автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование гарантированного результата в задачах управления движением в декомпозиционных и квазилинейных динамических системах

На правах рукописи

Никитина Светлана Анатольевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО РЕЗУЛЬТАТА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ В ДЕКОМПОЗИЦИОННЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск - 2006

Работа выполнена на кафедре теории управления и оптимизации ГОУ ВПО "Челябинский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Ухоботов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Ф. Шориков

кандидат физико-математических наук, доцент Т.В. Бигильдеева

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН

Защита состоится « Л ¥ » 2006 г. в « /3 »ча-

сов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при ГОУ ВПО "Челябинский государственный университет"по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных,129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Челябинский государственный университет".

Автореферат разослан » 2006 г.

Ученый секретарь //

диссертационного совета /р доктор физ.-мат.наук, ' Уу)^^]

профессор / / у В!

В.И. Ухоботов

Z0Ö6 ft

^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

В представленной диссертационной работе рассматриваются вопросы, связанные с изучением и разработкой методов и алгоритмов моделирования гарантированного управления в динамических системах при наличии воздействия со стороны неконтролируемых помех и функционирующих на конечном промежутке времени. Подход, положенный в диссертации в основу построения моделей таких задач управления, базируется на принципе гарантированного результата. При таком подходе помехам приписывается поведение, ухудшающее показатель качества, что приводит к рассмотрению задачи моделирования управления в рамках теории дифференциальных игр. Актуальность подобных задач, их большой теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие теории дифференциальных игр, составляющей основу алгоритмов синтеза гарантированного управления. Установлены прочные связи этой теории с другими разделами математики: теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных включений и уравнений в частных производных; недифференцируемой оптимизацией и выпуклым анализом, вычислительной математикой. Интенсивно разрабатываются численные методы вычисления гарантированного результата.

Современный облик теории дифференциальных игр сформировался в значительной степени под влиянием работ отечественных и зарубежных математиков H.H. Красовского, JI.C. Понт-рягина, Р. Айзекса, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Э.Г. Альбрехт, М. Барди, В.Д. Батухтин, E.H. Баррон, Т. Башар, Р. Беллман, А. Брайсон, H.J1. Григоренко, Р.В. Гемкрелидзе, В.И. Жуковский, М.И. Зе-ликин, Н. Калтон, А.Ф. Клейменов, А.Н. Красовский, A.B. Кря-

лишений, А.Б. Куржанский. Дж. Лейтман, П.Л. Лионе, A.A. Мс-ликян. Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольский. Г. Ольдстер, Ю.С. Осипов. А.Г. Пашков. B.C. Пацко, H.H. Петров, Л.А. Петросян. Г.К. Пожарицкий. Б.Н. Пшеничный, A.II. Субботин. H.H. Субботина, В.Е. Третьяков, В.Н. Ушаков, А. Фридман, Хо-Ю-Ши. А.Г. Чениов. Ф.Л. Черноусько, A.A. Чикрий, А.Ф. Шориков, Р. Эллиот и многие другие.

H.H. Красовским и представителями его школы развита концепция позиционных игр. В основе этой концепции лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания на него1 2 3. Для широкого класса дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе2. Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций3. В работах А.И. Субботина условия стабильности сформулированы с помощью производных по направлению. В результате получены дифференциальные неравенства4 5, которые обобщают основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р. Айзексом6. Такой подход позволяет использовать конструкции негладкого анализа в задачах синтеза оптимального гарантированного результата. Основная трудность при решении задачи позиционных дифференциальных игр ложится на построение стабиль-

1 Красовский, H.H. Игровые задачи о встрече движений , H.H. Красовский. - М.: Наука, 1970. 420 с.

2 Красовский, H.H. Позиционные дифференциальные игры / H.H. Красовский, А.И. Субботин. - М.: Наука, 1974. 456 с.

3 Красовский, H.H. Управление динамической системой ■ H.H. Красовский. - М.: Наука, 1985. 518 с.

4 Субботин, А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр / А.И. Субботин. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, Л> 2. С. 293-297.

5 Субботин, А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона - Якоби / А.И. Субботин. - М.: Наука, 1Ó91. 215 с.

6 Айзеке, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. - М.: Мир, 1967. 479 с.

ного моста. В рамках теории позиционных дифференциальных игр разрабатывались алгоритмы, а также численные методы построения стабильных мостов. Существенный вклад в разработку численных методов внесли B.C. Пацко, В.Н. Ушаков и их сотруд-

При разработке численных алгоритмов построения стабильных мостов одним из способов аппроксимации вектограмм является их аппроксимация многогранниками. Аппроксимация сечений моста и вектограмм многогранниками позволяет реализовать метод попятных процедур в операциях объединений и пересечений многогранников. В случае, если многогранники, с помощью которых задаются вектограммы управлений, обладают условиями линейности11 12, то для линейных игр с фиксированным временем окончания возможно построить стабильный мост в аналитическом виде. В диссертации рассматриваются декомпозиционные и квазилинейные управляемые системы с такими

7 Боткин, Н.Д. Универсальная стратегия в дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания / Н.Д. Боткин, B.C. Пацко. //Problems of Control and Information Theory. 1992. Vol.11, № 6. P. 419-432.

8 Пацко, B.C. Численное решение дифференциальных игр на плоскости / B.C. Пацко, В.Л. Турова. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. 78 с.

9 Тарасьев, A.M. О построении множеств поглощения в игровых задачах управления / A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов. // Тр. ИММ. Екатеринбург. УрО РАН. 1992. Т.1. С.160-177.

10 Ушаков, В.Н. К задаче построения стабильных мостов с дифференциальной игре сближения-уклонения / В.Н. Ушаков. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1980. С. 32-45.

