автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели многопараметрических бифуркаций для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка в краевых задачах о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа

На правах рукописи

Бадокина Татьяна Евгеньевна

Модели многопараметрических бифуркаций для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка в краевых задачах о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа

Специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление »

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005554987

13 НОЯ 2014

Ульяновск — 2014

005554987

Работа выполнена на кафодрс «Прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики» в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Мордовского государственного университета им.Н.П.Огарёва»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Логинов Борис Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Защита состоится 17 декабря 2014 г. в 1200 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», по адресу: г. Ульяновск, Набережная реки Свияги, 106, корпус 1, ауд. 703.

С диссертацией'можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru, с авторефератом - на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки РФ - http://vak.cd.gov.ru. Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования. Автореферат разослан " 0? " КО>эОря 20 14 г.

кафедры «Математический и функциональный анализ» ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет)

Карачик Валерий Валентинович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Уравнения математической физики» ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Филатов Олег Павлович

Ведущая организация: Факультет вычислительной математики

и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.278.02 кандидат физико-математических наук

Волков М.А.

Общая характеристика работы

Актуальность исследования

Вторая половина XX столетия характеризуется интенсификацией исследований нелинейных явлений как в республиках СССР, так и за рубежом. В монографии М.М.Вайнберга и В.А.Треногина было впервые дано систематическое изложение теории ветвлспия(ТВ) решений нелинейных уравнений с позиций современного функционального анализа, основанной на редукции нелинейной задачи к эквивалентной конечномерной системе трансцендентных алгебраических уравнений с малым параметром. Теория ветвления как одно из направлений качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже XIX и XX столетий при исследовании прикладной задачи математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы 1 2 и в общей теории нелинейных интегральных уравнений 3. Дальнейшее развитие ТВ диктовалось прикладными задачами математической физики и нелинейного анализа.

Задачи аэроупругости, являющиеся по существу бифуркационными, начали изучаться в конце 30-х годов прошлого века, однако для их исследования методы теории бифуркаций не применялись. Соответствующие дифференциальные уравнения выводились на основе предложенного академиком Ильюшиным закона плоских сечений ("поршневой теории"), к которым затем применялись вариационные методы, преимущественно метод Галёркина. Результаты, полученные в этом направлении представлены в работах В. В. Болотина, А. С. Вольмира, Э. И. Григолюка, P. JI. Бисплингхоффа, X. Эшли, Р. Л.'Хал-фмана, А. А. Илыошина и И. А. Кийко, С. Д. Алгазина, И. А. Кийко, А. А. Мов-чана и др.

При исследовании поведения упругих пластин и оболочек в потоке газа возникают сложные модели взаимодействия. В наиболее общей постановке задач аэроупругости учитывается не только воздействие потоке газа, но и возможное растяжение/сжатие пластин и оболочек внешними краевыми усилиями, коэффициент жесткости основания и т.п. В дифференциальных уравнениях эти воздействия характеризуются безразмерными физическими параметрами. Поэтому в математическом моделировании, бифуркационные задачи, описываемые однородными дифференциальными уравнениями четвёртого

'Ляпунов, A.M. Собрание сочинений: Т. 4,- М.: Шд-во АН СССР.- 1959. - 645 с.

^Пуанкаре, А. Инбрапиыо труды: Том 1. Новые методы небесной механики. - М.: Изд-во АН СССР, 1971. - 771 с.

•"Schmidt, Е. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Über die Auflösungen der nichtlinear Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Lösungen/ E.Schmidt// Math. Ann. - 1908. - v. 65. -P. 370-399.

и более высоких порядков, обычно содержат сложную зависимость уравнений от бифуркационных параметров. Это значительно усложняет процесс выявления критических значений этих параметров, особенно в многопараметрических бифуркационных задачах, и препятствует их исследованию в точной постановке.

В диссертации исследуются краевые задачи для дифференциального уравнения четвёртого порядка, описывающие статическую потерю устойчивости при обтекании упругой пластины сверхзвуковым потоком газа. Предлагается алгоритм, позволяющий исследовать в точной постановке задачу о дивергенции(выпучиванис, прогиб) тонкой гибкой упруго опёртой удлинённой пластины, сжимаемой(растягивасмой) внешними краевыми усилиями, подверженной малой нормальной нагрузке. В его основу положено выражение зависимости дифференциального уравнения от бифуркационных параметров через корни соответствующего характеристического уравнения линеаризованной задачи, которые могут быть вычислены с любой степенью точности и поэтому считаются известными точно. Такое представление позволяет найти критические бифуркационные поверхности и кривые, в окрестности точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам отклонения бифуркационных параметров от их критических значений. Таким образом определяются соответствующие малые по норме функциональных пространств решения в отличие от многих работ, дающих либо качественную картину решений, либо применяющих сеточные методы.

В задачах аэроупругости различают две формы потери устойчивости -статическую и динамическую, соответственно стационарные бифуркационные задачи и бифуркацию Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Дивергенция - статическая потеря устойчивости деформируемых элементов конструкции в потоке газа, которая приводит к изгибным деформациям конструкции. Флаттер - динамическая колебательная потеря устойчивости деформируемых элементов конструкции, которая приводит к периодическим незатухающим колебаниям, повышению износа в процессе эксплуатации и возможному последующему разрушению конструкции 4. При создании современных летательных аппаратов предъявляются повышенные требования к прочности конструкции. Таким образом разработка новых эффективных и надежных методов расчёта модельных задач потери устойчивости является актугшьной задачей.

Многие задачи аэроупругости носят бифуркационный характер, когда при переходе определяющих явление параметров через их критические значения меняется картина решения. От тривиального решения ответвляются етати-

4Кслдыш, М.В. Вибрации па самолете/ М.В.Келдыш, Е.П.Гроссман, Н.Н.Марин - М.:0боронгнз, 1942.-

56 с.

чсскис или осцилляционпые. В первом случае говорят о дивергенции пластин, оболочек и т.п., во втором о флаттере. Имеющиеся решения тех и других задач либо численные, либо носят качественный характер, поэтому актуальным является решение задач аэроупругости в точной постановке, т.е. точного описания модельной бифуркационной картины разветвляющихся решений и их устойчивости.

