автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и численные методы исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах

На правах рукописи

Л-

Волкова Анна Сергеевна

МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФУЗИОННЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СЕТЕПОДОБНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2014

005555676

005555676

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Провоторов Вячеслав Васильевич

Официальные оппоненты: Юрко Вячеслав Анатольевич, доктор

физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой математической физики и вычислительной математики

Арзамасцев Александр Анатольевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина», заведующий кафедрой компьютерного и математического моделирования

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Защита состоится «27» октября 2014 г. в 13.00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д.212.037.01 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский пр., д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» и на сайте www.vorstu.ru.

Автореферат разослан «02» сентября 2014 г. Ученый секретарь -у

диссертационного совета г!ц Барабанов В.Ф

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эволюционные процессы на сетях в большинстве своем имеют одну общую характерную особенность - математическое описание этих процессов использует уравнения математической физики с распределенными параметрами на пространственных графах. Классическим примером того является сердечно-сосудистая система человека (ССС), диффузионные и волновые процессы в ней. ССС можно представить в виде совокупности сосудов, сосудистых участков, полостей, содержащих некоторый полный (текущий) объем крови (Е.В. Астраханцева, В.Ю. Гидаспов, У.Г. Пи-румов, Д.Л. Ревизников). С точки зрения математического описания, структура ССС в пространстве такова, что является естественным представлять ее в виде ограниченного связного пространственного графа -графа ССС (А.Я. Буничева, В.Б. Кошелев, В.А. Лукашин, С.И. Мухин, В.Н. Соснин, А.П. Фаворский). При анализе колебательных процессов сетеподо-бных технических конструкций (например, антенных конструкций) в математическом описании явлений также используется пространственный граф. Современные исследователи (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, А.В.Боровских, М.Г.Завгородний, О.М.Пенкин, Ю.В.Покорный, В.В.Провоторов, В.Л.Пря-диев, В.А.Юрко, S. Nicaise, J. Below) ограничились поиском закономерностей теоретического характера, численные же методы анализа остаются в тени, находясь в стадии формирования. Аналогичное сетевое описание может быть осуществлено и при исследовании диффузионных процессов в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток): продукты одних химических реакций, происходящих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций - граф метаболизма (Г.Ю. Ризни-ченко, А.Б. Рубин).

Следует отметить важную особенность всех приведенных примеров: математические модели диффузионных и волновых процессов сетеподобных объектах зачастую содержат исходные данные, имеющие довольно сильную особенность - функции, описывающие эти данные, не являются непрерывными (кусочно-непрерывными), а только интегрируемыми в определенном смысле. Приходится отказываться (частично или полностью) от классических подходов численных методов, требуюгцих определенной гладкости решений, и развивать последние в направлении расширения класса решений.

Актуальность диссертационной работы обусловлена необходимостью развивать имеющиеся и разрабатывать новые подходы для анализа математических моделей диффузионных и волновых процессов на сетях, численные методы и алгоритмы определения неклассических решений.

Диссертационная работа выполнена в рамках научной темы математического факультета Воронежского государственного университета «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный номер №0120.0853009.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка комплекса моделей и численных методов исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах с дополнительными требованиями, которые выражаются как в структуре сетей, так и специфической особенности исходных данных.

Для достижения цели в работе решаются следующие основные задачи:

- проведение анализа существующих (классических) подходов к моделированию диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах;

- обоснование, разработка и исследование нового класса начально-краевых задач для эволюционных дифференциальных систем с распределенными параметрами на геометрическом графе в классе обобщенных (слабых) решений;

- доказательство однозначной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных систем с распределенными параметрами на графе в классе обобщенных решений и непрерывности по исходным данным;

- разработка комплекса численных методов для решения начально-краевых задач с распределенными параметрами на графе, имеющих сильные особенности по исходным данным;

- разработка алгоритмов отыскания слабых решений, отличающиеся возможностью учитывать структурные особенности моделей: архитектуру сетей, типы дифференциальных систем, виды начальных и краевых условий;

- разработка структуры программного комплекса для решения задач анализа диффузионных и волновых процессов на сетях, включающую рекомендации по использованию различных типов сетей и определяемых слабых решений поставленных задач;

Методы исследования основаны на использовании теории математического моделирования, фундаментальных методов современного анализа прямых задач математической физики, теории построения и обоснования разностных схем для уравнений с распределенными параметрами на графах, теории графов.

