автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Многоуровневые вычислительные схемы для решения трехмерных векторных уравнений Гельмгольца в неоднородных областях

На правах рукописи

Нечаев Олег Валентинович

МНОГОУРОВНЕВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРЕХ МЕРНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В НЕОДНОРОДНЫХ ОБЛАСТЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2005

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель: д.т.н., профессор, Э П. Шурина.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор, Ю.М. Лаевский,

д.ф.-м.н., профессор, Е.Е. Тыртышников.

Защита состоится "16"ноября 2005 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С текстом диссертационной работы можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН (проспект Академика Лаврентьева, 6).

Ведущая организация: Институт геофизики СО РАН,

630090, г. Новосибирск, пр-т Ак. Коптюга, 3.

Автореферат разослан

С.Б. Сорокин

Ученый секретарь специализированного Совета, д.ф.-м.н.

-a L11ZAZ8

лЗбщая характеристика работы

Актуальность темы. Моделирование электромагнитных полей играет важную роль при разработке различных приборов и интерпретации данных физических экспериментов. Часто эти две задачи дополняют друг друга, например, в электроразведке необходимо разработать прибор, обладающий заданными свойствами, и методы интерпретации данных, полученных с его помощью. Методы моделирования должны, с одной стороны, обеспечивать возможность учета особенностей конструкции прибора (различающиеся на порядки геометрические фрагменты прибора), а с другой — сложные по строению вмещающие среды, обладающие разрывными физическими свойствами. Часто возникают ситуации, когда из-за наличия геометрических и физических неоднородностей модель невозможно свести к одномерному, двумерному или осесимметричному случаю.

Одним из современных методов моделирования электромагнитных процессов является векторный метод конечных элементов. В отличие от других сеточных методов, векторный метод конечных элементов работает в терминах векторных переменных, что позволяет без использования дополнительного математического аппарата корректно отображать поведение векторных полей на границах разрыва физических свойств среды и вблизи острых углов расчетной области.

Одним из недостатков векторного метода конечных элементов являются плохие спектральные свойства матриц систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации непрерывной задачи. Это связано с наличием большого ядра у rot оператора, что приводит к отсутствию свойств эллиптичности у дифференциального оператора и неопределенности матрицы. Поэтому применение многосеточных и многоуровневых методов, не учитывающих этой особенности, не приносит ожидаемого эффекта.

В связи с этим, разработка эффективных методов моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим и геометрическим свойствам средах, позволяющих корректно учитывать ядро rot оператора, является актуальной задачей математической физики и вычислительной математики.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА {

¡ЯШ

■ - - — т

Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем на базе векторного метода конечных элементов, которые позволили бы выполнять многовариантные расчеты векторного электромагнитного поля (гармоническая зависимость от времени) в трехмерных областях с резко контрастными по физическим свойствам материалами. Для решения дискретного аналога векторного уравнения Гельмголь-ца, построенного при помощи элементов Неделека 1-го и Н-го типов, разработать специальные процедуры предобусловливания.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к аналитическим решёниям.

Защищаемые положения и научная новизна:

1. На базе векторного метода конечных элементов разработан и реализован алгоритм моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в трехмерных неоднородных по физическим свойствам областях.

2. Разработана технология учета ядра rot оператора, при использовании векторных базисных функций Неделека низкого порядка 1-го и П-го типов на параллелепипеидальной и тетраэдральной сетках.

3. С использованием построенного алгоритма учета ядра rot оператора разработан и реализован многосеточный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на параллелепипеидальной сетке. Численно показана его эффективность.

4. С использованием алгоритма учета ядра разработан мультипликативный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на тетраэдральной сетке, с использованием элементов Неделека П-го типа. Численно показана его эффективность.

Значимость работы. Предложены, реализованы и исследованы многоуровневые алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца при помощи векторного метода конечных элементов в неоднородных трехмерных областях. Для дискретизации непрерывной задачи использовались векторные конечные элементы 1-го и П-го типов первого порядка на параллелепипеидальной и тетраэдральной сетках. На ряде тестов показана эффективность предложенных алгоритмов по сравнению со стабилизированным методом бисопряженных градиентов При помощи разработанного комплекса программ было выполнено моделирование процесса высокочастотного каротажного зондирования для различных конструкций зонда и различных типов сред.

Личный вклад. Все результаты, изложенные в диссертации без ссылок на работы других авторов, принадлежат лично автору.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск 2002); Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск 2002); Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск 2003) ¡Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск 2004); Объединенном семинаре института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. (Новосибирск, 2005)¡семинарах кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (134 наиме-

нования). Работа изложена на 118 страницах, включая 26 иллюстраций и 12 таблиц.

Основное содержание работы

Введение. Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы цели исследований, показана научная новизна и значимость работы. Кратко описаны структура и основное содержание диссертации.

Глава 1. Методы моделирования электромагнитных полей.

В данной главе рассматриваются современные методы, позволяющие проводить математическое моделирование электромагнитных процессов в сложных областях.

В п. 1.1 рассматриваются математические модели, используемые для описания электромагнитных процессов.

В п. 1.2 дается обзор методов моделирования электромагнитных полей. Особое внимание уделено векторному методу конечных элементов, рассматриваются его преимущества и недостатки.

Для многих задач электромагнетизма существуют аналитические решения, но такие методы трудно применимы к задачам со сложным строением расчетной области (наличие неоднородностей, отсутствие симметрии, сложная конфигурация источника и т.п.), для решения таких задач применяют численные методы, самыми широко используемыми из которых являются сеточные методы. Наиболее распространенными на данный момент сеточными методами решения краевых задач являются методы конечных разностей [Beilennhoff, 1993; Kunze, 1999; Newman, 1995; Wang, 1993], конечных объемов [Cioni, 1994; Haber, 2000; Hermeline, 1993; Madsen, 1990] и конечных элементов (MK9)[Alotto, 1998; Igarashi, 2002; Rodrigue, 2001]. Скалярный МКЭ при решении векторных задач электромагнетизма обладает рядом недостатков[Bossavit, 1990; Cenders,1991]. В векторном МКЭ для аппроксимации искомого векторного решения используются векторные пространства^ то время как скалярный МКЭ использует скалярные пространства), обладающие специфическими свойства-Mn[Nedelec, 1980]. Благодаря этому удается избежать многих недостатков скалярного МКЭ [Miniowitz, 1991; Webb, 1993,1991]. Так как

спектр матриц, полученных при моделировании электромагнитных полей векторным МКЭ, зависит от ядра rot onepaTopa[Igarashi, 2001], использование традиционных способов предобусловливания не дает желаемого результата^агаэЫ, 2002; Perugia, 1999]. Поэтому разработка эффективных решателей, ориентированных на такие системы линейных алгебраических уравнений, учитывающие наличие ядра rot оператора, является актуальной. Одним из направлений этих исследований являются многоуровневые методы.

