автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование и оптимизация процессов многокомпонентного ионного обмена

московский государственный университет имени м.в.ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

ДМИТРИЕВ Эльдар Михайлович

УДК 517.358:536.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ИОННОГО ОБМЕНА

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени [савдидата физико-математических, наук

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.М.Денисов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Е.В.Венецианов.

кандидат физико-математических наук, Н.Н.Воскресекский.

Ведущая организация - Институт прикладной математики РАН.

■ по математике при МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, ГСП, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ЕМ МГУ.

Автореферат разослан " " 199 г.

Учеалй секретарь

Защита диссертации состоится

социализированного совета К.053.05.87

доцент

сшциалигирс

В.М.Говоров

ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность В последнее время в различных отраслях пргаыЕленности и в научных исследованиях все шире используется ионообменная сорбционная техника. В частности ионообменные установки, состоящие из большего числа ионообманкьж колонн, рзботащих в различных режимах, применяются для очистки промышленных стоков, фильтрации питьевой .веда, извлечена ценных элементов из морской взды. Слскность протекающих в таких установках процессов ведет к необходимости применения математических методов и вычислительной техники при их изучении и проектировании, а такхэ при поиске оптимального режима их работы. При этом возникает задачи моделирования и сп-га.'Т.гзацйя функционирования как отдельных узлов, так и всей установки в целом.

Цель работы Постановка и исследование некоторых задач моделирования и оптимизации многокошонентного ионного обмена в ионообменной колоше. Использование полученных результатов для численного моделирования и оптимизация процесса функцшшрования конкретной ионообменной установки.

Научная новизна Сформулирована сшшаннодиффузионная модель

мюгокомгонентного ионного обмена. Доказано существование и

единственность решения дифференциальной задачи, ошсыванцей

шогокомпононтный ионный обмен при смеианнодаффузиошой кинетике.

Для данной задачи построены разностные схемы первого и второго

3

порядка, исследован вопрос их сходимости. Сформулирована и изучена проблема выбора оптимального режима работы ионообменной колонны, как задача поиска экстремума некоторого целевого функционала.

Практическая ценность Подученные в работе результаты моделироания и оптимизации процессов. протекающих, в ионообменных колоннах использованы для моделирования и оптимизации работы ионообменной установки для извлечения ценных элементов из морской воды. Даны конкретные рекомендации по подбору режима работы данная установки, позволившие существенно повысить ее экономичность и эксшогичност ь.

Апробация работы Диссертационная работа и отдельные ее части обсуждались на научных семинарах кафедры математической физики факультета ШиК. Основные результаты диссертации были доложены на Всесоюзной школе-семинаре по сорбции и ионному обмену < 1990г. >.

Публикации По теме диссертации опубликовано четыре работы.

1. Тихонов H.A., Дмитриев З.М. Об оптимальном режиме регенерации ионообменного фильтра. - ТОХТ, 1990, 2*, т, с.839-842.

2. Дмитриев Э.Н., Тихонов H.A., Якунин С.А. Две разностные схемы для задачи динамики ионного обмена. - Вести. Моск. ун-та» Сер.16, Вычисл. матем. и шЗерн., 1991, Ш. с.25-30.

3. Дмитриев З.М., Тихонов H.A. Оптимизация процессов многокомпонентного ионного обмена. - Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и кийерн., 1992, №2, с.41-45.

4. Дмитриев Э.М., Тихонов H.A. Существование и единственность

4

решения алией задачи динамики мнсгс^мпокентного кош*:.. : обм&на. ХВМ и И». 1992, 32. Х7. с.ГТЗЗ-ПЗв.

Объем работы Лиссертагкя состоят из Введения, четыре:. г::ъ.з и заключения.

Содбрзгп-гке р-

зпедеккк приведена пгг"-

zccjîbдуемой проблемы, обоснсзака бе актуальностьдг::

связанней с т? :гграктеризс-зс-:г чбГлре.т

.г."?

В первой глазе формулируется я исследуется мзтемат модель динамики многокошокеитного ионного обмена в иоксс кслокне для смешаннодиффузиошюй ¡тактики.

В перзом параграфе рассмотрена елгбдуюцая модель z иошгого обмена при смеазкнасиффузиожей кинетике:

- + q < t > - + - - q < t ) —- - О, ( 1 )

ût c <Tx àt а à*

r.?!ta

—схая -змики

ÔK 1 11

£»t àc.

ôc.

/»t £ rfx l l 1

ri

k — "К.

