автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Модели, методы анализа и синтеза предельно устойчивых систем управления

УДК 62-50

РГ6 од

/ 6 ИЮЛ 1938

На правах рукописи

БЕЙСЕНБИ МАМЫРБЕК АУКЕБАЙУЛЫ

МОДЕЛИ, МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ПРЕДЕЛЬНО УСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степенн доктора технических наук

Республика Казахстан АЛМАТЫ -1998

Работа выполнена в Институте проблем информатики в управления Министерства науки - Академии наук Республики Казахстан

Научный консультант -

доктор технических наук, профессор, член-корреспондент АН РК

Доктор физико-математических наук, профессор ДЖЕНАЛИЕВ М.Т.

Ведущая организация - Институт системного анализа

Российской Академии наук

Защита состоится <¿>3» июля 1998 г. в 14.00 час. на заседании диссертационного совета Д 53.05.01 в Институте проблем информатики и управления Министерства науки - Академии наук Республики Казахстан по адресу:

АШИМОВ А.А.

Официальные оппоненты:

Доктор техяических наук, профессор Доктор технических наук, профессор

ЮСУПОВ Р.М. СЫЗДЫКОВ Д.Ж.

480100, Алматы, ул.Пушкнна, 125

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем информатики и управления

Автореферат разослан «/37> мая 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. техн. наук

АШИГ АЛИЕВ Д.У.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Научно-технологический и технический прогресс обуславливает необходимость внедрения в производство новых современных технологий и оборудования, обеспечивающих повышение производительности труда, качества выпускаемой продукции и экономию ресурсов. Все это постоянно выдвигает новые требования к автоматизации, обуславливает необходимость совершенствования существующих систем управления, развитие известных и разработки новых методов построения таких систем.

В настоящее время общепризнано, что большинство реальных систем управления функционирует в условиях той или иной степени неопределенности. При этом обычно неопределенность может быть обусловлена незнанием истинных значений параметров объектов управления и непредсказуемым изменением их во времени. Поэтому исключительно важную роль в теории управления динамическими объектами играет робастная устойчивость проектируемой системы управления. В общей постановке робастная устойчивость состоит в указании ограничений на изменение параметров системы управления, при которых сохраняется устойчивость. Эти ограничения определяются областью устойчивости по неопределенным параметрам объекта и устанавливаемым параметрам устройства управления (регулятора). Как известно многие системы с линейными законами управления становятся неустойчивыми или имеют недостаточно широкую область робастной устойчивости, а известные методы их построения не учитывают непредсказуемые изменения неопределенных параметров объекта управления и дрейф его характеристик в больших пределах. Поэтому в настоящее время для теории и практики управления особо актуальной является проблема разработки и развития элементов теории управления, позволяющая создать высокоэффективные системы автоматического управления (САУ) объектами с неопределенными параметрами с предельно широкой областью робастной устойчивости.

Подход к построению систем управления динамическими объектами с предельно широкой областью робастной устойчивости, названных предельно устойчивыми системами, базируется на прикладных аспектах современной качественной теории динамических систем. В частности, используются приклад-, ные результаты теории катастроф и самоорганизации, разработанные Р.Томом, В.Арнольдом, И.Пригожшгым, Г.Хакеном, Г.Николисом и другими учеными, где получены основные структурно устойчивые отображения и обоснованы свойства диссипативных систем и методы исследования их устойчивости.

Целью диссертационной работы является разработка и развитие теоретических основ построения предельно устойчивых систем управления для линейных динамических объектов с неопределенными параметрами, с выбором законов управления в классе структурно устойчивых отображений, направленных на увеличение потенциала робастной устойчивости проектируемой системы управления.

Методы исследования. Для решения задач управления, сформулированных в работе, использовались методы математического анализа, линейной алгебры, современной качественной теории динамических систем, теории самоорганизации, системного анализа и современной теории управления. Для проверки эффективности разработанных моделей, методов анализа и синтеза предельно устойчивых систем управления использовался метод математического и имитационного моделирования на ЭВМ.

Научная новизна результатов работы заключается в разработке теоретических основ построения предельно устойчивых систем управления для линейных объектов с неопределенными параметрами, обладающих свойством робастной устойчивости в предельно широкой области изменения параметров.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:

- подход к выбору законов управления для линейных динамических объектов в классе структурно устойчивых отображений;

- метод структурного синтеза законов управления в классе структурно устойчивых отображений для объектов различного порядка (первого, второго, высокого порядка с одним входом-выходом, от-входами и и-выходами и для объекта с матрицей с группами вещественных простых, кратных и комплексно-сопряжеппых собственных значений);

- построенные математические модели нелинейных систем управления объектами первого, второго, высокого порядка с одним входом-выходом, т-входами п «-выходами с законами управления в классе структурно устойчивых отображений в области переменных состояний и для объекта с матрицей с группами вещественных простых, кратных и комплексно-сопряженных собственных значений с законами управления в классе структурно устойчивых отображений в области канонических переменных;

- метод исследования робастной устойчивости предельно устойчивых систем управления, основанный на идее линейной аппроксимации и первого метода А. М Ляпу нова и полученные условия робастной устойчивости нулевых и полистационарных состояний нелинейной системы управления;

- результаты исследований робастной устойчивости нелинейных систем управления для астатических объектов первого и второго порядка с законом управления в классе структурно устойчивых отображений;

- метод параметрического синтеза предельно устойчивых модальных регуляторов при неполной управляемости объектов по Капману;

- метод упрощения и сведения модели многомерной предельно устойчивой системы управления в области канонических переменных к одному уравнению первого порядка;

- предложенный метод оценки близости к границам качественных изменений номинальной предельно устойчивой системы управления;

- полученные условия управляемое™ объекта в предельно устойчивых системах управления;

- базовые математические модели динамических элементов экономической системы с различной степенью агрегировашюсти;

- микродинамическая математическая модель экономической системы с макроэкономическими механизмами государственного регулирования. -

Практическая ценность. Разработанные в диссертационной работе модели и методы позволяют проектировать предельно устойчивые системы управления, обеспечивающие робастность в широком диапазоне изменения неопределенных параметров объекта и устанавливаемых параметров регулятора, создавать высокоэффективные системы автоматического и автоматизированного управления разнообразными техническими и технологическими объектами в различных отраслях промышленности. Полученные теоретические результаты использованы для решения прикладных задач проектирования предельно устойчивых систем управления не полностью управляемым по Калману объектом четвертого порядка, посадкой летательного аппарата и технологическим процессом сушки.

Реализация результатов работы. Материалы диссертационной работы были использованы при выполнении научно-исследовательских и хоздоговорных работ в Институте проблем информатики и управления Министерства науки - Академии паук Республики Казахстан. Результаты диссертации внедрены в АО «Автоматика», о чем свидетельствует акт о техническом внедрении, в котором, в частности, говорится: «Применение моделей и методов построения предельно устойчивых систем управления при создании микропроцессорной САУ для технологических процессов в различных отраслях промышленности позволили: повысить точность регулирования, улучшить устойчивость САУ при неконтролируемом изменении параметров технологических процессов и повысить нечувствительность системы к внешним и внутренним возмущениям».

