автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и оптимизация динамики частиц в протонных и мюонных коллайдерах

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

СНОПОК Павел Вячеславович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В ПРОТОННЫХ И МЮОННЫХ КОЛЛАЙДЕРАХ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003065341

Санкт-Петербург - 2007

003065341

Работа выполнена на кафедре теории управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель* кандидат физико-математических наук,

доцент Овсянников Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук.

профессор Жабко Алексей Петрович

Ведущая организация* Объединенный институт ядерных исследований

Защита состоится 3 октября 2007 года в 15 ч 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212 232 50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, 199034, В О , Университетская наб 7/9, Менделеевский Центр

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан 30 августа 2007 г

Ученый секретарь

доктор технических наук,

ведущий научный сотрудник

Плотников Сергей Валентинович

диссертационного совета

Курбатова Г И

Обшая характеристика работы

Актуальность работы. Задачи моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц представляют актуальные проблемы современной прикладной математики и связаны с физикой ускорителей или, на более общем уровне, физикой пучков

Современные протонные и проектируемые мюонные коллайдеры, рассчитанные на высокие энергии ускоряемых частиц, призваны решать задачи фундаментальной науки подтверждать или опровергать современные теории об устройстве и происхождении материи искать субатомные частицы, не встречающиеся на Земле в обычных условиях, моделировать условия, приближенные к условиям сразу после предполагаемого Большого Взрыва Ускорительные комплексы и коллайдеры разрабатываются и строятся усилиями международных сотрудничеств с целью найти ответы на вопросы, почему частицы имеют массу, какова истинная природа кварков и лептонов, в чем разница между веществом и антивеществом, что такое темная материя и темная энергия Чтобы коллайдеры могли успешно решать поставленные задачи, ограничения накладываемые на их параметры должны быть очень жесткими Постоянно растут требования к разрабатываемым устройствам по энергии частиц на выходе, точности изготовления оборудования силе управляющих и ускоряющих полей

Ускорители на мюонах представляют большой интерес, благодаря ряду достоинств по сравнению с протонными и электронными коллайдерами С одной стороны, размер мюонного коллайдера существенно меньше, чем размер протонного коллайдера, рассчитанного на такую же энергию, так как энергия покоя мюона значительно меньше энергии покоя протона Еще одним важным достоинством мюонного коллайдера в сравнении с прогонным является тот факт, что мюоны - истинно элементарные частицы в рамках Стандартной Модели Это означает, что при столкновении мюонов нет вторичных частиц, между которыми распределяется энергия, как это происходит с частицами, состоящими из кварков Таким образом, мюонно-антимюонные столкновения чистые, а эффективная энергия столкновения примерно в 10 раз больше, чем у протонных пучков с таким же импульсом С другой стороны, ббльшая масса мюонов приводит к существенному снижению мощности синхротронного излучения, что позво шет использовать в поворотных маг нитах более сильные поля и. следовательно, также вызывает уменьшение размеров мюонного коллайдера по сравнению с электронным

Чтобы обеспечить выполнение всех требований, предъявляемых к коллайдерам, необходимы математические модели, адекватно и как можно точно описывающие динамику частиц с учетом всех известных нелинейностей Для сопровождения процесса моделирования и внедрения ускорительной структуры математическими моделями, постоянно разрабатываются соответствующие программные пакеты Основным инструментом, используемым д.ш расчетов, приводимых в данной работе яв.шетея программа COSY INFINITY, позволяющая заранее рассчитать влияние оптики ускорителя на пучок частиц в виде функции перехода а затем использовать полученное

преобразование и при необходимости применять повторно чтобы исследовать поведение частиц в течение большого числа обо ротон Кроме того все расчеты ведутся с применением современных методов дифференциальной алгебры и алгоритма перехода к нормальной форме Использование гаких подходов позволяет существенно ускорить процесс расчета динамики пучка и оптимизации управляющих параметров рассматриваемых ускорительных структур Ранее методы функций перехода, дифференциальной алгебры и нормальных форм к решению задач, рассмотренных в диссертации, не применялись

В рамках исследований по тематике диссертационной работы был разработан комплекс программ для расчета и анализа динамики, который может применяться для более широкого спектра задач, чем рассмотренные в диссертации

Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка алгоритмов и программных средств для моделирования динамики и оптимизации параметров протонного коллайдера Теватрон и проектируемого мюонного коллайдера 50x50 ГэВ для фабрики нейтрино

Для Теватрона необходимо разработать эффективную схему коррекции косоквадрупольных ошибок, возникших в сверхпроводящих диполях в процессе эксплуатации ускорительного комплекса Кроме того, необходимо оценить нелинейное отклонение характеристической частоты частицы в зависимости от ее положения в пучке, пользуясь информацией о линейной составляющей динамики и результатами измерений положения центра масс пучка в канале ускорителя

Для мюонного коллайдера задача состоит в максимизации динамической апертуры накопительного кольца, чтобы гарантировать прохождение всеми частицами 1000 оборотов без потерь в результате выпадения мюонов на стенки ускорительного канала

Меюды исследования. Для расчета динамики часаиц используются методы функций перехода, которые позволяют заранее рассчитать влияние оптики ускорителя на пучок частиц, а затем использовать полученное преобразование и при необходимости применять повторно, чтобы отслеживать поведение частиц для большого числа оборотов Все расчеты ведутся с применением методов дифференциальной алгебры и теории нелинейных нормальных форм Для оптимизации параметров ускорителей используются различные методы оптимизации, такие как симплекс-метод, модифицированный метод Ньютона, метод отжига

Научная новизпа работы. Новыми являются следующие результаты • Поставлена задача косоквадрупольной коррекции в Теватроне для рептения которой используются методы дифференциальной алгебры и функций перехода, предложены различные схемы коррекции и из них выбрана наиболее эффективная схема

• Разработан комплекс программ для решения задачи косоквадрунольной коррекции в Теватроне, позволяющий проводить преобразование исходного кода описания оптики из формата программы OptiM [6J в формат COSY INriNriY, проводить оптимизацию косоквадрупольных ошибок, моделировать динамику частиц, визуализировать результаты расчетов

• Поставлена и решена задача оптимизации динамической апертуры канала накопительного кольца мюонного коллайдера введены три различных вида целевых функций, проведена оптимизация с каждой из функций, выбран наиболее эффективный метод

• Найден способ приближенного вычисления нелинейного отклонения характеристической частоты по результатам измерений, корректность предлагаемого приближения проверена сравнением с независимыми реализациями

Практическое значение диссертационной работы.

• С помощью предложенной математической модели оптимизации косоквадрупольных ошибок в Теватроне исследованы различные схемы коррекции, отобрана наиболее эффективная схема. Предложенная схема с незначительными изменениями, вызванными техническими особенностями и наличием дополнительных ресурсов, была реализована при очередном плановом отключении Теватрона Использование указанной схемы коррекции позволило упростить работу с пучком частиц и улучшить его характеристики

• Пакет программ, разработанный для оптимизации косоквадрупольных ошибок в Теватроне, представляет самостоятельную ценность и может быть использован в дальнейшем для расчета и анализа динамики частиц в условиях постоянно меняющихся параметров ускорительной структуры, визуализации полученных результатов

• Предложенные схемы увеличения динамической апертуры накопительного кольца мюонного коллайдера 50x50 ГэБ могут быть без существенных изменений перенесены на случай исследуемого в настоящее время накопительного кольца 750x750 ГэВ с геометрией, соответствующей туннелю Теватрона Заинтересованность в разработке модети такого накопительного кольца вызвана планируемым в 2009 году отключением Теватрона и необходимостью задействовать имеющуюся инфраструктуру

• Алгоритм оценки нелинейного отклонения характеристической частоты по результатам измерений носит общий характер и может быть применен для любой друюй симплектической системы при условии наличия соответствующих измерений

Реализация и внедрение результатов рабо гы. Результаты,

представленные в диссертационной работе используются в рамках пилотного проекта №22 факультета прикладной математики - процессов управления «Прикладные математика и физика» инновационно-образовательного проекта Санкт-Петербургского государственного университета