В п. 1.3 дается обзор многосеточных и многоуровневых методов и методов декомпозиции, используемых для решения систем линейных алгебраических уравнений, являющихся дискретизациями непрерывных задач.

Одними из современных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации дифференциальных задач являются многосеточные методы[Федоренко, 1961, 1964; Шайдуров, 1989]. При моделировании электромагнитных процессов с помощью векторного МКЭ применение стандартных многосеточных алгоритмов становится невозможным. Это обусловлено свойствами дифференциальных операторов, описывающих поведение электромагнитного поля. Данные операторы не являются эллиптическими, поэтому к ним невозможно применить хорошо разработанную теорию многосеточных методов. Отсутствие свойств эллиптичности связано с наличием большого ядра у rot - операто-pa[Hiptmair, 1998]. Если выполнить декомпозицию пространства, в котором ищется решение, на ядро роторного оператора N(rot) и его ортогональное дополнение iV-L(roi), то отдельно в каждом пространстве N^irot) и N(rot) дифференциальный оператор будет эллиптическим и положительно определенным [?]. Основываясь на этой идее Hiptmair R. предложил сглаживатель, благодаря использованию которого становится возможным применение многосеточных алгоритмов при решении задач электромагнетизма векторным МКЭ. Главной особенностью многосеточных методов является то, что для решения задачи используется последовательность вложенных сеток, но существует также другая возможность организации «подсеток» — методы декомпозиции.

Глава 2. Векторные вариационные формулировки и их дискретные аналоги. В данной главе сформулированы постановки

для моделирования гармонического по времени электрического поля в неоднородных трехмерных областях.

В п. 2.1 описывается математическая модель и класс решаемых в работе задач.

Поведение электромагнитного поля описывает система уравнений Максвелла, полученная на основании экспериментальных данных. В случае, когда электромагнитное поле зависит от времени по гармоническому закону, систему уравнений Максвелла можно преобразовать к векторному уравнению Гельмгольца относительно электрического поля

V х (ц"1 V х É) - (w2e - iuia)Ê = iwJ0,

здесь величина Е является комплексным вектором С использованием векторного уравнения Гельмгольца в п.2.1 строятся математические модели, описывающие гармоническое по времени электрическое поле в неоднородных по физическим свойствам областях, рассматриваются условия, которым должно удовлетворять данное поле.

В п. 2.2, для построения векторных вариационных постановок вводится функциональное пространство H(rot ; Г2) и рассматриваются его важные свойства. Затем, для построенной математической модели, формулируется векторная вариационная постановка Для Jo те € H(rot ; Q) найти Еге € H0(rot ; il) и Егт € H0(rot ; il), такие что Vvi £ Но (rot ; fi) и Vv2 G Но (rot ; О.) выполняется

(at~1V х Ére, V х vj)n - (w2eÊre,vi)n - (w<rÊim,vi)n = 0 (/г-1 V x Егт, V x v2)n - (oj2eЕгт, v2)n + (шсгEre, v2)n = = (шЗоге, V2)n,

где Ere и Егт — действительная и мнимая компоненты электрического поля. В п.2.2 показывается, что электрическое поле, для которого имеет место данная вариационная постановка, удовлетворяет закону сохранения заряда в слабом смысле.

В п. 2.3 для построения дискретных подпространств пространств, используемых, для формулировки дискретных векторных вариационных постановок, вводятся определения векторных элементов

Неделека первого порядка 1-го и Н-го типов на параллелепипеидаль-ных и тетраэдральных геометрических элементах. Строятся соответствующие локальные векторные базисные функции.

В п. 2.4 формулируются дискретные векторные вариационные постановки, и приводится вид соответствующих им систем линейных алгебраических уравнений.

Глава 3. Многоуровневые методы решения СЛАУ. В данной главе формулируется двухуровневый итерационный решатель, на основе которого строятся многосеточный и мультипликативный алгоритмы, использующие ядро rot оператора.

В п. 3.1 формулируется абстрактный двухуровневый алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Ах = b размерности п:

Алгоритм5у (А, Ь, xqv) г0 = Ъ - Ах о; Для i — 1,2,...

9 = РТП-у,

z = (РтАР)"1 д или г = S((PTAP),g,4p);

Xt-l/2 = + Pz\

П-1/2 — Ь-Ахг_ 1/2;

у = 5(^,^-1/2,7);

Хг = Ж,_1/2 + у,

тг — b Ахг;

Если ||гг|( < v\\b\\, то вернуть хц Увеличить i,

где Р — матрица перехода из некоторого подпространства V пространства R™, в котором ищется решение, Р : V —> Rn; х* = S(A, Ь, 7) — итерационный алгоритм решения СЛАУ Ах = Ь, результатом работы которого является приближенное решение х*, удовлетворяющее неравенству

\\b-Ax*\\<<y\\b\\.

В случае несимметричной матрицы СЛАУ предлагается использовать стабилизированный алгоритм бисопряженных градиентов, а когда матрица является симметричной и положительно определенной — метод сопряженных градиентов.

В п.3.2 на основе построенного в предыдущем разделе алгоритма 5v {A, b, Xq,u) предлагается двухуровневый алгоритм — Sn (rot)(A, Ь, х0у), использующий в качестве подпространства V ядро rot оператора—N (roí; Я).

В п.3.3 строится многосеточный алгоритм для решения СЛАУ, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмголь-ца на параллелепипеидальных сетках. В качестве подпространства V будет выступать подпространство, построенное на грубой сетке, а вместо итерационного алгоритма S(A, b, 7) будем использовать алгоритм Sy¡ (rot)(A,b, xqv). Для нахождения погрешности из подпространства V, можно снова использовать алгоритм Sv(A, b, xqv) с еще более грубой сеткой и т.д.

В п.3.4 строится мультипликативный алгоритмы для решения СЛАУ, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на тетраэдральных сетках с использованием векторных элементов Н-го типа.

