автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгебраические методы представления динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализации

На правах рукописи

ПУШКОВ Сергей Григорьевич

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ: ТОЧНАЯ И ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИИ

05.13.01 -системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Томск - 2004

Работа выполнена в Бийском технологическом институте (филиале) Алтайского государственного технического университета имени И.И. Ползунова.

Официальные оппоненты -

доктор технических наук, профессор

доктор технических наук, профессор

доктор физико-математических наук

Оскорбин Николай Михайлович Параев Юрий Иванович Шарый Сергей Петрович

Ведущая организация:

Институт динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск)

Защита состоится:

7 октября 2004 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться:

8 научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан:

« »

августа 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /"} д.т.н., профессор

В. И. Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение процессов и явлений на основании данных наблюдения за поведением объекта делает необходимым представление существенных аспектов его процесса функционирования в удобной для исследований форме. Сама форма представления модели объекта зависит от ее назначения и областей потенциального применения. Среди таких областей можно выделить интерпретацию прошлого и прогнозирование будущего поведения объекта, а также решение задач управления.

Для целей исследования динамики различных процессов и управления ими наиболее удобными оказываются модели, основанные на. наблюдении входных и выходных сигналов объекта и представлении его поведения в пространстве состояний. Центральным понятием при таком подходе является понятие динамической системы. При этом нужно учитывать, что модели, полученные на основе наблюдений, очень часто являются неточными моделями, в них, как правило, присутствует возмущающий фактор.

Модели, заданные в пространстве состояний, являются естественной формой представления для динамических систем теории управления, в особенности теории автоматического управления (П. Деруссо, Г. Розенброк, X. Квакернаак, М. Уонэм, В. Стрейц, Ф.Л. Черноусько и др.). Однако метод пространства состояний оказывается применимым и во многих других случаях.

Важной проблемой системного анализа и моделирования является проблема исследования адекватности модели изучаемому объекту или явлению. Традиционный подход к проверке степени адекватности моделей реальным явлениям построен на проведении контрольных экспериментов и использовании критериев, основанных на сравнении временных рядов, наблюдаемых на объекте и полученных с использованием модели. К экспериментальным данным, на основании которых была построена модель, предъявляется требование их воспроизводимости.

Данные контроля медико-биологических, экологических и многих технических систем очень часто оказываются невоспроизводимыми или трудновоспроизводимыми. Обеспечение требований адекватности моделей изучаемым объектам или явлениям делает актуальными теоретическое обоснование использования методов их построения и формулировку соответствующих критериев реализуемости.

Кроме того, следует иметь в виду, что во многих приложениях несогласованность между моделью и экспериментальными данными возРОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА

никает не только по причине случайности или шума измерения, а благодаря сознательному использованию модели, структура которой не позволяет охватить сложность наблюдаемого явления. Поэтому становится актуальной проблема разработки таких методов построения приближенных моделей, для которых несогласованность между моделью и экспериментальными данными может иметь не только статистическую, но и иную интерпретацию.

Эффективным методом исследования линейных систем управления являются алгебраические методы. Алгебраические методы для исследования различных проблем теории управления использовались и развивались Р. Калманом, Л. Заде, Р. Броккетом, А. Танненбаумом, Ю.И. Параевым, А.И. Кухтенко, Е.М. Смагиной, В.Н. Буковым, И.В. Гайшуном, ЕА Перепелкиным, Б.Т. Поляком и многими другими.

Задача представления информации об объекте тесно связана с проблемой реализации динамических систем. Как замечено М. Арби-бом, на современном этапе развития теории управления центральную роль играют три понятия: достижимость, наблюдаемость и реализация. Наиболее изящно взаимосвязь этих понятий проявилась в калма-новском подходе к линейным системам, основанном на теории модулей. Проблема реализации является одной из основных задач не только теории управления, но и математической теории систем. Решение этой задачи, которое приходится осуществлять на самых ранних этапах работы над исследуемым объектом, позволяет представить в пространстве состояний известное соотношение между входными и выходными сигналами объекта.

Фундаментальные исследования проблемы реализации в теории систем связано с именами М. Месаровича, Р. Калмана, С. Эйленберга, Э. Зонтага, Дж. К. Виллемса и др.

Основное внимание в данной работе будет уделяться линейным стационарным динамическим системам с дискретным временем. В алгебраическом подходе к теории линейных систем, который восходит к работам Р. Калмана, множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов системы представляются модулями над некоторым кольцом R. При этом задача реализации эквивалентна построению тройки R -линейных отображений (F,G,H). Этот подход развивался далее

С. Эйленбергом, Й. Рушало, П. Фурманом, М. Хазенвинкелем, Э. Зон-тагом, Б. Вайменом, Р. Айсингом, М. Хаутусом и другими.

В случае систем над полями теория реализации наиболее развита (Р. Калман, БЛ. Хо, П. Зейгер, Дж. Риссанен, Л. Сильверман,

Н.И. Осетинский, П. Фурман и др.). Дальнейшее развитие методологии реализации идет по пути обобщения теории реализации для систем над полями на случай систем над кольцами (Й. Рушало, Б. Ваймен, С. Эй-ленберг, Э. Камен, Э. Зонтаг, Г. Конте, А. Пердон, Э. Эмре, П. Карго-некер, Р. Айсинг, М Хаутус и др.) и другими алгебраическими системами (Дж. Гоген, Б.Д.О. Андерсон, М. Арбиб, Э. Мейнс, Б. де Шаттер,

B. Блондель, Б. де Мур и др.), а также по пути разработки эффективных вычислительных процедур для систем над числовыми полями (Л. де Джонг, Дж. К. Виллемс, О. Босгра, М. ван Барель, А. Бултхил, И. Гоберг, М. Кашоик, Л. Лерер, М. Рави, Дж. Розенталь и др.).

Указанный выше подход касается решения задачи вычисления точной реализации, т.е. распространяется только на те случаи, когда наблюдаемые входные и выходные сигналы системы заданы точно. Для систем, которые подвержены воздействиям различных искажающих факторов либо функционирующих в условиях неопределенности, этот подход не может давать удовлетворительных результатов. В этих случаях чаще всего используются классические методы идентификации, применимость которых возможна только после того, как уже решена проблема выбора формы представления. Для изучения неточно определенных систем используются также другие подходы, такие как интервальный анализ (Н.А. Хлебалин, Ю.И. Шокин, А.Б. Куржанский,

C.П. Шарый, А.В. Лакеев, Е.М. Смагина, СП. Соколова, Д.В. Сперанский и др.), нечеткие множества и нечеткая логика (Л. Заде, А.Н. Авер-кин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун, Дж. Клир, СН. Васильев, Б.Н. Петров и др.).

Анализ сложившегося к настоящему моменту положения в области теории реализации и идентификации динамических систем показал, что существующие методы либо применимы для очень узкого класса систем, либо соответствующие алгоритмы слабоструктурированы и поэтому оставляют открытым вопрос их численной реализации. Несмотря на обилие различных подходов и методов, можно констатировать, что имеется необходимость в разработке методологии, которая бы решала задачу реализации динамических систем с единых позиций, как для детерминированных систем, так и для систем с искажениями и неопределенностями. Кроме того, к настоящему времени недостаточно исследованы вопросы использования теоретико-системных моделей для решения задачи прогнозирования будущего поведения системы.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию проблемы построения моделей с пространством состояний на основе данных о поведении вход-выход (импульсной характеристике, отобра-

жении вход-выход и т.п.) динамических систем.

Целью диссертационной работы является

1) развитие общей методологии реализации (представления в пространстве состояний) динамических систем, применимой как для детерминированных систем, так и для широкого класса неточно и нечетко определенных систем;

2) получение эффективных методов и алгоритмов реализации в пространстве состояний для класса линейных стационарных динамических систем с дискретным временем;

3) для неточно заданных отображений вход-выход разработка теории и методов приближенной реализации;

4) распространение теории и методов реализации на класс динамических систем с интервальной неопределенностью; постановка задач реализации, получение критериев реализуемости, разработка методов вычисления реализаций.

Методы исследования. В качестве методической основы для разработки и исследования моделей и методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем. Для получения результатов используются методы линейной и абстрактной алгебры, матричного анализа, теории нечетких множеств, интервального анализа. При разработке методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации применяются методы математического программирования. Для построения теоретико-системных моделей используются методы системного анализа.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной

работе, состоит в следующем:

1) Для линейных стационарных динамических систем с дискретным временем сформулированы и доказаны утверждения, которые представляют методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения. Получены модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации. Разработаны численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме БЛ. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

2) Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний, являющейся обобщением теоремы Эйленберга.

3) Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с «шумом». Получены методы решения задач приближенной реализации, основанные на минимизации функции несогласованности для оценивания параметров системы и специальной критериальной функции для оценивания размерности системы. Разработаны численные методы и алгоритмы вычисления приближенной реализации.

4) Для интервальных линейных стационарных динамических систем проанализированы возможные формулировки задачи реализации и пути ее решения. Сформулирован и доказан критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Получен метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем.

5) Введено понятие общей нечеткой системы относительно ^ нормы. Для данного класса систем сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Проанализировано свойство нечеткой линейности нечетких отношений и исследованы свойства нечетких линейных систем.

6) На основе разработанных методов и алгоритмов точной и приближенной реализации развита методика представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем. На совокупности тестовых примеров и реальных экспериментальных данных показаны алгоритмическая эффективность методов и их применимость для решения прикладных задач.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что разработанные методы представления динамических систем в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления технических, медико-биологических, экологических и других систем.

Положения, выносимые на защиту:

1) Модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения вход-выход линейной стационарной динамической системы с дискретным временем.

2) Численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме БЛ. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

3) Теорема об отображении вход-выход для системы с проектив-

ным конечно-порожденным модулем состояний (обобщение теоремы Эйленберга).

4) Развитие теории, методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации.

5) Методика формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.

6) Методы моделирования временных рядов системой с пространством состояний, основанные на вычисления конечномерных реализаций.

7) Формализация задач реализации для линейных динамических систем с интервальной неопределенностью. Критерии алгебраической реализуемости для интервальных систем.

8) Метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных интервальных динамических систем.

9) Развитие общей теории нечетких систем. Теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции для общей нечеткой системы.

10) Формализация понятия нечеткой линейности и получение свойств нечетких линейных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции «Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов» (Барнаул, 1997); на краевых конференциях по математике «Математики Алтайского края» (Барнаул, 1998, 1999, 2000, 2001, 2003); на научной сессии Алтайского отделения МАНЭБ «Устойчивое развитие конверсируемых регионов Сибири» (Бийск-Барнаул, 1999); на городских научно-практических конференциях (Бийск, 1999, 2000); на семинаре «Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления» (Новосибирск, 2001); на Международной научно-технической конференции «Измерения, контроль, информатизация» (Барнаул, 2002, 2003); на IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2002); на Международном совещании по интервальной математике и методам распространения ограничений (Новосибирск, 2003); на Второй Международной научно-технической конференции «Технологическая системотехника» (Тула, 2003); на научно-техническом семинаре факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (Томск, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 31 работа, в том числе одна монография, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 330 страниц, в том числе 3 таблиц, 24 рисунка. Список литературы включает 309 наименований, приложения изложены на 20 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель, задачи, объект и методы исследования, научная новизна и практическая значимость работы, указаны положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика работы.

В первой главе излагаются основные теоретико-системные понятия, и вводится в рассмотрение объект исследования — линейные динамические системы. В данной работе динамическая система - это строгое математическое понятие. В первом параграфе это понятие рассматривается на теоретико-множественном уровне. Общая система вводится как отношение на множествах. Показано, что даже на самом общем теоретико-множественном уровне описания систем любой системе вход-выход можно поставить в соответствие ее описание с использованием объекта глобальных состояний. Линейные системы вводятся путем наделения объектов общей системы дополнительной структурой. При определении системы, линейной над кольцом, объекты системы наделяются модульной структурой/ Для систем над полями линейность системы вход-выход эквивалентна линейности глобальной реакции системы.

Второй параграф первой главы посвящен исследованию понятия линейной динамической системы. Здесь приведена информация о различных подходах к формулировке этого понятия. Основной объект исследования - линейная стационарная динамическая система с дискретным временем над полем вводится с использованием калмановско-го подхода к определению динамической системы.

Определение 1.11 Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с т входами и р выходами над полем

К называется сложный объект £ = (Р,С,Я,./) , где

есть К -линейные отображения (К -гомоморфизмы), X - векторное пространство над полем К (пространство состояний). Динамическое поведение системы £ определяется следующими уравнениями:

*(i + I) = F*(f) + Ga(0, 0

y(t) = Hx(t) + Ju(t). где /eZ, x(t),x(t + \)&X, u(t)eU = Km, y{t)zY-Kp . Размерность пространства состояний X ( dim X ) называется размерностью системы £ (dimZ ).

Каждая система "L = (F,G,H,J) индуцирует естественное понятие отображения вход-выход fz : Uz" Yz* , которое каждой последовательности входных сигналов ставит в соответствие последовательность выходных сигналов.

Далее в этом параграфе рассматриваются свойства линейных динамических систем, связанные с их идентифицируемостью, управляемостью и устойчивостью. Все отображения К -линейных систем пред-ставимы матрицами соответствующих размеров из поля К, а критерии достижимости и наблюдаемости могут быть выражены условиями на ранги специальных матриц. Устойчивость линейных стационарных динамических систем полностью определяется свойствами матрицы F.

В третьем параграфе рассматриваются линейные системы над коммутативными кольцами. Рассмотрение систем над кольцами является естественным шагом дальнейшего обобщения концепции линейных систем, важным для многих практических приложений. Обобщение теории линейных систем над полями на случай систем над кольцами приводит к описанию основных понятий с помощью модулей.

Определение 1.15. Пусть R - коммутативное кольцо. R-линейная система Е задается следующими данными: R -модуль U (модуль входных сигналов), R -модуль X (модуль состояний), R -модуль Y (модуль выходных сигналов) и R -гомоморфизмы:

F:X-*X, G:U X, H:X->Y,

Если «(*) - сигнал, поступивший в систему в момент времени I, х(() - ее состояние в этот момент, то в момент времени 7 + 1 состояние системы и выходной сигнал определяются формулами (1).

В дальнейшем для обозначения Я -линейной системы будем пользоваться записью Т, = (и,Х7У',Р,С,Н^) или, если модули и , X и У не существенны в данном контексте, то более короткой записью -

Использование для описания систем над коммутативными кольцами аппарата формальных степенных рядов позволяет представить отображение вход-выход Я-линейной системы (Я - коммутативное кольцо) в виде -гомоморфизма:

Л:С/[[г]]->У[И].

Свойства достижимости и наблюдаемости Я -линейных систем зависят сюръективности и инъективности пары специальных Я-гомоморфизмов. В заключительной части параграфа введены понятия параллельной и последовательной композиции систем.

Четвертый параграф первой главы посвящен общему анализу понятий моделирования, изоморфизма и эквивалентности систем. На теоретико-множественном уровне рассмотрения для класса линейных динамических систем понятие эквивалентности систем можно ввести различными способами. Для класса Я -линейных систем с пространством состояний системы различаются с точностью до изоморфизма их пространств состояний. У изоморфных систем отображения вход-выход одинаковы.

В заключительной части главы приведены различные способы представления линейных динамических систем.

