автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамических процессов в конденсированном веществе методом динамики частиц с использованием многопроцессорных вычислительных систем

На правах рукописи

ЛЕ-ЗАХАРОВ АЛЕКСАНДР АНЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В КОНДЕНСИРОВАННОМ ВЕЩЕСТВЕ МЕТОДОМ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

- 2 пен 2010

Санкт-Петербург — 2010

004615037

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

Кривцов Антон Мирославович

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор

Беляев Александр Константинович

— доктор физико-математических наук, профессор Мелькер Александр Иосифович

Ведущая организация — Учреждение Российской Академии наук

Ордена Ленина и Ордена Октябрьской революции Институт геохимии и аналитической химии им. В.И. Вернадского РАН (Москва)

Защита состоится "1" декабря 2010 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.229.13 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу:

195241, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29, корп. 1 ауд. 41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

ОУ

<1

/Г: I ?

Автореферат разослан - " Слс( 2010 г.

77 I

Ученый секретарь диссертационного совета — ^ .......

Актуальность ТвМЫ. Метод динамики частиц — один из широко используемых методой компьютерного моделнронании. Будучи принципиально дискретным, он имеет ряд преимуществ, проявляющихся при описании процессом, связанных с нарушением континуальности материала. Являясь типичным методом компьютерного моделирования, метод динамики частиц позволяет получать качественно новые результаты за счет наращивания количественной сложности компьютерной модели. Одним из наиболее существенных ограничений, накладываемых на применимость метода, до снх пор остается ограниченность вычислительных ресурсов. Особенно это проявляется при наличии дальнодеиствующих потенциалов взаимодействия, таких как гравитационный потенциал.

Гравитационное влияние тела, находящегося даже па сильном удалении, может быть существенно больше влияния тел, находящихся в непосредственной близости. При численном моделировании это вызывает необходимость расчета сил взаимодействия всех частиц со всеми, что приводит к асимптотической сложности алгоритма расчета сил 0(ЛГ2) относительно числа частиц на каждом шаге интегрирования уравнений движения. Однако существуют различные методы приближенного расчета, позволяющие достичь сложности О(Ы). Некоторые из таких алгоритмов предназначены для расчетов бесстолкновитель-ной динамики частиц с использованием только гравитационного взаимодействия. Другие группы методов более универсальны и позволяют проводить расчет с наличием близкодействующей и дальнодействующей компонент потенциала и учитывать взаимодействие частиц при столкновениях. Однако все подобные методы очень чувствительны к пространственному распределению частиц. При высокой концентрации частиц в небольшом объеме расчетной области эффективность алгоритма может существенно понизиться.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и реализации алгоритмов расчета столкновительпой динамики частиц, применимых при существенно неоднородном распределении частиц 1! пространстве. Подобные алгоритмы необходимы, например, во мног их астрофизических задачах, где рассматривается формирование достаточно плотных скоплений частиц. Кроме того, они могут использоваться для ускорения расчетов в любых других случаях, когда распределение частиц не однородно. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ для расчетов с применением как близкодействующих, так и дальнодеиствующих потенциалов. Для использования возможностей современной компьютерной техники разработаны и реализованы параллельные версии алгоритмов. Практически любой современный персональный компьютер имеет внутри себя не одно, а несколько вычислительных ядер, что в еще недалеком прошлом было привилегией лишь суперкомпьютеров. Таким образом, использование алгоритмов многопроцессорных вычис-

лений приобретает актуальность при работе как с настольным» системами, так и с крупными вычислительными комплексами.

Разработанные алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ для моделирования методом динамики частиц, применяются для решения двух прикладных задач, на примере которых показана возможность моделирования с дальнодействующими и близкодействующими потенциалами с различным пространственным распределением частиц. Первая задача связана с исследованием влияния дефектов материала Леннарда-Джонса на теплопроводность. Теплопроводящие свойства материалов с микроструктурой в настоящее время являются объектом активного изучения. Исследования в данном направлении находят широкое практическое применение в самых разных отраслях промышленности, таких как строительство, металлургия, энергетика и др.

Последняя часть работы посвящена задаче об исследовании процесса гравитационного коллапса газопылевого облака с формированием кластеров — конденсированных скоплений частиц. Эти исследования сопряжены с работами в рамках крупного научног о проекта по разработ ке альтернативной гипотезы формировании планетной системы Земля-Луна. Отметим, что до сих пор в науке нет единого мнения о механизмах формирования данных планет, поэтому исследования в данном направлении актуальны и представляют научный интерес.

Методика ИССЛеДОВаНИИ. Метод частиц заключается в представлении вещества в виде совокупности взаимодействующих материальных точек (или твердых тел), поведение которых описывается законами классической механики. Существуют также и квантово-механические обобщения метода, однако они не рассматриваются в рамках данной работы. С вычислительной точки зрения метод представляет собой расчет траекторий движения большого числа взаимодействующих между собой частиц. Численное интегрирование уравнений движения частиц является единственным способом решения данной задачи. Но для расчета траекторий движения частиц необходимо вычислять действующие в системе силы. Их прямое вычисление приводи т к асимптот ической сложности 0{Ы2) относительно числа частиц на каждом шаге интегрирования. Для молекулярной динамики (МД) эта проблема решается довольно просто путем обрезания меж частичного потенциала. Однако при наличии дальнодействующих силовых факторов, таких как гравитационное взаимодействие, приходится использовать алгоритмы приближенного расчета сил.

Ограничение применения метода динамики частиц во многом связано с конечностью вычислительных ресурсов. Применение многопроцессорных вычислительных систем поз-

воляет существенно раздвинуть эти границы. При использовании радиуса обрезания в МД достигается практически полное распараллеливание вычислении. При наличии дальнодействующпх потенциалов ввиду сложности алгоритмов расчета сил и большого объема пересылаемых данных доби ться подобной эффективности уже не удастся, однако и в этом случае целесообразно применение многопроцессорных комплексов.

Цель работы. Целью данной работы является разработка и развитие алгоритмов моделирования столкновптельвой динамики частиц, способных эффективно применяться при различном, в том числе существенно неоднородном, пространственном распределении частиц, с использованием дальнодействующпх и близкодействующих потенциалов взаимодействия различной природы; а также в реализации данных алгоритмов в виде комплекса программ для расчетов на многопроцессорных вычислительных системах и демонстрации работы программ на примере решения конкретных прикладных задач.

Научную новизну составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту.

1. Разработана и реализована модификация алгоритма Барнса-Хата для учета дальнодействующпх и близкодействующих сил при моделировании методом динамики частиц. Преимуществом данной модификации является возможность моделирования столкновительной динамики частиц, взаимодействующих посредством дально-действующего потенциала, при существенно неоднородном распределении частиц в пространстве. А именно, алгоритм позволяет проводить эффективные вычисления в случае, когда до 30% массы системы сосредоточено в конденсированных кластерах, занимающих объем менее 0.01% расчетной области.

2. Разработана и реализована версия алгоритма для моделирования с использованием многопроцессорных вычислительных систем. Алгоритм обеспечивает высокую равномерность процессорной загрузки при концентрации существенной доли материала в малых областях расчетного пространства. Комплекс программ может применяться для исследования различных процессов методом динамики частиц с использованием дальнодействующпх и близкодействующих потенциалов взаимодействия, что подтверждается его успешным применением для решения двух прикладных задач из разных областей физики с наличием дальнодействующпх и близкодействующих потенциалов взаимодействия различной природы.

3. На примере задачи об исследовании влияния дефектов на теплопроводность кристаллической структуры показана возможность использования программ для моле-

кулярно-динамического моделирования с близкодействующим потенциалом взаимодействия. В ходе решения задачи по результатам компьютерных экспериментов получена эмпирическая зависимость коэффициента температуропроводности кристаллической структуры от плотности дефектов, согласующаяся с экспериментальными данными.

4. На примере задачи об изучении гравитационного коллапса газопылевого облака с последующим формированием конденсированных тел показана возможность моделирования систем с дальнодействующим гравитационным потенциалом при существенно неоднородном распределении частиц в пространстве. Проведены работы по развитию модели газопылевого диска, представленной в работах Э.М. Галимова и соавторов. Произведен переход к трехмерной модели. Найдена область начальных параметров, в которой наиболее вероятно формирование двойной системы планет. Исследовано влияние угловой и хаотической компонент скоростей на эволюцию газопылевого диска.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей; применением современных методов и вычислительных средств и известных методик моделирования; использованием тестовых моделей при вычислениях, допускающих точное аналитическое решение; сравнением полученных результатов с результатами натурного эксперимента.

Практическая значимость работы. Практическая значимость работы определяется возможностью эффективного применения разработанных вычислительных методов при проведении расчетов в различных областях механики н физики. Алгоритмы многопроцессорных вычислений, реализованные в виде комплекса программ, могут использоваться для моделирования динамических процессов в конденсированном веществе с использованием моделей высокой количественной сложности, что подтверждается их успешным применением для решения двух прикладных задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры "Теоретическая механика" СПбГПУ, Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), Института Геохимии и Аналитической Химии им. Вернадского В.И. РАН (Москва), а также на всероссийских и международных конференциях "Актуальные проблемы механики" (Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2008, 2010), "Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкции■ Методы граничных и конечных элементов (ВЕМ&РЕМ)" (Санкт-Петербург, 2006, 2007), II Всероссийская школа-

конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 200'!), Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура И объвМ работы. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Работа содержит 137 страниц, к том числе 39 рисунков, 3 таблицы, список литературы содержит 189 наименований.

Во ВВвДбНИИ дана общая характеристика работы, обоснована актуальность разработки алгоритмом расчета столкновительной динамики частиц, описана методика исследовании. Кратко перечисляются преимущества метода динамики частиц, а также обсуждаются вопросы, связанные с ограниченностью его применения из-за конечности вычислительных ресурсов. В частности, указывается, что при наличии дальнодейсгвую-щих потенциалов межчаст ичного взаимодействия прямой расчет сил при моделировании приводит к асимптотической сложности 0(N2), где N — число частиц, на каждом шаге интегрирования. Однако существуют эффективные алгоритмы приближенного расчета сил, позволяющие существенно повысить скорость вычислений и добиться линейной асимптотической сложности вычислений.