Стационарные бифуркационные задачи аэроупругости изучались в работах В.В.Болотина 5, динамические бифуркационные задачи в работах Дж.Марсден, Ф.Холмс G, в цикле работ И.Д.Чуешова 7, в ряде работ Яро-славльской школы (А.Н.Куликоп 8) и в диссертации J.Sijbrand 9.

Основополагающие результаты по дивергенции и флаттеру пластин, а также обзор выполненных исследований до 19G4 года дан в монографии А.С.Вольмира 10. Современный обзор задач аэроупругости содержится в монографии А.С.Алгазипа и И.А.Кийко и.

Бифуркационным задачам аэроупругости для пластин произвольной формы и оболочек отмечает полная система фон Кармана - система уравнений в частных производных, связывающих функцию прогиба и функцию напряжения. Модельные задачи аэроупругости для длинной прямоугольной пластины(пластины-полосы) описываются краевыми задачами для обыкновенного дифференциального уравпсния(ОДУ) 4-ого порядка. Методами теории бифуркаций задача о дивергенции прямоугольной пластины исследована в работе Б.В. Логинова и О.В.Кожевниковой12. Дивергенция удлинённой пластины при учете только одного бифуркационного параметра - числа Маха - в работах П.А.Вельмисова и Б.В.Логинова13, П.А. Всльмисова и С.В.Киреова14, в кото-

''Болотип, В.В. Ноконсервативныс задачи теории упругой устойчивости.- М.:ГИФМЛ, 1961. - 339 с.

"Holmes,P. Bifurcation to divergen«: and flutte in flow-induct*! oscillations: an infinite dimensional analysis/ P. Holmes , J. Marsilcn// Automática - 1978 - v.14- P. 367-384.

7Монвель, Л. Бутс дс О колебаниях кармаповскоП пластины в потенциальном потоке газа/ JI. Буте до Моивель, И.Д.Чуешов// И:|в. РАН. Сер. матем., 63:2 - 1999. - С. 3—28.

8Куликоп, А.Н. Бифуркация автоколебаний пластинки при малом коэффициент«! демпфирования о сверхзвуковом потоке газа/ А.Н.Куликоо// Прнкл.математика и механика - 2009. - т.73. - №2- С.271-281

9Sijbrand, J. Studies ¡n nonlinear stability and bifurcation theory/ J.Sijbrand- Ph.D. Thesis. University of -Utrecht, 1981.

10Вольмир, A.C. Устойчивость Д(?формнрусмых систем.- N1.: Наука, 1967.-984 с.

"Алгазин, С.Д. Флаттер пластин и оболочек/ С.Д. Алгазип, ILA Кнйко.- М.: Наука, 2006. - 247 с.

1;гЛогнпов, Б.В. Вычисление собственных изгнбных форм и асимптотики разветвляющихся решений бифуркационной задами о дивергенции пластины/ Б.В.Логинов, О.В.Кожевпикова// Известия РАЕН.—1998.— Т. 2, N З.-С. 112-120.

'■'Вельмисов, П.А. Метод групповых преобразований и ветвление решений в двухточечных граничных задачах аэроупрупкгги./ П.А.Всльмисоп, Б.В.Логинов// Дифференциальные уравнения и их приложения материалы Междунар. конф. (20-22 дек. 1994 г.). - Саранск, 1995. - С. 120-125

'''Всльмнсов, П.А. Устойчивскггь пластины в сверхзвуковом потоке газа/ П.А.Вельмиеов, С.В.Киреев, А.О.Кузнецов // Журнал "Вестник УлГТУ",- 1099.-W1.-C. 44-51.

рых применялся метод групповых преобразований Ц.На, позволяющий сводить двухточечные граничные задачи для ОДУ 4-ого порядка к задаче Коши.

В первое десятилетие XXI века возобновилась деятельность В. В. Болотина и его коллег по задачам аэроупругости 15 16 17, исследованию флаттера посвящены многие работы В. В. Веденеева18 19 20.

В работе 21 исследовалась наиболее простая модельная бифуркационная задача для удлинённой пластины с двумя бифуркационными параметрами ( сжатие/растяжение и число Маха) при использовании методов теории ветвления решений нелинейных уравнений 22. Эта же техника применялась во всех наших работах 23 24. При применении методов теорий бифуркаций и катастроф к нелинейным граничным задачам для ОДУ высоких порядков возникает ряд технических трудностей, связанных с исследованием спектра прямой и сопряжённой задач. Для их преодоления используется метод отделения корней характеристического уравнения с последующим представлением через них бифуркационных многообразий. Этот прием позволяет исследовать модельные многопараметрические бифуркационные граничные задачи для ОДУ высоких

ок

порядков в точной постановке, а также строить методами соответствующие

15Bolotiin, V.V. An improved energy criterion for dynamic buckling of imperfection sensitive nonconservative systems/ V.V. Bolotiin, A.N. Kounadis, C.J. Gant.es// International Journal of Solids and Structures, v. 38(42). -2001. p. 7497—7500

1бБолотип B.B., Гришко А.А. Устойчивость и послскритическое поведение аэроупругих систем с учетом дополнительного демпфирования // Известия Российской академии паук. Механика твердого тела. 2003. № 5. С. 165-175.

17BoIotin V.V., TYifonov O.V. Construction of discrete-continual models in structure analysis for extreme dynamic loadings//Mechanics of Solids. 2010. T. 44. № 6. C. 852-864

18Всдснеев, В.В. Флаттер пластипы, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа/ Известия Российской академии паук. Механика жидкости и газа, 2005.- № 5.- С. 155-169.

19Всденеев, В.В. Предельные циклы колебаний при одномодовом флаттере пластины/ Прикладная математика и механика, 2013.- Т. 77. -№ З.-С. 355-370.

20Vedeneev V.V. Panel flutter at low supersonic speeds// Journal of Fluids and Structures, 2012.- V. 29-C. 79-96.