Тематика работы соответствует следующим пунктам Паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 2 Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 4 Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- новый класс начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с имеющими сильные особенности параметрами, распределенными на геометрическом графе, отличающийся возможностью анализа обобщенных

(слабых) решений, который используется при моделировании диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах, характеризующихся наличием внутренних и внешних распределенных особенностей;

- доказательство однозначной разрешимости начально-краевых задач, непрерывности по исходным данным, отличительной особенностью которых является выбор достаточно широкого класса обобщенных решений, что открывает возможность использовать классические методы оптимизации;

- комплекс численных методов для решения начально-краевых задач на графе с имеющими сильные особенности исходными данными, отличающийся полным обоснованием единообразного метода определения приближений слабых решений (аппроксимация интегральных тождеств разностными схемами, анализ разностных схем - устойчивость, сходимость), что дает возможность с наперед заданной точностью определять слабое решение;

- алгоритмы отыскания слабых решений, отличающиеся возможностью учитывать структурные особенности моделей: архитектуру сетей, типы дифференциальных систем, виды начальных и краевых условий, что позволяет осуществлять сложные расчеты достаточно широким кругом исследователей;

- структура программного комплекса, включающая инвариантную составляющую, в которой реализованы базовые методы, и проблемно-ориентированную составляющую для решения задач анализа диффузионных и волновых процессов на сетях, отличительной особенностью которого является возможность формирования информационной среды предложенного класса задач и динамического выбора пути решения каждой задачи.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации математические модели, в которых учтены возможности их использования при математическом описании гемодинамических, тепловых и волновых сетеподобных процессов с интегрируемыми исходными данными, качественным образом расширяют множество известных моделей подобного типа и могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач. Разработанные численные методы составили алгоритмическую основу для программного комплекса, позволяющего решить задачи, актуальные в областях гемодинамики, промышленной теплотехники и материаловедения: задача дозирования и транспортировки лекарственных веществ по графу ССС человека; задача распространения пульсовых волн по графу ССС человека; задача описания диффузионных процессов метаболизма клеток; задача распространения теплоты по элементам антенной конструкции; задача описания изменений амплитуд колебаний сетеподобных конструкций, используемых при проектировании антенных устройств.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе факультета прикладная математика-процессы управления С.-Петербургского государственного университета и математического факультета ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» при подготовке студентов по специальностям «Прикладная математика», «Математика».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях и семинарах: IV и V Международные научные конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011, 2012), Международные научные конференции «Колмогоровские чтения - V и VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011, 2013), Международная научная конференция «Математическая теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2012), Международная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2013), VI Международная научная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий. ПМТУКТ-2013» (Воронеж, 2013). Семинары проф. Жабко А.П. (Санкт-Петербургский государственный университет, 2012), проф. Юрко В.А. (Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, 2012, 2014), проф. Баскакова А.Г. (Воронежский государственный университет, 2013), проф. Глушко А.В., Провоторова В.В. (Воронежский государственный университет, 2011 - 2014).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 21 научных работах, в том числе 11 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одной монографии. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат: [4] - доказательство разрешимости краевых задач; [7] - доказательство разрешимости начально-краевых задач; [8] — доказательство существования обобщенных собственных функции; [11] - доказательство разрешимости краевых задач; [16] - доказательство управляемости дифференциальной системой; [21] — доказательство корректности начально-краевых задач;[12] - результаты глав II, III и решение прикладных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 103 наименований, и приложения. Объем составляет 186 страниц (в том числе приложение на 37 страницах) и содержит 56 таблиц и 27 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, представлена информация об апробации работы.

В главе I проведен анализ современного состояния теории и практики методов моделирования и численного анализа диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах, представлены примеры наиболее типичных задач с подробными ссылками на проведенные ранее исследования. Рассмотрены модели гемодинамических процессов (диффузионные процессы гемодинамики на графе ССС, волновые явления в кровеносных сосудах), модели распространения волн по элементам антенных конструкций, указаны подходы к математическому описанию диффузионных процессов метаболизма клеток. Представлены общие принципы

математического описания указанных процессов, отмечена существенная ограниченность применения классических методов непрерывного анализа, обоснована необходимость использования обобщенных (слабых) решений начально-краевых задач для дифференциальных систем. В разделе «Выводы» указаны новые подходы для эффективного численного анализа таких математических моделей и смежных вопросов.

В главе II приведены ключевые понятия (слабая (обобщенная) производная, слабые решения), относящиеся к теории нового класса начально-краевых задач, представлены условия однозначной слабой разрешимости таких задач и непрерывной зависимости от исходных данных этих задач.

Рассмотрим связный ограниченный граф Г с ребрами единичной длины; ЭГ и ./(Г) - множества граничных и внутренних узлов, соответственно. Объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, обозначим через Г0; Г, = Гох(0,О (/е(0,Г)), Гг =Г0 х(0,Т), дГт = 5Г х (О,Т). Для каждого узла £е./(Г) через /?(£) обозначим множество ребер, выходящих из £, К<?) - множество ребер, входящих в узел каждое ребро у графа Г параметризовано отрезком [0,1]. Обозначим через С*(Г0) множество финитных, бесконечно дифференцируемых в Г(| функций; £2(Г) и ¿2(Г/) - пространства функций, интегрируемых с квадратом на Г и Гг, соответственно. Сужение функции /{х) (или /(х,1)) на ребро у будем обозначать через /(х)г (/(*,<)>.), интеграл от функции /(х) (или /(х,1)) по области Г (или Г,) понимается как сумма интегралов по всем у с Г (или у х (0, Т) с Гг). На протяжении всей работы рассматриваются измеримые функции и используется интеграл Лебега.

