автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Модели точного и приближенного представления данных контроля линейных динамических систем

•Л/

ПУШКОВ Сергей Григорьевич

МОДЕЛИ ТОЧНОГО И ПРИБЛИЖЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ КОНТРОЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Барнаул, 1998 г.

На правах рукописи

ем

Работа выполнена на кафедре информационных и управляющих систем Бийского технологического института Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова.

Научный руководитель:

доктор технических наук Титаренко Ю.И.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Бондареяко В. П.

кандидат физико-математических наук, доцент Максимов А.В.

Ведущая организация:

Кемеровский государственны} университет

Защита состоится ¿г исал 1998 г. в час. на заседании диссертационного совета Д 064.45.02 в Алтайском государственном университете по адресу: 656099, г. Барнаул, ул. Димитрова, 66.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н., профессор С.А.Безносюк

л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Изучение процессов и явлений на основании данных наблюдения за поведением объекта делает необходимым представление существенных аспектов его процесса функционирования в удобной для исследований форме, т.е. моделирование. Для целей исследования динамики различных процессов и управления ими наиболее удобными оказываются модели, основанные на наблюдении входных и выходных сигналов объекта и представлении его поведения в пространстве состояний.

Данные контроля медико-биологических, экологических и многих технических систем очень часто оказываются невоспроизводимыми или трудно воспроизводимыми. Обеспечение требований адекватности моделей изучаемым объектам или явлениям делает актуальными теоретическое обоснование возможности использования этих моделей, методов их построения и формулировку соответствующих критериев реализуемости.

Автоматизация процесса моделирования предполагает использование ЭВМ на всех этапах формирования моделей. Для осуществления программных реализаций методы построения математических моделей должны быть обеспечены соответствующими численными алгоритмами.

Состояние вопроса. Задача представления систем в пространстве состояний тесно связана с проблемой реализации динамических систем. Эта проблема рассмотрена в работах М.Месаровича, Р.Калмана, С.Эйленберга, Э.Зонтага, Дж.К.Виллемса и др. Для детерминированных линейных стационарных динамических систем с дискретным временем теория реализации наиболее развита в рамках алгебраического теоретико-модульного подхода к проблеме. В случае систем над полями решение

задачи представления динамического поведения в пространстве состояний сводится к факторизации матриц над полем.

Для систем, которые подвержены воздействиям различных искажающих факторов, этот подход не может давать удовлетворительных результатов. В этих случаях чаще всего используются классические методы идентификации, применимость которых возможна, если решена проблема выбора формы представления.

Анализ литературы по вопросам реализации и идентификации линейных динамических систем показал, что существующие методы либо применимы для очень узкого класса систем, либо соответствующие алгоритмы слабо структурированы и поэтому оставляют открытым вопрос их численной реализации. Несмотря на обилие различных подходов и методов можно констатировать, что имеется необходимость в разработке методологии, которая бы решала задачу реализации линейных динамических систем с единых позиций как для детерминированных систем, так и для систем, искажаемых шумами. Кроме того, к настоящему времени недостаточно исследованы вопросы использования теоретико-системных моделей для решения задачи прогнозирования будущего поведения системы.

Целью настоящей работы является разработка методики, комплекса рабочих методов и алгоритмов для решения задач точного и приближенного моделирования на основе представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1) Разработкой методов и алгоритмов вычисления точной реализации линейных динамических систем.

2) Исследованием систем, подверженных воздействию "шумов" и разработкой соответствующих методов и алгоритмов вычисления приближенной реализации.

3) Созданием на базе этих методов и алгоритмов комплекса программ для решения задач точной и приближенной реализации.

4) Исследованием эффективности разработанных методов для различных областей применения.

В качестве методической основы для разработки и исследования моделей и методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем. При разработке методов и алгоритмов решения задач приближенного моделирования применяются методы математического программирования. Для построения теоретико-системных моделей используются методы системного анализа и исследования операций.

Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем:

1) Доказана теорема, которая представляет модификацию алгоритма вычисления конечномерной реализации отображения вход-выход. Разработаны численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Хо и модифицированном алгоритме вычисления конечномерной реализации.

2) Представлены методы решения задач приближенной реализации, основанные на обобщении понятия точной реализации на случай систем с шумом, на минимизации функции несогласованности и специальной критериальной функции для оценивания размерности системы. Разработаны численные методы и алгоритмы вычисления приближенной реализации.

3) На основе разработанных методов и алгоритмов предложена методика представления б пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем. На совокупности тестовых примеров и реальных экспериментальных данных показаны алгоритмическая эффективность методов и их применимость для решения задач фильтрации электрокардиографических сигналов и прогнозирования содержания загрязняющих веществ в водоемах.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что разработанную методологию вычисления конечномерной реализации и комплекс рабочих методов и алгоритмов можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления технических, медико-технических и экологических систем.

Автор защищает:

1) Методику моделирования с использованием динамических систем на основе представления их в пространстве состояний.

2) Численную и программную реализации алгоритма Б.Л.Хо.

3) Модификацию алгоритма вычисления конечномерной реализации заданного отображения вход-выход.

4) Комплекс методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации для систем с шумом.

5) Методы анализа временных рядов на основе вычисления конечномерных реализаций.

Апробация работы. Основные выводы и теоретические положения диссертации докладывались на Международной конференции "Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов" (г. Барнаул, 1997г.).

Рассматриваемые в данной работе модели, методы и алгоритмы использованы в учебном процессе по курсам "Моделирование экономических систем", "Методы оптимального управления", "Информационные системы в медицине", "Экология" в Бийском

технологическом институте Алтайского государственного технического университета им. И.И.Ползунова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 133 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований, приложения, содержит 22 рисунка, 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель, задачи, объект и методы исследования, научная новизна и практическая значимость работы, указаны положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика работы.

В первой главе анализируются основные теоретические предпосылки математического моделирования на основе представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем.

Для определения требований, предъявляемых к разработке автоматизированных методов моделирования сначала формулируются общие принципы теоретико-системного моделирования, затем характеризуются этапы выбора структуры моделей и оценивания их параметров.

Выбор в качестве базовой математической модели линейной конечномерной стационарной динамической системы в значительной степени определяет набор тех характеристик, которые нужно определить на этапе выбора структуры модели. К этим характеристикам относятся:

1) размерности пространств входных и выходных сигналов системы;

2) вид соотношений, отражающих связи между входными и выходными сигналами и внутренними переменными системы;

3) набор параметров системы и области их существования;

4) источники, структуру и характеристики искажений переменных системы (характеристики "шума").

При использовании систем с пространством состояний кроме этого нужно определить размерность этого пространства состояний.

Задача синтеза линейной динамической модели по экспериментальным данным тесно связана с такими проблемами теории систем как реализация и идентификация. Для формализации этих задач вводятся основные теоретико-системные понятия. Сначала на теоретико-множественном уровне определяется понятие "системы", затем рассматриваются линейные динамические системы и связанные с ними определения и результаты, которые необходимы для формулировки и исследования задач моделирования линейных динамических систем, их реализации и идентификации.

Для динамических систем с пространством состояний используется следующее определение Калмана.

Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с ш входами и р выходами над полем К называется сложный объект I = (Б, в, Н), где

Р: X X, в: Кт -> X, Н: X ->К»

есть К-линейные отображения (К-гомоморфизмы), X - векторное пространство над полем К (пространство состояний). Динамическое поведение системы £ определяется следующими уравнениями:

0) х(1+1) = Рх(0 + Си(1),

(И) У(0 = Нх(1),

где I е 2., х(Ч), хО+1) е X, и(0 е 1)= Кт,у(0 е У =КР, Ъ - множество всех целых чисел.

Каждая система Е = (Р, О, Н) индуцирует естественное понятие отображения вход-выход и2* -> У2*, которое каждой

последовательности входных сигналов ставит в соответствие последовательность выходных сигналов.

