автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование деформационных динамических процессов в задачах сейсморазведки

На правах рукописи

ПАНКРАТОВ Сергей Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ЯНВ 2013

МОСКВА-2012

005048142

005048142

Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент РАН, доктор физико-

математических наук,

профессор Петров Игорь Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич, Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, ведущий научный сотрудник

кандидат физико-математических наук Осипов Сергей Владимирович, ОАО «НК «Роснефть», главный специалист департамента научно-технического развития и инноваций

Институт автоматизации проектирования РАН

^ -/У)

Защита состоится _ декабря 2012 г. в /часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КИМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан -^ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федько О. С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проблема сейсморазведки углеводородов является одной из наиболее актуальных. В последние годы все чаще возникает вопрос удешевления полевых экспериментов практической геологии. Новые месторождения, как правило, находятся в труднодоступных и слабоосвоенных территориях. Это увеличивает значение численного моделирования для первичной оценки при исследовании природных залежей. При этом актуальным является решение следующих задач:

• численное моделирование распространения сейсмических волн в геологических средах различной сложности;

• реализация и тестирование новых численных алгоритмов и комплексов программ;

• реализация вычислительных методов для численного решения систем уравнений в частных производных гиперболического типа, которые описывают состояние деформируемого твердого тела;

• анализ численных сейсмограм и сравнение их с результатами полевых испытаний;

• разработка методик и технологий, обеспечивающих изучение геосреды, осложненной трещиноватостью и другими неоднородностями;

• разработка методов решения обратных задач для выявления неоднородностей в породах;

• создание механико-математических моделей углеводородсодержащих пород, описывающих их поведение в условиях различных динамических воздействий;

• реализация механико-математических моделей резервуаров и областей кавернозности в геологических средах;

• создание универсальных программных комплексов, позволяющих проводить численные эксперименты для задач сложной конфигурации и получать результаты для анализа и сравнения с полевыми испытаниями;

• анализ полученных результатов и выявление закономерностей.

В диссертации моделируются и исследуются задачи сейсморазведки. Предметом исследования является распространение упругих волн и их взаимодействие с неоднородностями в породе. Каждая задача имеет строгое описание области интегрирования, границ области интегрирования и начальных условий.

В диссертации используется двухслойный гибридный сеточно-характеристический численный метод. Для повышения порядка аппроксимации предложена трехслойная схема. Успешно разработаны методы для одномерных задач и обобщены на двумерный случай (неструктурированные треугольные и регулярные четырехугольные сетки). Обобщение метода и использование трехслойной компактной схемы представляет значительный интерес и является одним из результатов диссертации.

Часть исследования посвящена оптимизации программного кода с учетом свойств решаемой системы уравнений.

Цели работы

1. Расчет волнового отклика от различных газо- и флюидонасыщенных трещин.

2. Численное исследование поведения различных моделей неоднородностей в геологических средах. Сравнение и верификация осредненных моделей.

3. Расчет энергий отклика от кластера с различным набором неоднородностей.

4. Реализация и проверка компактной схемы повышенного

порядка аппроксимации.

Научная новизна

1. Разработана и реализована разностная схема на трехслойном шаблоне на прямоугольных сетка с третьим порядком аппроксимации.

2. Существенно улучшен комплекс программ (на треугольных и прямоугольных сетках) для моделирования задач современной сейсморазведки для исследования волновых процессов в упругих телах, содержащих несколько трещин, кластеры или резервуары с жидкостью.

3. Выполнено детальное исследование осредненных моделей для неоднородностей Шоенберга, Хадсона и Феллера.

4. Проведено сравнение численного решения полученного с помощью разностной схемы на трехслойном шаблоне (повышенного порядка аппроксимации) с численным решением, полученным с помощью схем первого и второго порядка, а также гибридной схемы.

5. Проведено численное моделирование волнового отклика от мегатрещины и исследованы его свойства. Были сформулированы важные практические выводы:

a. на характер отраженных и дифрагированных волн существенно влияют различные параметры мегатрещины (внутренняя структура, протяженность, заполнение);

b. при исследовании флюидонасыщенных мегатрещин важно использовать горизонтальную компоненту скорости на приемниках — это позволяет выявить мегатрещину;

c. в результате численного моделирования изучено появление дуплексной волны при отражении от мегатрещины;

<1. выявлены основные характеристики волнового отклика, по которым есть возможность определить параметры мегатрещины.

6. Исследованы зависимости волновых откликов от характеристик трещиноватых кластеров; выявлены качественные и количественные особенности энергии отклика от таких сред.

7. В программном коде реализованы осредненные модели Шоенберга, Хадсона, Феллера.

8. Предложен метод определения основных параметров трещиноватого кластера с помощью расчетов его энергетических характеристик волнового отклика.

Практическая ценность

Реализованный программный код позволяет производить численное моделирование геологических сред различной сложности, используя гибкую конфигурацию, как области интегрирования, так и численных методов решения. Поиск новых месторождений углеводородов в современных условиях становится все более и более актуальным. Важнейшую роль здесь играет как определение местоположения новых залежей, так и оценка их емкости. Стоимость полевых работ предъявляет особые требования к подготовке и анализу результатов численного моделирования на начальных этапах проекта по оценке новых месторождений. Использование численного эксперимента позволяет существенно снизить стоимость проведения как полевых работ, так и интерпретацию их результатов.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов:

1. Грант РФФИ 11-01-12011-офи-м-2011. Разработка численных методов для решения задач геомеханики и сейсморазведки на многопроцессорных вычислительных системах, 2011-2012 гг.;

2. Грант РФФИ 0-01 -92654-ИНД_а. Математическое моделирование сложных задач на высокопроизводительных вычислительных системах.2010-2011 гг.

3. Договоры Шлюмберже-МФТИ № DPG.55229907.0039? и № ОР0.55229907.00398. Наименование проектов: «Разработка

численных алгоритмов для решения динамических задач теории упругости в трещиноватых геологических средах с использованием сеточнохарактеристического метода и метода конечных элементов», «Разработка численных методов расчета волновых полей вблизи скважины».

Публикации

Научные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из которых 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [2, 3]

Апробация

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Научные конференции Московского физико-технического института - Всероссийские молодёжные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе» (МФТИ, Долгопрудный, 2007 -2011);

2. Расширенный семинар «Вычислительная физика: алгоритмы, методы и результаты». Институт космических исследований РАН совместно с Институтом теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН. (г. Таруса, 2011);

3. Научные семинары ОАО «Центральная геологическая экспедиция. (Москва, 2009-2012);

4. Научный семинар ОАО «Нефтяная компания «Роснефть»» (Москва, 2010);

5. Научные семинары компании «Шлюмберже» (Москва, 20092010).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 140 страниц. Список использованных источников содержит ссылки на 114 публикаций.