Определение 1. Обобгценной производной функции и(х) е ¿2(Г) называется функция и'(х) е (Г) такая, что шкет место равенство

Х^ <Ьс = —\и (х)г](х)сЬс, при любой функции 7](х) еС®(Г0). г & г

Пространство функций и(х) е ¿2(Г), имеющих обобщенную

производную первого порядка обозначим через Аналогично вводится

пространство 1У'(ГТ). Норма в пространстве ^'(Г) определяется выражением Рг/Р^,^ |[н2+(г/')2]й&г, в пространстве 1¥±(ГТ):

Г

+(и,)2+{их)г)с1хЛ. Далее, через 1Г12°(ГТ) обозначим

гт

пространство функций и(х,1) из 12(ГГ), имеющих обобщенную

производную первого порядка по х из Ь2(ГТ) и нормой определяемой

скалярным произведением (м,г)((,|0|Г = + С2( Гг) - множество

гт

всех функций и(х,()еИ^'°( Гг), имеющих конечную норму РиР2Гг = гтш'тах||м(д:,0|^(Г) + ||"1||^(/, ^ и непрерывных по 7 в норме 12(Г),

т.е. таких, что + ДО-мСх.ОЦ^^ ->-0 ПРИ Аг—»0 равномерно на [0,Г].

Обозначим через П0(а,Г) множество непрерывных во всех узлах 7(Г) функций и(х) класса (^'(Г), для которых сужение а(х)и\х) | непрерывно

во всех концевых точках ребер ук (к = \,т), принадлежащих множеству ./(Г), и удовлетворяются соотношения (лемма 2, глава II)

<М \)г МО) г

£ ^ а(0) —(1)

при этом м(дс)|теЛ-=0. Пусть [У-!0(а, Г) - замыкание множества О0(а,Г) по норме пространства 1У[г(Г). Обозначим далее через П0(а, Гг) множество функций и(х,() е У2(ГТ) а Ж210(Гг), чьи следы определены на сечениях области Г, плоскостью I = /п (/0е[0,Г]) как функции класса И^20(а, Г), значит, для каждого г/еГ20(я,Гг) при фиксированном Ге[0,Г] существует последовательность {и„} функций ип(х,() еС10(а, Г), сходящаяся в норме \У\(Г) к следу V, при этом ип(х,1),иг = 0 и удовлетворяют аналогичным (1) соотношениям

8и(\,г)у ди( 0,1)

£ ^ «(0)Гу—т-^^еЛГ) (2)

' 0х Г) 7 &

(условия согласования). Замыкание множества П0(а,Гг) в норме У2(ГТ), обозначим через У';Ц(а,Гт): Гг) а1У' "(Гт).

Далее исходим из свойства следов элементов 1У\ (Г,), а именно, они определены на каждом сечении Гг плоскостью / = /„ (1а е[0,Г]) как элементы ¿2(Г) и непрерывны по I в норме ¿2(Г) (§1, глава II). Замыкание множества функций и(х,1) е ^'(Г,), при фиксированном ?е[0,Г] принадлежащих классу Г), в норме Гг) обозначим 1У\й(а, Г7.):

Замечание 1. Пространства У^(а,ГТ) и ^20(а,Г7.) используются

при анализе начально-краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов, соответственно. В прикладных задачах гемодинамики соотношения (2) суть распределение кровопотоков в

разветвлениях графа ССС, в задачах тепломассопереноса (2) - баланс тепловых (диффузионных) потоков, в задачах, описывающих колебания упругих сетей (2) - баланс натяжений упругих континуумов, в задачах, описывающих npoifecc метаболизма клеток биологических структур, соотношения (2) устанавливают связи метаболических цепочек реакций.

Слабые решения начально-краевых задач, принадлежащие пространствам Оа,Гг) « W\s¡(aXT).

1. Для уравнения диффузии вида

а(х)Щ^\ + Ь{х)1М = Пх,() (3)

<3/ дх ^ дх

рассмотрим задачу нахождения решения м(л:,Г)еК2'"(а,Гт) в области Гг,

удовлетворяющего условиям (2) во всех внутренних узлах графа Г, начальному

и |,=0= <р(х\ х е Г, (4)

и краевому

«|1Т=0, 0<<< Г (5)

условиям с фиксированными функциями <р{х) е 12(Г), /(*,/) е 121(Гг) (¿2,(Гг)-пространство функций /(х,1)е Ь,(ГТ) с конечной нормой

V'2

Л.). Здесь а(х),Ь(х) - измеримые ограниченные

функции на Г: 0<а, <а(х)<а', |6(*)|<¿, хеГ.

