автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и оптимизация систем транспортировки и фокусировки пучков частиц

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

004609983

На правах рукописи

ЧЕРНЫШЕВ Андрей Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ТРАНСПОРТИРОВКИ И ФОКУСИРОВКИ ПУЧКОВ ЧАСТИЦ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 7 ОПТ 2010

Санкт-Петербург 2010

004609903

Работа выполнена на кафедре компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Андрианов Сергей Николаевич (СПбГУ)

О фициальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Полякова Людмила Николаевна (СПбГУ)

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Юдин Иван Павлович (ОИЯИ, Московская область г. Дубна)

Ведущая организация:

Петербургский Институт Ядерной Физики (ПИЯФ им. Б .П. Константинова РАН)

Защита состоится « 27» октября 2010 г. в 16 часов на заседании Диссертационного Совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www. spbu.ru

Автореферат разослан « » сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного

доктор физико-математических наук, профессор (СПбГУ) Курбатова Галина Ибрагимовна

совета Д.212.232.50:

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В настоящее время, возрастание интереса к исследованию методов построения систем транспортировки и фокусировки пучков частиц, определяется следующими основными причинами:

• расширение области применимости;

• жесткие требования, предъявляемые к подобным системам;

• значительное увеличение стоимости разработки и эксплуатации.

Большое число конференций, посвященных проблемам создания подобного рода установок (РАС, ЕРАС, АРАС, 11иРАС, ЬШАС и другие) дает четкое представление об актуальности задач и методах их решения. Начиная с пионерских работ Д.А.Овсянникова,1 интерес к задачам оптимизации систем управления пучками частиц постоянно растет, что свидетельствует о высокой актуальности данной тематики. Сложность оптимизации подобных систем определяется рядом факторов, среди которых:

1) многопараметпричностпъ задачи;

2) сложность динамики пучка;

3) многокритериалъностпъ и антогонистичность функционалов;

4) существование семейства локальных оптимальных решений.

Вышесказанное приводит к необходимости тщательного выбора математических моделей системы управления, методов оптимизации и адаптации этих методов для решения задач рассматриваемого класса. При этом данное исследование должно базироваться на эффективном программном обеспечении. Существующие методики зачастую оторваны от практики и не учитывают ряд существенных факторов («антагонизм» функционалов, реализуемость решений в рамках допусков, стоимостные характеристики и пр.). Таким образом, необходимо построение предметно-ориентированных методов и средств оптимизации, т.е. адаптированных к данному классу задач.

Высокие требования, предъявляемые к установкам, «вынуждают» исследователей использовать все более сложные математические модели и эффективные методы оптимизации. Большое число управляющих параметров требует использования специальной стратегии их настройки и применения адаптированных численных методов. Наличие «противоборствующих критериев» качества и ограничений приводит к необходимости построения концепции их совместного учета и поиска оптимальных решений. Возможность решения данных задач должна обеспечиваться построением методологии оптимизации, сопровождаться применением эффективных компьютерных технологий, средств моделирования и проведения численных вычислений. При этом большую роль играет наличие обучающих средств, позволяющих подготовить исследователей для решения задач, рассматриваемого класса.

1 Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация пучков заряженных частиц. Изд-во ЛГУ, 1990.

Цели и задачи исследования

Целью работы является построение математических и компьютерных моделей, эффективно решающих задачи оптимизации достаточно широкого класса зондоформирующих систем (ЗФС).

Для достижения поставленной цели следует решить следующие задачи:

• исследование основных проблем, возникающих при проектировании установок и поиск путей их решения;

• построение математических моделей зондоформирующей системы, адекватных физическим требованиям их качества;

• выбор методов решения задач нелинейного программирования (НЛП) с целью последующей реализации в виде программных комплексов;

• разработка методов поиска оптимальных параметров установок с высокими требованиями к характеристикам пучка;

• разработка и тестирование программного обеспечения, позволяющего решать задачи оптимизации ЗФС;

• верификация предлагаемых методов и технологий при решении задач физики пучков.

Методы исследования. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются методы математического, компьютерного моделирования и численного эксперимента, теория дифференциальных уравнений, матричный формализм, теория аппроксимации функций и методы теории управления.

Научная новизна работы заключается в построении единой стратегии эффективно обеспечивающей оптимизацию ЗФС, получении новых результатов по конкретным установкам формирования пучка частиц с заданными характеристиками.

Практическая значимость. Предлагаемая методология, в совокупности с разработанным программным комплексом, позволяет проводить расчеты для проектирования и оптимизации реальных физических установок. Построенная обучающая система позволяет проводить подготовку исследователей для работы с данными задачами. Часть результатов полученных в процессе вычислительных экспериментов являются новыми.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования были представлены на следующих научно-технических конференциях и семинарах: научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2007 - 2010), Европейская конференция по ускорителям заряженных частиц ЕРАС-2008 (Италия, Генуя), конференция по физике и управлению Physcon2009 (Италия, Катания), XVI международный семинар «Beam Dynamics & Optimizations-(Санкт-Петербург, июнь 2010).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования отражены в десяти публикациях, из которых одна входит в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка литературы и четырех приложений. Работа изложена на 149 страницах машинописного текста, содержит 33 рисунка и 15 таблиц. Библиографический список включает 110 наименований.

Основное содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи работы. Обоснованы научная новизна и практическая значимость результатов. Проведен обзор состояния исследований по теме работы. Обосновывается эффективность предлагаемого подхода к оптимизации систем управления пучками частиц. В данной работе предлагается разделение этого процесса на следующие этапы.

I. Построение базовой модели

• построение иерархической последовательности критериев оптимальности структуры на основе реальных систем;

• формирование вектора управляющих параметров и управляющих функций на основе классификации оптимизационных параметров и воздействий;

• формализация математических моделей с учетом возможностей физиков-экспериментаторов.

II. Исследование построенных моделей, параметров, функционалов критерия качества

• «настройка» линейной модели, результатом которой является набор локальных оптимумов для выбранного семейства критериев качества;

• «отбраковка» решений, не обеспечивающих специальных требований физиков-экспериментаторов;

• расширение области применимости модели за счет включения дополнительных эффектов (например, краевых полей, собственного заряда и т.п.);

• учет нелинейных эффектов различной природы с целью последовательной «отбраковки» найденных на предыдущих этапах «локальных оптимальных решений».

Результатом выполнения приведенного перечня действий является конечный набор приемлемых решений, из которых «заказчик» может осуществлять выбор на основе дополнительных, слабо формализуемых критериев, таких как стоимость, технологические ограничения реализации данных решений и т.п.

Таким образом, в данной работе под оптимизацией системы управления пучком частиц, понимается целый комплекс действий по поиску решений подозрительных на оптимальность» (удовлетворяющих некоторому базовому критерию), их дополнительное исследование и уточнение на удовлетворение дополнительным критериям (учет допусков, стоимостных характеристик и пр.) с целью выявления набора решений являющихся оптимальными в том или ином смысле.

В конце Введения приводится краткий обзор содержания глав диссертации.

Первая глава диссертации посвящена формализации и постановке задачи. В данной главе рассмотрены базовые определения, необходимые для постановки задачи управления пучком частиц, введены объект и субъект управления. Отдельное внимание уделено проблемам возникающим при проектировании зондо-формирующих систем и согласованию критериев оптимальности.