Содержание Введение

Во введение рассмотрены актуальные задачи сейсморазведки и современные подходы к их моделированию. Дан обзор численных методов, применяемых для моделирования динамических процессов в упругих средах, и рассмотрена их применимость к моделированию геологических сред. Разобраны различные разностные схемы решения систем гиперболических уравнений и обсновано применение сеточно-характеристического метода для решения задач сейсморазведки.

Глава 1

Для математического моделирования волновых процессов в деформируемом твердом теле использовалась система динамических уравнений, объединяющая уравнения движения и реологические соотношения. В данной главе эта система уравнений формулируется в следующем виде:

Р- V; = V,- -СГу,

&Ц = ЧукГ £к! + Ру-

Здесь р — плотность среды, V/ — компоненты скорости смещения, &у и % - компоненты тензоров напряжения и деформаций, V j -ковариантная производная по ]-й координате, — добавочная правая часть.

Тензор скорости деформации е,у = ¿у имеет вид:

Запись всех последующих уравнений производится в декартовой системе координат. Вид компонент тензора 4-го порядка цщ

определяется реологией среды. Для линейно-упругого тела

Чуй = Щ]5к1 + М 81к6]1 + 8ц8}к

Вторая группа уравнений представляет собой продифференцированный по времени закон Гука: &у= Я ¿и + ¿22 + ¿зз <% +

или

1 ( . Я . . _

£'} = ТмУ'1 ~ЗК аи+(Тп + ап В этих соотношениях X и ¡л — упругие постоянные Ляме, 2

К = Я + —/Л — коэффициент всестороннего сжатия, а 8у — символ Кронекера.

Рассмотрим приведенные нестационарные уравнения теории упругости для случая двух переменных Х| и х2 . Первая строка дает два уравнения движения, вторая - четыре реологических соотношения. Составим вектор искомых функций, также состоящий из 6 компонент " =11VI, Ъ,о-п,<т12,022,0331|

Перечисленные модели твердого тела допускают запись системы уравнений динамики деформируемого твердого тела в следующем матричном виде:

дй . дй . дй ^г+А, — +А2— = 0 д1 1 дхх 1 дхг

Здесь А,- - матрицы размера 6x6, явный вид которых в подвижной

системе координат, связанной с деформируемым телом (лагранжева

система)

0 0 1 р 0 0 0

0 0 0 1 р 0 0

- Л+ 2 ¡л 0 0 0 0 0

0 -м 0 0 0 0

-Л 0 0 0 0 0

-Л 0 0 0 0 0

0 0 0 1 р 0 0

0 0 0 0 1 р 0

0 -л 0 0 0 0

-м 0 0 0 0 0

0 - Л + 2ц 0 0 0 0

0 -Л 0 0 0 0

Данная запись является канонической формой системы уравнений, прянятой в вычислительной математике для построения сеточно-характеристических разностных схем. Предполагается, что эта система является гиперболической, то есть матрицы А,- имеют шесть вещественных собственных значений и базис из собственных векторов. Для широкого диапазона значений параметров задач геофизики, покраывающего почти все практически значимые случаи, это предположение выполняется.

Глава 2

В этой главе описывается численный метод решения и реализованные в программе схемы. Формулируется и обсновывается компактная трехслоная схема следующего вида:

п / 0 / а ' 1 а°о , о» 1 г

п-1 , 1 -J [а-L, , 1 1 [а"'о 1 i : г

m-1 m

В главе приведены теоретическое обоснование схемы и ее анализ. Показано, что при

= —2<т(1 - 2<т) /(1 + сг),

а~_\ = 2сг,

a00=2(l-2(j),

а"1 = -(1 - ог)(1 - 2сг) /(1 + сг)

она имеет третий порядок апроксимации. Дальше в главе формулируется общий подход к решению двумерных задач, которые описываются предложеной системой уравнений. За основу взят метод расщепления по пространственным координатам, в котором интегрирование одного шага по времени разбивается на несколько этапов. На каждом этапе решается одномерное уравнение переноса, что позволяет эффективно использовать предложенную компактную схему более высокого порядка точности.

Глава 3

В этой главе проведено детальное исследование предложенной комактной схемы. Изучение поведения схемы было проведено в два этапа, сначала было изучено поведение решения шаблона при решении одномерного уравнения переноса. На рис. 1 приведено сравнение предлагаемой схемы для характерных начальных условий:

После приведения детального анализа схемы в главе показана ее верификация и применения для решения двумерных задач на

прямоугольных сетках. На рис. 2 приведен результат моделирования отражения от прямоугольного газонасыщенного резервуара.

Рис 2.

В главе также приводится сравнение данной схемы с уже исследованной и использованной гибридной схемой на основе схемы Лакса-Вендрофа и Куранта-Изаксона-Риса. При моделировании отмечено, что схема обладает повышенным порядком апроксимации, однаго при реализации в программном коде требует в полтора раза больше оперативной памяти по сравнению с схемами на базе двухслойных шаблонов.

Глава 4

В этой главе методом численного моделирования исследуется характер отраженных продольных и обменных волн, обусловленных рассеянием упругой энергии от трещиноватых зон в массивных породах. Анализируется влияние плотности, наклона и характера заполнения трещин на энергетический уровень продольных РР и обменных РБ волн

при регистрации вертикальной и горизонтальной компоненты сейсмического сигнала. Выявлены существенные различия их уровней. Показано, что соотношение энергии различных компонент продольных и обменных волн может быть использовано для прогнозирования характера заполнения и наклона трещин. Предварительно также наметилась потенциальная возможность по величине этих соотношений оценивать плотность газонасыщенных вертикальных трещин в ранее выявленных трещиноватых резервуарах.

На рис. 3 показан пример выделения областей волнового поля для оценки энергии продольных РР и обменных РБ волн при регистрации горизонтальной компоненты - а, вертикальной комоненты - б и при модульном представлеии волнового поля - в.

В главе приведен анализ и сформулированы результаты для серии из 32 волновых полей отклика обратного рассеяния от зоны трещиноватого коллектора в массивных породах для широкого набор его характеристик: наклона, плотности трещин и типа заполнения газов или флюидом.

1. Установлены и количественно оценены существенные изменения энергии продольных РР волн и обменных РБ волн, т.е. компонентов отклика обратного рассеяния- в зависимости от наклона и характера заполнения трещин при X и У регистрации.

2. Проведено исследование волновых полей, соотношений энергии продольных и обменных волн при X и У регистрации. Наиболее значительные 4х^6-ти кратные изменения этих соотношений связаны с характером заполнения трещин и частично с изменением их плотности. Изменение наклонов трещиноватости сказывается существенно меньше в 1,5-2 раза.

3. Соотношение значений энергии различных компонент Е^,

еРб Е^Р может быть использовано для

у х х

прогнозирования характера заполнения и наклона трещин, используя предварительно наметившиеся закономерности.