Во представлен проведен обзор литературы, в котором дана краткая история развития метода динамики частиц применительно к описанию физических процессов в конденсированном веществе, а также история развития соответствующих вычислительных алгоритмов. Приведен ряд работ, в которых разрабатываются и исследуются алгоритмы расчетов для моделирования методом динамики частиц. На основании этих литературных данных делается вывод о том, что наиболее подходящими для расчета столкновительной динамики частиц при наличии дальнодействующих сил являются иерархические методы вычислений и, в частности, алгоритм Барнса-Хата. Вместе с тем, отмечается, что эффективность подобных алгоритмов сильно зависит от однородности пространственного распределения частиц.

Работоспособность предложенных алгоритмов в данной диссертационной работе показывается на примере решения двух прикладных задач. В связи с этим во введении проведен краткий анализ литературы в соответствующих предметных областях науки. А именно, дан обзор работ, посвященных исследованию теплопроводности в кристаллах с дефектами, а также работ, касающихся моделирования динамики гравитирующих систем и процессов, связанных с эволюцией Солнечной системы. Отмечается, что приведенные

литературные данные позволяют сделать вывод об актуальности исследований в этих направлениях.

Первая ГЛаВЗ. посвящена алгоритмическим аспектам моделирования методом динамики частиц с использованием многопроцессорных систем. С вычислительной точки зрения метод сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения частиц. Основные вычислительные ресурсы при этом затрачиваются на расчет сил взаимодействия. В данной главе анализируются существующие методы расчета сил для случая близкодействующих и дальнодействующих потенциалов; а также предлагается модифицированный алгоритм расчета, основанный на классическом методе Барнса-Хата. Особенностью алгоритма является возможность его эффективного использования при существенно неоднородном распределении частиц в пространстве, когда до 30% массы системы сосредоточено в менее 0.01% от объема расчетной области.

Глава состоит из четырех параграфов. Первый параграф вводный. В нем указывается на необходимость использования эффективных алгоритмов расчета сил при моделировании, а также говорится о преимуществах применения многопроцессорных вычислительных систем.

В параграфе 1.2 описываются алгоритмы, применяющиеся при моделировании с использованием близкодействующих потенциалов взаимодействия. Они основаны на использовании радиуса обрезания и делении пространства на ячейки для определения списков взаимодействия при расчетах. Указывается, что эти алгоритмы позволяют достичь сложности О(ЛГ) на каждом шаге интегрирования. Проводится аналогия с иерархическими методами, рассматриваемыми в параграфе 1.3. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с расчетами на многопроцессорных вычислительных системах, где также явно прослеживается аналогии с распараллеливанием иерархических методов расчета сил.

Параграф 1.3 посвящен алгоритмам учета дальнодействующих силовых факторов. В первых разделах параграфа обсуждается специфика моделирования столкновительной динамики частиц при наличии дальнодействующих потенциалов взаимодействия. Проводится сравнительный анализ существующих методов расчета, в частности сеточных и иерархических алгоритмов. Сеточные методы обладают большей эффективностью, но в классическом варианте не подходят для моделирования столкновительной динамики. А модификации сеточных методов, направленные на учет близкодействующих сил, лишают их главного преимущества — скорости расчетов. Между тем, именно наличие близкодействующей компоненты в потенциале взаимодействия позволяет проводить моделирование динамических процессов в конденсированной среде.

Для расчета столкновительной динамики наиболее подходящими представляются иерархические методы. Метод Барнса-Хата основан на разложении в ряд Тейлора потенциала группы частиц относительно центра масс и иерархической декомпозиции пространства на ячейки. Несколько членов ряда позволяют получить аппроксимацию потенциального поля соответствующей группы и использовать ее для приближенного вычисления силы, действующей на произвольно взятую частиц}', что позволяет достичь асимптотической сложности алгоритма вычислений O(NlogN), где N — число частиц в системе. Однако метод Барнса-Хата чувствителен к однородности пространственного распределения частиц, в связи с чем при высокой концентрации частиц в относительно небольшом объеме пространства производительность метода существенно уменьшается.

В разделе 1.3.4 данного параграфа подробно обсуждается метод Барнса-Хата, приводятся результаты других исследователей относительно погрешности вычислений в зависимости от расчетных параметров метода, таких как тип кри терия допустимости мульти-польной аппроксимации или угол раскрытия ячеек. В разделе 1.3.5 описан модифицированный метод Барнса-Хата, позволяющий достичь лучшей производительности в случае неоднородного распределения частиц в пространстве. Определены следующие критерии, влияющие на скорость вычислений при расчете сил: 1) скорость построения структур данных, 2) используемый размер памяти, 3) скорость обхода, 4) адаитированность к неоднородному распределению частиц. На этом основании строится метод, позволяющий сохранить оптимальный баланс между приведенными факторами.

В разделе 1.3.5 описывается структура данных — восьмеричное дерево ячеек, развернутое в линейный массив. Корень дерева ассоциируется со всей расчетной областью, которая рекурсивно делится на восемь равных частей. Узлы дерева — ячейки — пронумерованы и отсортированы в памяти таким образом, что потомки одного уровня любой частицы любого уровня хранятся непрерывно. Такая нумерация на первый взгляд выглядит весьма трудоемкой, но на практике вычисление номера ячейки превращается в простой набор битовых операций. Частицы сортируются аналогичным образом. Это позволяет, не дублируя набор частиц, задать их список в ячейках всех уровней иерархии, что помогает ускорить обход дерева.

Обход дерева отличается от обхода в классическом алгоритме Барнса-Хата. Здесь применяются идеи так называемого быстрого мультипольного метода. В методе Барнса-Хата ;1дн каждой частицы происходи т обход дерева, при этом решение о раскрытии ячейки принимается при помощи кри терия допустимости. Можно преобразовать критерий допустимости так, чтобы он определял, возможно ли раскрытие ячейки по классическому

алгоритму сразу для группы частиц. После этого многократный обход дерева может быть заменен одним обходом, в ходе которого производится расчет сразу всех сил взаимодействия в системе. Обход начинается с пары ячеек "корень-корень". После применения критерия допустимости происходит либо расчет сил через мультипольную аппроксимацию, либо раскрытие наибольшей из ячеек. Ячейки, содержащие малое число частиц, не раскрываются. Используемая структура данных позволяет получить список частиц любой ячейки, именно это дает возможность реализовать подобный алгоритм.

В ходе моделирования некоторые частицы могут вылетать за первоначальные границы расчетной области. Увеличение расчетной области негативно сказывается на производительности, поэтому некоторое количест во вылетевших частиц может не участвовать в построении дерева и при расчете сил обрабатываться по стандартному алгоритму Барнса-Хата.

В заключительной части параграфа 1.3 рассматриваются аспекты, связанные с численным интегрированием уравнений движения частиц. Приводятся факторы, влияющие на выбор численного метода решения дифференциальных уравнений — сохранение энергии, кинетического момента и других макроскопических величин для конкретной задачи, однократный расчет сил на каждом шаге. Приводится алгоритм, позволяющий проводить интегрирование с переменным временным шагом.

Параграф 1.4 посвящен описанию параллельной версии алгоритма, приведенного в параграфе 1.3. Приводятся два основных критерия, влияющих на эффективность распараллеливания — объем пересылаемых данных и равномерность процессорной загрузки. Описывается разработанный исходя из этих критериев алгори тм распределения нагрузки, обеспечивающий эффективность при неоднородном распределении частиц в пространстве. Алгоритм основан на разделении расчетной области между процессами. Для этого выбирается определенный уровень иерархии ячеек. Затем пустые ячейки и ячейки, содержащие малое число частиц, объединяются в более крупные. После этого происходит распределение ячеек между процессами. При этом очередная ячейка отдается преимущественно процессу, который уже содержит смежную с данной ячейку, либо наименее загруженному процессу. Затем смежные ячейки, относящиеся к одному процессу, вновь но возможности объединяются в более крупные. Данная процедура периодически повторяется в ходе расчета по мере того, как из-за перемещения частиц баланс процессорной загрузки нарушается.

Также в параграфе 1.4 описывается параллельная модификация непосредственно алгоритма вычисления сил. Основное отличие здесь заключается в том, что процессы

должны передать друг другу необходимую информацию о частицах и коэффициентах мультинольного разложения. Эффективность этого процесса достигается, во-первых, алгоритмом распределения процессорной загрузки, во-вторых, составлением предварительных списков рассылки.

AnTop/npocKT Род Параметры конфигурации N (., с Р tp, МКС

I.t-Zakharov 2009 эллипсоид (модель гачопыл. облака) Ш 70 1 70

Le-Zakliarov 2 OO'J эллипсоид (модель га^опыл. облака) Ш 1.37 64 88

I.o/.akluirov 2000 эллипсоид (модель галопил. облака) ш 0.98 128 125

[,c-Zakh,irov 2000 эллипсоид (модель газопыл. облака) 10Д/ 6.7 256 172

Te- Zakharov 200!) модель гауопыл. облака, уаверга. стадия ш 6.9 64 442

GRAPE-C 2001 2 М 3 12+1 20

Anh &¿ I,ee 2008 распр. Пламмера 2.56AÍ 20 32 250

Stock S¿ Oharakbaiii, CPU 2008 куб 500К" 251.5 2 1006

Stock & Gharakliani, CPU+GPU 2008 куб 500А' 14.9 3 89

I.i, Johnson & KraMiy 2008 8 сфер 1AÍ 345 1 345

Bellcmait, Hci'durf & Zwart 2007 Ш 733 1 733

llamada & others, CPU 2009 сфера Ш 635 1 635

llamada & others, GPU 2009 сфера UI 7.94 1 8

llamada & others, GPU 2009 сфера Ш 0.13 128 17

Таблица 1: Результаты замеров производительности параллельной реализации модифицированного алгоритма Барнса-Хата в сравнении с результатами других исследователей. Замеры в рамках данной ¡шбогпы производились на компьютере МВС-100К в 2009 году. N — число частиц, — время, затрачиваемое на один шаг интегрирования, Р — число вычислительных ядер, tp = ^р — процессорное время, затрачиваемое на расчет сил для одной частицы.