Введем следующие обозначения: H^rot; f2; 1) и Hh(rot;0;2) — дискретные пространства, построенные на тетраэдральной сетке, при помощи векторных базисных функций 1-го и П-го типов соответственно; N ^rot; Г2; 1) и N h(rot; Q; 2) — ядра rot оператора в пространствах Hh(rot; О; 1) и Hb(rot; íl: 2). Для введенных пространств имеют место следующие соотношения

H^rot; ft; 2) = Hh(rot; П; 1) U Nh(rot; П; 2),

Hh(rot; П; 1) П Nh(rot; П; 2) = N ''(rot, Q; 1).

Тогда, для решения СЛАУ, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца с использованием векторных элементов П-го типа, можно применить мультипликативный алгоритм Шварца, в котором вместо декомпозиции расчетной области на пересекающиеся подобласти, необходимо использовать декомпозицию пространства H'l(rot; Q; 2), представленную выше.

Мультипликативный алгоритм Шварца:

г0 = b - Ах о;

Для » = 1,2,...

Q-y ~ \ '

Z1 = (Р^АРгУ^дг или гг = S{{P?APi),gwn)\ £1-1/2 = £»-i + Pi-Zi; г»-1/2 = 6 ~ Axt-\ji\ 92 = 1/2;

-2 = (Р?АР2)-1д2 или Z2 = S((P2rAP2), 92,72);

= ®г-1/2 + -fW, т\ = Ъ- Ах ц

Если £г удовлетворяет необходимой точности, то закончить;

Увеличить i.

Матрицы Pi и Рг являются матрицами перехода и подпространств Hft(rot; П; 1) и N h(rot: Q; 2) в пространство Hft(rot; П; 2) соответветс-венно.

Из определения подпространств следует, что матрицы (Pf АР\) и (Р2АР2) будут соответствовать дискретным вариационным задачам, сформулированным относительно векторного уравнения Гельм-гольца в пространствах Hfc(rot; fi; 1) и N h(rot; f2; 2) соответственно. Таким образом, для генерации данных матриц будем использовать конечноэлементную технологию.

В п. 3.5 рассматриваются особенности реализации матриц перехода, используемых многоуровневыми алгоритмами.

Глава 4. Структура программного комплекса. Численные результаты. В четвертой главе представлено описание разработанного программного комплекса. Приводятся результаты верификации программного комплекса, исследования эффективности предложенных многоуровневых алгоритмов, и моделирования работы высокочастотных каротажных зондов.

В п. 4.1 описывается структура разработанного программного комплекса, его основные модули и их функциональные особенности.

В п. 4.2 проводится верификация программного комплекса на задаче с известным аналитическим решением, а также проверяется выполнение условий непрерывности и разрывности тангенциальной и

нормальной компонент поля в области с разрывной удельной проводимостью.

В п.4.3 приведены результаты численного исследования предложенных многоуровневых алгоритмов.

На основании тестирования, можно заключить, что алгоритмы, ориентированные на работу с ядром rot оператора сокращают время, необходимое для нахождения приближенного решения СЛАУ, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмголь-ца векторным методом конечных элементов. В случае, когда расчетная область состоит из нескольких подобластей с различными значениями проводимости, стабилизированный метод бисопряженных градиентов, в отличие от предложенных алгоритмов, может обладать малой скоростью сходимости, стагнировать или расходиться. Использование многосеточного алгоритма на параллелепипеидаль-ной сетке позволяет сократить время решения СЛАУ, по сравнению с алгоритмом ^rot){A,b,xqv), в 4-13 раза, в зависимости от контрастности удельной проводимости в различных подобластях и размерности СЛАУ. Мультипликативный алгоритм по сравнения с •Sn (rot)(А ^яо*7) может работать быстрее в 1.1-6 раз.

В п.4.4 представлены результаты численного моделирования высокочастотных каротажных зондов в неоднородных средах.

При помощи разработанного программного комплекса было осуществлено прямое численное моделирование высокочастотного каротажного зонда ВИКИЗ, разработанного в Институте геофизики СО РАН и НПГА «Луч», в неоднородных средах. Расчетная область состоит из следующих объектов: скважина (радиус гс=0.108 м), заполненная проводящим буровым раствором; непроводящий корпус зонда (радиус Го=0.035 м, е — Зео, £о = 8.85 • Ю-12) с генераторной (Т) и двумя приемными (Rx, R2) катушками. Амплитуда тока в генераторной катушке 1 А, частота f=14 МГц. Измерительная катушка Ri расположена на расстоянии 0.4 м, a R2 на расстоянии 0.5 м от генераторной. Зонд может смещаться внутри скважины в горизонтальной плоскости; проводящая вмещающая среда; в среде расположены один или несколько проводящих пропластков. Результатом моделирования является разность фаз Аф между ЭДС, наведенными в приемных катушках Rx и i?2- Решая обратную задачу относительно Аф, можно получить значение удельного сопротивления в окружающем скважину пространстве.

В случае однородных сред проведенное сравнение данных, полученных численно и аналитически, показало, что относительная погрешность моделирования разности фаз не превосходит 1.1%.

На рис. приведена зависимость разности фаз от положения зонда относительно пропласка шириной 0.2 м с удельным сопротивлением 2 Омм, удельное сопротивление бурового раствора 1 Омм, удельное сопротивление вмещающей среды 100 Омм. Основной максимум соответствует прохождению через центр пропластка дальней приемной катушки. Показание зонда в этой точке соответствует однородной среде с УЭС 2 Омм.

Глубина, м

Рис. Диаграмма зонда ВИКИЗ, пересекающего тонкий пропласток

Разработанный программный комплекс применялся для моделирования зонда МРИ, состоящего из двух генераторных катушек, расположенных на расстоянии 1.17 м друг от друга, и двух приемных катушек, расположенных между генераторными катушками, расстояние от приемной катушки до ближайшей генераторной составляет

0.46 м. Амплитуда тока в генераторных катушках 1 А, частота f=2 МГц.

Основные результаты работы

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие результаты.

1. Предложены и реализованы методы решения задач моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим и геометрическим свойствам трехмерных областях.

2. Для векторного уравнения Гельмгольца, описывающего поведение гармонического по времени электрического поля, сформулирована векторная вариационная постановка, учитывающая скачки поля на границах материалов с различными физическими свойствами. Показано, что электрическое поле, удовлетворяющее данной вариационной постановке, также удовлетворяет закону сохранения зарядов в слабой форме.

3. Построены дискретные вариационные постановки, использующие векторные конечные элементы первого порядка 1-го типа на параллелепипеидальных сетках и первого порядка 1-го и 11-го типов на тетраэдральных сетках. Базисные функции первого порядка П-го типа построены в виде иерархического базиса.

