автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Модели статического и динамического гистерезиса для расчета магнитного поля в остовах электротехнических устройств

Введение.

1. Математическое моделирование квазистатического планарного перемагничивания изотропных ферромагнитных сред.

1.1. Моделирование магнитного гистерезиса при квазистатическом однонаправленном перемагничивании ферромагнетика.

1.1.1. Построение упрощенной математической модели гистерезиса.

1.1.2. Результаты моделирования однонаправленного перемагничивания ферромагнетика.

1.1.3. Обобщение модели магнитного гистерезиса при однонаправленном перемагничивании.

1.2. Моделирование квазистатического планарного перемагничивания изотропного ферромагнетика.

1.2.1. Идентификация параметров модели.

1.2.2. Результаты моделирования квазистатического планарного перемагничивания изотропной стали.

1.3. Выводы.

2. Моделирование динамического планарного перемагничивания изотропных ферромагнитных сред.

2.1. Постановка задачи.

2.1.1. Теоремы существования и единственности.

2.1.2. Переход к безразмерным величинам.

2.2. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению.

2.3. Алгоритм численного решения.

2.4. Результаты моделирования динамического перемагничивания изотропного ферромагнетика.

2.5. Численное и экспериментальное моделирование динамического перемагничивания неоднородного пакета стальных пластин.

2.6. Математическая модель динамического материального оператора

2.7. Выводы.

В современных рыночных условиях предъявляются жесткие требования к качеству выпускаемого электрооборудования. Для создания конкурентноспо-собной продукции разработчикам электротехнических устройств приходится бороться за каждый процент выигрыша в весе, габаритах, потерях и т.д. Процесс проектирования таких устройств, как правило, связан с перебором большого количества различных вариантов их исполнения с целью выбора одного, наилучшим образом удовлетворяющего заказчика. Располагая пакетом программ, воспроизводящим работу проектируемого устройства, можно заменить длительный и дорогостоящий эксперимент по доводке изделия на стадии проектирования быстрым просчетом на ЭВМ различных вариантов исполнения устройства, добившись таким образом заметного удешевления процесса проектирования.

Многие электротехнические устройства (силовые трансформаторы, электрические машины, трансформаторы тока, дроссели и т.д.) содержат шихтованные магнитопроводы, которые набираются из пластин электротехнической стали. При работе этих устройств значительная часть энергии рассеивается в их магнитных системах. По имеющимся оценкам [1] в магнитопроводах электрических машин и аппаратов теряется более 6% всей производимой в стране энергии. Потери в стали в силовых трансформаторах мощностью 16000-40000 кВт на напряжения 110-500 кВ составляют в среднем 26,5% суммарных потерь. Уменьшения потерь можно добиться за счет улучшения характеристик используемой стали, но это приводит к удорожанию изделия из-за более высокой цены материала. Другой возможный путь - это совершенствование конструкций магнитопроводов электротехнических устройств в результате оптимизационных расчетов с помощью математических моделей с высокой точностью описывающих электромагнитные процессы.

При современном развитии теоретической электротехники в области расчета электромагнитных полей дальнейшее совершенствование математических моделей электротехнических устройств возможно, в основном, за счет более точного учета всех основных свойств материалов. В частности, при расчете поля в магнитопроводах, изготовленных из изотропной электротехнической стали в результате учета нелинейности, гистерезиса, вихревых токов и магнитной вязкости. Кроме этого, в связи со сложностью исследуемых систем, совершенствование моделей возможно также за счет разработки методов анализа поля, обеспечивающих снижение размерности численных дискретных моделей, при сохранении необходимой точности.

Целью данной работы является создание математических моделей, предназначенных для анализа пространственно-временного распределения квазистационарного плоскопараллельного электромагнитного поля в ограниченных и неограниченных областях, содержащих магнитные системы, изготовленные из изотропной электротехнической стали, с учетом основных ее свойств - нелинейности, гистерезиса, магнитной вязкости и вихревых токов. В качестве примера, иллюстрирующего применение указанного инструментария при решении конкретных технических проблем, в работе рассматриваются задачи расчета магнитного поля и подъемной силы одностороннего линейного индукторного двигателя, а также магнитного поля и потерь в остове однорамного трехфазного силового трансформатора.

Процессы перемагничивания электротехнической стали в шихтованных магнитопроводах электроэнергетических устройств детально исследовались в работах [2-15]. Анализ полученных результатов показал, что в магнитопроводах электротехнических устройств, изготовленных из листовой электротехнической стали, даже при общих синусоидальных питающих напряжениях, часто возникают сложные режимы локального перемагничивания, при которых индукция оказывается несинусоидальной. Такая ситуация наблюдается, например, в многорамных магнитопроводах силовых трансформаторов [2-6]. Исследования, проведенные в работе [2], позволяют утверждать, что несинусоидальность индукции является одной из причин увеличения потерь. Анализ распределения поля в магнитных системах трехфазных трансформаторов и электрических машин [7-15] показывает, что в их отдельных частях имеют место наиболее сложные режимы пространственного перемагничивания стали, при которых векторы индукции и напряженности меняются не только по величине, но и по направлению. В результате, распределение поля и потерь по объему магнитных систем оказывается существенно неоднородным и, например, в зоне Т-соединения трехфазного трансформатора потери в 2,4 раза превышают средние потери в стержнях [11].

Наличие сложных режимов пространственного перемагничивания, наблюдаемых в магнитопроводах электротехнических устройств, приводит к необходимости использования при их расчете моделей материальных операторов, позволяющих учесть основные свойства изотропной и анизотропной электротехнической стали в соответствующих режимах ее работы. В условиях медленно протекающего во времени (квазистатического) перемагничивания материальный оператор должен правильно описывать нелинейность и векторный гистерезис. При динамическом перемагничивании ферромагнетика, в том числе на промышленной частоте, на характеристики стали существенное влияние оказывают вихревые токи и магнитная вязкость, которые также должны учитываться этим оператором.

Численное моделирование полевых задач электротехники в гистерезисных средах в основном связаны со следующими основными проблемами [16]:

- построением математической модели векторного гистерезиса в форме, удобной для реализации на ЭВМ и предполагающей учет основных особенностей реальных ферромагнитных материалов;

- обоснование и организация вычислительного процесса, обеспечивающего наиболее простое и эффективное объединение уравнений электромагнитного поля с уравнением материального состояния гистерезисной среды.

Более точный учет магнитных свойств ферромагнетиков требует использование материальных операторов, описывающих гистерезисные свойства стали. Основные принципы построения математических моделей гистерезиса применительно к анализу задач теории поля сформулированы в работе [16]:

- материальный оператор должен быть определен на максимально широком классе вектор-функций, описывающих электромагнитное поле;

- структура математической модели должна обеспечивать простоту ее объединения с уравнениями Максвелла;

- модель гистерезиса должна быть физически корректной, то есть не противоречить фундаментальным законам природы;

- модель должна обладать возможностью простой идентификации своих параметров путем оптимального подбора по некоторому тестовому набору исходных экспериментальных данных;

- время обращения к модели и требуемый для ее реализации объем оперативной памяти должны быть согласованы с вычислительными возможностями современных ЭВМ и особенностями численного моделирования полевых задач в гистерезисных средах.