Определение 2. Слабьш (обобщенным) решением краевой задачи (3)-(5) называется функг/ия и(х,Ое^Ц(а,ГТ), удовлетворяющая интеграль-

+

2.0 1 Т

ному тождеству |м(х, 1)г](х,г)ск + [( -и{х,/) г гД

+а(х) МЫ! дпШ) +

дх дх у г

+ ^/(х,1)г](х,!)с1хс11 длялюбых / е [О, Т] г! при любой функции Г,

Г!(х,1)&Шх1а(а,Гт).

Теорема 1. Пусть <р(х)еЬ2(Г), /(х,?)е/,21(Гг) и значения функции а(х) в концевых точках ребер, соединяюгцих два подграфа-звезды, равны. Тогда начально-краевая задача (3)-(5) слабо однозначно разрешима в пространстве ^'„(а,!^).

2. Рассмотрим далее для волнового уравнения

а2фг'° 5 .,)=/<*,0 (6)

дг дх [ дх

задачу нахождения решения ii(x,t)elV!g(a, Гг) в области Г т,

удовлетворяющего соотношениям (2) во всех внутренних узлах графа Г, начальным

Зи

и U0= <Р(Х\ — |,-о= е Г (7)

dt

и краевому (5) условиям; <р(х) е 1У2\(а, Г), i//(x)e /,,(Г), f(x,t) е ¿^(Г.,.); функции a(jc), b(x) удовлетворяют указанным выше предположениям.

Определение 3. Слабым решением начально-краевой задачи (5), (6), (7) называется функция u(x,t) е fV20(a, Гг), равная (р(х) при t = 0 и удовлетворяющая интегральному тождеству

= Ji//(j:)77(x,0)i& + | f (x,t)rj(x,t)cbcdt для любых rj{x,t) eW\0{a,YТ), равных г тт

нулю при t = T.

Теорема 2. Для любых <р(х) е ¡('¿„(а, Г), е ¿2(Г) и f(x,t)e ¿,,(Гг) начально-краевая задача (5), (6), (7) слабо однозначно разрешима в пространстве (F2'0( a, Г.,).

Завершается представленное в главе II исследование доказательством непрерывной зависимости от исходных данных <р(х), f(x,t) слабых решений | задач (3)-(5) и (5), (б), (7). Таким образом, представлен новый класс начально-краевых задач (3)-(5) и (5), (6), (7) с имеющими сильные особенности параметрами (а{х),Ь{х) - измеримые ограниченные функции на Г), для которых доказана однозначная слабая разрешимость и непрерывность по исходным данным <р(х)е1¥20(а,Г), ц/{х)&Ь2(Т) и f(x,t) е

В главе III изучается основной вопрос численного анализа начально-краевых задач, моделирующих диффузионные и волновые процессы в сетеподобных системах, - построение устойчивых разностных схем (устойчивость определяется в терминах нормы соответствующего пространства сеточных функций). Особенности нового класса начально-краевых задач, порождаемые не только спецификой структуры графа (в узлах графа дифференциальное уравнение заменяется на соотношения (2)), но и классами исходных данных а(х), Ь(х), <р{х), ц/(х), f{x,t), а также решений задач (используются слабые решения класса ¿2(Г7.)). Последнее потребовало замены классических разностных схем для начально-краевых задач соответствующими интегральными тождествами. Рассмотрим этот подход на примере задачи (3)-(5) для уравнения диффузии.

Разностная схема. Разобьем ребра у графа Г точками kh (к -натуральные числа, h> 0 - фиксированное число, равное длине

элементарного отрезка coh (ячейка), при этом считаем, что внутренние узлы £eJ(Г) графа входят в число таких точек. Множество точек {kh} назовем сеткой ГЛ графа. Представления правого и, (или их) и левого н, (или их) разностных отношений, разностные операции от произведения сеточных функций, а также разностные аналоги формулы интегрирования по частям остаются классическими (§ 1, глава III).

В пространстве сеточных функций, удовлетворяющих разностному аналогу условий (2) £ (ahux(k)) = £ (ahu-(k)) , рассмотрим следующую

разностную схему:

u,(k)-(ahux(k))x +bhu{k) = fh(k), (8)

1,[Л = О, (9)

сю)

Разностные уравнения (8) должны выполняться на слоях t = tк (k = \,N) в точках сетки ГЛ; равенства (9) выполняются для к = 0,1,...,7V; равенство (10) - в точках ГЛ. При этом в (10) сеточная функция <рк в точке

kh ячейки равна усреднению вида: (ph = - J <p(x)dx, взятому по

"kh

ячейке a\h. Аналогично строятся сеточные функции ah и bh. Сеточная функция fh{k) имеет следующий вид: МК) = ~ J f(x,t)dxdt, где

Гт(к,к0) = wlh х(к0т,(k0 +1 )r).