Также в параг рафе 1.4 приведены данные о производительности разработанных алгоритмов, реализованных в виде комплекса программ для моделирования методом динамики частиц (табл. 1). Показано, что в диапазоне до 106 частиц наблюдается преимущественно линейная зависимость скорости вычислений от числа частиц. Эффективность распараллеливания для конфигурации из 1 млн. частиц на 64 вычислительных ядрах достигает 80%, что является хорошим показателем для подобных алгоритмов. Максимальная конфигурации, для которой проводились замеры производительности составляет 107 частиц, при расчете на 256 вычислительных ядрах 1 шаг интегрирования занимает около 6.7 секунд. Замеры проводились на компьютере МВС-100К МСЦ РАН. Кроме того, в параграфе 1.4 приводятся данные о производительности, опубликованные в ряде работ, где в качестве алгоритма расчета сил применяются иерархические методы вычислений (табл. 1). Отмечается, что полученная в данной работе реализация модифицированно-

10 метода Барнса-Хата по производительности превосходит многие современные аналоги, уступая лишь реализациям на специализированных аппаратно-программных комплексах, в том числе с использованием графических процессоров.

При существенно неоднородном распределении частиц производительность снижается в 3 — 5 раз, что, однако, позволяет проводить эффективные расчеты. Отметим, что в литературе обычно не приводятся данные о скорости расчетов для неоднородного распределения частиц. Однако чувствительность иерархических методов к пространственному распределению признается многими авторами. К примеру, в работе П. Ли, X. Джонсто-на и Р. Красного говорится о уменьшении скорости расчетов почти в 3 раза просто при изменении распределения без образования плотных скоплений частиц.

Глава 2 посвящена применению разработанного комплекса программ для решения прикладной задачи, на примере которой демонстрируется возможность проведения МД моделирования с использованием короткодействующего потенциала взаимодействия. Исследуется процесс теплопроводности в модельном материале Леннарда-Джонса, изучается влияние дефектов решетки на теплопроводность кристаллической структуры.

Параграф 2.1 содержит вводную информацию. В частности, в параграфе отмечено, что влияние микроструктуры вещества на его теплопроводность является актуальным предметом исследования, и это касается как реальных, так и модельных материалов.

В параграфе 2.2 описана методика численных экспериментов. Рассматривается бесконечный стержень, начальное распределение температуры в котором имеет вид синусоиды:

Г|(=0 = ТХ + Т2 ян кх, к = 2к/Ь, (1)

где 7\ — это среднее значение, температуры, Тг — амплитуда температурных отклонений, а Ь — пространственный период температурных отклонений. Классическое уравнение теплопроводности

Т - 0Т" = 0, (2)

где ¡8 — это коэффициент температуропроводности, с начальными условиями в форме (1) имеет простое аналитическое решение,

Г = 7\ + Г2 е~да2г кх. (3)

В МД эксперименте роль стержня выполняет прямоугольный образец материала. Материал представлен набором частиц, расположенных в узлах плотноупакованной кристаллической решетки и взаимодействующих через модифицированный потенциал Леннарда-Джонса. На образец наложены периодические граничные условия. Температура считается

пропорциональной средней кинетическом энергии движении частиц, для трехмерного случая эта зависимость имеет вид

Т = %\-)' (4> где к — постоянная Больцмана, иод (...) подразумевается усредненное значение по некоторому набору частиц.

Для расчета коэффициента температуропроводности рассматривается интеграл

J(t)= [1'(Т{х,г)-Т1)2Лх. (5)

Jo

Он может быть легко вычислен в процессе компьютерных экспериментов. С другой стороны, для решения в форме (3) этот интеграл может быть представлен в виде

(6)

Из выражения (6) следует формула для вычисления коэффициента /3 через два известных значения интеграла 3

„ 1 1¿м т

где ¿1 и <2 — два произвольно выбранных момента времени.

В параграфе 2.3 приведены результаты компьютерных экспериментов. Исследуется зависимость теплопроводности от плотности дефектов решетки. В качестве дефектов рассматриваются равномерно распределенные вакансии. Результаты численных экспериментов (рис. 1) для двухмерного и трехмерного монокристалла позволили получить эмпирическую зависимость коэффициента температуропроводности /3 от плотности дефектов решетки:

'-"(тгя)- (8)

где А — размерный коэффициент, р0 — критическое значение плотности дефектов, при котором теплопроводность обращается в ноль.

В разделе 2.4 приводятся результаты численного эксперимента по моделированию теплопроводности в материале Леннарда-Джонса с атомами различной массы. По аналогии с зависимостью (8) построена эмпирическая зависимость в форме

/} = 4 + -7Г= + С> (9>

у/р VI-Р

где Л, В и С — размерные коэффициенты, которая с высокой степенью точности аппроксимирует результаты численного эксперимента.

Раздел 2.5 посвящен сравнению полученных результатов с аналитическими моделями и экспериментальными данными ряда других исследователей. В частности, приводятся

5

10 15

1/у'Г'

20

Рис. 1: Изменение коэффициента температуропроводности /3 в зависимости от величины 1 / у/р, где р — плотность дефектов решетки. Маркерами отмечены результаты численного эксперимента. Сплошными линиями изображены зависимости в форме (8).

модели Хассельмана-Джонса, Волша, Максвелла-Эукена, Лоеба. Указывается, что все эти модели подтверждают сильное влияние дефектов материала, таких как пористость, наличие примесей или дефектов кристаллической решетки, на теплопроводность. При этом с ростом плотности дефектов теплопроводность существенно уменьшается, что также подтверждается рядом экспериментальных исследований. Отмечается, что результаты, полученные в данной диссертационной работе, находятся в полном соответствии с этими выводами. Кроме того, в разделе 2.4 приводятся экспериментальные данные Т. Энтони, В. Банхользера и др. о влиянии на теплопроводность наличия изотопов С13 в монокристалле алмаза. На рис. 2 они отмечены прямоугольными маркерами, сплошной линией изображена эмпирическая зависимость (9) в форме

где К — коэффициент теплопроводности, р — отношение числа изотопов С13 к общему числу атомов, К0 = 2.45 Вт/(см • К) — размерный параметр.

Раздел 2.6 заключительный для данной главы и содержит выводы об успешном использовании комплекса программ для МД моделирования. Отмечается, что по результатам компьютерного эксперимента удалось измерить коэффициент температуропроводности при различной плотности дефектов и на этой основе построить эмпирические зависимости в виде простых аналитических выражений для двух типов дефектов.

Глава 3 посвящена моделированию формирования планетной системы в результате гравитационного коллапса пылевого облака. Параграф 3.1 является вводным. В нем, в частности, отмечается, что работы в данном направлении связаны с проектом но разработке альтернативной гипотезы одновременного формирования системы Земля-

(10)

5 ....................................-..........................................................................................................

О ............................г...........................I....................................................................................,

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Р

Рис. 2: Изменение коэффициента теплопроводности К в зависимости от отношения изотопов С'3 к общему числу атомов в монокристалле алмаза. Прямоугольными маркерами отмечены экспериментальные данные. Сплошной линией изображен график эмпирической зависимости для коэффициента теплопроводности в форме (10).

Луна, проводимым в рамках программы президиума РАН. Модель ротационного коллапса газопылевого облака (развитая в работах Э.М. Галимова и др.) модифицирована для трехмерного случая. На примере данной задачи демонстрируется возможность моделирования систем с наличием дальнодействукмцего гравитационного взаимодействия. Также показывается работоспособность алгоритма в условиях неоднородного распределения частиц, когда до 30% массы системы сосредоточено в объеме менее 0.01%, а иногда и менее 0.0001% от объема расчетной области.

В параграфе 3.2 приводится краткая историческая справка о спорах в научном сообществе относительно вопроса возникновения Луны. Там же описывается предложенная ранее двухмерная модель ротационного коллапса газопылевого облака, В конце параг рафа определяются начальные условия для аналогичной трехмерной модели.

Рис. 3: Пример расчета — формирование системы двух тел в результате гравитационного коллапса пылевого облака.

В параграфе 3.3 приведены результаты компьютерного моделирования. На рис. 3 приведен пример типичного расчета с формированием системы двух тел. В ходе числен-

ных экспериментов качественно изучено влияние основных параметров модели — начальной угловой скорости вращения облака, хаотической компоненты скоростей, коэффициента диссипации на поведение системы. На рис. 4 приведена диаграмма зависимости числа образующихся тел от начального распределения скоростей. На графиках отчетливо видна область значений параметров, в которой формирование двойной системы планет является наиболее вероятным. В конце параграфа приводится сводная таблица, в которой отражены общие тенденции в поведении системы при изменении начальных условий.

Рис. 4: Зависимость числа кластеров от начальной угловой скорости вращения облака Шо и максимальной начальной хаотической скорости угапа (статистические результаты более 400 трехмерных расчетов с 20000 частиц); и>„ = ~ угловая скорость твердотельного вращения плоской системы, М — масса системы, Лд — начальный радиус облака, у8 = и^До.

Параграф 3.4 заключительный для данной главы. В нем, в частности, отмечается, что удалось добиться высокой производительности расчетов при использовании модели с существенно неоднородным распределением частиц, а также провести многочисленные серии компьютерных экспериментов с числом частиц до 2 х 105 и единичные расчеты с несколькими миллионами частиц.

В ЗаКЛЮЧбНИИ сформулированы основные результаты работы.

1. Разработан алгоритм приближенных вычислений дальнодействующих сил при моделировании методом динамики частиц, основанный на классических иерархических методах вычислений — алгоритме Барнса-Хата и быстром мультииольном методе. Преимуществом алгоритма является высокая эффективность вычислений при су-

щественно неоднородном распределении частиц, когда до 30% массы системы сосредоточено в небольшом объеме пространства (менее 0.01% от объема расчетной области). Разрабо тана параллельная версия данного алгоритма для расче тов на многопроцессорных вычислительных системах.

2. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ для расчетов на ПК и многопроцессорных системах. Программные модули подходят для решения различных прикладных задач методом динамики частиц и, в частности, методом МД. В качестве потенциалов взаимодейст вия могут выступать различные межмолекулярные потенциалы, электромагнитное и гравитационное взаимодействие, а также другие виды взаимодействия различной природы. Комплекс программ был опробован на решении двух прикладных задач с наличием дальнодействующнх и близкодействующих потенциалов, а именно, на задаче об исследовании влияния дефектов на теплопроводность материала Леннарда-Джонса и на задаче о моделировании процесса формирования системы Земля-Луна в результате гравитационного коллапса пылевого диска.

