автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и методы исследования управляемости систем с регулярным и хаотическим поведением

На правах рукописи

ХРЯЩЕВ Сергей Михайлович

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С РЕГУЛЯРНЫМ И ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ч Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2006

РАБОТА ВЫПОЛНЕНА НА КАФЕДРЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ"

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, А.Е Барабанов доктор физико-математических наук, А.Н. Чурилов доктор технических наук, профессор С.Ф. Бурдаков

Ведущая организация — Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург.

Защита диссертации состоится ^^ ь/М*^ 2006 года в ¿^^Засов на заседании диссертационного совета Д 212.229.13 ГОУ ВПО "СПбГПУ" по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, корп. 1, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО "СНбГПУ".

Автореферат разослан _ 2006

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.13, доктор биологических наук, профессор

года

А.В. Зинковский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из методов изучения реальных систем управления является построение и исследование их математических моделей. С математической точки зрения речь идет об исследовании свойств различных классов систем управления. Важной частью этих исследований является определение степени управляемости систем. Проблема управляемости имеет длинную историю и продолжает оставаться одной из самых актуальных проблем теории управления. Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана в шестидесятых годах прошлого века, в которых были получены условия управляемости класса линейных систем. Несколько позднее стал исследоваться класс билинейных систем. Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.

Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стали разрабатываться методы для исследования управляемости различных классов нелинейных систем. Значительные успехи в исследовании задач управляемости были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзорах Андреева Ю.Н. (1982), Аграчева A.A., Вахрамеева С.А., Гам-крелидзе Р.В (1983), Вахрамеева С.А. и Сарычева A.B. (1985). Некоторые новые результаты отражены в книге Аграчева А.А и Сачкова Ю.Л. (2005). Среди многочисленных работ этого направления, имеющих отношение к теме диссертации, отметим некоторые работы следующих авторов: Куче-ры И. (1966), Брокета Р.В. (1972), Суссмана X. (1972-1978), Петрова H.H. (1977-1985), Лепе Н.Л. (1984), Емельянова C.B. и др. (1986), Сачкова Ю.Л. (1991).

Однако, разграничение систем по признаку линейности или нелинейности часто является поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем. Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения их траекторий. Другими словами, следует разделять системы на классы по степени их регулярности или хаотичности.

Широкое распространение систем с хаотическим поведением стимулиро-

вало в последние годы их весьма интенсивное исследование. Современное состояние теории управления этими классами систем можно найти в обзорах Андриевского Б.Р. и Фрадкова А.Л. (2003, 2004).

Опыт исследования систем показывает, что во многих случаях невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Например, для многих систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений Болтянского В.Г. (1964), однако в некоторых случаях этот метод является неэффективным. Для систем с хаотическим поведением является типичным для управления использовать существование всюду плотных траекторий и локальных управлений вдоль этих траекторий. Для примера укажем иа так называемый OGY-метод (Ott Е., Grebodi С., Yorke J., 1990), модификации которого были использованы в многих работах. Из других подходов можно отметить работы, использующие методы обратной связи (Piragas К., 1992 и другие).

Суммируя сказанное выше, можно сделать вывод, что не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем. Многие задачи, связанные с природой управляемости, остаются нерешенными. Ряд новых задач требует специальных методов построения управлений. Эти обстоятельства делают актуальным исследование различных классов систем управления, осуществленное в настоящей работе.

Цель работы. В работе осуществляется построение математических моделей, адекватно описывающих классы систем управления с регулярным и хаотическим поведением, оценивание характеристик управляемости систем и построение управлений этими системами.

Методы исследования. Для исследования систем управления применяются различные математические методы, в частности: методы геометрии (топологические и дифференциально-геометрические методы), методы теории динамических систем, методы теории вероятностей, методы символической динамики.

Научная новизна. Все утверждения и математические решения являются новыми и принадлежат автору.

Практическая значимость работы. Основные результаты работы носят теоретический характер, однако, ее результаты могут быть использованы при проектировании конкретных классов систем управления. А именно, изученные модели могут рассматриваться в качестве базовых при исследовании сложных систем.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.

4-я конференция по дифференциальным уравнениям и их применениям (КДУ 4), Русе, Болгария, 1989. 7-я Чехословацкая конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Equadiff 7), Прага, Чехословакия, 1989. 3-я европейская конференция по управлению (ЕССЗ), Рим, Италия, 1995. 4-й международный семинар Устойчивость и колебания нелинейных систем управлению, Москва, Россия, 1996. 3-я международная конференция по движению и вибрационному контролю (MOVIC 96), Чиба, Япония, 1996. 1-я международная конференция Дифференциальные уравнения и их применения. С.-Петербург, Россия, 1996. 9-конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям (EquaDiff9). Брно, Чехия, 1997. Международная конференция по управлению колебаниями и хаосом (СОС97). С.-Петербург, Россия, 1997. 15-й международный конгресс по научным вычислениям, моделированию и прикладной математике (IMACS). Берлин, Германия, 1997. 2-я международная конференция Дифференциальные уравнения и их применения. С.-Петербург, Россия, 1998. 13-международный симпозиум по математической теории сетей и систем (MTNS-98). Падуя, Италия, 1998. 5-я европейская конференция по управлению (ЕСС5), Карлсруе, Германия, 1999. 6-й Санкт-Петербургский симпозиум по теории адаптивных систем, С.-Петербург, Россия, 1999. Международная конференция по управлению колебаниями и хаосом (СОС2000). С.-Петербург, Россия, 2000. С.-Петербургский городской семинар по теории управления, 2002. 5-й международный семинар Средства математического моделирования (MathTools03). С.-Петербург, Россия, 2003. 1-я международная конференция физика и управление (PhysCon03). С.-Петербург, Россия, 2003. 5-я Европейская конференция по механике и нелинейной динамике (EnocOS). Брюссель, Бельгия, 2005. 2-я международная конференция физика и управление (PhysCon05). С.-Петербург, Россия, 2005.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 20 научных статьях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 160 наименований. Общий объем работы составляет 312 страниц.

Содержание работы Введение

В работе рассмотрено несколько классов систем управления с различными типами поведения. В первой части работы исследуется системы с регулярным поведением, во второй части — с хаотическим поведением. В первом случае основное внимание уделено классу линейных по состояниям систем, во втором случае — классу гиперболических систем.

Укажем на одну особенность метода управления, использованного в данной работе: управляющие воздействия разделяются на основные (базовые) и вспомогательные (корректирующие). В качестве множества допустимых основных управлений обычно берется множество кусочно-постоянных управлений, а качестве множества вспомогательных управлений — множество кусочно-непрерывных управлений малой интенсивности. Основные (базовые) управления доставляют псевдотраектории системы и обеспечивают "почти управляемость" системы в пространстве состояний. Таким образом, основные управления имеют глобальный характер. Вспомогательные (корректирующие) управления позволяют замыкать найденные псевдотраектории и получать настоящие траектории движения. Эти управления имеют локальный характер. Отметим, что такое разделение управлений на основные и корректирующие имеется во многих реальных системах управления.

В настоящей работе выявлено, что управляемость системы проявляется в возможности возвращений ее в начальные состояния. Свойством возвра-щаемости могут обладать системы как с регулярным, так и хаотическим поведением. Для систем с регулярным поведением основной задачей является выяснение существования достаточного множества базовых управлений, обеспечивающих возвращение системы в исходные состояния, а также нахождение этого множества. Для систем с хаотическим поведением в качестве базового управления берется такое постоянное значение управляющего параметра, при котором существуют всюду плотные траектории в пространстве состояний, обладающие возвратными свойствами. Основной задачей для таких систем является оценивание времени управления в зависимости от характеристик систем управления.

В последней части работы даны методы построения управлений, обеспечивающих перевод системы в заданные состояния.

Глава 1. Основные понятия и определения

Эта глава носит вспомогательный характер. В ней описываются рассматриваемые объекты и ими порожденные структуры, а также вводятся используемые в основном тексте понятия и определения. В главе приводится общая схема исследования управляемости систем, которая сводится к следующему. На предварительном этапе исследования у системы управления находят ее инвариантные множества и устанавливают связи между ними. На следующих этапах исследуют управляемость системы в окрестности каждого инвариантного множества, где система может иметь регулярное или хаотическое поведение. Эти случаи исследуются соответственно в первой и во второй главах работы.

Глава 2. Управление линейными по состояниям системами

Важным классом систем с регулярным поведением является класс линейных по состояниям систем. Системы этого класса получаются линеаризацией исходных систем в окрестности их точек покоя или предельных циклов. Такие системы широко применяются для описания различных физических процессов.

Основное внимание в этой главе уделено исследованию управляемости линейных по состояниям системам вида х = А(и)х с различными классами матричных семейств Л(и),и 6 С/, а также исследованию управляемости проекций этих систем на некоторые подмножества пространства состояний, т.е. исследованию управляемости по части переменных. Для систем этих классов получены, в частности, достаточные условия проективной (сферической) и радиальной управляемости. Эти условия сформулированы в терминах спектрального типа матричного семейства А(и),и £ и. Доказательства условий управляемости получены с помощью предложенного в работе метода встречных последовательностей многообразий. Этот метод основан на том, что система управления индуцирует в пространстве состояний некоторую клеточную структуру. Таким образом, предложенный метод можно рассматривать как родственный методу регулярного синтеза Болтянского В.Г. В работе показано, что для линейных по состоянию систем существование встречных последовательностей многообразий обеспечивается тривиальностью спектрального типа матричного семейства .Д(и),и € С/ или условиями зацепляемости проективных компонент семейства (см. да-

лее).

В этой главе выяснено, что многие свойства проекций линейных систем, которые являются нелинейными по состояниям подсистемами, имеют место для нелинейных систем более общего вида. Поэтому для их исследования могут использоваться методы, применявшиеся для проекций линейных систем.

2.1. Линейные по состоянию системы управления

Рассматриваются линейные по состояниям х 6 Д,1\{0} системы управления вида

х - А{и)х, и £ 1/, (1)

где матричное семейство Л(.) 6 С1(1/), и - некоторое подмножество числовой оси Я1. Для матричной функции А(и) справедливо представление

Л(и) = Л(и0) + Л'(ио)(и - «о) + о(и - и0),

где щ — некоторое значение параметра и. Это выделенное значение щ управляющего параметра будем называть базовым управлением, а величину Дио — и — щ — локальное управлением, где |Д«о| < ®> 5 — некоторое малое число. Для системы (1) с непрерывно изменяющимся управляющим параметром рассмотрена задача о ее сведении к системе с дискретным набором базовых управляющих параметров, т.е. к динамической полисистеме.

Системы с конечным набором базовых управлений

Пусть щ,... — некоторый набор базовых управлений из множества и. Рассмотрим полисистему управления вида

х = (А(щ) + В(щ)Ащ)х, г = 1 (2)

Здесь В(щ) = Л'(щ), г = 1,...,/, I — количество используемых базовых управлений, Ащ — локальные управления, такие что |Ди,| < й, где й — интенсивность локальных управлений. Класс допустимых управлений следующий. На каждом временном промежутке управление полисистемой (2) заключается в выборе базового управления щ, т.е. в выборе пары матриц Л(г^), В(щ), и в выборе значений локальных управлений Ащ. Предполагаются, что на этом временном промежутке значение параметра щ не меняется, а величина Ащ является непрерывной функцией времени. Если обеспечена управляемость системы (2), то обеспечена и управляемость системы

Рассмотрим случай I = п— 1. Обозначим = А(щ), = Л'(гг,), г = 1,... ,п — 1. Пусть для каждой матрицы Л,-, г = 1,..., п — 1 ее собственные числа занумерованы в порядке возрастания их вещественных частей:

КеА? < ... < НеА?, г = 1,...,п-1. (3)

Предположения о свойствах системы управления

Предположение А1.

1. Все собственные числа матрицы г = 1,..., п — 1 являются простыми, причем имеется одна комплексно-сопряженная пара а остальные собственные числа вещественные.

2. Выполнены следующие условия

А£_2 < ЫеА"_| = ИеА^_2 < А"_г,

А| < йеА! = ЫеА| <

11е А{ = Яе А^ < А). (4)

Предположение А2. При каждом г система управления (2) локально управляема вдоль траекторий, идущих по собственным направлениям матриц Ai, г = 1,... ,тг — 1.