11 У хоботов, В.И. Построение цены игры в некоторых дифференциальных играх с фиксированным временем / В.И. У хоботов. //Прикладная математика м механика. 1981, Т.45, Вып.6. С.994-1000.

12 Ухоботов, В.И. Моделирование гарантированного управления с многогранной областью значений / В.И. Ухоботов, О.В. Титов. // Вести. Челяб. ун-та. Серия 3. Математика. Механика. Информатика. 2002, № 1(6). С.155-164.

НИКИ

7 8 9 10

и , l

вектограммами, и для них строятся стабильные мосты.

В теории позиционных игр реализовавшееся движение понимается как пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой последовательности ломаных при диаметре разбиения, стремящемся к нулю2. В диссертации используется это определение реализовавшегося движения. В случае, когда стабильный мост известен, построить гарантированное позиционное управление можно, например, с помощью экстремального прицеливания2 3 на стабильный мост. В диссертационной работе используется метод построения гарантированного управления, предложенный В.И. Ухоботовым12 13 14.

В работах JI.C. Понтрягина15 16 разработана аналитическая схема нахождения решения линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования выпуклых множеств. Эти методы получили названия первого и второго прямых методов JI.C. Понтрягина. Во втором методе используется идея попятного движения от терминального множества. В работах JI.C. Понтрягина и A.C. Мищенко17 на основе альтернированного интегрирования разработаны алгоритмы моделирования управления преследователя без дискриминации

13 Ухоботов, В.И. Непрерывная игра в пространстве с неполной линейной структурой / В.И. Ухоботов. // Теория и системы управления. 1997. №.2. С. 107-109.

14 Ухоботов, В.И. Синтез гарантированного управления на основе ап-проксимационной схемы / В.И. Ухоботов. //Труды Института математики и механики. Сб. науч. тр. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. Т.6, К' 1, 2. С. 239246.

15 Понтрягин, JI.C. О линейных дифференциальных играх. 1. / Л.С. Понтрягин. //Докл. АН СССР, 1967. Т.174, Х< 6. С. 1278-1280.

16 Понтрягин, JI.C. О линейных дифференциальных играх. 2. / Л.С. Понтрягин. //Докл. АН СССР, 1967. Т.175, № 4. С. 764-766.

17 Понтрягин, JI.C. Линейные дифференциальные игры (аналитическая теория на основе альтернированного интеграла) / Л. С. Понтрягин, A.C. Мищенко. // Тр. МИАН СССР. 1988. Т.185. С. 208-214.

убегающего объекта. Конструкции первого и второго методов JI.C. Понтрягина активно развивались в работах М.С. Никольского18 19. Были разработаны вычислительные процедуры и доказана сходимость для альтернированных сумм. Идея второго метода JI.C. Понтрягина была обобщена на нелинейные дифференциальные игры Б.Н. Пшеничным20 21. Им разработана операторная конструкция решения игровых задач. В работах А.Г. Чен-цова22 23, Ф.Л. Черноусько и A.A. Меликяна 24 разработан подход к построению гарантированного результата, основанный на процедуре коррекций программных управлений.

Цель диссертации

Основная цель диссертации состоит в разработке теоретических основ задачи синтеза гарантированного результата в декомпозиционных и квазилинейных динамических системах, а также в применении результатов к решению конкретных задач с последующей численной реализацией на ЭВМ.

18 Никольский, М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования / М. С. Никольский. // Мат. сб. 1985. Т. 128. № 1. С. 35-48.

19 Никольский, М.С. О времени первого поглощения / М-С. Никольский. Мат. методы исслед. и оптимизации систем: Кн./ Вып. 2. Киев, 1970. С. 32-44.

20 Пшеничный, В.Н. Структура дифференциальных игр / Б.Н. Пшеничный. //Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, Л» 2. С. 285-287.

21 Пшеничный, В.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем / Б.Н. Пшеничный, М.И. Сагайдак. // Кибернетика. 1970. № 2. С. 54-63.

22 Ченцов, А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения / А.Г. Ченцов. Докл. АН СССР. 1975. Т.224, № 6. С. 1272-1275.

23 Ченцов, А.Г. О дифференциальных играх с ограничением на число коррекций / А.Г. Ченцов. Свердловск. ИММ АН СССР. 1979. 53 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.12.80. Л» 5272-80. Деп.

24 Черноусько, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л. Черноусько, A.A. Меликян. - М.: Наука, 1978. 270 с.

Методика исследования

В основе разрабатываемых в диссертации методов лежит концепция теории оптимального гарантированного управления. Активно используются понятия и результаты теории дифференциальных уравнений, теории многозначных функций, функционального анализа, линейного и выпуклого анализа.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами. Среди них отметим следующие:

1. В задаче управления движением в декомпозиционной системе получен алгоритм построения гарантированного результата, обеспечивающего удержание фазовой траектории вблизи заданного семейства замкнутьЬс множеств.

2. Для декомпозиционных динамических систем с вектограм-мой в форме многогранника специального вида построен максимальный стабильный мост и приведено правило построения гарантированного управления, записанное в виде задачи на условный экстремум.

3. Полученные теоретические результаты для декомпозиционных систем применены к решению конкретной задачи и доведены до численной реализации на ЭВМ.

4. Разработан алгоритм построения гарантированного результата для задачи управления квазилинейной системой, обеспечивающего удержание фазовой траектории вблизи заданного семейства замкнутых множеств.

5. Для квазилинейных динамических систем с вектограммой, заданной с помощью многогранника специального вида, получен вид стабильного моста и разработана процедура по-

строения гарантированного управления в виде задачи на условный экстремум.