Обобщение теории линейных систем над полем на случай систем над кольцами приводит к описанию основных понятий с помощью модулей.

Для сравнения свойств модели и оригинала, а также различных моделей между собой рассматриваются вопросы эквивалентности систем.

В этой главе, отталкиваясь от формализованной проблемы моделирования динамических процессов, осуществлен переход к проблеме существования и построения динамического представления для системы типа "вход-выход". В теории систем эта проблема известна как задача реализации.

Пусть задано некоторое отображение вход-выход Г (являющееся 11-гомоморфизмом, Я - кольцо). Линейная система I над кольцом Я называется реализацией отображения вход-выход £ если отображение вход-выход системы I совпадает с £ т.е. если

£ = Г-

Содержание задачи реализации состоит в следующем:

для заданного отображения вход-выход Г, ставящего в соответствие последовательности входных сигналов из Я-модуля и последовательность выходных сигналов из Я-модул я У, построить систему I такую, что Ег = Г.

Для свободного случая (отображения системы представимы матрицами соответствующих размеров) построение системы £ эквивалентно нахождению тройки матриц (Р, С, Н) таких, что

Б: X X, в: и X, Н: X У, (2

где X - модуль состояний системы.

Для свободного случая также известно, что задание отображения вход-выход эквивалентно заданию бесконечной последовательности матриц размера рхт (и = У=11р):

{АЬА2,... }. (3

Тогда для матриц последовательности (3) и для матриц реализации выполняется соотношение

А( = НБ'"^, (1 = 1,2,...). (<

Для линейных систем над полем имеет место критерий реализуемости, который состоит в следующем:

последовательность матриц (3) реализуема тогда и только тогда, когда она рекуррентна, т.е. когда существует такое г и такие коэффициенты ... , рг е К, что

¡-I

Для детерминированных систем алгебраический теоретико-модульный подход к проблеме позволяет получить алгоритмы вычисления конечномерных реализаций. Далее в работе приведен обзор методов решения задач точной реализации.

Для систем, подверженных воздействию "шумов", этот подход не дает удовлетворительных результатов. Поэтому после анализа основных источников "зашумления" линейных динамических систем формулируется проблема приближенного моделирования, которая тесно связана с задачей идентификации систем.

Реальные системы существуют в условиях большого количества случайных факторов, источниками которых являются воздействия внешней среды, а также ошибки, шумы и отклонения различных величин, возникающие внутри системы. Все эти факторы приводят к несогласованности между моделью и измерениями.

Идеальной целью приближенного моделирования является низкая сложность модели при минимальной несогласованности. Однако, как правило, минимизация несогласованности на практике приводит к увеличению сложности, и наоборот, минимизация сложности приводит к увеличению несогласованности. Это приводит к необходимости поиска компромисса между минимизацией сложности и несогласованности.

В практических приложениях конкретные отображения сложности и несогласованности могут быть разными. Например, для систем вида (2) мерой сложности может служить размерность системы, а мерой несогласованности расстояние между вычисленной по формулам (4) и полученной в результате измерений последовательности матриц.

В заключительной части главы дается краткий обзор методов решения задач идентификации.

Вторая глава посвящена разработке комплекса моделей, методов и алгоритмов решения задач представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем.

В случае, когда множества входных и выходных сигналов являются конечномерными векторными пространствами над полем К, т.е. и = Кт, У = Кр, задача реализации может быть сформулирована таким образом: для заданной последовательности матриц размера рхш над полем К

{АЬА2,...} (6)

построить тройку матриц (Б, О, Н) над тем же полем К таких, что

А^НР-'С, (1=1,2,...), О

где для некоторого п (которое также нужно определить) Н - матрица размера рхп, Р - матрица размера пхп, в - матрица размера пхт. Введение ганкелевой матрицы отображения вход-выход

"А, - Ач ^

яая.(0 =

в случае систем над полями позволяет сформулировать следующий критерий реализуемости:

отображение Г реализуемо тогда и только тогда, когда существует целое п такое, что

гапкН„($) < п (5

для любых положительных г.