Аиробацня работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

Республиканском научно-техническом совещании «Повышение уровня автоматизации энергетического производства» (г.Алма-Ата, 1990 г.);

Всесоюзном научно-техническом совещании «Теоретические и прикладные проблемы создания систем управления технологическими процессами» (г.Челябинск, 1990 г.);

Республиканской научной конференции «Современные проблемы алгоритмизации» (г.Ташкент, 1996 г.);

I Съезде математиков Казахстана (г.Шымкент, 1996 г.);

Международной научно-практической конференции «Современные проблемы информатики, управления и создания информационных технологий и систем» (г.Алматы, 1997 г.);

Республиканской конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент» (г.Ташкент, 1997 г.);

заседашш семинара кафедры Автоматики и телемехашиси и Автоматизации металлургических процессов КазРГГУ;

заседании семинара кафедры МО ЭВМ и математической кибернетики КазГУ им. Аль-Фараби.

Публикации. ГТо теме диссертации опубликовапо 25 научных работ.

Лпчпый вклад автора. Все основные научные результаты получены автором самостоятельно и лично. Во всех работах, опубликованных в сооавтор-стве, автором дана постановка задач, предложены основные идеи их решения, методы исследования, получены аналитические выкладки и теоретические результаты.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы в 197 наименовании и приложения, в котором представлен акт о техническом внедрении результатов диссертационной работы. Работа изложена на 221 страницах машинного текста и содержит 25 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы основная цель и задачи исследования. Отмечено, что повышенные требования устойчивости и эффективности систем управления обуславливают необходимость использования при их проектировании методов, обеспечивающих увеличение потенциала робастной устойчивости и требуемых показателей качества управления.

В первой главе кратко изложены основные прикладные результаты современной качественной теории динамических систем, формализм линеаризации, метод исследования устойчивости линеаризованной системы и проблема анализа и синтеза робастной устойчивой системы управления.

Модели динамических систем обычно реализуются в виде систем дифференциальных уравнений. Параметры (коэффициенты) модели в каждом случае имеют конкретный смысл. Обычно некоторые качественные черты рассматриваемой системы сохраняются при определенном количественном соотношении между параметрами, и эти качественные черты исчезают при сколь угодно малом изменении количественных соотношений между параметрами. Отсюда следует, что определенные явления, характеризующие качественные черты системы, имеют место лишь в том случае, когда параметры удовлетворяют определенному условию. Если подобные качественные черты системы исчезают при небольших изменениях параметров, то они называются структурно неустойчивыми. С другой стороны, имеются системы, для которых качественные черты продолжают существовать при изменении параметров, влияющих на динамические свойства системы. Такие явления и системы называются структурно устойчивыми.

Если представить движение системы в виде изображающей точки в фазовом пространстве, то множество неподвижных точек и траекторий в фазовом

пространстве образует фазовый портрет динамической системы. В структурно устойчивых системах качественная картина поведения траектории на фазовом пространстве ие меняется при изменении параметров.

Основными прикладными результатами теории катастроф установлено, что структурно устойчивые отображения непосредственно зависят от числа управляющих параметров. Кроме того, классифицированы все структур!го устойчивые особенности, которые могут наблюдаться при воздействии от одного до четырех управляющих параметров,

В теории динамически систем отсутствует полная классификация, соответствующая теории катастроф, но уже установлено, что бифуркация Хопфа и бифуркация седло-узел (или катастрофа складки) являются единственными структурно устойчивыми бифуркациями, наблюдаемыми при изменении одного управляющего параметра.

Модели, исследуемые современной теорией динамических систем, представляют весьма сложную нелинейную задач}'. Поэтому предложен обоснованный формализм линеаризации и метод исследования устойчивости системы на базе линеаризованной системы, и благодаря этому, анализ устойчивости - одного из фундаментальных свойств нелинейных динамических систем - сводится к решению линейной задачи.

Рассматривается система управления, динамика которой описывается уравнением

= Ах(0 + ВиЦ) + С5( I) + ад (1)

где х(/)~ л-мерный вектор состояния объекта, и(1) - га-мерная нелинейная вектор-функция управляющих воздействий в замкнутом контуре, - г-мерный вектор Программного управления, функция ад характеризует внешние возмущения, действующие на систему, В л С - соответственно (их т) и (лх г)-мерные матрицы управления в замкнутом контуре и программного управления; А- матрица

объекта управления размерности их п. В дальнейшем предполагаем, что Е,(/)=0, т.е. пренебрегается действие на систему внешнего возмущения.

В работе рассматривается нелинейная система (1) с законом управления, компоненты которого заданы, например, в виде однопараметрических структурно устойчивых отображений.

где ки - выбираемые параметры закона управления.

Система (1) зависит от двух групп параметров {¡¡4} и {£„} (/' = 1,я, у = 1,«). Здесь ка - выбираемые параметры, о1;. - неизвестные элементы матрицы объекта управления А е А и задана априорная оципса

Если предположить, что на систему (1) действует постоянное или равное нулю программное управляющее воздействие g(t) (т.е. ^)=сог^ или £{Г)=0), тогда установившемуся (стационарному) состоянию системы (1) соответствует уравнение

и имеется решение х - х,. Каждому значению вектора параметра собственных значений X матрицы объекта управления А и параметра управления к соответствует определенное стационарное состояние х = *ДХ,к) и определенный закон управления и, = иг(х,(\,к),Х,к).

Линеаризуя уравнение (1) вокруг стационарного состояния х,, получим

Ц = + /=1 ,т

(2)

АеА, К(=К

(3)

Лх(:)+Ви(1) = 0

(4)

^=МО++око

(5)

где матрица

В оценках (3) А - замкнутое множество допустимых параметров объекта управления, К - множество параметров управления, формирующее область допустимого управления и е U.

Проблема анализа робастной устойчивости системы (1) состоит в определении необходимых и (или) достаточных условий, при которых собственные значения матрицы G-A+BK линсартованной замкнутой системы (5) имеют вид

Re {¡i,} < 0, i = íñ (6)

при выполнении условий (3).

Проблема синтеза робастной устойчивой системы (1) состоит в определении такого выбора матрицы параметров управления К замкнутой линеаризованной системы (5), при которой G(K)<zG

где G- множество матриц замкнутой линеаризованной системы (5), все собственные значения u (G), которые удовлетворяют условию (б) при выполнении оценки параметров (3) и удовлетворяют всем требованиям качества управления.

Во второй главе разрабатываются модели и методы построения предельно устойчивых систем управления для объектов различного порядка с одним входом и выходом и для многомерных объектов со многими входами и выходами.

1. Рассматривается САУ первого порядка с нелинейным регулятором (Рис.1). Объектом управления является интегрирующее звено с постоянной интегрирования Т. Предполагается, что задающее воздействие g(t') является постоянным или равным нулю (°{t) = 0).

Закон управлешм выбирается в виде однопараметрического структурно устойчивого отображения

и(1) = -хг + кх (7)

Уравнение состояния системы относительно ошибки х записывается в

виде

(8)

а т 4

Система (8) с нелинейным законом управления (7) имеет установившееся состояние системы х', = 0 при отрицательном к (к<0), а при положительном к (к>0) имеет два установившихся состояния х,2 = Vк и дг,3 = -4к . Эти пары установившихся состояний системы сливаются с при А-0 и ответвляются от него при ¿>0, т.е. в точке к~0 происходит бифуркация.

В случае рассматриваемой здесь простой модели проблема исследования устойчивости довольно тривиальна, поскольку уравнение (8) допускает точное интегрирование.

Оказывается, что состояние х\ является асимптотически устойчивым при к < 0 и неустойчивым при к > 0, состояния х] и х] также асимптотически устойчивы. Иными словами, ветви установившихся состояний и х] появляются в результате бифуркации в тот моменг, когда состояние х\ = 0 теряет устойчивость, причем сами эти ветви устойчивы.