4. Предложен двухуровневый алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на параллелепипе-идальной и тетраэдральной сетках, учитывающий ядро rot оператора. На базе данного двухуровневого алгоритма (в качестве сглаживателя) разработан многосеточный алгоритм решения СЛАУ на параллелепипеидальных сетках, и мультипликативный алгоритм решения СЛАУ, являющиеся аппроксимациями векторного уравнения Гельмгольца на тетраэдральных сетках.

5. Численное исследование предложенных многоуровневых алгоритмов показало их высокую эффективность по сравнению со

стабилизированным методом бисопряженных градиентов, особенно в областях с резко контрастными физическими свойствами среды.

6. Реализованный программный комплекс был использован для моделирования процесса высокочастотного каротажного зондирования при помощи зондов ВИКИЗ и МРИ в среде, состоящей из скважины, вмещающей среды и пропластков.

Достоверность полученных результатов подтверждена результатами экспериментального оценивания порядков аппроксимации построенных вычислительных схем, сравнениями с аналитическими решениями.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант N003-05-64795, грант N005-05-64528 ), совместного международного проекта М¥0 (грант 047.016.003) и РФФИ (грант N004-01-89003).

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института геофизики СО РАН и НППГА Луч и лично д.т.н., чл.-корр. РАН Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах

1. Нечаев О.В. Шурина ЭП. Многосеточный алгоритм решения векторным методом конечных элементов трехмерного уравнения Гельмгольца// Математическое моделирование. - 2005. -том. 17; N0 6. - с. 92-102.

2. Нечаев О.В., Федорук М.П., Шурина Э.П. Использование метода конечных элементов для расчета спектральных характеристик дырчатых волноводов// Вестник Новосибирского Государственного Университета серия «Математика, механика, информатика». - 2003. - Том III; Выпуск 2. - с.90—106

3. Нечаев О.В., Шурина Э.П., Федорук М.П. Использование метода конечных элементов для численного решения квазистационарных уравнений Максвелла// Вычислительные технологии. - 2004. - Том 9; N06,- с.73-81.

4. Шурина Э.П. Нечаев О.В. Многосеточное предобусловливание векторных конечноэлементных аппроксимаций систем уравнений Максвелла// Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004.Ч. 1/Под ред. Г. А. Михайлова, В.П. Ильина, Ю.М. Лаевского.— Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004, с.65-70.

5. Эпов М.И. Шурина Э.П. Нечаев О.В. Математическое моделирование электромагнитного гармонического поля в скважине и вмещающей среде// Труды Международной конференции «Математические методы в геофизике» ММГ-2003. Ч.1.— Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003, с. 279-281.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. 46-08-57 формат 60x84/16, объем 1,0 пл., тираж 100 экз., заказ № 1104, подписано в печать 05.10.05г.

с

f

Г

\

V

»18 8 4 5

РНБ Русский фонд

2006-4 21600

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ПОЛЕЙ

1.1. Математические модели.

1.2. Современные методы решения задач электромагнетизма. Векторный метод конечных элементов.

1.3. Многосеточные, многоуровневые методы и методы декомпозиции

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ И ИХ

ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ

2.1. Математическая модель.

2.2. Векторная вариационная постановка.

2.3. Дискретные подпространства.

2.4. Дискретные аналоги вариационных задач.

ГЛАВА 3. МНОГОУРОВНЕВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

3.1. Двухуровневый итерационный решатель.

3.2. Алгоритм решения СЛАУ, использующий ядро rot оператора . 59 ф 3.3. Многосеточный алгоритм

3.4. Мультипликативный алгоритм.

3.5. Особенности построения и реализации матриц перехода

ГЛАВА 4. СТРУКТУРА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

4.1. Структура программного комплекса.

4.2. Верификация программного комплекса.

4.3. Тестирование многоуровневых алгоритмов.

4.4. Моделирование работы высокочастотного каротажного зонда в неоднородной среде.

Моделирование электромагнитных полей играет важную роль при разработке различных приборов и интерпретации данных физических экспериментов. Часто эти две задачи дополняют друг друга, например, в электроразведке необходимо разработать прибор, обладающий заданными свойствами, и методы интерпретации данных, полученных с его помощью. Методы моделирования должны, с одной стороны, обеспечивать возможность учета особенностей конструкции прибора (различающиеся на порядки геометрические фрагменты прибора), а с другой — сложные по строению вмещающие среды, обладающие разрывными физическими свойствами. Часто возникают ситуации, когда из-за наличия геометрических и физических неоднородностей модель невозможно свести к одномерному, двумерному или осесимметрично-му случаю.

Одним из современных методов моделирования электромагнитных процессов является векторный метод конечных элементов. В отличие от других сеточных методов, векторный метод конечных элементов работает в терминах векторных переменных, что позволяет без использования дополнительного математического аппарата корректно отображать поведение векторных полей на границах разрыва физических свойств среды и вблизи острых углов расчетной области.

Одним из недостатков векторного метода конечных элементов являются плохие спектральные свойства матриц систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации непрерывной задачи. Это связано с наличием большого ядра у rot оператора, что приводит к отсутствию свойств эллиптичности у дифференциального оператора и неопределенности матрицы. Поэтому применение многосеточных и многоуровневых методов, не учитывающих этой особенности, не приносит ожидаемого эффекта.

В связи с этим, разработка эффективных методов моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физи-ф ческим и геометрическим свойствам средах, позволяющих корректно учитывать ядро rot оператора, является актуальной задачей математической физики и вычислительной математики.

Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем на базе векторного метода конечных элементов, которые позволили бы выполнять многовариантные расчеты векторного электромагнитного поля (гармониче-екая зависимость от времени) в трехмерных областях с резко контрастными по физическим свойствам материалами. Для решения дискретного аналога векторного уравнения Гельмгольца, построенного при помощи элементов Неделека 1-го и П-го типов, разработать специальные процедуры предобу-словливания.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического Ш решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к аналитическим решениям.

Защищаемые положения и научная новизна:

• На базе векторного метода конечных элементов разработан и реализован алгоритм моделирования гармонических по времени электромаг

Ф нитных полей в трехмерных неоднородных по физическим свойствам областях.

• Разработана технология учета ядра rot оператора, при использовании векторных базисных функций Неделека низкого порядка 1-го и Н-го типов на параллелепипеидальной и тетраэдральной сетках.

• С использованием построенного алгоритма учета ядра rot оператора разработан и реализован многосеточный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на параллелепипеидальной сетке. Численно показана его эффективность.

• С использованием алгоритма учета ядра разработан мультипликативный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на тетраэдральной сетке, с использованием элементов Неделека 2-го типа. Численно показана его эффективность.