2.2. Проективные и радиальные подсистемы

Для пространства состояний системы (1) определяется разложение его в прямое произведение вида Я"\{0} = ЯРП-1 х где ЯРп~1 - вещественное проективное пространство, - положительная полупрямая (луч). Для матрицы системы имеется блочное представление

_ / Ми) а(м) \

где А(и) - матрица порядка п — 1, а(и) - число, а(и), о* (у) - соответственно столбец и строка длины п — 1. Тогда уравнение (1) запишется в виде системы двух уравнений

£ = А(и)£ + а(и)-(а»£+ <*(«))£, 4 6 ЯР"'1, (5)

Условие проективной управляемости

Теорема 1 Пусть выполнены предположения AI, А2 о свойствах семейства матриц 6 U. Тогда проекция системы (1) в проективное пространство 7iPn_1, т.е. система (5), управляема в этом пространстве.

Аналогичное утверждение справедливо для проекции системы (1) на сферу

Условие радиальной управляемости Обозначим = |(Л(и) + Л*(и)).

Теорема 2 Пусть выполнены следующие условия. Для любых р 6 {0} существуют значения Vi,v2 6 U, такие что

(р, Л'("х)р> > 0, (р, Л'(«а)р> < 0.

Тогда проекция системы (1) в пространство R\_, т.е. система (6), управляема в этом пространстве.

2.3. Спектральные типы матричных семейств

Выделяется класс матричных семейств А{и), и Е U, для которых существует набор базовых управлений щ,... ,un_i € U, обеспечивающих справедливость предположений AI.

Для семейства А{и) предполагается выполненным следующее свойство общности положения.

Свойство R1. При почти всех значениях параметра и G U, кроме отдельных изолированных исключительных значений из некоторого множества U, матрицы Л(«) имеют простые собственные числа. При исключительном значении параметра й G U матрица Л(й) может иметь лишь одно собственное число, имеющее алгебраическую кратность два и геометрическую кратность один, а остальные собственные числа этой матрицы простые.

Среди семейств Л(и),и £ U со свойством R1 рассматриваются такие, для которых выполнено следующее свойство.

Свойство П.2. Для каждого неисключительного значения параметра и € 1/ \ 0 матрица имеет не более одной пары комплексно-сопряженных собственных чисел.

Далее вводится понятие спектрального типа матричного семейства А(и),и £ 1/, в терминах которого формулируются условия существования достаточного набора базовых управлений, для которых выполнено свойство А1. Характеристическое уравнение

ае!(Л(ы) - XI) = 0, и 6 и

определяет на множестве £/ многозначную комплекснозначную функцию А(.) и многозначную вещественнозначную функцию А(.) = ИеА(.). Количество связных компонент графика многозначной функции А(.) определяет спектральный тип матричного семейства А(и), и £ [/.

Пусть при каждом значении параметра и собственные числа матрицы А(и) занумерованы по возрастанию, т.е. в форме (3). Вводятся мультиин-дексы (не зависящие от параметра и):

л, = 1 + 1,...1 = 1,...,к, 170 = 0, дк=п. (7)

Средние значения собственных чисел по группе индексов определяются по формуле:

Ав (ц) = *,_,+!(») + - + *,(»). (8)

Предполагается, что разбиение собственных чисел на подгруппы вида (7) таково, что величины (8) удовлетворяют следующим условиям.

1. Функции Аа.(.), значения которых определены по формулам (8), являются вегцественнозначными и гладкими на множестве II.

2. Число к групп разбиений вида (7) является максимально возможным при выполнении условия 1.

Условия 1 и 2 означают, что при фиксированном значении параметра и комплексно-сопряженные пары матрицы А(и) попадают в одну группу индексов вида (7). Кроме того, функции Аа>(.) содержат минимально возможное число слагаемых, представленных в формуле (8), для сохранения своей вещественности и гладкости на множестве и.

Определение 1 Упорядоченный набор мультииндексов а = («!,..., а*) задает спектральный тип матричного семейства Л(и),ы €Е и.

)

Определение 2 Спектральный тип будем называть тривиальным, если набор а содержит только один мультииндекс, т.е. а = («1), где ац = (1,2,...,71).

Теорема 3 Если спектральный тип матричного семейства А{и),и 6 I/ тривиальный, то существуют значения параметров щ,г = 1,...,п — 1, что для матриц Лп_,- = А(щ) выполнено предположение А1.

При выполнении предположений теоремы 3 с учетом теоремы 1 следует, что проективная составляющая системы (1), т.е. система (5), управляема.

2.4. Матричные семейства с нетривиальным спектральным типом

Для матричных семейств Л (и), и 6 У с нетривиальным спектральным типом вводятся следующие понятия.

Разложение пространства состояний

Определяется проектор по мультииндексу:

Р~ Рщ-1+1 (и) + ... + Р,Дтх). (9)

Совокупность этих проекторов задает разложение единицы I (единичный оператор), т.е. для для любого и 6 V справедливо равенство

/ = />„,(«)+ ...+Рвя(г1). (Ю)

Компонента пространства состояний определяется по формуле

ха,(и) = ра,(«)х, 1 = 1,...иеи (п)

Разложение пространства состояний имеет вид

* = Хв1(и)ф...©Хв,(и). (12)

На множестве и заданы непрерывные отображения вида

Ха,(.): ■"-*• ХаХи), г — 1,... ,к. В терминах введенных понятий дается условие зацепляемости.

Условие зацепляемости для систем с нетривиальным спектральным типом.

Для простоты предполагается, что в формуле (12) имеется два слагаемых, т. е. X = Ха1{и) где оц = (1,... ,91),а2 = (?1 + 1,. •. ,п). Для

проекции р : Лп \ {0} —)■ ЯРп~1 определены множества

= ,,(«) =р(Л-„,(и)), 1 = 1,2. (13)

Определение 3 Условие

EQi(U)nEai(U)^\D (14)

будем называть условием зацепляемости проективных компонент Hai(C/), Еa2(U), являющихся образами отображений НаД.) : и —> Sai(u), г = 1,2.

Теорема 4 Предположим, что выполнены следующие условия.

1. Существуют наборы базовых управлений uai — (uj,... ,u9l) ы иаг = (u9l+i,... ,«„), для каждого из которых относительно собственных чисел матричного семейства А(и),и £Е U выполнены предположения Al, А2.

2. Для проективных компонент выполнены условия зацепляемости

т

Тогда проекция системы (1) в проективное пространство RPn 1, т.е. система (5), управляема в этом пространстве.

2.5. Пара управляющих встречных последовательностей многообразий

Здесь описывается одна конструкцию, которая может применяться для управления некоторыми классами систем с регулярным поведением. Существование такой конструкции для системы управления означает ее полную управляемость при используемом в этой работе множестве допустимых управлений (основных и корректирующих). В частности, эта конструкция может применяться для управления проективной составляющей линейной системы, т.е. системой (5).

Пусть в некотором многообразии X, dim X — п имеется два набора многообразий {М'}"=1 и {N"-^1}?-!, таких что для г = l,...,n dimAf = г, dimiV* = г, причем М" = X, Nn — X. Предположим, что для j = 1,... ,n—1 и для i = 1,..., п существуют непустые пересечения

Mi n Nn-j = рО^ Nn-i+l n Mi = ^

где dim Р.,® = О, j = 1,..., п — 1, dim£>* = 1, г — 0,...,n — 1.

Поставим задачу о переводе начальной точки xq в конечную точку I, в силу некоторой системы управления. Пусть мы располагаем набором постоянных базовых управлений {щ,... ,и„} и парой наборов локальных управлений {АЦ,. • •, Д«'п} и {Аи'{,..., Ди'^}. Точка хо отождествляется с точкой Р0°, точка х, отождествляется с точкой P^-v Пусть выполнены следующее

Предположение М.

1. При постоянном управлении щ в силу системы управления движения происходят по многообразию Nn't+1 или по многообразию М'.

2. Множество достижимо из множества ЛГп-,+1 под действием локальных управлений АЦ, множество М' достижимо из множества под действием локальных управлений Ли".

Определение 4 Два набора множеств {М'}?=1 и {ЛР}"=1, для которых выполнено свойство (15) и предположение М, называются парой управляющих встречных последовательностей многообразий.

Теорема 5 Пусть для некоторой системы управления существует последовательность встречных многообразий. Тогда система управляема на множестве X.

Если матричное семейство имеет тривиальный спектральный тип, то существует пара управляющих встречных последовательностей многообразий.

2.6. Некоторые обобщения и замечания

Описанная выше конструкция управляющих встречных последовательностей многообразий для конкретной системы управления строится по семейству векторных полей, задающих эту систему. Эта конструкция является грубой при соответствующих свойствах векторных полей. В частности, эта конструкция является грубой для линейных систем с тривиальным спектральным типом. Поэтому она может применяться для управления нелинейными системами, допускающими линеаризации. В работе получены условия об управляемости таких систем в окрестности их точки покоя и предельного цикла. Кроме того, эта конструкция может применяться для управления нелинейными системами более общего вида. Способ управления системой заключается в организации движений по элементам встречных последовательностей. В частности, таким способом можно осуществлять управление системами, имеющих в качестве базовых системы Морса-Смейла, т.е. системы, имеющие конечное число точек покоя и предельных циклов (критических элементов). Следует отметить, что при увеличении числа критических элементов (т.е. при уменьшении степени регулярности системы) сложность исследования систем предложенным методом увеличивается. Это дает основание использовать для управления такими системами более подходящие методы, которые излагаются в следующих главах.

2.7. Программные реализации

С помощью средств пакета символьных вычислений МАРЬЕ составлена программа, позволяющая осуществлять проверку управляемости линейных по состоянию систем вида х — А(и)х.

Глава 3. Управление хаотическими системами

Третья глава посвящена исследованию управляемости динамических систем с хаотическим поведением. Сложное поведение таких систем управления обусловлено нерегулярным поведением базовых систем. При этом базовые системы с нерегулярным поведением могут иметь разные степени хаотичности. Степень хаотичности проявляется, в частности, в характере поведения соседних траекторий. Укажем два характерных класса базовых систем. Базовые системы первого класса обладают следующим свойством: в каждой точке пространства состояний имеется два выделенных направления, причем вдоль одного направления траектории разбегаются, вдоль другого — сбегаются. Отметим, что экспоненциальной скоростью сбегания-разбегания траекторий обладает класс гиперболических систем. Валовые системы второго класса обладают тем свойством, что расстояния между точками соседних траекторий с течением времени остаются постоянными, т.е. траектории таких систем обладают нулевой скоростью сбегания-разбегания. Другими словами, каждая траектория системы является нейтрально устойчивой. Системы указанного класса называются нейтральными. Заметим, что имеются классы систем с промежуточными свойствами.

В этой главе исследуются классы систем управления, базовые системы которых обладают разной степенью хаотичности. Для таких систем может быть использована следующая схема управления. Из начальной точки с помощью локального управления переходим на некоторую базовую всюду плотную траекторию, затем двигаемся по ней достаточно длительное время до некоторой подходящей точки, наконец с помощью локального управления переходим в конечную точку. Так как при наличии локальной управляемости вопрос о глобальной управляемости решен, то на первый план выходит вопрос об оценивании времени управления в зависимости от интенсивности управляющих воздействий и степени хаотичности системы.

Для простоты описания в' этой главе будут рассматриваться системы в дискретном времени.

3.1. Описание системы управления

Рассматривается динамическая система управления

*(+!=/(*«,«*), ¿ = 0,1,2...., (16)

где XI £ X, щ Е и, X - пространство состояний, [/ - пространство управлений, /(х,и) ■— гладкая функция на множестве X х II. Пространство X является компактным многообразием размерности <1 с метрикой сНэ!;, которая задает в многообразии X меры объемов всех порядков к = Мера <2- мерно го объема обозначается Уо1. Пространство V — некоторое подмножество (обычно отрезок) числовой оси Я1.

При некотором значении параметра и — и0 £ (/, которое мы будем называть основным (базовым), отображение /о(.) = /(.,и0) задает базовую динамическую систему

*?+г = Л(*?), ¿ = 0,1,2,..., (17)

В некоторой подходящей системе координат вдоль траекторий базовой динамической системы (17) для системы (16) рассмотрим систему в отклонениях. Предположим, что линеаризация системы в отклонениях имеет вид

Дх(+1 = + ¿ = 0,1,2..........(18)

где Дх4 £ Тхо — локальные состояния, Ди( = щ — и° — локальные (корректирующие) управления, Тхо —касательное пространство в точке 4 £ X,

о ..04 _ ЭД/

, В(х\и°) = Дх=0,Ди=0 оДи

(19)

Дг=0,Ди=0

<9Дх

Л/(х°,и°, Лх, Ли) - /(х° + Лх,и° + Ли) -/(х°,и°).