< 2 )

<3>

(4)

< 5 >

e<x,0)=c <x>, л ( x,0)=a ix), l ot l ol

c^O, t >=c < t ) , a,(L,U=ari(t> ,

(6) <7>

I ДО >. ~ pûC Ci iiAtjZÎ'i KAjJïuïîilal*

зр&р'л, q_.it: '

Ы

M

1=1

аЗК?-':-:-осл в кс^с-к-», скг.р^сть ¿зкжбнкг сгоое-гга,

с ( х, I : г |с '■>■ .с . )-,г)| и а ' г ) = |а < х , I ) ,---а <х,Ы I

I ' ] I 1 )

кс.нцентрам-: компонент в растворе и в сорбенте соответственно.

с (X) = с ',*>,. ..с х)| И а <х)=|з (у } ..... а < х ,> о I 01 о>; I с- | о 1 он I

концентрации компонент з растворе и з сорбенте* в начальной момент времени, сра) = рГ1 (I >,...(I > 1 - концентрации компонент в

гзствстч? на зхоле кшгочкы, ¿•„<1' з '{.-._ .....<*> 1

I '1 ' ' * J

концентрации компонент в сорбенте кг выходе колонны, через которую з не^ поступает соровнт. I- - длина колонны, т - полное время процесса. и ^=^,....к- заряды и константы

обмена N компонент раствора, х, ь»»^«х, 1: >,. х,I>1 к

м < х , 4 > г.'^ < > . г ' • . . X , г г j - кощ&нтрацки компонент В ТОНКИЕ

соприкасаящссся слоях раствора к сорбента, .. и

, . ..,<?'" ] - ВНутГКДИффуЗИЭННЫб И ВНеЗНеДИ^фУЗИННКе I ' Vм }

кинетические коэффициенты.

3 данной модели уразньже < 1 > списывает перенос компонент с раствором к с сорбентом с учетом обмена ионами между этими двумя фазами, уравнения <2)-<э> описывают смошаннодиффугионную кинетику обмена ионами между раствором и сорбентом, соотношения <<♦> ' (соотношения Никольского) описывают равновесие компонент в тонких сопржсасапцкхся слоях раствора и сорбента. Частными случаями данной модели при и <*> являются соответственно

модели внешнедиффузионной и внутрщиффузионной кипбтики.

. чт:. Углича -. >-.?, мохе: л: деяз к гжду:

ц - = -^<3,0 , <5)

л -а*

--- ч - (а,О , ' !

<>4 а<»х 1

с <х,0)=с (х), а <ч,0)«а (л), ПО)

I 01 I 01

сг<0,-Ь 1 =Сгч< * », в1<1-,1:>»ап<<:>, <11,

ГДв Па,с)~ У (а,с),...? <а,с)

к1с1г(а,с)^-а1 f (а,с)=-, 1 = 1 ____N, <12'

1 1 *, 1 - +к Г•а,с) 1-

ра> 1 Л<в>

' I 'I

а функция г< а,с > задана как неотрицательное решение уравнения: N к с г*1-а

г I 1 I

у-=0, Г2Л. " (13)

^ 1 я, 1 1=<- Г 1-

П["

Из <в>-(9> и <1г>-<13» получены законы сохранения:

Ос^ Ла^.

- +■ п - =0, - + а - =0, < 1*» >

<П с Ох <П "Ох

N N

где ■сг<н,г)в-£с1<х,о , .

1=1 1=«

Поскольку функция *<«.с определена только для неотрицательных переменных а и с, реиение <в>-<и) следует искать в классе неотрицательных функций.

Во втором параграфе первой главы исследуется вопрос существования и единственности неотрицательного решения задачи <8)-<11).

Доказано, что решение «э>-ип единственно. Показано, что если начальные и граничные условия со<*>, ао<*), ср<1) и аг<а положительны, то существует положительное решение рассматриваемой задачи. При псмода предельного перехода доказано су^е-ствоваше

неотрицательного решения <в>-<и) для неотрицательных начальных ï граничных условий.

Вторая глава посвящена построению и исследованию разностных схем для дифференциальной задачи <e>-m>.

В первом параграфе построена и изучена неявная разностная схема ДЛЯ задачи <8>-(11> ДЛЯ случая qQ<t)sO, qc<t>eq=const:

Г1 -Г*

S i . ь

-• fla'.c.l, (16)

•И].

с"-с <*.), а°-а <х.>, cl=c_<fc, >, (17)

J О J ' J О J orí

¿"1,. . ,NX, i«l:I . . ,Nt,

где с' и «J - значения в точке <vV сеточных функций с и а, заданных на сетке «^.s^ ix¡ttt) ix^jqr.t^ir, j-jf...NK,i-i.,...n1.,

T L .

