автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Многомерные статистические модели и их применение при описании социально-экономических процессов

ВВЕДЕНИЕ

1. Экспонентные семейства распределений

2. Достаточные статистики.

3. Постановка задачи оценки параметров

4. Натуральные экспонентные семейства распределений.

5. Характеризации НЭС дисперсионной функцией

6. Классификация НЭС.

7. Другие способы характеризации НЭС.

8. Свойство воспроизводимости НЭС.

9. Реконструкция многомерного распределения с пуассоновскими маргиналами.

10. Экспоненциальные дисперсионные модели.

11. Построение несмещенной оценки.

12. Применение НЭС в модели динамики численности и состава населения.

ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИЗАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ НЭС

1. Класс многомерных распределений Т и его свойства.

2. Частные случаи решения функционального уравнения.

3. Примеры.

Нормальное распределение

Распределение Пуассона.

Гиперболический косинус.

Биномиальное распределение.

Отрицательное биномиальное распределение.

Гамма-распределение.

Нормальное-Пуассоновское распределение

ГЛАВА 2. ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ НЭС

С КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ ДИСПЕРСИИ

1. Многомерные НЭС с квадратичной функцией дисперсии

2. Ортогональные многочлены и их свойства.

3. Простые квадратичные семейства, выражение для производной

4. Выражение для скалярного произведения многочленов одной степени.

5. Разложение многочлена по параметру.

6. Построение несмещенной оценки.

7. Система ортогональных многочленов для полиномиального распределения

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ НЭС В МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ ПОСЛЕДСТВИЙ РЕФОРМЫ ЖКХ

1. Постановка проблемы.

2. Анализ исходных данных и источников информации.

3. Основные предположения

4. Применение распределений НЭС для описания демографических процессов.

5. Обозначения и предположения для описания сложной семьи

6. Описание модели.

Экспонентные семейства распределений, введение которых в рассмотрение восходит к А. Пуанкаре и JI. Больцману, включают многие семейства, имеющие большое теоретическое и практическое значение. Таковы, например, семейства гауссовских распределений произвольной размерности, пуассоновские семейства распределений, гамма распределения и др. В частности, гамма- распределение традиционно используют в актуарной математике для описания процесса смертности; во многих эконометрических моделях применяют распределение Пуассона для описания характеристик рождаемости.

Начало современной теории экспонентных семейств положено Р. Фишером в 1934 году. Дальнейшее развитие эта тема получила благодаря исследованиям датской школы, в частности, работам О. Барндорфф-Нельсена (О. Вarndorff-Nielsen), см. [41]—[43]. Так же можно говорить о существовании Калифорнийской школы, представителями которой являются Ч. Стейн (С. Stein), Б. Эфрон (В. Efron), К. Моррис (С. Morris), см. [62], [63]. Специальные свойства экспонентных семейств распределений нашли также отражение в работах M.C.K. Твиди (M.C.K. Tweedie) [67], Ш.К. Бар-Лева (S.K. Bar-Lev), П. Ениса (P. Enis) [38], [40] и Б. Джоргенсена (В. Jorgensen) [56]. В настоящее время активными исследованиями в области экспонентных семейств распределений занимаются математики французской школы, в частности Г. Летак (G. Letac) и его ученики, см. [58]—[61].

Среди натуральных экспонентных семейств распределений подробно изучены одномерные распределения, для них получены теоретические результаты, благодаря чему для рассматриваемых распределений реализованы многие вероятностные и статистические проце

ДУРЫ.

Для многомерных семейств распределений аналогичные результаты в общем случае, как правило, получить не удалось, большинство задач решено лишь в частных случаях, см. [45]—[54], [57], [58], [64]—[66].

Однако многомерный случай является важным, так как большинство реальных процессов и явлений характеризуются взаимосвязанными признаками, которые описывают с помощью зависимых случайных величин. Часто одномерные распределения этих величин известны; далее возникает задача получения их многомерных обобщений таким образом, чтобы интересующие нас свойства в некотором смысле сохранялись бы и для многомерных аналогов.

Поэтому полученные в данной работе результаты, касающиеся восстановления и характеризации многомерных случайных величин по известным маргиналам, являются актуальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах.

