автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование кинетики ядерных реакторов на основе уравнений для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах

На правах рукописи

ЮФЕРОВ АНАТОЛИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ БЕЗРАЗМЕРНЫХ СКОРОСТЕЙ ПРОЦЕССОВ НА ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ НЕЙТРОНАХ

Специальность 05 13 18 - математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Обнинск-2007

003176916

Работа выполнена в Государственном научном центре Российской Федерации - Физико-энергетическом институте имени А И Лейпунского

Научный руководитель доктор технических наук

Ионкин Владимир Иванович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Казанский Юрий Алексеевич

доктор физико-математических наук Кухарчук Олег Филаретович

Ведущая организация - РНЦ «Курчатовский институт»

Защита состоится ^^ С-^Н/ 2007 года в^^часов на заседании диссертационного совета Д 201 003.01 в ГНЦ РФ-ФЭИ по адресу 249033, г Обнинск Калужской обл , пл. Бондаренко, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ-ФЭИ Автореферат разослан с<2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Ю.А. Прохоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Оценка динамических характеристик ядерных реакторов на основе сравнительных расчетных и экспериментальных исследований эффектов реактивности является основным средством обоснования ядерной безопасности и управляемости реакторных систем Такая роль реактивност-ных экспериментов сохраняется также для перспективных электроядерных и реакторно-лазерных систем Поэтому совершенствование реакторно-физических (реактивностных) экспериментов в плане повышения точности, адекватности и оперативности всегда будет актуальным предметом исследования в физике реакторов и ядерной энергетике

В качестве современных направлений и целей совершенствования реакторно-физического эксперимента можно указать следующие

- идентификация всех параметров кинетики реактора в рамках одной экспериментальной методики, в том числе в эксплуатационных режимах ЯЭУ,

- исключение априорно задаваемых параметров кинетики, используемых в начальных условиях, при обработке экспериментов или закладываемых в конструкцию реактиметров,

- сочетание расчетных соотношений из различных методик для уменьшения количества не-идентифицируемых параметров кинетики,

- приведение моделей динамики к формам, содержащим экспериментально определяемые параметрические комплексы, оценки которых могут использоваться для проверки адекватности значений исходных параметров,

- привлечение новых алгоритмов из различных разделов теории идентификации к задачам ре-акторно-физического эксперимента,

- использование принципов теории подобия для упрощения структуры моделей,

- формулировка экспериментальных схем в форме, допускающей привлечение методов математического планирования экспериментов и нетрадиционных статистических методик,

- немаловажной остается задача уменьшения количества операций в программах сопровождения САУ ЯЭУ и реакторных экспериментов в реальном времени

Эти вопросы сочетаются с задачами совершенствования вычислительного эксперимента, т е алгоритмов и расчетных моделей динамики реакторов К таким задачам относятся, в частности

- оптимизация структуры модели и организации данных для упрощения алгоритмов, уменьшения числа операций и повышения точности,

- внедрение методов интервального анализа для расчетов с гарантированной точностью,

- привлечение теории планирования экспериментов к организации вариантных расчетов, параметризация вычислительных алгоритмов как средство их сравнительного анализа, оптимизации и унификации,

анализ чувствительности моделей к возмущениям параметров и начальных условий,

- привлечение компьютерных символьных вычислений для получения «точных» алгебраических выражений динамических параметров ЯЭУ и функций чувствительности

Перечисленные возможности совершенствования физических и вычислительных экспериментов требуют соответствующей модификации классических моделей, лежащих в основе экспериментальных и расчетных методик В данной работе эти возможности рассмотрены применительно к дифференциальным и интегральным формам модели точечной кинетики ядерного реактора, записанной в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах (модель БСП), которая была использована в Физико-энергетическом институте при создании информационно-вычислительного комплекса Лаборатории нейтронно-физических исследований Уравнения модели БСП можно рассматривать как результат применения теории подобия к уравнениям точечной кинетики реактора, как следствие некоторой формальной замены переменных или же получить эти уравнения, исходя из физических представлений

з V '

Дели диссертационной работы

• Разработка модели кинетики реактора в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах Исследование математических и алгоритмических свойств модели

• Разработка алгоритмов идентификации для реакторно-физических экспериментов на основе модели БСП, позволяющих оценивать все параметры кинетики и выполнять адаптацию реакти-метров в эксплуатационных режимах ЯЭУ

• Разработка и анализ возможных схем реактиметров на основе модели БСП

• Алгоритмическая и программная реализация модели БСП для моделирования кинетики реактора методами численных и символьных вычислений

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем

• Впервые предложена модель кинетики с негрупповым описанием процессов на запаздывающих нейтронах, исключающая априорные параметры из начальных условий, позволяющая точное вычисление функций Грина уравнений для запаздывающих нейтронов, не требующая конечно-разностной аппроксимации производных и снимающая проблему жесткости модели

• Предложены новые алгоритмы численного решения уравнений модели с привлечением интеграла Стилтьеса для интервальной оценки мощности и реактивности

• Впервые сформулированы алгоритмы скользящего интегрирования, позволяющие применить для решения интегральных уравнений кинетики квадратурные формулы нгивысшей алгебраической точности и не требующие определенной кратности числа узлов

• Предложены новые методики реактивностных экспериментов без привлечения априорных параметров, что позволяет более адекватно оценивать динамические характеристики ядерных реакторов

• Предложен ряд нетрадиционных схем реализации реактиметров, обеспечивающих адаптацию реактиметра, то есть идентификацию всех параметров кинетики, закладываемых в конструкцию реактиметра, в эксплуатационных режимах

• Разработан пакет программ на языке REDUCE для символьного расчета динамических характеристик реактора и их функций чувствительности

Научно-теоретическую ценность представляют следующие результаты работы

• Применение интеграла Стилтьеса для решения дифференциальных уравнений

• Разработка квадратурных формул скользящего интегрирования (ФСИ)

• Применением ФСИ для решения интегральных уравнений больтерры

• Применение теории фильтров к разработке цифровых реактиметров

• Авторегрессионные модели кинетики и схемы экспериментов на их основе

Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем

• Предложенные в работе алгоритмы обеспечивают идентификацию всех параметров кинетики и адаптацию реактиметров в эксплуатационных условиях конкретного реактора Тем самым существенно упрощается проблема обоснования и проверки адекватности моделей кинетики, используемых в САУ ЯЭУ и в реактиметрах

• Разработанные на основе модели БСП алгоритмы упрощают численное моделирование кинетики ядерных реакторов, уменьшая размерность модели и снимая проблему жесткости Данные алгоритмы могут использоваться в различных задачах и программных комплексах моделирования динамики ЯЭУ

• Создан программный пакет «Точечная динамика», использующий технологию реляционных баз данных, что позволяет эффективно решать задачи организации вариантных расчетов, накопления результатов в обозримой форме, создания процедурных баз знаний, содержащих различные модели динамики ЯЭУ

• Продемонстрирован опыт организации и применения методов символьных вычислений для анализа моделей кинетики Создан ряд программ, позволяющих генерировать аналитические зависимости динамических характеристик ядерных реакторов и их функций чувствительности к константам запаздывающих нейтронов

• Созданы библиографические, полнотекстовые, фактографические и процедурные базы данных по вопросам разработки реактиметров и динамики ЯЭУ

• На протяжении ряда лет программы сопровождения реактивностных экспериментов, разработанные на основе модели БСП, эксплуатировались в составе измерительно-вычислительных комплексов Лаборатории нейтронно-физических исследований ГНЦ РФ-ФЭИ

На защиту выносятся:

• Модель кинетики в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах в дифференциальной и интегральной формах (модель БСП)

• Схемы реакторно-физических экспериментов на основе модели БСП

• Уравнения цифровых реактиметров на основе модели БСП Алгоритмы реализации реакти-метра как адаптивного цифрового фильтра

• Алгоритмы и программы численной реализации модели БСП

• Алгоритмы и программы символьных компьютерных вычислений для анализа динамики реактора на основе модели БСП

• Информационно-моделирующая система «Точечная динамика» как прототип систем моделирования динамики в среде реляционных баз данных

Личный вклад автора в получение результатов, изложенных в диссертации, состоит в выборе направлений исследований, разработке математических моделей, постановке и решении задач расчетно-экспериментального моделирования кинетики ядерных реакторов Все теоретические и алгоритмические концепции, а таюке схемы реакторно-физических экспериментов и пакеты программ, описанные в работе, разработаны автором Автор непосредственно участвовал в подготовке, проведении и обработке экспериментов, данные которых использованы для апробации предложенных в работе методик

Апробация работы

Физические, математические и алгоритмические аспекты модели БСП, вопросы постановки экспериментов и реализации реактиметров на ее основе обсуждались на отраслевых семинарах по проблемам расчета ядерных реакторов (Обнинск, 1999-2006), по динамике и диагностике ЯЭУ (Обнинск, 1994, 2001), на 2-м Международном семинаре по космической ядерной энергетике, на международных симпозиумах по оптимизации вычислений [18-21] По теме диссертации опубликовано 28 работ, в том числе 13 препринтов ГНЦ РФ-ФЭИ [1-13], 12 статей в отечественных и международных журналах и сборниках трудов [14-25], 2 обзора ЦНИИАтоминформа [26,27], 1 учебное пособие [28]

Достоверность полученных результатов подтверждается математическим анализом предлагаемых алгоритмов, сопоставлением с данными реактивностных экспериментов, сравнительными расчетами по программам численных и символьных вычислений

Объем и структура работы

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения с перечнем основных результатов работы и выводов, списка литературы из 212 наименований, изложена на 165 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков и 17 таблиц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлены актуальность, научная новизна, практическая значимость и защищаемые положения диссертации

В первой главе (Модель БСП и алгоритмы расчета кинетики реактора) выполнен вывод уравнений модели и рассмотрены их основные свойства С целью упрощения структуры модели точечной кинетики вводятся, следуя принципам теории подобия, безразмерные скорости изменения концентраций Cj в группах ядер-эмиттеров запаздывающих нейтронов

Sji0=i;iCj'

Уравнения кинетики с использованием переменных Sj принимают следующий вид

dt 1 dt

±n(t)=-jrjsJ Sj(t)+r(o «(o+ew dl j, i

Эту систему естественно назвать моделью точечной кинетики в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах, или, кратко, моделью БСП

Существенным приемом, ведущим к упрощению структуры и уменьшению количества параметров модели, является введение Л-шкалы реактивности

г = р/Л = УЛ-Ш

Размерность реактивности в л-шкале совпадает с размерностью обратного периода реактора Это удобно при сравнении постоянных времени различных процессов в реакторе и при рассмотрении зависимостей «период-реактивность»

Следующие свойства предложенной модели обеспечивают определенные вычислительные преимущества по сравнению с классической

1 Уравнение, описывающее динамику у-й группы запаздывающих нейтронов, содержит единственный параметр - постоянную распада Aj, явно зависит только от скорости изменения мощности реактора и в интегральной форме для случая стационарных начальных условий записывается как интеграл Стилтьеса, дающий непосредственно интервальную оценку решения

sj{t) = [e-^,")dn{T) ¿[е-^ыМмМ]

2 Стационарные начальные условия имеют вид n0 = const, Sj =0, т е не содержат дополнительных параметров, присутствующих в классической модели Поэтому ошибка в начальных условиях, обусловленная неадекватностью констант запаздывающих нейтронов, отсутствует, не распространись на последующие моменты времени

3 При стабилизации мощности переменные Sj стремятся к нулю

4 При стабилизации скорости изменения мощности, dn I dt v = const, переменные Sj стремятся к константе v

5 Интегралы от переменных состояния s, при переходе с одного стационарного уровня мощности, пI, на другой, п2, вычисляются точно

f's(T)ciT = (n2-n1)/-ly Отсюда, в частности, следует соотношение

"г 1-1 Л1

описывающее перевод реактора с одного стационарного уровня мощности, пь на другой, п2 и применимое к различным экспериментальным ситуациям - сброс A3, выстреливание/удаление источника, импульсное возбуждение и т д

V(0 n(t)

v(f) /7(0.

6(0 n('o).

Дальнейшее упрощение структуры и уменьшение размерности модели достигается путем преобразования к системе двух интегральных уравнений Вольтерры для мощности и скорости изменения мощности реактора

j'oKt-T){)dr г(<)

или к единственному интегральному уравнению для скорости изменения мощности v(0 = {И<) - Ш - r)]v(r)rfr + /у(0+Q(t)

Важно отметить возможность обобщения такого подхода и его применения к распределенному уравнению переноса нейтронов, которое в таком случае записывается для скорости изменения плотности потока в виде

— (i/(r, v,i) = v,r)rfr- £ |/г(г, v',t- r)y/(r, v',T)dv'dr + Q

В интегральных уравнениях единственным «параметром» запаздывающих нейтронов является ядро интеграла запаздывающих нейтронов (ИЗН) /,„ = jh(t - T)v(t)dr - переходная характеристика запаздывающих нейтронов (ПХЗН) h{t), допускающая идентификацию в эксплуатационных режимах реактора и не требующая экспоненциального представления с явным заданием числа групп и констант запаздывающих нейтронов Современная точность констант запаздывающих нейтронов обусловливает большую погрешность вычисления переходной характеристики в экспоненциальной форме

Kt-r) = ±SJ

7-1

Поэтому представляется целесообразным отказаться от традиционной схемы, когда в эксперименте набираются отсчеты переходной характеристики, затем по этим отсчетам находятся коэффициенты суммы экспонент, которая затем и используется в расчетах Каждый из этих этапов вносит специфические погрешности Их можно исключить, если использовать непосредственно массив замеров переходной характеристики, или его аппроксимации, более устойчивые к возможным погрешностям, чем экспоненциальная групповая модель

Из интегральных уравнений БСП следуют уравнение реактиметра

г (0 = «(0+-7Т JM'" г)й(

n{t)Jo я(/)

и уравнение мощности

л( I)

r)dn(T)-Q(t)

/[r(/)-a(f)]

которое решается итерационно на основе различных вариантов рекурсии [3]

г(/)-у{Г,я(Г))/и(0

Для эксплуатационных режимов реактора уравнение мощности сводится к выражению непосредственной связи «мощность-реактивность» в форме

n(0 = [joVi-0<Mr)]/r(0,

позволяющей градуировать органы регулирования в единицах относительного изменения мощности гк 6к = Д пк / па

Дискретизация интегральных уравнений модели БСП приводит к следующей общей расчетной схеме

'-Щ+Вкк у„,к = 1,2,3,

w, = л0, wk = л0 5t, v„ vt = dk / V, +rtv

/-i L /-i

где = 1 / (1 + Л* -rkBk t), hi = ht k = IА и квадратурные коэффициенты AkhBk, для уравнения мощности и интеграла запаздывающих нейтронов выбираются независимо

Построение резольвенты интегрального уравнения кинетики для характеристики накопления ошибок при пошаговом расчете значений vk дает критерий устойчивости счета в форме условия на величину вводимой реактивности

rt<{Akk/Bkk)^

Это соотношение подтверждает целесообразность использования различных квадратурных формул для уравнений скорости и мощности, поскольку допустимое значение реактивности определяется выбором квадратурных коэффициентов на правом конце интервала интегрирования Если, например, в уравнении мощности использовать интегрирование по формуле Симпсона, а в уравнении скорости - формулу трапеций, то получим расчетную схему вида

