автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование конвекции расплава полупроводникового материала при зонной плавке

На правах рукописи

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ РАСПЛАВА ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ЗОННОЙ ПЛАВКЕ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2006

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. Л. Лаврентьева СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Воеводин Анатолий Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Попов Владимир Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Хакимзянов Гаяз Салимович

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования

СО РАН, г. Красноярск

Защита состоится декабря 2006 года в _ часов на заседании

диссертационного совета Д 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика М. А. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале вычислительной математики и информатики отделения ГПНТБ.

Автореферат разослан 2^0. ноября 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, -у профессор /у /е, Л.Б. Чубаров

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Зонная плавка — кристаллографический метод рафинирования материалов, состоящий в перемещении узкой расплавленной зоны вдоль длинного твердого стержня из рафинируемого материала. В диссертации рассматриваются два варианта зонной плавки.

1 вариант: бестигельная зонная плавка (БЗП) в магнитном поле (МП), применяемая, в частности, для выращивания монокристаллов кремния большого радиуса (более 5 см). Верхняя (заготовка) и нижняя (выращиваемый монокристалл) части вертикального цилиндрического образца медленно движутся вниз и вращаются в противоположных направлениях с разными угловыми скоростями. Часть нижней границы заготовки покрыта жидкой пленкой, остальная часть граничит с плавающей зоной, находящейся между заготовкой и монокристаллом, поддерживаемой в жидком состоянии неподвижным источником высокочастотного электромагнитного поля — индуктором, и удерживаемой между твердыми частями образца силами поверхностного натяжения и магнитного давления. Токи, наводимые индуктором, сосредоточены в тонком скин-слое, примыкающем к свободной границе расплава. Они приводят к выделению джоулева тепла и создают пондеромоторную силу, направленную ортогонально свободной границе, экспоненциально убывающую при удалении от нее, и являющуюся одним из источников конвекции в расплаве.

Полученные методом БЗП в МП монокристаллы кремния большого радиуса используются в основном в двух направлениях:

1) в силовой электронике — создание тиристоров, силовых транзисторов, используемых в мощных силовых преобразователях;

2) при изготовлении высокоэффективных солнечных батарей.

2 вариант: зонная очистка поликристаллического полупроводникового материала (в частности, германия). Цилиндрический полый контейнер наполнен полупроводниковым материалом и расположен под небольшим углом к горизонту. Он вращается и одновременно совершает медленное поступательное движение вдоль своей оси, при этом часть его нагревается до высокой температуры. Материал полупроводника плавится. Образуются фронты плавления и кристаллизации. Расплав не целиком заполняет контейнер: имеется свободная поверхность. Предполагается также, что расплав отделяет от стенки контейнера тонкий слой мелкодисперсной смазки.

Очищенный полупроводниковый германий применяется для создания транзисторов и солнечных батарей.

Осеснмметричная нестационарная задача о БЗП в МП была численно решена в полной постановке немецким ученым А. А. Мюльбауэром с

четырьмя соавторами в 1995 г. Были рассчитаны характеристики электромагнитного поля, найдены форма границы плавающей зоны, поля скоростей и температуры. При этом, чтобы не слишком мельчить сетку вблизи свободной границы, пондеромоторная сила была снесена из уравнения импульса в граничное условие для вихря. Это удалось сделать в предположении о малости конвективных членов по сравнению с вязкими в уравнении импульса в скин-слое. В 1997 г. А. А. Мюльбауэр с двумя латвийскими учеными рассчитывает распределение примеси в растущем кристалле при БЗП в МП, а в 1999 г. группой немецких и латвийских ученых решается аналогичная задача уже в трехмерной постановке. В 2001 и 2005 гг. решаются осесимметричная и трехмерная задачи о БЗП в МП при наличии дополнительного низкочастотного индуктора, позволяющего получить дополнительное управление процессом.

Однако анализ показывает, что указанное предположение, сделанное во всех перечисленных работах, на практике не выполняется. Поэтому актуальной является разработка модели процесса БЗП в МП с учетом пондёромоторноА силы не в граничном условии, а в уравнении для вихря (уравненин импульса).

Во втором варианте зонной плавки течение является существенно трехмерным и весьма сложным. Прямой его расчет — очень трудная задача. Поэтому для эффективного расчета гид родин ам нк и расплава область течения предлагается разделить на ядро, где продольная компонента скорости мала и движение в первом приближении можно считать плоским, и пограничные слои возле фронтов плавления и кристаллизации. В диссертации рассматривается только течение в ядре, то есть решается задача о плоскопараллельном стационарном движении вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном цилиндрическом вращающемся контейнере. В имеющейся литературе рассматривался лишь случай, когда жидкость целиком покрывает стенки контейнера, то есть область течения является двусвязной, а на твердой границе жидкость прилипает к стенкам. Поэтому актуальной является задача о движении жидкости во вращающемся контейнере для случая, когда область течення является односвязной, что соответствует экспериментальным условиям во втором 'вариантезонной плавки, а на границе с твердой стенкой ставятся условия проскальзывания, моделирующие дейстиие слоя мелкодисперсной смазки.

Цель работы; осуществить математическую формулировку задач, разработать численные алгоритмы и произвести численные расчеты движения расплава при БЗП в МП и во вращающемся контейнере.

Научная новизна. В работе впервые

- решена гидродинамическая часть задачи о БЗП в МП с учетом поп деромоторкой силы в уравнении для вихря;

- выведены уравнения осесимметричного движения жидкости с переменной вязкостью для вихря и азимутальной компоненты скорости в дивергентной форме в ортогональных переменных;

- реализована консервативная монотонная разностная схема при решении задачи о БЗП в МП на ортогональной сетке, полученной с помощью конформного отображения прямоугольника на область, занятую расплавом;

- численно и аналитически решена задача о движении жидкости во вращающемся контейнере для случая, когда область течения является в первом приближении сегментом круга.

Достоверность численных результатов обосновывается тестовыми расчетами с проверкой на сходимость к точному решению задачи, если таковое имеется, и на сходимость "в себе" в противном случае.

Научная и практическая ценность. Работа представляет собой существенное продвижение на пути к построению полных двумерных моделей процессов зонной плавки, которые могут использоваться для оптимизм ции этих процессов.

Методы исследования. При численном решении задач расчета конвекции при обоих вариантах зонной плавки использовался конечно-разностный метод переменных направлений. При построении асимптотики вихря н функции тока в окрестности угловых точек области и построении аналитических решений при втором варианте зонной плавки использовался метод интегральных уравнений. При аналитическом решении задачи для определения формы свободной границы — метод функции Грина.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзном семинаре по математическому моделированию процессов кристаллизации (Рига, 1989 г.), на десятой Зимней Школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995 г.), на третьей Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" {Новосибирск, 1999 г.), на Всероссийской конференции "Теория и приложения задач со свободными границами" (БиЙск, 2002 г.), на семинаре отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН и на объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" под руководством академика Ю. И. Шокина и профессора В. М. К овен н в Институте вычислительных технологий СО РАН. .

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ. Из них 4 — в изданиях, рекомендуемых ВАК для представления

Рис. 1

основных результатов диссертации (в журнале "Вычислительные технологии"), 1 — монография, в которой 5 глава написана лично автором, и 2 статьи в сборниках. Все публикации в журналах — без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 135 страницах, содержит 19 рисунков. Список литературы содержит 67 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации обосновывается актуальность темы диссертации и кратко излагаются результаты, полученные в работе.

В главе 1 строится последовательность ортогональных разностных сеток применительно к задаче о БЗП в МП с помощью конформного отображения прямоугольника на заданный криволинейный четырехугольник методом В. А. Веретенцева (1989 г.). Форма области при этом берется близкой к рассчитанной А. А. Мюльбауэром в 1995 г. (Она удовлетворительно согласуется с результатами экспериментальных измерений.) На рис. 1 приведена сетка максимальной размерности — 120х 120. Она сильно сгущается как в окрестности свободной (правой) границы, где действует пондеромоторная сила и выделяется джоулево тепло, так и в окрестности остальных границ, где образуются пограничные слои.

