе, используя интегральное представление фундаментального решения в двумерном случае получено решение задачи притока к горизонтальной .дрене в неоднородном по глубине пласте, занимающем нижнее полупространство. В пятой, используя то же интегральное представление, но уже в трехмерном случае получено решение задачи о притоке к несовершенной скважине в таком же неоднородном по глубине пласте. В шее-

той главе используя то же самое Ш1тегральное представление в двумерном случае, но для вырождающегося уравнения получаем потенциал скоростей источника в пленке с толщиной изменяющейся по степенному зако!гу с почти произвольным показателем степени. Уто интегральное представление удается выразить, в явном виде через (пункции Лекандра второго рода. При частных значениях параметра из этого явного вида получаем потенциал кольцевого источника и Функцию тока кольцевого вихря осесимметричных течений идеальной несжимаемой жидкости. Пункт 5.1 напнется ва.тным дополнением в том плане, что пример радиальной фильтрации дает фундаментальное решение с источником в особой точке неподходящее под наше определение фундаментального решения через обобщенные функции .

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. Черняев А.П. Отыскание решений типа источника-стока для потенциала обобщенных систем Коши-Римана некоторого класса// Дифперенц.уравн. 19Ы. Т.17,» 6.С.1511-1514.

2. Черняев А.П. Построение основных решений обобщенной системы Коик-Римана первого- порядка с ко»ДОшшентом, завися-щи от одной переменной по гипертангенсалыюму закону// Дифференц.уравн. 1Эа1. Т. 17,.« II.С.20?1-2083.

3. Черняев А.И. Основные решения для потенциала обобщенных систем Коши-Римана некоторого класса// Исслед.по спец.задачам гидродинам.: М.: Наука, 1982.С.99-102.

4. Черняев А.П. Основные решения для потенциала обобщенных систем Коши-Ркмана некоторого класса// Дяфференц.уравн. 19оЗ. Т.19,Л 3.С.470-462.

5. Чер]шев А.П. Фильтрация в искривленных неоднородных плас-

тах с проводимостью некоторого класса// Прикл.мат.и мех.

1983. Т.47.Й 6. С.1047-1049.

6. Черняев А.П. Влияние неравномерности граничных условий на характеристики линейного стационарного динамического процесса в двухсвязной области// Мат.методы управления и обработки информации: Ыевдувед.сб./Моск.физ.-техн.ин-т. Ц. 1984.С,126т131.

7. Черняев А.П. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами некоторого класса// Дифференц.уравн. 1984. Т.20,И 8. С.1457-1459.

8. Черняев А.П. Фундаментальные решения некоторого класса уравнений линейной установишейся фильтрации// Некоторые проОл.совр.мат.н их прилож.к задачам мат.физ. :Цеядувед, сб./ Ыоск.физ.-техн.ин-т,19ь5.С.144-151.

9. Черняев А.П. Применение асимптотических оценок преобразований Фурье для отыскания функций источников некоторых эллиптических систем// Дифференц.уравн.1986.Т.22,.1в 4,С. 634-692.

Ю.Черняев А.П. 'функции источников некоторых линейзшх диффе ренциалышх уравнений// Соврем.мат.в физ.-техн.задачах: Междувед.сб./Ыоск.физ.-техн.ин-т. М.,1986. С.134-141.

II.Черняев А,П. Анизотропные пространства обобщенных функци и их приложения// Про6л.мат.в физ.-техн.задачах: Между-вед.сб./Моск.физ.-техн.ин-т. М.,11)87. С.152-159.

12.Черняев А.П. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений некоторого класса в анизотропных пространствах обобщенных функций//Успехи мат.наук 1983. Т.-43,вып. 1(253 С.215-216.

13.Черняев А.П. Функции источника для некоторых анизотропных сред//Некоторые модели сплошн.сред и их прилох. М.,

Наука, 1988. С.23-29.

14. Черняев А.П. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений некоторого класса в анизотропных пространствах обобщенных функций//Дифференц.уравн. 1988. Т.24,^ 4. С.661-672.

15. Черняев А.П. Анизотропные пространства обобщенных функций в задачах механики для обобщенного осесимметричного уравненйя//Некотор.пробл.мат.в задачах физ.и мех.: Меж-дувед.сб./Носк.физ.-техн.ин-т. М.,193а. С.101-110.

16. Черняев А.П. Методы теории потенциала в задаче натека-ния осесимметричного потока идеальной несжимаемой жидкости, вытекапдей из канала на препятствие//Прикл.задачи мех.сплошн.среды и геокосмич.фнз.:Меддувед.сб.Д!оск. физ.-техн.ин-т.,М., 1988.С.35-46.

17. Черняев А.П. О фундаментальных решениях некоторого класса обобщенных осесимметричных уравнений в анизотропных пространствах обобщенных функцпй//Пробл.совр.мат.в задачах физ.и мех.:Мендувед.сб./Моск.физ.-техн.ин-т.М., 1989.С.144-151;

18. Черняев А.П. Использование фундаментальных решений обобщенных осесимметричных уравнений при моделировании задач гидромеханики//Мат.моделирование. 1989. Т.1,)6 9. С. 105-120.

19. Черняев А.П. Линейная установившаяся фильтрация в неоднородном по глубине пласте, занимающем нижнее полупро-странство//Докл.АН СССР. 1990. Т.312,» 2. С.306-310.

20. Черняев А.П. Теория потенциала уравнения для функции тока стационарных осесимметричных течений идеальной несжимаемой жидкости с ограниченным расходом//Некотор.пробл. .

мат.в задачах физ.,мех.,эконом.: Ыеящувед.сб./Моск. физ.-техн.ш-т. М..19У0. С.142-148.

21. Черняев А.П. Одна задача осесимметричного струйного те-чения//Докл.АН СССР. 1991. Т.317,.'? 5. С. 1070-1075.

Вычислительные методы, алгоритмы,результаты вычислений и сравнение с результатами экспериментов опубликованы в статьях:

22. Черняев А.П.,Боровиков II.А.,Прусаков И.Б. Особенности применения схемы Мизеса при расчетах основных характеристик осесимметричного течения идеальной жидкости в отрывном режиме, сравнение с результатами эксперимен-тов//Совр.вопр.гидродииам.аэрофиз.и 1трикл.мех.: Между-вед.сб./Носк.физ.-техн.ин-т. М.,1986. С.57-62.

23. Боровиков И.А,.Черняев А.Г1. Регуляризация и численный анализ интегрального уравнения в методе кольцевых вихрей в задаче течения идеальной несжимаемой жидкости, вытекащей из цилиндрического канала на стеику//Пробл, совр.мат.в задачах физ.и мех.: Медцувед.сб./Моск.физ.-техн.ин-т. Ы.,1989. С.35-42.

24. Боровиков И.А..Черняев А.П. Расчет течения идеальной несжимаемой жидкости, вытекащей из канала на стенку, с использованием априорной информашги//Некотор.пробл.мат. в задачах физ.,мех.,эконом.: Междувед.сб./Моск.физ.-техн.ин-т. М.,1990. С.15-22.

m 36 »

Рис.4

Рио.5

Porcun^wî M TT И

50.06.32.. Ъака%. Í/2SL. Tu^AOfc ÍOO