Анализ работ, посвященных моделированию электромагнитных процессов в нелинейных изотропных ферромагнитных средах, показывает что наиболее полно данная задача решена только в условиях однонаправленного перемагни-чивания стали. В литературе [17, 18] приводится полный обзор различных функциональных зависимостей, которые обычно применяются для задания кривых намагничивания. В работах [19, 20] для этих целей предлагается использовать кубические сплайны.

В настоящее время для моделирования гистерезиса привлекается разнообразный математический аппарат. Простейшие модели гистерезиса Релея, Кон-дорского, Дюгема [21-24] сводятся к аппроксимации петель гистерезиса и обеспечивают приемлемую точность только при малых индукциях [25]. Другие модели такого типа описаны в работах [26-28].

Универсальные модели гистерезиса должны обеспечивать возможность описания характеристик стали в произвольных режимах ее перемагничивания. Существующие модели такого типа условно можно разделить на две группы: статистические и феноменологические.

Статистические модели строятся на основе представления ферромагнитной среды в виде совокупности частиц, являющихся элементарными носителями гистерезиса. Состояние всей среды и ее характеристики определяются в результате статистического усреднения состояния отдельных частиц с использованием некоторой функции распределения их внутренних параметров. Одной из наиболее известных моделей такого типа является классическая модель Прайзаха [2935]. Статистический подход при построении модели магнитного гистерезиса используется в работах С.Т.Толмачева [36-38], а также в публикациях других авторов [39-40].

Феноменологические модели гистерезиса описывают связь между векторами магнитного поля в ферромагнитной среде без учета изменений в ее внутренней структуре в процессе перемагничивания. Такой подход объясняется сложностью физических процессов, наблюдаемых при перемагничивании ферромагнетика, однако он оправдан тем, что феноменологическую модель, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными обычно удобнее использовать в качестве материального уравнения при расчете поля в магнитных системах электротехнических устройств. Построению моделей указанного типа посвящены работы [41-49]. Значительный вклад в решение этой проблемы внес H.A. Золотарев. Для описания процесса перемагничивания в феноменологических моделях наиболее часто используются дифференциальные уравнения, рассматриваемые в пространстве состояний ферромагнетика. Характеристики намагничивания гистерезисной среды представляются в виде интегральных кривых обыкновенного дифференциального уравнения, а траектория процесса перемагничивания в пространстве его состояний находится как одно из решений этого уравнения на соответствующем этапе процесса перемагничивания материала.

Описанные подходы изменяются при построении моделей векторного гистерезиса, возникающего в результате пространственного перемагничивания электротехнической стали, в процессе которого векторы магнитного поля меняются не только по величине, но и по направлению. К настоящему времени разработано несколько таких моделей, которые в качестве материальных уравнений могут быть использованы для описания гистерезисных характеристик изотропных ферромагнетиков при решении полевых задач [49-55]. Отметим, однако, что определение параметров данных моделей оказывается затруднительным, так как основано на данных, которые трудно снять экспериментально (предельная петля гистерезиса, кривые возврата и т.д.). Кроме этого, данные модели нуждаются в проверке на надежных экспериментальных данных.

Из сделанного обзора публикаций, посвященных моделированию квазистатического перемагничивания ферромагнитных сред, следует, что к настоящему времени в достаточно полном объеме решена только задача построения материальных операторов в условиях однонаправленного перемагничивания стали, в том числе и с учетом гистерезиса. Имеющиеся модели векторного гистерезиса трудно применимы в качестве материальных операторов при решении полевых задач и нуждаются в проверке на экспериментальных данных. Поэтому задача построения математических моделей векторного гистерезиса в изотропных ферромагнетиках, таких, которые могли бы описывать максимально широкий класс характерных явлений перемагничивания с приемлемой для практики точностью, допускали бы простоту объединения с уравнениями Максвелла и возможность идентификации параметров моделей, а также удовлетворяли бы возможностям существующих ЭВМ, по-прежнему остается актуальной и требует дальнейшего решения.

В магнитопроводах реальных электротехнических устройств наиболее часто наблюдается динамическое, в том числе периодическое, перемагничивание стали. Кроме основных свойств стали (нелинейности и гистерезиса), проявляющихся при квазистатическом перемагничивании, существенное влияние на ее характеристики в динамических режимах оказывают вихревые токи и магнитная вязкость. Теоретические основы исследования динамического перемагничивания ферромагнетиков, основанные на методе эквивалентных синусоид, изложены в фундаментальной монографии Л.Р.Неймана [56]. К настоящему времени имеется большое число публикаций, посвященных моделированию однонаправленного динамического перемагничивания электротехнической стали при заданном изменении во времени магнитного потока или напряженности на поверхности листа. Такая постановка задачи является традиционной [57, 58], а ее решение при постоянной магнитной проницаемости материала может быть найдено аналитически [57-61]. Также просто рассчитывается поле в предположении, что характеристики стали описываются прямоугольной петлей гистерезиса [62-64].

При задании характеристик стали кривой намагничивания поле в листе описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Варианты численного решения такой задачи приводятся в работах [65-66]. Однако, ни такое приближение, ни более точное [67-68], при котором свойства стали задаются статической петлей гистерезиса, не позволяют получить хорошего совпадения с экспериментальными данными. В частности, найденные в результате расчета потери в стали, оказываются меньше измеренных на образцах. В работе [69] наличие дополнительных потерь объясняют явлением магнитной вязкости, проявляющимся в виде временного запаздывания изменения намагниченности при изменении магнитного поля в режимах динамического перемагничивания стали. Отметим, что в зависимости от режимов перемагничивания различают два типа магнитной вязкости. Первый тип вызывается в основном вихревыми микротоками, которые возникают при изменении поля, связанном с перемагничиванием доменов и наиболее заметен при изменении напряженности поля в интервале значений, близких к коэрцитивной силе. Второй тип магнитной вязкости вызван наличием примесей, которые задерживают изменение доменных границ при перемагничивании. В этой ситуации возникает необходимость корректировки статических характеристик стали при расчете динамического пе-ремагничивания с использованием той или иной модели, описывающей магнитную вязкость. Различные варианты таких моделей проводятся в работах [69-76]. При их применении в статический материальный оператор, описывающий характеристики стали при медленном перемагничивании, вводится дополнительное слагаемое, пропорциональное производной индукции и учитывающее магнитную вязкость. Указанный способ описания динамического гистерезиса обеспечивает заметное повышение точности моделирования перемагничивания стали в динамических режимах [76-77].

Сделанный анализ публикаций позволяет утверждать, что в настоящее время основные результаты, связанные с моделированием динамического перемагничивания стали, получены в условиях однонаправленного изменения векторов магнитного поля. Кроме этого, имеющиеся модели динамического перемагничивания ферромагнетиков не учитывают весь класс известных явлений - гистерезис, вихревые токи и магнитную вязкость. В связи с этим, проблема расчета динамических режимов пространственного векторного перемагничивания изотропной стали сохраняет свою актуальность и нуждается в дальнейшем решении.

