автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численное исследование процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями

9 15-1/176

Гнилицкая Юлия Александровна

На правах рукописи

Ф

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В СЕТЕПОДОБНЫХ ОБЪЕКТАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2015

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент, Провоторов Вячеслав Васильевич

Официальные оппоненты:

Жабко Алексей Петрович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет», заведующий кафедрой теории управления

Арзамасцев Александр Анатольевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина», заведующий кафедрой компьютерного и математического моделирования

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО «Южный Федеральный университет» (г.Ростов-на-Дону)

Защита состоится «21» сентября 2015 года в 11-00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу 394026, г. Воронеж, Московский просп., д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» и на сайте wwvv.vorstu.ri)

Автореферат разослан «21» июля 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета -^(¡//^ Барабанов В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ,, ;< ^

Актуальность темы. При математическом описании физйческих-процессов и последующего анализа их математических моделей возникла необходимость в замене классических постановок начально-краевых задач обобщенными (не использующие аппарата непрерывных функций), более точно отражающими физическую сущность явлений, описываемых эволюционными уравнениями. К тому имелось два различных источника. Первый -многомерные вариационные (оптимизационные) задачи. При их исследовании столкнулись с необходимостью расширить класс функций (пространств), среди которых ищется минимум и допустить к сравнению наряду с гладкими функциями и суммируемые функции, обладающие обобщенными производными. Вторым (и основным) источником явились эволюционные процессы гидродинамики. Сложности возникли в описании и анализе течения многофазных сред в сетях и сетеподобных конструкциях (трубопроводы, сетевые гидросистемы, кровеносные системы живых организмов и пр.). Разветвленные потоки имеют не только фиксированные внешние границы (стенки каналов, поверхности обтекаемых тел), но и внутренние поверхности раздела — межфазные поверхности раздела, изменяющиеся в пространстве и времени. Как показывают исследования Л.Г. Лойцянского, С.С. Кутателадзе, М.А. Стыриковича, A.M. Архарова, И.В. Марфенина, Е.И. Микулина, Г. 5 1 Уоллеса, на границах раздела фаз возникают скачки давления, температуры и вектора скорости. Последовательные аналитические методы (в рамках классического анализа на базе гладких функций) для таких систем в настоящее О время отсутствуют — существуют фрагментарные результаты, так как в ^ потоках со сложным характером течений имеется ряд областей, замкнутых О) границами раздела, где возникают трудности, связанные с описанием yj изменения как геометрии границ, так и их (границ) месторасположении в потоке, носящем вероятностный характер. В качестве примера тому можно привести кровь в кровеносной системе живого организма, состоящей из ньютоновской несущей фазы — плазмы с определенным динамическим коэффициентом вязкости — и переносимых плазмой кровяных телец. К упомянутым сложностям следует присоединить и дополнительные, относящиеся к описанию структуры сетеподобного объекта.

Диссертационная работа Гнилицкой Ю.А. выполнена в рамках научной темы «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный № 0120.0853009.

Цели и задачи исследования. Целью работы является развитие конструктивных методов анализа моделей и численных методов (алгоритмов) исследования процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями.

Для достижения цели в работе ставятся и решаются следующие основные задачи:

О) 00

— разработка нового системного подхода к анализу моделей эволюционных процессов в сетеподобных объектах на основе существующих классических методов анализа эволюционных уравнений параболического типа;

— разработка и исследование начально-краевых задач (линейных и нелинейных) для эволюционных уравнений параболического типа в пространствах С.Л. Соболева, корректность постановок указанных задач: существование и единственность турбулентного решения задачи, непрерывность решения по исходным данным;

— разработка конструктивных методов решения задач оптимизации эволюционных процессов в сетеподобных объектах: существование и единственность оптимума, анализ управляемости по исходным данным;

— разработка численных методов, адаптированных к отысканию турбулентных решений начально-краевых задач и решений задач оптимизации эволюционных процессов, имеющих особенности, присущие как архитектуре сетеподобных объектов, так и исходным данным задач;

— разработка комплекса алгоритмов отыскания турбулентных решений и решений задач оптимизации, отличающихся возможностью учитывать структурные особенности моделей: выбор классов решений, архитектура сетеподобных объектов, типы исходных данных;

— разработка структуры программного комплекса для решения задач анализа эволюционных процессов в сетеподобных объектах, включающую рекомендации по использованию различных типов сетеподобных объектов и классов турбулентных решений.

Методы исследования основаны на использовании современных методов теории математического моделирования, функционального анализа, приближений и аппроксимаций дифференциальных уравнений с частными производными, теории графов.