Результаты оптимизации параметров Теватрона и предложенная схема косоквадрупольной коррекции реализованы в августе 2004 года в национальной ускорительной лаборатории им Ферми

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научных конференциях по вычислительной физике ускорителей (1САР'04, Санкт-Петербург, 2004), автоматическому дифференцированию (AD'04, Чикаго, 2002), физике и управлению (PhysCon'05), устойчивости и процессам управления (SCP'05, Санкт-Петербург, 2005), физике ускорителей (РАС'05, Ноксвилл, 2005, ЕРАС'06, Эдинбург 2006, РАС'07, Альбукерке, 2007), на научных семинарах на факультете прикладной математики - процессов управления СП61~У (2003 2004 и 2007 гт), в национальной ускорительной лаборатории им Ферми (2003. 2004 2005 и 2006 гг), университете штата Мичиган (Michigan State University. 2006 г)

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 9 публикациях, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 1 работа, опубликованная в издании, рекомендованном ВАК

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка литературы Работа изложена на 128 страницах машинописного текста, содержит 33 рисунка и 1 таблицу Библиографический список содержит 78 наименований

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблем расчета и оптимизации динамики частиц в протонных и мюонных коллайдерах и необходимость разработки математических моделей и программных средств для решения указанных проблем, дан обзор текущих исследований по материалам диссертации, приводится описание структуры основной части работы и методов, используемых для расчета и оптимизации динамики

Первая глава диссертационной работы посвящена постановке трех задач, решения которых рассматриваются в главах со второй по четвертую

Задача косоквадрупольной коррекции динамики частиц в Теватроне при наличии косоквадрупольных ошибок в полях, создаваемых сверхпроводящими диполями кольца, возникла в результате смещения сверхпроводящих обмоток диполей в процессе эксплуатации ускорительного комплекса в период с начала 80-х юдов по настоящее время Смещение обмоток вызвало появление значительной по величине косоквадрупольной составляющей, которая не могла быть скорректирована имеющимися семействами корректирующих магнитов В течение планового отключения ускорительного комплекса в августе 2004 года 50% ошибок в магнитах могли быть исправлены физически, устранением смещения обмоток Задача состояла в том, чтобы разработать наиболее эффективную схему выбора 50% диполей для коррекции положения обмоток,

рассчитать значения сил косоквадрупольных корректоров при реализации найденной схемы, продемонстрировать качественно и количественно результаты оптимизации

С математической точки зрения идея косоквадрупольной коррекции заключается в развязывании динамики частиц в горизонтальном и вертикальном направлении Пусть х1 и х2 - фазовые координаты в горизонтальной плоскости, У1 и у2 - в вертикальной плоскости (х2 и у2 представляют собой составляющие приведенного импульса в горизонтальном и вертикальном направлениях, соответственно) В указанных обозначениях факт развязывания плоскостей соответствует наложению определенных ограничений на функцию перехода, связывающую координаты частиц пучка до и после одного полного оборота в ускорителе В линейном случае этими ограничениями будут

= 0, Дг'" = 0, Дг!" Р>х'/>

= 0,

ду»>

Эу,1" = 0, дУГ = 0, = 0, (п ду2

Ас,1" 6x1"

= 0,

= 0,

где индексы (<) и (/) обозначают начальные и конечные значения фазовых переменных, соответственно Таким образом, одним из вариантов целевой функции может быть сумма модулей величин в левых частях формул

В нелинейном случае число ограничений возрастает, и в качестве целевой функции может быть использовано следующее выражение

I! I

э^

НуПЧУГГ

э(*гУэ№У

При оптимизации используется либо одна, либо другая целевая функция Обе целевые функции ограничены снизу нулем Количественным показателем эффективности развязывания плоскостей служит близость целевой функции к нулю после оптимизации

В результате изменения параметров системы в процессе оптимизации, могут измениться также характеристические частоты системы, что недопустимо Поэтому вместе с одной из вышеописанных целевых функций рассматривается дополнительная функция, отвечающая за постоянство характеристических частот

М,

' \(Ъх,<"

бх:' ■ дх'/ -агссов, — . +——

• /1

(

1 ( Ъу[п Эу\

^-агссоз^-^,,

а?;1

где цх и //у - постоянные значения

Оптимизация проводится в два независимых этапа, так как наборы управляющих параметров различны косоквадрупольная коррекция осуществляется подбором сил косоквадрупольных корректоров, в то время как сохранение характеристических частот достигается изменением сил главных квадруполей кольца

Задача расчета и оптимизации динамической апертуры канала накопительного кольца мюонного коллайдера 50x50 ГэВ вызвана

необходимостью улучшить параметры имеющейся модели посредством изменения сил корректоров высоких порядков, расположенных в непосредственной близости к точке взаимодействия пучков Динамическая апертура накопительного кольца коллайдера служит основным критерием оптимизации Динамическая апертура характеризует объем фазового пространства, такой, что все частицы с координатами из этого объема остаются в канале ускорителя на протяжении заданного числа оборотов Чем больше значение динамической апертуры, тем больше частиц может быть захвачено в режим ускорения Также, увеличение динамической апертуры указывает на потенциал дальнейшего уменьшения размера пучка в точке взаимодействия и, как следствие, большую светимость при взаимодействии пучков Рассматриваются три модели с различными целевыми функциями В первом случае

л/

У

' 5

минимизируются нелинейности низших порядков - второго и третьего, с целью привести систему к возможно более линейному виду Здесь г = (г1,г2.г3,г4) -

вектор фазовых переменных, 1 г,*1^ г, ) характеризует нелинейную зависимость фазовой координаты от начальных фазовых координат Нумерация целевых функций следует обозначениям, введенным в диссертации Во втором случае

(

П'

минимизируются резонансы низших порядков, наиботее разрушительным образом влияющие на динамику частиц, величина А* характеризует близость к резонансу Для получения сил резонансов используется алгоритм перехода к нормальной форме В третьем случае

/7 ={тах(г, + г,) IМк(.г, ,, V,) = (хпа],у , ,Ь/),I а,, к/7,1 у, к/7,

_' _ __ __ (1)

, = = 1,1000,^/х,2 +а; = /1<ЛУ V,2 +Ь; = >,}

сама динамическая апертура используется в качестве целевой функции Набор фазовых переменных обозначается здесь символами (х,а,у,Ь), х и у задают горизонтальную и вертикальную координаты частицы пучка, а и Ь -приведенные горизонтальную и вертикальную составляющие импульса соответственно Обозначение ЛЛк указывает на повторное применение функции перехода к раз, таким образом, к задает число оборотов, в течение которого горизонтальная и вертикальная координаты частиц пучка должны оставаться в пределах некоторого ограничения, величина которого задается параметром г/

Первые две из введенных целевых функций ограничены снизу нулем, для них проводится минимизация, последняя целевая функция не ограничена сверху, и ее значение должно быть максимизировано, полому рассматривается

функция В- /,, где О заведомо больше ожидаемой динамической апер'гуры, и

Проводится ее минимизация.

Задача Оценки значения нелинейного отклонения характеристической частоты по результатам измерений положения пучка в канале ускорителя связана с необходимостью найти отклонение характеристической частоты в том случае, если нет достаточной информации о нелинейной составляющей динамики. Как правило, линейная составляющая динамики известна с достаточной степенью точности, недостающая же информация о нелинейноетях, необходимая для нахождения отклонения может быть восстановлена по результатам специальных измерений.

Ключевую роль в нахождении нелинейного отклонения характеристической частоты играет алгоритм перехода! к Нормальной форме. Переход к нормальной форме представляет собой набор нелинейных преобразований координат, после осуществления которых динамика частиц представляется в наиболее удобном для пеней исследования виде. В частности, известно, что в отсутствие резопаиеов, динамика части ц в нормальных координатах полностью описывается вращением с характеристической частотой, зависящей от положения частиц:

где Д, - известная линейная часть характеристической частоты, г - амплитуда частицы в нормальных координатах. с\ и с, - неизвестные коэффициенты. При этом усредненная характеристическая частота в исходных координатах совпадает с характеристической частотой в нормальных координатах, так как вклад от первичного преобразования координат и преобразования обратно к лабораторным координатам перестает играть роль при значительном количестве оборотов частиц в системе-

Измерения позиции центра масс пучка производятся после кратковременного воздействия специального корректора, вызывающего смещение пучка в горизонтальной шш вертикальной плоскости, Поведение амплитуды центра масс после такого возмущения проиллюстрировано на рис. 1.