4. Для вертикальных газонасыщенных трещин показана принципиальная возможность прогнозирования плотности трещин в слое с использованием линейной зависимости от плотности трещин соотношения уровней энергии продольной

и обменной волн Е^ / , соответственно при X и У ух

регистрации.

В главе делается вывод, что совместная регистрация вертикальной (У) и горизонтальной (X) компоненты сейсмических сигналов обратного рассеяния расширит возможности их использования для выявления и изучения трещиноватых резервуаров в массивных породах.

Глава 5

В данной главе приведено сравнение различных моделей трещиноватых неоднородностей, используемых геологами для моделирования. Рассмотрены такие модели бесконечно-тонких трещин, как модель Хадсона (Hudson), модель Феллера (Fehler) и модель Шоенберга (Schoenberg). Все рассмотренные модели основаны на условии линейного слипания и были промоделированы с помощью реализованных граничных условий на контакте двух тел. На рис. 4 показана принципиальная схема, которая была использована для верификации условий методом численного моделирования.

50 м

d - ОД м; 0,2 м; 0,5 м;1м i ф Приемник 1

^тл

1 ^ Приемник 2

Свойства упругой среды: Свойства жидкое™

р ~ 2700 р = 1000 %

ср - 2000 cf = 1500 */е

сг = 1300 %

Начальное возмущение: Волна Берпагэ ¡30. 60. 90 Гц)

Рис. 4

В главе приведены различные сравнение перечисленных выше моделей с условиями полного слипания контактирующих тел и условиями скольжения границ. Показано, что модели применимы для численного моделирование неодронодностей в геологической и среде и

могут быть использованы для расширения способов задания осредненных условий в случаях, когда особенности поставноки задачи не позволяют задавать каждый элемент разрыва решения явно.

Далее в главе предложены новые модели трещин в породе, основанных на корректном задании серии упорядоченных бесконечно-тонких трещин с заданным условием свободной поверхности на границе. На рис. 5 приведена схема задания такой модели и сейсмограмма, как результат моделирования:

J -А'-

Рис. 5

Данная модель позволяет строить более сложные модели трещин основе более простых. Такое построение упрощает разработку программного комплекса и сложность реализации новых подходов к изучению гетерогенных сред.

Глава 6

В данной главе с использованием сеточно—характеристического метода выполнено численное моделирование распространения упругих волн в изотропной среде с субвертикальной мегатрещиной высотой порядка длины и толщиной в 1 / 6 - 1 / 20 сейсмической волны.

Исследованы волновые отклики и особенности дифрагированных волн, формирующих сейсмический отклик от мегатрещины при разных вариантах ее внутреннего строения, заполнения газом или жидкостью и внешних параметров (высоты и толщины). Показано, что основным источником информации о мегатрещине являются дифрагированные волны. В многослойном разрезе от нижележащих границ дополнительно будут регистрироваться волны отраженные от падения дифрагированной волны на границы и вторично отраженные

от мегатрещины (дуплексные отражения). Их использование затруднено близким временем прихода и соответствующей интерференцией.

На рис. 6 приведен один из расчетов, на базе которых проводилось изучение поведения мегатрещин в геологических средах.

Рис. 6

На основе проведеных расчетов в главе сформулированы следующие выводы:

1. В геологической среде сейсмический отклик от мегатрещины в результате прохождения через нее фронта продольных колебаний состоит из двух продольных и двух обменных дифрагированных волн от ее верхнего и нижнего концов.

2. Отличие характера волн отклика при насыщении макротрещин жидкостью или газом, проявляется: а) в наличии перехода на фазу (смены полярности) над мегатрещиной у продольной дифрагированной волны Дрр-1 при насыщении жидкостью и его отсутствии у этой волны при газонасыщении; б) в наличии перехода на фазу у обменной дифрагированной волны Дрэ при газонасыщении и его отсутствии при насыщении жидкостью; в) в большей интенсивности на 2-компоненте продольных дифрагированных волн (особенно Дрр-1) при

газонасыщении и обменных дифрагированных волн, регистрируемых на Х-компоненте при насыщении жидкостью.

3. Сравнение волновых откликов от мегатрещин с различным внутренним строением показало:

a. сходство основных элементов волновых откликов у всех моделей;

b. преобладающую роль в отклике играют продольные дифрагированные волны и в частности волна от нижнего конца мегатрещины;

c. наибольшую интенсивность сейсмических откликов у моделей с наиболее высокой потенциальной проницаемостью (максимальным числом субвертикальных макротрещин)

5. Влияние внешних параметров мегатрещины несущественно сказывается на характере волнового отклика, проявляясь только в степени разделенности дифрагированных волн от верхнего и нижнего концов мегатрещины.

6. Влияние нижележащей субгоризонтальной отражающей границы проявляется в образовании:

a. интенсивных отраженных волн с концентрическими фронтами и продольным характером колебаний, обусловленных падением на нижележащую акустическую границу дифрагированной продольной волны от мегатрещины (с последующей конвертацией);

b. слабых вторичных дифрагированных продольных волн с крутизной годографов первичных дифракций;

c. предположительно дуплексного отражения, выделяемого в направлении наклона мегатрещины на больших удалениях, сопоставимых с ее глубиной (х>Ь).

4. Выделение предположительно дуплексного отражения затруднено интерференцией с регистрируемым на близких временах отражением от нижележащей границы падающей на нее нижней части продольной дифрагированной волны от мегатрещины. Эта волна и дуплексное отражение, сходны по кинематике.

Заключение

В заключении подробно изложены основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты и выводы диссертации

1. Разработаны математические и численные модели неоднородностей для задач сейсморазведки, основанные на граничных условиях Шоенберга, Феллера и Хадсона.

2. Предложен компактный шаблон и выполнена его реализация для решения задач линейной упругости на прямоугольных сетках.

3. Реализован комплекс программ, позволяющий:

о задавать тип сетки и шаблона, которые будут

использованы для решения задачи; о гибко задавать геометрию и граничные условия

решаемой задачи; о задавать параметры сейсмограмм и срезов в виде,

согласованном с полевыми испытаниями; о сравнивать сейсмограммы.

4. На основании численного моделирования предложены практические рекомендации по использованию величин энергий сейсмического отлика для определения количественного и качественного состава неоднородностей.

5. На основании численных экспериментов подтверждена важность использования горизонтальной компоненты сейсмозаписи для изучения трещиноватости геосреды.

Список публикаций соискателя по теме диссертации

1. Панкратов С.А., Квасов И.Е., Петров И.Б. Численное моделирование многослойных пород в задачах геофизики. // Сборник научных трудов «Модели и методы обработки информации». М.: МФТИ, 2009. С. 40-44.

2. Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. // Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 9, С. 13 - 22.

3. Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное исследование динамических процессов в сплошной среде с трещиной, инициируемых приповерхностным возмущением, сеточно-характеристическим методом. //Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 11, С. 109 -122.