Практическая и теоретическая ценность

Изложенные в диссертации методы и алгоритмы являются конструктивными. Полученные теоретические результаты для задачи гарантированного управления на заданном промежутке времени могут быть использованы для построения гарантированного результата и допускают их численную реализацию на ЭВМ.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на ВВМШ "Понтрягинские чтения - XIV, ХУ"(Воронеж, 2003, 2004), на международной конференции "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби", посвященной 60-летию академика А.И. Субботина (Екатеринбург, 2005), на V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004), на семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, кафедр математического анализа "и теории управления и оптимизации ЧелГУ.

Данное исследование поддержано стипендией Президента РФ (2004-2005 гг.), грантом Правительства Челябинской области (2004 г.), грантом для поддержки НИР аспирантов вузов Федерального агентства по образованию А04-2.8-343 (2004 г.), грантом РГНФ в рамках проекта № 05-02-85203а/У (2005-2006 гг.).

/

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[13].

Структура и объём работы

Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав, объединяющих 13 параграфов, списка литературы. Нумерация параграфов осуществляется в пределах каждой главы. Нумерация формул тройная: в первой позиции указывается номер главы, в которой приведена формула, во второй - номер параграфа, в третьей - номер формулы в параграфе. Такая же нумерация принята для определений, лемм, теорем, замечаний, примеров и рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор основных направлений развития теории дифференциальных игр. Обосновывается актуальность темы исследования, дается общая характеристика работы, описывается содержание диссертации по главам.

Глава 1 представленной диссертационной работы посвящена рассмотрению задачи построения гарантированного управления декомпозиционной системой, обеспечивающего удержание фазовой траектории вблизи заданного семейства замкнутых множеств.

Данная глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе приведено несколько примеров, приводящих к задачам управления декомпозиционной системой.

Во втором параграфе главы 1 изучены некоторые свойства многогранников специального вида.

Многогранник в Яп можно задать системой линейных неравенств с помощью фиксированного набора векторов х3 € Яп,

¿€171 __

А(у) = {гбЛ": (х},г) <у3, з = 1,1}. (1)

Из теоремы о совместности системы линейных неравенств25 следует, что существует конус К с Яп, такой, что А(у) не пуст тогда

25 Пшеничный, В.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / В.Н. Пшеничный. - М.: Наука, 1980. 319 с.

и только тогда, когда у € К.

Рассмотрены многогранники следующего вида

А{у) = {г <= Я" : (х,, г) < у3, ] = 0Л (х},г) < у,, ] = к + 1,п ,

(-х^г) < Уз+п-к, 3 = к + 1,"} , (2)

здесь векторы х\,...,хп образуют базис в Д™, а Хо = + ... + где все числа < 0.

Найден вид конуса К и доказано, что для многогранников (2) выполнено свойство линейности

А(у + у*) = А(у) + А(у*), V»,у* е К (3)

В третьем параграфе первой главы приведена следующая постановка задачи.

Задан управляемый процесс

¿ = -и-ЛМ,и), в = Ь<р. (4)

Здесь г £ IV1, в & Ят,р - заданный момент окончания процесса управления, а

и €«/(«) С Яп, в^еКсй"".

Под допустимым управлением понимается всякая функция и : (-оо,р] хй"х В,т —► Л", значения и(Ь,г,9) кйторой при любых Кр, гб Д" и <? € Я"1 удовлетворяют включенйю

и{Ь,г,в) £ 17(4).

По выбранному допустимому управлению и заданному начальному состоянию г^о) = го, 0(4о) = ¿о < Р> для разбиения

и;: < ¿1 < • • • < ¿к+1 = Р

с диаметром d(u) = maxo<t<k(it+i — t%), строится ломаная

zw(t) = z„(it) - (t - t,)u(t„ ^(tj), 0w(tf)) - f fi{r, вш{г), vt{r))dr,

Jt,

Рассматривается следующая задача. При каждых t < р, в задано непустое замкнутое множество W{t, в) с Rn. Требуется построить гарантированное управление и(t,z,6) € U(i), которое для любого начального состояния во, го 6 VT(£o, и для любой ломаной zw(t),0u(t) обеспечивает выполнение условия

max oMU^WiU^uiU))) - 0 при d{и) -» 0. (5) 0<г<к+1

Здесь W) = infwew \\z — ги||.

В четвертом параграфе главы 1 на основе аппроксимаци-онной схемы, предложенной в работах11 12, получен алгоритм построения гарантированного управления. Введена функция e(t, z, в), с помощью которой оценивается сверху отклонение фазовой точки г от заданного семейства множеств W{t,6).

Найдена оценка для чисел б(£г, zu(t%), 0ш(и)), из которой, при некоторых дополнительных предположениях, следует условие (5). Эти дополнительные условия используются в дальнейшем для построения стабильного моста рассматриваемого класса задач.

В пятом параграфе первой главы исследуется задача моделирования гарантированного управления, когда вектограмма U{t) = A{a{t)), где a{t) 6 К. Задана функция F : Rm —> Rl. Требуется построить управление, обеспечивающее в заданный момент времени р осуществление включения

z(p) € А(Г(в(р))), F(0(p))€K.

Построен максимальный стабильный мост2 3, каждое сечение которого является многогранником вида (1), и приведено правило

построения гарантированного управления, записанное в виде задачи на условный экстремум.

Глава 2 представленной диссертационной работы посвящена рассмотрению задачи построения гарантированного управления квазилинейной системой, обеспечивающего удержание фазовой траектории вблизи заданного семейства замкнутых множеств.

Данная глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе главы 2 приведена следующая постановка задачи.