В главе 2 производится расчет осесимметричной нестационарной конвекции жидкого кремния в плавающей зоне при заданной форме ее границы на построенной в главе 1 последовательности ортогональных разностных сеток.

В разделе 2.1 приводятся значения размерных параметров задачи. Плотность р и поверхностное натяжение <г расплава считаются линейными функциями температуры Т (переменность плотности учитывается в приближении Буссинеска). Кроме того, р терпит скачек при фазовом переходе. Кинематическая вязкость представляется функцией вида

1/(Г) = а„ + Ь„/(Т - с„).

В разделе 2.2 приводятся используемые в дальнейшем безразмерные критерии подобия. При этом в качестве масштабов длины, скорости, времени, вязкости и температуры выбираются соответственно I = 1.5 см, 1ц = 10 см/с, ¡/V1 = 0.15 с, 1>т = 3.2-10"3 см2/с и ДГ = 50 К.

В разделе 2.3 рассматривается электромагнитная часть задачи.

В силу условий задачи в уравнениях Максвелла отбрасывается ток смещения, а в законе Ома не учитывается движение среды. Электромагнитное поле проникает в расплав на расстояние порядка толщины скин-слоя ет — 0.0285 см. Средние по периоду колебаний тока во времени нормальная /п и касательная /, к свободной границе Г плавающей зоны составляющие вектора пондеромоторной силы, а также объемная плотность мощности выделяющегося джоулева тепла ц представ им ы в виде:

/»(«.*> (1) /.(*,") = о, (2)

= (3)

где

(4)

в,п — безразмерные касательная и внутренняя нормаль к Г, образующие правую систему координат, Яо — максимум амплитуды колебаний з-й компоненты напряженности магнитного поля на границе Г Я„|г, = 1.76 ■ 10*. рад/с — круговая частота тока в индукторе, = 3 — безразмерная длина Г, Ет = 0.019 — безразмерная толщина скин-слоя,

КФ,п) = Шг)2/Н1 (5)

В диссертации рассматривается 2 варианта задания функции /(ж). Первый и второй варианты показаны соответственно кривыми 1 и 3 на рис. 2. Первый вариант использовался также при вычислении формы свободной границы в главе 1. Кривая 2 — форма /(ж), вычисленная в

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 2

1991 г. в работе 3-х зарубежных авторов для процесса БЗП в МП при радиусе кристалла 3.8 см.

В разделе 2.4 рассматривается гидродинамическая часть задачи.

Пусть функции г(ж,у), г(ж,у) осуществляют конформное отображение прямоугольника 0 < ж < 1, 0 < у < К на область, занятую расплавом, так, что стороны х = 0, аг = 1, у = 0, у = У прямоугольника переходят соответственно в ось симметрии (г = 0) Го, свободную (правую) границу Гт, фронт кристаллизации Ге (нижнюю границу расплав - монокристалл) и фронт плавления Г/ (верхнюю границу расплав - заготовка). Пусть «(а;,у,(), 1>(ж, у,1), ьз{х,у, {) —компоненты скорости расплава в направлениях х, у, <р, где — полярный угол цилиндрической системы координат г,г,<р; г — полярный радиус. Введем функцию тока Ф к вихрь ш по формулам

где Я = у/(дг/дх)а + (дг/ду)2 — коэффициент Ламэ. Введем также модифицированные скорости 17, V, \У и модифицированный вихрь Л по формулам

1 ЗФ

гЯ Эх • " ~ я2

\ду дх )*

XV = пи, п =

г

(7)

+ +

Обозначим

i 1 ( дт ди\ , 1 Л,дг dv\ t _ vr t _ i г /drivn /¿>r ivn

** ~ Йе' ~ ГЯ2 [ г* ду ^вя r3 )

Яе ^flx vax V Н-ду Я2 dx } ду\Нду Н*дх)) ду \дх\Н дх +H2 ду ) ду\ Ндх + Н2ду)))

^г т., 1 2 5г , 2 дг 2 vr

F = ^ Р = * = пГед^> " = We'

G2 = О, F3 = Г, р3 = 0, 93 = 0, /i3 = G3 = Qefnxy, (9)

где Re = 4088 — число Рейнольдса, Gr = 9.703 - 10s — число Грасгофа, Еит = 824.4 — магнитное число Эйлера, Ре — 54.37 — число Пекле, Qe = 11.10 — отношение характерных интенсивностей джоулева тепловыделения и конвективного теплопереноса,

у

fnxvfav) = 8(l0 = j ЩЪуЩ,

о

п(х,у) = Щ1,у)(1-х), (10)

fn{stn) определена в (4).

Тогда уравнения для П, W, Т можно записать в следующем дивергентном виде

(£+Lt+LS)F,=Gi, i = l, 2, 3, (11)

где

riFi _ [W + tQF1) _ (а*9£\\

LiF - г Я* l~ei- дх (f1 дх )\ •

- 7m I-Гу--щу1 ' (12)

^ Уравнение для функции тока

Э /15Ф\ , д /15Ф\ „2п

Граничные условия следующие: -

дП п п о Ма 1 97 1

Ш = 0'х = 0' п = = 1 (14)

(условие Марангони),

П = - + - У = О,

П = -(2/0 + Л)^ + + у = Г (15)

(условия проскальзывания),

« п Ш 'пвг IV п

(условие отсутствия касательного напряжения в направлении <р),

\У = Псг2, у = О, = П/гг, у = Г (17)

(условия прилипания),

(18)

(закон Стефана - Больцмана),

Г = Т0, у = 0, у = Г, (19)

Я2

Ф = о, я = О, Ф = —а; - 1,

Ф = У = О, Ф = -уК/5, у = Г, (20)

где Л/а = 2.895 * 105 — число Марангони,

_ 1 (&хдг д*тдг\\ Ае-' ~ л* дх*дх)\Гг; { }

— кривизна границ фазового перехода, А1 = 5000 — параметр проскальзывания, 5 = 0.9091 — отношение плотностей в твердой и жидкой фазах, Ус = -5.520 • Ю-4, V/ = -8.085 • Ю-3 — безразмерные скорости протягивания, Пс = 7.860 * 10~3, П/ = 3.240 ■ Ю-1 — безразмерные скорости вращения, В1 — 0.7377 — число Био, То = 34 — безразмерная температура плавления, Лу = 0.8884 — безразмереная координата г верхней точки трехфазного контакта.

Зададим также начальные условия:

Ф = Ф*, П = \У = Фь, Т = Тьу I = 0. (22)

Итак, задача (8), (11), (13)-(20), (22) служит для определения неизвестных функций Ф, О, 1/, V, Т. Компоненты скорости и, и, ш восстанавливаются с помощью первых двух равенств (6) и первого равенства (7).

Б разделе 2.5 излагается численный алгоритм решения задачи о БЗП в МП. Дифференциальные операторы (12) аппроксимируются монотонными консервативными разностными операторами, имеющими 2-й порядок аппроксимации при малых и первый — при больших числах Рей-нольдсаи Пекле (Н. И. Булеев, 1989 г.). При решении разностных уравнений используется метод, позволяющий точным образом разделить задачи вычисления вихря и функции тока (А. Ф. Воеводин, 1996 г.). При решении на каждом времеинбм шаге уравнения для функции тока используется эффективный итерационный алгоритм, не требующий информации о свойствах и границах спектра разностного оператора, обобщающий алгоритм В. Г. Зверева (1999 г.).

В разделе 2.6 приводятся результаты тестовых расчетов. Для стационарных уравнений Навье-Стокса в области 0<х<1, 0<у<1, имеющих аналитическое решение Ф = вш* )та зш2 яу, при Не = 0.1 численное решение сходится к аналитическому со вторым, при Не = 100

— с первым порядком, что соответствует теоретическим данным. При Не — 10 000 численное решение не сходится к точному, так как последнее становится неустойчивым, но наблюдается сходимость "в себе" с порядками ниже первого. Для полных стационарных уравнений при Не = 1, Ма_ — £7г = Ещп = 0, Ф 0, Я/ Ф 0 порядки сходимости "в себе" функций Ф, П, И7, Г, 17, V в нормах в С и в £>2 при максимальной размерности сетки 160 х 320 изменяются в пределах 1.27...2.32 и большинство близки к 2 (теоретическое значение). При <7г = Еит = И,. = П/ = 0, Ыаф 0, Не = 4688, N = М = 120 порядки сходимости "в себе" функций Ф, П, Г, и, V в основном значительно ниже 1 (теоретическое значение). Это может быть объяснено

такими причинами, как недостаточное число разбиений, влияние ошибок округления и др.