Систему (18) будем называть линейной локальной системой управления. Далее предполагается, что допустимые локальные управления являются ограниченными последовательностями, принимающими значения в множестве Л[/ = {Ди ||Ды| < и}, где й — уровень (интенсивность) локальных управлений. Для системы (16) управление в каждый момент времени заключается в выборе пары (и0, Лщ), при этом щ = и0 + Лщ. Для простоты обозначений далее полагается, что и° — 0.

3.2. Свойства локальной динамической системы управления

Условия локальной управляемости системы (16) вдоль траектории, проходящей через точку хо, могут быть сформулированы с помощью матрицы локальной управляемости

с« = „о,

где AF(x°,Au) — F(x°, Аи) - F0(z°), Аи G AU — набор локальных управлений за d-шагов, F(x,Au) — ci-шаговая суперпозиция функции f(x,Au), Fo(x) — d-щаговая суперпозиция функции fo(x). Число шагов d называем тактом управления. Матрица С(х°) может быть выражена через матрицы Л(х°),.В(х0) вида (19). Для произвольной точки х £ X матрица [С(х)С*(г)]'/2 задает эллипсоид Е11(х) в касательном пространстве 7V0(x), который в линейном приближении аппроксимирует множество локальной достижимости из точки х за один такт.

3.3. Основные классы базовых систем

Пусть /о : X —> X — отображение, задающее базовую систему (17). Рассматриваются следующие основные классы базовых отображений.

Базовые системы гиперболического типа

Пусть Л С X — инвариантное множество для отображения /о, которое является гиперболическим на множестве Л. Это означает, что в каждой точке х 6 Л имеется разложение касательного пространства

Тх = Е+(х) Ф Е~(х), (21)

такое что вдоль направления Е+(х) траектории системы (17) экспоненциально разбегаются, а вдоль Е~(х) направления — экспоненциально сбегаются. Кроме того, выполнены условия инвариантности

О+/0(х) : Е+(х) Е+(/„(*)), О"/„(х) : Е~(х) Е~{/„(*)), (22)

где £)+/о(х),£>~/о(х) - сужения оператора £)/о(х) = ^ на соответствующие подпространства Е+(х) и Е~(х). В работе рассматриваются следующие случаи инвариантных множеств.

1. Множество Л является связным гиперболическим многообразием размерности <1, т.е. отображение /о является диффеоморфизмом Аносова.

2. Множество Л является некоторым фрактальным компактным локально максимальным гиперболическим множеством дробной размерности (¿р, где д. — 1 < ¿р < й.

Базовые системы нейтрального типа

Нейтральное отображение /0 обладает следующим свойством. Для любых х',х" £ X выполнено условие

сКвфг',®") = ¿Ы1{/0(х'), /0(х")). (23)

3.4. Характеристики систем управления гиперболического типа

Равномерные характеристики базовых систем

Для получения оценок сверху времени управления вводятся величины

е+(/о)=тт1п|аееО+/о(«)|. £-(/о) = шах(-1пНе1£>-/о(х)|), (24) а для получения оценок снизу времени управления вводятся величины

^(/0) = тах1п|ае11)+/о(®)|, Р~Ш = шт(- 1п| ае* Я"/о(«)|), (25)

где отображения £)+/о(г), £>_/о(х) определены формулой (22).

Характеристики локальной управляемости для гиперболических систем

Для состояния х определим величины 5+(х) и з1(х) соответственно как объемы проекций эллипсоида локальной достижимости Е11(у) С Ту где у — ^(я), в неустойчивое направление Е+{у) и в ортогональное ему направления Ех(у). Для оценок сверху времени управления вводятся нижние коэффициенты равномерной локальной управляемости

8+ = шт{5+(1),1бХ}, 5: = тт{51(1),1а}. (26)

Для оценок сверху времени управления вводятся верхние коэффициенты равномерной локальной управляемости

1+=гаах{5+(г;),1бД в"1 = тах{зх(:в), х 6 X}. (27)

3.5. Способ управления гиперболическими системами

Для управления системами, порожденными гиперболическими базовыми отображениями, используется следующая идея.

1. На первом шаге, используя локальные управления, осуществляется переход из начальной точки на некоторое неустойчивое направление, что гарантируется свойствами локальной управляемости.

2. Вдоль неустойчивых направлений движение осуществляется лишь под действием сил растяжения (без использования локальных управлений).

3. Локальные управления используются, чтобы скомпенсировать сжатие, происходящее вдоль устойчивых направлений.

Под действием так организованной последовательности управлений образуется последовательность множеств достижимости

М1^Г(х0>Аи), Мп+1 = Р(Мп, АО), п — 1,2,..., (28)

которые исчерпывают пространство состояний. Полученные ниже оценки времени управления основаны на скорости роста последовательности объемов г>„ = Уо1(Л/п) множеств достижимости.

3.6. Оценки сверху времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими отображениями

В этом и следующем разделах используются равномерные характеристики систем управления.

Теорема 6 Пусть выполнены следующие условия.

1. Для базового отображения /о : X —► X, которое является диффеоморфизмом Аносова, множество его неблуждающих точек Л^И^(/о) = X.

2. Динамическая система управления (16) является полностью равномерно локально управляемой в пространстве состояний X, причем выполнено достаточное условие I = > 0, где числа в1 определены формулой (26).

Тогда динамическая система управления управляема из любой начальной точки хо € X в любую точку х £ X. Кроме того, имеется следующая асимптотическая при и —» 0 оценка сверху времени управления (измеренная в тактах)

где и — уровень локальных управлений, Я = у1/«* — средний линейный размер множества X, V — Уо1(Х) — объем множества X, 0 < с < 1 — некоторое число.

Аналогично рассматривается случай, когда пространства состояний имеет дробную размерность. В этом случае оценка времени управления также имеет вид (29) (Теорема 6').

3.7. Оценки снизу времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими отображениями

Теорема 7 Предположим, что выполнены условия теоремы 6.

Тогда имеется следующая асимптотическая при и —> 0 оценка снизу времени управления (измеренная в тактах)

где R = Vol 1/d(X),T = (s+s^)i, число Di = [(e^d - 1)2(1 - 1,

постоянные p , p1" определены формулами (25).

3.8. Оценки сверху времени управления для систем управления, использующие средние характеристики базовых систем

В этом разделе рассматриваются базовые отображения /о, которые являются диффеоморфизмами Аносова на многообразии X. Предполагается, что отображение /о обладает инвариантной мерой /¿о максимальной энтропии, для плотности которой выполнено условие с < ¿^¡(х) < 1, где с € (0,1], х G X, vol = ^ Vol — нормированная мера объема. Вместо равномерных величин (24) и (25) для функции фо(х) = — In | det £>+/0(x)j по /0-инвариантной мере ца определяется величина

которую называется коэффициентом растяжения в среднем по мере д в неустойчивом направлении. Следующая теорема дает семейство оценок сверху, зависящее от некоторого параметра ¿1-

(30)

(31)

х

Теорема 8 Пусть выполнены следующие условия.

1. Базовое отображение /о : X —» X является диффеоморфизмом А Носова, для которого множество неблуждающих точек о) = X.

2. Справедливы следующие условия локальной управляемости:

1) вдоль неустойчивого направления выполнено условие в+(го) > 0, где хо £ X — некоторая начальная точка, 2) вдоль направлений, ортогональных неустойчивым, выполнено условие > О, где величина определена по формуле (27).

Тогда система (16) управляема из начальной точки х0 в любую точку х £ X. Кроме того, существует число б® > О, что для любого значения параметра £ (0, <5?] имеется следующая асимптотическая при и —» О оценка сверху времени управления

где число Хо (/о) определено формулой (31) для меры fio, и — уровень локальных управлений, V — Vol(X) — объем многообразия X, постоянная с £ (0,1], натуральное число N\(xo, ¿^характеризует время переходного процесса.

Асимптотические оценки

С помощью статистических методов (центральная предельная теорема) в работе показано (теорема 8'), что существует оптимальное значение параметра <5i, подчиненное параметру и, при котором главная часть оценки вида (32) определяется формулой (33). Сама оценка сверху времени управления из точки хо принимает следующую асимптотическую при и —► 0 форму:

В случае равномерных коэффициентов локальной управляемости оценка принимает вид

T(xq, и, ¿i) = ño(xo,cu, ¿■L,í1)d + Ni(x0,8i),

(32)

(33)

ñ0(x0,cu,

(34)

Так как р+(/о) < Х+(/о), то оценка (35) лучше оценки (29).

3.9. Оценки сверху для среднего времени управления, использующие средние значения коэффициентов локальной управляемости вдоль неустойчивых направлений

В том случае, если в начальной точке коэффициент локальной управляемости ,ч+(з;0) = 0, оценка вида (34) не существует. В этом случае можно рассматривать усредненные по начальным данным оценки времени управления. Рассмотрим множество = {г|5+(:с) > 0}. Тогда среднее время управления величин вида (34) с начальными данными х0 € может быть оценено по формуле

= <36)

где / — средний коэффициент локальный управляемости вычисляется для функции 5+(.) по некоторой инвариантной мере базового отображения /о.

Если множество не является инвариантным для основного отображения /о, то траектория, исходящая из точки го, через некоторое время ЛГ3(х0) попадет в это множество. Среднее время первого попадания траектории основного отображения в это множество может быть оценено по формуле

+ (37)

где С, 7 — некоторые постоянные, характеризующие статистические свойства процесса (17). Оценки общего среднего времени управления даются следующей теоремой.

Теорема 9 Среднее время управления при произвольном выборе начальных данных хц £ X оценивается величиной М[Г(.,г?)] + М[ЛГз(.)]„ где величины М[Т'(.,й)] и М[Л^з(.)] определены соответственно формулами (36) и (37).

3.10. Характеристики систем управления нейтрального типа

В отличие от систем гиперболического типа для систем нейтрального типа со свойством (23) нет выделенных направлений вида (21) в пространстве состояний, вдоль которых действуют силы растяжения или сжатия. Другими словами, системы этого типа могут рассматриваться как вырожденные

хаотические системы. Для управления такими системами локальные управляющие воздействия используются вдоль всех направлений пространства состояний.

Характеристики локальной управляемости для нейтральных систем

Обозначим /(¿(х) и £].(х) соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа матрицы [С(х)С*(х)]1'2. Условие 1д{х) > 0 является достаточным для локальной управляемости системы (16) вдоль траектории системы (17), проходящей через точку х. Определим равномерные на множестве X нижний и верхний коэффициенты локальной управляемости соответственно формулами

При получении оценок времени управления для систем нейтрального типа существенна лишь скорость изменения во времени ¡1— 1-мерных объемов вп границ множеств достижимости вида (28). Мы будем предполагать, что для <1 — 1-мерных объемов выполнены следующие условия

где числа а^—1, 5 зависят от метрики пространства состояний

X. Величина п зависит от соотношения между величинами и, 1 и геометрических параметров (размеров) пространства состояний X. Величина п может быть оценена для конкретного пространства состояний. Условия (39), (40) определяют связь между размерами множеств глобальной достижимости за тактов п и локальной достижимости за один такт.

3.11. Оценки времени управления для систем нейтрального типа

Оценка сверху времени управления для систем нейтрального типа

Теорема 10 Пусть выполнены следующие условия.

1. Базовое отображение /о является отображением нейтрального типа.

2. Справедливо достаточное условие равномерной локальной управляемости > 0, где величина определена первой формулой (38).

и = Ш1п{^(х),х € X}, 11 = шах{/1(х),х £

(38)

({п1с1иУ 1 £ < <з.сг_1((п.?1тг)с' 1, 1 < я < п.

5 < 5т> < п > п,

(39)

(40)

3. Существует число п, зависящее от величины £ = [¿й, что для последовательности д.— 1-мерных объемов границ множеств локальной достижимости вида (28) справедливы левые части неравенств (39), (40).