21Loginov, B.V. Strip-plate divergence as bifurcational problem with two spectral parameters / B.V. Loginov, O.V. Kozhevnikova, A.V. Tsyganov // STAMM - 2004: Proceedings of International Symposium on TVends in Applications of Mathematics to Mechanics.—Darmstadt, Germany.- 2004. — P. 22.

22Вайпберг, M.M. Теория ветвления решений нелинейных уравнений/ М.М.Вайпберг, В.А.Трспогии - М.: Наука, 1969-524 с.

23Бадокииа, Т.Е. Построение асимптотики решений нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения четвёртого порядка с двумя бифуркационными параметрами/ Т.Е. Бадокипа, Б.В. Логинов, ГО.Б. Русак// Известия Иркутского государственного университета.- 2012-Серия «Математика» №1. - С.2-12.

24Loginov, B.V. Green functions construction for divergence problems in aeroelasticity/ B.V. Loginov, Т. E. Badokina, О. V. Makceva // ROMAI Journal.- 2008.- № 4(2).- P. 33-44.

25Наймарк, M.A. Линейные дифференциальные операторы- M.: Наука, 1969. - 528 с.

функции Грина, том самым впервые 26 доказывая фредгольмовоеть линеаризованных операторов в модельных статических задачах аэроупругости.

В диссертации разрабатывается новый подход, точнее представление, бифуркационных параметров черен корпи характеристических уравнений, которые практически можно вычислить с любой точностью. Тем самым развиваемые в диссертационном исследовании методы позволяют вычислить точную асимптотику ответвляющихся стационарных или осцилляционных решений в моделях аэроупругости в виде сходящихся рядов по малым отклонениям от бифуркационных параметров. В этом и заключается актуальность выполняемых исследовании.

Полученные результаты должны представляться одинаковыми формулами при описании бифуркационных явлений любых прикладных задач, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями 4-ого порядка с однотипными лнпеаризациямп и одинаковыми граничными условиями. Это утверждение является основой математического моделирования многопарамет-ричсских бифуркационных задач.

Предметом диссертационного исследования является класс многопараметрических бифуркационных задач, описываемых двухточечными краевыми задачами для ОДУ четвёртого порядка. Объектом исследования является удлинённая пластина, обтекаемая сверхзвуковым потоком гада.

Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы является исследование бифуркационных задач дивергентного типа, т.е. стационарных бифуркационных задач аэроупругости для удлинённой пластины. Эта задача о прогибе пластины в сверхзвуковом потоке; гада сжимаемой или растягиваемой внешними краевыми условиями, задача о прогибе упруго опертой пластины в сверхзвуковом потоке гада, эта же задача с учётом сжимающих (растягивающих) внешних краевых усилий, эта же задача при наличии малой нормальной нагрузки. Помимо определения точной асимптотики разветвляющихся решений для применения разрабатываемого подхода нужно обосновать фредгольмовоеть линеаризации. Это достигается построением соответствующих функций Грина. Таким образом в исследуемых нами задачах кроме вычисления точной асимптотики разветвляющихся решений, актуальным является также обоснование применения метода Ляпунова-Шмидта и теории бифуркаций.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

-'"Mfilnilaiv, Yu.A. IllHllcnra Functions and Matrires- Scr. Text and Rcfcrcncc Books M«:h. Engiig 119-M.Dckkcr, 1099. - 4G9 p.

1. Обосновать бифуркационный характер модельных стационарных задач аэроупругости.

2. Доказать фредгольмовость граничных задач для ОДУ 4-ого порядка, описывающих дивергентные потери устойчивости удлинённых пластин, с помощью построения соответствующих функций Грина.

3. Дать точную постановку модельных задач аэроупругости с помощью выражения бифуркационных параметров через корни характеристических уравнений соответствующих линеаризаций.

4. Вычислить асимптотику разветвляющихся решений в виде сходящихся рядов по степеням малых отклонений от критических значений бифуркационных параметров на основе применения асимптотического метода Ляпунова-Шмидта и построения соответствующих уравнений разветвления (систем разветвления).

5. Создать программный комплекс визуализации метода Штурма отделения корней характеристических уравнений в зависимости от существенных параметров задач, определения бифуркационных множеств, а также их визуализации в виде рельефов при вариациях характерных небифуркационных параметров (материал пластины, жесткость основания и т.п.).

Методы исследования

Исследование опирается на стандартные методы теории ветвления решений нелинейных уравнений и методы теории катастроф. В программной реализации применяются методы объектно-ориентированного программирования и метод половинного деления.

Научная новизна

Метод Ляпунова-Шмидта теории ветвления решений нелинейных уравнений впервые применен к задачам о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа. В известном справочнике Мельникова по функциям Грина для задач механики отмечено, что функции Грина для задач аэроупругости пока не построены.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Точная постановка бифуркационных задач аэроупругости, моделирующих статическую потерю устойчивости.

2. Обоснование фредгольмовости дифференциальных операторов задач о дивергенции удлинённой пластины с помощью построения функций Грина.

3. Доказательство существования критических многообразий в пространстве управляющих параметров и применяемые численные методы для их определения.

4. Асимптотика решений стационарных задач аэроупругости в окрестностях точек бифуркации па основе разработанного программного комплекса.

5. Общая модель задачи о потери устойчивости удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа с учётом всех возможных существенных параметров.

G. Программный комплекс, позволяющий вычислять асимптотику разветвляющихся решений бифуркационных задач.

Практическая значимость

Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что в известных нам исследованиях задач аэроупругости применялся метод Галёркина, хотя эти задачи следует считать бифуркационными. В работе предлагаются более соответствующие характеру исследуемых задач методы теории бифуркаций, практически не применявшиеся в известных нам работах. Практическая значимость выполненных исследований обусловливается возможными приложениями в авиастроении и космонавтике.