Замечание 2. Разностная схема (8)-(10) заведомо соответствует начально-краевой задаче (3)-(5) для решений из класса гладких функций (исходные данные а(х), Ых), tp(x),f(x,t) - гладкие функции; <ph = <p(kh),

fh(x) МК)= f(kh,kaT)). Для каждого слоя t = tk (k = l,N) разностная схема (8)-(10) являет собой линейную систему алгебраических уравнений относительно сеточной функции uh. При этом разностная схема (8)-(10) является схемой 1-го порядка аппроксимации по t, порядок аппроксимации по хзависит от порядков аппроксимаций и, (или их) и и- (или их) - 1-го или 2-го (глава III).

Система (8), (9) эквивалентна тождеству +ahuxrjx +bhuhrjh) =

г*

= для любых сеточных функций rjh, равных нулю на cVh, при

ri

г<1/6* система (8), (9) однозначно разрешима на слое t = tk (k = YjJ) для любых fh(k). Далее показана слабая сходимость в Ч^"(ГТ) приближенного

решения: из предыдущего тождества для слоев t = tk (k = \,N) следует

тождество J(-üa»7, + a^jjx+bjijjh)dxdt-^<pijb{ü)dx- Jfh77hdttÄ, здесь

гт г гт

символом «: » обозначены кусочно-постоянные интерполяции сеточных функций, функции t]h(k) равны нулю на ДГЛ при всех к и на слое t = T. Предельный переход по А-»0 и г—>0 приводит к интефальному тождеству в определении 2 слабого решения задачи .

Таким образом, имеет место центральное утверждение численного анализа начально-краевых задач (аналогичное утверждение справедливо и для волнового уравнения):

Теорема 3. Пусть для начально-краевой задачи (3)-(5) <р(х) е 1У20(а,Г), /(;с,г)е/,21(Г7), тогда разностная схема (8)-(10) однозначно определяет сеточную функцию uh при всех г < 1 /Ь' и ее интерполяции при h—»0 и г—>0 слабо сходятся к обобщенному решению u{x,t)&Vl^{a,YT) задачи (3)-(5), производные от интерполяций сходятся слабо в L2(Tt) к их(х,1)еЬ2(ГТ).

В § 4 данной главы представлены подробные алгоритмы отыскания слабых решений начально-краевых задач для уравнения диффузии и волнового уравнения, фрагмент их общей части представлен ниже:

1-й шаг. Построение сетки ГА графа Г, построение сетки Г'' х {/г} ( /=0,1,...,Аг = [77г],г<1/6*) области Гг.

2-й шаг. Представление сеточной функции ah в точке kh ячейки a>th

усреднением ah \x=kh = — j a(x)dx, (аналогичное представление имеет место и

для сеточной функции bh); вид усреднений <ph и fh(k) представлен на стр. 9.

3-й шаг. Построение соотношения ^(uTJjh+ahuxrjx+bhuhi]h) = ^y'ht]h

rj г*

(интегрального тождества), определяющего искомую сеточную функцию uh и отыскание решения uh при любых сеточных функциях rjh, при этом количество последних определяется числом точек kh в сетке Yh графа Г и числом временных слоев t = tk. Выбор % осуществляется из класса гладких

на Го х [0,7"] функций rj(x,t) с нулевыми значениями у г] и rf во всех узлах графа Г при любых фиксированных t е [0, Г].

4-й шаг. Построение кусочно-постоянной аппроксимации йн сеточной функция uh. В соответствии с утверждением теоремы 7 (§ 2, п. 2.4, глава III) при достаточно малом h (т.е. достаточно большом числе разбиений сетки ГА) кусочно-постоянная аппроксимация üh сеточной функция uh мало отличается от предельной (слабого решения) в норме пространства }У2"(ГТ).

5-й шаг. Завершение работы алгоритма осуществлятся по наперед заданному сколь угодно малому £>0, если выполняется условие где h\h" - фиксированные числа, например, h' = h9

h"<h.

В главе IV представлена структура программного комплекса (рис.1), реализованного в среде Borland-Delphi 7.0.