4. Агаханов С.Н., Квасов И.Е., Панкратов С.А. Численное исследование осредненных моделей неоднородных сред в задачах геофизики сеточно-характеристическим методом. // Сборник научных трудов «Информационные технологии: модели и методы». М.: МФТИ, 2010. С. 12-21.

5. Kvasov I.E., Pankratov S.A., Petrov I.В. Numerical study of dynamic processes in a continuous medium with a crack initiated by a near-surface disturbance by means of the grid-characteristic method. // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3, N. 3, P. 399-409.

6. Kvasov I.E., Pankratov S.A., Petrov IB. Numerical simulation of seismic responses in multilayer geologic media by the grid-

characteristic method. // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3,N. 2, P. 196 - 204.

7. Панкратов С. А., Петров И. Б. Исследование и поиск закономерностей в отклике сейсмосигнала в задачах сейсморазведки. Москва, «Моделирование и обработка информации» 2008, С. 32-37.

8. Панкратов С. А., Мациевский Н. С., Петров И. Б. Численное моделирование деформационных динамических процессов в задачах сейсморазведки сеточно-характеристическим методом. Москва, «Моделирование и обработка информации» 2007, С. 30-37.

9. Панкратов С. А. Численное моделирование деформационных динамических процессов в задачах сейсморазведки. Москва-Долгопрудный. «Труды 50-й научной конференции МФТИ», 2007,4. VII, т. 1, С. 58-59

10. Панкратов С. А. Численное исследование поведения различных моделей трещин в упругой среде. Москва-Долгопрудный. «Труды 50-й научной конференции МФТИ», 2010, ч. VII, т. 2, С. 46^7

11. Левянт В. Б., Петров И. Б., Панкратов С. А. Исследование характеристик продольных и обменных волн отклика обратного рассеяния от зон трещиноватого коллектора. Технологии сейсморазведки», 2009, N2, С. 3-11

12. Левянт В. Б., Петров И. Б., Панкратов С. А. Исследование волнового отклика от субвертикальных мегатрещин нефтяных и газовых месторождений методом численного моделирования. Технология сейсморазведки, 2012. N2, С. 4256

Личный вклад соискателя в работы с соавторами

1. Разработаны и реализованы в виде комплекса программ модели неоднородностей в геологических породах, основанные на граничных условиях Шоенберга, Феллера и Хадсона. Проведена серия численных экспериментов по сравнению предложенных моделей друг с другом.

2. С помощью математического моделирования получены и исследованы свойства волновых откликов, в том числе энергетические, от мегатрещин.

3. Предложена и реализована разностная сеточно-характеристическая схема на компактном трехслойном шаблоне. На базе этой схемы сформулирован и проверен численный метод для решения двумерных задач сейсморазведки

4. Реализован комплекс программ для исследования динамических волновых задач в неоднородных телах в одномерном и двумерном случаях (на треугольных и прямоугольных сетках).

Панкратов Сергей Александрович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ

Автореферат

Подписано в печать 6.11.2012. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № 601. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение.

Актуальность темы.

Цели работы.

Научная новизна.

Практическая ценность.

Обзор существующих работ.

Глава 1. Определяющие уравнения.

1.1. Уравнения динамики сплошной линейно-упругой среды.

Глава 2. Вычислительный метод.

2.1. Схемы расщепления по направлениям.

2.2. Обзор разностных схем.

Схема Лакса.

Схема Лакса-Вендроффа.

Схема Куранта-Изаксона-Риса.

2.3. Сеточно-характеристические схемы для численного решения уравнений

2.4. Компактный шаблон повышенной точности.

2.5. Расчет граничных узлов.

Глава 3. Применение компактного Шаблона.

Глава 4. Исследование характеристик продольных и обменных волн отклика обратного рассеяния от зон трещиноватого коллектора.

4.1. Количественная оценка энергетического уровня сейсмического отклика вцелом, а также продольных и обменных волн в отдельности.

4.2. Характеристика моделей со случайно-неравномерным распределением трещин в коллекторной макрозоне.

4.3. Анализ зависимости энергетических характеристик продольных и обменных волн от характера заполнения трещин, их плотности и наклона.

4.4. Влияние характера заполнения трещин на соотношение энергии продольных и обменных волн.

4.5. Анализ зависимости энергии продольных и обменных волн от наклона трещин в макрозоне.

4.6. Анализ зависимости энергии продольных РР и обменных (РБ) волн от плотности трещин.

4.7. Результаты анализа волн отклика обратного рассеяния от зон трещиноватого коллектора.

Глава 5. Исследование моделей трещиноватостей в геологических средах.

5.1. Теория Шоенберга.

5.2. Модель Феллера.

5.3. Модель Хадсона.

5.4. Сравнение моделей.

5.5. Реализация граничных условий.

5.6. Исследование моделей.

5.7. Кусочные и разрывные трещины.

5.8. Выводы.

Глава 6. Исследование волнового отклика от субвертикальных мегатрещин нефтяных и газовых месторождений.

6.1. Характеристика моделей с субвертикальными мегатрещинами

6.2. Общая характеристика волнового отклика от субвертикальной мегатрещины.

6.3. Влияние на характер волнового отклика внутреннего строения мегатрещины.

6.4. Особенности волнового отклика от мегатрещины, вызванные отраженной волной от нижележащей границы.

6.5. Влияние внешних параметров мегатрещины на ее волновой отклик.

6.6. Анализ возможности выделения дуплексного отражения от мегатрещины.

6.7. Выводы.

При решении современных задач механики геологических сред (динамики деформируемого твердого тела, гидродинамики) приходится иметь дело с все более усложняющимися механико-математическими моделями. Как правило, это многомерные линейные и нелинейные дифференциальные уравнения частных производных, с многочисленными контактными границами, с разрывами в искомых решениях, зонами больших градиентов внутри этих областей и т.п. В настоящее время сложность этих задач такова, что их исследование невозможно без пользования мощного и эффективного аппарата численных методов ЭВМ. Глубокое проникновение этих методов в традиционные и новые области объясняется, прежде всего, их универсальностью. Имея во многом сходство с физическим экспериментом, в том смысле что в "вычислительный эксперимент" может быть заложена достаточно близкая к реальности математическая модель без значительных упрощающих предположений, с помощью численных методов могут быть получены количественные характеристики изучаемых процессов в широком диапазоне определяющих задачу параметров, а часто — ив области режимов, недоступных для натурных экспериментов. Немаловажно и то обстоятельство, что получаемая информация полнее и существенно дешевле соответствующих экспериментальных исследований. Результаты численных исследований, так же, как и физический эксперимент, прежде всего, являются источником фактического материала, на основании которого может быть проведен детальный теоретический анализ, построены более простые модели, инженерные методики и т.п.