Тематика работы соответствует следующим пунктам Паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Научная новизна. В работе получены следующие характеризующиеся научной новизной результаты:

— новый системный метод анализа моделей процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями, отличающийся возможностью использовать пространства суммируемых с квадратом функций для интерпретации негладких особенностей турбулентных решений;

— конструктивные методы анализа нового типа начально-краевых эволюционных задач (линейных и нелинейных), отличающиеся особенностью, состоящей в универсальности подхода для получения условий существования и единственности турбулентных решений этих задач, непрерывности их по исходным данным, что открывает возможность использования классических методов как теории аппроксимации, так и теории оптимизации;

— единый подход к исследованию задач оптимизации эволюционных процессов в сетеподобных объектах, отличающийся анализом существования и единственности оптимума, управляемости по исходным данным задачи, что открывает пути использования классических методов оптимизации;

— комплекс численных методов, адаптированных к отысканию турбулентных решений начально-краевых задач и решений задач оптимизации, отличающийся полным обоснованием получения приближений таких решений (анализ аппроксимаций, сходимостей), что дает возможность с заданной точностью определять их, учитывая особенности, присущие как архитектуре сетеподобных объектов, так и исходным данным задач;

— комплекс алгоритмов отыскания турбулентных решений и решений задач оптимизации, отличающихся учетом особенностей математических моделей: различные классы допустимых решений, архитектура сетеподобных объектов, типы исходных данных, что дает возможность осуществлять вычислительную деятельность широким кругом исследователей;

— структура программного комплекса для решения задач анализа эволюционных процессов в сетеподобных объектах, отличительной особенностью которого является наличие информационной среды для различных типов сетеподобных объектов, классов турбулентных решений и решений оптимизационных задач, рекомендаций по выбору пути отыскания решения таких задач, что унифицирует и существенно упрощает работу пользователя.

Практическая значимость работы. Представленные в диссертации конструктивные методы и подходы анализа начально-краевых задач математических моделей эволюционных процессов в сетеподобных объектах с одной стороны в большей степени точности отражают физическую сущность явлений, с другой дают возможность полного анализа математической модели: существование и единственность решения, непрерывная зависимость от исходных данных. Полученные результаты могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении ряда прикладных задач, присущих сетеподобным объектам. Разработанные численные методы составили алгоритмическую основу для программного комплекса, позволяющего решать прикладные задачи разного типа - перенос веществ по кровеносной системе человека, перенос вязких многофазных сред в гидросетях и гидросистемах.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе математического факультета Воронежского государственного университета, факультета

прикладной математики — процессов управления С.-Петербургского государственного университета, Института математики, физики, информатики Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина при подготовке студентов по специальностям «Прикладная математика» и «Математика».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы

докладывались на научных конференциях и семинарах: ХЫИ, ХЫУ, ХЬУ Международные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2012, 2013, 2014), Международная научная конференция «Колмогоровские чтения - VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013), VII Международная научная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий. ПМТУКТ-2014» (Воронеж, 2014).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 научных работах, в том числе 7 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат: [2] -доказательство разрешимости краевых задач; [3] - доказательство существования обобщенных собственных функций; [4] - доказательство управляемости дифференциальной системой; [13] - доказательство разрешимости начально-краевой задачи для параболического уравнения на пространственной сети.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 93 наименований, и приложения. Объем составляет 216 страниц (в том числе приложение на 55 страницах) и содержит 85 таблиц и 38 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается описание предмета исследования, формулируются цель и задачи, научная новизна и значимость результатов, структура работы.

В главае I очерчен круг исследуемых вопросов при описании эволюционных процессов в сетеподобных объектах, возникающих при анализе динамики многофазных сред с точки зрения современной позиции качественной теории эволюционных уравнений на сетях. Указаны новые подходы анализа эволюционных процессов в сетях и сетеподобных объектах, математическое описание которых формализмами начально-краевых задач для систем эволюционных уравнений использует в качестве множеств изменения пространственной переменной геометрические графы (сети), а в более общем случае - сетеподобные области эвклидова пространства М". Разработаны новые подходы для численного анализа таких процессов и связанных с ними задач оптимизации прикладного характера. Таким образом, представлен новый системный метод анализа моделей процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями, отличающийся возможностью

использовать пространства суммируемых с квадратом функций для интерпретации негладких особенностей турбулентных решений.

В главе II содержатся основные теоретические результаты диссертации, представлены математические модели эволюционных процессов в пространственных сетях и сетеобразных объектах, описываемые формализмами начально-краевых задач для эволюционных уравнений с распределенными параметрами на произвольном геометрическом графе либо на сетеподобных областях М". Показано принципиальное отличие от классических подходов в понимании турбулентных решений, обусловленное классами исходных данных: функции, используемые при интерпретации характеристик процесса, не являются не только дифференцируемыми, но и непрерывными (кусочно-непрерывными). Основные результаты главы посвящены построению пространств турбулентных решений, корректной разрешимости по Адамару указанных выше задач в этих пространствах: теоремы существования и единственности турбулентных решений, определение условий, гарантирующих непрерывность решений от исходных данных задач.