Процесс моделирования динамики пучков частиц можно разделить на четыре следующие этапа:

1) формализация уравнений движения частиц с учетом специфики задач

оптимизации ЗФС;

2) формирование начального состояния пучка;

3) выбор моделей управляющего электро-магнитного поля;

4) формирование вектора управляющих параметров.

Первый этап базируется на уравнениях Ньютона-Лоренца, записанных в сопутствующей системе координат. Формирование начального состояния реализуется на различных представлениях пучка как ансамбля частиц, что может быть учтено в соответствующих моделях динамики пучка частиц. В данной работе рассматриваются три варианта описания пучка как ансамбля частиц, базирующихся на описании пучка как совокупности точечных частиц, на методах теории огибающих, а так же с использованием функции распределения частиц (рассматриваются поперечные характеристики пучка). Отбор моделей управляющего поля осуществляется с использованием экспериментальной информации об управляющих полях. Наконец, на четвертом этапе рассматривается процедура формирования управляющих параметров, что дает возможность в одном векторе объединять как параметры описывающие силовое воздействие управляющего поля, так и геометрические характеристики системы. Выбор силовых параметров существенно зависит от распределения поля вдоль «электрической оси» управляющих элементов. В данной работе влияние собственного заряда не учитывается, однако предлагаемый подход позволяет включать в рассматриваемые модели эффекты пространственного заряда.

Управляющие воздействия в ЗФС можно разделить на две категории:

• управляющие параметры В (длины, расстояния, характеристики диафрагм);

• управляющие функции Ы (функции, описывающие распределение поля вдоль оптической оси системы).

Выбор управляющих функций в некотором классе (например, кусочно постоянных), позволяет переходить от управляющих функций к управляющим параметрам элементов системы.

При проектировании ЗФС, необходимо учитывать комплекс функционалов качества и ограничений: критерии, определяющие характер фокусировки, апертурные ограничения, дополнительные ограничения (например, фиксирование расстояния между линзами), светимость установки.

В общем случае, задачу оптимизации ЗФС для п параметров можно сформулировать как классическую задачу нелинейного программирования: найти т£ /(В,ВЦ), при ограничениях:

Н(В,ВЦ) = 0,Н = (/1Ь ... т)Т,т < п, С(В,В„) >0,С = (дъ...,др)т.

Здесь /(В,Ви), Н(В,В„) и С(В,Ви) могут быть как линейными, так и нелинейными функциями, Вц — множество параметров, описывающих управляющее поле.

Вторая глава посвящена построению математических моделей ЗФС на базе физических моделей, приведенных в Первой главе. В работе рассматривается применение линейной модели к описанию системы с последующим учетом нелинейных эффектов. Построение линейной модели на первом этапе является естественным шагом, вытекающим из физической специфики подобных задач. Применение линейной модели позволяет с помощью оптических аналогий сформулировать критерии качества системы на языке пропагатора системы, построенного с использованием матричного формализма2, без использования данных о фазовом множестве пучка в начальный момент времени. Первый этап позволяет отобрать класс приемлемых решений для дальнейшего исследования с учетом нелинейных эффектов.

На основе данных моделей в главе приводятся примеры построения функциональных критериев качества для ЗФС. Предлагаемые методы позволяют осуществлять последовательное включение каждого управляющего элемента системы в виде отдельного блока оптимизационной модели. Уравнения Ньютона-Лоренца, записанные в сопутствующей системе координат, могут быть представлены в следующем общем виде:

оо

(¿Х(б)/¿[в = € Квт],

к=1

решение которого ищется в виде сходящегося на интервале [«о, яу] ряда:

оо

Х(в) = ]Г>"(вМхЮх0 = Х(во).

к=1

Здесь X = (х,х': у, у') — вектор фазовых координат, х, у — поперечные координаты частицы относительно оптической оси системы, х' = йх/йв, у' = йу/йэ, 5 — расстояние, измеряемое вдоль опорной кривой, Х^' — Кро-некеровская степень фазового вектора X, Р — матрицы с элементами, представляющими к-ыс производные компонент вектор-функции описывающей внешние управляющие поля, Е1*^^) — аберрационные матрицы, характеризующие влияние всех нелинейных (линейных при к = 1) эффектов к-го порядка. Скорость сходимости данных рядов зависит от свойств фазового множества пучка и управляющих воздействий.

Последовательное расположение управляющих элементов позволяет представить полный матричный пропагатор системы в виде произведения частичных пропагаторов:

2Андрианов С.Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. СПбГУ. 2002. 376 с.

N

КЫ«о) = П ВДа^О, к=1

где матричный пропагатор отвечает за участок системы (в;,

Включение дополнительного управляющего элемента в систему, соответствует добавлению новых матриц, описывающих данный элемент. Указанная особенность модели обеспечивает необходимую гибкость при оптимизации существующих систем путем добавления новых элементов.

В данной работе, функциональные критерии формулируются в терминах элементов матриц К1А:. Это объясняется тем фактором, что элементы соответствующих матриц отвечают за те или иные физические эффекты. Например, элементы Гц, гзз матрицы К11 отвечают за условие фокусировки пучка. Элементы Г]2, Г34 матрицы К11 отвечают за перевод точечного источника в точечное изображение. Аналогичный подход применяется и для нелинейных уравнений движения, в этом случае используются матричные элементы матриц К1,г (к > 2).

Третья глава посвящена методам оптимизации ЗФС. В начале главы вводится ряд вспомогательных определений, производится постановка задачи оптимального управления пучком траекторий, приводятся условия его существования. В данной главе управляющие воздействия В, Ви представляются в виде единого вектора и, включающего в себя обезразмерен-ные характеристики внешнего управляющего поля. Задача оптимального управления пучком траекторий формулируется в виде задачи НЛП. Определение 1 Под задачей НЛП понимается задача:

Найти М /(XI) (/(и) — целевая функция), при ограничениях в виде равенств: Ы(\3) =0, г = 1,... ,т, и неравенств: <?г(и) >0, г = 1,... ,р. Здесь и — вектор управляющих параметров, f(U), /¿¡(и) и <7г(и) могут быть как линейными, так и нелинейными функциями.

Проведенный в работе анализ методов решения задач НЛП позволил выявить особенности рассмотренных методов применительно к решению задач оптимизации ЗФС. На основе проведенного анализа, а так же тестирования программных реализаций методов, в данной работе предлагается следующий подход:

• на первом этапе используется метод случайного поиска для получения начальных приближений и выделения областей подозрительных на наличие оптимума;

• на втором этапе проводится минимизация в указанных областях методом скользящего допуска.

Предлагаемый подход продемонстрировал свою эффективность в применении к реальным задачам по оптимизации ЗФС. Выделение областей подозрительных на наличие оптимума на начальном этапе позволяет осуществлять осознанный выбор начальных точек для последующей минимизации и сужать область поиска. Проведение вычислений для каждой из указанных областей позволяет снижать вероятность потерь оптимальных решений и получать, тем самым набор решений, которые могут быть «лучше» друг друга по различным критериям (чувствительность к допускам, стоимость

реализации и т.д.). Метод скользящего допуска, в отличие от других методов, позволяет ускорить нахождение оптимального решения за счет использования информации в некоторой окрестности допустимой области, сужающейся к допустимой по мере приближения к решению. Малая чувствительность к мелким «неровностям» целевой функции препятствует преждевременной сходимости метода («сваливания» в локальную «яму»). Отсутствие необходимости вычисления производных, делает метод скользящего допуска применимым к более широкому классу функций и значительно снижает вычислительную сложность.