Т fc-i

Т( * 2 \ & —2>t,v,+iw» 5Т

с условием подавления ошибок rk < 1 2h0 Если использовать только формулу Симпсона, то расчетная схема принимает вид

w" ="° +n(15V| +1IV2 +12^V/ +13v*-'}

+ Uhk2v2 + U'£hklvl +13Ait_,vt.]j + rt)vi

v> =-^--—---L-, n =w +iLy ¿ = 4,5,6,

' (l + 5Г(А0 —rk)/\í) ' k 12 1

с условием подавления ошибок rk < h0 Если Bkk = 0, то rk <со, то есть, в случае открытых квадратурных формул, ограничения на вводимую реактивность нет Если такое ограничение отсутствует в силу физического содержания задачи, то квадратурные формулы могут выбираться, например, по критерию минимума числа операций Так, учет конечной памяти переходной характеристики ограничивает число слагаемых в приведенных формулах В случае экспоненциального представления переходной характеристики расчет ведется с постоянным количеством операций на шаге (если весовые коэффициенты не зависят от интервала интегрирования)

j

Qk-^Jei','sJk_í+rknk_, , k=l,2,3,

Sj^t = s]Jt_2 +-^±f1,'í-\nkA -nk_2), sj0= 0 "k-1

Выигрыш в точности в предложенных схемах дискретизации дифференциальных и интегральных уравнений модели БСП обеспечен тем, что, в отличие от традиционных алгоритмов, здесь исключена аппроксимация экспоненциальных множителей е~х''

Необходимость решения уравнений кинетики с гарантированной точностью делают целесообразной разработку схем интервального расчета мощности и реактивности Интегральные уравнения модели БСП позволяют это сделать путем применения теорем о среднем к интегралу запаздывающих нейтронов, что приводит к интервальной оценке l.m e[hkJI,,hk

Здесь интеграл I, = ['"' v( r)dr может аппроксимироваться различным образом В частности, метод трапе-

ций, то есть аппроксимация I, ~ Т(ум- у,) 12, дает следующую схему для интервального расчета скорости изменения мощности

" Л 1 * 1

(1 + Г(Ам.,-г4)/2) ' {l + T(.hkt-rt)/2)

. Vo =г,»1о + а, Vi

Границы вычисляются независимо, или же результаты очередного шага усредняются и используются как начальные условия для следующего шага В последнем случае интегралы I, можно заменить на полученные таким образом средние приращения мощности Ап/ Применительно к уравнению

и(Г) = [j* h(t - r)dn(r) - fi(0] / И<)" «(0],

полагая, что нижняя граница интервала определяется по уже найденным нижним оценкам, а верхняя - по верхним, получим (для эксплуатационных условий, когда а«г) следующие расчетные формулы для интервальной оценки мощности

к-\ 4-1

"ил=к К ~о«о. "л {к м - к ,)< - к

Оценку абсолютной погрешности определения мощности в точке tk получаем в виде

Лй('*) = У С*) - Я* С* )| = Ё (й*- К,) Д",

М'*)

Соответственно, оценка относительной погрешности

АС*) = |и' &) - и" М / л" ('*) = £ fo w - ^,)

IA, Ли

Из сопоставления формул следует, что последовательность вычислений здесь целесообразно начинать со слагаемых в числителе, затем найти оценку относительной погрешности и, наконец, оценку абсолютной погрешности В таком случае исключаются операции деления

Применение формул скользящего интегрирования позволяет использовать для решения интегральных уравнений БСП квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (Гаусса, Чебышева), требующие определенной кратности числа узлов Основная формула скользящего интегрирования [3]

5,' = I = тах(0,1 + 1 - л),тш(|,т - и),

определяет возможные оценки интеграла на г-м элементарном отрезке (, = о,т) по информации, относящейся к различным отрезкам интерполяции, охватывающим данный элементарный отрезок На 1-м отрезке интерполяции компоненты J~o,n вектора </,, равны интегралам

а1 = Г'""1 и» (/)<Л от интерполяционных базисных функций по г-му элементарному отрезку, эле"

менты матрицы IV, равны значениям базисных функций в узлах отрезка интерполяции, а компоненты вектора / - значениям интегрируемой функции в этих узлах Конкретные квадратурные формулы получаются путем усреднения по тому или иному сочетанию допустимых отрезков интерполяции

Пример тестовых расчетов слагаемых интегрального уравнения модели БСП приведен на рисунке 1 Подобные расчеты применялись, в частности, для моделирования экспериментальных методик, описанных в главе 5 В данном случае расчет выполнен с шагом 1с, что существенного превосходит типичную величину допустимого шага в традиционных алгоритмах решения дифференциальных уравнений кинетики

Материалы главы опубликованы в работах [1-3,6,15-17]

..о Л Й

гоо соо

Время, с_

Ход реактивности и мощности

Реактивность и скорость изменения мощности

1 ■>» 0 | 2.0 § о а § 1 -а о ё -"-о о 1-е.о О

0 ЮО 200 О «»О 250 Мощность, у.е. |

Интеграл запаздывающих нейтронов

О. АО

о.оа

о

С

1

О Г

/

О ЮО ООО 200 _ 600 Время, с

Обратный период

а. о о л 1.о 8 § о.а § | ».о <и ** о.ъ \

/

хьо ао° Мощность, у.с.

Зависимость «скорость-мощность»

Зависимость «реактивность-мощность»

Рисунок 1. Результаты тестового расчета слагаемых интегрального уравнения модели БСП по заданному ходу реактивности (шаг 1 секунда)

Во второй главе (Организация вычислительных экспериментов с моделями БСГГ) рассмотрен ряд вопросов, касающихся унификации и стандартизации программных комплексов для нейтронно-физических расчетов на основе современных технологий баз данных

• Создание интегрированных информационно-моделирующих систем (ИМС), объединяющих базы данных и процедурные (алгоритмические) базы знаний

• Совершенствование форматов библиотек констант

• Улучшение пользовательского интерфейса

• Упрощение процедур подготовки данных для вариантных расчетов

• Создание средств представления результатов вычислительных экспериментов в обозримом виде, пригодном без дополнительной обработки для включения в отчетные материалы, для дальнейшего инженерно-физического и конструкторского анализа

В работе эти задачи решены в процессе исследования модели БСП применительно к организации сравнительных вычислительных экспериментов с точечными моделями кинетики ядерного реактора, использующими различные системы констант запаздывающих нейтронов или различные алгоритмы решения Цель разработки состояла также в следующем

• Создание простого и эффективного инструмента быстрой реализации программ

• Разделение этапов ввода и обработки данных, исключение задачи форматирования входных и результирующих данных, проверка достоверности исходных данных вне обрабатывающих модулей, а в момент их диалогового ввода в таблицы

• Использование средств адресации данных «по имени» без контроля их фактического размещения во внешней или в оперативной памяти

• Выявление в задачах моделирования динамики систем стереотипных процедур и структур данных с целью их унификации, обеспечивающей настройку на любую предметную область

• Выявление и описание семантики проектируемых алгоритмов в процессе и путем их реализации в конкретной среде, т е исключение предварительного этапа разработки спецификаций и схем программ Обеспечение в единой среде параллельного использования восходящего и нисходящего проектирования программных комплексов

• Использование средств самомодификации программ для описания инвариантных структур алгоритмов путем задания отдельных фрагментов программ как параметров При сравнительном анализе алгоритмов некоторого класса (например, одношаговых интеграторов) это исключает влияние возможных различий при реализации алгоритмов в виде отдельных процедур

Созданная информационно-моделирующая система «Точечная динамика» основана на технологии реляционных баз данных и предназначена для сопровождения процедурных (алгоритмических) баз знаний, содержащих различные модели динамики ЯЭУ ИМС обеспечивает накопление и документированное хранение программ, организацию вариантных проектных расчетов, предоставляет пользователю средства накопления и визуализации результатов вычислительных экспериментов Это позволило существенно упростить решение практической задачи, поставленной при разработке ИМС, - сравнительный анализ алгоритмов моделирования динамики ЯР Созданный инструментарий снимает с разработчика очередной модели динамики задачу реализации базовых операций программирования, т е ввода-вывода данных, управления файлами, управления оперативной памятью, программирования графического вывода

Материалы главы опубликованы в работах [4-6,10,11,21-24,28]

В третьей главе {Анализ уравнений кинетики методом символьных вычислений) описаны программы генерации динамических характеристик реактора (передаточных матриц, коэффициентов характеристического полинома, матриц наблюдения-управления и т д ) в алгебраической символьной форме, что представляет интерес с различных точек зрения

• Повышение точности расчетов путем вычислений без округления

• Анализ распространения погрешностей при численном моделировании

• Параметрический анализ и определение коэффициентов чувствительности в аналитической форме

• Проверку эквивалентности моделей динамики различной размерности, их алгоритмического и аппаратурного воплощения Возможность перехода к моделям меньшей размерность путем выявления и отбрасывания пренебрежимо малых элементов, попадающих в пределы, обусловленные погрешностью исходных данных

• Явную алгебраическую связь динамических характеристик с первичными проектными переменными (в данном случае - с константами запаздывающих нейтронов)

• Автоматическую генерацию программ численного расчета динамических характеристик, их коэффициентов чувствительности и интервалов погрешности

В работе эти возможности реализованы в программах на языке символьных вычислений REDUCE на основе модели БСП, которая в силу малопараметрической структуры обеспечивает хорошую обозримость и возможность анализа получаемых результатов В работе получены алгебраические зависимости динамических характеристик реактора и их коэффициентов чувствительности от параметров запаздывающих нейтронов Это позволяет выполнить прямую проверку эквивалентности различных систем констант запаздывающих нейтронов (в том числе с нетрадиционным числом групп) путем сравнения параметров и коридоров погрешностей динамических характеристик Кроме того, символьные вычисления позволяют преодолеть известную проблему неконтролируемого накопления ошибок при численном определении динамических характеристик, требующем вычисления матричных степеней высокого порядка Материалы главы изложены в работах [7,10,13,18-23,27]

Вычисление характеристического полинома

В матричной записи модель БСП имеет вид

= A 3E + V Q, Й = (0, ,0,е + «0 S(t~ta))r

at

с факторизованной системной матрицей А = У Л, где, для случая трех групп ЗН,

"1 0 0 -1" -А, 0 0 0 " "1 0 0 г

0 1 0 -1 0 -Л2 0 0 0 1 0 1

У = , А = 0 ,D=V'=

0 0 1 -1 0 -л, 0 0 0 1 1

0 0 0 1 _ .¿3 «г à, г( 0. 0 0 0 1

С использованием матриц D и А характеристический полином для рассматриваемой задачи определяется как p(s) = Det (D*s - Л), где s - параметр преобразования Лапласа Это определение непосредственно воспроизводится в REDUCE-процедуре. Результаты расчета коэффициентов характеристического полинома в случае 6 групп запаздывающих нейтронов приведены в таблице 1

Рб_0 = (- 1Л • Ь2 • Ь3 • Ь4 • Ь5 • Ьб • Я),

Р6_1 = 1Л • Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ь5 • Ьб + Ы • Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ь5 • (Об - Я)+ Ы • Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ьб • (О 5 - Я) + Ы • 12 • ЬЗ • Ь5 • Ьб • (Э4 - Я) + Ь1 • Ь2 • Ь4 • Ь5 • Ьб • (ОЗ - Я) + Ь1 • ЬЗ • Ь4 • Ь5 • Ьб • (02 - Я) + Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ь5 • Ьб • (01 - Я) ,

Рб_2 = Ы • Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ь5 + Ь1 • Ь2 • ЬЗ • Ь4 • ф5 + 06 -Ю

+ Ы • Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ьб + Ь1 • Ь2 • ЬЗ • Ь5 • (04 + Об - Я) + Ь1 • Ь2 • ЬЗ • Ь5 • Ьб + Ь1 • Ь2 • ЬЗ • Ьб • (04 + 05 - Я) + Ы • Ь2 • Ь4 • Ь5 • Ьб + Ы • Ь2 • Ь4 • Ь5 • (03 + Об - Я) + Ы • ЬЗ • Ь4 • Ь5 • Ьб + Ь1 • Ь2 • Ь4 • Ьб • (ОЗ + 05 - Я) + Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ь5 • Ьб + Ь1 • Ь2 • Ь5 • Ьб • (03 + 04 - Я) + Ы • ЬЗ • Ы • Ь5 • (02 + Об - Я) + Ы • ЬЗ • Ь4 • Ьб • (02 + 05 - Я) + Ы • ЬЗ • Ь5 • Ьб • (02 + 04 - Я) + Ы •Ь4-Ь5'Ьб-(02 + 03-Я) + Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ь5 • (01 + Об - Я) + Ь2 • ЬЗ • Ь4 • Ьб • (01 + 05 - Я) + Ь2 • ЬЗ • Ь5 • Ьб • (01 + 04 - Я) + Ь2 • Ь4 • Ь5 • Ьб • + 03 - Я) + ЬЗ • Ь4 • Ь5 ■ Ьб • (01 + 02 - Я),

Рб_3 = Ы- Ь2 • ЬЗ • Ь4 + Ы • Ь2 • ЬЗ • (04+ 05 + Об - Я) + Ы' Ь2 • ЬЗ • Ь5 + Ь1 • Ь2 • Ь4 • (03+ 05 + Об - Я) + Ы- Ь2 • ЬЗ • Ьб + Ы • Ь2 • Ь5 • (03+ 04 + Об - Я) + Ы* Ь2 • Ь4 • Ь5 + Ы • Ь2 • Ьб • фЗ+ 04 + 05 - Я) + Ы* Ь2 • Ь4 • Ьб + Ы ■ ЬЗ • Ь4 ■ (02+ 05 + Об - Я) + Ы • Ь2 • Ь5 • Ьб + Ы • ЬЗ • Ь5 • (02+ 04 + Об - Я) + Ь1* ЬЗ • Ь4 • Ь5 + Ь1 • ЬЗ • Ьб • (02+ 04 + Б5 - Я) + Ы • ЬЗ • Ь4 • Ьб + Ы • Ь4 • Ь5 • (02+ ОЗ + Об - Я) + Ы- ЬЗ • Ь5 ■ Ьб + Ы • Ь4 • Ьб • (02+ ОЗ + 05 - Я) + Ы- Ь4 • Ь5 • Ьб + Ы • Ь5 • Ьб • (02+ 03 + 04 - Я) + Ь2' ЬЗ • Ь4 • Ь5 + Ь2 • ЬЗ • Ь4 • (01+ 05 + Об - Я) + Ь2> ЬЗ • Ь4 • Ьб + Ь2 • ЬЗ • Ь5 • ф1+ 04 + Об - Я) + Ь2- ЬЗ • Ь5 • Ьб + Ь2 • ЬЗ • Ьб • (01+ 04 + 05 - Я) + Ь2- Ь4 • Ь5 • Ьб + Ь2 • Ь4 • Ь5 • (01+ ОЗ + Об - Я) + ЬЗ' Ь4 • Ь5 ' Ьб + Ь2 • Ь4 • Ьб • (01+ ОЗ + 05 - Я) + Ь2 • Ь5 • Ьб • (01 + ОЗ + 04 - Я) + ЬЗ • Ь4 • Ь5 • (01 + 02 + Об - Я)

+ ЬЗ • Ь4 • Ьб • (01 + 02 + 05 - Я) + ЬЗ • Ь5 • Ьб • (01 + 02 + 04 - Я)

+ Ы • Ь5 • Ьб • (01 + 02 + ОЗ - Я),

Р6_4 = Ы • ( Ь2 • (ЬЗ + Ь4 + Ь5 + Ьб + ОЗ + 04 + Э5 + Об - Я) +

+ ЬЗ • ( Ь4 + Ь5 + Ьб + 02 + 04 + 05 + Об -Ю

+ Ь4 • ( Ь5 + Ьб + 02 + ОЗ + 05 + Об - Я) + Ь5 " ( Ьб + 02 + 03 + 04 + Об - Я) + Ьб • ( 02 + 03 + 04 + 05 - Я) ) + Ь2 • (ЬЗ • ( Ь4 + Ь5 + Ьб + 01 + 04 + 05 + Об-Я)