Достоверность результатов

Достоверность выполненных исследований обусловлена строгим доказательным стилем их математического обоснования и применением методов нелинейного анализа и нелинейных дифференциальных уравнений.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на: 64-ой научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2011 "(г.Санкт-Петербург, 11—16 апреля 2011 г.), 82nd Annual Scientific Conference ( Graz, Austria, April 18-21, 2011), Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(г.Самара, 15-17 сентября 2011 г.), VI Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(г.Пенза, 25 29 октября 2011 г.), 65-ой научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2012"(Санкт-Петербург, 1G—21 апреля 2012 г.), X международной Четаевской конференции (г.Казань, 12-16 июня 2012 г.), Третьей Международной научной конференции "Математическое моделирование и

дифференциальные уравнения "(Беларусь, г.Брест, 17-22 сентября 2012 г.), Сбой научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2013"(г.Санкт-Петербург, 15-20 апреля 2013 г.), XI научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных учёных (г.Саранск, 14-10 июля 2014 г.) а также на ряде рабочих семинаров кафедры, где выполнялась эта работа.

Диссертационная работа была выполнена в рамках государственного задания №2014/232 Минобрнауки. Тема НИР: Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций, установок, приборов, устройств при аэрогодродинамичееком, тепловом и ударном воздействиях.

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях, из них 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, и 7 статей в сборниках трудов конференций.

Личный вклад автора

Постановка задачи осуществлена научным руководителем. Основные результаты принадлежат лично соискателю. В тех местах, где требовался двойной просчет, он выполнялся совместно с руководителем работы.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объём диссертации 1СЗ страницы, основной текст изложен на 119 страницах и включает 30 рисунков и 9 таблиц. Библиография включает 92 наименования на 10 страницах.

Основное содержание работы

Во введении содержатся сведения исторического характера, обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, отражена научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

В первой главе ставится и исследуется модельная задача о дивергенции удлинённой пластины, растягиваемой/сжимаемой внешними краевыми усилиями, в сверхзвуковом потоке газа, описываемая ОДУ четвёртого порядка:

и

X2 ~Тп)" = кКЫ> М>к) + в/(С1 + (1)

о

с: граничными условиями пида:

А: правый и левый края шарнирно закреплены, ю(0) = к/'(0) = 0 , ш(1) = «/'(1) = 0;

В: левый край свободен, правый-жёстко закреплен, ш"(0) = «/"(0) = 0, ги(1) = «/(1) =0

В': правый край свободен, левый-жёстко закреплен, ЦО) = и/(0) = 0, и>"(1) = го'"(1) = 0

С: правый и левый края жёстко закреплены, ™(0) =■«/(0) = 0, и>(1) = и/(1) = 0.

Здесь IV = ги(х) прогиб пластины, 0 < Х\ < й, — оо < У\ < оо, 1 - 0 < I < 1 прямоугольные координаты; К(ш', М,к) = 1 — [1 + ^Мю']при одностороннем обтекании, Л'(и/, М, к) = [1 — ^Мю'] — [1+£=кМь/] ^ - при двустороннем; Х2 = Т = в = ^ и к =

где (I ширина пластины, к её толщина, Е - модуль Юнга, ц коэффициент Пуассона, М = число Маха (у скорость потока газа, с^ скорость звука в певозмущёнпом пи«:), к показатель политропы, ]>о давление. Интегральное слагаемое учитывает дополнительное усилие в срединной плоскости при прогибе.

Для вычисления малых изгибных форм в окрестностях критических значений бифуркационных параметров применяются методы теории бифуркаций и катастроф 27 28. Бифуркационными параметрами являются: сжимающее Т < 0 (растягивающее Т > 0) усилие Т = Т0 + £[, число Маха М = Мо + £2-

Асимптотика разветвляющихся решений по двум малым параметрам £1, £2 в точке: бифуркации (7о, Мо) вычисляется для случаев существования бифуркационных кривых, которые определяются равенством нулю определителя матрицы граничных условий.

Разложение нелинейности в ряды по степеням малого по норме решения и> в окрестности критических значений бифуркационных параметров, приводит

а7Вайиберг, М.М. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие/ М.М.Вайнберг, В.А.Трспогнп// УМН, 17:2(104) (19С2), С.-13-75

'■^Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений/ М.М.Вайнберг, В.А.Трспогнп// М.: Наука, 1909.-524 с.

уравнение (1) к виду: В = х2№(4) _ ^ + аи), = е) = х2 0^/2^(4) + Зи/'3 + +

1

- \{2)кк£2ги' + в-и;" J ш^йх + £.г(1) + о

Г + М|±ЦМо£2№/2 + + _ _ _

| М|±Цмз^з + _

Нелинейный оператор Я аналитичен по своим переменным, и малое решение представимо в виде сходящихся рядов по двум малым параметрам в малой окрестности точек бифуркации. Наибольшие трудности связаны с исследованием спектра прямой и сопряжённой линеаризованных задач, доказательством их фредгольмовости и построением соответствующей функции Грина, выполненным по схеме монографии 2Э. Для их преодоления предложены методы отделения корней соответствующих характеристических уравнений с последующим представлением через них бифуркационных многообразий, что позволяет исследовать нелинейные задачи в точной постановке. Здесь оказывается удобным использование теоремы Виета. Отметим, что этот прием может быть реализован при исследовании бифуркационных нелинейных задач на собственные значения для ОДУ более высоких порядков.

Пусть Е\, Е'2 - банаховы пространства. Рассматривается нелинейное уравнение

Вх = П.(х,\), Л(0,0) = 0, Д'(0,0)=0 (2)

Здесь В : Ех Е2 - замкнутый фредгольмов оператор (Я(В) = Я(В), В.(В) - область значений оператора В) с плотной в Е\ областью определения Б (В), = ,зрап{(р(х)} - его подпространство нулей, М*(В) = зратг{'ф(х)}

- дефектное подпространство. Нелинейный оператор Я{х, Л) предполагается определённым и достаточно гладким по ж и А в окрестности (0,0) € Ех+А, Л - пространство параметров. По теореме Хана-Банаха существуют биорто-гональные системы {7,}" € Е{, (у?;, 7.?) = ¿у и {¿к}\ € Е2, (гь Ф1) = 5ки

п п

порождающие проекторы Р = (■,■фj)zj : Е\ —> М(В), <5 = X) (*, Т?')^' :

.7=1 ^'=1

Е2,п = зрап{г1,... гп} и разложение банаховых пространств в прямые суммы

Ег = Е? + Е™~П,Е? = М{В), Е2 = Е2>„ + Е%(Х.П, Е2^п = Я{В). Здесь и 1

далее (а, Ь) = J а(х)Ь(<х)с1х. Метод Ляпунова-Шмидта позволяет свести задачу

о

29Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1960. - 528 с.