Вторая глава диссертации посвящена анализу проблемы моделирования динамических систем. Исследуется взаимосвязь между задачами моделирования, реализации и идентификации.

В первом параграфе, осуществляя формализацию основных понятий моделирования на основе наблюдений и измерений, определены такие понятия, как модель, измерение, а также ряд понятий, связанных с объяснением моделью наблюдений и опровержением модели измерениями. Модели могут иметь различные формы представления.

С проблемой реализации сталкиваются тогда, когда, имея в распоряжении систему, определенную с точки зрения своего внешнего поведения во времени, пытаются наделить ее подходящей внутренней структурой. Во втором параграфе, посвященном общей теории реали-

зации, проведен анализ задачи реализации динамических систем. Проанализированы как общесистемные, так конкретно-содержательные аспекты проблемы.

Теория реализации для класса линейных динамических систем достигла своего наибольшего развития с использованием алгебраического теоретико-модульного подхода. Третий параграф второй главы посвящен алгебраической теории реализации. Здесь приведены содержательные формулировки задачи реализации для систем над полями и коммутативными кольцами.

Определение 2.2. Пусть задано некоторое отображение вход-выход / (являющееся R -гомоморфизмом, R - кольцо). Линейная система Е над кольцом R называется реализацией отображения вход-выход , если отображение вход-выход системы совпадает с , т.е. если

Для систем над кольцами содержание задачи реализации состоит в следующем:

для заданного отображения вход-выход / , отображающего последовательность входных сигналов из R-модуля U в последовательность выходных сигналов из R -модуля У, построить систему Е такую, что = /.

Согласно определению 1.15, построить систему Е над кольцом R -это означает определить четверку R -гомоморфизмов

таких, что для любых выполняется

Jc(/ + l) = Fx(0 + Gи(0.

Очевидно, что данная задача предполагает также построение R -модуля состояний X При исследовании проблемы реализации над кольцами оказывается, что вся информация, необходимая для определения модуля состояний X системы Е, содержится в тройке R -гомоморфизмов (В,0,Л). Поэтому при изложении теории реализации Л -линейных систем часто ограничиваются рассмотрением систем с

Для случая, когда и и У конечно порождены и свободны, т.е. £/ = /?'", У = (в этом случае отображения системы можно представить матрицами соответствующих размеров), построение системы Е эквивалентно нахождению четверки матриц (или тройки

матриц (F,G,H)) над R таких, что

F:Л'->Л^ Н-.Х-^Я", J^.RЯ^R'' (2)

где X - модуль состояний системы.

Практический интерес представляют системы с конечной памятью (конечномерные системы), поскольку только они являются физически реализуемыми. Поэтому нашей задачей будет построение конечномерных реализаций. Таким образом, для модуля X мы потребуем, чтобы он также являлся конечнопорожденным и свободным

Для свободного случая также известно, что задание отображения вход-выход эквивалентно заданию бесконечной последовательности матриц размера

{Д,,Л„Л2,...}, (3)

для которой, если имеем

где - входная и - выходная последова-

тельности. Тогда для матриц последовательности (3) и для матриц реализации имеют место соотношения

Таким образом, система реализует отображение

, заданное последовательностью (3), если выполняются соотношения (4).

Для систем, линейных над полями и коммутативными кольцами, имеет место следующий критерий реализуемости:

последовательность матриц (3) реализуема тогда и только тогда, когда онарекуррентна, т.е. когда существует такое г и такие коэффициенты Д,...,Д.€/?, что

Определение 2.3. Реализация отображения вход-выход / , имеющая минимальную размерность (т.е. минимальную размерность модуля состояний) называется минимальной реализацией. Реализация Т, отображения / называется канонической тогда и только тогда, когда она достижима и наблюдаема.

Определение 2.4. Частичной реализацией заданной последовательности матриц (3) называется система, реализующая конечную часть этой последовательности. Для такой реализации соотношения вида (4) должны выполняться для всех значений i из конечного интервала. Минимальной частичной реализацией назовем частичную реализацию минимальной размерности.

Для детерминированных систем алгебраический теоретико-модульный подход к проблеме позволяет получить алгоритмы вычисления конечномерных реализаций. В четвертом параграфе приведен краткий обзор методов решения задач точной реализации.

Для систем подверженных воздействию «шумов», этот подход не дает удовлетворительных результатов. Поэтому после анализа основных источников «зашумления» линейных динамических систем (пятый параграф) формулируется проблема приближенного моделирования, которая тесно связана с задачей идентификации систем (шестой параграф).

Реальные системы существуют в условиях влияния большого количества случайных факторов, источниками которых являются воздействия внешней среды, а также ошибки, шумы и отклонения различных величин, возникающие внутри системы. Комбинированный эффект таких влияний принято называть помехой, возмущением или шумом. В связи с этим модель, связанная с реальными данными, должна учитывать не только соотношения между своими переменными (входными и выходными сигналами, состояниями), но также и шум, существующий в системе. Таким образом, вместо рассматриваемых нами ранее полностью детерминированных систем, мы приходим к рассмотрению систем с шумом. Влияние шума, а также ряд других факторов, связанных собственно с процессом моделирования, приводят к несогласованно -сти между моделью и измерениями.

Идеальной целью приближенного моделирования является низкая сложность модели при минимальной несогласованности. Однако, как правило, минимизация несогласованности на практике приводит к увеличению сложности, и наоборот, минимизация сложности приводит к увеличению несогласованности. Это обусловливает необходимость поиска компромисса между минимизацией сложности и несогласованности.

В практических приложениях конкретные отображения сложности и несогласованности могут быть разными. Например, для систем вида (2) мерой сложности может служить размерность системы, а мерой несогласованности - расстояние между вычисленной по формулам (4) и полученной в результате измерений последовательности матриц.

В заключительной части главы дается краткий обзор методов решения задач идентификации, и анализируются некоторые соотношения между задачами реализации и идентификации.

В последующих двух главах излагается и развивается теория точной реализации. В третьей главе представлены теория и методы реализации систем над полями:

Первый параграф посвящен изложению основных положений теории реализации систем над полями. В случае, когда множества входных и выходных сигналов являются конечномерными векторными пространствами над полем К , т.е. I/ = К" , У = Кр, отображению вход-выход / можно поставить в соответствие импульсную последовательность матриц, а задача реализации может быть сформулирована таким образом:

для заданной последовательности матриц размера рхт над полем К

(6)

построить тройку матриц (¥,0,И) над тем же почем К таких, что

где для некоторого п (которое также нужно определить) Н -матрица размера рхп, В - матрица размера пк.п, Н -матрица размера пх.т.

Задание отображения вход-выход / эквивалентно заданию бесконечной в двух направлениях блочной матрицы

которая называется ганкелевой матрицей отображения / . Кроме того, будем рассматривать ганкелевы блоки размера <]'х<]'.

На В{/) можно ввести оператор сдвига <г следующим образом:

Введение ганкелевой матрицы отображения вход-выход в случае систем над полями позволяет сформулировать следующий, по сравнению с (5) более удобный с вычислительной точки зрения, критерий реализуемости:

отображение / реализуемо тогда и только тогда, когда существует целое п такое, что

гапк £„.(/)< и

для любых положительных г.

Далее в работе анализируются вопросы классификации реализаций заданного отображения вход-выход. Установлено, что для систем над полями все минимальные реализации являются каноническими и изоморфными друг другу. Первый параграф завершается классификацией методов и алгоритмов минимальной реализации.

Задачу вычисления конечномерной реализации для систем над полем К решает алгоритм Б.Л. Хо, которому посвящен второй параграф. Этот алгоритм, являющийся одним из первых алгоритмов реализации, сыграл чрезвычайно важную роль в теории систем и послужил основой для получения алгоритмов не только в случае систем над полями, но и более общих случаях систем над многими кольцами. Данный алгоритм основан на факторизации ганкелевой матрицы на диагональную, левую и правую треугольные.

При машинной реализации алгоритма Б.Л. Хо возникают трудности, связанные с бессмысленностью понятия бесконечной матрицы для машинного представления, а также с ограниченной точностью представления чисел в ЭВМ. Для преодоления этих трудностей в диссертации предложен численный алгоритм и описаны версии соответствующею программного обеспечения.

В третьем параграфе представлены результаты по разработке алгоритмов реализации, основанных на процедуре псевдообращения ганкелевой матрицы отображения вход-выход.

Обозначим

матрица размера тхп вида (/" если п<т,

г

е:

матрица размера тхп вида

К ог

, если и >т,

единичная матрица яхп вида (/"), если п = т,

где - соответственно единичная матрица размера и ну-

левая матрица размера

Для матрицы В псевдообратную к ней будем обозначать через

В*.

Пусть задано отображение вход-выход / и этому отображению соответствует последовательность матриц (6) размера рхт . Изучение свойств ганкелевых матриц, соответствующих отображению и последовательности матриц (6), и псевдообратных к ним позволило доказать следующую теорему.

Теорема 3.7. Если для / существует конечномерная реализация, то для подходящего это отображение реализуется тройкой (Р,0,Н), где

(8)

(9) (10)

При р^т матрица ¥ в реализации (8)-(10) имеет блочно сопровождающий вид:

Доказанная теорема позволяет построить алгоритм вычисления конечномерной реализации отображения вход-выход, заданного последовательностью матриц (6). Алгоритм 3.3.

Исходные данные. Последовательность матриц (6) размера рхт .

Шаг 1. Выбираем г, удовлетворяющее условию (5).

Шаг 2. Используя подходящий метод псевдообращения ганкеле-

вой матрицы определяем

Шаг 3. Вычисляем матрицы канонической реализации по формулам (8)-(10).

При практическом использовании алгоритма 3.3 число г целесообразно выбирать наименьшим, удовлетворяющим либо условию rank £„.(/) = rank B{f),

либо, если rafik/) найти не удается

rank Вп (/) = rank Bq.q (/),

где q И q такие, что

rank /?,.,(/) = rank B^4(J) = rank Bq.qH(f).

(F,G,H),^e

В последнем случае алгоритм 3.3 позволяет реализовать первые q + q' членов последовательности (6).

Доказаны также следующие взаимно-двойственные утверждения. Теорема 3.8. Если для / существует конечномерная реализация, то для подходящ! /г - ^ ■ (у^ ] В (/)]*, злизУется тройкой

С=В„(ле:',

для любых у = 1,2,...

Теорема 3.9. Если для / существует конечномерная реализация, то для подходящего г это отображение реализуется тройкой (Р,0,Н), где

для любых.

Используя теоремы 3.8 и 3.9 и следствия из них, можно строить различные модификации алгоритмов конечномерной реализации, подобных алгоритму 3.3.

В четвертой главе рассматриваются теория и методы реализации для систем над кольцами. Необходимость рассматривать линейные системы не только над полями, но и над кольцами, возникает в связи с существованием таких классов систем, как системы с задержками, цифровые системы и т.п.

В первом параграфе рассматриваются критерии реализуемости для систем над коммутативными кольцами.

Пусть / - отображение вход-выход, заданное своей последова-

тельностью матриц размера рхт над кольцом R:

{4,4,4,...}. (И)

Первый вопрос, который возникает в связи с задачей реализации этого отображения, состоит в следующем:

Каким условиям должна удовлетворять последовательность (11), чтобы / было реализуемо над R (т.е. чтобы существовала R-линейная система £, которая является реализацией У)?

Наиболее очевидный критерий реализуемости для линейных систем связан с рекуррентностью. Рекуррентность оказывается необходимым и достаточным условием реализуемости последовательности матриц отображения вход-выход.

Приведены также другие критерии реализуемости отображения вход-выход для систем над некоторыми частными случаями колец.

Основным методологическим приемом, используемым для исследования проблемы реализуемости над кольцом, является рассмотрение этой проблемы в расширении кольца.

Во втором параграфе главы 4 рассматриваются различные способы построения реализаций. Методы построения реализаций для систем над коммутативными кольцами основаны на том или ином способе факторизации отображения вход-выход. Для некоторых классов систем над кольцами проблема построения реализации может быть сведена к изучению систем над полями. Для систем над областями главных идеалов представлены алгоритмы вычисления канонической (т.е. достижимой и наблюдаемой) реализации. Различные модификации алгоритмов основаны на различных способах факторизации ганкелевой матрицы отображения вход-выход. Приведены иллюстрирующие примеры для систем над

В третьем параграфе изучаются свойства минимальности, достижимости и наблюдаемости реализаций над коммутативными кольцами. В отличие от систем над полями, минимальные реализации над кольцами в общем случае не являются изоморфными. Для систем над коммутативными кольцами изоморфными являются канонические реализации.

В четвертом параграфе введено понятие проективной системы как системы с проективным модулем состояний. Установлены некоторые свойства проективных систем. В частности, сформулированы и доказаны следующие утверждения:

Предложение 4.12. Пусть модули и и У фиксированы. Если существует морфизм из системы

2 = (и,Х,У-,Р, С,

в проективную систему

Е' = (и,Х',У;Г, С, Я',./),

то система Е проективна.

Предложение 4.13. Система с проективным модулем выходных сигналов является проективной.

Предложение 4.14. У проективной системы Е = (и,Х,У;Г, в. Я,У) модуль входных сигналов и является проективным.

Следующая теорема является обобщением известной теоремы Эйленберга для систем над свободными модулями на случай систем над проективными модулями.

Теорема 4.2. Пусть модуль и является проективным, - отображение вход-выход системы, у которой модуль состояний X является конечнопорожденным. Тогда f будет отображением вход-выход для системы с проективным конечнопорож-денным модулем состояний.

Проблематика, связанная с реализацией систем, подверженных искажениям («шуму») или с использованием неточной информации о системе представлена в пятой главе. Вводится в рассмотрение проблема приближенной реализации. После формулировки и общей характеристики задач приближенной реализации рассматриваются методы ее решения и некоторые практические вопросы, связанные с решением задач приближенной реализации.

Первый параграф посвящен постановке и общей характеристике задачи приближенной реализации. Для задачи приближенной реализации в качестве исходных данных будет выступать последовательность матриц

(12)

размера рхт с коэффициентами из полЖ,оторая является представлением отображения вход-выход (импульсной реакцией), полученным в результате измерений входных и выходных сигналов некоторой системы в моменты времени / = 1,2,... Решение задачи приближенной реализации ищется в виде конечномерной линейной стационарной динамической системы с дискретным временем, которая полностью

задается тройкой матриц (Р,в,Н) размера пхп, пх-т и рхп соответственно, с коэффициентами из поля К и динамическим поведением согласно уравнениям

х{( +1) = Рх{() + С?н(0,

Поскольку в данном случае мы будем иметь дело с приближенной моделью системы, то пусть задана некоторая функция несогласованности £(й'"") 'х^К'""") -*К, которая каждой последовательности

матриц (12) и последовательности

НР-'в, / = 1,2,...

ставит в соответствие некоторое число, означающее меру несогласованности между наблюдениями (измерениями) и моделью.

Тогда задачу приближенной реализации в нашем случае можно сформулировать так:

для заданной последовательности матриц (12) размера рхт над полем К найти размерность п и построить тройку матриц (Б,0,Н) над К таких, чтобы функция несогласованности НР'Л0\ / = 1,2,...) между наблюдаемой последовательностью матриц и системой Т. = (Р,С,Н) принимала минимальное значение на множестве всех троек (F, G, Н), где F - матрица размера их л, G - матрица размера пит, Н - матрица размера рхп.