Тогда система может быть переведена из любой начальной точки в любую конечную точку пространства состояний X. Кроме того, имеется асимптотическая при й —> 0 оценка сверху времени управления (измеренная в тактах)

Т{и) = тд^{щ(ип),Щ{иа)}, (41)

Щ{Ш) = (К, Щ{ии) = + (42)

где V = Уо1(Х)— объем многообразия X, Л = V? — средний линейный размер многообразия X, К = * ■

В работе показано, что для простых геометрических областей пространства состояний оценка сверху времени управления для системы нейтрального типа имеет вид

=*(£)■ (43) Оценка снизу времени управления для систем нейтрального типа

Теорема 11 Предположим, что выполнены условия теоремы 10 с заменой условия 3 на условие: для объемов границ множеств локальной достижимости справедливы правые части неравенств (39), (40).

Тогда имеется асимптотическая при й —> 0 оценка снизу времени управления

ад-яШ1- (44)

где величина определена второй формулой (38), параметры У,и те же, что в теореме 10, К_ = Щ-.

3.12. Характеристики слабо хаотических систем управления

Слабо хаотические системы занимают промежуточное положение между обычными хаотическими системами и нехаотическими системами. В качестве этих двух крайних типов выше были рассмотрены гиперболические

и нейтральные системы. Слабо хаотическая система определяется как система, зависящая от малого положительного параметра, причем при стремлении этого параметра к нулю степень хаотичности падает. В качестве степени хаотичности обычно рассматривается величина объемного растяжения в неустойчивом направлении.

Пусть некоторая система управления задана уравнением

Уп+1 = д(Уп,и,у), уп€У, п= 1,2,..., (45)

где уп — состояние системы в момент времени п, и — параметр, управляющий состояниями системы, V — неотрицательный числовой параметр, управляющий хаосом. Особенности нашего метода исследования заключаются в предположении, что для системы (45) существует накрывающая система

хп+1 = С(хти,г>), хп е X, п = 1,2,... (46)

Говорят, что отображение С? накрывает отображение д, если д(.,и,у) ор = роС(.,и,г>), где р : X —> У — проекция. Для накрывающей системы объемы множеств достижимости вычисляются проще, чем соответствующие объемы для исходной системы. Все дальнейшие рассуждения проводятся для накрывающей системы, относительно которой сделаны следующие предположения.

Предположение С?и„. 1). Функция С(х,и,ь) является гладкой по параметрам х,и,у. 2). Базовое отображение С!{.,ю) = С?(.,0,и) является нейтральным для V = 0 и гиперболическим для V > 0, причем характеристики гиперболичности (21), (22) не зависят от параметра V.

Предположение Ух„. Для любого Хо проекция р(\¥и(хо)) неустойчивого многообразия 1У"(хд) отображения <?(.,«) \ X X в точке 1ц 6 X является всюду плотной в пространстве состояний У = р{Х) системы (45).

Предположение Ь„. Для любого V > 0 значения нижних коэффициентов локальной управляемости удовлетворяют условию

Цу) = [4+(104-Ч«)]1А' > 0, (47)

где величины 5+(г>), £"*"(») определены формулами типа (26).

Оценки сверху времени управления для слабо хаотических систем

Теорема 12 Пусть выполнены предположения Ои„,Ух„, /.<„. Тогда имеется следующая асимптотическая при и —► 0 оценка сверху времени управ-

т„(й) =

р+{у)

1п

Д 1(у)п

(48)

где Н — {УУ^, величина V задает объемный размер пространства состояний У, й — уровень локальных управлений, величина р+(у) определена формулой типа (24) и имеет представление р+(у) = + о(и), />+ > О — некоторая постоянная.

3.13. Распределение ресурсов управления

Из сравнения формул (35) и (43) видно, что оценка времени управления системой с гиперболической (хаотической) базовой составляющей лучше, чем оценка времени управления системой с нейтральной (нехаотической) базовой составляющей. В связи с этим для системы управления с нейтральной базовой составляющей возникает задача об улучшении ее характеристик. Рассмотрим семейство систем вида (45), имеющее накрывающее семейство вида (46), где в качестве возмущающего параметра выступает пара неотрицательных величин (г>,ги). Относительно этих систем предполагается, что невозмущенная система (46) является системой нейтрального типа, а возмущенная система — системой гиперболического типа. Предположим, что ресурсы управления г распределяются в соответствии с формулой г = и + V + ад, где и — доля ресурсов на управление состояниями, V — доля ресурсов на создание хаоса, иг — доля ресурсов на улучшение свойств локальной управляемости. Рассматриваются следующие виды возмущений V = иа, и> = и13 с некоторыми положительными параметрами а,(3 и решается задача о выборе параметров с целью минимизации времени управления. Сделаны следующие выводы.

1. Если невозмущенная система (45) локально управляема, то создание хаоса не уменьшает времени управления.

2. Если невозмущенная система (45) локально неуправляема по линейному приближению, но для величин вида (47) выполнено условие I(г, «;) ~

+ ¿"ад, где ^ + 1'1 > 0, то в этом случае схема управления следующая. Ресурсы управления нецелесообразно тратить на улучшение свойств локальной управляемости, т.е. значение параметра /3 следует выбирать очень большим, а ресурсы управления следует тратить на создание хаоса, т.е. значение параметра а следует выбирать очень малым. Исходная нейтральная система при этом становится слабо хаотичной. Асимптотическая при

и —> 0 оценка времени управления с соответствии с формулой (48) принимает вид

Т(й) = —1п

R

l'vT+i

(49)

3.14. Оценки сверху времени управления для нестационарных систем

Рассматривается еще один класс слабо хаотических систем. Хаотичность систем этого класса уменьшается с течением времени, поэтому системы этого класса описываются нестационарными уравнениями вида

Уп+1 - д(уп,ип,уп), упеУ, п = 0,1,2,..., (50)

где уп — состояние системы в момент времени п, ип € II — значение параметра, управляющего состояниями системы, г/„ — значение параметра, характеризующего степень вырождения системы управления.

Теорема 13 Пусть для системы (50) выполнены следующие условия.

1. Существует накрывающая система, которая задается функцией С, удовлетворяющей предположениям <?„,,„, и

2. Нижний коэффициент разбегания р+(п) = ¡п^ех | йеЬ В+Сг(х, г>„)| семейства базовых отображений удовлетворяет неравенству

С+

< Р+("), 0 < 7 < 1, п>М.

Тогда имеется следующая асимптотическая при и —> 0 оценка сверху времени управления

Т(®) =

(51)

С+ '"lui

где R = величина V задает объемный размер пространства со-

стояний Y, U ■— уровень значений допустимых локальных управлений, Величина ht определена формулой (38).

В работе рассмотрены также оценки для других типов нестационарных слабо хаотичных систем.

Глава 4. Методы символической динамики и локального управления

Четвертая глава посвящена вопросам построения управлений для динамических систем. В этой главе на основе методов символической динамики и методов локального управления указан конструктивный способ нахождения управляемой траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния х* в желаемое конечное состояние х* под действием последовательности допустимых управлений.

Применение метода символической динамики заключается в следующем. Пространство состояний разбивается на ячейки £>ь £>2,... определенного (возможно переменного) размера. Максимальный размер ячеек ограничен некоторым числом е. Ячейки отождествляются с вершинами некоторого ориентированного графа С. Дуги графа задаются в соответствии с уравнением для базовых траекторий вида (17) следующим образом. Граф имеет дугу —> О}, если ^(Г^) П ^ 0, где /'о = /ц, /о - базовое отображение. Символическая динамическая система задается множеством своих символических траекторий, каждая из которых — это некоторый путь на графе вида

= = £?'. (52)

Этому пути соответствует некоторая псевдотраектория базовой системы (17) вида

х, = -)■ х\ -» ... х° = I*, (53)

где х® 6 величина невязки |х°+1 — < е- Настоящая траектория

системы (16) получается замыканием псевдотраектории с помощью локальных управлений. Условия реализации этой схемы управления дает следующая теорема.

Теорема 14 Предположим, что для системы управления (16), базовое отображение которой /о является диффеоморфизмом, выполнены следующие условия.

1. Существует путь вида (52) на графе С, которому соответствует псевдотраектория вида (53), ведущая из точки х, в точку х*.

2. Справедливо следующее условие согласования характеристик символической и исходной динамических систем

е(4)(Л + 1 )<Ь(*8)*, Ф?) < 1а(х?)®, г = 1,...,п-2, (54)

где = тах1еО(10) {тах[|л(х)|,..., Ь'*(х)|]}, величины л(х),..., ^(х) -собственные числа матрицы Якоби J(x) отображения Гц в точке х, которые по абсолютной величине больше единицы, ¿<Дх) - наименьшее собственное число матрицы [С(х)С*(х)]1у'2, матрица С(х) определена формулой (20), и - уровень локальных управлений, е(х®) - размер ячейки содержащей точку х®.

Тогда существует настоящая траектория системы (16), идущая из точки х, в точку х* вида

хг = х® ► х? > ... хп_] > хп = х . (55)

В формуле (55) й* = и0 ДЩ ~ управление на такте с номером к, к — О,... ,п — I, где гР = (и0,... - вектор длины <1 базовых постоянных управлений, Дгц = Дг»2(1 + 0(Л*-н)) - вектор длины д. локальных управлений, причем его главная часть ДгГ^ определяются по формуле

Д|22 = [С(х2)]"1Л*+11 к — 0,... ,п — 2, (56)

где 1 = х®+1 — ^(х$!) — невязка, х® — точки е-траектории вида (53).

При исследовании конкретных систем для нахождения пути на графе, связывающего ячейки, содержащие начальную и конечную точки, могут применяться специальные пакеты программ. В частности, в исследовавшихся примерах использовалась программа АЭИБЗ С. Ю. Кобякова. Для определения локальных управлений ДгРк в формуле (56) использовались стандартные программы для решения систем линейных алгебраических уравнений. Для формирования матриц С(х°к) использовались средства пакета символьных вычислений МАРЬЕ.

В заключении дана общая сводка полученных результатов. В работе приведено значительное число примеров и иллюстраций.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Для линейных по состояниям систем управления вида х = А(и)х получены следующие результаты об управляемости по части переменных:

а) достаточные условия проективной управляемости линейных полисистем и к ним сводящимся линейных систем (теорема 1);

б) достаточные условия радиальной управляемости линейных систем (теорема 2); |

в) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с тривиальным спектральным типом (теорема 3);

г) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с нетривиальным спектральным типом и свойством зацепляемости (теорема 4).

2. Для управления динамическими системами достаточного общего вида предложен метод встречных последовательностей многообразий. Доказана управляемость системы, для которой существует такая последовательность многообразий (теорема 5). Дано применение этого метода для управления линейными по состояниям системами.

3. Для систем, допускающих линеаризации, получены достаточные условия их управляемости по части переменных в окрестности точки покоя и в окрестности замкнутой траектории.

4. Для хаотических систем получены оценки сверху и снизу времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. Исследованы следующие классы систем:

а) равномерно гиперболические системы (теоремы 6, 6', 7);

б) гиперболические в среднем системы (теоремы 8, 8', 9);

в) нейтральные системы (теоремы 10, 11);

г) слабо хаотичные системы (теорема 12);

д) нестационарные слабо хаотичные системы (теорема 13).

5. Поставлена и решена задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости.

6. На основе методов символической динамики и локального управления дан способ нахождения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние, и дан способ нахождения последовательности управлений, осуществляющих движение по этой траектории (теорема 14).

Публикации автора по теме диссертации

1. Фомин В.Н., Хрящев С.М. Об одной задаче адаптивного управления линейным объектом в условиях случайных помех//Автоматика и телемеханика. 1976.- № 10.- с.102-110.

2. Хрящев С.М. О состоятельности оценок матрицы коэффициентов линейных систем в условиях коррелированных помех//Автоматика и телемеханика. 1982.- № 8,- с. 68-76.

3. Хрящев С.М. Спектральный метод исследования управляемости динамических систем вблизи инвариантных множеств//Автоматика и телемеханика. 1998,- № 3.- с. 29-42.

4. Хрящев С.М. О зависимости управляемости от аналитических свойств матрицы системы//Труды 6-го С.-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем. С.-Петербург, 1999.- Т. 2.- с. 187-190.

5. Хрящев С.М. Об управляемости линейных по состоянию динамических систем//Автоматика и телемеханика. 2000.- №10.- с. 59-71.