(2) к построению малых решений нелинейной конечномерной системы, называемой уравнением разветвления(УР). Действительно, согласно лемме Э. Шмид-

__и __

та, оператор В = В+ £ (•, ~ц)ги непрерывно обратим (В~1 = Г, Tz = iр,

А:=1

Г*7 = гр), и уравнение (2) может быть записано в виде системы

и

Вх = R(x, + iiZi, 6 = (х, 7i), г = Т7»г (3)

¿=1

По теореме о неявных операторах первое; уравнение (3) имеет единственное решение х = А) , подстановка которого во второе дает УР:

/(£,A)==&-te(£,A),7i>-= 0, i = (4)

Уравнения (2) и (4) имеют одно и то же число малых решений, которые представимы в виде рядов по одинаковым дробным степеням малых параметров. ' #

Линеаризованной двухточечной граничной задаче на собственные значения

L{w) = x2wW - Tw" + aw' = 0, <т = 1(2)ккМ (5)

с граничными условиями А-С, отвечает характеристическое уравнение

Х2А4 - ТА2 + стА = 0 (G)

для определения корней которого применяется метод Штурма. Здесь множитель 1(2) в параметре а соответствует одно(дву-) стороннему обтеканию пластины сверхзвуковым потоком газа.

Линеаризованное в точке ветвления уравнение определяет фредгольмов оператор В : С4+"[0,1] -> С"[0,1] с одномерным подпространством нулей N(B) = span{<p(a;)} и одномерным дефектным подпространством N*(B) = span {ip(x)}.

Сопряженная к (5) задача строится стандартными методами30 (интегрированием по частям на промежутке [0,1] квадратичной формы L(w) • w) и представляется уравнением

XV4) - Tw" - a J = 0.

с соответствующими граничными условиями:

A*: xV(0) _ rw(0) = ш(о) = 0, xV'(l) - Тш{1) = ш(1) = 0;

В*: х2оЯ(0) - Ти/(0) - <тш(0) = 0 = *V(0) - Гы(0), w(l) = и/(1) = 0;

шКамко, Э. Справочник по обыкновенным д{гффоре/1ци;ыы»ьщ уравнениям.- М.:Наука, 1971.- 576 с

В'*: w(0) = u/(0) = O, x2w(3)(l) - Tu/( 1) - ow(l) = О = XV(1) - Ты( 1);

С*: w(0) = u/(0) = O, w(l) = u/(l) = 0.

При исследовании указанных двухточечных граничных задач возникают следующие возможности существования корней уравнения (G):

Io) D = 4Т3 — 27ст2х2 > 0, один отрицательный, два положительных и нулевой корни -а, Д, /?2, 0 (а > 0, /3,- > 0 при г = 1,2);

2o) D = 0, один отрицательный, два равных положительных и нулевой корни —а, /?, /3, 0 ф > 0);

3o) D < 0, один отрицательный, нулевой и пара комплексно-сопряжённых корней —а, 7 ± 0 (а,7,5 > 0).

Тогда уравнение (5) имеет соответствующие решения:

Io) w(x) = eje"01 + с2е^х + c3eftl + с4;

2°) = cíe-"1 + с2еРх + с3хе0х + с4;

3o) = сх<Гпх + с2е,хcos(5x) + с3е7хsin(áx) + с4.

Для всех граничных условий и всех наборов корней составляется матрица граничных условий, равенство нулю определителя Д которой определяет бифуркационные многообразия, т.е. множество точек, в которых имеет место дивергенция пластины. Доказательство существования бифуркационных кривых и поверхностей осуществляется посредством разработанного программного комплекса, который позволяет находить для фиксированного значения р близкие значения корней, при которых определитель имеет разные знаки. Наибольшую сложность представляют те случаи, когда численный эксперимент показывает отсутствие таких точек. В этих случаях выполняется строгое математическое доказательство отсутствия точек, где Д = 0.

Таблица 1: Наличие/отсутствие дивергенции х2"'(4) - Tw" + аи/ = 0, D = 4Т3 - 27сг2х2

Граничные условия D > 0 D <0 D = 0

А - + -

В + + +

В' - - -

С - + -

Для всех указанных видов граничных условий, в случаях отличия бифуркационных множеств от пустого, фрсдгольмовость линеаризации доказывается построением функции Грина, коэффициенты которых приведены в Приложении А диссертации.

Представление решении первого уравнения (3) в виде ряда

W = и> шо£ + W()H)£l + WlH)l£2 + WiioC^l + ^101^2+ +W(m£l£2 + W20()C2 + w020£l + W()()2£2 + • • •

с последующей подстановкой во второе; даст УР, коэффициенты которого определяются методом неопределённых коэффициентов Назарова-Некрасова, и вычислены при использовании Maple 12 и приведены в Приложении В диссертации.

В случае одностороннего обтекания пластины УР

е) = L\m)e + + ¿Ufo + ■ ■ ■ = 0

определяет асимптотику разветвляющихся решений

х(х) = -ь"°£1 + ь™£2ф) + о( И), ■^200

для двустороннего обтекания

Щ, е) = Ljm)e + + L?01£e2 + ... = 0,

V ^зоо

где знаки £\, е2 определяются неотрицательностью подкоренного выражения.

Для автоматизации процесса определения критических многообразий и построения асимптотики разветвляющихся решений разработаны программы в системе компьютерной алгебры Maple 17 и интегрированной среде разработки Visual Studio 2012 на языке С++, алгоритмы и функции которых описаны в диссертации.