Идея метода скользящего допуска основана на применении ряда операций по видоизменению многогранника в некоторой окрестности области выполнения ограничений (почти допустимой области). По мере приближения многогранника к искомому решению, происходит постепенное сужение почти допустимой области, и при достижении решения ограничения удовлетворяются с заданной степенью точности.

Для успешного получения решения задачи за приемлемое число шагов, при выборе численного метода, необходимым условием является исследование вопросов его сходимости. Специфика задач физики пучков заключается, прежде всего, в рассмотрении ансамбля частиц. Это приводит к необходимости обоснования возможности применения стандартных методов НЛП к задачам оптимизации коллективной эволюции пучка частиц. С этой целью, в работе, с использованием метрики Хаусдорфа, проводится необходимая формализация близости текущего решения к оптимальному. В частности, в работе используется понятие пучков траекторий, которое позволяет сформулировать задачу управления ансамблем частиц в виде задачи управления траекториями в новом пространстве — фактор пространстве. В диссертации приведены необходимые условия и утверждения, обеспечивающие корректность применения данной идеологии. В частности, сформулированы необходимые утверждения, обеспечивающие корректность применения следующей теоремы2.

Теорема 1 Пусть X компактное множество в пространстве варьируемых параметров Rn, функции /(X), hi(X.),gj{X),i = 1 ,m,j = 1 ,р удовлетворяют условиям Липшица на X, тогда метод скользящего допуска сходится, т.е. inf /(X) = /„ = lim /(X*k) = /(X«) и lim X„t = X,.

k—> oo k—> oo

В рамках используемой модели по оптимизации ЗФС, функционал и ограничения удовлетворяют условиям теоремы 1, что гарантирует сходимость метода скользящего допуска для данных задач.

При попадании в недопустимую область, происходит возврат в почти допустимую область методом деформируемого многогранника. В соответствии с леммой 1 и непротиворечивостью задаваемых ограничений, возврату в почти допустимую область гарантирован за конечное число шагов. Лемма 1 Если множество X не пусто и удовлетворяет условию регулярности Слейтора?, то метод деформируемого многогранника за конечное число шагов приводит к почти допустимой точке X € Ж.

3условие предполагает наличие внутренней точки относительно ограничений.

Таким образом, метод скользящего допуска, основанный на методе деформируемого многогранника, дает возможность решить исходную задачу минимизации функции / на множестве X.

Исследование эффективности метода деформированного многогранника и скользящего допуска при решении тестовых задач и задач оптимизации ЗФС позволило выявить зависимости влияния значений параметров методов и способов учета ограничений на скорость сходимости. Данные результаты отражены в Главе 5, а также в Приложениях АиБ.

Поиск оптимального решения при построении ЗФС является задачей глобальной оптимизации. В современной литературе, обычно, под глобальной оптимизацией понимают поиск одного наилучшего решения, доставляющего глобальный оптимум заданному функционалу. При решении реальных физических задач по проектированию установок, необходима модификация подхода к понятию глобальной оптимизации, поскольку, с одной стороны многие требования не включаются в список функционалов (например, стоимость), а во вторых «антагонизм» критериев качества пучка может быть учтен только при дополнительном исследовании полученного семейства оптимальных решений. В частности, это связано с невозможностью четкой формализации всех критериев качества. Поиск требуемого решения предполагает обязательное наличие человека компетентного в данной области, способного грамотно расставить приоритеты различных критериев качества путем проведения ряда численных экспериментов, оценить возможность реализации и степень надежности найденных решений. Поэтому, в данной работе предлагается следующее определение глобальной оптимизации:

Определение 2 Глобальная оптимизация — это последовательный процесс, позволяющий получать конечный набор оптимальных решений, их постепенную с отбраковку» по ряду дополнительных критериев (удовлетворение допускам, возможность реализации и пр.). Таким образом, согласно приведенному определению, результатом данного процесса, является некоторый набор решений, на основании которых экспериментатором осуществляется окончательный выбор решения для последующей реализации исходя из его пожеланий по стоимости, надежности, возможности реализации. В том числе, найденные решения могут использоваться экспериментаторами при настройке установки для работы в соответствующих режимах для проведения различных физических экспериментов. Данный процесс является итерационным. Варьируя различные параметры определяющие значимость тех или иных критериев качества, внесение различных критериев в функционал или рассмотрение их в виде ограничений, использование личного опыта в оценке результатов приближают исследователя к искомому решению. При этом большую роль в данном процессе играет наличие качественного программного обеспечения и средств, позволяющих осуществлять требуемые вычисления и представлять полученные результаты в удобной для анализа форме. В Главе 4 приведено описание разработанного автором программного обеспечения для проведения расчетов при решении такого класса задач.

В конце Главы 3 приводятся способы и критерии выбора функционалов и анализа полученных решений. В качестве основных рассмотрены вопросы включения пожеланий заказчика, учета допусков, стоимости, возможности реализации и учета весовых коэффициентов. Отсутствие анализа данных факторов на этапе оптимизации приводит к получению неверных решений, так как полученное оптимальное решение с точки зрения основного критерия, может оказаться неприемлемым на практике в связи с его избыточной чувствительностью к допускам физической возможности настройки системы или стоимости реализации.

Четвертая глава посвящена описанию разработанных в диссертационном исследовании программных комплексов. В нашем случае задача глобальной оптимизации является очень сложной задачей, что потребовало разработать эффективное прикладное программное обеспечение, позволяющее решать задачи оптимизации, предоставляющее пользователю необходимые средства вычисления и представления результатов, максимально учитывающие специфику оптимизационных задач физики пучков. В рамках данной работы на языке Java были созданы программный комплекс OptimizationPac для решения задач оптимизации ЗФС и обучающая система StudentETSystem для предварительной подготовки персонала. Выбор языка Java обусловлен его универсальностью, независимостью от платформы, возможностью создания web-приложений и использования параллельных вычислений.

Пример скриншота разработанного программного обеспечения OptimizationPac представлен на рис. 1. Интерфейс пользователя предоставляет

параметры метода

Параметры

Taskvarlahjp^*'_ фуНКЦШ!