На самом деле связь между надкритическим ветвлением и устойчивостью отшодь не случайна. Согласно одному из общих результатов теории катастроф и бифуркаций при нелинейной функции (7), надкритические ветви устойчивы, а подкритические неустойчивы. Таким образом, установившиеся состояния системы (8) непосредственно определяются коэффициентом усиления к, независимо от постоянной интегрирования, и нелинейный закон управления (7) придаст системе устойчивость при любом изменении параметра к в допустимых пределах.

2. Рассматривается устойчивость свободного движения в линейной САУ второго порядка (Рис. 2). Объектом управления является интегрирующее звено с постоянной интегрирования Т,, исполнительное устройство в виде интегрирующего сервомотора с постоянной интегрирования Т2.

Рис.2

Уравнения состояния системы относительно переменной *,(/) и *3(/) имеют вид

1

л

Л, к

сЧ

Очевидно, что система (9) при линейном законе управления и — кх, при любых значениях к либо находится на границе устойчивости ( к < 0), либо неустойчива (к > 0). Таким образом, в рамках линейного закона управления не удается обеспечить устойчивость системе (9).

3. Исследуется устойчивость САУ, представленной на Рис.3.

Законы управления выбираются в виде однопараметрических структурно устойчивых отображений и, - -х' + А,х,, ¡^ = -х2 + к2х2. Уравнения состояния системы относительно переменных х, и х2 записываются в виде: А I

dt Т, 2 ' г'

L ; ,, (1о>

Система (10) имеет установившиеся состояния: x\s = х2г=0, xff = ±JFt и хУ = ±JF. Стационарные состояния .г?;3 и х" сливаются с х', = x',s = 0 при коэффициенте к, = к2=0 и ответвляются от него при к, >0 и кг >0.

Исследуется устойчивость этих стационарных состояний системы (10) на основе идеи первого метода А.М.Ляпунова.

Оказывается, что состояния x\s = х\г = 0 являются асимптотически устойчивыми при к, < 0 и к2 < 0 и неустойчивым при А, > 0 и к2 > 0, но установившиеся состояния дг,2;3 = ±/tj~ и х^ = , определяемые непосредственно коэффициентами усилеция при ¿,>0 и ¿,>0, будут также асимптотически устойчивы.

4. Обычно в реальных САУ в связи с трудностями получения точных значений производных от переменных состояния, объект непосредственно-управляем только по выходиой координате. Поэтому рассматривается нелинейная система, представленная на рис.4.

Рис.4.

Структурной схеме, представленной на рис.4, соответствуют уравнения состояния системы

¿V, !

с1х2 1

5

(И)

Система (11) имеет стационарные состояния х'„ = х2, = 0 и -- ±-Тк, хъ = 0. Стационарные состояния = +-Л, хг, = 0 сливаются с х\г ~ х,, = О при коэффициенте усиления к~ 0 и ответвляются от него только при к > 0 .

Получено, что для устойчивости стационарного состояния х', = = О необходимо и достаточно, чтобы коэффициент усиления к всегда принимал значения меньше нуля (к < 0), а для устойчивости состо яния х^ = ±-/к~, х2, = О необходимо и достаточно, чтобы коэффициент усиления £ был всегда болыпе нуля ( к > 0 ).

Таким образом, на примере объекта первого и второго порядка видно, чго при определенным образом выбранном законе управления в классе структурно устойчивых отображений молено построить САУ, устойчивую при любом изменении коэффициента усиления независимо от постоянной времени, т.е. потенциал робастной устойчивости САУ увеличивается до предельно наибольшего допустимого значения.

5. Пусть объект управления описывается уравнением соспшшя сЬс

А

Ах + йы х е К", и £ Д .

(12)

где

/1 =

О О

О

~ ЙЛ.

1 о

о

0

1

О

-

О

0

1

-я,

5 =

В данной системе единственной выходной координатой является хь а остальные переменные состояния являются производными от выходной координаты. Обычно в реальных системах трудно получить точные значения производных. Но необходимо, чтобы скорость изменения выходной координаты и производные более высокого порядка от X] равнялись нулю в установившемся состоянии системы.

Закон управления и задается в виде однопараметрического структурно устойчивого отображения и = -х* +- и к = к\ - ап

Тогда система (12) записывается в развернутом виде 'Л,

Л

л

<3х„ А

= -Х1 + Ьг, +- л:, = -х\ + ¿X! + Х}

= -х¡® +- кх1 - ап_,х2

(13)

Системе (13) соответствуют уравнения стационарного состояния

-х1 + кхи+хг, =О -х1 +Ьг„ + = О

(14)

Из (14) определяются стационарные состояния системы

х!,=0, х2, = о,...,х_ = 0 (15)

и 4 = 4к , х1 = -Л", хи = = 0 (16)

Стационарные состояния (16) сливаются с (15) при выбираемом параметре системы к = 0 и ответвляются от него при к> 0.

Исследуется устойчивость стационарных состояний (15) и (16) на основе устойчивости линеаризованной системы по алгебраическому критерию Гурвица.

Получено, что система, описываемая уравнением состояния (12), за счст введения нелинейного закона управления, выбранного в классе структурно устойчивых отображений, приобретает свойства робасшой устойчивости в широких пределах изменения параметров объекта управления. Оказывается, что стационарное состояние (15) является асимптотически устойчивым при параметре управления ¿<0 , а состояния (16) асимптотически устойчивы при к> 0, а при к=0 происходит слияние устойчивых стационарных состояний (15) и (16).

Практически система управления становится устойчивой при любом изменении коэффициента усиления регулятора и параметров объекта, если только выполнены дополнительные необходимые условия

п

> к, если к < 0 и

< к, если к > 0, г = 1 ,п

я.^+.-.+а, +1

_а.

2(а1_,+...+а, +1)

б. Пусть стационарный линейный объект управления описывается уравнением состояния Лх

Л

Ах,

х еЯ",

(17)

где А - квадратная матрица параметров объекта размерности пхп.

Матрица А может быть приведена с помощью неособой матрицы канонического преобразования Р к блочно-диагональной форме

А = РЛАР = (18)

с диагональными квадратными блоками вида

л = (19)

1 . . 0 0

0 \ • . 0 0

0 0 . • 1

0 0 . . 0

, j = l,k

(21)

где X,,.. ., X, - вещественные простые, л., - вещественные, ¿V; - кратные, Л, = а ± /р - комплексно-сопряженные собственные значения матрицы объекта управления А, причем, естественно, что А',+...+#„ = £; l+N^+..лNш + = п. Столбцы неособой матрицы Р в каноническом преобразовании определяются собственными векторами матрицы Л.

Преобразованную матрицу управления В = Р]В и управляющие воздействия и выбираем в виде

О ¿„

О 0 ... А

и -

о

О иа О о

и,

о

и,

Принятая структура (18) позволяет раздельно управлять собственными значениями любого диагонального блока (19), (20), (21) матрицы А. Для этого записывается

|Л

dx .. — ~Ах + ВС/ = dt

где

Р

х = Р~'х.

о! В, 0 с, 0

X + и2

У; 0 3 0

(22)

При этом размерности матриц В, В2, B¡ и матриц U¡, l/2, U, соответствуют размерностям квадратных матриц Л, J, У из (19), (20) и (21).