В разделе 2,7 приводятся результаты расчета конвекции в плавающей зоне, вызванной такими факторами, как пондеромоторная, термокапиллярная силы, сила плавучести и вращение образца. Конвекцию, вызванную только первым, вторым или третьим факторами, назовем соответственно электроконвекцией, термокапиллярной конвекцией и термогравитационной конвекцией. Конвекцию, вызванную всеми факторам в совокупности, назовем комбинированной конвекцией, а конвекцию, вызванную 3 й 4 факторами — термогравитационной конвекцией с вращением.

При электроконвекции с вторым вариантом задания функции /(х) максимум скорости составляет 38 см/с и достигается на свободной границе, около которой формируется пограннчный слой, в котором максимальная скорость уменьшается до 20 см/с. При термокапиллярной конвекции максимум скорости также образуется на свободной границе и составляет 30 см/с, но в пограничном слое он уменьшается на порядок, так что движение внутри области течения очень медленное. При термо-гравитацнонной конвекции максимум скорости достигается внутри области и составляет 2.4 см/с. Во всех 3 случаях течение быстро выходит на стационарный режим. Доминирующей из 3 рассмотренных является электроконвекция. При комбинированной конвекции с 1 вариантом задания f{x) движение нестационарно и носит колебательный характер с периодом 0.2 с, а максимум скорости достигается на оси симметрии и составляет 95 см/с. Характерная скорость внутри области составляет 10., .20 см/с. При комбинированной конвекции с вторым вариантом задания f{x) движение близко к стационарному, а'его характеристики близки к характеристикам электроконвекции. При термогравитащюнной конвекции с вращением максимум скорости достигается внутри области и составляет 2.2 см/с, а движение носит колебательный характер с периодом 6 с. Во всех случаях; когда действует пондеромоторная сила, т. е. в 1, 4 и 5 из рассмотренных вариантов, в окрестности границы области формируются тепловые пограничные слои толщиной 8...16J?in, что соответствует теоретическим оценкам.

Результаты для термогравитационной конвекции с вращением близки к полученным А. А. Мюльбауэром в 1995 г., а для комбинированной конвекции — принципиально отличаются от них. Это отличие вызвано тем, что в работе Мюльбауэра отброшены конвективные члены в уравнении импульса в скин-слое, не являющиеся малыми по сравнению с вязкими.

На рис. 3 а-е показаны соответственно изолинии функции ф, на

M Ц ■ • м pi ■ м 1 )м ■ I ■ M f |М ■ г

0 0.S I Ii 2 2.1 3 i О 0.5 I 1.5 2 2.5 3 г

0-0.5 I Ii 2 2.! 3 ' 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 г 0 O.S. 1 1.5 2 2.5 3 г

Д

Рис. 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 г г

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 i Д

Рис. 4

О 0.5 1 1J ¿15 3 г

-о

о

О 0.5 I 1.5 2 2.5 3 г а

0 0.5 1 1.5 2 1.5 3 г

б

Рис. 5

О 0.3 1 1.5 2 2.5 3 г

В

рис. 4 а-е — изолинии функции Т для 1-6 вариантов расчета. На рис. 5 а-в показаны изолинии функции W для 4-6 вариантов.

В главе 3 выводятся условия монотонности разностной схемы, коэффициенты которой удовлетворяют некоторым соотношениям, в виде ограничения на временной шаг, в зависимости от этих коэффициентов и весового параметра 7 схемы. При теоретическом исследовании монотонность понимается как положительность коэффициентов разрешающего оператора. В общем случае получены ограничения на временной шаг Т < тто1) достаточные для монотонности схемы. Затем для уравнения теплопроводности при малом числе разбиений области построены аналогичные ограничения г < т'тах, необходимые и достаточные для монотонности схемы и произведено их сравнение с достаточными условиями монотонности. Оказалось, что достаточные условия близки к необходимым и достаточным при 7 <1/2, а при 7 > 1/2 далеки от них {r¿,B1. не стремится к нулю при 7 -+ 1 в отличие от ттах.) Предложена (без доказательства) новая формула для т„1ах, снимающая это несоответствие. Затем произведены расчеты для уравнения', теплопроводности на равномерной сетке размерности 25x25 с разрывными начальными и граничными в одном из направлений данными. При 7 = 0.1, г = Зт1Ппх в решении в окрестности разрыва возникают осцилляции, которые затем переносятся на всю область, а при 7 = 0.1, т = rmrtI осцилляций нет. Построен график критического шага по времени ímai(7), при котором решение на первом временном слое еще остается монотонным в направлении разрыва начальных данных. При 0 < 7 < 0.5 гтя*(7) монотонно возрастает, как и w. Но при 0.5 < 7 < 0.9 fmajr(7) продолжает монотонно возрастать, в отличие от ттаз:, имеющего при 7 = 0.5 максимум. При 7 = 0.9 fm0i(7) скачком увеличивается в 14.1 раза, а при изменении 7 от 0.9 до 1 — уменьшается на 9%. Следовательно, в расчетах лучше использовать схему с 7, близким к единице.

В главе 4 решается задача о плоскопараллельном стационарном дви-

женин вязкой несжимаемой жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндрическом контейнере.

D разделе 4.1 сначала ставится задача в терминах "давление - скорость". Затем осуществляется переход к переменным "функция тока Ф -вихрь w". Вводятся безразмерные переменные и производится анализ значений параметров, из которого следует, что форма свободной границы слабо зависит от движения расплава. В дальнейшем рассматривается случай горизонтального подхода жидкости к стенкам в состоянии покоя. Тогда не возмущенная свободная граница представляет собой отрезок, а область течения — сегмент круга. Она конформно отображается на бесконечную полосу с помощью преобразования

х - х sinh£ y = ha-x sin7} {23}

0 cosh f - cos »j* coshi - cos tj '

где x, у — декартовы координаты с центром на оси цилиндра, у = Л0 — уравнение свободной границы, хо = т} —новые переменные.

При замене (23) свободная граница перейдет на плоскости ((, в прямую tj = 7г, твердая граница — в прямую г; = т/о = arccos/io, точки контакта (х, у) = (±x0lho) — соответственно в точки £ = ±оо.

Задача для определения Ф, w :

ааФ „2 a2uj ^ д2и _ (дъди д*дш\

W + W=Re № её " Ж W' (i,ri) е А <24)

*(i,*) = *(C,4b) = w({,jr)=0, (25)

w(i.Tfc) = ~Л1 + (2 - At)-l- , (26)

где D — область ць < i) < jt, —oo < £ < со, Re — число Рейнольдса, At — параметр проскальзывания,

d(i + tv)

, До(О = Я(€,Ч0). (27)

cosh £ - cos j]

Линеаризованная задача для функции /(ж), определяющей отклонение свободной границы от состояния покоя, имеет вид:

/(«) ~ = *<*) + Л. * € (-ио,«о), (28)

где

ти-—»-1*^. , = (29)

Хо 2?о

хо

I /{х)(Ь = 0( (30)

-Яо

/о — константа, подлежащая определению, Во — число Бонда, Рг — число Фруда. ¿¿ ^

В разделе 4.2 методом интегральных уравнений выбоДятся асимптотические формулы для функций Ф, П при |£| —> оо. Из н ш^йр еду ет, что на линиях разрезов полосы можно ставить "мягкие" граничные условия:

+{0 ~ 1) - у- (2 - =0, (32)

~(Ф-*3)+0(Ф-Ф2) = О, = Со, (33)

где 0 = тг/(тг — 1ю) < 2; шо, Фа — известные функции. * ■

В разделе 4.3 с помощью метода интегральных уравнений строятся некоторые аналитические решения задачи (24)-(26) при „Ле = 0. В частности, при ¿5 = 2, когда область течения становится полукругом, построены решения

= £ Ц^-вд^-з))^ -<м>

™ ( 2АI (\ — \

Ф<^> = Е (,(ат-1)(4т + А1-а)) г2™"1 ^ ~ <35)

где г — полярный радиус, <р € [—я,0] — полярный угол.