1/(15D*C((w1*einn(w ï»2)>((wl*sinh(ï.1)'t intiGYl)*sinCw2Vw; 1И0.5*(*1 2)»0 54(w1*slnh(w1

Составная часть

мшпшшируемого

функционала

hide suttfunctions

>1* objective fUmj Миштнруеыый функционал

Equality restrictions

((co5hCw1)'cos('ftr2)-(0.5*cQshi:w1)*sinh('»/1 )to1)V2*siri(w 2>rco8h<W3*(Ccoj от-,нтшенн***1пе fnhM>/

wt)V2*sin<W2)H иФашгчшИЯ B BI"e

sirm(wi)/wi)*ccsfl равенств posh(w i\*casiw?wnfi«tH _D)*cosh(

iv2*sinf>v2))*10+coshfw1),rsm{w2)iw2+(0 5*cosh(wl)+sinh( iv1)Av1)*cos(w2))*w2*sinh(w2)+(cosh(w1)*cos(w2>(0.5*co sh(wi)»sinh(wl)Mi)%vrsin(w2)rsinh^2)iV¥2*(icc>sh(wl)

_inequality restrictions_

__TheJmtjal point

Precision: Rib of the polyhedron: Factor of reflection: Factor of compression: Results

TГ"

Начальная точка н параметры метода

Щ

B-wt, p-w2, (15tr(!(tosh(wi)"c

Ограничения в виде неравенств

Factor of s[M aire Factor of reduction: I Clear

To.s

|2'sin(w2)nosh(w2)<1^Mwircos(w2M0.S*cosh(w1)»si sbiniitiLS-itoJ Величина допусков ,(ж

w1=0.0t;w2=1

The initial point (0.027982«<5Г Цпя функции {1,0/ ««I so.»' 1Ы вычислении

Приточности = 1.0Е-6

Минимальное значение футпЯ5 66С79855Б6

Anatoieranj Группа начальных точек

Add inittonal points

Remove iniîionai points

Рис. 1: Скриншот специального программного обеспечения

возможность ввода минимизируемого функционала, ограничений и параметров метода, настроек по выводу результатов. Программа оснащена собственным интерпретатором, что позволяет осуществлять ввод функционалов напрямую через интерфейс пользователя в виде строки и не требует создания отдельных исполняемых файлов и перекомпиляции, что, в частности, обеспечивает гибкость введения начальных данных.

Программное обеспечение предоставляет возможность создания группы функционалов из которых может быть составлен основной, что позволяет исследовать вклад отдельных составляющих. Данный подход также позволяет осуществлять «удобную настройку» при использовании метода весовых коэффициентов и весовых показателей, а также внесение ограничений в минимизируемый функционал.

Для задания начального приближения пользователю предоставляется как возможность ввода конкретного значения, так и генерация группы начальных приближений в заданной окрестности методом случайного поиска. При этом осуществляется минимизация функционала для каждой заданной точки, что способствует выявлению локальных минимумов.

Существенной с точки зрения физической реализации особенностью написанного программного обеспечения является возможность учета допусков. Перед началом вычислений, исследователь может задать семейство допусков для каждой из переменных функционала. При этом, в полученном результате расчетов будут представлены данные как о значении функционала в найденной оптимальной точке, так максимальное в указанной окрестности допусков. Данная возможность позволяет отбрасывать те решения, которые являются избыточно чувствительными в смысле сохранения приемлемого значения функционала в требуемой окрестности. Уменьшая величину допуска, исследователь получает более широкий спектр приемлемых решений. Однако, как правило, это будет соответствовать более дорогой реализации.

Предоставляемый графический интерфейс пользователя позволяет следить за каждым шагом процесса поиска, приближать выделенную интересуемую область, получать значения функционала и ограничений в произвольной точке. Данная возможность позволяет оценить влияние задаваемых параметров на эффективность работы метода на различных этапах.

Разработанный программный комплекс включает пакет, обеспечивающий обучение исследователя решению задач глобальной оптимизации на основе существующих в литературе тестовых задачах. Данная возможность позволяет избежать в процессе моделирования реальных физических установок, ошибок, свойственных неопытным исследователям.

Вычислительный эксперимент по оптимизации ЗФС, результаты которого представлены в работе, проводился с использованием данного программного обеспечения.

В Пятой главе приведено описание результатов вычислительных экспериментов. В первом разделе главы приводятся результаты тестирования, которые позволили удостовериться в работоспособности написанного программного обеспечения. Тестирование является неотъемлемой частью по-

строения программ. В качестве тестовых задач использованы некоторые задачи с «ловушками» и различными особенностями с известным решением. В дальнейшем приводятся расчеты по оптимизации реальных установок и сравнение полученных результатов с публикациями других авторов. В последующих разделах представлены численные примеры последовательного проведения оптимизации установок с подробным обсуждением результатов. Основное внимание уделено использованию множества подходов к оптимизации рассматриваемых систем, позволяющих получить качественно новые решения и анализу полученных решений на адекватность физической реализации. В качестве оптимизируемой системы на первом этапе рассмотрена фокусирующая система типа «русский квадруплет» (см. рис. 2).

Для системы данного типа выпол-неняется условие симметрии на подачу энергии:

k(s) = -fc(si - s), se[s0,si],

где s — параметр длины вдоль оптической оси системы, so,si соответственно начало и окончание системы квадруполей, k(s) — функция распределения градиента поля. Данное условие приводит к тому, что магнитное возбуждение линз описывается двумя управляющими параметрами ki,k2- Кроме того, данная система при выполнении специального дополнительно условия для элементов матричного пропагатора «гарантирует» сохранение круглой формы пучка при транспортировке от диафрагм до мишени. В пространстве параметров к\, этому условию соответствуют нагрузочные кривые. В качестве управляющих параметров выступает U = (L:s,X,a,g;ki,k2). Здесь L — длина линзы, s, А, а, д — длины свободных промежутков. Для перехода к безразмерным величинам примем за единицу длины длину линзы L. Система управляющих элементов должна удовлетворять ряду технологических ограничений:

a + 4L + 2s + X + g< Ltech,

s > Stech, А > AtechyO- > ütech, <7 > 9tech, где Ltech — ограничение на общую длину установки, Stech, Аtech, dtech, gtech — допустимые минимальные расстояния между управляющими элементами. В качестве минимизируемого функционала выступает /(U) = r2j(U), где Гц — элемент матричного пропагатора системы, отвечающий за условие фокусировки пучка.

На рис. 3 в качестве примера представлены нагрузочные кривые для двух различных параметров А. На пересечении нагрузочных кривых и условий удовлетворения ограничениям расположены точки «подозрительные» на оптимальность. В приведенном примере при А = 0.5 имеется только одна точка «подозрительная» на оптимальность, в случае А = 2 три точки. Дальнейшее исследование указанных решений демонстрирует проявление антогонизма различных критериев при поиске оптимального решения.

к,

а S А S К.

So S.S

Рис. 2: Фокусирующая система типа «русский квадруплет»

0,6

0,4]

0,8

1,2

1,0

2 зТ, 0

. | 0,4.

2 Щ

В работе проведено исследование влияния предрасстояния а и свободного промежутка А на степень сжатия пучка. Приведены рекомендации по выбору значений свободных промежутков. Исследовано влияние различных вариантов учета ограничений на эффективность вычис-

Рис. 3: Нагрузочные кривые (сплошная ли- лений. Рассматривались вариан-ния) и ограничение на длину рабочего рас- ты отдельного учета ограниче-стояния <7 = 1 (пунктир): а) для А = 0.5, б) ний только в виде равенств и

онале с различными весовыми коэффициентами, совместный учет как в виде равенств и неравенств так и в функционале.

Оптимизация «Краковского микрозонда». На сегодняшний день, наиболее изученными системами являются системы четырех и пяти линз. Тем не менее, данное количество линз не позволяет реализовать некоторые дополнительные требования. В частности, при проектировании ЗФС, часто необходимо предоставить высокое сжатие пучка в сочетании с высокой светимостью. Как правило, для получения высокого сжатия пучка требуется использовать большое предрасстояние, что в свою очередь приводит к снижению светимости. Для разрешения данной проблемы, исследованы возможности использования дополнительных линз для получения желаемой светимости и высокой степени сжатия пучка. В качестве оптимизируемой установки рассмотрен Краковский ядерный микрозонд, имеющий два рабочих режима обеспечивающих сжатие пучка в 99 и 15 раз4.