Задан управляемый процесс

z = -и + v + 7 • f(t, z), t < р. (6)

Здесь z е й", и - вектор управления; v - вектор помехи; р - заданный момент окончания процесса управления; 7 - малый паг раметр, а

и € U(t) С Я", и € V(t) С Rn.

Рассматривается следующая задача. При каждом t < р задано непустое замкнутое множество W(t) С Rn. Требуется построить гарантированное управление u(t,z) € U(t), которое для любого начального состояния ¿о < Р. ¿(¿о) £ И^(£о) и для любой ломаной zu(t) обеспечивает выполнение условия

тах р{гш{и),\\Г(и)) -> 0 при d(u>) -» 0, 7Ö. (7) 0<i<fc+l

Во втором параграфе главы 2 приведен алгоритм построения гарантированного управления, обеспечивающего выполнение условия (7). Как и в четвертом параграфе главы 1 вводится функция e(t, z) , оценивающая сверху отклонение фазовой точки z от заданного семейства множеств W(t), и доказывается теорема о том, что при выполнении некоторых дополнительных условий, построенное управление обеспечивает выполнение условия

(7) для любого начального состояния to, zq € W(to) и любой ломаной zu(t). Эти условия используются в третьем и четвертом параграфах для построения стабильного моста.

В третьем параграфе второй главы исследуются динамические системы (6), в которых вектограмма управления U{t) — C(t)A(a(t)), где a(t) б К, C(t) - невырожденная пхп матрица, с непрерывно-дифференцируемыми координатными функциями.

Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое решение y(t) которой гарантирует, что семейство множеств W(t) = C(t)A(y(t)) является стабильным мостом для рассматриваемой задачи.

Процедура построения гарантированного управления, удерживающего фазовую траекторию в стабильном мосте, сводится к решению задачи на условный экстремум.

В четвертом параграфе главы 2 для случаев параллелепипеда и симплекса выписана в явном виде система дифференциальных уравнений, полученная в третьем параграфе этой главы.

В пятом параграфе второй главы исследуется линейная дифференциальная игра

i = -u + v, z е Л", t0<t<p, ие U(t), v е V(t) (8) с векторным критерием качества

/,(г(р))= max (<$<®,,г(р))), * € ТД. (9)

Для этой игры вычислена функция векторной цены игры.

В третьей главе приведено решение задачи о встрече в заданный момент времени управляемой материальной точки с автомобилем, представлены результаты моделирования. На основе результатов первой главы получено аналитическое решение этой задачи. Приведен текст программы, разработанной в среде DELPHI. Показаны примеры работы программы.

Автор выражает искреннюю благодарность Виктору Ивановичу Ухоботову за постоянное внимание, помощь и всестороннюю поддержку.

Публикации по теме диссертации

[1] Никитина, С.А. Аналитическая схема построения стабильного моста для одной декомпозиционной дифференциальной игры / С.А. Никитина // Современные методы теории краевых задач: Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XIV". - Воронеж, 2003. - С. 99-100.

[2] Никитина, С.А. Задача о преследовании автомобиля материальной точкой / С.А. Никитина // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ.докл. - Челябинск: ЧелГУ, 2003. - С. 6-7.

[3] Никитина, С.А. Об одной классе дифференциальных игр с многогранной областью управления / С.А. Никитина // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челяб. обл.: Сб. рефератов научно-исследовательских работ. - Челябинск, 2003. - С. 11-12.

[4] Никитина, С.А. Об одной классе дифференциальных игр / С.А. Никитина // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челяб. обл.: Сб. рефератов научно-исследовательских работ. - Челябинск, 2004. - С. 12-13.

[5] Никитина, С.А. Построение цены для одного класса многокритериальных дифференциальных игр / С.А. Никитина // Обозрение прикладной и промышленной математики. -Москва, 2004. - Т. 11, Вып. 4.- С. 887-888.

[6} Никитина, С.А. Об одной дифференциальной игре / С.А. Никитина // Нёкоторые задачи динамики и управления: Сб. науч. тр. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, ИММ УрО РАН; 2005. - С. 78-83.

[7] У хоботов, В.И. Стабильный мост для одного класса дифференциальных игр / В.И. Ухоботов, С.А. Никитина // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика.

- 2003. № 1(7). - С. 99-107.

[8] Никитина, С.А. Векторная функция цены игры для одного класса дифференциальных игр / С.А. Никитина, В.И. Ухо-ботов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы ВЗМШ "Понтрягинские чтения XIV". - Воронеж, 2003. - С. 262-263.

[9] Ухоботов, В.И. Задача удержания в линейных системах с малой нелинейностью / В.И. Ухоботов, С.А. Никитина // Современные методы теории краевых задач: Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XV". - Воронеж, 2004.

- С. 219-220.

[10] Ухоботов, В.И. Построение гарантированного управления в квазилинейных системах / В.И. Ухоботов, С.А. Никитина // Труды Института математики и механики. Динамические системы и проблемы управления: Сб. науч. тр. - Екатерин' бург: УрО РАН, 2005. Т. 11, № 1. - С. 201-211.

[11] Никитина, С.А. Построение гарантированного управления в линейных системах с вектограммой в форме многогранника / С.А. Никитина, В.И. Ухоботов // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби: Тез. докл. междунар. семинара, поев. 60-летию акад. А.И. Субботина. - Екатеринбург, 2005. - С. 118-120.

[12] Ухоботов. В.И. Задача удержания в декомпозиционных системах / В.И. Ухоботов. С.А. Никитина: Челяб. го с. ун-т. -Челябинск. 2006. - 12 г. - Библиогр.: 8 назв. - Деп. в ВИНИТИ 22.02.06, .V 189-В2006.