11а основании (22), приняв U2 =0 , í/,s 0 или ¡У, з 0, U3 е0 или О', = 0, U, г 0, нетрудно получить возможность последовательного

управления каноническими системами

дх_ dt

Ё. dt

■ Ах + В,С/, , • = Л" + 5,(7,,

(23)

"и о

í>„ О

о

о

=>

~ = Зх+В,и2, (25)

Отсюда следует, что систему (23), (24), (25) можно записать в развернутой форме с учетом у Д = 1

11х1 _

= ¡=1,1, (26)

при выборе закона управления ии =-/,(- 5с,3 +■ к:х,)

{1х --------

-^-^Х^-х,'+к1х,, ¡ = 1 + 1,1+1, 7 = 1 ,т (27)

при выборе закона управления ии = г/ + к,хм - хм) сШ,

—^ = аД, -Зс/ + к,х, , г = / + Х + 1,и, у = 1 ,к (28)

при этом закон управления выбирается

«а = + + Рл*|)> если нечетное 11 = У,(-*,3 + ¿Д - РД_,), если г- четное.

Стационарным состояниям канонических систем (26), (27), (28) будут соответствовать уравнения

-х> +{>.,+к, Х = 0, 1 = й, (29)

+ + £,)*»= О, !' = /+-!,/+ 1,}=\т (30)

- ^ + (а> + = 0,/ = / + £, л, /=Ц (31)

Из (29), (30), (31) найдены стационарные состояния канонических систем (26), (27), (28).

=••••=?: = 0 (32)

и ¡ = и (33)

где ц, =

А.,если 7 = 1,/

если г = / + 1,2, /=1 ,/л

ау + если / = / + Ь + 1,и, у = 1Д

Устойчивость стационарных состояний (32) и (33) канонических систем

(26), (27), (28) определяется на основе устойчивости линеаризованной системы.

Получено, что стационарные состояния (32) канонических систем (26),

(27), (28) будут асимптотически устойчивыми, если ц, < 0, г = 1,л, и теряют устойчивость при ¡л, > 0, I = 1,/1, но у системы появляются новые стационарные состояния (33), которые также асимптотически устойчивы. Таким образом система обеспечивает устойчивость при любом допустимом изменении параметров.

В третьей главе решаются задачи синтеза и редукции переменных и оценки качества многомерной предельно устойчивой системы управления.

Для случая полностью управляемого объекта по Калману известные методы синтеза модального регулятора базируются на предварительном приведении матрицы объекта Л к треугольному виду, при этом в качестве неособой матрицы преобразования используется матрица управляемости. Но большинство реальных объектов не полностью управляемы по Калману и такой путь неприемлем из-за вырожденности матрицы управляемости. Поэтому более универсальным и общим является подход, основанный на приведении матрицы А к блочяо-диагональной форме (18) с диагональными квадратными блоками (¡9), (20), (21).

Условие неполной управляемости означает, что лишь г из п собственных значений матрицы А путем введения модального регулятора могут быть переведены в любое заранее заданное положение на числовой комплексной плоскости. Остальные же д=п-г собственные значения сохраняют свое положение при любых параметрах регулятора. Таким образом, решается задача управления частью или отдельными собственными значениями линеаризованной системы.

Системы уравнений (27), (28), (29) позволяют раздельное управление собственными значениями матрицы замкнутой системы к соответствующими гармониками решений линеаризованного уравнения состояния системы. Линеаризуя системы (27), (28), (29), представим их в виде:

= г = 1,Л (34)

~- = (*.,.+ £,)*;, ; = / + ],/ + £, ] = \т (35)

= + ( = 7+1 + 1, » (36) если стационарным состоянием системы является (32) и

= +А,)*",, ¡' = Г,7 (37)

~ = -2{^ + к))Х„ у = 17т, 1=7+17+1 (38)

+ *,)*;, ; = Ц, г = ГГТ+Тя (39) если стационарным состоянием системы является (33).

Таким образом, задача сводится к последовательному синтезу линейных модальных регуляторов для канонической системы (34), (35), (36) или (37), (38), (39). Рассмотриваются поочередно эти задачи.

1. Для полной управляемости канонического объекта (23) требуется, чтобы все диагональные элементы матрицы §, были ненулевыми. За счет группирования управляемых и неуправляемых координат в векторы х\ и 5, систем (34) или (37) можно привести их к виду:

^ = + (40)

<В2 _

Обозначим через — л[ + А', матрицу замкнутой системы, соответствующую управляемым каноническим координатам системы (40).

Пусть Х„...,Х, есть собственные значения матрицы Л), а ц^,...,^- желаемые собственные значения матрицы G,', тогда приравняв матрицу G, к матрице желаемых собственных значений замкнутой системе G,', можно определить элементы матрицы модального управления kt = ( = 1,/, и закон

модального управления «е -Х,)%], ¿ = 1,/;.

2. Для полной управляемости каношгаеского объекта (35) или (37) требуется, чтобы последний А',-й элемент матрицы В2, соответствующий J-му кратному собственному значению кратности N,, был отличен от нуля.

Рассматривается объект с двукратными (.V, = 2) и трехкратными (n, = з) собственными значениями матрицы J: при N, = 2

= - 'ч . к7 = и! - X,

"и =7Г"[- + (ц* -X,)?, - rl R, = -Ц- J? + (п.; - х,)1

при Л', = 3

ц, = -Ц- г,3 - л}?! - ].«„ = т~[~ х] + - - *3],и„ = тЦ- xl + - Л)*з]

°И °22 °)3

3. Для полной управляемости канонического объекта второго порядка (36) или (39) с матрицей J) вида (21) требуется, чтобы хотя бы один из парных

элементов матрицы Ё3 был отличен от нуля.

Коэффициенты модального регулятора и закон управления для такого объекта определяются выражениями:

ks = ft' - а,., i = l,2k, j = Uk при нечетном /

и, + (ц"-a^'x, +РД„] , ¿ = 1,2*, j = \,k

при четном /

Ц, = +(м* -<*,)*' ' = / =

Одна из основных проблем построения высокоэффективных систем управления заключается в выборе критерия, позволяющего оценить стелет, успешности выполнения заданной цели управления. С этой точки зрения наиболее подходящей характеристикой системы являются переходные процессы, которые дают исчерпывающее представление о качестве процессов управления.

Пусть система управления описывается дифференциальным уравнением (1). Тогда движение многомерной предельно устойчивой системы (1) в результате приложения вынуждающего программного воздействия g(t) и воздействия в замкнутом контуре управления u{t) при £(/) = 0 будет равно

x(t) = 4>t(r)x0 + jipk(t-i)Cg(x)dx, о

0 . . 0

0 . . 0

0 0 . . е"

матрица перехода для канонической замкнутой системы (34), (35), (36) или (37), (38), (39), *„ = 1(0) - вектор начального состошшя.

Для современных задач управления характерна все возрастающая сложность объектов, связанная с многомерностью и высоким порядком уравнений динамики математических моделей. В указанных условиях особую важность приобретает разработка метода упрощения уравнений предельно устойчивой системы.