Задачу вычисления конечномерной реализации для систем над полем К решает алгоритм Б.Л.Хо. Этот алгоритм основан на факторизации ганкелевой матрицы НП(Т) на диагональную, левую и правую треугольные.

При машинной реализации этого алгоритма возникают трудности, связанные с бессмысленностью понятия бесконечной матрицы для машинного представления, а также с ограниченной точностью представления чисел в ЭВМ. Для преодоления этих трудностей в диссертации предложен численный алгоритм. Обозначим

е: =

матрица размера ш х п вида ^ если п < т,

Г г ^

матрица размера ш х п вида|^"_ т ^ если п > т, едини ч ная матрица т х п вида (I ^ если п = т,

где I" и О™ - соответственно единичная и нулевая матрицы размера тхп.

Доказана следующая теорема, дающая модификацию алгоритма вычисления конечномерной реализации, матрицы которой имеют канонический вид:

Теорема 1. Если для f существует конечномерная реализация и если соответствующая ганкелева матрица Н„{Т) имеет полный ранг, то это отображение реализуется тройкой (Р, О, Н), где

Н = Е^, (Ю)

(11)

и

ш = Г^А(ОТ1, еслиР<т Л) {[ЩтЖЩ®, еслир>ш' (13)

Для систем с шумом разрабатываются методы приближенного представления. В данной работе задача приближенной реализации рассматривается как обобщение задачи точной реализации на случай систем с шумом.

Таким образом, задача приближенной реализации в нашем случае формулируется так:

для заданной последовательности матриц размера рхш над полем Я

{г,, г2,... (14)

найти порядок п и построить тройку матриц (Б, в, Н) над Я таких, чтобы функция несогласованности НР'"'С; 1 = 1, 2, ..., И) между

наблюдаемой последовательностью матриц и системой £ = (Б, в, Н) принимала минимальное значение на множестве всех троек (Р, в, Н), где Е - матрица размера пхп, в - матрица размера тхп, Н - матрица размера пхр.

Далее в работе исследуются способы и свойства решения задачи приближенной реализации. Показано, что конкретный метод решения этой задачи зависит от формы представления системы, вида функции несогласованности, метода оценивания размерности системы, метода минимизации функции несогласованности и других факторов.

Наиболее предпочтительной для оценивания параметров является каноническая форма представления динамической системы:

Ор 0„

Ор .-Ah

h 0„

Ор -/У

G =

2 Р

Г АЛ А2

U,

Ор 1Р

Ор •AI

■з'р

Ор °р

-Д1

р/

(15)

где А], Аг, ... , Аг - матрицы размера рхт над полем R. Существование такого представление следует из критерия реализуемости, г и ßi, ß2> •••> ßr соответствуют аналогичным параметрам из соотношения рекуррентности (5). Преимущество канонической формы представления заключается в минимальности количества параметров, которые нужно оценивать.

Для канонической формы представления линейной динамической системы и квадратичной функции несогласованности задача оценивания параметров системы 2 ставится как задача минимизации функции несогласованности:

min i\\Z,-A,(,

(16)

где j|| - матричная евклидова норма, Л, вычисляются согласно (7). Если

выбрать в качестве оценок матриц Аь А2,..., Аг - матрицы Z|, Z2,..., Zr (г -порядок реализации), задача сводится к решению стандартной задачи оценивания параметров линейной регрессии:

N 2

min £IJZ-, -А,| , (]7)

ß,.....р.