Для построения моделей материальных уравнений, описывающие свойства ферромагнитных сред необходимо располагать набором экспериментальных данных, обеспечивающих возможность проверки математических моделей. Анализ публикаций показывает, что к настоящему времени экспериментально, в полном объеме, исследованы режимы однонаправленного перемагничивания горячекатаных и холоднокатаных сталей в случае, когда векторы индукции и напряженности остаются параллельными фиксированной оси в пространстве. Описанные в работах [78-83] методики дают возможность измерения потерь, петель гистерезиса, основных кривых намагничивания в квазистатическом или периодическом режимах перемагничивания, при синусоидальном изменении магнитного потока в образцах. Результаты таких исследований можно найти, например, в публикациях [84-86]. В работах [87-90] исследовалось влияние на потери под-магничивающего постоянного поля, ориентация которого совпадает с направлением основного переменного поля. Показано, что подмагничивание приводит к увеличению потерь в стали, однако, такая тенденция с увеличением амплитуды переменной составляющей проявляется менее значительно. Отсюда делается вывод, что увеличение потерь при постоянном подмагничивании, в основном, связано с ростом потерь на гистерезис. В статье [91] проведено исследование однонаправленного перемагничивания стали при одновременном наложении двух потоков разной частоты. Показано, что потери в стали существенно зависят от гармонического состава индукции и сдвига фаз между отдельными гармониками. Установлено, что потери на вихревые токи больше в случае, когда первая и третья гармоники совпадают по фазе по сравнению с той ситуацией, когда они находятся в противофазе. В работах [92-96] проведено экспериментальное исследование потерь в условиях периодического перемагничивания стали с произвольным спектральным составом потока в листе. Выяснено, что при фиксированном максимуме индукции потери описываются линейной функцией от квадрата действующего значения производной индукции или от квадрата коэффициента формы этой производной. Работы [97-104] посвящены исследованию перемагничивания электротехнической стали в ортогональных полях. В монографии [97] приведены результаты измерения потерь при поперечном подмагничивании изотропной и анизотропной сталей. Установлено, что в таких режимах в изотропной стали при увеличении подмагничивающего поля потери сначала несколько уменьшаются, а затем начинают расти. Статьи [99-102] посвящены экспериментальному исследованию вращательного перемагничивания стали, в результате которого вектор индукции сохраняет постоянную величину, изменяясь только по направлению, скользя по окружности. В работе [99] показано, что при вращательном перемагничивании в изотропной стали вектор напряженности также описывает окружность, вращаясь с постоянной скоростью. В работах [100102] проведено исследование потерь при вращательном перемагничивании анизотропной и изотропной сталей. Показано, что при однонаправленном перемагничивании потери в 4-5 раз меньше, чем при вращательном.

Анализ публикаций, посвященных экспериментальному исследованию сложных режимов перемагничивания электротехнической стали показал, что в настоящее время достаточно подробно изучено квазистатическое и динамическое перемагничивание однородных пакетов, набранных из листов стали, вырезанных под одним углом к оси прокатки. Динамическое перемагничивание анизотропной стали в режимах, наиболее приближенных к тем, которые наблюдаются в угловых и узловых зонах шихтованных магнитопроводов трансформаторов, то есть там, где оси прокатки прилежащих пластин сдвинуты на 90° не изучено. В связи с этим, остается актуальной проблема разработки методик испытания стали в таких режимах с целью получения экспериментальных данных, которые могут быть использованы для построения математических моделей материальных операторов, описывающих произвольные режимы пространственного перемагничивания неоднородных пакетов перешихтованных зон.

Учет гистерезиса при расчете пространственно-временного распределения поля существенно усложняет численные модели поля. Последнее объясняется неоднозначной гистерезисной зависимостью, связывающей векторы индукции и напряженности магнитного поля. В результате, при традиционном использовании алгоритмов, сводящихся к расчету поля на последовательных временных слоях, возникает необходимость выбора ветви многозначной функции, описывающей гистерезис, которая определяется неизвестным решением на следующем временном шаге. Такая проблема может быть решена итерационно, путем многократного пересчета поля на каждом временном шаге [16, 105-108]. Такой подход предложен в работах Толмачева [16, 105] при решении эволюционных уравнений электродинамики, где материальный оператор описывается построенной работах [37, 38] статистической моделью векторного гистерезиса. Автором доказано, что построенный оператор является оператором сжатия и поэтому для выбора ветви можно использовать метод простой итерации с предварительной линеаризацией исходного оператора на каждом временном шаге. Отметим, что построенный автором алгоритм является большим теоретическим шагом вперед, однако трудно применим для практических расчетов в связи ограниченными возможностями современных компьютеров для реализации статистических моделей векторного гистерезиса. Описанные в работах [106-108] алгоритмы применимы только для простейших интерполяционных моделей гистерезиса, имеющих ограниченную область применения и не могут быть использованы для более сложных универсальных моделей гистерезиса, связывающих вектора магнитного поля В и Я при произвольном перемагничивании материала. Поэтому задача учета векторного гистерезиса при расчете пространственно-временного распределения поля в магнитопроводах по-прежнему остается актуальной.

Задачи анализа плоскопараллельного электромагнитного поля в ограниченных и неограниченных кусочно-однородных ферромагнитных областях возникают при расчете интегральных параметров электрических машин с «открытыми» магнитными системами (линейные асинхронные двигатели, односторонние линейные индукторные двигатели и т.д.), а также при расчете потоков рассеяния в окрестностях угловых и узловых зон магнитопроводов трансформаторов. Для расчета поля в неограниченных областях наиболее часто используется два метода. Первый сводится к искусственному ограничению расчетной области с помощью введения внешней границы и соответствующего задания граничных условий на ней [109,110]. К существенному недостатку этого метода следует отнести необходимость выполнения расчетов в области, ограниченной внешней границей, что приводит к существенному увеличению размерности задач [110]. Второй - предполагает выполнение расчета поля во всей неограниченной области за счет комбинации координатных функций с конечным и бесконечным носителем [110-114]. Координатные функции с бесконечным носителем учитывают поведение решения задачи на бесконечности. В указанных работах на плоскости предложено использовать бесконечные носители (элементы) в виде внешности круга конечного радиуса или бесконечной полосы с вырезом, а в качестве координатных функций для этих элементов использовать либо специальные гармонические функции, такие которые бы учитывали поведение решения задачи на бесконечности, либо отрезок ряда Фурье. Отметим, что гармонические функции, предложенные в работе [110] громоздки и для их вычисления необходимы большие ресурсы ЭВМ. Кроме этого, для увеличения точности вычислений необходимо использовать специальную триангуляцию расчетной области, что также приводит к увеличению размерности. Использование же отрезка ряда Фурье приводит к разрыву решения на фиктивной границе и требует, как правило, большого числа слагаемых для получения необходимой точности. Поэтому разработка эффективных методов решения внешних задач, приводящих к задачам наименьшей размерности по-прежнему остается актуальной и требует дальнейшего развития.