[13] Никитина. С.А. Синтез гарантщюванного результата в декомпозиционной .динамической системе <'' Государственный координационный центр информационных технологий. - М.. 2006. - Л*8 5694 ОФАП. Л'8 государственной регистрации 50200600208.

Подписано в печать 20.03. А6, Формат 60х841/1б. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. ^ / . Уч.-изд. л. . Тираж 100 экз. Заказ . Бесплатно. Челябинский государственный университет. 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

Полиграфический участок Издательского центра ЧелГУ. 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57®

г

■2.006 А 4&73

i-4675

Введение

1 Построение гарантированного управления в декомпозиционных системах

1.1 Примеры, приводящие к задачам управления декомпозиционной системой.

1.2 Свойства многогранников, линейно зависящих от правых частей.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Построение гарантирующего управления

1.5 Случай многогранной вектограммы управления

2 Моделирование гарантированного результата в квазилинейных системах

2.1 Постановка задачи.

2.2 Построение гарантирующего управления

2.3 Случай многогранной области управления

2.4 Примеры.

2.5 Векторная цена игры.

3 Синтез гарантирующего управления в задаче о встрече в заданный момент времени

3.1 Аналитическое решение задачи о встрече в заданный момент времени.

3.2 Примеры работы программы.

3.3 Численная реализация на ЭВМ полученных результатов

Актуальность темы

В представленной диссертационной работе рассматриваются вопросы, связанные с изучением и разработкой методов и алгоритмов моделирования гарантированного управления в динамических системах при наличии воздействия со стороны неконтролируемых помех, и функционирующих на конечном промежутке времени. Подход, положенный в диссертации в основу построения моделей таких задач управления, базируется на принципе гарантированного результата. При таком подходе помехам приписывается поведение, ухудшающее показатель качества, что приводит к рассмотрению задачи моделирования управления в рамках теории дифференциальных игр. Актуальность подобных задач, их большой теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие теории дифференциальных игр, составляющей основу алгоритмов синтеза гарантированного управления. Установлены прочные связи этой теории с другими разделами математики: теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных включений и уравнений в частных производных; недифферепцируемой оптимизацией и выпуклым анализом, вычислительной математикой. Интенсивно разрабатываются численные методы вычисления гарантированного результата.

Современный облик теории дифференциальных игр сформировался в значительной степени под влиянием работ отечественных и зарубежных математиков Н.Н. Красовского, JI.C. Понтрягина, Р. Айзекса, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Э.Г. Альбрехт, М. Барди, В.Д. Батухтин, Е.Н. Баррон, Т. Башар, Р. Белл-ман, А. Брайсон, H.JI. Григоренко, Р.В. Гемкрелидзе, В.И. Жуковский, М.И. Зеликин, Н. Калтон, А.Ф. Клейменов, А.Н. Красовский, А.В. Кря-жимский, А.Б. Куржанский, Дж. Лейтман, П.Л. Лионе, А.А. Меликян, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольский, Г. Ольдстер, Ю.С. Осипов, А.Г. Пашков, B.C. Пацко, Н.Н. Петров, Л.А. Петросян, Г.К. Пожарицкий, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, В.Е. Третьяков, В.И. Ухоботов, В.Н. Ушаков, А. Фридман, Хо-Ю-Ши, А.Г. Ченцов, Ф.Л. Черноусько, А.А. Чикрий, А.Ф. Шориков, Р. Эллиот и многие другие.

Н.Н. Красовским и представителями его школы развита концепция позиционных игр (см., например, [2-4, 6, 9, 16, 19-29, 35-37, 52-61, 6973, 75, 77, 78], в основе которой лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания на него. Для широкого класса дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе (см., например, [21, 27, 54]). Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций (см., например, [20, 25, 28, 54, 61]). В работах А.И. Субботина [55, 56] условия стабильности сформулированы с помощью производных по направлению. В результате получены дифференциальные неравенства [52], которые обобщают основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р. Айзексом [1]. Такой подход позволяет использовать конструкции негладкого анализа в задачах синтеза оптимального гарантированного результата [53, 57]. Основная трудность при решении задачи позиционных дифференциальных игр ложится на построение стабильного моста. В рамках теории позиционных дифференциальных игр разрабатывались алгоритмы, а также численные методы построения стабильных мостов. Существенный вклад в разработку численных методов внесли B.C. Пацко, В.Н. Ушаков и их сотрудники [6, 37, 59, 69, 71]. В основе разработанных ими алгоритмов лежит метод попятных процедур. При разработке численных алгоритмов построения стабильных мостов одним из способов аппроксимации вектограмм является их аппроксимация многогранниками. Аппроксимация сечений моста и вектограмм многогранниками позволяет реализовать метод попятных процедур в операциях объединений и пересечений многогранников [7,10].

В случае, если многогранники, с помощью которых задаются векто-граммы управлений, обладают условиями линейности [63, 68], то для линейных игр с фиксированным временем окончания возможно построить стабильный мост в аналитическом виде. В диссертации рассматриваются декомпозиционные и квазилинейные игры с такими вектограммами и для них строятся стабильные мосты.

В теории позиционных игр (см., например, [21], стр. 33) реализовавшееся движение понимается как пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой последовательности ломаных при диаметре разбиения, стремящемся к нулю. В диссертации используется это определение реализовавшегося движения. В случае, когда стабильный мост известен, построить гарантированное позиционное управление можно, например, с помощью экстремального прицеливания [20, 21] на стабильный мост. В диссертации используется метод построения гарантированного управления, предложенный В.И. Ухоботовым [65, 66, 68].