а

14.3

-Тс 9

*

б

Рис. б

В разделе 4.4 излагается метод и приводятся результаты расчета течения. Расчет функций Ф, ft ведется методом продолжения по числу Рейнольдса, начиная от Re = 0. При каждом фиксированном числе Рейнольдса используется метод установления по времени. Задача для определения f{x) решается аналитически, а входящие в решение интегралы от Ф(з:) рассчитываются численно.

На рис. 6, а показаны линии тока при щ — 0.5 рад, А1 = 1.5, Re = 150. Функции Ф, П неположительны. Максимумы их модулей составляют соответственно 0.335 и 1.671. Максимум скорости составляет 0.7С4. Он достигается на свободной границе. На рис. G, б показан график F(x) = f(x)Re/Fr (функция F(x) уже не зависит от числа Фруда) при Во = 9.

В заключении приводятся следующие основные результаты, выносимые на защиту.

1. Разработан алгоритм и построена последовательность ортогональных разностных сеток в области, занимаемой расплавом при БЗП в МП, на основе известного метода, осуществляющего конформное отображение прямоугольника на заданный криволинейный четырехугольник,

2. Разработан и реализован численный алгоритм решения гидродинамической части задачи о БЗП в МП на основе дивергентной записи уравнений движения жидкости с переменной вязкостью и аппроксимации операторов конвективного и диффузионного переноса монотонными консервативными разностными операторами, использующий раздельное решение разностных задач для вихря и функции тока. Для решения задачи об определении функции тока получено обобщение известного итерационного алгоритма, не требующего информации о свойствах и границах спектра разностного оператора, на случай матриц, отличающихся от трехдиатональных наличием второго и предпоследнего столбцов.

3. Произведены расчеты конвекции в плавающей зоне с учетом понде-ромоторной, термокапиллярной сил, силы плавучести, а также вращения и протягивания образца. Обнаружено 2 режима конвекции: колебательный режим и режим, близкий к стационарному, в зависимости от вида функции пондеромоторной силы, действующей вблизи свободной границы.

4. Получены достаточные условия монотонности разностной схемы, используемой при численном решении задачи о БЗП в МП, в виде ограничения на временной шаг, в зависимости от весового параметра -у и коэффициентов схемы. Показано, что хотя полученная зависимость имеет максимум при 7 = 0.5, при расчетах значительно эффективнее схема с 7, близким к единице.

5. Построена асимптотика вихря и функции тока в окрестности бесконечно удаленных точек полосы, соответствующих в биполярных координатах точкам трехфазного контакта, и найдены некоторые аналитические решения для задачи о плоскопараллельном стационарном движении вязкой несжимаемой жидкости внутри горизонтального вращающегося цилиндра, моделирующей процесс зонной плавки во вращающемся контейнере. Разработан алгоритм и произведены расчеты вихря, функции тока и формы свободной границы.

Автор выражает благодарность В. В. Пухначеву за постановку задач, научному руководителю А. Ф. Воеводину, а также В. В. Кузнецову, О. М. Лаврентьевой, А. С. ОвчаровоЙ и В. И. Яковлеву за помощь при выполнении работы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Воевцдии А. Ф., Остапенко В. В., Пивоваров Ю. В., Шугрин С. М. Проблемы вычислительной математики. Новосибирск: Изд-во Снб. отд--пия РАН. 1995. 154 с.

2. Пивоваров Ю. В. Одномерная тепловая задача о бестигельной зонной плавке в быстропеременном магнитном поле // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 199G. Вып. 111. С. 100-108.

3. Пивоваров Ю. В. Параметрический анализ задачи о бестигельной зонной плавке в магнитном поле //Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 142-147.

4. Пивоваров Ю. В. Условия монотонности факторизованной разностной схемы для эволюционного уравнения с двумя пространственными переменными // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. № 4. С. 81-91.

5. Пивоваров Ю. В. О построении ортогональной разностной сетки в криволинейном четырехугольнике // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 5. С. 94-101.

6. Пивоваров Ю. В. Расчет движения жидкости с переменной вязкостью в области с криволинейной границей // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10. № 3. С. 87-107.

7. Пивоваров Ю. В. Численное моделирование конвекции в плавающей зоне // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. № 1. С. 81-94.

Подписано к печати 15.11.06 Формат бумаги СО х 84/10 Тираж 75 экз.

Ротапринт Института гидродинамики СО РАН Новосибирск - 90, проспект акад. Лаврентьева, 15

Заказ № 198 Объем 1,2 п.л. Бесплатно

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЙ РАЗНОСТНОЙ

СЕТКИ

1.1. Построение одномерной сетки, сгущающейся на краях

01 резка 1

1.2. Вычисление формы свободной границы

1.3. Поп роение неорюгональной двумерной счмки

1 1. Орююнализация разнос той сети

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ПРИ

БЕСТИГЕЛЬПОЙ ЗОННОЙ ПЛАВКЕ В

МАГНИТНОМ ПОЛЕ

2.1. Размерные нарамефы задачи

2 2. Безразмерные кршерии подобия

2.3. Элекфомагшпная часп> задачи

2.4. Гидродинамическая част задачи 11 2 5. Численный ал1 ори 1м

2.0. Тесювые расчеп.1 58 2.7. Результант расчет конвекции

ГЛАВА 3. УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ ФАКТОРИЗОВАНПОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ

3.1. Описание разнос!ной схемы

3.2. Доспиочные условия моноюнносш в общем случае

3.3. Необходимые и достаточные условия моноюнносш для задачи с малым числом разбиений

3.4 Пример расчет

ГЛАВА 4. ЗАДАЧА О ВРАЩАЮЩЕМСЯ КОНТЕЙНЕРЕ

4 1. Попановка задачи

4.2. Асимшошка вихря и функции юка в окреп носI и ючек контакта

4.3. Аналишческие решения 109 4.1 Мнод и результаты расчет течения

Зонная планка — кристаллографический меюд рафинирования ма1ериалов, сосюящий в перемещении узкой расплавленной зоны вдоль длинною твердою (чержня из рафинируемою маюриала. В насюящей диссерыции рас-смшрииаек'я два вариант зонной плавки.

1 вариаш: беепиельная зонная плавка (БЗП) в магнитном поле (МП), применяемая, в часпюсчи, для выращивания монокриснииюн кремния большого радиуса (более 5 см). Верхняя (заюювка) и нижняя (выращиваемый монокрисчалл) част вер шкального цилиндрическою образца медленно движу к'я вниз и вращаюп'я в прошвоноложных направлениях с разными угловыми скорос!ями. Часп> нижней границы заюювки нокрьпа жидкои пленкой, остальная часть граничит с плавающей зоной, находящейся между заюювкой и монокрисшллом, поддерживаемой в жидком сосюянии неподвижным исючником высокочасюпюго элеюромагнипюю поля — ипдук-шром. и удерживаемой между твердыми часчями образца силами поверхностною шияжения и магнитого давления. Токи, наводимые индукюром, согредоючены в тонком скин-слое, примыкающем к свободной границе расплава Они приводяI к выделению джоулева тепла и создаюI иоидеромоюр-ную силу, направленную орюгонально свободной границе, 'жепоненциально убывающую ири удалении о г нее, и являющуюся одним из шч очников конвекции в расплаве.

Полученные методом БЗП в МП монокрисчаллы кремния большою радиуса использую 1ся в основном в двух направлениях:

1) в силовой элекфонике — создание тирисчоров, силовых транзисчоров, используемых в мощных силовых преобразователях;

2) ири изюговлешш высоко>ффективных солнечных батарей.