(2)

О ГЧ ¿UUU 4UUU ьиии виОО

Число оборотой

Рис. 1 Поведение амплитуды центра масс после возмущающего воздействия

Спад амплитуды вызван перераспределением частиц в пучке, которое может быть смоделировано (после перехода к нормальным координатам) воздействием на координаты частиц пучка функцией перехода

. „ (соь2Щ1(г) -ып2т1(г)\ М = \ (3)

^бш 1лц(г) сое2Щ1(г) ) Если корректно подобрать коэффициенты с^ и с, в разложении //(/), то форма кривой, полученной в результате отслеживания центра масс модельного распределения, на которое повторно воздействуют функцией перехода ,\Л, будет такой же, как форма кривой, полученной по результатам измерений Следовательно, задача свелась к нахождению коэффициента с,, а если в наличии имеются несколько измерений с различными начальными амплитудами смещения, то, возможно, и г,, таких, что форма модельной кривом повторяет форму результата измерений Иначе говоря, задача состоит в установлении соответствия между характеристическими точками двух кривых, например точками, в которых амплитуда центра масс уменьшается в два раза

Целевая функция для поиска соответствия кривых может быть задана следующим образом

/(с, г2)=*Т)У2(сис2)~ Ыу, I, (4;

где т]ь1(,с^с2) - число оборотов (число повторов применения функции ЛЛ), после которого амплитуда модельной кривой уменьшится в два раза. -число оборотов, после которого амплитуда измеренной кривой уменьшится в два раза

Чтобы проводить минимизацию целевой функции необходимо получить формулы расчета центра масс модельного пучка нос ¡с воздействия на на о функцией перехода М В главе 4 представлены варианты формул дтя различных начальных распределений частиц в пучке

Часть введенных целевых функций не обладает свойством ыадкости В таком случае используются методы оптимизации, не требующие I идкости минимизируемых функций (симплекс-метод и метод отжига)

Во второй главе описываются методы, алгоритмы программные средства и результаты расчетов по косоквадрупольной коррекции в Тсвагронс Решается задача нахождения наиболее эффективной схемы физического исправления 50% диполей с недопустимо большой косоквадрупольной составляющей магнитного поля и поиска оптимальных значений силы косоквадрунольных корректоров, после реализации выбранной схемы коррекции В роли целевой функции выступает композиция компонент функции перехода, отвечающих за связь плоскостей Различные варианты целевых функций дтя линейного и нелинейного случаев введены в главе 1 Кроме того, вводится цетевая функция контролирующая постоянство характеристической частоты системы при изменении параметров структуры

Данная задача рассматривалась различным со ¡рудниками национальной ускорительной лаборатории им Ферми, но ранее не ставилась в форме минимизации указанных целевых функций, а методы дифференциальной алгебры - не применялись В процессе поиска решения было рассмотрено

порядка десяти различных схем коррекции ошибок в диполях, из них выбрана наилучшая, которая и была реализована при очередном плановом отключении Теватрона в августе 2004 года с минимальными изменениями

Пакет программ, разработанный для решения задачи оптимизации параметров Теватрона, состоит из трех основных частей

1 Программа-конвертер предназначена для преобразования описания оптики ускорителя из формата программы OptiM в формат программы COSY INFINITY, так как описание структуры Теватрона доступно в формате OptiM, а моделирование и оптимизация проводятся с применением средств COSY Описание интерфейса программы приводится в главе 2, а детали ее реализации - в Приложении к диссертации Программа написана в среде PHP, поддерживается и может быть найдена в свободном доступе но адресу http //соьу pa ni^u iduAonviT4rs/opuM2cosv/ Ее интерфейс показан на рис 2

The OptiM to COSY Converter

lafomallfll »lioNl flu converter

lb* шрелап. btnnb* efcmetas art roafaK4jse Ac wipiM»* teк adode

I -ikr' k.<Hc (фргочэзда«> TJ —г rd ЬЙКЬ Sacif riematf» «цц|'1и Ьт

OpüM ' 'J' (Lifts ' CGOIKKl3xd xA nr. Ъг F tu b« ¿d|03ttd MnMt*

FV« r ш., ms* Sk \5 Sir л&ггш. a iac büke -г ш хк "Зе

towprtfr [ntffürf

1 Ц 'А.! i, ь - r MJvft-n ■ i iiVvi tri r ( ■>

V. Ч1,' г «i^vi^* j \ ч 'n

I ' w

-V^itrf-'tr Л* -вч I «W^MH^li^ r Ii

Рис 2 Интерфейс программы-конвертера описания оптики из формата OptiM в

формат COSY

2 Несколько версий основной программы для расчета и оптимизации динамики частиц, написанной в среде COSY INFINITY Необходимость нескольких версий вызвана анализом различных моделей коррекции косокватрупольных ошибок в дипотях, выбором различных целевых функций и методов оптимизации Описание оптики, используемое в любой версии программы, получено с помощью конвертера, описанного выше } Программа, обеспечивающая графический интерфейс пользователя для расчета и визуализации динамики частиц в Теватроне, написанная в среде разработки Matlab Потробиое описание программы приводится в одном из Приложений к диссертации Данная программа позволяет пользователю взаимодействовать с компонентом комплекса, отвечающим за расчет и оптимизацию динамики посредством текстовых файлов с параметрами Эффективность предложенной схемы коррекции оценивается качественно и котичественно Качественно эффективность развязывания плоскостей можно наблюдать на фазовых портретах, подобных приведенным на рис 3 Появление регулярных структур на фазовых портретах после оптимизации указывает на то,

что движение в горизонтальной плоскости не зависит от движения в вертикальной.

Ир ■ .........

Гис. 3 Сравнениефазовых портретов системы в плоскости (хг,х;) 350 и после

оптимизации

Количественная оценка определяется конечным значением целевой функции после оптимизации. В линейном случае функция перехода может быть представлена и виде матрицы, связывающей конечные значения фаговых координат с начальными. До оптимизации эта матрица имеет следующий вид:

03637584 0.0663166 -0.0971958Д

''-0,7553149 -0.8640196 -0.0251393

I

1^—0.4966847 а после оптимизации — {-0.8023857 ' -0.7143330 0.0043365 , -0.0077313

-0.9507699 -0.0621722 0.0614653

0.3107970 -0.9696470 -0,0022290 -0.0060658

-0.4305946 -0.8060247 -0,7083212

0.0059011

-0.0058075

-0.8445417 -0.5409385

0.1421480 0.3353297 -0.9862029,

—0.00254055 ^ -0.00487758

0.28890307 -0.99907987

Как видно из данного примера, после оптимизации элементы матрицы перехода, отвечающие за связь плоскостей, существенно уменьшились. К сожалению, полностью развязать плоскости не удается, что вызвано техническими особенностями; все корректоры в каждом из шести секторов Теватрона имеют общий источник питания, а следовательно, одну и ту же силу.

Третья глава «освящена вопросу оптимизации динамической апертуры накопительного кольца мюонного коп лайд ера. Задача заключается в увеличении фазового объема пучка и, как следствие, увеличении числа частил, захваченных в режим ускорение для увеличения светимости при столкновении.

В данной работе рассматриваются различные подходы к решению такого рода задачи для накопительного кольца мюонного коллайдера 50x50 ГаВ. Отталкиваясь от имеющейся модели оптики, добавлением муяьтипольных моментов в сверхпроводящие магниты Секции финальной фокусировки можно добиться максимизации динамической апертуры.