Пусть предельно устойчивая система (1), представленная в области ка-нмшческого преобразования, имеет вид (26), (27), (28), и при изменении параметров объекта п регулятора одно из собственных значения ^ - б (е «1) матрицы замкнутой системы <7, проходит через нуль и становится положительным,

тогда как вещественные части остальных собственных значений остаются отрицательными (Яец, < 0, />1) И большими (|Яец(|»|Е|). Систему (26), (27), (28) можно представить в виде

= еж, - дг, - - ¡1,2, - ! = 2,и

.¿I

Разделив все уравнения системы (41) на е и вводя новое время = е/, можно получить

$ = (42а)

йХ' _

е-—- = |а,Х, - х^3 , I = 2,« (426)

Система (426) является присоединенной, с устойчивой особой точкой = 0, 1 = 2,п. Согласно теореме Тихонова о малом параметре, можно положить с - 0 и решения ^=0 и х*'1 = ±а/р7» I = 2,п являются изолированными корнями алгебраической системы - У,5 = 0 , / = 2,п.

Уравнение (42а) не зависит от других канонических координат, поэтому в уравнении (42а) следует перейти снова к времени С. Тогда получится, что

— = ц,х1-х, ,

Теперь, чтобы исследовать характер поведения полной системы (1), нужно изучить систему состояния, которая описывается лишь одним уравнением.

В четвертой главе предлагаются различные меры оценки удаленности поминальной предельно устойчивой системы управления от границ качественных изменений по норме эрмитовой части матрицы замкнутой линеаризованной системы б.

Матрицу С можно разложить на сумму эрмитовой матрицы О и косоэр-

митовой матрицы С но формуле £>=-('0+6'*;, С=~(С-С/). Если С,' = С, то С=0 и

2 2

все собственные значения матрицы О - вещественные. Это паводит на мысль, что норма матрицы С может задавать верхнюю оценку для величин мнимых частей собственных значений матрицы & Также если С=-С, то £>=0, и все собственные значения матрицы (3 (ц(£))=7?е|1(С)) и соответственно представляют оценку удаленности системы управления от границ качественных изменений.

Мера удаленности предельно устойчивой системы управления от границ качественных изменений определяется мерой удаленности матрицы 0 от вырожденности. Необходимо выбрать функцию, определенную на квадратных матрицах О, неотрицательную и равную нулю в том и только в том случае, когда <М£>=0. Такой функцией является нижняя грань матрицы О, определенная относительно любой векторной нормы А

Матричная норма (43), индуцированная различными векторными нормами непосредственно определяется элементами матрицы О и, следовательно, параметрами системы управления.

Сформулированы утверждения, устанавливающие удаленность предельно устойчивой системы от Гранины качественных изменений в зависимости от параметров объекта и регулятора.

Утверждение I. Пусть £> - эрмитовая часть матрицы линеаризованной, замкнутой предельно устойчивой системы управления С

и пусть мера удаленности предельно устойчивой системы от границы качест-

(43)

венных изменений определена относительно векторной нормы р<ад=Е х , то

/1 ' •

glb(T>;=minj)iy| = mmZjdjtj

или

gib (D) = min ¡ц, | = nun Z \dJk |

Утвсряздеиие 2. Пусть матрица D - эрмитовая часть матрицы замкнутой линеаризованной предельно устойчивой системы G с собственными значениями щ,}12>—НтИ = mirijuj, то при евклидовой векторной норме h выполняется

неравенство

glb,(ö)£min|ny|,

т.е. иижшш грань вещественной части матрицы линеаризованной замкнутой системы по евклидовой норме h не превзойдет минимального по модулю собственного значения матрицы D.

В пятой главе получены условия управляемости канонических координат предельно устойчивой системы по программному воздействию, по воздействию в замкнутом контуре и условия управляемости исходных координат по ведущей гармонике матрицы объекта.

Рассматривается управляемость канонических координат объекта управ-легшя по программному воздействию. Пусть система управления описывается уравнением

Ax + Cg , ' (44)

al

Здесь предполагается, что в системе (1) действует только программное управление.

Как было показано, матрица объекта управления Л может быть приведена к блочно-диагональной форме (18) с диагональными квадратными блоками вида (19), (20), (21) с помощью пеособсй матрицы Р. Принятая структура (18) позволяет осуществить последовательное рассмотрение управляемости канонических объектов

f = (45)

= , (46)

fw^ + Qg, (47)

где г; - вектор размерности I, х, - вектор размерности N¡ их, - вектор

размерности 2к.

1. Для полной управляемости по программному воздействию канонического объекта (45) требуется, чтобы не все элементы любой строки матрицы С, были ненулевыми.

2. Для полной управляемости по программному воздействию каионического объекта (46) с кратными собственными значениями кратности .Vf, í = l,m, требуется, чтобы не все элементы последней Лг, -й строки матрицы С2 были нулевыми.

3. Для полной управляемости по программному воздействию канонического объекта (47) требуется, чтобы не все элементы парных строк матрицы С3, соответствующие комплексно-сопряженным собственным значениям, были нулевыми.

Рассматривается управляемость канонических хоордннат объекта управления по воздействию в замкнутом контуре. Линеаризованную предельно устойчивую систему управления при g(e) Ю можно представить в виде (23), (24), (25) в зависимости от собственных значений матрицы объекта, вводя обозначения А = ВК, задача сводится к последовательному исследованию управляемости канонических систем

, (48)

rix

~= Jx1+Álx, (49)

Вектора х,, х2, х3 характеризуют канонические координаты системы, соответствующие простым, вещественным кратным и комплексно-сопряженным собственным значениям матрицы А.

В системе уравнений (48), (49) и (50) размерности матриц Д[ ,Л2 и А3 соответствуют размерностям квадратных матриц Л,/и У. На основании (48), (49) и (50), приняв все элементы матриц А2 и Д3 равными нулю, можно управлять собственными значениями матрицы Л, сохраняя неизменными элементы матриц J и J'. Причем это управление непосредственно будет определяться коэффициентами управления, действующими в замкнутом контуре, которые являются элементами матрицы К. Аналогичные результаты можно получить относительно матриц / и У, соответственно приняв все элементы матриц Д, и Д3 или А, и Д2 равными нулю.

1. Для полной управляемости канонической системы (48) требуется, чтобы хотя бы один элемент в каждой строке матрицы А, был ненулевым.

2. Для полной управляемости канонической системы (49) требуется, чтобы хотя бы один элемент в последней «V -й (/ =1,«) строке матрицы Д2, соответствующий кратным собственным значениям кратности А',, был ненулевым.

3. Для полной управляемости канонической системы (50) требуется, чтобы хотя бы один из элементов парных строк матрицы Д3, соответствующий комплексно-сопряженным собственным значениям, был отличен от нуля.

Очевидно, что матрица объекта управления А имеет собственное значение \ = /.„„, с максимальной вещественной частью, т.е. для всех остальных

собственных значений >., выполнено Яел < Келтгч, г = 2,п. Собстветюму значению X, соответствует собственная функция и каноническая координата объекта управления *,(г). Асимптотическое поведение объекта управления определяется х(1) - и.-,,?,(/) и управляющие воздействия достигают наибольшего

эффекта при управлении по ведущей гармонике .т,(0. Поэтому рассматривается управляемость системы (1) по ведущей гармонике при отсутствии внешних возмущающих воздействий = 0.

Используя подход, основанный на приведении матрицы объекта управления к блочно-диагональной форме, система (1) представляется в виде

(51)

(52)

(53)

Из (51), (52), (53) очевидно, что, изменяя Д, ,Д2 и Д3 с помощью коэффициентов матрицы К, можно управлять собственным значением матрицы замкнутой системы О ~А + А . Таким образом, дальнейшая задача сводится к последовательному рассмотрению управляемости (51), (52), (53) с матрицами замкнутой системы, соответственно: б, = Л + А,, С, = У + Л2,й3 =./' + л3, которые имеют собственные числа ц, (; = ).