2 вариант зонная очпс1ка поликристаллическою полуироводииковою мап'риала (в часшосш, юрмания). Цилиндрический полый кошейнер наполнен полупроводниковым маюриалом и расположен под небольшим углом к юриюшу. Он вращаеюя и одновременно совершает медленное nociyna-iejibnoe движение вдоль своей оси, при эюм часчь ею ширеваек'я до высокой 'нчшерачуры. Материал полупроводника плави юя. Образую! ся фрошы плавления и кристаллизации Расплав не целиком заполняв кошеинер: имеемся свободная поверхнехмь. Предполагаемся также, чю расплав 01деляе1 oí (менки кошеинера юнкий слой мелкодисперсной смазки.

Очищенный полупроводниковый юрманий применяем для создания фанзисюров и солнечных батарей.

Первое упоминание о меюде зонной плавки опюсшся к 1927 г, когда он был использован Г1 И. Капицей для получения однородных .монокриспи-лов висмута и Маккеханом для очис1ки железа [9]. Широкую извеспюсп» он получил блаюдаря рабопш В. Дж. Пфанна (CIIJA), коюрый применил ею в 1952 г для получения юрмания высокой cieiieim чисюты в кошеи-нере (не вращающемся). Меюд БЗГ1 был впервые предложен Г1 Кек и М Ролей (США) в 1953 г для очисти полупроводниковой) кремния. В первых успшовках радиус очищаемого образца соствлял 0.2. .1 см, тк чю прои 5-водшельносп, установок была весьма низкой. Нынче этот радиус сосшвлжм уже 5. .10 см.

Важным является вопрос о распределении темпера iуры в образце при БЗП, так как от нею зависят размер и форма расплавленной зоны. Д. Дональд [13] в 19G1 г. предложил одномерную модель зонной плавки, обладающую аналитическим решением. II Кобаяши [49] численно исследовал осесиммефичную задачу в цилиндрической области. В [2] численно рассчитаны иоле температуры и форма свободной границы для радиуса образца 0.75 см в условиях невесомост. Во всех названных выше работх гидродинамическое течение расплава не учитывалось Однако в [5] показано, чю оно существенно влияет на величину и форму жидкой зоны. Причем в зависимосш 01 температуры на торцах образца оно может приводип> как к уменьшению, так и к увеличению ее размеров.

В [52] численно решена осесиммстричная стационарная задача о БЗГ1 в земных условиях в полной постановке (найдены форма границы плавающей зоны, ноля скороеIей и 1емиера1уры) без учет вращения, а в [51] — с уче-юм вращения образца для его радиуса 0.2 см. Однако в 'лих двух работх зависящая от 1емпера1уры вязкоеп> введена в уравнения для вихря и ази-мутльной комионешы скорости неправильно (ср. формулы (1), (2) [51] и формулы (2 4 1), (2.1 5), (2.4.М) при х = г, у = г, // = 1 насюящей диссертции).

Во всех упомянушх выше работх нагрев образца производился путем его облучения.

В [43] изучен характер особенноеIи переменною во времени злектромаг-шиною поля вблизи вершины проводящею клина, моделирующею угловую точку плавающей зоны.

В [41, 42] теорешчееки рассмофена задача об определении границы фронт плавления и свободной границы в окреп нос 1 и точки трехфазно-ю кошакт примени 1ельно к задаче о БЗП в МП Дейпвие индукшра при зюм заменяйся поверхнопным тепловыделением и магнитым давлением. В [10] решена аналошчная задача с учеюм 1ермокаииллярных сил.

В [25, 27] рассмофена и численно решена модельная пационарная осе-симмефичная задача о БЗП в МП при 01су1с1вии вращения Однако магии пюе ноле индуктора здесь учитывалось только как исючник внешнею давления на свободную поверхность и не учитывалось как источник электроконвекции в расплаве.

В [50] численно решена осесиммнричная нестационарная задача о БЗП в МП в земных условиях с учеюм вращения для радиуса монокристлла 5 15 см в полной постановке, но с некоюрыми упрощающими допущениями.

Одним и'} них являе1ся допущение1 о малости конвективных членов по сравнению с вязкими и уравнении для вихря в скин-слое, позволяющее yciano-вшь связь между функцией вихря и ее нормальной производной на вну1рен-ней 1ранице скин-слоя. В полученную формулу поверхноспюе н.ияжение и нондеромоюрная сила на свободной границе входя г равноправным образом. Дейспзие г>юй формулы сноси 1ся на свободную границ}' плавающей зоны и она используемся в качесш1 граничного условия для вихря. Таким образом, течение внутри скин-слоя исключае1ся из рассмо!рения, в ре^улыап1 чет ошадаег необходимость сильно мельчип» ceiKy вблизи свободной границы расплава. В [55] расечигывае1ся распределение примеси в .монокристлле кремния, получаемом меюдом БЗП в МГ1. При эюм ноле скорое i ей в плавающей зоне рассчшываегся меюдом, описанным в [5G], и осредняечся по времени, а заюм решаемся с1ациоиа1)ная задача о распределении примеси в расплаве и рлечущем монокристалле1. В [58] решаемся задача о БЗП в МП и рассчитываемся распределение примеси в монокрис¡алле уже в трехмерной посчановке. Наконец, в работах [57] и [50] решались задачи, аналогичные решенным в [55] и [58] еоогвекчвенно, но при наличии дополниюльнемо низкочас loiíioi о и иду к i opa.

Однако анализ показывает, что указанное допущение, делаемое в последних пят из названных работ, на иракшке не выполняемся. По и ому aKiy-альной являемся разработка модели процесса БЗП в МП с учеюм пондеро-моюрной силы не в ¡раничном условии, а в самом уравнении для вихря. При эюм еччка в окреаности свободной границы расплава должна бьпь значи-юльно болен1 мелкой, чем сечка, используемая в [50]. Из-за зюю должен быть сущееibchho уменьшен и временной шаг, чю влечет увеличение числа итераций по времени на порядок Но с учеюм увеличения производи i ель-нос i и персональных электронно-вычислительных машин со времени выхода рабопл [56], время счета эюй задачи в современных условиях сравнимо со временем ечсчл "задачи, решенной в [50] более 10 лег назад, и сосзавляег 1-2 суюк.

П])и рагзраб()1КО модели процесса БЗП всшег вопрос о меюде решения задачи.

В (55, 50, 57] использовался меюд конечных элемешов с разбиением облает на феуюльные ячейки и со сгущением расчетой се1ки вблизи всех границ плавающей зоны.

В [25, 27] использовался конечно-разное тый меюд сквозного счем на неорю1 опальной се1ке, причем преобразование координат сое ют в ироеюм растяжении радиальной переменной, чак чгю исходной обласчыо независимых переменных еншовичея прямоугольник (см [20]). В [51, 52] использован конечно-разиосшый меюд на пеорииопальной с<чке общего вида, зак чю обласчи, заняп.к1 заготовкой, плавающей зоной и выращиваемым монокри-сзаллом, озображаюзея на ирямоуюлышки, причем на границах фазовою перехода все узлы еезки являюк'я общими для каждой нары граничащих облаем ей. В обоих случаях ссчки в исходной прямоугольной области являю гея ])авиомерными, но если в [25, 27] сегка в физической обласчи также близка к равномерной, чо в [51, 52] она егущаек-я вблизи всех 1раниц плавающей зоны, 1ак как там возможно образование пограничных слоев для скоросчи.

Заметим, чю при использовании неорю1 опальной сезки возможно ее сгущение не только вблизи границ области, кочорые являкися координагными линиями, по и в окрестосги произвольных линий внутри области, не являющихся таковыми. В [21] разработан для эюю чак называемый меюд ал1ебраической адашации и приведен пример чакой ссчки. Вычисления про-изезодяюя по явным алгебраическим формулам, о чем и говорит название меюда. Его можно было-бы применить к задаче о БЗП, чак как в облай и, занимаемой расплавом, как правило, образуется два вихря, между коюрыми находится гкмраничный слой. В ею окресчносш желательно егусппь сетку. поюму чю иначе толщина слоя значшельно увеличиваеюя за счет дей-епшя схемной вязкост. В рабою [38] предложены другие способы носIроения иеорюгональных адаппшных сеюк, основанные на {)ешении некоюрых лллшпических уравнений. Они шкжа позволяют сгущат сету в нужных моеIах с помощью специальных управляющих функций.