3. Задача об исследовании влияния дефектов на теплопроводность кристаллической структуры показала возможность применения комплекса программ для МД моделирования с короткодействующим потенциалом взаимодействия. В ходе исследований были получены эмпирические зависимости влияния плотности дефектов на коэффициент температуропроводности для различных видов дефектов, которые согласуются с экспериментальными данными.

4. Было проведено детальное трехмерное моделирование гравитационного коллапса пылевого облака, что показало возможность использования комплекса программ при наличии дальнодействующего гравитационного потенциала взаимодействия и при неоднородном распределении частиц в пространстве. На основе существующей модели были проведены исследования влияния различных параметров на эволюцию системы. В частности, было исследовано влияние коэффициента диссипации, начальных вращательной и хаотической компонент скоростей частиц. Вследствие перехода к трехмерной модели было изменено начальное распределение скоростей и координат частиц вдоль оси аксиальной симметрии облака. Была найдена область параметров, в которой наиболее вероятным является формирование двойной планетной системы.

Публикации по теме исследования

1. Ле-Захаров, А.А. Исследование процесса теплопроводности в кристаллах с дефектами методом молекулярной динамики [Текст] / А.А. Ле-Захаров, A.M. Кривцов // Доклады Российской Академии наук, 2008,— т.420.— №1,— С.45-49.

2. Ле-Захаров, А.А. Разработка алгоритмов расчета столкновительной динамики гравитирующих частиц для моделирования образования системы Земля-Луна в результате гравитационного коллапса пылевого облака [Текст] / А.А. Ле-Захаров, A.M. Кривцов // Проблемы зарождения и эволюции биосферы: сб. науч. работ под ред. Э.М. Галимова.— М.:Изд. Книжный дом Либроксом, 2008.- С.329-345.

3. Le-Zakharov, А.А. Parallel implementation of Barnes-Hut algorithm for simulation of planet system formation [Текст] / А.А. Le-Zakharov, I.В. Volkovets, A.M. Krivtsov // Proceedings of XXXIII International Summer School — Conference APM'2005.— 2005 - C.237-242.

4. Krivtsov A.A. Molecular dynamics investigation of heat conductivity in mo-nocrystal material with defects [Текст] / A.M. Krivtsov, A.A. Le-Zakliarov // Proceedings of XXXV International Summer School — Conference APM'2007 - 2007-C.264-276.

5. Le-Zakharov, A.A. Molecular dynamics modeling of heat wave propagation in crystals [Текст] / A.A. Le-Zakharov, A.M. Krivtsov // Proceedings of XXXVI International Summer School - Conference APM'2008- 2008 - C.420-424.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 20.10.2010. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 6574b.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Введение

Актуальность темы.

Методика исследований.

Цель работы.

Научная новизна.

Достоверность полученных результатов

Практическая значимость работы.

Апробация работы.

Публикации

Структура и объем работы.

Метод динамики частиц

1 Моделирование методом динамики частиц с применением многопроцессорных вычислительных систем

1.1 Применение многопроцессорных вычислительных систем.

1.2 Молекулярно-динамическое моделирование

1.2.1 Классический алгоритм расчета сил с использованием радиуса обрезания.

1.2.2 Применение многопроцессорных вычислительных систем.

1.3 Учет дальнодействующих сил при моделировании методом динамики частиц

1.3.1 Специфика задачи.

1.3.2 Численные методы приближенного расчета дальнодействующих сил

1.3.3 Выбор метода расчета сил.

1.3.4 Метод Барнса-Хата.

1.3.5 Модификация классического метода Барнса-Хата.

1.3.6 Схема интегрирования.

1.3.7 Выбор временного шага.

1.4 Параллельная реализация алгоритмов расчета дальнодействующих сил

1.4.1 Факторы, влияющие на производительность.

1.4.2 Схема распараллеливания.

1.4.3 Анализ производительности комплекса программ.

2 Исследование теплопроводности в кристаллическом материале с дефектами

2.1 Введение.

2.2 Методика исследований.

2.2.1 Модель для исследования теплопроводности.

2.2.2 Модель материала.

2.2.3 Задание температуры и измерение теплопроводности по результатам

МД моделирования.

2.3 Результаты моделирования.

2.3.1 Моделирование при малых температурах

2.3.2 Моделирование при температурах порядка 300К.

2.3.3 Эмпирическая зависимость коэффициента теплопроводности от плотности дефектов в материале.

2.4 Моделирование кристаллической решетки с атомами различной массы

2.5 Сравнение с аналитическими моделями и экспериментальными данными

2.6 Выводы.

3 Моделирование формирования планетных систем

3.1 Введение.

3.2 Модель формирования системы Земля-Луна в результате ротационного коллапса газопылевого облака.

3.2.1 Гипотеза совместного формирования планет.

3.2.2 Математическая модель.

3.2.3 Начальные условия.

3.3 Моделирование образования системы Земля-Луна

3.3.1 Выбор начальных параметров.

3.3.2 Планирование численных экспериментов.

3.3.3 Модификация потенциала взаимодействия.

3.3.4 Влияние угловой и хаотической скоростей.

3.3.5 Влияние коэффициента диссипации.

3.3.6 Подобие при различном числе частиц.

3.3.7 Общие тенденции в поведении системы.

3.3.8 Исследование аккумуляции частиц протопланетного диска, вращающегося вокруг Солнца.

3.4 Выводы.

Актуальность темы

Метод динамики частиц — один из широко используемых методов компьютерного моделирования. Будучи принципиально дискретным, он имеет ряд преимуществ, проявляющихся при описании процессов, связанных с нарушением континуальности материала. Являясь типичным методом компьютерного моделирования, метод динамики частиц позволяет получать качественно новые результаты за счет наращивания количественной сложности компьютерной модели. Одним из наиболее существенных ограничений, накладываемых на применимость метода, до сих пор остается ограниченность вычислительных ресурсов. Особенно это проявляется при наличии дальнодействующих потенциалов взаимодействия, таких как гравитационный потенциал.

Гравитационное влияние тела, находящегося даже на сильном удалении, может быть существенно больше влияния тел, находящихся в непосредственной близости. При численном моделировании это вызывает необходимость расчета сил взаимодействия всех частиц со всеми, что приводит к асимптотической сложности алгоритма расчета сил 0(Ы2) относительно числа частиц на каждом шаге интегрирования уравнений движения. Однако существуют различные методы приближенного расчета, позволяющие достичь сложности 0(Ы). Некоторые из таких алгоритмов предназначены для расчетов бесстолкновитель-ной динамики частиц с использованием только гравитационного взаимодействия. Другие группы методов более универсальны и позволяют проводить расчет с наличием близкодействующей и дальнодействующей компонент потенциала и учитывать взаимодействие частиц при столкновениях. Однако все подобные методы очень чувствительны к пространственному распределению частиц. При высокой концентрации частиц в небольшом объеме расчетной области эффективность алгоритма может существенно понизиться.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и реализации алгоритмов расчета столкновительной динамики частиц, применимых при существенно неоднородном распределении частиц в пространстве. Подобные алгоритмы необходимы, например, во многих астрофизических задачах, где рассматривается формирование достаточно плотных скоплений частиц. Кроме того, они могут использоваться для ускорения расчетов в любых других случаях, когда распределение частиц не однородно. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ для расчетов с применением как близкодействующих, так и дальнодействующих потенциалов. Для использования возможностей современной компьютерной техники разработаны и реализованы параллельные версии алгоритмов. Практически любой современный персональный компьютер имеет внутри себя не одно, а несколько вычислительных ядер, что в еще недалеком прошлом было привилегией лишь суперкомпьютеров. Таким образом, использование алгоритмов многопроцессорных вычислений приобретает актуальность при работе как с настольными системами, так и с крупными вычислительными комплексами.

Разработанные алгоритмы, реализованные в виде комплекса программ для моделирования методом динамики частиц, применяются для решения двух прикладных задач, на примере которых показана возможность моделирования с дальнодействующими и близкодействующими потенциалами с различным пространственным распределением частиц. Первая задача связана с исследованием влияния дефектов материала Леннарда-Джонса на теплопроводность. Теплопроводящие свойства материалов с микроструктурой в настоящее время являются объектом активного изучения. Исследования в данном направлении находят широкое практическое применение в самых разных отраслях промышленности, таких как строительство, металлургия, энергетика и др.

Последняя часть работы посвящена задаче об исследовании процесса гравитационного коллапса газопылевого облака с формированием кластеров — конденсированных скоплений частиц. Эти исследования сопряжены с работами в рамках крупного научного проекта по разработке альтернативной гипотезы формирования планетной системы Земля-Луна. Отметим, что до сих пор в науке нет единого мнения о механизмах формирования данных планет, поэтому исследования в данном направлении актуальны и представляют научный интерес.

Методика исследований

Метод частиц заключается в представлении вещества в виде совокупности взаимодействующих материальных точек (или твердых тел), поведение которых описывается законами классической механики. Существуют также и квантово-механические обобщения метода, однако они не рассматриваются в рамках данной работы. С вычислительной точки зрения метод представляет собой расчет траекторий движения большого числа взаимодействующих между собой частиц. Численное интегрирование уравнений движения частиц является единственным способом решения данной задачи. Но для расчета траекторий движения частиц необходимо вычислять действующие в системе силы. Их прямое вычисление приводит к асимптотической сложности О (И2) относительно числа частиц на каждом шаге интегрирования. Для молекулярной динамики (МД) эта проблема решается довольно просто путем обрезания межчастичного потенциала. Однако при наличии дальнодействующих силовых факторов, таких как гравитационное взаимодействие, приходится использовать алгоритмы приближенного расчета сил.

Ограничение применения метода динамики частиц во многом связано с конечностью вычислительных ресурсов. Применение многопроцессорных вычислительных систем позволяет существенно раздвинуть эти границы. При использовании радиуса обрезания в МД достигается практически полное распараллеливание вычислений. При наличии дальнодействующих потенциалов ввиду сложности алгоритмов расчета сил и большого объема пересылаемых данных добиться подобной эффективности уже не удается, однако и в этом случае целесообразно применение многопроцессорных комплексов.

Цель работы

Целью данной работы является разработка и развитие алгоритмов моделирования столк-новительной динамики частиц, способных эффективно применяться при различном, в том числе существенно неоднородном, пространственном распределении частиц, с использованием дальнодействующих и близкодействующих потенциалов взаимодействия различной природы; а также в реализации, данных алгоритмов в виде комплекса программ для расчетов на многопроцессорных вычислительных системах и демонстрации работы программ на примере решения конкретных прикладных задач.