Сделанный обзор состояния проблемы моделирования электромагнитного поля в нелинейных изотропных ферромагнитных средах показывает, что сформулированная выше цель диссертационной работы может быть достигнута в результате рассмотрения следующих основных задач, которые требуют дальнейшего решения:

1. Построение математических моделей материальных операторов, описывающих свойства изотропной стали в режимах планарного квазистатического пе-ремагничивания, позволяющих учесть нелинейность и векторный гистерезис и обеспечивающих возможность задания основных ее характеристик с приемлемой точностью.

2. Разработка методов численного моделирования планарного динамического перемагничивания электротехнической стали с учетом нелинейности, гистерезиса, вихревых токов и магнитной вязкости и построение моделей динамических материальных операторов, учитывающих перечисленные свойства.

3. Построение математических моделей квазистационарного плоскопараллельного электромагнитного поля в конечных и бесконечных областях с кусочно-однородными линейными и нелинейными гистерезисными ферромагнитными средами, таких, которые бы учитывали основные свойства ферромагнетиков -нелинейность, векторный гистерезис, вихревые токи и магнитную вязкость и обеспечивали бы при расчете поля в бесконечных областях переход к дискретным моделям пониженной размерности за счет применения комбинированных методов.

Весь материал диссертации распределен следующим образом. Первый раздел посвящен математическому моделированию квазистатического планарного перемагничивания изотропных ферромагнитных сред. В нем построены феноменологические модели скалярного и векторного гистерезиса, отвечающие всем основным требованиям, предъявляемым к моделям такого типа - определенные на максимально широком классе вектор-функций, описывающих магнитное поле, они обладают возможностью простой идентификации своих параметров по стандартным характеристикам стали, простотой численной реализации и обеспечивают приемлемую для практики точность моделирования, не превышающую погрешность экспериментальных данных. Основным отличием построенных моделей от других известных феноменологических моделей, является разложение материального уравнения на сумму двух составляющих. Первая из них является консервативным материальным оператором и предназначена для учета нелинейных свойств стали, а вторая описывает инерционные процессы в ферромагнетике, связанные с гистерезисом. Модели гистерезиса, описанные в данном разделе описывают потери и основные кривые намагничивания стали с погрешностью, не превышающей погрешность экспериментальных данных. Кроме этого, предложен алгоритм обобщения этих моделей, использование которого позволяет добиться совпадения предельных петель гистерезиса. Разработанные в данном разделе модели используются далее для построения моделей динамического перемагничивания.

Второй раздел посвящен численному моделированию планарного динамического перемагничивания изотропной стали с учетом основных ее свойств -нелинейности, гистерезиса, вихревых токов и магнитной вязкости. Сформулированы краевые задачи с различными способами нормировки режима перемагничивания. В первом случае режим перемагничивания нормируется заданием напряженности магнитного поля на поверхности листа электротехнической стали. Во втором случае нормировка осуществляется с помощью задания средних по толщине листа индукции и плотности тока. Поставленные краевые задачи сведены к эквивалентным интегральным уравнениям. Доказано, что эти интегральные операторы являются операторами сжатия, имеют единственную неподвижную точку и соответствующие им краевые задачи имеют и причем единственное решение. С помощью построенной в этом разделе математической модели динамического перемагничивания проведено численное исследование различных режимов однонаправленного и вращательного перемагничивания листа электротехнической стали и приведено сравнение с имеющимися экспериментальными данными. Предложена упрощенная модель динамического материального оператора, описывающего характеристики планарного динамического перемагничивания изотропной стали с приемлемой точностью. Здесь же изучено экспериментально и промоделировано численно перемагничивание перешихтованной зоны магнитопровода однорамного трехфазного силового трансформатора. В результате проделанных опытов сделан вывод о возможности применения построенных материальных моделей динамического перемагничивания для расчета магнитного поля в остовах силовых трансформаторов, собранных из холоднокатаной анизотропной электротехнической стали.

В третьем разделе построены алгоритмы расчета магнитного поля в ограниченных и неограниченных областях с учетом гистерезиса. Данные алгоритмы обеспечивают снижение размерности дискретных моделей поля за счет введения специальных бесконечных элементов в виде внешности круга конечного радиуса и верхней полуплоскости, предназначенных для аппроксимации поля в части пространства, лежащей вне фиктивной границы. Расчет магнитного поля в изотропных ферромагнетиках осуществлялся с учетом всех их реальных магнитных свойств - нелинейности, гистерезиса, вихревых токов и магнитной вязкости. Разработанные алгоритмы и программы были использованы для расчета магнитного поля и подъемной силы одностороннего линейного индукторного двигателя, применяемого в транспортных системах с магнитным подвесом, а также распределения поля и потерь в узловой и угловой зонах однорамного трехфазного силового трансформатора при различных схемах шихтовки магнитопровода.

При решении сформулированных в работе задач использовались методы экспериментального и имитационного моделирования, а также методы, основанные на аппарате функционального анализа, линейной алгебры, математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, математической физики и теории функций комплексного переменного. Основное содержание работы отражено в 8 публикациях автора [115122].

Основной объем работы составляет 177 страниц и включает 83 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 143 наименования. В приложениях содержится описание методики экспериментального исследования характеристик холоднокатаной анизотропной электротехнической стали в неоднородных пакетах пластин, приведен алгоритм линеаризации нелинейного материального оператора и акт внедрения результатов работы.

3.5. Выводы

На основе полученных в данном разделе результатов можно сформулировать следующие основные выводы.

1. Расчет магнитного поля во всей неограниченной области за счет введения специальных бесконечных элементов позволяет без существенного увеличения объема вычислений производить исследование интегральных характеристик электромеханических устройств с открытыми магнитными системами, а также учитывать потоки рассеяния, которые возникают в окрестности угловых и узловых зон магнитопроводов.

2. Учет гистерезиса и динамических эффектов в стали приводит к существенному уточнению математических моделей электротехнических устройств. Предложенный итерационный алгоритм учета гистерезиса обеспечивает приемлемую для практики точность и скорость сходимости.

3. Разработанные алгоритмы и программы являются инструментарием, который может быть использован для создания более совершенных конструкций магнитных систем, имеющих пониженный объем зон с напряженными режимами работами стали. Возможность использования этих алгоритмов и программ для проектирования и анализа перемагничивания стали в реальных магнитопро-водах подтверждается результатами экспериментов.

4. Сделанный анализ показал, что в Т-образной зоне однорамного магнитопровода трехфазного трансформатора электротехническая сталь работает в

142 режимах вращательного перемагничивания. Наличие такого перемагничивания в значительной части магнитопровода требует проведения его детального исследования с целью выяснения влияния на характеристики трансформатора.