+ Ь4 • ( Ь5 + Ьб + 01 + 03 + 05 + Об - Я) + Ь5 • ( Ьб + 01 + ОЗ + 04 + Об - Я) + Ьб • ( 01 + 03 + 04 + 05 - Я)) + ЬЗ • (Ь4 • ( Ь5 + Ьб + 01 + 02 + 05 + Об -Я)

+ Ь5 • ( Ьб + 01 + 02 + 04 + Об - Я) + Ьб • ( 01 + 02 + 04 + 05 - Я)) + Ь4 • (Ь5 • ( Ьб + 01 + 02 + ОЗ + Об - Я) + Ьб • ( 01 + 02 + 03 + 05 - Я)) + Ь5 • Ьб • ( 01 + 02 + 03 + 04 - К),

Р6_5 =Ы'(Ь2+ Ь3 + Ь4 + Ь5 + Ьб) + Ь2 • ( ЬЗ + Ь4 + Ь5 + Ьб) + ЬЗ • ( Ь4 + Ь5 + Ьб) + Ь4 • ( Ь5 + Ьб) + Ь5 • ( Ьб)

+ Ы • (02 + ОЗ + 04 + 05 + Рб - Я) + Ь2 • (01 + 03 + 04 + 05 + Об - Я) + Ь3'(01 + 02 + 04 + 05 + Об - Я) + Ь4 • (01 + 02 + ОЗ + 05 + Об - Я) + Ь5 • (01 + 02 + ОЗ + 04 + Об - Я) + Ьб • (01' + 02 + 03 + 04 + 05 - Я),

Р6_6 = (Ы + Ь2 + ЬЗ + Ь4 + Ь5 + Ьб +01 + 02 + ОЗ + 04 + 05 + Об - Я ),

Располагая коэффициентами характеристического полинома можно перейти к модели кинетики с системной матрицей в форме Фробениуса При этом для численных расчетов кинетики и вычисления функций чувствительности коэффициентов полинома к константам запаздывающих нейтронов целесообразно преобразовать коэффициенты к виду

Р, = ахХ^~Р,(ЛУ+СД),

где множители А„Р„С, всегда положительны и не зависят от реактивности г и вероятности генерации б -УА Такое разбиение улучшает обозримость получаемых соотношений, в частности, позволяет установить полезное соотношение

ЗА, _ ¿С,

~ я-,'

которое исключает необходимость дифференцирования по параметрам Д при построении функций чувствительности В таком случае вариация коэффициентов полинома записывается в виде

д»=еу да др

АЛ.

1 VдХ. '

¿С,

Функции чувствительности находятся здесь в аналитической форме по данным таблицы 1 Затем вычисляются значения частных вариаций для конкретных констант запаздывающих нейтронов Это позволяет записать выражения для вариации и дисперсии коэффициентов характеристического полинома, содержащие в качестве параметров вероятность генерации и реактивность Пример такого расчета приведен в таблице 2 При численном решении уравнений кинетики в форме Фробениуса эти данные позволяют оценивать текущую погрешность обусловленную константами запаздывающих нейтронов

Таблица 2. Коэффициенты характеристического полинома уравнений кинетики

Р, = А.О - Р,г + С, Дисперсия

РО = - 0 43е"4г, 82 = 0 56е""'°112,

Р1 = 0 9еЧ} - 0 0055г + 0 43с"4, в2 = 0 23е_1102 + 0 86е " V + 0 56е "|0,

Р2 = 0 0008Ю - 0 18г + 0 0055, в2= 0 19е~7С2 + 0 00089г2 + 0 86е~6,

РЗ = 0 014в - 1 8г + 0 18, 82 = 0 51е~5С2 + 0 074г + 0 00089,

Р4 = 0 064в-5 4г+1 8, Б2 = 0 82е~402 + 0 49Г2 + 0 074,

Р5 = 0 Оббв - 4 6г + 5 4, 82=0 29е"402 + 0 11г2 + 0 49,

Р6 = 0 01580-г + 4 6, 82= 0 261е_6С2 + 011,

Генерация канонической формы Фробениуса

Канонические формы системных матриц используются как средство упрощения структуры уравнений динамики и как основа для формулировки алгоритмов идентификации Идентифицированные параметры канонической формы позволяют затем проверить адекватность связанных с ними проектных характеристик и априорных констант

Найденные выражения для коэффициентов характеристического полинома р, позволяют записать системную матрицу кинетики в канонической форме Фробениуса Преобразование к этой форме задается матрицей управляемости-наблюдаемости, составленной из степеней системной матрицы А*, к = \,3 Для выполнения численных расчетов матрицу преобразования не-

обходимо задать в явном виде Применительно к этой задаче основной результат работы состоит в разработке алгоритма, использующего технику нумерующих функций для поэлемешно1 о символьного вычисления матрицы преобразования с выводом результатов во внешний файл Это1 алгоритм решает также общую задачу символьного вычисления матричных функции, поскольку, как известно, любая функция квадратной матрицы выражается через степени матрицы и коэффициенты характеристического полинома Применительно к задачам динамики систем это представляет интерес в первую очередь для вычисления переходных характеристик, то есть матричных экспонент

Символьное вычисление передаточной матрицы реактора

Анализ передаточных функций реактора является классической задачей, которая всегда будет играть важную роль при разработке САУ ЯЭУ, моделировании нестационарных процессов, расчете аварийных ситуаций и т д Передаточную матрицу реактора, соответствующую модели БСП, можно вычислить по определяющему алгебраическому соотношению

\У=1/(.Г*г-А) = 0/(0 * г - А) Предоставляемая моделью БСП возможность факторизации системной матрицы А = V А увеличивает количество нулевых элементов в матрицах, что ведет к упрощению получаемых выражений Однако такая схема расчета, использующая только матричные операции языка [<Ы)И(Ъ, чревата выходом за пределы памяти ЭВМ уже при малых размерностях системы Поэтому для вычисления передаточной матрицы реализован символьный вариант алюритма Леверье-Фадцеева, который работает с меньшим объемом информации, последовательно генерируя представляющие самостоятельный интерес матричные и скалярные коэффициенты дробно-рационального представления передаточной матрицы Здесь также используется алгоршм поэлементного вычисления матричных степеней

В четвертой главе (Уравнения реактиметра на основе модели БСП) на оспоис интегральной модели БСП формулируются алгоритмы интервальной оценки реактивности и вычисления дисперсионных характеристик реактиметра Модель БСП в дискретнои форме имесл структуру уравнения авторегрессии, параметры которого могут идентифицировался извеины-ми методами Это приводит к уравнениям реактиметра, допускающим адаптацию в процессе эксплуатации, в том числе в реальном времени Полученные результаты применимы при реализации реактиметров аппаратурно или в среде виртуальных приборов Материалы главы опубликованы в работах [1-3,13,20,25,27]

Реактиметр как нерекурсивный фильтр

Вычисление интеграла запаздывающих нейтронов без использования экспоненциального представления ядра М< - г) приводит уравнение реактиметра к структуре нерекурсивного фиш.фа

1 4 О

гк =ак + — £(ЛЛ-/) V,--= 1,2 ,

Щ 1.о "к

которая конкретизируется в зависимости от выбора квадратурных коэффициентов Ак/ Так в случае Симпсон-схемы скользящего вычисления интеграла запаздывающих нейтронов с посю-янным шагом без ограничения на кратность числа узлов уравнение реактиметра имеет вид

Г1 + ТТ^о! + 7Х"-(''3^4-1 + + I + 15А4чу| + 4А,У0 | - —, к - 4,5,6, ,

\ \2 ) ^ 1=2 ) "а

или, после накопления отсчетов на интервале памяти переходной характеристики Л(/ - г), V 12 ; ^12 пк) пк ,=2 пк

Реактиметр как рекурсивный фильтр

Уравнение реактиметра описывает линейный фильтр с функцией v(t) на входе, с функцией g(t)=r(l)*n(t)+Q на выходе и передаточной функцией W(s) = 1 + H0(s), где #0(s) есть Лаплас-преобразование ядра h(t - т), то есть передаточная функция интеграла запаздывающих нейтронов. Первым слагаемым, то есть единицей, во многих случаях можно пренебречь, что соответствует кусочно-постоянной аппроксимации мощности. Допустимость такого приближения следует из сопоставления слагаемых в коэффициентах cpbj+ aj/A числителя дробно-рационального представления передаточной функции. Различные формы передаточной функции

НМ"

A s + Д .

-iiz

a,sJ /

определяют возможные алгоритмические и схемные решения реактиметра как рекурсивного фильтра, различающиеся количеством необходимых элементов и/или операций, характеристиками точности, качеством подавления шумов и возможностями идентификации.

Явные зависимости параметров передаточных функций и соответствующих коэффициентов чувствительности от констант запаздывающих нейтронов найдены с помощью программ символьных вычислений, в частности

Ы 4+2 3 ( ^ \

6* = ! х-х П^.да

I I

I

V =0-1+1

j-k+2

Пл 5Х

,-ш JJ

, k = 0,J —

Методом эквивалентной импульсной характеристики, который здесь реализуется путем подстановки вычислены коэффициенты цифровых передаточных функций и соответствующих разностных уравнений, дающих новые схемы численного моделирования кинетики и реализации цифрового реактиметра, в частности

Уk = Z^-y-i v*-/-ЦУ-'чУ*--,' v* = '

J.о J. I

Уравнение реактиметра в данном случае принимает вид

-Л +&•

При типичных значениях констант запаздывающих нейтронов передаточная функция интеграла запаздывающих нейтронов определяет фильтр инфраниз-ких частот с частотой среза, лежащей в интервале ~ [0.0006-0.0009] т ерц. Это приводит к тому, что в частотной области совпадение аналогового и цифрового вариантов имеет место при шаге дискретизации Т=1с. Для иллюстрации на рисунке 2 приведены логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) интеграла запаздывающих нейтронов при использовании констант Кинипа для случая деления тепловыми нейтронами.

Численный расчет коэффициентов передаточных функций на основе 6-групповых констант запаздывающих нейтронов показывает большую погрешность параметров аьЬк прямой структурной

Логарифм fpyrosofi

Рисунок 2. Цифровые и континуальные ЛАЧХ интеграла запаздывающих нейтронов

формы передаточной функции. Это означает практическую допустимость использования структурно упрощенных передаточных функций, сохраняющих точность реактиметра в достигнутых пределах. Форма частотных характеристик интеграла запаздывающих нейтронов указывает на их подобие характеристикам апериодического звена с коэффициентом усиления, равным эффективному времени жизни нейтронов, и постоянной времени г0, которая вычисляется по уравнению характерной точки фазочастотной характеристики апериодического звена: г0) =-я/4. Это дает способ перехода к малогрупповому представлению путем эквивалентирования моделей в частотной области.

Интервальная оценка реактивности

Оценка погрешности измерения реактивности является важной задачей метрологического обеспечения эксплуатации .ЯЭУ. Для характеристики адекватности отображения состояния ЯЭУ целесообразно предоставлять оператору интервальную оценку реактивности, учитывающую все возможные источники погрешности. Вычислительная погрешность характеризуется суммами

Дарбу-Стилтьеса для интеграла запаздывающих нейтронов:

к к

= Х^СмЭДи* I, \ А и, =и(/,+|)-«(/,),

ы\ /-]

так что .чк < и интервальная оценка реактивности имеет вид:

+ )!пк <гк <ак + п„.

Пример подобной оценки для основного слагаемого, - интеграла запаздывающих нейтронов, - показан па рисунке 3 для случая перевода реактора с одного уровня мощности на другой. Такое отображение процесса в координатах мощность-реактивность (см. также рисунок 1) на мониторе оператора ЯЭУ одновременно информирует как о точности оценки, гак и о тенденции изменения мощности и реактивности.

В работе рассмотрены также варианты пошагового вычисления интервальной оценки реактивности с постоянным числом операций на шаге. Рисунок 3. Интервальная оценка ИЗН

Уравнение баланса дисперсий для реактиметра

При метрологической характеристике фильтра обычно предполагается, что измерения входного сигнала выполняются без смещения, а ошибки измерений некоррелированы. В таком случае

I.

дисперсия оценки ИЗН равна ст2а„) = сгМ;(М)2.так что уравнение баланса дисперсий слагай-

/.о

мых уравнения реактиметра на к-м шаге есть гка2 + п2ка2 = сг^ + ^С^А,)5^ + где аги- дисперсия оценки скорости изменения мощности, а2с> - дисперсия оценки источника, а2„ и а2 - дисперсии оценок мощности и реактивности соответственно. Отсюда, пренебрегая дисперсией источника и оценивая дисперсию замеров скорости изменения мощности как а\ = 2а] / Тг, где Г-шаг-дискретизации, получаем выражение для дисперсии оценки реактивности на к-м шаге:

1 + £(М)2

Дисперсия зависит от текущего значения реактивности, что и обусловливает необходимость оценки погрешности в реальном времени.

В mi i oii главе (Алгоритмы реакторно-физического эксперимента) рассмотрены возможные схемы экспериментов на основе модели БСП для идентификации параметров кинетики Материалы главы опубликованы в работах [1,12,14,20,25,27]

В интегральной модели БСП, представленной уравнением

реакгор характеризуется только переходной характеристикой запаздывающих нейтронов h(i - г), которая, таким образом, и подлежит идентификации Реактивность r(t) и источник Q(t) при этом выступают как внешние факторы управления или возмущения В отношении этих величин так же может ставиться задача идентификации

В дискретной форме интегральное уравнение БСП принимает форму к

l-l

Отсюда следует рекуррентное соотношение для определения значений переходной характеристики hk по отсчетам скорости реактора после выхода из стационарного состояния

I Г H 1

ht=~- h,

Л*,0 v0 L l'I

Для применения этой формулы необходимо знать временную зависимость ft = rknk +Qk-vk, характер которой и определяет схему идентифицирующего эксперимента

Схема 1 При достаточном количестве зарегистрированных переходных процессов реактора возможна одновременная оценка ядра h(t - г) , градуировочной характеристики гк и источника Очередная тройка значений hk,rk,Qk определяется путем применения метода наименьших

к-1 _

квадратов к системе n'krk - Akov'ahk+Qk = \'к+к_, vj_() h„ i = i,n, где г-е уравнение содержит

/.I

замеры v'k,n'k г-ю переходного процесса Эта схема обобщает известный алгоритм Могильнера-Фокина-Чаики-Кузиецова определения подкритичности и интенсивности источника

Схема 2 Импульсное возмущение - выход из стационарного состояния обусловлен мгновенной вариацией реактивности или источника Такое возмущение харакгеризируется скорое 1Ыо реактора в начальный момент v0 s rt,na + Qa и оценивается экспериментально путем экстраполяции кривой скорости роста мощности реактора к моменту возмущения В таком случае идентифицирующая формула принимает вид ,

-1

К=-

к-1

, к = 12,

Схема 3 Оценка времени генерации Если обнаруживается, что найденные значения hk

j _л

чежат на кривой h{z)3, которая подобна зависимости = « ' , вычисляемой на основе

j=1

известных значений то это дает оценку времени генерации А = ^//(r'jdr/ j' h(j)3dr

Схема 4 Оценка вероятности генерации предшественников запаздывающих нейтронов \ - р,ф / Л получается путем экстраполяции последовательности отсчетов hk к h0 или на основе экспоненциального представления экспериментальной характеристики h(t - г)

Схема 5. Идентификация ПХЗН по переходному процессу в подкритическом реакторе.