На первом этапе рассмотрен вариант добавления двух дополнительных квадруполей по одному в начало и конец системы с симметрией по питанию. При этом накладывается условие сохранения исходных параметров длин системы Краковского микрозонда, а дополнительные квадруполи и свободные промежутки введятся за счет уменьшения предрасстояния а. Данный подход позволяет уменьшить затраты на изменение исходной системы. В данном случае оптимизация проводится в пространстве трех параметров к\, к3, предметом анализа являются нагрузочные поверхности. В работе получены решения улучшения имеющихся режимов системы по степени сжатия и светимости пучка, а так же альтернативный режим, обеспечивающий высокую степень сжатия. Полученный ряд решений дает свободу выбора базируясь на приоритетах конкретной решаемой задачи и нахождении компромисса между степенью сжатия пучка, аксептансом и стоимостью реализации. Недостатком вышеуказанной модификации является внесение серьезных изменений в текущую реализацию и настройку системы. Кроме того, учитывая специфику квадрупольных линз (фокусирование по одной координате и дефокусирование по другой), первая линза не может стоять на

4 Лебедь С. А. Двухрежимная зондоформирующая система для современного ядерного нанозонда. // Журнал технической физики. 2002. Том. 72. С. 92-95.

для А = 2

неравенств, их учета в функци-

к*

кг

/Сз "

'Русский

т„-ти

квадруплет'

0.008

к2-

а___л*_А|ог

0.1

У

Рис. 4: Схематическое изображение системы «русский квадруплет» с дуплетом

0.5 1.0 1.5 2.01с,

Рис. 5: Изменение коэффициента сжатия (сплошная линия) и отклоне-

ния равенства для нагрузочных кривых (пунктир) в зависимости от кц

достаточно большом расстоянии от системы, что не позволяет значительно приблизить ее к источнику для дополнительного повышения аксептанса.

Учитывая высказанные замечания, далее рассматривается альтернативный подход заключающийся в размещении дуплета из двух квадрупольных линз перед «русским квадруплетом». При этом накладывается условие сохранения текущих настроек для уже имеющихся режимов системы и проводится оптимизация по величине магнитных возбуждений /с3, добавленных линз и расстоянию от дуплета до системы А(-ог (см. рис. 4).

При проведении оптимизации оценено влияние полей на свойства получаемых решений. Для обоих режимов «русского квадруплета» характерно улучшение коэффициента сжатия при повышении значения Однако, при этом наблюдается увеличение расхождения условия равенства для нагрузочных кривых при отклонении магнитных возбуждений от оптимальных значений. Данная тенденция для второго режима продемонстрирована на рисунке 5 для Ай>г = 400см. при отклонении магнитных возбуждений от оптимальных значений на 0,001. Высокое значение магнитных возбуждений, как указано ранее, ведет также к повышению влияния аберраций и стоимости в изготовлении линзы.

Далее исследуется влияние расстояния \{0Т на свойства решений для двух режимов системы. Проведенный анализ свойств и чувствительности решений, позволил выбрать в качестве оптимального улучшение второго режима, позволяющего использовать большее расстояние А^,., обеспечивая тем самым увеличение аксептанса системы. Помимо увеличения аксептанса, данный режим обеспечивает сжатие пучка в 182 раза, что существенно выше исходного сжатия Краковского микрозонда.

Проведенные вычисления показали, что предложенные в диссертационном исследовании математические модели, численные методы и комплексы программ эффективно решают задачи оптимизации ЗФС. Результаты, полученные при оптимизации систем, являются новыми. Предлагаемый подход и реализующий его программный комплекс позволяют расширить возможности предлагаемого подхода на более широкий класс задач.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математические модели систем управления пучками частиц, обеспечивающие эффективное решение задач многокритериальной оптимизации.

2. Стратегия глобальной оптимизации ЗФС, базирующаяся на семействе численных методов решения задач нелинейного программирования.

3. Комплекс программ, реализующий предложенную стратегию глобальной оптимизации.

4. Семейство оптимальных структур ЗФС, полученных на основе численного моделирования.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1. Чернышев А.А. Многокритериальная оптимизация систем управления пучками частиц. //Вестник СПбГУ, серия 10, вып. 1, 2010. с. 105-115.

Публикации в других изданиях

2. Чернышев А.А. Программа по обучению и тестированию студентов решению задач нелинейного программирования. //Процессы управления и устойчивость: Труды 38-ой международной научной конференции аспирантов и студентов. / СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2007. с. 490-495.

3. Чернышев А.А. Программное обеспечение минимизации функционалов в физике пучков. //Процессы управления и устойчивость: Труды 39-ой международной научной конференции аспирантов и студентов. / Под ред. Н.В.Смирнова, Г.Ш.Тамасяна-СПб.: Издат. Дом СПбГУ, 2008. с. 375-379.

4. Andrianov S., Edamenko N., Chernyshev A. and Tereshonkov Yu. Synthesis of Optimal Nanoprobe (Linear Approximation), Proceedings of EPAC08, Genoa, Italy. 2008. P. 2125-2127.

5. Chernyshev A. Book of Abstracts: Multi-objective optimization for beam lines. PhysCon 2009, Catania, Italy. 2009. P. 105.

6. Чернышев А.А. К проблеме многокритериальной оптимизации в физике пучков. //Процессы управления и устойчивость: Труды 40-ой международной научной конференции аспирантов и студентов. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна - СПб.: Издат. Дом СПбГУ, 2009. с. 271-276.

7. Chernyshev A. Multi-objective optimization for beam lines. PhysCon 2009, Catania, Italy. 2009. http://Iib.physcon.ru/?item=1993, 6p.

8. Чернышев А.А. Оптимизация «русского секступлета». //Процессы управления и устойчивость: Труды 41-ой международной научной конференции аспирантов и студентов. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна - СПб.: Издат. Дом СПбГУ, 2010. с. 247-252.

9. Chernyshev A. Multi-objective optimization for beam lines. Prom Physics to Control Through an Emergent View. World Scientific Series on Nonlinear Science, Series B, Vol. 15, 2010. P. 365-370.

10. Chernyshev A. "Russian quadruplet" improvement with supplementary lenses. Abstracts of XVI International Workshop: Beam Dynamics and Optimization. Saint-Petersburg, 2010. P. 22.

Подписано к печати 09.09.10. Формат 60 *84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4905. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

Введение

1 Формализация и постановка задачи

1.1 Формализация задачи.

1.2 Формирование начального фазового множества

1.3 Уравнения движения частиц в электромагнитном поле.

1.4 Управляющие поля.

1.5 Оптимизация ЗФС.

Современное развитие технологий науки невозможно представить без ускорительной техники различного предназначения. Действительно, успех их практического использования в самых различных областях (см., например, [32, 73, 83]) на протяжении всего 20-го века привлекал внимание ученых к исследованию в области построения и усовершенствования установок. В настоящее время, возрастание интереса определяется следующими основными причинами:

• расширение области применимости;

• повышение требований к современным ускорительным установкам, вызванное более жесткими требованиями в фундаментальных областях где они применяются;

• повышение стоимости установок.