Решение канонических систем (51), (52), (53) можно представить

I

?,(') = ?>.(<)?„! + - т)(1т , (54)

о

/

*аМ = (?2Шо2 + /ф2(' - , (55)

о (

х3(г) = <Р3Мхм +|(р3(г-т)С3?{т)А , (56)

о

где ф,(г) = ег'', ф2(г) = ег'' и <р,(г) = ей'' - соответственно переходные функции канонических систем (51), (52), (53), л„ = Р'!х0, х0- начальное значение вектора состояния системы.

л

■■ Ахх + ¿¡7 + 0,2,

~ -я: — = -1х2 + &2Х + Цй ,

с£с3 ~сй

~ .1% + л ,-х 4- с;,?,

Как известно, поведение динамической системы (1), найденное с помощью решений (55), (56) и (57), представляет собой суперпозицию гармоник с показателем и остальных гармоник. Вклад последних играет несущественную роль на фоне основной гармоники разложения.

Отсюда для асимптотического поведения системы (1) можно записать:

1) если Я, = Л„„- вещественные простые,

о Н

2) если Я, - Япш- вещественные, Л', - кратные,

(

е

= 0

0 0

с„ с,2 .. с„

сп ••

= 0», ""

2 - ^

3) если Я, = Яяш (Я, = а, ±/р,) - комплексно-сопряженные собственные значения матрицы объекта управления,

= №,ев|'(созД/ - 15шДс)х01 + [н^"'0 т)[созД(/ - г) - ¡¡¡пД(г - г^с^&Дг^г

о

Отсюда видно, если ведущая гармоника объекта управляема по программному воздействию и по воздействию в замкнутом контуре, то для полной управляемости исходных координат объекта через ведущую гармонику требуется, чтобы все компоненты вектора собственной функции и>, были ненулевыми.

Глава 6 посвящена математической формализации моде.та динамических элементов экономической системы.

Новизна и актуальность общей проблемы стабилизации социально-экономшгеской системы, сложность взаимодействия экономических элементов в системе ставят новые проблемы в рамках системных исследований (разработка математических моделей и методов системного анализа проблем стабилизации и устойчивости развития социально-экономической системы).

Системный анализ крупномасштабных социально-экономических процессов требует описания их несколькими моделями различной степени агреги-рованности. Поэтому разработаны базовые модели динамики основных фондов, структуры населения я рынка рабочей силы.

1. Состояние рынка рабочей силы непосредственно определяется динамикой структуры населения и динамикой развития производственной сферы экономической системы.

Математическая модель рынка рабочей силы

Л

= Щ/)

1--

1,(Г) < = 1.Л

где / - индекс отрасли (/=1,...,и), 1,(0 и ¿,"(0 - соответственно средний уровень заработной платы, численность работающих и имеющееся количество

рабочих мест (спрос) в /-й отрасли производства, 1°(л = ^ £?(о. Спрос на рабо-

чис силы со стороны /-й отрасли определяется динамикой развития производства.

2. Непрерывная математическая модель развития основных фондов

дх,а, т) &,(т,0

т)«л*

о

х,(т,0) = <р,(т)

где *(г,/) - функция распределения объема основных фондов /- й отрасли по возрастам г и по времени 6,(-г) и соответственно коэффициенты изно-

са и обновления основных фондов в 1-й отрасли; <р,{г)- функция начального распределения основных фондов по возрастам в / - й отрасли.

3. Дискретная математическая модель динамики основного фонда. Х(к + \)-ВХ{к),

где Х,(к) = (X,(А),...,*„(*))- вектор возрастных групп основного фонда

Ъп Ьп ¿13 ...

В = Ь-я А, з **

0 0 0 6„

матрица коэффициентов восстановлена и износа основных фондов, Ьп - интенсивность ввода в производство новых основных фондов, Ь., - при I <у' для (/ = 1] = 2,...,«) интенсивность восстановления основных фондов из у'-й группыв г-ю, Ья =(Ь'1]+Ь* +Ь*) при 1=у (г = 1,2,...,п; У = 2,3,...,п), Ъ'я- коэффициент восстановления основных ^фондов из у'-й группы в у'-ю в результате текущего ремонта, Ь), Ъ* - соответственно интенсивности ввода в производство купленных, и арендованных фондову'-го возраста.

ЬМ1 = 1 ---Ь'^-Ь"-Ьс:л - интенсивность перехода фондов, находящихся в £-й момент времени в у'-й группе, в (/+1)-го фуппу к (&+1)-му моменту времени, и - соответственно интенсивности износа, продажи и сдачи в аренду основных фондову'-й группы.

4. Предложение трудовых ресурсов определяется динамикой структуры населения страны, которая представлена непрерывно-дискретной моделью:

<алг(0 _ л

= ЛИ{1)

где Лг(0 = (ЛГ|(0,..-.^я(0)- вектор численности населения по возрастным группам;

<7,3 . • а:,,-1 %

я,, ап 0 . . 0 0

А = 0 °32 "и ■ . 0 0

0 0 0 . • в.,»-! ат

матрица интенсивности рождаемости, смертности, иммиграции и эмиграции; аа,...,а1л - интенсивности рождаемости в в возрастных группах; аь(] = 1,...,»)-интенсивность иммиграции; а^,; = I — -т^, ц и - соответственно интенсивность смертности и эмиграции в .¡-й возрастной группе.

Анализ построенных моделей и реальных взаимоотношений между элементами экономической системы показывает, что многие процессы в экономике могут быть описаны с помощью такого типа математических моделей, которые образуют систему математических моделей различного уровня агрегнро-вашшсти.

В седьмой главе с учетом современного состояния развития моделей н методов системного анализа развития экономической системы разрабатывается математическая модель экономической системы с макроэкономическими механизмами государственного регулирования, позволяющая оценить устойчивость, стабильность и прогнозировать перспективы развития переходной экономики. В модели экономическая система представлена в динамике как совокупность самостоятельно действующих элементов, за каждым из которых закреплены определенные экономические функции. Элементами являются отрасли производства, население, банковская система, государство, рынки труда, товаров и денег. Экономика страны, как объект исследования, описывается комплексом динамических моделей со сложными прямыми и обратными связями между элементами. На развитие экономической системы оказывают влияние

как се прямые, так и обратные связи. В модели обратные связи описывают управляющие воздействия государства на отрасли производства, население и банковскую систему страны и являются математическим описанием экономических механизмов государственного регулирования. Прямые связи в модели описывают внутренние состояния экономической системы, которая определяется процессом производства, процессом формирования трудовых ресурсов и потребительского спроса, динамикой развития производственных мощностей и т.д.

Математическая модель экономической системы может быть использована для создания информационной системы имитационного моделирования переходных процессов в экономике.

Глава 8 посвящена применению моделей и методов построения предельно устойчивых систем управления для решения прикладных проблем. Рассмотрены задачи построения предельно устойчивых систем управления не полностью управляемым по Калману объектом четвертого порядка, посадкой летательного аппарата, технологическим процессом сушки и развитием основного фонда производства.

Синтезирован модальный предельно устойчивый регулятор на примере не полностью управляемого по Калману объекта четвертого порядка и показано, что получешгая матрица линеаризованной замкнутой системы имеет заданный спектр, и переходный процесс в системе удовлетворяет желаемому качеству управления.