Сказанное здесь, естественно, не умаляет роли других подходов к решению современных задач механики и физики и тем более принципиальную роль эксперимента, который всегда остается решающей основой исследования, подтверждающего (или отвергающего) схему и решение в том или ином теоретическом подходе. Не теряют своего значения и классические аналитические методы решения линейных уравнений математической физики, асимптотические методы исследования более сложных математических моделей. Удачное сочетание различных подходов позволяет эффективно решать возникающие на практике те или иные задачи. Однако появление ЭВМ внесло в процесс познания новый элемент: принципиальную возможность усложнять модель, делая ее все более адекватной действительности и в то же время доступной для исследования. К современному пониманию этой проблематики, т.е. компьютеризации научного поиска привел процесс интеграции знании и идеологии математиков, механиков, специалистов по вычислительной технике и программированию.

Численное моделирование физических процессов, происходящих в недрах Земли, представляющее интерес для разведочной сейсмологии (один из основных разделов геологии) представляют собой весьма специфическую и сложную область науки, объединяющей разделы уравнений математической физики, механики сплошных сред (геомеханики), численных методов и информатики. Решение динамических задач механики сплошных сред реализуются аналитическими и численными методами. Область применения аналитических методов (играющих в сейсмологии значительную роль) ограничивается решением линейных задач в достаточно простых областях интегрирования. Однако возможности аналитических методов, применяемых совместно с численными, в частности, при постановке прозрачных граничных условий (ПГУ) и соответствующего сокращения количества расчетных узлов сетки, могут иметь значительные перспективы.

Не останавливаясь на библиографии по аналитическим методам решения геологических задач, представляющих самостоятельную обширную исследовательскую область, отметим некоторые значительные работы: [1-6]. Численные и совместные численно-аналитические подходы к моделированию физических геологических средах (пористых, слоистых, трещиноватых, с кавернами) имеют существенно большую область применения, поскольку существенные ограничения на формы областей интегрирования, слоистость среды, наличие в породе системы трещин или каверн, жидкости, пористости, нелинейность, многомерность модели отсутствуют.

Отметим, что для разведывательной сейсмологии математическое моделирование происходящих в недрах Земли процессов, является еще более важным чем, например, для геологии или океанологии, поскольку геолог может изучать путем наблюдений или измерений свои объекты (горные или иные породы), а сейсмология имеет дело лишь с физическими полями этих объектов, сейсмологическими откликами. В настоящее время обычно задача сейсморазведки формулируется как построение модели того или иного геологического объекта, которого специалист по сейсморазведке непосредственно не может изучать. Понятие же модели геологического объекта включает в себя набор его характеристик, таких, как геометрическая форма, внутренняя структура, физические свойства, наличие флюида и т.п. Строить адекватные модели конкретных геологических объектов можно на основе математического описания их поведения при воздействии с сейсмическими нагрузками (адекватного описания, разумеется, в смысле перечня характеристик объекта, доступных для изучения тем или иным сейсмическим методом и представляющим практический интерес).

В данной работе рассмотрен ряд задач характерных для различным сейс-моразведочных экспериментов. Используются различные сейсмосигналы, общепринятые при моделирование сейсмических импульсов полевых испытаний. Получены поля скоростей откликов, а также сейсмограммы, имеющие большую ценность для практических геологов, которые не имеют возможности воспроизводить все поле скоростей, полученное в результате отклика.

Актуальность темы

Проблема сейсморазведки углеводородов является одной из наиболее актуальных. В последние годы все чаще возникает вопрос удешевления полевых экспериментов практической геологии. Новые месторождения, как правило, находятся в труднодоступных и слабоосвоенных территориях. Это увеличивает значение численного моделирования для первичной оценки при исследовании природных залежей. При этом актуальным является решение следующих задач:

• численное моделирование распространения сейсмических волн в геологических средах различной сложности;

• реализация и тестирование новых численных алгоритмов и комплексов программ;

• реализация вычислительных методов для численного решения систем уравнений в частных производных гиперболического типа, которые описывают состояние деформируемого твердого тела;

• анализ численных сейсмограм и сравнение их с результатами полевых испытаний;

• разработка методик и технологий, обеспечивающих изучение геосреды, осложненной трещиноватостью и другими неоднородно-стями;

• разработка методов решения обратных задач для выявления неодно-родностей в породах;

• создание механико-математических моделей углеводородсодержа-щих пород, описывающих их поведение в условиях различных динамических воздействий;

• реализация механико-математических моделей резервуаров и областей кавернозности в геологических средах;

• создание универсальных программных комплексов, позволяющих проводить численные эксперименты для задач сложной конфигурации и получать результаты для анализа и сравнения с полевыми испытаниями;

• анализ полученных результатов и выявление закономерностей.

В диссертации моделируются и исследуются задачи сейсморазведки. Предметом исследования является распространение упругих волн и их взаимодействие с неоднородностями в породе. Каждая задача имеет строгое описание области интегрирования, границ области интегрирования и начальных условий.

В диссертации используется двухслойный гибридный сеточно-характеристический численный метод. Для повышения порядка аппроксимации предложена трехслойная схема. Успешно разработаны методы для одномерных задач и обобщены на двумерный случай (неструктурированные треугольные и регулярные четырехугольные сетки). Обобщение метода и использование трехслойной компактной схемы представляет значительный интерес и является одним из результатов диссертации.

Часть исследования посвящена оптимизации программного кода с учетом свойств решаемой системы уравнений.

Цели работы

1. Расчет волнового отклика от различных газо- и флюидонасыщенных трещин.

2. Численное исследование поведения различных моделей неоднород-ностей в геологических средах. Сравнение и верификация осреднен-ных моделей.

3. Расчет энергий отклика от кластера с различным набором неодно-родностей.

4. Реализация и проверка компактной схемы повышенного порядка аппроксимации.

Научная новизна

1. Разработана и реализована разностная схема на трехслойном шаблоне на прямоугольных сетка с третьим порядком аппроксимации.

2. Существенно улучшен комплекс программ (на треугольных и прямоугольных сетках) для моделирования задач современной сейсморазведки для исследования волновых процессов в упругих телах, содержащих несколько трещин, кластеры или резервуары с жидкостью.

3. Выполнено детальное исследование осредненных моделей для неод-нородностей Шоенберга, Хадсона и Феллера.

4. Проведено сравнение численного решения полученного с помощью разностной схемы на трехслойном шаблоне (повышенного порядка аппроксимации) с численным решением, полученным с помощью схем первого и второго порядка, а также гибридной схемы.

5. Проведено численное моделирование волнового отклика от мегатре-щины и исследованы его свойства. Были сформулированы важные практические выводы: a. на характер отраженных и дифрагированных волн существенно влияют различные параметры мегатрещины (внутренняя структура, протяженность, заполнение); b. при исследовании флюидонасыщенных мегатрещин важно использовать горизонтальную компоненту скорости на приемниках - это позволяет выявить мегатрещину; c. в результате численного моделирования изучено появление дуплексной волны при отражении от мегатрещины; выявлены основные характеристики волнового отклика, по которым есть возможность определить параметры мегатрещины.