Вторая глава посвящена исследованию модели дивергенции удлинённой упруго опертой пластины в сверхзвуковом потоке газа при отсутствии сжимающего/растягивающего усилия Т = 0 , описываемой уравнением

1

X2 (, W"9V,Y'+A^ + езq(x) = kK(w', М, к) + вги" [[(1 + w- 1 }dx (7)

и двумя тинами граничных условий: В: левый край свободен, правый - жёстко закреплен, ги"(0) = го"'(0) = 0, w(l) = w'(l) = 0

В': левый край жёстко закреплен, правый - свободен, w(0) = w'(0) = 0, ш"(1) - w"'(l) = 0

Здесь /?0 - коэффициент жесткости основания, £317(3;)-малая нормальная нагрузка.

Линеаризованному уравнению (7) в виде

Х2^(4) + от' + /30т = О

отвечает характеристическое уравнение

Х2А4 + сгХ + р0 = О

При исследовании дифференци;шыюго уравнения двухточечной граничной задачи возникают следующие возможности:

1°) При Б = 256/?оХ2 — 27ст4 > 0 корнями характеристического уравнения являются две пары комплексно-сопряженных чисел —7 ± и 7 ± 62г,

7 > 0, 62 > ¿1 > 0.

2°) Если О < 0 , уравнение имеет два отрицательных —а.\ , —а2 и пара комплексно-сопряженных корней 7 ±61 («1, а2,7,5 > 0).

3°) Условию £> = 0 соответствуют два совпадающих отрицательных корня —7 , —7 и пара комплексно-сопряженных 7 ± 61 (7,6 > 0).

Таблица 2: Наличие/отсутствие дивергенции х2ш(4' + спи' + = 0, О = 256/?оХ2 — 27ст4

Граничные условия И > 0 О < 0 £» = 0

В В' + _

Сопряженная задача определяется уравнением Х2ш{4) - спи'+/30и> = 0

и граничными условиями

С* : аУ(0) = 0, х2а/3)(0) - стш(0) = 0, ы(1) = 0, и/(1) = 0

■В'*:ш(0) = 0, а/(0) = 0, = 0, х2ш(3)(1) - аш{1) = 0

В общем случае ненулевой нормальной нагрузки (е3 ф 0), построенное методом Ляпунова-Шмидта, УР имеет вид:

Щ, е3, е) = Ь300£3 + + Ь010£3 + • • • = 0

Его исследование показывает, что в окрестности точек бифуркации происходит катастрофа типа складки.

Составляя результант главной части УР и её производной по £ , получаем приближённую кривую разветвления:

4ЬШ£3 + 27Ь2т)ЬШ)£2 = 0 (8)

Так как коэффициенты ¿на, Ьцю, 1<зоо положительны, то полукубическая парабола (8) касается оси абсцисс е и лежит по левую сторону от оси £о-Слева от кривой разветвления УР имеет три вещественных малых решения £()(£■, £о),£±(е, £о), два из которых (£±) совпадают на этой кривой, а справа -

одно £о(е,ео).

С помощью замены переменных

_ г 1/3,-1/3 1/3 _ , -1/3, -1-2/3

V — ^010 зоо ео 1 ш — -^нп^^зоо УР преобрщуется к уравнению с одним параметром

1 + ЫТ) + ?/3 ~ 0

для которого точка ш = — 3 • 2~2/3, т] = 2-1/3 является точкой ветвления, т.е. уравнение кривой разветвления может быть записано в виде ш ~ —3 • 2-2/3. В 31 построена следующая асимптотика решений £(е,ео) УР, а тем самым и решений исходной задачи :

ги ~ {(е,£0)<р,

где

Со (£,£()) ^ (^¿он^зои^о)1^3

^±(е,е„) ^ у/ЬтоЬ^о [г"1/3 Т у/з ■ + Ьт£(Ьт)е0)-УЧ~^

в окрестности кривой разветвления, т.е. при ££ц2^3 — ^^то^зоо^ш; £± —

2"1/'3(Ьо1()-С'з()1()го)1/,! = 3~1/2Ьзщ{2(—Ь101£)1/28{дп£0, £0 = -2£± на кривой р;о-ветвлештя (два решения совпадают);

— —¿010 ¿кцЕ при больших отрицательных значениях ее^2^3;

при больших положительных.

'"ВдГшГн'рг, М.М. Теория шггшшшш ¡нчпгпип нслииспиых уравнений/ М.М.ВпПпбсрг , С.А.Трпнопш- М.: Наука, 1909.-524 с.

Полученная картина поведения решений е± для £о > 0 задачи (7) совпадает с картиной, описанной в 32 для другой задачи. Критическое значение числа Маха (точка бифуркации) уменьшается по сравнению со случаем £о = 0:

M ~ M -1-2-V3£2,3L2/3L1/3L-1 (9)

J^Kp — mt — о £ t0 -Ц)10^300Ь101 (J)

Формула (9) и вид функций £± согласуются с графиками £о), приведёнными в 33 для конкретных значений воПри отсутствии малой нормальной нагрузки £3 = О для одностороннего обтекания УР имеет вид

LnÇe + Lio? + ■ ■ ■ =0,

где Lu = кк(1(2)) f ip'rpdx, L2о = J ip'2ifidx. При двустороннем об-

o о

текании главная часть УР :

W + Lll£ = 0

где L30 = -*^М0}<р'3фсЬ + Х2/(§^TV4V + + +

о о

1

| f <p2dx f <p"ipdx. Соответственно асимптотика разветвляющихся решений о

определяется формулами : Х(х) = —j^eip(x) + о(|е|) - для одностороннего обтекания и Х(х) = + 0(|е|), где signe = signLuL3Q опреде-

лятся неотрицательностью выражения под корнем. Значения коэффициентов разветвления приведены в Приложении В.

В третьей главе рассматривается наиболее общая модель - класс двухточечных граничных задач о дивергентной потере статической устойчивости упруго опертой удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа, сжимаемой или растягиваемой внешними краевыми усилиями и подверженной малой нормальной нагрузке e3q(x). В безразмерных переменных задача описывается уравнением:

х2(,л Л -Tw" + p0w + s3q(x) = kK(w',M,K) + ew" [[(l + w^-l}dx \(1 + Wr*)2/ J

(10)

32Лопшов, Б.В. Задача о дивергенции крыла как пример теории ветвления решений нелинейных уравнений с двумя малыми параметрами/ Б.В.Логинов// Дифференциальные уравнения и их приложения. -Ташкент, 1979. - с. 109-113.