В настоящей диссерпщии для решения гидродинамической част осе-симмефичной нестационарной задачи о БЗП в МГ1 впервые ирименяек'я конечно-разное 1ный мегод с использованием конеерватвной моноюнной разнос той схемы [7, с 280]. Обычно в таких задачах нрименяю1 либо схему с центральными разиостми для конвекшвных членов, являющуюся консервативной, но обладающую свойепюм моноюннос1и только при малых скоростях течения [20] (при больших скоростх применение эюй схемы приводит к пилообразному решению и може1 вызвать расходимосп» шераций но времени), либо схему с разнос 1ями проIив ноIока, являющуюся моноюнной при любых скорое 1ях движения, но не обладающую свойепюм консервативное! и [50]. Схема из [7] совмещает досюинста обеих схем, содержи! первую как предельный случай при скорой и, сфемящейся к нулю, и близка ко второй при скороеIи, стремящейся к бесконечност. Кроме тою, в насюящей диссерищии впервые при решении задачи о БЗП применяеп-я ор1 си опальная сетка, получающаяся с помощью конформною оюбражения нрямоуюлышка на облает, затпую расплавом [8]. Сета в нрнмоуюльнике (чрошея сгущающейся на ею границах таким образом, 41061,1 в произвольном нормальном сечении к границе физической облает внуфь 1101 ранс-лоя, образующегося около эюй границы, попало-бы не менее 0 точек при максимальном числе разбиении облает. Преимущеета орюгональной раз-постой сети очевидны: в левых часчях уравнений отсуимвукл смешанные производные. Ясно, чю сгусппь ее вблизи линии раздела вихрей нельзя, но использование консервативной схемы позволяет надеятся на то, чю, хотя iioi pancMoii на линии раздела вихрей будем размыва тье-я схемной вязкехчыо, значения искомых функций вне ечо буду г ечремшься к иршшльиым продолам (то есп> к решению дифференциальной задачи) [28]. При решении разнос тых уравнении используемся метод раздельного решения уравнений для вихря и (функции 'юка, описанный в [10, 20]. Впервые в эюй задаче правильно учюна в уравнениях для вихря и азимутльной комионошы скез-рехчи зависящая oj lOMiiepaiypbi вязкоечь и, самое главное4, в уравнении для вихря учтечт обьемная пондоромоюрная сила, еосре\до юченная Biiyipn скин-слоя.

Перейдем ко вюрому вариашу зонной плавки. Течение в расплаве в )юм е'лучае являемся е'ущественно трехмерным и весьма е*ложным. Прямой ею ])асчег — очень трудная задача. Пешому для иффокпшною расчет гидродинамики расплава обласп» 'ючения предлагаемся разделить на ядро, где продольная компонент скорое i и мала, и движение в нервом приближении можно считль плоским, и пограничные слои возле фрошов плавления и криечаллизации. В пае юящей диесертции рассмафиваеюя 'юлько ючение в ядре, ю еччь рентеюя задача о илоскоиаралле'льном ечационарном движении жидкоечи в юри'юшальном цилиндричее-ком вращающемся конюйнеро

В [3, 14, 39, 44, 4G, 47] изучались в основном режимы движения, когда жидкоеп> полное 1ыо покрьпккм еюнки цилинд1)а, а внутри имечмея кпо-вая полосгь. Так, в [14, 47] аналитическими меюдами иссле»довалось нове>-дение сле)я жидкосш в быстро вращающеме'я цилиндре. При быстром вращении цешробечкные силы доминируют над капиллярными и гравшаци-онными (дейечвие капиллярных сил в [14, 47] но учишвалось). Свобеущая поверхносп» жидкоечи близка к цилиндрической. Эксперимечпальное изуче»-ние таке>го ре>жима течения проводилось в [46]. В экспериментальной рабою [11] при малых скорос!Ях вращения обнаружены трехмерные стционарные ючения. Они возникают при увеличении скоросш от нуля еще до тою, как жидкоеib полноеiыо покроет боковую поверхносчь цилиндра В [3] получены некоюрые необходимые условия существования и доааючные условия нсч:ущечч вования плоских н'чении в двусвяшой облает в медленно вращающемся цилиндре. В [39] решалась -задача о ползущем движении жидкое]и во вращающемся цилиндре меюдом граничных ллемешов в oicyieiBue капиллярных сил 'ыкже для случая, когда жидкоеп> иолноечыо покрывает шенки цилиндра.

В насюящей дисеертции впервые изучаен-я режим движения, когда жидкоси» -занимает односвязную обласп» и имеемся две ючки скользящею ipexcj)ar5H0i0 кошакт, чю coo i веч ст вуе г эксперимешальным данным для вюрого вариаша зонной плавки. Влияние слоя мелкодисперсной смажи на i ранице со С1енкой кошейнера моделируеюя дейепшем каса1ельною напряжения, пропорционального разное!и скороеiей cichkh и чаепщы жидкосш Смционарная плоская задача о движении жидкосш во вращающемся контейнере решаемся конечно-разное!ным меюдом с использованием разиоечей проiив поiока при аппроксимации конвективных членов. Для 'ною анали-шчееки сiроится коне}юрмное оюбражение бесконечной полосы на обласп,, занятую расплавом, для случая, когда она иредсчавляе! собой сегмент кру-ia. С помощью меiода интегральных уравнений вычисляю!ся первые члены асимшогического разложения вихря и функции тока в окреспюсш угловых точек облает, еоошчетующих бесконечно удаленным точкам полосы. Бесконечная полоса обрезаек'я и на линиях разреза счавятся асимшошческие условия для вихря и функции тока, необходимые для замыкания разносi-ной сис!емы уравнений. В пределе малых скороеiей вращения кошейнера получены два класса аналитических решений задачи. Численные расчсчы произве^дены для умеренных скоросюй вращения, когда пограничных слоев возле сiенок контейнера и свободной границы еще нет. После нахождения вихря и функции тока рассчшана форма свободной границы расплава.

Диссерпщия сосюиг из введения, могырсх глав, заключения и списка лшературы. Главы разделены на разделы, а разделы чечвертой главы — на пункш. Нумерация (формул выполнена раздельно для каждою раздела и осикчся сквозной BHyipn него. Нумерация рисунков и тблиц — единая для всей диссипации. Список литера1уры сос1авлен по алфавшу - русскому и английскому отдельно. Рабош шлоря приведены в конце списка лшера1у-ры

В первой главе счрошся последовательность орюгональных разностых сеток примениiejibno к задаче о БЗП в МП меюдом, описанным в [8]. Форма облжчи при эюм береюя близкой к рассчитанной в [50]. (Она удовлегвори-н'лыю согласуйся с данными -жеперимешальных измерений.) Начальное приближение — neopioí опальная ceiKa строи к'я меюдом трансфишшюй шпериоляции [20, 21]. Во шорой главе осущеспшясчся нопановка задачи, описывается численный алгоритм и производик-я численный расчег гидродинамическою течения в расплаве при БЗП в МГ1 на последоваюльносш ортогональных разностых сеюк, nocí роенных в главе 1. В третей главе выводя к'я условия .MOHOiOHHüCi и разноечной схемы, исиользуемой при решении задачи о БЗП в МП. В чешерюй главе аналишчески и численно исследуется задача о движении расплава во вращающемся кошейнере при .малых и умеренных скорос1ЯХ его вращения.