5. Дальнейшее уменьшение потерь на перемагничивание в магнитопроводах трансформаторов можно достичь не только за счет улучшения магнитных характеристик материалов, из которых набраны магнитные системы, но и с помощью использования более совершенных конструкций. Моделирование перемагничивания магнитопроводов с разными способами шихтовки, собранных из одной и той же электротехнической стали показал, что при использовании косых стыков удельные потери в стали в режиме холостого хода на 10% ниже, чем потери в магнитопроводе с прямыми стыками.

143

Рисунок ЗЛО - Динамические петли гистерезиса стали Мб в стержнях и ярме од-норамного трехфазного силового трансформатора (-- - моделирование; - эксперимент)

III 11 ¡1

11 Л!

11 I I И II 1| I Г\— , ;<, 1 1 .-х

1 Ч I! .'1, ,1,1 '.I ,1,'^г

II I Г и 1 I V- 1 ч ^

Рисунок 3.11 - Картинки поля в зоне Т-соединения магнитопровода с прямыми стыками в различные моменты времени А' / ч •* X'/,

Рисунок 3.12 - Картинки поля в зоне Т-соединения магнитопровода с косыми стыками в различные моменты времени

Вх, Тл

Рисунок 3.13 - Годограф вектора магнитной индукции в точке С> Т-соединения

-- - моделирование; -■- - эксперимент)

Ву, Тл"

0,0

-0.Е

-1,С

-1.5

-1,0 -0,5

0,0

0,5 1,0

1,5 Вх, Тл

Рисунок 3.14 - Годограф вектора магнитной индукции в точке Я Т-соединения

-- эксперимент; -•- моделирование)

Рисунок 3.15 - Пространственное распределение модуля индукции в угловой (а) и узловой (б) зонах магнитопровода трансформатора с прямыми стыками при средней индукции в стержнях 1,7 Тл.

Рисунок 3.16 - Пространственное распределение модуля индукции в угловой (а) и узловой (б) зонах магнитопровода трансформатора с прямыми стыками при средней индукции в стержнях 1.5 Тл. б)

Рисунок 3.17 - Пространственное распределение модуля индукции в угловой (а) и узловой (б) зонах магнитопровода трансформатора с косыми стыками при средней индукции в стержнях 1,7 Тл.

Рисунок 3.18 - Пространственное распределение модуля индукции в угловой (а) и узловой (б) зонах магнитопровода трансформатора с косыми стыками при средней индукции в стержнях 1,5 Тл.

Рисунок 3.19 - Графики пространственного распределения удельных потерь в угловой (а) и узловой (б) зонах трехфазного однорамного трансформатора с прямыми стыками при средней индукции в стержнях 1.7 Тл.

Рисунок 3.20 - Графики пространственного распределения удельных потерь в угловой (а) и узловой (б) зонах магнитопровода трехфазного однорамного трансформатора с прямыми стыками при средней индукции в стержнях 1.5 Тл. б)

Рисунок 3.21 - Графики пространственного распределения удельных потерь в угловой (а) и узловой (б) зонах магнитопровода трехфазного однорамного трансформатора с косыми стыками при средней индукции в стержнях 1.7 Тл. угловой (а) и узловой (б) зонах трехфазного однорамного трансформатора с косым стыком при средней индукции в стержнях 1.5 Тл.

Р, Вт/ю

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 В, Тл

Рисунок 3.23 - Удельные потери холостого хода в магнитопроводе трехфазного однорамного трансформатора в зависимости от амплитуды средней индукции в стержнях (магнитопровод с прямым стыком: ■ - рассчитаны по РТМ; * - получены с помощью прямого расчета удельных потерь; ж - эксперимент; ^ - магнитопровод с косыми стыками).

Ву, Тл

1,5 Вх, Тл

Рисунок 3.24 - Годограф вектора магнитной индукции в точке Я Т-соединения (■ моделирование только с учетом нелинейности; • моделирование с учетом динамического гистерезиса)

Рисунок 3.25 - Временные формы напряженности в точке Я Т-соединения маг-нитопровода (-- моделирование только с учетом нелинейности; • моделирование с учетом динамического гистерезиса)

Рисунок 3.26 - Временные формы индукции (—) и напряженности магнитного поля на поверхности листа электротехнической стали в стержнях, в точке удаленной от зоны стыка, полученные при расчете без учета гистерезиса и вихревых токов(и) и при их учете ( • ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена созданию математических моделей, предназначенных для анализа пространственно-временного распределения квазистационарного электромагнитного поля в ограниченных о неограниченных областях, содержащих магнитные системы, изготовленные из изотропной электротехнической стали, с учетом основных ее свойств - нелинейности, гистерезиса, магнитной вязкости и вихревых токов.

В качестве примера, иллюстрирующего возможности построенных моделей для решения конкретных технических проблем в работе рассматриваются задачи расчета магнитного поля и подъемной силы одностороннего линейного индукторного двигателя, а также магнитного поля и потерь в остове однорамно-го трехфазного силового трансформатора в режиме холостого хода. Комплексы программ, реализующие данные модели и методы в настоящее время внедрены ОАО «Элизар» и используются при проектировании новых типов двигателей, имеющих улучшенные технико-экономические показатели.

По результатам работы можно сформулировать следующие основные выводы.

1. Построены феноменологические математические модели скалярного и векторного гистерезиса, описывающие произвольные режимы планарного квазистатического перемагничивания изотропных ферромагнетиков. Для идентификации параметров модели достаточно знать стандартные характеристики стали: потери на квазистатическое однонаправленное перемагничивание, основную кривую намагничивания и предельную петлю гистерезиса. В режимах одноосного перемагничивания построенные модели описывают первые две указанные характеристики стали с погрешностью, не превосходящей погрешность физических экспериментов. Разработан алгоритм обобщения модели, использование которого обеспечивает совпадение предельных петель гистерезиса для произвольных магнитомягких ферромагнитных материалов.

2. Формулировка задач расчета планарного динамического перемагничивания предусматривает учет всех основных свойств изотропных ферромагнетиков: нелинейности, гистерезиса, магнитной вязкости. Математическая корректность поставленных задач подтверждается теоремами существования и единственности их решения, которые доказываются с помощью принципа сжимающих отображений. Разработанные алгоритмы и программы позволяют промоделировать численно методом сжимающих отображений планарное пе-ремагничивание листа электротехнической стали при изменении средней индукции в Листе по любому заданному закону.

3. Построена и проверена экспериментально математическая модель динамического материального оператора, описывающего магнитные характеристики изотропной стали в произвольных режимах периодического планарного пе-ремагничивания на промышленной частоте с учетом нелинейности, гистерезиса, вихревых токов и магнитной вязкости. Основным преимуществом данной модели является то, что учитывая все основные свойства стали в таких режимах перемагничивания и обладая приемлемой для практических расчетов точностью, она отличается простотой численной реализации и обеспечивает возможность объединения с уравнениями Максвелла при решении полевых задач электротехники, обеспечивая повышение точности расчетов.

4. Построены математические модели, основанные на комбинированных методах расчета электромагнитного поля в конечных и бесконечных областях с кусочно-однородными линейными и нелинейными гистерезисными ферромагнитными средами, учитывающие основные свойства ферромагнетиков -нелинейность, гистерезис, вихревые токи и магнитную вязкость и обеспечивающие снижение числа переменных при переходе к дискретным моделям поля.