В работах JI.C. Понтрягина [42-44] разработана аналитическая схема нахождения решения линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования выпуклых множеств. Эти методы получили названия первого и второго прямых методов JI.C. Понт-рягина. Во втором методе используется идея попятного движения от терминального множества. В работах JI.C. Понтрягина и А.С. Мищенко [4547] на основе альтернированного интегрирования разработаны алгоритмы моделирования управления преследователя без дискриминации убегающего объекта. Конструкции первого и второго методов JI.C. Понтрягина активно развивались в работах М.С. Никольского [31-33]. Были разработаны вычислительные процедуры и доказана сходимость для альтернированных сумм [34, 39]. Идея второго метода J1.C. Понтрягина была обобщена на нелинейные дифференциальные игры Б.Н. Пшеничным. Им разработана операторная конструкция решения игровых задач [49, 51]. В работах А.Г. Ченцова [72, 73], Ф.Л. Черноусько и А.А. Меликяна [74] разработай подход к построению гарантированного результата, основанный на процедуре коррекций программных управлений.

Цель диссертации

Основная цель диссертации состоит в разработке теоретических основ задачи синтеза гарантированного результата в декомпозиционных и квазилинейных динамических системах, а также в применении результатов к решению конкретных задач с последующей численной реализацией на ЭВМ.

В данной диссертации продолжается направление исследований, представленное в работах В.И. Ухоботова [64-68].

Методика исследования

В основе разрабатываемых в диссертации методов лежит концепция теории оптимального гарантированного управления. В работе используются понятия и результаты теории дифференциальных уравнений, теории многозначных функций, функционального анализа, линейного и выпуклого анализа.

Практическая и теоретическая ценность

Изложенные в диссертации методы и алгоритмы являются конструктивными. Полученные теоретические результаты для задачи гарантированного управления на заданном промежутке времени могут быть использованы для построения гарантированного результата и допускают их численную реализацию на ЭВМ.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав, объединяющих 13 параграфов, списка литературы. Нумерация параграфов осуществляется в пределах каждой главы. Нумерация формул тройная: в первой позиции указывается номер главы, в которой приведена формула, во второй - номер параграфа, в третьей - номер формулы в параграфе. Такая же нумерация принята для определений, лемм, теорем, замечаний, примеров и рисунков. Основные обозначения объяснены в списке обозначений.

1. Айзеке, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. - М.: Мир, 1967.- 479 с.

2. Альбрехт, Э.Г. О сближении квазилинейных объектов в регулярном случае / Э.Г. Альбрехт // Дифференциальные уравнения. -1971. Т.7, № 7.- С. 1171-1178.

3. Батухтии, В.Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения / В.Д. Батухтии // Докл. АН СССР. 1972. - Т.207, № 1. - С. 11-14.

4. Батухтии, В.Д. Регулярный случай в линейной дифференциальной игре / В.Д. Батухтии, А.И. Субботин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. - № 6. - С. 8-12.

5. Благодатских, В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппов // Тр. МИАН СССР. 1985. - Т. 169. - С. 195-252.

6. Боткин, Н.Д. Универсальная стратегия в дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания / Н.Д. Боткин, B.C. Пацко // Problems of Control and Information Theory. 1992. - Vol.11, № 6.- P. 419-432.

7. Вахрушев, В.А. Алгоритмы пересечения и объединения множеств на плоскости / В.А. Вахрушев, A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков // Управление с гарантированным результатом. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1987. - С. 101-109.

8. Григоренко, H.JI. Нелинейные динамические игры / H.JI. Григо-ренко, С.Б. Колосов //Фунд. и прикл. мат. 1996. -Т.2, № 1. -С. 112-124.

9. Гусев, М.И. Равновесные ситуации в многокритериальных игровых задачах с нспротивоположными интересами / М.И. Гусев, А.Б. Куржанский // Докл. АН СССР. 1976. - Т.229, № 6. -С. 1295-1298.

10. Гусейнов, Х.Г. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем / Х.Г. Гусейнов, А.Н. Моисеев, В.Н. Ушаков // ПММ.- 1998. Т.65, № 2. - С. 179-187.

11. Гусятников, П. В. Простая квазилинейная задача преследования / П.Б. Гусятников, Е.С. Половинкин // ПММ. 1980. - Т.44, Вып.5.- С.771-782.

12. Дятлов, В.П. Об одном классе линейных дифференциальных игр с ограниченным числом коррекций / В.П. Дятлов, А.Г. Ченцов // Управление и оценивание в динамических системах: Сб. науч. тр.- Свердловск: АН СССР, 1982. С. 9-16.

13. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры / В.Н. Жуковский, А.А. Чикрий. Киев: Наукова Думка, 1994. -320 с.

14. Жуковский, В. И. Оптимизация гарантий в многокритериальных задачах управления / В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе. Тбилиси: Мецниереба, 1996. - 480 с.

15. Зеликин, М.Н. Об одной дифференциальной игре с неполной информацией / М.Н. Зеликин // Докл. Ан СССР. 1972. - Т. 202, № 5. - С. 998-1000.

16. Иванов, В. А. Задача тореадора / В.А. Иванов, A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // ПММ.- 1993. Т.57, Вып.З. - С.15-22.

17. Коддипгтон, Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддинктон, Н. Левинсон. М.: Изд-во иностр. литер., 1958. - 474 с.

18. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1972. - 496 с.

19. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече движений / Н.Н. Кра-совский. М.: Наука, 1970. - 420 с.

20. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1985. - 518 с.

21. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. М.: Наука, 1974. - 456 с.

22. Красовский, Н.Н. Об одной задаче преследования / Н.Н. Красовский // ПММ. 1963. - Т.27, Вып.2. - С. 244-254.