Значимость работы. Предложены, реализованы и исследованы многоуровневые алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца при помощи векторного метода конечных элементов в неоднородных трехмерных областях. Для дискретизации непрерывной задачи использовались векторные конечные элементы 1-го и П-го типов первого порядка на параллелепипеидальной и тетраэдральных сетках. На ряде тестов показана эффективность предложенных алгоритмов по сравнению со стабилизированным методом бисопряженных градиентов. При помощи разработанного комплекса программ было выполнено моделирование процесса высокочастотного каротажного зондирования для различных конструкций зонда и различных типов сред.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на:

• Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск 2002),

• Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск 2002),

• Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск 2003),

• Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск 2004).

• Объединенном семинаре института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. (Новосибирск, 2005).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 работ [Ю]-[12], [23], [26].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (134 наименования). Работа изложена на 118 страницах, включая 26 иллюстраций и 12 таблиц.

Выводы: Проведенное тестирование показало высокую эффективность предложенных многоуровневых алгоритмов и разработанного на их основе программного комплекса при моделировании гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам средах. Данный программный комплекс позволяет проводить исследования для различных коструктивных вариантов каротажных зондов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены и реализованы методы решения задач моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим и геометрическим свойствам трехмерных областях. Для векторного уравнения Гельмгольца, описывающего поведение гармонического по времени электрического поля, сформулирована векторная вариационная постановка, учитывающая скачки поля на границах материалов с различными физическими свойствами. Показано, что электрическое поле, удовлетворяющее данной вариационной постановке, также удовлетворяет закону сохранения зарядов в слабой форме. Построены дискретные вариационные постановки, использующие векторные конечные элементы первого порядка 1-го на параллелепипеидальных сетках и первого порядка 1-го и Н-го типов на тетраэдральных сетках. Базисные функции первого порядка П-го типа построены в виде иерархического базиса.

Предложен двухуровневый алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на параллелепипеидальной и тетраэдральной сетках, учитывающий ядро rot оператора. На базе данного двухуровневого алгоритма (в качестве сглаживателя) разработан многосеточный алгоритм решения СЛАУ на параллелепипеидальных сетках, и мультипликативный алгоритм решения СЛАУ, являющихся аппроксимациями векторного уравнения Гельмгольца на тетраэдральных сетках.

Проведенное тестирование разработанного программного комплекса на задаче, имеющей аналитическое решение, показало, что использование векторных элементов Н-го типа на тетраэдральной сетке является более экономичным по сравнению с элементами 1-го типа.

Численное исследование предложенных многоуровневых алгоритмов показало их высокую эффективность по сравнению со стабилизированным методом бисопряженных градиентов, особенно в областях с резко контрастными физическими свойствами среды.

Реализованный программный комплекс был использован для моделирования процесса высокочастотного каротажного зондирования при помощи зондов ВИКИЗ и MPR в среде, состоящей из скважины, вмещающей среды и пропластков. Для зонда ВИКИЗ в случае однородной среды было проведено сравнение результатов моделирования с данными, полученными аналитически. Программный комплекс предоставляет возможность задания конструктивных особенностей зонда: корпус зонда различных конфигураций, количество и расположение генераторных и приемных катушек, что позволяет применять комплекс не только для моделирования процесса зондирования в сложных геометрических средах, но и для оптимизации конструкции зонда.

1. Гилева J1.B Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для трехмерной задачи Дирехле //Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние — Новосибирск, 1998 — Т.1; №3.— с.217— 226.

2. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы,— М.: Наука, 1977.— 439с.

3. Давыдычева С.Н., Друскин B.J1. Прямая задача расчета электромагнитного поля на оси наклонной скважины в анизотропной слоистой среде //Труды Международной Конференции «Горногеологической службе России 300 лет»,- С.-Петербург.- 2000.- с. 19-31.

4. Дворецкий П.И., Ярмахов И.Г. Электромагнитные и гидродинамические методы при освоении нефтегазовых месторождений.— М.: Недра, 1998.- 318 с.

5. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, -2000.- 345с.

6. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений — Новосибирск: Наука, 1969.- 67 с.

7. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи).— Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1999.— 166 с.

8. Лаевский Ю.М. О некоторых итогах развития современной вычислительной математики //Вычислительные технологии.- 2002.— T.7;No2.— с.74—83.

9. Нечаев О.В. Шурина Э.П. Многосеточный алгоритм решения векторным методом конечных элементов трехмерного уравнения Гельмголь-ца// Математическое моделирование. 2005. - том. 17; No 6. — с. 92-102.

10. Нечаев О. В., Шурина Э.П., Федору к М.П. Использование метода конечных элементов для численного решения квазистационарных уравнений Максвелла// Вычислительные технологии. — 2004. — Том 9; No5.— с.73—81.

11. Потаов А.П., Кнеллер JI.E. Численное решение задачи становления магнитного диполя в скважинах много колонной конструкции //НТВ «Каротажник»,— Тверь, 1999.— Вып. 52.— с.76—83.

12. Самарский А.А., Гулин В.А. Численные методы.- М.: Наука, 1989.— 432с.

13. Технология исследования нефтегазовых скважин на основе ВИКИЗ. Методическое руководство/ Ред. Эпов М.И., Антонов Ю.Н.- Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, Издательство СО РАН, 2000.- 121 с.

14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1977,- 735 с.

15. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений// ЖВМ и МФ.- 1961,- Т.1; №5.- с.922-927.

16. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса// ЖВМ и МФ,- 1964,- Т.4; №5.- с.559-564.

17. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов.— М.: • Наука 1989, 288с.

18. Шурина Э.П., Гельбер М.А. О векторном методе конечных элементов для решения задач электромагнетизма //Сибирский журнал вычислительной математики /РАН. Сиб. Отделение — Новосибирск, 2004.— T.7,Nol с.79—95.

19. Шурина Э.П., Гельбер А.В., Гельбер М.А., Эпов М.И. Математическое моделирование нестационарного электромагнитного поля дефектоскопа обсадных колонн// Вычислительные технологии,— 2002,— Т.7; No6.-С.114-129.

20. Шурина Э.П., Гельбер М.А. Применение векторного метода конечных элементов для моделирования гармонических электромагнитных полей в неоднородных областях// Вестник НГУ.- Новосибирск.— 2004.

21. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов: Препринт 1070. ВЦ СО РАН, 1996,- 26 с.