Основная проблема, делающая эту задачу сложной - большое количество пели ней и остей, которые необходимо контролировать притом, что число корректоров, вообще говоря, ограниченно, и чем их меньше, тем лучше. Наиболее эффективным подходом к решению этой проблемы, является

использование собственно динамической апертуры в качестве критерия оптимизации Соответствующая целевая функция введена в первой главе и задается соотношением (1) Другие методы, такие как минимизация наиболее значительных аберраций высших порядков или минимизация сил резонансов, также рассмотрены и оказываются менее эффективными

При работе с динамической апертурой и силой резонансов большую роль играет алгоритм перехода к нормальной форме, изложенный в одном из Приложений к диссертации и необходимый для расчета величин, входящих в правые части целевых функций, и для сравнения результатов расчетов в единой системе координат

Количественные результаты оптимизации приведены в Табл 1, где указано число корректоров высоких порядков (октуполей, декаполей, додекаполей) и результирующее значение динамической апертуры

Табл 1. Результаты оптимизации дин, апертуры

минимизация нечинейных членов минимизация резонансов максимизация динамической апертуры

Рост динамической апер гуры 1,43 раза 1,71 раза 1,85 раза

Чис ю корректоров 1 октуполя + 2 додекаполя 3 октуполя + 1 додекаполь 2 октупотя

Качественно увеличение динамической апертуры может быть продемонстрировано фазовыми портретами до и после оптимизации, показанными на рис 4 где четко прослеживается увеличение фазового объема, в котором частицы остаются устойчивы на протяжении требуемого числа оборотов

13о

Рис. 4 Сравнение фазовых портретов до и после оптимизации динамической апертуры

В четвертой главе рассматривается задача оценки нелинейного изменения характеристической частоты в зависимости от положения частицы в пучке по результатам измерений

Найти нелинейное изменение характеристической частоты при изменении положения частицы в пучке не всегда просто по той причине, что нелинейная составляющая динамики может не быть известна с достаточной точностью В то же время есть способ найти отклонение характеристической частоты, если в наличии имеется ряд специфических измерений и некоторая дополнительная

информация, которая практически всегда доступна размеры пучка, тип распределения частиц в пучке, достаточный объем информации о линейной оптике (известна матрица перехода полного оборота)

Данная задача в полной мере использует потенциал алгоритма перехода к нормальной форме и тех достоинств, которые предлагает рассмотрение динамики пучка частиц в нормальных координатах В частности, известно, что в отсутствие резонансов, динамика частиц в нормальных координатах полностью описывается вращением с характеристической частотой, зависящей от положения частиц Как указано в первой главе при формулировке задачи, неизвестный коэффициент с, в разложении характеристической частоты (2) может быть найден путем минимизации расстояния между характеристическими точками модельной и измеренной кривых, характеризующих амплитуду центра масс пучка Если в наличии имеются результаты нескольких измерений с различными начальными смещениями центра пучка, можно восстановить и коэффициент с2

Основной проблемой для решения данной задачи является нахождение аналитического выражения или численного алгоритма расчета центра масс модельного распределения частиц, с помощью которого определяется кривая, сравниваемая с результатами измерений

В главе 4 рассмотрены различные варианты начальных модельных распределений частиц в пучке, дающих разную степень точности приближения отклонения характеристической частоты равномерное распределение частиц в секторе, эллиптический пучок с равномерным распределением частиц, нормальным распределением частиц, произвольным распределением частиц с известной функцией плотности распределения

Для всех рассмотренных случаев найдено выражение для поиска центра масс пучка после произвольного числа оборотов (применений к координатам частиц в пучке функции перехода вида (3)) либо в явном виде в терминах функций Френеля (только для равномерного распределения частиц в секторе), либо в интегральном виде В последнем случае для нахождения координат центра масс использовался модифицированный метод Симпсона. Программный код, реализующий расчет центра масс модельного распределения после заданного числа оборотов, написан в среде Matlab, начальное распределение в нормальных координатах после смещения центра пучка получено с помощью COSY INFINITY

В результате минимизации целевой функции (4) по параметру с, с нормально распределенным эллиптическим модельным пучком получены результаты, проиллюстрированные на рис 5 На графике изображены пунктиром - результаты моделирования и оптимизации (сопоставление ведется с результатами измерений, сделанных в январе 2006 года), сплошной линией -нелинейная модель Теватрона, достаточно точно описывающая реальную ускорительную структуру (отражает изменения, внесенные в структуру по ноябрь 2005 года) Такое сравнение делается для того, чтобы определить точность метода приближенного нахождения отклонения характеристической частоты

<

— нелинейная модель результат оптимизации

°0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Число оборотов

Рис 5 Сравнение измеренных и модельных данных Амплитуда центра масс пучка после заданного числа оборотов

Использование нелинейной модели позволяет сравнить значения коэффициентов с^ Налицо соответствие кривых, небольшие различия возникают из-за того, что нелинейная модель является приближением к оптике реальной машины, и сам метод поиска возвращает приближенное значение сг Количественное сравнение показывает, что расхождение значений коэффициентов находится в пределах 2%

Кроме сравнения с нелинейной моделью было 1гроведено также сравнение с зарекомендовавшей себя формулой оценки нелинейного отклонения характеристической частоты, выведенной в работах Р Меллера и других Расхождение результатов - менее чем 0 4%

Достоинство предложенного способа оценки отклонения характеристической частоты заключается в том, что он может быть использован для произвольного распределения частиц в пучке, в то время как метод, предложенный Метлером и коллегами, подходит только для пучков с нормальным распределением частиц

В заключении по результатам исследования сделаны кра1кис выводы, представлен список результатов, выносимых на защиту

На защиту выносятся следующие результаты

• Сформулированы новые задачи оптимизации параметров протонных и мюонных колтайдеров

• Разработаны алгоритмы и программные средства для проведения оптимизации, в том числе, программный комплекс для расчета, оптимизации и визуализации динамики частиц в Теватроне

• Предложены две эффективные схемы косоквадрупольной коррекции в условиях неполного удаления косоквадрупольной составляющей поля главных диполей (50%) для Теватрона, одна из схем с минимальными изменениями, продиктованными техническими особенностями, реализована в августе 2004 I ода

Основные положения, выносимые на защиту

• Разработаны и проверены три различных подхода к максимизации динамической апертуры мюонного коллайдера 50x50 ГэВ, найдены схемы коррекции, гарантирующие увеличение динамической апертуры в 1 85 раза с применением минимального числа корректоров

• Предложен алгоритм оценки отклонения характеристической частоты колебаний частиц в Теватроне по результатам измерений, эффективность реализованного программно алгоритма проверена на результатах измерений и независимых исследований Результат носит общий характер, может быть применен для оценки частоты колебаний частиц в любой симплетической динамической системе, которая может быть приведена к нормальной форме

Список публикаций по теме диссер гации Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

П В Снопок, Д А Овсянников, А Д Овсянников, К Дж Джонстон, М Берц Моделирование и оптимизация области взаимодействия мюонною коллайдера // Вестник СПбГУ Сер 10 2006, вып 1

Публикации в других изданиях

1 Pavel Snopok A Converter Program for Tevatron Lattices from OpliM to COSY INFINI ГУ // Dept of Physics and Astronomy, Michigan State University East Lansing, MI 48824, MSUHEP-40909, 2004

2 P Snopok, С Johnstone, M Berz, D A Ovsyannikov, A D Ovsyannikov Highorder Simulation of Muon Collider Interaction Region // Proc of Stability and Control Processes international conference, pp 292-297 /DA Ovsyannikov, L A Petrosyan (Ed ), St-Petersburg State University, St-Petersburg, 2005, ISBN 5-9651-0088-4

3 P Snopok, M Berz, К Makino, С Johnstone Simulation and Optimization of the Tevatron Accelerator // Lecture Notes on Computational Science and Engineering, Springer, vol 50, pp 199-209, 2005

4 Pavel Snopok, Carol Johnstone, Martin Berz Decoupling Schemes for the Tevatron in the Presence of Skew Quadrupole Fields // Proceedings of 2005 Particle Accelerator Conference, Knoxville, Tennessee, 2005

5 P Snopok, D A Ovsyannrkov, A D Ovsyannikov, С Johnstone M Berz Muon Collider interaction region simulation and optimization // Proc of 2005 International Conference Physics and Control, pp 278-281 / A L Fradkov, A N Churilov (Ed), IEEE, 2005 ISBN 0-7803-9235-3

6 P V Snopok, С J Johnstone, M Berz, D A Ovsyannikov, A D Ovsyannikov Study and Optimal Correction of a Systematic Skew Quadrupole Field in the Tevatron // Nuclear Instruments and Methods, p 142-146, vol 558, issue 1, 2006

7 P Snopok, M Berz, С Johnstone Calculation of Nonlinear Tune Shift Using Beam Position Measurement Results // Department of Physics and Abtronomy, Michigan State University, East Lansing, MI 48824 MSUHEP-070421 2007

8 P Snopok, С Johnstone, A1 Garren Recent Progress in Muon Collider LatUce Design // Department of Physics and Astronomy, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, MSUHEP- 070420, 2007

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физическою факулые1а СПбГУ Приказ Лг 571/1 от 14 05.03. Подписано в печать 29.08.07 с оригинал-макета заказчика Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз., Заказ .У« 565/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Глава 1. Постановки задач

1.1 Постановка задачи оптимизации динамики частиц в Тева-троне.