Вначале идентифицируется функция F {г) = Ш)/гподкр по уравнению и(0 = £v(/ - r)F(r)dr Искомые значения ПХЗН определяются путем нормировки hk = rm,t.?Fk Подкритичность rllrAp оценивается по одной из схем, описанных ниже

Схема 6. Идентификация ПХЗН в экспериментах со стреляющим источником. Методика стреляющего источника была использована на критических стендах ФЭИ для решения ряда традиционных проектных задач, связанных с оценкой эффектов реактивности. В данной работе показано, что в рамках подобных экспериментов возможна также и оценка ПХЗН.

На рисунке 4 представлены выполнявшиеся с шагом в 1 секунду замеры мощности для грех «выстрелов» при различном начальном уровне мощности критсборки.

Уравнение идентификации переходной характеристики, записанное с использованием простейшей квадратурной формулы для вычисления интеграла запаздывающих нейтронов и при отсчетах мощности с шагом в 1 секунду, принимает вид

к = 1,2,..,

Рисунок 4. Замеры мощное i и

Обработка но этой формуле приведенных измерений дает оценки переходной характеристики запаздывающих нейтронов, представленные на рисунке 5. Такая оценка переходной характеристики может выполняться в реальном времени. Повторные замеры в идентичных условиях позволяют сгладить экспериментальную ПХЗН путем простого усреднения. Найденную переходную характеристику может непосредственно использоваться для численного моделирования кинетики реактора или в реактиметре, реализованном по схеме перекурсивного фильтра. Рисуно|. 5 ()цс11кп , ,

Схема 7. Интегрирование экспериментальной ПХЗН позволяет оценить величину параметрического комплекса!) - отношение эффективного времени жизни нейтронов и У ■-' ко

^ л,

Р jj | '

времени генерации, поскольку, согласно теоретической модели, J^

1,-Л.

л

Используя экспериментальное значение \ = fi. I Л, отсюда получаем оценку среднего времени

запаздывания Т3 =

J 0

как Т., - Dx

1

Рэф /П "J

Ж

, которая позволяет проверить адекватное и, ис-

пользуемых «табличных» констант 0,,ЯГ Затем оцениваем время генерации Л = Втю111>„ „.

Схема 8. Идентификация ПХЗН на критическом реакторе с источником. Возможность идентификации ПХЗН на критическом реакторе представляет интерес, поскольку в процессе эксперимента состав и геометрия реактора не изменяются. При этом асимптотические значения скорости роста мощности позволяют оценить интенсивность источника у((1н> I 0) -О и отношение р/(1+В)=у(1—>оо). Из модели БСП следует экспоненциальная зависимость обратной

скорости роста мощности: f(t) - а0 +

I

"Л;/

где теоретические значения коэффициентов раи-

ны а0=(1 +D)/Q, aj=S/(Q*Xj) и идентифицируются известными методами. ПХЗН определяйся здесь путем дифференцирования обратной скорости роста мощности: h{t) - v(l —

dl

Идентификация параметрических комплексов

На основе уравнения перевода реактора с одного стационарного уровня мощности, пь на другой, 11;

1 гТ М 8

«2 "1 ].!

которое следует из модели БСП, сформулирован ряд методик для оценки параметрических комплексов В, В / Л, В / (Л0) Такие оценки и их сопоставление позволяют проверить адекватность используемых в модели констант запаздывающих нейтронов и времени генерации

Схема 9. Критический реактор с источником постоянной интенсивности. Если источник действовал в течение времени Ти Дк- установившееся приращение мощности, то экспериментально может быть определен комплекс =~Т ^осколькУ ИСТОЧ11ИК может быть оценен независимо как скорость реактора уа, найденная экстраполяцией к моменту включения

не I очника, го получаем экспериментальную оценку комплекса ( —] Если полагать

\В)Ж„ Т у0

пригодными для вычисления значения ВтаГт, табличные константы запаздывающих нейтронов,

А« „

то из последнего соотношения следует оценка времени генерации А =——В . которую

можно сопоставить с расчетной оценкой или с оценками, полученными по другим экспериментальным методикам В частности, должно иметь место совпадение с оценкой по схемам 3 и 7 В противном случае предположение об адекватности табличных констант не верно

Схема 10. Еще одну возможность оценки интенсивности источника 0 и константы В дает предварительная идентификация коэффициентов ав, а, в экспоненциальном разложении обрати Оэ=()э а0 -1 При этом име-

ной скорости роста мощности В таком случае £>э = 1/ я0

е1ся возможность проверить результаты обработки, сравнивая полученные значения Пэ, £?э с соответствующими асимптотическими характеристиками кривой обратной скорости роста мощности, укамшшми в схеме 8 Оценка времени генерации нейтронов на основе «табличных» и эксперимент агтьныч величин здесь выглядит следующим образом ^ 1 / л = ~(Л1 / )

Схема 11. Мгновенное импульсное возмущение критического реактора. Для импульсного возмущения критического реактора интеграл управления численно совпадает с экспериментально оцениваемой начальной скоростью реактора у0и после импульсного возмущения, так ч го (Л / Я) = Л„ / у0и, где Д„ - установившееся приращение мощности реактора после импульса

Схема 12. Подкритический реактор. В данном случае уравнение перевода с одного стационарного уровня мощности на другой описывает методики стреляющего или удаляемого источника выражая реактивность подкритического реактора с источником в виде

С другой стороны, непосредственно из уравнений кинетики следует, что величина подкритично-сти в Л-шкале здесь равна г = -0/ ист (лст - стационарный уровень мощности в подкритическом реакторе) Из условия равенства этих выражений получаем соотношение для экспериментальной оценки комплекса

е ) _

0 + \;,кс„

[[«м+ем^г

/

Пренебрегая единицей, для случая мгновенно удаляемого источника получаем:

(f)

J э ксп II

Как и в описанных выше схемах экспериментов, источник может быть оценен независимо по начальной скорости изменения мощности после выстрела. Поэтому

'Л]

В J ЖС„ Vq ln

Далее, полагая пригодными для вычисления значения В табличные константы запаздывающих нейтронов, получаем выражение для оценки времени генерации

л - "" R

Лэ«с» - -ГА,,«*!.-

V»

Оценка подкритичности по зависимости «скорость-мощност ь» и асимптотическому среднему периоду

Интегральное уравнение модели БСП позволяет заметить, что зависимость скорости реактора от мощности описывается линейно на начальном участке после выстрела, где вклад интеграла запаздывающих нейтронов мал:

v(f) = dn / dl = r-n{t).

Соответствующий пример показан на рисунке 6 (см. также модельный расчет на рисунке 1). Оценка скорости выполнена по замерам мощности, приведенным на рисунке 4.

Рисунок 6. Скорость изменения мощности Рисунок 7. Средний период после выстрела в зависимости от мощности Такая зависимость позволяет оценить подкритичность реактора по наклону dw/dn прямых на графиках «скорость-мощность». Так, применительно к данным рисунка 6 можно утверждать что в пределах точности графического представления все три замера выполнены при одном значении подкритичности, равном, в принятой здесь Л-шкале, -0.75с"1.

Еще один способ оценки подкритичности в эксперименте со стреляющим источником состоит в определении обратного периода a(t) = v(t) / n{t) = г непосредственно после выстрела. Практически такую оценку удобно находить как предельное (при t -> +f0) значение среднего обратного периода, определяемого после выстрела на интервале [/„,/] по формулам â(t) = [1 -п0/ л«)] /[/ -/„]«(/) = [¿«(40)- [' "'о]-

Результат такой обработки показан па рисунке 7 в виде зависимости для среднего периода p(t) = l/a(t), которая в данном случае более удобна для анализа, чем зависимость â(t). Оценка предельного значения периода соответствует найденной выше оценке подкритичности -0.75с .

Шумовая идентификация переходной характеристики запаздывающих нейтронов

Дискретизация интегрального уравнения модели БСП для подкритического или критического состояний реактора приводит к авторегрессионному уравнению для замеров мощности

т /=о

исключающему необходимость применения в процедурах идентификации специальных возмущающих сигналов. Это расширяет в определенной степени традиционные подходы к шумовой идентификации и диагностике ЯЭУ.

Оценка коэффициентов с/ выполнялась методом Юла-Уолкера, а структурная идентификация, то есть определение порядка модели, - на основе минимизации результирующей ошибки ! предсказания значений пк. Целесообразно также применять эвристическую селекцию моделей, учитывающую физическое содержание:

- коэффициенты модели должны быть положительными и уменьшаться с ростом индекса коэффициента согласно их теоретическому выражению

J

м

где О]— доли г рупп запаздывающих нейтронов,.]- число групп.

при увеличении порядка модели ранее определенные коэффициенты должны сохраняться; |

- максимальный порядок модели т, то есть длительность учитываемой предыстории, должен удовлетворять неравенству тТ<30с, что соответствует времени спада импульсной переход- ' пой характеристики (производной переходной характеристики запаздывающих нейтронов); исходя из достигнутой точности констант запаздывающих нейтронов, можно считать, что различие менее 10% в соответствующих коэффициентах моделей различного порядка, является несущественным, то есть в оценках достаточно сохранять две значащие цифры;

- коэффициенты должны попадать в коридор погрешностей расчета производных ПХЗН для известных систем констант запаздывающих нейтронов.

Степень реализации этих требований иллюстрируется на рисунках 8,9. На рисунке 8 показано поведение первых шести коэффициентов модели в зависимости от порядка модели. Рисунок 9 показывает практическую стабилизацию коэффициентов при достижении определенного порядка модели.

Реализация № 257 Реализация № 261

Рисунок 8. Поведение коэффициентов авторегрессии в зависимости от порядка модели

Рисунок 9. Поведение коэффициентов авторегрессии в зависимости от номера коэффициента

После идентификации параметров с, для оценки параметров кинетики можно вычислить спектральную плотность мощности (СПМ), которая, с учетом структуры авторегрессионной модели, записывается в виде

1+|>

1-1 ы

-имяуа

2 ^ л

-7 Щк)! пУ ' Я + ко

В авторегрессионных моделях СПМ определяется с высоким разрешением, что может быть полезно для решения задач диагностики. На рисунке 10 показано поведение СПМ при увеличении порядка модели. СПМ воспроизводится для различных реализаций и стабилизируется при приближении порядка модели к 30, что в данном случае (замеры с шагом 1с) соответствует времени спада производной переходной характеристики запаздывающих нейтронов.

Порядок модели

28

Реализация № 257

:±М

№

Реализация № 261

_________________ . _

.....

Рисунок 10. Поведение спектральной плотности при увеличении порядка модели

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Предложена модель точечной нейтронной кинетики реактора, исключающая априорные параметры из начальных стационарных условий, обеспечивающая точное вычисление функций Грина для процессов на запаздывающих нейтронах, исключающая необходимость конечно-разное гной аппроксимации производных и снимающая проблему жесткости модели Исследованы магематические и алгоритмические свойства модели Показана предпочтительность интегральных уравнений кинетики для численной реализации, разработки реактиметров и формулировки экспериментальных методик

2 Предложена А-шкала реактивности, позволяющая упростить структуру уравнений кинетики и дающая основу для экспериментальной оценки эффектов реактивности без использования априорных и расчетных параметров

3 Показана возможность негруппового описания процессов на запаздывающих нейтронах на основе непосредственного использования переходной характеристики запаздывающих нейтронов в численных алгоритмах и цифровых реактиметрах

4 Па основе предложенной модели сформулирован ряд нетрадиционных схем реализации реак-тимегров, обеспечивающих адаптацию реактиметра, то есть идентификацию всех параметров кинетики, закладываемых в конструкцию реактиметра, в эксплуатационных режимах Показана возможность применение теории фильтров к разработке цифровых реактиметров Получено уравнение баланса дисперсий для реактиметра С использованием известных систем констант выполнен расчет параметров различных структурных представлений передаточных функции реактиметра Предпочтительной представляется реализация реактиметра по схеме нерекурсивного фильтра, непосредственно использующей расчетные или экспериментальные значения переходной характеристики запаздывающих нейтронов

5 Предложенная модель кинетики позволяет применить ряд новых схем экспериментов для идентификации переходной характеристики запаздывающих нейтронов и оценки параметрических комплексов без привлечения априорных параметров, что позволяет более адекватно оценивать динамические характеристики ядерного реактора

6 Создан программный пакет «Точечная динамика», использующий технологию реляционных баз данных, что позволяет эффективно решать как задачу организации вариантных расчетов и накопления результатов, так и задачу создания процедурных баз знаний для сопровождения и сравнительно! о анализа различных моделей динамики ЯЭУ и численных алгоритмов

7 Разработан пакет программ на языке REDUCE для символьного расчета динамических характеристик реактора и их функций чувствительности к константам запаздывающих нейтронов На основе найденных аналитических соотношений выполнены численные оценки коэффициентов чувствительности передаточных функций реактора Полученные результаты показывают, что при современной точности констант запаздывающих нейтронов целесообразно их иегрупповое описание и непосредственная идентификации передаточных функций

8 Разработаны алгоритмы численного решения дифференциальных и интегральных уравнений модели с привлечением интеграла Стилтьеса для интервальной оценки мощности и реактивности

9 Разработаны алгоритмы скользящего интегрирования, не требующие определенной кратности числа узлов и поэтому позволяющие применить для решения интегральных уравнений кинетики квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Юферов А Г Уравнения точечной кинетики ядерного реактора для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах Препринт ФЭИ-2385 - Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 1994 - 36 с

Юферов А Г О численной реализации модели точечной динамики для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих Препринт ФЭИ-2905 - Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2002 -32 с

Юферов А Г О численном решении интегральных уравнений точечной нейтронной динамики ядерного реактора Препринт ФЭИ-2977 -Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2003 -36 с Юферов А Г / 60%, Овчаренко М К , Бологое П М Теория возмущений первого порядка в задаче организации вариантных нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов Препринт ФЭИ-2850 - Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2000 - 36 с

Юферов А Г / 60%, Марин С Н, Макаренков Ю Д„ Кашкаров А В Фортран-программы диалогового ввода данных в ЭВМ Препринт ФЭИ-2121 -Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 1990 -27 с

Юферов, А Г. Организация вычислительных экспериментов с моделями точечной кинетики ядерного реактора Препринт ФЭИ-2990 - Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2003 - 36с Юферов, А Г Анализ уравнений точечной динамики ядерного реактора методом символьных вычислений Препринт ФЭИ-2780 - Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 1999 -36с Юферов А Г О структуре функции Грина необратимого оператора Препринт ФЭИ-1637 -Обнинск ФЭИ, 1984 -24с

Юферов А Г Метод сопряженных функций для задач с неоднородными краевыми условиями Препринт ФЭИ-1689 -Обнинск ФЭИ, 1985 -27 с

Юферов А Г Применение нумераторов Препринт ФЭИ-1073 -Обнинск ФЭИ, 1980 -16 с

Юферов А Г / 50%, Кашкаров А В , Павлов К А Информационно-моделирующая система для поддержки принятия решений в области космической ядерной энергетики Препринт ФЭИ-2504 -Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 1996 -28 с

Юферов А Г Анализ методики оценки параметров точечной кинетики в режиме линейного роста мощности Препринт ФЭИ-2916 -Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2001 - 16 с Юферов А Г Расчет дробно-рациональной передаточной функции реактиметра Препринт ФЭИ-3091 -Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2006 - 35 с ,

О схемах реакторно-физического эксперимента на основе уравнений для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах / Юферов А Г / Избранные труды ФЭИ-2000 -Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2001 -С 53-57