Далее в работе исследуются способы и свойства решения задачи приближенной реализации. Показано, что конкретный метод решения этой задачи зависит от формы представления системы, вида функции несогласованности, метода оценивания размерности системы, метода минимизации функции несогласованности и других факторов.

Во втором параграфе главы 5 рассматривается задача оценивания параметров приближенной реализации для случая, когда задана размерность системы п. Количество и набор оцениваемых параметров зависят от формы представления динамической системы.

Рассмотрим следующую форму представления динамической системы:

/•■ =

-А', -/*Я ... -Д,

л

С= ,.2 ,Я = ££,

где - матрицы размера над по-

лем

Определение 5.1. Представление (13) будем называть канонической формой представления системы Е, г будем называть порядком системы Б =

Легко заметить, что порядок г системы в канонической форме и ее размерность п связаны соотношением

Заметим также, что на практике, как правило, мы имеем дело не с бесконечным представлением отображения вход-выход (12), а с конечной последовательностью матриц

Таким образом, для канонической формы представления динамической системы задачу оценивания параметров линейной динамической системы на основе последовательности (14) можно сформулировать так:

для заданной последовательности матриц (14) найти матрицы А1,Аг,...,Аг и коэффициенты Д,/?2,...,Д. так, чтобы функция несогласованности е(р:,-А,1; / = 1,2,...,ЛГ) принимала минимальное зна-

Для канонической формы представления линейной динамической системы и квадратичной функции несогласованности задача оценивания параметров системы ставится как задача минимизации функции несогласованности:

п = гр.

(14)

чение.

где || Ц - матричная евклидова норма, А1 вычисляются согласно (7). Если в качестве оценок матриц А^,А2,...,АГ выбрать матрицы Z1,Z2,...,Z, (г - порядок реализации), то задача сводится к следующей:

^¿[¿"Л;"2'! ' (16)

Определение 5.2. Будем называть задачу (16) упрощенной задачей оценивания параметров приближенной реализации с квадратичной функцией несогласованности. Задача (15) будет называться полной задачей оценивания параметров приближенной реализации.

Пусть Сг А - след матрицы А. Тогда относительно решения упрощенной задачи оценивания параметров приближенной реализации имеет место следующий результат.

Предложение 5.1. Решение упрощенной задачи оценивания параметров приближенной реализации с квадратичной функцией несогласованности (16) удовлетворяет системе г линейных алгебраических уравнений относительно

I

I

= £tr(ZMZ/), к = 1,2,...,г.

(17)

Повышения качества оценок параметров приближенной реализации можно достигнуть решением полной задачи (15) в окрестности решения упрощенной задачи. Для этого можно использовать численные методы поиска локального минимума (например, метод покоординатного спуска) функции несогласованности в окрестности оценок

Третий параграф посвящен вопросам оценивания размерности приближенной реализации. Задача оценивания порядка системы ставится как задача минимизации функции Ф:

min Ф(r,N,sr).

Рассматриваются различные способы оценивания порядка линейной

динамической системы.

При использовании для оценивания параметров метода наименьших квадратов одним из распространенных способов оценивания порядка является способ, основанный на вычислении финальной ошибки прогнозирования. Для многомерных систем специальная критериальная функция принимает вид •

М + 1 + {(т + р)г

<$>{r,N,er,m,p) =

N-l-{(m + p)r

(18)

где г, т и р - порядок и размерности пространств входных и выходных сигналов соответственно.

В четвертом параграфе пятой главы обсуждаются некоторые теоретические и практические вопросы решения задач приближенной реализации.

В пятом параграфе представлены алгоритмы вычисления приближенной реализации. В частности, для многомерных систем для случая квадратичной функции несогласованности имеет место следующий алгоритм, который позволяет вычислить приближенную реализацию неточно заданного отображения вход-выход (импульсной последовательности матриц).

Алгоритм 5.3.

Исходные данные. Последовательность матриц размера рхт с коэффициентами из поля являющаяся представлением некоторого отображения вход-выход f :

Шаг 1. Оценивание порядка и начальных приближений параметров системы. Для г -\,2,...,L, где L<N/2 - достаточно большое число, решаем упрощенную задачу оценивания параметров системы в виде (16). Оценки параметров системы будут получаться из решения системы линейных алгебраических уравнений (17) относительно неизвестных Для каждого вычисляем финальную ошибку прогнозирования по формуле (18). Оценку порядка системы вычисляем по формуле

Ф(r,N,er,т,р) = min <&{k,N,sk,т,р).

Шаг 2. Уточнение оценок параметров системы. Взяв в качестве начального приближения первые г членов последовательности (19) и решение системы (17), решаем полную задачу оценивания параметров

в виде (15). Для решения этой задачи используются численные методы минимизации функции (например, градиентные методы, метод поко-ордииатиого спуска и т.п.) в окрестности начального приближения. Результатом реализации этого шага будут оценки Л,, Аг, ..., Аг первых членов последовательности и коэффициентов

Шаг 5. Вычисление матриц системы. Матрицы F, О, Н системы строим следующим образом:

Применение различных видов функций несогласованности, методологий оценивания порядка системы и выбора начальных приближений, методов минимизации функции несогласованности будет порождать различные модификации алгоритмов приближенной реализации многомерных линейных динамических систем.

Представленные методы и алгоритмы допускают численную и программную реализации. На их основе разработан комплекс программ для решения задач точной и приближенной реализации.

Работоспособность и эффективность предложенных методов и алгоритмов проверялась на числовых примерах (шестой параграф главы 5). При проведении численных экспериментов исследовались как скалярные, так и многомерные системы. Сначала рассматриваются идеальные сигналы, для которых вычисляются точные реализации. Затем для этих сигналов, искаженных шумами с отношением сигнал/шум не менее 10, вычисляются приближенные реализации. Рассмотрение этих примеров позволило сделать вывод о вычислительной эффективности разработанных методов реализации, позволяющих с достаточно высокой точностью восстанавливать как размерность, так и параметры (матрицы) динамических систем.

Проблеме моделирования пространства состояний посвящена глава 6. В данном случае задача моделирования рассматривается как задача построения модели с пространством состояний непосредственно на основании данных измерений входных и выходных сигналов системы. Главное отличие этой задачи от рассмотренных в главах 3-5

задач реализации заключается в том, что в данном случае у нас нет ни заданного отображения вход-выход, ни импульсной характеристики. Здесь рассматриваются также некоторые общеметодологические проблемы теоретико-системного моделирования.

В первом параграфе дается общая характеристика методологии теоретико-системного моделирования. Здесь проанализированы как основные аспекты теоретико-системного моделирования, так и теоретические предпосылки математического моделирования на основе представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем. Затем характеризуются этапы выбора структуры моделей и оценивания их параметров, а также подходы к формированию моделей с пространством состояний линейных динамических систем.

В рамках одного га основных подходов сформулирована задача моделирования пространства состояний. Эта задача состоит в следующем:

для заданного набора данных вход-выход определить систему £ = (/",0,//,./) с динамическим поведением

*0 + 1) = Лс(0 + Сы(Г), у(1) = Нх(1)+М0,

которая бы «объясняла» наблюдаемые данные.

Вкладывая различный смысл в термин «объясняла», мы будем получать различные более конкретные формулировки задачи моделирования пространства состояний. В частности, по аналогии с задачами точной и приближенной реализации можно получить соответствующие формулировки задач точного и приближенного моделирования.

Процесс построения модели с пространством состояний линейной динамической системы на основе данных вход-выход с использованием методов точной и приближенной реализации можно представить схемой, изображенной на рисунке 1.

Согласно данной схеме перед непосредственным решением задачи построения модели требуется предварительная обработка экспериментальных данных, заключающаяся в оценивании представления отображения вход-выход системы. При этом надо учитывать, что для объекта и двух его моделей входной сигнал является одинаковым, в то время как выходные сигналы могут различаться. Целью моделирования является построение на заключительном этапе такого представления, чтобы разница между была наименьшей.

Рисунок 1 - Схема формирования модели с пространством состояний

Во втором параграфе главы 6 исследованы вопросы оценки качества моделей. Приведены основные подходы к оценке таких свойств моделей, как точность, адекватность и работоспособность. Данные характеристики качества моделей проанализированы как с точки зрения статистического подхода, так и в контексте теоеретико-системного моделирования.

При использовании двухэтапной процедуры построения модели пространства состояний на основании данных вход-выход (см. рисунок 1) задача второго этапа может быть решена методами, развитыми в главе 5. Для того чтобы применить эти методы, мы должны иметь в распоряжении импульсную последовательность матриц - представление отображения вход-выход системы. Таким образом, для решения данной задачи должны быть разработаны также методы оценивания импульсной характеристики системы.

В третьем параграфе для асимптотически устойчивой системы предложен метод оценивания матриц импульсной последовательности. Пусть - время затухания переходных процессов. Тогда согласно для выходного сигнала имеем

Пусть N - число экспериментов - пар (и(0,у(0) > ' = 1»2,...,ЛТ, Ы>Т. Будем определять А1 для у =0,1,...,г из решения задачи ми-

нимизации квадратичного функционала

* II Г

ф = Z -»min.

О

Введем В рассмотрение, бттпчные, мятпиттьт

А=(А0 Л, ... Ас),

S* S„ ... S0l

5 =

5,0 ^11

vAo Stl

s*

R = {R, Л, ... R,),

(20)

где - матриц

N

I

i-r+l

SJ> = Z u(i-j)uV-t), j,t = 0,1,...,r,

матрица разм( Jil,

1»Г + 1

Предложение 6.1. Для асимптотически устойчивых систем решение задачи (20) удовлетворяет матричному уравнению

А8 = Я. (21)

Таким образом, оценки матриц импульсной последовательности асимптотически устойчивой системы мы можем получить, решив матричное уравнение (21).

В заключительном параграфе шестой главы рассматривается иллюстрирующий числовой пример построения моделей с пространством состояний на основе зашумленных данных вход-выход с использованием предложенного метода оценки импульсной последовательности матриц и методов приближенной реализации.

Заключительные две главы диссертации посвящены обобщениям и приложениям развитой в предыдущих главах теории реализации и моделирования. В седьмой главе содержатся распространения теории реализации на различные классы систем. Здесь представлены обобщения различных направлений и разного уровня общности. Кроме того, в данной главе рассматриваются также подходы к анализу систем, функционирующих в условиях неопределенности.

Глава начинается с рассмотрения линейных стационарных систем с непрерывным временем (первый параграф). Показано, что многие методы и алгоритмы, разработанные нами ранее для систем с дискретным временем, применимы и для реализации в пространстве состояний импульсной характеристики системы с непрерывным временем. Следующие обобщения получаются отказом от требований стационарности и линейности (второй параграф). Здесь же рассмотрены различные специальные типы линейных систем (системы над шах-р1ш-алгебрами, положительные системы, линейные системы, билинейные

системы).

В третьем параграфе рассматриваются системы с интервальной неопределенностью - интервальные динамические системы. Интервальные методы и интервальный анализ, которые первоначально возникли как средство учета ошибок округлений при расчетах на ЭВМ, стали одним из мощных инструментов для описания и исследования систем с неопределенностями и неоднозначностями в данных. Стандартным методологическим приемом исследования объектов, функционирующих в условиях неопределенности, является рассмотрение семейства объектов, которое определяется принадлежностью параметров этого объекта некоторым множествам. В случае, когда эти множества являются интервалами, мы будем иметь дело с интервальной неопределенностью.

В настоящее время интервальные методы используются как для анализа статических систем, так и для решения проблем управления динамическими системами. Многие задачи математической теории управления допускают естественную «интервализацию» путем замены вещественных параметров и/или переменных на соответствующие интервальные. Большинство этих интервализованных задач оказываются вполне адекватными и интерпретируемыми с точки зрения практических приложений. Не исключением является и рассматриваемая в данном параграфе проблема реализации.

Математическая модель многомерного интервально заданного объекта управления обычно представляется в виде системы уравнений с интервальными параметрами и понимается как семейство математических моделей многомерных динамических объектов, параметры которых принадлежат заданным интервальным. Следуя этому, подходу интервалыгую линейную стационарную динамическую систему с дискретным временем можно ввести следующим образом.

Определение 7.3. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем (с т входами п состояниями и р выходами) с интервальными параметрами будем называть объект динамическое поведение которого описывается уравне-

ниями

х(* + 1) = Рх(0+Си(0, ^

где и понимать как семей-

ство линейных стационзрных динамических систем с дискретным временем и динамическим поведением х(* + 1) = Яс(0 + (?и(0,

матрицы которых принадлежат заданным интервальным

т.е.

Ре¥е1ВГ", веСет""", ЯеНеШ""

(Ж - классическая интервальная арифметика).

Следует заметить, что данный подход к определению интервально заданной линейной системы не является единственно возможным, не исчерпывает всего многообразия поведения объектов с интервальной неопределенностью и поэтому не может служить в качестве общего определения линейной системы с интервальной неопределенностью. Далее в работе приводятся определения других типов линейных динамических систем с интервальной неопределенностью.

С интервальными динамическими системами можно связать импульсную последовательность матриц

где

Здесь матричные произведения выполняются справа налево, т.е. сначала вычисляется произведение Гв, затем Р(ЕС) и т.д. Этой последовательности матриц можно поставить в соответствие отображение вход-выход, под которым в зависимости от того, с системой какого типа мы имеем дело, можно понимать в общем случае разные объекты.

Для заданного отображения вход-выход интервальной системы, представленного импульсной последовательностью интервальных матриц можно поставить задачу построения динамического поведения, т.е. задачу реализации. Одной из возможных формулировок задачи реализации для интервальных систем может быть такая:

для заданной последовательности интервальныхматрицразмера рхт

определить размерность п и тройку интервальных матриц (Р,С,Н)

таких, что выполняются интервальные уравнения (23), где РеП^"*", Се1Г", Нет'"".

Данную задачу мы далее будем называть задачей алгебраической реализации для интервальных динамических систем, а тройку интервальных матриц (Р,С,Н) будем называть интервальной алгебраической реализацией. Поставленная задача, которая по своей сути является задачей точной реализации, в общем случае оказывается трудноразрешимой. Более того, в силу «плохих» свойств интервальной арифметики

она вообще может не иметь решения. Проблема остается таковой и в случае рассмотрения систем над расширенной интервальной арифметикой КШ (арифметикой Каухера) вместо 1Ж. Поэтому в данном случае становится актуальной проблема оценки или приближенного описания реализаций.

Далее в работе рассматриваются различные задачи описания множества реализаций для заданной последовательности интервальных матриц. Основное внимание уделяется проблеме алгебраической реализации.

Определение 7.6. Будем говорить, что последовательность интервальных матриц (24) интервально рекуррентна, если существует такое целое г> 0 и коэффиц иен-т-ЩтЖк и е , что

Для интервальных динамических систем, поведение вход-выход которых описывается импульсной последовательностью интервальных матриц, установлен следующий результат, являющийся достаточным условием алгебраической реализуемости.

Предложение 7.1. Если последовательность интервальных матриц интервально рекуррентна, то для нее существует алгебраическая интервальная реализация.

С импульсной последовательностью интервальных матриц можно связать две обычные (вещественные) импульсные последовательности, определяемые верхними и нижними границами интервальных матриц.

Определение 7.7. Для последовательности интервальных матриц

реализации последовательности

будем называть нижними граничными реализациями последовательности (25), а реализации последовательности

{ДД,..}

будем называть верхними граничными реализациями последовательности (25).