Решена задача управления посадкой летательного аппарата на последнем этапе полета - па фазе выравнивания. Она обеспечивает устойчивое движение летательного аппарата по желаемой траектории в условиях неопределенности параметров объекта в широких пределах. Синтезирован закон управления в классе структурно устойчивых отображений и структура предельно устойчивой системы управления посадкой летательного аппарата.

Построена предельно устойчивая система управления технологическим процессом сушки и показано, что неустойчивая система с пропорциональным законом управления не только приобретает свойства устойчивости, но и становится робастно устойчивой с предельно широкой областью по неопределенным параметрам технологического процесса. Закон управления синтезирован в виде однопараметрических структурно устойчивых отображений. Проведены вычислительные эксперименты на модели предельно устойчивой САУ технологическим процессом сушки на компьютере, и результаты подтверждают теоретические положения и полученные в диссертационной работе научные результаты. Система имеет большое быстродействие, статические ошибки отсутствуют, а динамическая ошибка в системе зависит от величины коэффициента усиления регулятора.

Подход выбора законов управления для линейных динамических объектов в классе структурно устойчивых отображений может быть использован для решения задачи обеспечения устойчивого и стабильного развитая отдельных подсистем экономической системы. Решена задача синтеза закона управления в классе структурно устойчивых отображений, обеспечивающих робаст-ную устойчивость выбранной траектории развития основного фонда производства.

Создана информационная система, предназначенная для имитационного моделирования переходных процессов в экономике, позволяющая оценить различные сценарии развития экономической системы при различном сочетании механизмов государственного регулирования. Результаты вычислительных экспериментов на условном примере двухотраслевой экономики качествешю раскрывают основные закономерности развития экономики и подтверждают работоспособность и полезность информационной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертация разработаны теоретические основы построения предельно устойчивых систем управления линейными объектами с предельно широкой областью робастной устойчивости по неопределенным параметрам объекта управления и устанавливаемым параметрам регулятора.

Получены следующие новые научные результаты:

1. Предложен подход к выбору законов управления для линейных динамических объектов в классе структурно устойчивых отображений.

2. Разработан метод структурного синтеза законов управления в классе структурно устойчивых отображений для объектов различного порядка (первого, второго, высокого порядка с одним входом-выходом, т-входами и п-выходами и для объекта с матрицей с группами вещественных простых, кратных и комплексно-сопряженных собственных значений).

3. Построены математические модели нелинейных САУ объектами первого, второго, высокого порядка с одним входом-выходом, тп- входами ил-выходами с законами управления в классе структурно устойчивых отображений в области переменных состояний и для объекта с матрицей с группами вещественных простых, кратных и комплексно - сопряженных собственных значений с законами управления в классе структурно устойчивых отображений в области канонических переменных, обладающие предельной (наибольшей) Допустимой областью робастной устойчивости по неопределенным параметрам объекта и устанавливаемым параметрам законов управления.

4. Предложен метод исследования робастной устойчивости предельно устойчивых САУ, основанный на идее линейной аппроксимации и первого метода А.М.Яяпунова. Условия робастной устойчивости нулевых и полистационарных состояний нелинейной САУ получены в виде системы неравенств по неопределенным параметрам объекта и устанавливаемым параметрам закона управления.

5. Условия устойчивости нелинейных САУ с законами управлетгя в классе структурно устойчивых отображений показывают, что:

а) система с линейным законом управления для астатического объекта первого порядка, устойчивая только в ограниченной области, становится роба-стно устойчивой в предельно наибольшей допустимой области изменения параметров;

б) система неустойчивая с линейным законом управления для астатического объекта второго порядка при любом значении параметров становится не только устойчивой, но и не имеет ограничений на изменение неопределенных параметров объекта и параметров закона управления, при которых сохраняется устойчивость и достигается ее предельно (наибольшее) допустимое значение.

6. Разработан метод параметрического синтеза предельно устойчивых модальных регуляторов при неполной управляемости объектов по Калману. Предложен способ синтеза законов управления в области канонических переменных но отдельности для групп вещественных простых, кратных и ком-плексно-сопряжеш1Ых собственных значений матрицы объекта.

7. Разработан метод упрощения и сведения модели многомерной предельно устойчивой системы управления в области канонических переменных к одному уравнению первого порядка, который основан на идеях метода малого параметра и теории самоорганизации, позволяющих решить задачу управляемости, исследования: устойчивости, синтеза и оценки качества предельно устойчивых систем по ведущей гармонике матрицы объекта управления.

8. Предложен метод оценки близости номинальной предельно устойчивой системы управления к границам качественных изменений по нижней грани матричной нормы от эрмитовой части матрицы линеаризованной замкнутой системы.

9. Получены условия управляемости канонических координат объекта в предельно устойчивых системах. Для полной управляемости канонических ко-

ординат объекта в предельно устойчивой системе по программному воздействию и воздействию в замкнутом ко1пуре требуется, чтобы:

- если соответствующие каноническим координатам собственные значения матрицы объекта вещественные различные, то не все элементы любой строки преобразованных матриц управления, соответствующие этим собственным значениям, были ненулевыми;

- если соответствующие каноническим координатам собствешше значения матрицы объекта вещественные кратные, то не все элементы последней строки преобразованных матриц управления, соответствующие различным кратным собственным значениям, были ненулевыми;

- если соответствующие каноническим координатам собственные значения матрицы объекта комплексно-сопряженные, то не все элементы парных строк преобразованных матриц управления, соответствующие комплексно-сопряжешшм собственным значениям, были ненулевыми,

10. Для полной управляемости исходных координат объекта в предельно устойчивой системе по ведущей гармонике матрицы объекта требуется, чтобы:

- ведущая гармоника матрицы объекта по программному воздействию и по воздействию в замкнутом контуре была полностью управляема;

- все компоненты вектора собственной функции, соответствующие ведущей гармонике матрицы объекта были ненулевыми.

11. Применение моделей, методов анализа и синтеза предельно устойчивых систем управления для построения САУ не полностью управляемым по Калману объектом четвертого порядка, посадкой летательного аппарата и технологическим процессом сушки показало:

а) эффективность и справедливость предложенного подхода выбора законов управления в классе структурно устойчивых отображений;

б) справедливость теоретических положений о предельной устойчивости САУ линейными динамическими объектами.

12. Результаты вычислительных экспериментов на модели предельно ус-тойчнвой САУ технологическим процессом сушки подтверждают, что система имеет асимптотически устойчивые нулевое и полистационарные состояния, непосредственно определяемые значением коэффициента усиления регулятора. Система устойчиво функционирует при любых значениях неопределенных параметров объекта и коэффициентов усиления регулятора, имеет большое быстродействие, при этом статические ошибки отсутствуют, а динамическая ошибка в системе зависит от величины коэффициента усиления регулятора.

13. Использование полученных теоретических результатов в процессе проектирования и создания микропроцессорной САУ технологическими процессами позволили:

- повысить точность регулирования;

- улучшить устойчивость микропроцессорной САУ при неконтролируемом изменении параметров технологических процессов;

- повысить нечувствительность системы к внешним и внутренним возмущениям, что подтверждается актом технического внедрения в АО «Автоматика» г. Алматы.

34. Разработаны базовые математические модели динамических элементов экономической системы: дискретная, непрерывно-дискретная, непрерывная, описывающие динамические процессы в экономике с различной степенью агрегированное™.