О параметризации прямых алгоритмов решения СЛАУ / Юферов А Г / Труды международной конференции «Вопросы оптимизации вычислений», 5-8 сент 1997г - Киев Ин-т кибернетики им В М Глушкова, 1997 - С 336-339

О применении интеграла Стилтьеса к решению дифференциальных уравнении / Юферов А Г / Сб науч тр «Теория вычислений» - Киев Ин-т кибернетики им В М Глушкова, 1999 - С 383-385

О вычислении матричной экспоненты методом структурных векторов / Юферов А Г. / Сб науч тр «Теория вычислений» - Киев Ин-т кибернетики им ВМ Глушкова, 1999 - С 379-382

О применении нумерующих функций в алгоритмах БПФ / Юферов А Г / Сб науч тр «Компьютерная математика Оптимизация вычислений» - Киев Ин-т кибернетики им В М Глушкова, 2001 -Том 1, с 417-420

Символьный анализ уравнений точечной динамики ядерного реактора / Юферов А Г / Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов сб тр се-

мипара «Нейтроника-2000» [Электронный ресурс] / ГНЦ РФ-ФЭИ -Обнинск, 2001 - С 240-248 - Режим доступа http //www neutromca ru

20 Юферов А Г / 70%, Ибрагимов Р JI Реактиметр как адаптивный цифровой фильтр // Атомная энергия - 2005 - Т 98 - Вып 4 - С 253-260

21 Применение теории возмущений для организации вариантных нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов / Юферов А Г /60%, Овчаренко М К , Болотов П М / Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов сб тр семинара «Нейтроника-2000» [Электронный ресурс] / ГНЦ РФ-ФЭИ - Обнинск, 2001 -С 245-247 Режим доступа http //www neutromca ru

22 Юферов А Г О построении нумерующих функционалов на комбинаторных множествах // Кибернетика - 1980 -N5 -С 28-32

23 Об алгоритмизации комбинаторных множеств / Юферов А Г / Сб науч тр «Компьютерная математика Оптимизация вычислений» - Киев Ин—т кибернетики им В М Глушко-ва, 2001 -Том 2, с 447-455

24 Разработка информационных систем для задач планирования и принятия решений в области космической ядерной энергетики / Юферов А Г / 60%, Павлов К А, Зацерковный СП/ Избранные труды ФЭИ-1997 - Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 1999 - с 135-141

25 Юферов А Г К задаче идентификации интегральных уравнений кинетики // Ядерная энергетика - 2005 - № 4 - С 25-33

26 Юферов А Г Библиография по разработкам реактиметров и методам измерения реактивности в ФЭИ Обзор ФЭИ-0295 - М ЦНИИАтоминформ, 2003. - 38 с

27 Юферов А Г Динамические характеристики реактиметров Часть 1 Дробно-рациональные передаточные функции Обзор ФЭИ-0303 - М ЦНИИАтоминформ, 2007 - 40 с

28 Юферов А Г Разработка информационно-моделирующих систем Часть 1 Принципы функциональной организации информационно-моделирующих систем • Учебное пособие -Обнинск ГНЦ РФ-ФЭИ, 2005 -80 с

Список сокращений

БСП - безразмерные скорости процессов

ИЗН интеграл запаздывающих нейтронов

ИМС - информационно-моделирующая система

ЛАЧХ - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

ПХЗН - переходная характеристика запаздывающих нейтронов

САУ - система автоматического управления

СПМ - спектральная плотность мощности

ФСИ - формулы скользящего интегрирования

Подписано к печати 13 07 2007 г Формат 60x84 1/16 Уел п л 0,8 Уч -изд л 2,3. Тираж 50 экз Заказ № 125

Отпечатано в ОНТИ методом прямого репродуцирования с оригинала автора 249033, Обнинск Калужской обл , ФЭИ

Введение.

Глава 1. Модель БСП и алгоритмы расчета кинетики реактора.

1.1. Вывод и основные свойства модели.

1.1.1. Интегральная форма модели БСП.

1.1.2. Сопоставление с классическими моделями.

1.2. Численная реализация модели БСП на основе интеграла Стилтьеса.

1.3. Дискретизация интегральных уравнений модели БСП.

1.4. Резольвента и оценка погрешностей.

1.5. Квадратурные формулы скользящего интегрирования.

1.6. Численная схема с учетом вырожденности ядра.

1.7. Численная схема с учетом конечной памяти ПХЗН.

1.8.0 зависимостях «мощность-реактивность» и «период-реактивность».

1.9. Интервальная оценка мощности.

1.10. Распределенная модель БСП.

Выводы.

Глава 2. Организация вычислительных экспериментов с моделями БСП.

2.1. Принципы построения информационно-моделирующей системы.

2.2. Схема базы данных.

2.3. Унифицированная процедура расчета процессов.

2.4. Унификация модулей интегрирования.

2.5. Унификация процедур расчета функций шага.

2.6. Процедурная база знаний.

2.6.1. Процедуры интегро-дифференциальной модели БСП.

2.6.2. Процедуры интегральной модели БСП.

2.6.3. Распределенная модельТРП.

2.7. Библиотека стандартных процедур.

Выводы.

Глава 3. Анализ уравнений кинетики методом символьных вычислений.

3.1. Вычисление характеристического полинома.

3.2. Чувствительность характеристического полинома.

3.3. Генерация канонической формы Фробениуса.

3.4. Символьное вычисление передаточной матрицы реактора.

Выводы.

Глава 4. Уравнения реактиметра на основе модели БСП.

4.1. Интегральное уравнение реактиметра.

4.2. Реактиметр как фильтр.

4.3. Прямая структурная форма реактиметра.

4.4. Характеристики эквивалентного апериодического звена.

4.5. Каскадная структурная форма реактиметра.

4.6. Интервальная оценка реактивности.

4.6.1. Уравнение баланса дисперсий для реактиметра.

4.6.2. Интервальная оценка методом интегральных сумм.

Выводы.

Глава 5. Алгоритмы реакторно-физического эксперимента.

5.1.0 возможных постановках экспериментов.

5.2. Схемы идентификации ПХЗН.

5.3. Идентификация ПХЗН методом стреляющего источника.

5.4. Идентификация ПХЗН на критическом реакторе.

5.5. Идентификация параметрических комплексов.

5.6. Оценка подкритичности по зависимости «скорость-мощность».

5.7. Оценка подкритичности по асимптотическому среднему периоду.

5.8. Шумовая идентификация ПХЗН.

Выводы.

Актуальность проблемы

Оценка динамических характеристик ядерных реакторов на основе сравнительных расчетных и экспериментальных исследований эффектов реактивности является основным средством обоснования ядерной безопасности и управляемости реакторных систем [1-9]. Такая роль реактивносгных экспериментов сохраняется и для электроядерных [10], и для реакторно-лазерных систем [11], и для различных специальных экспериментальных установок [12]. Поэтому совершенствование реактор-но-физических (реактивносгных) экспериментов в плане повышения точности, адекватности и оперативности всегда будет актуальным предметом исследования в физике реакторов и ядерной энергетике.

В качестве современных актуальных направлений и целей совершенствования реакторно-физического эксперимента можно указать следующие:

- идентификация всех параметров модели в рамках одной методики, в том числе в эксплуатационных режимах ЯЭУ;

- уменьшение количества или полное исключение априорно задаваемых параметров, используемых при задании начальных условий, обработке экспериментов или закладываемых в конструкцию реактиметров;

- сочетание расчетных соотношений из различных методик для уменьшения количества неидентифицируемых (априорных или «табличных») параметров;

- приведение моделей динамики к формам, содержащим экспериментально определяемые параметрические комплексы, оценки которых могут использоваться для проверки адекватности значений исходных параметров;

- привлечение новых алгоритмов из различных разделов теории идентификации к задачам реакторно-физического эксперимента (см., например, [8]);

- использование принципов теории подобия для упрощения структуры моделей;

- формулировка экспериментальных схем в форме, допускающей привлечение методов планирования эксперимента и новых статистических методик;

- немаловажной остается задача модификации моделей с целью уменьшения количества операций в программах сопровождения САУ ЯЭУ и реакторных экспериментов в реальном времени.

Перечисленные вопросы естественно сочетаются с задачами совершенствования вычислительного эксперимента, т.е. алгоритмов и расчетных моделей динамики реакторов. К таким задачам относятся, в частности:

- оптимизация структуры модели и организации данных для упрощения алгоритмов, уменьшения числа операций и повышения точности как в вычислительных, так и в измерительных комплексах [3-18];

- внедрение методов интервального анализа для выполнения расчетов с гарантированной точностью;

- привлечение математической теории планирования экспериментов к организации вариантных расчетов [15,16];

- параметризация вычислительных алгоритмов как средство их сравнительного анализа, оптимизации и унификации [19-22];

- анализ чувствительности моделей к возмущениям параметров и начальных условий [15,23-25];

- привлечение программ символьных вычислений для получения «точных» алгебраических представлений характеристик ЯЭУ и коэффициентов чувствительности [25-27].

Перечисленные возможности совершенствования физических и вычислительных экспериментов требуют соответствующей модификации классических моделей, лежащих в основе экспериментальных и расчетных методик. В данной работе эти возможности рассмотрены применительно к дифференциальным и интегральным формам модели точечной нейтронной кинетики ядерного реактора, записанной в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах [27-36] (модель БСП), которая была использована в Физико-энергетическом институте при создании информационно-вычислительного комплекса Лаборатории нейтронно-физических исследований (АСНИ ЛНФИ), в частности, для стенда Т-2, - прототипа реактора "Топаз". Уравнения модели БСП можно рассматривать как результат применения принципов теории подобия к уравнениям точечной кинетики реактора, как следствие некоторой формальной замены переменных или же получить эти уравнения, исходя из физических представлений [28].

Цели работы

• Разработка модели кинетики реактора в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах. Исследование математических и алгоритмических свойств модели.

• Разработка алгоритмов идентификации для реакторно-физических экспериментов на основе модели БСП, позволяющих оценивать все параметры кинетики и выполнять адаптацию реактиметров в эксплуатационных режимах ЯЭУ.

• Разработка и анализ возможных схем реактиметров на основе модели БСП.

• Алгоритмическая и программная реализация модели БСП для моделирования кинетики реактора методами численных и символьных вычислений.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

• Предложена модель кинетики ядерного реактора, исключающая априорные параметры из начальных стационарных условий, обеспечивающая точное вычисление функций Грина для процессов на запаздывающих нейтронах, исключающая необходимость конечно-разностной аппроксимации производных и снимающая проблему жесткости модели.

• Сформулирован ряд новых методик реактивностных экспериментов без привлечения априорных параметров, что позволяет более адекватно оценивать динамические характеристики ядерных реакторов.

• Предложен ряд нетрадиционных схем реализации реактиметров, обеспечивающих адаптацию реактиметра, то есть идентификацию всех параметров кинетики, закладываемых в конструкцию реактиметра, в эксплуатационных режимах.

• Предложены алгоритмы численного решения уравнений модели с привлечением интеграла Стилтьеса для интервальной оценки мощности и реактивности.

• Предложены алгоритмы скользящего интегрирования, позволяющие применить для решения интегральных уравнений кинетики квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности без ограничения кратность числа узлов.

• Разработан пакет программ на языке REDUCE для символьного расчета динамических характеристик реактора и их функций чувствительности.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем. Предложенные в работе алгоритмы обеспечивают идентификацию всех параметров кинетики и адаптацию реактиметров в эксплуатационных условиях конкретного реактора. Тем самым упрощается проблема обоснования и проверки адекватности моделей кинетики, используемых в САУ ЯЭУ и в реактиметрах. Разработанные на основе модели БСП алгоритмы упрощают численное моделирование кинетики ядерных реакторов, уменьшая размерность модели и снимая проблему жесткости. Данные алгоритмы могут использоваться в различных задачах и программных комплексах моделирования динамики ЯЭУ. Создан программный пакет «Точечная динамика», использующий технологию реляционных баз данных, что позволяет эффективно решать задачи организации вариантных расчетов, накопления результатов в обозримой форме, создания процедурных баз знаний, содержащих различные модели динамики ЯЭУ. Продемонстрированы организация и применение методов символьных вычислений для анализа моделей кинетики. Создан ряд программ, позволяющих генерировать аналитические зависимости динамических характеристик ядерных реакторов и их функций чувствительности к константам запаздывающих нейтронов. Созданы библиографические, полнотекстовые, фактографические и процедурные базы данных по вопросам разработки реактиметров и динамики ЯЭУ. На протяжении ряда лет программы сопровождения реактивностных экспериментов, разработанные на основе модели БСП, эксплуатировались в составе измерительно-вычислительных комплексов Лаборатории нейтронно-физических исследований.

Научно-теоретическую ценность представляют следующие результаты работы: Применение интеграла Стилтьеса для решения дифференциальных уравнений. Разработка квадратурных формул скользящего интегрирования. Применением формул скользящего интегрирования для решения интегральных уравнений Вольтерры.

Применение нумерующих функций для описания различных вычислительных алгоритмов и для организации данных, в том числе в символьных вычислениях. Применение теории фильтров к разработке цифровых реактиметров. Авторегрессионные модели кинетики и схемы экспериментов на их основе.

На защиту выносятся:

• Модель кинетики в терминах безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах в дифференциальной и интегральной формах (модель БСП).

• Схемы реакторно-физических экспериментов на основе модели БСП.

• Уравнения цифровых реактиметров на основе модели БСП. Алгоритмы реализации реактиметра как адаптивного цифрового фильтра.

• Алгоритмы и программы численной реализации модели БСП.

• Алгоритмы и программы символьных компьютерных вычислений для анализа динамики реактора на основе модели БСП.

• Информационно-моделирующая система «Точечная динамика» как прототип систем моделирования динамики в среде реляционных баз данных.

Личный вклад автора.

Все теоретические и алгоритмические концепции, а также схемы реакторно-физических экспериментов и пакеты программ, описанные в работе, разработаны автором. В ряде разработок участвовали коллеги, указанные в качестве соавторов в списке публикаций. В организации, проведении и обработке экспериментов на стендах ЛНФИ, упомянутых в работе, автор принимал участие в составе большого коллектива Лаборатории нейтронно-физических исследований. Публикации

По теме диссертации опубликовано 39 работ, в том числе 13 препринтов, 2 обзора ЦНИИАтоминформа, 1 учебное пособие, 2 статьи в сборниках "Избранные труды ФЭИ", статья в журнале "Атомная энергия", статья в журнале «Известия ВУЗов. Ядерная энергетика», статья в журнале «Кибернетика», 3 статьи в Трудах Международного симпозиума «Компьютерная математика. Оптимизация вычислений», 2 статьи в Трудах института кибернетики им. В.М.Глушкова, 3 доклада опубликовано в сборниках трудов отраслевого семинара «Нейтроника - 20002006». Кроме того, тезисы 10 докладов опубликованы в материалах отраслевых семинаров "Методы и технические средства диагностирования ЯЭУ-1994,2001", 2-го Международного семинара по космической ядерной энергетике (ФЭИ, 1999), межотраслевого семинара «Роль систем преобразования энергии» (ВИКУ, 2000).

Апробация работы.

Физические и математические аспекты модели БСП, вопросы постановки экспериментов и реализации реактиметров на ее основе обсуждались на отраслевых семинарах по динамике, диагностике и расчету ЯР [23-25,29-33], на 2-м Международном семинаре по космической ядерной энергетике [34] и на международных симпозиумах по оптимизации вычислений [19-22]. Достоверность полученных результатов подтверждается математическим анализом предлагаемых алгоритмов, сопоставлением с данными реактивностных экспериментов, сравнительными расчетами по программам численных и символьных вычислений.