Проблемно-ориентированная часть

Задача описания диффузионных процессов

Задача описания волновых процессов

Выбор типа диффузионного процесса

Выбор типа волнового процесса

Выбор класса слабых решений

Ответ

Геометрическая интерпретация ответа

Вывод числовых таблиц ответа

Формирование информа цнонной среды

Инвари;

Задание архитектуры сети и сетевых характеристик задачи

Задание исходных данных задачи

Выбор метода решений

нтная часть

Библиотека сетей и алгоритмов

Библиотека сетей, число узлов разбиений ребер сетей

Библиотека алгоритмов метода сеток для разного типа сетей

Библиотека алгоритмов метода оптимизации для разного типа сетей

Рис. 1

Для проведения вычислительного эксперимента разработан комплекс проблемно-ориентированных программ (КПОП), состоящий из двух основных блоков:

- блок определения характеристик конкретной решаемой задачи (блок ХРЗ), содержащий следующие модули: библиотека сетей, исходные данные, типы дифференциальных систем, алгоритмы отыскания решения (оптимального решения), совокупности значений функционалов сравнения (целевых функций);

- блок графической интерпретации (визуализации) результатов вычислительного эксперимента (блок ГИЭ), содержащий следующие модули: интерпретация графов, числовые значения характеристик решаемых задач, рисунки.

На рис. 2 представлена обобщенная структурная схема комплекса КПОП. На рис. 3 и 4 представлены фрагменты работы блока ГИЭ применительно к конкретным прикладным задачам. На рис. 3 приведен стартовый вид пользовательского интерфейса, где указана возможность выбора типа исследуемой задачи, а также типа сети из представленной библиотеки сетей:

выбирается тип сети (графа), например, тип 2-2, затем, рис. 4, - выбор начальных и граничных условий, параметров задачи а(х), Ь(х) и З1г82,53.

Рис. 2

¡£ УУе»к5о1тюп40гарЬг ■ ■ ' .--_-

Диффузионные процессы в ССС | Волновые процессы в ССС

Выбор типа графа :

фаф - звезда (тип 1) [

граф - дерево (тип 2-1) |

-»Ч |Г граф-деревоТтип 2-2) |

Ту граф - перево (тип 3) |

Далее (установка параметров)

Рис. 3

Рис. 4 12

В диссертации представлены решения серии тестовых задач, описывающих диффузионные и волновые процессы в сетеподобных системах и ориентированных на прикладные задачи. Ниже - графическая интерпретация некоторых из них.

Задача переноса лекарственных веществ по графу ССС состоит в получении изменений концентрации С(х,0 лекарственного вещества с учетом диффузионных процессов кровопотока. В качестве математической модели процесса рассматривается начально-краевая задача (3)-(5).

а) граф ССС с тремя сосудами: Г - звезда с тремя ребрами ук (к = 1,3 ),

ЭС( 1,1) з дС(0,()у условие (2) принимает вид а( 1) ---!-=>йг(0) -параметры

1 ох ¿=2 к дх

задачи: а(х) = 1,х еук, Ь(х) = -2,хеук (к = 1,3); /(х,0 = 0,х (к = О); <р(х)=20(б.25х3 ~5х2 + х) ,х е [0,0.4] <=/, и ср(х) = 0,хе Г\{х}, х е [0,0.4] с у,. Геометрическая интерпретация процесса представлена на рис. 5, шаг по х равен 0.05, по / - 0.00125. Кривые соответствуют следующим значениям I : [1] -0.00, [2]-0.025, [3] — 0.05, [4] -0.075, [5]-0.1.

б) граф ССС с шестью сосудами: Г- дерево с двумя звездами

к = 1,2 - внутренние узлы), ребрами ук (к = 1,6); условия (2) принимают вид ЭС( 1,/) « дС{ 0,1). дС( 1,0. ' 8С( о,ог

параметрами а(х) = 1, 6(х) = -1,дс е ук (к = 1,6); функции/(х,0, <?(*) имеют вид случая (а). Геометрическая картина процесса представлена на рис. 6, шаг по х равен 0.05, по I - 0.00125. Кривые соответствуют значениям С: [1] -

Пульсовые волны кровопотоков графа ССС. Модель процесса формирования пульсовых волн П(х,0 описывается задачей (5), (6), (7) с

параметрами а(х) = 1, Ь(х) = 0, хе ук (к = 1,6) и графом ССС с шестью сосудами: Г- дерево с двумя звездами = 1,2 - внутренние узлы),

ребрами ук{к = 1,6); условия (2) принимают вид

ап(1,0Г|

дх

=5><о),

дх

а{ 1),

дх

« О,/)

ах

при

этом /(х,0 = 0,х е у1, к = 1,6, <р(х) = 0, ^(х) = со5Я"х+Зсол'2л-х, хеук, к = 1,4 и (¿/-(х) = 0,хеГ\{х} (хеук,к = 1,4).

Геометрическая интерпретация волнового процесса представлена на рис. 7, шаг по х равен 0.05, шаг по I - 0.00125. Кривые соответствуют значениям <: [1] - 0.00, [2] - 0.0625, [3] - 0.125, [4] - 0.1875, [5] - 0.25.