Для полностью неотрицательных интервальных систем в работе доказано следующие утверждения.

Предложение 7.2. Если для нижней и верхней граничных реализаций одинаковой размерности некоторой последовательности интервальных матриц выполняется

1) С/, //, /•", О, // - неотрицательные;

2) Е<Р, в<0, Н<Н,

то интервальная система является интерваль-

ной точной (алгебраической) реализацией этой последовательности. Предложение 13. Если для граничных реализаций одинаковой

размерности и некоторой последовательности ин-

тервальных матриц найдутся такие матрицы что выполняются

неравенства

- неотрицательные, то интервальная система является интервальной алгебраической реализацией этой последовательности.

С использованием предложений 7.2 и 7.3 можно строить алгебраические реализации интервальных импульсных последовательностей матриц во многих частных случаях.

Четвертый параграф главы 7 посвящен развитию общей теории нечетких систем. Подход с использованием теории нечетких множеств захватывает все более новые области применения. Этот подход все чаще используется для анализа систем различного назначения. Разви-

ваются многие теории, посвященные анализу нечетких систем конкретного типа, таких как нечеткие автоматы, нечеткие модели управления и принятия решений, гуманистические системы и другие системы, в которых значительную роль играют сложность и неопределенность. В связи с этим естественным является желание объединить все эти теории общей методологией, подобной той, которая разработана для обычных (ненечетких) систем М. Месаровичем.

В данной работе нечеткая система понимается как нечеткое отношение на универсумах объектов системы. Для содержательного анализа нечетких систем вводится понятие пространства (объекта) состояний и общая нечеткая система определяется в таком пространстве. Для обеспечения достаточной общности изложения и учета разнообразия различных применений все используемые здесь понятия рассматриваются относительно треугольных норм

После формулировки необходимых понятий из теории нечетких множеств сначала исследуется свойство нечеткой линейности. Для этого вводится понятие нечеткого линейного отношения.

Определение 7.13. Пусть К - кольцо, С/р1/2,...,{/„ - модули над кольцом К. Нечеткое отношение Л в С/, х£/2 х...х{/л

Мл: и1хигх...хия-*[0,Т\

будем называть нечетким К-линейным отношением относительно I-нормы Т, если для любых и21>и'иеиг, к„,и^е£/„ и для

любого Я&К выполняются условия:

(и, + и[,и2 + и'г,..и, + и'п) й Т{цн («,,иг.....),(и;,и'2.....и'я)),(26)

^я(Яи1,Яиг,...,Яия)^^я(и,,иг,...,и1,), (27)

Л(0„02,...,0Я) = 1, (28) где 0,,02,...,0„ - нулевые элементы К-модулей иииг,...,ия соответственно.

Доказаны следующие утверждения, которые устанавливают алгебраические свойства нечетких линейных отношений:

Предложение 7.4. Если К - кольцо с единицей, и / -норма Т для всех хе[0,1] удовлетворяет условию

то условие (27) в определении 7.13 для любых Л е К эквивалентно условию

/лк(Яи1,Яиг,...,Яи„) = ^(и1,и2,...,ия). (29)

Предложение 7.5. Если К - поле, то условие (27) в определении 7.13 для любых ЯеК, Я* 0 эквивалентно условию (29).

Предложение 7.6. Если нечеткое отношение Я нормальное, то условие (28) в определении 7.13 следует из условий (26) и (27).

Нечеткая система рассматривается как нечеткое отношение на обычных (ненечетких) множествах.

Определение 7.14. (Общей) нечеткой системой 5 называется нечеткое отношение на непустых нечетких множествах

&:УххУгх...хУя-*[ 0,1]. (30)

Множества У1 для / = 1,2,...,п называются объектами нечеткой системы 5.

Для подходящего разбиения множества индексов объектов на индексы входных и выходных объектов системы можно ввести понятие нечеткой системы вход-выход

//,:ЛхЯ-»[0,1], (31)

где А и В - декартовы произведения универсумов входных и выходных объектов системы соответственно. В дальнейшем под (общей) нечеткой системой мы будем понимать систему нечеткую систему вход-выход.

Определение 7.16. Для данной общей нечеткой системы 5 пусть С - произвольное множество, а нечеткое отношение Я с

цл :ЛхСх£-»[0,1] таково, что выполняется условие

тахцк(а,с,Ь) = 115(а,Ь). (32)

Тогда С называется множеством или объектом глобальных состояний, Я называется нечетким отношением глобальной реакции нечеткой системы 5. Будем говорить в этом случае, что Я согласуется с 5 со-гласноусловию согласованности (32).

В определении 7.16 в качестве условия согласованности вместо

(32) могут быть другие условия, например,

(3с е С) (1я{а,с,Ь) = (33)

тах (а,с,Ь) >/л${а,Ь)\ (34)

(Зс е С) мЛа>с>ь) * ; (35)

И5(а,Ь) > 0 о (Зс € С) Ма>с>ь) > о; О6)

о (Зс6С) уя(а,с,Ь)^3,м>Иеге 3>0. (37)

Доказаны следующие предложения, которые устанавливают связь между условиями (32)-(37).

Предложение 7.7. Для заданного множества С условия (34) и (35) эквивалентны.

Предложение 7.8. Если для заданного множества С выполняется условие (33), то также выполняются условия (34) и (35).

Предложение 7.9. Если для заданного множества С выполняется условие (32), то также выполняются условия (33)-(37).

Таким образом, условие (32) является самым сильным из представленных (32)-(37) условий согласованности. Для условий (32)-(37) имеет место следующая диаграмма:

(ЗЗИ36И37) (34) (35),

где стрелки указывают направления от более сильных условий к менее сильным.

Для нечетких систем вход-выход в диссертационной работе установлен следующий результат.

Теорема 7.1. Каждой нечеткой системе соответствует некоторое нечеткое отношение глобальной реакции с условием согласованности (32).

Теорема 7.1 сформулирована и доказана для случая, когда нечеткое отношение глобальной реакции понимается в смысле определения 7.16 и, следовательно, удовлетворяет условию (32). Очевидно, из предложений 7.7-7.9 следует, что теорема верна и в тех случаях, когда в качестве условий согласованности используются условия (33)-(37).

Рассмотрим теперь понятие нечеткой глобальной реакции.

Определение 7.17. Для данной общей нечеткой системы 5 пусть С - произвольное множество, а нечеткая функция р: АхС —> В такова,

что для любых (а,Ь)е АхВ'

(38)

Тогда С называется множеством или объектом глобальных состояний, р называется нечеткой глобальной реакцией нечеткой системы 5. Будем говорить в этом случае, что р согласуется с 5 в соответствии с условием согласованности (38).

Заметим, что в определении 7.17 в качестве условия согласованности вместо (38) могут быть другие условия, например, условия, аналогичные тем, которые рассматривались после определения 7.16. Для этих условий также верны все те соотношения, которые устанавливаются предложениями 7.7-7.9.

Доказана следующая теорема.

Теорема 7.2. Каждой нечеткой системе соответствует некоторая нечеткая глобальная реакция (с условием согласованности (38)).

Относительно этой теоремы верны все те замечания, которые делались в связи с теоремой 7.1.

В заключительной части параграфа с использованием понятия нечеткого линейного отношения вводится в рассмотрение класс нечетких линейных систем.

Определение 7.18. Пусть К - кольцо, А и В — модули над кольцом К. Нечеткую систему S, определенную согласно (31), будем называть нечеткой К -линейной системой относительно * -нормы Т, если S является нечетким А"-линейным отношением относительно Г, т.е. для любых и любого выполняются усло-

вия

Л (а + а',Ь+Ь')± (а',6')), (39)

где - нулевые элементы К -модулей А и В соответственно.

Для нечетких систем, линейных над полями, доказана следующая теорема. Аналог этого результата для обычных (ненечетких) систем играет фундаментальную роль в теории систем.

Теорема 7.3. Пусть А и В - линейные (векторные) пространства над полем К. Нечеткая система S с

Я :Лх5-»[0,1]

является К -линейной системой относительно / -нормы Т тогда и только тогда, когда существует такое нечеткое отношение глобальной реакции Я с

:ЛхСхВ-»[0,11

(с условием согласованности (32)), что

1) С есть линейное пространство над К;

2) Существует пара нечетких К -линейных отношений

^ :СхЯ->[0,1], :ЛхЯ-»[0,1],

что для всех выполняется

Ия(а,с,Ь) = шах (с,Ь'),^(а,Ь-Ь')).

В заключение параграфа вводится и анализируется понятие нечеткой К -линейной глобальной реакции.

Последняя восьмая глава диссертации посвящена использованию методов реализации и теоретико-системного моделирования. Модели с пространством состояний играют чрезвычайно важную роль во многих областях применения. В связи с этим методы реализации и моделирования пространства состояний могут использоваться для различных целей. На протяжении всех предыдущих глав представленная здесь методология моделирования рассматривалась преимущественно в контексте теории автоматического управления. Целью данной главы является иллюстрация возможностей применения данной методологии в других областях.

В первом параграфе рассмотрены возможности использования методов реализации в пространстве состояний для решения задач аппроксимации функций. Приведены соображения по вычислению аппроксимаций Паде на основе вычисления конечномерных реализаций коэффициентов ряда.

Второй параграф посвящен применению методов точной и приближенной реализации к анализу временных рядов. Здесь представлен подход к данной проблеме, основанный на построении моделей с пространством состояний.

Далее рассматриваются некоторые практические и более конкретные применения, которые иллюстрируются отдельными примерами.

В третьем параграфе показано как методы теоретико-системного моделирования могут применяться к автоматизированному анализу электрокардиограмм. На основе предложенных в работе методов анализа временных рядов разработаны методы и алгоритмы фильтрации электрокардиографических сигналов.

В заключительном четвертом параграфе исследуется эффективность применения методов реализации динамических систем к анализу природных (экологических) систем. В качестве примера здесь также представлены методы анализа и прогнозирования содержания загрязняющих веществ в системе водоотведения промышленных стоков г. Бийска.

В Заключении изложены основные теоретические выводы диссертационной работы. В Приложении А приведены некоторые сведения из современной алгебры, на которые приходилось опираться при изложении теории реализации. В Приложении Б представлены акт о внедрении результатов диссертационной работы в практику расшифровки и анализа электрокардиограмм при диагностировании заболеваний сердца в МУЗ «Диагностический центр» и акт о внедрении в учебный процесс по курсам «Теория систем и системный анализ» и «Теория оптимального управления экономическими системами» в Бийском технологическом институте (филиале) Алтайского государственного технического университета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) Проведен теоретико-системный анализ проблемы представления динамических систем в пространстве состояний. Исследованы теоретические и методологические аспекты этой проблемы на различных уровнях общности.

2) На основе алгебраического подхода к проблеме исследованы задачи как точного, так и приближенного моделирования процессов и явлений на основе представления систем в пространстве состояний. Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с "шумом".

3) Изучены свойства блочных ганкелевых матриц поведения вход-выход линейной стационарной динамической системы. Сформулированы и доказаны утверждения, которые дают методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения системы. Разработаны модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации заданного отображения вход-выход.

4) Разработаны и протестированы численные методы и программное обеспечение для решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

5) Исследованы свойства реализаций над коммутативными кольцами. Введено понятие проективной системы. Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний.

6) Разработаны методы решения задач приближенной реализации для систем с «шумом». Приведены алгоритмы вычисления приближенной реализации, методы и алгоритмы оценивания размерности и параметров системы.

7) Предложен подход к автоматизированному моделированию с использованием методики формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.

8) Для асимптотически устойчивых динамических систем с дискретным временем разработан метод построения матриц импульсной характеристики на основании данных наблюдения за входными и выходными сигналами системы.

9) Поставлена и исследована проблема реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем. Проанализированы возможные формулировки этой проблемы и пути ее решения. Сформулирован и доказан достаточный критерий алгебратеской реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Предложен и обоснован метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем.

10) Введены понятия общей нечеткой системы относительно 1> нормы, ее объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Установлены соотношения между различными условиями согласованности этих понятий. Сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции для общей нечеткой системы.

11) Введено в рассмотрение и проанализировано свойство линейности нечетких отношений: Введено понятие нечеткой линейной системы и исследованы свойства такой системы и ее отношения глобальной реакции.

12) Разработаны методы моделирования временных рядов системой с пространством состояний, основанные на вычислении конечномерных реализаций. Практическая применимость указанных методов проиллюстрирована на примерах решения задач фильтрации электрокардиографических сигналов, анализа и прогноза содержания загрязняющих веществ в системах водоотведения промышленных стоков.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пушков С.Г. Представление динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализация. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 2003. - 272 с.

2. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. - 1991. -№ 10. - С. 56-63.

3. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. - 1991. - № 6. - С. 107-112.

4. Пушков С.Г. Об одном подходе к описанию наблюдаемого процесса линейной динамической системой // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2001. - № 1. - С. 39-44.

5. Пушков С.Г. Об общей теории нечетких систем: глобальные состояния и нечеткая глобальная реакция нечеткой системы // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2001. - №5. -С. 105-109.

6. Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2002. -№3.-С. 5-11.

7. Пушков С. Г. Линейные системы с проективным модулем состояний // Сибирский журнал индустриальной математики. -2001.-№1. - С. 165-170.

8. Пушков С.Г., Кривошапко СЮ. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии. - 2004. -Т. 9, № 1. - С. 75-85.

9. Пушков С.Г. Алгоритм вычисления приближенной реализации // Известия РАЕН. Серия МММИУ. - 2000. - Т. 4, № 3. -С. 133-144.

10. Пушков С.Г. К общей теории нечетких систем: глобальные состояния, условия согласованности и линейность // Вестник Томского государственного университета. - 2002. -№1П(11). -С. 169-174.

11. Пушков С.Г. Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем // Известия Алтайского государственного университета. - 1999. - № 1. — С. 40-43.

12. Пушков С.Г. Оценивание параметров приближенной реализации: случай квадратичной функции несогласованности // Известия Алтайского государственного университета. - 2000. -№ 1 . - С. 30-33.

13. Пушков С.Г. О моделировании временного ряда системой с пространством состояний // Известия Алтайского государственного университета. - 2001. - № 1. - С. 34-38.

14. Пушков С.Г. Нечеткие линейные системы // Известия Алтайского государственного университета. - 2002. - №1. -С. 36-40.

15. Пушков С.Г. Проблема конечномерной реализации для интервальных динамических систем // Известия Алтайского государственного университета. - 2003. - № 1. - С. 15-19.

16. Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем

// Перспективы систем информатики. Международное совещание по интервальной математике и методам распространения ограничений: Сборник трудов пятой международной конференции. - Новосибирск: Институт систем информатики. -2003.-С. 60-67.

17.Пушков С.Г. Вычисление приближенной реализации для случая квадратичной функции несогласованности // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов: Сборник докладов четвертой международной конференции. Том 2. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 1997. - С. 64-66.

18.Пушков С.Г. Методы фильтрации электрокардиографических сигналов,, основанные на системной реализации временных рядов // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов: Сборник докладов четвертой международной конференции. Том 2. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 1997. -С.67-68.

19.Пушков С.Г. О представлении данных контроля линейных динамических систем // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов: Сборник докладов четвертой международной конференции. Том 2. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ.-1997.-С. 69-71.