22. Adaptive multilevel methods for edge element discretization of Maxwell's equations / Beck R., Deuflhard P., Hiptmair R., Wohlmuth B. ; Preprint SC-97 66 Conrad-Zuse-Centrum, Berlin, 1997.- 45p.

23. Albanese R., Rubinacci G. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements //J. Comput. Phys. 1993. - Vol.108. -P. 236-245.

24. A mixed face-edge finite element formulation for the 3D magnetostatic problems / Alotto P., Delefino F., Molfino P., Nervi M., Perugeia I. //IEEE Trans. Magn.- 1998.- Vol.34.- p.2445-2448.

25. A nonlinear inversion method for 3D electromagnetic imaging using ajoint fields / Dorn 0., Bertete-Aguirre H., Berryman J.G., Papanicolaou G.C. //Inverse Problems.- 1999.- Vol.15.- P.1523-1558.

26. Assous F., Ciarlet P., Segre J. Numerical solution to the timedependent Maxwell equations in two-dimensional singular domains: the singular complement method //J. Comput. Phys.- 2000.- Vol.161.— P.218-250.

27. Arnold D. N. , Falk R.S. and Winther R. Multigrid in H(div) and H(curl)// Numerische Mathematik.- 2000.- Vol.85.- p. 197-218.

28. Beilennhoff K., Heinrich W. Treatment of field singularities in the finite difference approximation //Int. Micriwave Symp. Dig. 1993. - Vol.2. -p.979-982.

29. Bernardo Cockburn, Fengyan Li, Chi Wang Shu Locally divergence-free discontinuos Galerkin methods for Maxwell equations //Journal of computational physics.- 2004.- Vol.194.- p.588-610.

30. Bokil V.A., Bukas M.W. A 2D mixed finite element formulation of the unaxial perfectly matching layer //Ргерг. CP1677802, University of Houston.- 2002,- 18p.

31. Boner S., Fredette M., Clark В., Mills R., Williams R. Resistivity while drilling — images from the string //Slumberger olilfield review. 1996.-Vol. 8;Nol - p.4-19

32. Bossavit A. Computational electromagnetism.— Academic Press, San Diego, 1998.- 324p.

33. Bossavit A. Solving Maxwell equation in a closed cavity, and the question of spurious modes //IEEE Trans. Magn.- 1990.- Vol.26;No2 p.702-707.

34. Bourgeois В., Suignard K., Perrusson G. Electric and magnetic dipoles for geometric interpretation of three-component electromagnetic data in geophysics //Inverse problems.— 2000.— Vol.16.— P.1225—1261.

35. Braess D. Finite elements. Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics.— Cambridge University Press.— 2001.— 370p.

36. Brenner S.C., Scott L.R. The mathematical theory of finite elements methods;— Springer-Verlag.— New York.— 2002.— 361p.

37. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods.— Springer--Verlag, New York, 1991.- 351 p.

38. Bouillault F., Buffa A., Maday Y., Rapetti F. The mortar edge element method in three dimensions:application to magnetostatics //Publication No 1208,— Istitiuto di analisi numerica 2001.

39. Cenders Z.J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations // IEEE Trans. Magn.- 1991,- Vol.27;No5.- P. 3958-3966.

40. Chen Z., Du Q., Zou J. Finite element methods with matching and nonmatching meshes for Maxwell equations with discontinuous coefficients //SIAM J. Numer. Anal.- 2000,- Vol.37;No5.- P.1542-1570.

41. Cioni J.-P., Fezoui L., Issautier D. High order upwind schemes for solving timedomain Maxwell equation //La Recherche Aerospatiale.- 1994.— No5 p.319-328.

42. Computation of optical modes inside axisimmetric open cavity resonators / Chinellato 0., Arbenz P., Streiff M., Geus R. ; Preprint: FGSC.- Zurich, 2003.- 20p.

43. Computation of 3D current driven skin effect using current vector potential / Biro O., Preis K., Reinhart W., Vrisk G., Richter F. //IEEE Trans. Magn.- 1993,- Vol.29.- P.1325-1332.

44. Cooray F., Costache G. An overview of the absorbing boundary conditions //J. Electromagn. Waves Appl 1991.- Vol.5;NolO - P.1041-1055.

45. Cpuliette D.L., Koch M. On the difficulties and remedies in enforcing the div=0 condition in the finite element analysis of thermal plumes with strongly temperaturedependent viscosity //Int. j. numer. methods fuids.-1994,- Vol.18.- p.189—214.

46. Deuflhard P. Cascadic conjugate gradient methods for eleptic partial differential equations. I. Algorithm and numerical results/ Tecnical Report SC 93-23- Berlin: Konrad-Zuse Zentrum.- 1993.

47. Deufhard P., Friesse Т., Schmidt F. A nonlinear multigrid eigenproblem solver for the complex Helmholtz equation // Preprint SC97 55,- Conrad-Zuse-Centrum, Berlin, 1997.- 26p.

48. Dietrich Braess, Wolfgang Dahmen A cascadic multigrid algorithm for the Stokes equations//Numer.Math.— 1999,- Vol.82.- p.179-191.

49. Douglas С.С., Douglas J. A unified convergence theory for abstract multigrid or multilevel algoritms, srial and parallel// SIAM J. Numer. Anal.- 1993,- Vol.30.- p.136-158.

50. DyczijEdlinger R., Peng G., Lee J.F. A fast vector potential method using tangentially continuous vector finite elements //IEEE Trans. Microwave Theory Tech.- 1998.- Vol.46.- P.863-868.

51. Eddy current computations using adaptive grids and edge elements / Liu Y.Q., Bondeson R., R. Bergstrom, Johnson C., Larson M.G., Samuelson K. //IEEE Trans. Magn.- 2002.- Vol.38;No2.- P.449-452.

52. Electromagnetics via the Taylor-Galerkin finite element method on unstructured grids / Ambrosiano J., Brandon S. Lohner R., Devore C.R. //J. Comput. Phys.- 1994,- Vol.110.- P.546—569.

53. Engquist В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves //Math. Comput 1977.-Vol.31.- P.629-651.

54. Fast simulation of 3D electromagnetic problems using potentials / Haber E., Ascher U.M., Aruliah D.A., Oldenburg D.W. //J. Comput. Phys.- 2000.-Vol.163.- p.150-171.

55. Garry Rodrigue and Daniel White A vector finite element time—domain method for solvig Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids //SIAM J. Sci. Comput.- 2001.- Vol.23.- p.683-706.