Рис. 7 Рис. 8

Рассмотрены задачи гемодинамики, относящиеся к классу оптимизационных: дозирование лекарственного вещества при транспорте к определенному органу (точки органа), стабилизация пульсовых волн в сосудах. На рис. 8 графом Г представлен фрагмент ССС: О - точка ввода лекарства, место доставки (орган) обозначено пунктирной линией, подграф Г = ^ и у5 — система сосудов органа; доза лекарственного вещества определяется параметром с в представлении функции <р(х) начального

ди(Ц) з ди(0,1)у

условия (4), условия (2) принимают вид: а(1)у -——— = / ,а(0)

дх

к=2

дх

«ох,—

дх

дх

ди(\,г) 7

дх

Ы 6

дх

Рис. 9

Задача дозирования лекарственных веществ. Необходимо определить дозу с лекарственного вещества для получения заданной концентрации ф{х) лекарства на Г. Параметры задачи (3)-(5): а(х) = 1, Ь(х) = 0; /(х,г) = 0,хеГ7.; ср(х) = с при хе [0,0.5] с у,, се [1,1 б] и <р(х) = 0 при хеГ\{х} (хе[0.0.5] с:у,). Вводимая доза с(с е [1,16])

определяется с точностью 10"3 и равна 3.99999, распределение концентрации по графу места доставки в момент времени ? = 0.2 представлена на рис. 9 (отличие от ф(х) в восьмом знаке).

Задача стабилизация пульсовых волн графа ССС. Необходимо определить дозу с лекарственного вещества для получения заданной формы пульсовой волны ф{х) на Г. Используется начально-краевая задача (5), (6), (7) с параметрами а(х) = 1,6(х) = 0(хеГ); /(х,г) = 0,хеГг; (р{х) = с при хе [0,0.5] с=Г|, сфЛб) и <з(х) = 0 при хеГ\{х} (хе [0,0.5] с/,); у/(х) = 0.\-с при хе [0,0.5] с?',, се[3,1б] и (¿/(х) = 0 при хеГ\{х} (х е [0,0.5] с у] )• Вводимая доза с(се[3,1б]) лекарственного вещества определяется с точностью 10"' и равна 5.00002.

Двухуровневая антенная система «мачта-растяжки». Задача состоит в получении амплитуд малых колебаний упругой механической системы - продольные колебания мачты и поперечные колебания поддерживающих мачтовых растяжек. Используется начально-краевая задача (5), (6), (7), Г - граф с двумя звездами, ребрами ук, к = 1,9, с двумя внутренними узлами ^, А: = 1,2 (рис. 10); условия (2) принимают вид

Уз Рис. 10

4 Эи(1,/)

(0),

'(0,0,

5>0),

ди( и)

ди (О, о

дх Хй К дх 4 7/» Эх

коэффициенты а(х),Ь(х) определяются соотношениями а(х) = 1, б(х) = 0, х е ук,к = 1,9 ;/(х,/) = 0,хе ук,к = 1,9; (р(х) = 0, у/(х) = со5;гх + Зсо52;тх, хеук,к = 19,и(0,1)Гк =0,^ = 14; и(1,ОЛ=0.

Геометрическая интерпретация изменения амплитуд колебаний и(х,1) представлена на рис. 11, шаг по х равен 0.05, шаг по / -0.00125. Кривые соответствуют следующим значениям I: [1] — 0.00, [2]-0.0625, [3] -0.125, [4]-0.1875, [4]-0.25.

Рис. 11

В работе представлены решения и других прикладных задач. Результаты вычислительных экспериментов в виде таблиц, описания и листинги прог-

грамм приведены в приложении. В заключении представлены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны новые математические методы моделирования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах, основанные на описании указанных процессов и явлений с помощью формализмов эволюционных дифференциальных систем с распределенными параметрами на геометрическом графе, представлены условия слабой однозначной разрешимости таких систем и непрерывности слабых решений по исходным данным.

2. Разработаны новые методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей в пространствах обобщенных (слабых) решений начально-краевых задач.

3. Исследованы вопросы аппроксимации конечно-разностными операторами, проведен анализ устойчивости разностных схем и сходимости разностного решения приближенной задачи к слабому решению точной.

4. Разработаны алгоритмы определения слабых решений начально-краевых задач с распределенными параметрами на графах, структура комплекса проблемно-ориентированных программ для ЭВМ.

5. Получены решения тестовых задач, ориентированных на задачи гемодинамики, теплофизики и колебаний сетеподобных объектов на базе разработанных алгоритмов.

6. Разработан и внедрен в учебный процесс математического факультета Воронежского государственного университета и факультета прикладной математики-теории управления С.-Петербургского государственного университета комплекс специальных курсов по направлениям «Начально-краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на геометрическом графе. Задачи управления» и «Управление медико-биологическими системами».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Список статей, рекомендованных ВАК РФ

1. Волкова A.C. Обобщенные решения краевой задачи для волнового уравнения на графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естествен, и техн. науки. - 2011. - Том 16, вып. 4 - С. 1050-1052.