23. Красовский, Н.Н. К задаче о преследовании в случае линейных однотипных объектов / Н.Н. Красовский // ПММ. 1966. - Т.ЗО, Вып.2. - С. 209-225.

24. Красовский, Н.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала / Н.Н. Красовский // Докл. АН СССР. 1980. -Т.253, № G. - С. 1303-1307.

25. Красовский, Н.Н. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры / Н.Н. Красовский, А.Н. Красовский, В.Е. Третьяков // ПММ. 1981. - Т.45, Вып.4. - С. 579-586.

26. Красовский, Н.Н. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем / Н.Н. Красовский, Ю.М. Репин, В.Е. Третьяков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965. - № 4. - С. 3-23.

27. Красовский, Н.Н. Альтернатива для игровой задачи сближения / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин // ПММ. 1970.- Т.34, Вып.6. -С. 1005-1022.

28. Красовский, А.Н. Программный синтез дифференциальной игры с интегральной платой / Н.Н. Красовский, В.Е. Третьяков // ПММ. 1982. - Т.46, Вып.4. - С. 605-612.

29. Кряэюимский, А.В. К теории дифференциальных игр сближения -уклонения / А.В. Кряжимский // Докл. АН СССР. 1978. - Т.239, № 4. - С. 779-782.

30. Куржапский, Н.Н. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / Н.Н. Куржапский. М.: Наука, 1977. - 392 с.

31. Никольский, М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями / М.С. Никольский // Упр. Новосибирск. 1969. - Вып. 2. - С. 50-59.

32. Никольский, М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общими интегральными ограничениями / М.С. Никольский // Дифференциальные уравнения. 1972. - Т.8, № 6. - С. 964-971.

33. Никольский, М.С. О времени первого поглощения / М.С. Никольский // Мат. методы исслед. и оптимизации систем: Кн./ Вып. 2. Киев. 1970. - С. 32-44.

34. Никольский, М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понт-рягина в линейных дифференциальных играх преследования / М.С. Никольский // Мат. сб. 1985. - Т. 128, № 1. - С. 35-48.

35. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами / Ю.С. Осипов // Докл. АН СССР. -1975. Т.223, № 6. - С. 1314-1317.

36. Пацко, B.C. Дифференциальная игра качества второго порядка / B.C. Пацко // ПММ.- 1982. Т.46, Вып.4. - С. 596-604.

37. Пацко, B.C. Численное решение дифференциальных игр на плоскости / B.C. Пацко, B.J1. Турова. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. -78 с.

38. Пашков, А. Г. Об оценке гарантированного результата в нелинейной дифференциальной игре сближения /А.Г. Пашков // ПММ. 1990. - Т. 54, Вып. 5. - С. 760-765.

39. Попоморев, А.П. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина /А.П. Пономарев// Вести. МГУ. Вычисл. математика и кибернетика. 1978. - Вып. 1. - С. 82-90.

40. Петросян, JI.A. Дифференциальные игры преследования / Л.А. Петросян. JI.: ЛГУ, 1977. - 222 с.

41. Петросян, Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования / Л.А. Петросян. Новосибирск: Наука, 1983. - 140 с.

42. Понтрягин, Л.С. О линейных дифференциальных играх. 1. / Л.С. Понтрягин // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 174, № 6. - С. 12781280.

43. Понтрягин, Л.С. О линейных дифференциальных играх. 2. / Л.С. Понтрягин // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 175, № 4. - С. 764766.

44. Понтрягин, Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования / Л.С. Понтрягин // Матем. сб. Новая серия. 1980. - Т. 112, Вып. 3. - С. 307-330.

45. Понтрягин, Л.С. Линейные дифференциальные игры (аналитическая теория на основе альтернированного интеграла) / Л.С. Понтрягин, А.С. Мищенко // Тр. МИАН СССР. -1988. Т. 185. - С. 208214.

46. Понтрягин, Л.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования без дискриминации убегающего объекта / Л.С. Понтрягин, А.С. Мищенко // Докл. АН СССР. 1984. - Т.277, № 6. -С. 1063-1066.

47. Понтрягин, JI. С. Решение линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования без дискриминации управления убегания / JI.C. Понтрягин, А.С. Мищенко // Докл. АН СССР. 1984. - Т.277, № 6. - С. 1330-1334.

48. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б.Н. Пшеничный. М.: Наука, 1980. - 319 с.

49. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр / Б.Н. Пшеничный // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184, № 2. - С. 285-287.

50. Пшеничный, Б.Н. Линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями / Б.Н. Пшеничный, Ю.П. Оиопчук // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. - № 1. - С. 13-22.

51. Пшеничный, Б.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем / Б.Н. Пшеничный, М.И. Сагайдак // Кибернетика. -1970. № 2. - С. 54-63.

52. Субботин, А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона Якоби / А.И. Субботин. - М.: Наука, 1991. - 215 с.

53. Субботин, А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка / А.И. Субботин. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 336 с.

54. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А.И. Субботин, А.Г. Чепцов. М.: Наука, 1981. - 288 с.

55. Субботин, А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр / А.И. Субботин // Докл. АН СССР. 1980. -Т.254, № 2. - С. 293-297.

56. Субботин, А.И. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой дифференциальной игры / А.И. Субботин, Н.Н. Субботина // Докл. АН СССР. 1978. - Т.243, № 4. - С. 862-865.

57. Субботин, А.И. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры / А.И. Субботин, A.M. Тарасьев // Докл. АН СССР. 1985. - Т.283, № 3. - С. 559-564.

58. Субботина, Н.Н. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх / Н.Н. Субботина // Дифференциальные уравнения. 1983.- Т.19, № 11. - С. 1890-1896.