5. Разработанные алгоритмы и программы являются универсальным инструментарием для создания более совершенных конструкций магнитных систем электротехнических устройств (силовых трансформаторов, электрических машин и т.д.). Возможность использования этих алгоритмов и программ для проектирования и анализа перемагничивания стали в реальных магнитопро-водах силовых трансформаторов подтверждается результатами численных и физических экспериментов.

1. Молотилов Б.В., Миронов Я.В. Современные электротехнические стали //

2. Электротехника. 1983. №6. С. 33-37.

3. Nacata I., Ishihara Y., Nakato M. Analisis of magnetic characteristics of threephase core type transformer with triply-layer core // Elec. Eng. Jap., 1974. V91. №3. P. 17-28.

4. Шугайло А.И. Совершенствование конструкции магнитопроводов силовыхтрансформаторов // Электромеханика. 1976. №4. С.53-56.

5. Крайз А.Т., Спув Г.С., Лейтис. Исследование многорамных магнитопроводовмощных трансформаторов // Вестник Электропромышленности. 1961. №3. С48-50.

6. Дроздов А.А. Расчет нелинейной схемы замещения шихтованногомагнитопровода методом проектирования // Изв. вузов. Электромеханика. 1984. №5. С. 50-60.

7. Воробьев В.В., Горбунцов А.Ф., Мурашковский В.А. Экспериментальноеисследование планарных трехфазных шихтованных конструкций магнитопроводов силовых трансформаторов // Изв. вузов. Электромеханика. 1981. №11. С. 1199-1203.

8. Nakata Т. Analysis of flux distribution of three-limbed transformer cores // Elec.

9. Eng. Jap. 1971. V95. №3. P.43-50.

10. Champi M., Negro A., Tartaglia M. Some results of magnetic field computation ina 3-phase 3-limbed transformer core // Energia Electrica. 1981. №1. P.38-48.

11. Moses A.J., Thomas В., Tompson J.E. Power loss and flux density distributions Tjoint of three phase transformer core // IEEE Trans. Mag. 1972. V8. №41. P. 785-790.

12. Tomas B. Flux paths and flux transfer mechanism in the T-joint of three phasetransformer cores // IEEE Trans. Mag. 1972. V8. №4. P. 785-790.

13. Moses A.J., Tomas B. The special variation of localized power loss in to practicaltransformer T-joints // IEEE Trans. Mag. 1973. V9. №4. P. 655-666.

14. Narita K., Yamaguchi Т., Chida I. Distributions of rotating flux and iron loss in Tjoint of the three-phase three-limbed model transformer cores // Elec. Eng. Tap.1973. V95. №5. Р.431-438.

15. Иванов-Смоленский A.B. Электрические машины. M.: Энергия, 1980.- 928с.

16. Вольдек А.И. Электрические машины. JL: Энергия, 1974. - 782с.

17. Данилевич Я.Б., Кашарский Э.Т. Добавочные потери в электрических машинах. -M.-J1.: Госэнергоиздат, 1963. -214с.

18. Толмачев С.Т. Расчет квазистатических полей в гистерезисных средах. // Изв.вузов. Электромеханика. 1987. №11. С.57-60.

19. Бессонов J1.A. Электрические цепи со сталью. M.- JI.: Высшая школа, 1948.-369с.

20. Пысин O.K. Аппроксимация статических кривых намагничивания простымифункциями // Электронная техника. Сер. 5. Радиодетали и радиокомпоненты. Вып.2 (47). 1982. С.36-41.

21. Золотарев H.A. Кусочно-полиномиальная аппроксимация характеристик намагничивания //Изв. вузов. Электромеханика. 1981. №3. С.233-238.

22. Золотарев H.A., Хрипков А.Н. Аппроксимация характеристик намагничивания кубическими сплайнами на ЦВМ // Изв. вузов. Электромеханика. 1982. №1. С16-19.

23. Вонсовский C.B. Магнетизм. -М.: Наука, 1971. 1032с.

24. Акулов H .С. Ферромагнетизм. М. - Л.: Гостехиздат, 1939. - 187с.

25. Вонсовский C.B. Современное учение о магнетизме. М.: Наука, 1953.440с.

26. Бозорт Р. Ферромагнетизм. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. - 748с.

27. Кадочников А.И., Миронюк Н.Е. Область применения формул Релея и преобразований Кондоровского для описания петель гистерезиса электротехнических сталей // Электротехника. 1982. №9. С. 14-15.

28. Аппроксимация петель гистерезиса ферромагнитных материалов. / Бладыко

29. В.М. и др. // Энергетика. 1967. №9. С.95-98.

30. Т. Nakata, N. Takahashi, Y.Kawase. Finite element analysis of magnetic fieldstaking into account hysteresis characteristics. // IEEE Trans, on Magn. 1985. V.21. №5. P.1856-1858.

31. Аппроксимация симметричных петель гистерезиса в ферромагнитных материалах. / Болдов Б.А. и др. // Труды МЭИ. Сер. Электротехника. 1975. Вып. 233.С. 81-83.

32. Красносельский М.А. Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.-394с.

33. Физические основы магнитной звукозаписи. // А.А.Вроблевский,

34. В.Г.Корольков, Я.А.Мазо и др. М.: Энергия, 1970. - 357с.

35. Золотарев Н.А. Дифференциальное уравнение магнитного гистерезиса, эквивалентное классической модели Прайзаха. // Изв. вузов. Электромеханика. 1999. №3. С.3-10.

36. G.S. Park, S.C. Scol, K.J. Lee, T.D. Lee, H.Y. Lee, J.W. Lee, S.C.Hohn. Practicalmethod to obtain the particle density distribution in scalar Preisach model. // IEEE Trans, on Magn. 1997. V.33. №2. P.1600-1603.

37. S.K. Hong, H.K. Kim, J.S. Chun, H.K. Jung. Finite element analysis in electromagnetic system considering vector hysteresis characteristics. // IEEE Trans, on Magn. 1997. V.33. №2. P.1604-1607.

38. G. Bertotti. Generalized Preisach model for the description of hysteresis and eddycurrent effect in metallic ferromagnetic materials. // J. Appl. Phys. 69(3). 1991. P.4608-4610.

39. Mayergouz I.D. Mathematical models of hysteresis. New York: Springier1. Verlag. 1991.

40. Толмачев C.T. Специальные методы решения задач магнитостатики. Киев:1. Вища школа, 1983.- 166с.

41. Толмачев С.Т. Математическая модель гистерезиса ферромагнетиков // Изв.

42. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. №5. С.43-53.

43. Толмачев С.Т. Численное моделирование гистерезиса ферромагнетиков //

44. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984. №2. С.128-138.

45. Ершов П.Е. Зависимость В(Н) при статическом перемагничивании ферромагнетиков // Электричество. 1993. №2. С.79-81.