Научная новизна

Научную новизну составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту.

1. Разработана и реализована модификация алгоритма Барнса-Хата для учета дальнодействующих и близкодействующих сил при моделировании методом динамики частиц. Преимуществом данной модификации является возможность моделирования столкновительной динамики частиц, взаимодействующих посредством дально-действующего потенциала, при существенно неоднородном распределении частиц в пространстве. А именно, алгоритм позволяет проводить эффективные вычисления в случае, когда до 30% массы системы сосредоточено в конденсированных кластерах, занимающих объем менее 0.01% расчетной области.

2. Разработана и реализована версия алгоритма для моделирования с использованием многопроцессорных вычислительных систем. Алгоритм обеспечивает высокую равномерность процессорной загрузки при концентрации существенной доли материала в малых областях расчетного пространства. Комплекс программ может применяться для исследования различных процессов методом динамики частиц с использованием дальнодействующих и близкодействующих потенциалов взаимодействия, что подтверждается его успешным применением для решения двух прикладных задач из разных областей физики с наличием дальнодействующих и близкодействующих потенциалов взаимодействия различной природы.

3. На примере задачи об исследовании влияния дефектов на теплопроводность кристаллической структуры показана возможность использования программ для моле кулярно-динамического моделирования с близкодействующим потенциалом взаимодействия. В ходе решения задачи по результатам компьютерных экспериментов получена эмпирическая зависимость коэффициента температуропроводности кристаллической структуры от плотности дефектов, согласующаяся с экспериментальными данными.

4. На примере задачи об изучении гравитационного коллапса газопылевого облака с последующим формированием конденсированных тел показана возможность моделирования систем с дальнодействующим гравитационным потенциалом при существенно неоднородном распределении частиц в пространстве. Проведены работы по развитию модели газопылевого диска, представленной в работах Э.М. Галимова и соавторов. Произведен переход к трехмерной модели. Найдена область начальных параметров, в которой наиболее вероятно формирование двойной системы планет. Исследовано влияние угловой и хаотической компонент скоростей на эволюцию газопылевого диска.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей; применением современных методов и вычислительных средств и известных методик моделирования; использованием тестовых моделей при вычислениях, допускающих точное аналитическое решение; сравнением полученных результатов с результатами натурного эксперимента.

Практическая значимость работы

Практическая значимость работы определяется возможностью эффективного применения разработанных вычислительных методов при проведении расчетов в различных областях механики и физики. Алгоритмы многопроцессорных вычислений, реализованные в виде комплекса программ, могут использоваться для моделирования динамических процессов в конденсированном веществе с использованием моделей высокой количественной сложности, что подтверждается их успешным применением для решения двух прикладных задач.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры "Теоретическая механика" СПб-ГПУ, Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), Института Геохимии и Аналитической Химии им. Вернадского В.И. РАН (Москва), а также на всероссийских и международных конференциях "Актуальные проблемы механики" (Санкт-Петербург,

2005, 2006, 2008, 2010), "Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов (BEM&FEM)" (Санкт-Петербург,

2006, 2007), II Всероссийская школа-конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004), Всероссийский съезд по теоретической и прикладной ¿механике (Нижний Новгород, 2006).

Публикации

По теме диссертации опубликованы следующие научные работы:

1. JIe-Захаров, A.A. Исследование процесса теплопроводности в кристаллах с дефектами методом молекулярной динамики [Текст] / A.A. JIe-Захаров, A.M. Кривцов // Доклады Российской Академии наук, 2008.—т.420.— №1 — С.45-49.

2. Ле-Захаров, A.A. Разработка алгоритмов расчета столкновительной динамики гравитирующих частиц для моделирования образования системы Земля-Луна в результате гравитационного коллапса пылевого облака [Текст] / A.A. Ле-Захаров, A.M. Кривцов // Проблемы зарождения и эволюции биосферы: сб. науч. работ под ред. Э.М. Галимова.— М.:Изд. Книжный дом Либроксом, 2008 - С.329-345.

3. Le-Zakharov, A.A. Parallel implementation of Barnes-Hut algorithm for simulation of planet system formation [Текст] / A.A. Le-Zakharov, I.B. Volkovets, A.M. Krivtsov // Proceedings of XXXIII International Summer School — Conference APM'2005.- 2005.- C.237-242.

4. Krivtsov A.A. Molecular dynamics investigation of heat conductivity in mo-nocrystal material with defects [Текст] / A.M. Krivtsov, A.A. Le-Zakharov // Proceedings of XXXV International Summer School — Conference APM'2007 — 2007.— C.264-276.

5. Le-Zakharov, A.A. Molecular dynamics modeling of heat wave propagation in crystals [Текст] / A.A. Le-Zakharov, A.M. Krivtsov // Proceedings of XXXVI International Summer School — Conference APM'2008 — 2008 — C.420-424.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении представлена актуальность работы, приведен список научных результатов, выносимых на защиту, дан обзор литературы по теме диссертационной работы.

3.4 Выводы

В этой главе была показана возможность применения комплекса программ для численного моделирования столкновительной динамики гравитирующих частиц. Несмотря на специфику задачи (наличие дальнодействующего гравитационного потенциала и близкодействующей отталкивающей силы, существенно неравномерное распределение частиц в пространстве), удалось добиться высокой производительности расчетов и провести многочисленные серии компьютерных экспериментов с числом частиц до 2 х 105, а также единичные расчеты с несколькими миллионами частиц.

Было проведено детальное моделирование формирования планетной системы Земля-Луна в результате ротационного коллапса пылевого облака в трехмерной постановке. Найдена область параметров начальных условий, при которых система демонстрирует интересующее поведение — ротационный коллапс с формированием двойной системы планет. На многочисленных вычислительных экспериментах качественно изучено влияние начальных условий на результат расчета — количество кластеров — устойчивых скоплений частиц.

Таким образом, впервые для постановки задачи, соответствующей гипотезе совместного формирования системы Земля-Луна в результате гравитационного коллапса газопылевого облака, была показана принципиальная возможность формирования двойной системы планет в трехмерном пространстве. Соответствующие этому значения начальной угловой скорости вращения облака и хаотических скоростей движения частиц удовлетворяют возможным условиям существования подобных газопылевых облаков и согласуются с работами других авторов по изучению эволюции околосолнечного протопланетиого диска.

Заключение

В заключении перечислим основные результаты, полученные в данной работе.

1. Разработан метод приближенных вычислений дальнодействующих сил при моделировании методом динамики частиц, основанный на классических иерархических методах — методе Барнса-Хата и быстром мультипольном методе. Преимуществом разработанного метода является высокая эффективность вычислений при существенно неоднородном распределении частиц, когда до 30% массы системы сосредоточено в небольшом объеме пространства (менее 0.01% от объема расчетной области).

2. Метод реализован в виде комплекса программ для расчетов на ПК и многопроцессорных системах. Для этого были разработаны специальные алгоритмы распределения процессорной загрузки, эффективные при неоднородном распределении частиц в пространстве. Также были разработаны алгоритмы многопроцессорных вычислений, обеспечивающие параллельную реализацию предложенного метода расчета сил.

Комплекс программ предназначен для решения различных прикладных задач методом динамики частиц и, в том числе, методом молекулярной динамики. В качестве потенциалов взаимодействия могут выступать различные межмолекулярные потенциалы, электромагнитное и гравитационное взаимодействие, а также другие виды взаимодействия различной природы. Комплекс программ был протестирован на решении двух прикладных задач с наличием дальнодействующих и близкодействующих силовых факторов, а именно, на задаче об исследовании влияния дефектов на теплопроводность монокристаллической структуры и на задаче о моделировании процесса формирования системы Земля-Луна в результате гравитационного коллапса пылевого диска.

3. Задача об исследовании влияния дефектов на теплопроводность кристаллической структуры показала возможность применения комплекса программ для МД моделирования с короткодействующим потенциалом взаимодействия. Было показано, что наличие дефектов оказывает существенное влияние на теплопроводность. А именно, с ростом числа дефектов коэффициент теплопроводности существенно уменьшается, что согласуется с существующими аналитическими моделями и экспериментальными данными. По результатам численных экспериментов была получена эмпирическая зависимость коэффициента температуропроводности от плотности дефектов. Для дефектов в виде вакансий эта зависимость имеет вид где /2 — коэффициент температуропроводности, р — плотность дефектов в материале, ро — критическое значение плотности дефектов, при котором теплопроводность обращается в ноль. Для дефектов в виде включений атомов была получена зависимость в форме где А, В и С — некоторые константы. Сравнение с данными натурного эксперимента для монокристалла алмаза с включениями изотопов С13 показало, что полученная зависимость (3.4.19) хорошо аппроксимирует экспериментальные данные.

4. На примере задачи о моделировании образования системы Земля-Луна согласно гипотезе совместного формирования планет, показана возможность использования комплекса программ при наличии дальнодействующего гравитационного потенциала взаимодействия и при неоднородном распределении частиц в пространстве.

Существующая двухмерная модель была модифицирована для проведения трехмерных расчетов. Впервые в постановке задачи, соответствующей гипотезе совместного формирования системы Земля-Луна в результате гравитационного коллапса газопылевого облака, была показана принципиальная возможность формирования двойной системы планет в трехмерном пространстве. Соответствующие этому значения начальной угловой скорости вращения облака и хаотических скоростей движения

3.4.18)

3.4.19) частиц удовлетворяют возможным условиям существования подобных газопылевых облаков и согласуются с работами других авторов по изучению эволюции околосолнечного протопланетного диска.

1. Альтшулер J1.B., Крупников К.К. Бражник М.И. Динамическая сжимаемость металлов при давлениях от четырехсот до четырех миллионов атмосфер // ЖЭТФ, 1958 том 34 .- №4 .— С.886-893.

2. Анисимов С.И., Жаховский В.В., Иногамов H.A., Нишихара К., Петров Ю.В., Хохлов В.А., Формирование кратера и откольной оболочки коротким лазерным импульсом // Матем. моделирование, 2006 .— том 18 .— №8 .— С.111-122.

3. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Управление пространственно-временным хаосом в цепочке бистабильных осцилляторов // Письма в ЖТФ, 1999 .— том 25 .— вып. 12 С.56-62.

4. Беринский И.Е., Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Применение момент-ного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита // Известия РАН, Механика твердого тела, 2007 №5 .— С.6-16.