33Болотии, В.В. Нсконсервативиые задачи теории упругой устойчивости/ В.В.Болотин.- М.-.ГИФМЛ, 1961. -339 с.

с граничными условиями:

В: левый крап свободен, правый жёстко закреплен, = ■ш"'(0) = 0, №(1) = «/(1) = 0

В': левый кран жёстко закреплен, правый - свободен,

ЦО) = «/(0) = 0, ™"(1) = «/"'(1) = 0

Б: свободная скользящая заделка левого края, при которой поперечная сила равна пулю, правый жёстко закреплен, и/(0) = и>"'{0) = 0, ®(1) = м/(1) =0.

Разложение нелинейности I! ряды по степеням малого по норме; решения ги в окрестности критических значений бифуркационных параметров, даст линеаризованную двухточечную граничную задачу на собственные значения

Цги) = Х2ги{4) - Тги" + аю' + Р0ги = 0, а = 1(2)ккМ с граничными условиями, кото1юй отвечает характеристическое уравнение

Х2А-' - ТА2 + <тА + Д, = 0 (11)

При исследовании алгебраического уравнения (11) с тремя параметрами ^и^ применен метод Штурма разделения корней алгебраического уравнения. Установлено, что уравнение (11) может иметь корни одного из следующих видов:

1°).—7 ± ¿1», 7 ± 5-И ( 7, й, ¿2 > 0, ¿а > ¿1);

2°).—ах,—»2, 7 ±5г ( П1,а2,7, ^ > 0, ах > а2);

30).-а±Риа±Р2 ( а, А, А > 0,/32 < /3, < а)

1 - 2°). -а, -а, а ± <5г ( а, 5 > 0);

2 - 3е).-а ,-27 + а,7, -у ( а, 7 > 0,7 < а < 2-у).

Вид корней характеристического уравнения выбран с учётом равенства нулю суммы корнем таким образом, что в невырожденных случая все искомые коэффициенты и функции являются функциями трёх аргументов, в вырожденных случаях двух аргументов.

Таблица 3: Наличио/отсутствпе дивергенции х2'"1"' — Тги" + аш' + Риги = О

Граничные условия Вид корней 1° 2° 3° 1-2° 2-3°

В + + + + +

Б1 - - - - -

£> + + - + -

Соответствующая сопряжённая линеаризованная задача имеет вид Х2ш{4) - Тш" - аш + /Зои = 0

с граничными условиями:

В*: xV'(O) _ гш(о) = 0, х2о;(3)(0) _ 7V(0) - 00,(0) = 0, ы(1) = О, w'(l) = 0

В": и(0) = 0, а/(0) = О, XV'(1) - Ти>(1) = 0, х2«(3)(1) - Ти/{1) -аш( 1) =0,

D*:w'(0) = 0, х2^(3)(0) - Тш'(0) - <ти{0) = 0, ы(1)=0, а/(1) = О Асимптотика разветвляющихся решений по трем малым параметрам £1, £2, £3 в точке бифуркации (То, Mo, 0) вычисляется для случаев существования бифуркационных кривых.

Применение регуляризатора Шмидта к уравнению (10) в разложении аналитической нелинейности:

Bw = x2w(4) - T0w" + aw' + p0w = x2 Q«/V4) + 3w"3 + 9w'w"w"'

-£3q{x) + £iw" + fz(1) - l(2)kKw'e2 +

A" fvfidx-i + + +

2 J W dx \ lM3w'3

(верхняя(нижняя) строка отвечает одностороннему(двустороннсму) обтеканию пластины потоком газа), позволяет записать его в виде системы Bw = R(w, е)+ Çz, £ — {w, 7) = 0. Здесь В = B+(-,e)z, 7 и 2 - биортогональные системы к <р е N(B) и ф 6 N*(B) соответственно, обратный оператор В"1 = Г существует согласно лемме Шмидта, при этом Гг = ip, Г*7 = ф. Разыскание решения первого уравнения системы в виде ряда

w = WwooÇ + W0W0£i + И)Ш0£2 + Wi)(m£3 + ^ Wfc;affc£e

А:+Н>1

с последующей подстановкой результата во второе, даёт разложение по £ и £ УР Шмидта Щ, е) = Ç - (w(Ç, е), 7> = 0.

При £з = 0 для одностороннего обтекания главная часть УР, определяемая методом диаграммы Ньютона имеет вид:

L(Ç, е) = L2oo£2 + bnofei + ¿101^2 + • • • = 0

¿200 = t^MZitp12, ф), ¿но = ~(<р", Ф), Ьш = кф', ф).

При L200 0 решение задачи представляется рядом, сходящимся в малой окрестности £j = 0, £2 = 0 :

= _Lmei + Ьшег^ф + ^^ ^ Ьгоо

Следовательно, при условии существования точек, где определитель матрицы граничных условий равен нулю, происходит транскритичсская бифуркация.

Главная часть УР для двустороннего обтекания пластины сверхзвуковым потоком газа имеет вид:

Щ, е) = Ьт£3 + ¿по£(ч + Ьш&2 + ... = О

где ¿зоо = ф) - Х2(\Ч>12Ч>(А)+Зу?"3+9<р'<р V", ф) -1^"}у/2с1х, ф),

Ьш = о, Ьио = ~{ч>",ф), Ьт = сг0((р',ф),а0 = 2ккМ0.

При £,3,х) / 0 асимптотика сходящегося ряда-решения по полуцелым степеням £\, £•> представляется формулой

1/2

¥>(*) +0(Ы,Ы)

где знаки ех и е2 определяются условием неотрицательности подкоренного выражения. Следовательно, при Ьзт ф 0 имеет место бифуркация типа "вилки".

В заключении даны основные результаты работы:

1. На основе анализа модельных стационарных задач аэроупругости установлен их бифуркационный характер.

2. Доказана фредгольмовость граничных задач для ОДУ 4-ого порядка, описывающих дивергентные потери устойчивости удлинённых пластин, с помощью построения соответствующих функций Грина.