46. Крохин В.В., Хмарук О.Н., Шамаев Ю.Н. Исследование необратимойсоставляющей магнитной индукции. // Электричество. 1988. №5. С.79-81.

47. Поливанов К.М. Ферромагнетики. -M.-JL: Госэнергоиздат, 1957. 256с.

48. Золотарев Н.А. Математическое моделирование магнитного гистерезиса //

49. Электричество. 1989. №6. С.75-79.

50. Золотарев Н.А. Математическая теория перемагничивания ферромагнетика воднонаправленном поле // Изв. вузов. Электромеханика. 1984. №12. С. 1017; 1986. №6. С.26-32; 1986. №7. С.5-13.

51. Coleman B.D., Hodgdon M.L. A constitutive relation for rate-independent hysteresis in ferromagnetically soft materials // International Journal of Engineering Science. 1986. V.24. №6. P.3120-3122.

52. Hodgdon M.L. Mathematical theory and calculation of magnetic hysteresis curves

53. IEEE Trans, on Magn. 1988. V.24. №6. P.3120-3122.

54. Колесников Э.В., Дардасави А. Моделирование магнитного гистерезиса //

55. Изв.Вузов. Электромеханика. 1993. №5. С.23-29.

56. Золотарев Н.А. Обобщенная модель магнитного гистерезиса, построенная налинейном дифференциальном уравнении первого порядка // Изв. вузов. Электромеханика. 1994. №4-5. С.3-15; 1995. №1-2. С.13-23.

57. Верлань А.Ф., Бусаров Ю.П. Математические модели статических гистерезисных систем // Электронное моделирование. 1989. Т.П. №2. С.2-7.

58. Mayergouz I.D., Adly А.А. A new isotropic vector Preisach - type model ofhysteresis and its identification // IEEE Trans, and Magn. 1993. V.29. №6. P.2377-2379.

59. Adly A.A., Mayergouz I.D., Gomes R.D., Burke E.R. Computation of magneticfields in hysteresis media // IEEE Trans, and Magn. 1993. V.29. №6. P.2380-2382.

60. Philips D.A. Practical use of the Preisach model from the measurements to finiteelements // IEEE Trans, and Magn. 1993. V.29. №6. P.2383-2385.

61. Sun-Ku Hong. Finite element analysis in electromagnetic system considering vector hysteresis characteristics // IEEE Trans, and Magn. 1997. V.33. №2. P. 16041607.

62. Золотарев Н.А. Теория планарного перемагничивания изотропного ферромагнетика// Изв. вузов. Электромеханика. 1987. №8. С.5-13.

63. Болдов Б.А., Задерей Г.П., Карельцев А.К. Математическая модель процессовнамагничивания ферромагнетиков в ортогональных полях // Электронная техника. Сер. Радиодетали и радиокомпоненты. 1978. Вып. 4(29). С. 45-51.

64. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. М.: Наука,1972.-736с.

65. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир. 1964. - 628с.

66. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники Л.:1. Энергия, 1967.-396с.

67. Анфиногенов О.Н., Беспалов В.Я., Мощинский Ю.А. Расчет электромагнитного поля в стальной пластине с учетом вихревых токов // Электричество. 1983. №12. С.59-61.

68. Геркашин Я.В. Процесс и энергия намагничивания листового магнитопровода при прямоугольном напряжении // Электричество. 1978. №6. С.80-84.

69. Колесников Э.В. Уравнения электромагнитного поля в пакете стальных анизотропных пластин // Изв. вузов. Электромеханика. 1973. №7. С.703-713.

70. Говорков В.А. Электрические и магнитные поля. М.: Энергия, 1968. - 423с.

71. Туровский Я. Техническая электродинамика. -М.: Энергия, 1968. 379с.

72. Абрамкин Ю.В., Иванов-Смоленский А.В. Перемагничивание ферромагнитной пластины в однородном несинусоидальном во времени магнитном поле // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1980. №5. С69-82.

73. Болдырев Е.В., Зихерман М.Х., Камнева Н.П. Переменное электромагнитноеполе в проводящем листе с нелинейной магнитной проницаемостью.

74. Петровский В.Н. К расчету поверхностного эффекта в ферромагнитных телах

75. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1966. №6. С.54-56.

76. Герасимович А.И., Бобко Н.Н. Расчет переходного процесса в магнитопроводах с учетом гистерезиса//Изв. вузов. Энергетика. 1997. №6. С.32-36.

77. Герасимович А.И. Исследование электромагнитных процессов в гистерезисных средах // Электричество. 1993. №7. С.48-56.

78. Способ описания динамических магнитных свойств электротехнической стали / Вдовин Ю.А. и др. // Физика металлов и металловедение. 1973. Т36. Вып. 2. С.286-289.

79. Кухаркин Е.С. Основы инженерной электрофизики. М.: Высшая школа,1969.-322с.

80. Пирогов А.И., Шамаев Ю.М. Магнитные сердечники в автоматике и вычислительной технике. М.: Энергия, 1967. - 324с.

81. Аркадьев В.К. Электромагнитные процессы в металлах. 4.1,2. М.~Л.:ОНТИ.1935, 1936.

82. Поливанов K.M., Шамаев Ю.М., Пирогов А.И. Основные направления в развитии теории динамических процессов технического намагничивания ферромагнетиков // Ферриты и бесконтактные элементы. Минск: Изд-во АН БССР. 1963.

83. Тикадзуми С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практические применения. -М.: Мир, 1987. -419с.

84. Розенблат М.А. Магнитные элементы автоматики и вычислительной техники. М.: Наука, 1974. - 768с.

85. Математическая модель высокоскоростного перемагничивания ленточныхмагнитомягких сердечников в режиме заданного поля / Кадочников А.И. и др. // Электричество. 1984. №2. С.55-59.

86. Дятлов В.Л. Параметры ленточных сердечников с прямоугольной петлейгистерезиса, при которых необходимо учитывать вязкость // Изв. вузов. Электромеханика. 1960. №7. С.36-41.

87. Кифер И.И. Испытания ферромагнитных материалов. М.: Энергия, 1969.395с.

88. Средства измерения параметров магнитного поля / Ю.В. Афанасьев, Н.В.

89. Студенцов, В.Н. Хорев, E.H. Чечурина, А.П. Щелкин. Л.: Энергия, 1963. -320с.

90. Магнитные измерения / Е.Т. Чернышев, E.H. Чечурина, Н.Г. Чернышева,

91. Н.В. Студенцов. М.: Изд-во стандартов, 1969. - 342с.

92. Электрические измерения / Под ред. Е.Г.Шрамкова. М.: Высшая школа,1972-393с.

93. Рабкин Л.И. Высокочастотные ферромагнетики. М.: Физматгиз, 1960.528с.

94. Преображенский A.A. Теория магнетизма. Магнитные материалы и элементы. М.: Высшая школа, 1972. - 372с.

95. Дружинин В.В. Магнитные свойства электротехнической стали. М.: Энергия, 1974.-378с.

96. Рейнбот Г. Магнитные материалы и их применение. JL: Энергия, 1974.321с.