Расширение области применимости. В настоящее время, ускорители находят свое применение в медицине [2, 44, 49, 92], сельском хозяйстве [17, 69, 72], фундаментальных исследованиях [41, 79, 108], про--изводстве и исследовании новых материалов [18, 80, 86], микробиологии [57, 60, 65], химии [34, 47, 58] и во многих других областях. На долю применения в медицине приходится около половины существующих в настоящее время ускорителей, что обусловлено их возможностью к лечению заболеваний недоступных ранее. Например, пучки протонов определенной энергии позволяют с миллиметровой точностью "выжигать" глубокие опухоли без существенного воздействия на остальные ткани. Борозахват-ная терапия. Многие электронные ускорители работающие как источники синхротронного излучения — яркого и узконаправленного рентгеновского луча, которым «светят» электроны в магнитном поле, используются как для диагностики заболеваний (например, для получения четких снимков сети мелких кровеносных сосудов), так и для терапевтического воздействия [98]. При производстве материалов использование пучков частиц позволяет предавать им новые качественные свойства [88]. Больших успехов удалось достичь в получении разнообразных полимеров, керамики, композитных волокон [54]. Ускорительная масс-спектрометрия позволяет определять содержание различных металлов в других средах, например, алюминия в сложных химических и биологических системах [55]. Огромные; средства тратятся также на проведение фундаментальных исследований: Так, например, большой, аидрониый коллайдер [105]; в научно-исследовательском центре Европёйского совета ядерных исследований (CERN) позволяет ставить задачи, изучения механизма электрослабой симметрии, кварк-глюонной плазмы, поиск суперсимметрии и др. В 2015 году в ОИЯИ (объединенный институт ядерных исследований) в Дубне планируется запустить коллайдер тяжелых ионов NICA [110], который позволит исследовать свойства сверхплотной^ ядерной материи. Возможности технологий основанных на пучках частиц весьма разнообразны и позволяют войти в области, в которых раньше не было соответствующего исследовательского инструментария.

Повышение требований. Ускоритель, как технологическое устройство;, представляет собой чрезвычайно сложную систему взаимосвязанных элементов, требующую тщательного анализа на этапе построения и огромных материальных затрат на всех этапах жизненного цикла. Проведенный анализ указывает на постоянно растущие требования к характеристикам создаваемых установок, вызванные сложностью и масштабом решаемых задач. Во многих задачах (медицины, исследования материалов и пр.) начинают играть важную роль распределение и форма пучка на мишени. В следствии этого, в математических моделях динамики пучка приходится учитывать большее разнообразие эффектов, оказывающих существенное влияние на характеристики пучка (нелинейные, объемный заряд, взаимодействие с элементами установки). Постоянно повышается ресурсоемкость ускорителей, что приводит к необходимости решения задач связанных с экономией энергии. Высокая стоимость установок требует тщательного проектирования, изготовления и настройки систем управления пучком частиц с целью повышения отдачи и эффективности использования. Одним из направлений исследований в современной теории и практики ускорительной физики является тщательное математическое моделирование с обязательным этапом постановки задач оптимизации подобных систем и их решения. Специфика такого рода приводит к необходимости использования разнообразных методов и продвинутой технологии оптимизации, адаптированных к классу рассматриваемых задач. Так, например, в установках для лечения онкологических заболеваний повышаются требования к безопасности, связанные с уменьшением влияния пучка частиц на человека, что налагает особые требования на пучок, а следовательно на систему управления. Для сохранения близлежащих тканей при облучении больного, налагаются ограничения на форму пучка и на величину допуска отклонения от требуемых размеров пятна. Для обеспечения равномерного облучения, необходимым фактором является формирование заданного распределения частиц. Рост вышеуказанных требований приводит к необходимости тщательного математического и компьютерного моделирования, применения эффективного математического аппарата и, прежде всего, численных методов, применения высокоточных технологий по созданию элементов ускорителя и его установке.

Повышение стоимости. Стоимость отдельных современных установок несопостовимо высока по сравнению с установками середины ХХ-го века. Так, например, затраты на проектирование, изготовление и строительство большого андронного коллайдера [105] оценивается в девять миллиардов долларов. Высокая стоимость современных установок требует тщательного детального подхода к моделированию и оптимизации на всех этапах проектирования, изготовления и настройки ускорителя. Особое внимание следует также уделить проблемам модернизации существующих ускорителей, что позволяет повысить эффективность использования в определенной степени устаревших установок.

Огромное число конференций, посвященных проблемам создания ускорительных систем (РАС, ЕРАС, АРАС, RuPAC, LIN АС и другие) (см., например, [99]) дает четкое представление об актуальности задач и методах их решения. Следует отметить, что в последние годы появилось большое число работ (см., например, [24, 87, 90]) посвященных оптимизации систем управления пучками частиц, что свидетельствует о высокой актуальности данной тематики. Сложность оптимизации таких систем определяется следующим рядом факторов.

1. Многопараметричностъ. Количество параметров оптимизируемой установки может колебаться от десяти, в случае небольших установок, до десятков тысяч, как в случае, например, большого андронного коллайдера. Наличие большого числа параметров приводит к необходимости их возможной группировки, выделения более значимых параметров для настройки с фиксацией остальных на некоторой сетке значений, рассмотрения методологии последовательной оптимизации. При этом, большую роль играет выбор численных методов пригодных для работы с заданным числом параметров и возможность их адаптации.

2. Сложность динамики пучка. Современные требования к установкам, приводят к необходимости использования моделей, описывающих движение частиц, которые являются нелинейными, хотя построение первых ускорителей производилось, как правило, на основе линейной модели. Использование нелинейных моделей вызывает трудности при построении и формировании сложного вида функционала и ограничений для задач оптимизации. В интенсивных пучках частиц приходится учитывать также влияние собственного заряда. Существование в больших системах хаотического движения частиц приводят к задачам исследования «гало пучка»1 и оптимизации динамической апертуры [68].

Обзор современной литературы позволяет выделить различные подходы к моделированию пучков заряженных частиц [10, 25] и отметить, что выбор, той или иной модели определяется: в основном; спецификой конкретной задачи.

При описании интенсивных пучков заряженных частиц широко применяется уравнение Власова. Оно представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение с частными производными для плотности распределения частиц в фазовом пространстве [27]. Данное уравнение применяется для описания пучка с высокой плотностью частиц, когда их взаимодействием нельзя пренебречь и соответствует концепции самосогласованного поля, предполагающая, что сила действующая на частицу, определяется как средняя сила воздействия со стороны всего ансамбля частиц. Нелинейный характер уравнения создает существенные трудности для получения аналитических решений.

Еще одним из подходов к моделированию систем управления пучками заряженных частиц, является подход основанный на методах теории оптимального управления. Применение данного подхода позволяет строить

1Ьир://зсНайоп. aip.org/proceedings/confproceed/693.jsp ■ направленные методы оптимизации, которые оказываются весьма эффективны. В связи с большим числом управляющих параметров, особый интерес представляют модели, в которых динамика частиц по отношению к ряду переменных может быть описана линейными соотношениями. Модели подобного вида активно разрабатываются в Санкт-Петербургском государственном университете [27].