2. Волкова A.C. Единственность решения одной задачи Дирихле на графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естествен, и техн. науки. - 2012. - Том 17, вып. 2 - С. 527-529.

3. Волкова A.C. Задача граничного управления сложносочлененной упругой системой струн [Текст] / A.C. Волкова // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - №4 (50). - С. 79-83.

4. Волкова A.C. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе [Текст]

/ A.C. Волкова, Ю.А. Гнилицкая, B.B. Провоторов // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - №1 (51). - С. 11-15.

5. Волкова A.C. Обобщенные решения краевой задачи для уравнения теплопроводности на графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник С.-Петербургского государственного ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. - 2013. - Выпуск 3. - С. 39-47.

6. Волкова A.C. Однозначная разрешимость начально-краевых задач с распределенными параметрами на графе [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естествен, и техн. науки. - 2013. - Том 18, вып. 5. -С. 2473-2475.

7. Волкова A.C. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе [Текст] / A.C. Волкова, В.В. Провоторов // Известия вузов. Математика. - 2014. - №3. - С. 3-18.

8. Волкова A.C. Устойчивость разностной схемы для эллиптического уравнения с распределенными параметрами на графе [Текст] / A.C. Волкова, O.A. Махинова // Системы управления и информационные технологии. -2014.-№1(55). - С. 19-22.

9. Волкова A.C. Аппроксимация краевой задачи для эллиптического уравнения с распределенными параметрами на графе [Текст] / A.C. Волкова // Системы управления и информационные технологии. -2014. - № 1.1 (55). - С. 117-121.

10. Волкова A.C. Математическая модель переноса вещества по графу кровеносных сосудов при наличии диффузии [Текст] / A.C. Волкова // Вестник Тамбовского ун-та. Серия: Естественные и технические науки. -2014. - Том 19, вып. 2. - С. 597-599.

11. Volkova A.S. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs [Text] / A.S. Volkova, Yu.A. Gnilitskaya, V.V. Provotorov // Automation and Remote Control. - 2014. - Vol. 75. №2.-P. 405-412.

Монография

12. Провоторов B.B. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе [Текст] / В.В. Провоторов, A.C. Волкова. — Научная книга, 2014. - 188 с.

Статьи и материалы конференций

13. Волкова A.C. Об одной краевой задачи для волнового уравнения в пространстве ¿2 [Текст] / A.C. Волкова // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования. ПМТУММ-2011. - Воронеж: Изд. Воронежского государственного ун-та. -2011.-С. 61-63.

14. Волкова A.C. Фредгольмова разрешимость в классе задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на графе-звезде [Текст] / A.C. Волкова // Математика и ее приложения: ЖИМО. -2011. - 1(8). - С. 15-28.

15. Волкова A.C. Обобщенное решение краевой задачи для эллиптического уравнения на графе [Текст] / A.C. Волкова // Изв. Института математики и информатики Удмуртского государственного ун-та. - 2012. - 1(39). - С. 28-30.

16. Волкова A.C. Задача граничного управления дифференциальной системой на графе [Текст] / A.C. Волкова, В.В. Провоторов // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного ун-та. - 2012. -1(39). - С. 30-32.

17. Волкова A.C. Обобщенные решения для эллиптического уравнения в задачах граничного управления на геометрическом графе [Текст] / A.C. Волкова // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. - СПб.: Изд. Дом С.-Петербургского государственного ун-та.-2012.-С. 14-20.

18. Волкова A.C. Краевая задача для эллиптического уравнения на графе в соболевских пространствах [Текст] / A.C. Волкова // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования. ПМТУММ-2012. - Воронеж: Изд. Воронежского государственного ун-та.-2012.-С. 73-76.

19. Волкова A.C. Об управлении дифференциальной системой в классе обобщенных решений на графе [Текст] / A.C. Волкова // Математика и ее приложения: ЖИМО. - 2012. - 1(9). - С. 15-24.

20. Волкова A.C. Обобщенные решения краевой задачи для уравнения параболического типа на произвольном графе [Текст] / A.C. Волкова // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. - СПб.: Изд. Дом С.- Петербургского государственного ун-та. - 2013. -С. 14-19.

21. Волкова A.C. Однозначная разрешимость начально-краевых задач для дифференциальных систем с распределенными параметрами на графе [Текст] / A.C. Волкова, В.В. Провоторов // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий. ПМТУКТ-2013. -Воронеж: Изд. Воронежского государственного ун-та. - 2013. - С. 68-72.

Подписано в печать 26.0g.14. Формат 60><84 7,6. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 693.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3