Во многих ситуациях можно сделать правдоподобные предположения относительно общего вида закона распределения изучаемых случайных величин; тогда задача их однозначного восстановления сводится к статистическому оцениванию параметров. Такая замена существенно упрощает решение задач, в связи с этим параметрические статистические методы получили широкое распространение; в частности, разработка методов построения оптимальных точечных оценок параметров распределений является важной и значимой проблемой.

В настоящее время особую роль играет исследование социальных процессов. Их анализ и прогнозирование, основанное на математических методах, дают наиболее объективные и точные оценки текущего состояния и дальнейших перспектив развития общества. В большинстве таких задач естественным образом возникают демографические модели, характеристики которых можно описать с помощью распределений, принадлежащих классу натуральных экспонентных семейств.

В нашей работе мы рассматриваем многомерные натуральные экспонентные семейства распределений в связи с задачами восстановления многомерного семейства распределений по маргиналам, его характеризации и классификации; точечного оценивания параметров.

В свете полученных результатов разобраны примеры многомерных натуральных экспонентных семейств с квадратичной функцией дисперсии. В предложенной модели мы применяем многомерные пу-ассоновское и гамма-распределения для учета демографических факторов.

Известно, что распределение случайного вектора в общем случае нельзя восстановить по его маргинальным распределениям. Для некоторых распределений, принадлежащих классу натуральных экспонентных семейств, при дополнительных условиях это возможно.

В первой главе данной работы рассматривается семейство многомерных натуральных экспонентных семейств специального вида, предлагается его характеризация, разработан алгоритм обобщения одномерных натуральных экспонентных семейств распределений на многомерный случай. Процедура восстановления двумерных натуральных экспонентных семейств продемонстрирована на примере обобщения одномерных натуральных экспонентных семейств с квадратичной функцией дисперсии.

Во второй главе работы для класса многомерных натуральных экспонентных семейств с квадратичной функцией дисперсии предлагается универсальная процедура нахождения точечной оценки параметров, основанная на построении системы ортогональных многочленов специального вида. Мы будем искать оптимальную оценку в классе несмещенных оценок, причем для натуральных экспонентных семейств автоматически следует и ее единственность.

В третьей главе мы рассматриваем модель динамики состава и численности населения, в которой применяем полученные аналитические многомерные законы, описывающие процессы рождаемости и смертности, принадлежащие классу многомерных натуральных экспонентных семейств, точечную оценку параметров для которых находим согласно разработанной процедуре.

В каждой главе принята своя нумерация формул, определений, утверждений и теорем.

Основные результаты данной работы опубликованы в статьях [68]—[76].

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность Хохлову Юрию Степановичу за участие и поддержку в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

Введен в рассмотрение и изучен специальный подкласс многомерных натуральных экспонентных семейств распределений, для которого разработана и теоретически обоснована процедура восстановления распределения многомерных случайных векторов по заданным маргиналам. В некоторых частных случаях данная процедура имеет единственное решение. В рамках рассматриваемого класса получены уже известные и некоторые новые многомерные обобщения одномерных случайных величин, принадлежащих классу натуральных экспонентных семейств с квадратичной функцией дисперсии. В частности, доказано, что многомерное нормальное распределение есть единственно возможное многомерное обобщение нормального распределения в рамках рассматриваемого семейства; подробно рассмотрен случай пуассоновского распределения, все результаты для него получены для случая произвольной размерности; получены двумерные обобщения биномиального и отрицательного биномиального распределений, частными случаями которых являются полиномиальный и отрицательный полиномиальный случаи; получены двумерные обобщения гамма- и закона гиперболического косинуса.

Разработана система функций, являющихся ортогональными относительно плотности распределения многочленами, изучены их свойства. Эти многочлены являются базисом для построения эффективных оценок аналитических функций от многомерных параметров, алгоритм нахождения которых предложен для специального класса распределений.

Используя полученные теоретические результаты, синтезирована и программно реализована система математических моделей исследования процессов, описываемых с помощью случайных величин, принадлежащих классу многомерных натуральных экспонентных семейств распределений.