Nt=-» - }-

т qr J

Уравнения <e>-<9) аппроксимируются разностными уравнениями <i5>-U6> с первым порядке« аппроксимации по т.

Система аз>-<1&> приведена к эквивалентному виду:

где

íl-al-1+TfT(al-t,c1-1), (19)

J J ) j-»

Tla,c)a|f*<a,c), ...f^ia.c) j, klcir*l<a,c)-al

*f<a,c>=

i — 1 1

t+- Г Ча,с)<т+-)

a функция г.<а,с> задана как неотрицательное решение уравнения:

1-Г-1

с Г*Ча,с>-г

1«1т-- +к Г Ча,с)(г+-->

г "г

(сС)

Доказано, что уравшнкэ (го: имеет единственное неотрицательное решение при неотрицательных а и.е., и что решение разностной задачи, как и решение исходной даЗфер&кжалъной задачи, неотрицательно, если неотрицательны начальные и граничные условия. Показано, что имеет место сходимость разностного решения к точному. Проведена оценка затрат машинного времени машинной памяти при счете по схеме из>-<17>.

Во втором параграфе рассмотрена.неявная разностная схема:

~I —I -1

СГГ

с°=с <*■>, <*>.

} о ] ) О ] о Г I

<21 )

<гг>

<нз>

, . . .N„,1 = 1, . . .14,,

аппроксимирующая уравнения <в)-<п> со вторым порядком аппроксимации по т.

Система < г1>-< гг > приведена к эквивалентному виду:

1 .)-» 1 ■>-!

_ Л. Л. А.

а =а +стт (а. , с ),

) ) 1 .}-*

где

с =с 1-1

а* >аГ + I, ¡>"'->

■г"*!"4 + ^ (=г-ет)

Г, (л,с)"- <а>">

1 2 *,

В<г+-)*к Г11а,с1 ( т+-)

К" К"

а функция г<«,с) задана как неотрицательное решена уравнения:

У-=0. и- >

г х, *

1»1г<т+-> +к Г 1< а ,с ) (т+-)

Уравнение <29) того же вида что и <го> и имэе? единственное неотрицательное решение при неотрицательных а к с. Ввшенив разностной задачи неотрицательно, при неотрицательных начальных и граничных условиях и достаточно малом т. Для схеад <гп-<23> имеет место сходимость разностного решения к точному. Проведена оценка затрат машинного времени. и машинной памяти при счете пс схеме <г1>-(23>.

В третьей главе рассматривается вопросы оптимизации работь ионообменной колонны.

В первом параграфе исследована задача оптимальнагс управления процессами, протекавдими в ионообменной колонне, дм случая, когда скорость движения сорбента равна нулю, г управляющими функциями являются скорость движения раствора ч < * > I концентрации его компонент на входе колош« сгси5и<^ = «(«V * >. • • 4 > |. При этом должны удовлетворяться условия:

ГО

где ч , и ч - наибольшая и наименьшая технически зсг'г-.-/ые

ГПГХл »V . »*(

значения сксэзсти, а и, я и, - нгяЗольаая и нам*-"'- :ая

' .»ад I r^'v rl

значения кокиентрг^ии i-Й компоненты ::гтзога на ?ходо -

Кроме того заданы гмсеэдь сечения колонны - s, •

процесса - т, полный объем раствора пггх-гдя^его через колтнкг - v

и количества кгхлсй из компонент растЭора. гЕютупкзрв;© г кстгнну

- RsfR ,). Следовательно, допустим»» управлял©«

дайны удовлетворять условиям: т т

sjq<t)dt=v, S Ju <t(t)Qt=n,, 1=1,...N. (31)

О 0

у--~ccs^r, rpc' " 2

ионообменной колонне, поставлена как задача поиска Kancrr-'wa целевого функционала

т

JCq,u3=Jt:^c!L,tj^q(t)dt -»max, <Э2)

О

Вид функции зав2с:г от конфетной :.ъли

оптимизации. В том случае, когда целью оптимз^-ацш явл-тся увеличение концентрации ч-й -компонент»: з выходном растзоре. :^та функция будет иметь вид:

с (L,t)

Если же цель оптимизации - увеличение выхода n-й компоненты раствора .при уменьшении выхода остальных компонент, то

N-1

F.fcCL.tijsp^.L.t)- J^CL.t,.

где р,>о, i = i,...n - некоторые зессзые коэффициенты.