Обозначим через Г геометрический граф (сеть); ЭГ - множество граничных и У(Г) - внутренних узлов £; Г0 =Г\(9ГиУ(Г); Гг =Гох(0,Г) (Г, =Г0х(0,Г)); дГТ =дГх(0,Т); каждое ребро у <= Г параметризуется параметром хе[0,1]еК'. Для сетеподобной области 3 = через

* I

обозначены поверхности, разделяющие смежные области , параметризуемые

переменной хеК", п> 2.

Математическая модель эволюционного процесса в сети Г, использующая эволюционное уравнение параболического типа представляется линейной начально-краевой задачей в области Г> = Гх[0,7]:

^ " + **>**•'> = е Гг- О >

д( дх{ ах ) ^ ду{ 1,0,. _ ¿МО,о,.

(2)

И-о=у(*). *еГ> (3)

Неаг=0. 0</<Г; (4)

коэффициенты а(х) и Ь(х), характеризующие внутренние свойства эволюционного процесса (например, плотность, вязкость и пр. текущей среды)

— фиксированные измеримые ограниченные на Г0 функции, суммируемые с

квадратом: а,<а(х)<а', \Ь(х)\<р, хеГ0 (а„а',/3 — фиксированные положительные постоянные); соотношения (2) — условия согласования во всех узлах £е./(Г) (Л(^) — множество ребер, ориентированных "к узлу г(£)

— множество ребер ориентированных "от узла £", и(-)г — сужение функции м(-) на ребро у); соотношения (3) — начальные, (4) — краевые условия.

Математическая модель эволюционного процесса в сетеподобном объекте 3 представляется нелинейной начально-краевой задачей в замкнутой области Зт- (Зт = Зх(0,Г)):

^-уД Y+YY^ = f-Sradp, (5)

Э/ м дх,

сИ\У = О

1^ = 0

М дх.

(6)

(7)

, Эи, V Щ Г(х,0) = Г0(х),хеЗ, (8)

^1аз=0; (9)

в гидродинамических эволюционных процессах соотношения (5), (6) - уравнения Навье-Стокса в области |^3А х (0,7) для несжимаемой среды с вязкостью

к

V > 0 (У(х,1) = {У|(х,/).....У (х,/)} — вектор скорости гидравлического потока,

р(х,/) — давление в потоке); (7) — условия сопряжения (5/ и — односторонние поверхности для Я,, определяемые направлением нормалей и,", и* к поверхностям 5,", 5,+ ); (8) — начальные и (9) — краевые условия.

Для задач (1) - (4) и (5) - (9) вводятся понятия турбулентных решений следующими определениями.

Определение 1. Турбулентным решением начально-краевой задачи (1)—(4) называется функция у(х,1) е УЩ(а,Гт), удовлетворяющая соотношению

¡у(х,/)г1(х^х+ + =

г г< (10) = |у(*)?7(*,0)Л/)аЬи// г г, для любой г](х,1)е 1У10(а,Гт) и при любом /е[0,Г].

Здесь е.(у,г7)= П а(х)^Х'Г) +Ь(х)у(х,0т}(х,0 \dxdt. Элементами

А дх дх )

I

пространства Гг) являются функции у(х,1), непрерывные по переменной /£[0,7] и для каждого фиксированного / принадлежащие ^(Г) вместе с обобщенной производной причем у(х, () удовлетворяет

условиям (2) и (4). Элементами пространства ^0(а,Гг) являются функции ??(х,/) из £з(Гг) с обобщенными производными г/х(х,1), Т],(х,1) также из ^(Гу.), причем /;(х,/) удовлетворяет условиям (2) и (4).

Определение 2. Турбулентным решением начально-краевой задачи (5)—(9) называется пара (Y,p). При этом функция Y(x,t)eV^(3T) удовлетворяет соотношению

{Y{x,t),Vix,t)) ~ \Y{x,T)dv(*'T) dxdr + v jp(Y,V)dT +

3, VT 0

(11)

+jp(Y,Y,n)dT = (Y0(x),T](x,0)) + lf(x,TMx,T)dxdT

о 3,

для любых /е[0,Г] и любых r](x,t) = {??,(*,/),...,U„(x,t)} е И^о^г) > а функция p(x,t)eW(ZT).

" tdY дп " г dY.

Здесь p{Y,rj) = У [ J ' dx, p(Y,Y,T])=Y\Yi—LTi(dx. Пространство

,.J=1J дх: Эх, дхк

S'(37) — сопряженное пространство к S(3r) (элементы Э(3Г) суть бесконечно дифференцируемые в Зг функции с компактным носителем также из Зг). Элементами пространства являются функции Y(x,t),

непрерывные по переменной fefO.r] и для каждого фиксированного t принадлежащие вместе с обобщенной производной Yx(x,t)e ¿¿(З),

причем Y(x,t) удовлетворяет условиям (7), (9). Элементами ^„(а,^) являются функции T](x,t) из ^(Зу.) с обобщенными производными rjx(x,t), rj^Xyt) также из Z^(3r), причем T)(x,t) удовлетворяет условиям (7), (9).