Объем и структура работы

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения с перечнем основных результатов работы и выводов, списка литературы из 212 наименований, изложена на 165 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков и 17 таблиц. Содержание работы представлено в пяти главах. В главе 1 формулируются алгоритмы численной реализации модели БСП. Особое внимание уделено интегральным формам модели БСП. Следует отметить, что интегро-дифференциальные и интегральные уравнения давно используются при численном моделировании кинетики ядерных реакторов [60-63]. В этой связи укажем только некоторые преимущества применения интегральных уравнений [64,65], имеющие отношение к задачам совершенствования структуры моделей кинетики, а также их численных и аппаратурных реализаций:

- уменьшение размерности задачи. Для нейтронной кинетики это приводит, как показано далее, к модели, содержащей только непосредственно измеряемые переменные состояния - мощность реактора и скорость изменения мощности;

- упрощение построения алгоритмов на основе различных квадратурных формул. Переход к интегральным уравнениям дает основу для унифицированного построения и анализа алгоритмов решения дифференциальных уравнений [66-68];

- естественность получения апостериорных интервальных оценок решения на основе верхних и нижних интегральных сумм [35];

- сглаживающий эффект интегрирования, подавляющего случайные погрешности;

- упрощение построения схем теории возмущений [69] путем включения граничных условий в оператор модели [37,38,70,71] или в функцию источника;

- возможность применения различных теорем о среднем для асимптотического анализа и построения расчетных схем [72,73];

- более простая и точная аппаратурная цифровая реализация интегрирования по сравнению с дифференцированием.

Применительно к задачам кинетики ЯР эти темы изучены в различной степени и представляют, таким образом, перечень возможных направлений дальнейших исследований. Непосредственно в данной работе рассмотрены следующие вопросы:

- анализ вариантов интегральных уравнений модели БСП и их сравнение с классическими формами интегральных уравнений кинетики;

- общая схема дискретизация модели БСП в форме интегральных уравнений Вольтерры второго рода для мощности и скорости изменения мощности ЯР;

- построение резольвенты интегрального уравнения и оценка погрешностей;

- формулировка условий подавления ошибок при интегрировании;

- сведение интегральной формы модели БСП к нелинейному алгебраическому уравнению для итерационного уточнения решения;

- обобщение классических квадратурных формул на случай интегрирования уравнения Вольтерры второго рода с переменным шагом;

- формулировка схем скользящего интегрирования, использующих для увеличения точности оценки интеграла на элементарном отрезке [Xj,Xi+i] информацию (значения ординат) на множестве всех возможных отрезков интерполяции, охватывающих данный элементарный отрезок. Вывод соответствующих квадратурных формул и их применение к интегрированию уравнений кинетики;

- учет структуры ядра интегрального уравнения для сокращения вычислительных операций.

В главе 2 описывается информационно-моделирующая система «Точечная динамика» (ИМС «ТД»), основанная на технологии реляционных баз данных и предназначенная для создания процедурных баз знаний, содержащих различные модели динамики ЯЭУ. Первоначально ИМС разрабатывалась для организации сравнительных вычислительных экспериментов с точечными моделями кинетики ядерного реактора, использующими различные системы констант запаздывающих нейтронов или различные алгоритмы. В ИМС выполнены реализация и анализ алгоритмов, предложенных в главе 1 и в работах [1,12,60-63,69,74-78].

В главе 3 рассмотрено применение символьных компьютерных вычислений для получения аналитических зависимостей динамических характеристик модели БСП от параметров точечной кинетики и соответствующих коэффициентов чувствительности. Полученные результаты представляют собой практически первый опыт применения символьных вычислений в некоторых задачах моделирования ЯЭУ, который интересен как с точки зрения конкретных решений, так и в плане организации программ символьных вычислений для обеспечения обозримости многопараметрических результатов.

В главе 4 интегральная форма модели БСП используется для формулировки различных вариантов алгоритмической реализации реактиметра и его представления как адаптивного цифрового фильтра. Получены аналитические выражения, связывающие параметры структурных схем реактиметра с константами запаздывающих нейтронов, и соответствующие функции чувствительности. Проведен расчет параметров и их погрешностей. Описан алгоритм интервальной оценки реактивности. Получено уравнение дисперсии реактиметра.

В главе 5 алгоритмы адаптации рассматриваются с точки зрения оценки эффектов реактивности и идентификации модели БСП. Описаны возможные постановки экспериментов, позволяющие оценивать параметры, обычно не идентифицируемые в традиционных реактивностных экспериментах. Для иллюстрации предлагаемых методик использованы данные измерений на стенде Т-2 ФЭИ. Все этапы экспериментов, от сборки образцов до обработки и анализа результатов, выполнены непосредственно автором в группе экспериментаторов, руководимой Ю.Д.Макаренковым.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность коллективам лабораторий 31 и 73, творческая атмосфера которых способствовала появлению, апробации и реализации идей, отраженных в работе. Особая благодарность научному руководителю В.И. Ионкину, а также Ф.П. Раскачу, М.К. Овчаренко, Ю.И. Царенко, А.Г. Матко-ву, В.А. Коновалову, Н.П. Юргеневу, Ю.Д. Макаренкову, Г.Я. Артюхову, С.Н. Марину, В.П. Кудрявцеву, Е.А. Якореву, М.Ю. Зайцеву, В.М. Куприянову, P.JI. Ибрагимову, которые ввели автора в проблематику физики и динамики реакторов, нейтронно-физических расчетов, АСНИ и реакторно-физического эксперимента.

Выводы

1. Предложен ряд схем экспериментов для идентификации переходной характеристики запаздывающих нейтронов и параметров нейтронной кинетики реактора на основе интегральных уравнений модели БСП по динамическим, стохастическим и асимптотическим данным замеров мощности. Ряд предложенных схем применим как на критстендах, так и на энергетических реакторах для уточнения параметров кинетики в реальном времени.

2. Показана возможность идентификации переходной характеристики запаздывающих нейтронов в экспериментах со стреляющим источником, а также путем анализа шума интенсивности генерации нейтронов в стационарном режиме реактора. Это обеспечивает, в частности, оперативную адаптацию реактимеров в процессе эксплуатации.

3. Интегрирование экспериментальной переходной характеристики позволяет оценить параметрический комплекс D = В/А - отношение эффективного времени мр жизни нейтронов В = к времени генерации. Это дает также оценку времени

1 ^j запаздывания Т3 = Dxcn/(h0)Mcn, что позволяет проверить адекватность используемых «табличных» констант При допустимости последних время генерации оценивается как кжсп = Bma6JD3Kcn.

4. Предложено уравнение

1 гт 1 м В для описания перевода реактора с одного стационарного уровня мощности, пь на другой, п2. На основе этого уравнения формулируются различные схемы оценки параметрических комплексов В, D= В/L, B/(LQ) в условиях импульсных экспериментов, метода стреляющего (удаляемого) источника, сброса A3 и т.п.

5. Описан ряд схем для оценки параметров кинетики на основе замеров асимптотических значений скорости изменения мощности и периода. Так, на критическом реакторе с источником имеет место оценка параметрического комплекса [QIQ+D)] = v(/ -> оо), а при выстреливании источника подкритичность оценивается как асимптотический средний обратный период.

Рекомендации

1. Для практики наиболее интересный результат работы состоит в возможности оценки эффектов реактивности без использования априорных параметров. Измерение в переходном процессе не только хода мощности, но и скорости изменения мощности, а также учет их начальных и конечных (возможно, асимптотических) значений позволяет определить параметры кинетики, обычно задаваемые априорно, и исключить их из соотношений для оценки реактивности. Такой поход возможен при условии использования Л-шкалы реактивности. Это не приводит к каким-либо затруднениям при интерпретации реактивностных экспериментов, поскольку в Л-шкале реактивность есть просто разность вероятностей генерации и потери мгновенных нейтронов, дающая, как и традиционные шкалы реактивности, меру отклонения от критичности.

2. Для актуальных в настоящее время задач обеспечения ядерной безопасности ЯЭУ, выводимых из эксплуатации, в качестве методик контроля подкритичности наиболее удобны импульсные методы. Из уравнения (*) для случая подкри-тического реактора следует простое выражение для реактивности r = -fy{t)dtl\}{t)dt, также не требующее априорных параметров. Это соотношение справедливо при любом источнике - импульсном, стохастическом, постоянном.

3. При наличии компьютерных средств визуализации и обработки замеров в реальном времени легко реализуется оценки эффективной интенсивности источника или веса органа регулирования по асимптотическим значениям начальной скорости или среднего периода, соответствующим моменту вывода реактора из стационарного состояния. Такие оценки могут выполняться в рамках различных методик реактивностных экспериментов и режимов управления ЯЭУ.

4. Для применения на критических стендах наиболее информативной представляется методика стреляющего источника, которая, как показано, позволяет найти все параметры кинетики в рамках стандартной организации измерений.

Заключение

По материалам работ и исследований, отраженных в настоящей диссертации, можно сформулировать следующие основные результаты и выводы.

1. Предложена модель точечной нейтронной кинетики реактора, исключающая априорные параметры из начальных стационарных условий, обеспечивающая точное вычисление функций Грина для процессов на запаздывающих нейтронах, исключающая необходимость конечно-разностной аппроксимации производных и снимающая проблему жесткости модели. Исследованы математические и алгоритмические свойства модели. Показана предпочтительность интегральных уравнений кинетики для численной реализации, разработки реактиметров и формулировки экспериментальных методик.

2. Предложена Л-шкала реактивности, позволяющая упростить структуру уравнений кинетики и дающая основу для экспериментальной оценки эффектов реактивности без использования априорных и расчетных параметров.

3. Показана возможность негруппового описания процессов на запаздывающих нейтронах на основе непосредственного использования переходной характеристики запаздывающих нейтронов в численных алгоритмах и цифровых реакти-метрах.

4. На основе предложенной модели сформулирован ряд нетрадиционных схем реализации реактиметров, обеспечивающих адаптацию реактиметра, то есть идентификацию всех параметров кинетики, закладываемых в конструкцию реактиметра, в эксплуатационных режимах. Показана возможность применение теории фильтров к разработке цифровых реактиметров. Получено уравнение баланса дисперсий для реактиметра. С использованием известных систем констант выполнен расчет параметров различных структурных представлений передаточных функций реактиметра. Предпочтительной представляется реализация реактиметра по схеме нерекурсивного фильтра, непосредственно использующей расчетные или экспериментальные значения переходной характеристики запаздывающих нейтронов.

5. Предложенная модель кинетики позволяет применить ряд новых схем экспериментов для идентификации переходной характеристики запаздывающих нейтронов и оценки параметрических комплексов без привлечения априорных параметров, что позволяет более адекватно оценивать динамические характеристики ядерного реактора.

6. Создан программный пакет «Точечная динамика», использующий технологию реляционных баз данных, что позволяет эффективно решать как задачу организации вариантных расчетов и накопления результатов, так и задачу создания процедурных баз знаний для сопровождения и сравнительного анализа различных моделей динамики ЯЭУ и численных алгоритмов.

7. Разработан пакет программ на языке REDUCE для символьного расчета динамических характеристик реактора и их функций чувствительности к константам запаздывающих нейтронов. На основе найденных аналитических соотношений выполнены численные оценки коэффициентов чувствительности передаточных функций реактора. Полученные результаты показывают, что при современной точности констант запаздывающих нейтронов целесообразно их негрупповое описание и непосредственная идентификации передаточных функций.

8. Разработаны алгоритмы численного решения дифференциальных и интегральных уравнений модели с привлечением интеграла Стилтьеса для интервальной оценки мощности и реактивности.

9. Разработаны алгоритмы скользящего интегрирования, не требующие определенной кратности числа узлов и поэтому позволяющие применить для решения интегральных уравнений кинетики квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности.

1. Колесов, В.Ф. Динамика ядерных реакторов / В.Ф.Колесов и др.; под ред. Я.В.Шевелева. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 512 с.

2. Литицкий, В.А. Методы и средства измерения реактивности размножающих сред. Обзорная информация ОБ—153 / В.А. Литицкий , В.В. Бондаренко, И.А. Куприянова. Обнинск: ФЭИ, 1982.-39 с.

3. Матусевич, Е.С. Автоматизация физического эксперимента на критических сборках / Е.С. Матусевич, А.Ф. Баландин, В.И. Регушевский, В.А. Тарасов. М.: Энергоатомиздат, 1983. -104 с.

4. Юферов, А.Г. Библиография по разработкам реактиметров и методам измерения реактивности в ФЭИ. Обзор ФЭИ-0295 / А.Г. Юферов. М: ЦНИИАтоминформ, 2003. - 38 с.

5. Lewins, J. Nuclear reactor kinetics and control / Jefery Lewins. Pergamon Press, 1978. - 264 c.

6. Хаммел Г., Окрент Д. Коэффициенты реактивности в больших энергетических реакторах на быстрых нейтронах / Гарри Хаммел, Девид Окрент. М.: Атомиздат, 1975. - 304 с.

7. SMORN VIII A Symposium on Nuclear Reactor Surveillance and Diagnostics. Goteborg, 2002. Электронный ресурс. (CD-ROM)

8. Ионов, B.C. Распределенная нейтронная динамика активных зон ВВЭР / B.C. Ионов. М.: ИздАТ, 2005.-311 с.

9. Accelerator driven systems: Energy generation and transmutation of nuclear waste / IAEA -TECDOC-985. Vienna, 1997.-481 c.

10. Гулевич, A.B. Связанные реакторные системы импульсного действия. / А.В. Гулевич, П.П. Дьяченко, А.В. Зродников, О.Ф. Кухарчук. М.: Энергоатомиздат, 2003. - 360 с.

11. Колесов, В.Ф. Апериодические импульсные реакторы / В.Ф. Колесов. г. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 1999.-1032 с.

12. Юферов, А.Г. О схемах реакторно-физического эксперимента на основе уравнений для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах / А.Г. Юферов. // Избранные труды ФЭИ-2000. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2001. - С. 53-57.

13. Юферов, А.Г. Теория возмущений первого порядка в задаче организации вариантных ней-тронно-физических расчетов ядерных реакторов / А.Г. Юферов, М.К. Овчаренко, П.М. Бологое // Препринт ФЭИ-2850. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2000. - 36 с.

14. Ионкин, В.И. Нейтронно-физические характеристики реакторов космических установок / Автореф. дис. .д-ра техн. наук / В.И. Ионкин Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2001. - 65 с.

15. Юферов, А.Г, Фортран-программы диалогового ввода данных в ЭВМ / А.Г. Юферов, С.Н. Марин, Ю.Д, Макаренков, А.В. Кашкаров // Препринт ФЭИ-2121.- Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 1990. -27 с.

16. Юферов, А.Г. Организация вычислительных экспериментов с моделями точечной кинетики ядерного реактора / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-2990. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2003.-36с.

17. Юферов, А.Г. О параметризации прямых алгоритмов решения СЛАУ / А.Г. Юферов // Труды международной конференции «Вопросы оптимизации вычислений», 5-8 сент. 1997г. / НАН Украины, Институт кибернетики им. В.М. Глушкова. Киев, 1997. - С. 336-339.

18. Юферов, А.Г. О применении интеграла Стилтьеса к решению дифференциальных уравнений / А.Г. Юферов // «Теория вычислений»: Сб. науч. тр. / НАН Украины, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова. Киев, 1999. - С. 383-385.

19. Юферов, А.Г. О вычислении матричной экспоненты методом структурных векторов / А.Г. Юферов // «Теория вычислений»: Сб. науч. тр. / НАН Украины, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова. Киев, 1999. - С. 379-382.