6. Исследованы зависимости волновых откликов от характеристик трещиноватых кластеров; выявлены качественные и количественные особенности энергии отклика от таких сред.

7. В программном коде реализованы осредненные модели Шоенберга, Хадсона, Феллера.

8. Предложен метод определения основных параметров трещиноватого кластера с помощью расчетов его энергетических характеристик волнового отклика.

Практическая ценность

Реализованный программный код позволяет производить численное моделирование геологических сред различной сложности, используя гибкую конфигурацию, как области интегрирования, так и численных методов решения. Поиск новых месторождений углеводородов в современных условиях становится все более и более актуальным. Важнейшую роль здесь играет как определение местоположения новых залежей, так и оценка их емкости. Стоимость полевых работ предъявляет особые требования к подготовке и анализу результатов численного моделирования на начальных этапах проекта по оценке новых месторождений. Использование численного эксперимента позволяет существенно снизить стоимость проведения как полевых работ, так и интерпретацию их результатов.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов:

1. Грант РФФИ 11-01-12011-офи-м-2011. Разработка численных методов для решения задач геомеханики и сейсморазведки на многопроцессорных вычислительных системах, 2011-2012 гг.;

2. Грант РФФИ 0-01-92654-ИНДа. Математическое моделирование сложных задач на высокопроизводительных вычислительных систе-мах.2010-2011 гг.

3. Договоры Шлюмберже-МФТИ № DPG.55229907.0039? и № ОРв.55229907.00398. Наименование проектов: «Разработка численных алгоритмов для решения динамических задач теории упругости в трещиноватых геологических средах с использованием сеточноха-рактеристического метода и метода конечных элементов», «Разработка численных методов расчета волновых полей вблизи скважины».

Обзор существующих работ

В работах [7, 8, 15, 16] проводится численное исследование волновых полей и откликов без использования механико-математических моделей эффективных сред, т.е. с выделением контактных границ порода-трещина, порода-каверна, если полости флюидонасыщенные, и свободных границ в случае газонасыщенных неоднородностей. Показано, что волновые картины и отклики при использовании моделей эффективных сред и при использовании детального описания геосреды отличаются, не только количественно, но и качественно. Данная работа обобщает предложенный сеточно-характерестический метод на неравномерных треугольных сетках.

Ряд методик выделения зон повышенной концентрации рассеянной энергии, которые ассоциируются с трещиноватыми коллекторами, нашли практическое применение в отечественной сейсморазведке. Это технологии: СЛБО [10]; ФП - фокусирующих преобразований [13, 14], Волнового ОГТ [9], Текстурно -Спектрального Анализа [11], миграционного изображения рассеивающих объектов МИРО [12]. Все эти методы нацелены на выявление трещиноватых и кавернозных резервуаров по аномалиям высокого уровня рассеянной энергии. Однако более детальные характеристики трещинно-кавернозных резервуаров в массивных вмещающих породах, такие как характер заполнения, пространственное положение и плотность трещин практически не определяются.

Для решения этих задач требовалось более детальное изучение характера распространения сейсмических волн в случайно-неоднородной упругой среде, каковой являются трещинно-кавернозные резервуары в массивных породах.

7.1. Основные результаты и выводы диссертации

1. Предложены модели (математические и численные) неоднородностей для задач сейсморазведки, основанные на граничных условиях Шоен-берга, Феллера и Хадсона.

2. Предложен компактный шаблон и выполнена его реализация для решения задач линейной упругости на прямоугольных сетках.

3. Реализован комплекс программ, позволяющий: о задавать тип сетки и шаблона, которые будут использованы для решения задачи; о гибко задавать геометрию и граничные условия решаемой задачи; о задавать параметры сейсмограмм и срезов в виде, согласованном с полевыми испытаниями; о сравнивать сейсмограммы.

4. На основании численного моделирования предложены практические рекомендации по использованию величин энергий сейсмического отли-ка для определения количественного и качественного состава неоднородностей.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Панкратов С.А., Квасов НЕ., Петров И.Б. Численное моделирование многослойных пород в задачах геофизики. // Сборник научных трудов «Модели и методы обработки информации». М.: МФТИ, 2009. С. 40 - 44.

2. Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. // Математическое моделирование, 2010, т. 22, №9, С. 13-22.

3. Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное исследование динамических процессов в сплошной среде с трещиной, инициируемых приповерхностным возмущением, сеточно-характеристическим методом. //Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 11, С. 109-122.

4. Агаханов С.Н., Квасов И.Е., Панкратов С.А. Численное исследование ос-редненных моделей неоднородных сред в задачах геофизики сеточно-характеристическим методом. // Сборник научных трудов «Информационные технологии: модели и методы». М.: МФТИ, 2010. С. 12- 21.

5. Kvasov I.E., Pankratov S.A., Petrov IB. Numerical study of dynamic processes in a continuous medium with a crack initiated by a near-surface disturbance by means of the grid-characteristic method. // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3, N. 3, P. 399 - 409.

6. Kvasov I.E., Pankratov S.A., Petrov IB. Numerical simulation of seismic responses in multilayer geologic media by the grid-characteristic method. 11 Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3,N. 2, P. 196 -204.

7. Панкратов С. А., Петров И. Б. Исследование и поиск закономерностей в отклике сейсмосигнала в задачах сейсморазведки. Москва, «Моделирование и обработка информации» 2008, С. 32-37.

8. Панкратов С. А., Мациевский Н. С., Петров И. Б. Численное моделирование деформационных динамических процессов в задачах сейсморазведки сеточно-характеристическим методом. Москва, «Моделирование и обработка информации» 2007, С. 30-37.

9. Панкратов С. А. Численное моделирование деформационных динамических процессов в задачах сейсморазведки. Москва-Долгопрудный. «Труды 50-й научной конференции МФТИ», 2007, ч. VII, т. 1, С. 58-59

Ю.Панкратов С. А. Численное исследование поведения различных моделей трещин в упругой среде. Москва-Долгопрудный. «Труды 50-й научной конференции МФТИ», 2010, ч. VII, т. 2, С. 46-47 11 .Левянт В. Б., Петров И. Б., Панкратов С. А. Исследование характеристик продольных и обменных волн отклика обратного рассеяния от зон трещиноватого коллектора. Технологии сейсморазведки», 2009, N2, С. 3-11 М.Левянт В. Б., Петров И. Б., Панкратов С. А. Исследование волнового отклика от субвертикальных мегатрещин нефтяных и газовых месторождений методом численного моделирования. Технология сейсморазведки, 2012. N2, С. 42-56

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе был промоделировано несколько типичных задач сейсморазведки. Каждая такая задача потребовала бы больших материальных и человеческих ресурсов для проведения полевого эксперимента, в то время как численный расчет, хотя он и работает с существенно упрощенной моделью, позволил найти ряд закономерностей по определению важных для практических геологов параметров. Таких как - конфигурацию и упругие свойства слоев в случае осадочных пород, количество неоднородностей в кластере и их структуру в случае кристаллической породы.