Замьнсй л&рем&нньх -=8«, (г* гадзча 'е?-'!2»,'эо»-

о

(за> сведена к эквивалентной задаче макс»азгик1:

ос ОС

- + — =-р ( V )-Г ( а ,с > ,

а* ег

¿а

-р ( V' Т ( а , с > ,

с I =с ^=0 °

р < V ; «¡а.®

а ( V )

а =з

, с ( _=и<у).

<33 > (3е*)

(35)

Г ' ч- > ..[ О , V] , р 1оЬ'<о , Го<у)с1у = Т

ии-П та*

И V ) ч^СО, УЗ и , Ги 1 V ) с) V ••».

О

. <3?>

(35)

1 1 1

где р е-, р ==-, а и<у> и р(^)

т1г, ^с? ■ ГИ1Х

тд* гчт

д ( V >

новые

управдяпаие- функции.

Получены выражения для производных Фреше функционала лср.из по и и по Р.

Для построения максимизирующей последовательности управлтцих функций у) >ит('« пределом которой является точка локального максимума функционала лср.из, предложено использовать мртод проекции градиента. Найден способ вычисление проекции произвольной интегрируемой с квадратом функции на множества допустимых управляющих функций и и.

Во втором параграф главы прие&дь.чы результаты- ?*>шб?вш

о

Рассмотрены две постановки задачи оптимального управления процессом регенерации - как задачи максимизации выхсха целевой компоненты раствора, и как задачи максимизации степени разгеления целевой и паразитной компонент раствора на выходе .

Для первсй постановки задачи в качестве целевого зыбрая функционал:

т

2Р1С1 так,

Лр.иЭн/ О

1=1

где р^о, 1=1,...N - весовые коэффициенты, м-к компонента раствора - целевая, а остальные компоненты - паразитнь:».

При второй постанов!« задачи целевой функционал задан в

ввде:

т

ЛСр.иЭггрр^-р^И««:»^ тах, О

где ^го, 1=1- весовые коэффициенты, м-я компонента раствора -цвжэвая.а 1-я его компоненты - паразитная.

Алгоритма, описанные выше, были реализованы в вше комплекса программ для ЭВМ. С его помощью решены задачи оптимального управления процессом регенерацией ионообменной колонны. Полученные результаты соответствуют фшико-химическсму сшслу протекала« в ионообменной колоше процессов.

Ч&тввртая глава посзящзка моделированию и оптимизации процесса работы ионообменной установки для извлечения цешвлх элементов из морской воды.

В первом параграфе проведено моделирование на ЭВМ процоса работы конкретней ионообменной установки для извлечения стронция и рубидия из морской воды. Необходимость численного моделирования

возникла, поскольку большое количество колош, применяемых в установке, а также использование всех технологических растворов в рецикле сделали практически невозможным выбор наилучшего реешз работы установки в целом на основе лабораторных экспериментов.

На основе экспериментальных данных подобраны парамвтрь модели динамики ионного обмена изученной в главе I. С использованием разностной схемы первого порядка рассмотренной д главе 2 проведено численное моделирование процессов, протекавдя: в отдельной ионообменной колонне. С псаэдыз подбора режима рабой всей установки, периодического по основным компонентам раствор; осуществлена, ее декодаозадия на отдельные у алы.

Во втором параграфе ревены задачи поиска наилучших решало; работы каждого узла моделируемой установки, с применений методов, разработанных в главе 3. На основе математическап моделирования и оптимизации предлпеена технологическая схема существенно отличаицаяся от исходной экспериментальной схемл тозвешдацая при найденных оптимальных режимах работы рентабельк проводить процесс извлечения стронция и рубидия из морской вода.

Таким образам на данном примере показана возмагность эффективность .исследования сложной иокообмзнней установки помощью математического моделирования в полном объеме - начиная выбора математической модели и определения ее параметров и конча поиском оптимального рекима работы установки.

Основные результаты диссертации

- исследована математическая модель многокомпонентного ионного обмена в ионообменной колонне, доказано существование

и единственность решения соответствующей дифференциальной задачи, получены оценки решеюм;

- построены и изучены консервативные разностные схемы .для рассматриваемой задачи, обладаицке первым и вторым порядком сходимости, и алгоритмы счета по схемам;

- постановлена и исследована задача оптимизации работы ионообменной колонны;

- создан комплекс программ, позволяющих моделировать и оптимизировать работу сложных ионообменных систем и их отдельных узлов, на основе которого проведена разработка и модернизация конкретной установки для извлечения ценных элементов из морской вода.