1.1.1 Линейная задача.

1.1.2 Нелинейная задача.

1.1.3 Сохранение характеристической частоты.

1.2 Постановка задачи оптимизации накопительного кольца мю-онного коллайдера.

1.2.1 Динамическая апертура.

1.2.2 Минимизация нелинейностей.

1.2.3 Минимизация резонансов.

1.2.4 Динамическая апертура как целевая функция

1.3 Постановка задачи оценки нелинейного изменения характеристической частоты в зависимости от положения частицы в пучке по результатам измерений.

Глава 2. Оптимизация динамики частиц в Теватроне

2.1 Причины возникновения косоквадрупольных ошибок

2.2 Преобразование исходных данных.

2.3 Детали моделирования, результаты трекинга частиц

2.4 Схемы коррекции косоквадрупольных ошибок в диполях

2.5 Результаты оптимизации

Задачи моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц представляют актуальные проблемы современной прикладной математики и связаны с физикой ускорителей или, на более общем уровне, физикой пучков [11,19,40,41,67]. Физика пучков занимается не только вопросами динамики частиц в ускорителях, но и динамикой пучков в целом в различных электрофизических устройствах, таких как электронные микроскопы, лазеры, рентгеновские установки, оборудование для компьютерной томографии, а также динамикой множеств близких траекторий, занимающих малые объемы по сравнению с объемом фазового пространства, что, в частности, в астрофизике при расчете траекторий летательных аппаратов.

Данная работа посвящена построению математических моделей и численному анализу проблем физики пучков.

Несмотря на молодость — с момента выхода в свет статьи Куранта и Снайдера [33], где подробно рассматривается линейная динамика частиц в синхротронах, прошло меньше полувека, — теория расчета и оптимизации динамики частиц в ускорительных установках имеет прочные основы, ряд классических положений и трудов.

И это не удивительно, если принять во внимание темпы роста требований к разрабатываемым устройствам по энергии частиц на выходе, точности изготовления оборудования, силе управляющих и ускоряющих полей. Так, Теватрон — ускоритель, название которого еще не раз встретится в данной работе, — работает в настоящее время на энергии центра масс при столкновении частиц 2 ТэВ, частицы находятся в ускорительном канале на протяжении миллионов оборотов, и вместе с тем, пучок должен иметь диаметр порядка миллиметров, что означает, как минимум, разницу в масштабе порядка 1013. Налицо необходимость точных расчетов, оценки устойчивости динамики и допусков при изготовлении и установке деталей ускорителя.

Математические модели сопровождают любую ускорительную структуру на протяжении всего жизненного цикла: от момента, когда ускоритель — всего лишь идея, и до последнего цикла ускорения частиц, а зачастую и после. Так, в настоящее время остро стоит вопрос дальнейшей судьбы Теватрона, который в ближайшее время должен быть деко-миссован. Но после того, как ускоритель, который многие годы являлся эталоном достижений научной и инженерной мысли, остановится, что придет ему на смену? Есть готовый туннель длиной 6 километров, который может с успехом стать домом для ускорителя нового поколения. И исследования в этом направлении ведутся. В диссертации представлена модель небольшого накопительного кольца мюонного коллайдера, рассчитанного на накопление частиц с энергией около 50 ГэВ, поэтому длина кольца измеряется всего лишь сотнями метров. В то же время, аналогичное кольцо, рассчитанное на энергию центра масс порядка 1.5 ТэВ, может быть размещено в туннеле Теватрона. До последнего времени большого интереса к этому проекту со стороны научного сообщества не было, но сейчас ситуация меняется. В национальной ускорительной лаборатории им. Ферми активно ведется разработка различных моделей мюонных коллайдеров, в том числе, есть заинтересованность и в варианте оптики, вписывающемся в геометрию туннеля Теватрона. Вариант дизайна такого кольца был предложен автором на совещании по мюон-ным коллайдерам в университете Калифорнии в Лос-Анжелесе в январе 2007 года [73].

Для сопровождения процесса моделирования и внедрения ускорительной структуры адекватно и как можно более точно описывающими ее математическими моделями, постоянно разрабатываются соответствующие программные пакеты [10,30,31,42,43,61]. Все они могут быть подразделены иа несколько классов, различающихся по быстродействию и потенциалу. Часть программных средств позволяет производить расчет динамики отдельных частиц пучка, и требует пересчета динамики всего ускорителя в виде решения систем дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений [12,37]. Такой подход оправдан, если важно иметь как можно больше информации о каждой частице пучка, например, для учета взаимодействия частиц [8,13,16]. С другой стороны, очевидным недостатком такого метода является необходимость пересчитывать полностью траекторию каждой частицы или всего пучка в целом. Особенно заметными становятся затраты на вычисления для циклических ускорителей, где необходимо отслеживать динамику частиц на протяжении многих миллионов оборотов.

Другая группа программных пакетов позволяет заранее рассчитать влияние оптики ускорителя на пучок частиц, а затем использовать полученное преобразование и при необходимости применять повторно, чтобы отслеживать поведение частиц для большого числа оборотов [31,55,61]. К этой группе программ относится COSY Infinity [29,55], разрабатываемая в Мичиганском университете, и являющаяся основным инструментом, используемым для расчетов, приводимых в данной работе.

Конечно, ни один программный пакет в настоящее время не является представителем конкретного класса, как правило, программы совмещают возможности использования различных подходов к расчету и оптимизации динамики пучков частиц.

Чтобы быть уверенным в правильности производимых расчетов, необходимо сравнивать результаты с расчетами, произведенными в других программах. Результаты части расчетов, представленных в диссертации проверялись другими кодами, такими как MAD [42,43,61] и OptiM [10].

При разработке программ одним из основных критериев является быстродействие: насколько эффективно можно получать результаты расчетов, чем приходится жертвовать для ускорения их получения, или, напротив, как можно точнее рассчитать динамику, если время не является критическим фактором.

В целях повышения быстродействия в COSY Infinity используются высокоэффективные алгоритмы работы с дифференциальной алгеброй и моделями Тейлора [26-28,53].

Кроме всего прочего, данная программа позволяет рассматривать динамику в так называемых нормальных координатах (normal form coordinates), которые могут быть получены сложным нелинейным преобразованием из обычных оптических координат. Нормальные координаты обладают важным достоинством: если алгоритм приведения функции перехода к нормальной форме работает (а ограничения на него не намного строже, чем типичные ограничения на желаемое поведение частиц в ускорителе вообще), то движение в новых координатах представляется наиболее интуитивным образом: как вращение с частотой, зависящей от положения частицы в пучке и параметров системы. Работа с нормальными формами является основой данной диссертации. Метод приведения функции перехода к нормальной форме описывается в подробностях в Приложении В и применяется к решению различных важных задач моделирования ускорителей.

Первая глава диссертационной работы посвящена постановке трех задач, решения которых рассматриваются далее в работе:

• Задача косоквадруполыюй коррекции динамики частиц в Теватро-не при наличии косоквадрупольных ошибок в полях, создаваемых сверхпроводящими диполями кольца;

• Задача расчета и оптимизации динамической апертуры канала накопительного кольца мюонного коллайдера 50 х 50 ГэВ;

• Задача расчета значения нелинейного отклонения характеристической частоты по результатам нескольких измерений.