Полученные в § § 2—4 результаты, позволили доказать следующие центральные утверждения, лежащие в основе обоснования представленного в главах III и IV численного исследования эволюционных процессов.

Теорема 1. Начально-краевая задача (1)—(4) имеет единственное турбулентное решение y(x,t) е У'^(а,ГТ), непрерывно зависящее от исходных данных f(x,t) и v(x).

Теорема 2. Существует по меньшей мере одно турбулентное решение начально-краевой задачи (5)—(9) при произвольном (конечном) Т> 0. При этом, если размерность области 3 равна 2, то начально-краевая задача (5)—(9) допускает единственное турбулентное решение класса Турбулентное решение начально-краевой задачи (5)—(9) в

пространстве непрерывно зависит от исходных данных f(x,t) и

Y0(x).

Замечание. Корректность постановки задач (1)—(4) и (5)—(9) является прямым следствием утверждений теорем 1 и 2.

Итак, разработаны конструктивные методы анализа нового типа начально-краевых эволюционных задач (линейных и нелинейных), отличающиеся особенностью, состоящей в универсальности подхода для

получения условий существования и единственности турбулентных решений этих задач, непрерывности их по исходным данным, что открывает возможность использования классических методов как теории аппроксимации, так и теории оптимизации

В рамках главы III для дифференциальной системы (1), (2) в области Гг, и системы (5)—(7) в области 3Т, ставятся и анализируются оптимизационные задачи эволюционных процессов в пространствах состояний, определяемых для каждой из указанных систем, т. е. в пространствах У^(а,Гт), У2°(а,Гт) (линейный случай) и У^(а,Зт), ^'"(а.З,.) (нелинейный случай).

Обозначим через U = ¿2(Г) пространство функций, которому принадлежат функции v(x) {функции воздействия на систему (1), (2)); К2'0°(а,Г7) — пространство состояний системы (1), (2), т.е. многообразие турбулентных решений ^(v)(x,i) начально-краевой задачи (1)—(4) при различных стартовых условиях v(jc), являет собой пространство У^(а,ГТ). Пусть С :У2о(а,Гт)—> £2(Г) — линейный непрерывный оператор (оператор наблюдения, Ь2(Г) — пространство наблюдений), для определенности будем считать, что наблюдением является y(v)(x,T) (Cy(v)(x,t) = y(v)(x,T)), называемое финальным, возможны и иные типы наблюдений (а, значит, иные типы задач оптимизации); J(v) — функционал (функция стоимости или штрафная функция), требующий минимизации на выпуклом замкнутом

2

множестве Ue<rU, имеет вид: J(v)=||^(v)(jc,7')-z0(j(:)||^r^ +(М>,у)и; где

N\V—>U — линейный непрерывный эрмитов оператор, (Nv.v^ >g|| v^ (g >0 — фиксированная постоянная); z0(x) е £2(Г) — заданное наблюдение.

Задача стартовой оптимизации системы (1), (2) состоит в отыскании min J(v); v'eUä — оптимум (доставляет минимум функционалу J(v)).

veUa

Теорема 3. Задача стартовой оптимизации системы (1), (2) по стартовым состояниям v(x) е HJ имеет единственный оптимум v* е Ua: J(v') = min J(v) и является корректно разрешимой.

ve\Jg

Доказательство теоремы основано на утверждении теоремы 1 (непрерывность J(v) по у), присутствие слагаемого (Nv,v)v в представлении J(v) гарантирует коэрцитивность квадратичной компоненты функционала J(v), откуда вытекает справедливость второго утверждения теоремы.

Здесь же рассмотрены вопросы управляемости системы (1), (2) по стартовым состояниям v{x) е U .

Определение 3. Эволюционная система (1), (2) называется управляемой (в момент времени Т), если наблюдение Cy(v) заметает подпространство,

плотное в пространстве наблюдений ¿2(ГТ), когда стартовое состояние V пробегает все пространство и.

Теорема 4. При выполнении условий теоремы 1 эволюционная система (1), (2) состояние которой определяется как турбулентное решение начально-краевой задачи (1)—(4) в пространстве (а,ГТ), управляема.

Замечание. Перенос функции воздействия у(х) в граничные условия (4) (у^др = у(х), О<(<Т) приводит к задаче граничной оптимизации системой (1)—(2). Если в (1) = (^(0 линейный оператор, ¿е[0,Г]) —

приходим к задаче распределенной оптимизации. Для таких задач также справедливы утверждения теорем 3 и 4, представлены необходимые и достаточные условия существования оптимума у'(лг) (в терминах сопряженного состояния) и соотношения, определяющие этот оптимум. Проведен анализ управляемости системой (1)—(2) и получены условия сведения к конечномерной оптимизационной задаче, естественной для многих задач прикладного характера.