20. Юферов, А.Г. О применении нумерующих функций в алгоритмах БПФ / А.Г. Юферов // «Компьютерная математика. Оптимизация вычислений»: Сб. науч. тр. / НАН Украины, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова. Киев, 2001. - Том 1, с. 417-420.

21. Юферов, А.Г. Уравнения чувствительности точечной кинетики / А.Г. Юферов // Методы и технические средства диагностирования ЯЭУ: Тез. докл. отраслевого семинара, 2-5 сент. 1994г. / ГНЦ РФ-ФЭИ. Обнинск, 1994. - С. 11.

22. Юферов, А.Г. Анализ уравнений точечной динамики ядерного реактора методом символьных вычислений / А.Г. Юферов / Препринт ФЭИ-2780. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 1999. -36с.

23. Юферов, А.Г. Реактиметр как адаптивный цифровой фильтр / А.Г. Юферов, P.JI. Ибрагимов // Атомная энергия. 2005. - Т. 98. - Вып. 4. - С. 253-260.

24. Юферов, А.Г. Уравнения точечной кинетики ядерного реактора для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-2385. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 1994. - 36 с.

25. Юферов, А.Г. К задаче прогнозирования мощности ядерного реактора / А.Г. Юферов // Современные методы и средства диагностики ЯЭУ: Тез. докл. отраслевого семинара, 2-5 окт. 2001 г. / ГНЦ РФ-ФЭИ. Обнинск, 2001. - С. 41.

26. Юферов, А.Г. Об оценке параметров точечной кинетики в режиме линейного роста мощности / А.Г. Юферов // Современные методы и средства диагностики ЯЭУ: Тез. докл. отраслевого семинара, 2-5 окт. 2001г. /ГНЦ РФ-ФЭИ. Обнинск, 2001. - С. 57-59.

27. Юферов, А.Г. О численной реализации модели точечной динамики для безразмерных скоростей процессов на запаздывающих нейтронах / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-2905. -Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2002. 32 с.

28. Юферов, А.Г. О численном решении интегральных уравнений точечной нейтронной динамики ядерного реактора / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-2977. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2003.-36 с.

29. Юферов, А.Г. О структуре функции Грина необратимого оператора / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-1637. Обнинск: ФЭИ, 1984. - 24 с.

30. Юферов, А.Г. Метод сопряженных функций для задач с неоднородными краевыми условиями / Препринт ФЭИ-1689. Обнинск: ФЭИ, 1985. - 27 с.

31. Юферов, А.Г., Болотов П.М. Информационные оценки в иерархической модели НИОКР / А.Г. Юферов, П.М. Болотов Препринт ФЭИ-2850. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2000. - 36 с.

32. Юферов, А.Г. О построении нумерующих функционалов на комбинаторных множествах / А.Г. Юферов // Кибернетика. 1980. - N 5. - С. 28-32.

33. Юферов, А.Г. Об алгоритмизации комбинаторных множеств / А.Г. Юферов // «Компьютерная математика. Оптимизация вычислений»: Сб. науч. тр. / НАН Украины, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова. Киев, 2001. - Том 2, с. 447-455.

34. Юферов, А.Г. Сжатие дискретных данных методом нумерации / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-872.-Обнинск: ФЭИ, 1978. 14 с.

35. Юферов, А.Г. Свертка цифровой информации методом нумерации / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-932. Обнинск: ФЭИ, 1979. - 8 с.

36. Юферов, А.Г. Применение нумераторов / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-1073. Обнинск: ФЭИ, 1980.- 16 с.

37. Юферов, А.Г. Нумерующие функционалы для расчета конечных Бозе-ансамблей / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-1469. Обнинск: ФЭИ, 1983. - 18 с.

38. Юферов, А.Г. Формула средних чисел заполнения для конечных Бозе-систем / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-1470. Обнинск: ФЭИ, 1983. - 8 с.

39. Юферов, А.Г. Информационно-моделирующая система для поддержки принятия решений в области космической ядерной энергетики / А.Г. Юферов, А.В. Кашкаров, КА.Павлов // Препринт ФЭИ-2504. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 1996. - 28 с.

40. Юферов, А.Г. Разработка информационных систем для задач планирования и принятия решений в области космической ядерной энергетики / А.Г. Юферов, К.А.Павлов, С.П. За-церковный // Избранные труды ФЭИ-1997. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 1999. - с. 135-141.

41. Юферов, А.Г. Разработка информационно-моделирующих систем. Часть 1. Принципы функциональной организации информационно-моделирующих систем : Учебное пособие / А.Г. Юферов. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2004. - 80 с.

42. Виноградов Е.Г. Банк вольт-амперных характеристик термоэмиссионного преобразователя. / Е.Г. Виноградов, B.C. Миронов, Г.И. Смольникова, В.И. Ярыгин, А.Г. Юферов // Атомная энергия. 2000. - Т. 89. - Вып.1. - С. 71.

43. Юферов, А.Г. К задаче кодификации результатов НИОКР / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-2906. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2001. - 36 с.

44. Юферов, А.Г. Реализация технологии функциональной систематики в информационно-моделирующей системе "Ядро" для решения задач кодификации научно-технических знаний / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-2915. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2001. - 28 с.

45. Юферов, А.Г. К задаче идентификации интегральных уравнений кинетики / А.Г. Юферов // Ядерная энергетика. 2005. - № 4. - С. 25-33.

46. Юферов, А.Г. Анализ методики оценки параметров точечной кинетики в режиме линейного роста мощности. / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-2916. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2001.-16 с.

47. Юферов, А.Г. Расчет дробно-рациональной передаточной функции реактиметра. / А.Г. Юферов // Препринт ФЭИ-3091. Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 2006. - 35 с.

48. Юферов, А.Г. Динамические характеристики реактиметров Часть 1. Дробно-рациональные передаточные функции. Обзор ФЭИ-0303 / А.Г. Юферов. М: ЦНИИАтоминформ, 2007. - 40 с.

49. Кипин, Дж. Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов / Джордж Роберт Кипин. -М.: Атомиздат, 1967. 428 с.

50. Флэтт, Г. Расчеты кинетики реактора / Гери Флэтт // Вычислительные методы в физике реакторов. М.: Атомиздат, 1972. - С. 277-320.

51. Хетрик, Д. Динамика ядерных реакторов / Девид Хетрик М.: Атомиздат, 1975. - 400 с.

52. Гулевич, А.В. Применение интегральной модели нейтронной кинетики к расчету многозонных размножающих систем / А.В. Гулевич и др. // Препринт ФЭИ-2129. Обнинск: ФЭИ, 1990.-27 с.

53. Верлань, А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. К.: Наукова думка, 1977. - 292 с.

54. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы: Справочное пособие / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. К.: Наукова думка, 1986. - 544 с.

55. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под. редакцией Дж.Холла, Дж.Уатта. М.: Мир, 1979. - 312 с.

56. Арушанян, О.Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 336 с.

57. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. / Эрнст Хайрер, Сиверт Пауль Нёрсетт, Герхард Ваннер. М.: Мир, 1990. - 512 с.

58. Гулевич, А.В. Применение теории возмущений в инженерных задачах ядерной энергетики / А.В. Гулевич и др.. М.: Энергоатомиздат, 1993. - 208 с.

59. Марчук, Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем / Г.И.Марчук. М.: Наука, 1992.-236 с.

60. Марчук, Г.И. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики / Г.И. Марчук, В.И Агошков, В.П. Шутяев. М.: Физматлит, 1993. -224 с.

61. Смит, Д.М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей / Джон М. Смит. М.: Машиностроение, 1980. - 271 с.

62. Гребенников, Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е.А. Гребенников. М.: Наука, 1986.-256 с.

63. Емельянов, И.Я. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов / И.Я. Емельянов, П.А. Гаврилов, Б.Н. Селиверстов. М.: Атомиздат, 1975. - 280 с.

64. Бугровский, В.В. Динамика и управление ядерным ракетным двигателем / В.В. Бугровский и др.. М.: Атомиздат, 1974. - 256 с.

65. Бугровский, В.В. Основы автоматического управления ядерными космическими энергетическими установками / В.В. Бугровский и др.. М.: Машиностроение, 1974. - 380 с.

66. Бугровский, В.В. Информационно-управляющие системы космических энергетических установок / В.В. Бугровский и др.. М.: Атомиздат, 1979. - 240 с.

67. Могильнер, А.И. Стохастическая кинетика ядерного реактора / А.И. Могильнер // Импульсные и статистические методы исследования реакторов. Сб. науч. тр. / ФЭИ, 1969. -Т. 1. С. 362-447.

68. Кочуров, Б.П. Численные методы в теории гетерогенного реактора / Б.П. Кочуров. М.: Атомиздат, 1980. - 112 с.

69. Метод статистических испытаний / М.: Физматгиз, 1962. 332 с.

70. Осмачкин, B.C. Метод вероятностного анализа безопасности исследовательских реакторов / B.C. Осмачкин // Физика и техника реакторов. С.-Петербург: ЛИЯФ, 1992. с. 150-179.

71. Шиленко Б.Л. Программная система нейтронно-физического анализа инцидента несанкционированного извлечения поглощающего стержня в быстрых реакторах: Диссертация на соискание уч. степени кандидата физ.-мат. наук. / Шиленко Б.Л. ГНЦ РФ-ФЭИ, 2003. -156 с.

72. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Тосио Като. М.: Мир, 1972. - 740 с.

73. Маслов, В.П. Операторные методы / В.П. Маслов. М.: Наука, 1973. - 544 с.

74. Стумбур, Э.А. Применение теории возмущений в физике реакторов / Э.А. Стумбур М.: Атомиздат, 1976.- 128 с.

75. Капустян, В.М. Конструктору о конструировании атомной техники / В.М. Капустян, Ю.А. Махотенко М.: Атомиздат, 1981. - 190 с.

76. Курейчик, В.М. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР / В.М. Курей-чик, В.М. Глушань, Л.И. Щербаков М.: Радио и связь, 1990. - 216 с.

77. Силин, В.Б. Поиск структурных решений комбинаторными методами / В.Б. Силин. М.: МАИ, 1992.-216 с.

78. Назаров, А.А. Морфологическое прогнозирование развития военной техники / А.А. Назаров. Изд-во МО СССР, 1986. - 248 с.

79. Айгнер, М. Комбинаторная теория / Мартин Айгнер. М.: Мир, 1982. - 558 с.

80. Стенли, Р. Перечислительная комбинаторика / Ричард Стенли. М.: Мир, 1990. - 440 с.

81. Ильин, В. П. Алгебраические основы численного анализа / В. П. Ильин, Ю. И. Кузнецов. -Новосибирск: Наука, 1986. 184 с.

82. Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. М.: Наука, 1976. - 424 с.

83. Топчеев, Ю.И. Атлас для проектирования САР / Ю.И. Топчеев. М.: Машиностроение, 1989.-752 с.

84. Заде, Л., Дезоэр Ч. Теория линейных систем / Лотфи Заде, Чарльз Дезоэр. М.: Наука, 1970. - 703 с.

85. Абгарян, К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем / К.А. Аб-гарян. М.: Наука, 1973. - 432 с.

86. Moler С., Loan С. Nineteen Dubious Ways to Computer the Exponential of a Matrix / C. Moler, C. Loan // SIAM Review. 1978. - Vol. 20. -N 4. - P. 801-836.

87. Фаддеев, Д.К., Фаддеева B.H. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.: Физмат, 1960. - 656 с.

88. Грибанов Ю.И. Спектральный анализ случайных процессов / Ю.И. Грибанов. М.: Энергия, 1974.-240 с.

89. Задирака, В.К. Цифровая обработка сигналов / В.К. Задирака, С.С. Мельникова. Киев: Наукова Думка, 1993. - 295 с.

90. Цифровая обработка сигналов: Справочник / Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. М.: Радио и связь, 1985. - 312с.

91. Липский, В. Комбинаторика для программистов / Витольд Липский. М.: Мир, 1988. - 213 с.

92. Камке, Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса / Эрих Камке. М.: Физматгиз, 1959. - 325 с.

93. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимации / Ольгерд Зенкевич, Кеннет Морган. -М.: Мир, 1986.-318 с.

94. Сычев, В.В. Дифференциальные уравнения термодинамики / В.В. Сычев. М.: Высшая школа, 1991.-224 с.

95. Гантмахер, Ф.М. Теория матриц / Ф.М. Гантмахер. М.: Наука, 1988. - 552 с.

96. Бесекерский, В.В. Микропроцессорные системы автоматического управления / В.В. Бесе-керский и др.. Л.: Машиностроение, 1988. - 365 с.

97. Митенков, Ф.М. Инженерные методы анализа режимов с естественной циркуляцией в установках типа БН / Ф.М. Митенков и др.. Атомная энергия, 1987. - Т. 62. - Вып. 3. - С. 147-153.

98. Маневич, Л.Г. Расчет интегральных характеристик запаздывающих нейтронов. Часть 1. Полный выход нейтронов / Л.Г. Маневич, П.Э. Немировский, М.С. Юдкевич. ВАНТ. Сер. Ядерные константы. 1988. Вып. 2. с. 3-12.

99. Маневич, Л.Г. Расчет интегральных характеристик запаздывающих нейтронов. Часть 2. Групповые константы и реактивность / Л.Г. Маневич, П.Э. Немировский, М.С. Юдкевич. -ВАНТ. Сер. Ядерные константы. 1988. Вып. 2. с. 13-22.

100. Spriggs, G.D., Campbell J.M., Piksaikin V.M. An 8-group Neutron Model Based on a Consistent Set of Half-lives / G.D. Spriggs, J.M Campbell, V.M. Piksaikin. // Los Alamos National Laboratory report LA-UR-98-1619, March 28, 1999. p. 1-19.

101. Ланцош, К. Практические методы прикладного анализа / Корнелиус Ланцош. М.: Физ-матгиз, 1961.-524 с.

102. Бриккер И.Н. Аппроксимация многогрупповых уравнений кинетики нейтронов / И.Н. Бриккер, А.Р. Мирзоян // Атомная энергия, 1969. Т. 27. - Вып. 6. - С. 556-558.

103. Труды отраслевого семинара «Нейтроника» Электронный ресурс. / ГНЦ РФ-ФЭИ. Режим доступа: http://www.neutronica.ru

104. Арушанян О. Б. Автоматизация конструирования библиотек программ / О. Б. Арушанян -М.: Изд-во МГУ, 1988.

105. PAL User's Guide. Borland Inc., 1994. 584c.

106. Зизин, M.H. Интеллектуальная программная оболочка ShIPR для математического моделирования ядерных реакторов / М.Н. Зизин, А.В. Шушакова, Д.Ю. Дементьева, Н.Б. Суш-нова // Препринт ИАЭ 5701/5. М.: РНЦ «Курчатовский институт», 1994. - 20 с.

107. Козлов, Н.И. Организация вычислительных работ / Н.И. Козлов. М.: Наука, 1981. - 240 с.

108. Зизин, М.Н. Автоматизация реакторных расчетов / М.Н. Зизин, Б.А. Загацкий, Т.А. Темно-ева, Л. Н. Ярославцева. М.: Атомиздат, 1974. - 104 с.

109. Форсайт, Д. Машиные методы математически вычислений / Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. М.: Мир, 1980. 279 с.

110. Фаронов, В.В. Программирование на персональных ЭВМ в среде Турбо-Паскаль / МГТУ, 1991.-580 с.

111. Карпов, В.Я. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики / Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский А.А. // ЖВМиМФ, 1978. Т. 18. № 2. -С.458-467.