решение которой можно получить из решения системы линейных алгебраических уравнений относительно аь..., аг:

±tr( ZZä.kZ? Ла, = Strcz^z;), (k = I,2.....г), (lg)

где tr X - след матрицы X, а, = -ßr-i+i-

Задача оценивания порядка системы ставится как задача минимизации функции Ф:

пйпФ(г, N, st). (19)

г

Один из распространенных способов оценивания порядка системы основан на вычисления финальной ошибки прогнозирования при использовании для оценивания параметров метода наименьших квадратов. Специальная критериальная функция в этом случае принимает вид

г , Vim+p)

VT Ч N-H + ~(m+p)r '

Для случая квадратичной функции несогласованности и канонической формы представления линейной динамической системы имеет место следующий алгоритм, который позволяет вычислить приближенную реализацию неточно заданного отображения вход-выход (импульсной характеристики).

В качестве исходных данных для этого алгоритма выступает последовательность матриц (И).

Оценивание порядка и параметров динамической системы по результатам измерений (14) можно осуществить следующими шагами:

1). Оценивание порядка и начальных приближений параметров системы. Для г = 1, 2, ... , L, где L < N/2 достаточно большое число, решается задача оценивания параметров системы в виде (17). Оценки параметров системы получаются из решения системы линейных алгебраических уравнений (18) относительно неизвестных аь а2, ... , аг. Для каждого г - 1, 2, ... , L вычисляется финальная ошибка прогнозирования по формуле (20). Оценка порядка системы п вычисляется по формуле

Ф(г, N, г) = min Ф(г, N, е). (21

2). Уточнение оценок параметров системы. Взяв в качестве начального приближения первые п членов последовательности (14) и решение системы (18) для г = г .решается задача оценивания параметров в виде (16). Для решения этой задачи используются численные методы минимизации функции (например, градиентные методы и т.п.) в окрестности начального приближения. Результатом реализации этого шага будут оценки А,, А2, ..., А, первых f членов последовательности и коэффициентов аг, ..., «г .

3). Вычисление матриц системы. Матрицы F, G, Н системы строятся с использованием формул (15).

Предложенный алгоритм вычисления приближенной реализации может применяться в различных модификациях. Эти модификации могут относиться к методологии оценивания порядка системы, параметров системы, начальных приближений системы и т.п.

Разработанные методы и алгоритмы точной и приближенной реализации линейных динамических систем воплощаются в соответствующем программном обеспечении.

Все компоненты программного обеспечения по реализации и идентификации линейных динамических систем, описываемых в данной работе, выполнены на языке Си. Программы построены по модульному принципу. Корректность работы модулей и программ проверялась на эталонных примерах.

В таблице 1 сведена информация о видах задач, решаемых программами.

Таблица 1

Название программы Решаемые задачи

точная реализация приближенная реализация уточнение реализации вычисление размерности многомерные системы

АКЛ + + +

ДВОЯКО +

АКШЗРТ + +

ЛКШРТА + + +

АКШРТО + + + +

В заключительной части главы рассматриваются способы использования методики формирования теоретико-системных математических моделей и связанные с ними вопросы оценивания импульсной характеристики системы по экспериментальным данным. Разработан метод вычисления матриц представления отображения "вход-выход" для ассимптотически устойчивой системы.

В третьей главе представлено описание результатов экспериментальной проверки моделей, методов и алгоритмов

представления данных контроля линейных динамических систем и применения их к решению различных практических задач.

В первом разделе на трех численных примерах проводится исследование эффективности разработанных методов и алгоритмов реализации и моделирования как скалярных, так и многомерных систем. Сначала рассматриваются идеальные сигналы, для которых вычисляются точные реализации. Затем для этих сигналов, искаженных шумами с отношение сигнал/шум не менее 10, вычисляются приближенные реализации. Рассмотрение этих примеров позволило сделать вывод о вычислительной эффективности разработанных методов реализации, позволяющих с достаточно высокой точностью восстанавливать как размерность, так и параметры (матрицы) динамических систем. В последнем примере, в котором моделирование системы проводилось на основе непосредственно данных "вход-выход", обнаружен эффект улучшения моделями результатов первичной обработки.

Следующие два раздела посвящены способам и результатам применения разработанных методов к решению некоторых задач анализа медико-технических и экологических систем.