5. Болеста А. В., Головнев И. Ф., Фомин В. М., Исследование процесса соударения сферического кластера меди с жесткой стенкой методом молекулярной динамики // Физическая мезомеханика, 2000 .— №5 .— С.39-46.

6. Болеста А. В., Головнев И. Ф., Фомин В. М. Плавление на контакте при соударении кластера никеля с жесткой стенкой // Физическая мезомеханика, 2001 №1 .— С.5-10.

7. Бродская Е. Н., Русанов А. И., Расчет вклада растворителя в работу сольватации иона методом численного эксперимента // Журнал физической химии, 1999 том 73 .- №8 .- С.1376-1381.

8. Витязев A.B., Печерникова Г.В., Сафронов B.C., Планеты земной группы: происхождение и ранняя эволюция // М.: НАУКА, главная редакция физико-математической литературы, 1990.

9. Вшивков В.А., Снытников В.Н., О методе частиц для решения кинетического уравнения Власова // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998 .- том 48 №11 .- С.1877-1883.

10. Вшивков В.А., Малышкин В.Э., Снытников A.B., Снытников В.Н., Численное моделирование гравитационной динамики многих тел методом частиц в ячейках: параллельная реализация // Сибирский журнал вычислительной математики, 2003 том 6 .— С.144-157.

11. Вшивков В.А., Кукшева Э.А., Никитин С.А., Снытников A.B., Снытников В.Н., О параллельной реализации численной модели физики гравитирующих систем // Автометрия, РАН, Сиб. отд., 2003 .- том 39 .— №3 .— С.110-119.

12. Вшивков В.А., Романов Д.В., Снытников В.Н., Проблема саморазогрева модельной плазмы в методе частиц // Вычислительные технологии, ,1999 .— том 4 .— №3 .— С.62-72.

13. Галимов Е.М., Кривцов A.M., Забродин A.B., Легкоступов М.С., Энеев Т.М., Динамическая модель образования системы Земля-Луна // Геохимия, 2005 .— №11 .— С.1139-1150.

14. Галимов Э.М. Проблема происхождения Луны //в книге "Основные направления геохимии"под ред. Э.М. Галимова .— М.: Наука, 1995 .— С.8-45.

15. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А., Исследование прочности материалов при динамических нагрузках // Новосибирск.: Наука, 1992 .— 296с.

16. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин В.М., Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование // ДАН, 1997 .— том.356 .— №4 .— С.466-469.

17. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Конев A.A., Фомин В.М. Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование // Физическая мезомеханика, 1998 .— №2 С.21-33.

18. Головнев И.Ф., Уткин A.B., Фомин В.М., Переходные режимы детонации и их моделирование методом молекулярной динамики // Физическая мезомеханика, 1999 .— №6 .- С.41-50.

19. Головнев И.Ф., Конева Е.И., Фомин В.М., Численное моделирование разрушения бездефектных кристаллов при динамических нагрузках // Физическая мезомеханика, 2001 №5 .- С.5-11.

20. Головнев И.Ф., Уткин A.B., Фомин В.М., Влияние формы внутримолекулярного потенциала на мезоструктуру фронта детонационной волны // Физическая мезомеханика, 2001 .- № .- С.11-15.

21. Забродин А. В. Параллельные вычислительные технологии. Состояние и перспективы // Труды Всероссийской молодежной школы "Суперкомпьютерные вычислительно-информационные технологии в физических и химических исследованиях", 1999 .— Черноголовка.

22. Забродин А. В. Супер ЭВМ МВС-100, МВС-1000 и опыт их использования при решении задач механики и физики // Математическое моделирование, 2000 том 12 .— №5 .- С.61-66.

23. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика, 2007 .— том.71 .— вып.4 С.595-615.

24. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д., Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий // Известия РАН, Механика твердого тела, 2003 .— №4 .— С.110-127.

25. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д., Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Доклады Академии наук, 2003 Т.391 .— №6 С.764-768.

26. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н. Ф., Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов // Доклады Академии наук, 2002 том 385 .— №4 .— С.494-496.

27. Колесниченко A.B., Маров М.Я., Турбулентность и самоорганизация. Проблемы мо-делировани космических и природных сред // М.: Издательство БИНОМ, 2009 .— 632с.

28. Кривцов A.M., Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой // М.: Физматлит, 2007 .— 304с.

29. Кривцов A.M., Кривцова Н.В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал, 2002 .— Т.З. №2 С.254-276.

30. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // Физика твердого тела, 2002 .— том 44 .— №12 .— С.2158-2163.

31. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии наук, 2001 .— том 381 .— №3 .— С.345-347.

32. Кривцов A.M., Мясников В.П., Моделирование методом динамики частиц изменения внутренней структуры и напряженного состояния в материале при сильном термическом воздействии // Известия РАН, Механика твердого тела, 2004 6 С.87-102.

33. Лагунов В.А., Синани A.B., Образование биструктуры твердого тела в компьютерном эксперименте // Физика твердого тела, 1998 .— том 40 .— №10 .— С.1919-1924.

34. Лагунов В.А., Синани A.B., Компьютерное моделирование формирования кристаллической структуры при переходе из аморфного состояния // Физика твердого тела, 2000 .— том 42 .— №6 .— С.1087-1091.

35. Лагунов В.А., Сннанн A.B., Компьютерное моделирование деформирования и разрушения кристаллов // Физика твердого тела, 2001 том 43 №4 .— С.644-650.

36. Лагунов В.А., Синани A.B. Компьютерное моделирование межузельных атомов в двумерных нанокристаллах // Физика твердого тела, 2003 .— том 45 .— выпуск 3 .— С.542-549.

37. Макалкин A.B., Дорофеева В.А., Строение протопланетного аккреционного диска вокруг Солнца на стадии Т Тельца // Астрономический вестник. Исследования Солнечной системы, 1995 .— том 29 №2 .— С.99.

38. Маркеев А.П., Задача трех тел и ее точные решения // Соросовский образовательный журнал, 1999 .— №9 .— С.112-117.

39. Маров М.Я., Планеты солнечной системы // М.: Наука, 1986 .— 320с.

40. Мелькер А.И., Атомистика разрушения // Л.: Знание, 1989 .— 20с.

41. Мелькер А.И., Воробьева Т.В., Говоров C.B., Молекулярно-динамическое исследование деформации полимеров // Физика твердого тела, 1991 .— том 33 №11 .— С.76-80.

42. Мелькер А.И., Иванов A.A., Воробьева Т.В., Романов С.Н., Молекулярно-динамические исследования сжатия полимерного кристалла // Физика твердого тела, 1996 .- том 38 .— №8 .— С.2558-2573.

43. Мелькер А. И., Воробьева Т. В. Самоорганизация и образование геликоидальных структур полимеров // Физика твердого тела, 1997 .— том.39 №10 .— С.1883-1888.

44. Мелькер А.И., Соловьев Д.В. Деформационные дефекты в полиэтилене. Угловые дилатоны // Письма в ЖТФ, 1998 .— том.24 №6 .— С.68-71.

45. Мелькер А.И., Михайлин А.И., Байгузин Е.Я., Атомный механизм роста трещины в двумерном кристалле // Физика металлов и металловедение, 1987 .— том 64 .— №6 .- С.1066-1070.

46. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Динамика трещин в дискретной постановке // JL: Вестник Ленинградского университета, 1987 .— Сер.1 .— Вып.З .— С.67-71.

47. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В, К вопросу о "решетчатом захвате" // ДАН, 1988 .—том.1 .- №3 .— С.323-325.

48. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения // СПб.: изд. СПбГУ, 1995 .- 160с.

49. Поляченко В.Л., Фридман A.M., Равновесие и устойчивость гравитирующих систем // М.: НАУКА, 1976 447с.

50. Рускол Е.Л., Происхождение системы Земля-Луна // М.: ОИФЗ РАН, 1997.

51. Сафронов B.C. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет // М.: Наука, 1969 .— 244с.

52. Смирнов Б.М., Плавление кластеров с парным взаимодействием атомов // УФН, 1994 .- Т.164 .- №11 .- С.1165-1185.

53. Смирнов Б. М., Яцено А. С. Свойства димеров // УФН, 1996 .— Т.166 .- №3. С.226-245.

54. Смирнов Б. М. Скейлинг в атомной и молекулярной физике // УФН, 2001.— Т.171 .— №12 .— С.1291-1315.

55. Снытников В.Н., Пармон В.Н., Жизнь создает планеты? // Наука из первых рук, 2004 .- С.20-31.

56. Уткин А.В., Головнев И.Ф., Фомин В.М., Исследование влияния молекулярных характеристик вещества на свойства детонации в конденсированных взрывчатых веществах // Вестник Новосибирского государственного университета, Серия: Физика, 2007 С. 12-20.

57. Филюков Д.В., Бродская Е.Н., Пиотровская Е.М., Jley С.В., Моделирование нано-кластеров кристаллических модификаций диоксида титана методом молекулярной динамики // Журнал общей химии, 2007 .— том.77 .— вып.1 .— С.13-20.

58. Энеев Т.М., Кольцевое сжатие вещества в капельной модели протопланетного диска // Астрономический вестник, 1993 .— том XXVII .— №5 .— С.3-25.

59. Alder B.J., Waingwright Т.Е., Phase transition for a hard sphere system // Journal of Chemical Physics, 1957 .- v.27 .- p. 1208.

60. Allen M.P., Tildesley D.J., Computer simulation of liquids // Oxford: Clarendon press, 1987 .- 385pp.

61. Aluru S., Prabhu G.M., Gustafson J. Truly distribution-independent hierarchical algorithms for the N-body problem // Proc. Supercomputing '94, 1994 .— pp.420-428.

62. Amara G., N-Body / Particle simulation methods // http://www.amara.com/papers/nbody.html

63. Ahn C., Lee S.H., A new treecode for long-range force calculation // Computer Physics Communications, 2008 .— vol.178 .— issue 2 .— pp.121-127

64. Anisimov S. I., Zhakhovskii V.V., Fortov V. E., Shock wave structure in simple liquids // JETP Lett, 1997 .- vol.65 p.755.

65. Anthony T.R., Banholzer W.F., Fleischer J.F., Wei L., Kuo P.K., Thomas R.L., Prior R.W., Thermal conductivity of isotopically modified single crystal diamond // Phys. Rev. B, 1990 42 .- p.1104.