6. Хрящев С.М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Ч. 1//Автоматика и телемеханика. 2004.- №10.- с. 51-67.

7. Хрящев С.М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Ч. Н//Автоматика и телемеханика. 2004.- № 11.- с. 102-113.

8. Хрящев С.М. Оценки времени управления для нестационарных систем, порожденных квазилинейными гиперболическими отображения-ми//Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления, www.neva.ru/journal, 2004.- №4.- с. 77-115.

9. Хрящев С.М. Применение статистических методов для оценивания времени управления детерминированными системами.// Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления www.neva.ru/journal/ 2006.- №1.- с. 1-35.

10. Хрящев С.М., Осипенко Г.С. Исследование управляемости динамических систем методами символической динамики//Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления. www.stu.neva.ru/ 1997.- № 1,- с. 79-90.

11. Khryashchev S.M. Spectral conditions of spherical controllability linear with respect to the state dynamical systems//Proc. of 3rd European Control Conference. Roma, 1995.- V.4.- part 2,- p. 3454-3455.

12. Khryashchev S.M. On controllability conditions for dynamical systems with the looping property//Proc. of the 3rd International Conference on Motion and Vibration Control. Chiba, 1996.- V.2.- p. 399-402.

13. Khryashchev S.M. On controllability of linear with respect to state dynamical systems//Enlarged abstracts of the 9th conference on differential equations and their applications. Brno, 1997.- p. 237-238.

14. Khryashchev S.M. On stochastic properties of linear with respect to state control systems//Proc. of the international Conference on Control of Oscilations and Chaos. St. Petersburg, 1997.- V.I.- p. 179-180.

15. Khryashchev S.M. Method of bifurcation diagram for research of controllability//Proc. of the 15th Wordl Concress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics. Berlin, 1998.- p. 267-272.

16. Osipenko G.S, Khryashchev S.M. Controllability and applied symbolic dynamics//Proc. of the 13th international symposium on mathematical theory of networks and systems. Padova, 1998.- p. 349-352.

17. Khryashchev S.M. A method of bifurcation graph for research of controllability//Proc. of 5th European Control Conference. Karlsruhe, 1999.

18. Khryashchev S.M. A method for research of controllability//Proc. of the international Conference on Control of Oscilations and Chaos. St. Petersburg, 2000,- V.I.- p. 156-157.

19. Khryashchev S.M. Estimation of transport times for chaotic dynamical control systems//Proc. of International Conference Physics and Control. St. Petersburg, 2003.- p. 528-533.

20. Khryashchev S.M. Estimation of transport times for chaotic dynamical control systems//Proc. of International Conference Physics and Control. St. Petersburg, 2005.- p. 28-33.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 18.04.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз., Заказ Ла 300/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

1 Основные понятия и определения

1.1 Предварительное описание систем управления и их функционирования. Связь возвращаемости и управляемости.

1.2 Общая схема исследования управляемости.

2 Управление линейными по состояниям системами

2.1 Специфика линейных по состоянию систем.

2.2 Линейные по состоянию системы управления с конечным множеством базовых управлений (полисистемы).

2.3 Линейные по состоянию системы управления с непрерывным пространством базовых управлений.

2.3.1 Предположение А о сводимости системы с непрерывным пространством базовых управлений к полисистеме с дискретным пространством базовых управлений

2.3.2 Матричные семейства общего положения.

2.3.3 Приведение матричных семейств в общее положение

2.3.4 Спектральные типы матричных семейств.

2.3.5 Справедливость предположения А1 для системы с тривиальным спектральным типом.

2.3.6 Управляемость систем с тривиальным спектральным I типом.

2.3.7 Ослабленное предположение А для систем с нетривиальным спектральным типом

2.3.8 Представление системы с нетривиальным спектральным типом. Иерархия подсистем.

2.3.9 Иерархия проективных компонент.

2.3.10 Условия зацепляемости компонент проективного разложения

2.3.11 Проективная управляемость систем с нетривиальным спектральным типом.

2.4 Пара управляющих встречных последовательностей многообразий

2.5 Пара встречных последовательностей многообразий для проекции линейной системы с тривиальным спектральным типом

2.6 Системы второго порядка.

2.6.1 Условия управляемости билинейных систем, выраженные через коэффициенты матриц.

2.6.2 Соотношение свойства зацепляемости и вида зависимости матричного семейства от управляющего параметра

2.7 Условия локальной управляемости критических элементов и условия зацепляемости.

2.7.1 Условия локальной управляемости

• 2.7.2 Условия локальной управляемости точек покоя

2.7.3 Условия локальной управляемости предельных циклов для систем третьего порядка.

2.7.4 Условия зацепляемости для систем третьего порядка

2.8 Примеры линейных по состоянию систем.

2.8.1 Системы второго порядка.

2.8.2 Системы третьего порядка.

2.8.3 Системы с комплексными коэффициентами

2.9 Примеры маятниковых колебательных систем.

2.10 Линейные по состоянию дискретные динамические системы управления.

2.11 Линеаризации системы управления.

2.11.1 Управление системой в окрестности ее точки покоя

2.11.2 Управление системой в окрестности ее предельного цикла.

2.11.3 Системы Морса-Смейла

2.11.4 Управление системой в окрестности ее инвариантного множества

2.12 Заключительные замечания об условиях управляемости для линейных и нелинейных систем.

2.12.1 Сравнение линейных и нелинейных систем с регулярным поведением.

2.12.2 Характер поведения траекторий регулярных и хаотических систем

2.12.3 Программная реализация проверки управляемости линейных по состоянию систем.

Управление хаотическими системами

3.1 Вводные замечания.

3.2 Определение динамической системы управления и некоторых связанных с ней понятий.

3.2.1 Основные отображения, локальные семейства отобра

Ш жений и порожденные ими системы управления

3.2.2 Управляемость системы и время управления

3.3 Свойства динамической системы, порожденной базовым отображением

3.3.1 Топологические свойства основных отображений

3.3.2 Системы, задаваемые гладкими обратимыми основными отображениями (гиперболическими и нейтральными)

3.3.3 Свойства основных отображений (диффеоморфизмов), выраженные в терминах инвариантных мер.

3.3.4 Оценки для скорости сходимости в законе больших чисел

3.3.5 Оценки для времени переходного процесса, равномерные относительно начального состояния.

3.4 Свойства локальной системы управления.

3.4.1 Условия полной равномерной локальной управляемости во всем пространстве состояний.

3.4.2 Условия частичной локальной управляемости для гиперболических систем.

3.4.3 Вычисление матрицы локальной управляемости

3.5 Оценки времени управления для систем равномерно гиперболического типа.

3.5.1 Оценки сверху времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими • отображениями.

3.5.2 Оценки снизу времени управления для динамических # систем управления, порожденных гиперболическими отображениями.

3.5.3 Пример динамической системы управления, порожденной линейным гиперболическим отображением

3.6 Оценки времени управления для гиперболических систем, использующие средние характеристики.

3.6.1 Средний коэффициент растяжения

3.6.2 Оценки времени управления для случая частичной локальной управляемости во всем пространстве состояний

3.6.3 Сравнение оценок времени управления, использующих равномерный коэффициент растяжения и коэффициент растяжения в среднем.

3.7 О выборе параметров в оценках для времени управления . . 177 3.7.1 Выбор оптимального значения параметра

3.8 Оценивание времени переходных процессов с помощью статистических методов

3.9 Асимптотичекие оценки сверху времени управления.

3.9.1 Оценки сверху для среднего времени управления, использующие распределения коэффициентов управляемости вдоль неустойчивых направлений.

3.10 Оценки времени управления для систем нейтрального типа

3.10.1 Свойства множеств локальной достижимости.

3.10.2 Оценка сверху времени управления для систем ней

• трального типа.

3.10.3 Оценка снизу времени управления для систем нейтрального типа.

3.10.4 Пример динамической системы управления, порожденной аффинным отображением нейтрального типа

3.11 Оценки времени управления для слабо хаотических систем, имеющих накрывающие системы.

3.11.1 Пример семейства вырождающихся систем управления на двумерном торе.

3.11.2 Некоторые случаи управления хаосом.

3.11.3 Возмущение вырожденного семейства отображений посредством двупараметрического семейства отображений

3.11.4 Определение слабо хаотической системы управления

3.11.5 Условия локальной управляемости слабо хаотических систем управления.

3.11.6 Оценки сверху времени управления.

3.12 Распределение ресурсов при управлении слабо хаотическими системами.

3.12.1 Описание возмущенных систем управления.

3.12.2 Сравнение оценок времени управления для возмущенных систем гиперболического и нейтрального типов. . 225 3.13 Оценки времени управления для нестационарных систем, порожденных квазилинейными гиперболическими отображени

3.13.1 Хаотические системы на торе, порожденные линейными нестационарными отображениями.

3.13.2 Описание одного класса нестационарных систем управления

3.13.3 Характеризация хаоса с помощью коэффициентов раз-бегания траекторий.

3.13.4 Оценки сверху времени управления с помощью коэффициентов разбегания траекторий.

3.13.5 Характеризация хаоса как степени роста объемов в неустойчивом направлении.

3.13.6 Оценки сверху времени управления на основе скорости роста объемов

3.13.7 Оценки снизу времени управления для нестационарных систем управления.

3.13.8 Оценки времени управления для случая, когда эллипсоид локальной управляемости не находится в общем положении

3.14 Заключительные замечания

Методы символической динамики и локального управления

4.1 Вводные замечания.

4.2 Символический образ динамической системы.

4.3 Построение управлений.

4.4 Применение методов символической динамики для исследования конкретных систем.

4.4.1 Исследование двумерной линейной по состоянию системы

4.4.2 Проверка условий зацепляемости.

4.4.3 Применение методов символической динамики к построению символических образов хаотических систем.

4.5 Заключительные замечания

Работа посвящена исследованию математических моделей динамических систем управления с конечномерными пространствами состояний, имеющих различные типы поведения. Основное внимание уделено нахождению условий управляемости этих систем, получению оценок времени управления и построению управляющих воздействий, обеспечивающих достижение заданных целей управления.

Проблема управляемости имеет длинную историю и продолжает оставаться одной из самых актуальных проблем теории управления. Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана [120],[121],[121], в которых были получены условия управляемости систем, правые части которых являются линейными функциями по состояниям и управлениям. Вслед за этими работами появились многочисленные работы других авторов и за почти полувековой период получено много результатов по управляемости динамических систем. За последние годы были разработаны новые методы исследования управляемости динамических систем и выявлен ряд причин, обусловливающий управляемость или неуправляемость динамических систем.

Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стала исследоваться управляемость нелинейных систем. Было сделано несколько попыток создания общей, или абстрактной теории систем (работы Калмана Р. [43], Кухтенко А.И. и др. [48], Блкина В.И. [24] и некоторые другие). Ряд интересных результатов получен благодаря применению методов обшей теории, однако большинство работ посвящено исследованию более частных вопросов. Много результатов получено при исследовании управляемости динамических систем, принадлежащих конкретным классам систем. Важным классом нелинейных систем является класс билинейных систем, т.е. систем, правые части которых являются билинейными функциями по состояниям и управлениям.

Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.

Значительные успехи в исследовании управляемости нелинейных систем были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости, в частности применению дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов. Это направление было актуальным на протяжении многих лет. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзоре [5] Андреева Ю.Н., в обзоре [2] Аграчева A.A., Вахрамеева С.А., Гамкрели-дзе Р.В. и в обзоре [22] Вахрамеева С.А. и Сарычева A.B. В этих обзорах приводятся результаты по управляемости гладких динамических систем как абстрактных так и более конкретных классов. Некоторые новые результаты отражены в книге [4] Аграчева А.А и Сачкова Ю.Л. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению динамики исходной системы. В рамках дифференциально-геометрического подхода был получен ряд результатов по управляемости систем, линейных по управлению, (см. например, [60, 24, 116, 157]). Следует отметить, что дифференциально-геометрические методы являются наиболее подходящими для исследования свойств локальной управляемости, в целом же проблема управляемости имеет глобальный характер, т.е. относится ко всему пространству состояний. С этой точки зрения интерес представляют нелинейные системы достаточно общего вида.

Однако, разграничение систем по признаку линейный или нелинейный представляется поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем.

Действительно, если в линейной системе сделать замену переменных, т.е.