56. Givoli D. Numerical methods for problems in infinite domains/Elsevier.-Amsterdam, 1992.- 293p.

57. Heise В., Kuhn M., Langer U. A mixed variational formulation for 3D linear and nonlinear magnetostatics in the space Ho(rot) Ho(div) //HEJ Manuscript No. ANM981030A.- 1998,- 16 p.

58. Hermeline F. Two coupled particlefinite volume methods using Delaunay-Voronoi meshes for the approximation of VlasovMaxwell equations //J. Comput. Phys.- 1993.- Vol.106.- p.1-18.

59. Hesthaven J.S., Warburton, Т. Nodal high—order methods on unstructured grids. I. time—domain solution of Maxwell's equations, Journal of computatioanl physisc.- 2002.- Vol.181.- p.186—221.

60. Hiptmair R. Finite elements in computational electromagnetism// Acta Numerica.- 2002,- p.237-339.

61. Hiptmair R. Multigrid methods for Maxwell's equations// SIAM J. Nymer. Anal.- 1998,- Vol.36;Nol p.204-225.

62. Hoppe R.H.W. Adaptive multigrid and domain decomposition methods in the computation of electromagnetic fields// Journal of Computational and Applied Mathematics 2004.— Vol.168.- p.245—254.

63. Hybrid time domain solvers for the Maxwell equations in 2D / Arbenius E., Andersson U., Edelvik F., Eriksson L., Ledfeld G. //Int. J. Numer. Meth. Engng.- 2002,- Vol.53.- P.2185-2199.

64. Igarashi H. On the property of the curl—curl matrix in finite element analysis with edge element //IEEE Transaction on magnetics.— 2001.— Vol.37;No5. p.3129-3132

65. Igarashi H., Honma T. On convergence of ICCG applied to finite element equation for quasystatic fields // IEEE Trans. Magn.- 2002 Vol. 38; No2-P. 565-568.

66. Ise K., Inoue К. , M. Koshiba Three—dimensional finite—element method with edge—elements for electromagnetic waveguide discontinuities// IEEE Trans.- MTT—39;No8.— p.1289-1295.

67. Jackson J. Classical electrodinamics New York, Wiley, 1962.- 839 p.

68. Jean Piquet and Xavier Vasseur Multigrig preconditioned Krylov subspace methods for three—dimensional numerical solutions of the incompressible Navier—Stokes equations// Numerical Algorithm.— 1998.— Vol.17.— p.l— 32.

69. Jiang B.N., Wu J., Povinelli L.A. The origin of spurious solutions in computational electromagnetics //J. Comput. Phys.- 1996.- Vol.125.-P. 104-123.

70. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. Block-iterative frequencydomain methods for Maxwell's equations in a plainwave basis //Optics express.-2000,- Vol.8;No3 P. 173-190.

71. Kameari A. Calculation of transient 3D eddy current using edge-elements// IEEE Trans. Magn.- Vol.26;No2 p.466-469.

72. Kanayama H. Largescale magnetic field analysis //Annual Report ADV-991,- 1999.- 12p.

73. Kikuhi F. Mixed and penalty formulations for finite element analysis of an eigenvalue problem in electromagnetism //Comput. Meth. Applied. Mech. Engin.- 1987.- Vol.64. P.509-521.

74. Klaus Stuben A Review of Algebraic Multigrid// Institute for Algorithm and Scientific Computing, Gremany.— 1999.— GMD—Report 69.

75. Kunze M., Heinrich W. Efficient FD formulation for lossy waveguide analysis based on quasy-static field characteristics //IEEE Microwave and Guid. Wave Lett.- 1999,- Vol.9;Nol2 p.499-501.

76. Lacoste P. Solution of Maxwell equation in axisymmetric geometry by Fourier series decomposition and by use of H(rot) conforming finite element //Numer. Math.- 2000.- Vol.84. p.577-609.

77. Lakhtakia A., Weiglhofer W.S. Timeharmonic electromagnetic fields in source regions in a simple uniaxial bianisotropic medium //Int. J. Applied Electromagnetics in Materials.— 1994,— No5.— P. 101-108.

78. Ledger P.D. , Peraire J., Morgan K., Hassan O. and Weatherill N.P. Adaptive hp finite element comutations of the scattering width output of Maxwell's equations// Int. J. Numer. Meth. Fluids.— 2003 — Vol.43.— p. 953-978.

79. Lee J.F., Lee R., Cangellaris A. Time domain finite elements method //IEEE Ant. Prop.— 1997,— Vol.45.— P.430-441.

80. Lee R.L., Madsen N.K. A mixed finite element formulation for Maxwell's equations in the time domains //J. Comput. Phys.— 1990.— Vol.88.— p. 284-304.

81. Lee J.F., Sun D.K., Cendes Z.J. Full-wave analysis of dielectric waveguides using tangential vector finite element method //IEEE Trans. Microwave Theor. Tech.— 1991.— Vol.39;No8.— P.1262—1271.

82. Lynch D.R., Paulsen K.D. Origin of vector parasites in numerical Maxwell solutions //IEEE Trans. Microwave Theor. Tech.— 1991.— Vol.39;No3.— p.383—394.

83. Madsen N., Ziolkowski R. A 3 dimensional modified finite volume technique for Maxwell's equations //Electromagnetics.— 1990.— Vol.l0;Nol.— p.147-161.

84. Manges J.B. and Cendes Z.J. Tree—cotree decompositions for first-order complete tangential vector finite elements// International journal for numerical methods in engineerin.— 1997.— Vol.40.— p. 1667—1685.

85. Mahadevan K., Mittra R. Radar cross section computation of inhomogeneous scatteres using edge based finite element method in time and frequency domains //Radio Science.— 1993.— Vol.8;No6.— P.1181--1193.

86. Mark Ainsworth and Joe Coyle Hierarchic finite element bases on untstructured tetrahedral meshes// Int. J. Numer. Meth. Engng.— 2003,— Vol.58.- p.2103—2130.

87. Moulton David J. , Dendy Joel E. Jr. and James M. Hyman The Black Box Multigrid Numerical Homogenization Algorithm// Journal of computatioanal physics — 1998 Vol.142.— p. 80—108.

88. Miniowitz R., Webb J.P. Covariant—projection quadrilateral elements for the analysis of waveguides with sharp edges, IEEE Trans, on Microwave Theory and Technique, MTT-39 No3.- p.505.-1991.

89. Mifune Т., Iwashita T. and Shimasaki M. New algebraic multigrid preconditioning for iterative solvers in electromagnetic finite edge—element analyses// IEEE transaction on magnetics.— 2003.— Vol.39;No3.