Настоящая диссерпщия выполнена в Инсгшуге гидродинамики им М. А. Лаврешьева СО РАН, Новосибирск, иод руководсч вом А. Ф. Воеводина. Основные резулыаты диссерпщии опубликованы в 5 главе mohoi рафии [61], в сьиьях в сборниках [62, 64] и в стап>ях в журналах [63, 65, 66, 67] и докладывались соавюрами работ на Всесоюзном семинаре по магматическому моделированию процессов кристллизации (Рига, 1989 г.), а также авюром — на дееяюй Зимней Школе но механике сплошных сред (Пермь, 1995 г.), на третьей Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1999 г.) и Всероссийском конференции "Теория м приложения задач со свободными границами" (Бийск, 2002 г.). Кроме 'ioiо, они были доложены на семинаре отдела прикладном гидродинамики Инсттуш гидродинамики им. М. Л. Лаврешьева СО РАН и на объединенном семинаре "Информационно-вычислшельиые технологии" иод руководспюм академика Ю. И. Шокина и профессора В М. Ковени в Инсштуте вычисли! ельных 1ехнологий СО РАН. Маюриалы диссерыции использовались в двух огчешх ИГиЛ СО РАН.

В заключение Э1 ого введения автор выражает благодарноеп» В. В. Пухна-чеву за поепшовку задач, научному руководи i ел ю А. Ф. Воеводину, а ыкже В В. Кузнецову, О. М. Лаврентьевой, А. С. Овчаровой и В. И Яковлеву за помощь при выполнении работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты.

1. На основе известного меюда, осуществляющею конформное отображение прямоугольника на заданный криволинейный четырехугольник, построена последовательность ортогональных разноситых сеюк в области, занимаемой расплавом, применительно к задаче о БЗП в МП.

2. Осуществлена постановка дифференциальной задачи о БЗП в МП 15 переменных вихрь - функция тока в соответствии с приближением Бусси-неска в прямоугольнике, конформное отображение которою на заданную область является известным, с учеюм зависимости вязкости от температуры, и с учетом пондеромоюрной силы и выделяющегося джоулева тепла в скин-слое. При этом уравнения для функции тока, вихря, температуры и азимутальной компоненты скорости записаны в дивергентной форме. Предложен численный алгоритм решения задачи о БЗП в МП, включающий в себя известную монотонную консервативную схему при решении параболических уравнений для вихря, температуры и азимутальной компоненты скорости; извеситый метод раздельного решения уравггеггий для вихря и функции тока, осуществляющий точное выполнение граничных условий для этих функций на линиях фазового перехода; обобщение известною меюда решения эллиптического уравнения для функции тока на случай, когда после расщепления по направлениям матрица сисюмы содержит ненулевые вю-рой и предпоследний сюлбцы.

3. Произведены расчеты конвекции в плавающей зоне при БЗП в МП, вызванной такими факторами, как пондеромоторная, термокапиллярная силы, сила плавучести, вращение и протягивание образца. Из расчетов следует, что доминирующей является электроконвекция: пондеромоторная сила индуцирует вне пограничного слоя вблизи свободной границы на порядок более быстрое движение расплава, чем другие силы, а в сочетании с вращением можем принесли к образованию на часп! оси симметрии С1 руи с максимальной скоросп>ю 95 см/с. При этом движение являйся сущестепло нестационарным и носи г колебательный харакюр с пе1)иодом 0.2 с При друюй форме функции нондеромоюрной силы 1акой струи на оси симми-рии не наблюдайся и движение близко к С1ациона1)ному. При отсутствии вращения движение расплава выходит на стационарный режим, какими-бы с|)акюрами оно не вызывалось.

4. Получены достаточные условия моноюнносги разностной схемы, используемой при численном решении задачи о БЗП в МП, в виде ограничения на временной шаг в зависимости от весовою параметра схемы. Получены также необходимые и достаточные условия монотонности для дискрепюю анало1а уравнения теплопроводности при малом числе разбиений облает и предложено (без доказательства) еняп> несоответствие с этми условиями дос пи очных условий моноюнности при значениях весового парами ра схемы, близких к единице. Произведены расчепл, из коюрых следует, чю при заданном временном шаге лучше использовать схему с весовым параметром, близким к единице.

5. Рассмотрена задача о стационарном плоекоиараллельном движении вяжой несжимаемой жидкости внутри горизонтальною вращающеюся цилиндра для случая, когда облает течения предетвляет собой в первом приближении сегмент круга. Произведена постановка задачи для определения вихря, функции тока и свободной границы. При эюм аналитически осуществлено конформное отображение области течения на бесконечную полосу. Методом интегральных уравнений вычислена асимптотика вихря и функции тока в окрестности бесконечно удаленных точек полосы, необходимая для численною расчета, и найдены некоторые аналитические решения задачи при нулевом числе Рейнольдса. Для решения задачи об определении вихря и функции тока в прямоугольнике использована разностная схема, основанная на аппроксимации конвективных членов разностями прошв потока, а для решения задачи об определении свободной границы применен аналшичеекий меюд. Рассчитаны вихрь и функция тока для двух вари-анюв исходных данных и форма свободной границы для шесш варианюв исходных данных.

1. Андреев В. К , Канцов О. В., Пухначев В. В., Радионов А. А Применение теорешко-групповых меюдов в гидродинамике. Новосибирск-Наука. 1994 318 с.

2. Анисюпш Б. М. Численное исследование тепловой задачи для процесса бееппельной зонной плавки // Задачи гидромеханики со свободными границами. Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. ун-т, Новосибирск, 1987, 128 с.

3. Бадратииова JI. Г. О движении жидкою слоя по внутренней поверхности горизонтального вращающегося цилиндра // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. огд-ние. Ин-г гидродинамики. 1993. Выи. 106. С. 179-184

4. Байокки К., Пухначев В. В. Задачи с одноеюронними ограничениями для уравнений Навье Стокса и проблема динамическою краевого угла // Прикладная механика и техническая физика. 1990. .V 2. С. 27-К)

5. Белова И. В., Волкова Г. Б. Термокапиллярная конвекция при бесги-юльной зонной плавке // Прикладная механика и техническая физика. 1993. № 6. С. 72-75.

6. Боюряд И. Б. Динамика вязкой жидкости со свободной поверхностью. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1980. 102 с.

7. Булеев II. И. Просфансгвенная модель турбулентною обмена. М : Наука. 1989. 344 с.

8. Вереюнцев В. А. Построение разнос!ной ceiKn в области с криволинейными границами с помощью конформного отображения // Ашуальные вопросы прикл. математики. М.: Изд-во МГУ. 1989. С. 88-93.

9. Вигдорович В. Н. Совершенепзование зонной перекрисишшзации. М : Мехаллургия. 197-1. 200 с.

10. Воеводин А. Ф., Юшкова Т. В. Численный меюд решения начально-краевых задач для уравнений Павье-Сюкса в замкнушх обласчях на основе меюда расщепления // Сиб. журн. вычисл. макчшики. 1999. Т. 2. .V« 4. С. 321-332

11. Воеводин В. В., Кузнецов К). А. Матрицы и вычисления. М.: Наука 1984. 320 е.

12. Гончаров В J1. Теория интерполирования и приближения функций М.: Гос изд-во технико-теоретической лит-ры. 1954. 328 с.

13. Дональд Д К. Тепловой режим в условиях вакуумной плавки // Приборы для научных исследований. 1961. .Y® 7. С. 42-41.

14. Ждан Л. А. Задача о движении вязкой жидкости во вращающемся круп1 в поле ¡яжесги // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1987 Xo- 1. С. 80-89.

15. Зверев В. Г. Об одном итерационном алюригме решения разносшых эллишических уравнений // Вычисл. технологии. 1999. Т. 4. 1. С. 55-05.1G. Зоммерфельд А. Электродинамика. AL: Изд-во иностранной лш-ры 1958. 502 с.

16. Калиткин Н. Н Численные меюды. М.: Наука. 1978. 512 с.

17. Кочин II. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теорешческая гидромеханика. Часть II. М.: Гос. изд-во физ.-маг. лит-ры. 1963. 727 с.

18. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лиг-ры. 1962. 248 с.

19. Лисейкин В. Д. Алгебраический меюд построения разноечных сеюк. Уч. пособие. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. 2002. 4G с.