• „ „ рассмотреть ее в новой системе координат, то она станет нелинейной, но сущность ее при этом не изменится. Возможны и обратные замены переменных, превращающие нелинейные системы в линейные. Установить существование таких замен переменных является трудной задачей. Некоторые ее частичные решения даны в работах [135, 158].

Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения (простое или сложное) их траекторий. Сходным, хотя и не тождественным, является деление систем на классы по принципу регулярности или хаотичности поведения их траекторий. Наиболее отчетливо свойства регулярного поведения проявляются у систем Морса-Смейла, а свойства хаотического поведения — у гиперболических систем вблизи их аттракторов достаточно сложной структуры, которые иногда называют странными. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница • поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходятся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими ► классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно. В частности, некоторые системы Морса-Смейла с достаточно большим числом компактных инвариантных множеств могут демонстрировать весьма сложное поведение, см. рис.2.16. Как известно, одним из сценариев возникновения хаоса является переход через границу класса систем Морса-Смейла, [34].

Одним из факторов, влияющих на управляемость систем, является ее способность возвращаться в исходные состояния. Свойством возвращаемос-ти могут обладать как системы с регулярным, так и хаотическим поведением. В настоящей работе исследуется проявление свойства возвращаемости на различных моделях регулярных и хаотических систем.

Другим фактором, влияющих на управляемость систем, является соотношение исходных характеристик пространства состояний с характеристиками, индуцированными системой управления. Например, в работах [60], [61],[27],[28] и других исследовался вопрос, каким образом управляемость зависит от соотношения исходной топологии пространства состояний и топологии, индуцированной динамической системой управления. Другой пример относится к работе [15], где показано, что система управления с регулярным поведением индуцирует в пространстве состояний структуру специального клеточного комплекса, свойства которого обусловливают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод Болтянского В.Г. регулярного синтеза управлений. В данной работе иссле-• дуется вопрос о существовании клеточных комплексов специального вида для рассмотренных классов регулярных систем.

Опыт исследования систем с разными типами поведения показывает, что обычно оказывается невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Для систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений, [15]. Для систем с хаотическим поведением для управления часто используется существование всюду плотных траекторий, [159]. Таким образом, не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем, кроме их численного моделирования. Численное моделирование имеет следующие недостатки. Во-первых, из-за того, что динамическая система имеет бесконечное множество состояний, часто не представляется возможным ее исчерпывающее исследование. Во-вторых численное моделирование не дает обычно понимания причин управ* ляемости или неуправляемости динамических систем. Эти обстоятельства являются побудительными мотивами для качественного исследования динамических систем управления, осуществленного в настоящей работе, причем при исследовании учитываются особенности систем с регулярным или хаотическим поведением.

Остановимся сначала на системах управления с регулярным поведением. В данной работе для некоторых классов таких систем предлагается метод управления, который является новым вариантом метода регулярного синтеза управлений. Этот метод состоит в построении двух так называемых встречных последовательностей многообразий, элементы которых называются клетками. Элементами первой последовательности обычно являются устойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности убы

• вают. Элементами второй последовательности обычно являются неустойчивые многообразия для некоторых критических элементов (обычно также предельных циклов). Размерности элементов этой последовательности возрастают. В соответствии с предлагаемым методом движение происходит по клеткам, поочередно принадлежащим то одной, то другой последовательности. Переключение движений с элементов одной встречной последовательности на элементы другой встречной последовательности организовано так, что позволяет осуществить переход из начального заданного состояния в конечное заданное состояние.

Основное внимание в работе уделено применению метода встречных последовательностей для управления линейными по состоянию системами. Класс линейных по состоянию систем является важным, в частности, по следующей причине. К исследованию управляемости таких систем можно свести исследование управляемости произвольных гладких систем в окрестности их инвариантных множеств достаточно простой природы, таких как точки покоя, предельные циклы, инвариантные торы и некоторые другие. В данной работе рассмотрен ряд примеров такого сведения. Некоторые математические постановки задач об управлении линейными по состояниям системами можно найти в работах Кучеры [136] и Суссмана [155]. Однако задача о глобальной управляемости линейных по состояниям систем произвольной размерности не получила достаточно полного решения. Изложенные в этой работе новые условия управляемости линейных по состоянию систем основаны на публикациях автора [88], [90]. Для формулировки условий управляемости введены некоторые новые понятия, в частности понятие спектрального типа линейной по состояниям системы управления, понятие проективных компонент системы и понятие о зацеп-ляемости этих компонент.

• В предлагаемой работе исследуется управляемость грубых линейных систем, т.е. систем, сохраняющих свои свойства при малых возмущениях их параметров. Они называются системами общего положения. Нелинейные системы, дающие при линеаризации грубые линейные системы, достаточно адекватно характеризуются своими линейными приближениями.

Следует отметить, что многие понятия, введенные для линейных по состоянию систем, могут быть соответствующим образом модифицированы для гладких динамических систем управления достаточно широкого класса (без предположения наличия у них каких-либо специальных свойств). Поэтому методы управления, применявшиеся первоначально для линейных по состояниям системам, могут быть применены для управления регулярными системами более общего вида, без обязательной их линеаризации. Однако практически удается исследовать управляемость нелинейных систем общего вида лишь невысокой размерности, [129, 130]. Это связано с трудностью локализации их инвариантных множеств даже численными методами.

Обратимся теперь к системам с хаотическим поведением. Как уже отмечалось, системами с хаотическим поведением иногда невозможно управлять методами, пригодными для систем с регулярным поведением. Главная причина этого заключается в трудности осуществить регулярный синтез управлений (см. подробнее об этом в разделе 2.12). Однако, у систем с хаотическим поведением имеются всюду плотные траектории, что позволяет тривиально решить вопрос об их глобальной управляемости при наличии локальной управляемости. Примерная схема управления может быть осуществлена следующим образом. Для начальной и конечной точек пространства состояний существует (базовая) траектория, проходящая сколь угодно близко от них. Поэтому с помощью подходящего локального управления можно перейти из начальной точки на указанную траекторию, затем двигаться по этой траектории (достаточно большое время) до следующей подходящей точки, затем снова с помощью подходящего локального управления перейти с траектории в конечную точку.

Особенностью систем с хаотическим поведением является возможность применять управляющие воздействия сколь угодно малой интенсивности, так как базовая траектория проходит сколь угодно близко от начальной и конечной точек. Однако, это может сделать время управления сколь угодно большим. Поэтому для систем с хаотическим поведением на первый план выходят вопросы исследования зависимости времени управления от интенсивности управлений, а также от величин, характеризующих хаотичность системы.

В настоящее время исследование управляемости систем с хаотическим поведением проводится весьма интенсивно, что привело к появлению большого числа работ, в которых исследовались системы различных классов. Современное состояние теории управления хаосом и история вопроса освещены в обзоре [8, 9]. Мы перечислим здесь лишь некоторые из работ. Во-первых, отметим работу [143], в которой заложены основы так называемого ОСУ-метода, получившего развитие во многих последующих работах. В этой работе полученные оценки времени управления зависят степенным образом от уровня локальных управлений. Далее отметим работу [159], в которой исследовались необратимые одномерные систем на единичном отрезке и с помощью методов символической динамики получены оценки времени управления логарифмического типа. В работе [153] исследовалась управляемость гамильтоновых систем и отмечалось, что в области хаотического поведения траекторий время управления зависит логарифмически от размера областей локальной достижимости и, следовательно, от уровня локальных управлений. Из других подходов можно отметить работы, использующие методы обратной связи ([117, Ыс1оп А.], [149, К.] и др.) Имеется большое число работ, в которых время управления системой оценивалось численно. Для примера укажем на работы [99, 141].

В данной работе для систем с хаотическим поведением в качестве основной задачи рассматривается задача оценивания времени управления для различных класс систем. Для этого мы используем такую характеристику степени хаотичности как скорость роста объемов начальных множеств в неустойчивых направлениях. Связь скорости роста объемов и степени хаотичности системы отмечалась в работах [160, 142].

Укажем на одну особенность метода управления, использованного в данной работе: управляющие воздействия разделяются на основные (базовые) и вспомогательные (корректирующие). В качестве множества допустимых основных управлений обычно берется множество кусочно-постоянных управлений, а качестве множества вспомогательных управлений — множество кусочно-непрерывных управлений малой интенсивности. Основные (базовые) управления доставляют всевдотраектории движений системы управления и обеспечивают "почти управляемость" системы в пространстве состояний. Поэтому они имеют глобальный характер. Вспомогательные (корректирующие) управления позволяют замыкать эти всевдотраектории и получать настоящие траектории движения в пространстве состояний. Преимущество данного подхода разделения управлений на основные и корректирующие проявляется в том, что каждая из этих составляющих может проектироваться отдельно с тем, чтобы обеспечить заданные свойства совокупной системы. Такое разделение управлений имеется во многих реальных системах управления.

В ряде рассмотренных ниже задач управления можно ограничиться сравнительно небольшим (обычно конечным) множеством основных управлений. Отметим, что для систем с хаотическим поведением как правило можно обойтись всего одним основным управлением, которое соответствует динамической системе, имеющей всюду плотные траектории. Для систем с регулярным поведением множество основных управлений обычно более

I обширно, причем мощность множества основных управлений обусловливается количеством качественно различных фазовых портретов семейства векторных полей, задающих систему управления. Последнее же связано с числом бифуркаций, происходящих в этом семействе векторных полей. Заметим также, что имеется ряд сценариев, при которых регулярное поведение системы сменяется хаотическим после прохождения определенного количества бифуркаций.

Как отмечалось ранее, при управлении динамической системой в предлагаемом методе управления используется свойство локальной управляемости вдоль основных траекторий. Поэтому желательно, чтобы это свойство не было исключительным. В работе использовано, что по крайней мере для аналитических систем свойство локальной управляемости не является исключительным. Кроме того, для достаточно гладких систем наличие этого свойства может быть эффективно проверено с помощью ранговых критериев.

Выше мы касались вопросов качественного исследования управляемости систем. Остановимся на проблеме конкретного построения управлений. Что касается систем с регулярным поведением, то при исследовании их управляемости (методом встречных последовательностей) одновременно строится последовательность базовых управлений. Локальные же управления строятся стандартным способом (см. например [2]). Для систем с хаотическим поведением при качественном их исследовании обычно лишь используется существование управлений, обеспечиващих заданные цели управления.

• Для построения конкретных управлений полезными оказываются методы символической динамики. Методы символической динамики могут применяться для систем управления любой природы, но особенно эффективны они для систем с хаотическим поведением. В настоящей работе некоторый • специальный вариант метода символической динамики, предложенный в [54], приспособлен для поиска управляемых траекторий, ведущих из начальной точки в желаемую целевую точку.

Структура текста работы следующая. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и заключения. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней описываются рассматриваемые объекты и ими порожденные структуры. Вторая глава посвящена исследованию управляемости класса линейных по состоянию динамических систем управления и некоторым классам регулярных систем с достаточно простым поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению достаточных условий управляемости по части переменных при различных предположениях о свойствах системы. Третья глава посвящена исследованию управляемости динамических систем управления с хаотическим поведением. Основное внимание в этой главе уделяется получению оценок сверху и снизу времени управления, а также получению оценок в среднем времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. На основе полученных оценок решается задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости. Четвертая глава посвящена вопросам построения управлений для динамических систем. В этой главе на основе методов символической динамики и методов локального управления указан конструктивный способ построения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состо-• яние под действием последовательности допустимых управлений, которая также строится. В заключении дана общая сводка полученных результатов. В работе приведено значительное число примеров и иллюстраций. Список их дан в приложении.

Используемые в работе сведения по теории динамических систем, в основном, взяты из книг [44] и [17], а по теории случайных процессов — из книг [33, 68, 96, 50]. Часть общепринятых понятий и определений приводится, на другие понятия указаны ссылки, причем необязательно на первоисточники.

Заключение

В настоящей работе рассмотрены некоторые классы динамических систем управления, которые могут иметь регулярное или хаотическое поведение траекторий. Причем в одних частях пространства состояний у системы может наблюдаться регулярное поведение, а в других — хаотическое. Для исследования управляемости систем были предложены некоторые методы и при этом было показано, что для управления системой следует применять методы, адекватные типу системы.