Постановка задачи стартовой оптимизации (а также других задач оптимизации) для системы (5)—(7) аналогична таковой для системы (1)—(2), но анализ ее в силу нелинейности уравнения (5) сильно ограничен недостаточностью инструментов исследования. Остаются принятые выше обозначения и терминология, при этом заменяются Г на 3, Гг на 3^, пространство ^(Г) на ¿2(3) и Гг) на ^'"(З^). Для задачи стартовой

оптимизации системы (5)—(7) справедлив аналог утверждения теоремы 3. Для линеаризованной системы (5)—(7) имеют место все приведенные в замечании результаты.

Таким образом, представлен единый подход к исследованию задач оптимизации эволюционных процессов в сетеподобных объектах, отличающийся анализом существования и единственности оптимума, управляемости по исходным данным задачи, что открывает пути использования классических методов оптимизации.

В главе IV численные методы отыскания турбулентных решений начально-краевых задач изложены в применении к ряду прикладных эволюционных задач, однако, обладая большой общностью, они применимы и к широкому классу иных задач. При этом освящены ключевые вопросы численного анализа — вопросы сходимости упомянутых методов, а также описаны границы и даны рекомендации применимости каждого метода. Представлены общие подходы и методы к решению задач оптимизации разного типа. Глава завершается представлением серии разработанных алгоритмов по каждому из указанных методов.

Метод Роте. Полное обоснование метода проведено для линейных систем типа (1), (2) и линеаризованных систем (5)—(7): линейность дифференциальных операторов указанных систем гарантирует наличие априорных оценок для турбулентных решений, дающих возможность

установить единственность и слабую сходимость приближений в классе допустимых состояний системы. Вывод: метод Роте эффективен при численном анализе линейных систем.

Метод аппроксимации с малым параметром. В работе представлен и обоснован подход, где показано, каким образом нелинейная задача (5)—(9) аппроксимируется "близкой" (возмущенной, с малым параметром), которая является задачей типа Коши-Ковалевской, и для турбулентных решений которой можно построить априорные оценки, аналогичные линейному случаю. Вывод: метод аппроксимации с малым параметром эффективен при численном анализе нелинейных систем, не являющихся системами типа Коши-Ковалевской (например, система Навье-Стокса).

Метод Галеркина. Является универсальным конструктивным методом отыскания приближений турбулентных решений — освобожден от построений разностных схем и базируется на возможности построения счетного базиса в пространстве допустимых турбулентных решений: таковым является система обобщенных собственных функций соответствующей краевой задачи. Вывод: универсальный метод Галеркина эффективен только при условии эффективного построения специального базиса.

Приведем общее описание алгоритма отыскания турбулентных решений эволюционных начально-краевых задач на примере метода аппроксимации с малым параметром (описание алгоритмов остальных методов аналогичны).

Алгоритм метода аппроксимаций. Для начально-краевой задачи (5)—(9) строится возмущенная задача с малым параметром е> О (е — произвольное фиксированное, наперед заданное число), у которой уравнения (5), (6) заменены на (У(х,0 = ^(*>0. />(*.') = А (*>')) ЛУ " ЯУ 1

—-уД У + + + = (12)

о1 ~7 дх, 2

е^ + еИуУ = 0. (13)

3?

Этапы алгоритма:

1. Формирование сетки 3А для сетеподобной области 3 и сетки Зл х {гг},

/ = 0,1,...,# = [77г] (г< —) для Зг; со, — ячейки 3*, со , х{г'г} —для 2р . <

сетки Зг. Разностные отношения по переменным х = {х1,хг,...,хп} и ( — общепринятые.

2. Интегралы по Зг в (11) заменяются суммами по ячейкам а , х{/г}. В

пределах каждой со , х {¿г} функции и т]11 для каждого ? е {/г} заменяются

*/"/

- . дУ(х,0 3!7(х,0 кусочно-постоянными функциями и 77а, а - и - — кусочно-

дх) дх1

постоянными аппроксимациями разностных отношений. Включение

€ О^'^г) осуществляется выполнением конечно-разностных аналогов для условий (7), (8) и обращении в нуль и г)л и т}н ) на 53.

3. Алгебраические системы для искомой пары сеточных функций (, ) на каждом временном слое 1 = (к (к = 1,2,соответствующие уравнениям (12) и (13), имеют следующие представления

+ А* РыЧь) + Р-н (V^.»7*) - Е = Е^7?/.'

3; + + з; к --1 ' '

(14)

(15)

3" 3" V ' )

(3* — множество ячеек аз , , принадлежащих сетке 3Л) для всевозможных

*Л

функций /7Ь, определенных на 3Л и равных нулю на ЭЗ'1.