Разработана система математических моделей описания текущего состояния и прогнозирования социально-экономического положения населения, в частности, в связи с проблемами ЖКХ. Существенным является анализ источников информации, обеспечивающих доступные и репрезентативные данные. Основой для реализованного программного комплекса является демографическая модель, составляющими которой являются случайные вектора с зависимыми компонентами, принадлежащие классу НЭС, точечные оценки параметров которых находятся согласно разработанному алгоритму.

1. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности: Справ, изд. М.: Финансы и статистика, 1989.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.

3. Айвазян С.А. Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

4. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Наука, 1963.

5. Ацель Я. Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений.Ц УМН 1956, Т11, №3, с.3-68.

6. Барра Ж.Р. Основные понятия математической статистики. — М.: Мир, 1974.

7. Боровков A.A. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.

8. Венецкий И.Г. Вероятностные методы в демографии. М.: Финансы и статистика. 1981.

9. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия. 1999.

10. Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применение. М.: Наука, 1989.

11. Валентей Д.И., Кваша А.Я. Основы демографии. М.: Мысль, 1989.

12. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.

13. Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. М.: Наука, 1995.

14. Дынкин Е.Б. Необходимые и достаточные статистики для семейств распределений вероятностей.// УМН. 1951, Т.6, №1, с.68-90.

15. Дюге Д. Теоретическая и прикладная статистика. М.: Наука, 1972.

16. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

17. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

18. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высш. Шк., 1984.

19. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.:Наука, 1973.

20. Кокс Д.Р., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988.

21. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979.

22. Леман Э. Теория точечного оценивания. М.: Наука, 1991.

23. Линник Ю.В. Лекции о задачах аналитической статистики. М.: Физматлит, 1994.

24. Линник Ю.В. Статистические задачи с мешающими параметрами. М.: Наука, 1966.

25. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий A.A. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2000.

26. Мешалкин Л.Д. Научные работы по прикладной статистике для прикладников// Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр./ Перм. ун-т. — Пермь, 1998. — стр.197-204.

27. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968.

28. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.

29. Сеге Г., Ортогональные многочлены. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1962.

30. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами.// Под ред. Абрамовича М. и Стигана И.М.: Наука, 1979.

31. Стоянов Р. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Наука, 1999.

32. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения. Т. 2. М.: Мир, 1967.

33. Хохлов Ю.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Тверь: ТвГУ, Ч. 1, 1997.

34. Хохлов Ю.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Тверь: ТвГУ, Ч. 2, 1997.

35. Хохлов Ю.С. Условное математическое ожидание и его применения: Учебное пособие. Калинин: КГУ, 1987.

36. Чжун К., Уильяме Р. Введение в стохастическое интегрирование. М.: Мир, 1987.

37. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

38. Bar-Lev S.K., Bshouty D., Enis P. Mulrivariate natural exponential families with Poisson marginals. Department of Statistics, State University of New York at Buffalo, 1991.

39. Bar-Lev S.K., Bshouty D., Enis P., Letac G., Lu I-Li, Richards D. Diagonal mulrivariate natural exponential families and their classification. J. of Th. Prob., V.7, №4, 1994, pp. 883-929.

40. Bar-Lev S.K., Enis P. Reproducibility in the one-parameter exponental family// Metrica, V.32, 1985, pp.391-394.

41. Вardorff-Nielsen O.E. Information and Exponential Families in Statistical Theory. Wiley, New York, 1978.

42. Bardorff-Nielsen O.E. Information and Exponential Families. Chichester: John Wiley, 1978.

43. Barndorff-Nielaen 0. E, Koudou A. E. Cuts in natural exponential families. Prob.Th. and Appl. T.40, №.2, 1995, pp.365-372.

44. Brown L.D. Fundamentals of Statistical Exponential Families. IMS, Hayward, California, 1986.

45. Bshouty D., Letac G. The projection of a natural exponential family and the bivariate Morris families. Preprint, 1990.

46. Casalis M. The 2d + 4 simplequadratic natural exponential families on Rd. J. Annal. of. Stat. Preprint, 1991.

47. Doss D.S. Definition and characterization of multivariate negative binomial distribution. J. Multivariate Anal. V.9, 460-464, 1979.