59. Тарасьев, A.M. О построении множеств поглощения в игровых задачах управления / A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // Тр. ИММ. Екатеринбург. УрО РАН. - 1992. - Т. 1. - С. 160-177.

60. Третьяков, В.Е. Регуляризация одной задачи о преследовании /В.Е. Третьяков j j Дифференциальные уравнения. 1967. - Т.З, № 12. - С. 2108-2121.

61. Третьяков, В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр /В.Е. Третьяков // Докл. АН СССР. 1983. - Т.269, № 3. - С. 10491053.

62. Ухоботов, В.И. К построению стабильных мостов / В.И. Ухоботов // ПММ. 1980. - Т. 44, Вып. 5. - С. 934-938.

63. Ухоботов, В.И. Построение цены игры в некоторых дифференциальных играх с фиксированным временем / В.И. Ухоботов // ПММ. 1981. - Т. 45, Вып. 6. - С. 994-1000.

64. У хоботов, В.И. Синтез управления в однотипных дифференциальных играх с фиксированным временем / В.И. Ухоботов // Вест. ЧелГУ. Сер.З. Математика, механика. 1996. -Вып. 1. - С. 178— 184.

65. Ухоботов, В. И. Непрерывная игра в пространстве с неполной линейной структурой / В.И. Ухоботов // Теория и системы управления. 1997. - № 2. - С. 107-109.

66. Ухоботов, В.И. Синтез гарантированного управления на основе ап-ироксимационной схемы / В.И. Ухоботов // Тр. ИММ. Екатеринбург. УрО РАН. - 2000. - Т.6, К0- 1. - С. 239-246.

67. Ухоботов, В.И. К вопросу о вычислении цены игры / В.И. Ухоботов // Известия Института математики и информатики. Ижевск. - 2001. - № 1(21). - С. 93-104.

68. Ухоботов, В.И. Моделирование гарантированного управления с многогранной областью значений / В.И. Ухоботов, О.В. Титов // Вести. Челяб. ун-та. Серия 3. Математика. Механика. Информатика. 2002. - № 1(6). - С.155-164.

69. Ушаков, В.Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральными ограничениями / В.Н. Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. -1980. № 4. - С. 29-36.

70. Ушаков, В.Н. К вопросу стабильности в дифференциальных играх / В.Н. Ушаков // Позиционное управление с гарантированным результатом: Сб. науч. тр. Свердловск: УрО АН СССР. - 1988. С. 101-109.

71. Ушаков, В.Н. К задаче построения стабильных мостов с дифференциальной игре сближения-уклонения / В.Н. Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. - С. 32-45.

72. Ченцов, А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения / А.Г. Ченцов // Докл. АН СССР. 1975. - Т.224, № 6. - С. 1272-1275.

73. Ченцов, А.Г. О дифференциальных играх с ограничением на число коррекций / А.Г. Ченцов. Свердловск, 1979. - 53 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.80. № 5272-80.

74. Черноусъко, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л. Чер-ноусько, А.А. Меликян. М.: Наука, 1978. - 270 с.

75. Шориков, А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах / А.Ф. Шориков. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 1997. - 248 с.

76. Hermes, Н. The generalized differential equation x G R(t,x) / H. Hermes // Advances Math. 4, № 2(1970). 149-169 pp.

77. Krasovskii, N.N. Game-Theoretical Control Problems. / N.N. Krasovskii, A.I. Subbotin. Berlin etc.: Springer, 1987. -515 pp.

78. Никитина, С.А. Аналитическая схема построения стабильного моста для одной декомпозиционной дифференциальной игры / С.А. Никитина // Современные методы теории краевых задач: Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XIV". Воронеж, 2003. -С. 99-100.

79. Никитина, С.А. Задача о преследовании автомобиля материальной точкой / С.А. Никитина // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ.докл. Челябинск: ЧелГУ, 2003. - С. 6-7.

80. Никитина, С.А. Об одной классе дифференциальных игр / С.А. Никитина // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челяб. обл.: Сб. рефератов научно-исследовательских работ. Челябинск, 2004. - С. 12-13.

81. Никитина, С.А. Построение цены для одного класса многокритериальных дифференциальных игр / С.А. Никитина // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, 2004. - Т. 11, Вып. 4. - С. 887-888.

82. Никитина, С.А. Об одной дифференциальной игре / С.А. Никитина // Некоторые задачи динамики и управления: Сб. науч. тр. -Челябинск: Челяб. гос. ун-т, МММ УрО РАН; 2005. С. 78-83.

83. У хоботов, В.И Стабильный мост для одного класса дифференциальных игр / В.И. Ухоботов, С.А. Никитина // Вестн. Челяб. унта. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика. 2003. N2 1(7). -С. 99-107.

84. Никитина, С.А. Векторная функция цены игры для одного класса дифференциальных игр / С.А. Никитина, В.И. Ухоботов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы ВЗМШ "Понтрягинские чтения XIV". Воронеж, 2003. - С. 262263.

85. Ухоботов, В.И. Задача удержания в линейных системах с малой нелинейностью / В.И. Ухоботов, С.А. Никитина // Современные методы теории краевых задач: Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XV". Воронеж, 2004. - С. 219-220.

86. Ухоботов, В.И. Задача удержания в декомпозиционных системах / В.И. Ухоботов, С.А. Никитина; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2006. - 12 с. - Библиогр.: 8 назв. - Ден. в ВИНИТИ 22.02.06, № 189-В2006.

87. Никитина, С.А. Синтез гарантированного результата в декомпозиционной динамической системе // Государственный координационный центр информационных технологий. М., 2006. - JY? 5694 ОФАП. № государственной регистрации 50200600208.