4. Отыскание решения Ун, рн системы (14), (15) при любых указанных на предыдущем слое 1 = 1к функциях г)ь, число функций г)н, определяется

числом точек-узлов сетки 3Л.

5. Работа алгоритма завершается, если выполнено условие

и и - ии.

¿(ЗД

< е, где И',Л" > 0 и е > 0 — фиксированные числа (Л' ф И").

Алгоритмы отыскания решений задач оптимизации.

Решение любой задачи оптимизации гидродинамических процессов разделяется на три основные части:

1) определение множества состояний дифференциальной системы, описывающей указанный процесс;

2) формирование оператора наблюдения, обладающего необходимыми свойствами;

3) формирование функционала (функции стоимости) и определение его оптимума.

Общая схема алгоритма отыскания решений задач оптимизации определяется следующими этапами:

Проблемно-ориентированная часть

Задачи расчете полей скоростей ламинарных и турбулентных потоков Оптимизационные задачи

Выбор типа потоков Выбор типа оптимизационной задачи

Ответ

Формирование даннных для графической интерпретации Формирование таблиц результатов

Инвариантная часть

Формирование Бибилиотека сетей

информационной среды и алгоритмов

Выбор типа архитектуры и параметров сети

Задание исходных данных задачи

Бибилиотека сетей

Решение задачи

Бибилиотека алгоритмов решения задач на сетях

Бибилиотека алгоритмов решения оптимизационных задач

Рис. 1

1. Задание функции у(х)еиа, определяющей исходные данные для

установленной начально-краевой задачи.

Определение топа графа: граф-звезда (3 ребра); граф-дерево (6 ребер); граф-дерево (7 ребер).

Определение типа задачи оптимизации: по начальным условиям; по граничным условиям

: ^ начало ^

Определение типа графа: граф-звезда |3 ребра); граф-дерево (6 ребер); графдерево 17 ребер).

Определение типа

задачи: ламинарные потоки; турбулентные потоки

^ начало ^

Заполнение начальных и граничных условий, выбор количества параметров

У

Коэффициенты

начальных и

а(х), е граничных

условий

Формирование данных для геометрической интерпретации

Графическое

результатов

У

Формирование результатов

Рис. 2

^ Конец ^

Формирование

данных для геометрической интерпретации

Рис. 3

2. Определение турбулентного решения м(х,г) = м(у)(х,/) начально-краевой задачи, выбор соответствующего алгоритма.

3. Формирование оператора наблюдения С для полученного состояния м(у)(х,/).

4. Формирование функционала J(v) и множества его значений на состояниях и(у)( х,1).

5. Проверка необходимых и достаточных условий

существования оптимума функционала ./(у).

6. Отыскание оптимума у*(х) из соотношений, определяющих оптимум.

Таким образом,

Рис.4

разработан комплекс численных методов и алгоритмов, адаптированных к отысканию турбулентных решений начально-краевых задач и решений задач оптимизации, дающий возможность с заданной точностью определять их,

учитывая особенности, присущие как архитектуре сетеподобных объектов, так и исходным данным задач.

В главе V для решения задач представлен программный комплекс, разработанный в среде Delphi 2010, схема которого приведена на рис.1.

Комплекс проблемно-ориентированных программ включает в себя следующие основные блоки: 1) блок определения параметров конкретной задачи: задание исходных данных, выбор типа сети, а также алгоритмов решения задач, вывод числовых результатов; 2) блок графической интерпретации: формирование данных для графического представления результатов вычислений на основе исходных данных, построение рисунков.

Структурные схемы алгоритмов решения задач комплекса представлены на рис. 2 и 3. Фрагменты работы блока графической интерпретации приведены на рис. 4. Представлен начальный вид пользовательского интерфейса, позволяющий выбрать тип решаемой задачи, а также тип сети. Далее, в зависимости от выбора исходных данных и параметров задачи, происходит формирование численных расчетов и данных для визуализации, построение рисунков.

Итак, разработана структура программного комплекса для решения задач анализа эволюционных процессов в сетеподобных объектах, с наличием информационной среды для различных типов сетеподобных объектов и рекомендаций по выбору пути отыскания решения таких задач.

В

работе решения описания

диссертационнои представлены результаты

прикладных эволюционных задач, некоторых из них приведены ниже.

1. Задача расчета полей кровеносной системе, представленной ориентированным Дифференциальная система (1)—(4) описывает математическую модель движения среды в сети кровеносной системы. Давление в сети изменяется. Уравнение (1) заменяется на систему

Рис. 5

скоростей ламинарных потоков в

связным графом.

dy(x,t)_d_f дх{

8t

. dp(x,t)

а(х)

Sy(x,t) дх

да-лмх

ох

dt дх Г — граф-звезда с семью ребрами Коэффициенты а(х) = 1, £ = 0.1;

YjU = 1.7). /(*,/) = 0,

Рис. 6

xe7j(j = 1,7). Здесь (2) имеет вид я(1)Г|

Г\ _

дх

Л шог.