20.Пушков С.Г. Интервальные динамические системы: Проблема минимальной реализации и пути ее решения // Измерения, контроль, информатизация: Сборник докладов международной научно-технической конференции. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ.- 2002. -С. 19-23.

21.Кривошапко С.Ю., Пушков С.Г. Новая версия программного обеспечения для решения задач точной и приближенной реализации // Измерения, контроль, информатизация: Сборник докладов международной научно-технической конференции. -Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 2003. - С. 9-12.

22. Пушков С.Г. Методы точной и приближенной реализации при решении задач синтеза линейных многомерных систем управления // Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления: Материалы научно-практического семинара. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2001. - С. 16-18.

23. Пушков С.Г., Ермаченко Н.Н, Титаренко Ю.И. Модели приближенного представления данных контроля сточных вод // Устойчивое развитие конверсируемых регионов Сибири: Сборник материалов научной сессии Алтайского отделения

МАНЭБ. - Бийск - Барнаул. - 1999. - С. 77-78.

24.Титаренко Ю.И., Пушков С.Г. Моделирование линейных динамических систем на основе представления их в пространстве состояний // Первая краевая конференция по математике, посвященная 25-летию Алтайского госуниверситета: Материалы конференции. - Барнаул: Изд-во АГУ. - 1998. -С. 64-65.

25. Пушков С.Г. Прогнозирование валютных курсов на основе вычисления конечномерных реализаций // Вторая краевая конференция по математике: Материалы конференции. - Барнаул: Изд-во АГУ. - 1999. - С. 74

26. Пушков С.Г. Применение теоретико-системного подхода к проблемам анализа электрокардиограмм // Социально -экономические проблемы развития города Бийска на долгосрочную перспективу: Материалы научно-практической конференции. - Бийск: НИЦ БГПИ. - 1999. - С. 168-170.

27. Пушков С.Г., Бедарева Н.Д., Ермаченко Н.Н., Титаренко Ю.И. Модели приближенного представления данных контроля сточных вод в р. Бия // Социально-экономические проблемы развития города Бийска на долгосрочную перспективу: Материалы научно-практической конференции. - Бийск: НИЦ БГПИ.-1999.-С. 202-203.

28. Пушков С.Г. К вопросу построения общей теории нечетких систем // Третья краевая конференция по математике: Материалы конференции. - Барнаул: Изд-во АГУ. - 2000. -С. 58-59.

29. Пушков С.Г. Комплекс программного обеспечения для решения задач точной и приближенной реализации // Материалы IV Юбилейной научно-практической конференции, посвященной 290-летию г. Бийска. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 2000. -С.197-201.

30. Пушков С.Г. Методы вычисления конечномерной реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Четвертая краевая конференция по математике: Материалы конференции. - Барнаул: Изд-во АГУ. -2001.-С. 73-74.

31.Кривошапко С.Ю., Пушков С.Г. Вычисление конечномерных реализаций для интервальных динамических систем: метод граничных реализаций / Материалы шестой краевой конференции по математике. - Барнаул: Изд-во АГУ. - 2003. -С. 59-60.

Подписано в печать 11.06.2004 г. Формат 60x84 1/16. Печать - ризография.

Тираж 150 экз. Заказ 2004-34. Издательство Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова 655099, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46.

Отпечатано в ИВЦ БТИ АлтГТУ 659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27.

»16328

Введение

Список обозначений

Глава 1. Конечномерные линейные динамические системы

1.1 Описание систем на теоретико-множественном уровне

1.2 Линейные динамические системы

1.3 Линейные системы над коммутативными кольцами

1.4 Моделирование и эквивалентность систем

1.5 О способах представления линейных динамических систем 39 Выводы

Глава 2. Моделирование. Реализация. Идентификация

2.1 Методология моделирования

2.2 Общая теория реализации

2.3 Алгебраическая теория реализации 48 (i* 2.4 Системы с шумом и несогласованность между моделью и измерениями

2.5 Приближенное моделирование и идентификация систем

2.6 О соотношении между задачами реализации и идентификации 62 Выводы с*

Глава 3. Методы реализации систем над полями

3.1 Теория реализации систем над полями

3.2 Алгоритм вычисления конечномерной реализации Б.Л. Хо

3.3 Алгоритмы реализации, основанные на псевдообращении ганке-левых матриц

Выводы

Глава 4. Теория реализации линейных систем над коммутативными кольцами

4.1 Критерии реализуемости

4.2 Методы построения реализаций

4.3 Минимальность, достижимость и наблюдаемость

4.4 Проективные системы 121 Выводы

Глава 5. Приближенная реализация

5.1 Постановка и общая характеристика задачи приближенной реализации

5.2 Оценивание параметров линейных динамических систем

5.3 Оценивание размерности линейной динамической системы

5.4 Некоторые теоретические и практические вопросы решения задач приближенной реализации

5.5 Алгоритмы вычисления приближенной реализации

5.6 Численная иллюстрация алгоритмов и методов 152 Выводы

Глава 6. Моделирование пространства состояний динамических 162 систем

6.1 Общая характеристика методологии теоретико-системного моделирования

6.2 Точность, адекватность и работоспособность моделей

6.3 Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем

6.4 Численные эксперименты 183 Выводы

Глава 7. Распространение теории реализации на другие классы 187 систем

7.1 Реализация систем с непрерывным временем

7.2 Некоторые распространения и обобщения

7.3 Интервальные динамические системы

7.4 Нечеткие системы 222 Выводы

Глава 8. Некоторые применения ф 8.1 Вычисление аппроксимаций Паде

8.2 Моделирование временного ряда системой с пространством состояний

8.3 Автоматизация анализа и расшифровки электрокардиограмм

8.4 Применение к анализу природных (экологических) систем 265 Выводы

Изучение процессов и явлений на основании данных наблюдения за поведением объекта делает необходимым представление существенных аспектов его процесса функционирования в удобной для исследований форме. Сама форма представления модели объекта зависит от ее назначения и областей потенциального применения. Среди таких областей можно выделить интерпретацию прошлого и прогнозирование будущего поведения объекта, а также решение задач управления.

Для целей исследования динамики различных процессов и управления ими наиболее удобными оказываются модели, основанные на наблюдении входных и выходных сигналов объекта и представлении его поведения в пространстве состояний. Центральным понятием при таком подходе является понятие динамической системы. При этом нужно учитывать, что модели, полученные на основе наблюдений, очень часто являются неточными моделями, в них, как правило, присутствует возмущающий фактор.

Модели, заданные в пространстве состояний, являются естественной формой представления для динамических систем теории управления, в особенности теории автоматического управления (П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз [32], Г. Ро-зенброк [270], X. Квакернаак, Р. Сиван [48], М.Уонэм [136], В. Стрейц [130], Ф.Л. Черноусько [145] и другие). Однако метод пространства состояний оказывается применимым и во многих других случаях.

Так, например, при разработке автоматизированных систем анализа электрокардиограмм (ЭКГ) приходится решать ряд проблем, связанных с фильтрацией ЭКГ-сигнала, представлением существенной информации, выбором системы информативных признаков и их распознаванием [9, 50, 55, 117, 146, 292]. Высокоэффективными методами фильтрации ЭКГ-сигнала являются методы, основанные на анализе временного ряда ЭКГ-сигнала [221, 278]. Дальнейшее развитие этих методов приводит к представлению процесса фильтрации в виде линейной динамической системы с пространством состояний. Кроме того, представление в пространстве состояний является естественным при подходах к анализу электрокардиограмм, основанных на алгоритмах обучения машины [120], разработке эквивалентного генератора сердца и диагностического автомата.

Другим примером являются природные (экологические) системы, которые относятся к сложным системам [34], математические модели экологических систем, как правило, являются неточными моделями. При исследовании экологических систем с помощью их моделирования проведение специальных натурных экспериментов очень часто бывает затруднено или даже неуместно. Поэтому для построения моделей таких систем приходится использовать данные мониторинга природной среды. Представление эволюции экосистемы в пространстве состояний позволяет с единых позиций подойти к решению сразу нескольких задач, а именно к задачам имитации поведения экосистемы, прогнозирования ее поведения, а также к проблеме управления экосистемой.

Аналогичные примеры можно в большом количестве приводить и из других предметных областей.

Важной проблемой системного анализа и моделирования является проблема исследования адекватности модели изучаемому объекту или явлению. Традиционный подход к проверке степени адекватности моделей реальным явлениям построен на проведении контрольных экспериментов и использовании критериев, основанных на сравнении временных рядов, наблюдаемых на объекте и полученных с использованием модели. К экспериментальным данным, на основании которых была построена модель, предъявляется требование их воспроизводимости.

Данные контроля медико-биологических, экологических и многих технических систем очень часто оказываются невоспроизводимыми или трудновоспроизводимыми. Обеспечение требований адекватности моделей изучаемым объектам или явлениям делает актуальными теоретическое объектам или явлениям делает актуальными теоретическое обоснование использования методов их построения и формулировку соответствующих критериев реализуемости.

Кроме того, следует иметь в виду, что во многих приложениях несогласованность между моделью и экспериментальными данными возникает не только по причине случайности или шума измерения, а благодаря сознательному использованию модели, структура которой не позволяет охватить сложность наблюдаемого явления. Поэтому становится актуальной проблема разработки таких методов построения приближенных моделей, для которых несогласованность между моделью и экспериментальными данными может иметь не только статистическую, но и иную интерпретацию.

Следует заметить, что понятие состояния физической системы или физического процесса (как и любых реальных процессов и систем) не поддается общему определению, а сам термин «состояние» является явно перегруженным. Тем не менее во всякой научной теории, имеющей дело с математическими моделями, понятию состояния можно дать четкое определение в математических терминах. Основополагающей идеей при таких определениях является то, что состояние объекта вместе с информацией о входном сигнале объекта полностью определяют его дальнейшее поведение. Таким образом, переменная состояния является естественной характеристикой любой динамической системы. Ряд конкретных способов определения состояния для различных типов систем теории управления можно найти в [129].

Состояние системы удобно представлять точкой некоторого пространства — пространства состояний. При этом следует понимать некоторую условность термина «пространство», поскольку этот термин подразумевает некоторые хорошо известные математические структуры (векторное пространство, метрическое пространство, банахово пространство, вероятностное пространство и т.п.). Скорее можно вести речь о множестве или объекте состояний, которое в ряде конкретных теорий может быть наделено некоторой структурой, в том числе и пространственной структурой.

Эффективным методом исследования линейных систем управления являются алгебраические методы. Алгебраические методы для исследования различных проблем теории управления использовались и развивались Р. Калманом [44, 235-236], Л. Заде [39], Р. Броккетом [171], А. Танненбаумом [289], Ю.И. Параевым [81], А.И. Кухтенко [58], Е.М. Смагиной [124], Е.А. Перепел-киным [82], В.Н. Буковым [12-14], И.В. Гайшуном [26, 27], Б.Т. Поляком [8384] и многими другими.

Задача представления информации об объекте тесно связана с проблемой реализации динамических систем. Как замечено в [161], на современном этапе развития теории управления центральную роль играют три понятия: достижимость, наблюдаемость и реализация. Наиболее изящно взаимосвязь этих понятий проявилась в калмановском подходе к линейным системам, основанном на теории модулей [44]. Проблема реализации является одной из основных задач не только теории управления, но и математической теории систем. Решение этой задачи, которое приходится осуществлять на самых ранних этапах работы над исследуемым объектом, позволяет представить в пространстве состояний известное соотношение между входными и выходными сигналами объекта.

Фундаментальные исследования проблемы реализации в теории систем связано с именами М. Месаровича, Р. Калмана, С. Эйленберга, Э. Зонтага, Дж. К. Виллемса и др.

Основное внимание в данной работе будет уделяться линейным стационарным динамическим системам с дискретным временем. В алгебраическом подходе к теории линейных систем, который восходит к работам Р. Калмана [44, 227, 235, 237], множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов системы представляются модулями над некоторым кольцом R. При этом задача реализации эквивалентна построению тройки R -линейных отображений (F,G,H). Этот подход развивался далее С. Эйленбергом [191], Й. Рушало [241],

Р. Калманом [238, 239], П. Фурманом [207-211], М. Хазенвинкелем [226], Э. Зонтагом, Б. Вайменом [272-274, 280, 283, 284], Р. Айсингом и М. Хаутусом [ 194] и другими.

В случае систем над полями теория реализации наиболее развита (Р. Кал-ман [44, 237-239], Б.Л. Хо [227], П. Зейгер [308], Дж. Риссанен [267], Л. Силь-верман [277], Н.И. Осетинский [75-78], П. Фурман [207-211] и другие). Дальнейшее развитие методологии реализации идет по пути обобщения теории реализации для систем над полями на случай систем над кольцами [69] (Й Рушало и Б. Ваймен [272-274], С. Эйленберг [191], Э. Камен [242], Э. Зонтаг [280, 283] Г. Конте и А. Пердон [183-184], Э. Эмре [195], П. Каргонекер [246-247], Р. Ай-синг и М. Хаутус [194] и другие), и другими алгебраическими системами (Дж. Гоген [216], Б.Д.О Андерсон, М. Арбиб, Э. Мейнс [159, 161], Б. де Шаттер, В. Блондель, Б. де Мур [187-189] и другие), а также по пути разработки эффективных вычислительных процедур для систем над числовыми полями [133] (Л. де Джонг [186], Дж. К. Виллемс [299-302], О. Босгра [168-169], М. ван Ба-рель и А Бултхил [295], И. Гоберг, М. Кашоик, Л. Лерер [217-218], М. Рави и Дж. Розенталь [265-266] и другие).

Указанный выше подход касается решения задачи вычисления точной реализации, т.е. распространяется только на те случаи, когда наблюдаемые входные и выходные сигналы системы заданы точно. Для систем, которые подвержены воздействиям различных искажающих факторов либо функционирующих в условиях неопределенности, этот подход не может давать удовлетворительных результатов. В этих случаях чаще всего используются классические методы идентификации, применимость которых возможна только после того, как уже решена проблема выбора формы представления. Работы [133, 299-301] предлагают методологию, обобщающую теорию реализации и идентификации, развивает вопросы точного и приближенного моделирования временных рядов. Для изучения неточно определенных систем используются также другие подходы, такие как интервальный анализ (Н.А. Хлебалин и Ю.И. Шокин [140],

А.Б. Куржанский, С.П. Шарый [149], Е.М. Смагина [125], С.П. Соколова [43], Д.В. Сперанский [10], А.В. Лакеев и другие), нечеткие множества и нечеткая логика (JI. Заде [40, 306-307], А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун[1], Дж. Клир [248-250], С.Н. Васильев [19-20], Б.Н. Петров и другие).

Анализ сложившегося к настоящему моменту положения в области теории реализации и идентификации динамических систем показал, что существующие методы либо применимы для очень узкого класса систем, либо соответствующие алгоритмы слабоструктурированы и поэтому оставляют открытым вопрос их численной реализации. Несмотря на обилие различных подходов и методов, можно констатировать, что имеется необходимость в разработке методологии, которая бы решала задачу реализации динамических систем с единых позиций, как для детерминированных систем, так и для систем с искажениями и неопределенностями. Кроме того, к настоящему времени недостаточно исследованы вопросы использования теоретико-системных моделей для решения задачи прогнозирования будущего поведения системы.

Настоящая работа посвящена исследованию проблемы построения моделей с пространством состояний на основе данных о поведении вход-выход (импульсной характеристике, отображении вход-выход и т.п.) динамических систем.