Были рассмотрены и детально исследованы трещиновато-кавернозные кластеры, как заполненные жидкостью, так и газонасыщенные. Исследование основывалось на разделении волн отклика на продольную и поперечную (обменную) составляющие, выявлен ряд закономерностей, позволяющий по энергии отклика говорить и той или иной структуре кластера с неоднородностями. Расчеты позволяют приближенно определить общее количество неоднородностей, а так же преобладающее направление ориентации трещин. Дальнейшее улучшение предложенного метода, требует более точного и, видимо, более сложного алгоритма разделения волн на составляющие. Однако и достигнутые результаты могут служить отправной точкой в исследовании подземных кластеров и определения их основных параметров.

В работе использовались не только аналитическое представление сейсмо-сигнала (волна Берлагэ, плоская волна), но и промоделирован сферический взрыв, который часто используется в качестве сейсмосигнала. В области взрыва с большим градиентов скоростей и напряжений была введена модель упруго-пластического тела, благодаря этому удалось избежать разрывов решения в области эпицентра.

Так же была разработана версия программы для моделирования многослойных пород с различным набором неоднородстей. Показана большая точность сеточно-характеристического метода с условиями полного слипания для контактных границ.

Текущие результаты показали, что даже двумерные численные задачи представляют большой интерес у практических геологов, однако для моделирования близких к реальным породам требуется еще более детальная сетка и задачи становятся трудно решаемыми на однопроцессорных машинах. Это требует создания полноценной параллельной версии программы на треугольных сетках, что позволит увеличить мелкость сетки, а значит и детализировать вычисления в разы.

Также на данный момент остается нерешенной проблема мелких неодно-родностей при достаточно большой области интегрирования. Например для случая водонасыщенных трещин в данной работе использовалось условия полного скольжения для противолежащих берегов трещины. Задание же мелкой сетки внутри трещины (на порядок мельче сетки снаружи) позволит считать более сложные конфигурации кластеров и является дальнейшим шагом в улучшении и универсализации текущего двумерного комплекса. Естественным продолжением этого шага, будет введение локального шага по времени, так, чтобы мелкий шаг по времени использовался, только для сетки внутри трещины.

Моделирование многослойных задач в двумерном приближении показало, что целая серия задач может быть решена на прямоугольных сетках. Это позволяет сделать вывод, что для трехмерной версии программы, где выигрыш в производительности от использования прямоугольных сеток может сыграть важную роль, нужно использовать как тетраэдрические, так и кубические сетки. Какие именно использовать должны определяться геометрией задачи, при этом при равных условиях предпочтение стоит отдавать кубическим, как более эффективным.

1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1957г., 502 с.

2. Новацкий В.К. Теория упругости. М., Мир 1975г., 620 с.

3. Партон В.З., Пермин П.И. Методы математической теории упругости. М., Наука, Физматлит, 1981г., 688 с.

4. Ляховицкш Ф.М. Сейсмические волны в гетерогенных средах. М., 1988г., 156 с.

5. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л., 1980г., 280 с.

6. Уайт Д.Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. М., 1986г., 262 с.

7. Петров КБ., Холодов A.c. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т. 24, № 5, с. 722 - 739.

8. Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 43, №10, 2003 г., с. 1562-1579.

9. А.Н.Кремлев, Г.Н.Ерохин, Л.Е.Стариков, М.А.Зверев. Прогноз коллекторов трещинно-кавернозного типа в карбонатных, глинистых и магматических породах по рассеянным сейсмическим волнам. Санкт-Петербург, 2008

10. О.Л.Кузнецов, Ю.А.Курьянов, И.А.Чиркин, С.И.Шленкин. Сейсмический локатор бокового обзора. М.: Геофизика, 2004 г., спец. выпуск 40 лет «Тюмен-нефтегеофизика». С. 17-22.

11. М.Левянт В.Б., Моттлъ В.В., Ермаков A.C. Прогнозирование разуплотненных зон в кристаллическом фундаменте на основе использования рассеянной компоненты сейсмического поля. Москва, «Технология сейсморазведки» 2005, №3, с.56-61.

12. М.Козлов Е. А. Раздельное изображение зеркальных и рассеивающих геологических объектов по данным сейсморазведки. Технологии сейсморазведки. №2, 2004.

13. Поздняков В. А., Чеверда В. А., Ефимов А. С., Ледяев А. И., 2003, Построение сейсмических изображений с помощью многокомпонентных фокусирующих преобразований: Геофизика, Специальный выпуск «Технологии сейсморазведки-II», 173-176

14. Панкратов С. А., Петров И. Б. Исследование и поиск закономерностей в отклике сейсмосигнала в задачах сейсморазведки. Москва, «Моделирование и обработка информации» 2008, с 32-37.

15. Левянт В. Б., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. О природе отклика рассеянной сейсмической энергии от зоны диффузной кавернозности и трещиноватости в массивных породах. Геофизика №6, 5-19 2005 г.

16. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969,.т. 9, № 2, с. 373- 386.

17. Lax P.D., WendroffB. System of Conservation Laws//J. Communs. Pure and Appl. Math. 1960. V. 13. No 2. P. 217-237.23 .MacCormak R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering//AIAA Pap. 1969. No 69-354

18. Багринцева К.И. Условия формирования и свойства карбонатных коллекторов. М. РГГУ 1999.

19. Некрасов А. С. Геолого-ггеофизические исследования карбонатных коллекторов нефтяных месторождений. -Пермь.ПГУ, 2006.

20. Тимурзиев А. И. Развитие представлений о строении «цветковой модели» Силивестера на основе новой кинематической модели сдвигов. Геофизика, 2010, №2, С 24-31.

21. Сим Л.А., МихайловаА.В. Разломы осадочного чехла платформ и методы их исследования, 2008

22. T.Chen. M.Fehler, S.Brawn, Y.Zhang, X.Fang, D.Burns and P. Wang. Modeling of Acoustic wave scattering from a two-demensional fracture.SEG Denver 2010, Annual Meeting, Expended Abstract SM-3

23. Левянт В. Б., Петров И. Б., Квасов И. Е., Численное моделирование волнового отклика от субвертикальных мегатрещин, вероятных флюидопрово-дящих каналов. 2011, Технологии сейсмразведки №4, С 41 -61.

24. Иванов В. Д., Петров И. Б., Тормасов А. Г., Холодов А. С., Пашутин Р. А., Сеточно-характеристический метод расчета динамических деформации на нерегулярных сетках. Математическое моделирование т. 11 №7 сс118-127.

25. В.Горняк, А.С.Костюкович, Б.Линк, Н.Я.Мармалевский, В.В.Мерщий, Ю.В.Роганов, И.Ю.Хромова Изучение вертикальных неоднородностей с использованием миграции дуплексных волн. Технологии сейсморазведки №1, 2008, СЗ-14.