£а(0) --'l

J-2

дх

j=4 J

dy(0,t)r

«0)Г.

dy(Ut),

дх

' dy(0,t)

% '' дх

xeyj(J = 1.7), /?|хеаг=2, v(x) = 0.5x -x + 0.5x,xe ft, v(x) = 0,xe^.(y = 2,7).

На рис. 5, 6 представлена графическая интерпретация расчетов. Шаг по х равен 0.05, по t — 0.006. Кривые соответствуют значениям f на рис. 5: [1] —

0.000, [2] - 0.006, [3] - 0.013, [4]—0.019, [5] -0.025, [6] - 0.031, [7] - 0.038; на рис.6: [I]—0.075, [2] - 0.100, [3] - 0.013, [4] - 0.150, [5] - 0.180.

2. Задача расчета полей скоростей турбулентных потоков многофазных сред в сетеподобных объектах.

1). Случай одномерной сетеподобной области.

Сеть представлена ориентированным связным графом, дифференциальная система,

описывающая математическую модель движения среды, имеет вид задачи 1, где первое уравнение

Рис. 7

системы заменяется на

ЭК*, 0 dt

д_ дх

а(х)

dy(x,t) дх

дх 2 дх дх

Г ■— граф-звезда с шестью ребрами YjU = 1,6). Здесь (4) имеет вид

ЭК1Д _

«(1)

" дх

dyQ,t\

;-r') J

дх

и

е = 1,

дх

J-2

б dy(0,t)

-5X<V-^

J-5

/(*,/)- 0.

дх

Рис. 8

v(x) = -0.75x2+l,

xsyv

а{х) = \,р = \,

^0 = 1,6); v(x) = 0.25, J<*,0Lr=0.25,

хе^О' = 2,6); р|„0=2, хе^(у = 1,6); у(х,0Ьг=1. хе//;=Пб), />!кЗГ=2,0<«Г.

На рис. 7, 8 представлена графическая интерпретация расчетов. Шаг по х равен 0.05, по ? — 0.006. Кривые соответствуют следующим значениям ?: [1] -0.000, [2]-0.075, [3]-0.0125, [4]-0.175.

2). Случай двумерной сетеподобной области. Давление в сети изменяется, математическую модель движения среды описывает дифференциальная система (5)-(9). 3 — сетеподобное множество, состоящее из трех смежных областей 3у,(у = 1,3) с одним узловым местом Условия (7) имеют вид: р(х,0\ ^_ = р(х,1)| = 1,2; коэффициенты V = 1,е = 1,

xeS]

= 2,хе3,(у = 1,3); У,\хет=2,

^е53\(3,и32и3з); ' =1.2;

/(*,/)-О, / = 1,2; У,(х,0) = 2, 1 = 1,2; р(х, 0) хедЗ,; 1^=03, х е 83,(1 = 2,3);

На рис. 9, 10 представлена графическая интерпретация расчетов. Шаг по х равен 0.05, по С — 0.0125. На рис. 9 при Г = 0.0 поверхности соответствуют значениям: и, =2.0, м2=2.0; на рис. 10 при /=0.25: [1] - к, = 0.337, [2] - и2 =0.368.

3. Задача оптимизации по начальным условиям, зависящим от одного параметра, начально-краевой задачи (1)—(4). Необходимо вычислить значение параметра с, определяющего

начальные условия. Г — граф-звезда с тремя

—— рис 9

ребрами у, (у =1,3), коэффициент а(х) = 1, Ь(х) = 0; /0,0 = 0,хе^(/ = ЬЗ); у(х ) = с, хе [0,0.4] су,; у(х) = 0, х е (0.4,1 ]су,; у(х) = 0, хеурО=2^); р!хедг=0,0</<Т. Значение параметра с (с 6 [2,10]) определяется с точностью

10~3 и равно 5.9997.

4. Задача оптимизации по начальным условиям, зависящим от двух параметров,

начально-краевой задачи (1)—(4). Необходимо х' " у" '

вычислить значение параметров с,,с2, Рис. 10

определяющих начальные условия. Г — граф с шестью ребрами у;(у = 1,6), коэффициенты а(х) = 1, Ь(х) = 0; /(х,г) = 0, = 1,6); у(дг) = с,,

л: е[0,0.3] с 7,, у(х) = с2, х€(0.3,0.5] с у,, v(x) = 0,xe(0.5,l]cy], у(х) = 0, х^у]и = 2,6); р |маг= 2,0 < ? < 7\ Значение параметра с, (с, е[1,9]) определяется с точностью 10" и равно 3.00008, параметра с2 (с2 е [1,9]) — с точностью 10 ' и равно 4.9997.