3. Дана точная постановка задач аэроупругости с помощью выражения бифуркационных параметров через корни характеристических уравнений соответствующих л и 11сар| 1зацн й.

4. Для выполнения поставленных задач разработана программа, визуализирующая метод Штурма отделения корней характеристических уравнений в зависимости от существенных параметров задач, и программа определения бифуркационных множеств, а также их визуализации в виде рельефов при вариациях характерных небифуркационных параметров (материал пластины, жесткость основания и т.п.), отраженные в соответствующих таблицах.

5. Вычислена асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся рядов по степеням малых отклонений от критических значений бифуркационных параметров на основе применения асимптотического метода Ляпунова-Шмидта и построения соответствующих уравнений разветвления.

■у(х\= ±

¿НО^! + Ь\о\£2

Список публикаций

Публикации в изданиях, включённых в список ВАК

1. Бадокина, Т.Е. Построение асимптотики решений нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения четвёртого порядка с двумя бифуркационными параметрами/ Т.Е. Бадокина, Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак// Известия Иркутского государственного университета,- 2012-Серия «Математика» №1. - С.2-12.

2. Бадокина, Т.Е., Логинов Б.В. Многопараметрические бифуркации в краевых задачах для ОДУ четвёртого порядка. //Доклады РАН, 2014. — Том 450(3). - С. 263-267.

3. Бадокина, Т.Е. Модели многопараметрических бифуркационных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка. // Вестник Самарского государственного технического университета, 2014. — Том 34, №1 - С. 9-18.

4. Бадокина, Т.Е. Трсхпараметрическая бифуркационная задача о прогибе удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа.//Известие высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2014. №2. С. 4-18.

Публикации в прочих изданиях

1. Loginov,B.V. Green functions construction for divergence problems in aeroelasticity/ B.V. Loginov, Т.Е. Badokina, O.V. Makceva // ROMAI Journal.- 2008.-№ 4(2).-P. 33-44.

2. Badokina, Т.Е. Green functions for boundary value problems about divergence of elongated plate in acroclasticity / Т.Е. Badokina, B.V. Loginov, O.V. Makceva// PAMM V.9 80-th GAMM Jahrestagung 9-13.02.2009.-Gdan'sk, Poland. - P.525-52G.

3. Бадокина,Т.Е. О потере устойчивости пластины-полосы с жёстко закрепленными и с шарнирно закрепленными краями, в сверхзвуковом потоке газа, сжимаемой или растягиваемой внешними краевыми усилиями/ Т.Е.Бадокина, Б.В.Логинов// Прикладная математика и механика-Ульяновск, типография УЛГТУ. -вып.8, 2009. - С.278-284.

4. Бадокина,Т.Е. Дивергенция упруго опертой удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа / Т.Е. Бадокина//Материалы конференции «XV Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых учёных и специалистов» г.Рязань. - С.92-93.

5. Бадокина Т.Е. Методы теории бифуркации и модемах дивергенции удлинённой пластины Ii сверхзвуковом потоке; газа// сборник статей VI Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные! методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» г.Пенза, 25-29 октября 2011 года , С.104-107

G. Бадежина, Т.Е. Бифуркационная задача о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа/ Т.Е. Бадокина// Материалы 64-ой научной конференции Ге:рцоповские чтения, 2011, 11 - 1G апреля 2011 г.-С. 23 31.

7. Le)gine>v В. Divergence of a thin elongated plate: in supersonic gas flew/ B.Loginov, T.Baebkina, Y.Rousak // Boe>k of Abstracts 82nd Annual Scientific Conference in Graz, Austria, April 18 - 21. 2011. P. 327.

8. Бадежина, Т.Е. Методы теории бифуркаций в ме)де:лях дивергоиции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа/ Т.Е. Бадокина// Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием,' 15-17 сентября 2011 г., г.Самара. С. 22 25.

9. Бадокина, Т.Е. О дивергенции удлиненной тонкой пластины в сверхзвуковом потоке газа/ Т.Е. Бадокина// Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского, том 44, Лобачевские чтепия-2011, г.Казань, 31 октября

4 ноября 2011 года, С. 79 81.

10. Loginov, В. Divergence of a thin elongated plate: in supersonic gas flow/

B.Loginov, T.Baebkina, Y.Rousak// PAMM vol. 11 issue 1 December 2011., p. 679-680. DOI: 10.1002/pamm.201110329 WILEY-VCH Verlag

11. Бадокина, Т.Е. Вырожденные случаи в бифуркационной задаче о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа/ Т.Е. Бадокина// Материалы 65-ой научной конференции Герценовские чтения, 2012, 16 - 21 апреля 2012 г. С. 30 34.

12. Бадежина, Т.Е. Бие^уркационпое множество в модельных задачах аэро-упругостн / Т.Е. Бадежина// Тезисы третьей международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г.Брест, 17-22 сентября 2012 г.). Минск, Издательский центр БГУ. -

C. 13-14.

13. Бадежина, Т.Е. Бифуркационное множество в модельных задачах аэроупругости / Т.Е. Бадокина// Труды третьей ме:ждунаре)диеш научной конференции «Математическое моделирование и диффсрсициальнмс уравне-

ния» (г.Брест, 17-22 сентября 2012 г.).- Минск, Издательский центр БГУ. -С. 47-57.

14. Бадокина, Т.Е. Трёхпараметричеекая бифуркационная граничная задача . о дивергентной потере устойчивости удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа/ Т.Е. Бадокина// Материалы 66-ой научной конференции Гсрценовскис чтения, 2013, 15 - 20 апреля 2013 г.- С. 30-36.

15. Бадокина, Т.Е. Трёхпараметричеекая бифуркационная задача о прогибе удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа // Материалы Всероссийской научной конференции молодых учёных «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики». Нальчик, 2014,- С. 27-30.

16. Бадокина, Т.Е. Методы теории ветвления и катастроф в задаче об изгибе удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа/ Т.Е. Бадокина, Ю.Б. Русак// Журнал Средневолжского математического общества-2014,- № 2(16).- С. 26-35.

Подписано в печать 09.10.14. Объем 1,5 и. л. Тираж 120 экз. Заказ № 1378.

Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24