В областях с регулярным поведением траекторий для управления применялся метод встречных последовательностей, в котором главную роль играют базовые (глобальные) управления, а локальные управления имеют вспомогательный (корректирующий) характер. В частности, для линейных по состоянию систем с помощью этого метода были достаточные условия управляемости, неизвестные ранее. Эти условия сформулированы в терминах спектрального типа системы.

В областях с хаотическим поведением метод управления основывался на существовании в этих областях всюду плотных траекторий для некоторого базового управления. Локальные управления использовались для управления вдоль плотных траекторий. Было исследовано несколько классов ха-I отических систем, различающихся по степени хаотичности. Основные результаты для систем этих классов относятся к оценкам времени управления системами в зависимости от интенсивности локальных управлений и степени хаотичности систем. Было выявлено, что увеличение степени хаотичности системы приводит к уменьшению времени управления системой. В связи с этим с целью уменьшения времени управления системой была поставлена и решена задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости.

В работе была выявлена связь между свойствами возвращаемости и управляемости системы: свойство управляемости проявляется в способности системы возвращаться в любое исходное положение под действием допустимых управлений. При этом было отмечено различное влияние регулярного и хаотического поведения траекторий динамических систем на свойство возвращаемости траекторий в исходное состояние, следовательно, на управляемость. При регулярном поведении траекторий базовой системы для обеспечения возвращаемости траекторий требуется применять управления достаточно большей величины. При хаотическом поведении системы по истечении большого промежутка времени наблюдается почти возвраща-емость траектории базовой системы в исходное положение, т.е. даже при нулевом локальном управлении. Таким образом, в соответствующих областях можно ограничиться малыми по величине локальными управлениями для замыкания траектории.

В работе для рассмотренных классов регулярных систем установлено существование клеточных комплексов специального вида, которые обеспечивают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод управления с помощью встречных последовательностей многообразий.

Для построения управляющих воздействий были применены методы символической динамики локальных управлений, которые показали свою эффективность как для регулярных, так и для хаотических систем. к

Результаты, выносимые на защиту

1. Для линейных по состояниям систем управления вида х = А{и)х получены следующие результаты об управляемости по части переменных: а) достаточные условия проективной управляемости линейных полисистем (теорема 2.2.1) и к ним сводящимся линейных систем (теорема 2.3.1); б) достаточные условия радиальной управляемости линейных систем (теорема 2.3.3); в) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с тривиальным спектральным типом (теорема 2.3.2); г) достаточные условия проективной управляемости линейных систем с нетривиальным спектральным типом и свойством зацепляемости (теорема 2.3.4).

2. Для управления динамическими системами достаточного общего вида предложен метод встречных последовательностей многообразий. Доказана управляемость системы, для которой существует такая последовательность многообразий (теорема 2.4.1). Дано применение этого метода для управления линейными по состояниям системами.

3. Для систем, допускающих линеаризации, получены следующие условия управляемости: а) достаточные условия управляемости нелинейных систем в окрестности точки покоя (теорема 2.11.1); б) достаточные условия управляемости нелинейных систем в окрестности замкнутой траектории (теорема 2.11.2).

4. Для хаотических систем получены оценки сверху и снизу времени управления при различных предположениях о степени хаотичности систем. Исследованы следующие классы систем: а) равномерно гиперболические системы (теоремы 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3); б) гиперболические в среднем системы (теоремы 3.6.1, 3.7.1, 3.9.1); в) нейтральные системы (теоремы 3.10.1, 3.10.2); г) слабо хаотичные системы (теорема 3.11.1); д) нестационарные слабо хаотичные системы (теоремы 3.13.1 — 3.13.10).

5. Поставлена и решена задача о распределении ресурсов для управления состояниями системы, для создания хаоса и для улучшения свойств локальной управляемости, (теорема 3.12.1).

6. На основе методов символической динамики и локального управления дан способ нахождения траектории, вдоль которой система может быть переведена из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние, и дан способ нахождения последовательности управлений, осуществляющих движение по этой траектории (теорема 4.3.1).

1. Абрахам Р., Смейл С. Q-устойчивось не типична.// В кн.: Сб. пер. Мат., 1969, т. 13, №2. С. 156-160.

2. Аграчев A.A., Вахрамеев С.А., Гамкрелидзе Р.В. Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в теории управления.// В кн.'Проблемы геометрии, т. 14 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М.: 1983, С. 3-56.

3. Аграчев A.A., Готье Ж.П.Л. Субримановы метрики.// В кн.: Современная математика м ее приложения, т. 64 (Итоги науки и техники ВИНИТИ РАН). М.: 1999, С. 5-48.

4. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

5. Андреев Ю.Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления//Автоматика и телемеханика. 1982. №1. С. 5-46.

6. Андрианов С.Н. Теоретико-групповое и алгебраическое моделирование систем управления пучками частиц.// Вопросы механики и процессы управления (Системы управления). СПб, 1992, Вып 15. С. 7-13.

7. Андрианов С.Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. Спб.: Изд-во СПб. университета, 2004.

8. Андриевский Б.Р., Фрадков Ф.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I Методы// Автоматика и телемеханика. 2003. №5. С. 3 -45.

9. Андриевский Б.Р., Фрадков Ф.Л. Управление хаосом: методы и приложения. II Методы// Автоматика и телемеханика. 2004. №4. С. 3 -32.

10. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

11. Барабанов А.Е. Оптимальное управление линейным дискретным объектом динамическим объектом с усредненным функционалом качества// Докл. АН СССР, 1990. Т.312. №5. С.1053-1057.

12. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов.СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1996.

13. Баутин H.H., Леонтович Е.Л. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.

14. Бланк М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МНЦМО. 2001.

15. Болтянский В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования.// Изв. АН СССР, серия математическая, 1964. т.28, №3, С. 481-514.

16. Бонченко С. И., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса.// В кн.: Современная математика м ее приложения, т. 67 (Итоги науки и техники ВИНИТИ РАН). М.: 1999, С. 69-128.

17. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979.

18. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М.: Высш. шк., 1986.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967.

20. А.Х.Гелиг, А.Н.Чурилов. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993.

21. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. М.: Наука, 2003.

22. Вахрамеев С.А., Сарычев A.B. Геометрическая теория управления.// В кн. Итоги науки и техники (алгебра, топология, геометрия), т. 23, 1985, С. 197-280.

23. Давыдов A.A. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах.// Успехи мат. наук. 1982, т. 37, № 3. С. 183— 184.

24. Елкин В.И. Редукция нелинейных систем управления. Дифференциально-геометрический подход. М.: Наука, 1997.

25. Емельянов C.B. и др. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970.

26. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин С.И. Классификация особенностей и управляемость двумерных билинейных систем. М., 1986. Деп. ВИНИТИ 20.03.86, № 2292-В 86.

27. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин С.И. Управляемость нелинейных систем. Двумерные системы.// В кн. Итоги науки и техники (техническая кибернетика), 1987. т. 21. С. 3 66.

28. Емельянов C.B. Коровин С.К., Никитин С.И. Нелинейные системы, управляемость, стабилизируемость, инвариантность.// В кн. Итоги науки и техники (техническая кибернетика), 1988. т. 23. С. 3-107.

29. Жермоленко В.Н. Колебательность двумерных билинейных систем// Автоматика и телемеханика, 2005, № 9, С. 27-39.

30. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

31. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.

32. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высш. школа, 1979.

33. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

34. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Ли. Нелокальные Бифуркации. М.:МЦНМО ЧеРо, 1999.

35. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.1. Динамические системы1. М.: ВИНИТИ. 1985.

36. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.2. Динамические системы2. М.: ВИНИТИ. 1985.

37. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.З. Динамические системы3. М.: ВИНИТИ. 1985.

38. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.4. Динамические системы4. М.: ВИНИТИ. 1985.

39. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.5. Динамические системы5. М.: ВИНИТИ. 1986.

40. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.6. Динамические системы6. М.: ВИНИТИ. 1987.

41. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.16. Динамические системы- 7. М.: ВИНИТИ. 1987.

42. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.39. Динамические системы- 8. М.: ВИНИТИ. 1989.

43. Калман Р. Об общей теории систем управления. // Труды I конгресса ИФАК. изд-во АН СССР, 1961, Т.2. С.521-547.

44. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

45. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

46. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1969.

47. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

48. Кухтенко А.И., Семенов В.Н., Удилов В.В. Геометрические и абстрактно-алгебраические методы в теории автоматического управления.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1975, №27. С. 3-20.

49. Jlene H.JI. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка.// Автоматика и телемеханика, №11, 1984, С. 19-25.

50. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Иностранная литература, 1962.

51. Магницкий Н.А., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

52. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

53. Морозов А.Д. и др. Инвариантные множества динамических систем в Windows. M.: Эдиториал УРСС, 1998.

54. Осипенко Г.С. О символическом образе динамической системы.// Тр. конф. Граничные задачи, Пермь: 1983, С. 101-105.

55. Осипенко Г. С. Проверка условия трансверсальности методами символической динамики.// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 9, С. 1126-1132.

56. Осипенко Г.С., Ампилова Н.Б. Введение в символический анализ динамических систем. СПб: СПбГУ, 2005.

57. Осипенко Г.С., Хрящев С.М. Исследование управляемости динамических систем методами символической динамики.// Электронный журнал Динамические системы и управление, 1997. № 1. С. 78-90.

58. Павловский Ю.Н. Управление декомпозиционными структурами.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1983. №58. С. 1116.

59. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986.

60. Петров H.H., О локальной управляемости.// Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 12, С. 2214-2222.

61. Петров H.H., Управляемые системы и теория слоений.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1983, №58, С. 8-11.

62. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

63. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Д.: Изд-во Ленинградского университета, 1988.

64. Поляк Б.Т. Синхронизация хаотических систем с помощью прогнозирующего управления// Автоматика и телемеханика, 2005, № 12, С. 40-50.

65. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоно-вым. // ЖЭТФ. 1934, т.4, вып. 8.

66. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.

67. Пью Ч. Усиление леммы о замыкании и теорема о плотности// В кн.: Сб. пер. Мат., 1968. т. 2. №6. с. 136-146.

68. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.:ФМ, 1963.

69. Сачков Ю.Л. Управляемость трехмерных билинейных систем// Вестник МГУ, серия мат., мех. 1991. №3. С. 26-29.

70. Сачков Ю.Л. Инвариантные ортанты трехмерных билинейных систем// Вестник МГУ, серия мат., мех. 1991. №4. С. 21-26.

71. Смейл С. Грубые системы не плотны.// В кн.: Сб. пер. Мат., 1967. т. 11. №4. С. 107-112.

72. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971.

73. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наукова Думка, 1978.

74. Фомин В.Н., Хрящев С.М. Об одной задаче адаптивного управления линейным объектом в условиях случайных помех.// Автоматика и телемеханика, 1976. № 10. С. 102-110.

75. Фрадков А.Л. Исследование физических систем при помощи обратных связей.//Автоматика и телемеханика, 1999. № 3. С. 213-229.

76. Фомин В.Н., Хрящев С.М. Об одной задаче адаптивного управления линейным объектом в условиях случайных помех.//Автоматика и телемеханика, 1976, № 10, С. 102-110.

77. Хрящев С.М. О состоятельности оценок матрицы коэффициентов линейных систем в условиях коррелированных помех.// Автоматика и телемеханика, 1982, № 8, С. 68-76.

78. Хрящев С.М. Об идентифицируемости параметров динамических систем по заданной функции наблюдения. СПб., 1987. Деп. ВИНИТИ 21.01.87, № 470-В87.

79. Хрящев С.М. О структуре областей постоянного дефекта наблюдаемости состояний динамических систем. СПб., 1989. Деп. ВИНИТИ 09.01.89, № 222-В 89.

80. Хрящев С.М. Один метод исследования глобальной управляемости нелинейных систем на многообразиях.// Резюме докладов и сообщений 4-й конф. по дифференциальным уравнениям и их применениям, Русе, 1989. С. 305.

81. Хрящев С.М. Критерии глобальной управляемости систем на двумерной сфере. //Тезисы докладов 7-й Чехослов. конф. по дифференциальным уравнениям и их приложениям, Прага, 1989. С. 100.

82. Хрящев С.М. Один способ классификации нелинейных систем управления.//Тезисы докладов 6-го всесоюзное совещ. Управление многосвязными системами, Суздаль, 1990. С. 120-121.