Целью представляемой исследовательской работы является

1) развитие общей методологии реализации (представления в пространстве состояний) динамических систем, применимой как для детерминированных систем, так и для широкого класса неточно и нечетко определенных систем;

2) получение эффективных методов и алгоритмов реализации в пространстве состояний для класса линейных стационарных динамических систем с дискретным временем;

3) для неточно заданных отображений вход-выход разработка теории и методов приближенной реализации;

4) распространение теории и методов реализации на класс динамических систем с интервальной неопределенностью; постановка задач реализации, получение критериев реализуемости, разработка методов вычисления реализаций.

Методы исследования. В качестве методической основы для разработки и исследования моделей и методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем. Для получения результатов используются методы линейной и абстрактной алгебры, матричного анализа, теории нечетких множеств, интервального анализа. При разработке методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации применяются методы математического программирования. Для построения теоретико-системных моделей используются методы системного анализа.

Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем:

1) Для линейных стационарных динамических систем с дискретным временем сформулированы и доказаны утверждения, которые представляют методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения. Получены модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации. Разработаны численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

2) Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний, являющейся обобщением теоремы Эйленберга.

3) Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с «шумом». Получены методы решения задач приближенной реализации, основанные на минимизации функции несогласованности для оценивания параметров системы и специальной критериальной функции для оценивания размерности системы. Разработаны численные методы и алгоритмы вычисления приближенной реализации.

4) Для интервальных линейных стационарных динамических систем проанализированы возможные формулировки задачи реализации и пути ее решения. Сформулирован и доказан критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Получен метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем.

5) Введено понятие общей нечеткой системы относительно t-нормы. Для данного класса систем сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Проанализировано свойство нечеткой линейности нечетких отношений и исследованы свойства нечетких линейных систем.

6) На основе разработанных методов и алгоритмов точной и приближенной реализации развита методика представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем. На совокупности тестовых примеров и реальных экспериментальных данных показаны алгоритмическая эффективность методов и их применимость для решения прикладных задач.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что разработанные методы представления динамических систем в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления технических, медико-биологических, экологических и других систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции «Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов» (Барнаул, 1997); на краевых конференциях по математике «Математики Алтайского края» (Барнаул, 1998, 1999, 2000, 2001, 2003); на научной сессии Алтайского отделения МАНЭБ «Устойчивое развитие конверсируемых регионов Сибири» (Бийск-Барнаул, 1999); на городских научно-практических конференциях (Бийск, 1999, 2000); на семинаре «Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления» (Новосибирск, 2001); на Международной научно-технической конференции «Измерения, контроль, информатизация» (Барнаул, 2002, 2003); на IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2002); на Международном совещании по интервальной математике и методам распространения ограничений (Новосибирск, 2003); на Второй Международной научно-технической конференции «Технологическая системотехника» (Тула, 2003); на научно-техническом семинаре факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (Томск, 2004).

Положения, выносимые на защиту:

1) Модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения вход-выход линейной стационарной динамической системы с дискретным временем.

2) Численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

3) Теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний (обобщение теоремы Эйленберга).

4) Развитие теории, методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации.

5) Методика формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.

6) Методы моделирования временных рядов системой с пространством состояний, основанные на вычислении конечномерных реализаций.

7) Формализация задач реализации для линейных динамических систем с интервальной неопределенностью. Критерий алгебраической реализуемости для интервальных систем.

8) Метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных интервальных динамических систем.

9) Развитие общей теории нечетких систем. Теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции для общей нечеткой системы.

10) Формализация понятия нечеткой линейности и получение свойств нечетких линейных систем.

Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав и заключения. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель, задачи, объект и методы исследования, научная новизна и практическая значимость работы, указаны положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика работы.

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем:

1) Проведен теоретико-системный анализ проблемы представления динамических систем в пространстве состояний. Исследованы теоретические и методологические аспекты этой проблемы на различных уровнях общности.

2) На основе алгебраического подхода к проблеме исследованы задачи как точного, так и приближенного моделирования процессов и явлений на основе представления систем в пространстве состояний. Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с "шумом".

3) Изучены свойства блочных ганкелевых матриц поведения вход-выход линейной стационарной динамической системы. Сформулированы и доказаны утверждения, которые дают методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения системы. Разработаны модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации заданного отображения вход-выход.

4) Разработаны и протестированы численные методы и программное обеспечение для решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

5) Исследованы свойства реализаций над коммутативными кольцами. Введено понятие проективной системы. Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний.

6) Разработаны методы решения задач приближенной реализации для систем с «шумом». Приведены алгоритмы вычисления приближенной реализации, методы и алгоритмы оценивания размерности и параметров системы.

7) Предложен и обоснован подход к автоматизированному моделированию с использованием методики формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.

8) Для асимптотически устойчивых динамических систем с дискретным временем разработан метод построения матриц импульсной характеристики на основании данных наблюдения за входными и выходными сигналами системы.

9) Поставлена и исследована проблема реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем. Проанализированы возможные формулировки этой проблемы и пути ее решения. Сформулирован и доказан достаточный критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Предложен и обоснован метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем.

10) Введены понятия общей нечеткой системы относительно t-нормы, ее объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Установлены соотношения между различными условиями согласованности этих понятий. Сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции для общей нечеткой системы.

11) Введено в рассмотрение и проанализировано свойство линейности нечетких отношений. Введено понятие нечеткой линейной системы и исследованы свойства такой системы и ее отношения глобальной реакции.

12) Разработаны методы моделирования временных рядов системой с пространством состояний, основанные на вычисления конечномерных реализаций. Практическая применимость указанных методов проиллюстрирована на примерах решения задач фильтрации электрокардиографических сигналов, анализа и прогноза содержания загрязняющих веществ в системах водоотведения промышленных стоков.

Изложенные в работе результаты важны не только в концептуальном и теоретическом аспектах, но и в практическом. Предложенные в работе методы и алгоритмы могут представлять интерес для различных областей применения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая результаты теоретического анализа проблемы и экспериментальной проверки методов и алгоритмов представления динамических систем в пространстве состояний, можно сделать вывод об актуальности и значимости проведенного исследования и дальнейших перспективах изучения проблемы.

В первой главе исследования определены основные теоретико-системные понятия, введен в рассмотрение основной объект исследования - линейная стационарная динамическая система с дискретным временем. Во второй главе проанализированы проблемы моделирования динамических систем, взаимосвязи между задачами моделирования, реализации и идентификации. В третьей главе разработаны методы и алгоритмы реализации для систем над полями. В четвертой главе представлены результаты по теории и методам реализации для систем над коммутативными кольцами. Методы и алгоритмы приближенной реализации, разработанные для систем с «шумом» содержатся в пятой главе. В шестой главе предложен подход к построению моделей с пространством состояний непосредственно на основе данных вход-выход, приведены методы оценки качества моделей. В седьмой главе проанализированы вопросы распространения теории реализации на различные классы динамических систем, представлены методы реализации систем с интервальной неопределенностью, исследован вопрос существования объекта глобальных состояний для нечетких систем. В восьмой главе описаны подходы к использованию теории и методов представления систем в пространстве состояний для различных областей применения.

1. Аверкин A.H., Батыршин И.З., Блишун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. — М.: Наука, 1986.

2. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / Под ред. М. Арбиба. -М.: Статистика, 1975.

3. Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса и А. Фрелиха. — М.: Мир, 1969.

4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. -М.: Мир, 1982.

5. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Стабилизация наблюдаемой линейной системы управления с постоянными интервальными коэффициентами // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2002. — №2. —1. С. 11-17.

6. Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. — М.: Мир, 1986.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

8. Бир С. Кибернетика и управление производством. М.: Физматгиз, tf 1963.

9. Биргер И.А. Определение диагностической ценности признаков // Кибернетика. 1968. - №3. - С. 80-85.

10. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Об одной разновидности задачи стабилизации линейной дискретной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. - №9. - С. 111-124.

11. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974.-Вып. 1-2.м

12. Буков В.Н., Косьянчук В.В., Рябченко В.Н. Вложение систем. Неконструктивное моделирование // Автоматика и телемеханика. — 2001. — №12.-С. 3-10.

13. Буков В.Н., Рябченко В.Н. Обобщение утверждений о реализуемости компенсатора на входе системы // Автоматика и телемеханика. — 2003. -№4. -С. 30-43.

14. Буков В.Н, Рябченко В.Н., Зубов Н.Е. Вложение и оптимизация линейных систем // Автоматика и телемеханика. 2002. — №5. — С. 12-23.

15. Бутковский А.Г. Что такое управление с точки зрения аксиомы выбора Цермело // Автоматика и телемеханика. 2000. - №7. — С. 182-185.

16. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

17. Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высшего порядка // Теория систем. Математические методы и моделирование: Сборник переводных статей. М.: Мир, 1989. - С. 193-237.

18. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

19. Васильев С.Н. От классических задач регулирования к интеллектному управлению. I // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2001. №1. - С. 5-22.

20. Васильев С.Н. От классических задач регулирования к интеллектному управлению. II // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2001.- №2.-С. 5-21.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988.

22. Веников В.А., Суханов О.А. Кибернетические модели электрических систем.-М.: Энергоиздат, 1982.

23. Виллемс Я. К. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование: Сборник переводных статей.-М.: Мир, 1989.-С. 8-191.

24. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

25. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979.

26. Гайшун И.В. Двухпараметрические дискретные системы над кольцом вычетов и их свойства // Автоматика и телемеханика. 2002. — №11.— С. 24-31.

27. Гайшун И.В. Стабилизируемость линейных систем над кольцами // Автоматика и телемеханика. 2002. - №3. - С. 27-35.

28. Гайшун И.В., Горячкин В.В. Минимальная реализация вполне разрешимых линейных дифференциальных систем наблюдения // Автоматика и телемеханика. 2003. - №3. — С. 52-60.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, 1988.

30. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979.

31. Гукасов В.Г., Пинскер И.Ш., Цукерман Б.М. Описание электрокардиограмм в автоматизированном комплексе // Моделирование и автоматический анализ электрокардиограмм / Под ред. И.Ш. Пинскер. — М.: Наука, 1973.-С. 143-150.

32. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. -М.: Наука, 1970.

33. Дёмин Н.С., Лузина Л.И. Оптимизация систем фильтрации стохастических сигналов. Томск: Изд-во ТГУ, 1991.

34. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. -М.: Мир, 1981.

35. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

36. Домбровский В.В. Понижение порядка систем оценивания и управления. -Томск: Изд-во ТГУ, 1994.

37. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М: Статистика, 1973.

38. Елкин В.И. Реализация, инвариантность и автономность нелинейных управляемых динамических систем // Автоматика и телемеханика. -1981. -№7. С. 36-44.

39. Заде JL, Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

40. Заде JI.A. Понятие приближенной переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

41. Заславский Б.Г. Динамика Численности управляемых популяций // Автоматика и телемеханика. 1982. - №2. - С. 71-80.

42. Заславский Б.Г. Об управлении неотрицательными воздействиями динамической численности популяций и сообщества // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 289, № 11. - С. 44-46.

43. Ивлев Р.С., Соколова С.П. Построение векторного управления многомерным интервально заданным объектом // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4, №4. - С. 3-13.

44. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

45. Канторович JI.B. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский математический журнал. 1962-Т. 3,№5.-С. 701-709.

46. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

47. Кашьяп P.JL, Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983.

48. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир, 1977.

49. Ковальков Ю.А., Дмитриев О.Н. Эффективные технологии маркетинга. — М.: Машиностроение, 1994.

50. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия "количества информации" // Проблемы передачи информации. 1965. — Т. 1. — С. 1-7.

51. Кривошапко С.Ю., Пушков С.Г. Вычисление конечномерных реализаций для интервальных динамических систем: метод граничных реализаций // Материалы шестой краевой конференции по математике «МАК-2003». Барнаул: Изд-во АГУ, 2003. - С. 59-60.

52. Крылов В.В. Модели дискретных систем с бесконечномерным пространством состояний // Автоматика и телемеханика. 1979. - №5. — С. 82-88.

53. Кузин JI.T. Основы кибернетики. М.: Энергия, Т. 1. - 1973; Т. 2. -1979.

54. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.

55. Куржанский А.Б. Задача идентификации теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. - 1991. - №4. - С. 3-26.

56. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

57. Кухтенко А.И., Никитенко О.В., Удилов В.В. Алгебраические инварианты и теория управления конечномерными стационарными объектами // Автоматика. 1982. - №6. - С. 53-64.

58. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

59. Ланкастер П. Теория матриц. -М.: Наука, 1982.

60. Левин В.И. Интервальная непрерывная логика и ее применения в задачах управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2002.-№1.- С. 138-145.

61. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

62. Литвинов А.П. О ганкелевых и других матрицах, порождаемых рациональными дробями // Известия вузов. Математика. 1980. — №6. -С. 36-43.

63. Ломадзе В.Г. Об обобщенных автономных динамических системах // Сообщения АН ГССР. 1987. - Т. 126.-С. 261-264.

64. Луазо Ж.Ж., Марченко В.М. Реализация в шкалах систем с запаздыванием // Доклады РАН. 2002. - Т. 383, №3. - С. 305-308.

65. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

66. Люблинский Р.Н., Оскорбин Н.М. Методы декомпозиции при оптимальном управлении непрерывными производствами. — Томск: Изд-во ТГУ, 1979.

67. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

68. Математические методы в теории систем: сборник переводных статей / Под ред. Ю.И. Журавлева. М.: Мир, 1979.

69. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы. -М.: Мир, 1978.

70. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. — М.: Наука, 1981.

71. Морозов Е.К. Математическое моделирование в научном познании. — М: Мысль, 1969.

72. Общая алгебра / Под ред. Л.А. Скорнякова, Т. 1. М.: Наука, 1990.

73. Орлов В.Н. Руководство по электрокардиографии. М.: Медицина, 1983.

74. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. I // Программирование. 1975. - №3. — С. 75-85.

75. М 76. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. II // Программирование. 1975. - №4. — С. 58-68.

76. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. III // Программирование. 1976. — №1. - С. 70-76.

77. Осетинский Н.И. О проблеме реализации для систем с последствием // Теория систем и методы их моделирования. М.: ВНИИ системных исследований, 1980. - С. 23-29.

78. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов и методов в современной теории систем // Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. - С. 328-379.

79. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов по современной теории систем // Математические методы в теории систем. — М.: Мир, 1979.-С. 271-327.

80. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных системуправления. Томск: Изд-во ТГУ, 1980.

81. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа и синтеза многосвязных динамических систем. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000.

82. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // Автоматика и телемеханика. — 2002. — №8. — С. 37-53.

83. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез // Автоматика и телемеханика. 2002. -№11.-С. 56-75.

84. Прангишвили И.В., Гинсберг К.С. Системные закономерности и теория идентификации // Идентификация систем и проблемы управления: Материалы международной конференции "SICPRO'2000". — Москва, 2000 // Вестник РФФИ. 2001. -№3. - С. 44-57.

85. Пушков С.Г. Алгоритм вычисления приближенной реализации //

86. Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2000. - Т. 4, №3. - С. 133-144.

87. Пушков С.Г. Интервальные динамические системы: Проблема минимальной реализации и пути ее решения // Измерения, контроль, информатизация: Сборник докладов международной научно-технической конференции. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2002. -С.19-23.