Во втором разделе после формулировки общих принципов автоматизации анализа электрокардиограмм рассматривается проблема фильтрации электрокардиографических сигналов. Приведен алгоритм фильтрации, основанный на вычислении конечномерной системной реализации временного ряда ЭКГ-сигнала. Выходной сигнал фильтра вычисляется по формуле

z, =HF'-'G, (22)

где F, G, Н - матрицы приближенной реализации, размерность и параметры которой (коэффициенты матриц) должны быть определены из анализа временного ряда yi (i=l ,2,...).

В последнем разделе этой главы после краткой характеристики экологических систем и их математических моделей проводится анализ процессов исследования природных систем как объектов автоматизации и моделирования. Проведенный анализ позволяет выбрать в качестве математической модели динамическую систему. Этот выбор в свою очередь позволяет с единых позиций подойти к решению сразу нескольких задач, а именно, к задачам имитации поведения экосистемы, прогнозирования ее поведения, а также к проблеме управления экосистемой.

Данные консольного сброса в реку Бия (Алтайский край) были предоставлены Комитетом по экологии г. Бийска Алтайского края и содержат информацию по 18 компонентам загрязнения воды в период с начала 1992 г. до начала 1996 г. С помощью моделей, построенных на основе вычисления приближенных реализаций с использованием программной системы "АКЯОРТО" были рассчитаны прогнозируемые значения загрязняющих веществ в консольном сбросе.

Для формирования моделей использовались данные за период с начала 1992 г. до середины 1995 г. Прогнозируемые значения рассчитывались на период со второй половины 1995 г. по начало 1996 г. Рис. 1 содержит зависимость от времени содержания в консольном сбросе азота аммонийного для одной из моделей в сравнении с экспериментальными данными.

Азот аммоний

14

12

10

-№альные данные

-Модель Ий

- - Прогноз

0 -

14.01.92

1го1.эз

11.0134

10.01.95

09.01.96

Рис. 1. Динамика изменения содержания азота аммонийного в консольном сбросе в р. Бия.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) Проведен анализ задачи реализации линейных динамических систем. На основе алгебраического подхода к проблеме исследованы задачи как точного, так и приближенного моделирования процессов и явлений на основе представления систем в пространстве состояний. Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с "шумом".

2) На основе алгебраического теоретико-модульного подхода разработаны методы решения задач точной реализации отображения вход-выход.

3) Выполнены численная и программная реализации алгоритма Б.Л.Хо.

4) Разработана модификация алгоритма вычисления конечномерной реализации заданного отображения вход-выход.

Заключение

5) Разработаны методы решения задач приближенной реализации для систем с шумом. Приведены алгоритмы вычисления приближенной реализации, методы и алгоритмы оценивания размерности и параметров системы.

6) Создан комплекс программ для решения задач точной и приближенной реализации. Программное обеспечение выполнено в виде ряда программ, позволяющих автоматизировать все этапы решения задачи реализации. Работоспособность и надежность программ проверена на тестовых примерах.

7) Предложен подход к автоматизированному моделированию с использованием методики формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.

В) Разработаны методы анализа временных рядов на основе вычисления конечномерных реализаций. Практическая применимость указанных методов проиллюстрирована на примерах решения задач фильтрации электрокардиографических сигналов, анализа и прогноза содержания загрязняющих веществ в консольном сбросе в р. Бия.

Публикации по теме диссертации

1. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. - 1991,№10. -с.56-63.

2. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. - 1991, №6. - с.107-112.

3. Пушков С.Г. Вычисление приближенной реализации для случая квадратичной функции несогласованности // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов / Сборник докладов

четвертой международной конференции. Том 2. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997. - с.64-66.

4. Пушков С.Г. Методы фильтрации электрокардиографических сигналов, основанные на системной реализации временных рядов // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов / Сборник докладов четвертой международной конференции. Том 2. -Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997. - с.67-68.

5. Пушков С.Г. О представлении данных контроля линейных динамических систем // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов / Сборник докладов четвертой международной конференции. Том 2. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997. -с.69-71.