66. Appel A.W., An efficient program for many-body simulations // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 1985 .— 6 .— pp.85-103.

67. Arai Y., Fukushima S., Shiozawa K., Handa M., Fabrication of (U, Pu)N fuel pellets // Journal of Nuclear Materials, 1989 .— 168 .— p.280.

68. Arai Y., Suzuki Y., Iwai T., Ohmichi T. Dependence of the thermal conductivity of (U, Pu)N on porosity and plutonium content // Journal of Nuclear Materials, 1992 .— 195 .— pp.37-43

69. Babadzhanyants L.K., On the global solution of the N-body problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 1993 vol. 56 .— №3 .— pp.427-449.

70. Banholzer W., Anthony T. Gilmore R., Properties of diamond with varying isotopic composition // Proc. Int. Conf. on New Diamond Science and Technology, Materials Research Society, Pittsburgh, PA, 1991 .— p. 857.

71. Banholzer W.F., Anthony T.R, Diamond properties as a function of isotopic composition // Thin Solid Films,1992 .- 212 .- pp.1-10

72. Barnes J., Hut P., A Hierarchical 0(NlogN) force calculation algorithm // Nature, 1986 .— p.324.

73. Baskes M. I., The status role of modeling and simulation in materials science and engineering // Current Opinion in Solid State &; Materials Science .— 1999 v.4 .— m. pp.273-277.

74. Belleman R.G., Befdorf J., Zwart S.F.P., High performance direct gravitational N-body simulations on graphics processing units II: An implementation in CUDA // New Astronomy, 2008 .— 13 .— pp.103-112.

75. Bernard, H., Bardelle, P. Warin, D., Mixed nitride fuels fabrication in conventional oxide line // IAEA-TECDOC-466, 1988 p.43.

76. Blank, H., Richter, K., Coquereile, M., Matzke, Hj., Kampana, M., Sari, C., Ray, I.L.F., Transuranium elements as nuclear fuels // Journal of Nuclear Materials, 1989 .— 166 .— p.95.

77. Bode P., Ostriker J.P., Xu G., The tree-particle-mesh N-body gravity solver // Astrophysical Journal Supplementary, 2000 .— 128 .— pp.561-570.

78. Brodskaya E. N., Eriksson J. C., Laaksonen A., Rusanov A. I., Local structure and work of formation of water clusters studied by molecular dynamics simulations // Journal of Colloid and Interface Science, 1996 v. 180 .- № .— pp.86-97.

79. Brodskaya E. N., Rusanov A. I. Molecular dynamics computation of solvent contribution to work of ion solvation // Molecular Physics, 1999 .— v.97 .— №7 .— pp.701-707:

80. Callaway J. Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperatures // Physical Review, 1959 113 .— pp.1046-1051.

81. Cameron A.G.W., Ward W., The origin of the Moon // Science, 1976 .— 7 .— pp.120-122.

82. Cameron A. G. W., Benz W., The origin of the Moon and the single impact hypothesis // Icarus, 1991 IV .- pp.204-216.

83. Cameron, A. G. W., Higher-resolution simulations of the giant impact //In Origin of the Earth and Moon (Eds. R. M. Canup and K. Righter), 2000 .— pp. 133-144 .— University of Arizona Press, Tucson.

84. Canup, R. M., Formation of the Moon // Ann. Revs. Astron. Astrophy, 2004 .— 42 .— pp.441-475.

85. Canup, R. M., Simulations of a late lunar forming impact // Icarus, 2004 .— 168 .— pp.433-456.

86. Capuzzo-Dolcetta R., Miocchi R, A comparison between fast multipole algorithm and tree-code to evaluate gravitational forces in 3-D // astro-ph/9703122vl, 1997.

87. Carrier J., Greengard L., Rokhlin V., A fast adaptive multipole algorithm for particle simulations // SIAM Journal of Scientific and Statistical Computing, 1988 .— 9(4) .-pp.669-686.

88. Ciccotti G., Hoover W. G., Molecular dynamics simulation of statistical-mechanical systems // North-Holland, Amsterdam, 1986 .— 614pp.

89. Clarke N.R., Tutty O.R., Construction and validation of a discrete vortex method for the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations // Computers Fluids, 1994 .— 23 .- 6 pp.751-783.

90. Dubinski J., A Parallel TVee Code // astro-ph/9603097, 1996.

91. Dubinski J., Kim J., Park C., Humble R., GOTPM: a parallel hybrid particle-mesh treecode // New Astronomy, 2003 .— 9 .— pp. 111-126

92. Essmann U., Perera L., Berkowitz M.L., Darden T., Lee H., Lee G.P., A smooth particle-mesh Eward method // J. Chem. Phys, 1995 .— v.103 .— №19 .- pp.8577-8593.

93. Ewald P., Die berechnung optischer und elektrostatischer gitterpotentiale // Annalen der Physik 369 pp.253-287 1921.

94. Eucken, A. E., Forsch. Gebiete Ingenieurw. B3 // Forschungscheft, 1932 .— Nr. 353 .— p.16

95. E. Fermi, J. Pasta, and S. Ulam, Studies of Nonlinear Problems // Document LA-1940 .— 1955.

96. Fermi E., Pasta J.R. and Ulam S.M., Studies on nonlinear problems // Technical Report LA-1940, Los Alamos Sei., 1955; also in Collected Works of E.Fermi, vol. II, Chicago: Univ. Chicago Press, 1965, 978-988.

97. Fineberg J., and Marder M. Instability in dynamic fracture // Physics Reports, 1999 .— v.313 .-№1-2 .— pp.1-108.

98. Fincham D., Ralston B. J., Molecular dynamics simulation using the cray-1 vector processing computer // Computer Physics Communications, 1981 .— vol.23 .— issue 2 .— pp. 127-134.

99. Galimov E.M. On the origin of lunar material // Geochem. Intern, 2004 .— 42(7) .— pp.595-609.

100. Garcia A., Numerical Methods for Physics // Prentice-Hall, 1994.

101. Gendelman О. V., Savin A. V., Normal Heat Conductivity of the one-dimensional lattice with periodic potential of nearest-neighbor interaction // Phys. Rev. Letters, 2000 .— 84 .- p.2381.

102. Giardina C., Livi R., Politi A.,Vassalli M., Finite thermal conductivity in ID lattices // Phys. Rev. Letters, 2000, vol.84, №10 .- pp.2144-2147.

103. Gibson J.B., Goland A.N., Milgram M., Vineyard G.H., Dynamics of radiation damage // Phys Rev, 1960 .- v.120 .- p.1229.

104. Gould H., Tobochnik J., An Introduction to computer simulation methods, parts 1 and 2 // Addison Wesley, 1988; Гулд X., Тобочник Я., Компьютерное моделирование в физике // М.: Мир, 1998.

105. Grama A., Kumar V., Sameh A. Scalable parallel formulations of barnes-hut method for n-body simulations // Proceedings of the 1994 conference on Supercomputing, 1994 .— pp.439-448.

106. The GRAPE project // GRAPE group (Hongo), Department of Astronomy, University of Tokyo .— http://www.astrogrape.org/

107. Greengard L., Rokhlin V., The rapid evaluation of potential fields in three dimensions // Yale University, 1987, Research Report YALEU/DCS/RR-518.

108. Griebel M., Knapek S., Zumbusch G., Numerical simulation in molecular dynamics // Springer, 2007 .— 470p.

109. Haile J.M., Molecular dynamics simulation, elementary methods // Wiley, 1992 .— 489pp.

110. Hallquist J.O., Whirley R.G., DYNA3D User's Manual // Lawrence Livermore Report UCID-19592, 1989 Rev.5.

111. Hartmann W.K., Davis D.R., Satellite-sized planetesimals and lunar origin // Icarus, 1975 24 .- pp.504-515.

112. Hasselman D.P.H., Johnson L.F., Effective thermal conductivity of composites with interfacial thermal barrier resistance // Journal of Composite Materials, 1987 .— 21 .— pp.508-515.

113. Hernquist L., Performance characteristics of tree codes // Astrophysical Journal Supplement Series, 1987 .—64 .— pp.715-734.

114. Hernquist L., Ostriker J., A self-consistent field method for galactic dynamics // Astrophysical Journal, 1992 .— 386 .— pp.375-397.

115. Hirschfelder J., Eyring H., Topley В., Reactions involving hydrogen molecules and atoms // J. Chem. Phys, 1936 .- 4 .- p.170.

116. Hockney R.W., Eastwood J.W., Computer simulation using particles // New-York: McGraw-Hill, 1981 .— 540pp.; Хокни P., Иствуд Дж., Численное моделирование методом частиц // М.: Мир, 1987 — 640С.

117. Hoerner S., Die numerische Integration des n-Korper-Problemes für Sternhaufen I // Zeitschrift für Astrophysik, 1960 .— 50 — p.184-214.

118. Hoerner S., Die numerische Integration des n-Korper-Problemes für Sternhaufen II // Zeitschrift für Astrophysik, 1963 — 57 .— p.47.

119. Holian B.L., Atomistic Computer-Simulations of Shock Waves // Shock Waves, 1995 .— v.5 №3 pp. 149-157.

120. Hoover W.G., Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions // Phys Rev, 1985 .— A31 .- pp.1695-1697.

121. Hoover W. G. Computational statistical mechanics // Elsevier, 1991 .— 314pp.

122. Hu Y, Lennard-Johnsson S. A Data Parallel Implementation of Hierarchical N-body Methods // The International Journal of Super Computer Applications and High Performance Computing, 1996 .— 10(1) .— pp.3-40.

123. Ladd A.J.C., Moran B., Hoover,W.G., Lattice thermal conductivity: A comparison of molecular dynamics and anharmonic lattice dynamics // Physical Review B, 1986 .— Vol.34 N.8 pp.5058-5064.

124. Jemigan J.G., Porter D.H., A tree code with logarithmic reduction of force terms, hierarchical regularization of all variables and explicit accuracy controls // Astrophysics Journal Supplement, 1989 .— p.871.

125. Kawai A., Fukushige T., Makino J, Taiji M., GRAPE-5: A special-purpose computer for N-body simulations // Astron. Soc, 2000 .— Japan .— 52 pp.659-676.

126. Kikuchi T., Takahashi T., Nasu S., Porosity dependence of thermal conductivity of uranium mononitride // J. of Nuclear Materials, 1972 .— 45 .— pp.284-292.