83. Хрящев С.М. Метод спуска и подъема в исследовании глобальной управляемости нелинейных систем.// Тезисы докладов 7-й всесо-юзн. конф. Управление в механических системах, Свердловск, 1990. С. 109.

84. Хрящев С.М. Один метод нахождения собственных векторов и собственных чисел линейного оператора. СПб., 1995. Деп. ВИНИТИ 19.04.95, № 1095-В 95.

85. Хрящев С.М. Спектральные условия управляемости динамических систем со свойством зацепляемости. СПб., 1996. Деп. ВИНИТИ. 24.05.96, № 1021-В96.

86. Хрящев С.М. О локальной управляемости динамической системы вдоль траектории. СПб., 1997. Деп. ВИНИТИ 24.03.97, N 868-В 97.

87. Хрящев С.М., Осипенко Г.С. Исследование управляемости динамических систем методами символической динамики.// Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления. www.stu.neva.ru/ 1997. №1. С. 79-90.

88. Хрящев С.М. Спектральный метод исследования управляемости динамических систем вблизи инвариантных множеств.// Автоматика и телемеханика, 1998. №3. С. 29-42.

89. Хрящев С.М. О зависимости управляемости от аналитических свойств матрицы системы. //Труды 6-го С.-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем. С.-Петербург, 1999. Т. 2. С. 187-190.

90. Хрящев С.М. Об управляемости линейных по состоянию динамических систем.//Автоматика и телемеханика, 2000. №10. С. 59-71.

91. Хрящев С.М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Ч. I.// Автоматика и телемеханика, 2004. №10. С. 5167.

92. Хрящев С.М. Оценки времени управления в системах с хаотическим поведением. Ч. II.// Автоматика и телемеханика, 2004. № 11. С. 102113.

93. Хрящев С.М. Оценки времени управления для нестацианарных систем, порожденных квазилинейными гиперболическими отображениями./ / Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления www.neva.ru/journal/ 2004, №4, С. 77-115.

94. Хрящев С.М. Применение статистических методов для оценивания времени управления детерминированными системами.// Электронный журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления www.neva.ru/journal/ 2006, №1, С. 1-35.

95. А.Н. Чурилов, A.B. Гессен. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам. СПб.: Изд-во С.1. Петерб. ун-та, 2004.

96. Ширяев А.Н. Вероятность. Наука, 1980.

97. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.

98. Яковенко Г.Н. Групповой подход к управляемости и инвариантности динамических систем.// Кибернетика и вычислительная техника (Киев), 1978. N 39, С. 26-39.

99. Baptista M.S., Caldas I. L. Easy-to-implement method to target nonlinear systems.//Chaos, 1997. V. 8. №1. P. 290-299.

100. Bink R.E., Möhler R.R. Completely controllable bilinear systems.// SIAM J. Control and Optim. 1968. V. 6. №3. P. 477-486.

101. Boothby W. M. A Transitivity Problem from Control Theory.// J. Differential Equations. 1975. V. 17. №3. P. 296-307.

102. Boothby W. M. Some comments on positive orthant controllability of bilinear systems.// SIAM J. Control and Optim. 1982. V. 20. №5. P. 634-644.

103. Brockett R.W. System Theory on Group Manifolds Coset Spaces.// SIAM J. Conrt. and Optim., 1972. V.10. №2. P. 265-284.

104. Bonnard B. Controllability des systemes bilineares. //Math Syst. Theory, 1981. V. 15. №1. P. 79-92.

105. Chen G., Dong X. From chaos to order. Methodologies, perspectives and applications. World Scientific, 1998.

106. Chen G., Ueta T. Chos in circuits and sysyems. World Scientific, 2002.

107. Chen G., Hill D. J. Bifurcation control. Theory and applications. Springer, 2003.

108. Chen G., Yu X. Chaos control. Theory and applications. Springer, 2003.

109. Cheng G.S., Tarn T.J., Elliott D.L. Controllability of bilinear systems//Lecture notes in economics and mathematical systems. Berlin. Springer-Verlag, 1975, P.83-100.

110. Colonius F., Kliemann W. The Dynamics of Control. Birkhaeser, 1999.

111. Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore: World Scientific, 1998.

112. Gauthier J.-P., Bornard G. An openess condition for the controllability of nonlinear systems.// SIAM J. Contr. and Optim., 1982. V. 20. №6. P. 808-814.

113. A.Kh. Gelig, A.N. Churilov. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 1998.

114. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, 1983.

115. Grasse K.A. On accessibility and normal accessibility: the openess of controllability in the fine C°-topology.// J. Differential Equations. 1984. V. 53. №3. 387-341.

116. Hermes H. On local and global controllability. SIAM J. Control. 1974. V. 12. №2. 252-261.

117. Isidori A. The Geometric Approach to Nonlinear Feedback Control. A survey Lect. Notes Contr. and Int. Sci., 1982. V.44. P. 517-531.

118. Jurdjevic V., Quinn J.P. Controllability and Stability// J. Differential Equation, 1978, V. 28, N 2, P. 381-389.

119. Hermes H. On Local Controllability.// SIAM J. Contr. and Optim., 1982. V. 20. №2. P. 211-220.

120. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems.//SIAM J. Control, 1963. ser. A. V. 1. №2. P. 152-192.

121. Kalman R.E. Canonical structure of linear Dynamical systems.//Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1962, V. 48. №4. P. 595-601.

122. Kalman R.E., Ho Y.C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems. Contributions to Differential Equations, 1963, V. 1. P. 189-231.

123. Khryashchev S.M. A Method of computation of eigenvectors and eigenvalues and Matrix Jordan's form.//Abstracts 5-th Conference on Numerical Methods, Miskolc, 1990. P. 44.

124. Khryashchev S.M. Spectral conditions of spherical controllability. //Proc. of International Workshop Singular Solutions and Perturbations in Control Systems, Pereslavl-Zalessky, 1995, P. 5153.

125. Khryashchev S.M. Spectral conditions of spherical controllability linear with respect to the state dynamical systems.// Proc. of the third European Control Conference. Roma. 1995. V.4,part 2. P. 3454-3455.

126. Khryashchev S.M. On controllability conditions for dynamical systems with the looping property//Proc. of the 3rd International Conference on Motion and Vibration Control. China. 1996. V.2. P. 399-402.

127. Khryashchev S.M. On controllability of linear with respect to state dynamical systems.// Enlarged abstracts of the 9th conference on differential equations and their applications. Brno, 1997. P. 237-238.

128. Khryashchev S.M. On Stochastic Properties of Linear with Respect to State Control Systems.// Proc. of the international Conference on Control of Oscilations and Chaos. St. Petersburg, 1997. V.l. P. 179-180.

129. Khryashchev S.M. Method of bifurcation diagram for research of controllability.//Proc. of the international Congress. Berlin, 1998. P. 267-272.

130. Khryashchev S.M. A method of bifurcation graph for research of controllability//Proc. of 5th European Control Conference. Karlsruhe, 1999. P. 116-122.

131. Khryashchev S.M. A method for research of controllability.// Proc. of the international Conference on Control of Oscilations and Chaos. St. Petersburg, 2000. V.l. P. 156-157.

132. Khryashchev S.M. Estimation of transport times for chaotic dynamical control systems.// Proc. Int. Conf. Physics and Control, 2003. P. 528533.

133. Khryashchev S.M. Control Times in Systems of Chaotic Behavior. I. Its Estimation.// Automatiom and remote control. 2004. V.65. № 10. P. 1566-1579.

134. Khryashchev S.M. Control Times in Systems of Chaotic Behavior. II. Its Estimation.// Automatiom and remote control. 2004. V.65. №11. P. 1782-1792.

135. Krener A. J. On the equivalence of control systems and the linearization of nonlinear systems.// SIAM J. Control, 1973, V. 11. N 4. P. 670-676.

136. Kucera J. Solution in large of control problem x = (A( 1 — u) + Bu)x.//Chech. Math. J., 1966, V.16. №4. P. 600-623.

137. Kucera J. Solution in large of control problem x = (Au+Bv)x.//Chech. Math. J., 1967, V.17. №1. P . 91-96.

138. Kucera J. On the accessibility of bilinear systems.// Chech. Math. J., 1970, V.20. №.1. P. 160-168.

139. Leonov G.A. Lyapunov exponents and problems of linearization. From stability to chaos. St. Petersburg press, 1997.

140. Lobry C. Controllability of nonlinear control dynamical systems.//SIAM J. Contr. and Optim., 1974. V. 12. №.1. P. 1-4.

141. Macau E. Targeting in chaotic scattering. Physical review E. 1998. V.57. №°.5. P. 5337-5347.

142. Newhouse Sh. Entropy and Volume//Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1988. V. 8* (Conley Memoria Issue) P. 283-300.

143. Ott E, Grebodi C., Yorke J. Controlling chaos.// Physical review letters. 1990. V. 64, №11. P.1195-1199.

144. Osipenko G.S. The periodic points and symbolic dynamics.// Seminar on Dynamical Systems. Basel: Birkhauser Verlag. 1993.

145. Osipenko G. Localization of the chain recurrent set.// Proc. of the conference Dynamic systems and applications. Atlanta, 1994. V.l, P. 277-282.

146. Osipenko G.S., Il'in I.V. Methods of Applied Symbolic Dynamics.// Proc. of Dynamic Systems and Applications. 1996. V.2. P. 451-460.

147. Osipenko G., Ershov E., Kim J. H. Lectures on invariant manifolds of perturbed differential equations and linearizations. State technical university St. Petersburg, 1996.

148. Osipenko G.S, Khryashchev S.M. Controllability and applied symbolic dynamics.// Proc. of the thirteenth international symposium on mathematical theory of networks and systems. Padova, 1998, P. 349352.

149. Piragas K. Continuous control of chaos byself-controlling feedback.// phys. Lett. A. 1992.V. 170, P. 421 428.

150. Paskota M., Lee H.W.I.// Targeting moving targets in chaotic dymamical systems// Chaos,Solutions, and Fractals, 1997. V.8. №9. P. 1533-1544.

151. Ratner M. The central limit theorem for geodesic flows on n-dimensional manifolds of negative curvature.//Israel J. Math.,16, 1973, P. 181-197.

152. Sachkov Yu.L. On Positive Orthant Controllability of Bilinear Systems in Small Codimensions.//SIAM Journ. Control and Optimization, 1997. V. 35. №1. P. 29-35.

153. Schroer C., Ott E. Targeting in hamiltonian systems that have mixed regular/chaotic phase spaces.// Chaos 7 V.4. 1997.

154. Sotomayor J. Generic bifurcations of dynamical systems.// Dynamical Systems. Academic Press. 1973, P. 561-582.

155. Sussmann H.J. The control problem x = A(u)x.// Chech. Math. J., 1972, V.22. №3, P. 490-494.

156. Sussmann H.J. Some properties of vector fields systems which are not altered by small perturbations.//J. Differential Equations, 1976. V. 20. №2. P. 292-315.

157. Sussmann H.J. A sufficient condition for local controllability. SIAM J. Contr. and Optim., 1978, V. 16. №.5. P. 790-802.

158. Sussmann H.J. Lie brackets, real analyticity, and geometric control.// Differ.Geom. Contr. Theory. Proc. Conf. Mich. Technol. Univ. 1983. P. 1-116.

159. Yang L., Liu Z., Zheng Y." Middle" periodic orbit and its application to chaos control.// International journal of bifurcation and chaos. 2001. V.12. №8. P .1869-1876.

160. Yomdin Y. Volume growth and entropy // Israel J.math. 1987. V. 57. P. 285-300.1. Список обозначений

161. Дп вещественное евклидово пространство размерности п11Рп вещественное проективное пространство размерности п

162. Мп, ЛГП,. многообразия размерности п1. Б11 сфера размерности п

163. Б1 замкнутая траектория роточка покоя1. X пространство состояний11 управляющее пространство1. Тп тор размерности п

164. Ы множество допустимых управленийй управляющее воздействие

165. А и локальное управляющее воздействиех у состояние х переводимо в состояние у при управлении й

166. Ну Е{ множество Е. переводимо в множество при управлении щ3(х) устойчивое многообразие точки хи(х) неустойчивое многообразие точки х

167. А(и),В(и) матрицы, зависящие от параметра и

168. Сг(11) пространство г раз дифференцируемых функций

169. Уе(.) ¿-окрестность множества

170. А, В. коммутатор матриц А, В