88. Пушков С.Г. К вопросу построения общей теории нечетких систем // Третья краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во АГУ, 2000. С. 58-59.

89. Пушков С.Г. К общей теории нечетких систем: глобальные состояния, условия согласованности и линейность // Вестник Томского государственного университета. 2002. - №1П(Н). - С. 169-174.

90. Пушков С.Г. Комплекс программного обеспечения для решения задач точной и приближенной реализации // Материалы IV Юбилейной научно-практической конференции, посвященной 290-летию г. Бийска. Барнаул: Изд-во АГТУ, 2000. - С. 197-201.

91. Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Известияа, РАН. Теория и системы управления. 2002. — №3. - С. 5-11.

92. Пушков С.Г. Линейные системы с проективным модулем состояний // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2001. — №1. — С. 165-170.

93. Пушков С.Г. Методы вычисления конечномерной реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкеле-вой матрицы // Четвертая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во АГУ, 2001. С. 73-74.

94. Пушков С.Г. Модели точного и приближенного представления данных контроля линейных динамических систем: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. -Барнаул, 1998.

95. Пушков С.Г. Модели точного и приближенного представления данных контроля линейных динамических систем: Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Барнаул, 1998.

96. Пушков С.Г. Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем // Известия Алтайского государственного университета. 1999.- №1.-С. 40-43.

97. Пушков С.Г. Нечеткие линейные системы // Известия Алтайского государственного университета. 2002. - №1. - С. 36-40.

98. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. 1991. - №6. - С. 107-112.

99. Пушков С.Г. О моделировании временного ряда системой с пространством состояний // Известия Алтайского государственного университета. 2001. - №1. С.34-38.

100. Пушков С.Г. О представлении данных контроля линейных динамических систем // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов: Сборник докладов четвертой международной конференции. Том 2. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997. - С. 69-71.

101. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991. -№10. - С. 56-63.

102. Пушков С.Г. Об общей теории нечетких систем: глобальные состояния и нечеткая глобальная реакция нечеткой системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - №5. - С. 105-109.

103. Пушков С.Г. Об одном подходе к описанию наблюдаемого процесса линейной динамической системой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - № 1. - С. 39-44.

104. Пушков С.Г. Оценивание параметров приближенной реализации: случай квадратичной функции несогласованности // Известия Алтайского государственного университета. 2000. - №1. - С. 30-33.

105. Пушков С.Г. Представление динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализация. Монография. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2003.

106. Пушков С.Г. Проблема конечномерной реализации для интервальных динамических систем // Известия Алтайского государственного университета. 2003. -№1. - С. 15-19.

107. Пушков С.Г. Прогнозирование валютных курсов на основе вычисления конечномерных реализаций // Вторая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во АГУ, 1999. -С. 74.

108. Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии. 2004. - Т.9, №1. - С. 75-85.

109. Ракитов А.И. Философские проблемы науки. Системный подход. -М.: Мысль, 1977.

110. Распознавание образов и медицинская диагностика / Под ред. Ю.И. Неймарка. М.: Наука, 1972.

111. Родионов A.M. О некоторых дискретных моделях межвидового взаимодействия // Автоматика и телемеханика. 2000. — №12. — С. 122-129.

112. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. — Томск: Изд-во ТГУ, 1981.

113. Савченко JT.A. Автоматическое распознавание электрокардиограмм с использованием алгоритмов обучения машины // Автоматика и телемеханика. 1967.-№11.-С. 145-148.

114. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978.

115. Сейдж Э.П., Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974.

116. Сиротин А.Н. Управляемость линейных дискретных систем, определенных над коммутативными кольцами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. - №6. - С. 26-31.

117. Смагина Е.М. Вопросы анализа многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. Томск: Изд-во ТГУ, 1990.

118. Смагина Е.М., Моисеев А.Н. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе // Вычислительные технологии. 1998. - Т. 3, № 1. - С. 67-74.

119. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981.

120. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М.: Высшая школа, 1985.

121. Современные методы идентификации систем / Под ред. П.Эйкхоффа. -М.: Мир, 1983.

122. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.Красовского. -М.: Наука, 1987.

123. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

124. Теория систем в приложении к проблемам окружающей среды / Под ред. С. Ринальди. Киев: Вища школа, 1981.

125. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В. Емельянова. -М.: Наука, 1970.

126. Теория систем. Математические методы и моделирование: сборник переводных статей. -М.: Мир, 1989.

127. Тихонов А.Н. О математических методах автоматизации обработки наблюдений // Проблемы вычислительной математики. М.: Изд-во МГУ, 1980.-С. 3-7.

128. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

129. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1977.

130. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974.

131. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.

132. Хлебалин Н.А., Шокин Ю.И. Интервальный вариант метода модального управления // Доклады Академии Наук. 1991. - Т. 316, №4. — С. 846-850.

133. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

134. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984.

135. Цыпкин Я.З. Оптимальные критерии качества в задачах идентификации // Автоматика и телемеханика. 1982. - №11. - С. 5-24.

136. Цыпкин Я.З., Позняк А .С., Тихонов С.Н. Оптимальные методы адаптивной идентификации // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1990. - Т. 29. - С. 3-44.

137. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем.-М.: Наука, 1988.

138. Чирейкин Л.В., Шурыгин Д.Я., Лабутин В.К. Автоматический анализ электрокардиограмм. Л: Медицина, 1977.

139. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. -М.: Наука, 1983.

140. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. — 1998. — Т. 3, №2. С. 67-114.

141. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. - №3. - С. 51-61.

142. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Новосибирск, 2000.

143. Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем // Автоматика и телемеханика. -2000. -№1. С. 94-103.

144. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

145. Эльстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шобле М., Донат Г. Введение в нелинейное программирование. -М.: Наука, 1985.

146. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. М.: ИЛ, 1959.

147. Яглом М.М. Математические структуры и математическое моделирование. -М.: Советское радио, 1980.

148. Abu Osman М.Т. On the direct product of fuzzy subgroups // Fuzzy Sets and Systems. 1984. - V. 12, № 1. - P. 87-91.

149. Akaike H. Fitting Autoregressions for Prediction // Ann. Inst. Statist. Math. 1969. - V. 21. - P. 243-247.

150. Anderson B.D.O. Positive system realizations // Open Problems in Mathematical Systems Theory / By ed.: Blondel V.D., Sontag E.D., Vidyasagar V., Willems J.C. London: Springer. - 1999. - Ch. 2.

151. Anderson B.D.O., Arbib M.A., Manes E.G. Foundations of system theory: finitary and infinitary conditions // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. V. 115. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1976.

152. Antoulas A.C. On the structure of matrix power series and the realization problem in linear systems // Modelling, Identification and Robust Control / Ed. by Byrnes СЛ., Lindquist A. North-Holland, Amsterdam, 1986. -P. 487-488.

153. Arbib M.A., Manes E.G. Foundations of system theory: decomposable systems // Automatica. 1974. - V. 10. - P. 285-302.

154. Bacelli F., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.P. Synchronization and Linearity. New York: Willey, 1992.

155. Ball J., Gohberg I., Rodman L. Realization and interpolation of rational matrix functions // Topics in Interpolation Theory of Rational Matrix Valued Functions / Ed. by Gohberg I. Birchauser, 1988. - P. 1-72.

156. Batur C. A modified algorithm for the last squares identification // Trans. ASME J. Dyn. Syst., Meas. and Contr. 1983. - V. 105, №1. - P. 50-52.

157. Billings S., Fakhoury S. Identification of systems containing linear dynamic and static nonlinear elements // Automatica. — 1982. V. 18, №1. — P. 15-26.

158. Bistriz Y. Nested bases of invariants for minimal realization of finite matrix sequences // SIAM J. Control and Optim. 1983. - V. 21. -P. 804-821.

159. Bonivento C., Guidorzi R., Marro G. Irreducible Canonical Realizations from External Data Sequences // Int. J. Control. 1973. - V. 17, №3. -P. 553-563.

160. Bosgra O.H. On parameterizations for the minimal partial realization problem // Systems and Control Letters. 1983. - V. 3. - P. 181 -187.

161. Bosgra O.H. On the structure and parametrization of non-minimal partial realizations // Mathematical theory of networks and systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences. V. 58. - Berlin: Springer-Verlag, 1984.-P. 88-100.

162. Brockett R. The geometry of partial realization problem // Proc. Conference on Decision and Control IEEE. New York, 1978.

163. Brockett R.W. Finite Dimensional Systems. New York: Wiley, 1970.

164. Brockett R.W. Volterra series and geometric control theory // Automatica. 1976. -V. 12. - P. 167-176.

165. Bultheel A., De Moor B. Rational approximation in linear systems and control // // J. Comput. Appl. Math. 2000. - V. 121. - P. 355-378.

166. Bultheel A., Van Barel M. Linear Algebra, Rational Approximation and Orthogonal Polynomials // Studies in Computational Mathematics. Vol. 6. -Amsterdam: Elsevier, 1997.

167. Bultheel A., Van Barel M. Pade techniques for model reduction in linear system theory: a survey // J. Comput. Appl. Math. 1986. - V. 14, №3. -P. 401-438.

168. Byrnes C.I., Crouch P.E. Geometric Methods for the Classification of Linear Feedback System // System and Control Letters. 1985. — V. 6. -P. 239-246.

169. Byrnes C.I., Hurt N.E. On the moduli of linear dynamical systems I I Advances in Mathematics. New York: Academic Press, 1977.

170. Byrnes C.I., Lindquist A. The stability and instability of partial realizations // Systems and Control Letters. 1982. - V. 2. - P. 99-105.

171. Candy J.V., Warren M.E., Bulloc Т.Е. Partial realization of invariant system descriptions // Int. J. Control. 1978. -V. 28, №1. - P. 113-128.

172. Candy J.V., Warren M.E., Bulloc Т.Е. Realization of invariant system descriptions from infinite Marcow sequences II IEEE Trans. Autom. Control. 1978. - V. AC-23, №1. - P. 93-96.

173. Ching W.S., Wyman B.F. Duality and the regulator problem for linear systems over commutative rings // J. Comput. and Syst. Sci. 1977. - V. 14. -P. 360-368.

174. Clancy S.J., Rugh W.J. On the Realization Problem for Stationary, Homogeneous, Discrete-Time Systems // Automatica. 1978. - V. 14. -P. 357-366.

175. Conte G., Perdon A.M. Systems over a principal ideal domain. A polynomial model approach // SIAM J. Contr. and Optim. 1982. - V. 20, №1. -P. 112-124.

176. Conte G., Perdon A.M. Generalized state space realizations for non-proper transfer function // Systems and Control Letters. 1982. — V. 1. — P. 270-276.

177. Cunighame-Green R. Minimax Algebra // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. V. 166. - Berlin: Springer-Verlag, 1979.

178. De Jong L.S. Numerical aspects of recursive realization algorithms // SIAM J. Contr. and Optim. 1978. - V. 16, №4. - P. 646-649.

179. De Schutter B. Minimal state-space realization in linear system theory: an overview // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. -V. 121.-P. 331-354.

180. De Schutter В., Blondel V., de Vries R., De Moor B. On the boolean minimal realization problem in the max-plus algebra // Systems and Conb> trol Letters. 1998. - V. 35, №2. - P. 69-78.

181. De Schutter В., De Moor B. Minimal realization in the max algebra is an extended linear complementarity problem // Systems and Control Letters. 1995. - V. 25, №2.-P. 103-111.

182. Dye B.R. A Note on an Algorithm of J. Rissanen // SIAM J. Contr. and Optim. 1977. - V. 15, №1.-P. 73-78.

183. Eilenberg S., Automata, languages and machines, vol.A. New York: Academic Press, 1974.

184. Eising R. Low order realizations and for 2-D transfer functions // Proc. IEEE. 1979. - V. 67, №4. - P. 866-868.

185. Eising R. Realization and stabilization of 2-D systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1978. - V. AC-23, №5. - P. 793-800.

186. Eising R., Hautus M. Realization algorithms for systems over a principal ideal domain // Math. Systems Theory. 1981. -V. 14, №4. - P. 353-366.

187. Emre E. On necessary and sufficient conditions for regulation of linear systems over rings // SIAM J. Contr. and Optim. 1982. - V. 20, №2. - P. 155-160.

188. Farina L., Benvenuti L. Positive realizations of linear systems // Systems ^ and Control Letters. 1995. - V. 26. - P. 1 -9.

189. Fasol K.H., Jorgl H.P. Principles of model building and identification // Automatica.- 1980.-V. 16, №5.-P. 505-516.

190. Fliess M. Some remark on nonlinear inevitability and dynamic state-feedback // Proc. MTNS-85, Stockholm, 1985 / Ed. By Byrnes C. and Lindquist A. Amsterdam: Elsevier, 1986.

191. Fornasini E., Marchesini G. Computation of Reachable and Observable Realizations of Spatial Filters // Int. J. Contr. 1977. - V. 25, №4. -P. 621-635.

192. Fornasini E., Marchesini G. Doubly-Indexed Dynamical Systems // Math. Syst. Theory. 1978. - V. 12. - P. 59-72.

193. Fornasini E., Marchesini G. Some connections between algebraic properties of pairs of matrices and 2D systems realization // Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. 1984. - V. 63. - P. 117-124.

194. Fornasini E., Marchesini G. State-Space Realization Theory of Two-Dimensional Filters // IEEE Trans. Autom. Contr. 1976. - V. AC-21, №4.-P. 484-492.

195. Fornasini E., Rocha P., Zampieri S. State-Space Realization of 2D Finite-Dimensional Behaviors // SIAM J. Contr. and Optim. 1993. - V. 31, №6. -P. 1502-1517.

196. Freedman M.I., Willems J.C. Smooth representation of systems with differentiated inputs // IEEE Trans. Automat. Control. 1978. - V. 23. -P. 16-22.

197. Frobenius G. Uber Relationen zwischen Naherungsbrucken von Potenzrai-hen // J. Fur Reine Angewandte Math. 1946. - V. 30. - Z. 1-17.

198. Fuhrmann P. Algebraic system theory: An analyst's of view // J. Franklin Inst. 1976. - V. 301. - P. 521-540.

199. Fuhrmann P.A. Algebraic methods in system theory // R.E.Kalman Festschrift.-Berlin: Springer-Verlag, 1993.-P. 233-265.

200. Fuhrmann P.A. Duality in polynomial models with some applications to geometric control theory // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. - V. AC-26. - P. 284-295.

201. Fuhrmann P.A. Functional models in linear algebra // Linear Algebra and its Applications. 1992. - V. 162-164. - P. 107-151.

202. Fuhrmann P.A. Linear Systems and Operators in Hilbert Space. New York: McGrow-Hill, 1981.

203. Galkowski K. The State-Space Realization an n-Dimensional Transfer Function // Int. Journal of Circuit Theory and Applications. 1981. - V. 9. -P. 189-197.

204. Galkowski K. The State-Space Realizations of Multi-Input Multi-Output n-D Systems Elementary Operations Approach // Int. Journal of Control.i 1997.-V. 66, №1.-P. 119-140.

205. Gaubert S., Butkovic P., Cunighame-Green R. Minimal (max,+) realization of convex sequences // SIAM J. Contr. Optim. 1998. - V. 36, №1. -P. 137-147.