127. Kim H., Kim C., Lee E.K., Talkner P., Hanggi P., Wall-mediated self-diffusion in slit and cylindrical pores // Physical Review E, 2008 .— 77 .— p.031202

128. Krivtsov A.M., Prom nonlinear oscillations to equation of state in simple discrete systems // Chaos, Solitons & Fractals, 2003 .— v.17 .- №1 .— pp.79-87.

129. Krivtsov A.M., Myasnikov V.P., Modelling using particles of the transformation of the inner structure and stress state in material subjected to strong thermal action // Mechanics of Solids, 2005 .— 1 pp.87-102.

130. Krivtsov A.M., Molecular dynamics simulation of plastic effects upon spalling // Phys. Solid State, 2004 .— p.46 .— 6.

131. Lennard-Jones J.E., The determination of molecular fields. II. From the equation of state of a gas. // Proceedings of the Royal Society, 1924 .— V.A106 p.463-477.

132. Lepri S., Livi R., Politi A., Heat conduction in chains of nonlinear oscillators // Phys. Rev. Letters, 1997 .- vol.78 .- №10 .- pp.1896-1899.

133. Li P., Johnston H., Krasny R., A Cartesian treecode for screened coulomb interactions // Journal of Computational Physics, 2009 .— 228 .— pp.3858—3868.

134. Li J., Porter L., Yip S., Atomistic modeling of finite-temperature properties of crystalline (3-SiC. II. Thermal conductivity and effects of point defects // Journal of Nuclear Materials, 1998 255 .— pp.139-152.

135. Liu P., Bhatt S., Experiences with parallel N-body simulation // Proc. 6th ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures, ACM SIGACT and SIGARCH, 1994 .- Cape May, NJ .- pp. 122-131.

136. Lissauer J.J. It's not easy to make the moon // Nature, 1997 .— 389(6649) .— pp.353-357.

137. Loeb, A.L., Thermal Conductivity: VIII. A theory of thermal conductivity of porous materials // J. Am. Ceram. Sot., 1954 37 pp.96-99.

138. Mai T., Narayan O. Universality of one-dimensional heat conductivity // Phys. Rev. E, 2006 .- 73 .- p.61202.

139. Makino J. A fast parallel treecode with GRAPE // Publications of the Astronomical Society of Japan, 2004 .— 56 .— pp.521-531.

140. Makino J., Hut P., Performance analysis of direct N-body calculations // Astrophysical Journal Supplement Series, 1988 .— 68 .— pp.833-856

141. Marino G.P., The porosity correction factor for the thermal conductivity of ceramics fuels // Journal of Nuclear Materials, 1971 .— Vol.38, pp.178-190.

142. McMillan S.L.W., Aarseth S.J., An O(NlogN) Integration scheme for collisional stellar systems // Astrophysical Journal, 1993 .— 414, pp.200-212.

143. Melker A.I., Romanov S.N., Kornilov D.A., Computer simulation of formation of carbon fullerenes // Mater. Phys. Mech, 2000 .— 2 .- pp.42-50.

144. Melker A.I., Zhaldybin K.I., Torsion of single-wall carbon nanotubes: Molecular dynamics study // Proceedings of SPIE The International Society for Optical Engineering, 2007 .— 6597 .— art. no. 65970C.

145. Melker A.I., Fiftieth anniversary of molecular dynamics // 2007 Proceedings of SPIE -The International Society for Optical Engineering, 2007 6597, art. no. 659702.

146. Melker A.I., Potentials of interatomic interaction in molecular dynamics // Reviews on Advanced Materials Science, 2009 .— 20(1) .— pp.1-13.

147. Melker A.I., Cracks: Challenge to physics // Materials Physics and Mechanics, 2010 .— 9(2) .- pp.111-134.

148. Melker A.I., Radiation damage and cracks in solids // Materials Physics and Mechanics, 2010 .- 9 .- pp.135-161.

149. Miyazaki K., Heat conduction of a porous material // Poceedings of the ASME Micro/Nanoscale Heat and Mass Transfer International Conference 2009, 2010, pp.159166.

150. Molina J.M., Prieto R., Narciso, J., Louisa E., The effect of porosity on the thermal conductivity of Al-12 wt.% Si/SiC composites // Scripta Materialia, 2009 .— 60 .— pp.582-585.

151. Mountain R.D., MacDonald R.A., Thermal conductivity of crystals: A molecular-dynamics study of heat flow in a two-dimensional crystal // Physical Review B, 1983 .— Vol.28 N.6 .— pp.3022-3025.

152. Moss R.E. Advanced molecular quantum mechanics; an introduction to relativistic quantum mechanics and the quantum theory of radiation // New-York: John Wiley and Sons, 1973 .— 300pp.

153. Nose S., Constant-Temperature Molecular-Dynamics // Journal of Physics-Condensed Matter, 1990 .— v.2 .— pp.SA115-SA119.

154. Parrinello M. From silicon to RNA: The coining of age of ab initio molecular dynamics // Solid State Communications, 1997 .— v.102 .— №2-3, pp.107-120.

155. Posch H. A., Hoover Wm. G. Heat conduction in one-dimensional chains and nonequilibrium Lyapunov spectrum // Phys. Rev. E, 1998 .— 58 .— p.4344.

156. Press W.H., Techniques and Tricks for N-Body Computation The Use of Supercomputers in Stellar Dynamics // Hut P., McMillan S. (Eds) .— SpringerVerlag, 1986 .— pp.184-192.

157. Qiu B., Ruan X., Molecular dynamics simulations of lattice thermal conductivity of bismuth telluride using two-body interatomic potentials // Physical Review B, 2009 .— 80 pp.165203.

158. Rahman A., Correlation in the motion of atoms in luquid argon // Phys. Rev., 1964 .— V.136A p.405.

159. Rapaport D. C. The art of molecular dynamics simulation // Cambridge Univ. Press, 1995 171pp.

160. Rokhlin V. Rapid Solution of Integral Equations of Classical Potential Theory // Journal of Computational Physics, 1985 .— 60 .— pp.187-207.

161. Ross S.B., El-Genk M.S., Matthews R.B. // Journal of Nuclear Materials, 1988 .— 151 .— p.313.

162. Salmon J.K., Warren. M.S., Skeletons from the treecode closet // Journal of Computational Physics, 1994 .— 111(1) .— pp.136-155.

163. Scharli U., Rybach L., On the Thermal Conductivity of Low-Porosity Rocks // Tectonohysics, 1984 .— 103 .- pp.307-313

164. Shigeru I. Lunar accretion from an impact generated disk // Nature, 1997 .— 389(6649) .— pp.353-357.

165. Splinter, Randall, A nested grid particle-mesh code for high resolution simulations of gravitational instability in cosmology // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1996 .— vol.281 .— Issue 1 .— pp. 281-293.

166. Stock M., Gharakhani A., Toward efficient GPU-accelerated N-body simulations. // 46th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, AIAA Paper, 2008 .— p.608.

167. Streett W.B., Tildesley D.J., Saville G., Multiple time-step methods in molecular dynamics // Mol Phys, 1978 .— 35 (3) — pp.639-648.

168. Valdarnini R., Parallelization of a treecode // New Astronomy, 2003 Vol.8 .— Is.7 .— pp.691-710.

169. Varshney V., Patnaik S.S., Muratore C., Roy A.K., Voevodin A.A., Farmer B.L., MD simulations of molybdenum disulphide (MoS2): Force-field parameterization and thermal transport behavior // Computational Materials Science, 2010 .— 48 (1) .— pp.101-108.

170. Verlet L., Computer 'experiments' on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules // Phys. Rev., 1967 .— v.159 №98 .— p.103.

171. Verlet L., Computer 'experiments' on classical fluids. II. Equilibrium correlation functions // Phys. Rev., 1968 .- v.165 — №201 p.14.

172. Villumsen, A new hierarchical particle-mesh code for very large scale N-body simulations // Astrophysical Journal Supplement Series, 1989 .— 71 .— pp. 407-431.

173. Walsh. J.B., Decker, E.R., Effect of pressure and saturating fluid on the thermal conductivity of compact rock //J. Geophys. Res., 1966 .— 7 pp.3053-3061.

174. Woodside, W.H. Messmer, J.H., Thermal conductivity of porous media. 2. Consolidated rocks // Journal of Applied Physics, 1961, 32 .— pp.1699-1706.

175. Yahagi H., Mori M„ Yoshii Y. The forest method as a new parallel tree method with the sectional voronoi tessellation // The Astrophysical Journal Supplement Series, 1999 .— vol.124 .— part 1 pp.1-9.

176. Yu X.G. , Liang X.G., Effect of isotope on lattice thermal conductivity of lateral epitaxial overgrown GaN // Diamond & Related Materials, 2007 16 — pp.1711-1715.

177. Zabrodin A. V., Levin V. K. Topical Issue. Supercomputers: Current state and development // Automation and Remote Control, 2007 v.68 .— №5 pp.746-749.

178. Zabusky N.J. and Kruskal M.D. Interaction of "solitons"in a collisionless plasma and the recurrence of initial states. Phys. Rev. Lett., 1965, 15 .— pp.240-243.

179. Zhakhovski V.V., Zybin S.V., Nishihara K., Anisimov S. I., Shock Wave Structure in Lennard-Jones Crystal via Molecular Dynamics // Physical Review Letters, 1999 — v.83 m .- pp.1175-1178.

180. Zhakhovski V.V., Zybin S.V., Nishihara K., Anisimov S.I., Shock wave structure in L-J-solid // Proceedings of Symposium on Shock Waves. Aoyama Gakuin University, 1999 .— Tokyo .— pp.241-244.

181. Zhakhovskii V.V., Zybin S.V., Nishihara K., Anisimov S.I., Orientation dependence of shock structure with melting in L-J crystal from molecular dynamics // Prog. Theor. Phys. Suppl., 2000 №138 .— pp.223-228.

182. Zhakhovskii V.V., Inogamov N.A., Petrov Yu.V., Ashitkov S.I., Nishihara K., Molecular dynamics simulation of femtosecond ablation and spallation with different interatomic potentials // Appl. Surf. Sci., 2009 255(24) .- pp.9592-9596.

183. Ziman J.M., Electrons and Phonons // Oxford University Press, London, 1963 412 pp.