15. Разработала микродинамическая модель экономической системы с макроэкономическими механизмами государственного регулирования, математически описывающая основные экономические функции: отрасли производства, населения, банковской системы, государства, рынка труда, товара и денег и сложные прямые и обратные связи между ними;

16. Построен закон управления развития основного фонда производства в классе структурно устойчивых отображений, обеспечивающий выбранную траекторию развития свойства робастной устойчивости.

НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Ашимов A.A., Бейсембин М.А. Модель динамика трудовых ресурсов и межотраслевого рынка труда. В сборнике научных трудов «Проблемы информатики и управления». Алматы, ИПИУ HAH PK, 1995.- с.74-80.

2. Ашимов A.A., Бейсембин МА. Модель оценки влияния процесса приватизации на поведение экономической системы. В сборнике научных трудов «Проблемы информатики и управления». Алматы, ИПИУ HAH PK, 1995. -с.61-73.

3. Ашимов A.A., Бейсембин М.А. Модели основных фондов экономической системы с распределенными параметрами //Легкая промышленность Казахстана, Алматы, 1995.N2.- с.16-18.

4. Ашимов A.A., Бейсембин М.А. Имитационная система для модедиро-рования переходных процессов (экономической динамики) в экономике. Сборник «Депонированные научные работы». Алматы, 1996. - Выпуск 4. -22 с.

5. Ашимов A.A., Бейсембин МА. Модели прогноза динамики развития экономической системы. Труды Института проблем информатики и управления, Алматы, 1996. - с.46-60.

6. Ашимов A.A., Бейсенби М.А. Имитационная система для моделирования переходных процессов (экономической динамики) в экономике. Материалы Международной научно-практической конференции «Современные проблемы информатики, управления и создания информационных технологий и систем». Алматы, 1997. - с.82-83.

7. Бейсембин М.А. Оптимальное управление распределением температурного поля в топке котла. Республиканское научно-техническое совещание «Повышение уровня автоматизации энергетического производства». Тезисы докладов, г. Алма-Ата, 1990. - с.46.

8. Бейсембин М.А. Оптимальное управление самоорганизующимися объектами с распределенными параметрами. Всесоюзное научно-техническое совещание «Теоретические и прикладные проблемы создания систем управления технологическими процессами». Тезисы докладов, Челябинск, 1990. - с.82.

9. Бейсембин М.А., Хисаров Б.Д. Метод синтеза САУ объектами с распределенными параметрами на базе динамического программирования. Межвузовский сборттк научных трудов «Модели, методы и системы автоматизации производственно-технологических процессов». Министерство народного образовать КазССР. КазПТИ им. В.И.Ленина, Алма-Ата, 1990. - с.14-23.

10. Бейсембин М.А. Математическая модель и алгоритм управления топочным процессом. Межвузовский сборник научных трудов «Автоматизация технологических процессов и комплексов в энергетике». Министерство образования PK. Алматинский энергетический институт, г. Алматы, 1992. - с.91-95.

11. Бейсембин М.А. Разностные модели динамики основных фондов. //Легкая промышленность Казахстана, Алматы, 1995 г. N 2. - с. 18-20.

12. Бейсембин М.А., Кадырбеков С.О., Альжанова С.Г. Модели и методы анализа динамики рынка труда. // Легкая промышленность Казахстана, Алматы, 1995. N 2. - с.20-22.

13. Бейсембин М.А., Альжанова С.Г. Модель оценки эффективности функционирования предприятий. // Легкая промышленность Казахстана, Алматы, 1995. N 4. - с.63-65.

14. Бейсембин М.А. Оценка установившегося отклонения фазовых координат системы при управлении и различных параметрических возмущениях. //Легкая промышленность Казахстана, Алматы, 1995, N 4. - с.65-67.

15. Бейсембин М.А., Григорьев A.A. Математическое описание динамики перемещения трудовых ресурсов в зависимости от уровня заработной платы. Сборник трудов «Наука, техника, технология». Выпуск N 4, Алматы, 1996. -с. 150-153.

16. Бейсембин М.А., Григорьев A.A. Модель динамики возрастного состава населения города. Сборник трудов «Наука, техника, технология». Выпуск N 4, Л л маты, 1996. - с.154-157.

17. Бейсембин М.А. Математические методы построения структурно-устойчивых систем управления. Т Съезд математиков Казахстана. Тезнсы докладов, Шымкент, 1996. - с.205.

18. Бейсембин М.А. Математические методы построения структурно-устойчивых систем управления. Республиканская научная конференция «Современные проблемы алгоритмизации». Тезнсы докладов, Ташкент, 1996. -с.7.

19. Бейсембин М.А. Робастно устойчивые нелинейные системы первого и второго порядка. Труды Института проблем информатики и управления, Алматы, 1996. - с.94-101.

20. Бейсембин М.А. Построение робастных нелинейных регуляторов для объектов высокого порядка с одним входом и выходом. Труды Института проблем информатики и управления, Алматы, 1996, - с.102-106.

21. Бейсембин М.А. Об одпом подходе к построению робастно-устойчивых систем управления. Материалы Международной научно-практической конференции «Современные проблемы информатики, управления и создания информационных технологий и систем». Алматы, 1997. -с.114-115.

22. Бейсенби М.А., Сыздыков А.Д. Модели и методы исследования максимально предельно робастной устойчивой системы управления. Республиканская конференция «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент». Тезисы докладов, Ташкент, 1997. - с.115.

23. Ашимов A.A., Бейсенби М.А. Имитационная система моделирования экономических процессов. Республиканская конференция «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент». Тезисы докладов, Ташкент, 1997. - с.57.

24. Beisenbi M.A. A construction of extremely stable control systems. // Доклады MH-AH PK, 1998. №1. - c. 41-44.

25. Beisenbi MA. A construction of modal extremely stable control systems. //Доклады MH-AH PK, 1998. №2. - c. 51-56.

44

КЛРТЬШДЫ Бсйсепб! Мамырбек Аукебайулы Шит орныо^ш бао^ару жуйелершЗц модельдер1 мен оны курылымдау мен талдау тосшдерь

Куйреу теориясындаш курылымдык, орныквд бейнелеу сынбынан баекдру зандарьш тандау арк,ылы, реггепштщ койыяатын жене нысаннын аныкталмаган параметрлершщ шекйк кец езгеру облысында робасгы орньщтылык, кдсиетш кдмтамасыз ereriH, тараметрлер! аныкталмаган сызыктык. динамикалык, нысандар YiuiH шектк орныкты баскдру жуйелерш к,\,РастыРУЛын теорияльж, нешдер! жете яерттелед!.

Теориялык тужырымдардьщ шындыры жене зерптелген модельдердщ, талдау мен курылымдау тэолдершщ тшмдшат техникалык, жене технологиялык. нысандар ушш жасалшн шега орныкты баскдру жуйелер1 мысалында тусшктешп, компьютера пайдаланып жуйе модельдершде журпз1лген eceirrey эксперименте?! нэтижеамен расталиш.

RESUME

Mamyrbek A. Bcisenbi Models, methods of analysis and synthesis of extremely stable control systems

Theoretical foundation of the construction of extremely stable control systems for linear dynamic plants with undetermined parameters are developed. These systems have the property of robust stability in extremely wide region of the change in undetermined parameters of plant and established parameters of the regulator. Control actions are chosen in the class of structurally stable mappings from the theory of catastrophes.

The fairness of theoretical thesises and efficiency of developed models, methods of analysis and synthesis is shown on the basis of the construction of extremely stable control system by technical and technological plants and it is proven by results of numerical experiments on model of system using the computer programming.