206. Gilbert E.G. Controllability and observability in multi-variable control sys-tems// SIAM J. Control. 1963.-V. 1,№2.-P. 128-151.

207. Goguen J.A. Minimal realization of machines in closed categories // Bull. Am. Math. Soc. 1972. - V. 78. - P. 777-783.

208. Gohberg I., Kaashoek M.A., Lerer L. A directional partial realization problem // Systems and Control Letters. 1991. - V. 17. - P. 305-314.

209. Gohberg I., Kaashoek M.A., Lerer L. On minimality in the partial realiza-ц tion problem // Systems and Control Letters. 1987. - V. 9. - P. 94-104.

210. Goldfield S.M., Quandt R.E. Some Tests for Homoscedasticy // J. Am. Statist. Assoc. 1965. - V. 60. - P. 539-547.

211. Gragg W.B., Lindquist A. On the partial realization problem // Linear Algebra and its Applications. 1983. - V. 50. - P. 277-319.

212. Gritzali F., Frangakis G., Papakonstantinou G. DECGAP: An automatic ECG analysis program // Comput. Cardiol., Jerusalem, Sept. 19-22, 1989. -Proc. Meet. Los Alamitos (Calif.), 1990. P. 73-76.

213. Gu G., Aravena J.L., Zhon K. On minimal realization of 2-D systems // IEEE Trans. Circuits and Syst. 1991. - V. 38, №10.-P. 1228-1233.

214. Guillaume P., Huard A. Multivariate Pade approximation // J. Comput.

215. Appl. Math.-2000.-V. 121.-P. 197-219.

216. Hambaba M.L. Order selection for non-stationary AR models by predictive least-squares // Proc. Amer. Contr., Pa, June 21-23, 1989, Vol.2. Green Valley (Ariz.), 1989.-P. 1218-1219.

217. Hammer J. Non-linear systems: stability and rationality // Int. J. Contr. — 1984.-V. 40, №1.-P. 1-35.

218. Hazenwinkel M., Kalman R.E. On invariants, canonical forms and moduli for linear, constant, finite dimensional systems // Mathematical systems theory. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 1976. — V. 131.-P. 48-60.

219. Ho B.L., Kalman R.E. Effective construction of linear state-variable models for input/output function // Proc. Third Allerton Conf., 1965. -P. 449-459; Regelungstechnik. V. 14, Jahrg. Heft 12. - P. 545-548.

220. Hsu C.S., Desai U.B., Crawley C.A. Realization algorithms and approximation methods of bilinear systems // Proc. 22nd IEEE Conf. Decis. and Contr. San Antonio, Tex., 14-16 Dec., 1983. - V. 2. - P. 783-788.

221. Isidori A. Nonlinear Control Systems: An Introduction // Lecture Notes in ^ Control and Information. V. 72. - Berlin: Springer-Verlag, 1985.

222. Isidori A. Construction of Minimal Bilinear Realization from Nonlinear Input-Output Maps // IEEE Trans. Autom. Contr. 1973. - V. AC-18, №6. -P. 626-631.

223. Ivakhnenko A.G. Polinomial Theory of Complex Systems // IEEE Trans. System, Man and Cybernetics. 1971. - V. SMC-1. - P. 364-378.

224. Jacobi C.G.J. Uber die Darschtellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebroche rationale Funktion // J. fur Reine Angewandte Math. 1946. -V. 30.-Z. 127-156.

225. Jakubczyk В. Existence and uniqueness of realizations of nonlinear systems // SIAM J. Contr. Optim. 1980. - V. 18. - P. 455-471.

226. Jakubczyk B. Realizations of nonlinear systems: three approaches // Proc. of the Conference on the Algebra and Geometric Methods in Nonlinear Control theory, Paris, 1985 / Ed. by Fliess M. and Hasenwincel M. Dordrecht: Reidel. - 1986.

227. Kalman R.E. Lectures on controllability and observability // CIME Summer Course 1968. Cremonese, Roma, 1969.

228. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems // SIAM J. Contr. 1963. - V. 1. - P. 152-192.

229. Kalman R.E. On minimal partial realizations an input/output map // Aspects of Network and System Theory / Ed. by Kalman R.E., De Claris N. -New York: Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1971. P. 385-407.

230. Kalman R.E. On partial realizations, transfer functions, and canonical forms // Acta Polytechnica Scandinavica. 1979. - V. 31. - P. 9-32.

231. Kalman R.E. Realization theory of linear dynamical systems // Control Theory and Topics in Functional Analysis, Vol.11. Vienna: International Atomic Energy Agency, 1976. - P. 235-236.

232. Kalman R.E. System identification from noisy data 11 Dynamical systems II / ed. by Bednarek A.R. and Cesari L. New York: Academic Press, 1982. -P. 135-166.

233. Kalman R.E., Rouchaleau Y. Realizations theory of linear systems over commutative ring // Automatica, Languages and Program. Amsterdam e.a., 1974.-P. 61-65.

234. Kamen E. On an algebraic theory of systems defined by convolution operators // Math. System Theory. 1975. - V. 9. - P. 57-74.

235. Katsuhisa F., Shospiro H., Hidetaka K. Structural identification and software package for linear multivariable systems // Automatica. — 1981. — V. 17, №5.-P. 755-762.

236. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space // Computing Supplement. 1980. - V. 2. - P. 33-49.

237. Kelmans G.K. Active identification of dynamic systems iface of "coloured" disturbances // Int. J. Syst. Sci. 1982. - V. 13, №11. -P. 1201-1221.

238. Khargonekar P.P. On matrix fraction representation for linear systems over commutative rings // SIAM J. Contr. and Optim. 1982. - V. 20, №2. -P. 172-197.

239. Khargonekar P.P., Sontag E.D. On the relation between stable matrix fraction factorization and regulable realizations of linear systems over rings // IEEE Trans. Autom. Contr. 1982. - V. 27, №3. - P. 627-638.

240. Klir G.J. A principle of uncertainty and information invariance. // Int. J. General Systems. 1990. - V.17.

241. Klir G.J. Facets of systems science. New York: Plenum Press, 1991.

242. Klir G.J., Folger T.A. Fuzzy sets, uncertainty, and information. — N.J.: Prentice Hall, 1988.

243. Koniski K., Inouchi K., Yoshimura Т., Soeda T. Stable identification scheme for linear discrete-time systems // Int. J. Syst. Sci. 1980. - V. 11, №11.-P. 1265-1278.

244. Kuijper M., Schumacher J.M. Realization of autoregressive equations in pencil and descriptor form // SIAM J. Control and Optim. 1990. - V. 28. -P. 1162-1189.

245. Kung S.J. A new identification and model reduction algorithm via regular value decomposition // Proceedings of the 12 Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers. Pacific Grove, CA, 1978. — P. 705-714.

246. Lee E.B., Olbort A.W. On reachability over polynomial rings and a related genericity problem//Int. J. Syst. Sci. 1982. - V. 13, №1.-P. 109-113.

247. Lepschy A., Milo S., Forriano D. A mathematical model for the hydraulic networks of mechanical hosting reclamations // Automatica, 1973. V. 9. -P. 467-479.

248. Marchesini G., Picci G. Result on the Abstract Realization Theory of Multilinear Systems // Theory and Applications of Variable Structure Systems / Ed. by Mohler R.R., Ruberti A. New York: Academic Press, 1974. — P. 109-135.

249. Mayne D.Q. An elementary derivation of Rosenbrock's minimal realization algorithm // IEEE Trans, on Automatic Control. 1973. - V. 18, №3. -P. 306-307.

250. Mitra S.K., Chakrabarti S. A New Realization Method for 2-D Digital Transfer Functions // IEEE Trans. Acoust. Speech. Signal Process. — 1978. V. ASSP-26, №6. - P. 544-550.

251. Modelling, Identification and Robust Control / Ed. by Byrnes C.I., Lindquist A. North-Holland, Amsterdam, 1986.

252. Muratori S., Rinaldi S. Equilibra, stability and reachability of Leslie system with nonnegative inputs // IEEE Trans. Autom. Contr. 1990. - V. 35, №9.-P. 1065-1068.

253. Newman M. Integral Matrices. New York: Academic Press, 1972.

254. Pazzen E. Some Recent Advance in Time Series Analysis // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. - V. 19. - P. 723-730.

255. Polderman J.W., Willems J.C. Introduction to Mathematical System Theory: A Behavioral Approach / Texts in Applied Mathematics. V. 26. — Springer-Verlag, 1997.

256. Popper K.R. Conjectures and Refutations. London: Happer and Row, 1963.

257. Ravi M.S., Rosenthal J. A general realization theory for high-order linear differential equations // Systems and Control Letters. 1995. — V. 25. — P. 351-360.

258. Ravi M.S., Rosenthal J. A smooth compactifications of the space of transfer functions with fixed McMillan degree // Acta Appl. Math. 1994. -V.34.-P. 329-352.

259. Rissanen J. Recursive identification of linear systems // SIAM J. Contr. — 1971.-V. 9, №3. P. 420-430.

260. Rocha P. Structure and Representation of 2D Systems / PhD thesis. — 1 Groningen, 1990.

261. Rocha P. Willems J.C. A Foundation for the Control Theory of nD Behaviors // 13th International Symposium on the Mathematical Theory of Networks and Systems. Padua, Italy, 1997.

262. Rosenbrock H.H. State Space and Multivariable Theory. London: Nelson and Sons Ltd, 1970.

263. Rosenthal J., Schumacher J.M. Realization by Inspection // IEEE Trans, on Automatic Control, 1997. V. 42, №9. - P. 1257-1263.

264. Rouchaleau Y., Sontag E.D. On the existence of minimal realizations of linear dynamical systems over Noetherian integral domains // J. Comput. and Syst. Sci. 1979. - V. 18, № 1. - p. 65-75.

265. Rouchaleau Y., Wyman B.F. Linear dynamical systems over integral domains //J. Comput and Syst. Sci. 1974. -V. 9, №2. - P. 129-142.

266. Rouchaleau Y., Wyman B.F., Kalman R.E. Algebraic structure of linear dynamical systems. III. Realization theory over a commutative ring. // Proc. Nat. Acad. Sci. (USA). 1972. - V. 69. - P. 3404-3406.

267. Sakata S. On the minimal partial realization of 2D discrete linear shift-iV invariant systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. - V. 36, №8.1. P. 984-988.

268. Schumacher J.M. Transformations of linear systems under external equivalence // CWI Report OS-R8604. 1965, April.

269. Silverman L.M. Realization of linear dynamical systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1971.-V. AC-16.-P. 554-567.

270. Slonim M.A., Levi M., Yaron D., Ovsyshceher E.A. Computer filtering of ECG signal based on the prior knowledge principle-general concept // Comput. Cardiol., Jerusalem, Sept. 19-22, 1989. -Proc. Meet. Los Alami-tos (Calif.), 1990. P. 397-400.

271. Smagina Ye.M. New coprime polynomial fraction representation of transfer function matrix // Kybernetika. 2001. - V.37, №6. - P. 725-735.

272. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: A survey. // Ricerche di Automatica. 1976. - V. 7. - P. 1-34.

273. Sontag E.D. On first order equations for multidimensional filters // IEEE Trans. Acoust. Speech. Signal Process. 1978. - V. ASSP-26, №5. -P. 480-482.

274. Sontag E.D. On linear systems and noncommutative rings // Math. System Theory. 1976. - V. 9, №4. - P. 327-344.

275. Sontag E.D. On split realizations of response maps over rings // Inf. and Contr. 1978. - V. 37, №1. - P. 23-33.

276. Sontag E.D. Polynomial response maps // Lect. Notes Contr. Inf. Sci. -1979.-V. 13, VIII.

277. Sontag E.D. Realization theory of discrete-time nonlinear systems, I // IEEE Trans. Circuits and Syst. 1979. - V. CAS-26, №4. - P. 342-356.

278. Sussmann H.F. Minimal realizations and canonical forms for bilinear systems // J. Franklin Inst. 1976. - V. 301, №6. - P. 593-604.

279. Sussmann H.J. Existence and uniqueness of minimal realizations of nonlinear systems // Math. Systems Theory. 1977. - V. 10. - P. 263-284.

280. System Analysis and Simulation in Ecology / by ed. B.C. Patten. N.Y.: Academic Press, vol. 1, 1971; vol. 2, 1973.

281. Tannenbaum A. Invariance and System Theory: Algebraic and Geometric Aspects // Lecture Notes in Mathematics. V. 845. - Berlin: Springer-Verlag, 1981.

282. Tarn T.J., Nonoyama S. Realization of Discrete-Time Internally Bilinear Systems // Proc. IEEE Conf. Dec. Contr. Clearwater Beach, Florida, 1976.-P. 125-133.

283. Tether A.J. Construction of minimal state-variable models from finite input-output data // IEEE Trans, on Automatic Control. 1970. - V. 17, №4. -P. 427-436.

284. Trahanias P., Skordalakis E. Syntactic Pattern Recognition of the ECG // IEEE Trans on Pattern Anal, and Machine Intel. 1990. - V. 42, №7. -P. 648-657.

285. Tsoi A.C. Minimal Realizations of Linear Systems // Int. J. Control. -1976. V. 23, №4. - P. 575-585.

286. Valcher M.E. On the Decomposition of Two-Dimensional Behaviors // Multidimensional Systems and Signal Processing. 2000. - V. 11, №1-2. -P. 49-65.

287. Van Barel M., Bulthell A. A minimal partial realization algorithm for MIMO systems // Report TW79 Katholiece Universiteit Leuven, 1986.

288. Van der Schaft A.J. Observability and controllability for smooth nonlinear systems // SIAM J. Contr. Optim. 1982. - V. 20. - P. 338-354.

289. Van Dooren P.M. The generalized eigenstructure on linear system theory // IEEE Trans, on Automatic Control. 1981. -V. 26, №1. - P. 111-129.

290. Weiss L., Kalman R.E. Contributions to linear system theory // Intern. J. Eng. Sci. 1965. - V. 3. - P. 141-171.

291. Willems J.C. From Time Series to Linear System. I // Automatica. — 1986. -V. 22,№5.-P. 561-580.

292. Willems J.C. From Time Series to Linear System. II // Automatica. 1986. -V. 22,№6.-P. 675-694.

293. Willems J.C. From Time Series to Linear System. Ill // Automatica. — 1986.-V. 23, №1.-P. 87-115.

294. Willems J.C. Input-output and state space representations of finite dimensional linear time-invariant systems // Linear Algebra and its Applications. — 1983. V. 50.-P. 581-608.

295. Willems J.C. Paradigms and Puzzles in the Theory of Dynamical Systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. - V. 42, №6. - P. 458-472.

296. Willems J.C. System theoretic models for the analysis of physical systems // Ricerche di Automatica. 1979. - V. 10. - P. 71-106.

297. Wood J. Modules and Behaviors in nD Systems Theory // Multidimensional Systems and Signal Processing. 2000. - V. 11, №1-2. - P. 11-48.

298. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — V. 8. — P. 338-353.

299. Zadeh L.A. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes // IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics. — 1973.-V. SMC-3.-P. 28-44.

300. Zeiger H.P. Ho's algorithm, commutative diagrams, and the uniqueness of minimal linear systems // Information and Control. 1967. - V. 11, №4. -P. 71-79.

301. Zeiger H.P., McEwen A.J. Approximate linear realizations of given dimension via Ho's algorithm // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. - V. 19, №2.-P. 153.