112. Борисов, Е. М. Разработка пакетов программ вычислительного типа / ЕМ. Борисов. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 124 с.

113. Еднерал, В.Ф. Язык аналитических вычислений REDUCE / В.Ф. Еднерал, А.П. Крюков,

114. A.Я. Родионов. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 176 с.

115. Матвеенко, И.П. Основные данные по запаздывающим нейтронам. / И.П Матвеенко, В.М. Случевская // ВАНТ, Сер. Ядерные константы, 1980, вып.3(38). С. 29-24.

116. Гагаринский, А.Ю. О влиянии неопределенности ядерных данных на результаты обработки кинетических измерений в реакторах с 235U на тепловых нейтронах / А.Ю. Гагаринский, J1.C. Цыганков // ВАНТ,Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1984 вып.9(46).

117. Матвеенко, И.П. Влияние различий в исходных данных при расчете эффективной доли запаздывающих нейтронов / И.П. Матвеенко, В.М. Случевская, И.Р. Суслов, А.Г. Шокодько // ВАНТ,Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1984 вып. 8(45), с.68-72.

118. Шокодько, А.Г. Представление нескольких делящихся изотопов одним эффективным изотопом при определении реактивности методом ОРУК / А.Г. Шокодько, В.И. Журавлев,

119. B.М. Случевская // ВАНТ,Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1984 вып.9(46), с. 6971

120. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления / Питер Эйкхофф. М.: Мир, 1975. -686с. .

121. Льюнг Л. Идентификация систем / Леннарт Льюнг. М.: Наука, 1991. - 432 с.

122. Боев, Б.В. Идентификация и диагностика в информационно-управляющих системах авиакосмической энергетики / Б.В. Боев и др.. М.: Наука, 1988. - 168 с.

123. Современные методы идентификации систем / Под. ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. -400 с.

124. Воронов, А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А.А. Воронов. М.: Наука, 1979.-336с.

125. Шульц, М. Регулирование энергетических ядерных реакторов / М. Шульц. М.: ИЛ, 1957. -460 с.

126. Кованиц П. К условиям применения передаточных функций реактора / П. Кованиц // Атомная энергия. 1962. - Т. 12. - Вып. 2. - с.123-129.

127. Хитчкок, А. Устойчивость ядерных реакторов / А. Хитчкок. М.: Атомиздат, 1963.

128. Сандмайер А.Г. Кинетика и стабильность реакторов на быстрых нейтронах / А.Г. Сан-дмайер. М.: Атомиздат, 1963. - 89 с.

129. Придатко, А. Об одном способе определения коэффициентов передаточных функций реактора / А. Придатко, А. С. Трофимов // Атомная энергия. -1970. Т. 29. Вып. 5. - С. 362.

130. Емельянов, И .Я. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов / И.Я. Емельянов, П.А. Гаврилов, Б.Н. Селиверстов. М.: Атомиздат, 1975. - 280 с.

131. Шабалин, Е.П. Импульсные реакторы на быстрых нейтронах / Е.П. Шабалин. М.: Атомиздат, 1976.

132. Горяченко, В.Д. Методы исследования устойчивости ядерных реакторов / В.Д. Горяченко.- М.: Атомиздат, 1977. 296 с.

133. Филипчук, Е.В. Управление нейтронным полем ядерного реактора / Е.В. Филипчук, П.Т. Потапенко, В.В. Постников. М.: Энергоиздат, 1981,280с.

134. Попов, А.К. Передаточная функция и устойчивость импульсного реактора периодического действия / А.К. Попов // Атомная энергия. 1987. - Т. 62. - Вып. 3. - С. 195-197.

135. Павелко В.И. Нейтронно-температурные шумовые модели активной зоны ВВЭР / В.И. Павелко // Атомная энергия. 1992. - Т. 72. - Вып. 5. - С. 195-197.

136. A tuturial introduction to AXIOM. Электронный ресурс. / Режим доступа: http://page.axiorn-developer.org

137. Clarkson, М. DOE-Maxima Reference Manual. Version 5.9. Электронный ресурс. / М. Clark-son. -2002. Режим доступа: http://maxima.sourceforge.net.

138. Матросов, А.В. Мар1е6. Решение задач высшей математики и механики / А.В. Матросов. -СПб., БХВ-Петербург, 2001. 528 с.

139. Дьяконов, В.П. Справочник по системе символьной математики DERIVE / В.П. Дьяконов.- М.: «СК Пресс», 1998. 256 с.

140. Капустина, Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0 / Т.В. Капустина. М.: «Солон», 1999.-240 с.

141. Ваньков, А.А. Анализ реакторно-физического эксперимента / А.А. Ваньков, А.И. Воропаев, JI.H. Юрова. М.: Атомиздат, 1977. - 88 с.

142. Кумаев, В.Я. Построение криволинейных ортогональных сеток с помощью R-функций / В.Я. Кумаев, М.П. Леончук // Препринт ФЭИ-1253. Обнинск: ФЭИ, 1982. - 18 с.

143. Калмыков, С.А. Методы интервального анализа / С.А.Калмыков, Ю.И. Шокин, З.Х. Юл-дашев. Новосибирск: Наука, 1986. - 222 с.

144. Демирчян, К.С. Матричный метод расчета электрических цепей при помощи интеграла Дюамеля / К.С. Демирчян // Известия РАН. Энергетика. 2002. - № 3. - С. 7-17.

145. Могильнер, А.И. Применение малых ЭВМ для измерения реактивности / А.И. Могильнер, Г.Н Фокин., Ю.В. Чайка, Ф.М. Кузнецов // Атомная энергия. 1974. - Т. 36. - Вып. 5. - С. 358-361.

146. Сарылов, В.Н. Цифровые реактиметры / В.Н. Сарылов, Ф.Ф. Воскресенский, А.Н. Горбунов//Атомная техника за рубежом. 1979.-№ 11.-С. 19-24.

147. Афонин, С.Н. Применение цифровых реактиметров на быстрых импульсных реакторах / С.Н. Афонин, М.И. Кувшинов, П.Ф. Чередник // ВАНТ,сер. Импульсные реакторы и простые критические сборки, вып.1,1985, с.32.

148. Грачев, А.В. Цифровой реактиметр для ядерных реакторов / А.В. Грачев и др. // Атомная энергия. 1986. - Т. 61. - Вып .2. - С. 110-113.

149. Полозов, С.А. Цифровой реактиметр на базе микроЭВМ и аппаратуры КАМАК / С.А. Полозов, С.Н.Сикорин // Вестник АН БССР. Сер. Физико-энергетические науки. 1987. - № 4. - С. 87-92.

150. Вычислитель реактивности и периода ВРП-8. Техническое описание. ФЭИ. 1987.

151. Аксенов, В.А. Широкодиапазонный реактиметр для исследовательских реакторов и критических стендов / В.А. Аксенов и др. // Атомная энергия. 1990. - Т. 69. - Вып. 3. -С.150-153.

152. Волков Ю.В. Испытания цифрового реактиметра с 15-ю группами запаздывающих нейтронов в экспериментах на реакторе ZPR / Ю.В. Волков и др. // Изв. ВУЗов. Ядерная энергетика. 1999. - № 4.

153. Патент RU 02193245 ЦИФРОВОЙ РЕАКТИМЕТР (7 G 21 С 17/10)

154. Патент RU 02195029 ЦИФРОВОЙ РЕАКТИМЕТР (7G 21 С 17/104)

155. Реактиметр ПИР-1Н. Каталог торгового дома «Автоматика». Электронный ресурс. / Режим доступа: http://www.tdautomatika.ru/catalog/

156. Дюдяев, A.M. Эмулятор кинетических процессов исследовательских реакторов в реальном времени / A.M. Дюдяев, В.А. Попов // ВАНТ. Импульсные реакторы и простые критические сборки. РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2000, вып.2/2, с.155-157.

157. Забродская, С.В. Данные по запаздывающим нйтронам в системе константного обеспечения БНАБ-93 / С.В. Забродская, М.Н. Николаев, А.М. Цибуля, В.Н. Кощеев, М.Ю. Семенов. Отчет ФЭИ № 10385.2000. - 45с.

158. Казанский, Ю.А. К учету пространственных эффектов при измерении реактивности методом обращенного решения уравнения кинетики / Ю.А. Казанский, И.П. Матвеенко, П.Л. Тютюнников, А.Г. Шокодько // Атомная энергия. 1981. - Т. 51. - Вып. 6. - С. 387-389.

159. Литицкий, В.А. Об измерении реактивности методом обращенного решения уравнения кинетики с учетом пространственно-временных эффектов / В.А. Литицкий, О.И. Макаров. -Атомная энергия. 1990. - Т. 69, Вып. 5. - С. 338-339.

160. Сивоконь, В.П. Особенности нейтронной кинетики реактора с неравномерным распределением делящихся изотопов / В.П. Сивоконь, В.В, Позняков // Атомная энергия. 1990. -Т. 69. - Вып. 5. - С. 330-332.

161. Воронин, А.А. Разработка модели ядерного реактора для измерения реактивности / А.А. Воронин, В.П. Сивоконь, В.Ф. Шикалов // ВАНТ, Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1985, вып. 5.-с. 78-80.

162. Романов, В.М. Анализ аварийного нарастания потока мгновенных нейтронов в быстром реакторе / В.М. Романов, А.В. Ильин // Атомная энергия. 1990. - Т. 69. - Вып. 6. - С. 358282.

163. Шиманская, Т.М. Новые алгоритмы идентификации заданного периода разгона и текущей реактивности реактора в режиме реального времени / Т.М. Шиманская, А.А. Шиманский, Е.С. Матусевич, М.Ю. Зайцев // Атомная энергия. 1990. -Т. 69. - Вып. 5. С. 278-282.

164. Spriggs, G.D. A Summary of Measured Delayed Neutron Group Parameters /, J.M. Campbell // Los Alamos National Laboratoiy report LA-UR-98-91 8, Rev.3.1999,5 p.

165. Борзаков, С.Б. Изучение кривых распада запаздывающих нейтронов при делении тепловыми нейтронами / С.Б. Борзаков, Ю.С. Замятнин, Ц. Пантелеев, Павлов С.С., И. Русков // ВАНТ, Сер, Ядерные константы. 1999, вып. 2, с. 5. 11.

166. Loaiza, D.J. Dominant Delayed Neutron Precursors to Model Reactivity Predictions for Multiple Fissioning Nuclides / D.J. Loaiza, F. E. Haskin //Nucl. Sci. Eng., 2000,v.l34,p. 22-36

167. Абрамов, Б.Д. О моделировании кинетики реактора с использованием различных данных по запаздывающим нейтронам / Б.Д. Абрамов // ВАНТ, Сер. Ядерные константы. 2003 вып. 1-2, с. 34-47.

168. Monta, К. Time Optimal Digital Computer Control of Nuclear Reactor / K. Monta // Nucl. Sci. Tecnol. -1966. -N 3. P. 418.

169. Venerus, J.C. Estimation of the Dynamic Reactivity Using Digital Kalman Filtering / J.C. Ven-erus //Nucl. Sci. Eng. -1970. V. 40. P. 199-205.

170. Lasota, C.S. Reactivity Estimation and Validation for the Control of Reactor Neutronic Power / C.S. Lasota // MIT, Cambridge, MA, 1993. 264 c.

171. Правила ядерной безопасности критических стендов (ПБЯ КС-98). Госатомнадзор России, Москва, 1998 г.

172. Бриккер, И.Н. Обращенное решение уравнений кинетики ядерного реактора / И.Н. Бриккер // Атомная энергия. 1966., Т. 21. - Вып. 1. - С. 9-13.

173. Сизов А.Н. Решение обратной задачи кинетики ядерного реактора / А.Н. Сизов // ВАНТ, Сер. Импульсные реакторы и простые критические сборки, 1980, вып. 1(5), с. 33-37.

174. Шокодько, А.Г. Улучшенное уравнение регрессии для определения реактивности реактора / А.Г. Шокодько // Препринт ФЭИ-2195. Обнинск: ФЭИ, 1991. - 8 с.

175. РМГ 43-2001. Государственная система обеспечения единства измерений. Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений» / Изд. Стандартов. 2002. -20с.

176. Марпл, C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения / C.JI. Марпл. М.: Мир, 1990.-584 с.

177. Ефанов, А.И. Вопросы измерения реактивности на больших реакторах / А.И. Ефанов, B.C. Лаврухин // ВАНТ, Серия: Физика и техника ядерных реакторов, 1979, вып. 3(7), Контроль и управление, с. 17-27.

178. Борисов, В.Ф. Анализ погрешностей измерителя реактивности / В.Ф. Борисов, О.А. Ком-шилов // Измерительная техника. 2002. - №10. - С. 49-52.

179. Новицкий, П.В. Оценка погрешностей результатов измерений / П.В. Новицкий, И.А. Зо-граф. Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 248 с.

180. Королев, В.В. Системы управления и защиты критических стендов / В.В. Королев, Е.С. Матусевич. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 96 с.

181. Королев, В.В. Системы управления и защиты АЭС / В.В. Королев. М.: Энергоатомиздат, 1986.- 128 с.

182. Харрер, Дж. Техника регулирования ядерных реакторов / Джордж Харрер. М.: Атомиздат, 1967. - 492 с.

183. Физика промежуточных реакторов / М.: Госатомиздат, 1961. 628 с.

184. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров / Й. Бард. М.: Статистика, 1979. - 349 с.

185. Химмельблау Д., Анализ, процессов статистическими методами / М.: Мир. 960 с.

186. Тютюнников, П.JI. Определение коэффициентов суммы экспонент методом дополнительных интегральных переменных / П.Л. Тютюнников // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. - Т. 20. - №4. С. 842.

187. Михайлов, Ф.А. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами / Ф.А. Михайлов, Е.Д. Теряев, В.П. Булеков, Л.М. Саликов, Л.С. Диканова. М.: Наука, 1971. - 558 с.

188. Бриттингем, Д.Н. Определение полюсов по измеренным данным в области действительных частот / Д.Н. Бриттингем, Э.К. Миллер, Д.Л. Уиллоус.- ТИИЭР. 1980, т.68, №2, с. 81-83.

189. Казанский, Ю.А. Экспериментальная физика реакторов / Ю.А. Казанский, Е.С. Матусевич. М.: Энергоатомиздат, 1994. - 352 с.

190. Макаренков, Ю.Д. Измерение реактивности методом удаляемого источника / Макаренков Ю.Д., Матков А.Г. // Ядерная энергетика. Обнинск: ИАТЭ. 1994. № 4-5. с.22-28.

191. Дроздов, Ф.С. Определение отрицательной реактивности методом выстреливания источника / Ф.С. Дроздов, А.С. Рычев // Атомная энергия. -1966. Т. 20. Вып. 1. - С. 74-75.

192. Вопросы физики ядерных реакторов. Труды ФЭИ, вып.1., 1968.

193. Импульсные и статистические методы исследования реакторов, том 1,2. ФЭИ, 1969.

194. Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов / Р. Уриг. М.: Атомиздат, 1974.-400 с.

195. Saito, К. On the theory of power reactor noise, part 1-3 / Keiichi Saito // Annals ofNucl. Sci. and Eng. 1974, Vol. 1. - P. 31-48,107-128.

196. Белоусов, В. И. Статистические методы измерения динамической реактивности. Обзор ФЭИ-0191 / В. И. Белоусов, И. А. Куприянова. М: ЦНИИАтоминформ, 1984. - 21с.

197. Волков Ю.В. Статистические модели в изучении динамики ядерных энергетических реакторов. Обзор ФЭИ-179 / Ю.В. Волков, И.А. Куприянова. М: ЦНИИАтоминформ, 1984.