5. Задача оптимизации по граничным условиям, зависящим от двух параметров, начально-краевой задачи (1)—(4). Необходимо вычислить значение параметров с,,с2, определяющих граничные условия. Г — граф-

звезда с тремя ребрами ууС/ = 1,7); а(х) = 1, й(х) = 0, /(х,О = 0, хе/Ду = 1,3);

у(х) = 4, хе у„ у(х) = 0, хеу)(] = 2,3); у\хедг= +с2, хеду{, .у|1евг=0,

хеду^ = 2,3). Значение параметра с, (с, е[1,11]) определяется с точностью

10" и равно 6.99993, параметра с2(с2е[1,5]) — с точностью 10" и равно 3.00001.

Результаты численных расчетов, описанных в работе прикладных задач (и листинги программ), приведены в приложении в виде таблиц.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны конструктивные методы анализа эволюционных начально-краевых задач с распределенными параметрами в сетеподобных областях, основанные на конструктивных условиях корректности этих задач: однозначная слабая разрешимость, непрерывная зависимость турбулентных решений от исходных данных задачи.

2. Разработаны конструктивные методы анализа задач оптимизации эволюционных процессов в сетеподобных объектах, основанные на конструктивных условиях существования и единственности оптимума и условиях управляемости по исходным данным задачи.

3. Разработаны конструктивные методы численного анализа, адаптированные к отысканию турбулентных решений начально-краевых задач и решений задач оптимизации, включающие в себя полное обоснование получения приближений турбулентных решений — анализ аппроксимаций и сходимостей.

4. Получен комплекс алгоритмов отыскания турбулентных решений и решений задач оптимизации, учитывающих структурные особенности моделей: классы решений, архитектуру сетеподобных объектов, типы исходных данных.

5. Реализована разработанная структура программного комплекса для решения задач анализа эволюционных процессов в сетеподобных объектах, отличительной особенностью которого является наличие информационной среды для различных типов сетеподобных объектов, классов турбулентных решений и рекомендаций по их использованию.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Гнилицкая Ю.А. Построение граничных управлений в задаче о переводе системы струн из состояния покоя в заданное состояние // Системы управления и информационные технологии, №4. 1(50). 2012. С. 135—138.

2. Volkova A.S., Gnilitskaya Yu. А. and Provotorov V.V. On the solvability of boundary-value problems for parabolic and hyperbolic equations on geometrical graphs // Automation and remote control. 2014. Vol. 75. No. 2. P. 405.

3. Провоторов В.В., Гнилицкая Ю.А. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. № 3. 2013. С. 112—120.

4. Гнилицкая Ю.А., Провоторов В.В. Управление системами с распределенными параметрами на геометрическом графе // Вестник

Тамбовского Университета, Серия: Естественные и технические науки, т. 18, вып. 5, 2013. С. 2483-2485.

5. Гнилицкая Ю.А. Задача оптимального управления параболической системой в пространстве решений с производной по времени // Системы управления и информационные технологии, № 1(55), 2014. С. 23—27.

6. Гнилицкая Ю.А. Задача идентификации исходных данных волновой системы с распределенными параметрами на графе // Системы управления и информационные технологии, № 3.1(57), 2014. С. 143—146.

7. Гнилицкая Ю.А. Задача граничной оптимизации динамики турбулентных течений многофазных сред в сетеподобных объектах // Системы управления и информационные технологии, № 2(60), 2015. С. 11—15.

Статьи и материалы конференций

8. Гнилицкая Ю.А. Граничное управление колебаниями системы струн // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петербургского гос. ун-та, 2012. С. 21—25.

9. Гнилицкая Ю.А. Построение граничного управления колебаниями системы струн в классе обобщенных решений // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петербургского гос. ун-та, 2013. С. 20—25.

10. Гнилицкая Ю.А. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе в пространстве решений с производной по времени // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. Сб. научн. труд. № 4, Ч. 2(9-2), Воронеж, ВГЛТА, 2014. С. 386-389.

И. Гнилицкая Ю.А. Управление параболической системой с распределенными параметрами на графе в банаховом пространстве с производной по времени // Процессы управления и устойчивость. Труды 45-й международной научной конференции аспирантов и студентов / науч. ред. тома Н. В. Смирнов. СПб.: Издат. Дом Федоровой Г.В. 2014. Т. 1 (17). С. 9-14.

12. Гнилицкая Ю.А. Задача граничного управления для системы с распределенными параметрами на графе / Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014), сборник трудов VII международной конференции, Воронеж, 14-21 сентября 2014 г., Воронеж: Издательство "Научная книга", 2014. С. 108—111.

13. Провоторов В.В., Гнилицкая Ю.А. Граничное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе / Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014), сб. труд. VII международной конференции, Воронеж, 14-21 сентября 2014 г., Воронеж: Издательство "Научная книга", 2014. С. 288-291.

-846 2

Подп. впеч. 17.07.2015. Формат 60*84 '/,6. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 500 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ 394000, Воронеж, ул. Пушкинская. 1

2015675138

2015675138