20. Лисейкин В. Д. Меюд алгебраической адаптации // Журн. вычисл. маюматики и мат. физики. 1998. Т. 38. .V« 10. С. 1G92-1709.

21. Лойцянекий Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1973. 73G с.

22. Марчук Г. И. Me i оды вычислшельной матемашки. М : Наука. 1977. 45G с.

23. Новиков И. И. Прикладная магнитная гидродинамика. М.: Атомиздат. 19G9. 360 с.

24. Овчарова А. С. Влияние эффектов плавучее i и и термокапиллярности на форму свободной поверхности расплава // Вычисл. технологии. 2002. Т 7. С. 323-328.

25. Овчарова А. С. Метод расчета стационарных течений вязкой жидкое i и со свободной границей в переменных вихрь-функция тока // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т. 39. .Vй 2. С. 59-68.

26. Овчарова А. С. Расчет жидкого мост при производстве монокристл-лов меюдом бестгельной зонной плавки // Журн. вычисл. матемашки и матемашческой физики. 2003. Т. 43. JV» 4. С. 1062-1071

27. Остпенко В. В. Метод теорем ичеекой оценки дисбалансов неконсервативных разностных схем на ударной волне // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 2. С. 292-297.

28. Патанкар С. Численные меюды решения задач теплообмена и динамики жидкос1 и. М.: Энергоато.мизда1. 1984. 150 с.

29. Пухначев В. В Задачи со свободной границей для уравнений Навье-Стокса. Дис. . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1974. 291 с.

30. Пухначев В В., Солонников В. А. К вопросу о динамическом краевом угле // Прикл. маг. и мех. 1982. Т. 46. Вып 6. С. 961-971.

31. Рсчель А. Р., Глазов В. М. Физические свойспза электронных расплавов. М.: Наука. 1980. 295 с.

32. Роуч П Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. 616 с.

33. Самарский А. А., Николаев Е. С. Meiоды решения сеючных уравнений. М Наука. 1978. 592 с.

34. Самарский А. А. Теория разносшых схем. М.: Наука. 1983. 616 с.

35. Сючкин С. Б., Суббогин Ю И. Сплайны в вычислительной матемашке. М.: Наука. 1976 248 с.

36. Тамм И. Е. Основы кюрии электричества М.: Наука. 1976. 616 с.

37. Хакимзянов Г. С., Шокин 10. И., Барахнин В. Б., Шокина Н. 10. Численное моделирование течений жидкскчи с поверхностными волнами. Новосибирск Изд-во СО РАН. Ин-т вычисл. технологий. 2001. 394 с

38. Ulpaiep Г. Р., Козлобродов А. Н , Якуюнок В. А. Модели1)ование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Томского ун-та. 1999. 230 с.

39. Яковлев В. И. О влиянии термокапиллярных сил на начальный учасюк пленки расплава // Прикладная механика и техническая физика 2001. Л" 2. С. 118-121.

40. Яковлев В. И. О границах начального участка пленки расплава, формируемой при бестигельном зонном переплаве полупроводниковых материалов // Доклады Академии наук. 1999. Т. 369. Л"° 6. С. 766-769.

41. Яковлев В И. О границах начальною учапка пленки расплава, формируемой при бестшельном зонном переплаве полупроводниковых материалов // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Л"° 3. С. 139-148.

42. Яковлев В. И. О характере особенноеiи переменных электромапппных нолей вблизи вершины проводящею клина // Прикладная механика и техническая физика. 1990. Т. 37. 4. С. 3-8

43. Balmer R. Т., Wang Т. G. An experimental study of internal hidrocyts // Trans. ASME. Ser 1. J. of Fluids Eng. 1970. V. 98. .Y® 4. P. 688-091.

44. Betchelor G. K. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number // J. Fluid Mech. 1956. V. 1. .Ys 2. P. 177-190.

45. Gans R. F., Yalisove S. M. Observations and Measurments of Flow in Partially-Filled Horizontally Rotating Cylinder // Trans. ASME. Ser.l. J. of Fluids Eng. 1982. V. 104. № 3. P. 363-366.

46. Greenspan H. P. On a rotational flow disturbed by gravity // ,1. Fluid Mech. 1976. V. 74. Pt. 2. P. 335-352.

47. Harten A. On a Class of High Resolution Total Variation - Stable Finite -Difference Schemes // SIAM / J. Nuiner. Analys. 1984. V. 21. ,Y® 1. P. 1-23.

48. Kobayashi N. Power required to form a floating zone and the zone shapes // J. Ciystal Growth. 1978. V. 43. P. 417-424

49. Lacis K., Muiznieks A., Ratnieks G. 3D mathematical model system for melt hydrodynamics in the silicon single crystal FZ-growth process with rotating magnetic field // Magnetohydrodyiiamics. 2005. V. 41. .Y« 2. P. 147-158.

50. Lan C. W., Kou S. Effects of rotation on heat trasfer, fluid flow and interfaces in normal gravity floating-zone crystal growth // ,J. Crystal Growth 1991. V. 114. P. 517-535.

51. Lan C. W., Kou S. Heat transfer, fluid flow and interface shapes m floatingzone crystal growth // J. Crystal Growth. 1991. V. 108. P. 351-366.

52. Lie K. II., Walker J. S., Riahi D. N. Free siuface shape and AC electric current distribution for float zone silicon growth with a radio frequency induction coil // J. Crystal Growth. 1990. V. 100. P. 450-458.

53. Lie K. II., Walker J. S., Riahi D. N. Melt motion in the float zone process with an axial magnetic field // J. Crystal Growth. 1991 V. 109. P. 167-173.

54. Muhlbauer A., Muiznieks A., Virbulis ,1. Analysis of the dopant segiegation effects at the floating zone growth of large silicon crystals // .1. Crystal Growth. 1997. V. 180. P. 372-380.

55. Muhlbauer A., Muiznieks A., Virbulis J., Ludge A., Riemanii H. Interface shape, heat transfer and fluid flow in the floating zone growth of large silicon crystals with the needle-eye technique // .J. Crystal Growth. 1995 V. 151. P. 66-79.

56. Raining G., Muiznieks A., Muhlbauer A. Numerical investigation of the influence of EM-fields on fluid motion and resistivity distribution during floating-zone growth of laige silicon single crystals // J. Crystal Growth. 2001. V. 230. P. 108-117.

57. Riahi D. N., Walker J. S. Float zone shape and stability with the electromagnetic body force due to a radio-frequency induction coil // -I. Crystal Growth. 1989. V. 91. P. 635-642.

58. Surek Т., Chalmers B. The direction of growth of the surface of a crystal in contact with its melt // J. Crystal Growth. 1975. V. 29. P. 1-11.

59. Воеводин А. Ф., Оспшенко В. В., Пивоваров 10. В., Шугрин С. М Проблемы вычислительной макчтгики. Новосибирск: Изд-во Сиб. 01д-ния РАН. 1995. 154 с.

60. Пивоваров Ю. В. Одномерная тепловая задача о беетигельной зонной плавке в бысгроперемениом магнитном иоле // Динамика сплошной среды Сб. науч. тр / РАН. Сиб. огд-ние. Ин-т гидродинамики. 1996. Выи. 111. С. 100-108.

61. Пивоваров Ю. В. О построении орюгональной разностной ceiKH в криволинейном чешрехуголышке // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8 Л*° 5. С. 94-101

62. Пивоваров 10. В. Парамефический анализ задачи о бестигельной зонной плавке в магнитном поле // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. огд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 142-МУ

63. Пивоваров Ю. В. Расчет движения жидкости с переменной вязкосшо в облаем и с криволинейной границей // Вычисл. технологии. 2005. Т. 10. .V» 3. С. 87-107.

64. Пивоваров Ю. В. Условия моноюшкхпи факторизованной разносi ной схемы для оволюционною уравнения с двумя пространс1 венными неременными // Вычисл. технологии. 2001. Т. 6. Хп- 4. С. 81-91.

65. Пивоваров Ю. В Численное моделирование конвекции в плавающей зоне // Вычиел. технологии. 2006. Т. 11. Xa- 1. С. 81-91.