Все постановки задач включают в себя введение целевых функций, которые в дальнейшем используются для проведения оптимизации различными методами.

Во второй главе описываются алгоритмы и программные средства, используемые для решения задач, сформулированных в Главе 1. Приведенные алгоритмы могут с успехом использоваться для решения подобных задач, возникающих для других ускорителей, для расчета и оптимизации динамики частиц, специфичных для циклических ускорителей в целом.

В линейной структуре частицы проходят канал ускорителя один раз, поэтому очень важно иметь как можно больше информации о полях, взаимодействии частиц, возможных отклонениях различных параметров системы. Иными словами, знать все, что возможно о нелинейностях в системе. Таким образом, оптимизация направлена на то, чтобы сделать движение настолько простым и понятным (линейным), насколько это возможно, и иметь достаточно контроля над нелинейностями.

В значительной мере все вышесказанное верно и для циклических ускорителей, но есть одно существенное отличие: частицы проходят одни и те же элементы структуры многократно. Поэтому здесь важнее знать как можно больше о долгосрочной устойчивости системы и тех факторах, которые могут нарушать эту устойчивость [50]. Алгоритм перехода к описанию динамики в нормальных координатах дает массу информации о таких факторах. Кроме того, что динамика может быть представлена в максимально простой для восприятия и понимания форме, параллельно рассчитываются такие характеристики как сила резонансов и отклонение частоты бетатронных колебаний в зависимости от положения частицы в пучке (амплитуды), а также различных параметров системы.

Алгоритмы, описываемые в Главах 2-4, позволяют рассчитывать динамику и оптимизировать параметры ускоряющих структур с использованием различных методов оптимизации [2-4,47,49,56,64].

Для оптимизации используются следующие методы: симплекс-метод Нелдера-Мида [64], модифицированный метод Ньютона (метод Левен-берга-Марквардта [49,56]) и метод имитации отжига (simulated annealing) [47]. Симплекс-метод хорошо подходит для поиска локального (а нередко и глобального) минимума гладких и негладких функций. В случае относительно простых гладких целевых функций он, как правило, менее эффективен, чем модифицированный метод Ныотона. Метод имитации отжига — один из широкого класса стохастических методов, способный во многих случаях отыскать локальный минимум функции, для которой другие методы оказываются неэффективными. К сожалению, одним из важных недостатков этого метода является очень большое число итераций. Метод имитации отжига может быть успешно использован для поиска начальных значений управляющих параметров. Модифицированный метод Ньютона наиболее эффективен при минимизации гладких функций с начальными значениями параметров вблизи точки минимума. В целом, этот метод менее стабилен, чем два описанных выше.

Все задачи, рассматриваемые в данной диссертационной работе, объединены общей темой — все они посвящены оптимизации динамики частиц в циклических ускорителях в общем, и конкретнее — в высокоэнергетических коллайдерах. Общими свойствами всех задач являются рассмотрение нелинейной динамики в циклических ускорителях и применение методов дифференциальной алгебры и преобразования функции перехода к нормальной форме.

В Главах 2-4 представлены решения следующих задач:

Косоквадрупольная коррекция в Теватроне. Теватрон — машина со множеством технических особенностей, затрудняющих ее описание в виде математической модели. Вместе с тем, можно выделить различные, независимые друг от друга семейства элементов управляющей оптики и использовать в качестве целевой функции некоторую характеристику, контролируемую данным семейством (или несколькими семействами). Так, в Теватроне, даже в фазе инжекции пучка, актуальна проблема ко-соквадрупольной ошибки, возникающей за счет смещения сверхпроводящих обмоток главных поворотных магнитов, в результате чего появляется существенная по величине косоквадрупольная составляющая магнитного поля. Два семейства косоквадрупольных корректоров используются в Теватроне в настоящее время для минимизации связи, возникающей между динамикой в горизонтальной и вертикальной плоскостях, вызванной ошибкой в диполях. Решается задача нахождения оптимальных значений силы корректоров, в роли объектной функции выступает композиция компонент функции перехода, отвечающих за связь плоскостей. Рассматриваются различные модели коррекции, предлагаются алгоритмы для проведения многоступенчатой оптимизации.

Данная задача рассматривалась различным сотрудниками национальной ускорительной лаборатории им. Ферми, соответствующие результаты могут быть найдены в работах [38,76,77]. Вместе с тем, задача в форме минимизации целевых функций (1.1.4) или (1.1.5) и (1.1.6) ранее не ставилась, а методы дифференциальной алгебры — не применялись. Автором были предложены несколько моделей коррекции, из них выбрана наилучшая, которая и была реализована при очередном плановом отключении Теватрона в августе 2004 года с минимальными изменениями, вызванными дополнительными возможностями персонала лаборатории. Описание отличий приводится в соответствующем параграфе Главы 2. Представлены как аналитические результаты, так и результаты численного анализа.

Для решения поставленной задачи был разработан комплекс программ, включающий в себя

• Программу-конвертер описания оптики ускорителя из формата программы OptiM [10] в формат программы COSY INFINITY. Описание интерфейса программы приводится в п. 2.2, а детали реализации — в Приложении С. Программа написана в среде РНР [68] и находится в общем доступе по адресу http://cosy.pa.msu.edu/ converters/optiM2cosy/;

• Программу, обеспечивающую графический интерфейс пользователя для расчета и визуализации динамики частиц в Теватроне, написанная в среде разработки Mathworks Matlab. Подробное описание программы приводится в Приложении D;

• Несколько версий программ для расчета и оптимизации динамики, реализованных в среде COSY INFINITY. Необходимость нескольких версий вызвана рассмотрением и анализом различных моделей коррекции косоквадрупольных ошибок в диполях, выбором различных целевых функций.

Оптимизация динамической апертуры накопительного кольца мюонного коллайдера. Исследования, связанные с моделированием и оптимизацией ускоряющих структур на мюонах ведутся с конца 60-х годов, когда Тихониным и Будкером [5,20], а позднее, Нойфером [65] были предложены идеи ускорения пучков fi+ и Ускорители на мюонах — совершенно особый класс ускорителей, имеющий ряд существенных отличий как от протонных, так и от электронных ускорителей. Из очевидных достоинств мюонного ускорителя в первую очередь стоит отметить легкость частиц по сравнению с протонами, с другой стороны, достаточную массу, чтобы избежать неприятностей с синхротронным излучением, которое является очень серьезным лимитирующим фактором при разработке электронных ускорителей. Но нельзя упускать из виду и очевидный недостаток: нестабильность мюонов, распадающихся достаточно быстро (т = 2,2 мкс). Как результат: требование ограничения на длину структуры сверху и интенсивность ускорения — снизу. Так, для накопительного кольца 50 х 50 ГэВ расчетное число оборотов — 1000, после чего частицы должны быть приведены к столкновению, во избежание падения светимости за счет распада мюонов. С другой стороны, за счет релятивистских эффектов, число оборотов при увеличении энергии пучка остается примерно постоянным, то есть, для накопительного кольца 750 х 750 ГэВ расчетным параметром снова будет величина порядка 1000 оборотов. Задача заключается в увеличении фазового объема пучка и, как следствие, увеличении числа частиц, захваченных в режим ускорение для увеличения светимости при столкновении.

Основные принципы и базовые элементы структуры такого рода машин описаны в работах [22,23,44,45,48,63,78]. После того, как схема расположения линейной оптики и секции коррекции хроматичностей определена с таким расчетом, чтобы минимизировать хроматические и геометрические аберрации, решается задача минимизации аберраций высшего порядка в области взаимодействия частиц. В данной работе рассматриваются различные подходы к решению такого рода задачи для накопительного кольца мюонного коллайдера 50 х 50 ГэВ. Базовая схема расположения элементов оптики описана в [45,78]. Отталкиваясь от имеющейся модели, добавлением мультипольных моментов в сверхпроводящие магниты секции финальной фокусировки добиваемся максимизации динамической апертуры и, как следствие, улучшения показателей устойчивости накопительного кольца.