90. Monk P. An analysis of Nedelec's method for spatial discretization of Maxwell's equations //J. Comput. and Applied Math.— 1993.— Vol.47.— P.101—121.

91. Munz C.D., Schneider R., Voss U. A finite-volume method for the Maxwell equations in the time domain //SIAM J. Sci. Comput.— 2000.— Vol.22;No2.— p.449—475.

92. Nedelec J. C. Mixed Finite Elements in R3 //Numerische Mathematik.— 1980.- Vol.35; No3.- p.315-341.

93. Nedelec J. C. A New Family of Mixed Finite Elements in R3 //Numerische Mathematik.- 1986.- Vol.50.- p.57-81.

94. Newman G.A., Alumbaugh D.L. Frequency-domain modelling of air-borne electromagnetic responses using staggered finite differences // Geophys. Prospecting.— 1995,— Vol.43.— p.1021—1042.

95. Newman G.A., Hoversten G.M. Solution strategies for two and three-dimensional electromagnetic inverse problems //Inverse Problems.— 2000.- Vol.16.— P.1357—1366.

96. On a finite—element method for solving the three-dimensional Maxwell equations / Assous F., Degond P., Heintze E., Raviart P.A., Segre J. //J. Comput. Phys.— 1993. — Vol.109.— p.222-237.

97. Perugia I. A mixed formulation for 3D magnetostatic problems: theoretical analysis and face-edge finite element approximation //Numer. Math.— 1999,— Vol.84.— P.305—326.

98. Perugia I., SchotzauD., Monk P. Stabilized interior penalty methods for the time-harmonic Maxwell equations //Сотр. Meth. Appl. Mech. Engrg.-- 2002,— Vol.191.— p.4675—4697.

99. Piperno S., Fezoui L. A centered discontinuous Galerkin finite volume scheme for the 3D heterogeneous Maxwell equations on unstructured meshes //Rapport de recherche, No4733.— 2003.

100. Polstyank Sergey V. о and Jin—Fa Lee Two Level Hierarchical FEM Method for Modeling Passive Microwave Devices// J. Comput. Phy.— 1998,- Vol.140.- p.400—420.

101. Quasi-static conductor loss calculations in transmission lines using a new conforming mapping technique / Tuncer E., Lee B.T., Islam M.S., Neikirk D.P. //IEEE Trans. Microwave Theor. Tech.— 1994.— Vol.42.— P. 1807-1815.

102. Randolph E. Bank Hierarchical bases an the finite element methods// Acta Numerica.- 1996.- p. 1-43.

103. Rudolf Beck and Ralf Hiptmair Multilevel solution of the time—harmonic Maxwell's equations based on edge elements// Int. J. Numer. Meth. Engng.- 1999.- Vol.45.- p.901-920.

104. Riley D.J., Turner C.D. Volmax A solidmodelbased, transient volumetric Maxwell solver using hybrid grids //IEEE Antennas Propagat.— 1997.— Vol.39;Nol.— p.20—33.

105. Rylander Т., Bondeson A. Application of Stable FEMFDTD Hybrid to Scattering Problems //IEEE Trans. Antennas Propagat.— 2002.— Vol.50;No2.— p.141—144.

106. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems.— PWS Publishing Company, 1996.

107. Scales J.A., Snieder A. The anatomy of inverse problems //Geophysics.— 2000,— Vol.65;No6.— P. 1708-1710.

108. Soln P. Scalar and vector—valued finite element of variable order— TICAM Report 02-36.

109. S. Reitzinger, J. Schoberl An algebraic multigrid method for finite element discretizations with edge elements// Numer. Linear Algebra Appl.— 2002.— Vol.9.- p.223—238.

110. Shaidurov V.V. Some estimates of the rate of convergence for the cacscadic conjugate—gradient method— Magdeburg.— 1994.— (Preprint/ Otto—von— Guericke—Universitat; 4).

111. Shurina E.P., Soloneneko O.P., Voitovich T.V. Technologies of finite volume-finite element method for the solution of convection-diffusion problems on unstructured grids //Вычислительные технологии.— 2002.— T.7;No3.— c.98—120.

112. Studen K. Algebraic multigrid (AMG): Experiences and comparisons//Appl. Math. Сотр.- 1983 — Vol.13.- p419-452.

113. Tiao Lu, Pingwen Zhang, Wei Cai Discontinuous Galerkin methods for dispersive and lossy Maxwell's equations and PML boundary conditions// Journal of computational physics.— 2004.— Vol. 200,— p.549—580.

114. The mortar edge element methods in three dimensions: application to magnetostatics / Bouillault F., Buffa A., Maday Y., Rapetti F. //SIAM J. Sci. Comput.— 2002,— Vol.24.— P.1303—1327.

115. Tony F.: Chan Domain decomposition algorithms// Acta numerica.— 1994,- p.61—143.

116. Wang Т., Hohman G.W. A finite difference time domain method for three-dimensional electromagnetic modelling //Geophysics.— 1993.— Vol.58.— p.797-809.

117. Webb J.P. Edge elements and what they can do for you // IEEE Trans, on Magn.- 1993.- Vol.29;No2.

118. Webb J.P. Hierarchical vector basis function of arbitrary order for triangular and tetrahedral elements// IEEE Trans. Ant. Prop.— 1999.— Vol.47.- p. 1244-1253.

119. Webb J.P., Miniowitz R. Analiysis of 3D microwave resonators using covariant—projection elements// IEEE Trans, on Microwave Theory and Technique.- 1991.- MTT-39; Noll.- p.1895-1899.

120. Wesseling P. An introduction to multigrid method. — Chichester—New York—Brisbane—Toronto—Singapore: John Wiley and S—s.— 1992.

121. White D. Numerical modeling of optical gradient traps using the vector finite element method //J. Comput. Phys.— 2000,— Vol.159.— P.13—37.

122. Winslow A.M. Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh// J. Comput. Phys.— 1967.— Vol.2.— p.149--172.

123. Wojcik G., Mould J., West L.C. Time—domain finite element modeling of 3D integrated optical devices //Optical Society of America: technical digest series (integrated photonic research).— 1993.— Vol.10.— P.112-115.

124. Yioultsis T.V., Tsiboukis T.D. Vector finite element analysis of waveguide discontinuities involving anisotropic media //IEEE Trans. Magn.— 1995.— Vol.31 ;No3.— P.1550-1553.

125. Yuguo Li A finite—element algorithm for electromagnetic induction in two dimensional anisotropic conductivity structures// Geophys. J. Int.— 2002.— Vol.148.- p.389—401.