97. Дружинин В.В. Магнитные свойства электротехнической стали. М.: Госэнергоиздат, 1962.-362с.

98. Kiiskinen Е. The effect of the d.c. component on the primary current and ironlosses of distribution transformer // Salko. 1972. V.45 №1. P.22-28.

99. Overshott K.J., Phillips R., Sharp M.R.G. Sturg of power losses in 3,25% grainoriented a.c. and d.c. magnetite fields. // Proc. Epc. Conf. Soft Magn. Mater. 2. Cordiff. 1975. P.33.

100. Ветлугин E.M. Приближенный расчет потерь в стали при одновременном наложении постоянного и переменного магнитных полей // Электротехника. 1979. №5. С.44-50.

101. Карасев В.В., Семенова С.Б. Потери в электротехнической стали при наличии постоянной и переменной составляющих магнитного поля // Электротехника. 1975. №4. С.28-32.

102. Либкинд М.С. Мощность намагничивания и потери в трансформаторной стали при наложении сильного постоянного поля на переменное поле частотой 50 Гц // Вестник электропромышленности. 1957. №12. С.16-19.

103. Мазуренко А.А., Бладыко В.М., Мехедко В.Ф. Исследование влияния третьейгармоники магнитной индукции на потери в электротехнической стали // Изв. вузов. Электромеханика. 1974. №1. С.26-30.

104. Lavers J.D., Biringer P.P. Prediction of core losses for flux densities and lictortedflux waveforms // IEEE Trans. Mag. 1976. V.12. №6. P. 1053-1059.

105. Васильева И.К., Кузнецов C.A., Кофман Д.Б. Расчет потерь в стали при несинусоидальной форме кривой напряжения питания // Электротехника. 1970. №11. С. 46-50.

106. Карасев В.В. К расчету потерь в стали трансформаторов и реакторов преобразовательных устройств // Электротехника. 1973. №3. С.45-48.

107. Карасев В.В. Зависимость потерь в стали от формы кривой индукции // Электротехника. 1982. №11. С.20-23.

108. Дорожко Л.И., Либкинд М.С. Реакторы с поперечным подмагничиванием.1. М.: Энергия, 1977.-256с.

109. Горелик Г.С. О некоторых нелинейных явлениях, происходящих при суперпозиции взаимноперпендикулярных магнитных полей // Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1944. Т.8. №4. С. 172-188.

110. Phillips R., Overshott K.J. Domain configuration under rotational flux and appliedstress configuration in silicon-iron // IEEE Trans. Mag. 1974. VI0. №2. P. 168174.

111. Moses A.J., Thomas B. Measurement of rotation flux in silicon iron laminations // IEEE Trans. Mag. 1973. V.10. №4. P.651-654.

112. Брюханов Н.Л., Грингар H.A. Исследование потерь на гистерезис во вращающихся магнитных полях в электротехнических сталях // Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1970. №2. С.388-392.

113. Корзунин Г.С., Инишева Л.А. Потери в электротехнической стали при вращательном перемагничивании // Электротехника. 1981. №12. С. 10-12.

114. Корзунин Г.С., Инишева Л.А., Ланидус Б.М. Исследование потерь на гистерезис вращения в электротехнической стали // Труды ИФН. 1977. №33. С.17.

115. Зайцев И.А. Магнитные характеристики железа при наличии добавочного поперечного намагничивания // Труды ЛПИ. Электротехника. 1947. №2. С.109-120.

116. Толмачев С.Т. К расчету квазистатических полей в гистерезисных средах. // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1980. №1. С. 105-118.

117. P. Holmberg, A. Berqvist, G. Engdahl. Modeling eddy current and hysteresis in a transformer laminate. // IEEE Trans, on Magn. 1997. V.33. №2. P.1306-1309.

118. F. Cortial, F. Ossart, J.B. Albertini, M. Aid. An improved analytical hysteresis model and its implementation in magnetic recording modeling by the finite element method. 11 IEEE Trans, on Magn. 1997. V.33. №2. P. 1592-1595.

119. Goldsten C.I. The finite element method with nonuniform mesh size for unbounded domains. // Math. Comput., 1981, V.36, №154, P.387-404.

120. Чистов E.K. Вариационно-сеточная аппроксимация в бесконечной области. //Изв. вузов. Математика. 1982. №10. С.82-84.

121. Чистов Е.К. Вариационно-сеточные методы решения уравнения Лапласа в бесконечных областях. // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. №11. С. 14-20.

122. Бахвалов Ю.А., Бондаренко А.И. Решение внешних краевых задач при расчете электромагнитных полей методом конечных элементов. // Изв. вузов, Электромеханика. 1985. №6. С.5-10.

123. Кирьяков A.M. Применение внешних конечных элементов при расчете плоскопараллельных потенциальных полей. // Электричество. 1985. №7. С.67-69.

124. Степанов А.Е. и др. Моделирование электромагнитных полей в электротехнических устройствах. Киев: Техника, 1990. 188с.

125. Ткачев А.Н., Сафаров С.Ф. Моделирование статического гистерезиса в однонаправленном магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика. 1997. №45. С.3-10.

126. Иванов-Смоленский A.B. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. -928с.

127. Сивенцов A.A., Кадочников А.И., Леонов В.В. Динамическое перемагничи-вание магнитомягких материалов и доменная структура. // Изв. АН СССР. Физика металлов и металловедения, 1974. Т.38. С.529-535.

128. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 355с.

129. Воробьев В.В., Ткачев А.Н. Экспериментальное исследование потерь в холоднокатаной стали при однонаправленном периодическом перемагничи-вании//Изв. вузов. Электромеханика. 1983. №1. С.134-138.

130. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т.2. - 572с.

131. Gyorgy Е. // J. Appl. Phys. 1957. V.28. №11. Р.1017.

132. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1978. 304с.

133. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: М.: Мир, 1990. - 512с.

134. Годунов C.K. Уравнения математической физики. М: Наука, 1979. - 392с.

135. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М: Мир, 1988.-352с.

136. Ткачев А.Н., Лобова Т.В., Янов В.П. Динамические уравнения магнитного поля в пакете пластин электротехнической стали. // Электровозостроение: Сб. научн. трудов ОАО ВЭлНИИ. 1996. 1.36. С. 188-200.

137. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М: Мир, 1977. -349с.

138. Шилов Г.Е. Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969. -432с.

139. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Киев: Техника. 1967. С.21-22.

140. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. М.: Наука, 1964. - 388с.

141. Односторонний линейный индукционный двигатель. / В.И. Бочаров, Н.Г. Душенко, В.М. Павлюков и др. // Тр. МИИТ. 1983. Вып. 752. С.31-35.

142. Поливанов K.M. Электродинамика движущихся тел. М.: Энергоатомиз-дат, 1982,- 192с.

143. Аншин В.Ш., Худяков В.И. Сборка трансформаторов и их магнитных систем. М.: Высшая школа, 1985. - 272с.

144. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 296с.

145. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). М.: Наука, 1975. 304с.