48. Eagleson G.K. Polinomial expansions of bivariate distributions. Ann. Matm. Statist. V.35, 1208-1215, 1964.

49. Evans S.N. Association and infinite divisibility for the Wishart distribution and its diagonal marginals. J. Multivariate Anal. V.36, 199-203, 1991.

50. Griffiths R.C. Characterization of infinitely divisible multivariate gamma distributions. J. Multivariate Anal. V.15, 13-20. 1984.

51. Griffiths R.C., Milne R.K. A class of infinitely divisible multivariate negative binomial distributions. J. Multivariate Anal. V.22, 13-23, 1987.

52. Griffiths R.C., Milne R.K., Wood R. Aspects of correlation in bivanate Poisson distributions and processes. Austral. J. Statist. V.21, 238-255, 1979.

53. Frydenberg M. Marginalization and collapsibility in graphical interaction models. Ann. Statist., 1990, v.18, №2, p.790-805.

54. Frydenberg M., Edwards D. A modified iterative proportional scaling algorithm for estimation in regular exponential families. Comput. Statist. Data Anal., 1989, v. 8, №2, p.143-153.

55. Greene W. Econometric analysis.

56. Jorgensen B. Exponential dispersion models (with discussion). J. Roy. Statist. Soc. Ser., V.49, 127-162, 1987.

57. Letac G. The classification of the natural exponential families by their variance functions. Bull. Int. Statist. Inst., 1991, v.54, Book 3, Paper 1/29.

58. Letac G., Mora M. Natural real exponential families with cubic variance functions.

59. Morris S. Natural Exponential families of distributions with quadratic variance function// Ann. Stat., 1982, V.ll., P.142-162.

60. Morris S. Natural Exponential families of distributions with quadratic variance function. Statistical theory// Ann. Stat., 1983, V.12., P.343-363.

61. Telcher H. On the multivariate Poisson distribution. Skand. Aktuarietids. V.37, 1-9, 1954.

62. Tyan S., Derin H., Thomas J.B. Two necessary conditions on the representation of bivariate distributions by polynomials. Ann. Statist. V.4, 216-222, 1976.

63. Tyan S., Thomas J.B. Characterization of a class of bivariate distribution functions. J. Multivariate Anal. V.5, 227-235, 1975.

64. Tweedie M.C.K. An index which distinguishel between some important exponental families//Statistics: Appl. and New Dir., 1981, pp.579-604.

65. Ivanova N.L., On bivariate Poisson distribution and its statistical properties. — In: XX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Lublin-Nalenczow, 5-11 September, 1999. — Abstracts, p. 75 (1999).

66. Иванова H.JI. Несмещенное оценивание в классе многомерных натуральных экспонентных семейств. — Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. — Сборник научных трудов. Тверь. ВЦ РАН, ТвГУ, 2000, с. 107-111.

67. Иванова H.JI. Модель "Социальные последствия реформы ЖКХ". — В отчете по проекту: Моделирование социальных последствий реформы жилищно-коммунального хозяйства, Тверь, 2000, Тверская городская администрация.

68. Ivanova N.L, The reconstruction of natural exponential families by its marginals. — J. Math. Sciences, 2001, vol. 106, N1, p. 2672-2681.

69. Ivanova N.L., Modellings of the family's number and structure dynamics. — In: XXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Eger, 28 January-03 Febrary , 2001. — Abstracts, p. 88-89 (2001).

70. Иванова H.JI, Хохлов Ю.С, Реконструкция многомерного распределения с пуассоновскими компонентами. — Вестник МГУ, Серия 15. Вычисл. математика и кибернетика, 2001, вып. 1, с. 32-37.

71. Иванова H.JI. Оценивание параметров двумерного распределения с пуассоновскими компонентами. — Обозрение прикл. и промышл. математики, 2001, т. 8, с.

72. Иванова H.JI. Модель динамики состава и численности населения. Сложные системы: Моделирование и оптимизация. Тверь, ТвГу, 2001, с.ЦЦ-5Ъ.