26. X.Fang, M.Fehler, T.Chen and D.Burns Sensetivit analysts of fracture scattering. SEG 2010, Annual Meeting, Expended Abstract RC3

27. M.Schoenberg. Elastic wave behavior across linear slip interfaces.

28. Schlumberger-Doll Research, P.O. Box 307, Connecticut 06877, 1980

29. C.Hsu, M.Schoenberg. Elastic waves through a simulated fractured medium. Geophysics, V. 58, No. 7.

30. M. Schoenberg, C.M.Sayers. Seismic anisotropy of fractured rock. Geophysics, V. 60, No. 1, 1995.

31. Козлов E.A., Гарагаш И.А., Макаров В.В. Палеогеомеханическое моделирование при интерпретации данных сейсморазведки: Нефтяная геология и геофизика на рубеже веков. Том II: Стратиграфия, общая геология, региональный прогноз. С.-П.-Б, с. 361-365.

32. Козлов Е.А. Pressure-dependent seismic response of fractured rock. Geophysics, 69, pp. 885-897.

33. AO.Молотков Л.А., Бакулин А.В. Эффективная модель слоистой упруго-пористой среды. ДАН. 2000г., т. 372, №1, с. 108-112.

34. Молотков Л. А. О новом способе вывода уравнений осредненной эффективной модели периодических сред. Записки научного семинара. ПОМИ. 1992ю т. 203,. 137-155.

35. Молотков Л.А. Об эквивалентности слоисто-периодических и трансверсаль-но-изотропных сред. Записки научного семинара. ЛОМИ. 1979. т. 89, с. 219233.

36. Молотков Л.А., Хило А.Е. Эффективные модели слоистых сред с линейными контактами общего вида. Записки научного семинара. ЛОМИ. 1986. т. 156, с. 148-157.

37. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. J. Appl. Phys. 1962, vol. 33, №4, pp. 1482-1498.

38. Hsu C.J., Schoenberg M. Elastic waves through a simulated fractured medium. Geophysics. 1993. vol. 58, №7, pp. 964-977.

39. A&.Thomsen L. Weak elastic anisotropy. Geophysics, 1986, 51, p. 1954-1966.

40. Николаевский B.H. Геомеханике и флюидодинамика с приложениями к проблемам газовых и нефтяных пластов. М.: недра, 1996г., 271с.

41. Bakulin A., Grechka V. and Tsvankin I. Estimation of fracture parametrs from reflection seismic data. — Part II: fracture models with arthorhombic symmetry. Geophysics, 65, p. 1803-1816.

42. Молотков JI.А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. 2001, Наука, СПб.

43. Kozlov Е.А. Pressure-dependent seismic response of fracture rock. Geophysics, 69, p. 885-897.

44. Sl.Broron S.R. and Scholz C.H. Closure of random elastic surfaces in contact. J. Geophysics Res., 90, p. 5531-5545.

45. Liu E., MacBeth C.D., Pointer Т., Hudsen D., Crampin S. The elastic compliance of fracture rock. 1996. 66-th. Ann. Internat. Mtg Soc. Expl. Geophys. Expanded Abstract, p. 1841-1844.

46. Hudson J. A., Pointer Т., Liu E. Effective-medium theories for fluid-saturated materials with aligned cracks. Geophysics Prosp., 49, p. 509-522.

47. Guibas L., StolfiJ. Primitives for the manipulation of general subdivisions and the computation of Voronoi diagrams // ACM Transactions on Graphics. 1985. 4, N 2. 74-123.

48. Lawson C. Software for CI surface interpolation // Mathematical Software III. NY: Academic Press, 1977. 161—194.

49. Lawson C. Transforming triangulations // Discrete Mathematics. 1972. 3. 365— 372.61 .Lee D. Proximity and reachability in the plane. Techn. Report R-831. Coordinated Sci. Lab., Univ. of Illinois at Urbana. Urbana, 1978.

50. Lee D., Schachter B. Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation // Int. Jour. Сотр. and Inf. Sc. 1980. 9, N 3. 219-242.

51. Lewis В., Robinson J. Triangulation of planar regions with applications // The Computer Journal. 1978. 21, N 4. 324-332.

52. Lingas A. The Greedy and Delaunay triangulations are not bad // Lect. Notes Сотр. Sc. 1983. 158. 270—284.

53. I.Lloyd E. On triangulation of a set of points in the plain. MIT Lab. Сотр. Sc. Tech. Memo. N 88. Boston, 1977.

54. Manacher G., Zobrist A. Neither the Greedy nor the Delaunay triangulation of planar point set approximates the optimal triangulation // Inf. Proc. Let. 1977. 9, N 1. 31-34.

55. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. (2001) Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, Наука, Москва, 608 с.

56. Ferry А. (1954) The method of characteristics in general Theory of high speed aerodynamics. Ed. W.R. Sear. Princeton, vol. 6, p. 583-669.

57. Петровский КГ. (1961) Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 400с.81 .Курант Р. (1964) Уравнения с частными производными, Мир, Москва, 823с. 503-518.

58. Тихонов А.Н., Самарский A.A. (1966) Уравнения математической физики. Наука, Москва, 724с.

59. S3.Годунов С.К. (1971) Уравнения математической физики. Наука, Москва, 416с.

60. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. (1998) Нелинейные волны в упругих средах, Моск. лицей, Москва.

61. Courant R., Isacson E., Rees M. (1952) On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences. Commun. Pure and Appl. Math, v. 5, No 5, p. 243-254.

62. Moretty G. (1963) Three-dimensional supersonic flow computations. AIAA J., v.l, No 9, p. 2192-2193.

63. Keller H.B., Wendroff B. (1957) On the formulation and analysis of numerical methods for time dependent transport equations. Commun. Pure and Appl. Math., v.lO, No 4, p. 567-582.

64. Ландау Л.Д., Мейман И.H., Халатников И.M. (1958) Численные методы интегрирования уравнения в частных производных методом сеток. Тр. III Все-союз. Мат. съезда, Изд-во АН СССР, т.З, с. 92-100.

65. Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета. ЖВМ и МФ. 1980г., т. 20, №4, с. 1021-1031.9&.А. Harten. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. J. Comp. Phys. 1987. U.49. №3. p. 357-393.

66. A. Harten. ENO Schemes with Subsell Resolution. J. Comp. Phys. 1987. p. 148184.

67. A. Harten and others. Some results on uniformly high-order essentially non-oscillatory schemes. Appl. Numeric Math. 1986. 2. p.347-373/

68. А.Г. Куликовский, H.B. Погорелое А.Ю. Семенов. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001г., 607с.

69. С.А. Ильин, Е.В. Тимофеев. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета на задаче Коши для одномерного линейного уравнения переноса. Мат. моделирование, 1992г., т.43. №3. с.62-75.