В зависимости от решаемой задачи, следует учитывать как продольное, так и поперечное движения пучка частиц. Рассмотрение продольного движения пучка напрямую связано с ускоряющим процессом. Для ускорения частиц, необходимым условием является наличие электрического поля. Существуют различные принципы ускорения отличающиеся по способу получения данных полей: электростатические; где заряженные частицы ускоряются в результате прохождения некоторой разности потенциалов в постоянном электрическом поле; индукционные, где ускоряющее поле создается. электромагнитной индукцией при изменении во времени магнитного поля; резонансные, в которых используется переменное электрическое поле высокой частоты [26]. При проведении продольной оптимизации широко применяется подход моделирования пучка частиц набором «толстых дисков»(см., например, [28]).

3. Многокритериалъностъ и антогонистичностъ функционалов. При построении систем управления пучками частиц следует руководствоваться целым набором критериев качества (выходные характеристики пучка, распределение, стоимость, устойчивость решения) и ограничений (размеры апертуры, длина установки, допустимые величины управляющих полей). Антогонизм функционалов проявляется в том, что попытка улучшить значение одного из критериев, приводит к ухудшению значений других, в следствии чего следует приходить к определенному компромиссу при выборе решения.

4. Существование семейства локальных оптимальных решений в определенной степени «подходящих» для «изготовителей» системы управления. Дело в том, что нелинейность как динамики системы (см. пункт 2.2), так и функционалов с ограничениями (см. пункт 1.5) приводит к тому, что у соответствующей задачи оптимизации существует множество решений, которые в той или иной мере являются «подходящими». Окончательный выбор семейства решений ложится на физиков-экспериментаторов с учетом дополнительных условий (реализуемость, стоимость и пр.).

Вышесказанное приводит к необходимости тщательного выбора методов оптимизации и применения специальной методологии к ускорителям. Таким образом, необходимо построение предметно-ориентированных методов оптимизации, т. е. адаптированных к данному классу задач.

Подходы к решению задач оптимизации. Говоря о проблеме оптимизации нельзя не упомянуть о различных подходах используемых для ее решения.

Как указывалось ранее, отличительной особенностью задач оптимизации в физике пучков является наличие большого числа критериев оптимальности. Проблемы многокритериальной оптимизации встречаются в различных сферах и областях, чему посвящено большое число работ [74, 75, 78], однако излагаемые подходы зачастую применимы только к рамкам рассматриваемой области. В работе [12] авторы формулируют проблемы моделирования и оптимизации реальных процессов с учетом неопределенностей на основе синтеза концепций теории нечетких множеств, а также прикладного и интервального анализа. Подобный подход позволяет решать задачи совершенствования функционирования производственных систем в условиях неполноты и неточности информации о протекающих процессах.

Широкое применение в проблеме многокритериальной оптимизации нашел принцип Эджворта-Парето [59, 93, 95], согласно которому наилучшие решения следует выбирать среди парето-оптимальных решений. В частности, работе В.Д. Ногина [23] изучаются основные свойства множества Парето, излагаются элементы теории относительной важности критериев и показывается, каким образом информацию об относительной важности критериев следует использовать на практике для осуществления наилучшего выбора. Данные идеи успешно используются при решении задач принятия решений при выборе экономических стратегий.

Начиная с 1968г. Д.А. Овсянников, а затем и его ученики развивают подход к построению систем управления пучками частиц основанный на принципе максимума Понтрягина. Данный аппарат является достаточно развитым инструментарием, применимым для решения большого класса задач физики пучков (Д.А. Овсянников с коллегами используют его в основном для решения задач синтеза линейных ускорителей). В частности, введенный в работе вид функционала позволяет описывать практически все требования оптимальности к пучку. Однако, для применения данного вида функционала необходима его детализация для каждого класса задач физики пучков, что является так же достаточно сложной задачей.

Особенность физики ускорителей заключается в том, что их конструирование обязательно должно включать этап теоретического исследования возможных вариантов подобных систем. Дело в том, что «доводка» уже построенных систем (юстировка) не приводит к существенным улучшениям характеристик и приходится проводить модернизацию путем добавления новых элементов, что существенно удорожает установку. Традиционный процесс проектирования и настройки для таких систем с целью обеспечения желаемых свойств не является прямым. Поэтому процесс поиска оптимальных параметров ускорительной установки должен сопровождаться тщательным изучением структур, которые устраивают физика-экспериментатора. Данный процесс может разделяться на следующие этапы.

I. Построение базовой модели

• построение иерархической последовательности критериев оптимальности структуры на основе реальных систем;

• формирование вектора управляющих параметров и управляющих функций на основе классификации оптимизационных параметров и воздействий;

• формализация математических моделей с учетом возможностей физиков-экспериментаторов.

II. Исследование построенных моделей, параметров, функционалов критерия качества

• «настройка» линейной модели, результатом которой является набор локальных оптимумов для выбранного- семейства критериев качества;

• «отбраковка» решений, не обеспечивающих специальных требований физиков-экспериментаторов (удовлетворение допускам, возможность реализации и пр.);

• расширение области применимости модели за счет включения дополнительных эффектов, например таких как краевые поля, собственный заряд и т. п.;

• учет нелинейных эффектов различной природы с целью последовательной «отбраковки» найденных на предыдущих этапах «локальных оптимальных решений».

В результате выполнения приведенного перечня действий исследователь получает конечный набор приемлемых решений, из которых «заказчик» осуществляет выбор на основе дополнительных, слабо формализуемых критериев, таких как стоимость, технологические ограничения реализации данных решений и т.п.

Таким образом, в данной работе, под оптимизацией системы управления пучком частиц, понимается целый комплекс действий по поиску решений «подозрительных на оптимальность» (удовлетворяющих некоторому базовому критерию) и их дополнительное исследование и уточнение на удовлетворение дополнительным критериям (учет допусков, стоимостных характеристик и пр.) с целью выявления набора решений являющихся оптимальными в том или ином смысле.

Обзор численных методов оптимизации. Как указывалось ранее, в задачах оптимизации приходится сталкиваться с проблемой выбора эффективных алгоритмов для их решения. При этом численные методы должны быть адекватны решаемой проблеме, отвечать требованиям ресурсоемкое™, учитывать многопараметричность задачи. В качестве критериев эффективности алгоритмов может выступать точность получаемого результата, время счета^ объем необходимой памяти вычислительной машины (в настоящее время становится наименее актуальным) и прочие критерии [30]. При оценке алгоритмов по тому или иному критерию рассматривается их эффективность для различных классов задач. Алгоритм плохо применимый для широкого класса задач может оказаться эффективным на более узком классе. Данный факт делает необходимым для исследователя иметь в запасе большой набор алгоритмов и в зависимости от конкретной задачи применять тот или иной из них.

Обзор существующего программного обеспечения. Проблемы оптимизации в физике пучков достаточно сложны и имеют свою специфику, связанную, прежде всего, с тем, что затрачивается существенное время на вычисление как самой целевой функции (функционала), так и функций, задающих ограничения. Поэтому, наличие качественного программного обеспечения, позволяющего производить расчеты и предоставляющего дополнительные средства для работы с результатами, существенно повышает эффективность исследования подобных систем. В настоящее время существует большое число пакетов, позволяющих производить вычисления указанных задач, однако они зачастую имеют ряд недостатков, связанных с представлением данных, недостаточно гибкой настройкой процесса вычисления, отсутствием дружественного пользовательского интерфейса, отсутствием дополнительных средств анализа полученных результатов.