Основная проблема, делающая эту задачу сложной — большое количество нелинейностей, которые необходимо контролировать, при том, что число корректоров, вообще говоря, ограниченно, и чем их меньше, тем лучше. Эффективным подходом к решению этой проблемы, как показано в Главе 3 является использование собственно динамической апертуры в качестве критерия оптимизации. Соответствующая целевая функция введена в параграфе 1.2.3 Главы 1 и задается соотношением (1.2.3). Другие подходы к оптимизации, такие как минимизация наиболее значительных аберраций высших порядков или минимизация сил резонаисов, также рассмотрены и оказываются менее эффективными [39,62]. Для каждой из предложенных схем вводятся целевые функции вида (1.2.1),

1.2.2), соответственно. Сравнение эффективности различных подходов и результатов оптимизации приводится в Табл. 3.2. Для каждого из рассмотренных вариантов приводится число используемых корректоров и значение динамической апертуры после оптимизации. При работе с динамической апертурой и силой резонансов большую роль играет алгоритм перехода к нормальной форме (см. приложение В и [28]), необходимый для расчета величин, входящих в правые части целевых функций, и для сравнения результатов расчетов в единой системе координат.

Оценка нелинейного изменения характеристической частоты в зависимости от положения частицы в пучке по результатам измерений.

Найти нелинейное изменение характеристической частоты при изменении положения частицы в пучке не всегда просто по той причине, что нелинейная составляющая динамики может не быть известна с достаточной точностью. В то же время, есть способ найти отклонение характеристической частоты, если в наличии имеется ряд специфических измерений и некоторая дополнительная информация, которая практически всегда доступна: размеры пучка, тип распределения частиц в пучке, достаточный объем информации о линейной оптике (известная матрица перехода полного оборота).

Данная задача в полной мере использует потенциал алгоритма перехода к нормальной форме и тех достоинств, которые предлагает рассмотрение динамики пучка частиц в нормальных координатах. В частности, известно, что в отсутствие резонансов, динамика частиц в нормальных координатах полностью описывается вращением с характеристической частотой, зависящей от положения частиц. При этом усредненная характеристическая частота после значительного числа оборотов в нормальных координатах равна характеристической частоте в оптических координатах, так как вклад от первичного преобразования координат и преобразования обратно к лабораторным координатам перестает играть роль. Справедливость этого утверждения продемонстрирована в п. В.4 Приложения В.

В Главах 2-4 приводятся методы решения всех задач, сформулированных в Главе 1, и соответствующие алгоритмы, которые были реализованы в процессе работы над диссертационным проектом в период с 2003 по 2006 годы. Компьютерная реализация описанных алгоритмов осуществлена с применением программных средств разработки Matlab R13 (Mathworks) и COSY Infinity ver.8.0-9.0 (Мартин Берц, Киоко Макино и другие, Michigan State University). Вспомогательные утилиты для преобразования форматов файлов с описаниями оптики ускорителей написаны в среде PHP ver.4.4.4 (PHP: Hypertext Preprocessor) [68].

В конце каждой главы приводится изложение численных результатов применения различных методов оптимизации к задачам, сформулированным в Главе 1. Акцент делается на эффективности тех или иных схем и методов.

Заключение

В представленной диссертационной работе рассмотрены различные задачи оптимизации параметров ускоряющих структур. При оптимизации использовались стохастические и направленные методы оптимизации, такие как симплекс-метод, известный также под названием алгоритма Нел-дера-Мида, модифицированный метод Ньютона (метод Левенберга-Мар-квардта), метод отжига (simulated annealing). Кроме того, для расчетов активно применялись методы многомерной дифференциальной алгебры и теория нелинейных нормальных форм.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Сформулированы новые задачи оптимизации параметров протонных и мюонных коллайдеров.

• Разработаны алгоритмы и программные комплексы для моделирования и оптимизации динамики частиц в ускорительных структурах, в том числе, комплекс для расчета, оптимизации и визуализации динамики частиц в Теватроне, состоящий из программы-конвертера описаний управляющей оптики, набора утилит для расчета и оптимизации, а также программы, реализующей графический интерфейс пользователя и визуализацию результатов расчетов.

• Предложены две эффективные схемы косоквадрупольиой коррекции в условиях неполного удаления косоквадрупольиой составляющей поля главных диполей (50%) для Теватрона; одна из схем с минимальными изменениями, продиктованными техническими особенностями, реализована в августе 2004 года.

• Разработаны и проверены три различных подхода к оптимизации дииамической апертуры мюонного коллайдера 50x50 ГэВ; найдены схемы коррекции, гарантирующие увеличение динамической апертуры в 1.85 раза с применением минимального числа корректоров (два октуполя).

• Предложен алгоритм оценки отклонения характеристической частоты колебаний частиц в Теватроне по результатам измерений; эффективность реализованного программно алгоритма проверена на результатах измерений и независимых исследований. Результат носит общий характер, может быть применен для оценки частоты колебаний частиц в любой устойчивой симплектической дииамической системе, которая может быть приведена к нормальной форме.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М., "Наука", 1974.

2. Бахвалов И. В., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. СПб., 2000.

3. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: "Наука", 1977. — Vol. Т. 1. — 632 с.

4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений,— М.: "Физматгиз", 1962.-Vol. Т. 1,2.

5. Будкер Г. И. Ускорители и встречные пучки // Труды VII Международной конференции по высокоэнергетическим ускорителям заряженных частиц (Ереван, 1969). — Т. 1. — Ереван: 1970. — С. 33.

6. Гелъфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М., 1961.

7. Голдстейн Г. Классическая механика. — М., "Наука", 1975.

8. Едаменко Н. С. О моделировании динамики заряженных частиц с учетом их взаимодействия // В кн. Математические методы анализа управляемых процессов. — JL, 1986.

9. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М., 1967.

10. Лебедев В. OptiM компьютерный код для расчета линейной и нелинейной оптики.— 2004.— http://www-bdnew.fnal.gov/pbar/ organizat i onalchart/1ebedev/Opt iM/opt im.htm.

11. Лоусон Д. Физика пучков заряженных частиц. — М., 1980.

12. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — Минск, 1974.

13. Овсянников А. Д., Рубцова И. Д. Моделирование динамики интенсивных пучков в структурах с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой. Учебное пособие. — СПб., 2002.

14. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

15. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация пучков заряженных частиц.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

16. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. — Изд-во СПбГУ, 2003.

17. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. — Издательство Санкт-Петербургского университета, 1998.

18. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М., "Наука", 1970.

19. Рошаль А. С. Моделирование пучков заряженных частиц.— М.: "Атомиздат", 1979.

20. Тихонин Ф. Ф. К эффектам на встречных д мезонных пучках / ОИ-ЯИ Р2-4120. Дубна, 1968.

21. Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972.-Pp. 300-302.

22. Ahn S., et al. Muon colliders: A scenario for the evolution of the Fermilab accelerator complex: Tech. Rep. Fermilab-FN-677: Fermilab, 1999.

23. Alsharoa M. M., et al. Recent progress in Neutrino Factory and Muon Collider research within the Muon Collaboration // Phys. Rev. ST Accel. Beams. 2003. - Vol. 6. - P. 081001.

24. Berz M. Introduction to beam physics. — Lecture Notes. — Virtual University Beam Physics Course, http://bt.pa.msu.edu/pub/papers/ bphy861/bphy861.pdf.

25. Berz M. Differential algebraic formulation of normal form theory // Proc. Nonlinear Effects in Accelerators / Ed. by M. Berz, S. Martin, K. Ziegler. IOP Publishing, 1992. - Pp. 77-86.

26. Berz M. From Taylor Series to Taylor Models. — American Institute of Physics CP405, 1997,— Pp. 1-27.— Глава в Nonlinear Problems in Accelerator Physics.

27. Berz M. Differential Algebraic Techniques. — World Scientific, 1999. — Глава в Handbook of Accelerator Physics and Engineering.