Среди широко используемых пакетов, специализирующихся на решении задач физики пучков следует отметить: PARMILA [101], PARMELA [102], COSY INFINITY [45], TRANSPORT [48], UAL [70], MAD X[103], LANA [100], часть из которых содержат встроенные модули оптимизации (например, MAD). Данные пакеты позволяют производить сложные вычисления при решении различных прикладных задач проектирования и оптимизации ионно-оптических систем (ИОС) (см., например, [19, 43, 56, 71]). Однако они достаточно сложны в использовании и требуют изучения обширных спецификаций. Например, для MAD существует три пользовательских спецификации, каждая из которых составляет сотни страниц. Кроме того, они не обладают достаточной гибкостью в настройке и представлении результатов вычислений.

Существует набор универсальных пакетов компьютерной алгебры, не специализирующихся конкретно на ИОС, но предоставляющие мощные средства для проведения численных расчетов и визуализации результатов. В качестве такого рода пакетов следует упомянуть: MAPLE [14], МАТНЕМATICA [15], предоставляющие удобные и эффективные средства для построения графиков, проведения символьных операций при работе с матрицами и векторами, упрощении выражений и пр. MATLAB [11], MathCad [107] — предоставляют богатый и пополняемый инструментарий численных вычислений для выполнения разнообразных математических и технических расчетов (toolbox). Однако имеющиеся в них численные методы оптимизации, в общем случае не обладают достаточной гибкостью в настойке параметров метода и сбора результатов. Число имеющихся в реализации методов так же ограничено и не позволяют учитывать специфику задач возникающих при оптимизации сложных систем и в частности ИОС.

Существуют отдельные реализации различных численных методов минимизации. Например программа MNBBR [109] предоставляет реализацию метода скользящего допуска с достаточно гибкой настройкой входных параметров, однако не предоставляет возможности прямого ввода минимизируемого функционала (каждый раз требуется написание и компиляция отдельного программного модуля содержащего-функционал).

Сложность решения задач оптимизации. Задачи оптимизации физики пучков чрезвычайно сложны. При этом сложность проявляется как с точки.зрения формулирования задачи, так и эффективного выбора и использования методов их решения: В связи-с этим необходима подготовка «персонала», имеющего навыки для работы с такого рода задачами. По этой причине, в диссертации, в качестве одной из задач, рассмотрена задача построения системы обучения решению задач нелинейного программирования (ЗНЛП).

Вышесказанное приводит к необходимости тщательного выбора математических моделей системы управления; методов оптимизации и применения специальной методологии к ускорителям. При этом данное исследование должно базироваться на эффективном программном обеспечении. Существующие методики зачастую оторваны от практики и не учитывают ряд существенных факторов («антогонизм» функционалов, реализуемость решений в рамках допусков, стоимостные характеристики и пр.), в связи с чем необходимо построение предметно-ориентированных методов и средств оптимизации, т. е. адаптированных к данному классу задач.

Таким образом актуальность проблемы можно сформулировать следующим образом: потребность использования рассматриваемых в работе установок постоянно увеличивается. Высокие требования предъявляемые к установкам вынуждают исследователей использовать все более сложные математические модели. Постоянно растет стоимость и масштабы установок. В связи с этим, становится наиболее актуальным применение эффективных методик проектирования и современных компьютерных технологий. Большое число управляющих параметров ведет к необходимости построения стратегии их настройки и применения адаптированных численных методов. Наличие «противоборствующих критериев» качества и ограничений приводит к необходимости построения методологии их совместного учета и поиска оптимальных решений. Возможность решения данных задач должна обеспечиваться построением методологии оптимизации, сопровождаться применением эффективных компьютерных технологий, средств моделирования и проведения численных вычислений. При этом большую роль играет наличие обучающих средств для решения данных задач.

Целью работы является построение математических и компьютерных моделей, эффективно решающих задачи оптимизации достаточно широкого класса зондоформирующих систем (ЗФС).

Для решения поставленной цели следует решить следующие задачи:

• исследование основных проблем, возникающих при проектировании установок и поиск путей их решения;

• построение математических моделей зондоформирующей системы, адекватных физическим требованиям их качества;

• выбор методов решения задач нелинейного программирования (ЗНЛП) и исследование их эффективности с целью последующей реализации в виде программных комплексов;

• разработка методов поиска оптимальных параметров установок с высокими требованиями к характеристикам пучка;

• разработка и тестирование программного обеспечения позволяющего решать задачи оптимизации ЗФС;

• верификация предлагаемых методов и технологий при решении задач физики пучков.

Новизна работы заключается в построении единой стратегии эффективно обеспечивающей оптимизацию ЗФС, получении новых результатов по конкретным установкам формирования пучка частиц с заданными характеристиками.

Практическая ценность. Предлагаемая методология, в совокупности с разработанным программным комплексом, позволяет проводить расчеты для проектирования и оптимизации реальных физических установок. Построенная обучающая система позволяет проводить подготовку исследователей для работы с данными задачами. Часть результатов полученных в процессе вычислительных экспериментов являются новыми.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования были представлены на следующих научно-технических конференциях и семинарах: научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2007 - 2010), европейская конференция по ускорителям заряженных частиц ЕРАС-2008 (Италия, Генуя), конференция по физике и управлению Physcon2009 (Италия, Катания), XVI международный семинар «Beam Dynamics & Optimization» (Санкт-Петербург, июнь 2010).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования отражены в десяти публикациях, из которых одна входит в список ВАК. Работа [42] в соавторстве (проведение расчетов по оптимизации конкретных вариантов ЗФС).

Структура и объем работы. Основная часть работы состоит из пяти глав. В первой главе производится постановка задачи, рассматриваются проблемы, возникающие при проектировании ЗФС, в наиболее общей формулировке приводятся уравнения движения, управляющие поля и варианты формирования начального фазового множества. Во второй главе решаются вопросы построения математических моделей физических установок и определения критериев качества. В третьей главе рассматриваются вопросы оптимизации, проводится сравнительная характеристика численных методов решения ЗНЛП, исследуется эффективность их применения в рамках рассматриваемых задач, рассматриваются вопросы глобальной оптимизации и ее специфическая формулировка при подходе к оптимизации ЗФС, способы построения функционалов и анализ полученных решений. Четвертая глава содержит описание разработанного комплекса программ, основное внимание уделяется обоснованию выбора технологий и описанию возможностей предоставляемых пользователю для проведения расчетов. В пятой главе приведены численные примеры последовательного проведения оптимизации установок с подробным обсуждением результатов, а так же результаты тестирования программного комплекса, демонстрирующие работоспособность системы. В Заключении приводятся краткие выводы по работе, перспективы проведенного исследования, а так же положения выносимые на защиту. В Приложении к диссертации приведены вспомогательные материалы дополняющие основной текст работы.

Объем диссертации составляет 149 страниц, список литературы включает 110 наименований, имеется 33 иллюстрации и 15 таблиц.