28. Berz M. Modern Map Methods in Particle Beam Physics. — San Diego: Academic Press, 1999.—http://bt.pa.msu.edu/pub.

29. Berz M. COSY INFINITY version 8.1 user's guide and reference manual: Department of Physics and Astronomy MSUHEP-20704: Michigan State University, 2002. — http: //cosy.pa.msu. edu/cosymanu/index. html.

30. Berz M., et al. Веб-страница программы COSY INFINITY. — http: //cosy.pa.msu.edu.

31. CERN Accelerator school, Fifth General Accelerator Physics Course / Ed. by S. Turner; CERN, Geneva.-Vol. I, 1994. January.

32. Courant E. D., Snyder H. S. Theory of the alternating-gradient synchrotron // Annals of Physics. — 1958. —Vol. 3. — Pp. 1-48.

33. Erdelyi B. Symplectic Approximation of Hamiltonian Flows and Accurate Simulation of Fringe Field Effects: Ph.D. thesis / Michigan State University. — East Lansing, Michigan, USA, 2001.

34. Erd6lyi В., Berz M. Optimal symplectic approximation of Hamiltonian flows // Physical Review Letters.- 2001.- Vol. 87,11.- P. 114302.

35. Erdelyi В., Berz M. Local theory and applications of extended generating functions // International Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2004.-Vol. 11,3.-Pp. 241-282.-http://bt.pa.msu.edu/pub.

36. Fernow R. C. ICOOL: A simulation code for ionization cooling of muon beams // Proceedings of the 1999 Particle Accelerator Conference, New York. 1999. - Pp. 3020-3022.

37. Gelfand N. Reshimming the Tevatron dipoles: Tech. Rep. Beams-doc-1290-vl: FNAL, 2004.-August.

38. High-order simulation of Muon Collider interaction region / P. V. Snopok, D. A. Ovsyannikov, A. D. Ovsyannikov et al. // Вестник Санкт-Петербургского университета. — СПбГУ, 2006. — 10.

39. Humphries S. Principles of Charged Particle Acceleration. — John Wiley and Sons, 1986.- ISBN 0-471-87878-2.

40. Humphries S. Charged Particle Beams. — John Wiley and Sons, 1990. — ISBN 0-471-60014-8.

41. Iselin C. MAD a reference manual: Tech. Rep. LEP-TH/85-15: CERN, 1985.

42. Iselin C., Niederer J. The MAD program, version 7.2, user's reference manual: Tech. Rep. CERN/LEP-TH/88-38: CERN, 1988.

43. Johnstone C., Garren A. An IR and chromatic correction design for a 2 TeV Muon Collider // Proceedings of the Workshop on New Directions for High-Energy Physics. 1996. - P. 222.

44. Johnstone C., Garren A. 50-on-50 GeV Muon Collider storage ring // Higgs Factory 2001 Snowmass Report. — 2001.

45. Johnstone C., Wan W., Garren A. Lattice design for a 50-on-50 GeV Muon Collider // Proceedings of the 1999 Particle Accelerator Conference. New York: 1999. - Pp. 3065-3067.

46. Kirkpatrick S., Gelatt C. D., Vecchi M. P. Optimization by simulated annealing // Science, Number 4598, 13 May 1983.— 1983.- Vol. 220, 4598.- Pp. 671-680.- citeseer.ist.psu.edu/ kirkpatrick83opt imizat ion. html.

47. A lattice for the Muon Collider demonstration ring in the RHIC tunnel / D. Trbojevic, R. Palmer, E. Courant et al. // Proceedings of the 1997 Particle Accelerator Conference. — 1997.

48. Levenberg K. A method for the solution of certain problems in least squares // Quart. Appl. Math. 1944. - Vol. 2.-Pp. 164-168.

49. Long-term stability of large particle accelerators / M. Berz, K. Makino, Y.-K. Kim, P. Snopok // ECMI Newsletter. 2006. - Vol. 39.

50. The MAD to COSY converter.— URL: http://cosy.pa.msu.edu/ converters/mad2cosy.

51. Makino K. Rigorous Analysis of Nonlinear Motion in Particle Accelerators: Ph.D. thesis / Michigan State University. — East Lansing, Michigan, USA, 1998,-Also MSUCL-1093.

52. Makino K., Berz M. Remainder differential algebras and their applications // Computational Differentiation: Techniques, Applications, and Tools / Ed. by M. Berz, C. Bischof, G. Corliss, A. Griewank. SIAM, 1996. - Pp. 63-75.

53. Makino K., Berz M. Solenoid elements in COSY Infinity // Institute of Physics CS. 2004. - Vol. 175. - Pp. 219-228.

54. Makino K., Berz M. COSY INFINITY version 9 // Nuclear Instruments and Methods. 2005. - Vol. A558. - Pp. 346-350.

55. Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters 11 SIAM J. Appl. Math. — 1963. — Vol. 11.-Pp. 431-441.

56. Martens M. A. Tevatron lattice page.— http://www-ap.fnal.gov/ ~martens/tevlattice/tevlattice.html.

57. Mathworks Matlab 2007b.— http://www.mathworks.com/products/ mat lab/.

58. McKeeman W. M. Algorithm 145: Adaptive numerical integration by Simpson's rule // Communications of the ACM. — 1962. — Vol. 5(12). — P. 604.

59. Meller R. E., Chao A. W., et al. Decoherence of kicked beams: Tech. Rep. SSC-N-360: SSCL, 1987.

60. Methodical Accelerator Design. — http: //mad. home. cern. ch/mad/.

61. Muon colliders / R. B. Palmer, A. Sessler, A. Skrinsky, et al. // Proceedings of 9th Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop. — 1995.

62. Nelder J. A., Mead R. A simplex method for function minimization // The Computer Journal. 1964. - Vol. 7. - Pp. 308-313.

63. Neuffer D. Colliding muon beams at 90 GeV: Tech. Rep. FN-319: Fermi National Accelerator Laboratory, 1979.

64. Ovsyannikov D. A. Mathematical methods of optimization of charged particle beams dynamics // Proc. of European Particle Accelerator Conf. Barselona.- 1996.- Pp. 1382-1384.

65. Ovsyannikov D. A. Modeling and optimization problems of charged particle beams dynamics // Proceedings of the 4th European Control Conference, Brussels. 1997. - Pp. 390-394.

66. PHP: Hypertext Preprocessor. — URL: http://www.php.net.

67. Shashikant M. L., Berz M., Erdelyi B. COSY INFINITY'S EXPO sym-plectic tracking for LHC // IOP CP. 2004. - Vol. 175. - Pp. 299-306.

68. Snopok P. A converter program for Tevatron lattices from OptiM to COSY INFINITY: Tech. Rep. MSUHEP-40909. Michigan State University, East Lansing, MI 48824: Department of Physics and Astronomy,2004.

69. Snopok P., Berz M., Johnstone C. Calculation of nonlinear tune shift using beam position measurement results: Tech. Rep. MSUHEP-070421.— Michigan State University, East Lansing, MI 48824: Department of Physics and Astronomy, 2007.

70. Snopok P., Johnstone C., Garren A. Recent progress in Muon Collider lattice design: Tech. Rep. MSUHEP-070420. Michigan State University, East Lansing, MI 48824: Department of Physics and Astronomy, 2007.

71. Study and optimal correction of a systematic skew quadrupole field in the Tevatron / P. Snopok, C. Johnstone, M. Berz et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A.— Vol. 558.— 2006.— Pp. 142-146.

72. Summers D. J. Muon acceleration to 750 GeV in the Tevatron. — 2007. — Neutrino Factory and Muon Collider Collaboration, UCLA, http:// www. cap. bnl. gov/mumu/conf/МС-070129/DSunmers 1-070129. pdf.

73. Syphers M. Strong transverse coupling in the Tevatron: Tech. Rep. Beams-doc-1159-vl: FNAL, 2004.

74. Syphers M. Tevatron accelerator physics: Tech. Rep. Beams-doc-1046-vl: FNAL, 2004.

75. Trbojevic D., Ng K. Y., Weishi W. A lattice for the 50 GeV Muon Collider ring // EPAC'98 Proceedings / Ed. by S. Myers, et al. 1998.-Pp. 362-364.